teste 12º ano Matemática

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Instituto Superior T´ ecnico Departamento de Matem´ atica 1 o TESTE DE C ´ ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Vers˜ ao A MEAero 1 o Sem. 2013/14 09/11/2013 Dura¸ ao: 1h30m 1. (2,0 val.) (i) Seja A R o conjunto solu¸c˜ ao da seguinte desigualdade: log(x + 2) 3 - x 2 0 . Mostre que A = -2, - 3 -1, 3 . (ii) Indique, caso existam em R, ou justifique que n˜ ao existem, o supremo, ´ ınfimo, aximo e m´ ınimo de A [0, +[. 2. (2 val.) Considere a sucess˜ ao definida por recorrˆ encia por u 1 =1/3,u n+1 = 2+un 3 ,n N. Use o m´ etodo de indu¸c˜ ao para mostrar que u n 1, n N. Mostre que u n ´ e crescente e justifique que u n ´ e convergente. Determine lim u n . 3. (2,0 val) Calcule a derivada das fun¸c˜ oes definidas pelas seguintes express˜oes: cos(1/x) 5+ x e arcsen(x 3/2 ) . 4. (3,0 val.) Calcule os seguintes limites (caso existam em R): lim x+(1 - cos(1/x)) · (1 + sen(e x )) e lim x0 1 - x 2 1 sen(2x) . 5. (4,0 val.) Determine os intervalos de monotonia, extremos, concavidades, inflex˜ oes e ass´ ımptotasdafun¸c˜ao f : R R definida por f (x) = 2 arctan(x - 1) - x. Esboce o seugr´afico. 6. (5,5 val.) Considere a fun¸ c˜ao g : R R definida por g(x)= e 2x - e -x x ,x 6=0 , e g(0) = 3 . (i) Mostre que g ´ e cont´ ınua em x = 0. (ii) Mostre que g ´ e diferenci´ avel em x =0e g 0 (0) = 3/2. (iii) Seja h : R R umafun¸c˜ ao diferenci´ avel tal que h 0 (3) = -2/3. Determine (h g) 0 (0). (iv) Mostre que lim x→-∞ g(x)=+= lim x+g(x). (v) Prove que g tem m´ ınimo absoluto. 7. (1,5 val.) Seja f : R R umafun¸c˜ ao crescente e majorada. Prove que existe e ´ e finito o limite de f quando x +. Sugest˜ ao : comece por usar o Axioma do Supremo.

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Instituto Superior TecnicoDepartamento de Matematica

1o TESTE DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Versao A

MEAero

1o Sem. 2013/14 09/11/2013 Duracao: 1h30m

1. (2,0 val.)

(i) Seja A ⊂ R o conjunto solucao da seguinte desigualdade:

log(x + 2)

3− x2≥ 0 .

Mostre que A =]−2,−

√3[∪[−1,√

3[.

(ii) Indique, caso existam em R, ou justifique que nao existem, o supremo, ınfimo,maximo e mınimo de A ∩ [0,+∞[.

2. (2 val.) Considere a sucessao definida por recorrencia por u1 = 1/3, un+1 = 2+un

3, n ∈

N. Use o metodo de inducao para mostrar que un ≤ 1, ∀n ∈ N. Mostre que un ecrescente e justifique que un e convergente. Determine limun.

3. (2,0 val) Calcule a derivada das funcoes definidas pelas seguintes expressoes:

cos(1/x)

5 +√x

e arcsen(x3/2) .

4. (3,0 val.) Calcule os seguintes limites (caso existam em R):

limx→+∞

(1− cos(1/x)) · (1 + sen(ex)) e limx→0

(1− x

2

) 1sen(2x)

.

5. (4,0 val.) Determine os intervalos de monotonia, extremos, concavidades, inflexoes eassımptotas da funcao f : R→ R definida por f(x) = 2 arctan(x− 1)− x. Esboce oseu grafico.

6. (5,5 val.) Considere a funcao g : R→ R definida por

g(x) =e2x − e−x

x, x 6= 0 , e g(0) = 3 .

(i) Mostre que g e contınua em x = 0.

(ii) Mostre que g e diferenciavel em x = 0 e g′(0) = 3/2.

(iii) Seja h : R → R uma funcao diferenciavel tal que h′(3) = −2/3. Determine(h ◦ g)′(0).

(iv) Mostre que limx→−∞ g(x) = +∞ = limx→+∞ g(x).

(v) Prove que g tem mınimo absoluto.

7. (1,5 val.)

Seja f : R→ R uma funcao crescente e majorada. Prove que existe e e finito o limitede f quando x→ +∞. Sugestao: comece por usar o Axioma do Supremo.