Trabajo Aletas

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2014 Facultad de Ingenieria Escuela Academico Profesional de Ingeniería --- Transferencia de Color --- “Análisis de Aletas de Sección Transversal Variable” Alumno: Edgard Freddy Polo García Profesor: Ing. Eli Guayan H. Ciclo: VII

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2014

Facultad de IngenieriaEscuela Academico Profesional de Ingeniería Mecánica

--- Transferencia de Color --- “Análisis de Aletas de Sección Transversal

Variable”

Alumno:

Edgard Freddy Polo García

Profesor:

Ing. Eli Guayan H.

Ciclo:

VII

Page 2: Trabajo Aletas

Tb

y=cx1/2

w

2b

T∞h

x

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOEscuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica

Aletas De Sección Transversal Variable:

1. Aleta A Una aleta de sección transversal variable, dada por la función y=C x1 /2 , donde y

representa la mitad del espesor de la aleta en función de x, y C es una constante. Además, es una aleta esbelta, talque que el ancho w es mucho más grande que el espesor de esta. Para el valor de x igual a L (en la base de la aleta) se tiene que la temperatura es Tb, y el espesor de la aleta es 2b. Determinar la solución a la ecuación diferencial de la ateta, y obtener la distribución de temperaturas y el calor disipado por la aleta.

Hipótesis:

- Material homogéneo, isotrópico y opaco.- Propiedades físicas constantes y uniformes en toda la aleta.- Flujo de calor unidimensional (Dirección x). - Sin fuentes internas de calor.- Estado estable.- T∞> T(x), tal que T∞ es la temperatura del fluido que rodea a la aleta es

constante sobre toda la aleta, y T(x) es la temperatura es la aleta. - La temperatura en la base de la aleta es uniforme.- Dado que w>>2b, el perímetro de la aleta es aproximadamente 2w.

Transferencia de Calor2

y

Figura 1 aleta recta de sección transversal variable

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Desarrollo:

Entonces, la ecuación diferencial de la aleta:

d2Td x2 + 1

Ax.d A x

dx. dTdx

− h . PK Ax

(T ( x)−T ∞ )=0(1)

Donde:

h: es coeficiente de transferencia de calor por convección.

P=2w , Ax=2Cw √x

d Ax

dx=Cw

√ x

Y realizando un cambio de variable (θ=T (x )−T ∞), tenemos:

d2θd x2 +

12 x

. dθdx

− hKC √ x

.θ=0

Remplazando m2= hKC ,

d2θd x2 +

12 x

. dθdx

− m2

√ x. θ=0 (2)

No tiene la forma de la ecuación de Bessel modificada, pero utilizando un método de solución, para obtener la ecuación deseada.

*Ecuaciones Reducibles a Ecuación de Bessel:

Muchas ecuaciones que se encuentran en la práctica son resolubles en términos de la funciones de Bessel aunque no tienen, en primera instancia, la forma de la ecuación de Bessel (x2y’’ + xy’ + (x2 - v2) y = 0). Para identificar muchas de estas ecuaciones, el resultado siguiente es especialmente útil:

ddx (xa dy

dx )+b xc y=0

Se reduce a la ecuación de Bessel

t 2 d2ud t2 +t du

dt+(t 2−v2 )u=0

Mediante el cambio

t=α √b x1α

u=x−v/α y

Donde

Transferencia de Calor3

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α= 2c−a+2

v= 1−ac−a+2

Es decir, la solución vendría dada por

y ( x )=xvα u(α √b x

1α )

y ( x )=xvα [AJ v (α √b x

1α )+BY v (α √b x

1α )]

Si b<0, el argumento de u seria un imaginario. En este caso, la solución u(t) vendría dada como combinación de las funciones de Bessel modificadas, de modo que la solución sería:

y ( x )=xvα [A I v (α √b x

1α )+B K v (α √b x

1α )]

*Extraído de: Métodos Matemáticos Avanzados Para Científicos e Ingenieros/ Santos Bravo Yuste

Entonces, para nuestro caso es:

d2θd x2 +

12 x

. dθdx

− m2

√ x.θ=0

Multiplicando a todo por √ x, tenemos:

√ x d2θd x2 +

12√ x

. dθdx

−m2 .θ= ddx (√x . dθdx )−m2 .θ=0

Ahora que tiene la forma de ecuación reducible a ecuación de Bessel, identificamos las constantes:

a=12, b=−m2 , c=0

Entonces:

v=13, α=4

3

Entonces la solución es:

θ=x14 [C1 I 1

3( 4

3m x

34)+C 2K 1

3( 43m x

34)](3)

Transferencia de Calor4

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**Esta solución es obtenida utilizando el método de transformación dado en el libro: Métodos Matemáticos Avanzados Para Científicos e Ingenieros. **

Ahora utilizamos las condiciones de frontera en la ecuación (3):

a) Para x=L, entonces T=Tb

Realizando el cambio de variable θ=Tb−T ∞=θo, y remplazando en (3) tenemos:

θo=L14 [C1 I 1

3( 4

3mL

34 )+C2 K 1

3( 4

3mL

34 )](4)

b) Para x=0, entonces dTdx

=dθdx

=0. Para esta aleta su extremo se encuentra

térmicamente aislado, porque las pérdidas de calor son muy pequeñas o despreciables ya que tiene muy poca área de salida (Aleta Caso 3).Derivando (3) tenemos:

dθdx

=0= ddx (x 1

4 [C1 I 13( 4

3mx

34 )+C2K 1

3( 4

3mx

34 )])

0= ddx (x 1

4 C1 I 13( 4

3mx

34 ))+ d

dx ( x 14C2K 1

3( 43mx

34))

*Propiedades de La Función De Bessel:

Las propiedades relacionadas con la función de Bessel son

ddx

I n (axb )=12ab xb−1¿

ddx

Kn (a xb )=12ab xb−1 ¿

Entonces:

0=14x−3/4C1 I 1

3( 43m x

34)+ 2

3C1m(I−2

3( 4

3m x

34)+ I 4

3( 43m x

34))+ 1

4x−3 /4C2K 1

3(43mx

34 )−2

3C2m(K−2

3( 4

3mx

34 )+K 4

3( 4

3mx

34 ))

Siendo x=0, tenemos:

0=23C1m (I −2

3

(0 )+ I 43

(0 ))−23C2m(K−2

3

(0 )+K 43

(0 ))Pero de la grafica,

Transferencia de Calor5

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Notamos que la función Kv(0) tiende a infinito, pero eso no es físicamente posible, ya que las temperaturas con magnitudes finitas, entonces C2=0

Entonces, la expresión (3) queda dada:

θ=x14 [C1 I 1

3( 4

3m x

34)](5)

Entonces la distribución de temperaturas es:

θ=θo .

x14 [I 1

3( 4

3mx

34 )]

L14 [I 1

3( 4

3mL

34 )]

(6)

Que gráficamente, la noción física de cómo va cambiando la temperatura conforme aumenta el valor de x (mientras más se acerca a la base de la aleta).

Ahora, para el flujo de calor, conocemos:

Transferencia de Calor6

Figura 2 comportamiento de las funciones Bessel (Iv, Kv)

Figura 3 grafica no a escala θvs x

θ

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Q̇=−kA dTdx

Pero para nuestro caso el flujo de calor sigue la dirección negativa de x, por lo cual queda:

Q̇=kA dθdx

Entonces,

Q̇=2kCw √ xθo .

14x−3 /4 I 1

3( 43mx

34 )+ 2

3m(I−2

3( 43mx

34 )+ I 4

3( 4

3m x

34))

L14 [ I 1

3( 43m L

34 )]

(7)

Mientras que la eficiencia de la aleta es:

ϵ= Q̇hAθ

ϵ=kC √x θo

bhθ.

14x−3/ 4 I 1

3( 4

3m x

34)+ 2

3m(I −2

3( 43m x

34)+ I 4

3( 4

3mx

34))

L14 [ I 1

3( 4

3mL

34 )]

(8)

Comentario:

En este caso, la distribución de temperaturas pudo ser modelada mediante las ecuaciones de Bessel, aunque de orden fraccionario, lo cual necesito un estudio del comportamiento de estas funciones.

Al momento de solucionar, se utilizo la implicación física de que la temperatura es un valor finito, por lo cual el valor de la constante C2, necesariamente tenía que ser cero, para cumplir con este hecho real.

Además, la grafica de θvs x, nos da una idea de cómo va cambiando la temperatura en la aleta dependiendo de su posición.

Transferencia de Calor7

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w

y=cx2

x

y

T∞h

Tb

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2. Aleta B Una aleta de sección transversal variable, dada por la función y=C x2 , donde y

representa la mitad del espesor de la aleta en función de x, y C es una constante. Además, es una aleta esbelta, talque que el ancho w es mucho más grande que el espesor de esta. Para el valor de x igual a L (en la base de la aleta) se tiene que la temperatura es Tb, y el espesor de la aleta es 2b. Determinar la solución a la ecuación diferencial de la ateta, y obtener la distribución de temperaturas y el calor disipado por la aleta.

Hipótesis:

- Material homogéneo, isotrópico y opaco.- Propiedades físicas constantes y uniformes en toda la aleta.- Flujo de calor unidimensional (Dirección x). - Sin fuentes internas de calor.- Estado estable.

Transferencia de Calor8

2b

Figura 4 aleta recta de sección transversal variable

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- T∞> T(x), tal que T∞ es la temperatura del fluido que rodea a la aleta es constante sobre toda la aleta, y T(x) es la temperatura es la aleta.

- La temperatura en la base de la aleta es uniforme.- Dado que w>>2b, el perímetro de la aleta es aproximadamente 2w.

Desarrollo:

Entonces, la ecuación diferencial de la aleta:

d2Td x2 + 1

Ax.d A x

dx. dTdx

− h . PK Ax

(T ( x)−T ∞ )=0(1)

Donde:

h: es coeficiente de transferencia de calor por convección.

P=2w , A x=2Cw x2

d Ax

dx=4Cwx

Y realizando un cambio de variable (θ=T (x )−T∞), tenemos:

d2θd x2 +

2x. dθdx

− hKC x2 . θ=0(9)

Multiplicando a toda la expresión porx2, tenemos:

x2. d2θ

d x2 +2 x . dθdx

− hKC

.θ=0

Remplazando m2= hKC ,

x2 . d2θ

d x2 +2 x . dθdx

−m2 .θ=0

Se puede escribir de la forma:

x2 . θ' '+2x .θ '−m2 . θ=0(10)

θ ' '+2 θ'x

−m2

x2 .θ=0

Para que la derivada tenga esa forma, la forma de la función teta de x, puede tener la forma:

θ=Cer ln x=C xr

Transferencia de Calor9

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θ'= rx.C er ln x=rC xr−1

θ' '=−rx2 .C er ln x+ r2

x2 .C er ln x=r (r−1)C xr−2

Entonces, remplazando en (10) tenemos:

x2 . r (r−1 )C xr−2+2 x . rC xr−1−m2 .C xr=0

x2 .(r¿¿2−r )C xr

x2 +2 x .rC xr

x−m2 .C xr=0¿

Simplificando

(r¿¿2−r )+2r−m2=r2+r−m2=0¿

Como vemos tiene la forma de una ecuación cuadrática, entonces resolvemos utilizando la ecuación general:

r=−b±√b2−4 ac2a

Donde a=1 , b=1 , c=−m2

Tenemos:

r=−1±√1+4m2

2

Entonces:

r1=12(√1+4m2−1)

r2=−12

(√1+4m2+1)

Entonces, la solución es:

θ=C1 x12 (√1+ 4m2−1)

+C2 x−12 (√1+4 m2+1)

(11)

Utilizando las condiciones de frontera tenemos:

a) Para x=L, entonces T=Tb

Realizando el cambio de variable θ=Tb−T∞=θo, y remplazando en (11) tenemos:

θo=C1 L12 (√1+4m2−1)

+C2L−12 (√1+4m2+ 1)

(12)

Transferencia de Calor10

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b) Para x=0, entonces dTdx

=dθdx

=0. Para esta aleta su extremo se encuentra

térmicamente aislado, porque las pérdidas de calor son muy pequeñas o despreciables ya que tiene muy poca área de salida (Aleta Caso 3).Derivando (11) tenemos:

dθdx

=0=12(√1+4 m2−1)C1 x

12

(√1+4m2−1 )−1 −12

(√1+4m2+1)C2 x−12

(√1+4 m2+1)−1

(√1+4 m2−1)C1 x12

(√1+4m2−1 )−1=√1+4m2+1¿C2 x ¿

−12

(√1+ 4m2+1 )−1

En este caso, tenemos en el lado derecho x con exponente negativo, que al ser x cero, esto sería muy grande, pero físicamente no sería posible, tener una temperatura tan grande, por lo cual es necesario que C2=0 .

Finalmente, la distribución de temperaturas es, con m2= hKC :

θ=θo .( xL )12 (√1+4m 2−1 )

(13)

Que gráficamente, la noción física de cómo va cambiando la temperatura conforme aumenta el valor de x (mientras más se acerca a la base de la aleta).

Ahora, para el flujo de calor, conocemos:

Q̇=−kA dTdx

Pero para nuestro caso el flujo de calor sigue la dirección negativa de x, por lo cual queda:

Transferencia de Calor11

θ

Figura 5 grafica no a escala θvs x

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Q̇=kA dθdx

Q̇=2kCw x2 . θo .

12(√1+4m2−1)x

12

(√1+ 4m2−1)−1

L12 (√1+4m 2−1 )

(14)

En la grafica que relaciona Q̇ con el valor de x, nos muestra claramente que cuanto más se acerca al extremo de la aleta (área mínima) la transferencia tiende a cero, y que alcanza su máximo valor en la base.

Mientras que la eficiencia está dada por:

ϵ= Q̇hAθ

ϵ=kC x2 . θo

bhθ.

14x−3/4 I 1

3( 4

3m x

34)+ 2

3m(I−2

3( 43mx

34 )+ I 4

3( 4

3m x

34))

L14 [ I 1

3( 4

3mL

34 )]

(15)

Comentario:

En este caso, la distribución de temperaturas pudo ser modelada una ecuación con dos raíces, obtenidas utilizando la ecuación general, para solucionar la ecuación de segundo grado.

Al momento de solucionar, se utilizo la implicación física de que la temperatura es un valor finito, por lo cual el valor de la constante C2, necesariamente tenía que ser cero, para no tener una incoherencia con la realidad.

Transferencia de Calor12

Figura 6 grafica no a escala Q̇ vs x

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Además de las graficas, podemos tener una idea física de cómo va cambiando la temperatura de punto a punto en la aleta, según se va acercando a la base, y también como es el flujo de calor desde el extremo con área transversal mínima, hasta el área máxima, que equivale a la base de la aleta.

Transferencia de Calor13