TRABAJO COLABORATIVO FASE 1

GRUPO 100411A_220

CARLOS ANDRES QUIROGA SANCHEZ

CÓDIGO 1099547122

VIVIANA RINCÓN PARDO

CÓDIGO 1017144498

TUTOR

JAVIER FERNANDO MELO CUBIDES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

CENTRO DE ESTUDIOS A DISTANCIA CEAD VELEZ

CALCULO INTEGRAL

PROBLEMAS PROPUESTOS

La antiderivada de una función f (x) es otra función g(x) cuya derivada es f(x). En algunos

textos la antiderivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. La anti diferenciación

es el proceso inverso a la diferenciación.

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades

de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

1. ∫ 𝑥5+ 3𝑥−2

𝑥3 𝑑𝑥 =

∫ 𝑥5

𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥

𝑥3 𝑑𝑥 − ∫2

𝑥3 dx

= ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫3

𝑥2 𝑑𝑥 − ∫2

𝑥3 𝑑𝑥 =

𝑥3

3− 3𝑥−1 + 𝑥−2 + 𝐶

2. ∫ (sen (x) + 3 se𝑐2 (𝑥))𝑑𝑥 =

∫ sen (x) dx + ∫ 3 se𝑐2 (𝑥)𝑑𝑥 =

- cos (x) + 3 tan (x) =

3 tan (x) – cos (x) + c

3. ∫ √𝑡−𝑡+𝑡3

√𝑡3 𝑑𝑡 =

∫𝒕

𝟏𝟐⁄

𝒕𝟏

𝟑⁄𝑑𝑡 − ∫

𝒕

𝒕𝟏

𝟑⁄+

𝒕𝟑

𝒕𝟏

𝟑⁄ =

∫ 𝑡6 1 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡3

2 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡3 8 𝑑𝑡 =

4. ∫ 𝑇𝑎𝑛3 (𝑥)𝑑𝑥

Esta integral es de la forma:

Resolviendo:

Por identidad:

5. ∫𝑥2

1 + 𝑥6 𝑑𝑥

Hago la sustitución,

U=𝑥3

.du= 3𝑥2 dx

Entonces,

∫3

(1+𝑢2)

du =3 arctan(u) + C

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

∫𝑥2

1 + 𝑥6 𝑑𝑥

=3 arctan(𝑥3) + C

= 1

3𝑡𝑎𝑛−1(𝑥3) + 𝐶

6. ∫[ 𝑒 𝑥 − (5 / √1 − 𝑥2) + 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]𝑑𝑥 =

∫ 𝑒 𝑥𝑑𝑥 − ∫5

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =

𝑒𝑥 − 5 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥) − 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥

7. ∫ 𝑐𝑜𝑠4 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

Solución

-Sea: u=cos x, donde: du= -sen x.

Luego: ∫ 𝑐𝑜𝑠4 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 =

∫(cos 𝑥)4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cos 𝑥)4(-senx) dx

=− ∫ 𝑢4 𝑑𝑢

=−𝑢5

5+ 𝑐 =

𝑐𝑜𝑠𝑥5

5+ 𝑐 = −

𝑐𝑜𝑠5 𝑥

5+ 𝑐

Respuesta: ∫ 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠5

5+ 𝑐

8. ∫𝑐𝑜𝑠3(𝑡) + 1

𝑐𝑜𝑠2(𝑡)𝑑𝑡 =

∫𝑐𝑜𝑠3(𝑡)

𝑐𝑜𝑠2 (𝑡)+

1

𝑐𝑜𝑠2 (𝑡)=

∫ cos(𝑡) + ∫1

1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)=

𝑠𝑒𝑛 (𝑡) + 𝑡𝑎𝑛 (𝑡)

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o

aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la

cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la

relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

9. Encuentre el valor promedio de g(x)= 𝑥2 √1 + 𝑥3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0,2].

10. Halle el valor medio de la función g(x)=2x -2𝑥2 en el intervalo [0,1].

. sea 𝐻(𝑥) = ∫ (2𝑡 − 4)𝑑𝑡. ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐻´(𝑥)𝑥2

𝑙.

𝐻(𝑥) = 𝑡2 − 4𝑡 ∫ 𝐻 𝑥4 − 4𝑥2 − 1 + 4

𝐻′(𝑥) = 4𝑥3 − 8𝑥

11. aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver

:∫ 𝑠𝑒𝑛3(2𝑥)𝜋

4⁄

0𝑐𝑜𝑠(2𝑥)𝑑𝑥

1

8𝑠𝑒𝑛42𝑥 ∫ =

1

8

𝜋4⁄

0

[1,0] =1

8