Modelos de Regresión para

Series de Tiempo

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Presentación preparada por:

Norlan Rodríguez

Héctor L. Rodríguez

Para la clase: MATH 6400 Estadística Matemática Avanzada

31 de marzo de 2011

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¿Qué son las Series de Tiempo ?

• Una serie de tiempo es una secuencia de puntos

de data, medidos típicamente a intervalos

sucesivos y separados uniformemente en el

tiempo.

• Las series de tiempo surgen en muchas

aplicaciones de las estadísticas y se usan para

predecir el valor futuro de una variable medida:

• en estadísticas de estudios sociológicos sobre

desempleo, crimen,

• en estadísticas económicas sobre producción, tasas

de interes,

• en estadísticas meteorológicas sobre temperaturas,

cantidad de lluvia, presión barométrica,

• y otras aplicaciones…..

¿Dónde se usan las Series de Tiempo ?

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Componentes de una Serie de Tiempo

• Trend (Tendencia) - un patrón persistente hacia arriba o hacia abajo en la serie de tiempo

Time

Trend

Random

movement

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Componentes de una Serie de Tiempo

• Seasonal (Temporada) - La variación depende del tiempo en el año. - Cada año muestra el mismo patrón de temporada.

Time

Seasonal

pattern

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Componentes de una Serie de Tiempo

• Cyclical (Cíclico) -Un movimiento que sube y baja y se repite a lo largo de un período de tiempo.

Time

Cycle

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Componentes de una Serie de Tiempo

• Noise o random fluctuations (Outliers) - irregular - No siguen un patrón éspecífico. - Tienen corta duración no repetitivo.

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Métodos de análisis para Series de Tiempo

• Las series de tiempo se analizan usando dos métodos

principales:

• Arima (AutoRegressive Integrated Moving Average)

• Regresión (Autoregresión)

• Esta presentación se concentra en el método de:

regresión o modelo de tendencia lineal.

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¿Qué es Regresión?

• El análisis de regresión es una técnica que permite

estudiar y medir la relación que existe entre dos o

más variables.

• La meta es hacer un estimado del valor de una

variable en función de una o más variables.

• La variable estimada es la variable dependiente y

comúnmente se designa por Y.

• Las variables que explican las variaciones deY son

las variables independientes y se designan con X.

• El análisis de regresión busca también establecer la

confiabilidad de los estimados y las predicciones

obtenidas.

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¿Cómo Funciona la Regresión?

• En el análisis de regresión lineal (por ejemplo) se

entran los datos al archivo de una computadora. Se

corre un programa que calcula la pendiente y el

intercepto de una

linea que pasa por

el centro de los

datos y se usa esta

linea y su ecuación

para predecir el

valor de la variable

dependiente.

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¿Cómo Funciona la Regresión?

• Autoregresión = Es una situación en la cual una data

de una serie de tiempo de un período, exhibe una

relación de causa y efecto con la data del período

anterior.

• La regresión o Autoregresión en este caso se usa en las

series de tiempo mayormente cuando la data muestra

una tendencia consistente y se puede obtener una

ecuación que modele la data. No funciona para

tendencias estacionarias.

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Regresión en Series de Tiempo

• No toma en cuenta los cambios por temporadas

(seasons).

• Un modelo con tendencia lineal obedece a la

siguiente ecuación:

Yt = a + bt

donde:

t es el índice de tiempo para cada período,

t = 1, 2, 3,…

.

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Regresión en Series de Tiempo

• Las temporadas (seasons), en las series de tiempo se

deben ajustar para poder realizar los pronósticos.

Ajustar Seasons

Pronostico

Reestablecer

Data Actual Data Ajustada

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Regresión en Series de Tiempo

• Para ajustar las temporadas de la data, esta se divide

por un índice de temporada:

Data Ajustada = Data Actual / SI

• Para reestablecer la data a su forma original, esta se

multiplica por el índice de temporada:

Data Reestablecida = Data Ajustada * SI

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Regresión en Series de Tiempo

• ¿Qué es el “Seasonal Index”?

SI = (Seasonal Index) Es una proporción entre la

demanda actual y la demanda promedio. Es un

índice que se puede usar para comparar una

observación actual con relación a lo que sería

si no hubiera variación de temporada.

• ¿Cómo se calcula?

- Existen muchos métodos para calcular los

“seasonal indices”

- Para nuestro ejemplo usaremos el método de

porciento del promedio.

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Regresión en Series de Tiempo

Year 1st Trim.

2nd Trim.

3rd Trim.

4th Trim.

1 19.65 16.35 21.30 14.90

2 28.15 25.00 29.85 23.40

3 36.75 33.60 38.55 32.10

4 45.30 42.25 47.00 40.65

5 54.15 51.00 55.75 49.50

6 62.80 59.55 64.40 58.05

• Para nuestro ejemplo consideremos una serie de tiempo

que tiene una data trimestral para 6 años, resumida en la

siguiente tabla:

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Regresión en Series de Tiempo

• Primero calculamos el promedio aritmético para los

6 años.

Year Sum Mean

1 72.2 18.05

2 106.4 26.6

3 141.0 35.25

4 175.2 43.8

5 210.4 52.6

6 244.8 61.2

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Regresión en Series de Tiempo

• Luego dividimos las lineas de la tabla inicial por el

promedio trimestral del año correspondiente y

multiplicamos por 100.

Year 1st Trim. 2nd Trim. 3rd Trim. 4th Trim.

1 108.86 90.58 118.01 82.55

2 105.83 93.98 112.22 87.97

3 104.26 95.32 109.36 91.06

4 103.42 96.46 107.31 92.81

5 102.95 96.96 105.99 94.11

6 102.61 97.30 105.23 94.85

Indices 104.66 95.10 109.69 90.56

• Luego

calculamos el

promedio

aritmético

para obtener

los índices de

temporada.

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Regresión en Series de Tiempo

• Para transformar la serie de tiempo a una sin temporadas se divide cada punto de la serie por sus respectivos valores de SI: y ’ = y / SI

• El resultado es una data transformada (serie tiempo nueva) con los efectos de temporada removidos. • Pronosticar Por último se calculan los parámetros del modelo de tendencia lineal con los datos de la nueva serie y se pronostica para el valor deseado de la variable independiente

Bibliografía • Robert H. Shumway and David S. Stoffer (2011) . Time Series

Analysis and Its Applications With R Examples. Third edition.

New York: Springer.

• Dr. Subhashish (Sub) Samaddar. Georgia State University.

www.gsu.edu/~dscsss/teaching/mgs3100

• Yadolah Dodge (2008). The Concise Encyclopedia of Statistics.

New York: Springer

• Richard B. Darlington

http://www.psych.cornell.edu/darlington/series/series0.htm

• http://en.wikipedia.org/wiki/Seasonal_Variation

• http://en.wikipedia.org/wiki/Time-series_regression