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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES GRADO EN ECONOMÍA Un análisis estadístico del FTSE 100 Trabajo Fin de Grado presentado por Francisco López Caballero, siendo el tutor del mismo el profesor José Manuel Gavilán Ruiz Vº. Bº. del Tutor Alumno/a: D. José Manuel Gavilán Ruiz D. Francisco López Caballero Sevilla. Junio de 2014

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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

GRADO EN ECONOMÍA

Un análisis estadístico del FTSE 100

Trabajo Fin de Grado presentado por Francisco López Caballero, siendo el tutor del mismo el profesor José Manuel Gavilán Ruiz

Vº. Bº. del Tutor Alumno/a: D. José Manuel Gavilán Ruiz D. Francisco López Caballero

Sevilla. Junio de 2014

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GRADO EN ECONOMÍA FACULTAD DE CIENCIAS

ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2013-2014]

TÍTULO: UN ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL FTSE 100 AUTOR: FRANCISCO LÓPEZ CABALLERO TUTOR: D. JOSÉ MANUEL GAVILÁN RUIZ DEPARTAMENTO: DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I ÁREA DE CONOCIMIENTO: ESTADÍSTICA RESUMEN:

A lo largo de este trabajo, se analizan algunas de las premisas básicas que establece el modelo de Black & Scholes para la evolución temporal de los precios de un activo financiero, principalmente se analiza aquella premisa que establece que las variaciones de los activos financieros entre intervalos de tiempo se ajustan a una distribución normal y son independientes entre intervalos de tiempo que no se solapan. Para ello se usan datos reales de cierre del índice FTSE 100, y como herramienta de análisis, el software estadístico R. PALABRAS CLAVE:

Modelo de Black & Scholes; distribución normal; FTSE 100; software R.

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TFG-ECO. Un análisis estadístico del FTSE 100

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ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................................................................................................... 1-2 2. EL FTSE 100 ....................................................................................................................................................................................................................................... 2

2.1. COMPOSICIÓN Y PONDERACIÓN POR SECTORES ...................................................................... 3 3. EL MODELO DE B&S ............................................................................................................................................................................................................. 4

3.1. EL MOVIMIENTO BROWNIANO ......................................................................................................................................... 5 3.2. HISTORIA, ORIGEN Y AUTORES ................................................................................................................................... 6 3.3. MARCO TEÓRICO .................................................................................................................................................................................. 6 3.4. SIMULACIÓN DEL MOVIMIENTO BROWNIANO ....................................................................................... 7

4. DATOS EMPÍRICOS DEL FTSE 100 ..................................................................................................................................................... 8-10 5. AGREGACIÓN GAUSSIANA ................................................................................................................................................................................... 10

5.1. TEST DE NORMALIDAD ............................................................................................................................................................ 11

5.1.1. Contraste de Kolmogorov-Smirnov ............................................................................................................... 11

5.2. COMPARACIÓN GRÁFICA DE DENSIDADES ................................................................................................... 12

5.2.1. Colas pesadas y medidas de forma ............................................................................................................. 12

5.3. VALUE AT RISK ................................................................................................................................................................................................ 13

5.4. DENSIDADES EN ESCALA LOGARÍTMICA............................................................................................................ 13

5.5. TEST JARQUE-BERA: MEDIDAS DE FORMA .......................................................................................... 13-14

5.5.1. Asimetría .................................................................................................................................................................................... 14

5.5.2. Curtosis o apuntamiento ............................................................................................................................ 14-15

5.5.3. Test Jarque-Bera ........................................................................................................................................................... 15 6. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL INVERSA GAUSSIANA ............................................................................................ 15-17

6.1. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA NIG ...................................................................................... 18 7. UNA ALTERNATIVA AL MODELO DE B&S ....................................................................................................................................... 19

8. AUTOCORRELACIONES ................................................................................................................................................................................... 19-21

9. CONCLUSIONES ..................................................................................................................................................................................................................... 22

10. BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................................................................................................................... 23

11. ANEXO ....................................................................................................................................................................................................................................... 24-27

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1. INTRODUCCIÓN

El relativamente reciente desarrollo de los mercados financieros, unido al afán del ser humano por predecir el futuro, ha llevado asociado el desarrollo de modelos de predicción, basados en técnicas estadísticas y actuariales que tratan de anticipar los acontecimientos futuros al momento presente con el fin de anticipar cambios inesperados y posicionarse estratégicamente de la forma más óptima posible minimizando por ejemplo los efectos de una crisis financiera. Conociendo a través de estos modelos los posibles riesgos asociados a cualquier producto financiero, podríamos predecir un gran cambio en el mercado, lo que nos permitiría estar “cubiertos” y reducir así los efectos que las crisis financieras provocan en la economía real. En el ámbito de este trabajo estudiaremos un modelo introducido en 1973, conocido como el modelo Black & Scholes para la valoración de opciones financieras, el cual en aplicaciones posteriores se extendió a otros productos financieros, por su utilidad tanto para especular con las fluctuaciones precio de los activos, como para llevar a cabo estrategias de cobertura financiera. En este trabajo se analizan todas las premisas básicas de este modelo, y con el uso de algunas técnicas cuantitativas se mide con qué grado de exactitud este modelo es capaz de modelizar las variaciones de un índice bursátil real, el FTSE100 o Financial Times Stock Exchange, de la bolsa de valores de Londres. Además, se compara este con otro modelo, la NIG (Normal inversa gaussiana) el cual, modeliza mejor las variaciones del mencionado índice. Para ello, se utiliza como herramienta el software estadístico-R se estiman todos los parámetros de ambos modelos utilizando las series de datos de los logaritmos de los retornos (En adelante, logreturns) de cierre del mencionado índice. Además se simula el movimiento browniano estándar, premisa básica del Black Scholes, y se representan gráficamente las densidades de la muestra, densidad de la normal y la normal inversa gaussiana con los parámetros estimados, llevamos a cabo un test de normalidad, se analiza el valor en riesgo y las autocorrelaciones. La organización del trabajo, se ajusta de manera lógica a un estudio de estas características, es decir, una pequeña introducción ocupa la sección 1. La sección 2 contiene un análisis característico, estructural e histórico de nuestro índice. En la sección 3, explicamos el modelo Black & Scholes estudiando su principal premisa matemática, el movimiento browniano definiendo su marco histórico y teórico, realizando finalmente varias simulaciones del mismo. En la sección 4, se realiza un test de normalidad, y además de una comparativa gráfica de las curvas de densidad teóricas, y las observadas empíricamente con objeto de medir el grado de ajuste, y de corroborar si existe el fenómeno de la agregación gaussiana. En la sección 5 realizamos un análisis de asimetría y curtosis, consonante con el objetivo de descartar la normalidad como proceso para modelizar las variaciones de los precios de los activos en los mercados financieros. En base al análisis anterior, en las secciones 6 y 7 proponemos como alternativa la distribución normal inversa gaussiana, que al tener parámetros de asimetría y curtosis, es más flexible para modelar la distribución de las variaciones de los logreturns del FTSE100. En la sección 8, se utiliza el análisis de autocorrelaciones de los logreturns del FTSE100, para ver si lo observado es compatible con la independencia entre variaciones que caracteriza implícitamente al modelo de Black & Scholes. Por último,

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López Caballero Francisco

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en la sección 9 se presentan una serie de conclusiones en base al análisis realizado y se añade en un apéndice el código utilizado en el software que nos ha servido tanto para la obtención de datos, como para la realización de su análisis estadístico.

2. El FTSE100

FTSE 100 (Financial Times Stock Exchange) o, de manera informal, "Footsie", es como se denomina al índice agregado que engloba las acciones de las 100 empresas con mayor capitalización del Reino Unido (FTSE.com) constituyendo el índice principal o de referencia del mercado de valores británico así como S&P 500 lo es en EEUU, el DAX 100 en Alemania o el IBEX 35 en España. Éste da cuenta de la capitalización flotante ponderada de los 100 activos británicos más líquidos y con mayor capitalización, cotizados en la Bolsa de Londres. La fórmula que determina su composición es una media aritmética ponderada a la que se añade un factor de capitalización flotante o free-float que determina el porcentaje de acciones que realmente se están negociando en el mercado bursátil. Además de ser el índice más representativo de la economía británica así como de su salud financiera y económica, la importante posición del mercado de valores británico lo convierte en uno de los índices más utilizados y seguidos por los agentes del mercado, por ejemplo como un indicador de la prosperidad de los negocios para las empresas reguladas por el Derecho de sociedades del Reino Unido. Para ello, podemos constatar que las sociedades que en él están representadas corresponden a más del 80% de la capitalización bursátil total de la Bolsa de Londres. El índice se mantiene por el Grupo FTSE, una compañía líder global en indexación perteneciente al London Stock Exchange Group. Este índice se calcula en tiempo real y se publica cada 15 segundos, es decir, cotiza en el Mercado continuo entre las horas de apertura y de cierre del mercado 8:00 A.M y 16:30 P.M respectivamente. Los valores de cierre se toman a las 16:35. (FTSE.com) Es importante tener en cuenta que la composición de este índice bursátil se revisa cada trimestre. La última revisión disponible es de Marzo de 2014. Cuando una sociedad cotizada sale de este índice, generalmente es reemplazada por una sociedad cotizada en el FTSE 250, el cual muestra la misma información pero para los 250 valores más líquidos y con mayor capitalización. A veces sucede el hecho de que el número de títulos cotizados es superior a 100, en particular, cuando las sociedades emiten varios títulos diferentes (Royal Dutch Shell). En lo que respecta al análisis histórico de las cotizaciones del FTSE 100 podemos obtener diversas indicaciones en cuanto la forma en que reacciona frente a distintas situaciones económicas y a las crisis. Comenzó su andadura el 3 de Enero de 1984 con una cotización de 1000 puntos de base, alcanzando en el año 1999 su más alto umbral histórico en 6950 puntos. A continuación, descendió terminando a 6730 puntos básicos en 2007.Este índice, sufrió durante la crisis las sub-primes y descendió hacia los 5495 puntos. La posterior crisis económica llevará este índice cerca de los niveles históricos más bajos registrados unos 3500 puntos aproximadamente en el año 2009 seguidas de una serie de reactivaciones hasta el nivel de los 5500 puntos en 2010. Desde el año 2010, el FTSE 100 tiende más bien a evolucionar al alza. En efecto, se pudo constatar una fuerte tendencia alcista en julio de 2010 que permitió superar el umbral de 6000 puntos. En 2011, este índice se estabilizó en 5800 puntos aproximadamente. Más recientemente, superó la barrera de los 6000 puntos a principios de 2013 para avanzar en dientes de sierra hasta los 6400 puntos aproximadamente en el mes de Marzo de 2014.

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2.1. Composición del FTSE 100 y ponderaciones por sectores económicos:

En la tabla 1, se muestran, los constituyentes del FTSE 100, así como su ponderación en el índice y el sector productivo al que pertenecen. Los datos se han extraido de la página web del grupo FTSE y se corresponden al mes de Mayo de 2014:

Constituent name Index Weight (%)

ICB Supersector Description

Constituent name

Index Weight (%)

ICB Supersector Description

BG Group 2,30 Oil & Gas Kingfisher 0,60 Retail

BP 5,35 Oil & Gas Marks & Spencer Group

0,44 Retail

Petrofac 0,22 Oil & Gas Morrison (Wm) Supermarkets

0,28 Retail

Royal Dutch Shell A 5,11 Oil & Gas Next 0,59 Retail

Royal Dutch Shell B 3,46 Oil & Gas Sainsbury (J) 0,27 Retail

Tullow Oil 0,41 Oil & Gas Sports Direct International

0,11 Retail

Johnson Matthey 0,40 Chemicals Tesco 1,43 Retail

Anglo American 1,20 Basic Resources British Sky Broadcasting Group

0,53 Media

Antofagasta 0,18 Basic Resources ITV 0,43 Media

BHP Billiton 2,35 Basic Resources Pearson 0,52 Media

Fresnillo 0,09 Basic Resources Reed Elsevier 0,65 Media

Glencore Xstrata 1,79 Basic Resources WPP 1,01 Media

Mondi 0,23 Basic Resources Carnival 0,25 Travel & Leisure

Randgold Resources 0,25 Basic Resources Compass Group 0,99 Travel & Leisure

Rio Tinto 2,51 Basic Resources Easyjet 0,26 Travel & Leisure

CRH 0,73 Construction & Materials

InterContinental Hotels Group

0,30 Travel & Leisure

Aggreko 0,23 Industrial Goods & Services

International Consolidated Airlines Group

0,51 Travel & Leisure

Ashtead Group 0,29 Industrial Goods & Services

TUI Travel 0,13 Travel & Leisure

Babcock International Group 0,29 Industrial Goods & Services

Whitbread 0,45 Travel & Leisure

BAE Systems 0,80 Industrial Goods & Services

William Hill 0,18 Travel & Leisure

Bunzl 0,32 Industrial Goods & Services

BT Group 1,80 Telecommunications

Capita 0,44 Industrial Goods & Services

Vodafone Group 3,53 Telecommunications

Experian 0,66 Industrial Goods & Services

Centrica 1,01 Utilities

G4S 0,23 Industrial Goods & Services

National Grid 1,85 Utilities

IMI 0,24 Industrial Goods & Services

Severn Trent 0,26 Utilities

Intertek Group 0,30 Industrial Goods & Services

SSE 0,85 Utilities

Meggitt 0,23 Industrial Goods & Services

United Utilities Group

0,32 Utilities

Melrose Industries 0,19 Industrial Goods & Services

Barclays 2,26 Banks

Rexam 0,23 Industrial Goods & Services

HSBC Hldgs 6,90 Banks

Rolls-Royce Holdings 1,21 Industrial Goods & Services

Lloyds Banking Group

2,18 Banks

Royal Mail 0,21 Industrial Goods & Services

Royal Bank Of Scotland Group

0,39 Banks

Smiths Group 0,30 Industrial Goods & Services

Standard Chartered

1,50 Banks

Travis Perkins 0,28 Industrial Goods & Services

Admiral Group 0,17 Insurance

Weir Group 0,33 Industrial Goods & Services

Aviva 0,85 Insurance

Wolseley 0,54 Industrial Goods & Services

Legal & General Group

0,72 Insurance

GKN 0,38 Automobiles & Parts

Old Mutual 0,59 Insurance

Associated British Foods 0,58 Food & Beverage

Prudential 1,95 Insurance

Coca-Cola HBC AG 0,18 Food & Beverage

Resolution 0,25 Insurance

Diageo 2,83 Food & Beverage

RSA Insurance Group

0,27 Insurance

SABMiller 1,71 Food & Beverage

St.James Place 0,25 Insurance

Unilever 1,86 Food & Beverage

Standard Life 0,54 Insurance

Barratt Developments 0,24 Personal & Household Goods

British Land Co 0,39 Real Estate

British American Tobacco 3,80 Personal & Household Goods

Hammerson 0,24 Real Estate

Burberry Group 0,37 Personal & Household Goods

Land Securities Group

0,48 Real Estate

Imperial Tobacco Group 1,41 Personal & Household Goods

Aberdeen Asset Management

0,22 Financial Services

Persimmon 0,25 Personal & Household Goods

Hargreaves Lansdown

0,19 Financial Services

Reckitt Benckiser Group 1,90 Personal & Household Goods

London Stock Exchange Group

0,21 Financial Services

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AstraZeneca 2,92 Health Care Schroders 0,18 Financial Services

GlaxoSmithKline 4,67 Health Care ARM Holdings 0,84 Technology

Shire 1,04 Health Care Sage Group 0,28 Technology

Smith & Nephew 0,49 Health Care

Tabla 1. Composición del FTSE100 y ponderación por sectores económicos. Fuente: FTSE.com, Mayo 2014

3. El MODELO BLACK & SCHOLES

En consonancia con fuerte desarrollo vivido por los mercados financieros durante los últimos 20-30 años y la consecuente ganancia de importancia relativa de la industria financiera en los mercados mundiales, han ido apareciendo a lo largo de estos años métodos de valoración de productos financieros los cuales apoyándose en la aplicación de métodos matemáticos y estadísticos, han tenido como objetivo el de realizar valoraciones correctas y fiables de los distintos productos financieros que han ganado en grado de complejidad y diversidad. Estos productos pueden ser valores, bonos, divisas y derivados, como las opciones. Este enfoque basado en la utilización de herramientas estadísticas y matemáticas tiene su origen en la publicación de la fórmula Black-Scholes en 1973 para el cálculo de opciones europeas. Esta publicación fue realizada Robert C. Merton el cual se había ayudado para ello de los modelos estocásticos desarrollados por Fischer Black y Myron Scholes, haciendo referencia a un modelo matemático que fue empleado para estimar el valor actual de opciones europeas para la compra o venta de acciones en una fecha futura. Fue tal la repercusión de esta fórmula que en 1997, Merton y Scholes recibieron el premio Nobel de economía. En su origen, como ya hemos mencionado estaba ideado para la valoración de opciones de tipo europeo, en las cuales la ejecución legal del contrato se produce en el momento del vencimiento. Debemos apuntar que estas opciones son instrumentos en los cuales se atribuye a la parte compradora el derecho de comprar o vender en el futuro un determinado activo al precio acordado en el contrato o “strike-price” y a la contraparte la obligación de vender o comprar dicho activo en la fecha de vencimiento. Sin embargo, más adelante se amplió para opciones americanas y mercado monetario. En este contexto, Scholes y Merton fundaron el fondo de inversión Long Term Capital Portfolio L.P. que se incluyó en el fondo especulativo Long Term Capital Management fundado por John Meriwether en 1994, usando su fórmula para el cálculo de opciones y otros productos derivados. En sus inicios el fondo proporcionó una rentabilidad neta del 40 por ciento a sus inversores pero en 1998 perdió 4600 millones de dólares en cuatro meses durante la crisis del rublo ruso y la crisis financiera asiática. Esto hizo que el fondo tuviese que ser rescatado por otras instituciones financieras bajo la supervisión de la reserva federal y que finalmente fue cerrado en el año 2000 (Greenspan, 2007). El componente probabilístico de este modelo se basa en la distribución teórica de las variaciones de la cotización del activo subyacente entre periodos de tiempo. La distribución teórica utiliza el supuesto sobre el modelo que sigue la distribución de las variaciones de las cotizaciones. Dicho modelo, se denomina movimiento browniano, el cual está basado en la distribución normal. La fórmula de Black & Scholes para opciones de compra (call) y de venta (put) es la siguiente: Call: SN (d1) – Ke-rTN (d2) Put: - SN (-d1) +Ke-rTN (-d2) Donde d1 y d2 son calculadas como:

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d1: (

) (

)

d2:

Siendo S el precio del activo subyacente en el momento de valoración, K es el “strike Price” de la opción, es decir, el precio pactado para la compra-venta del subyacente en el momento de vencimiento del contrato, σ representa la volatilidad o desviación típica, r es la tasa de interés libre de riesgo (interés de bonos de estados, depósitos bancarios, etc.), T es el tiempo desde el momento de la valoración hasta el vencimiento del contrato y N es la función de distribución de un variable aleatoria normal estándar. En torno a N desarrollaremos este trabajo, ya que es la variable que aporta al modelo estudiado la definición matemática de las probabilidades de las variaciones de la cotización. El funcionamiento del modelo es el siguiente, realiza una proyección del precio del activo subyacente del contrato ajustada a la distribución normal considerando la tasa de interés de libre riesgo y la volatilidad implícita. Esto permite definir la cotas máximas y mínimas esperadas de las variaciones del subyacente, el valor de la opción según se trate de una call o put dependerá de la diferencia entre algunas de estas cotas y el strike (Knopp, 2005). Como requerimos de un modelo que represente estadísticamente el valor S (T) del subyacente en el periodo T, debemos utilizar un modelo dinámico para el precio S (t) del subyacente para todos los momentos t ocurridos antes del vencimiento T. El modelo dinámico que introduce la fórmula de Black-Scholes es el movimiento browniano geométrico, o proceso log-normal (Martinez y García, 2003). En definitiva, el modelo Black & Scholes tiene como premisas básicas las siguientes:

Las cotizaciones fluctúan de la misma forma que un movimiento browniano geométrico.

Los mercados de acciones, bonos opciones y cualquier otro tipo de producto financiero susceptible de ser valorado funcionan sin costes de transacción, márgenes de seguridad o impuestos.

Los valores que se negocian son infinitamente divisibles y se puede operar en cualquier momento, es decir, los mercados siempre están abiertos.

El tipo de interés sin riesgo es conocido y constante a lo largo del tiempo.

Los inversores pueden prestar y endeudarse al tipo de interés sin riesgo.

No existe limitación para las ventas al descubierto. Los vendedores al descubierto pueden disponer plenamente de los ingresos de tales ventas y no están obligados a efectuar ningún depósito en garantía.

La opción es de tipo europeo, solo se puede ejercer en el vencimiento.

La acción subyacente no paga dividendos antes de la fecha de vencimiento de la opción.

3.1. El movimiento browniano

Es la más importante de todas las premisas del modelo de Black & Scholes ya que considera que la evolución de la cotización de un activo financiero se asemeja a la del movimiento browniano geométrico, por tanto es la que aporta la definición matemática al modelo, la cual es imprescindible para su formulación. La contrastación de esta premisa básica forma parte muy importante en el desarrollo de nuestro trabajo. Para analizar si este modelo es un modelo correcto para la valoración de productos financieros vamos a contrastar algunos de los supuestos teóricos que establece el modelo con la experiencia empírica basándonos en los datos reales de

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los mercados financieros. Para ello, se realiza un análisis y posteriormente una comparación entre el comportamiento teórico y los datos empíricos observados, es decir, las cotizaciones reales dadas por de cierre diario, semanal y mensual del índice FTSE 100.

3.2. Historia: Origen y autores

El movimiento browniano tiene su origen en Inglaterra alrededor de 1827 cuando el médico y botánico escocés Robert Brown (1773-1858) se encontraba realizando investigaciones examinando con el microscopio minúsculas partículas de polen(Brown 1828). Mediante la observación de estas partículas suspendidas en agua y diferentes líquidos comprobó que se desplazaban ininterrumpidamente sin seguir un patrón determinado impulsadas por las continuas colisiones con moléculas colindantes. Sin embargo, no fue hasta 1900 cuando Louis Bachellier para modelizar las fluctuaciones de las acciones de la bolsa de París convirtiéndose en el primer precedente de la aplicación de este modelo al campo de las finanzas en su trabajo Théorie de la Spéculacation (Davis y Etheridge, 2006). A partir de ese momento, el fenómeno del movimiento browniano motivó el interés de numerosos científicos de primer nivel como Albert Einstein en 1905, Norbert Wiener 1923, Paul Lévy 1939 o Samuelson en 1965 aplicándolos a una multitud de disciplinas. Lo más significativo en relación con el desarrollo de este trabajo es que, desde las primeras investigaciones sobre mercados financieros se han tomado las características del movimiento browniano como similares a las de las cotizaciones de los mercados financieros (Venegas, 2008).

3.3. Marco teórico: características y modelos matemáticos

Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias parametrizadas por el tiempo t, es decir, para cada t dado, X(t) es una variable aleatoria. El movimiento browniano B(t) es un proceso estocástico que comienza en el origen, es decir, B(0)= 0, y que satisface las siguientes propiedades:

Incrementos independientes: la variable aleatoria B(t)-B(s) es independiente de variable aleatoria B(u)-B(v) cuando t > s ≥ u > v ≥ 0.

Incrementos estacionarios: la distribución de B(t)-B(s) para t > s ≥ 0 es sólo una función de (t-s), y no de t y s por separado.

Incrementos normales: la distribución de B(t)-B(s) para t > s ≥ 0 es normal con esperanza 0 y varianza t-s.

La propiedad 3 implica la propiedad 2, por lo que la propiedad 2 es superflua. Sin embargo, si tenemos en cuenta un proceso estocástico L(t) que satisface sólo las dos primeras propiedades, L(t) sería un proceso de Lévy. Por lo tanto, vemos que el movimiento browniano es un caso particular de un proceso de Lévy ( Benth, 2004). A partir de la definición de un movimiento browniano, vemos que B(t) es una variable aleatoria para cada tiempo t. Pero, por otra parte, para cada resultado ω del espacio muestral Ω, tenemos una función del tiempo, B (t, ω). Esta función se conoce como la trayectoria del movimiento browniano. Para cada resultado ω tenemos un camino o trayectoria, que llamamos un camino muestral. Sin embargo, aunque movimiento browniano presenta características muy cercanas a las de las cotizaciones de los activos financieros, es incapaz de representar correctamente el comportamiento de todas las variables que influyen en la variabilidad de los precios. Esto supone un primer argumento para realizar una crítica al modelo Black & Scholes, ya que el movimiento browniano forma parte del núcleo de éste y de otros modelos financieros y económicos.

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3.4. Simulación del movimiento browniano.

Utilizando como herramienta el software estadístico R se simulará un movimiento browniano estándar para observar que se parece a las variaciones en las cotizaciones de los mercados financieros. Para ello generamos una muestra aleatoria de distribución N (0,1) que simula las variaciones entre periodos de un hipotético índice, en escala logarítmica, a los cuales llamaremos logreturns. La cotización en los periodos se calcula como la suma acumulada de los logreturns, por tanto la gráfica resultante aún está representada en escala logarítmica de tratarse de un mercado financiero real. La razón fundamental para introducir los logreturns es disponer de la propiedad de aditividad, lo cual permite realizar la suma acumulada de toda la serie de datos, de haber sido en rendimientos simples (tasas de variación), no podríamos haber realizado la representación mediante suma acumulada. El argumento matemático en que nos basamos es el siguiente: el valor de la tasa de variación de un periodo a otro de una serie se aproxima al valor de la variación de un periodo a otro de la misma serie en escala logarítmica (logaritmo natural):

(

)

Donde es el valor de la cotización del índice en el momento i, y debe cumplirse

que . En la figura 1, podemos observar las gráficas de los movimientos brownianos generados, con los periodos representados en el eje horizontal y las cotizaciones en el eje vertical. A golpe de vista podemos comprobar que estos movimientos simulados se asemejan a las oscilaciones de los valores de cualquier mercado financiero real.

Figura 1. Tres trayectorias del movimiento browniano estándar, el el eje horizontal

viene representado el tiempo, en el vertical, las cotizaciones.

0 100 200 300 400 500

-30

-20

-10

010

2030

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4. DATOS EMPÍRICOS DEL FTSE 100

En esta sección y las sucesivas se usan los datos empíricos del índice FTSE100 (Financial Times Stock Exchange) del mercado de valores de Reino Unido recogidos desde el 1 de Enero del año 2000 hasta el 31 de Diciembre año 2013. Las cotizaciones se refieren a precios de cierre en el día, semana o mes obtenidos a través de la página web www.finance.yahoo.com. Las cotizaciones aparecen expresadas en puntos básicos. En la figura 2, se han representado los datos de cierre diarios del FTSE 100 desde el 01/01/2000, hasta el 31/12/2013 podemos apreciar que el movimiento browniano representado en la Figura 1 se asemeja a las variaciones de los precios de los mercados financieros y de sus índices agregados. En el eje horizontal está representado el tiempo y en el eje vertical, las cotizaciones:

Figura 2. Gráfico cotización diaria del FTSE 100, datos diarios al cierre. Fuente: FTSE.com. Datos del 01/01/2000 a 31/12/2013.

Seguidamente, se han estimado los parámetros de la distribución Normal µ y como la media y la desviación típica de la muestra, estos vienen adjuntos en la siguiente tabla:

Media D.Típica C.V. Me Máx Min

Diario -0.00000072 0.01247 0 0.0938 -0.0926

Semanal 0.0000505 0.02568 0.0018 0.1258 -0.2363

Mensual 0.0004423 0.04186 0.007 0.0829 -0.1395

Tabla 2: Media, desviación típica, coeficiente de variación, Mediana, Máximo y

Mínimo obtenidos a partir de los logreturns del FTSE100.Fuente: FTSE.com. Datos de la serie diaria, semanal y mensual de 1/1/2000 a 31/12/2013

2000 2005 2010

4000

5000

6000

7000

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Si observamos el coeficiente de variación, una medida de dispersión relativa, medida como el cociente entre la desviación típica y la media aritmética del conjunto de datos, nos muestra que la volatilidad es menor cuanto mayor son los intervalos temporales t de la muestra Llegados a este punto, se puede establecer que las cotizaciones de un mercado no son recogidas de forma adecuada por el movimiento browniano, en principio, los precios no parten de cero, además las desviaciones típicas no tienen por qué ser proporcionales al tiempo. El movimiento browniano geométrico se obtiene a partir de una transformación a exponencial de este mismo movimiento estándar. Su expresión matemática es la siguiente:

Donde μ es la variación media de la cotización del subyacente (parámetro de tendencia) y σ su desviación típica (parámetro de volatilidad), S(0) es el precio inicial conocido de la cotización y B(t) es el movimiento browniano estándar ( Benth, 2004). Por tanto, el cociente entre dos periodos será calculado como:

Para la elaboración de la figura 3, se ha generado una muestra de valores aleatorios de datos para una distribución normal con parámetros estimados a través de nuestra muestra de cierres en periodos de un día y un mes del FTSE100. Se ha llamado S0 a la cotización del primer instante temporal de cada muestra y se ha realizado sobre esa cotización la suma acumulada de los valores aleatorios, por último hemos cambiado la escala y la hemos hecho exponencial a la suma acumulada de dichos valores.

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Figura 3: movimiento browniano generado a partir de datos de cierre diarios(superior) y mensuales (inferior) del FTSE 100 con datos del 01/01/2000 al

31/12/2013

5. AGREGACIÓN GAUSSIANA

A través de la observación de la naturaleza, se ha constatado que existen multitud de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen una distribución Normal, como puede ser la estatura, el coeficiente intelectual, etc. Según el Teorema Central del Límite (García Barbancho,1992) cualquier media tipificada con n suficientemente grande se aproxima a la distribución Normal estándar N(0,1). Comúnmente se acepta que para n mayor o igual que 30 el parecido entre las funciones de distribución de cualquier media tipificada y la distribución Normal estándar N(0,1) es bastante apreciable. La Agregación Gaussiana es un fenómeno según el cual la densidad de una variable empírica tiende a converger a la de una distribución Normal a medida que se van ampliando los intervalos de tiempo entre observaciones y por tanto sus funciones de densidad se parecen más. En este apartado se analiza qué grado de ajuste hacia la distribución Normal tiene la muestra empírica del FTSE100 y también si ocurre el

2000 2005 2010

4000

5000

6000

7000

2000 2005 2010

5600

5800

6000

6200

6400

6600

6800

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-11-

fenómeno de la Agregación Gaussiana a través un contraste de hipótesis y la representación gráfica de las densidades empíricas y teóricas normales. En lo relativo a la agregación Gaussiana, se ha de tener presente que debido a la propiedad aditiva que proporciona la escala logarítmica a las variaciones entre periodos (logreturns), el valor de la variable en un determinado intervalo puede obtenerse como la suma de los valores de la variable en cada intervalo en los que la primera se divide, por ejemplo, para el dato semanal:

Y para el mensual:

5.1. TEST DE NORMALIDAD

Los test de normalidad son contrastes de hipótesis en los que la hipótesis nula (H0) es que la distribución que ha generado la muestra se ajusta a la de una distribución Normal, y la hipótesis alternativa (H1) es que la distribución no se ajusta a una distribución Normal. Para considerar como válida la hipótesis nula es necesario que los parámetros calculados tomen unos valores determinados según el tipo de prueba o test de normalidad.

5.1.1. Contraste de Kolmogórov-Smirnov (Corrección de Lilliefors)

El contraste de Kolmogorov-Smirnov compara los valores de una distribución empírica con los que se derivarían de la distribución supuesta como hipótesis nula. La corrección de Lilliefors es una mejora introducida para el caso de la distribución Normal. Por tanto, la hipótesis nula es que la distribución de los log-returns del FTSE100 sea Normal (H0= La distribución de la muestra es normal).El estadístico de Kolmogorov-Smirnov se basa en la máxima distancia observada entre ambas funciones de distribución teórica y observada y es denominado como D (Ruppert, 2004), el valor hasta donde se debe bajar el nivel de significatividad para no tener que rechazar H0 viene determinado por el p-valor, de forma típica y para cualquier test el p-valor tiene que ser menor o igual que 0,05 para que la hipótesis nula sea rechazada al nivel de significatividad generalmente aceptado del 5% (Lillefors, 1967):

Donde es el i-ésimo valor observado en la muestra (cuyos valores se han ordenado de menor a mayor), es un estimador de probabilidad de observar

valores menores o iguales que y es la probabilidad de observar valores menores o iguales que en una distribución Normal con media y desviación típica estimada a partir de la muestra.

D p-valor

Diario 0.9778 2.2e-16

Semanal 0.9661 2.2e-16

Mensual 0.8808 2.2e-16

Tabla 3: contraste de Kolmogorov-Smirnov y respectivos p-valores.

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La interpretación de estos resultados es la siguiente. Cuanto más se aproxime D a 0 mayor será el grado de ajuste de normalidad de la muestra y viceversa. El valor de los estadísticos y de los p-valores que podemos ver no cumplen los requisitos que permitan dar por válida H0 al 5% de significatividad, por lo tanto, podemos decir que basándonos en esta prueba, los logreturns del FTSE 100 no se ajustan a la distribución normal en ninguna de las muestras con distintos intervalos de tiempo. Sin embargo, podemos observar en cierta medida el fenómeno de la agregación gaussiana, ya que a medida que ampliamos los intervalos de tiempo, se va produciendo un mayor grado de ajuste a la distribución Normal, El estadístico D se acerca más a 0.

5.2. COMPARACIÓN GRÁFICA DE DENSIDADES

En este apartado se realiza una comparación a través de las gráficas de la función de densidad teórica normal con parámetros estimados a partir de la muestra de logreturns del FTSE100 bajo los supuestos del modelo de Black & Scholes (línea discontinua) y la densidad empírica observada (línea continua) para las series temporales diaria, semanal y mensual respectivamente. En esta representación gráfica se observa, al igual que en el contraste anterior, el efecto de la agregación Gaussiana, ya que cuanto mayor son los intervalos de tiempo entre observaciones, más se parecen las dos curvas representadas. Este fenómeno se hace patente en la progresiva convergencia de los máximos máximos de las curvas de densidad empírica y teórica, esto es, disminución progresiva del exceso de curtosis de la densidad empírica.

Figura 4. Densidades teóricas normales (línea discontinua) y empíricas (línea continua) del FTSE 100 (de izquierda a derecha) diarias, semanales y mensuales.

5.2.1. Colas pesadas y medidas de forma

Como podemos ver, es fácil criticar la distribución normal de los logreturns, ya que subestima la probabilidad de sucesos extremos, en este caso las variaciones de gran tamaño en el índice estudiado, es decir infravalora los valores de la variable en las colas de la función de densidad. Para analizar, el error cometido por la normal en el peso de las colas utilizaremos el Valor en Riesgo (Value at risk), posteriormente las medidas de formas asimetría y curtosis y finalmente representaremos las curvas de densidad de la figura anterior en escala logarítmica para observar mejor las colas.

5.3. VALUE AT RISK

Este es un método muy utilizado en el campo de las finanzas y seguros. Se trata de un valor extremo que en caso de ser alcanzado o superado generaría importantes pérdidas para el agente económico afectado, para un determinado horizonte de tiempo en circunstancias normales de mercado. (Venegas , 2008).

-0.05 0.00 0.05

01

02

03

04

05

0

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

05

10

15

20

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

02

46

81

0

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Este método también utiliza como premisa que las variaciones entre periodos se ajustan a una distribución normal, es por eso que vamos a aplicarlo en las distribuciones teóricas y empíricas para comprobar en qué grado la distribución normal subestima la probabilidad de sucesos extremos. Para ello calculamos los percentiles de orden 1%,2%,98% y 99%, los cuales se encuentran en mejor posición para reflejar las colas. Los resultados de este método se adjuntan en la tabla 4:

Percentil Empírico Teórico

0.01 -0.03598001 -0.02903750

0.02 -0.02804833 -0.02563577

0.98 0.02669749 0.02562126

0.99 0.03266433 0.02903750

Tabla 4. Valores de los percentiles de la serie diaria empírica y teórica del

FTSE100.

Con estos datos, podemos comprobar que la densidad probabilística de los extremos en la distribución teórica es menor que la de la distribución empírica. Esto nos dice de que la distribución empírica del FTSE 100 genera colas más pesadas que la distribución normal y por tanto, se observa una mayor probabilidad de sucesos extremos en los datos empíricos que la que predice el modelo, lo que nos indica que no se está valorando correctamente el riesgo, lo que es fundamental para el análisis de los mercados financieros. Además, estos datos nos revelan que existe asimetría en la distribución empírica, a diferencia de lo observado en la normal estimada, que se hace más patente en los percentiles extremos.

5.4. DENSIDADES EN ESCALA LOGARÍTMICA

En la figura 5, podemos ver representadas las gráficas de la figura 3 pero con escala logarítmica en el eje de ordenadas, aquí podemos ver como la densidad teórica (línea discontinua) subestima la probabilidad de cambios extremos en el índice, quedando esta por debajo de la densidad empírica (línea continua) en las colas :

Figura 5.Densidades teóricas normales (línea discontinua) y empíricas obtenidas (línea continua) para las series (de izquierda a derecha) diarias, semanales y

mensuales del FTSE 100 y escala logarítmica.

5.5. TEST JARQUE-BERA: MEDIDAS DE FORMA

Este test es un contraste de normalidad basado en el estudio de las medidas de forma (asimetría y curtosis). Consiste en examinar las discrepancias de la distribución de la muestra observada respecto de la de la distribución que se le asocia en la hipótesis nula, que es la distribución Normal.

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

-4-2

02

4

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

-4-2

02

4

-0.2 -0.1 0.0 0.1

-2-1

01

23

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5.5.1. Asimetría

Este es un fenómeno estadístico a través del cual los valores observados se desvían de la media con exceso por un lado y defecto hacia el otro lado de la función de densidad, es decir, la variable toma valores más extremos sobre o por debajo de la media. El coeficiente de asimetría se suele denominar como g1, su valor es 0 en distribuciones simétricas por tanto, si es mayor que 0 es asimetría positiva, es decir los valores se alejan más sobre la media, y si es menor que 0, indica asimetría negativa. Cuanto más alejado de 0 sea g1 más alejada estará la muestra de la situación simétrica. En cualquier caso, la detección de asimetría implica la consideración de no normalidad. Para considerar si el valor del estadístico está significativamente lejano o cercano a cerno se necesita determinar el nivel de significación o conocer el p-valor. La fórmula más utilizada para calcular el estadístico g1 es el coeficiente de asimetría de Fisher basado en los momentos de orden 3 respecto a la media y la desviación típica (Martín-Pliego, 2007):

Siendo el tercer momento central, y la desviación típica:

∑ ̅

,

∑ ̅

Los valores y los p valores obtenidos aparecen reflejados en la tabla 4:

SERIE p-valor

Diaria -0.1531119 0.000158

Semanal -1.115023 0

Mensual -0.7004345 0.419219

Tabla 5: Coeficiente de asimetría de Fisher y significatividad.

Los datos obtenidos nos indican que todas las distribuciones son asimétricas a la izquierda, como indican los datos del estadístico y sus p-valores, todos menores que el valor crítico del 5%, exceptuando la serie mensual, cuyo p-valor supera con creces el 5%. En cuanto al fenómeno de agregación gaussiana, solo podemos observar este en base a la menor asimetría de la serie mensual en comparativa con la serie semanal.

5.5.2. Curtosis o apuntamiento

La curtosis es un parámetro de forma que estudia la proporción de la varianza que se explica por la combinación de datos extremos respecto a la media en contraposición con los que están poco alejados de esta misma. Un exceso de curtosis se materializa en una mayor concentración de datos cerca de la media de la distribución junto con alta concentración de datos muy alejados de estas. La curtosis de una distribución normal es 3, por eso el estadístico utilizado para contrastar la normalidad es el exceso de curtosis g2 mediante el momento de orden 4 respecto de la media y la desviación típica. Al igual que ocurre con la asimetría la aceptación del estadístico como significativamente lejano o cercano a cero vendrá dada por el nivel de significatividad (Martín-Pliego, 2007):

Donde es el tercer momento central y la desviación típica:

∑ ̅

∑ ̅

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En la tabla 6 vemos como las series diaria y semanal y mensual reflejan un exceso de curtosis o apuntamiento que va diluyéndose a medida que aumentan los intervalos de tiempo entre los logreturns. Este resultado nos puede llevar a pensar en el fenómeno de la agregación gaussiana. El p-valor supera el valor crítico de 0.05 en la serie mensual, mientras que es muy cercano a 0 en las demás series. La curtosis es menor en la serie mensual que en la semanal, lo que nos permite aceptar cierto nivel de agregación gaussiana.

Serie p-valor

Diario 9.235182 0

Semanal 14.94744 0

Mensual 3.696271 0.06625882

Tabla 6. Curtosis y sus correspondientes p-valores

5.5.3. Test Jarque-Bera

Es un test exclusivo para la distribución normal, basado en el ajuste entre los parámetros de asimetría y curtosis de la distribución empírica y una distribución normal teórica. El estadístico se calcula con la siguiente fórmula (Bera; Jarque, 1980):

(

)

Serie X-squared p-valor

Diaria 5928.504 2.2e-16

semanal 4492.97 2.2e-16

mensual 17.0286 0.0002006

Tabla 7. Test de Jarque-Bera y p-valores para las series diarias, semanales y

mensuales del FTSE 100.

Observando los datos podemos constatar que en base a este test, la distribución diaria y semanal no sigue una distribución normal, estando algo más cercana para la muestra mensual aunque también se rechaza que siga una distribución una distribución normal. Basándonos en el análisis de los estadísticos se puede afirmar que la muestra empírica de los datos presenta el fenómeno de la agregación gaussiana, al aumentar los niveles de confianza a medida que los intervalos temporales son mayores.

6. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL INVERSA GAUSSIANA

Como podemos comprobar en base al análisis realizado anteriormente, la distribución normal no modeliza de forma fiel las variaciones de los logreturns de las cotizaciones de los activos de la muestra, los datos empíricos reflejan asimetría y un exceso de curtosis o apuntamiento, además las colas de la función de densidad generalmente son más pesadas revelandose la información de que la distribución normal infravalora la probabilidad de variaciones de carácter extremo, en la cotización del índice estudiado. Como alternativa, se expone y se utiliza un modelo alternativo, introducido por Nielssen Brandorf en 1977 para modelizar la distribución del tamaño de los granos de arena en las playas danesas. Esta distribución es la Normal Inversa Gaussiana o NIG

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para abreviar, que posteriormente a su introducción se aplicó al campo de las finanzas y es sugerida por diversos autores como una alternativa a la distribución normal (Venegas, 2008). Utilizando el programa estadístico R se estudian los parámetros de este modelo y se analiza gráficamente la distribución para contrastar si este es más apropiado para reflejar las variaciones de los activos en los mercados financieros. Esta distribución tiene 4 parámetros, α, β, µ, δ. El parámetro µ es de posición central, mientras que la asimetría de la distribución NIG viene determinada por β, es decir, si β>0, la distribución es asimétrica a la derecha y si β<0 es asimétrica al a izquierda. El caso de β=0 corresponde a una distribución NIG simétrica. El parámetro de escala es δ, el cual representa una función muy similar que la desviación típica en la distribución normal, y por último α modeliza el peso de las colas de la distribución. La densidad de probabilidad de esta distribución es:

Donde k es la constante de escala = √ y es la función de

Bessel modificada(O'neill, 2008) de tercera clase con índice 1, es decir:

(

)

De la definición de la función de densidad se deduce que los parámetros de densidad y deben satisfacer | | Además >0. Si la distribución de una variable aleatoria L es una NIG escribimos L~NIG . La media y la varianza de L vienen dadas por:

[ ]

√ [ ]

En la figura 6 se han representado 6 ejemplos de distribución NIG con diferentes valores de los parámetros. Las 4 superiores están centradas en el origen con un parámetro de escala δ=0,015. La variación de las colas se puede observar en las gráficas cuando =30, las dos gráficas superiores de la derecha las colas tienen una forma hiperbólica y para =150, gráficas de la izquierda son casi lineales. Cuando

utilizamos escala logarítmica, en las gráficas centrales con =30 a la izquierda, y =150 a la derecha la densidad de la normal con media y varianza iguala a la de la NIG tiene siempre colas en forma parabólica.

Las dos gráficas inferiores, tienen como parámetros =30, y en la izquierda, y en la derecha. Se ve en estas gráficas como al variar , las curvas de la NIG

se vuelven asimétricas. Si es positivo, la cola de la izquierda de la línea continua (NIG) se asemeja más a la curva discontinua (Normal), ocurriendo lo contrario si toma un valor negativo. No debemos olvidar sin embargo lo que ocurre con , como podemos ver en las dos gráficas superiores de la derecha, al pasar de un valor 30 a 150, las colas se vuelven más lineales, mientras que en las demás gráficas, la curva en sus extremos está por encima de la curva de la distribución normal.

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Figura 6. Comparativa de las gráficas de la NIG. Fila superior ( , izquierda

y =150, derecha), fila intermedia, ídem que superior con escala logarítmica todas con

=0. Las inferiores, de izquierda a derecha, y .

Dado que la densidad de la distribución NIG es conocida, se puede estimar por máxima verosimilitud sus parámetros, sin embargo, cómo podemos ver en la expresión esto es un problema que no permite solución explícita como en el caso de la distribución normal. Terminamos esta sección mencionando un resultado de la convolución de variables aleatorias NIG independientes. Si X e Y son dos variables NIG independientes con parámetros (α, β, μx, δx) y (α, β, μy, δy) respectivamente, entonces X + Y es una NIG distribuida con parámetros (α, β, μx + μy, δx + δy). Por tanto, La distribución NIG tiene la propiedad de la convolución de las distribuciones normales, siempre y cuando α y β sean iguales.

-0.05 0.00 0.05

05

10

15

20

25

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

01

02

03

04

0

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

-2-1

01

23

4

-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

-15

-10

-50

-0.05 0.00 0.05

05

10

15

20

25

-0.05 0.00 0.05

05

10

15

20

25

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-18-

6.1. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS NIG

A continuación estimamos los parámetros de la NIG por el método de la máxima verosimilitud. Este método consiste en seleccionar el valor del parámetro que parece más coherente o verosímil a partir de la muestra obtenida. Es decir, si la muestra es se selecciona el valor del parámetro que maximiza la expresión | para la muestra obtenida. es la función de máxima verosimilitud del

parámetro buscado para la muestra en cuestión, donde representa el parámetro a estimar. Lo que en definitiva se hace para estimar un parámetro por el método de máxima verosimilitud es seleccionar como más convincente el valor del parámetro donde la densidad de la muestra es mayor. La ecuación que hay que resolver para

calcular el valor del parámetro es

Si es un parámetro de

dimensión , entonces habrá que resolver el sistema de k ecuaciones con k

incógnitas

donde j = 1,2,…. k (Alvarado, 2008).

Los parámetros estimados para la distribución NIG aparecen reflejados en la tabla 8, a partir de estos datos podemos comparar la densidad con la de la distribución normal estimada y la de la muestra empírica.

Serie α β

diaria 57.05522 -4.936 0.0087785 0.00075506

semanal 40.19202 -7.77744 0.0232595 0.004638111

mensual 50.63565 -24.4570 0.0604569 0.03379096

Tabla 8. Parámetros de la NIG estimados a partir de los logreturns diarios,

semanales y mensuales del FTSE100.

En la figura 7 presentamos la NIG ajustada (línea discontinua) junto con la densidad empírica (línea continua) y la distribución normal estimada (línea discontinua) para datos diarios, semanales y mensuales. Se observa como la distribución se ajusta a la empírica tanto las colas como en la zona central, a diferencia de lo que ocurría con la distribución normal. Sin embargo, al contrario que ocurría con el modelo de Black & Scholes, este mejor ajuste va desapareciendo si aumentamos los intervalos de tiempo. Por tanto, la NIG recoge mejor la distribución de la muestra cuando trabajamos con intervalos pequeños de tiempo. En cuanto a las colas, a medida que aumentan los intervalos temporales de las muestras todas las densidades se van pareciendo más a la normal. Sin embargo, la distribución NIG siempre será la más flexible por su mayor número de parámetros y flexibilidad, aunque la normal se acercará mucho o la igualará, nunca superará la precisión de la NIG.

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Figura 7: Gráficos diarios semanales y mensuales, (de izquierda a derecha) de las

densidades de la NIG (línea punteada), junto con las densidades empíricas (línea continua) y normal (línea discontinua), elaboradas a partir de los logreturns del

FTSE100.

7. ALTERNATIVA AL MODELO BLACK & SCHOLES

Como ya se ha visto, la distribución normal, al contrario que la NIG, no es un buen modelo para los logreturns de los activos. En esta sección se va a presentar una alternativa al modelo de B-S que se adapta mejor a los logreturns observados, haciendo uso de la distribución NIG. Se considera una evolución de los precios de forma exponencial S(t) = S(0) exp(L(t)), donde L(t) es un proceso estocástico con incrementos independientes y estacionarios, siendo así un proceso de Lévy. Por otra parte, en lugar de suponer incrementos normales, asumimos que L(t) -L(s) sigue una distribución NIG para todo t > s ≥ 0. El proceso resultante se denomina proceso de Lévy gaussiano inverso normal. Transformando los precios S(t) a logreturns con incrementos de tiempo iguales a 1, se obtiene: X(t) = L(t) – L(t-1) Las variables aleatorias X(1), X(2), ... son independientes y siguen una distribución NIG, ya que L(t)-L(t-1) tiene la misma distribución que L(1). Al igual que la sección anterior, los parámetros α, β, μ y δ de L(1) se pueden estimar a partir de los log-returns observados. Utilizando la propiedad de convolución de las distribuciones NIG, se tiene que L(t) es de nuevo una variable NIG con parámetros α, β, μt y δt. A diferencia del movimiento browniano, el proceso de Lévy gaussiano inverso normal tiene caminos muestrales discontinuos. En consonancia con lo visto en la secciones anteriores, un proceso de Lévy gaussiano inverso normal parece más adecuado que un modelo de B-S para describir los precios de un activo financiero. Sin embargo, el análisis de este proceso discontinuo es mucho más complicado que el de un modelo de B-S y cae fuera de los objetivos del presente trabajo.

8. AUTOCORRELACIONES

Si observamos la figura 8, donde se representan los logreturns diarios del FTSE100 podemos ver que se observan periodos en los que existe mayor volatilidad en contraste con periodos en los que las variaciones que se producen son más pequeñas. Esto nos puede llevar a sospechar que los logreturns no sean totalmente

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

01

02

03

04

05

0

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-20-

independientes entre sí como propone el modelo de BS, es decir, que existe cierto nivel de dependencia por tramos temporales. Para contrastar la hipótesis de independencia que plantea el modelo de Black & Scholes se realiza un análisis gráfico de las autocorrelaciones entre las variaciones de esta, para contrastar si las variaciones presentan algún nivel de dependencia:

Figura 8: Logreturns diarios del FTSE100, serie diaria desde 01/01/2000 hasta el 31/12/2013

Si consideramos como una serie temporal cualquiera de logreturns y asumiendo

que es estacionaria, es decir, el valor esperado de no depende del tiempo y la covarianza de y solo depende del intervalo de tiempo s se tiene la siguiente expresión:

Para una función donde , la autocorrelación con s retardos viene dada por la fórmula:

( )

,

donde es el valor de la variable X en el momento t. La autocorrelación mide el sentido y la intensidad con el que un l logreturn depende de los anteriores. Por tanto, la autocorrelación puede servirnos como herramienta para predecir los precios futuros (Benth, 2004). En la figura 9, representamos en la parte superior las autocorrelaciones sobre un eje vertical con máximo 1 en las gráficas de la izquierda y un eje vertical ajustado a los máximos y mínimos observados en las de la derecha, se deduce que los logreturns no están correlacionados, ya que la mayoría están en la banda de confianza al 95% centrada en el cero.

2000 2005 2010

-0.1

0-0

.05

0.00

0.05

0.10

Index

XFT

SE

D

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TFG-ECO. Un análisis estadístico del FTSE 100

-21-

Sin embargo en las gráficas de las dos filas inferiores, donde se utiliza el valor absoluto de los logreturns y los logreturns al cuadrado, se observa que todas son positivas y que la gran mayoría se encuentran alejadas significativamente de 0, es decir, fuera de la banda de confianza al 95%. Además observamos un descenso progresivo en el valor de la autocorrelación, lo que significa que la correlación entre dos tamaños de logreturns es mayor cuanto menor es la distancia temporal entre ellos. En conclusión, aunque no parece que exista autocorrelación entre las variaciones del FTSE 100, si las hay considerando el tamaño del índice a través del valor absoluto o delsu cuadrado. Se prueba por tanto que existe cierto nivel de autocorrelación en el tamaño de los logreturns diarios del FTSE 100, lo cual contradice el planteamiento del modelo de Black & Scholes basado en las características del movimiento browniano geométrico que implícitamente supone que los logrenturns son independientes tanto en sus valores como en sus tamaños.

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-22-

Figura 9. Autocorrelaciones del FTSE 100. En la columna de la izquierda el máximo

es 1, en la columna de la derecha, los máximos y mínimos dependen del valor de las autocorrelaciones de los logreturns. De arriba abajo, se muestra la autocorrelación de los logreturns, la autocorrelación de estos en valores absolutos y la autocorrelación

de los mismos al cuadrado.

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

0 50 100 150

-0.0

50

.00

0.0

5

Lag

AC

F

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

0 50 100 150

0.0

0.1

0.2

0.3

Lag

AC

F

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

0 50 100 150

0.0

0.1

0.2

0.3

Lag

AC

F

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9. CONCLUSIONES

En el presente trabajo se ha puesto de manifiesto las diferencias existentes entre el modelo teórico algunas consecuencias que se derivan de la adopción del modelo de Black & Scholes para dinámica de las cotizaciones del índice FTSE 100 y la observación de datos empíricos. Por tanto, supone una crítica a las premisas básicas del modelo ya que algunas propiedades que de él se desprenden, no son avaladas por la observación empírica en base a los datos del FTSE100. Se ha probado por tanto que el movimiento browniano geométrico como modelo para los logreturns no resulta adecuado por varios motivos. Además existen modelos como el basado en la distribución normal inversa gaussiana que modelizan mejor los logreturns del FTSE100. En primer lugar, la densidad normal estimada, muestra un comportamiento muy diferente a la densidad observada a partir de los datos, ya que en la distribución con datos empíricos las funciónes de densidad revelan asimetría, exceso de curtosis y colas pesadas. Como consecuencia del fenómeno de las colas pesadas, podemos ceñirnos a la quiebra del fondo de inversión fundado por Merton y Scholes el cual utilizando su fórmula de valoración que infravaloró la probabilidad de grandes cambios en el mercado, como los provocados por el default ruso y las crisis financieras asiáticas, lo que acabó en un rescate del fondo y su posterior desaparición. Sin embargo, se observa que a medida que aumenta el tiempo entre observaciones, las dos distribuciones se van asemejando lo que nos indica que existe el fenómeno de agregación gaussiana, algo que se observa también en el test de Jarque-Bera, ya que el p-valor es mayor para los datos mensuales. Además el test de normalidad realizado muestra que la distribución de las variaciones de las cotizaciones entre intervalos no sigue una distribución normal, como se deriva del modelo de Black and Scholes. Seguidamente, se propone una distribución más flexible que permita explicar de una forma más fiel el comportamiento de los logreturns observados del FTSE100, esta es la normal inversa gaussiana, que en base a lo observado, parece ajustarse mejor al comportamiento descrito por los logreturns del FTSE100. Sin embargo, el planteamiento de un modelo para la evolución temporal de los valores de un activo que plantee los logreturns siguiendo una NIG, nos lleva a la consideración de procesos estocásticos de Lévy, los cuales son más difíciles de analizar y no entran en los objetivos del presente trabajo Finalmente, bajo el modelo Black & Scholes las autocorrelaciones de los logreturns no deben ser significativamente diferentes de cero, ya que estos son independientes. En cierta medida, podemos ver esto con los datos del FTSE100 pero en discrepancia, observamos que si utilizamos valores absolutos o cuadrados, aparece una correlación significativa incluso para grandes retardos, mostrando una dependencia entre los tamaños de los logreturns del FTSE100. Este fenómeno de dependencia, lo convierte en una herramienta útil para la gestión de carteras y para estrategias de arbitraje.

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10. BIBLIOGRAFÍA Jorge Andrés Alvarado (2008): “Fundamento de Inferencia Estadística”, Editorial

Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá D.C. Anil K. Bera; Carlos M. Jarque (1980): “Efficient tests for normality, homoscedasticity and

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Barndorff-Nielsen, O.E.; Halgreen, C. (1977): Infinite Divisibility of the Hyperbolic and

Generalized Inverse Gaussian Distributions. University of Aarhus, Dinamarca. Black, F.; Scholes, M. (1973): “The pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal

Of Political Economy, 81, 637-654. Brown, R. (1828), "A brief account of microscopical observations made in the months of

June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies." Phil. Mag. 4, 161-173.

Davis, M.; Etheridge, A. (2006): “Louis Bachelier´s Theory of $peculation”. Princeton

University Press, Estados Unidos. www.FTSE.com http://www.ftse.com/Indices/UK_Indices/Constituents_and_Weights.jsp Fred Espen Benth (2004): “Statiscal analysis of data from the stock market”, en

Springer:Option Theory with Stochastic Analysis, Berlin, Cap 1-2. García Barbancho, Alfonso. (1992): Estadística teórica básica: probabilidad y modelos

probabilísticos. Ariel, Barcelona. Alan Greenspan (2007): “The Age of Turbulence: Adventures in a New World”, The

Penguin Press, USA. José Hernandez Alonso (1995): “Contraste de las hipótesis sobre perturbación aleatoria”,

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Lillefors, H. W. (1967).”On the Kolmogorov-Smirnov Test for Normality with Mean and

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Empresarial. Teórica y Práctica”, Editorial Thomson, Madrid. José Javier Nuñez Velazquez (2011): “Análisis Dinámico Mediante Procesos

Estocásticos Para Actuarios y Finanzas”, Universidad de Alcalá (Servicio de publicaciones), Alcalá de Henares.

Emmanuel Paradis (2003): “R para Principiantes”, Institut des Sciences de

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decisiones económicas bajo incertidumbre”, Cengage Learning Editores, México, D.F.

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TFG-ECO. Un análisis estadístico del FTSE 100

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11. ANEXO Para la realización de este trabajo se ha utilizado el software estadístico R (Paradis (2003) es un manual básico) el cual se puede obtener del sitio web www.r-project.org. A continuación, se muestran y se comentan las instrucciones usadas para llevar a cabo el estudio empírico presentado. Simulación del movimiento browniano estándar:

set.seed (23) BA <- cumsum(rnorm(500,0,1)) par(mar=c(4,4,1,1)) plot(x=c(0:500),y=c(0,BA),type="l",lty=1,xlab="",ylab="",ylim=c(-38,38)) BB <- cumsum(rnorm(500,0,1)) lines (x=c(0:500),y=c(0,BB),type="l",lty=2) BC <- cumsum(rnorm(500,0,1)) lines (x=c(0:500),y=c(0,BC),type="l",lty=3)

Descarga de las cotizaciones diarias, semanales y mensuales de la página web http://es.finance.yahoo.com/ y representación del gráfico de las cotizaciones diarias:

library("tseries") library("zoo") FTSEd <- get.hist.quote(instrument = "^FTSE", start = "2000-01-01", end = "2013-12-31", compression = "d", quote = "Close") FTSEw <- get.hist.quote(instrument = "^FTSE", start = "2000-01-01", end = "2013-12-31", compression = "w", quote = "Close") FTSEm <- get.hist.quote(instrument = "^FTSE", start = "2000-01-01", end = "2013-12-31", compression = "m", quote = "Close") par(mar=c(4,4,2,1)) plot(FTSEd,xlab="",ylab="",type="l",lty=1) nd=length(FTSEd); nw=length(FTSEw); nm=length(FTSEm);

Logreturns del FTSE100, diarios, semanales y mensuales:

XFTSED <- diff(log(FTSEd)) XFTSEW <- diff(log(FTSEw)) XFTSEM <- diff(log(FTSEm))

Obtención de la media, desviación típica, mediana, máximos y mínimos de los logreturns diarios, semanales y mensuales del FTSE100:

mud <- mean(XFTSED) sigmad <- apply(XFTSED,2,sd) muw <- mean(XFTSEW) sigmaw <- apply(XFTSEW,2,sd) mum <- mean(XFTSEM) sigmam <- apply(XFTSEM,2,sd) median(XFTSED); max(XFTSED); min(XFTSED) median(XFTSEW); max(XFTSEW); min(XFTSEW) median(XFTSEM); max(XFTSEM); min(XFTSEM)

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Gráfica de las simulaciones de movimientos brownianos geométricos con parámetros estimados a partir de las muestras diaria y mensual:

set.seed(1000) lsd0=log(as.numeric(FTSEd)[1])) I <- rnorm(length(FTSEd)-1,mud,sigmad) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,I))) ssimul <- zoo(ssimul,index(FTSEd)) plot(ssimul,type="l",lty=1,xlab="",ylab="") B <- rnorm(length(FTSEd)-1,mud,sigmad) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,B))) ssimull <- zoo(ssimul,index(FTSEd)) lines(ssimull,type="l",lty=3) #Mensuales set.seed(1000) lsd0=log(as.numeric(FTSEm[1])) I <- rnorm(length(FTSEm)-1,mud,sigmad) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,I))) ssimul <- zoo(ssimul,index(FTSEm)) plot(ssimul,type="l",lty=1,xlab="",ylab="") B <- rnorm(length(FTSEm)-1,mud,sigmad) ssimul <- exp(cumsum(c(lsd0,B))) ssimull <- zoo(ssimul,index(FTSEm)) lines(ssimull,type="l",lty=3)

Representación gráfica de los logreturns diarios del FTSE100 en escala logarítmica:

plot(XFTSED)

Cuantiles teóricos y empíricos de los logreturns del FTSE 100:

qnorm(p=c(0.01,0.02,0.98,0.99),mean=mud,sd=sigmad) quantile(x=XFTSED,probs=c(0.01,0.02,0.98,0.99)) qnorm(p=c(0.01,0.025,0.975,0.99),mean=muw,sd=sigmaw) quantile(x=XFTSEW,probs=c(0.01,0.02,0.98,0.99)) qnorm(p=c(0.01,0.02,0.98,0.99),mean=mum,sd=sigmam) quantile(x=XFTSEM,probs=c(0.01,0.02,0.98,0.99))

Representación gráfica de curvas de densidad del FTSE100 y de la Normal con parámetros diarios, semanales y mensuales del FTSE100. Y las mismas curvas en escala logarítmica:

densityXFTSED<-density(XFTSED,n=500) plot(densityXFTSED ,xlim=c(-0.08,0.08),type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="") curve(dnorm(x,mean=mud,sd=sigmad),add=TRUE,xlim=c(-0.06,0.06),n=500,type="l",lty=2,xlab="c(-0",ylab="",main="") x <- seq(from=-0.06,to=0.06,length.out=500) plot( densityXFTSED$x, log(densityXFTSED$y),type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-0.06,0.06), ylim=c(-4,4)) y <- log( dnorm(x,mean=mud,sd=sigmad) ) lines(x,y,lty=2) densityXFTSEW<-density(XFTSEW,n=500) plot(densityXFTSEW ,type="l",lty=1,xlim=c(-0.15,0.15),xlab="",ylab="",main="")

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curve( dnorm(x,mean=muw,sd=sigmaw),add=TRUE,n=500,type="l",lty=2,xlab="c(-0",ylab="",main="") x <- seq(from=-0.15,to=0.15,length.out=500) plot( densityXFTSEW$x, log(densityXFTSEW$y),type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-0.12,0.12), ylim=c(-4,4)) y <- log( dnorm(x,mean=muw,sd=sigmaw) ) lines(x,y,lty=2) densityXFTSEM<-density(XFTSEM,n=500) plot(densityXFTSEM,type="l",lty=1,xlim=c(-0.15,0.15),xlab="",ylab="",main="") curve( dnorm(x,mean=mum,sd=sigmam),add=TRUE,n=500,type="l",lty=2) x <- seq(from=-0.25,to=0.25,length.out=500) plot( densityXFTSEM$x, log(densityXFTSEM$y) , type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-0.21,0.18), ylim=c(-2,3)) y <- log( dnorm(x,mean=mum,sd=sigmam)) lines(x,y,lty=2)

Asimetría y curtosis de la muestra de los logreturns del FTSE100 y p-valores:

library(moments) kurtosis(XFTSED);kurtosis(XFTSEW);kurtosis(XFTSEM) skewness(XFTSED); skewness(XFTSEW);skewness(XFTSEM) sk.d <- skewness(XFTSED); stat <- abs(sk.d/sqrt(6/length(XFTSED))); 2*(1-pnorm(stat)) sk.w <- skewness(XFTSEW); stat <- abs(sk.w/sqrt(6/length(XFTSEW))); 2*(1-pnorm(stat)) sk.m <- skewness(XFTSEM); stat <- abs(sk.d/sqrt(6/length(XFTSEM))); 2*(1-pnorm(stat)) ku.d <- kurtosis(XFTSED)-3; stat <- abs(ku.d/sqrt(24/length(XFTSED))); 2*(1-pnorm(stat)) ku.w <- kurtosis(XFTSEW)-3; stat <- abs(ku.w/sqrt(24/length(XFTSEW))); 2*(1-pnorm(stat)) ku.m <- kurtosis(XFTSEM)-3; stat <- abs(ku.m/sqrt(24/length(XFTSEM))); 2*(1-pnorm(stat))

Representación gráfica de ejemplos de densidades de NIG y densidades de la Normal con parámetros estimados a partir de la NIG:

library(fBasics) alphao=30; betao=0; muo=0; deltao=0.015 curve(dnig(x,alphao,betao,deltao,muo),xlim=c(-0.075,0.075),n=500,type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="") tempo=sqrt(alphao^2-betao^2) meano <- muo +( (deltao*betao)/(tempo)); sigma2o= (deltao*(alphao^2))/(tempo^3); sigmao=sqrt(sigma2o); curve( dnorm(x,mean=meano,sd=sigmao),add=TRUE,n=500,type="l",lty=2,xlab="RETURNS",ylab="DENSITY",main="") x<-seq(from=-0.09,to=0.09,length.out=500)

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curve(log(dnig(x,alpha= alphao,beta= betao,delta= deltao,mu= muo)),type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-0.10,0.10), ylim=c(-2,4)) y<-log( dnorm(x,mean=meano,sd=sigmao)) lines(x,y,lty=2) alphap=150; betap=0; mup=0; deltap=0.015 curve(dnig(x,alphap,betap,deltap,mup),xlim=c(-0.04,0.04),n=500,type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="") tempp=sqrt(alphap^2-betap^2) meanp <- mup +( (deltap*betap)/(tempp)); sigma2p= (deltap*(alphap^2))/(tempp^3); sigmap=sqrt(sigma2p); curve( dnorm(x,mean=meanp,sd=sigmap),add=TRUE,n=500,type="l",lty=2,xlab="",ylab="",main="") x2 <- seq(from=-0.15,to=0.15,length.out=500) curve( log(dnig(x,alpha= alphap,beta= betap,delta= deltap,mu= mup)), type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="",xlim=c(-0.15,0.15), ylim=c(-15,4)) y2 <- log( dnorm(x,mean=mup,sd=sigmap)) lines(x2,y2,lty=2) alphaq=30; betaq=10; muq=0; deltaq=0.015 curve(dnig(x,alphaq,betaq,deltaq,muq),xlim=c(-0.085,0.085),n=500,type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="") tempq=sqrt(alphaq^2-betaq^2) meanq <- muq +( (deltaq*betaq)/(tempq)); sigma2q= (deltaq*(alphaq^2))/(tempq^3); sigmaq=sqrt(sigma2q); curve(dnorm(x,mean=meanq,sd=sigmaq), add=TRUE,n=500,type="l",lty=2,xlab="",ylab="",main="") alphar=30; betar=-10; mur=0; deltar=0.015 curve(dnig(x,alphar,betar,deltar,mur),xlim=c(-0.085,0.085), n=500,type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="") tempr=sqrt(alphar^2-betar^2) meanr <- mur +( (deltar*betar)/(tempr)); sigma2r= (deltar*(alphar^2))/(tempr^3); sigmar=sqrt(sigma2r); curve(dnorm(x,mean=meanr,sd=sigmar), add=TRUE,n=500,type="l",lty=2,xlab="",ylab="",main="")

Estimación de los parámetros de la NIG por máxima verosimilitud para los intervalos diarios, semanales y mensuales de la muestra del FTSE100:

NIGD <- nigFit(XFTSED,alpha=100,beta=-3,delta=0.01,mu=0.0001) NIGW <- nigFit(XFTSEW,alpha=70,beta=-3,delta=0.03,mu=0) NIGM <- nigFit(XFTSEM,alpha=70,beta=-26,delta=0.1,mu = 0) alphadd<-57.055;betadd<--4.936;deltadd<-0.0087785;mudd<-0.00075506 temp=sqrt(alphadd^2-betadd^2) mean <- mudd +( (deltadd*betadd)/(temp)); sigma2= (deltadd*(alphadd^2))/(temp^3); sigma=sqrt(sigma2); alphaww<-40.19202;betaww<--7.77744;deltaww<-0.0232595;muww<-0.004638111 temp=sqrt(alphaww^2-betaww^2) mean <- muww +( (deltaww*betaww)/(temp)); sigma2= (deltaww*(alphaww^2))/(temp^3); sigma=sqrt(sigma2); alphamm<-50.63565;betamm<--24.457;deltamm<-0.0604569;mumm<-0.03379096 temp=sqrt(alphamm^2-betamm^2) mean <- mumm +( (deltamm*betamm)/(temp)); sigma2= (deltamm*(alphamm^2))/(temp^3); sigma=sqrt(sigma2);

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Representación gráfica de las curvas de densidad del FTSE100, curvas de densidad normal con parámetros del FTSE100 y curva de densidad NIG con parámetros estimados a partir de la muestra:

densityXFTSED <- density(XFTSED,n=500) plot(densityXFTSED, type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="", xlim=c(-0.06,0.06)) curve( dnorm(x,mean=mud,sd=sigmad),add=TRUE,n=500, type="l",lty=2,xlab="",ylab="",main="") alpha=alphadd;beta=betadd;delta=deltadd; mu=mudd; curve(dnig(x,alpha,beta,delta,mu),n=500,add=TRUE, type="l", lty=3,xlab="",ylab="",main="") densityXFTSEW <- density(XFTSEW,n=500) plot(densityXFTSEW, type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="", xlim=c(-0.25,0.25)) curve( dnorm(x,mean=mud,sd=sigmad),add=TRUE,n=500, type="l",lty=2,xlab="",ylab="",main="") alpha=alphaww;beta=betaww;delta=deltaww; mu=muww; curve(dnig(x,alpha,beta,delta,mu),n=500,add=TRUE, type="l", lty=3,xlab="",ylab="",main="") densityXFTSEM <- density(XFTSEM,n=500) plot(densityXFTSEM, type="l",lty=1,xlab="",ylab="",main="", xlim=c(-0.01,0.01)) curve( dnorm(x,mean=mud,sd=sigmad),add=TRUE,n=500, type="l",lty=2,xlab="",ylab="",main="") alpha=alphamm;beta=betamm;delta=deltamm; mu=mumm; curve(dnig(x,alpha,beta,delta,mu),n=500,add=TRUE, type="l", lty=3,xlab="",ylab="",main="")

Autocorrelaciones representadas sobre un eje vertical de 0 a 1, sobre un eje vertical ajustado a máximos y a mínimos de las autocorrelaciones para los logreturns diarios del FTSE100, los valores absolutos de estos logreturns y los logreturns diarios del FTSE100 elevados al cuadrado con un retardo de 150:

library(FinTS) AUTOCORRELACIOND <- Acf(as.numeric(XFTSED), lag.max=150,type = "correlation",main="",ylim=c(0,1)) AUTOCORRELACIONDABS <- Acf(as.numeric(abs(XFTSED)), lag.max=150,type = "correlation",main="",ylim=c(0,1)) AUTOCORRELACIONDC<- Acf(as.numeric(XFTSED^2), lag.max=150,type = "correlation",main="",ylim=c(0,1)) AUTOCORRELACIOND <- Acf(as.numeric(XFTSED), lag.max=150,type = "correlation",main="") AUTOCORRELACIONDABS <- Acf(as.numeric(abs(XFTSED)), lag.max=150,type="correlation",main="",) AUTOCORRELACIONDC<- Acf(as.numeric(XFTSED^2), lag.max=150,type="correlation",main="")

Test de normalidad Jarque-Bera y Kolmogorov-Smirnov (corrección de Lilliefors) para los logreturns diarios, semanales y mensuales del FTSE100:

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jarque.bera.test(XFTSED);jarque.bera.test(XFTSEW);jarque.bera.test(XFTSEM) library(nortest) lillie.test(as.numeric(XFTSED));lillie.test(as.numeric(XFTSEW));lillie.test(as.numeric(XFTSEM))