Facultat de ciències

Memòria del Treball de Fi de Grau

Túnel de Klein en grafeno

Vicente Manuel Arjona Romano

Grau de Física

Any acadèmic 2012-13

DNI de l’alumne: 43213909Z Treball tutelat per David Sánchez Martín Departament de Física i Institut de Física Interdisciplinària i Sistemes Complexos IFISC

S'autoritza la Universitat a incloure el meu treball en el Repositori Institucional per a la seva consulta en accés obert i difusió en línea, amb finalitats exclusivament acadèmiques i d'investigació

Paraules clau del treball: Graphene, Klein paradox, Quantum transport, Nanostructure, Klein, Klein tunneling

x

AbstractThis paper provides a study of Klein tunneling (increased probability of electronic transmis-sion under high potentials) applied to graphene, two-dimensional carbon sheets with hexagonallattice. This paper provides a detailed analysis of scattering properties in graphene throughoutthe study in the first place of the one-dimensinal barrier potential problem (scenario), wherewe find perfect electronic transmission, to then enter the two-dimensional case by consideringtwo situations: an electron incident either on a potential step or a potential barrier, obtainingexpressions for the transmission paths . We show that Klein tunneling is not a genuine quantumtunneling effect, as it does not involve passing throughout a forbidden region via evanescentwaves. Pseudo-spin conservation (sublattice) will play a crucial role within the transmission.

ResumenEste trabajo provee un estudio del efecto Tunel de Klein (aumento de la probabilidad de trans-mision electronica bajo potenciales elevados) aplicado al grafeno, laminas bidimensionales decarbono con red hexagonal. El trabajo proporciona un analisis detallado de las propiedades de“scattering” en el grafeno a traves de, primero, el problema barrera potencial unidimensional(caso hipotetico), donde se encuentran transmisiones electronicas perfectas; para posteriormenteadentrarse en el caso bidimensional considerando dos situaciones: un electron incidiendo sobreun potencial escalon o incidiendo sobre una barrera de potencial, obteniendo sendas expresionespara la transmision. Mostramos como el efecto Tunel de Klein no es un efecto tunel cuanticogenuino, ya que no implica el uso de ondas evanescentes para atravesar una zona prohibida. Laconservacion del pseudo-espın (subred) jugara un papel crucial dentro de la transmision.

ResumAquest treball proveeix un estudi de l ′efecte Tunel de Klein (augment de la probabilitat detransmissio electronica sota potencials elevats) aplicat al grafe, lamines bidimensionals de car-boni amb xarxa hexagonal. El treball proporciona una analisi detallada de les propietats de“scattering” en el grafe a traves de, primer, el problema barrera potencial unidimensional (cashipotetic), on es troben transmissions electroniques perfectes; per a posteriorment endinsar-seen el cas bidimensional considerant dues situacions: un electro incidint sobre un potencial grao oincidint sobre una barrera de potencial, obtenint sengles expressions per a la transmissio. Mos-trem com l ′efecte Tunel de Klein no es un efecte tunel quantic genuı, ja que no implica l ′usdones evanescents per travessar una zona prohibida. La conservacio del pseudo-espı (subxarxa)jugara un paper crucial dins de la transmissio.

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Indice general

Pagina

1. Introduccion 51.1. Mecanica Cuantica Relativista. De Schrodinger a Dirac . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Electrones relativistas. Ecuacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Paradoja de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Grafeno. Capas bidimensionales de carbono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Problema 1D 92.1. Ecuacion autovalores para el caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Flujo de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Problema barrera potencial unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Onda transmitida. Diferencias con el problema de scattering cuantico no relativista 14

3. Problema 2D. Funciones de onda 153.1. Ecuacion autovalores para el caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Flujo cuantico bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Problema 2D. Potencial escalon y barrera 194.1. Potencial escalon. Autofunciones del grafeno dentro del potencial . . . . . . . . . 194.2. Problema de scattering aplicando un potencial escalon . . . . . . . . . . . . . . . 204.3. Angulos crıticos. Limitaciones de potencial y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4. Problema de scattering aplicando un potencial barrera . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. Conclusiones 26

Apendices 27

A. Sistema unidimensional 27A.1. Autofunciones del sistema grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27A.2. Componentes del espinor de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

B. Sistema bidimensional: autofunciones 29

C. Flujo de probabilidad 30

4

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Mecanica Cuantica Relativista. De Schrodinger a Dirac

1.1.1. Mecanica Cuantica

La Mecanica Cuantica [1] es una formulacion matematica encargada de estudiar el movi-miento e interaccion de las partıculas, aplicada especialmente al mundo microscopico. Se basaen la descripcion dual onda-partıcula formulada por Bohr, Einstein, Heisenberg, Schrodinger,entre otros.

Toda la descripcion de las partıculas (movimiento, interacciones) se realiza en base a la fun-cion de onda Ψ(r, t), cuyo modulo cuadrado expresa la probabilidad de encontrar una partıculaen una posicion r y tiempo t determinado [2]. La funcion de onda viene determinada por laecuacion de Schrodinger

i~∂Ψ∂t

=

∑j

[p2j

2mj+ U(rj , sj)

]+∑i>j

V (ri − rj)

Ψ (1.1)

donde las partıculas tienen posicion rj , momento lineal pj y espın sj . U(rj − sj) representa lainteraccion con un potencial externo y V (ri − rj) la interaccion a pares entre las partıculas.

1.1.2. Primera aproximacion a la relatividad. Ecuacion Klein-Gordon

A pesar de la gran importancia de la ecuacion de Schrodinger, esta presenta limitaciones encuanto a su uso. Es una ecuacion no relativista, cuyo utilidad se limita a partıculas con momentolineal inferior a la energıa en reposo. El primer acercamiento a partıculas relativistas se realizo apartir de la ecuacion de Klein-Gordon, quien toma la relacion de dispersion relativista E2 =(pc)2 + (moc

2)2 (aplicando operadores cuanticos) y la introduce en la ecuacion de Schrodinger

−~2∂2t Ψ(r, t) = (p2c2 +m2

oc4)Ψ(r, t) (1.2)

donde mo es la masa en reposo de las partıculas. La ecuacion de Klein-Gordon presenta, noobstante, un serio problema, ya que no garantiza la conservacion de la probabilidad, llegandoen ocasiones a ser incluso negativa (|Ψ|2 < 0).

El desarrollo de la ecuacion de Dirac supuso el salto definitivo, corrigiendo los problemas dela ecuacion de Klein a traves de una ecuacion de primer orden en derivadas temporales.

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1.2. Electrones relativistas. Ecuacion de Dirac

La ecuacion de Dirac [3] describe el movimiento relativista de partıculas con espın 1/2. Laecuacion de Dirac es consistente con ambos principios de la Mecanica Cuantica y la RelatividadEspecial, y fue la primera teorıa en explicar completamente la relatividad en el contexto de lamecanica cuantica.

Reconsiderando la relacion de dispersion relativista E =√c2p2 +m2

oc4 aplicando los opera-

dores de la mecanica cuantica, Paul Dirac linealizo la expresion obteniendo:

E = c3∑i=1

αipi + βmc2 ≡ cα · p + βmc2 (1.3)

donde los parametros α = (α1, α2, α3) y β se obtienen igualando con la relacion clasica relati-vista. Trasladando la expresion (1.3) a la mecanica cuantica de operadores finalmente se obtienela ecuacion de Dirac

i~∂

∂tψ(t,x) = Hoψ(t,x) (1.4)

donde el Hamiltoniano para el movimiento libre de una partıcula Ho representa una matriz dedimension cuatro

Ho = −i~cα · ∇+ βmc2 =(

mc21 −i~cσ · ∇−i~cσ · ∇ mc21

)(1.5)

siendo σ = (σx, σy, σz) las matrices de Pauli y 1 la matriz identidad

σx =(

0 11 0

)σy =

(0 −ii 0

)σz =

(1 00 −1

)1 =

(1 00 1

)(1.6)

Bajo este nuevo marco, los autovalores del Hamiltoniano corresponden a la relacion de dispersionrelativista

E = ±√c2p2 +m2c4 (1.7)

mientras que las funciones de onda son espinores de cuatro componentes donde las dos primerascorresponden a energıas positivas y los dos ultimas a energıas negativas. Hemos de destacarla aparicion de una rama negativa de energıas para una partıcula libre, imposible de obteneren Mecanica Cuantica no relativista. Esta nueva rama energetica sera el origen, tal como severa mas adelante, de nuevos efectos hasta entonces nunca estudiados.

Si la masa de las partıculas es nula, el termino referido a esta se desvanece de la ecuacion (1.5)y del termino energetico (1.7), siendo suficiente utilizar matrices 2× 2, obteniendo la ecuacion

i~∂

∂tψ(t) = cσ · pψ(t) (1.8)

llamada la ecuacion de Weyl. Esta ultima sera importante de cara al estudio del grafeno.

1.3. Paradoja de Klein

1.3.1. Scattering en Mecanica

La probabilidad de que una partıcula pueda superar una barrera potencial depende de laenergıa con la cual incide. En Mecancia Clasica si la partıcula incide con una energıa superioral potencial aplicado, esta podra superar sin ningun problema el obstaculo llegando al otroextremo. Sin embargo, si incide con una energıa menor la partıcula es incapaz de atravesar labarrera; para ella, la zona donde se aplica el potencial es prohibida, ya que supone un espaciocon niveles energeticos superiores a los que ella posee.

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En Mecanica Cuantica se aprecian otros efectos, debido a la naturaleza de onda que exhibenlas partıculas. Cuando la energıa es mayor, la partıcula sobrepasa el potencial, al igual que enclasica. Sin embargo, si la energıa es menor las partıculas pueden tunelear hasta el otro extremo,traspasar la zona prohibida, a traves de ondas evanescentes. La probabilidad de producirse esteefecto depende de la diferencia entre la energıa y el potencial aplicado; cuanto mayor sea ladiferencia, mas difıcil es de observar una posible transmision.

1.3.2. Klein tunneling. Potenciales elevados

Usando la ecuacion de Dirac comprobamos que las energıas resultantes presentan dos posiblesramas, una positiva y otra negativa (1.7). Este comportamiento es el responsable de la paradojade Klein [4],[5],[6],[7], donde la transmision de un electron en un problema de “scattering” au-menta a medida que la barrera de potencial aplicada crece respecto a la energıa incidente.Aplicar un potencial elevado supone subir los niveles energeticos, pudiendo llegar el caso enque un electron situado en la rama positiva pueda tunelear a traves del potencial gracias a larama negativa, situada al mismo nivel energetico que el electron incidente. Este efecto es posiblecuando el potencial sea suficientemente intenso como para superar la energıa de gap y elevar larama energetica negativa a la zona positiva. Los ordenes de magnitud de los potenciales que sedeberıan aplicar se encuentran en torno a mc2, que es la energıa de gap entre las ramas positivasy negativas de la ec. (1.7) obtenida a partir de la ecuacion de Dirac.

1.4. Grafeno. Capas bidimensionales de carbono

El grafeno consiste en laminas de carbono bidimensionales formadas por redes hexagonalescon forma de panal de abeja [9]. Comenzo a estudiarse teoricamente en 1947 [10], pero no pudosintetizarse en el laboratorio hasta 2004 (Andre Geim y Kostya Novoselov en la Universidad deManchester [11],[12]).

A fin de describir correctamente la celda unitaria es necesario disponer de dos atomos,definiendo de esta forma dos subredes (ver fig. 1.1). Como consecuencia, la funcion de onda seexpresara como funcion de un espinor de dos componentes, visualizado frecuentemente como unpseudo-espın asociado al grado de libertad de la subred a la que pertenece. En la primera zonade Brillouin encontramos en las esquinas los diferentes puntos no equivalentes K y K ′, en loscuales se localizaran los conos de Dirac (ver fig. 1.1). Utilizando el metodo de Tight-Binding a

Figura 1.1: Red hexagonal donde se han representado los atomos A y B necesarios para describirla red. a1, a2 representan los vectores de la red, mientras que b1, b2 representan los vectoresde la red recıproca. A la derecha se encuentra la zona de Brillouin.

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Figura 1.2: Sobre cada punto de Dirac encontramos un cono de energıa. Aproximando a energıasbajas, encontramos una dependencia lineal en la relacion de dispersion con el numero de ondas,al igual que las partıculas relativistas

primeros vecinos, se encuentra la siguiente relacion de dispersion [8]

E(kx, ky) = ±γ(

1 + 4 cos2 (kxa2 ) + 4 cos (kxa2 ) cos (√

3kya2 )

)1/2

(1.9)

donde el signo positivo de la energıa se refiere a la banda de conduccion y el negativo a la bandade valencia.

De esta forma, se obtenienen conos de energıa con vertices en cada punto no equivalentede la zona de Brillouin. Aproximando la ec. (1.9) a bajas energıas (cerca de los puntos noequivalentes) encontramos una expresion lineal de la relacion de dispersion; la energıa pasa adepender linealmente del numero de onda, de la misma forma que una partıcula relativista sinmasa (E ∼ k), tal como ilustra la fig. 1.2. En consecuencia, a bajas energıas, el Hamiltonianoefectivo que describe los electrones en el grafeno es:

H = vfσ · p (1.10)

obteniendose un Hamiltoniano efectivo lineal con el momento p. La velocidad de Fermi vf juegael papel de la velocidad de la luz (vf ≈ c/300), siendo este parametro dependiente de lasconstantes del material (integral de hopping, constante de red, etc [9]). σ representa los dosgrados de libertad electronicos (subred A o subred B), equivalente a un pseudoespın o espinorde dos componentes.

De esta forma, los electrones pueden ser descritos por la ecuacion de Dirac de dos compo-nentes para partıculas sin masa

−i~vf σ · ∇Ψ(r) = EΨ(r) (1.11)

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Capıtulo 2

Problema 1D

2.1. Ecuacion autovalores para el caso unidimensional

Resolveremos el problema de autovalores unidimensional utilizando el Hamiltoniano de laec. (1.10).

HΨn = EnΨn (2.1)

con H = vf σp = vf σxpx, siendo σx la matriz de Pauli en direccion x y px el operador momentoen direccion x.

Como ya hemos explicado anteriormente, en el grafeno trabajamos con fermiones relativistassin masa. La expresion resultante implica espinores de Dirac de dos componentes (ecuacion deWeyl (1.8), masa efectiva nula)

vf

(0 ~

iddx

~iddx 0

)(Ψ1(x)Ψ2(x)

)= E

(Ψ1(x)Ψ2(x)

)(2.2)

Resolviendo el sistema obtenemos las siguientes autofunciones para el grafeno (para un calculomas detallado, vease el Apendice A)

Ψ+(x) = 1√2e±ikx

(+1+1

)para una energıa E = vf~k (2.3)

Ψ−(x) = 1√2e±ikx

(+1−1

)para una energıa E = −vf~k (2.4)

La variable k es un parametro libre que puede tomar cualquier valor. De esta forma, se obtiene unespectro de energıas continuo, dividida en dos posibles ramas, en lugar de encontrarse cuantizada.

2.2. Flujo de probabilidad

Sabemos que un sistema cuantico viene descrito por la funcion de onda Ψ(t,x), a partirde la cual podemos calcular la densidad de probabilidad de encontrarlo en un punto x. Laprobabilidad en un punto puede variar, “fluir” hacia otros puntos del espacio que consideramos.Ası pues, al igual que en mecanica clasica, podemos definir una densidad de corriente queexprese el movimiento que sigue esta probabilidad. No obstante, la probabilidad de encontraruna partıcula en el volumen se conserva, definiendo una ecuacion de continuidad:

∂|Ψ|2

∂t+ ∂jx∂x

= 0 (2.5)

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2.2.1. Determinacion del flujo

A partir de la expresion (2.5) derivaremos el flujo en el caso del grafeno, el cual dife-rira del flujo cuantico usual debido a las diferencias entre el Hamiltoniano tıpico de Schrodinger(H = −~2

2m∂2

∂x2 ) del Hamiltoniano obtenido para el grafeno, lineal en p (H = vf σxp). Para ello,sera necesario calcular la derivada temporal del modulo cuadrado de la funcion de onda, si-guiendo la ecuacion de Schrodinger. Para una deduccion mas detallada de este proceso vease elApendice C.

Finalmente obtenemos la expresion del flujo unidimensional:

j ≡ 〈j〉 = vf 〈Ψ|σx|Ψ〉 (2.6)

2.2.2. Relacion entre espinores y el movimiento

Utilizando la expresion recientemente encontrada del flujo (2.6) podemos estudiar el movi-miento que seguira un electron que se encuentre en los diferentes autoestados del grafeno

j+ ≡ vf 〈Ψ+|σx|Ψ+〉 = vf (2.7)

j− ≡ vf 〈Ψ−|σx|Ψ−〉 = −vf (2.8)

El resultado obtenido es de gran importancia, ya que nos indica que el flujo no se encuentrarelacionado con el momento, como suele suceder, sino que se encuentra ıntimamente ligado alespinor en el cual se encuentre el electron. Si el electron se halla en el autoestado Ψ+ esteviajara hacia la derecha, sin embargo, si se encuentra en el autoestado Ψ− viajara hacia laizquierda, independientemente del momento que posea la partıcula o su energıa. El movimientode la partıcula viene exclusivamente determinado por el espinor en el que se halle, tal comoilustra la fig. 2.1:

Figura 2.1: Ramas energeticas con sus correspondientes flujos. El flujo viene unicamente deter-minado por el espinor en el cual se halle el electron

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2.3. Problema barrera potencial unidimensional

Someteremos la capa de grafeno a un potencial de tipo barrera a fin de estudiar el efecto Tunelde Klein para electrones relativistas sin masa. El estudio se realizara considerando dos posiblesvalores energeticos incidentes, uno superior al potencial y otro inferior al potencial.

Las autofunciones para este caso se obtienen operando de la misma forma que anteriormente,ya que unicamente se anade un valor constante de potencial, el cual modifica los autovalores. Esinmediato comprobar que los autovectores del grafeno bajo un potencial escalon son:

Ψ+(x) = 1√2

(+1+1

)e±ikx para una energıa E = Vo + vf~k (2.9)

Ψ−(x) = 1√2

(+1−1

)e±ikx para una energıa E = Vo − vf~k (2.10)

Determinando los diferentes rangos energeticos trabajaremos con las siguientes funciones deondas, donde el parametro energetico k (vector de ondas) debera tomar un signo concreto a finde respetar los niveles de energıas.

Para energıas inferiores al potencial tenemos:

Ψ+(x) = 1√2

(+1+1

)e±ikx para una energıa E = Vo + vf~l; l < 0 (2.11)

Ψ−(x) = 1√2

(+1−1

)e±ikx para una energıa E = Vo − vf~l; l > 0 (2.12)

Para energıas superiores al potencial tenemos:

Ψ+(x) = 1√2

(+1+1

)e±irx para una energıa E = Vo + vf~r; r > 0 (2.13)

Ψ−(x) = 1√2

(+1−1

)e±irx para una energıa E = Vo − vf~r; r < 0 (2.14)

2.3.1. E > 0 ; E < Vo

Suponiendo una onda incidente desde la izquierda, tendremos una posible reflexion y trans-mision. En la tercera zona no es fısicamente posible que exista una onda propagante desde laderecha, por lo que esta posibilidad es eliminada. Dentro del pozo tendremos ondas propagantesen ambas direcciones (ver fig. 2.2).

Las funciones de onda son

Ψ(x < 0) = 1√2

(+1+1

)eikx + r

1√2

(+1−1

)e−ikx

Ψ(0 < x < a) = c11√2

(+1+1

)e−ilx + c2

1√2

(+1−1

)eilx

Ψ(x > a) = t1√2

(+1+1

)eikx (2.15)

donde r, c1, c2, t son coeficientes de probabilidad. Exigiendo continuidad en la funcion de ondase obtienen los diferentes coeficientes.

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Figura 2.2: Ondas propagantes para una energıa inferior al potencial

En la primera union obtenemos:

1 + r = c1 + c21− r = c1 − c2

{1 = c1

r = c2(2.16)

En la segunda union obtenemos:

c1e−ila + c2e

ila = teika

c1e−ila − c2e

ila = teika

{c1e−ila = teika

c2 = 0(2.17)

Vemos que la onda reflejada se anula, siendo la onda incidente totalmente transmitida. Cal-culando el flujo transmitido de la funcion de onda se comprueba que su valor es constante:

ji = vf

( 1√2

)2(e−ikx

(1 1

)(0 11 0

)(11

)eikx

)= vf (2.18)

jt = vf

( 1√2

)2(eila

e−ikae−ikx

(1 1

)(0 11 0

)(11

)eikx

e−ila

eika

)= vf (2.19)

En consecuencia, la transmision toma un valor constante e independiente de la energıa.

T = jijt

= 1 (2.20)

Analizando el resultado obtenido, vemos como el espinor de la partıcula se conserva, quedandoseel electron en la autofuncion con flujo hacia la derecha. Por ello, tanto el flujo incidente comoel transmitido tienen el mismo valor, ya que el electron conserva su movimiento y, por lo tanto,conserva su espinor. Esto permite obtener una transmision perfecta, observando el Tunel deKlein perfecto.

2.3.2. E > 0 ; E > Vo

Nuevamente se supone una onda incidente desde la izquierda, obteniendose una posible refle-xion y transmision. En la tercera zona no es fısicamente posible que exista una onda propaganteincidente desde la derecha, por lo que se elimina esta posibilidad (ver fig. 2.3).

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Figura 2.3: Ondas propagantes para una energıa superior al potencial

Las funciones de onda para este caso son las siguientes:

Ψ(x < 0) = 1√2

(+1+1

)eikx + r

1√2

(+1−1

)e−ikx

Ψ(0 < x < a) = c11√2

(+1+1

)eimx + c2

1√2

(+1−1

)e−imx

Ψ(x > a) = t1√2

(+1+1

)eikx (2.21)

donde r, c1, c2, t son coeficientes de probabilidad. Cabe mencionar que las funciones de onda delproblema son casi identicas al caso anteriormente estudiado; solamente difieren en el signo de laconstante definida debido a las condiciones energeticas que deben cumplir en cada situacion.

Exigiendo la continuidad de la funcion se hallan los diferentes coeficientes del sistema. Parala primera union obtenemos:

1 + r = c1 + c21− r = c1 − c2

{1 = c1

r = c2(2.22)

En la segunda union obtenemos:

c1eima + c2e

−ima = teika

c1eima − c2e

−ima = teika

{c1e

ima = teika

c2 = 0(2.23)

La onda reflejada se anula, siendo la onda incidente totalmente transmitida. Calculando elflujo transmitido se comprueba que su valor es igual a vf :

ji = vf

( 1√2

)2(e−ikx

(1 1

)(0 11 0

)(11

)eikx

)= vf (2.24)

jt = vf

( 1√2

)2(e−ira

e−ikae−ikx

(1 1

)(0 11 0

)(11

)eikx

eira

eika

)= vf (2.25)

La transmision toma un valor constante igual a la unidad, observando nuevamente el Tunel deKlein perfecto.

T = jijt

= 1 (2.26)

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2.4. Onda transmitida. Diferencias con el problema de scatte-ring cuantico no relativista

Cuando una partıcula no relativista con masa incide sobre un pozo de potencial esta severa reflejado o transmitido dependiendo de su valor energetico. Si la energıa incidente es inferioral potencial aplicado, existira una cierta probabilidad de transmitirse por efecto tunel, superandola barrera potencial a traves de enlazarse con ondas evanescentes.

No obstante, las autofunciones del sistema del grafeno para energıas menores que la barrerapotencial no contemplan la existencia de ondas evanescentes, siendo estas todas ondas propagan-tes. A priori se podrıa pensar que la ausencia de ondas evanescentes impedirıa la aparicion delefecto tunel, imposibilitando la transmision de las ondas; resulta realmente sorprendente comolo observado resulta ser el efecto contrario. No solo existe una probabilidad de que la onda setransmita a valores energeticos menores que el potencial, sino que la reflectancia es totalmentenula.

La onda sobrepasa la barrera totalmente, a pesar de no existir ondas evanescentes. Eso seproduce gracias a la existencia de una energıa de gap nula entre las diferentes ramas energeticasde la lamina de grafeno, permitiendo una transmision perfecta a traves de las diferentes bandas,sin necesidad, como sucede para el efecto Tunel de Klein, de potenciales elevados. Aplicar unpotencial no afecta a las propiedades de scattering de un hipotetico grafeno unidimensional, yaque los electrones pueden transmitirse sin problemas a otras ramas debido al gap nulo.

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Capıtulo 3

Problema 2D. Funciones de onda

3.1. Ecuacion autovalores para el caso bidimensional

Se resolvera el problema de autovalores bidimensional [13] utilizando el Hamiltoniano de laec. (1.10).

HΨn = EnΨn (3.1)con H = vf σp = vf (σxpx + σypy), siendo σx, σy las matrices de Pauli en direccion x e y;px, py son los operadores momento lineal en la direccion x e y, respectivamente. Aplicando elHamiltoniano sobre las funciones de onda acaba llegandose a la expresion:

vf

(0 px − ipy

px + ipy 0

)(Ψ1(x, y)Ψ2(x, y)

)= E

(Ψ1(x, y)Ψ2(x, y)

)(3.2)

El calculo de las autofunciones para el caso bidimensional es similar al caso 1D, simplemente seanade la dependencia en la direccion y. Aplicando separacion de variables se resuelve el sistemade ecuaciones, obteniendose las autofunciones del grafeno para el caso bidimensional (para uncalculo mas detallado, vease Apendice B):

Ψ(x, y) = Ae±ikr(ab

)(3.3)

con los autovaloresE = ±vf~(k2

x + k2y)1/2 = ±vf~|k| (3.4)

A representa el factor de normalizacion, r = (x, y) es el vector de posicion y k es el vector deonda, definido como k = (kx, ky). Las componentes del espinor (a y b) se calculan a partir delos valores que tome el autovalor.En el caso bidimensional la energıa depende linealmente del modulo del vector de ondas.

3.1.1. Autofunciones

En el caso unidimensional solamente existen dos posibilidades para las componentes delespinor en funcion del valor energetico (dos posibles valores, vease ecs. (2.3) y (2.4)).

Sin embargo, en el sistema bidimensional las posibilidades de las componentes aumentan;la existencia de dos parametros para la energıa (kx, ky) posibilita una mayor combinacion deestos. Las combinaciones se pueden visualizar con una representacion en los cuatro cuadrantes,donde las relaciones entre los diferentes espinores queda fijada por la relacion entre los angulos,tal como ilustra la fig. 3.1.

A traves de la ecuacion (3.2), sustituyendo los autovectores por las funciones de onda delgrafeno, se consigue el siguiente sistema de ecuaciones

(±kx ∓ iky)b = Evf~a

(±kx ± iky)a = Evf~b

(3.5)

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Figura 3.1: Posibles combinaciones de los vectores de onda. Los espinores quedan determinadossegun al cuadrante al que pertenecen.

que nos permitira obtener las diferentes componentes del espinor para los diferentes valores delvector de ondas.

Para energıas positivas, las autofunciones del grafeno bidimensional son las siguientes:

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1eiφ

), kx > 0, ky > 0 (3.6)

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1

−e−iφ

), kx < 0, ky > 0 (3.7)

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1−eiφ

), kx < 0, ky < 0 (3.8)

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1

e−iφ

), kx > 0, ky < 0 (3.9)

donde φ representa el angulo entre las componentes del vector de ondas tanφ = |ky|/|kx| (elangulo φ pertenece al primer cuadrante).

Para energıas negativas, el metodo de operacion es el mismo. Las autofunciones obtenidas sonlas mismas que para energıas positivas exceptuando las componentes del espinor, que tendransigno opuesto. Las autofunciones del grafeno bidimensional son:

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1−eiφ

), kx > 0, ky > 0 (3.10)

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1

e−iφ

), kx < 0, ky > 0 (3.11)

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1eiφ

), kx < 0, ky < 0 (3.12)

Ψ(x, y) = 1√2eikyyeikxx

(1

−e−iφ

), kx > 0, ky < 0 (3.13)

3.1.2. Ondas evanescentes

A diferencia del caso unidimensional, en 2D se puede encontrar ondas evanescentes cuando lascomponentes del vector de onda sean imaginarias (en una dimension no existe esta posibilidad, yaque implicarıa energıas imaginarias). Es inmediato comprobar la variacion dentro de la funcionde onda

Ψ(x, y) = Ae±ikyye±kxx(ab

)(3.14)

16

Supondremos que la componente imaginaria se corresponde a la direccion x, mientras que kycontinua siendo real (la eleccion de no modificar ky proviene de aplicar un potencial barreraunicamente en la direccion x). La existencia de funciones evanescentes en el grafeno no resultande gran utilidad en terminos de transmisiones, ya que el flujo de las ondas evanescentes es nulo.

Componente kx imaginaria positiva

Definiremos la componente del vector de ondas en direccion x como kx = iκ, κ ∈ R. De estaforma, la energıa vendra dada por E = ±vf~

√k2y − κ2. Operando la expresion (3.2) y utilizando

como autofunciones ondas evanescentes, se llega facilmente al siguiente sistema de ecuaciones

(iκ− iky)b = Evf~a = ±

√k2y − κ2a

(iκ+ iky)a = Evf~b = ±

√k2y − κ2b

⇒

a = a

b = ±i κ+ky√k2y−κ2a

(3.15)

Asignamos la unidad a la primera componente del espinor. De esta forma, la funcion de ondaque se obtiene es

Ψ(x, y) = Aeikyye−κx(

1±i√

ky+κky−κ

)(3.16)

donde A es el factor de normalizacion. La funcion de onda decae a medida que x crece.

Componente kx imaginaria negativa

Por otra parte, si kx = −iκ, κ ∈ R, la energıa vendra dada por E = ±vf~√k2y − κ2. Siguiendo

el mismo recorrido de calculo que en el caso anterior se llega a la funcion de onda

Ψ(x, y) = Beikyyeκx(

1±i√

ky−κky+κ

)(3.17)

donde B es el factor de normalizacion. La funcion de onda decae a medida que x decrece.

Ondas evanescentes, E = 0

Otra posibilidad de encontrar ondas evanescentes es cuando la energıa incidente de la partıcu-la es nula (caso ideal)

E = 0→ k2y + k2

x = 0; kx = ±iky (3.18)

Las autofunciones que se obtienen para esta situacion son

Ψ(x, y) = Aeikyye−kyx(

01

)para kx = iky (3.19)

Ψ(x, y) = Aeikyyekyx(

10

)para kx = −iky (3.20)

3.2. Flujo cuantico bidimensional

3.2.1. Expresion flujo bidimensional

Como se ha visto anteriormente, a partir de la ecuacion de continuidad se obtiene unaexpresion del flujo, calculando las diferentes derivadas temporales de la funcion de onda (paraun desarrollo mas detallado, vease al Apendice C ).Para el problema bidimensional, la expresion del flujo obtenida es

j ≡ 〈j〉 = vf (〈Ψ|σx|Ψ〉i+ 〈Ψ|σy|Ψ〉j) (3.21)

17

3.2.2. Relacion entre espinores y el movimiento

Utilizando la expresion (3.21) estudiaremos el movimiento que sigue un electron que seencuentre en los autoestados del grafeno. Nos restringiremos al primer cuadrante, ya que elformalismo para el resto de autofunciones es el mismo y restarıa importancia al analisis de laexpresion obtenida.

La funcion de onda que utilizaremos es

Ψ(x, y) = 1√2eikr

(1eiφ

)(3.22)

Aplicando sobre ella la expresion del flujo se consigue:

jx = vf 〈Ψ|σx|Ψ〉 = vf12

(e−ikr

(1 e−iφ

)(0 11 0

)(1eiφ

)eikr

)= vf cosφ (3.23)

jy = vf 〈Ψ|σx|Ψ〉 = vf12

(e−ikr

(1 e−iφ

)(0 −ii 0

)(1eiφ

)eikr

)= vf sinφ (3.24)

A diferencia del caso unidimensional, el flujo ya no se encuentra ıntimamente ligado al espinoren el que se halle el electron; en el caso bidimensional, el flujo vendra marcado por el anguloque forman las componentes del vector de ondas.

3.2.3. Flujo de ondas evanescentes

Anteriormente se ha comentado que las ondas evanescentes carecen de importancia en elproblema de scattering, ya que no llegan a transmitirse. Esto es debido a que el flujo asociadoa estas ondas es nulo, impidiendo su propagacion.

Utilizando la expresion (3.21) es facilmente demostrable que el flujo asociado a la direccionx (direccion en la que posteriormente aplicaremos un potencial constante) es totalmente nulopara ondas evanescentes (jx = 0), debido a que las componentes imaginarias se cancelan entreellas. Para el caso E = 0 el movimiento asociado a los electrones es totalmente nulo en ambasdirecciones (jx = 0, jy = 0).

18

Capıtulo 4

Problema 2D. Potencial escalon ybarrera

4.1. Potencial escalon. Autofunciones del grafeno dentro del po-tencial

Aplicaremos un potencial escalon constante unicamente en la dirrecion x. Esto supone anadirun termino constante al Hamiltoniano del grafeno

H = vf σp + Vo(x); Vo(x) constante (4.1)

Expresado de forma matricial

H = vf

(0 px − ipy

px + ipy 0

)+ Vo1 = vf

(V ′o px − ipy

px + ipy V ′o

)(4.2)

donde se ha definido V ′o = Vo/vf .La ecuacion de autovalores queda como

vf

(V ′o px − ipy

px + ipy V ′o

)(Ψ1(x, y)Ψ2(x, y)

)= E

(Ψ1(x, y)Ψ2(x, y)

)(4.3)

Las autofunciones dentro de la barrera de potencial son similares a las calculadas fuera deesta (simplemente se ha anadido un termino constante al Hamiltoniano); solo se vera modificadoel vector de ondas, ya que los autovalores seran distintos. Las funciones de onda dentro de labarrera potencial son:

Ψ(x, y) = Aeiqr(ab

)(4.4)

siendo A el vector de normalizacion, q el vector de ondas y a, b las componentes del espinor.Los autovalores para las funciones de onda del grafeno dentro de la zona de potencial son:

E = Vo ∓ vf~(q2x + q2

y)1/2 (4.5)

Se procedera con el calculo de las diferentes componentes del espinor de acuerdo a los valoresenergeticos (mayor o menor que el potencial) y el signo asociado a las componentes del vectorde ondas.Se utilizara diferentes parametros del vector de ondas dependiendo de la energıa. Ası, el vectorde ondas sera definido como q para energıas menores que el potencial y como l para energıasmayores que el potencial.

19

4.1.1. Energıas positivas. E < Vo

La energıa toma el valor E = Vo − vf~(q2x + q2

y)1/2. Operando el Hamiltoniano (4.1) sobre lafuncion de onda se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

V ′oa+ ~(±qx ∓ iqy)b = E/vfa

V ′ob+ ~(±qx ± iqy)a = E/vfb (4.6)

Utilizando los diferentes valores del vector de ondas obtenemos la expresion de la funcion deonda

Ψ(x, y) = 1√2eiqyyeiqxx

(1−eiθ

), qx > 0, qy > 0 (4.7)

Ψ(x, y) = 1√2eiqyyeiqxx

(1e−iθ

), qx < 0, qy > 0 (4.8)

Ψ(x, y) = 1√2eiqyyeiqxx

(1eiθ

), qx < 0, qy < 0 (4.9)

Ψ(x, y) = 1√2eiqyyeiqxx

(1

−e−iθ

), qx > 0, qy < 0 (4.10)

donde el angulo θ expresa la relacion entre las componentes del vector de ondas, tan θ = |qy|/|qx|.

4.1.2. Energıas positivas. E > Vo

La energıa toma el valor E = Vo + vf~(l2x + l2y)1/2. Operando el Hamiltoniano (4.1) sobre lafuncion de onda se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

V ′oa+ ~(±lx ∓ ily)b = E/vfa

V ′ob+ ~(±lx ± ily)a = E/vfb (4.11)

Utilizando los diferentes valores del vector de ondas obtenemos la expresion de la funcion deonda

Ψ(x, y) = 1√2eilyyeilxx

(1eiα

), lx > 0, ly > 0 (4.12)

Ψ(x, y) = 1√2eilyyeilxx

(1

−e−iα

), lx < 0, ly > 0 (4.13)

Ψ(x, y) = 1√2eilyyeilxx

(1−eiα

), lx < 0, ly < 0 (4.14)

Ψ(x, y) = 1√2eilyyeilxx

(1

e−iα

), lx > 0, ly < 0 (4.15)

donde el angulo α expresa la relacion entre las componentes del vector de ondas, tanα = |ly|/|lx|.

4.2. Problema de scattering aplicando un potencial escalon

Resolveremos el problema de scattering asociado a un potencial constante aplicado en ladireccion x:

V (x) ={Vo x ≥ 00 x ≤ 0

(4.16)

20

Como en el caso anterior, consideramos una onda propagante desde la izquierda, siendo fısi-camente imposible por tanto la aparicion de una onda propagante incidente desde la derecha.Como ya se ha dicho, a diferencia del caso 1D donde el flujo quedaba determinado por el auto-estado, en 2D hay asociado un angulo dependiente del vector de ondas. Ası pues, sera necesarioconocer el flujo de cada autofuncion a fin de conocer el movimiento de esta.

Debido a que el potencial aplicado unicamente afecta la direccion x de nuestro plano, po-demos afirmar que la componente del vector de ondas en la direccion perpendicular y no severa afectado por invariancia translacional. Esto permite formar una relacion entre las compo-nentes en las diferentes zonas de estudio, estableciendo una relacion entre los angulos.

4.2.1. Energıa menor que el potencial, E < Vo

La componente y del vector de ondas se mantendra inalterada por la aplicacion de un poten-cial constante. Esto permite fijar una igualdad entre las diferentes componentes y las energıas:

ky = qy

E

vf~=√k2x + k2

y

sinφ = ky√k2x + k2

y

⇒ ky = E

vf~sinφ

−E − Vovf~

=√q2x + q2

y

sin θ = qy√q2x + q2

y

⇒ qy = −E − Vovf~

sin θ (4.17)

Recordamos que φ y θ son los angulos entre las dos componentes del vector de ondas en la regioncon V = 0 y V 6= 0, respectivamente. Pueden interpretarse como los angulos de entrada y desalida del electron. A partir de (4.17) obtenemos la siguiente igualdad entre los angulos de cadazona

E sinφ = (Vo − E) sin θ (4.18)Ademas, la invariabilidad de la componente y nos restringe las funciones de onda que se puedenutilizar, ya que en el proceso de scattering no puede variar el signo de ky. Las funciones queencontramos para este primer problema son:

Ψ(x < 0, y) = 1√2

(1eiφ

)eikyyeikxx + r

1√2

(1

−e−iφ

)eikyye−ikxx (4.19)

Ψ(x > 0, y) = t1√2

(1e−iθ

)eiqyyeiqxx (4.20)

Exigiendo continuidad en la funcion de onda obtenemos el siguiente sistema

1 + r = teiφ − re−iφ = te−iθ

{r = eiφ−e−iθ

e−iθ+e−iφ

t = eiφ+e−iφ

e−iθ+e−iφ

(4.21)

Podemos apreciar la primera diferencia con el caso unidimensional, donde la transmision eraperfecta. En esta ocasion, habra un parte de la onda que se vera reflejada. A partir de los flujospodemos calcular la transmision y reflexion

T = jtransjinc

= cos (2φ) + 1cos (φ− θ) + 1

cos θcosφ (4.22)

Cuando el angulo de incidencia sea nulo (φ = 0), la onda entra perpendicularmente al potencialestablecido, obteniendo una transmision perfecta, es decir, recuperamos el caso 1D.

21

4.2.2. Energıa mayor que el potencial, E > Vo

Al igual que sucedıa en el caso anterior, la componente y del vector de ondas se man-tendra inalterada por la aplicacion de un potencial constante. Esto permite establecer unaigualdad entre las diferentes componentes y las energıas:

ky = ly

E

vf~=√k2x + k2

y

sinφ = ky√k2x + k2

y

⇒ ky = E

vf~sinφ

E − Vovf~

=√l2x + l2y

sinα = ly√l2x + l2y

⇒ ly = E − Vovf~

sinα (4.23)

Obtenemos la siguiente igualdad entre los angulos de cada zona, pudiendose interpretar comolos angulos de entrada y de salida del electron

E sinφ = (E − Vo) sinα (4.24)

La invariabilidad de la componente y restringe las funciones de onda permitidas en cada zona,ya que en el proceso de scattering no puede variar el signo de ky. Las funciones que encontramospara el segundo problema son:

Ψ(x < 0, y) = 1√2

(1eiφ

)eikyyeikxx + r

1√2

(1

−e−iφ

)eikyye−ikxx (4.25)

Ψ(x > 0, y) = t1√2

(1eiα

)eilyyeilxx (4.26)

Exigiendo continuidad en la funcion de onda obtenemos el siguiente sistema

1 + r = teiφ − re−iφ = teiθ

{r = eiφ−eiα

eiα+e−iφ

t = eiφ+e−iφ

eiα+e−iφ

(4.27)

Nuevamente, se observa como el coeficiente de reflexion no es nulo, existiendo una cierta pro-babilidad de que la onda se refleje. A partir de los flujos podemos calcular la probabilidad detransmision y reflexion

T = jtransjinc

= cos (2φ) + 1cos (φ+ α) + 1

cosαcosφ (4.28)

Cuando el angulo de incidencia sea nulo (φ = 0), la onda entra perpendicularmente al potencialestablecido, obteniendo una transmision perfecta (recuperamos el caso 1D).

22

Figura 4.1: Transmision y reflexion paraenergıas inferiores al potencial. No se observaningun angulo crıtico inferior a φc = π/2

Figura 4.2: Transmision y reflexion paraenergıas superiores al potencial. Aparece unangulo crıtico antes de que φ = π/2

4.3. Angulos crıticos. Limitaciones de potencial y energıa

A partir de la conservacion de la componente y del vector de ondas se obtienen una serie derelaciones entre los angulos de cada zona. No obstante, analizando esas expresiones se observanciertas limitaciones o restricciones de acuerdo a la energıa y el potencial. Ademas, a partir de lasexpresiones de la probabilidad de transmision se puede calcular aquellos angulos para los cualesel valor de esta es nulo.

Para energıas menores que el potencial, el resultado para la transmision y la relacion energeti-ca es:

T = cos (2φ) + 1cos (φ− θ) + 1

cos θcosφ (4.29)

E sinφ = (Vo − E) sin θ (4.30)

Analizando la transmision, observamos como para θ = π/2 y φ = π/2 el valor de T se anula.La segunda situacion es facilmente comprensible, pues corresponde a incidir paralelamente a lacara del potencial (dirrecion y), sin llegar a atravesarlo. Para la primera situacion, se tiene quela relacion energetica satisface:

E sinφc = Vo − E; sinφc = VoE− 1 (4.31)

Cuando el angulo de incidencia tome el valor crıtico φc, la transmision sera nula. Ademas, losvalores E y Vo se encuentran acotados por el rango de las funciones trigonometricas:

sin θ = E

Vo − Esinφ⇒

∣∣∣∣ E

Vo − Esinφ

∣∣∣∣ < 1; (4.32)

Dependiendo del valor de la energıa, el termino F = EVo−E necesitara de un factor (sinφ, ec.

(4.32)), a fin de satisfacer la condicion impuesta.Cuando E < Vo/2, F siempre sera menor que uno y por lo tanto no necesita encontrarse

acotado por sinφ para satisfacer la relacion. De esta forma, φ recorre libremente cualquier valorhasta llegar a φ = π/2, momento en que la probabilidad de transmision es cero. Por lo tanto, nohay ningun angulo crıtico de incidencia. Este fenomeno se puede apreciar en la fig. 4.1, dondeel valor energetico es menor que la mitad del potencial aplicado. De esta forma, la condicion deacotamiento se cumple siempre sin necesidad de la aparicion de un angulo crıtico, permitiendoque φ recorra todos los valores.

Sin embargo, si Vo/2 ≤ E ≤ Vo el termino F siempre sera mayor que uno, necesitando que leacompane sinφ a fin de acotarle. Esto origina la existencia de un angulo crıtico φc para el cualvalores mayores de φ, φ < π/2 la transmision se anula.

23

Para energıas mayores que el potencial, el resultado para la transmision y la relacion energeti-ca es

T = cos (2φ) + 1cos (φ+ α) + 1

cosαcosφ (4.33)

E sinφ = (E − Vo) sinα (4.34)

Observamos que para α = π/2 y φ = π/2 el valor de T se anula. La primera situacion implicaun angulo de incidencia crıtico sinφc = 1− Vo

E . La relacion energetica obliga que EE−Vo sinφ ≤ 1,

ya que el termino EE−Vo no puede garantizarlo por sı mismo, necesitando que la funcion seno la

acote y generando otra vez un angulo crıtico, el ya obtenido a partir de α = π/2. Este fenomenoqueda ilustrado en la fig. 4.2, donde la transmision se anula para un angulo crıtico menor queφ = π/2 ya que los terminos energeticos no son suficientes para satisfacer la condicion.

Sin embargo, para esta situacion ocurre un efecto curioso, ya que para E � Vo los angulosse igualan, obteniendo por tanto una transmision perfecta T = 1 (en este caso, recuperamos elcaso clasico)

4.4. Problema de scattering aplicando un potencial barrera

El siguiente paso es estudiar la probabilidad de transmision y reflexion para un potencialde tipo barrera. Como el objetivo del grafeno es estudiar el efecto Tunel de Klein, considera-mos energıas menores que el potencial en cuyo caso existe una solucion analıtica de curiosafenomenologıa [14], [15].

Para energıas menores que el potencial, tenemos las siguientes funciones de onda

Ψ(x < 0, y) = 1√2eikxxeikyy

(1eiφ

)+ r

1√2e−ikxxeikyy

(1

−e−iφ

)(4.35)

Ψ(0 < x < a, y) = c11√2e−iqxxeiqyy

(1e−iθ

)+ c2

1√2eiqxxeiqyy

(1−eiθ

)(4.36)

Ψ(x > a, y) = t1√2eikxxeikyy

(1eiφ

)(4.37)

Aplicandose continuidad de onda en los puntos de union obtenemos el siguiente sistema

1 + r = c1 + c2eiφ − re−iφ = c1e

−iθ − c2eiθ

c1e−iqxa + c2e

iqxa = teikxa

c1e−iqxae−iθ − c2e

iqxaeiθ = teikxaeiφ

(4.38)

La solucion es analıtica, aunque un poco larga. A modo de ejemplo, escribimos la amplitud dereflexion:

r = 2ieiφ sin (qxa) sinφ+ sin θ−e−iqxa cos (φ+ θ)− eiqxa cos (φ− θ)− 2i sin (qxa) (4.39)

Si aplicamos un potencial mucho mas grande que la energıa (Vo � E) el angulo de salida θ espracticamente nulo y el flujo transmitido es perpendicular a la intercara del potencial:

Vo � E → E

(Vo − E) sinφ = sin θ ⇒ θ ≈ 0 (4.40)

La ec. (4.39) queda:

r = 2ieiφ sin (qxa) sinφ−e−iqxa cosφ− eiqxa cosφ− 2i sin (qxa) (4.41)

24

Figura 4.3: Representacion de la transmision en funcion del angulo, utilizando como valoresa = 100nm, Vo = 190meV , E = 80meV . Se pueden apreciar los picos de resonancias con T = 1para ciertos valores de φ

siendo entonces la probabilidad de reflexion y transmision:

R = sin2 (qxa) sin2 φ

1− cos2 (qxa) sin2 φ(4.42)

T = cos2 φ

1− cos2 (qxa) sin2 φ(4.43)

Analizando la probabilidad de transmision, observamos que para valores qxa = πN, N =0,±1... la barrera se vuelve transparente (T = 1, ver fig. 4.3); es decir, la onda se transmite conprobabilidad 1. Este efecto de resonancia se produce gracias a la conservacion del espinor, man-teniendose el electron en el mismo autoestado, tal como se observo para el caso unidimensional.

25

Capıtulo 5

Conclusiones

En este trabajo se ha analizado como las laminas de grafeno permiten observar el efectorelativista denominado Tunel de Klein sin necesidad de grandes campos aplicados, debido a lanula existencia de gap entre las bandas y el comportamiento de los electrones como fermionesrelativistas sin masa. Primero se ha realizado un estudio ideal unidimensional, facilitando elestudio de los fenomenos y la compresion de estos. Para este caso, se obtienen probabilidadesde transmision perfectas por parte de los electrones y el movimiento de estos perfectamentedeterminado por el espinor en el cual se encontraban.

En dos dimensiones, el primer cambio se notaba en el flujo, el cual ya no se encuentra ligadoa los espinores de Dirac, sino que existe una dependencia con el vector de ondas y el angulo queforman sus componentes. El grafeno bidimensional tambien presenta mas cambios respecto alcaso unidimensional, observando posibles reflexiones (la transmision ya no es perfecta). Se haanalizado el caso potencial barrera y el caso de potencial escalon para energıas menores que elpotencial aplicado, observando resonancias en la transmision de la partıcula.

El estudio del potencial barrera ha ido mas alla y se han encontrado diferentes anguloscrıticos de incidencia, dependientes de los valores energeticos y del potencial, para los cuales laonda deja de transmitirse.

Por ultimo destacar la gran utilidad que presenta las laminas bidimensionales de carbono,las cuales, como se ha podido ver a lo largo de este trabajo, nos permiten observar efectosrelativistas a bajas energıas, sin necesidad de enormes y costosos campos electricos aplicados,gracias a la relacion de dispersion obtenida para los electrones.

26

Apendice A

Sistema unidimensional

A.1. Autofunciones del sistema grafeno

Se ha visto en el Capıtulo 2 que el Hamiltoniano y las autofunciones del grafeno son:

H = vf

(0 ~

iddx

~iddx 0

); Ψ(x) =

(Ψ1(x)Ψ2(x)

)(A.1)

convirtiendose el problema de autovalores en un problema matricial

vf

(0 ~

iddx

~iddx 0

)(Ψ1(x)Ψ2(x)

)= E

(Ψ1(x)Ψ2(x)

);(vf

~iΨ′2(x)

vf~iΨ′1(x)

)= E

(Ψ1(x)Ψ2(x)

)(A.2)

Vemos que se obtiene un sistema de ecuaciones acopladas. Derivando cada ecuacion respecto ala variable x se consigue separar el sistema, logrando dos ecuaciones independientes:

Ψ′′1(x) = − E2

(vf~)2 Ψ1(x)

Ψ′′2(x) = − E2

(vf~)2 Ψ2(x) (A.3)

(A.4)

Las ecuaciones encontradas son identicas para las dos componentes del espinor. De esta manera,el espinor del grafeno se expresara a partir de un termino comun, obtenido a partir de la ecuacionanteriormente obtenida, y unos valores constantes que representaran las diferentes componentesdel espinor, siendo estas constantes determinadas a partir de los valores energeticos que posee laenergıa (mas adelante se estudiara como calcular las expresiones para las constantes). Ası pues,solo trabajamos con una unica ecuacion:

Ψ′′(x) = − E2

(vf~)2 Ψ(x)

Ψ′′(x) = −k2Ψ (A.5)

siendo la constante kk2 = E2

(vf~)2 (A.6)

La solucion al problema es expresar el termino comun Ψ como una exponencial (Ψ(x) = erx),obteniendo el resultado visto en el Capıtulo 2 :

Ψ(x) = Ae±ikx (A.7)

27

la funcion de onda total estara formada por el termino comun mas las constantes caracterısticasde cada componente del espinor

Ψ(x) = Ae±ikx(ab

)(A.8)

La energıa vendra determinada por el parametro k, que toma cualquier valor

E = ±vf~k (A.9)

A.2. Componentes del espinor de Dirac

Una vez encontradas las autofunciones del grafeno, es facil calcular las diferentes componentesque puede tomar el espinor, determinadas a partir de los diferentes valores energeticos. Operandoel Hamiltoniano sobre las ecuaciones de onda, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:

vf

(0 ~

iddx

~iddx 0

)(ab

)eikx = E

(ab

)eikx (A.10)

vf~ibik = Ea

vf~iaik = Eb (A.11)

Utilizando los diferentes valores que toma la energıa obtenemos:

E = +vf~k ⇒ a = b (A.12)

E = vf~k ⇒ a = −b (A.13)

Asignando a = 1, conseguimos las diferentes componentes del espinor de Dirac. Este sencilloprocedimiento es de gran utilidad que se repetira en varias ocasiones a lo largo del trabajo.

28

Apendice B

Sistema bidimensional: autofunciones

El Hamiltoniano del grafeno en un sistema bidimensional toma la forma

H = vf σp = vf (σxpx + σypy) (B.1)

El problema de autovalores se convierte en un problema matricial

vf

(0 px − ipy

px + ipy 0

)(Ψ1(x, y)Ψ2(x, y)

)= E

(Ψ1(x, y)Ψ2(x, y)

)(B.2)

Aplicamos separacion de variables. Las funciones de onda se expresan como

Ψ1(x, y) = X1(x)Y2(y) Ψ2(x, y) = X2(x)Y2(y) (B.3)

De esta forma, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones acopladas

−i(∂x + ∂y)X1Y1 = E

vf~X2Y2

−i(∂x − ∂y)X2Y2 = E

vf~X1Y1 (B.4)

Sustituyendo una dentro de la otra llegamos a encontrar la misma ecuacion para las dos incogni-tas. Al igual a lo que sucedıa en una dimension, la funcion de onda vendra dada por un terminocomun multiplicando a las diferentes componentes del espinor, determinadas a partir de losautovalores. El sistema encontrado es el siguiente:

−X ′′Y − Y ′′X =(E

vf~

)2

XY (B.5)

Como es habitual, la forma de resolver este tipo de ecuaciones es suponer dos terminos constantes,de forma que

−X′′

X= k2

x − Y ′′

Y= k2

y (B.6)(E

vf~

)2

= k2x + k2

y (B.7)

Suponiendo nuevamente funciones exponenciales para las variables, llegamos a obtener las fun-ciones de onda del grafeno en el sistema bidimensional

Ψ(x, y) = X(x)Y (y) = Ae±ikr(ab

)(B.8)

donde A representa el factor de normalizacion, r representa el vector posicion, k es el vector deondas definido como k = (kx, ky).Los autovalores del sistema son

E = ±vf~(k2x + k2

y)1/2 (B.9)

29

Apendice C

Flujo de probabilidad

La ecuacion de continuidad de la mecanica cuantica expresa una conservacion del flujo de laprobabilidad

∂|Ψ|2

∂t+∇ · j = 0 (C.1)

A partir del primer termino podremos obtener una expresion para el flujo j. Para ello, necesitamoscalcular las diferentes derivadas temporales de la funcion de onda

∂|Ψ|2

∂t= ∂Ψ

∂tΨ∗ + ∂Ψ∗

∂tΨ (C.2)

Utilizando la ecuacion de Schrodinger

i~∂Ψ∂t

= HΨ (C.3)

con H = vf σp, se obtienen las diferentes piezas de la derivada temporal

∂Ψ∂t

= 1i~HΨ = −vf (σx∂x + σy∂y)Φ = −vf σ∇Ψ (C.4)

∂Ψ∗

∂t= 1−i~

H†Ψ∗ = −vf (σx∂Ψ∗ + σy∂yΨ∗ = −vf σ∇Ψ∗ (C.5)

Con los resultados anteriores conseguimos la expresion del flujo cuantico, identificando los dife-rentes terminos con la ecuacion de continuidad

∂|Ψ|2

∂t= −vf (σ∇Ψ∗)Ψ− vf (σ∇Ψ) = −vfσ∇|Ψ|2 (C.6)

j ≡ 〈j〉 = vf (〈Ψ|σx|Ψ〉i+ 〈Ψ|σy|Ψ〉j) (C.7)

Este resultado se puede trasladar a una dimension, teniendo en cuenta unicamente la direccionx

j ≡ 〈j〉 = vf 〈Ψ|σx|Ψ〉 (C.8)

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Bibliografıa

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