UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE QUIMICA

TECNOLOGIA E INGENIERÍA

CURSO:ANALISIS Y SIMULACION DE PROCESOS

DETERMINACION DEL TIEMPO DE VACIADO DE UN TANQUE

CATEDRATICO : ING. PASCUAL VÍCTOR GUEVARA YANQUI

ALUMNO : ROMANI MONTES MIGUEL ANGEL

IX SEMESTRE

SECCIÓN : “A”

Huancayo 2013

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Determinar el modelo matemático más adecuado para determinar el tiempo de vaciado de un

tanque cilíndrico

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Comprobar el modelo matemático del tiempo de descarga sin considerar las pérdidas de

energía por fricción

Comprobar el modelo matemático del tiempo de descarga considerando el coeficiente de

descarga

RESÚMEN

El presente trabajo tuvo como objetivo formular un modelo matemático aplicando los mecanismos de

transferencia físico y químico. Se obtuvo tres modelos matemáticos, todos comparados con los datos

obtenidos experimentalmente.

Tiempo de descarga sin considerar las pérdidas de energía por fricción

Tiempo de descarga considerando el coeficiente de descarga

El experimento consistió en el vaciado de un tanque conectado a un tubo horizontal en la base. El

cilindro tubo un diámetro de 13.9cm y el tubo de descarga conto con un diámetro de 0.1cm.

Realizando las corridas experimentales se comprobó que el modelo matemático más adecuado es la

del “Del tiempo de descarga considerando el coeficiente de descarga”.

I. MARCO TEÓRICO

a. Balances Macroscópicos en Sistemas Isotérmicos

Los balances macroscópicos son muy utilizados en el análisis de sistemas ingenieriles de

flujo los balances se aplican descartando los términos que resultan despreciables en un determinado

problema.

Para saber que términos pueden despreciarse se requiere cierta intuición y en algunos casos

se necesitan algunas observaciones experimentales acerca del comportamiento del flujo.

b. Balance Macroscópico de Materia

La ley de la conservación de la masa establece que la masa no puede ser ni creada ni destruida. Con

respecto al volumen de control, se puede enunciar la ley de conservación de la masa de la siguiente

manera.

La expresión integral que corresponde al equilibrio de la masa en un volumen general de control:

1

Figura 1: Flujo permanente unidimensional en un volumen de control

El valor absoluto del producto escalar (v.n) es igual a la magnitud de la velocidad en cada una de las integrales ya que los vectores velocidad, así como los vectores normales dirigidos hacia fuera son colineales, tanto en (1) como en (2).

En (2) ambos vectores tienen el mismo sentido, por lo que el producto es positivo

La expresión de la conservación de la masa se simplifica a:

dmtotdt

=ρ1 ⟨v1⟩ S1−ρ2 ⟨v2⟩ S22

Donde mtot es la masa total de fluido contenida entre los planos 1 y 2. Utilizando el símbolo

w=ρ ⟨v ⟩ S para la velocidad y la notación Δw para w2−w1 (el valor de salida menos el valor a la

entrada), el balance macroscópico de materia en estado no estacionario se transforma en:

dmtotdt

=−Δw3

En estado estacionario, la masa total de fluido en el sistema no varía con el tiempo, entonces el

balance macroscópico de materia en estado estacionario es:

Δw=0 4

Es decir, que la cantidad de materia que entra es igual a la que sale.

c. Balance Macroscópico de Energía Mecánica

El balance macroscópico de energía mecánica en estado no estacionario para flujo isotérmico:

Figura 1: Volumen de control con flujo unidimensional a través de las fronteras

5

Para un sistema en estado estacionario y sin pérdidas debidas a la fricción:

6

d. Número de Reynolds (Re)

7

e. Factor de Fricción (f)

Flujo laminar (Re < 2,1x103) 8

Flujo Turbulento (2,1x103 < Re <105) 9

f. Ecuaciones para el tiempo de vaciado en un tanque

PRIMER MODELO MATEMATICO

Ecuación analítica sin considerar pérdidas de energía

Se tiene el esquema del tanque:

DATOS DEL TANQUE:

D= 13.9cmD= 0.1 cmL= 5 cmH= 13 cm

Balance de materia

10

Balance de Energía Mecánica

Utilizamos la ecuación directa de Bernoullí y despreciando las perdidas de energía por

fricción, la cual está formulada de la siguiente manera para nuestros 2 puntos de estudio:

P1ρ g

+z1+v12

2g=P3ρ g

+z3+v32

2g 11

P1 = P3 = P0 (Presión atmosférica)

v1 0 (despreciable)

z3 = h3 = 0 (nivel de referencia)

z1 = h1 = h(t) (variable con el tiempo)

Resultando:

12

Sustituyendo (12) en (10) y reordenando se obtiene:

13

Integrando la ecuación diferencial de primer orden (13) asumiendo como límites:

t = 0 ; h = h1 – h3 = H (porque tomamos como nivel de referencia a h3)

t = td ; h = h1 = h3 = 0

14Tiempo de descarga sin considerar las pérdidas de energía por fricción

…………………………………………(I)

SEGUNDOR MODELO MATEMATICO

Considerando el coeficiente de descarga Cd.

15

Tomando la ecuación:

El cociente entre la velocidad real, vR, y la teórica, v3, recibe el nombre de coeficiente de

velocidad Cv, es decir:

16

Por lo tanto:

17

Figura 2: Fenómeno de contracción del líquido por el orificio.

18

Obtenemos la siguiente ecuación

19

Obteniendo de esta forma la ecuación para el tiempo de descarga

calculando Cd

II

La última expresión trata de linealizar la ecuación para obtener mediante el método de mínimos

cuadrados el valor de Cd.

II. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

2.1 EQUIPOS Y MATERIALES

Recipiente graduado de 12.9 cm de diámetro y 10 cm de alto (Tanque para simular el

tiempo de descarga).

1 cronómetro.

2.2 REACTIVOS

Agua

2.3 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Tomar todos los datos necesarios como temperatura del agua, densidad, y

viscosidad.

Llenar el tanque hasta una altura h1

Empezar con la descarga del líquido.

Anotar el tiempo que toma en descargar una altura h2 determinada.

Repetir el paso anterior para varias alturas diferentes.

III. CÁLCULOS Y RESULTADOS

3.1 Datos de las condiciones de trabajo:

Diámetro interior del recipiente (D) = 13.9 cm <> 0.139 m

Diámetro del tubo (d) = 0,1 cm <> 1.00x10-3 m

Longitud del tubo (L) = 5 cm

3.2 Datos tomados de la experimentación

DATOS EXPERIMENTALES

H ( cm) T (min)10 09 2678 5347 814,26 1168,25 14944 18003 2215,82 26641 3127,80 3702,00

3.3 Calculando el td

Este modelo es tomado del análisis del marco teórico y se denomina pseudo - estacionario:

A0=π d2

4=π ×0.001

2

4=7.854×10−7m2

Utilizando la ecuación “I”:

t d=π ×D 2√H

√8× A0×√g

t d=π ×0.1392√H

√8×7.854×10−7×√9.81

t d=8723.888×√H

Tabulando las alturas del experimento en (a), calculamos los respectivos tiempos de

descarga:

Experimental TeoricoH ( cm) T (seg) T (seg)

0 0 0,00

1 267 2758,74

2 534 3901,44

3 814,2 4778,27

4 1168,2 5517,47

5 1494 6168,72

6 1800 6757,49

7 2215,8 7298,93

8 2664 7802,88

9 3127,8 8276,21

10 3702,00 8723,89

3.4 Cálculo del coeficiente de descarga Cd

Tabulando la ecuación linealizada:

H, m td , s Ln(H) Ln(td)

0,01 267 -4,6 5,6

0,02 534 -3,9 6,3

0,03 814,2 -3,5 6,7

0,04 1168,2 -3,2 7,1

0,05 1494 -3,0 7,3

0,06 1800 -2,8 7,5

0,07 2215,8 -2,7 7,7

0,08 2664 -2,5 7,9

0,09 3127,8 -2,4 8,0

0,1 3702,00 -2,3 8,2

Aplicando mínimos cuadrados se obtiene:

ln ( t )=10.75+1.138× ln (H )

Entonces:

m=1.138

ln (K )=10.75

K=46630.029

Cd=π ×D2

√8×K × A0√ gCd=0.187

Finalmente el modelo se representa de la siguiente forma:

Cd=( π ×D2

√8× K× A0√g)H m

Cd=( π ×0.1392

√8×0.187×7.854×10−7√9.81)H 1.138

t d=46651.809H0.677

Tabulando las alturas del experimento, calculamos los respectivos tiempos de descarga:

Experimental Teórico

H ( cm) T (seg) T (seg)0 0 0,00

1 267 247,10

2 534 543,80

3 814,2 862,65

4 1168,2 1196,78

5 1494 1542,75

6 1800 1898,47

7 2215,8 2262,51

8 2664 2633,81

9 3127,8 3011,59

10 3702,00 3395,22

IV. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Del primer modelo matemático obtuvimos el siguiente error porcentual:

H ( cm) %error0 0,001 69,392 56,723 46,124 33,055 23,416 15,777 4,008 7,969 19,51

10 34,19

Entonces de esta tabla podemos observar que el primer modelo matemático tiene un porcentaje de

error considerable al iniciarse el vaciado del líquido, pero va disminuyendo a medida que el fluido va

descendiendo.

Del segundo modelo matemático obtuvimos el siguiente error porcentual:

H ( cm) %error0 0,001 8,052 1,803 5,624 2,395 3,166 5,197 2,068 1,159 3,86

10 9,04

Podemos observar que este modelo matemático al considerar el coeficiente de descarga, el

porcentaje de error es muy pequeño.

V. CONCLUSIONES

Se utilizó el primer modelo matemático, el cual se comprobó que tiene un considerable

porcentaje de error

Se utilizó el segundo modelo matemático, el cual tiene un porcentaje de error despreciable

respecto al experimental

Se determinó que el modelo matemático mas adecuado para encontrar el tiempo de vaciado

de un tanque es la “Del tiempo de descarga considerando el coeficiente de descarga”.

VI. RECOMENDACIONES

Al tomar los datos como el tiempo y altura, intentar cometer el mínimo error de lectura.

Se puede realizar el experimento haciendo variar la altura del tubo de descarga como del

volumen del recipiente.

VII. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

HUNTER, Rouse. “Hidráulica”. Madrid. Dussat S. A. 1990.

J.R WELTY, C.E WICKS Y R.E WILSON, ”Fundamentos de la transferencia de Momento , Calor y Masa”, 1 ra reimpresión, Editorial LIMUSA, MEXICO 1983

FORCHHEINER, Philipp. “Tratado de Hidráulica”. Barcelona. Labor S.A. 1995.

STREETER, Victor L. “Mecánica de Fluidos”. Mexico. Mc Graw-Hill. 1995

VALIENTE B, Antonio. “Problemas de flujos de Fluidos”. Mexico. Limusa Noriega. 1990

VENNARD, John K. And ROBERT L. Street. “Elementary Fluid Mechanics”. New York. John

Wiley and sons.