TODO Euler Hamilton

Ngj/v2008 7.2 Circuitos de Euler y Hamilton

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Matemticas Discretas Tc1003

Teora de Grafos

7.2 Circuitos de Euler y Circuitos de Hamilton

EULER

Definicin. Sea G un grafo sin vrtices aislados. Un circuito que contiene todas las aristas de G recibe el nombre de circuito euleriano. Un circuito euleriano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vrtice y recorre cada arista exactamente una vez. Ejemplos:

(a) No lo admite porque v4 es un vrtice aislado. (b) No lo admite porque cualquier ciclo utilizar la arista e1 dos veces. (c) El circuito v1 e1 v2 e2 v1 es euleriano. (d) El circuito v3 e3 v1 e1 v2 e2 v3 es euleriano. (e) No admite ningn circuito euleriano. (f) v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v2 e5 v5 e6 v1 es un circuito euleriano. Existe un criterio preciso para saber cuando un grafo admite un circuito euleriano. Este criterio lo proporciona el siguiente teorema. Teorema. Sea G un grafo. G contiene un circuito euleriano s y slo s:

G es conexo. Cada vrtice de G es de grado par.

Ejemplos:


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Figura 2 Figura 3

No hay circuito Hay circuito Por qu? Por qu?

Figura 4

?ww Figura 5 Figura 6

Cmo recorres todas las calles de una sola vez? Iniciar y terminar en la Terminal de reciclado


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La pregunta: Es posible determinar si existe una trayectoria o un circuito de Euler sin encontrar una forma explcita? En Figura 2

Entonces si G (un grafo) tiene un vrtice de grado 1 no puede tener circuitos ( :xx no se repite arista) tampoco se tiene grado impar porque no se puede salir y entrar en n par de veces. Teorema 1

a) Si una grfica G tiene un vrtice de grado impar entonces no puede existir un circuito de Euler ( :xx no se repite arista)

b) Si G es conexa (todos los vrtices tienen un camino para llegar) y todos los vrtices tienen grado par, entonces existe circuito de Euler ( :xx no se repite arista)

No existe circuito Euler trayectoria si Si existe circuito Euler Teorema 2 a) Si una grfica G tiene raz de dos vectores (3, 4, 5) de grado impar, entonces no puede existir una Trayectoria de Euler en G. b) Si G es conexa y tiene exactamente dos vrtices de grado impar, entonces existe una Trayectoria de Euler en G. Cualquier Trayectoria de Euler debe comenzar en un vrtice de grado impar, terminar en otro. Figura 2 si hay trayectoria Figura 3 no hay trayectoria Figura 4 no hay trayectoria Figura 6 si hay trayectoria

Arista :DE grado de 1=E una entrada y/o salida 3=D entrada y/o salida

Figura 4? no existe circuito Euler Figura 6? no existe circuito Euler


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Ejercicio: Figura A Figura B

Figura C

Cules de las tres grficas tienen de circuito de Euler, una trayectoria de Euler pero no circuito, o ninguno de estos? Figura A No es circuito No es trayectoria Figura B No es circuito Es trayectoria Figura C Es circuito Es trayectoria Puente: 21 UU es un puente si al eliminarlo se crea una grfica disconexa Ejemplo: DB


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HAMILTON Definicin: Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo simple que contiene todos los vrtices de G. Un circuito hamiltoniano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vrtice y pasa por cada vrtice una sola vez. Ejemplos: Cul de los grafos siguientes admite un circuito hamiltoniano?

Solucin (a) No admite circuitos hamiltonianos. El razonamiento es el siguiente: Si se empieza en v1, v2, v3, v4 y si se est en los dems vrtices, en el v5 se estar dos veces. Si se empieza en v5, para luego ir a los vrtices v1 o v4 a v3 o v2 respectivamente, se tendr que pasar de nuevo por v5 (puesto que se empezar en v5). Para completar el circuito, se debe regresar a v5, por lo que se pasa tres veces por l. (b) Un ciclo hamiltoniano es: v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1 Teorema. Sea G un grafo conexo con n vrtices, donde n3. Si la suma de los grados de cada par de vrtices no adyacentes es mayor o igual a n, entonces G tiene un circuito hamiltoniano. Ejemplos: :EDCBA Trayectoria Hamiltoniana, no es trayectoria de Euler pero no circuito :ADCBA Circuito hamiltoniano, no es circuito de Euler


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Teorema 2 Sea m el nmero de aristas Sea n el nmero de vrtices

G es un circuito hamiltoniano si ( )63

21 2 + nnm

Ejemplo: ( )+== 615252155,5 nm no tiene Circuito hamiltoniano ( )+== 612162164,6 nm si tiene Circuito Hamiltoniano


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Actividades de Circuitos de Euler y Circuitos de Hamilton

1. Disea un ejemplo de un grafo conexo tal que a) no tenga circuitos eulerianos y no ciclos hamiltonianos; b) tenga un circuito euleriano pero no tenga ciclos hamiltonianos; c) tenga un ciclo hamiltoniano pero no un circuito euleriano; d) tenga un ciclo hamiltoniano y un circuito euleriano.

2. Para cada grafo encuentra, si existe un circuito de Euler y/o un circuito de Hamilton

a) b)

c) d)


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3. En cada uno de los siguientes grafos encontrar, si existe una trayectoria de Euler y/o una trayectoria de Hamilton a)

b)

c)

4. Dados los siguientes grafos determinar en cual de ellos existe un circuito de Euler, una trayectoria de Euler, un circuito de Hamilton, una trayectoria de Hamilton. a)

b)


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Actividades de Circuitos de Euler y Circuitos de Hamilton

1. Disea un ejemplo de un grafo conexo tal que

a) no tenga circuitos eulerianos y no ciclos hamiltonianos;

b) tenga un circuito euleriano pero no tenga ciclos hamiltonianos;

c) tenga un ciclo hamiltoniano pero no un circuito euleriano;

d) tenga un ciclo hamiltoniano y un circuito euleriano.


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2. Para cada grafo encuentra, si existe un circuito de Euler y/o un circuito de Hamilton

a) No tiene Euler

No tiene Hamilton b)

No tiene Euler Tiene Hamilton

c) No tiene Hamilton

Tiene Euler

d) Tiene Euler

Tiene Hamilton


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Teora de Grafos

3. En cada uno de los siguientes grafos encontrar, si existe una trayectoria de Euler y/o una trayectoria de Hamilton a)

Tiene trayectoria Euler

Tiene trayectoria Hamilton

b)

Tiene Trayectoria Euler

No tiene trayectoria Hamilton

c)

Tiene trayectoria Euler

No tiene Trayectoria Hamilton

4. Dados los siguientes grafos determinar en cul de ellos existe un circuito de Euler, una trayectoria de Euler, un circuito de Hamilton, una trayectoria de Hamilton. a)

Circuito Euler: d-b-a-e-c-f-d

Trayectoria Euler: d-b-a-e-c-f

Circuito Hamilton a-b-f-c-b-d-e-f-d-a-e-c-a

No tiene trayectoria Hamilton

b)

2008-06-27T09:46:40-0500Nazira Guerrero-Jezzini

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