ALGEBRA LINEAL

TRABAJO COLABORATIVO 2

MARICELA GUACARY

HUBERNEY PERDOMO

JEAN PAUL BEARD

GRUPO: 100408A_220

TUTOR:

IVAN FERNANDO AMAYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ABRIL DE 2015

INTRODUCCIÓN

Este trabajo tiene como finalidad comprender los diferentes métodos como

Gauss – Jordán y así encontrar soluciones a los diferentes ejercicios

propuestos. También aprender a resolver ejercicios por el sistema lineal

empleando para ello la inversa, las ecuaciones simétricas y paramétricas de

la recta, la ecuación general del plano, y los puntos de intersección de los

planos con la metodología adecuada.

OBJETIVOS

Identificar y aprender los principales métodos y clasificar los procedimientos

usados para resolver ejercicios.

Comprender de una forma clara las ecuaciones simétricas y paramétricas de la

recta

Aprender a resolver problemas de sistema lineal, empleando la inversa

Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el

proceso paso por paso:

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1

−x−4 y−11 z=−15x−9 y+z=−8−x+6 z=6

Para resolver hay que representar la ecuación en una matriz

|−11−1−4−90

−1126

−15−86 |

Dividir el 1-esimo por -1

|1114

−90

1116

1586 |

Sacar la primera línea de las filas 2:3 y se multiplica por 1:-1

|1004

−134

11−1017

15−2321 |

Dividir el 2-esimo por -13

|100 414 11101317

15231321

|

Sacar la segunda línea de las filas 1:3 y se multiplica por 4:4

|10001010313101318113

10313231318113

|Dividamos 3-esimo por 181/13

|100010 1031310131

1031323131

|Sacar la tercera línea de las filas 1:2 y se multiplica por

10313

, 1013

|1 0 0 00 1 0 10 0 1 1|

Solución: x1=0x❑2=1x3=1

1.2

−7+2 y−z+4w=103 x−5 y−2 z−w=−9

|−73 2−5

−1−2

4−1

10−9|

Solución:

Debido a que es un sistema 5 x 2 una parte de la ecuación tendrá solución pero no

el conjunto

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice

el método que prefiera para hallar1A ).

x− y−z=03 x− y+3 z=2−x+z=−1

Solución:

| 1 −1 −13 −1 3

−1 0 1 |Obtener la determinante por Sarrus

|a=la reglade sarrusnanteuciondependeracadarespectivamente por10313

,1013

elmetodo A|=| 1 −1 −1 1 −13 −1 3 3 −1

−1 0 1 −1 0 |¿ (1.−1.1 )+(−1.3 .−1 )+(−1.3 .0 )−(−1.−1−.1 )−(0.3.1 )−(1.3 .−1 )

|A|=6

Hallar los cofactores de A.

A11=+|−1 30 1|=−1 A12=−| 3 3

−1 1|=−6 A13=+| 3 −1−1 0 |=−1

A21=−|−1 −10 1 |=1 A22=+| 1 −1

−1 1 |=0 A23=−| 1 −1−1 0 |=1

A31=+|−1 −1−1 3 |=−4 A32=−|1 −1

3 3 |=−6 A33=+|1 −13 −1|=2

adj A=|−1 −6 −11 0 1

−4 −6 2 |

adj A=|−1 −6 −11 0 1

−4 −6 2 |adj ( A )t=|−1 1 −4−6 0 −6−1 1 2 |

Multiplicar la matriz obtenida el inverso del determinante A

A−1= 1|A|

adj ( A )t

A−1=16 |−1 1 −4

−6 0 −6−1 1 2 |=|−16 1

6−23

−1 0 −1−16

16

13

|

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos R=(−6,6,1) y Q=(−10,2 ,−3)

Solución:

V⃗=R⃗Q= (−10+6 ) i+ (2−6 ) j+ (−3−1 ) k

V⃗=R⃗Q=−4 i−4 j−4 ka=−4b=−4c=−4

Ecuaciones paramétricas

x=x1+tax=−6−4 t

y= y1+tb y=6−4 t

z=z1+tcz=1−4 t

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

por lo tanto x+6−4

= y−6−4

= z−1−4

Asignar valores a “t” en las ecuaciones para así encontrar los puntos de la recta

x=−6−4 (2 )→x=−14

y=6−4 (2 )→y=−2

z=1−4 (2 )→z=−7

Por lo que el punto (-14,-2,-7) también está en “L”

3.2Contiene a P=(−5,0 ,−8) y es paralela a la recta x−9−1

− y+3−6

− z−5−10

Solución:

V⃗ (−1 ,−6 ,−10)

Por tanto ¿ p= (−5,0 ,−8 )=(x1 , y1 , z1 ) y V⃗ (−1 ,−6 ,−10)

x=−5−ty=−6 tz=−8−10 t

Ecuaciones simétricas

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

x∓5−1

= y−6

= z+8−10

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π1:−3 x−5 y+z=−2 y π2:−9 x+7 y+3 z=−10

Solución: De π1 tenemos n⃗1=−3i−5 j+k

De π2 tenemos n⃗2=−9 i+7 j+3k

Comprobar si son paralelas

n⃗1 x n⃗2=| i j k−3 −5 1−9 7 3|=i|−5 1

7 3|− j|−3 1−9 3|+k|−3 −5

−9 7 |=−22 i−0 j−66 z≠0 i+0 j+0 z

No son paralelas y hay que hallar los puntos de intersección

|−3 −5 1−9 7 30 0 0|

−2−100

| 1 53

−13

−9 7 30 0 0

| 23−100

|1 53

−13

0 22 00 0 0

| 23−40

|1 53

−13

0 1 00 0 0

|23

−2110

[100010−13003233−2110

]x1+(−13 ) x3=3233 x2=−2

11

CONCLUSIONES

El método de Gauss Jordan requiere bastante concentración y orden para su

desarrollo. A través del desarrollo de este trabajo colaborativo se profundizaron

lecciones complejas del módulo del curso académico como lo son los sistemas de

ecuaciones lineales, planos y espacios vectoriales, aplicando sus diferentes

procedimientos y las técnicas básicas para lograr obtener correcto resultado en

cada uno de los ejercicios propuestos,

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Eliminación de Gauss-Jordan, Recuperado de http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci

%C3%B3n_de_Gauss-Jordan en abril de 2015.

Resolver Sistema Ecuaciones Por El Método Eliminación Gauss-Jordan,

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=rgyMAz7d12g en abril de

2015.

UNAD módulo Algebra Lineal, Recuperado de

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/ALGEBRA%20LINEAL%20-

%20MODULO%203%20CREDITOS%20-%20DEFINITIVO.pdf en abril de 2015.