topografía subterránea

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TOPOGRAFIA SUBTERRANEA Trabajos topográficos propios de la explotación minera Levantamientos Subterráneos

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topografia subterranea se ve mas en si lo relacionado a planimetria no es mucho pero ya estare publicando material nuevo

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TOPOGRAFIASUBTERRANEA

Trabajos topográficos propios de la explotación minera

Levantamientos Subterráneos

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Podríamos definir en el sentido más estricto como mina el

criadero o lugar abundante en algún mineral; sin embargo, en general se llama mina al conjunto de pozos y galerías destinados a la explotación de un mineral o de hulla.

Normalmente la comunicación con la superficie se realiza por medio de pozos, aunque en la actualidad se tienden a construir rampas equipadas con cintas transportadoras que llevan el material directamente hasta la fábrica, situada en la superficie, y que también permiten el tránsito de vehículos.

El mineral también se puede almacenar en unas grandes cavernas que en los momentos de alta producción o de avería del sistema de extracción al exterior actúan de silos, a la espera de su traslado

Minas

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Para la perfecta explotación de una mina subterránea, es decir,

para conseguir productividad y seguridad, es necesario un minucioso estudio de la red formada por los pozos, las galerías, las rampas, las chimeneas y los coladeros (es lo que se llama la planificación de la mina).

En lo que se refiere a los trabajos de excavación, se diferencian los trabajos de acceso al yacimiento y de preparación de los cuarteles.

Hablando ya de la explotación del mineral, se distinguen dos grandes formas de

las explotaciones por relleno, en las que los vacíos de la parte trasera de la excavación se rellenan con materiales estériles, descendidos desde la superficie o producidos por la excavación de galerías en roca; y las explotaciones por hundimiento, en las que se hace derrumbar intencionadamente los terrenos de encima de los huecos que quedan tapados con estos derribos.

Explotación subterránea

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El hundimiento es mucho más económico que

el relleno, ya que evita los gastos de transporte y la colocación del material estéril. El relleno es conveniente para utilizar los residuos estériles, para evitar subir a la superficie dicho material, y por último cuando el hundimiento sea peligroso (capa de carbón muy densa).

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Según la naturaleza y disposición de los

yacimientos se utilizan diversos métodos. Atendiendo a la pendiente o inclinación de la

veta los métodos varían desde el caso de un yacimiento alzado o en pila donde se utiliza la gravedad para hacer descender el mineral a la galería de evacuación, situada en la base del bloque, hasta los que a continuación se describen que son los más corrientes y que se aplican a yacimientos de pendiente moderada.

Métodos de explotación (abatimiento)

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Explotación por cortes largos

Un largo corte forma un frente de ataque al yacimiento de 100 a 300 m de longitud .

Este largo pasillo queda limitado por el macizo virgen a un lado y al otro por pilares de sostenimiento; estos pilares pueden ser sustituidos por puntales metálicos colocados en líneas paralelas al frente, y sostienen tapas metálicas pegadas al techo asegurando su fortificación lo que permite dejar al descubierto una superficie importante.

Entre los puntales y el frente queda paso suficiente para la maquinaria de arranque, siendo esta fortificación progresiva a base de desplazamientos hidráulicos.

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Explotación por cámaras y pilares

A partir de una galería principal se trazan, en una dirección sensiblemente perpendicular, unas anchas galerías (de 4 a 6 m) paralelas y en toda la longitud del bloque a abatir, o sea unos cien metros, estas galerías se llaman cámaras y los espacios de mineral entre ellas pilares; las cámaras se comunican entre sí por unos recortes espaciados realizados en los pilares.

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Trabajos topográficos

propios de la explotación minera

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En el interior de la mina hay que tomar los datos

topográficos necesarios para actualizar los planos de labores. Estos trabajos se denominan toma de avances y se realizan periódicamente, generalmente cada mes.

Convendrá informarse en la oficina del volumen excavado desde la última toma

Una vez aquí tendremos que tomar los datos necesarios para actualizar los planos de labores

En el último punto del itinerario utilizado en la toma de avances es conveniente dejar una placa refractante y la fecha en la que se realizó el trabajo, ya que se facilita enormemente la localización del punto.

Toma de avances

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Es la realización de una labor subterránea

proyectada para comunicar dos labores existentes. Puede ser en planta una recta, una curva o la combinación de ambas; en alzado podrá ser horizontal (galería), inclinada (trancada o rampa si es bajando), vertical (pozo) o mixta (galería-trancada, galería-pozo, pozo-trancada).

Pueden comenzar los trabajos de perforación por uno o los dos puntos extremos de la misma, y también por puntos intermedios.

Rompimientos mineros

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Se conoce por intrusión la acción de que un explotador efectúe

labores mineras fuera del perímetro de sus concesiones. En el caso de que la intrusión de las labores sea en terrenos de

registros mineros otorgados a otros concesionarios, generalmente no se indemniza a éstos económicamente sino que se les autoriza a extraer un tonelaje aproximadamente igual al que se explotó indebidamente en una zona previamente acordada.

Si no se llega a un acuerdo habría que calcular las toneladas de mineral vendible extraído indebidamente para indemnizar económicamente al concesionario perjudicado, y para ello el responsable de la topografía deberá realizar los planos, tanto horizontales como verticales, correspondientes a la intrusión minera, y así poder disponer de datos suficientes para calcular el volumen extraído.

Intrusiones mineras

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Se hablará de los daños ocasionados en la

superficie del terreno por la explotación subterránea, así como también del cálculo del macizo de protección (zona que se deja sin arrancar), necesario para evitar estos daños.

El conjunto de estos desprendimientos forman una figura irregular que podemos aproximar a la de la pirámide de la cual conocemos la base y el volumen y, por lo tanto, podemos calcular un valor de la altura "H".

Hundimientos y macizos de protección

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Si las labores subterráneas se encuentran a una profundidad inferior a "H" el hundimiento se declarará en la superficie de una forma brusca (Figura 8).

Por el contrario, si las labores se encuentran a profundidad superior a "H" el hundimiento se manifestará en forma de artesa (Figura 9).

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La formación de la depresión en el terreno es tanto más rápida y brusca cuanto más se acerca "H" a la distancia de la labor a la superficie.

Una vez el hundimiento aflora en la superficie se inicia una segunda fase y la artesa gana paulatinamente en profundidad y extensión, hasta que se restablece el equilibrio del terreno dislocado.

Esta fase es de larga duración y provoca grandes depresiones en el terreno que afectan a los edificios y desecan los campos. Las zonas más peligrosas para la estabilidad de los edificios son los bordes de la artesa, zona donde pierden la verticalidad (no así en la base de la misma).

Las medidas a tomar para evitar éstos daños corresponden a la dirección de la mina. El responsable de la topografía debe fijar el límite de la zona posiblemente afectada por una explotación subterránea, así como delimitar en el interior los macizos de protección de fincas rústicas o urbanas, y también los macizos de protección de algunas labores mineras, como pueden ser los pozos verticales.

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Para efectuar este trabajo se puede utilizar una tabla en la que la única entrada o argumento es el ángulo de inclinación de la capa, que nos da el valor de los ángulos límites del terreno afectado, siendo Á el que forma con la horizontal el límite que parte del punto más alto de la explotación y B el del más bajo (Figura 10).

Se siguen las mismas reglas cuando se aplica esta tabla a los macizos de protección, teniendo en cuenta que debemos considerar en este caso dos explotaciones (la parte más baja de una y la más alta de otra), límites del macizo (Figura 11).

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Para el control de las deformaciones producidas en la superficie se situarán varios puntos perfectamente definidos por sus coordenadas XY, obtenidas por métodos de precisión, y su Z resultante de una nivelación geométrica de precisión. Efectuando observaciones periódicas de estos puntos podremos deducir los desplazamientos en X e Y; y los hundimientos en Z.

“Para finalizar se debe hacer una referencia a la responsabilidad del topógrafo en la realización de todos estos trabajos, que podríamos resumir así: control de la verticalidad en la excavación y revestimiento de los pozos, en la dirección y pendiente de las galerías y rampas, en las complejas estructuras de la explotación, en la toma de avances, en evitar las intrusiones, e incluso en los controles en la superficie afectada por la explotación.”

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La topografía subterránea se realiza en dos campos

de la ingeniería, que son la minería y las obras civiles.

Hay circunstancias en las que es necesaria la realización de un levantamiento topográfico subterráneo como ocurre en las explotaciones mineras, en las que es una obligación legal el mantener al día los planos de las labores, o en la obra civil, en el caso de ampliación o mejora de túneles, ya sean de carreteras, de ferrocarril, de canales, o de Metro y alcantarillado en las grandes ciudades.

Levantamientos Subterráneos

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La falta de luz natural obliga a utilizar aparatos con iluminación interior así como a identificar puntos a observar.

En ocasiones las galerías son estrechas y los aparatos no se podrán estacionar sobre trípode para no obstaculizar el paso de maquinaria y personal.

También suelen ser sinuosas, con lo que el trabajo será lento. Incluso se han ideado aparatos para facilitar este tipo de trabajos.

Otros inconvenientes serán la humedad, los fuertes ruidos cuando hay maquinaria trabajando, o el silencio, la falta de ventilación..., características del trabajo a las que el topógrafo deberá habituarse.

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Todo levantamiento subterráneo debe apoyarse en una

red exterior cuya función es dar coordenadas a todos los puntos de comunicación con el interior así como hacer el levantamiento de los detalles exteriores que se precisen.

La red exterior planimetría constará de una triangulación, o un itinerario de precisión, o ambas cosas a la vez, según sea la extensión de la zona, y se intentará que los puntos de comunicación con el interior coincidan con vértices de la triangulación o el itinerario; en la actualidad, también los sistemas de posicionamiento global (GPS) son perfectamente utilizables para estos trabajos, siendo su mayor ventaja el menor número de puntos a determinar.

Distribución de la planimetría y la altimetría

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La red altimétrica tendrá como objeto dar cota a estos puntos y a todos aquellos que se precisen.

La transmisión del trabajo del exterior al interior será directa, como simple prolongación de las redes tanto planimetrías como altimétricas al interior, en el caso de que la comunicación sea a través de rampas o escaleras o incluso sea por las bocas del túnel.

Por último los trabajos en el interior constarán de un itinerario principal que se apoyará en los puntos transmitidos desde el exterior, unos itinerarios secundarios, para concluir con el levantamiento de los detalles.

La red altimétrica interior dará cota a los vértices de los itinerarios.

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Como ya se ha dicho el objeto de estos trabajos es dar coordenadas (X, Y,

Z) a todos los puntos de comunicación con el interior, y también el levantamiento topográfico de aquellas zonas de interés, como pueden ser en el campo de las explotaciones mineras, las edificaciones existentes en la concesión, las escombreras, las instalaciones de la propia explotación, etc.; en obra civil serán de interés las zonas que puedan verse afectadas por algún proyecto provisional como pueden ser el proyecto de caminos de acceso a la obra, el montaje de una planta de hormigonado, oficinas, almacenes, etc.; o por algún proyecto definitivo (nuevos enlaces, variantes de la antigua carretera o línea férrea o canal...).

Si consideramos que en todo levantamiento se debe conseguir que cualquier punto representado tenga una precisión no inferior al error gráfico, la quinta parte del milímetro a la escala en la que estemos trabajando, nos daremos cuenta que una triangulación o bien un itinerario de precisión es imprescindible. Por ejemplo en trabajos a escala 1:200 en cualquier punto radiado se debe asegurar una precisión de 20/5 cm., es decir de 4 cm.

Trabajos en el exterior

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Triangulación

Se intentará que los vértices de la triangulación estén en las proximidades de los puntos de comunicación con el interior, o mejor aún, que coincidan con dichos puntos.

Seguirá las mismas pautas aplicadas a cualquier triangulación, es decir, que los triángulos sean lo más próximo a equiláteros, y en ningún caso existan ángulos inferiores a 25 g o superiores a 175 g.

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Poligonal

Las estaciones totales y los distanció metros que existen actualmente en el mercado consiguen precisiones milimétricas en la medida de distancias, por lo que se suele sustituir latriangulación por una poligonal de precisión. Esta poligonal debe ser siempre encuadrado, es decir, que parta y que llegue a puntosde coordenadas conocidas, y en ningún caso se debe dejar colgado, volveríamos al punto departida realizando entonces el llamado poligonal cerrada.

0; 0

1897,779952; -1873,369026

2874,32297; -2851,4742593587,012526; -2682,74742

3465,704465; -2110,188027

3368,096543; -1448,122773

2812,347301; -1943,267078

2960,637254; 266,1952256

1241,545689; -1006,616289

0; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-130; 3,41061E-13

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Series1

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Las cotas trigonométricas que se han obtenido con el

cálculo de la triangulación o del itinerario tienen precisión suficiente para dar cota a los puntos radiados en el levantamiento de los detalles exteriores.

Sin embargo será necesaria una nivelación por alturas que dé cota a los puntos de comunicación con el interior y a otros puntos, de los que se partirá cuando haya que realizar trabajos exteriores como el replanteo de rasantes de caminos o de rasantes de carriles, o para dejar cota de precisión en edificaciones o terrenos que se tema que puedan ser afectados por los hundimientos mineros en el caso de explotaciones mineras.

Altimetría

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Cuando la comunicación con el interior sea por las

bocas (extremos) de un túnel o bien por rampas en una explotación minera, la transmisión de los datos del exterior al interior será directa, como simple prolongación de los itinerarios exteriores, tanto planimétricos como altimétricos, al interior.

Pero cuando la comunicación sea a través de pozos, las dificultades serán mayores, debido a la escasa longitud de los tramos a transmitir, obligada por el diámetro de los pozos, y a la gran profundidad de éstos sobre todo en minería (varios centenares de metros).

Trabajos de enlace con el interior

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Consistirá en trasladar al menos dos puntos, uno de los

cuales sea de coordenadas (X, Y) conocidas y defina con el segundo una línea de azimut conocido.

La precisión en la transmisión del punto de coordenadas conocidas dependerá de las necesidades impuestas por el tipo de trabajo a realizar y también del método utilizado.

La transmisión del punto de coordenadas conocidas se suele efectuar dentro de las operaciones de transmisión del azimut

La transmisión de( azimut es la operación más delicada y en la que deben extremarse al máximo las precauciones, un error en el azimut de partida imprime un giro a todo la poligonal, circunstancia posible de subsanar cuando la poligonal vaya encuadrado entre dos puntos conocidos.

Transmisión de la planimetría

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Este defecto puede tener muy graves

consecuencias en el caso de replanteos: si se trata de las galerías de una mina y el error es grande puede conducir a litigios por invadir alguna concesión colindante; si se trata del replanteo de túneles, los cuales se suelen excavar desde las dos bocas para encontrarse en el centro, un error provocaría un encuentro defectuoso o, peor aún, si el error es grande, podría ocurrir que ambos túneles se cruzasen.

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Cuando la transmisión del azimut se realiza

por rampas o pozos inclinados, o como en el caso de túneles, por las bocas, o incluso por escaleras como en el del Metro, esta operación no ofrece grandes dificultades ya que se reduce a la simple prolongación de los itinerarios exteriores al interior

Comunicación directa

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Si la transmisión del acimut al interior de un túnel se

lleva a cabo por pozos intermedios, o si se trata de orientar las labores mineras correspondientes a las diferentes plantas de un pozo vertical, el problema se complica y, según los medios de los que se disponga o de la precisión que se necesite, se le puede dar diferentes soluciones:

a) Por medio de plomadas b) Con taquímetro o teodolito c) Con rayo láser d) Con brújulas o declinatorias e) Por métodos giroscópicos

Comunicación por un pozo

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Por medio de plomadas

Son plomadas de gran peso que penden de un hilo de acero o de invar de 1 o 2 mm . de diámetro y de hasta 1.000 m de longitud.

Del extremo del hilo pende una plomada cuya misión es la de tensar dicho hilo.

El peso de la plomada es proporcional a la profundidad del pozo, oscilando entre 15 Kg para profundidades de 100 m y 100 Kg para profundidades de 1.000 m

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Para ello desde el punto V, punto de la red exterior más próximo a la boca del pozo, replanteamos la alineación VAB, siendo A y B dos polea que alineamos desde V y por las que se hará pasar el hilo de las plomadas (Figura 13). Desde V visaremos a otro punto de la red exterior y mediremos el ángulo en V por lo que la alineación VAB será de acimut conocido. También mediremos la distancia VA, con lo que obtendremos las coordenadas de A.

Los hilos de las plomadas que pasan a través de las poleas materializarán el plano vertical de acimut conocido, una vez que consigamos que cese la oscilación y alcancen su posición de equilibrio.

Existen diversos métodos para una vez materializado el plano vertical de acimut conocido por medio de las plomadas en el fondo del pozo, trasladarlo al primer eje de nuestro itinerario Interior.

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Colocando el teodolito en la alineación por tanteos

Como se intuye por el título, colocándose el aparatista en línea con las plomadas, se estaciona el aparato en un punto aproximado. A continuación se visa a los hilos de las plomadas, observando cómo al enfocar a uno queda desenfocado el otro; es lo más probable que en un primer intento no se vean los hilos de las dos plomadas alineados, por lo tanto debe moverse el teodolito desplazándolo sobre la plataforma nivelante.

Esta operación se repetirá tantas veces como sea necesario hasta conseguirlo.

Alineándose

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Calculando el desplazamiento necesario para conseguir la

alineación (Figura 14) Sean P y P' las dos plomadas y M' la posición del taquímetro en una primera aproximación. Si M es la posición correcta de éste, y P" es la prolongación de la alineación M' P a la altura de P', por triángulos semejantes, podemos decir que: siendo conocidas las distancias PP' y la PM' por haberlas medido con anterioridad, teniendo un extremo cuidado en, al hacerlo, no tocar las plomadas, y P' P" una distancia estimada al compararla con el grosor conocido del hilo de la plomada 'que debe aparecer en el campo del anteojo.

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Midiendo el ángulo de error en M

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Conocido ahora el ángulo x, se deduce fácilmente el acimut de la alineación MM'.

-Observando tres plomadas alineadas

Las tres plomadas deberán estar en el mismo plano vertical y las de los extremos equidistantes de la central.

La dirección que definen debe ser aproximadamente perpendicular al eje longitudinal del túnel o de la galería de acceso al pozo vertical (Figura 17).

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Este método sólo es aplicable al caso de pozos

poco profundos y de gran diámetro. Por lo que respecta a la profundidad podemos

resumir diciendo que hasta 100 m de profundidad las visuales ópticas son buenas, entre 100 y 200 m empiezan a ser regulares, y a partir de esta profundidad se producen altas vibraciones y mala calidad en las imágenes.

Uso del teodolito o taquímetro

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Estacionando el teodolito en el

exterior Siendo conocido el punto de

estación y visando a otro también conocido, se define la alineación que queremos trasladar al interior.

Cabeceando el anteojo en dirección al nadir, bajo las indicaciones del operador, unos ayudantes tienden en el fondo un hilo metálico tenso y cuyos extremos puedan desplazarse, haciéndolo coincidir, en la mayor extensión posible, con el hilo vertical del retículo; en esta posición se señalan unos puntos M y N simétricos con respecto al eje principal del aparato. (Figura 18).

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Estacionando el teodolito en el fondo

También en este caso, el teodolito debe ir equipado con elementos que le permitan efectuar visuales cenitales. Estacionando el teodolito en el interior del pozo, dirigiremos la visual al primer punto de nuestro itinerario interior (P) y después señalaremos por tanteos en la superficie los puntos M y N en el plano vertical que contenga a la visual a P. Enlazando los puntos M y N con la red exterior, obtendremos el acimut (Figura 19).

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Utilizando el prisma pentagonal

Se estaciona el teodolito en el punto E, con el prisma ya colocado en el objetivo del anteojo; se coloca la lectura 1009 en el limbo vertical; y se visa al punto P girando la alidada y basculando el prisma. En este momento se anota la lectura del limbo vertical que será sensiblemente 1009. Se bascula el prisma, con precaución, hacia abajo hasta que aparezca la primera escala, y se anota la lectura M1 que marca el hilo vertical del retículo sobre dicha escala. Se prosigue el giro hasta ver aparecer la segunda escala, y se anota la lectura N 1. A continuación se gira la alidada 2009 y se busca nuevamente el punto P con pequeños movimientos horizontales y basculando el prisma hasta que aparezca en el campo óptico; se obliga a coincidir la lectura del limbo vertical con la leída en la posición anterior; se comienza a girar el prisma hacia abajo hasta conseguir de nuevo ver la primera escala y anotar la lectura M2, y ver la segunda y anotar la lectura N2.

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El rayo láser materializa una visual que puede ser interceptada

por una pantalla definiendo un punto, normalmente de color rojo. Una de las presentaciones comerciales consiste en un productor

de rayos láser que unido al ocular de algunos aparatos topográficos por medio de un cordón metálico flexible, consigue transmitir el haz láser en coincidencia con el eje de colimación del aparato.

Este ocular láser permite materializar en el espacio cualquier dirección.

Si disponemos de un teodolito con ocular de rayos láser, la forma de operar será idéntica a la descrita para teodolito o taquímetro, con la ventaja de que puede utilizarse a mayor profundidad y de que la materialización de la señal, tanto si operamos desde el exterior como si lo hacemos desde el interior, es directa.

Uso del rayo láser

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Debido a las perturbaciones magnéticas

provocadas por los soportes metálicos, las líneas eléctricas, la mecanización de las explotaciones, los carriles de hierro, el uso de la brújula tiende a desaparecer.

Sólo si las circunstancias lo permiten, la usaremos, ya que es el método mas sencillo y cómodo para determinar el acimut.

Las brújulas, aun las más perfectas, no son instrumentos de precisión, pues su apreciación máxima es de 10 mts.

Uso de brújulas y declinatorias

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En 1852, Léon Foucault acababa su exposición

en la Academia de Ciencias francesa así: "Sin el concurso de un instrumento astronómico, la rotación de un cuerpo en la superficie de la tierra basta para indicar el plano meridiano y la latitud del lugar".

Su aparato, que él llamaba giróscopo, está formado por una masa pesada sujeta por una suspensión Cardan

Con teodolito giroscópico

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A esta masa se le imprime un rápido movimiento de rotación alrededor de su eje AA' que va encajado en un doble soporte circular, el primero con eje horizontal BB' y el segundo con eje vertical CC' montado sobre el primero.

El centro de gravedad de todo el sistema debe coincidir con el punto de intersección de los tres ejes.

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Hoy en día existen en el mercado giróscopos de poco peso (unos 2 Kg.), adaptables como accesorio a los teodolitos. La parte fundamental es un giro-motor alimentado por una batería que hace girar al rotor a una velocidad de 22.000 rpm. El sistema de suspensión es una cinta metálica contenida en la parte superior alargada del aparato, que consigue la horizontalidad del eje del rotor.

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Como operadores efectuaremos una lectura del limbo

horizontal en cada elongación máxima, momento en el que el

índice permanece un instante parado, pudiendo aforar el

centrado de la marca en V. Repetiremos las lecturas en dos

oscilaciones completas como mínimo, y como éstas se van

amortiguando, obtendremos la posición del norte geográfico

calculando la llamada media de Schuler (Figura 21)