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Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Octubre 2017

4°r. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT

Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017

Memorias

Acercamiento a la función exponencial desde un escenario de modelación y

covariación

Andrea Yamileth Vazquez Rosas (Becaria)

[email protected]

Unidad Académica Preparatoria No. 14, Universidad Autónoma de Guerrero.

María Esther Magali Méndez Guevara (Asesora)

[email protected]

Facultad de Matemáticas – Acapulco

Universidad Autónoma de Guerrero.

Marcela Ferrari Escolá(Co-Asesora)

[email protected]

Facultad de Matemáticas – Acapulco

Universidad Autónoma de Guerrero.

Introducción

Este documento reporta una experiencia en investigación, en tanto se participó en un

proyecto exprofeso para el verano de Investigación Ciencia “Asómate a la Ciencia este Verano”,

el objetivo de este fue desarrollar argumentos Matemáticos a partir de Situaciones de Modelación

y Covariación, y así en el proceso ser partícipes del diseño y análisis de situaciones de aprendizaje

se vivencio una experiencia de investigación.

El desarrollo de las actividades estuvo coordinado por dos investigadoras de la Facultad de

Matemáticas, la Dra. María Esther Magali Méndez Guevara y la Dra. Marcela Ferrari Escolá.

Además un grupo de estudiantes de la Licenciatura y Doctorado, cuyo perfil es de Matemáticos

Educativos, quienes estuvieron apoyando en la realización de las actividades, algunos de ellos

tesistas.

Los diseños de aprendizaje que se desarrollaron durante este verano de investigación se

sustentan en la Teoría Socioepistemológica, esta sostiene que las construcciones de conocimiento,

son una producción social que cambia y transforma la naturaleza y la sociedad; que los

Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017

conocimientos tienen un origen y una función social asociada a un conjunto de prácticas, de

modo que existe una relación entre la naturaleza del conocimiento y las actividades mediante las

cuales y en razón de las cuales dichos conocimientos son producidos (Cantoral, 2013).

Desde esta postura teórica, las actividades que se desarrollaron trataron conceptos del

cálculo mediante la modelación y covariación que desarrollan saberes matemáticos, que adquieren

significado, ante la situación de aprendizaje. Los temas tratados fueron: función, función

polinómica, función exponencial, función logarítmica y función Seno, y en los resultados se dieron

evidencia del cómo se construyen argumentos matemáticos por los participantes a pesar de no haber

un trabajo previo escolar.

Existen diversas acepciones sobre modelación, y sobre su rol en la enseñanza de las

matemáticas, una visión generalizada es concebirla como un proceso establecido que conviene

enseñar o implementar, porque ayuda a: aplicar conocimientos matemáticos (Blum & Borromeo,

2009); o bien es emplea como método para enseñar matemáticas mediante la resolución de

problemas (Gomez-Chacon & Maestre, 2008). Ante estas posturas la modelación se muestra ajena

de quiénes la desarrollan, y se olvida que esta, es en sí misma un proceso de construcción

conocimiento matemático (Cordero, 2006), en nuestros trabajos postulamos que en este proceso

existen elementos y prácticas esenciales y con esto se formula una categoría para la modelación

escolar ((Méndez, 2013) que propicia el desarrollo de redes de usos de conocimiento matemático

ante situaciones específicas (Cen, Zaldívar, Briceño, Méndez, & Cordero, 2014), esta categoría se

ha hecho tacita en diseños de aprendizaje que significan nociones del cálculo como: función (afín,

cuadrática, exponencial, a trozos), función derivada o integral definida (Zúñiga & Méndez, 2013;

Méndez & Cordero, 2014; Tocto & Méndez, 2015).

En cuanto a covariación, argumento que entrelazamos al de modelación al momento de

explicitarlo en los diseños. Esto es lo que provoca percibir, de manera simultánea, dos cantidades

variando de manera particular, es decir, reconocer dos patrones de crecimiento o decrecimiento. Si

en un fenómeno podemos reconocer que las variables involucradas cambian con una diferencia

constante (en la primera, segunda, etc, diferencia) estamos en presencia de curvas polinomiales lo

que nos permite reflexionar sobre una covariación de tipo lineal. Si en cambio el fenómeno

involucra un crecimiento lineal con otro exponencial, estamos en presencia de una covariación

logarítmica (Ferrari, Martínez, Méndez, 2016) que nos permite estudiar a la función exponencial y

a la función logarítmica.

Memorias del 4° Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT


Objetivo y metodología general

El objetivo planteado para este verano fue el desarrollar argumentos matemáticos a partir

de situaciones de covariación y modelación. En dicho proceso los alumnos serían partícipes del

diseño y analizarían las situaciones de aprendizaje mismo que los hizo vivir una experiencia de

investigación.

Se trabajó con 6 estudiantes de nivel medio superior de los cuales 5 provienen de distintas

preparatorias pertenecientes a la UAGro (Región Costa Chica, Costa Grande y Región Montaña)

quienes se inscribieron al Programa Verano de Investigación Científica “Asómate a la Ciencia este

Verano” UAGro. 2017, el sexto participante pertenece al Colegio de Bachilleres Plantel 2 en

Acapulco y estuvo participando de manera voluntaria.

Para lograr nuestro objetivo general se desarrollaron los siguientes diseños:

• I. Estudio del Movimiento Rectilíneo Uniforme. En este diseño de aprendizaje se trabajó

la modelación del movimiento mediante las gráficas de funciones a trozo, el comportamiento

de las funciones tratadas fueron afines y constantes.

• II. Caracterización de Funciones Polinómicas. El objetivo de este diseño de aprendizaje se

trabajó en estudio de las variaciones globales y locales para la caracterización de funciones

polinómicas.

• III. Estudio de la función exponencial. Las actividades de este diseño promovió la

caracterización de la función exponencial mediante la covariación de dos progresiones,

aritmética y geométrica.

• IV. Estudio de la función logarítmica. Las actividades de este diseño promovió la

caracterización de la función logarítmica mediante la covariación de dos progresiones,

geométrica y aritmética.

• V. Estudio de la función Seno. Las actividades de este diseño promovió la caracterización

de la función logarítmica mediante la covariación.

• VI. Análisis de comportamientos numéricos. Esta actividad consistió en plantear a los

jóvenes una serie de tablas numéricas en donde debían identificar los comportamientos

tendenciales y plantear una situación para esos datos. Se esperaba que ahí se reflejará lo

aprendido en las sesiones anteriores.

La organización del trabajo fue la siguiente:


• Se formaron 2 equipos de 3 integrantes que se fueron rotando a consideración del

coordinador de los diseños de aprendizaje.

• Se contó con un equipo de investigación que estuvo formado por estudiantes de la

Licenciatura en Matemáticas y el Doctorado en Matemática Educativa, quienes desarrollaron

actividades de coordinación académica y recolección de datos. En cada sesión hubo 2

camarógrafos en cargados de grabar a detalle el desarrollo de las actividades y 2

coordinadores encargados del diseño y gestión de la actividad matemática.

• Para la recolección de datos se emplearon dos cámaras móviles y una cámara de video fija

para tener un panorama general, se grabación el audio, grabación de pantalla (en los casos

donde se usó la computadora), se emplearon sensores de movimiento y calculadoras

graficadoras.

• Las sesiones de trabajo diario fueron de aproximadamente 5 hrs. incluyendo un receso para

la comida de 30 o 45 minutos.

Para fines del presente reporte sólo reportaremos lo acontecido durante la actividad referente a la

función Exponencial reflexionando principalmente sobre los elementos de modelación y su

conjunción con la covariación.

Objetivo y Gestión del Diseño

El diseño del cual reportamos resultados en este escrito, tiene por objetivo el estudio de la

función exponencial mediante la covariación de dos progresiones, aritmética y geométrica. Se

buscó caracterizarla, para esto se trabajó durante una sesión completa de 5 horas con 2 equipos de

tres integrantes cada uno; el coordinador a cargo previamente había solicitado a los jóvenes traer

una idea acerca de los tipos de progresiones que se pueden trabajar en matemáticas, siendo ésta,

parte de la primera actividad.

Como primera actividad, aprendimos a usar el software Geogebra para trazar y encontrar

puntos en el plano cartesiano a través de un recetario dado en un principio a ambos equipos con la

finalidad de que después lográsemos buscar y trazar más puntos sin la necesidad de ayuda. Después

de terminar con el trazo, nuestro coordinador hizo que en unas fichas anotáramos el valor de las x

que hubiésemos encontrado así como de “y” respecto a las puntos P. Una vez que encontráramos

la relación que existía entre una ficha y otra, determinamos la regla de multiplicación y división

para encontrar coordenadas positivas y negativas. Para averiguar cualquier punto P o coordenada



sin necesidad de que sea un número consecutivo, formulamos una regla general con función

exponencial que lo determinase. En la sección siguiente se muestran algunas evidencias del proceso

de caracterización de la función exponencial (Figura 1).

Resultados

Los resultados obtenidos, se obtuvieron a partir de la discusión en equipo para determinar la

expresión algebraica final.

Episodio 1: Identificando progresiones aritméticas y geométricas

Byron: Pensamos que si estos números (señala el eje x) fuesen n, la ecuación sería n(2). Es

decir, el doble número que el de arriba (refiriéndose como “arriba” el eje x).

Andrea: Nos equivocamos, no era (4,8) era (4,16) (haciendo referencia a una coordenada en

una ficha dada anteriormente).

Byron: Entonces el siguiente punto es (5,32)

Andrea: ¿Por qué?

Byron: No sé, puede ser.

Andrea: (Empieza a notar una diferencia al multiplicar por 2) Dos por dos cuatro, cuatro por

dos ocho, ocho por dos dieciséis, ajá, el siguiente número es 32. ¿Y si graficamos para

comprobar?

Figura 1. La construcción gráfica, fue el contexto de la situación


Este tipo de diálogos permitió al equipo notar una progresión de tipo geométrica en el eje de las y,

el que se logró identificar el doble producto del número anterior. El objetivo de la actividad estaba

poniendo vislumbrándose, mediante unas fichas de referencia para trazar puntos en el eje de las

abscisas y de las ordenadas, en donde se podía visualizar ya algunas características al hacer un

análisis a sus patrones numéricos (Tabla 1.1).

Tabla 1.1 Valores en las coordenadas (x, y)

x y Diferencias

en x

Diferencias

en y

Segunda

diferencia

en y

Razón en y

1 2 1

2 4 1 2 2

3 8 1 4 2 2

4 16 1 8 4 2

5 32 1 16 8 2

Progresión Aritmética Progresión Geométrica

En una tabla de valores, llamada “hoja de cálculo” en Geogebra logramos descubrir las

progresiones y cómo funcionaban para determinar el siguiente punto.

De esta manera que descubrimos que cuando a x se le suma 1 (n+1), “y” adquiere el doble del

número anterior (2n). La constante era, que si yo tenía como “x” un 5, “y” era igual a 32 , el

Figura. 2. Reconociendo progresiones en las fichas



siguiente número después de 5 era 6, por lo tanto “y” era igual al valor anterior (32) multiplicado

por 2,dando como resultado 64.

Episodio 2. Reconociendo puntos importantes dentro de la gráfica

Los llamados puntos importantes en el trazo de los puntos “P” consiguieron que los jóvenes

reconocieran la primera parte de la ecuación para unirlos. Aquí un pedazo de la discusión entre el

equipo:

Coordinador: (Coloca una ficha delante de (1,2)) Ahora pensemos, ¿yo puedo tener una ficha

delante de ésta?

Andrea: Sí, (0,1)

Coordinador: ¿Por qué?

Andrea: Porque cero es el número anterior a uno y uno en el eje “y” es la mitad de dos.

Coordinador: ¿Y otra hacia atrás?

Juan: Puede ser (-1,0)

Byron: Ok, aquí seria -1 (eje x) porque suponiendo que va para atrás se va restando uno pero

en el eje “y” no sé…

Coordinador: ¿Por qué fue uno? (eje y) Si aquí tenías el dos.

Byron: De alguna manera vamos sabiendo que si hacia adelante es el doble, hacia tras es la

mitad.

Coordinador: ¿Entonces cuál sería acá? (señala la ficha que tiene -1 en el eje x)

Byron: 0.5 y después 0.25 y 0.125 pero…

Coordinador: Entonces la regla que generen tiene que involucrar las fichas hacia atrás y que

mantengan el mismo comportamiento hacia adelante

Si ponemos un poco de atención, los mismos estudiantes se van dando cuenta de cómo crear

fichas tanto hacia adelante como hacia atrás en el primer y segundo cuadrante respectivamente,

que sin saberlo están determinando por donde pasará la curva o la línea que una a esos puntos. Esto

es una articulación entre el modelo numérico y gráfico, mediantes el análisis local del patrón

numérico.

Episodio 3. Regla de multiplicación y división para generar nuevas fichas


En este punto, los estudiantes tuvieron la oportunidad de realizar una regla de multiplicar y

dividir a partir de las discusiones dentro de sus respectivos equipos. A continuación se mostrará

uno de los diálogos más importantes.

Byron: De hecho, creo que aquí también seria cero (punto P0 con coordenadas (0,1))

Coordinador: ¿Cómo?

Byron: Que cuando x está en el punto cero, “y” también es cero.

Coordinador: Si observan este punto, es el origen (0,0). Acuérdense que todos los puntos que

están en las fichas son los puntos P, los demás son puntos auxiliares. Básicamente lo que

ustedes dijeron que el punto P0 es (0,1) (señala en la construcción), entonces ¿cuál sería el

que está antes de P0? ¿Dónde lo pongo? ¿Hacia dónde estaría? Byron dice que es después de

P0, estaría en el punto de origen. Pero si multiplican cero por cero ¿les da el siguiente número

qué es dos?

Coordinador: Ustedes ya saben cómo

funciona el crecimiento, va al doble del

número anterior y hacia atrás es la mitad.

Ahora vamos a manipular un poco las

fichas, para ver si podemos ir generando

más ficha sin la necesidad de saber el

número anterior; la actividad dos es, cómo

construyo fichas no necesariamente

utilizando la anterior. Necesitamos

generar dos reglas, una para multiplicar y

otra para dividir, es decir, con estas dos fichas (señala una con coordenadas (1,2) y la otra

(2,4)) ¿qué ficha podría yo construir? (Figura 3).

Andrea: Es que yo veo que por ejemplo si sumo 1 más 2 obtengo un 3, y 4 por 2 sería 8. Otro

ejemplo es 3 más 4 nos dan 7 y multiplicando sus valores en “y”, nos da 128 que sería las

coordenadas de ese punto.

Coordinador: Bien, ahora compártela y genera un regla de multiplicación para encontrar más

fichas.

Andrea: (Intenta generar una fórmula que sirva para expresar lo que ya encontraron) Si

tenemos un número x1 que sumamos con otro, x2 nos va a dar un número cualquiera. Ahora,

Figura 3. Encontrando una regla general



si multiplicamos sus valores en “y”, si nos da la coordenada que queremos. No sé cómo

expresar ese valor o esa fórmula (Figura 4).

Este episodio muestra cómo sucede un proceso de modelación en donde se articula todos

los elementos de la situación estudiada para proponer una expresión que generalice la relación que

sea encontrado, el modelo algebraico.

Episodio 4. Expresión algebraica final para ajustar los puntos de la curva

Como resultado final del diseño para encontrar las características de una función exponencial,

el equipo tuvo dificultades al intentar encontrar una fórmula general que ajustara los puntos

encontrados, ya que, no se concentraron en obtener la base o constante que poseía esta exponencial

aunque ya la habían hallado anteriormente, pero con algunas indagaciones en particular por parte

del coordinador.

Juan: La “y” es lo que tenemos que encontrar, de manera exponencial.

Andrea: Tú multiplicaste por dos en vez de ponerlo abajo lo pusiste arriba ¿y cómo sabes que

es 2?

Juan: Es que es lo que se tiene como base o constante que está determinando esto.

Básicamente es exponencial.

Coordinador: ¿Qué es exponencial?

Juan: Es sacar de un número, en este caso “y”, el valor en x al elevarlo. Como el 5 que es

equivalente a “x”, uno por 25 y sale 32.

Andrea: Entonces “n” no va abajo, va arriba.

Figura 4. Determinando fichas que no necesariamente sean consecutivas


Juan: “n” podría ser una variable.

Andrea: Pero se puede quitar el número uno, porque no vale nada. Sólo poner 29 y salen 512

sin necesidad de poner uno. Entonces sería “y” igual a 2n (Figura 5). Ejemplo, “y” igual a

210

Coordinador: Y eso nos da la ficha…

Andrea: Nos da la ficha 10. Entonces

cambiaríamos la “n” por la “x”

Coordinador: Y eso nos estaría diciendo en las

fichas que este es x (señalando) y este es “y”

(señala) y para obtener el valor en y, tengo que

multiplicar el 2 por algún punto en x, 𝑦 = 2𝑥.

El equipo finalmente logró encontrar esa tan

esperada formula o expresión final con toda la información recabada que ayudó a caracterizar las

funciones exponenciales. Por su propia cuenta, los integrantes analizaron todo el procedimiento

que se usó desde las progresiones hasta el resultado final notando características muy particulares

diferentes a otro tema.

Conclusiones

En lo reportado por Hernández y Arrieta (2005) acerca de la modelación del enfriamiento

del silicón da evidencia de cómo los actores construyen modelos y con ellos realizan predicciones,

articulando los diferentes modelos con el fenómeno. En lo trabajado durante las actividades en este

verano se vivencio a la modelación como una prácticas sociales que provoca la construcción de los

conceptos matemáticos como herramienta.

En particular el diseño que aquí reporto tuvo objetivos particulares considero que sólo se

cumplieron tres de los cuatro puntos importantes de la actividad para caracterizar la función

exponencial.

El primero de ellos, fue reconocer las progresiones dentro de la construcción de puntos “P”

tanto la aritmética como la geométrica y establecer una regla para cada una. El equipo logró

reconocer rápidamente como estaban relacionadas, con pequeños errores al principio, pero una vez

que captaron la idea, descubrieron la siguiente coordenada y entonces establecieron una expresión

preliminar.

Figura 5. Borradores de la ecuación



Otra idea transcendental, fue reconocer puntos clave en la construcción geométrica, esto

fue orientado por preguntas auxiliares por parte del coordinador que fueron resueltas por los

integrantes del equipo al observar detenidamente el comportamiento del punto P0 que

explícitamente no estaba en las instrucciones a trazar dentro del recetario. Sin embargo hubo un

problema, la pérdida enfoque en la forma de la curva, ello al momento de construir puntos a la

inquierda del punto (0,0), dado que la mayoría del análisis se centró únicamente en encontrar el

modo de unir los puntos mediante una ecuación o una relación considerando la forma de sus

variaciones, regla de multiplicar y regla de dividir, es decir fue un momento en donde se perdio la

idea de artícular los modelos con el contexto de la situación.

Empero las dificultades para caracterizar la función exponencial se llego a la expresión

algebraica necesaria para unir dichos puntos “P” una vez que se retomo la idea de articular lo

numérico y la construcción de puntos particulares. En general los estudiantes se quedaron con la

idea de que en una situación matemática o extra escolar es necesario analizar, comprender y

expresar las formas de variación.

En las actividades del verano, notamos que a pesar de que uno no este familiarizado con

una temática, tan compleja como función exponencial por mencionar una, se puede comprender su

comportamiento general basados en los usos de conocimientos previos que se han adquirido a lo

largo de nuestras vidas personales y académicas, en interacción con compañeros que también

comparten sus ideas, pensamientos, dudas y formar de solución ante una situación.

Posiblemente, esta función no la apliquen tanto en la vida cotidiana como puede ser sumar

o restar para la compra de un producto, pero al menos ya tienen una idea de la modelación que

pueden compartir dentro de su comunidad estudiantil sin ningún problema, ya que, ésta no fue

hecha para un grupo en específico ni exclusivamente para la matemática educativa, sino al

contrario, que con los conocimientos que el alumno ya tenga, se puede ampliarlos mediante el

análisis de una situación en todo el ámbito de las ciencias y llevarlo a un contexto más real.

En lo particular creo que en la clase de matemáticas, debieramos tener un espacio para el

ejercicio de prácticas, donde los estudiantes y profesores participen en la construcción de sus

conocimientos.


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