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TRIGONOMETRIA
Matemática II
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Relações Trigonométricas no Triângulo
Retângulo
)θHipotenusa
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cotangente de θ
secante de θ
cossecante de θ
tangente de θ
cosseno de θ
seno de θ
Relação no Triângulo
Retângulo
Ente
Trigonométrico
HI
COsen
HI
CAcos
CO
HI
sen
1seccos
CA
COtg
CA
HI
cos
1sec
CO
CA
tg
1gcot
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Teorema Fundamental da Trigonometria
1cossen 22
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Demonstração ...
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)θ1 cos
sen
1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ·
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)θcos
sen
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1
)θ
sen θ
cos θ
1
1
1
1cos22 sen
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Relações Trigonométricas
1θcosθsen 22
θsec1θtg 22
θcosecθcotg1 22
cosgθ
sent
osc
1secθ
sentg
cos1cotgθ
sen
1cosecθ
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Fórmulas para ângulo duplo
n bsen a . se b a . ba coscoscos
asen b . bsen a . basen cos cos
btg a . tg
tg btg abatg
1
asen-aa 22 cos2cos
a.sen aasen cos22
atg
tgaatg
21
22
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Vamos pensar . . .
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Que tal fazermos um teste para verificação do que foi
apresentado?
Observe a figura:
c
b
hip
.o.csen
1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen
vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
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2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o cos vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
a
hip
.a.ccos
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3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
a
b
.a.c
.o.ctg
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4) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a cotg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c
b
a
.o.c
.a.cgcot
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5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg
vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1
1.o.c
.a.c.
.a.c
.o.c
gcot.tg
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6) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2 + cos2 vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
d) 1
e) (c2 + b2) / 9a2
Pelo teorema fundamental da
trigonometria, temos que:
sen2 α + cos2 α = 1
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Voltando
à parte teórica
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Arcos Notáveis
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg
90°
180°
270°
0°/360°
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Seno, Cosseno e Tangente
)θ cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ
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Secante, Cossecante e Cotangente
)θ0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ
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arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
rad 0 6
4
3
2
3
2 2
seno 0 2
1
2
2
2
3 1 0 - 1 0
cosseno 1 2
3
2
2
2
1 0 - 1 0 1
tangente
cos
sen
0 3
3 1 3 - - - 0 - - - 0
Tabela de Entes Trigonométricos ...
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Localizada em Cingapura, ela é uma das maiores
rodas-gigantes do mundo
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Gráficos das funções trigonométricas
y = sen x
x
•
•
•
•
•
•
•
•
• •0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
• 90°
1
-1
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y = cos x
x•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
0°
540°
720°450° 630°360°270°
180°-180°
-90° 90°
1
-1
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y = tg x
x• • • • • • • • • 0° 360°
-90° 90°
180°
270° 450°
540°
630°
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Aplicação de função trigonométrica
Exemplo2) As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos,
simplesmente, pela função seno. Suponhamos que, para determinado porto, a
variação da altura (h) da lâmina d’água em função das horas (t) do dia seja
dada pela função trigonométrica h(t) = 10 + 4sen(t./12 ). Considerando a
equação acima, o tempo que um navio com altura h = 12m pode permanecer
no porto é de:
(A) Entre 3 e 11 horas. (B) Entre 4 e 10 horas. (C) Entre 2 e 10 horas. (D) Entre 1 e 2 horas.(E) Entre 10 e 11 horas.