A Dios por habernos permitido llegar hasta este

punto y darnos salud, ser el manantial de vida y

darme lo necesario para seguir adelante da a da

para lograr mis objetivos, adems de su infinita

bondad y amor.

INTRODUCCIN

La optimizacin de los procesos mineros en minera subterrnea en la

actualidad, es una herramienta que le permite a las diferentes empresas que

extraen los recursos minerales aumentar la vida de sus proyectos mineros,

obtener recursos minerales de menor tenor, incrementar las reservas probadas

del mineral de inters y obtener utilidades mayores, entre otros.

Debido a esto se plantea una propuesta destinada a optimizar el diseo de

perforacin y voladura (P&V) en la Mina chungar, para mejorar la

fragmentacin del material volado, ya que esta operacin es uno de los

procesos de mayor relevancia en la extraccin minera y su misin especfica es

condicionar la roca (mineral o estril), para su posterior tratamiento, de forma

econmica y sustentable.

Por tal motivo la presente investigacin contara con seis (6) captulos, los

cuales estarn distribuidos de la siguiente manera:

Captulo I, conformado por las generalidades de la investigacin, entre las

cuales se encuentran el planteamiento del problema, los objetivos de la

investigacin, la justificacin, alcance y limitaciones encontradas en la

realizacin del proyecto.

Captulo II Descripcin del medio fsico, dar a conocer la resea histrica,

descripcin y estructura de la empresa, ubicacin del rea, caractersticas

fsico natural, la geologa y el ciclo productivo, entre otros.

Captulo III Marco terico, donde encontraremos las bases tericas, dentro de

las cuales encontraremos conceptos y frmulas matemticas relacionadas al

problema dual.

OBJETIVOS

El principal propsito del presente trabajo es desarrollar un conjunto de

modelos basados en la programacin lineal, para la resolucin de problemas

de planificacin de la produccin en condiciones de incertidumbre para

empresas mineras.

CAPITULO II

DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL

Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programacin lineal

denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y

relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que para

diferencia del dual se denomina entonces como problema primal (PP).

Las relaciones las podemos enumerar como siguen:

a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa

primal.

b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa

primal.

c) Los coeficientes de la funcin objetivo del problema dual son los trminos

independientes de las restricciones del programa primal.

d) Los trminos independientes de las restricciones del dual son los

coeficientes de la funcin objetivo del problema primal.

e) La matriz de coeficientes tcnicos del problema dual es la traspuesta de la

matriz tcnica del problema primal.

f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el

signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga

el signo de las variables del problema primal y del sentido de las restricciones

del mismo problema. (Ver tabla de TUCKER)

g) Si el programa primal es un problema de maximizacin, el programa dual es

un problema de minimizacin.

h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.

Tabla de TUCKER

PREGUNTAS:

Por qu se plantea el programa dual?

Qu significado tiene su solucin?

La solucin del dual se puede obtener desde el primal?

RESPUESTAS:

A) Por una parte permite resolver problemas lineales donde el

nmero de restricciones es mayor que el nmero de variables. Gracias a

los teoremas que expondremos a continuacin la solucin de unos de

los problemas (primal o dual) nos proporciona de forma automtica la

solucin del otro programa.

B) La dualidad permite realizar importantes interpretaciones

econmicas de los problemas de programacin lineal.

C) La dualidad permite generar mtodos como el mtodo dual del simplex

de gran importancia en el anlisis de post-optimizacin y en la

programacin lineal paramtrica.

IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIN LINEAL

La resolucin de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada

la facilidad que se presenta dados problemas donde el nmero de restricciones

supere al nmero de variables. Adems de tener gran aplicacin en el anlisis

econmico del problema.

Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el nmero de

restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden

resolver grficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar

el nmero de variables.

Consideremos el siguiente problema lineal:

Min Z(x) = 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 + 2 x4 + 3 x5

Sujeto a:

X1+ x2 + 2 x3 + x4 + 3 x5 4

2 x1 - x2 + 3 x3 + x4 + x5 3

X1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0

Dado que se trata de un programa lineal en forma cannica, ello nos

proporciona un dual en forma simtrica como el siguiente:

Max G () = 4 1 + 3 2

Sujeto a:

1 + 2 2 2

1 - 2 3

2 1 + 3 2 5

1 + 2 2

3 1 + 2 3

1 0, 2 0

Este problema solo tiene dos variables y cinco restricciones por tanto se puede

resolver grficamente:

vrtice solucin es el punto (4/5,3/5) con un valor de la funcin objetivo de 5.

x1 +3x5 =4

2 x1 + x5 = 3

La solucin de este sistema es : x1 = 1 y x5 = 1, lo cual nos proporciona un

valor de la funcin objetivo de Z(x) = 5, idntico a la solucin del dual

RESOLUCIN DEL PROBLEMA DUAL, PASO A PASO

El siguiente problema a resolver nos ayudara a entender el procedimiento que

se debe llevar acabo para un problema dual, dado que trataremos de resolver

un problema primal y su dual mediante Mtodo Simplex utilizando variables de

holgura, exceso y artificiales; adems resolveremos el primal utilizando Simplex

maximizando y el dual minimizando.

Dado el siguiente modelo primal,

ZMAX = 40X1 + 18X2

16X1 + 2X2 700

6X1 + 3X2 612

X1 80

X2 120

Cuya respuesta es

X1 = 28,75

X2 = 120

S1 = 79.5

S3 = 51.25

Funcin objetivo = 3310

Procedemos a resolver el problema dual

PASO 1: Definimos el problema dual

Este paso se lleva a cabo teniendo en cuenta las relaciones que se expusieron

en la definicin de la dualidad. Ahora las variables en el dual las

representaremos por " " y corresponden a cada restriccin.

El modelo queda de la siguiente forma:

ZMIN = 700 1 + 612 2 + 80 3 + 120 4

16 1 + 6 2 + 3 40

2 1 + 3 2 + 4 18

1; 4 0

Ahora preparamos el modelo para ser resuelto mediante Mtodo Simplex,

utilizaremos el procedimiento en el cual la funcin objetivo es multiplicada

por (-1) y resolveremos el modelo mediante maximizacin.

ZMIN = 700 1 + 612 2 + 80 3 + 120 4

Lo que es igual:

(-Z)MAX = -700 1 - 612 2 - 80 3 - 120 4

Ahora dado que los signos de las inecuaciones son mayor o igual procedemos

a volverlas ecuaciones agregando variables de exceso, recordemos que en

este caso las variables de exceso se restan del lado izquierdo de la igualdad,

por ende.

16 1 + 6 2 + 3 + 0 4 - 1S1 + 0S2 = 40

21 1 + 3 2 + 0 3 + 4 + 0S1 - 1S2 = 18

1; 4 0

Recordemos que el Mtodo Simplex solo es posible por la formacin de la

matriz identidad, sin embargo en una matriz identidad no pueden ir coeficientes

negativos, el cual es el caso, por ende recurriremos al artificio denominado

"Mtodo de la M grande" utilizando variables artificiales, las cuales siempre se

suman.

16 1 + 6 2 + 3 + 0 4 - 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 40

21 1 + 3 2 + 0 3 + 4 + 0S1 - 1S2 + 0A1 + 1A2 18

1; 4 0

Ahora si observamos la matriz identidad formada por las variables artificiales,

nuestra funcin objetivo es la siguiente (vara dada la incorporacin de las

nuevas variables).

(-Z)MAX = -700 1 - 612 2 - 80 3 - 120 4 + 0S1 + 0S2 - MA1 - MA2

Recordemos que el coeficiente de las variables de holgura y exceso es 0,

adems que los coeficientes de las variables artificiales es M, donde M

corresponde a un nmero grande poco atractivo cuyo signo en la funcin

objetivo depende del criterio de la misma, dado que la funcin es maximizar el

signo es negativo. Dado que utilizaremos el Mtodo Simplex y no un software

para la resolucin del modelo es necesario que M adquiera valor, en este caso

ser "-10000" un nmero bastante grande en el problema.

Las iteraciones que utiliza el Mtodo Simplex son las siguientes:

Podemos observar que todos los Cj - Zj son menores o iguales a 0, por ende

hemos llegado a la solucin ptima del problema, sin embargo recordemos que

la funcin objetivo fue alterada en su signo al principio, por ende se hace

necesario regresarle su signo original a Zj y a la fila Cj - Zj.

(-Z) max = -3310 * (-1)

Zmax = 3310

Podemos cotejar con la funcin objetivo del modelo primal y encontraremos

que hallamos el mismo resultado.

Ahora se hace necesario interpretar los resultados de la tabla dual respecto al

modelo primal, y esta interpretacin se realiza siguiendo los siguientes

principios.

La interpretacin del tabulado final del modelo dual es la siguiente:

TEOREMAS DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIN LINEAL

1. Si el modelo primal o dual tiene solucin ptima finita entonces su

respectivo dual o primal tendrn solucin ptima finita.

2. Si el modelo primal o dual tiene solucin ptima no acotada, entonces su

respectivo dual o primal no tendrn solucin, ser un modelo infactible.

3. Si el modelo primal o dual no tiene solucin entonces su respectivo dual

o primal no tendrn solucin.

4. Sea "A" un modelo primal cuyo modelo dual es "B", el modelo dual de

"B" es igual a "A", es decir "El modelo dual de un dual es un modelo

primal"