Tesis - UNI - Maestria en Ingenieria de Transportes

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA CIVIL

SECCIN DE POSGRADO

METODOLOGA PARA MEJORAR EL PROCESODE ASIGNACIN DE TRFICO A UNA RED DE

TRANSPORTE

T E S I SPara optar el Grado de Maestro en Cienciascon Mencin en Ingeniera en Transportes

Lic. Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

LIMA - PER

2011

ndice

Resumen vi

Lista de Figuras vii

Lista de Tablas viii

Lista de Siglas y Smbolos ix

Introduccin x

1. Marco Metodolgico 1

1.1. Tipo de Investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Realidad y problemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Marco Terico 2

2.1. Descripcin de Conceptos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Red de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3. Modelo de 4 Etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Modelos de Programacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1. Programacin Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.2. Programacin no Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5. Mtodo Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1. Mtodo Simplex Revisado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6. Mtodo del Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7. Mtodo del gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Marco Filosfico y Tecnolgico 22

3.1. introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Metodologa para Mejorar el Proceso de Asignacin de Trfico a una Red de TransporteAutor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

iv

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA CIVIL NDICE

3.2. Fundamentos de la asignacin de trfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1. Modelos de asignacin de trfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3. Modelos de optimizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1. Modelo de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Diseo de la Metodologa 30

4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. Formulacin del Problema de Asignacin de Trfico . . . . . . . . . . . 30

4.3. El mtodo de Frank Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1. Algoritmo de Frank-Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Implementacin Computacional 47

5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2. Implementacin del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3. Aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6. Conclusiones y Recomendaciones 53

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Apndice 55

Programamacin en MATLAB Wolfenson-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Archivo simplex-revisado.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Archivo raiz-wolfenson.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Archivo intercambia-simplex.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Archivo basesale-simplex.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Archivo datosincial.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Bibliografa 58


v

Resumen

El proceso de planificacin del transporte consta de varias fases, una de ellas es la etapade asignacin, la cual sirve para crear nuevos escenarios para la toma de decisiones.Los problemas de asignacin de trfico se resuelven optimizando los flujos en unadeterminada red de transporte, los algoritmos resuelven problemas de asignacin de unorigen contra varios destinos.

Las funciones que describen el flujo de transporte, son funciones no lineales conrestricciones lineales, estas funciones son efectivas cuando consideran solo algunos pa-rmetros principales involucrados en los problemas de flujos de redes, tales como elcosto de desplazamiento y el tiempo de desplazamiento. En la presente Tesis se imple-menta el algoritmo de Frank-Wolfe para optimizar el proceso de asignacin a una redde transporte.

Summary

The transportation planning process consists of several phases, one of them is theassignments stage, which is used to create new scenarios for decision making. The as-signments problems of traffic are resolved optimizing network flows in a certain networktransport, the algorithms solve problems from a origin to multiple destinations

The functions that describe the flow of transport, are nonlinear functions withlinear constraints, these functions are effective when they consider only some mainparameters involved in the problems of flows in networks, such as the replacement costand displacement time. In the present thesis is implemented the Frank-Wolfe algorithmto optimize the process of assignment to a transport network.


vi

Lista de Figuras

2.1. Digrafo conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Funcin convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Modelo de 4 etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1. Digrafo conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Regin Factible del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3. Direccin factible del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4. Nuevo Punto de Iteracin x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5. Determinando la direccin factible y1 desde x1 . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6. Nuevo Punto de Iteracin x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41







5.1. Diagrama de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2. Red vial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3. Red vial (Problema 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


vii

Lista de Tablas

5.1. Parmetros para las funciones BPR(Problema 1) . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Estimacin de los viajes(Problema 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3. Parmetros para las funciones BPR(Problema 2) . . . . . . . . . . . . . 52

5.4. Estimacin de los viajes(Problema 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


viii

Lista de Siglas y Smbolos

G(A, V ) Digrafo conexo y sin lazosCa tiempo de viaje en el arco a en funcin del flujoc0a tiempo de viaje libre en el arcofa flujo en el arco aka Capacidad de arco(Vehculos/hora)a arcohr flujo en la ruta rZmin Funcin objetivo mnimoZmax Funcin objetivo mximoCa(fa) funcin de coste que indica el retraso en el arco

a A , para cada arco (i, j) A , como funcindel flujo total fa que lleva el mismo arco a

Rn Espacio vectorial columna n-upla de los realesvT Denota la traspuesta del vector columna v Rnvj Denota el j-simo elementon

j=1 vj La suma de los elementos vj desde j = 1 hastaj = n

xB Particin del vector x correspondiente a las va-riables bsica

xN Particin del vector x correspondiente a las va-riables no bsica

(BN) Particin de la matriz A(cTB c

TN) Particin del vector c vector de coeficientes de la

Funcin objetivo correspondiente a las variablesbsicas y no bsicas

Regin convexa de Rn Operador nablaf Gradiente de la funcinf(x(t)) Norma del vector gradiente de f


ix

Introduccin

En las ciudades modernas el crecimiento de la poblacin hace que se incrementeincesantemente el flujo de personas, mercancas, etc. Este crecimiento genera problemasde congestin que trae consigo prdidas econmicas, afectando potencialmente al serhumano y al medio ambiente, en consecuencia el crecimiento de la demanda y de laoferta del sistema de transporte es ms rpido que la infraestructura urbana [13].

Podemos ver como en los ltimos aos el incremento del trfico urbano est afectan-do directamente en la calidad de vida del ciudadano. Hay una mayor preferencia por losvehculos privados frente al transporte pblico, aumentando la cantidad de vehculospor familia y el nmero de desplazamientos realizados.

Debido a la complejidad del sistema de Transporte es necesario contar con he-rramientas analticas y tecnolgicas que permitan a los organismos encargados de laplanificacin y de la toma de decisiones disponer de una adecuada metodologa acordecon el avance tecnolgico del Sistema de Transporte para poder hacer simulaciones yplantear alternativas de solucin.

Para la representacin conceptual y simblica de la realidad es importante desa-rrollar instrumentos, conceptos o herramientas necesarias que permitan lograr talesobjetivos. Para lograr una representacin abstracta del carcter y funcionamiento delsistema de transporte, se desarrollan los modelos de simulacin en computadora quecombinan teora, anlisis de datos y algoritmos [13], estas herramientas permiten re-presentar idealmente el sistema, estos modelos de simulacin deben ser calibrados oajustados con herramientas apropiadas de modo que representen con mayor exactitudposible el evento deseado. Luego el modelo puede usarse para hacer predicciones ycorrecciones acerca del comportamiento futuro del sistema.

El uso de los modelos de transporte forman parte de una herramienta importantepara la planificacin y zonificacin de una ciudad [13]. La simulacin urbana es tambinun problema de modelaje relativamente nico. Los sistemas urbanos comnmente re-presentados en los modelos urbanos son notablemente complejos y difciles de modelar.Los modelos de uso de suelo y los modelos de transporte se usan a menudo para darsoporte a las decisiones que influyen en el desarrollo de la ciudad y por ende en la vidade las personas.

No obstante el ambiente de la simulacin es ahora apropiado para la difusin denuevas ideas en la modelacin urbana.

La tesis consta de los siguientes captulos:

En el captulo 1 se describe el marco metodolgico en la cual se desarrolla el tipo


x

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA CIVIL INTRODUCCIN

de trabajo que se presenta y la problemtica de la realidad en el transporte.

En el captulo 2. se describe el marco terico correspondiente a los diversos modelosy mtodos.

En el captulo 3 se describe el marco filosfico, tecnolgico y los conceptos de mo-delos de optimizacin, teora de asignacin de trfico.

En el captulo 4 se estructura e implementa la Formulacin del problema de asig-nacin y el algoritmo de Frank Wolfe

En el captulo 5 se construye el modelo computacional para asignacin de trfico,se realiza una aplicacin, utilizando el modelo propuesto

En el captulo 6 se describen las principales conclusiones y recomendaciones.

En el apndice se muestran los cdigos en matlab de los programas.


xi

1Marco Metodolgico

1.1. Tipo de Investigacin

La presente investigacin se desarrolla aspectos tericos referentes a la optimizacinno lineal de redes de transporte, propone desarrollar el algoritmo de Franck-Wolfe parala optimizacin del proceso de asignacin de viajes a una red de transporte, para unamejor programacin del algoritmo se incluye en el el mtodo de Simplex Revisadoy para lograr la convergencia de la raz del mtodo se propone combinar el mismocon el mtodo de la biseccin por ser este un mtodo de convergencia segura parafunciones continuas si la raz se encuentra en el intervalo de bsqueda la implementacinnumrica del algoritmo ser elaborado en Matlab, as mismo se compararn ejemplosde mtodo de Franck-Wolfe con el de multiplicadores de Lagrange, cabe destacar que elalgoritmo de Franck-Wolfe es ptimo en procesos de varios datos por su relativamentefcil implementacin numrica.

1.2. Realidad y problemtica

Los problemas asociados con el transporte en las ciudades desarrolladas y en lasciudades en desarrollo se incrementan incesantemente, uno de estos problemas es lacongestin, que ocasiona un elevado tiempo de desplazamiento, estos problemas traenconsigo el elevado costo en horas hombres desperdiciados, trayendo con sigo el desmedroeconmico de sus habitantes. El crecimiento econmico hace que la demanda de mediosde transporte se incremente hasta sobrepasar la capacidad de los sistemas de transporte.La utilizacin de las herramientas modernas como los conceptos, equipos y softwareexistentes en la actualidad permiten elaborar mejores herramientas para aminorar estosproblemas.


1

2Marco Terico

2.1. Descripcin de Conceptos Previos

En la actualidad el avance en las aplicacin de la tecnologa en las diversas reas de laingeniera permiten resolver problemas muy complejos, se presentan algunos conceptosy herramientas que permiten abordar el desarrollo del proyecto.

La modelacin en el Sistema de Transporte est orientada generalmente a deter-minar la cantidad de viajes generados o atrados por las diferentes zonas del rea deestudio, establecer la distribucin de estos viajes entre las distintas zonas, repartir losviajes entre los diferentes modos de transporte disponibles en el rea, y finalmente losflujos de cada tramo de la red, es en este ltimo tramo de la modelacin del Sistemade Transporte que que se orienta la presente investigacin

El problema de asignacin de trfico comenz a estudiarse en la dcada de los 50,del siglo pasado, hoy en da se van mejorando los algoritmos y modelos existentes.El Estado-del-Arte en la resolucin del Problema de Asignacin de Trfico Simtricolo constituye el algoritmo de Bar-Gera y Boyce desarrollado en su tesis doctoral [2].Este algoritmo presenta una velocidad de convergencia superlineal, pero nicamente esaplicable al modelo separable que se formula como un problema de optimizacin.

2.2. Red de Transporte

El trmino genrico red hace referencia a un conjunto de entidades (objetos, per-sonas, etc.) conectadas entre s. Por lo tanto, una red permite que circulen elementosmateriales o inmateriales entre estas entidades, segn reglas bien definidas. as unared de transporte: es conjunto de infraestructuras y vehculos usados para transportarpersonas y bienes entre diferentes reas geogrficas

El problema de asignacin de trfico es una aplicacin de digrafos ponderados alflujo (circulacin) de un bien, desde una fuente (llamado origen), a un destino dado.Los bienes pueden ser por ejemplo litros de agua que fluyen por tuberas, llamadastelefnicas a travs de un sistema de comunicacin, vehculos, etc.


2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA CIVIL MARCO TERICO

Definicin 2.2.1. Un grafo G se define como un par G = (V,A) formado por unconjunto finito V cuyos elementos son denominados vrtices o nodos y A es un sub-conjunto de pares no ordenados de vrtices y que reciben el nombre de aristas o arcos(nodirigidas o no orientadas).es decir

A {{u, v} /u, v V u 6= v}

Si el conjunto de vrtices es V = {v1, v2, ..., vn}, entonces los elementos de A serepresenta de la forma {vi, vj}, donde i 6= j.Definicin 2.2.2. Dos vrtices vi y vj se dicen adyacentes o vecinos si existe unaarista que los contiene, esto es si {vi, vj} A.

Un grafo G = (V,A) se dice finito si V es un conjunto finito.

Definicin 2.2.3. El grado de un vrtice v es el nmero de aristas que lo contienen yeste nmero se nota por deg(v).

Definicin 2.2.4. Sea G = (V,A) un grafo. Un camino en el grafo G es una su-cesin en la que aparecen de forma alternativa elementos de V y de A de la formav0, e1, v1, e2, v2, . . . , vn con vi V para i = 0, 1, . . . , n, y ej A para j = 1, . . . , n. ydonde vi.1 es adyacente con vi mediante la arista ei. El nmero de arcos que componenun camino se denomina longitud de dicho camino.

Definicin 2.2.5. Un grafo es conexo si cada par de vrtices se pueden unir por uncamino, es decir, si para cualquier par de vrtices (vi, vj), existe al menos un caminoposible desde vi hacia vj. Si no existe tal camino se dice que es disconexo

Definicin 2.2.6. Sea G = (V,E) un grafo, se dice que contiene lazos o bucle, si unade sus aristas tiene como punto inicial y final al mismo vrtice.

Definicin 2.2.7. Un digrafo es un grafo G = (V,A) donde V es un conjunto finito yA (V V )4, siendo 4 = {(x, x) : x V }. A los elementos de V se les denominavrtices y a los de A aristas (dirigidas u orientadas)

Con gran frecuencia se desea modelar problemas prcticos utilizando grafos en losque se asocia a las aristas un entero no negativo llamado peso o costo, dichos nmerosse asocian con informacin como la cantidad de material que puede embarcarse de unvrtice a otro a lo largo de una arista la cual puede representar una carretera o rutaarea, o hallar la forma de conectar todos los vrtices al menor costo, en el caso deun circuito elctrico por ejemplo. Estas tcnicas surgen en el rea de las matemticasllamadas Investigacin de Operaciones.

Nota 1. el peso de la arista ser interpretado como la capacidad mxima que puedetransportar dicha arista.

Definicin 2.2.8. Sea G(A, V ) un digrafo conexo y sin lazos. Se dice que G es unaRed de Transporte (arcos) si se verifican:

a) un nico vrtice f V/gr+(f) = 0 al cual no llegan flechas, se le llama fuente.


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b) un nico vrtice s V/gr(s) = 0 del cual no salen flechas, se le llamasumidero.

c) una funcin c : A N0/ si a = (vi, vj) A c(a) = cij representa lacapacidad de arista(arco).

f

3

6 3

4

1

7

4

6

3

V1

V2

V3

V4

s

4

2

2 V5

V6

5

1

4

Figura 2.1: Digrafo conexo

Definicin 2.2.9. Si G(A, V ) es una red de arcos. Se llama flujo de G a una funcinF : A N0/ : (a cada arista (arco) se le asigna un nmero)

a) a A se tiene F (a) c(a) (obs.: si F (a) = c(a) se dice que la arista estSaturada

b) a A se tiene que el flujo de entrada es igual al flujo de salidaNota 2. En la definicin 2.2.9 se tiene que en:

El inciso a) se indica que lo que se transporta por una arista no puede exceder lacapacidad de la misma.

El inciso b) se indica que lo que fluye (lo que llega) a un vrtice distinto de losvrtices fuente y sumidero debe ser igual a lo que fluye desde l (lo que sale).

Definicin 2.2.10. El segmento que une dos puntos a, b Rn es el conjunto

[a, b] = {x Rn/x = a+ (1 )b, 0 1}.

Definicin 2.2.11. Se dice que un conjunto Rn es convexo si x1, x2 severifica que:

x1 + (1 )x2 , [0, 1].

Es decir, un conjunto es convexo si dados dos puntos cualesquiera del conjunto, elsegmento que los une est contenido totalmente en el conjunto.

Definicin 2.2.12. Dada la funcin f definida en una regin convexa Rn, se diceque es convexa (estrictamente convexa) si, para cualquier par de puntos x1, x2 (x1 6= x2)contenidos en , y con [0, 1] ( 0, 1 ) si:


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f(x1 + (1 )x2) f(x1) + (1 )f(x2)(f(x1 + (1 )x2) < f(x1) + (1 )f(x2)).

Definicin 2.2.13. (Punto extremo) Sea S un conjunto convexo no vaco en Rn. Unvector x S se denomina punto extremo de S si x = x1 + (1 )x2 con x1, x2 S y 0, 1 implica que x = x1 = x2.Teorema 2.2.1. (teorema de representacin de conjuntos convexos finitos). Si un con-junto convexo est acotado y cerrado (o compacto), cualquiera de sus puntos puedeescribirse como una combinacin convexa de sus puntos extremos.

Definicin 2.2.14. (direccin). Sea S un conjunto convexo, cerrado y no vaco en Rn.Se dice que un vector unitario d es una direccin de S, si para cada x S, x+ pid Spara todo pi 0.Definicin 2.2.15. (direccin extrema). Una direccin d se denomina extrema si nopuede expresarse como una combinacin lineal positiva de dos direcciones distintas,esto es, si d = pi1d1 + pi2d2 para pi1, pi2 > 0, entonces d = d1 = d2.

Figura 2.2: Funcin convexa

Definicin 2.2.16. (combinacin lineal convexa). Se dice que un vector x es unacombinacin lineal convexa de los vectores de A = {a1, . . . ,ak} si y slo si x = 1a1 +. . .+ kak, donde i Rn y

ki=1 i = 1.

El conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de los vectores de A sedenomina A.

Definicin 2.2.17. (politopo). Sea A = {a1, . . . ,ak}. El conjunto S = A Rn/x =1p1+. . .+kpk con i 0;

ki=1 i = 1 de todas las combinaciones lineales convexas de

los vectores de A se denomina politopo o envoltura convexa generada por {a1, . . . ,ak}.Si el conjunto de vectores {a1, . . . ,ak} es mnimo, se trata del conjunto de los k puntosextremos de S.


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2.3. Modelo de 4 Etapas

Los planificadores y gestores de los sistemas de transporte buscan resolver estosproblemas, intentando responder de forma adecuada a las necesidades de movilidad dela poblacin. La planificacin, gestin y control del trfico emplea modelos matemticoscomo herramienta analtica que auxilian la toma de decisiones. Estos modelos debenresolverse por medio de mtodos computacionales y de forma eficiente. El proceso deplanificacin del transporte consta de las siguientes fases [13], [4]:

1. Recopilacin de datos.

2. Anlisis y ajuste de modelos.

a) Modelos de generacin/atraccin de trfico.

b) Modelos de distribucin zonal.

c) Modelos de distribucin modal.

d) Modelos de asignacin.

3. Previsiones de la demanda.

4. Evaluacin de futuros escenarios

Este es un modelo clsico de simulacin, el modelo de cuatro etapas en su procesode aplicacin se diferencia claramente la generacin y produccin de viajes, distribucinde viajes, particin modal y la asignacin de redes por modo. Como se indica en lafigura (2.3):

Escenarios de uso de suelo:

(Nuevos desarrollos)

Escenarios de transporte:

(Nuevos lneas de transporte)

Escenarios Polticos:

(Nuevo plan de aparcamiento)

Datos socio-econmicos

Asignacin

Generacin

Distribucin

Distribucin modal

Figura 2.3: Modelo de 4 etapas

Existen dentro de los modelos indicados anteriormente modelos de optimizacincomo el de Wardrop (modelo de asignacin de viaje privado) que emplea una ecuacin


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variacional para obtener la tpica funcin de costos ampliamente usada que es sugeridapor Agencia de Carreteras Pblicas ( Bureau Public Road BPR) [3].

Uno de los modelos ms ampliamente usado es el modelo de asignacin de trfico. ElProblema de Asignacin de Trfico (TAP) modeliza el comportamiento de los usuariosen la eleccin de su ruta para satisfacer su viaje en redes de trfico con congestinpartiendo de la informacin de la configuracin de la red y de la demanda (matrizorigen-destino).

Los modelos que integran la fase de asignacin en redes congestionadas modelizanun equilibrio Cournot-Nash, en la que los usuarios del sistema de transporte son losjugadores del juego de equilibrio, y en el que sus estrategias pueden consistir en laeleccin de la ruta, el modo de transporte, la realizacin o no del viaje, etc.

2.4. Modelos de Programacin

La programacin lineal es una tcnica matemtica relativamente reciente (sigloXX), que consiste en una serie de mtodos y procedimientos que permiten resolverproblemas de optimizacin en el mbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales.

La Programacin es una tcnica matemtica utilizada para dar solucin a problemasque se plantean muy comnmente en diversas disciplinas como Economa, Ingeniera,Sociologa, Biologa, etc. En esencia trata de maximizar y/o minimizar una funcin dedos o ms variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadasexigencias derivadas de la escasez de recursos disponibles en la realidad. El problemade asignar convenientemente recursos escasos es un problema conocido desde la anti-gedad, especialmente en el mundo de la economa, aunque una solucin matemticaal mismo es relativamente reciente. Fue en la dcada de los aos 40 del siglo XX que atravs del trabajo de equipos formados por matemticos, economistas y fsicos, entrelos cuales merece especial destaque George B. Dantzing, se sentaron las bases para laresolucin de problemas de Programacin Lineal y No Lineal [1].

2.4.1. Programacin Lineal

La programacin lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos yrestricciones lineales, es una parte de la programacin matemtica, y una de las reasms importantes de la matemtica aplicada. Se utiliza en campos como la ingeniera, laeconoma, la gestin, y muchas otras reas de la ciencia, y la industria. Debemos notarque cualquier problema de programacin lineal requiere identificar cuatro componentesbsicos:

1. El conjunto de datos.

2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominiosrespectivos de definicin.


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3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto desoluciones admisibles.

4. La funcin lineal que debe ser optimizada (minimizada o maximizada).

Se ilustra de manera clara el alcance de la programacin lineal, para familiarizarsecon los cuatro elementos descritos.

El objeto de la programacin lineal es optimizar (minimizar o maximizar) una fun-cin lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdades o desigualdades.Ms formalmente, se dice que un problema de programacin lineal consiste en encon-trar el ptimo (mximo o mnimo) de una funcin lineal en un conjunto que puedeexpresarse como la interseccin de un nmero finito de hiperplanos y semiespacios enRn. Considrense las siguientes definiciones.

Definicin 2.4.1. (problema de programacin lineal). La forma ms general de unproblema de programacin lineal cosiste en minimizar o maximizar la funcin f

z = f(x) =nj=1

cjxj (2.1)

Sujeto a:

nj=1

cjxj = bi , para i = 1, ..., p 1nj=1

cjxj bi , para i = p, p+ 1, ..., q 1 (2.2)nj=1

cjxj bi , para i = q, q + 1, ...,m

Donde p, q,m son enteros positivos tales que1 p q m

Lo que distingue un problema de programacin lineal de cualquier otro problemade optimizacin es que todas las funciones que en el intervienen son lineales. Unanica funcin no lineal hace que el problema no pueda clasificarse como problema deprogramacin lineal. Tnganse en cuenta adems que se considera que los problemastienen siempre un nmero finito de restricciones. La funcin lineal f de la ecuacin (2.1)se denomina funcin objetivo o funcin de coste, y es la funcin que ha de optimizarse.Obsrvese que en el sistema de ecuaciones e inecuaciones (2.2) se presentan todas lasposibles alternativas en lo que se refiere a los operadores que relacionan los dos trminosde las restricciones (lineales), dependiendo de los valores p y q. Como casos especiales,el problema puede tener exclusivamente restricciones de igualdad, de desigualdad deun tipo, de desigualdad del otro tipo, desigualdades de ambos tipos, igualdades ydesigualdades, etc., es decir el tipo de restricciones depender del problema que seplantea resolver.


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Definicin 2.4.2. (solucin factible). Un punto x = (x1, x2, ..., xn)T que satisface to-das las restricciones (2.2) se denomina solucin factible. El conjunto de todas esassoluciones es la regin de factibilidad.

Definicin 2.4.3. (solucin ptima). Un punto factible x tal que f(x) f(x) paracualquier otro punto factible x se denomina una solucin ptima del problema.

El objetivo de los problemas de optimizacin es encontrar un ptimo global. Sinembargo, las condiciones de optimalidad slo garantizan, en general, ptimos locales,si stos existen Sin embargo, los problemas lineales presentan propiedades que hacenposible garantizar el ptimo global

Si la regin factible est acotada, el problema siempre tiene una solucin (sta esuna condicin suficiente pero no necesaria para que exista una solucin).

El ptimo de un problema de programacin lineal es siempre un ptimo global.

Si, x , y son soluciones ptimas de un problema de programacin lineal, entoncescualquier combinacin (lineal) convexa de los mismos tambin es una solucinptima. Obsrvese que las combinaciones convexas de puntos con el mismo valorde la funcin de coste presentan el mismo valor de la funcin de coste.

La solucin ptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de laregin factible.

Teorema 2.4.1. (propiedad fundamental de la programacin lineal). Si un problema deprogramacin lineal tiene una solucin ptima, es adems una solucin bsica factible.

Problema de programacin lineal en forma estndar

Un Problema de Programacin Lineal puede plantearse de diversas formas, enton-ces para unificar su anlisis, es conveniente transformarlo en lo que normalmente sellama forma estndar. A veces, esta transformacin ha de realizarse antes de resolver elproblema de programacin lineal y determinar el ptimo. Para describir un problemade programacin lineal en forma estndar son necesarios los tres elementos siguientes:

1. . Un vector c Rn

2. . Un vector no negativo b Rm

3. . Una matriz A de tamao m n

Con estos elementos, el problema lineal asociado y en forma estndar tiene la siguienteforma. Minimizar

mn f(x ) = cTx (2.3)s.a. Ax = b (2.4)

x 0


9


donde:x Rn, cTx indica producto escalar de los vectores c y x , Ax es el pro-ducto de la matriz A y el vector x , y x 0 hace que todas la componentes de losvectores factibles sean no negativas. Los problemas de programacin lineal se estudiannormalmente en esta forma. Tpicamente, n es mucho mayor que m. En resumen, unproblema de programacin lineal se dice que est en forma estndar si y slo si

1. Es de minimizacin.

2. Slo incluye restricciones de igualdad.

3. El vector b es no negativo.

4. Las variables x son no negativas.

Antes de analizar un problema de programacin lineal dada en su forma estndar, esconveniente mostrar que cualquier problema expresado en la forma (2.1)-(2.2) tambinpuede expresarse en forma estndar.

Transformacin a la forma estndar

Cualquier problema de programacin lineal puede expresarse siempre en forma es-tndar sin ms que llevar a cabo una serie de manipulaciones algebraicas:

1. Las variables no restringidas en signo se pueden expresar como diferencias devariables que s estn restringidas en signo, es decir variables no negativas. Sialgunas (o todas) de las variables no estn restringidas en signo, stas se puedenexpresar mediante sus partes positiva y negativa. Las partes positiva y negativade la variable xi, se definen como x+i = max{0, xi} y xi = max{0,xi}, res-pectivamente. Se puede comprobar fcilmente que x = x+i xi , |x| = x+i + xi yque ambas x+i y x

i son no negativas. Si el nmero de variables no restringidas

en signo es r, el empleo de la regla anterior supone la necesidad de utilizar rvariables adicionales.

2. Las restricciones de desigualdad pueden convertirse en restricciones equivalen-tes de igualdad introduciendo nuevas variables que se denominan variables deholgura:

Siai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn bi

entonces, existe una variable xn+1 0 tal queai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn + xn+1 = bi

Siai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn bi

entonces, existe una variable xn+1 0 tal queai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn xn+1 = bi


10


3. Un problema de maximizacin es equivalente a uno de minimizacin sin ms quecambiar el signo de la funcin objetivo. En particular, maximizar

Zmax = cTx

es equivalente a minimizarZmin = cTx

si ambos problemas han de cumplir las mismas restricciones. Obsrvese que ambosproblemas alcanzan el ptimo en los mismos puntos, pero

Zmax = Zmin.

4. Una restriccin con trmino independiente b no positivo puede reemplazarse porotra equivalente cuyo trmino independiente es no negativo.

Soluciones bsicas

Considrese un problema de programacin lineal en forma estndar matricial (2.3)-(2.4), donde se supondr, sin prdida de generalidad, que el rango de la matriz A dedimensin m n es m (recurdese que m n), y que el sistema lineal Ax = b tienesolucin. En cualquier otro caso, el problema lineal es equivalente a otro con menosrestricciones, o no tiene solucin factible, respectivamente.

Definicin 2.4.4. (matriz bsica). Una submatriz no singular B de dimensin mmde A se denomina matriz bsica o base. B tambin se denomina matriz bsica factiblesi y solo si B1b 0.

Cada matriz bsica tiene un vector asociado que se denomina solucin bsica. Elprocedimiento para calcular esta solucin es el siguiente. Sea xB el vector de las va-riables asociadas a las columnas de A necesarias para construir B. Las variables xB sedenominan variables bsicas y el resto se denominan variables no bsicas. Asignandoel valor cero a las variables no bsicas

(B N)

(xB0

)= b, BxB = b, xB = B1b (2.5)

donde N es tal que A = (BN). Por tanto B1b nos permite obtener la solucinbsica asociada a B. Si B es una matriz bsica factible, su solucin bsica se dice quees factible. El nmero de soluciones bsicas factibles de un problema de programacinlineal acotado con un nmero finito de restricciones es siempre finito, y cada una secorresponde con un punto extremo de la regin de factibilidad. En concreto, el teoremasiguiente establece la relacin entre soluciones bsicas factibles y puntos extremos.

Teorema 2.4.2. (caracterizacin de puntos extremos). Sea S = {x : Ax = b, x 0},donde A es una matrix m n de rango m, y b es un vector de dimensin m 1. Unpunto x es punto extremo de S si y slo si A puede descomponerse en (B,N) tal que

x =(xBxN

)=

(B1b0

)(2.6)


11


donde B es una matriz de dimensin mm invertible que satisface B1b 0.

Una demostracin de este teorema puede encontrarse en el texto de Bazaraa[1] Elteorema siguiente muestra por qu las soluciones bsicas factibles son importantes.

Teorema 2.4.3. (propiedad fundamental de la programacin lineal). Si un problema deprogramacin lineal tiene una solucin ptima, es adems una solucin bsica factible.

Demostracin. Una regin polidrica siempre puede escribirse como

x =i

ivi +j

jwj +j

kqk

donde i R, j R+, y 0 k 1;

j k = 1. La regin factible de un problemade programacin lineal en forma estndar no contiene un espacio vectorial debido alas restricciones x 0 . En este caso especial, el conjunto polidrico puede escribirsecomo suma de un politopo y un cono; siendo el conjunto mnimo de generadores delpolitopo el conjunto de puntos extremos, y el mnimo conjunto de generadores delcono el conjunto de direcciones extremas. Por tanto, el valor de la funcin objetivo aminimizar Z = cTx se puede expresar como

Z = cTx =j

jcTwj +

j

kcT qk

Definicin 2.4.5. politopo es una regin finita del espacio n-dimensional encerradopor un numero finito de hiperplanos, es la generalizacin del concepto poligono en (2D)y poliedro en 3D)

2.4.2. Programacin no Lineal

Un modelo de Programacin no Lineal es aquel donde las variables de decisin seexpresan como funciones no lineales ya sea en la funcin objetivo y/o restricciones de unmodelo de optimizacin. Sea f : Rn R una funcin continuamente diferenciable (esdecir sus derivadas parciales existen y son continuas) y Rn un conjunto convexo.El problema de optimizacin consiste en

mn f(x )s.a. x

Se dice que el problema no es lineal si f o las funciones que se definen en el conjunto son no lineales. Una solucin ptima de este problema se dice que es mnimo globalde f en . En la prctica la determinacin de tal punto x es difcil, por lo queen la mayora de los algoritmos de optimizacin no lineal procuran obtener un mnimolocal de f , es decir un mnimo x de f en una vecindad de x . El concepto de puntoestacionario de f en est asociado a la determinacin de un mnimo local o globalde f en . Se dice que x es un punto estacionario de f en si


12


f(x )T (x x ) 0 para todo x (2.7)

esto es, si x es mnimo global del problema de optimizacin

mn f(x )Txs.a. x

Donde,f(x ) representa el gradiente de f y es definido comof(x ) =(f(x )xi

) Rn

Para la ilustracin de este concepto considere el siguiente problema de programacinlineal

mn cTxs.a. Ax = b

x 0entonces

= x Rn : Ax = b, x 0

es el conjunto convexo y x es el punto estacionario de f en si y solo si

cTx cTx, x As mismo para programas lineales, x es punto estacionario de f en si y solo si x esmnimo global de f en .

Para problemas de optimizacin no lineales, el resultado no es en general vlido,ms es posible establecer algunas propiedades que ilustran la importancia de los con-ceptos de punto estacionario en optimizacin no lineal diferenciable. Para establecernecesitamos los siguientes conceptos

Teorema 2.4.4. Si f es continuamente diferenciable en Rn, entonces para cualquierx, x Rn, existe por lo menos un x x, x tal que

f(x) = f(x) +f(x)T (x x)Teorema 2.4.5. Una funcin f continuamente diferenciable es convexa en el con-junto convexo (esto es f(x1 + (1 )x2) f(x1) + (1 )f(x2) para todo [0, 1], x1, x2 ), si y solo si para cualquier x, x ,

f(x) f(x) +f(x)T (x x)

Como consecuencia de estos dos teoremas es posible probar las siguientes propie-dades.

Teorema 2.4.6. Si x es mnimo local o global de f en , entonces x es punto esta-cionario de f en

Teorema 2.4.7. Si f es convexa en , entonces x es punto estacionario de f en siy solo si x es mnimo global de f en


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2.5. Mtodo Simplex

Existen muchas variantes del mtodo simplex, aunque todas ellas se basan en lamisma idea central. En este item se describe una de tales versiones. El mtodo simplexse aplica a un problema de programacin lineal en el formato estndar siguiente(ver[1].

mn f(x ) = cTx (2.8)s.a. Ax = b ; b 0 (2.9)

x 0 (2.10)

donde: c = (c1, c2, . . . , cn)T es la matriz columna de los coeficientes de la funcinobjetivo, x = (x1, x2, . . . , xn)T es el vector columna de las variables iniciales, y A esuna matriz de tamao m n que contiene los coeficientes de las restricciones. Losteoremas (2.4.2) y (2.4.3), respectivamente, aseguran que la solucin ptima de unproblema de programacin lineal, si existe, se alcanza en una solucin bsica factible(un punto extremo). El Mtodo Simplex genera una sucesin ordenada de solucionesbsicas factibles que progresivamente mejora el valor de la funcin objetivo. El MtodoSimplex opera en dos fases:

1. Una etapa de iniciacin en la que

a) El conjunto inicial de restricciones de igualdad se transforma en otro equi-valente del mismo tipo (restricciones de igualdad), asociado a una solucinbsica.

b) Los valores de las variables bsicas se transforman en valores no negativos(se obtiene as una solucin bsica factible). Este proceso se llamar fase deregulacin.

2. Una etapa iterativa estndar, en la que los coeficientes de la funcin objetivo setransforman en valores no negativos y el valor del coste se mejora progresivamentehasta que se obtiene la solucin ptima, no se detecta ninguna solucin factible, oaparecen soluciones no acotadas. En este proceso iterativo, se calculan distintassoluciones bsicas factibles. Para este fin se usa la operacin elemental de lapivotacin.

Etapa de iniciacin

Una peculiaridad esencial del Mtodo Simplex consiste en que incorpora una nuevavariable Z, idntica a la funcin objetivo del problema, y la restriccin asociada

Z = c1x1 + . . .+ cnxn (2.11)

Usando la notacin tpica en el Mtodo Simplex, las ecuaciones para las restriccionesse expresan como

(B N)

(xBxN

)= b (2.12)


14


y la funcin objetivo como

Z =(cTB c

TN

)( xBxN

)(2.13)

o

Z =(0 cTB c

TN

) 1xBxN

(2.14)donde (BN) es una particin de la matriz A y xB y xN definen otra particin de x , enlas variables bsicas y no bsicas, respectivamente. usando la ecuacin (2.12) se llegaa:

BxB +NxN = b (2.15)xB = B1b B1NxN = v + UxN (2.16)

donde

v = B1b (2.17)U = B1N (2.18)

Por otro lado, de las ecuaciones (2.13) y (2.16), se tiene

Z = cTB(v + UxN) + cTNxN (2.19)

Z = cTBv + cTB(U + c

TN)xN (2.20)

Z = w0 +wxN (2.21)

donde

w0 = cTBv (2.22)w = cTBU + c

TN (2.23)

de las ecuaciones (2.16) y (2.21){Z = u0 +wxNxB = v + UxN

(2.24)

finalmente (ZxB

)=

(u0 wv U

)(1xN

)(2.25)

El Mtodo Simplex comienza con un conjunto de restricciones mostradas en (2.9)y (2.11) escritas como

ZxB

= u(0)0 | w (0)T +

x (0) | U (0)

1xN

= Z(0) 1

xN

(2.26)Metodologa para Mejorar el Proceso de Asignacin de Trfico a una Red de TransporteAutor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

15


donde xBxN es una particin del conjunto de variables x1, x2, . . . , xn, las matricesv (0) y U (0) se obtienen resolviendo el sistema (2.9) para xB, y teniendo en cuenta lasecuaciones (2.17) y (2.18). Sustituyendo v (0) y U (0) en (2.8) se obtiene:

u00 = cTBv

(0), w (0) = cTBU(0) + cTN (2.27)

donde cTB y cTN son los coeficientes de la funcin objetivo asociados a xB y xN , res-pectivamente. Ahora, el Mtodo Simplex sustituye el sistema (2.26), en cada iteracin,por un nuevo conjunto equivalente de restricciones con la misma estructura

Z(t)x (t)B

= u(t)0 | w (t)T +

v (t) | U (t)

1x (t)N

= Z(t) 1

x (t)N

(2.28)donde t indica el nmero de la iteracin y t = 0 se refiere a la iteracin inicial.

La transformacin ms importante del mtodo simplex es la operacin elemental depivotacin

El Mtodo Simplex llega a la solucin del Problema de programacin lineal me-diante operaciones elementales, que inicialmente actan sobre Z(0), para obtener Z(1)y sucesivamente Z(2), . . . , Z(t), hasta que se alcanza la solucin o se concluye que stano existe. La idea consiste en sustituir una variable bsica por una no bsica, y elfundamento terico de este cambio se da en el siguiente teorema.

Teorema 2.5.1. (propiedad de invarianza de la transformacin de pivotacin). Seaz(t) un elemento no nulo de Z

(t), denominado pivote. Si se transforma el sistema derestricciones y(t)B = Z

(t)y(t)N en y

(t+1)B = Z

(t+1)y(t+1)N , mediante

z(t+1)ij =

z(t)i

z(t)

si i 6= , j =

z(t)ij

z(t)j

z(t)

z(t)i si i 6= , j 6=

1

z(t)

si i = , j =

z(t)j

z(t)

si i = , j 6=

(2.29)

entonces ambos sistemas de restricciones son equivalentes, esto es, tienen las mismassoluciones (mismo conjunto factible).

Identificacin de una solucin ptima

Cuando el problema de programacin lineal se expresa en la forma (2.28) se pue-de saber fcilmente si se ha encontrado una solucin ptima. El siguiente resultadoresponde a esta cuestin.


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Teorema 2.5.2. (se ha encontrado una solucin). Si

w(t) 0, v(t) 0 (2.30)

entonces, una solucin ptima del PPL es

Z(t) = u(t)0 ; x

B = v

(t), x(t)N = 0 (2.31)

.

2.5.1. Mtodo Simplex Revisado

Toda la argumentacin precedente nos permite construir nuestra versin particulardel algoritmo simplex revisado, que trabaja con la matriz U(t), hasta obtener la solucinptima o detectar la falta de puntos factibles o la no acotacin (ver [1].

Algoritmo 2.5.1. (el algoritmo simplex)

Entrada. La tabla inicial, {U (0), v(0), w(0), u(0)} del PPL, conteniendo la funcinobjetivo, y las restricciones del problema.

Salida. La solucin del problema de minimizacin, o un mensaje advirtiendosobre la no admisibilidad o la falta de acotacin.

Iteracin reguladora

Paso 1 (iniciacin). Si v(0) 0, ir al paso 4. En otro caso, transformar v(0)para que todos sus elementos sean no negativos. Con este fin, comprobar si existeuna columna en U (0) que verifique una de las dos condiciones{

u(0)i > 0 si v

(0)i < 0

u(0)i 0 si v(0)i 0

i (2.32)

Si la respuesta es afirmativa, continuar en el paso 2. En otro caso, introducir lavariable artificial xn+1 0, modificar el valor de la funcin objetivo, sumandoel trmino Mxn+1, donde M es una constante positiva grande, sumar el trminoxn+1 a todas las restricciones (variables bsicas), y elegir x = xn+1.

Paso 2 (bsqueda del pivote). Encontrar la fila del pivote usando

v0u0

= minv(0)i

v0iu0i

cTBv(0), w(0) = cTBU

(0) + cTN (2.33)

e ir al paso 3

Iteraciones estndar


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paso 3 (Pivotacin). Realizar la transformacin de pivotacin

z(t+1)ij =

z(t)i

z(t)

si i 6= , j =

z(t)ij

z(t)j

z(t)

z(t)i si i 6= , j 6=

1

z(t)

si i = , j =

z(t)j

z(t)

si i = , j 6=

(2.34)

paso 4 (seleccin de la variable entrante x). Si la condicin de solucin

w(t) 0, v(t) 0 (2.35)es cierta y se verifica adems la condicin, xn+1 > 0, el problema es no factible;si la condicin de solucin se cumple con xn+1

xB = v(t); xN = 0 (2.36)

y el algoritmo concluye. En otro caso, se selecciona la variable entrante x, for-mando parte de xN, mediante

w(t) = mn

w(t)j


obtenindose una sucesin de puntos x1, x2, . . . , hasta que se obtiene un punto lo sufi-cientemente cercano a la solucin x. En cada iteracin se elige la direccin para la cualf decrece ms rpidamente, es decir en la direccin contraria a f(xi). As si, si setiene la ecuacin f(x) = Ax b, entonces direccin buscada es f(xi) = b AxiLema 2.6.1. Sea f : Rn R diferenciable en x Rn. Sea d un vector de Rn. Sif(x)T b < 0, entonces d es una direccin de descenso de f en x.

El mtodo del gradiente emplea como direccin de descenso en el punto x(t) ladireccin d(t) = f(x(t)), que, empleando el lema (2.6.1), se puede mostrar que esde descenso, en efecto. Si f(x(t)) = 0

se cumple la siguiente expresin

f(x(t))Td(t) = f(x(t))Tf(x(t)) = (f(x(t)))2 < 0 (2.39)Entonces, d(t) es una direccin de descenso de f en x(t).

Por tener velocidad lineal, la convergencia del mtodo del gradiente es lenta, an enel caso de funciones cuadrticas. Luego, se busca un mtodo de convergencia ms rpi-da. Una manera posible de acelerar esta convergencia es utilizar la nocin de direccionesconjugadas u ortogonales [12].

2.7. Mtodo del gradiente conjugado

El mtodo de gradiente conjugado es un procedimiento iterativo originalmente pro-puesto por (Hestenes y Stiefel, 1950) [10] como un mtodo directo para resolver siste-mas lineales de la forma Ax = b, donde A Rnn es una matriz simtrica y definidapositiva y b un vector en Rn1

Dado que en los modelos de optimizacin de Programacin no Lineal las variablesde decisin se expresan como funciones no lineales ya sea en la funcin objetivo y/orestricciones, esta caracterstica particular de los modelos no lineales permite abor-dar problemas donde existen economas o deseconomas de escala (Las economas ydeseconomas de escala existen cuando el costo unitario de producir un bien baja/subea medida que aumenta/disminuye la tasa de produccin) o en general donde los su-puestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen. En este sentido el mtodo delgradiente (conocido tambin como mtodo de Cauchy o del descenso ms pronunciado)consiste en un algoritmo especfico para la resolucin de modelos de programacin nolineal sin restricciones, perteneciente a la categora de algoritmos generales de descenso,donde la bsqueda de un mnimo esta asociado a la resolucin secuencial de una seriede problemas unidimensionales.

El mtodo de Gradiente Conjugado requiere trabajar con vectores para las cualesdamos algunas definiciones.Definicin 2.7.1. Se dice que {dk}nk=1 son vectores mutuamente conjugados respectoa una matriz G simtrica y positiva definida si:

dtkGdj j 6= k (2.40)


19


Definicin 2.7.2. Dada una matriz G simtrica y definida positiva y sea el conjuntode vectores {v1, v2, . . . , vn} linealmente con i = 1, 2, . . . , n, se construye un conjuntode vectores {d1,d2, . . . ,dn} mutuamente conjugados respecto a la matriz G, haciendod1 = v1 y

di+1 = vi+1 i

k=1

vti+1GdkdtkGdk

dk

Lema 2.7.1. Todo conjunto de vectores conjugados a una matriz G son linealmenteindependientes.

Lema 2.7.2. Si x y u son vectores cualesquiera en Rn con u 6= 0 entonces

argmin>0q(x+ u) =r(x)tu

utAu

donde r(x) = q(x) = b Ax.Teorema 2.7.1. Sea {u1,u2, . . . ,un} un conjunto de A conjugado de vectores noceros. Si x0 (arbitrario) es dado y

xk = xk1 + uk para 1 k ndonde k se escoge como el argmin>0 q(x+ u), entonces Axn = b

Teorema 2.7.2. Considerando las hiptesis del teorema (2.7.2). Para cada k se cumpleque

q(xk) = minxx0+exp{u1,...,uk}

q(x)

Teorema 2.7.3. El algoritmo de gradiente conjugado es un algoritmo de direccionesconjugadas.

Para denotar que conjunto de n vectores genera un espacio se usa la notacin

Gen{v1, v2, . . . , vn}Lema 2.7.3. Considerando la matriz A, las siguientes relaciones se cumplen en lak sima iteracin

1.Gen{g0, g1, . . . , gk} = Gen{g0, Ag0, . . . , Akg0} (2.41)

2.Gen{d0, d1, . . . , dk} = Gen{g0, Ag0, . . . , Akg0} (2.42)

3.dj Adk = 0 j = 0, . . . , k 1 (2.43)

Nota 3. En el algoritmo, el clculo de se obtiene mediante la direccin de bsquedadel mtodo, es decir se toma la direccin del gradiente negativo, la determinacin deun valor apropiado para en cada iteracin es equivalente a resolver un problema deminimizacin en una dimensin

minf(xk f(xk)


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El mtodo del gradiente conjugado debido a Fletcher y Reeves (1964) combina lascaractersticas de la convergencia cuadrtica del mtodo de las direcciones conjugadascon las del mtodo del gradiente. El mtodo supone una importante mejora del mtododel gradiente con slo un pequeo incremento en el esfuerzo de clculo. El mtododel gradiente conjugado, esencialmente, combina la informacin obtenida del vectorgradiente con la informacin acerca del vector gradiente de iteraciones previas. Lo quehace el mtodo es calcular la nueva direccin de bsqueda utilizando una combinacinlineal del gradiente en la etapa considerada y el de la etapa anterior. La principalventaja del mtodo es que necesita almacenar muy poca cantidad de informacin

Algoritmo 2.7.1. (algoritmo gradiente conjugado)

Paso 1 Dado x0 V(x) (punto inicial) y una tolerancia rtol > 0 calcular f(x0)y calcular s0 = f(x0)Paso 2 Para k = 0, 1, . . . y calcular

xk+1 = xk + ksk

con R que satisface

F (xk + ksk) F (xk + sk), R

minimizando mediante una bsqueda unidireccional de la direccin sk.

Paso 3 La direccin sk+1 de bsqueda es una combinacin lineal de sk yf(xk+1):

sk+1 = f(xk+1) + ksk

donde

k =Tf(xk+1)f(x1)Tf(x0)f(x0)

para la etapa k-sima la relacin es

sk+1 = f(xk+1) + skTf(xk+1)f(xk+1)Tf(xk)f(xk)

Para una funcin cuadrtica se puede demostrar que dos direcciones de bsquedason conjugadas. Despus de n iteraciones conviene comenzar otra vez desde elprincipio tomando el ltimo punto k = n como nuevo punto de partida.

Paso 4 Realizar el test de convergencia, (la funcin objetivo ha disminuido), yterminar el algoritmo cuando sk sea menor que alguna tolerancia preestablecida,


21

3Marco Filosfico y Tecnolgico

3.1. introduccin

En el presente captulo se describen los conceptos previos y necesarios para laelaboracin del modelo, el problema de transporte es un problema antiguo y complicadode resolver. La mayor dificultad ocurre cuando se trata de modelar un problema quelleva en consideracin las condiciones de saturacin de la red, o cuando la funcin decosto de viaje sobre el arco depende, adems del flujo del propio arco, de los flujos deotros arcos,de una va con arcos de trnsito en dos sentidos, formacin de filas en lasintersecciones sealizadas, tiempos de espera en los paraderos o intersecciones, etc.

Los modelos de asignacin de trfico requieren de expresiones funcionales que pro-porcionen el tiempo/coste de viaje en cada arco en funcin del vector de flujo en losarcos de la red. Las funciones de coste dependen de un conjunto de parmetros. Al-gunos de ellos son estimados basndose en consideraciones fsicas de los propios arcos,como su longitud, su capacidad o la velocidad media en el arco sin flujo; pero paraotros existe un cierto grado de libertad.

La complejidad de los sistemas de transporte actuales ha mostrado la convenienciade contar con herramientas analticas que permitan al planificador disponer de unadecuado conocimiento del sistema y poder hacer predicciones. El uso de modelosmatemticos, ha sido de gran utilidad en la identificacin de soluciones o polticasorientadas a lograr los objetivos propuestos para mejorar funcionamiento del sistema,constituyndose en una gran ayuda para los procesos de planificacin y de toma dedecisiones, ya que el objetivo de los anlisis, en la planificacin del trfico urbano,es la obtencin de descripciones macroscpicas de los flujos de trfico a partir delcomportamiento de los conductores o usuarios. Tradicionalmente se ha consideradoque el proceso de planificacin del transporte consta de las fases siguientes

Recopilacin de datos . Comprende cualquier tipo de datos que explique como secomporta el sistema de transporte. Generalmente se incluye en este apartado:

a. Datos relativos a la infraestructura de transporte y su evolucinb. Datos relativos a las necesidades de transporte y a la utilizacin de la infra-

estructura.


22

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA CIVIL MARCO FILOSFICO Y TECNOLGICO

c. Factores tales como la utilizacin del terreno y distribucin de la renta y tipode empleo y estructura de las ciudades y conurbaciones (union de ciudadesdebido a su crecimiento).

Anlisis y ajuste de modelos . Los modelos que se utilizan, y que son generados apartir de los datos de la fase anterior, habitualmente se aplican secuencialmentey se clasifican en:

Fase de generacin de viajes/atraccin de viajes . El esquema empieza con-siderando una zonificacin del rea de estudio, una codificacin de la red detransporte y la obtencin de una base de datos para el estudio. Estos datosestn referidos al nivel de actividad econmica y demogrfica de cada zonaque incluye el nivel de empleo, localizacin de centros comerciales, zonasrecreativas, centros escolares, etc. y son empleados para estimar el nmerode viajes generados y atrados por cada zona considerada en el estudio. Trasesta fase se obtiene una modelizacin de la red de transporte mediante ungrafo G = (N,A) donde A y N son el conjunto de arcos (dirigidos) y no-dos respectivamente. El significado de los arcos depende de si la red es detrfico o de transporte pblico. En el primer caso los arcos estn asociadosa las calles y los nodos a las intersecciones. En el segundo caso cada nodoest asociado a una parada y cada arco representa los posibles desplaza-mientos entre paradas que un usuario puede efectuar. Hay arcos asociadosa movimientos en el vehculo, andando o esperando.

Fase de distribucin zonal . En esta fase se obtiene la distribucin de losviajes sobre el espacio, esto es, se obtiene el nmero de viajes que se efectande una zona a otra, obtenindose la denominada matriz de viajes origen-destino (0 D). En esta fase se obtiene un conjunto de pares ordenadosde N N y la demanda de viajes (que inicialmente consideraremos fija).Denotamos este conjunto de pares de demandas por W y cada par 0 Dpor w = (i, j), donde i es el origen y j es el destino. Denotamos por gwla demanda total de viajes para el par w. |item Fase de particin modal .Cuando los usuarios eligen el modo de transporte con el que satisfacen susnecesidades de viaje. En esta fase se obtiene una matriz 0 D para cadamodo de transporte.

Fase de asignacin. Finalmente, cada matriz de demanda 0D es asignadaa un conjunto de rutas en la red de transporte. Usualmente se efecta unaasignacin de trfico por un lado (vehculos privados) y por otro lado unaasignacin a la red de transporte pblico.

Los modelos que integran la fase de asignacin en redes congestionadas, ya sean stasde trfico o de transporte pblico, modelizan un modelo de equilibrio de Cournot-Nash, en la que los usuarios del sistema de transporte son los jugadores del juego deequilibrio, y en el que sus estrategias pueden consistir en la eleccin de la ruta, el modode transporte, la realizacin o no del viaje, etc.


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3.2. Fundamentos de la asignacin de trfico

El problema de asignacin de los viajes describe a la red de trfico. Durante esteproceso se utiliza un conjunto de reglas y principios para signar una matriz O-D en lared de trfico y as producir un conjunto de flujos en los arcos de stas. Esto no es,sin embargo, el nico producto relevante de la etapa de asignacin; esta tiene variosobjetivos los cuales son til de considerar en detalle. No todos reciben en la prctica, elmismo nfasis en todas las situaciones y tampoco se puede alcanzar en todos el mismonivel de certeza. Los objetivos primarios de los mtodos de asignacin son:

Obtener buenas medidas agregadas de la red, por ejemplo flujos totales en losarcos, etc.

Estimar costes (tiempos) de viajar de zona a zona para un nivel dado de demandade viajes.

Obtener flujos razonables en los arcos e identificar arcos muy congestionados.

Mientras que los objetivos secundarios son:

Estimar las rutas utilizadas para cada par origen-destino.

Analizar cules pares O-D utilizan un arco o un camino particular.

Los datos bsicos necesarios para los modelos de asignacin son

Una matriz O-D, que expresa la demanda de viajes estimada para un intervalode tiempo determinado (horas pico, horas valle, ).Una red, especficamente conformada por los arcos y sus propiedades

La premisa bsica en la asignacin es la suposicin de un viajero racional, estoes, un viajero que escoge la ruta que le ofrece los costes menores percibidos. Se creeque hay un buen nmero de factores que influyen en la eleccin de ruta entre dospuntos; estos incluyen el tiempo de viaje, la distancia, el coste monetario, la congestiny atascos. La construccin de una expresin generalizada de costes que incorpore todosestos elementos es una tarea difcil. Adems, no es prctico tratar de modelar todoslos factores en un modelo de asignacin de trfico, y, por tanto, las aproximaciones soninevitables. La aproximacin ms comn es considerar slo dos factores en la eleccin derutas: el coste de tiempo y el coste monetario; adems, se considera el coste monetarioproporcional a la distancia del viaje. La mayora de los programas de asignacin deltrfico permiten que el usuario asigne pesos al tiempo de viajar y la distancia pararepresentar las percepciones de los conductores en cuanto a estos dos factores. La sumaponderada de estos dos valores llega a ser un coste generalizado utilizado para estimarla eleccin de ruta. Por otra parte, hay evidencias que sugieren que, por lo menos enel trfico urbano de vehculos privados, el tiempo es el factor dominante en la eleccinde rutas. Sin embargo, es un hecho que conductores diferentes escogen rutas diferentescuando viajan entre los mismos dos puntos, esto puede deberse a dos tipos de razones


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Diferencias en las percepciones individuales de lo que constituye la mejor ruta;individuos diferentes no slo pueden incorporar factores diferentes en su funcingeneralizada de costes sino percibirlos de formas distintas.

Los efectos de la congestin que primero afectan a las rutas ms cortas y hacen suscostos generalizados comparable a rutas que inicialmente fueron menos atractivas.

Los distintos tipos de modelos de asignacin son ms o menos adecuados para consi-derar estas influencias. Se entiende que las hiptesis sobre las decisiones tomadas porlos conductores para la eleccin de las rutas, la ms natural es la de suponer que stoseligen la ruta que les represente un coste mnimo hacia su destino bajo las condicionesde trfico existente en la ruta a elegir. El resultado de la adopcin de este criterio porlos conductores, lleva a una situacin en la que ningn conductor puede reducir el costede su desplazamiento mediante cambio de su ruta, llegndose as a un equilibrio, que esconsecuencia de su competicin en igualdad de conocimiento de las posibilidades queofrece el sistema de transporte. Este criterio se ha se denomina criterio de usuario-ptimo, caracterizado ste por el hecho de que todas las rutas usadas poseen igualescostes marginales. Como luego veremos, Wardrop (1952a) fue el primero en establecerdos criterios de eleccin de ruta a los que se conoce como los dos principios de Wardrop.Sin embargo, han surgido algunas objeciones acerca de las hiptesis sobre el compor-tamiento de los usuarios y, por tanto, sobre la aplicabilidad del modelo de equilibriode Wardrop.

3.2.1. Modelos de asignacin de trfico

El desarrollo de las herramientas tecnolgicas y el crecimiento de las necesidadeshan permitido desarrollarse diversos modelos de asignacin tales como:

Modelos estticos de asignacin de trfico

Es uno de los ms populares y conocidos Los modelos estticos asumen una situacinestacionaria de la demanda. Esta suposicin es vlida para problemas planteados enun contexto de planificacin estratgica, mientras que para aspectos operacionales sedeber recurrir a modelos dinmicos. Una vez conocida la movilidad en la zona deestudio, actual o futura, y definida la red de transporte que ha de soportarla, se tratade simular el comportamiento de sta a travs de la obtencin de las cargas en la redque se deriven de la matriz de movilidad, o matriz O D. A partir de la red vial, seselecciona un grafo, que garantice todos los posibles itinerarios coherentes entre cadapar de demanda. La modelizacin de la red supone la descripcin de sta de acuerdocon unas normas establecidas.

A grandes rasgos, los modelos de asignacin de trfico estticos se centran en unaspocas horas del da, como las horas puntas, y trabajan con valores medios (demandas,tiempos, flujos, etc.) durante el periodo de estudio

El problema partir del nmero de usuarios que van a viajar en cada par origen-destino e intentara modelizar el comportamiento de stos en la red de transporte,


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intentando predecir las rutas que elegirn dentro de las distintas rutas o caminos po-sibles. Con esto conseguiremos modelizar el flujo de trfico en cada uno de los tramosque componen la red viaria, evaluando la congestin de cada tramo.

Modelos de asignacin determinista Existen numerosos modelos que perte-necen a esta clase, todos ellos se pueden clasificar en funcin de que los costesen los arcos se consideren separables o no separables (asimtricos). Diremos queun modelo considera los costes en los arcos como separables cuando el coste deatravesar un arco de la red no depende del nivel de flujo en los restantes arcos; encaso contrario, consideraremos que los costes son no separables. Adems, estosmodelos se pueden clasificar segn se considere o no que el coste de viaje en unarco depende o no del flujo en los arcos de la red, lo que originara modelos con ysin congestin. Los primeros son adecuados para centros urbanos y los segundospara zonas interurbanas.

Los modelos sin congestin son modelos tambin conocidos como modelo de asig-nacin todo o nada. En ellos primero se determinan los caminos o rutas de costegeneralizado mnimo entre todos los pares origen-destino. Para cada par origen-destino se asignan todos los viajes de dicho par por dichos caminos. Finalmente,conocidos los flujos de cada ruta se obtienen los flujos en los arcos de la red.

Modelos de asignacin estocstica Anlogamente a la clasificacin anterior,podemos distinguir entre modelos con congestin y no congestin. En un entornode no congestin, el esquema es comn para todos los modelos. Primero realizanuna determinacin de todas las rutas existentes entre cada par origen-destino; es-pecificando su coste. A continuacin, para cada par origen-destino, en funcin delcoste de las rutas, se crea la matriz de probabilidad de eleccin de ruta, despus,para cada par, se asignan los viajes a la rutas creadas, en funcin de la matrizde probabilidad de eleccin de ruta; finalmente, conocidos los flujos de ruta, seobtienen los volmenes en los arcos. La diferencia fundamental entre los distintosmtodos de este tipo estriba en la forma en que calculan las probabilidades deeleccin de los caminos (rutas).

Modelos dinmicos de asignacin de trfico

El problema de asignacin dinmica de trfico consiste en la estimacin de los flujosde vehculos que utilizan los diferentes tramos de la red viaria, de manera variable con eltiempo, constituyendo por tanto una extensin del problema de asignacin convencionalo en equilibrio. Principalmente se han desarrollado modelos deterministas de asignacindinmica de trfico bajo tres aproximaciones:

Simulacin

Programacin matemtica

Control ptimo sobre redes


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Si bien, algunas de las formulaciones en programacin matemtica pueden contem-plarse como problemas en control ptimo discreto y, a su vez, las formulaciones encontrol ptimo (continuas) se aproximan mediante programacin matemtica para suresolucin quedando reducidas, en definitiva, a programacin matemtica.

Estos modelos consideran que los usuarios minimizan sus tiempos de viaje actuali-zando continuamente sus rutas elegidas de acuerdo con las condiciones del trfico. Elprimer modelo de simulacin por ordenador de la asignacin dinmica de trfico, deacuerdo con los principios de Wardrop, fue presentado por [16]

3.3. Modelos de optimizacin

Un problema de optimizacin viene caracterizado por tres elementos: las variablesdel problema que definen el conjunto de decisiones, la funcin objetivo que evala elcoste o el beneficio de la decisin y el conjunto de soluciones que determina las decisionesvlidas que pueden llevarse a cabo. Ms formalmente, sea f : S R una funcin, X unsubconjunto de S que se denomina conjunto factible de soluciones, entonces el problemade optimizacin (versin minimizacin) se formula como:

min f(x)sujeto a x X (3.1)

La forma de abordar el problema (3.1) es analizar situaciones particulares

Se van a exigir, tanto a f como a X, propiedades que sean suficientemente generalespara poder ser utilizadas en las aplicaciones en estudio, y lo suficientemente fuertes paraobtener resultados de inters. La hiptesis ms dbil que suele exigirse a X es que seaun conjunto cerrado. En los modelos que estudiaremos asumiremos que el conjuntoX es convexo, incluso en la mayora de los casos, tendremos propiedades an msfuertes como la de ser un conjunto polidrico (definido mediante restricciones lineales).Las condiciones para f son de dos tipos. Por un lado se exigen ciertas condiciones deregularidad local para poder caracterizar los extremos (mnimos) locales del problemay por otro, se exigen propiedades acerca del comportamiento global de la funcin, demodo que permitan garantizar que tales extremos locales son tambin extremos globalesahondar mas sobre el tema en [1].

Modelos de optimizacin aplican la teora de optimizacin a simulaciones urbanas(asumen que la distribucin de las actividades urbanas pueden ser ubicadas de tal ma-nera que se optimicen algunas funciones objetivo, por ejemplo, el costo del transporte).Los modelos generalmente tienen contenidos que se ubican en ellos para asegurar queel sistema que est siendo simulado concuerde con las observaciones.

Para describir complejas situaciones humanas y sociales, esto debera escribirse enuna expresin matemtica que contenga una o ms variables, cuyos valores deben de-terminarse. La pregunta que se formula, en trminos generales, es qu valores deberantener estas variables para que la expresin matemtica tenga el mayor valor numri-co posible (maximizacin) o el menor valor numrico posible (minimizacin). A esteproceso general de maximizacin o minimizacin se lo denomina optimizacin


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La optimizacin, tambin denominada programacin matemtica, sirve para encon-trar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias,mayor produccin o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Confrecuencia, estos problemas implican utilizar de la manera ms eficiente los recursos,tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los problemas deoptimizacin generalmente se clasifican en lineales y no lineales, segn las relacionesdel problema sean lineales con respecto a las variables.

La Programacin Matemtica, en general, aborda el problema de determinar asig-naciones ptimas de recursos limitados para cumplir un objetivo dado. El objetivodebe representar la meta del decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, apersonas, materiales, dinero o terrenos. Entre todas las asignaciones de recursos admi-sibles, queremos encontrar las que maximizan o minimizan alguna cantidad numricatal como ganancias o costos.

El objetivo de la optimizacin global es encontrar la mejor solucin de modelos dedecisiones difciles, frente a las mltiples soluciones locales.

3.3.1. Modelo de Transporte

El objetivo de los modelos de transporte es encontrar la solucin a un problema decoste de modo que ste sea mnimo para la realizacin de un plan de envos, transporteo distribucin, desde cualquier grupo de centros de abastecimiento llamados orgenes,a cualquier grupo de centros de recepcin llamados destinos, es decir, determinar lacantidad de productos o mercancas que se deben enviar desde cada punto de origena cada punto de destino, teniendo en cuenta las restricciones propias del problemareferidas a las capacidades o disponibilidad de los centros de abastecimiento y lasdemandas de los centros de destino, de manera que se minimicen los costes totalesde transporte o distribucin. Los orgenes pueden ser fbricas, almacenes o cualquierpunto o lugar desde el que se quiera enviar mercancas o productos. Los destinos sonlos puntos o lugares en donde se reciben dichas mercancas o productos.

As el problema general del modelo de transporte se tiene m fuentes y n destinos,cada fuente y cada destino representa un nodo. Los arcos representan las rutas queenlazan las fuentes con los destinos. El arco (i, j) que une a la fuente i con el destino jconduce dos clases de informacin: el costo de transporte cij por unidad, y la cantidadtransportada xij. La cantidad de oferta en la fuente i es ai y la cantidad de demanda enel destino j es bj. El objetivo del modelo es determinar las incgnitas xij que minimicenel costo total del transporte, y que al mismo tiempo satisfagan las restricciones de ofertay demanda.

En forma resumida podemos enunciar el problema de modo que, se desea enviarcierto producto en determinadas cantidades u1, , un, desde cada uno de m orgenes,y recibirse en cantidades v1, , vn, en cada uno de n destinos. El problema consisteen determinar las cantidades xij, que deben enviarse desde el origen i al destino j,para conseguir minimizar el coste del envo. Los cuatro elementos principales de esteproblema son:

1. Datos


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m : el nmero de orgenes.n : el nmero de destinos.ui : la cantidad que debe enviarse desde el origen i.vj : la cantidad que debe ser recibida en el destino j.cij : el coste de envo de una unidad de producto desde el origen i al destino j

2. Variablesxij : la cantidad que se enva desde el origen i al destino j.Se supone que las variables deben ser no negativas:

xij 0 i = 1, ,m; j = 1, , n; (3.2)

Esto implica que la direccin de envo del producto est prefijada desde los dis-tintos orgenes hasta los destinos. No obstante, otras hiptesis podrn tenerseen cuenta. Por ejemplo, podra no limitarse el signo de las variables xij R, sino se quiere predeterminar cules son los puntos de partida y de llegada. Teneren cuenta, que los subndices de las variables representan el origen y el destinorespectivamente, y por ende el subndice en s no es una variable.

3. Funcin Objetivo: En la funcin objetivo que debe optimizarse en el problemade transporte, generalmente interesa minimizar los costos de envo (suma de loscostos de envo por unidad de producto multiplicado por las cantidades enviadas),es decir:

minz =mi=1

nj=1

cijxij (3.3)

4. Restricciones: Las restricciones de este problema son:

nj=1

xij = ui i = 1, ,m, (3.4)mi=1

xij = vi j = 1, , n (3.5)


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4Diseo de la Metodologa

4.1. Generalidades

El implementacin computacional de los modelos es muy importante en el estudioy desarrollo de la aplicacin de la programacin matemtica lineal y no lineal los cualesayudan a resolver los diversos problemas.(estudio de optimizacin de funciones). Unproblema asociado ha esto es la asignacin de trfico.

Un problema de optimizacin viene caracterizado por tres elementos: las variablesdel problema que definen el conjunto de decisiones, la funcin Objetivo que evalael coste o el beneficio de la decisin y el conjunto de soluciones que determina lasdecisiones vlidas que pueden llevarse a cabo. De manera formal, sea f : S Runa funcin X un subconjunto de S que se denomina conjunto factible de solucionesentonces el problema de optimizacin se formula como:

min f(x )sujeto a: x X (4.1)

4.2. Formulacin del Problema de Asignacin de Tr-fico

La planificacin del trfico ha motivado un buen nmero de modelos matemticos.El anlisis de estos modelos ayuda a planificar y predecir los efectos que determinadoscambios en la red de trfico tendrn un efecto en la buena marcha de la red.

La formulacin del problema expresada en (4.1) es una expresin muy general paraque su estudio conduzca a mtodos satisfactorios de resolucin. La forma de abordaresto es analizar situaciones particulares. Se exige tanto a f como a X, propiedadesque sean suficientemente generales para poder ser utilizadas en las aplicaciones deestudio, y lo suficientemente fuertes para obtener resultados de inters. La hiptesismas dbil que se suele exigir a X es que sea un conjunto cerrado. En los modelosque estudiaremos asumiremos que el conjunto X sea un conjunto convexo (podemos


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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFACULTAD DE INGENIERA CIVIL DISEO DE LA METODOLOGA

exigir que est definido mediante restricciones lineales). Las condiciones para f son dedos tipos. Por un lado se exigen ciertas condiciones de regularidad local para podercaracterizar los extremos (mnimos) locales del problema y por otro lado se exigenpropiedades acerca del comportamiento global de la funcin, de modo que permitangarantizar que tales extremos locales sean tambin extremos globales.

Teorema 4.2.1. (Condiciones de optimalidad(f,X)). El punto x X es una solu-cin ptima de condiciones de optimalidad de f si y solo si cumple

f(x)T (x x) 0, x X (4.2)

donde f es el gradiente de la funcin f . (Ver, por ejemplo el teorema 3.3.4 de [1]Teorema 4.2.2. (Condicin suficiente para F = f). Sea F : X Rn de claseC1 sobre un conjunto convexo y abierto X0 X. Entonces F es el gradiente de unaaplicacin en X0 si y solo si F (x) es simtrica para todo x X0.

Debe introducirse un principio que gobierne el comportamiento de los usuarios alelegir la ruta en la red. Wardrop fue el primero en enunciar formalmente este principio:Bajo condiciones de equilibrio, el trfico se organiza en redes congestionadas de talmodo que ningn vehculo puede reducir el tiempo de viaje mediante un cambio deruta.

Este principio se ha usado como punto de partida para confeccionar modelos deasignacin en equilibrio. Un corolario de este principio es que si todos los viajerosperciben el tiempo de los viajes del mismo modo, bajo condiciones de equilibrio, todaslas rutas utilizadas entre un par O D tienen el mismo tiempo mnimo mientras lasno usadas requieren un tiempo igual o mayor.

Para la formulacin matemtica del problema de asignacin de trfico, se consideralos siguientes elementos principales:

1. Datos

(N, A) : un grafo dirigido (N, A) , que se entiende como un modelo de la red detrfico con un conjunto de nodos N , y un conjunto de arcos A que represen-tan las calles. El conjunto de nodos N del grafo representan intersecciones otambin los llamados centroides, que indican las zonas del estudio (orgenesy destinos).

W : el conjunto de pares orgenes-destinos.

dw : dato de entrada, que representan el nmero de viajes en la red desde elorigen i al destino j, para cada par origen-destino w = (i, j) . La matrizde pares origen-destino {dw}, w W se obtiene en la fase de distribucinmodal.

Ca(fa) : una funcin de coste que indica el retraso en el arco a A , para cada arco(i, j) A , como funcin del flujo total fa que lleva el mismo arco a.

R : es el conjunto de rutas para el par w = (i, j).


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2. Variableshr: es el flujo en la ruta rfr: es el flujo en el arco a

3. Restricciones. El nmero de usuarios de un par origen-destino w = (i, j) es lasuma del nmero total de usuarios en caminos distintos que satisfacen tal par:

rRhr = dw, w W.

Adems el flujo de cada camino debe ser no negativo:

hr 0, ,r Rw, w W.El flujo de cada arco a es la suma del flujo en todos los caminos que lo usan:

wW

rRw

a,rhr = fa, a A.

Donde a,r = 1 si r Rw contiene al arco a y 0 en otro caso. A4. Funcin Objetivo. El problema de asignacin de trfico minimiza la siguiente

funcin:

z =aA

fa0

Ca(x)dx.

Como resultado del volumen creciente de trfico, la velocidad en los arcos tiende adisminuir. La funcin Ca, es decir el tiempo necesario para atravesar el arco a, tiene encuenta este hecho. Estas funciones en el anlisis de sistemas de trfico son positivas, nolineales y estrictamente crecientes. Los parmetros que relacionan el tiempo de viaje,Ca, en el arco en funcin del flujo fa en el arco, es el tiempo de viaje libre de flujo,c0a, y la capacidad prctica del arco, ka, que es una medida del flujo a partir del cual,el tiempo de viaje se incrementar muy rpidamente si el flujo aumenta. La expresinms comn para Ca(fa), llamada la funcin BPR, es:

Ca(fa) = c0a + ba

(faka

)na(4.3)

Esta es una ecuacin variacional, como resultado del volumen creciente de trfico, lavelocidad en los arcos tiende a disminuir. Podemos comentar lo siguiente de la funcina optimizar:

Si se considera a los usuarios provistos de informacin completa sobre los costosde cada ruta, se puede suponer que en una distribucin ptima ningn usuario estinteresado en cambiar de ruta pues utiliza la que le resulta menos costosa. Esto da lugaral llamado Equilibrio de Wardrop, que postula que los costos (tiempo de recorrido) delas rutas utilizadas son todos iguales y no mayores que los de las rutas no utilizadas.Se puede obtener una formulacin matemtica equivalente al principio de Wardrop atravs de una inecuacin variacional, consistente en hallar f K; que verifique lasiguiente desigualdad:

C(f ), f f 0f K.


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Donde: K es el convexo determinado por los vectores de flujo sobre las rutas, nonegativas, que verifican una ecuacin de demanda y C es la funcin de costo sobre rutas.En el caso que el Jacobiano de C(f) sea simtrico el problema anterior es equivalentea un problema de optimizacin. Una condicin necesaria para ello es que el tiempo derecorrido de cada arco sea el mismo para todos los usuarios y dependa solamente delflujo sobre dicho arco.

La funcin a optimizar es:

Z =aA

Ca(fa) =aA

fa0

ca(x)dx =aA

fa0

[c0a + ba(x

ka)na ]dx

=aA

[c0afa +b0

na + 1(x

ka)na+1] =

aA

c0afa + dafmaa .

donde:da =

b0(na + 1)kna+1a

y ma = na + 1.

4.3. El mtodo de Frank Wolfe

El algoritmo Frank-Wolfe es un algoritmo importante para solucionar problemas nolineales de programacin. Es especialmente ventajoso en los problemas de asignacinde trfico porque no necesita enumerar todas las rutas factibles entre los orgenesy los destinos, que podra ser un trabajo muy pesado cuando el tamao de la redaumenta. Tambin, permite usar algoritmos de flujos de red muy eficientes como sussubproblemas. Sin embargo, tiene una tendencia en la que la convergencia se ponelenta cuando se acerca al punto ptimo. En este estudio, la modificacin del algoritmoFrank-Wolfe se hace utilizando los algoritmos y programas descritos anteriormente. Elalgoritmo de Frank-Wolfe tambin, permite usar el algoritmo del camino ms corto quees muy eficiente para resolver el problema de asignacin de trfico con funcin objetivono lineal que es inevitable para considerar congestin de trfico en enlaces de la redprincipal.

El algoritmo de Frank-Wolfe para optimizacin no lineal considera el problema deoptimizacin de la forma

mn cTxs.a. Ax = b

x 0

donde f : Rn R es una funcin continuamente difereniable en Rn en por lo menosen un conjunto abierto que contiene al conjunto admisible

= x Rn : Ax = b, x 0

Donde A es una matriz de orden mn, con m < n, b Rn, x Rn. Este algoritmoprocura determinar un punto estacionario de f en el conjunto resolviendo en cadaiteracin un programa lineal que surge de la definicin de punto estacionario (puntos


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Tesis - UNI - Maestria en Ingenieria de Transportes

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