Nombre alumno: Josue Rafael Alvarez Chávez Registro: 9110008Modulo: Primer Parcial Materia: DinámicaNombre profesor: Cesar Octavio Martínez Padilla

Bibliografía:

Física Volumen 1 Robert Resnick – David Halliday – Kenneth S. Krane Física Conceptos y Aplicaciones Paul E. Tippens http://www.profisica.cl/conceptos/mru.pdf

http://www.didactika.com/fisica/cinematica/movimiento_rectilineo_uniformemente_variado.ht

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Titulo: Tipos de Movimientos y sus causas.

Planteamiento del problema: ¿Por qué es importante considerar los movimientos en los cuerpos en ingeniería?

Investigación.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.).

El movimiento rectilíneo uniforme cuando el móvil describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando la aceleración (a) de la partícula es cero para cualquier valor de t. La velocidad es constante, y la ecuación se transforma en: dx/dt=v; v=constante. Nos referimos a el mediante el acrónimo MRU

Sabemos que la velocidad v es constante; esto es, no existe aceleración.

La posición x en el instante t viene dada por: x=x0 + vt

Donde x0 es la posición inicial.

El MRU se caracteriza por:

* Movimiento que se realiza sobre una línea recta.* Velocidad constante, implica magnitud y dirección constantes.* La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.* Aceleración nula.

Ejemplo de M.R.U.

Supongamos un auto de juguete que se mueve a lo largo de una línea recta, para el que se registran datos de posición (d) y tiempo (t) de su movimiento, como se muestra en la figura que sigue:

Con esa información construyamos un gráfico d v/s t.

Se observa que la curva graficada es una línea recta. Esto nos lleva a concluir que las variables d y t son directamente proporcionales. Y si es así, entonces hay una razón entre ellas, esa razón la encontramos a través del cálculo de la pendiente de la recta. Para el cálculo de la pendiente escojamos dos puntos de la recta: (1 [m], 5 [s]) y (6 [m], 30 [s]) y reemplacemos en la fórmula para la pendiente (al lado derecho se muestra).

Para comprender acertadamente el resultado que se tiene, más importante que el valor numérico es fijarse en la unidad de medida que resulta. En este caso es [m/s] y esta unidad corresponde al concepto de rapidez. Por lo tanto, se puede concluir que la pendiente en el gráfico d v/s t representa la rapidez del objeto que se mueve.

Entonces, el autito de juguete se movió a con una rapidez de 0,2m/s.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

El movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemática, respectivamente, son:

La velocidad v para un instante t dado es:

, siendo v0 la velocidad inicial. 

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

  , donde x0 es la posición inicial.

PROBLEMAEn el instante que el automóvil comienza a moverse hacia la derecha con una aceleración de módulo constante a = 8 m/s2, en la forma que se indica, en el punto P explota una bomba. Determinar después de qué tiempo el conductor del automóvil escucha la explosión (Vsonido = 340 m/s). RESOLUCIONSea t el tiempo que tarda el sonido, que se mueve con una velocidad constante de 340 m/s, en alcanzar al auto.

Como el sonido se mueve con MRU la distancia recorrida por su frente de onda será proporcional al tiempo t, es decir:

Como el auto parte del reposo (Vo = 0) y se mueve con MRUV la distancia recorrida por este móvil será proporcional al cuadrado del tiempo t, es decir:

Pero de la figura:

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos valores para t:

Según esto, hay dos instantes de tiempo en donde se cumple que el frente de ondas del sonido y el auto se encuentran en un mismo punto: a los 5 y a los 80 segundos. Después de 5 segundos de la explosión el sonido alcanzó al auto y su conductor escucha la explosión. Pero como el sonido, en ese instante, se propaga con una mayor rapidez que la del auto (la velocidad del auto en ese instante es de 40 m/s), el frente de ondas del sonido se adelantará al auto. Pero como la rapidez del auto aumenta gradualmente con el tiempo, llegará un momento que su rapidez superará la rapidez del sonido y a partir de ese instante (t = 42,5 s) el auto se acercará al frente de ondas y a fin de cuentas la alcanzará después de 80 segundos de producida la explosión.

Movimiento Circular

El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.

En el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos específicos para este tipo de movimiento:

Eje de giro: es la línea alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo, pero para cada instante de tiempo, es el eje de la rotación.

Arco: partiendo de un eje de giro, es el ángulo o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián.

Velocidad angular: es la variación de desplazamiento angular por unidad de tiempo. Aceleración angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo.

En dinámica del movimiento giratorio se tienen en cuenta además:

Momento de inercia: es una cualidad de los cuerpos que resulta de multiplicar una porción de masa por la distancia que la separa al eje de giro.

Momento de fuerza: o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro.

Tiro Vertical.

El tiro vertical en el vacío, es una caso particular de M.R.U.V. puesto que la aceleración es constante: es la llamada aceleración de la gravedad (g = 9,8 m/s2).

Este movimiento se conoce generalmente como “movimiento vertical en el vacío”. Que se realicen en el vacío implica que no hay ningún tipo de resistencia al movimiento, como fuerzas de fricción o rozamientos, que serían comunes en movimientos en el aire. La única fuerza que está actuando es el peso del cuerpo, la cual determina la existencia de la aceleración de la gravedad. Si bien esta aceleración no es constante en todos los puntos del planeta tomaremos por el momento el valor de 9,8 m/s2 y más adelante, en Dinámica discutiremos sus variaciones.

En la siguiente aplicación interactiva se ilustra este tema de los movimientos verticales en el vacío: la Caída Libre y el Tiro Vertical.

En el cuadro precedente se muestra como a partir de las fórmulas ya conocidas de M.R.U.V. pueden deducirse fácilmente el Tiro Vertical.

El Tiro Vertical, en cambio es un movimiento donde al cuerpo se lo arroja hacia arriba con una velocidad inicial Vi. En el camino de subida el movimiento es retardado pues la aceleración es hacia abajo y la velocidad hacia arriba. El móvil va disminuyendo su velocidad hasta detenerse en el punto más alto del trayecto. Luego comienza a bajar por efecto de la aceleración de la gravedad que en todo momento sigue “atrayéndolo” hacia abajo. Se usa un sistema de referencia que tiene el origen en la posición inicial del cuerpo, que puede ser el suelo o un determinado nivel de referencia.

El eje crece hacia arriba, de manera que la velocidad inicial se toma como positiva; la aceleración de la gravedad se toma como negativa reemplazando “a” por “-g” en las fórmulas. Se entiende entonces que el símbolo “g” equivale a + 9,8 m/s2.

El desplazamiento “Dx” se sustituye por “Dh” que refleja la altura subida por el cuerpo en un cierto instante. En este caso sí el “Dh” es igual a la altura a que está el móvil del suelo en un cierto instante (si es que dicho móvil partió del suelo).

Luego que el móvil alcanzó su altura máxima, comienza a descender haciéndose negativa su velocidad (pues es hacia abajo). Ahora el movimiento es acelerado hacia abajo.

Para hallar la altura máxima que alcanza un móvil con Tiro Vertical, sabiendo la velocidad inicial con que fue arrojado, se puede usar la tercera fórmula del T.V.:

Si se conociera la altura máxima que debe alcanzar el móvil, se puede despejar la velocidad con la que debe ser arrojado.

Exponemos un ejemplo para que el alumno sepa como trabajar con las fórmulas de los movimientos verticales en el vacío, y como se deben elegir los instantes inicial y final con los que se va a operar.

Se arroja verticalmente hacia arriba un cuerpo desde 60 m de altura del suelo y con una velocidad inicial de 20 m/s. Se desea calcular cuanto tiempo demora en caer al suelo.

Se definen con precisión el instante inicial (1) y el instante final (2) con que se va a trabajar para hallar el Dt requerido. La posición inicial es Xi = 60 m y la posición final es Xf = 0 m pues el móvil está sobre el origen del sistema de referencia. Debemos buscar la fórmula que relacione posición y tiempo, pues esos son nuestros datos e incógnitas.

Reemplazando:

La cual es una ecuación cuadrática, cuyas soluciones son:

Tiro Parabólico.

Supongamos que se dispara un proyectil, con velocidad inicial v0, desde una altura h, formando un ángulo con la horizontal. Se pretende calcular la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida.

Como suposiciones simplificadoras se despreciará el rozamiento del aire y se considerará que la aceleración de la gravedad es constante durante el vuelo del proyectil.

Para resolver el problema utilizaremos la segunda ley de Newton:

F→

=m⋅a→

Como hemos despreciado el efecto del rozamiento del aire la única fuerza que actúa sobre el proyectil es la fuerza de la gravedad. Además, ésta está siempre dirigida hacia abajo (dirección y negativa). Por otra parte, la aceleración es, por definición:

a→

=d2 r

→

dt2

Suponemos que el proyectil se mueve en el plano x-y, entonces:

a→

=d2 x

dt 2i⃗+ d

2 y

dt 2j⃗

Donde i y j representan vectores unitarios en las direcciones x e y respectivamente. Por tanto, la segunda ley de Newton toma la forma:

−mg j⃗=m ( d2 xdt 2 i⃗ + d2 y

dt 2j⃗ )

Para resolver esta ecuación procedemos igualando componentes:

−g=d2 ydt 2

∴ 0= d2 xdt 2

Estas ecuaciones diferenciales son muy fáciles de resolver, simplemente hay que integrar dos veces y tener en cuenta las constantes de integración (velocidad y posición iníciales).

La ecuación en la coordenada y conduce a:

v y=v0 y−gt , (Primera integración, aparece la constante inicial de velocidad).

y= y0+v0 y t−gt

2

2 , (Segunda integración, produce la constante inicial de posición).

• Para la coordenada x tenemos :

v=v0 xx=x0+v0 xt

Podemos, en este momento, observar por qué a este movimiento se le llama tiro parabólico, la función y (t) (posición en función del tiempo) es la ecuación de una parábola.

Una vez obtenidas las ecuaciones del movimiento se pueden resolver las cuestiones iníciales.

a) Altura máxima

Llamaremos al punto de máxima altura ymax. En este punto, la componente vertical de la velocidad del proyectil tiene que ser cero. Matemáticamente podemos ver esto de la siguiente manera.  

Nuestro problema consiste en hallar el valor máximo de y (t). Pero sabemos que el máximo de una función se obtiene derivando dicha función e igualándola a cero, así:

dy ( t )dt

=0

Pero, por definición la derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, por tanto llegamos a la conclusión inicial. Utilizando la expresión de la velocidad calculada en el apartado ecuaciones del movimiento podemos calcular el tiempo que tarda el proyectil en llegar a la máxima altura:

0=v0 y−g⋅t⇒ tmax=v0 yg

El valor de la velocidad inicial en la coordenada y se puede calcular de los datos del problema y observando la figura adjunta.

tmax=v0 senθg

sustituyendo⇒ ymax= y0+(v0 senθ )2

g− g2 ( v0 senθg )

ymax= y0+12

(v0 senθ )2

g

a) Distancia horizontal.

Ahora queremos calcular la distancia horizontal que recorre el proyectil. Esta distancia viene dada por la

expresión: x= v0 x ¿ t= v0cosθ⋅t

Donde t será el tiempo que permanece el proyectil en el aire. Este tiempo será el que tarda en alcanzar la altura máxima (calculada antes) y el que tarda en caer desde dicha altura al suelo.

Cuando el cuerpo esté en el suelo, su coordenada y será nula, por tanto:

0= y0' +v0 y

'¿ t− gt

2

2 , En este caso, es la posición inicial, que coincide con el instante en el que el proyectil alcanza la máxima altura, por tanto:

y0´= ymax

Y V’0y será la velocidad en el punto de máxima altura, este punto fue calculado anteriormente y como vimos era cero. Por tanto:

0= ymax−g t

¿

2⇒2 ymaxg

=t¿

⇒ t '=√ 2 ymaxgEste es el tiempo que tarda el proyectil en caer desde la altura máxima al suelo. Por consiguiente, el tiempo de vuelo ha sido:

t=tmax+t'

• Y la distancia horizontal recorrida se obtiene fácilmente :

x=v0cosθ⋅t

En esta expresión podemos sustituir el valor de t, obteniéndose una expresión un tanto compleja:

x=v0cosθ ( v0 senθg+√ 2g ( y0+ (v0 senθ )2

2 g ) )Con esto queda estudiado el tiro parabólico. Cualquier otro problema relacionado con movimiento cerca de la superficie de la tierra puede estudiarse de manera totalmente análoga a este.

Movimiento Armónico Simple.

El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento.

t=tmax+t'

Un ejemplo de dicho movimiento es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin fricción.

Donde k es la constante de elasticidad del resorte.

Pregunta

¿Qué resorte se estirará más por la acción de una misma fuerza, uno de k = 200 N/m o uno de 400 N/m?

Energía del MAS

La energía que almacena un resorte está dada por la expresión: , y recibe el nombre de Energía potencial elástica .

La unidad de la energía almacenada por el resorte es el joule (J).

La energía potencial elástica cambia de valor cuando cambia la elongación del resorte.

Es máxima cuando la elongación es igual a la amplitud y mínima cuando la elongación es cero; es decir, se encuentra en la posición de equilibrio.

Por el contrario, la energía cinética del cuerpo en M.A.S. es máxima cuando se encuentra en la posición de equilibrio y cero en las posiciones de máxima elongación (amplitud).

Si el bloque oscila sobre una superficie sin fricción, la energía total se conserva, por lo que al escribir la ley de conservación de la energía entre cualquier punto de la trayectoria del cuerpo y el extremo se tendrá:

El MAS puede interpretarse como el estudio del movimiento de la proyección de un cuerpo que realiza un movimiento circular uniforme.

Recordemos que en el MCU

Por lo que si se escribe la ecuación matemática de la trayectoria de la proyección, se tendrá:

O,

La ecuación del MAS es:

A, ω y δ son constantes, A es la amplitud, el desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio, El argumento de la función sen (ω t + δ) se denomina fase y la constante δ es el ángulo de fase.

Argumentación y conclusión.-

Los tipos de movimientos pueden ser medidos teniendo en cuenta los factores en el cual cada uno de ellos a sido desarrollado, son importantes para su estudio debido a la importancia que en ellos se representa.

Por lo tanto podemos concluir, En la tierra como en el universo podemos encontrar estos movimientos y el estudio de nuevos, los cuales nos permitan saber con precisión la Velocidad, Tiempos de impacto, Trayectorias, Ángulos de desplazamientos, Distancias, que son muy importantes para las tecnologías de hoy en día algunas utilizadas por el ejercito como son los proyectiles, los cohetes, ondas de impacto, etc, entre otras aplicaciones mas que no son precisamente de usos militares.