TRABAJO COLABORATIVO 3CALCULO INTEGRAL

PRESENTADO POR: MARY LUZ PULIDOCC: 1123085702

MAYERLY QUINTERO MURILLOCódigo 1.122.123.908

PRESENTADO A: TATIANA DEL PILAR POLANIA SERRATO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS

ACACIAS2016

1) Hallar el area sustituida entre las curvas y=x –1e y=2x3−1 entre x=1 y x=2Sugerencia: elaborar grafica para una mejor comprencion del ejercicio

El área está dada por una integral.

La función a integrar es f(x) = 2 x³ - 1 - (x - 1) = 2 x³ - x

La integral es F(x) = 2 x^4/4 - x²/2

F(1) = 1/2 - 1/2 = 0

F(2) = 1/2 . 16 - 2 = 6

El área es F(2) - F(1) = 6

3. La región limitada por la gráfica de y=x3, el eje x y x=12

se gira alrededor del eje x.

Hallar el área de la superficie lateral del sólido resultante.

El área superficial de la función rotada sobre el eje x se halla mediante la expresión

A=2π∫a

b

f ( x ) √1+ [ fʼ(x)]2 . dx

x=0=a , x=12=b , f ( x )=x3 , fʼ (x )=3x2 , [ fʼ(x )]2=9 x4

Reemplazando

A=2π∫0

12

x3 .√1+9x4 . dx

Sustitución:{ u=1+9x4

du=36 x3dx136du=x3dx}A=2π∫

0

12

√u . 136 du=A=2 π36∫0

12

u12 . du= π

18 [ u32

32 ]

0

12

= π18 [ (1+9 x4 )

32

32 ]

0

12

A=2 π54

[(√1+9x4 )3 ]012= π27 [( 12564 )−(1 )]= π

27 [ 6164 ]= 61π1728

≅ 0,11u2

El área superficial de la función entre los límites dados es aproximadamente de 0,11 unidades cuadradas.

5) hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola y2=8 x y la ordenada correspondiente a x=2 con respecto al eje x, como lo muestra la figura.

El volumen de un cuerpo de revolución engendrado por la gráfica de f(x) girando alrededor del eje X entre x=2 y x=b es π∫

a

b

[ f ( x )¿2dx| y eso mismo

para g(y) alrededor del eje Y entre y= a y b es: π∫a

b

[g ( y ) ¿2dx|

a) Debemos poner y como función de x y^2 = 8x

y = sqrt (8x)No indicas los límites supondré que son a y b

V=π∫a

b

8 xdx=4π x2 ¿ba=4 π (b2−b2)

b) Debemos poner x como función de yx =(y^2)/8Ahora hay que hacer un cambio de variable para que la recta x=2 sea el eje de ordenadas de la función. A la x = 2 vieja le corresponderá la x = 0 nueva, luego x vieja = x nueva + 2x+2 = (y^2)/8x = (y^2)/8 - 2 = (y^2 - 16) / 8

V=π∫a

b

¿¿

π64∫a

b

( y4−32 y2+256 )dy=¿¿

π64

¿

π64

[3 (b5−a5 )−160 (b3−a3 )+3840 (b−a )]

6) El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones? y =X^2 Y y =4, gira alrededor del eje Y,es:

 y =x^2, y=4 

La parábola y la recta se cortan aquí: 

Para x^2 =4 x =2 

Partimos de la diferencia de las dos ecuaciones: y =x^2 -4 Esta ecuación define el radio de las circunferencias que describen cada uno de los puntos de la función al rotar. La superficie de cada circunferencia: S =pi (x^2 -4)^2 Y el volumen (las circunferencias las vemos como finísimos discos de grosor 'dx') dV =pi (x^2 -4)^2 dx 

Y la suma de los volúmenes de todos ellos se obtiene con la siguiente integral: integral pi(x^2 -4)^2 dx = = pi integral (x^4 +16 -8x^2) dx = = pi ((1/5) x^5 -(8/3)x^3 +16x +C 

Pero esta es una integral definida en el intervalo {0, 2} como se vio arriba, la evaluamos en dicho intervalo: Para 'x=0' la función es cero, quedando: V =| 2 pi (1/5)*2^5 -(8/3)*2^3 +16*2| =30.77 u^3

7) hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de y=x^2, el eje x y la recta x=2  2 A = ∫ x² dx = 2³/3 - 0³/3 = 8/3  0 

2 ∫ x . x² dx = 2⁴/4 - 0⁴/4 = 4 0 

x = 4/(8/3) = 4*(3/8) = 3/2 

2 ∫ [x²]² dx = 2⁵/5 - 0⁵/5 = 32/5 0 

y = 1/2 * 32/5 / (8/3) = 32/10 * (3/8) = 6/5 

Solución: ( 3/2 , 6/5 )

  10) Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte   pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

Solución

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje  , con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que  .

Como   pulgadas cuando   libras, entonces   de dónde .

Luego,  . Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensión de 8 a 11 pulgadas. Luego:

W=∫0

3

40 xdx

¿20 x2¿03

¿180 pulgadas−libras

12. Si la función demanda es D(q)=1000-0.4q^2 y la función oferta es S(q)=42q Calcule el excedente del

productor EP y el excedente del consumidor EC

  D(q)=1000-0.4q^2 S(q)=42q 

igualamos la oferta y la demanda para hallar un punto de equilibrio ( este debió ser un dato ) 

1000-0.4q^2 = 42q 0.4q^2+42q-1000 = 0 q= 20 ; q = -125 => q = 20 

reemplazamos 20 en cualquiera de las 2; 

1000- 0.4(20)^2 = 840 este seria el precio

ahora integramos para hallar el EP 

EP = ∫ 840 - 42q ( integral definida de 0 a 20 ) 

EP = ∫840 - ∫42q 

EP = 840q - 21q^2 ( evaluado de 0 a 20) 

EP = 8400 

EC = ∫1000-0.4q^2 - ∫840 ( integral definida de 0 a 20 ) 

EC = ∫1000 - ∫ 0.4q^2 - ∫840 

EC = 1000q - (0.4/3)q^3 - 840q( evaluado de 0 a 20) 

EC = 20000 - (2/15)8000 - 840(20) 

EC = 2133.3 

he asumido que la pregunta como un EP y Ec en un punto de equilibrio