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7/23/2019 texstudio_sE5384.pdf http://slidepdf.com/reader/full/texstudiose5384pdf 1/1 Ejercicio. H´ allese la curva integral de la ecuaci´ on yy ” + ( y ) 2 − 1 = 0 que pasa por el punto P (0, 1) y que es tangente en este punto a la recta x + y = 1. Soluci´ on. Consideremos el siguiente cambio de variable v = y = dy dx ⇔ v = dv dv = dv dy dy dx = dy dx dv dy = v dv dy . Remplazando en la EDO, tendremos yv dv dy + v 2 − 1 = 0, que es resoluble por variable separable, y cuya soluci´ on para v 2 ≥ 1, es v 2 = c 1 y 2 + 1, con c 1 ∈ R la primera variable de integraci´ on, luego restituyendo la variable, ten- dremos que ( y ) 2 = c 1 y 2 + 1. (1) Por otro lado la soluci´ on de esta EDO, tambien por variable separable y consideran- do la soluci´ on no negativa, es y 2 = ( x + c 2 ) 2 − c 1 , (2) con c 2 ∈ R la segunda variable de integraci´ on. Ahora puesto que la curva que describe (2) es tangente a la recta x + y = 1, entonces la recta tangente a la curva en (2) ser´ a paralela a la recta x + y = 1, dicho en otras palabras la derivada de (2), que es la que proporciona (1) tendr ´ a que igualarse a la −1 que es la pendiente de la recta x + y = 1 (dy /dx = −1), por tanto tendremos que en el punto P (0, 1) (es decir, y (0) = 1 y y (0) = −1) ( y (0)) 2 = c 1 ( y(0)) 2 + 1 = c 1 1 + 1 = (−1) 2 = 1, de donde c 1 = 0. Mientras que de la expresi´ on en (2), se tendr´ a que para el punto P(0, 1) (es decir, y(0) = 1) ( y(0)) 2 = (0 + c 2 ) 2 − 0 = (1) 2 = 1 de donde c 2 = 1. La curva que satisface estas demandas, sera entonces y 2 = ( x + 1) 2 . 1
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7/23/2019 texstudio_sE5384.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/texstudiose5384pdf 1/1
Ejercicio. Hallese la curva integral de la ecuacion yy” + ( y)2 − 1 = 0 que pasa porel punto P(0, 1) y que es tangente en este punto a la recta x + y = 1.
Soluci´ on. Consideremos el siguiente cambio de variable
v = y = dydx
⇔ v = dvdv
= dvdy
dydx
= dydx
dvdy
= vdvdy
.
Remplazando en la EDO, tendremos
yvdv
dy + v2
− 1 = 0,
que es resoluble por variable separable, y cuya solucion para v2 ≥ 1, es
v2 = c1
y2 + 1,
con c1 ∈ R la primera variable de integracion, luego restituyendo la variable, ten-dremos que
( y)2 = c1
y2 + 1. (1)
Por otro lado la solucion de esta EDO, tambien por variable separable y consideran-do la solucion no negativa, es
y2 = (x + c2)2− c1, (2)
con c2 ∈ R la segunda variable de integracion.
Ahora puesto que la curva que describe (2) es tangente a la recta x + y = 1, entoncesla recta tangente a la curva en (2) sera paralela a la recta x + y = 1, dicho en otraspalabras la derivada de (2), que es la que proporciona (1) tendra que igualarse a la−1 que es la pendiente de la recta x + y = 1 (dy/dx = −1), por tanto tendremos queen el punto P(0, 1) (es decir, y(0) = 1 y y(0) = −1)
( y(0))2 = c1
( y(0))2 + 1 =
c1
1 + 1 = (−1)2 = 1,
de dondec1 = 0.
Mientras que de la expresion en (2), se tendra que para el punto P(0, 1) (es decir, y(0) = 1)
( y(0))2 = (0 + c2)2− 0 = (1)2 = 1
de dondec2 = 1.
La curva que satisface estas demandas, sera entonces
y2 = (x + 1)2.
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