APORTES DE MATEMTICOS DELSIGLO XX: KURT GDEL Y MARJORIE LEE BROWNE Mauricio Arturo Miranda MejaJohn Gener Vega PalmaFabin Tinoco AgamezLuis Carlos Castro Corroistoria de las Matemticas!" #emestre$ni%ersidad del AtlnticoFacultad de ciencias de la educaci&n Licenciatura en 'ducaci&n (sica con )n*asis enMatemticas(arran+uilla2011APORTES DE MATEMTICOS DELSIGLO XX: KURT GDEL Y MARJORIE LEE BROWNE INTRODUCCIN o, en da- la matemtica constitu,e una de las ciencias ms im.ortantes .ara elhombre gracias a su gran a.licabilidad en di*erentes medios o cam.os sociales-cotidianos , cient*icos +ue han contribuido a la *ormaci&n de un ente msintelectual- *ormador de su .ro.io a.rendizaje , conocimiento- esto gracias a losa.ortes +ue miles de matemticos- a tra%/s de la historia- a tra%/s de cada siglo-le han dado una estructura te&rica com.leja no solo a las matemticas sino a lasramas+uesedes.rendendeella0Aritm/tica-Algebra- Geometra- Calculo- 123Pero a .esar de esto- esta ciencia no ha llegado a su lmite conce.tual- ,a +ueincluso- en el siglo 44- la era de la modernidad tecnol&gica- miles de matemticossiguena.ortandonue%asideas,descubrimientos- enri+ueciendote&ricamenteesta rea de la ciencia llamada MAT'MAT5CA#3Por ello en este trabajo destacaremos los a.ortes de 6 matemticos del siglo 44-.or una .arte describiremos los a.orte del nacido en re.7blica checa Kurt Gdel, un homenaje a la primera matemtica de raza negra Marjorie Lee Bro!e KURT GD!" Bio"ra#$a8urt Friedrich G9del naci& el 6! de abril de :;nn la ca.ital de la Mora%iaAustroh7ngara0actualmente (rno-?e.7blica Checa2 en una *amilia /tnico@germana acomodada- com.uesta .or ?udol* August G9del- hombre de negocios ,administrador de una *brica de teAtiles- , Marianne G9del0nacida andschuh2-una mujer educada, culta +uien .ermaneci&cercana a G9del durante toda su%ida3G9del tu%o un di%erso ti.os de nacionalidadesB se con%irti& automticamente enchecoslo%aco a la edad de :6 aCos tras la cada del 5m.erio austroh7ngaro al *inalde la Primera Guerra Mundial3 Posteriormente Decidi& con%ertirse en ciudadanoaustraco a la edad de 6E aCos3 Cuando la Alemania nazi aneAion& Austria G9delautomticamente se con%irti& en ciudadanoalemna la edad de E6 aCos3Des.u/s de la #egunda Guerra Mundial- a la edad de F6 aCos- se con%irti& enciudadano americano3'n su *amilia- al jo%en 8urt lo llamaban#err $arum %&r' ()r *u+,debido a suinsaciable curiosidad3 La 7nica eAce.ci&n a una in*ancia sin incidentes *ue el +ue a.artir de los cuatro aCos 8urt su*ri& +uebrantos de salud , *iebres reumticas- delas cuales se recu.er& com.letamente- .ero +ued& con%encido .or el resto de su%ida de +ue su coraz&n haba su*rido un daCo .ermanente3Asisti& a la escuela .rimaria , secundaria en idioma alemn en (rno de la cual segradu& con honores en :;6E , sobresali& en matemticas- idiomas , religi&n3 'nel transcurso de su adolescencia 8urt estudi&- entre otras materias- la Teora deloscoloresdeGoethe- crticasde5saacGeHton,laobrade'mmanuel 8ant-obras +ue lo marcaron en su *utura labor .ro*esionalB matemtico3A la edad de :! aCos 8urt entrara en la Uni-er.idad de /iena en donde .ara eseentonces dominaba las matemticas a ni%el uni%ersitario , aun+ue en un .rinci.io.retendi& estudiar *sica te&rica- tu%o un es.ecial inclinaci&n .or las matemticas3Durante este .erodo ado.t& ideas delrea%i&'o 'a(e')(i*o+le,& losMe(a,-.&i&*-e A!#a!"&"r/!0e 0er Na(1ri&&e!&*-a#(231!0a'e!(o&'e(a#$&i*o&0e%a*ie!*ia!a(1ra%4de8ant- ,aun+ue/l mismono*ueun.ositi%ista l&gico.artici.& en reuniones delCrculo de Vienacon 0)ritz &c1lic23#an. #a1n4 Rud)l5 Carnap3 .iend) e.t). d). 6ltim). de *uiene. aprendi7l7gica'Des.u/s estudi& tambi/n la teora de los n7meros- , *ue elasistir a unseminariodirigido .or#chlicI- en elcual seestudiaba ellibro5ntroducci&n a lal&gica matemtica de (ertrand ?ussell- lo +ue lo moti%& a interesarse .or la l&gicamatemtica- disci.lina en donde a.orto las grandes .ensamientos e ideas +ue ho,en da constitu,en las bases solidas de esta rea- .or ello a continuaci&n una %ez%istoesta.e+ueCabiogra*a- mostraremoslosgrandesa.ortes+uedio8urtG9delen las ciencias matemticas- sobre todo en la talutilizada , mencionadaL&gica Ma(e')(i*aAPORTES SIGNI3ICATI5OS A LAS MATEMTICAS6Como mencionamos anteriormente 8urt G9del es ?econocido como un) de l).m. imp)rtante. l7gic). de t)d). l). tiemp).- el trabajo de G9del ha tenidoun im.acto inmenso en el .ensamiento cient*ico , *ilos&*ico delsiglo 443 G9delintent emplear la lgica y la teora de conjuntos para comprender losfundamentosdelamatemtica3A8urt G9del seleconocemejor.orsusdoste)rema. de la inc)mpletitud- .ublicados en :;E: a los 6J aCos de edad- un aCodes.u/s de *inalizar su doctorado en la $ni%ersidad de Viena3 Teore'a De I!*o',%e(i(10 'l msc/lebredesusteoremasdelaincom.letitudestablece+ue.aratodosistema aAiomticorecursi%oauto@consistentelo su*icientemente .oderoso como.aradescribir laaritm/ticadelosn7merosnaturales0laaritm/ticadePeano2-eAisten .ro.osiciones %erdaderas sobre los naturales +ue no .ueden demostrarsea.artir delosaAiomas3 Parademostrar esteteoremadesarroll&unat/cnicadenominada ahora como !1'era*i7! 0e G80e%-el cual c)di5ica e8pre.i)ne.5)rmale.c)m)n6mer).naturale.'Dichanumeraci&nG9del semostraraacontinuaci&n .ara seguir obser%ando los a.ortes +ue este matemtico le o*reci&no solo a la matemtica sino a sus *uturos in%estigadores de dicha rama sino atoda la humanidad3 N1'era*i7! 0e G80e% 'n te)r9a de l). n6mer). un n7mero de G9del es una *unci&n +ue asigna a cadasmbolo , *&rmula de un lenguaje *ormal un n7mero 7nico- denominado N6mer)de Gdel %Gdel Num:er c)m) .e c)n)ce uni-er.almente,3 'lconce.to *ueutilizado.or .rimera%ez.or8urt G9del.aralademostraci&ndelteoremade5ncom.letitud de G9del3La enumeraci&n de un conjunto de *unciones com.utables se denomina tambi/nenumeraci&ndeG9del oenumeraci&ne*ecti%a3 $naenumeraci&ndeG9del .epuede interpretar c)m) un lengua;e de pr)gramaci7n d)nde l). n6mer). deGdel e.tn a.ignad). a cada 5unci7n c)mputa:le igual *ue l). pr)grama.*ue clcul). l). -al)re. para la 5unci7n en e.te lengua;e de pr)gramaci7n3e.decir3 *ueacadat+rmin)).9m:)l)lec)rre.p)nde un)4.)l)unlengua;e determinad)'De#i!i*i7! Ma(e')(i*aDado un conjunto enumeradle #- una enumeraci&n de G9del es una *unci&nDonde * , la in%ersa de * son *unciones com.utables3 Los .asos .ara construir unasecuencia de la enumeraci&n de G9del es la siguienteB(a.)1< Vemos en la tabla +ue a cada n7mero natural se le asigna un determinado smboloo lenguaje 7nico +ue lo hace di*erente a los dems- esto es lo +ue G9del diseCo.ara demostrar su teorema de 5ncom.letitud3(a.)2< A cada enunciado aritm/tico se le asigna un n7mero de G9del 7nico utilizando series de n7meros .rimos3 &e :a.a :.icamente en el .iguiente c7dig)< 1er prim) carcter = 2d) prim) carcter = >er prim) carcter?'Por ejem.lo el enunciado83 ( %8, se con%ierte en99 : ;

A>D>01EAEC12A00''s im.ortante %er +ue- .or el teorema *undamental de la aritm/tica- este n7mero tan grande se .uede descom.oner en sus *actores .rimos- , .or tanto se .uede con%ertir un n7mero de G9del en la secuencia de caracteres original3(a.)>