texto2

TECSUP Clculo Diferencial e Integral

9

UUNNIIDDAADD IIII

LLAA DDEERRIIVVAADDAA CCOOMMOO TTAASSAA DDEE VVAARRIIAACCIINN

((OO RRAAZZNN DDEE CCAAMMBBIIOO)) La mayora de las cantidades que aparecen en la vida diaria cambian o varan en el tiempo. Esto es particularmente evidente en las investigaciones cientficas. Por ejemplo un qumico puede estar interesado en la rapidez con la que cierta sustancia se disuelve en agua. Un ingeniero elctrico quiz necesita conocer la intensidad con la que la corriente vara en alguna parte de un circuito. Un bilogo puede saber la rapidez con la que las bacterias en un cultivo aumentan o disminuyen. Veamos entonces el significado de razn promedio y razn instantnea. 1. TASA DE VARIACIN MEDIA

Se denomina as al cociente entre las variaciones de unas cantidades respecto de otras.

Ejemplo:

Al estudiar la potencia de arranque de un prototipo de automvil se ha obtenido la siguiente tabla:

v = velocidad (km/h) 0 15 30 50 75 100 130 160

t = tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7

Calcular la tasa de variacin media (aceleracin media) en cada intervalo de tiempo de 1 segundo.

Solucin

En el intervalo 0,1 , m15 0 km/h

a 151 0 s


a 152 1 s


a 203 2 s


a 254 3 s


a 255 4 s

Clculo Diferencial e Integral TECSUP

10


a 306 5 s


a 307 6 s

Ejemplo:

Un nadador ha nadado los 800 metros libres en una competicin. Un cronometrador ha registrado los siguientes tiempos cada 100 metros.

s = espacio (m) 0 100 200 300 400 500 600 700 800

t = tiempo (s) 0 56,4 113,5 171 229,2 288 346,6 405,6 463,7

Calcular la tasa de variacin media (velocidad media) cada 100 metros.

Solucin

En el intervalo 0,100 , m100 0

v 1,773m/ s56,4 0


v 1,751m/ s113,5 56,4


v 1,739m/ s171 113,5


v 1,718m/ s229,2 171


v 1,701m/ s288 229,2


v 1,706m/ s346,6 288


v 1,695m/ s405,6 346,6


v 1,721m/ s463,7 405,6

El anlisis en la carrera indica que, a causa del cansancio, el nadador ha ido disminuyendo su velocidad media conforme transcurra la carrera, excepto en los ltimos 100 metros, en que la velocidad ha aumentado ligeramente.


11

Ejemplo:

Calcular la tasa de variacin media de la funcin f(x) x 3 en los intervalos

3, 2 , 2, 1 , 1,0 , 0,1 , 1,2 y 2,3 .

Solucin Tendremos

a,b b-a f(b) f(a) Tasa de variacin media

3, 2 1 1 1

2, 1 1 1 1

1,0 1 1 1

0,1 1 1 1

1,2 1 1 1

2,3 1 1 1

Tal como puede observarse, en este caso la tasa de variacin media es la misma en todos los intervalos estudiados.

Ejemplo:

Calcular la tasa de variacin media de la funcin 2f(x) x en los intervalos

3, 2 , 2, 1 , 1,0 , 0,1 , 1,2 y 2,3 .

Solucin Tendremos


3, 2 1 -5 -5

2, 1 1 -3 -3

1,0 1 -1 -1

0,1 1 1 1

1,2 1 3 3

2,3 1 5 5

Se define la tasa de variacin media de una funcin definida en un intervalo a,b

siendo a b como: f(b) f(a)

b a


12

Tal como puede observarse, en este caso la tasa de variacin media no es la misma en los intervalos estudiados.

Ejemplo:

Calcular la tasa de variacin media de la funcin 2f(x) x en los intervalos 1;2 ,

1; 1,1 , 1; 1,01 , 1; 1,001 y 1; 1,0001 . Calcular a continuacin, la tasa de

variacin instantnea de dicha funcin en el punto x 1 .

Solucin Tendremos


1,2 1 3 3

1, 1,1 0,1 0,21 2,1

1, 1,01 0,01 0,201 2,01

1, 1,001 0,001 0,002001 2,001

1, 1,0001 0,0001 0,00020001 2,0001

Tal como puede observarse, la tasa de variacin media parece irse aproximando a 2 conforme se reduce la longitud del intervalo considerado. Calculemos ahora la tasa de variacin instantnea de la funcin en el punto x 1 .

f '(x) 2x f '(1) 2 (1) 2

As, pues, la tasa de variacin instantnea coincide con la derivada de la funcin valuada en x 1 .

Concluyendo lo discutido hasta aqu, tenemos que:

Por razn (tasa) promedio se entiende la relacin: f cambio de ordenadas

x cambio de abscisas

y por razn (tasa) instantnea: df

f 'dx

Se define la tasa de variacin instantnea de una funcin f en un punto a como:

b a

f(b) f(a)f '(a) lim

b a


13

2. LA DERIVADA COMO MEDIDA DEL CAMBIO

La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x. Cuando la derivada es positiva, y crece con x tanto ms deprisa cuanto mayor sea la derivada. Si por el contrario es negativa, y disminuye al aumentar x.

Observa:

La magnitud y decrece en el punto a (rapidez negativa).

La magnitud y crece mas rpidamente, con respecto a x, en b que en c.

(rapidez positiva mayor en b que en c)

3. LA DERIVADA EN EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO

La descripcin del movimiento de los cuerpos es la aplicacin ms inmediata de la derivada en Fsica. Un objeto se mueve a lo largo de una lnea recta. Llamamos t al tiempo medido a partir de un cierto instante, y e a la distancia del objeto a un origen dado. En estas condiciones, la distancia e es funcin del tiempo t, funcin que designamos por e(t). Pues bien, la velocidad del mvil es la derivada de la funcin e(t):

dev(t) e'(t)

dt

a b c

x

y = f(x)


14

Hemos escrito v(t) para significar que la velocidad es, a su vez, funcin del tiempo. La derivada de la funcin velocidad es la aceleracin:

(2)dva(t) v '(t) e (t)dt

la aceleracin resulta as la segunda derivada de la funcin e(t).

Si v(t)>0 decimos que el objeto avanza y si v(t)0 y desacelera si a(t)


15

BLOQUE I

1. Calcular la tasa de variacin media de las siguientes funciones:

a) f(x) 3x 2 en el intervalo 1, 2

b) f(x) 2x 3 en el intervalo 0, 0,1

c) 2f(x) x 1 en el intervalo 1, 1,5

d) 2f(x) x 2x 4 en el intervalo 2, 3

e) 2f(x) 2x 3 en el intervalo 0, 0,05

2. El espacio s, expresado en metros, recorrido por un mvil en un tiempo t,

expresado en segundos, viene dado por la frmula s. Calcular la velocidad cuando:

a) t = 2 segundos, si s 3t 4

b) t = 1,5 segundos, si 3 2s 2t t 6

c) t = 1 segundo, si 3s 6t 5t 4

d) t = 6,1 segundos, si 3 2s t t 3

e) t = 3,02 segundos, si s 5t 4

3. Hallar la tasa de variacin media en el intervalo x,x 1 de las funciones:

a) f(x) x b) 2f(x) x c) 3f(x) x d) 4f(x) x

4. Hallar la tasa de variacin media de la funcin 2f(x) x 1 en los intervalos:

a) 0,3 b) 3,5 c) 3, 1

5. Hallar la tasa de variacin media de la funcin

xf(x)

x 2

en 1,1 .

6. El movimiento de un coche viene dado por la funcin 2e 25t 5t , donde e

es el espacio recorrido en kilmetros durante el tiempo t (en horas). Hallar la

velocidad media entre 0t 1 y 1t 3 .


16

7. Una torre mide 150m de altura. Se deja caer una bola de acero desde la azotea.

Hallar:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad con la que llega al suelo.

c) La velocidad con la que pasa por delante de una ventana que est a 50m

del suelo.

(Se supone que el rozamiento del aire es nulo. Considerar como valor de la aceleracin de la gravedad 2g 10m/s .)

8. Sea: f(x) = x2-4x+7.

a) Halle la tasa instantnea de variacin de f(x) cuando x=3. b) Halle la tasa media de variacin de f(x) entre x=3 y x=5.

9. La ley del movimiento de un punto es s = 2t2+3t+5, donde la distancia s se

da en centmetros y el tiempo t, en segundos. A qu ser igual la velocidad media de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t=1 y t=5?

10. Consideremos una barra delgada de estructura heterognea AB cuya

longitud L = 20cm. La masa de un segmento AM aumenta proporcionalmente al cuadrado de la distancia entre el punto M y el punto A, siendo la masa del segmento AM = 2cm igual a 8gr.

Hallar:

a) La densidad media lineal del segmento AM = 2cm de la barra. b) De toda la barra.

c) La densidad de la barra en el punto M.

11. La funcin posicin de un mvil es 3 2e(t) t 9t , midiendo el espacio en

metros y el tiempo en segundos.

a) Determina la velocidad y la aceleracin, como funciones del tiempo. b) Calcula la posicin, la velocidad y la aceleracin del mvil cuando t =

2seg. c) En qu instante la aceleracin es de 12m/s2? d) En qu momento (o momentos) se anula la velocidad?


17

12. Consideremos un mvil, dotado de una aceleracin constante a = 3m/s2, que parte del origen con una velocidad inicial de vo = 2m/s. Sabemos por nuestros estudios de Fsica que el espacio e recorrido al cabo de un cierto tiempo t viene dado por la funcin:

21e(t) 2t 3t2

a) Halla la velocidad y la aceleracin de este mvil en funcin del tiempo. b) En qu momento la velocidad es de 15m/s?

13. La funcin s(t) de la figura representa la posicin de un mvil sobre una

recta en cada instante de tiempo t (se mide s en metros y t en segundos).

a) Dnde se encuentra el mvil cuando t = 3? y cuando t = 9? b) Qu velocidad lleva en el momento t = 1? y en t = 2,5? y t = 6? c) Durante qu intervalo de tiempo est detenido el mvil? d) Durante qu intervalo tiene aceleracin no nula? e) En el instante t = 7 cambia el signo de la derivada )(ts , qu significado

fsico tiene este hecho?

14. Las grficas muestran tres movimientos distintos:

En cules lleva, el mvil, velocidad constante?, en cules es constante la aceleracin?

105

t

s

6

t

s(t)

t

s(t)

t

s(t)

s(t) = t2 +1


18

15. En la figura se muestran las distancias de un mvil a un punto A.

a) En qu intervalo el mvil retrocede y se acerca al punto de partida? b) El mvil se ha detenido alguna vez, cundo?

c) En cul de los siguientes intervalos alcanz el mvil su mxima

velocidad?

1 1 2 2 3 3 40,t , t ,t , t ,t , t ,t

16. La grfica representa la distancia al punto A de un mvil.

a) Hallar la velocidad media en todo el trayecto. b) Si el mvil se hubiese desplazado constantemente con la velocidad media,

habra llegado antes al punto 150km?

At1

t2

t3

t4

t

s(t)

A

t

s(t)

150 km

30 km

2h


19

17. La grfica muestra el movimiento de un mvil.

a) Fue la velocidad del mvil mayor en t2 que en t3? b) Independientemente del sentido del movimiento, en cul de los tres

instantes indicados fue mayor la velocidad?

18. Un mvil se desplaza segn la ecuacin: 2s(t) t 2t .

a) Calcula la velocidad media en 3;3,5 y 3;3,1 .

b) Halla la velocidad instantnea en t = 3.

19. El nmero de bacterias de un cultivo viene dado por la exponencial:

tN(t) 1,2e . (t en horas N(t) en millares). Calcula la velocidad de crecimiento (aumento del nmero de bacterias por unidad de tiempo) en t = 2.

20. La funcin espacio de un mvil es 2

ts(t)

t 1

. La grfica indica que se detiene un instante en B y da la vuelta. En qu momento?.

t

s(t)

t3

t2

t1

tt0

B

s(t)


20

21. Sean 1s (t) 2t 3 , 2s (t) 2t 1 y

2

3

ts (t) t

2

las ecuaciones de tres mviles. Comprueba que al cabo de un segundo de iniciado el movimiento, la velocidad de los tres coincide.

22. En la figura 1 se muestra la trayectoria rectilnea de un mvil que parte del punto M. En la figura 2, la posicin respecto del punto A en funcin del tiempo.

a) A qu distancia de A se encuentra M?. b) Cunto vale

1s(t ) ?.

c) En qu instantes pasa el mvil por A?.

23. Un paseante, cuya altura es 1,7m se aleja de una farola de 8m de altura con una velocidad constante de 1,5m/s. La sombra proyectada por el caminante alcanza en cada instante una posicin s(t), medida a partir de la base de la farola. Calcule la velocidad con que se mueve el extremo de la sombra.

24. Un depsito cilndrico, de radio 50cm, se llena con un caudal de 4

litros/minuto. Calcule la velocidad con la que el nivel de lquido asciende.

25. Dos barcos salen simultneamente de un puerto: uno viaja hacia el Sur a una velocidad de 20km por hora, el otro hacia el Este a una velocidad de 3km por hora. Al final de 3 horas, cul es la velocidad de separacin de los dos barcos?.

26. Una persona cuya altura es 1,7m, pasea por una rampa OB en direccin a B

con una velocidad constante de 1,5m/s. Calcula la velocidad del extremo de la sombra producida por la farola F.

F

8m

1,7m

O1,5 t

B

s(t)

A M

1,5 xt

s(t)

t1

3

2 7

Fig. 1

Fig. 2


21

27. Se desenrolla un cable unido a dos rodillos siguiendo trayectorias perpendiculares y con velocidades constantes respectivas de 3m/s y 4m/s. Calcula la velocidad con que aumenta la longitud del cable cuando t = 6seg.

28. Supongamos que simultneamente al mvil representado en la figura parte otro con velocidad constante e igual a la velocidad media del primero.

a) A partir de la grfica, prueba que en cierto instante t0 ),0( T los dos

mviles coinciden en punto de la trayectoria. b) Prueba asimismo que hay dos instantes en los que los mviles llevan la

misma velocidad.

29. Calcula la velocidad y la aceleracin en t = 5 de un mvil cuya funcin

espacio es s(t) t t .

30. Un petrolero accidentado pierde 500 litros/seg de crudo. La mancha de petrleo que aparece tiene forma circular y un grosor medio de 3mm. Calcula:

a) La velocidad con que aumenta el radio de la mancha. b) La velocidad con que aumenta la superficie.

c) La velocidad con que aumenta el permetro.

v=4m/s

v=3m/s

4t

3t

l

T

t

s(t)


22

31. La altura alcanzada por un proyectil disparado verticalmente supuesto

inexistente al efecto de frenado del aire viene dado por:

2gts(t) 400t

2

; g = 9,8m/s2. Calcula:

a) La velocidad en cada instante, es negativa alguna vez? b) La altura mxima del proyectil y el tiempo en que se alcanza.

c) El tiempo que tarda en caer y la velocidad con la que llega al suelo.

32. Las magnitudes ms usadas en Mecnica son: tiempo t; espacio e; velocidad

v; aceleracin a; cantidad de movimiento p; fuerza F; trabajo W; energa cintica K.

Sabemos que la velocidad es la derivada del espacio con respecto del tiempo

lo que se expresa con la frmula:

dev(t) e'(t)

dt

. Escribe las frmulas correspondientes a las siguientes afirmaciones:

La aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto del tiempo. La fuerza es la derivada del trabajo respecto del espacio. La fuerza es la derivada de la cantidad de movimiento respecto del

tiempo.

La cantidad de movimiento es la derivada de la energa cintica con respecto a la velocidad.

33. El perodo T de un pndulo, segn sabemos por Fsica, es funcin de su

longitud L.

LT 2

g

dnde g es la constante de gravedad. Escriba la derivada del perodo respecto a la longitud.

34. Dos aviones parten de un mismo punto con velocidades de 600 y 800km/h.

Sus trayectorias forman un ngulo de 30, a qu velocidad se separan?.

30


23

35. Una escalera de mano de 7m de longitud se apoya en el suelo y en una pared. El pie resbala a una velocidad de 50cm/s.

Calcula la velocidad instantnea a la que desciende el extremo superior de la escalera en el momento en el que el pie dista dos metros de la pared.

36. Un atn ha picado un anzuelo y huye con l en la boca, a una velocidad de 3m/s en lnea recta y a 4m bajo la superficie del agua. A qu velocidad se suelta el carrete en el instante en que el atn dista 10m del pescador?

37. Un globo esfrico de caucho, se est inflando a razn de 10cm3/min; con

qu rapidez est creciendo el radio en el instante en que mide 1,5cm?

38. Sobre una lmina de caucho colocada sobre una mesa, se ha dibujado una circunferencia. Si se estira la lmina, con qu rapidez crece el rea del crculo si el radio cambia a una razn de 1,8cm/s cuando el radio vale 4cm?

39. Dos automviles A y B parten del origen O, con rutas que forman un ngulo

recto. Si A va con una velocidad de 60km/h mientras que b va con una velocidad de 70km/h, con qu rapidez se est alejando uno del otro al final de dos horas de haber partido?

40. Una bomba de caucho de forma esfrica se desinfla a razn de 8cm3/seg,

con qu rapidez decrece el radio de la bomba cuando el radio mide 4cm?

41. A una piscina cuyo fondo es un rectngulo de 10m de largo por 5m de ancho, entra agua a razn de 5m3/hora, con qu rapidez aumenta la altura del agua en la piscina?

42. A un cono recto circular invertido le entra agua a razn de 2cm3 por minuto.

La altura del cono es dos veces su dimetro. A qu rapidez sube la superficie del agua cuando la misma alcanza una profundidad de 10cm en el cono?

43. Se arroja una piedra en un estanque de agua tranquila. El radio de la onda

exterior aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, cuando el radio es de 10 pies. A qu velocidad aumenta el rea del crculo de agua perturbada?

44. Una cometa est a 80 pies de altura sobre el nivel del suelo.

Horizontalmente se aleja a una velocidad de 4 pies por segundo del nio que la sostiene. A qu velocidad el nio est soltando las cuerdas, cuando la cuerda mide 100 pies?

TECSUP

4m


24

45. Una escalera de 3m descansa contra un muro sobre el nivel del suelo. Si se aleja el extremo inferior de la escalera a una velocidad de 1,20m/s. a qu velocidad desciende el extremo superior en el instante en que est a 2,40m del suelo?

46. Un hombre de 1,80m de estatura se aleja a una velocidad de 3km por hora

de una luz que est a 4,5m sobre el nivel del piso. Cuando su distancia horizontal de la luz es 3,6m:

a) A qu velocidad crece su sombra? b) A qu velocidad se mueve la parte ms alejada de la sombra respecto a

la luz?

47. Un hombre est parado en un muelle y hala un bote por medio de una cuerda. Sus manos estn a 3m por encima del amarre del bote. El bote est a 3,6m del muelle.

Si el hombre hala la cuerda a una velocidad de 90cm/s, a qu velocidad se aproxima el bote al muelle?

48. En una fbrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma una

pila cnica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base.

a) Con qu rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es de 90cm y el cual aumenta a su vez a una velocidad de 1/8 cm por minuto?

b) Con qu rapidez aumenta el radio cuando tiene 1,80m y su volumen

aumenta a una razn de 3m3 por minuto?

49. La longitud de una artesa horizontal es de 2,5m; su seccin transversal es un tringulo rectngulo issceles. Si se echa agua en la artesa a razn de 1/8m3 por minuto, con qu rapidez sube la superficie del agua cuando el agua tiene m de profundidad?

50. Suponga que el puso de un individuo (en latidos/minuto) a los t segundos de

haber comenzado a corre, est dado por tt)t(P 2256 , para 70 t .

Calcule la tasa de cambio de P(t) con respecto a t en (a) t = 2, (b) t = 4 y (c) t = 6.

51. Demuestre que la tasa de cambio del volumen de una esfera con respecto al radio es igual al rea de la superficie.

52. Demuestre que la tasa de cambio del radio de una circunferencia con

respecto a su permetro es independiente de su tamao.

texto2

Documents

Transcript of texto2