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TECSUP Cálculo Diferencial e Integral

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UUNNIIDDAADD VVIIII

VVOOLLUUMMEENN DDEE UUNN SSÓÓLLIIDDOO DDEE RREEVVOOLLUUCCIIÓÓNN

Sea la función y=f(x) continua y no negativa en el intervalo [a;b]. Consideremos la figura plana limitada por la gráfica de esta función, el eje OX y las abscisas x=a y x=b. Cuando esta figura gira 360° alrededor del eje de abscisas genera un cuerpo tridimensional, con simetría de rotación respecto a dicho eje. Este cuerpo se conoce con el nombre de sólido de revolución. Como ejemplo, el sólido de revolución engendrado por un rectángulo, al girar sobre uno de sus lados, es un cilindro. El que engendre un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto es un cono. Y cuando un semicírculo gira sobre su diámetro genera una esfera. El volumen del sólido de revolución engendrado por la rotación de f(x), alrededor del eje X, se calcula del siguiente modo:

b

a

2dx.)x(fV

Cálculo Diferencial e Integral TECSUP

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Si la rotación se efectuara sobre el eje Y, el volumen se calcula así: Ejemplo

Calcule el volumen engendrado al girar la curva 2xy , para x=0 y x=3.

a) Alrededor del eje X b) Alrededor del eje Y

a) 2x)x(fy , x=0 x=3

3

0

3

0

3

0

4222dx.xdx.xdx.)x(fV

335

3

0

5

u 68,152u 5

243

5

0

5

3

5

x

d

c

2dy.)y(gV

0 3

2x)x(f

X

Y


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b) y)y(gxyxxy 2 , y=0 y=9

9

0

9

0

9

0

22dy.ydy.ydy.)y(gV

332

9

0

2

u 23,127u 2

81

2

0

2

9

2

y

1. CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA LÁMINA

A continuación, nuestro objetivo es determinar el punto “G” en el cual se equilibra, horizontalmente, una placa delgada de cualquier forma. Este punto G se llama centro de masa o centro de gravedad de una lámina o placa dada.

0

9

y)y(g

X

Y

Gx

y

X

Y


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Analicemos el caso de una lámina o placa con densidad uniforme , que ocupa una región R en el plano, acotada por las rectas x=a, x=b, la gráfica de la función continua y el eje X. Nuestro objetivo es localizar el centro de masa de la lámina, llamado centroide de R.

Luego de aplicar momentos respecto de los ejes coordenados, encontramos que las coordenadas del centroide, se calculan del siguiente modo:

Obsérvese que el lugar del centro de masa es independiente de la densidad .

Si la placa estuviera compuesta por la zona común entre dos funciones f(x) y g(x), las rectas x=a y x=b:

y=f(x)

R

a b

X

Y

b

a

b

a

2

b

a

b

a

dx)x(f

dx)x(f2

1

y ;

dx)x(f

dx)x(f.x

x

a bx

y

)x(f

)x(g

Y

X

G


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El centroide G se calcularía del siguiente modo:

Donde:

b

a

dx)x(g)x(fÁreaA

2. TRABAJO

Supongamos que un objeto se mueve a lo largo del eje X, en dirección positiva, desde x=a hasta x=b y en cada punto xi entre a y b actúa una fuerza f(x) sobre el objeto, donde f es una función continua.

Definimos el trabajo efectuado al mover el objeto de la posición x=a hasta la posición x=b, como:

Ejemplo

Calcular el trabajo necesario para tensar un resorte una distancia “a” desde su longitud inicial, si la fuerza que se necesita aumenta en proporción directa a la elongación.

Para mantener estirado un resorte en una elongación x, se ejercerá una fuerza en un extremo y una fuerza igual y opuesta en el otro. Si la elongación no es demasiado grande, F es directamente proporcional a x: F=kx, donde k es una constante denominada constante de rigidez del resorte. Esta proporcionalidad directa entre fuerza y elongación se conoce como Ley de Hooke.

Luego el trabajo que se debe realizar para alargar el resorte en una longitud “a” es:

a

0

a

0

2

2

kadx.kxdx).x(FW

b

a

b

a

22 dx)x(g)x(fA2

1y ; dx)x(g)x(f.x

A

1x

b

a

dx).x(fW


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BLOQUE VI

CÁLCULO DE VOLÚMENES

1.- Calcular el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada por la revolución de la parábola 2y 4x alrededor de su eje (paraboloide de revolución)

y por el plano perpendicular a su eje que dista una unidad del vértice de la parábola.

2.- La región limitada por la elipse: 64164 22 yx gira alrededor del eje mayor.

Calcule el volumen del sólido generado.

3.- Una figura limitada por los arcos de las parábolas 2y x e 2y x , gira alrededor

del eje de abscisas. Calcular el volumen del cuerpo engendrado.

4.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la revolución alrededor del eje OX

del trapecio mixtilíneo limitado por la línea y arcsen(x) y cuya base es 0;1 .

5.- Un segmento parabólico simétrico cuya base es igual a a y la altura h, gira

alrededor de su base. Calcular el volumen del cuerpo de revolución engendrado (“limón” de Cavalieri).

6.- Calcular el volumen que engendra, al girar alrededor del eje X, la figura plana

comprendida entre las gráficas de: 5x)x(f 2 y 3x)x(g

7.- Hallar el volumen que genera, al girar alrededor del eje OX, la figura delimitada

por y=4-x, el propio eje y las abscisas x=-2 y x=3. 8.- Determinar el volumen del sólido de revolución engendrado por la figura

comprendida entre la curva xy=6 y el eje OX, desde x=2 hasta x=8.

9.- Hallar el volumen que engendra la figura limitada por la curva 3x2xy 2 y

el eje OX, cuando gira 360° alrededor de dicho eje. ¿Y si solamente gira 120°?

x

y

4x2 + 16y

2 = 64


61

CENTRO DE GRAVEDAD

10.- Hallar el centro de masa de una placa semicircular de radio r.

11.- Localizar el centroide de la región acotada por las curvas dadas y el eje X:

a) /2x0, x);xcos(y

b) 2 x;xy 2

c) 2x1y

d) 2x,1 x;5x3y

e) /4x,4/ x);x2cos(y

f) /2x0, x);x(seny

g) 1x0, x;ey x

h) ex,1 x);xln(y

i) x0, x);x(seny

j) 2x4y

k) 2 x;xy 3

12.- Calcular el centro de gravedad de la región común de las curvas:

2x y;xy 2 TRABAJO 13.- Cuando una partícula está a una distancia de x pies del origen, actúa sobre ella

una fuerza igual a )x2x( 2 libras. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla de x=1 hasta x=3?

14.- Se requiere una fuerza de 40 N para mantener estirado un resorte desde su

longitud natural de 10 cm, hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se efectúa al estirarlo de 15 a 18 cm.?

15.- Una fuerza mueve una partícula a lo largo del eje X, la fuerza es de )1x5( 2 lb. en el punto a x pies del origen. Calcular el trabajo realizado al moverla del origen hasta 10 pies de distancia.


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16.- Cuando una partícula se encuentra a x metros de distancia del origen, una fuerza

igual a )x

3cos(

N actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se efectúa a mover la partícula desde x=1 hasta x=2.

17.- Un resorte tiene 20 cm de longitud natural. Si se necesita una fuerza de 25 N

para mantenerlo estirado 30 cm. ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo de 20 a 25 cm?

18.- Se precisan 2 J de trabajo para estirar un resorte desde su longitud natural de 30

cm hasta 42 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirarlo de 35 a 40 cm? 19.- Una cuerda gruesa de 50 ft de longitud pesa 0,5 ft-lb y cuelga sobre la orilla de

un edificio de 120 ft de altura. ¿Cuánto trabajo se efectúa al halar la cuerda hasta la azotea del edificio?

20.- Un elevador que pesa 1 600 lb. cuelga de un cable de 200 ft de longitud que

pesa 10 ft-lb. ¿Cuánto trabajo se necesita para subir el ascensor desde el sótano hasta el tercer piso, una distancia de 30 ft?

21.- Se usa un cable que pesa 2 lb-ft para levantar una carga de 200 lb al borde de

un pozo de 500 ft de profundidad. ¿Qué trabajo se realiza? 22.- Para estirar un pequeño resorte de su longitud natural de 6cm a una de 8cm se

necesita una fuerza de 9dinas. Calcular el trabajo realizado al estirar el resorte (a) de su longitud natural a una de 10cm y (b) de una longitud de 7cm a una de 9cm.

23.- Un tanque que tiene la forma de un cono circular recto de 20 pie de alto y radio

de la base de 5 pie, tiene su vértice a nivel del suelo y su eje vertical. El tanque está lleno de agua que pesa 62.5 lb/pie3. Calcular el trabajo realizado al bombear toda el agua y hacer que salga por arriba del tanque.

24.- La presión p (en N/m2) y el volumen v (en m3) de un gas encerrado en un

recipiente están relacionados por la fórmula mpv c , donde m y c son

constantes. Demuestre que si el gas se expande de v=a a v=b, entonces el

trabajo realizado en joules está dado por

b

aw pdv

25.- Un resorte de una longitud natural de 10pulg se larga 1.5pulg bajo un peso de

8lb. Calcule el trabajo efectuado a estirar el resorte (a) de su longitud natural a una longitud de 14pulg y (b) de una longitud de 11pulg a una de 13pulg.

26.- Una pecera tiene una base rectangular de 2pie de ancho y 4pie de largo, y sus

lados rectangulares tiene una altura de 3pie. Si el recipiente está lleno de agua, ¿Cuánto trabajo se requiere para extraer toda el agua desde arriba del tanque?

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