ECUACIONES DIFERENCIALES.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS AGRICOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

ACTIVIDAD_ TRABAJO COLABORATIVO 1_APORTE

PROGRAMA INGENIERIA AMBIENTAL

GRUPO_ 100412_134

PRESENTADO A:

ADRIANA GRANADOS COMBA (TUTORA)

PRESENTADO POR:

FÉLIX CHACÓN CASTELLANOS

CC._ 1075599112

09 DE MARZO DE 2015

CEAD NEIVA HUILA.

INTRODUCCIÓN.

Objetivos Generales.

Propiciar el desarrollo de habilidades para modelar situaciones reales en términos de ecuaciones diferenciales.

Objetivos específicos

Desarrollar destrezas para la selección y aplicación de métodos analíticos, cualitativos y numéricos en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

Introducir al estudiante en el análisis de las soluciones de ecuaciones y sistemas

de ecuaciones diferenciales.

Introducir al estudiante en la aplicación de tecnologías computacionales en la solución ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

Potenciar el desarrollo de competencias para la resolución de problemas propios de la ingeniería y la física.

TRABAJO A DESARROLLAR.

Escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada temática y desarrollarlo de forma individual.

1. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

A. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 (𝑦) = 0.

B. y′′ + y′ + y = 0.

C. 𝑑2 𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥

D. (2𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦2𝑥 − 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦

E.𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 2

F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

01

)(2

2 xx

yy

dx

dy

2. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables

separables:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

𝑦

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦2 − 2𝑥 = 0

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

(3𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑦 = 0

D. Resuelva la ecuación diferencial.

y

x

x

y

dx

dy

E. Resuelva la ecuación diferencial

√𝑦𝑥4 + 𝑦′ = 0 Determine el valor de y (1) siendo y(x) la solución que satisface y (0)=0

DESARROLLO- INDIVIDUAL

1. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada

ecuación:

A.

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ sen(𝑦) = 0

Es una ecuación No - lineal porque no hay una función de “x” que multiplique a

una de “y” o sencillamente porque la función “sin” no depende solo de x sino también de y. Es una ecuación de primer orden porque aparece la primera derivada como orden máximo de derivación.

B.

𝑦" + 𝑦′ + 𝑦 = 0

Es una ecuación lineal por que la función ni sus derivadas están elevadas a

ninguna potencia distinta de uno o cero y en el coeficiente que lo multiplica solo

interviene la variable independiente. Ecuación de segundo orden ya que tiene

una segunda derivada.

C.

𝑑2𝑦

𝑑𝑥 2+

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥

Es una ecuación lineal por que la función ni sus derivadas están elevadas a

ninguna potencia distinta de uno o cero y en el coeficiente que lo multiplica solo

interviene la variable independiente. Ecuación de segundo orden ya que tiene

una segunda derivada.

1. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

F.

Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

(𝑑𝑦

𝑑𝑥) + 𝑦2 +

𝑦

𝑥−

1

𝑥 2= 0

Se procede a realizar la derivada de y=1/x

𝑦 = 𝑥 −1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −1𝑥 −2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

𝑥 2

Se reemplaza la derivada en la ecuación diferencial, entonces:

(−1

𝑥 2) + 𝑦2 +

𝑦

𝑥−

1

𝑥 2= 0

Se suman términos semejantes:

𝑦2 +𝑦

𝑥−

2

𝑥 2= 0

Como la igualdad no se cumple, entonces se concluye que no es solución.

2. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables

separables:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

𝑦

𝑑𝑦(𝑦) = −2𝑥(𝑑𝑥)

∫ 𝑑𝑦(𝑦) = ∫ −2𝑥(𝑑𝑥)

𝑦2

2= −2

𝑥 2

2+ 𝑐

𝑦2 = −2(𝑥 2 + 𝑐)

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦2 − 2𝑥 = 0

Multiplicando la ecuación por dx

2𝑥𝑦𝑑𝑦 + (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 2𝑥 → 𝛿𝑀

𝛿𝑌= 2𝑦

𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 → 𝛿𝑁

𝛿𝑋= 2𝑦

Como las derivadas son iguales la ecuación es una ecuación diferencial Exacta.

Por lo tanto existe una función que:

𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑐

De esta manera se tiene:

𝑓(𝑥,𝑦) = ∫(𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2𝑥 − 𝑥 2 + 𝑔(𝑦)

𝛿𝑓

𝛿𝑦= 𝑁 →

𝛿𝑓

𝛿𝑦= 2𝑥𝑦 + 𝑔´(𝑦) = 2𝑥𝑦

𝑔´(𝑦) = 0 → 𝑔(𝑦) = ∫(0) = 𝑦

Por lo tanto:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2𝑥 − 𝑥 2 + 0 = 𝑐

Solución de la ecuación diferencial:

𝑦2𝑥 − 𝑥 2 = 𝑐

Comprobación:

𝑑(𝑦2𝑥 − 𝑥 2 = 𝑐) =𝛿𝑑

𝛿𝑦𝑑𝑦 +

𝛿𝑑

𝛿𝑥𝑑𝑥

𝑑(𝑦2𝑥 − 𝑥 2 = 𝑐) = (2𝑥𝑦)𝑑𝑦 + (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥

2𝑥𝑦𝑑𝑦 + (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥 = 0

2. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

D.

Resuelve la ecuación diferencial:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥+

𝑥

𝑦

A primera vista se observa que no es posible resolverla por separación de variable. Lo

primero que se debe hacer es que todos los términos de la ecuación queden en función

de 𝑦

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥+ (

𝑦

𝑥)

−1

Ahora nos quedó una

ecuación diferencial homogénea; haciendo uso del cambio de variable reemplazamos:

𝑦

𝑥= 𝑤

Despejamos ahora y:

𝑦 = 𝑤𝑥

Derivamos a ambos miembros de la ecuación:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑤

𝑑𝑥𝑥 + (𝑤. 1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑤

𝑑𝑥𝑥 + 𝑤

Ya podemos reemplazar los valores originales de la ecuación por los que hemos

obtenido:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥+

𝑥

𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑥𝑥 + 𝑤 = 𝑤 + 𝑤−1

𝑑𝑤

𝑑𝑥𝑥 = 𝑤−1

𝑑𝑤

𝑑𝑥𝑥 =

1

𝑤

𝑑𝑤𝑥

𝑑𝑥=

1

𝑤

𝑑𝑤𝑥𝑤 = 𝑑𝑥

𝑑𝑤𝑤 =𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑤𝑤 =1

𝑥𝑑𝑥

Como ya se logró la separación de variables, teniendo cada una su diferencial

procedemos a integrar.

∫ 𝑑𝑤𝑤 = ∫1

𝑥𝑑𝑥

𝑤2

2= ln|𝑥| + 𝑐

𝑤2 = 2(ln|𝑥| + 𝑐)

𝑤2 = 2 ln|𝑥| + 2𝑐

𝑤2 = ln|𝑥|2 + 𝑐

𝑤2 = ln 𝑥 2 + 𝑐

Reemplazamos:

𝑦2

𝑥2= ln 𝑥 2 + 𝑐

𝑦2 = 𝑥 2(ln 𝑥 2 + 𝑐)

𝑦 = √𝑥 2(ln 𝑥 2 + 𝑐)

Finalmente obtenemos el siguiente resultado:

𝑦 = 𝑥√ln 𝑥 2 + 𝑐

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] JAIME ESCOBARA. ECUACIONES DIFERENCIALESCON APLICACIONES EN

MAPLE. Profesor titular de la Universidad de Antioquia (Págs. 7- 389) Archivo PDF- Ultima consulta realizada el 08 de marzo de 2015, recuperado de:

http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/libroED.pdf [2] ANDI – Comité Nacional Ambiental. (2009). Estado de la aplicación de la

reglamentación sobre residuos peligrosos en Colombia y las perspectivas de acción frente al tema. (Bogotá febrero 6 de 2009) Archivo PDF- Ultima consulta realizada el

8 de marzo de 2015, recuperado de: http://www.andi.com.co/Archivos/file/Gerambiental/Documentos%20Novedades/estadorespel.pdf