Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

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UNIVERSIDAD DE VIGO DEPARTAMENTO DE INGENIER ´ IA QU ´ IMICA MODELADO E IDENTIFICACI ´ ON DE BIOPROCESOS Memoria que para optar al grado de Doctora por la Universidad de Vigo presenta Mar´ ıa Rodr´ ıguez Fern´ andez Vigo, 2006

Transcript of Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

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UNIVERSIDAD DE VIGO

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA QUIMICA

MODELADO E IDENTIFICACION DE

BIOPROCESOS

Memoria que para optar al grado de Doctora por la

Universidad de Vigo presenta

Marıa Rodrıguez Fernandez

Vigo, 2006

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Autorizacion

El Doctor Julio Rodrıguez Banga, Investigador Cientıfico del Instituto de

Investigaciones Marinas de Vigo (C.S.I.C.)

CERTIFICA:

Que la memoria adjunta, titulada “Modelado e Identificacion de Bioprocesos”,

que para optar al grado de Doctora presenta Da. Marıa Rodrıguez Fernandez, ha sido

realizada bajo su inmediata direccion en el Instituto de Investigaciones Marinas del

C.S.I.C. y, considerando que constituye trabajo de Tesis, autoriza su presentacion

en la Universidad de Vigo.

Vigo, 9 de Octubre de 2006

Fdo.: Dr. Julio Rodrıguez Banga

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Agradecimientos

Son muchas las personas e instituciones que durante estos anos han participado

en este trabajo y a todas ellas quiero expresar mi gratitud por el apoyo prestado.

En primer lugar deseo expresar mi mas profundo agradecimiento al Dr. Julio

Rodrıguez Banga por su labor de direccion en este trabajo y por su constante apoyo

y asesoramiento en todos los aspectos de la investigacion y elaboracion de esta Tesis.

A el debo agradecer la confianza depositada en mi al brindarme la oportunidad de

formar parte de su grupo ası como todo su tiempo y permanente disponibilidad.

Quisiera agradecer a todo el personal del Instituto de Investigaciones Marinas del

CSIC, en especial al grupo de Ingenierıa de Procesos por todos los momentos com-

partidos, ¡os echare de menos!. Me gustarıa destacar aquı a Eva por la colaboracion

prestada en todo momento.

Asimismo, agradezco al Ministerio de Educacion y Ciencia por la financiacion de

los proyectos AGL2001-2610-C02-02 y AGL2004-05206-C02-01/ALI y a la Xunta de

Galicia por el proyecto PGIDIT02PXIC40211PN y por concederme una beca que me

permitio realizar una estancia en la UCSB (University of California Santa Barbara).

Quiero mandar desde aquı mi mas sincero agradecimiento al Prof. Francis J.

Doyle III, a su grupo de investigacion de la UCSB y al equipo del Sansum Diabetes

Research Institute por la amabilidad y el afecto con el que me acogieron y por lo

mucho que he aprendido de ellos.

A la Comision Europea, a traves del CTS (Control Training Site), por darme la

oportunidad de realizar una estancia en Supelec y a la Prof. Francoise Lamnabhi-

Lagarrigue y al Prof. Eric Walter por la supervision del trabajo allı realizado.

A mi familia y amigos debo el carino y los animos necesarios para que este trabajo

llegase a buen puerto, especialmente a mis padres y a mis hermanos, gracias es lo

menos y a la vez lo mas que puedo deciros.

No puedo acabar los agradecimientos sin recordar a la persona que mas ha sufrido

este trabajo. Gracias Juan, por estar siempre ahı.

A todos los mencionados y a todos los que quedan en el tintero, muchas gracias

por el apoyo prestado, el carino recibido y los animos proporcionados.

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A mis padres y a mis hermanos

A Juan

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All models are wrong... but some are useful.

George E. P. Box

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Resumen

La ingenierıa de procesos moderna se basa en el uso de modelos matematicos

rigurosos para realizar tareas de analisis, diseno, optimizacion y control. En el caso

de bioprocesos (industria alimentaria y biotecnologica) estos modelos suelen tener

un caracter dinamico y no lineal.

El desarrollo de un modelo matematico puede considerarse como un ciclo: par-

tiendo de unos objetivos (finalidad del modelo) y de unos conocimientos a priori

(datos preliminares, analisis basico e hipotesis iniciales), se propone una estructura

para el modelo. A partir de los datos experimentales, se realiza entonces la esti-

macion de parametros dando lugar a un modelo inicial que debe ser validado con

nuevos experimentos, lo que en la mayorıa de los casos revelara algunas deficiencias.

En ese caso, debe plantearse una nueva estructura del modelo o un nuevo diseno de

experimentos. Este proceso debe repetirse de forma iterativa hasta que la etapa de

validacion se considere satisfactoria. El presente estudio se centra en los problemas

de (i) estimacion de parametros y (ii) diseno optimo de experimentos dinamicos.

El problema de estimacion de parametros se plantea como la minimizacion de

una funcion de coste (J) que mide la calidad del ajuste del modelo con respecto

a un conjunto de datos experimentales, sujeto a la dinamica del sistema y a otras

posibles restricciones algebraicas. Esta formulacion corresponde a la de un problema

de optimizacion no lineal (Non-Linear Optimization Problem, NLO) con ecuaciones

diferenciales ordinarias y algebraicas como restricciones.

Matematicamente, el diseno optimo de experimentos puede plantearse como un

problema de optimizacion dinamica en donde el objetivo es encontrar un conjunto

de variables de entrada (controles) para los experimentos dinamicos que maximicen

la calidad de algun indicador estadıstico de los parametros estimados. Con objeto

de aumentar la identificabilidad practica y la precision de los parametros, en este

trabajo se han utilizado funciones escalares de la matriz de informacion de Fisher.

Empleando metodos directos, que transforman el problema original en un problema

de optimizacion no lineal (NLO) mediante la parametrizacion de los controles y/o

de los estados, se pueden obtener soluciones numericas.

xi

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xii Resumen

Debido a la naturaleza no lineal del modelo dinamico, estos dos problemas son fre-

cuentemente multimodales (no convexos) y, por lo tanto, si se resuelven con metodos

tradicionales de optimizacion local es muy probable que converjan a optimos locales.

Ademas, en el caso de un mal ajuste de los parametros, no hay modo de saber si

este se debe a una mala formulacion del modelo o si es debido a la convergencia a

una solucion de naturaleza local. Esta es una clara motivacion para la utilizacion

de metodos que proporcionen mas garantıas de convergencia al optimo global tanto

para resolver el problema de calibracion como para resolver el problema de diseno

optimo de experimentos.

La creciente demanda de los consumidores con respecto a la calidad de los ali-

mentos y el endurecimiento de las normas de seguridad, han motivado el desarrollo

de metodos de computacion basados en modelos para la simulacion, la optimizacion

y el control de tecnicas de procesamiento de alimentos. Las aproximaciones basadas

en modelos son tambien un tema central en la biologıa de sistemas ya que proporcio-

nan nuevos modos de analizar los datos procedentes de la genomica y la proteomica,

proporcionando un gran entendimiento sobre el lenguaje de las celulas y los orga-

nismos. Ademas, estas aproximaciones proporcionan estrategias sistematicas para

cuestiones clave de la medicina y la industria farmaceutica y biotecnologica como,

por ejemplo, el desarrollo de farmacos teniendo en cuenta los efectos de posibles

nuevos medicamentos en rutas bioquımicas y en la fisiologıa.

En este trabajo se estudia el modelado y la identificacion de una serie de bioproce-

sos. Relativos a la industria alimentaria, se han considerado procesos de conservacion

basados en tecnicas de secado y procesamiento termico de alimentos. En relacion a

la biologıa de sistemas, se han considerado modelos de rutas bioquımicas de gran

interes ası como la modelizacion de la cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos

que es un paso clave en el desarrollo del deseado “pancreas artificial”.

Para llevar a cabo estas tareas, se presentan nuevas metodologıas de optimizacion

global que aumentan significativamente la eficiencia de las hasta ahora utilizadas

garantizando su robustez. Se hace tambien una revision de los metodos de analisis de

sensibilidades ası como de los tipos de funciones de sensibilidad y de su aplicabilidad,

especialmente para cuantificar la importancia de los parametros estableciendo un

ranking de los mismos. Ademas, se analizan las tecnicas existentes para el estudio de

la identificabilidad y se presenta un programa desarrollado en Matlab R© que, como se

explicara detalladamente a lo largo de este trabajo, permite automatizar las tareas de

analisis de identificabilidad, ranking de parametros, calibracion del modelo, calculo

de intervalos de confianza y diseno optimo de experimentos dinamicos.

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Objetivos

El objetivo fundamental de esta tesis consiste en desarrollar una metodologıa

integrada para el modelado y la identificacion de bioprocesos, es decir, aquellos per-

tenecientes a la industria alimentaria y biotecnologica. Los modelos que representan

estos procesos suelen tener un caracter dinamico y no lineal por lo que el problema

inverso asociado resulta especialmente complejo. Para poder realizar esta tarea con

exito, se han propuesto una serie de sub-objetivos:

Analisis de la identificabilidad de los modelos tanto estructural (para aquellos

abordables mediante las tecnicas disponibles en la actualidad) como practica

y cuantificacion de la importancia de los parametros estableciendo un ranking

de los mismos.

Estimacion robusta de parametros mediante metodos que permitan el mane-

jo adecuado de ruido en las medidas y observaciones parciales ası como la

resolucion de este tipo de problemas en un tiempo de calculo reducido.

Diseno optimo de experimentos empleando tecnicas de optimizacion dinamica

con objeto de reducir los problemas de identificabilidad practica, aumentar la

precision de los parametros estimados y disminuir el esfuerzo experimental.

Debido a la multimodalidad de este tipo de problemas, el uso de metodos

globales permitira asegurar que los nuevos experimentos disenados sean glo-

balmente optimos y evitar la convergencia a mınimos locales.

Desarrollo de un entorno integrado para la automatizacion de las tareas de

estimacion de parametros, diseno optimo de experimentos, analisis de la iden-

tificabilidad y otras medidas asociadas.

Modelado e identificacion de una serie de bioprocesos de interes relativos a:

i.- Secado de alimentos

ii.- Procesamiento termico de alimentos

xiii

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xiv Objetivos

iii.- Isomerizacion del α-pineno

iv.- Inhibicion de la proteasa del HIV

v.- Funcion de las caspasas en la apoptosis

vi.- Ruta bioquımica en tres pasos

vii.- Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos

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Indice general

I Introduccion 1

1. Modelos matematicos 3

1.1. Desarrollo de modelos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Tipos de modelos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II Metodologıa 9

2. Estimacion de parametros 11

2.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Caracterizacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2. Datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3. Funciones de coste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Metodos de estimacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Metodos de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2. Metodo multiple shooting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Analisis de sensibilidad 21

3.1. Metodos numericos para el calculo de sensibilidades locales . . . . . . 22

3.1.1. Aproximacion por diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2. Metodos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3. Metodo de la funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Tipos de funciones de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1. Funcion de sensibilidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2. Funcion de sensibilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.3. Funcion de sensibilidad semirelativa . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Analisis de identificabilidad 29

4.1. Identificabilidad estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

xv

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xvi Indice general

4.2. Identificabilidad local a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3. Identificabilidad practica o a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3.1. Metodo basado en la FIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3.2. Metodo basado en las regiones de confianza . . . . . . . . . . 36

5. Intervalos de confianza 37

5.1. Regiones de confianza exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2. Metodo basado en la FIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3. Metodo basado en la matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4. Metodos de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.1. Jackknife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.4.2. Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6. Diseno optimo de experimentos 43

6.1. Criterios de diseno optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2. Formulacion del OED como un problema de optimizacion dinamica . 47

6.3. Metodo de parametrizacion de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7. Metodos de optimizacion 51

7.1. Metodos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.1.1. Metodos para problemas sin restricciones . . . . . . . . . . . . 53

7.1.2. Metodos para problemas con restricciones . . . . . . . . . . . 54

7.1.3. Metodos locales empleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2. Metodos globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.1. Metodos deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.2. Metodos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.3. Metodos hıbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3. Desarrollo de un metodo hıbrido secuencial . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3.1. Ajuste del metodo hıbrido secuencial . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4. Metodo hıbrido paralelo sincronico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8. GOSBio: entorno para modelado e identificacion 69

8.1. Descripcion de la metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.2. Fichero de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.2.1. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.2.2. Datos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3. Ficheros de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3.1. Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3.2. Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Page 17: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Indice general xvii

III Aplicaciones 77

9. Secado de alimentos 79

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.2.1. Transferencia de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.2.2. Transferencia de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.3. Analisis de identificabilidad estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.4. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.5. Estimacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.5.1. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.5.2. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.6. Identificabilidad a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.7. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10.Procesamiento termico de alimentos 95

10.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.2.1. Esterilizacion industrial de alimentos enlatados . . . . . . . . 98

10.3. Analisis de identificabilidad estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.4. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.5. Diseno optimo de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.6. Identificabilidad a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.7. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.Isomerizacion del α-pineno 109

11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.3. Analisis de identificabilidad estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.4. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.5. Estimacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.6. Identificabilidad a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

11.7. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

11.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Page 18: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

xviii Indice general

12.Inhibicion de la proteasa del HIV 119

12.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12.3. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

12.4. Estimacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

12.5. Identificabilidad a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

12.6. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

12.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.Funcion de las caspasas en la apoptosis 129

13.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

13.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

13.3. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

13.4. Estimacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

13.5. Identificabilidad a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

13.6. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

14.Ruta bioquımica en tres pasos 141

14.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

14.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

14.3. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

14.4. Estimacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

14.5. Identificabilidad a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

14.6. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

14.7. Diseno optimo de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

14.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

15.Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos 161

15.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

15.2. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

15.3. Ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

15.4. Estimacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

15.5. Identificabilidad a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

15.6. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

15.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Page 19: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Indice general xix

IV Conclusiones 173

V Apendices 181

A. Ejemplo de fichero de entrada para el entorno GOSBio 183

VI Bibliografıa 189

VII Publicaciones 209

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Indice de tablas

9.1. Valores para el ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2. Valores nominales y lımites para los 8 parametros . . . . . . . . . . . . . 88

9.3. Soluciones para el caso 1 correspondientes a J=0.33 y J=0.31 . . . . . . . 89

9.4. Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos . . . . . . . . 92

10.1. Valores para el ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.2. Valor del criterio D y E modificado para cinco, seis y ocho experimentos . 102

10.3. Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos . . . . . . . . 105

11.1. Valores para el ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.2. Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos . . . . . . . . 117

12.1. Valores para el ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

12.2. Valores nominales y lımites para los 20 parametros . . . . . . . . . . . . 122

12.3. Valor de los parametros para dos resultados obtenidos con SSm . . . . . . 125

12.4. Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos . . . . . . . . 127

13.1. Valores para el ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

13.2. Valores nominales y lımites para los 18 parametros . . . . . . . . . . . . 134

13.3. Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos . . . . . . . . 139

14.1. Valores iniciales para los 8 estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

14.2. Valores para el ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

14.3. Valores nominales y lımites para los 36 parametros . . . . . . . . . . . . 146

14.4. Valores de S y P (10 experimentos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

14.5. Evolucion de SRES-n2fb para los conjunto de datos I y II . . . . . . . . . 150

14.6. Intervalos de confianza de los parametros optimos . . . . . . . . . . . . . 155

14.7. Diseno original y disenos optimos para 16 y 10 experimentos . . . . . . . 158

15.1. Valores para el ranking de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

15.2. Valores nominales y lımites para los cuatro parametros . . . . . . . . . . 167

xxi

Page 22: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

xxii Indice de tablas

15.3. Valores de los parametros optimos para cada paciente . . . . . . . . . . . 168

15.4. Valor medio de los errores de prediccion para los niveles de glucosa . . . . 169

15.5. Valores y desviacion estandar de los parametros optimos . . . . . . . . . 171

Page 23: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Indice de figuras

1.1. Esquema para la construccion de modelos matematicos . . . . . . . . . . 4

2.1. Esquema para la estimacion mediante un metodo de valor inicial . . . 18

2.2. Ejemplo de estimacion mediante el metodo multiple shooting . . . . . 20

6.1. Interpretacion geometrica de varios criterios de diseno optimo . . . . 45

7.1. Metodos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2. Metodos globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3. Esquema de funcionamiento de Scatter Search . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.1. Esquema de GOSBio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.1. Secado por aire de una lamina de celulosa . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.2. Lıneas de contorno para los parametros b3 y b6 . . . . . . . . . . . . . . 85

9.3. Lıneas de contorno para los parametros p1 y b3 . . . . . . . . . . . . . . 85

9.4. Lıneas de contorno para los parametros p1 y p2 . . . . . . . . . . . . . . 86

9.5. Lıneas de contorno para los parametros b1 y b4 . . . . . . . . . . . . . . 86

9.6. Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr . . . . . . . . . . . 86

9.7. Frecuencia de las soluciones de un SQP en modo multi-start . . . . . . . . 89

9.8. Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.9. Valores predichos versus datos experimentales para Ts . . . . . . . . . . . 90

9.10. Valores predichos versus datos experimentales para mavg . . . . . . . . . 90

9.11. Matriz de correlacion a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.12. Region de confianza para los parametros p2 y b4 . . . . . . . . . . . . . 92

9.13. Region de confianza para los parametros b1 y b4 . . . . . . . . . . . . . 92

10.1. Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr . . . . . . . . . . . 100

10.2. Frecuencia de las soluciones de un SQP en modo multi-start . . . . . . . . 101

10.3. Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.4. Evolucion de los criterios D y E modificado con el numero de experimentos 103

xxiii

Page 24: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

xxiv Indice de figuras

10.5. Perfiles optimos para los experimentos 1, 3 y 6 . . . . . . . . . . . . . . 103

10.6. Perfiles optimos para los experimentos 2, 4 y 5 . . . . . . . . . . . . . . 103

10.7. Dinamica de la T0 y la retN para los experimentos 1, 3 y 6 . . . . . . . . 104

10.8. Dinamica de la T0 y la retN para los experimentos 2, 4 y 5 . . . . . . . . 104

10.9. Matriz de correlacion a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.10.Region de confianza para el diseno optimo de seis experimentos . . . . . . 106

10.11.Funcion objetivo para el diseno optimo de seis experimentos . . . . . . . . 106

11.1. Esquema de la isomerizacion del α-pineno . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.2. Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr . . . . . . . . . . . 113

11.3. Frecuencia de las soluciones de un SQP en modo multi-start . . . . . . . . 114

11.4. Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

11.5. Datos experimentales versus valores predichos por el modelo . . . . . . . 115

11.6. Valores de los residuos en funcion del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 115

11.7. Matriz de correlacion a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.8. Funcion objetivo en el plano (p1, p2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.9. Funcion objetivo en el plano (p4, p5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.10.Funcion objetivo en el plano (p1, p2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

11.11.Funcion objetivo en el plano (p4, p5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

12.1. Esquema de reaccion para la inhibicion irreversible de la proteasa del HIV 119

12.2. Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr . . . . . . . . . . . 121

12.3. Frecuencia de las soluciones de un SQP en modo multi-start . . . . . . . . 123

12.4. Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

12.5. Datos experimentales versus valores predichos por el modelo . . . . . . . 125

12.6. Valores de los residuos en funcion del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 125

12.7. Matriz de correlacion a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.1. Esquema apoptosis (Fussengger et al., 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . 130

13.2. Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr . . . . . . . . . . . 132

13.3. Frecuencia de las soluciones de un SQP en modo multi-start . . . . . . . . 135

13.4. Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

13.5. Valores predichos versus datos pseudo-experimentales para las 11 veloci-

dades de reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

13.6. Valores predichos versus datos pseudo-experimentales para las 19 concen-

traciones de proteına . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

13.7. Matriz de correlacion a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

14.1. Esquema de reaccion para la ruta bioquımica en tres pasos . . . . . . . . 142

Page 25: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Indice de figuras xxv

14.2. Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr . . . . . . . . . . . 145

14.3. Frecuencia de las soluciones de n2fb en modo multi-start . . . . . . . . . 148

14.4. Efecto del punto de cambio en la convergencia del hıbrido . . . . . . . . . 149

14.5. Error relativo considerando el conjunto de datos II (3 % de error) . . . . . 151

14.6. Error relativo considerando el conjunto de datos III (5% de error) . . . . 151

14.7. Valores predichos versus datos pseudo-experimentales (conjunto III) . . . 152

14.8. Curvas de convergencia de SRES, hıbrido SRES-n2fb y SSm . . . . . . . . 153

14.9. Matriz de correlacion a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

14.10.Lıneas de contorno para los parametros p1 y p6 . . . . . . . . . . . . . . 154

14.11.Lıneas de contorno para los parametros p1 y p4 . . . . . . . . . . . . . . 154

14.12.Curvas de convergencia para el OED con 16 experimentos . . . . . . . . . 158

15.1. Bomba de infusion de insulina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

15.2. Estructura del modelo de Hovorka et al. (2004) . . . . . . . . . . . . . . 164

15.3. Estructura del modelo de infusion de insulina (Wilinska et al., 2005) . . . 165

15.4. Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr . . . . . . . . . . . 166

15.5. Frecuencia de las soluciones de un SQP en modo multi-start . . . . . 167

15.6. Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm . . . . . . . . . . . . . . . 168

15.7. Porcentaje de error entre los datos experimentales y los predichos . . 169

15.8. Ajuste del modelo con los datos del experimento 1 . . . . . . . . . . . . . 170

15.9. Validacion del ajuste con los datos del experimento 2 . . . . . . . . . . . 170

15.10.Matriz de correlacion a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Page 26: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 27: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Notacion

Tipografıa

Italica EscalarNegrita minuscula VectorNegrita mayuscula Matriz

Abreviaturas

ACO Metodo de la colonia de hormigasBLUE Mejor estimador lineal no sesgadoCP Parametrizacion totalCVP Parametrizacion de controlDAEs Ecuaciones diferenciales ordinarias y algebraicasGO Optimizacion globalDDM Metodo directo desacopladoEP Programacion EvolutivaES Estrategias EvolutivasFIM Matriz de informacion de FisherGA Algoritmo GeneticoGFM Metodo de la funcion de GreenGPS Metodo de busqueda por patrones generalizadosGRG Metodo del gradiente reducido generalizadoIDP Metodo de programacion dinamica iterativaIVP Problema de valor inicialKKT Condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-TuckerMINLP Problema de optimizacion no lineal entero mixtoNLO Problema de optimizacion no linealNMOL Metodo numerico de las lıneasODEs Ecuaciones diferenciales ordinariasOED Diseno optimo de experimentosPDAEs Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y algebraicasPDEs Ecuaciones en derivadas parciales

xxvii

Page 28: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

xxviii Notacion

s.g.i. Estructuralmente globalmente identificables.l.i. Estructuralmente localmente identificables.u.i. Estructuralmente no identificableSC1 y SC2 Criterio de parada para los metodos estocastico y determinista

respectivamenteSA Metodo de templado simuladoSS Metodo de busqueda dispersaSQP Metodo de programacion cuadratica secuencialTDT Modelo basado en el tiempo de muerte termicaTPBVP Problema de condiciones frontera en dos puntosTS Metodo de busqueda tabu

Sımbolos

ε Errores de observacion (ruido)C Matrix de covarianzaF Jacobiano parametrico de un conjunto de ODEsF1, F2 y F3 Condiciones frontera de primer, segundo y tercer ordenJ Funcion objetivoJmp Funcion de maxima probabilidadJmc Funcion de mınimos cuadradosJ Jacobiano de un conjunto de ODEsM Estructura de un modeloN Numero total de datos experimentalesNp Numero de parametros a estimarNu Numero de variables de controlNx Numero de variables de estado distribuidasNy Numero de variables de estado concentradasNz Numero de variables medidasR Matriz de correlacionσ Desviacion estandar (ruido de las medidas)p Vector de los Np parametros del modelop∗ Vector de parametros verdaderos del procesop Estimador de p asociado a optimo localp Estimador de p asociado a optimo globalt Variable temporalu Vector de las Nu variables de controlx Vector de las Nx variables de estado distribuidasxξ y xξξ Vectores de la primera y segunda derivada espacial de xxt Derivada temporal de xy Vector de las Ny variables de estado concentradasy Derivada temporal de yz Vector de las Nz variables medidas en cada experimentoz Vector de las medidas experimentalesξ Vector de coordenadas espaciales

Page 29: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Parte I

Introduccion

Page 30: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 31: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 1

Modelos matematicos

La busqueda de pautas en el mundo fısico parte de la idea de que este es inteligible

y su funcionamiento puede conocerse mediante la observacion y la especulacion.

Esta forma de pensar se remonta a los filosofos naturalistas jonios del siglo VI

antes de Cristo (Tales, Anaximandro y sus discıpulos Leucipo y Democrito). La

idea subyacente en esta inteligibilidad es que toda la multiplicidad del mundo puede

reducirse a una serie de pautas o principios fundamentales llamadas leyes de la

naturaleza.

La Revolucion Cientıfica que culmino en 1687 con la publicacion de Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica (Principios matematicos de la filosofıa natural) por

el matematico, fısico, alquimista e inventor Isaac Newton (1643-1727), considero que

el universo funciona como un engranaje de relojerıa. A partir de este momento, su

mensaje fundamental ha ido calando en la comunidad cientıfica y en nuestra sociedad

en general: “La naturaleza posee unas leyes y nosotros podemos encontrarlas”. Esta

afirmacion implica que todo sistema - mecanico, electrico, biologico, etc. - puede ser

descrito de manera adecuada mediante un modelo matematico. A pesar de que la

teorıa cuantica y la, recientemente desarrollada, teorıa del caos han probado que

esta afirmacion es falsa, la influencia en el modo de pensar de los cientıficos ha sido

enorme.

Hoy en dıa la idea de que un modelo es una simplificacion de la realidad y que

un modelo matematico es un modo particular de representacion es admitida por

toda la comunidad cientıfica. No se debe olvidar que el desarrollo de un modelo

esta siempre motivado por una aplicacion real y en este proceso se esta traduciendo

nuestro problema en el mundo real a un problema matematico equivalente que se

resuelve y despues se intenta interpretar. Esto se hace para llegar a comprender en

mayor profundidad la situacion original en el mundo real o para utilizar el modelo

para realizar tareas de analisis, diseno, optimizacion y/o control.

3

Page 32: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

4 Capıtulo 1. Modelos matematicos

Cualquiera que sea el objetivo del modelo, este debe ser formulado explıcitamente

ya que influenciara en gran medida el proceso de modelado. Ademas, el modelo

obtenido debe ser juzgado en base a la satisfaccion de esos propositos.

1.1. Desarrollo de modelos matematicos

Como en otras tareas de la ingenierıa, la buena practica requiere una estrategia

general para la construccion de modelos definida en una secuencia de pasos que se

realizaran en parte de modo consecutivo y en parte de modo iterativo. Esta estrategia

puede esquematizarse en tres grandes bloques como se representa en la Figura 1.1

(Vansteenkiste y Spriet, 1982):

Definicióndel marco

Objetivos

Caracterizaciónde la estructura

Estimación deparámetros

Modelo

Validación

An

ális

is

Co

no

cim

ien

tos

a p

riori

Dis

o d

e e

xp

erim

en

tos

Da

tos

exp

erim

en

tale

s

NO

Figura 1.1: Esquema para la construccion de modelos matematicos

I.– Establecimiento de las entradas

En una primera fase se establece la informacion disponible procedente de tres

fuentes principales:

Objetivos del modelo que, como se ha mencionado anteriormente, influiran

particularmente en la definicion del marco de trabajo.

Conocimiento previos tanto empıricos como teoricos (p.ej. leyes fısicas,

quımicas y, en el caso de bioprocesos, de naturaleza bioquımica o micro-

biologica).

Page 33: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

1.2. Tipos de modelos matematicos 5

Datos experimentales. La adquisicion de datos puede realizarse duran-

te la operacion normal del sistema o durante un experimento disenado

especıficamente. En etapas posteriores se hara uso del diseno optimo de

experimentos para optimizar el contenido informativo de los datos resul-

tantes de cara a la identificacion del sistema.

II.– Identificacion del sistema

En teorıa de sistemas y de control, la identificacion de sistemas se define como

identificar un modelo a partir de datos experimentales e incluye los tres bloques

centrales del esquema de la Figura 1.1.

Definicion del marco en el que se establecen los lımites del sistema y las

variables de entrada y salida.

Caracterizacion de la estructura en donde se determina el tipo de modelo

a considerar (lineal-no lineal, continuo-discreto,...), su nivel de compleji-

dad y las relaciones funcionales entre las variables.

Estimacion de parametros que proporciona valores numericos para las

constantes de las relaciones funcionales.

La identificabilidad teorica de los parametros del modelo (tambien llamada

identificabilidad estructural) viene dada por la propia estructura del modelo

por lo que debe elegirse una estructura adecuada para poder estimar todos los

parametros.

III.– Validacion del modelo

Esta es la ultima etapa del ciclo de modelado en donde se comprueba si el

modelo alcanza los objetivos postulados. Cuando esta etapa no es satisfactoria,

los pasos anteriores deben ser reconsiderados.

Notese que un modelo nunca puede ser validado con completa certeza (Smith

et al., 1997) por lo que la fase de validacion consistira esencialmente en una

serie de intentos por “invalidar” el modelo.

1.2. Tipos de modelos matematicos

La eleccion de la estructura del modelo matematico es un punto crıtico en el

proceso de modelado. El tipo de modelo elegido va a depender de diversos factores

como la finalidad del modelo, las condiciones bajo las cuales este va a ser utilizado

(rangos de operacion, naturaleza de las entradas,...), el coste de construccion del

Page 34: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

6 Capıtulo 1. Modelos matematicos

modelo y la informacion disponible (no tiene sentido concebir un modelo muy com-

plejo con muchos parametros si los datos experimentales disponibles son escasos e

imprecisos).

Entre las distintas clasificaciones que se pueden realizar de los modelos en funcion

de su estructura matematica cabe destacar (Jeppsson, 1996):

Lineales versus no lineales

En esta clasificacion se debe distinguir entre dos tipos de no linealidad: con

respecto a las entradas y con respecto a los parametros. Sea z(t,p,u) la salida a

tiempo t del modelo con parametros p cuando se le ha aplicado la entrada u(τ),

0 ≤ τ ≤ t desde una condicion inicial cero. Se dice que la estructura del modelo

es lineal en sus entradas si la salida satisface el principio de superposicion con

respecto a sus entradas, es decir, si:

∀ (λ, µ) ∈ R2, ∀t ∈ R+, z (t,p, λu1 + µu2) = λz (t,p,u1)+µz (t,p,u2) (1.1)

Por otra parte, se dice que la estructura de un modelo es lineal en sus parame-

tros si la salida satisface el principio de superposicion con respecto a sus

parametros, es decir, si:

∀ (λ, µ) ∈ R2, ∀t ∈ R+, z (t, λp1 + µp2,u) = λz (t,p1,u)+µz (t,p2,u) (1.2)

Siempre que sea posible se prefieren modelos lineales en sus entradas y en

sus parametros. Las estructuras lineales en sus entradas se benefician de la

existencia de resultados matematicos que facilitan su estudio teorico (p. ej.,

condiciones de estabilidad, control optimo, efecto de las perturbaciones). La

estimacion de parametros de estructuras lineales en sus parametros resulta

sencillo y a menudo es posible emplear formulas explıcitas.

Sin embargo, los modelos lineales en sus entradas tienen un reducido dominio

de validez y para la mayorıa de los procesos reales solo pueden aproximar el

comportamiento del sistema alrededor de un punto de operacion. Con respec-

to a los modelos lineales en sus parametros, estos a menudo carecen de un

significado concreto.

Tiempo continuo versus tiempo discreto

La mayorıa de los bioprocesos son dinamicos, es decir, varıan con el tiempo y

pueden clasificarse en funcion de la forma en la que consideran esta variable.

Los modelos en tiempo continuo estan basados en formulaciones de la velocidad

de cambio de las variables de estado. De este modo, los valores de las variables

Page 35: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

1.2. Tipos de modelos matematicos 7

de estado como funciones del tiempo son obtenidas a partir de la solucion de un

sistema de ecuaciones diferenciales al que a menudo se le anaden restricciones

en forma de ecuaciones algebraicas.

En contraposicion, los modelos en tiempo discreto se basan en una division de

la escala de tiempo en intervalos discretos y las variables de estado se especifi-

can en un intervalo de tiempo determinado como funciones algebraicas de los

valores en el intervalo de tiempo inmediatamente anterior. Cuando un modelo

es simulado en un ordenador, este es discretizado ya que una computadora di-

gital es en si misma discreta, aunque se utilizan algoritmos especiales y pasos

de tiempo muy pequenos para imitar el comportamiento del sistema continuo

original casi a la perfeccion.

Deterministas versus estocasticos

Otra posible clasificacion surge entre los modelos que contemplan un cierto

grado de incertidumbre o aleatoriedad en su resultado final y los que no. En

estos ultimos, los modelos deterministas, todas las salidas vienen determinadas

con precision y de forma unica por el estado actual y los futuros valores de las

variables externas (entradas) del modelo.

En los modelos estocasticos, el resultado final no se conoce con certeza pero

puede expresarse como una distribucion de todos los posibles resultados. Es-

tos modelos tambien tienen en cuenta las propias influencias aleatorias de la

evolucion temporal del sistema. A pesar de que este tipo de descripcion puede

resultar mas realista para ciertos modelos biologicos ya que tiene en cuenta

explıcitamente las perturbaciones del sistema, la gran mayorıa de los formula-

dos hasta ahora son deterministas. Las principales razones para este hecho son

la falta de datos para caracterizar las variables aleatorias, los elevados requeri-

mientos computacionales para resolver ecuaciones diferenciales estocasticas y

el exito de los modelos deterministas para predecir el comportamiento futuro

en promedio.

Concentrados versus distribuidos

Como ya se ha mencionado, los modelos concentrados dinamicos en tiempo

continuo estan descritos por sistemas mixtos de ecuaciones diferenciales ordi-

narias y algebraicas (DAEs). Estos sistemas pueden clasificarse de acuerdo a

su ındice, definiendo este como el mınimo numero de veces que las ecuaciones

del sistema deben ser derivadas con respecto al tiempo para convertirse en

un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) (Pantelides et al.,

Page 36: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

8 Capıtulo 1. Modelos matematicos

1988). De este modo, por definicion, cualquier sistema de ODEs tiene ındice

cero. Ası mismo, los sistemas de DAEs de ındice uno se comportan de modo

bastante parecido a los sistemas de ODEs pudiendo ser resueltos utilizando

metodos similares. Sin embargo, el comportamiento de los sistemas de ındi-

ce superior es cualitativamente diferente y deben ser tratados con metodos

especıficos.

Muchos procesos biologicos estan distribuidos no solo en el tiempo sino tam-

bien en el espacio. Matematicamente, las variables distribuidas en el espacio

pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) y los

modelos resultantes son los llamados modelos distribuidos. Muchas veces estas

ecuaciones estan combinadas con ecuaciones diferenciales ordinarias y ecua-

ciones algebraicas dando lugar a sistemas de PDAEs.

El presente estudio se centra en el estudio de bioprocesos (industria alimenta-

ria y biotecnologica) cuyos modelos suelen tener un caracter dinamico, no lineal y

normalmente estan descritos por sistemas de ecuaciones deterministas en tiempo

continuo. Se han considerado modelos tanto concentrados (descritos por sistemas

de DAEs) como distribuidos (sistemas de PDAEs) en funcion de los requerimientos

particulares de cada proceso. En ningun caso el ındice de los sistemas diferenciales-

algebraicos considerados es mayor que uno por lo que para todos ellos se ha podido

utilizar las tecnicas aplicables a sistemas de ODEs.

Page 37: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Parte II

Metodologıa

Page 38: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 39: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 2

Estimacion de parametros

2.1. Planteamiento del problema

Suponiendo como valida la estructura de un modelo, el problema de estimacion

de parametros (tambien conocido como identificacion o calibracion de modelos) trata

de encontrar los parametros que proporcionan el mejor ajuste de la prediccion del

modelo a un conjunto de datos experimentales dado. De este modo, el problema

de identificacion se establece como la minimizacion de una medida ponderada de la

distancia entre los valores experimentales correspondientes a las variables medidas

representados por z y los valores predichos para esas variables representados por z.

2.1.1. Caracterizacion del modelo

Muchos modelos dinamicos de bioprocesos, junto con los experimentos de entrada-

salida disenados para su identificacion, pueden ser descritos por un sistema de

PDAEs general de la forma:

F (x,xξ,xξξ,xt,y, y, z,u,p, t) = 0 (2.1)

donde los sımbolos de la ecuacion (2.1) tienen las siguientes definiciones:

x e y: vectores de las Nx variables de estado distribuidas y las Ny concen-tradas respectivamente

ξ: vector de coordenadas espacialesxξ y xξξ: derivadas espaciales de x tal que xξ = ∂x/∂ξ y xξξ = ∂2x/∂ξ2

xt e y: derivadas temporales de x e y tal que xt = ∂x/∂t e y = dy/dtz: vector de las Nz variables medidas para cada experimentou: vector de las Nu variables de control o entradas del sistema que de-

terminan la forma de cada experimentop: vector de los Np parametros del modelot: variable temporal

11

Page 40: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

12 Capıtulo 2. Estimacion de parametros

Para garantizar la existencia de solucion del sistema 2.1 es necesario imponer

condiciones iniciales y frontera de la forma:

Condiciones iniciales:

F0 (x(t0),y(t0), z(t0),u(t0), t0) = 0 (2.2)

Condiciones frontera:

- de primer orden o tipo Dirichlet:

x(Ω, t) = F1(ξ, t) (2.3)

- de segundo orden o de Neumann:

xn(Ω, t) = F2(ξ, t) (2.4)

- mixtas o de Robin:

f1(ξ)x(Ω, t) + f2(ξ)xn(Ω, t) = F3(ξ, t) (2.5)

siendo n el vector normal a la superficie.

En caso de que se desconozcan las condiciones iniciales del problema, estas tam-

bien pueden ser estimadas considerandose, a efectos de la calibracion, como parame-

tros adicionales.

Para la resolucion de los sistemas distribuidos que aparecen en este trabajo, se

ha empleado el metodo numerico de las lıneas (Numerical Method of Lines, NMOL)

(Schiesser, 1991) que transforma el problema original de dimension infinita en uno

de dimension finita, es decir, en un conjunto de ODEs o de DAEs. Por este motivo,

de aquı en adelante se prescindira del vector de variables x y de sus derivadas.

2.1.2. Datos experimentales

El problema de estimacion hace uso de los datos obtenidos previamente a partir

de un conjunto de experimentos. Cada experimento se caracteriza por las condiciones

bajo las que es realizado, es decir, su duracion total, las condiciones iniciales y la

variacion de las variables de control a lo largo del tiempo.

A lo largo de cada experimento se recogen datos de las variables medidas (en

la mayorıa de los casos no es posible medir todas las variables de estado, sino un

subconjunto de las mismas o de variables relacionadas con ellas por medio de una

funcion de observacion). Estas medidas son de la forma (tijk ; zijk) donde zijk es el

Page 41: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

2.1. Planteamiento del problema 13

valor k de la variable medida zj durante el experimento i y tijk es el tiempo en el

que se toma esta medida.

Para casi todas las tecnicas de medicion, la medida de la evolucion de los ob-

servables de un sistema dinamico con respecto al tiempo lleva asociada un error

de observacion o ruido. En este caso, la observacion es perturbada por un sistema

diferente influenciando el proceso de medida y no se pueden determinar los valo-

res verdaderos de los estados observados. De ahı que la observacion siga una cierta

distribucion de probabilidad dependiendo de la perturbacion.

Asumiendo que la estructura del modelo es correcta y teoricamente identificable,

las desviaciones entre las predicciones del modelo y las medidas experimentales seran

debidas unicamente al ruido en las medidas. Para incorporar el ruido de observa-

cion en el modelado matematico, estas perturbaciones se describen por una variable

aleatoria ε que se adiciona a la funcion de observacion. La variable medida es por lo

tanto:

zijk = zijk(p∗) + εijk (2.6)

siendo p∗ el vector de parametros verdaderos del proceso.

En general, ε puede tener estructuras de dependencia complejas pero en la ma-

yorıa de los casos puede ser descrita por una distribucion gaussiana (o normal).

Una justificacion para la importancia de esta familia de distribuciones estriba en el

teorema central del lımite que establece que εijk tiende a estar normalmente distri-

buida si resulta de la suma de un gran numero de errores independientes igualmente

distribuidos con varianza finita. De este modo:

εijk ∼ N (0, σijk) (2.7)

siendo

σijk = ω2ijk

(z2

ijk + ε)γ

(2.8)

donde ω y γ vienen dadas por el conocimiento a priori sobre el proceso de medida

y ε es un valor pequeno distinto de cero que asegura que la varianza este definida

para valores de las medidas iguales a cero o muy pequenos.

De esta manera, el ruido en las medidas se reduce a terminos de error absoluto

y relativo siendo sus formas mas relevantes:

- Error normal con varianza conocida o constante (homocedastico): cuando γ =

0 y ω es constante o tiene un valor conocido para cada medida.

- Error normal con varianza variable dependiente de las medidas (heterocedasti-

co): si γ 6= 0. En el caso en que γ = 1 y ω es constante, se dice que la varianza

es constante relativa.

Page 42: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14 Capıtulo 2. Estimacion de parametros

2.1.3. Funciones de coste

El valor optimo de p va a depender del modo en que se cuantifique la distancia en-

tre los valores experimentales y los valores predichos por el modelo para las variables

medidas. Entre las funciones de coste que han demostrado funcionar correctamente,

en orden decreciente de cantidad de informacion que debe ser proporcionada por

el usuario, o lo que es lo mismo, en orden creciente del numero de asunciones a

priori ya incluidas en el metodo, destacan: el estimador Bayesiano, el estimador de

maxima probabilidad y el estimador por mınimos cuadrados. Para el metodo mas

complejo, estimacion Bayesiana, la distribucion de probabilidad de los parametros

y la distribucion de la probabilidad condicional de las medidas para unos valores

dados de los parametros deben ser parametrizadas, mientras que el metodo mas

simple, estimacion por mınimos cuadrados, puede ser llevado a cabo sin ninguna

informacion extrınseca adicional. La estimacion por mınimos cuadrados es un caso

especial del metodo de maxima probabilidad en el que se asume que los errores de

las medidas no estan correlacionados y que tienen distribucion normal con media

cero y varianza constante (Bates y Watts, 1988; Seber y Wild, 1988).

Estimador Bayesiano

La estimacion Bayesiana considera las medidas y los parametros del modelo

como variables aleatorias. Si se conoce la densidad de probabilidad a priori

πp(p) para la ocurrencia del vector de parametros p y la densidad de probabi-

lidad condicional πz(z|p) del modelo para medir los valores z para unos valores

dados de los parametros p, la densidad de probabilidad de los parametros para

valores dados de las medidas se puede escribir como:

πp(p|z) =πz(z|p)πp(p)

πz(z)(2.9)

La ecuacion (2.9) no especifica directamente una estimacion de los parametros,

pero proporciona una descripcion completa de las distribuciones de los valores

de los parametros para unas medidas dadas. Para la eleccion de estimaciones

de los parametros se necesitan asunciones adicionales. La idea central de la

estimacion Bayesiana es proporcionar informacion previa de la distribucion de

los parametros a partir de los datos medidos.

Estimador de maxima probabilidad

A diferencia de la estimacion Bayesiana, la calibracion mediante el metodo

de maxima probabilidad no considera los parametros como variables aleato-

rias sino como parametros constantes aunque desconocidos. La estimacion de

Page 43: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

2.1. Planteamiento del problema 15

maxima probabilidad consiste en maximizar la denominada funcion de proba-

bilidad, Jmp, buscando el valor pmp que proporciona la maxima probabilidad

de ocurrencia a los datos observados z:

Jmp(p) = πz(z|p) (2.10)

En la practica, es mas facil buscar pmp maximizando el logaritmo de la funcion

de probabilidad:

Jmp(p) = ln πz(z|p) (2.11)

que proporciona el mismo estimador ya que la funcion logarıtmica es monotoni-

camente creciente.

La funcion de probabilidad es una funcion compleja que depende de la distri-

bucion de probabilidad de las medidas. Si se asume que estas no estan corre-

lacionadas y que tienen una distribucion normal, la funcion de probabilidad

viene dada por:

Jmp(p) = −N

2ln (2π)− 1

2

NE∑i=1

NVi∑j=1

NMij∑

k=1

[ln

(σ2

ijk

)+

(zijk − zijk(p))2

σ2ijk

]

(2.12)

donde los sımbolos de la ecuacion (2.12) tienen las siguientes definiciones:

N : numero total de medidas en todos los experimentosp: conjunto de parametros a estimar. Los valores aceptables pueden

estar sujetos a lımites inferiores y superiores, pL ≤ p ≤ pU

NE: numero de experimentos realizadosNVi: numero de variables medidas en el experimento iNMij: numero de medidas de la variable j durante el experimento iσ2

ijk: varianza de la medida k de la variable j en el experimento izijk: medida k de la variable j en el experimento izijk: valor k de la variable j en el experimento i predicho por el modelo

Para unas medidas determinadas z los estimadores de maxima probabilidad

para los parametros son aquellos valores de p para los cuales el valor de la

funcion de probabilidad es maximo.

Estimador por mınimos cuadrados

Las funciones de coste cuadraticas son las mas utilizadas desde Gauss y Le-

gendre (Stigler, 1981) debido a su relativamente sencilla optimizacion. Para

modelos de programacion lineal, el mejor estimador correspondiente a una

funcion de coste cuadratica puede obtenerse analıticamente (Walter y Pron-

zato, 1997). Estas funciones de coste pueden escribirse como:

Page 44: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

16 Capıtulo 2. Estimacion de parametros

Jmc(p) = εT (p)Qε(p) (2.13)

donde Q es una matriz definida no-negativa, y ε es un vector que caracteriza

el error entre el sistema y su modelo. El estimador de p correspondiente a Jmc

viene dado por:

pmc = arg min Jmc(p) (2.14)

Este estimador se llama estimador por mınimos cuadrados o estimador L2. Este

puede ser obtenido independientemente de cualquier consideracion estadıstica,

aunque su utilizacion puede estar motivada por informacion (hipotesis) sobre

la naturaleza del ruido que actua en el sistema. Como ya se ha mencionado:

ε(p) = z− z(p) (2.15)

y Q se elige diagonal, por lo que el coste se escribe como:

Jmc(p) =NE∑i=1

NVi∑j=1

NMij∑

k=1

wijk (zijk − zijk(p))2 (2.16)

donde wijk es el coeficiente de peso k para la variable j en el experimento i.

Los coeficientes de peso son positivos o cero y estan fijados a priori. Pueden ser

elegidos empıricamente. Cuanto mayor sea wijk, mas le va a costar al modelo

desviarse del resultado experimental zijk. La eleccion de los wijk expresara por

lo tanto la confianza relativa en los distintos datos experimentales y la con-

siguiente importancia que representa cada componente de z y su medida con

respecto al tiempo en el comportamiento del modelo.

La funcion objetivo de maxima probabilidad, ecuacion (2.12), permite flexi-

bilidad para distintos tipos de modelos de varianza. Cuando la varianza de

los errores de las medidas se considera constante (independiente de i, j y k)

o conocida para todas las medidas, la funcion de maxima probabilidad (que

resulta a minimizar tras un cambio de signo) puede escribirse como:

Jmp(p) = (termino ind. de p)+1

2

NE∑i=1

NVi∑j=1

NMij∑

k=1

[(zijk − zijk(p))2

σ2ijk

] (2.17)

Un estimador de maxima probabilidad de p es por lo tanto aquel que maximice:

J(p) =NE∑i=1

NVi∑j=1

NMij∑

k=1

(zijk − zijk(p))2

σ2ijk

(2.18)

es decir, un minimizador de la funcion cuadratica, ecuacion (2.16), con pesos:

wijk = 1/σ2ijk (2.19)

Page 45: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

2.2. Metodos de estimacion 17

2.2. Metodos de estimacion

Una vez llevada a cabo la caracterizacion del modelo dinamico no lineal, el pro-

blema de identificacion consiste en buscar el vector de parametros que proporciona

el mejor ajuste del modelo con respecto a un conjunto de datos experimentales dado.

El problema se plantea como la minimizacion de una funcion de coste escalar, J(p),

que mide la bondad de ese ajuste, con respecto a los parametros del modelo, p. Esto

esta sujeto a la dinamica del sistema, que actua como un conjunto de restricciones di-

ferenciales de igualdad y, en algunos casos, a otras posibles restricciones algebraicas.

Matematicamente, esta formulacion es la de un problema de optimizacion no lineal

(Nonlinear Optimization Problem, NLO) con restricciones diferenciales-algebraicas

consistente en:

Encontrar el vector de parametros p que minimiza la funcion:

J(p) (2.20)

y que verifica:

F (y, y, z,u,p, t) = 0 (2.21)

F0 (y(t0), z(t0),u(t0), t0) = 0 (2.22)

h (y, z,u,p, t) = 0 (2.23)

g (y, z,u,p, t) ≤ 0 (2.24)

pL ≤ p ≤ pU (2.25)

donde J(p) es la funcion de coste a minimizar, p es el vector de variables de decision

del problema de optimizacion (el conjunto de parametros a estimar), y el vector de

las variables de estado del modelo, z el vector de las variables medidas, u el vector de

variables de control y h y g las posibles restricciones de igualdad y desigualdad, res-

pectivamente. Finalmente, p esta sujeto a lımites inferiores y superiores que actuan

como restricciones de desigualdad.

A la hora de resolver este problema, es frecuente encontrarse con muchas dificul-

tades entre las que destacan (Schittkowski, 2002):

- Convergencia a soluciones locales debido a la frecuente no convexidad de los

problemas, originada por la no linealidad de los modelos.

- Errores de redondeo debido a una resolucion iterativa inadecuada del sistema

dinamico.

- Funcion objetivo con forma de valle angosto donde es difıcil progresar hacia

la solucion.

Page 46: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

18 Capıtulo 2. Estimacion de parametros

- Funcion objetivo muy plana en la vecindad de la solucion, por ejemplo, cuando

existen grandes perturbaciones en las medidas.

- Modelos sobredeterminados cuando hay demasiados parametros a estimar,

dando lugar a un numero infinito de vectores solucion.

- Malos valores iniciales para los parametros, lo que hace necesario un gran

numero de iteraciones en la optimizacion.

- Funciones del modelo mal escaladas, en particular, los valores de las medidas.

- Funciones del modelo no diferenciables.

Debido a estos escollos, se debe prestar especial atencion al metodo elegido para

llevar a cabo la identificacion que, a grandes rasgos, pueden clasificarse en dos grupos:

los metodos de valor inicial (o single shooting) y el metodo de disparo multiple (o

multiple shooting).

2.2.1. Metodos de valor inicial

Dado que el NLO formulado no puede resolverse analıticamente, los metodos

de valor inicial, o single shooting, proponen para su resolucion un procedimiento de

optimizacion iterativo como el representado en la Figura 2.1. Inicialmente se define

NO

Integración de las ecuaciones del modelo

(IVP)

Cálculo función objetivo

¿Mínimode la función

objetivo?

Nuevos valorespara los parámetros

Valores iniciales para los parámetros

Definición estructuradel modelo

Datos experimentales

Mejor estimador

para los parámetros

Figura 2.1: Esquema para la estimacion de parametros mediante

un metodo de valor inicial

Page 47: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

2.2. Metodos de estimacion 19

la estructura del modelo, los datos experimentales y los parametros a estimar. A

partir de unos valores iniciales para los parametros (p0), la rutina de optimizacion

consiste, basicamente, en calcular el valor de la funcion objetivo (previa integracion

de las ecuaciones del modelo mediante la resolucion de un problema de valor inicial

(Initial Value Problem, IVP) y generar nuevos valores para los parametros de modo

que disminuyan el valor de dicha funcion. Este proceso se repite iterativamente hasta

alcanzar una solucion dentro de la tolerancia preespecificada.

Habitualmente, estos NLOs se resuelven empleando metodos locales de tipo Le-

venberg - Marquardt (L - M) o Gauss - Newton (G - N). Estos metodos resultan muy

eficientes y convergen a la solucion correcta (optimo global) si los valores iniciales

para la estimacion de los parametros son de buena calidad (es decir, si estan en la

zona de atraccion de la solucion global) o si el problema es convexo. Frecuentemente,

estos NLOs son multimodales (presentan optimos locales) por lo que estos metodos

convergeran a soluciones locales. De este modo, en presencia de un mal ajuste, no

se puede saber si este se debe a una mala formulacion del modelo o si se esta ante

un caso de convergencia a un optimo local.

Con objeto de solventar esta limitacion, en este trabajo se hara uso de metodos

de optimizacion global que se explicaran con mas detalle en el capıtulo 7.

2.2.2. Metodo multiple shooting

En el metodo multiple shooting (Bock, 1983; Timmer, 1998; Holbert, 1998) la

dinamica de las variables de estado se discretiza, dando lugar a problemas NLOs

mas grandes (es decir, con mayor numero de grados de libertad) pero evitando la

necesidad de resolver iterativamente un IVP (vease un ejemplo de la evolucion del

metodo en la Figura 2.2). La idea fundamental es dividir el intervalo de tiempo en

muchos subintervalos de modo que el sistema de ODEs se resuelve separadamente

para cada uno de ellos, haciendo uso de las medidas experimentales para proporcio-

nar las primeras estimaciones para los valores iniciales de esos subintervalos. Durante

cada iteracion los valores iniciales de cada subintervalo estan sujetos a optimizacion

por lo que se convierten en nuevos parametros del modelo.

Esta aproximacion da lugar a una trayectoria inicial discontinua que, a pesar de

ello, esta proxima a las medidas. Por supuesto, la trayectoria final debe ser continua,

es decir, la solucion calculada para el final de un intervalo debe ser igual al valor

inicial al comienzo del intervalo siguiente. Con el fin de forzar esta condicion, se

imponen restricciones de continuidad a la solucion. En cada iteracion, el metodo tiene

que elegir una direccion de busqueda que lleve, no solo a un mınimo de la funcion

objetivo, sino que ademas satisfaga las restricciones de continuidad de una forma

Page 48: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

20 Capıtulo 2. Estimacion de parametros

Valores iniciales

8ª iteración

34ª iteración: convergencia

z (t

)z

(t)

z (t

)

t

Figura 2.2: Ejemplo de estimacion de parametros mediante elmetodo multiple shooting (Timmer et al, 2000)

linealizada. De esta manera, los nuevos parametros introducidos correspondientes

a los valores iniciales de cada subintervalo de tiempo, son eliminados del problema

linealizado que debe ser resuelto con el fin de calcular la direccion de busqueda.

Como en el paso de actualizacion solo se imponen las restricciones de continui-

dad linealizadas, la iteracion podra avanzar hacia la solucion continua final a traves

de “terreno prohibido”: las iteraciones seran generalmente trayectorias discontinuas.

Esta libertad permite que el metodo este cerca de los datos observados, previene la

divergencia en la solucion numerica y no introduce tanta multimodalidad como los

metodos de valor inicial, reduciendo el numero de mınimos locales. Aun ası, dado

que los problemas NLOs resultantes de esta formulacion suelen resolverse por medio

de metodos Gauss-Newton, que son de naturaleza local, la convergencia a soluciones

locales puede seguir ocurriendo, especialmente cuando se dispone de un mal punto

inicial para la estimacion. Ademas, debido a su gran tamano y al necesario cumpli-

miento de las restricciones de continuidad, la aplicacion de metodos de optimizacion

global resultarıa inabordable para problemas reales.

Los detalles matematicos y de implementacion pueden encontrarse en Bock

(1987).

Page 49: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 3

Analisis de sensibilidad

El analisis de sensibilidad consiste en el estudio de como la variacion en la salida

de un modelo (numerica o de otro tipo) puede ser atribuida, cualitativa o cuantita-

tivamente, a diferentes fuentes de variacion y de como el modelo dado depende de

la informacion que se le proporciona.

Existen varios metodos de analisis de sensibilidad que pueden clasificarse en

metodos de monitorizacion, metodos locales y metodos globales (Saltelly et al, 2000).

Esta distincion es de algun modo arbitraria ya que los metodos de monitorizacion

tambien pueden ser vistos como locales o globales. Ademas, la primera clase se

caracteriza con respecto a su uso (monitorizacion), mientras que los otros dos se

caracterizan con respecto a como tratan los factores.

En el contexto de modelizacion numerica, los coeficientes de sensibilidad local,

que son las derivadas parciales de las variables de estado del modelo con respecto

a los parametros evaluadas en el punto normal de operacion, juegan un papel muy

importante en el analisis de probabilidades, estimacion de parametros, optimizacion

y discriminacion de modelos. Los resultados de un analisis de sensibilidad pueden

ser utilizados para (Karnavas et al., 1993) :

- Validar un modelo.

- Advertir de comportamientos del modelo extranos o no realistas.

- Sugerir nuevos experimentos o guiar futuros esfuerzos en recoleccion de datos.

- Indicar supuestos importantes del modelo.

- Sugerir la precision con la que los parametros deben ser calculados.

- Guiar la formulacion de la estructura del modelo.

- Ajustar valores numericos para los parametros.

21

Page 50: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

22 Capıtulo 3. Analisis de sensibilidad

3.1. Metodos numericos para el calculo de sensi-

bilidades locales

Considerese un sistema dinamico definido por un conjunto de Ny ecuaciones

diferenciales ordinarias (ODEs) con Np parametros p independientes del tiempo.

y = f(y, t;p) ; y(0) = y0 (3.1)

Los coeficientes de sensibilidad que forman la matriz de sensibilidades seran entonces:

Sij =

(∂yi

∂pj

)

y=y(t,p),p=p

(3.2)

Hay varios metodos numericos para el calculo de sensibilidades locales pero los

valores calculados deben ser identicos dentro de la precision del metodo empleado.

3.1.1. Aproximacion por diferencias finitas

La manera mas sencilla de calcular sensibilidades locales se basa en perturbar

ligeramente un parametro de cada vez y volver a resolver el modelo. Utilizando la

aproximacion por diferencias finitas, los elementos de la matriz de sensibilidades

pueden aproximarse por:

∂yi(t)

∂pj

≈ yi(t, pj + ∆pj)− yi(t, pj)

∆pj

(3.3)

Este procedimiento se llama tambien metodo indirecto. La principal ventaja es

que no requiere ninguna modificacion del modelo original ni ningun codigo adicional.

Sin embargo, presenta dos inconvenientes: los valores numericos obtenidos varıan de

modo significativo con ∆pj y se requiere la resolucion repetida del modelo (al menos

una vez por cada parametro). En el caso de modelos no lineales, si las perturbaciones

de los parametros son demasiado grandes (∆pj > 5 %) estos se alejan de la suposicion

de linealidad local, mientras que si la variacion es muy pequena, la diferencia entre

el resultado original y el perturbado sera muy pequena y los errores de redondeo

demasiado elevados. En la mayorıa de los casos, una perturbacion del 1 % es una

buena eleccion, pero encontrar el mejor valor supone a menudo un proceso de ensayo

y error.

3.1.2. Metodos directos

Los coeficientes de sensibilidad, ecuacion (3.2), pueden encontrarse resolviendo

las siguientes ODEs que resultan de derivar la ecuacion (3.1) con respecto a p (Leis

Page 51: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

3.1. Metodos numericos para el calculo de sensibilidades locales 23

y Kramer, 1985) :

S(t) =

(∂f(t)

∂y

)

p

S(t) +

(∂f(t)

∂p

)

y

; S(0) = S0 (3.4)

o, de forma matricial:

S = J(t)S(t) + F(t) (3.5)

donde J(t) es la Ny×Ny matriz Jacobiana (Jij = ∂fi/∂yi) y F(t) la Ny×Np matriz

de derivadas parciales con respecto a los parametros (Fij = ∂fi/∂pj) llamada a veces

Jacobiano parametrico.

Los metodos directos (DM) se basan en la resolucion de la ecuacion diferencial

ordinaria (3.4). La resolucion numerica de la ecuacion (3.4) requiere el conocimiento

del valor de las matrices J(t) y F(t) en cada una de las etapas del integrador de

ecuaciones diferenciales ordinarias. Para evaluar estas matrices, los valores actuales

de las variables del sistema deben ser conocidos y, por lo tanto, se necesita una reso-

lucion simultanea o sucesiva de la ecuacion (3.1). En las primeras implementaciones

del metodo directo, las ecuaciones (3.1) y (3.4) se resolvıan independientemente pero

simultaneamente y la solucion de la ecuacion (3.1) era utilizada en la ecuacion (3.4).

Todas las variantes de este algoritmo eran relativamente lentas.

Dunker (1984) fue el primero en demostrar que existe una relacion especial en-

tre la ecuacion (3.1) y la ecuacion (3.4) que permite un atajo numerico y llamo a

este algoritmo metodo directo desacoplado (Decoupled Direct Method, DDM). Las

ecuaciones (3.1) y (3.4) tienen el mismo Jacobiano y, por lo tanto, un integrador de

sistemas rıgidos de ecuaciones diferenciales ordinarias selecciona el mismo tamano

de paso y orden de aproximacion para la resolucion de ambas ecuaciones. En el

metodo de Dunker el integrador de ODEs descompone el Jacobiano una sola vez

y toma un intervalo de tiempo para resolver la ecuacion (3.1) y despues el mismo

para resolver la ecuacion (3.4) con todos los parametros, uno tras otro. Dado que la

triangularizacion del Jacobiano es la parte que mas tiempo consume de la resolucion

de un sistema de ODEs, utilizando el metodo directo desacoplado las sensibilidades

pueden calcularse con un coste extra relativamente pequeno.

Existen varias implementaciones del metodo DDM que ha demostrado ser el me-

jor metodo general para el calculo numerico de sensibilidades locales. Uno de los

codigos mas conocidos es ODESSA, un paquete de rutinas FORTRAN desarrollado

por Leis y Kramer (1988) basado en la rutina de resolucion de ecuaciones diferen-

ciales ordinarias LSODE, que sera el empleado en este trabajo.

Page 52: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

24 Capıtulo 3. Analisis de sensibilidad

3.1.3. Metodo de la funcion de Green

Diferenciando la ecuacion (3.1) con respecto a los valores iniciales y0, se obtiene

las siguiente ecuacion (Saltelli et al., 2000) :

K(t, t1) = J(t)K(t, t1) (3.6)

donde t1 y t son el tiempo de perturbacion y de observacion, respectivamente, y K

es el valor inicial de la matriz de sensibilidades, es decir:

Kij(t, t1) =∂ci(t)

∂c0j(t1)

; K(t1, t1) = I ; t ≥ t1 (3.7)

La ecuacion (3.1) consiste en un sistema lineal no homogeneo de ecuaciones diferen-

ciales y, por lo tanto, puede ser resuelto determinando primero la parte homogenea,

ecuacion (3.6), y calculando despues la solucion particular:

S(t1, t2) =

∫ t2

t1

K(t2, s)F(s)ds (3.8)

En esta ecuacion, K se conoce como funcion de Green del nucleo y el metodo numeri-

co basado en la solucion de la ecuacion (3.8) se llama metodo de la funcion de Green

(Green Function Method, GFM).

El metodo Magnus analıticamente integrado (Analytically Integrated Magnus,

GFM/AIM) es una modificacion del metodo de la funcion de Green mas desarrolla-

do. En esta version, la matriz K es aproximada por una matriz exponencial dismi-

nuyendo significativamente el esfuerzo de calculo:

K(t + ∆t, t) = exp

[∫ t+∆t

t

J(s)ds

](3.9)

El metodo GFM/AIM es varias veces mas rapido que otras versiones del metodo de

la funcion de Green.

Aplicando el metodo directo, el esfuerzo numerico aumenta linealmente con el

numero de parametros. En el caso de los metodos de la funcion de Green, el esfuerzo

numerico es proporcional al numero de variables. Sin embargo, en la practica, el

metodo GFM solo es mas rapido que el DDM cuando la relacion entre el numero

de parametros y el de variables es muy elevada y el error numerico es mas difıcil de

controlar en este caso que utilizando el metodo DDM, que es mucho mas simple.

3.2. Tipos de funciones de sensibilidad

Existen distintos tipos de funciones de sensibilidad. El uso que se quiera hacer de

las mismas determinara cual es la mas adecuada en caso. A continuacion se presenta

Page 53: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

3.2. Tipos de funciones de sensibilidad 25

una breve descripcion de cada una de ellas y sus aplicaciones principales destacando

sus ventajas e inconvenientes.

3.2.1. Funcion de sensibilidad absoluta

La sensibilidad absoluta de la variable yi con respecto a las variaciones en el

parametro pj viene dada por:

Sij =

(∂yi

∂pj

)

y=y(t,p),p=p

(3.10)

estando la derivada parcial evaluada en el punto normal de operacion, donde todos

los parametros tienen sus valores nominales p = p.

Las funciones de sensibilidad absolutas son utiles para calcular errores debidos

a variaciones en los parametros y para conocer los tiempos a los que un parametro

ejerce su mayor o menor efecto. Sin embargo, las funciones absolutas no estan nor-

malizadas y no son utiles para comparar los efectos de distintos parametros para lo

cual se debe utilizar funciones de sensibilidad relativas.

3.2.2. Funcion de sensibilidad relativa

La sensibilidad relativa de la variable yi con respecto a las variaciones del parame-

tro pj representa el porcentaje de cambio en yi con respecto al cambio en pj:

Sij =% cambio en yi

% cambio en pj

=pj

yi

(∂yi

∂pj

)

y=y(t,p),p=p

(3.11)

Las funciones de sensibilidad relativas se forman multiplicando la derivada parcial

(funcion de sensibilidad absoluta) por el valor nominal del parametro y dividiendo

por el valor de la variable. Son ideales para comparar parametros dado que son

adimensionales (funciones normalizadas).

La utilidad de la funcion de sensibilidad relativa esta limitada a estudios analıti-

cos dado que tiene diferentes significados en los dominios del tiempo y de la frecuen-

cia. Esto es el resultado de ser un producto de dos funciones (la derivada parcial

y la funcion original) y de que la transformada de Laplace de un producto no es

el producto de las transformadas de Laplace. Ademas, la funcion de sensibilidad

relativa presenta problemas de division por cero cuando yi es nula y proporciona

ponderaciones indebidas a la respuesta si el valor de y0 es pequeno. Por lo tanto, en

algunas ocasiones se recomienda el uso de la funcion de sensibilidad semirelativa.

Page 54: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

26 Capıtulo 3. Analisis de sensibilidad

3.2.3. Funcion de sensibilidad semirelativa

Aquı se debe distinguir entre:

Sensibilidad de la variable yi con respecto a las variaciones del parametro pj

relativa a los valores de la variable:

Sij =1

yi

(∂yi

∂pj

)

y=y(t,p),p=p

(3.12)

Sensibilidad de la variable yi con respecto a las variaciones del parametro pj

relativa al valor del parametro:

Sij = pj

(∂yi

∂pj

)

y=y(t,p),p=p

(3.13)

Mientras que las funciones de sensibilidad semirelativas con respecto a las va-

riables de estado tienen la misma forma que las funciones de sensibilidad relativas

(y por lo tanto los mismos problemas de division por cero y sobrepesado), las fun-

ciones de sensibilidad semirelativas con respecto a los parametros tienen la misma

forma que las funciones de sensibilidad absolutas (estan unicamente multiplicadas

por los valores constantes de los parametros) pero este reescalado permite hacer

comparaciones de los efectos de los distintos parametros.

Cuando se utilizan funciones de sensibilidad, tanto relativas como semirelativas

con respecto a las variables, se puede definir un valor umbral ymin en el factor

premultiplicador de las ecuaciones (3.11) y (3.12) cuando este es menor que el valor

de ymin. De este modo, se evitan los errores de sobrepesado cuando la trayectoria de

salida tiende a cero (Versyck, 2000) .

3.3. Ranking de parametros

El analisis de sensibilidad indica que parametros son los mas importantes y los

que con mas probabilidad van a afectar las predicciones del modelo. De este modo,

los valores de los parametros crıticos pueden ser redefinidos mientras que parametros

que tienen poco efecto pueden ser simplificados o incluso ignorados (Karnavas et al.,

1993) .

Para casos muy simples, el analisis visual de las graficas de las sensibilidades

relativas es suficiente para determinar la importancia relativa de los parametros. Sin

embargo, esto resulta inmanejable cuando el tamano del problema aumenta y se

necesita una justificacion cuantitativa.

Page 55: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

3.3. Ranking de parametros 27

Cuando se considera la sensibilidad de una variable del modelo con respecto a

pequenos cambios en los valores de los parametros en una localizacion especıfica, se

recomienda el calculo de los cinco sumatorios a partir de las sensibilidades relativas

que se presentan a continuacion (Brun et al., 2001) :

δmsqrj =

√√√√ 1

Ny

1

N

Ny∑i=1

N∑

k=1

S2

ij(tk) (3.14)

δmabsj =

1

Ny

1

N

Ny∑i=1

N∑

k=1

|Sij(tk)| (3.15)

δmeanj =

1

Ny

1

N

Ny∑i=1

N∑

k=1

Sij(tk) (3.16)

δmaxj = max

i,kSij(tk) (3.17)

δminj = min

i,kSij(tk) (3.18)

A partir de estos coeficientes se pueden extraer una serie de conclusiones. Por

ejemplo, grandes diferencias entre δmsqrj y δmabs

j indican una alta variabilidad o valo-

res extremos (outliers) en Sj. La revision de δmaxj y δmin

j puede ayudar a distinguir

entre estos dos casos. Los dos sumatorios δmaxj y δmin

j son generalmente utiles para

detectar outliers y para conocer ademas el rango de Sj. Una comparacion entre δmabsj

y δmeanj muestra si los elementos de Sj tienen todos el mismo signo y δmean

j propor-

ciona informacion sobre el signo del efecto medio que un cambio en un parametro

tiene sobre la salida del modelo.

La clasificacion de los parametros por medio de una de las medidas δ en orden

decreciente da lugar a un ranking de importancia de los parametros. En el contexto

de estimacion de parametros por mınimos cuadrados, δmsqrj es el mas adecuado como

criterio de clasificacion y se denomina tambien sensibilidad total. Las sensibilidades

totales proporcionan informacion sobre la importancia del ajuste de cada uno de los

parametros del modelo y reflejan el efecto de los cambios en los parametros alrededor

de sus valores nominales para la medida investigada que, para el caso de estimacion

por mınimos cuadrados, esta muy relacionada con la funcion de coste.

Con objeto de decidir que parametros pueden ser descartados en modelos con

parametros redundantes, se puede utilizar la importancia dada por un ranking ba-

sado en las sensibilidades totales. Degenring et al. (2004) describen otros metodos

basados en el analisis de los autovalores y autovectores de la matriz de sensibilidad

Page 56: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

28 Capıtulo 3. Analisis de sensibilidad

relativa (analisis de las componentes principales) y los comparan con la aproxima-

cion de importancia del ajuste. Este analisis muestra que ambos procedimientos

llevan a descartar basicamente los mismos parametros. Sin embargo, el analisis de

componentes principales ofrece la oportunidad de ser utilizado como una rutina auto-

controlable mientras que, para el procedimiento de importancia del ajuste, el lımite

superior de los valores de sensibilidades totales para el cual todos los parametros

con un valor inferior pueden ser descartados dependera de cada modelo.

Page 57: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 4

Analisis de identificabilidad

El problema de estimacion de parametros tratado en el capıtulo 2 (determinar

los parametros de un sistema a partir de unos datos de entrada y salida) se denomina

a menudo problema de identificacion. Esto es solamente un aspecto de un problema

mayor, el problema inverso, que incluye el estudio a priori de la identificabilidad

estructural, la identificabilidad a posteriori o practica y la estimacion de parametros.

Una vez elegida una estructura para el modelo (o un conjunto de estructuras

entre las que se debe elegir), sus propiedades deben ser estudiadas lo mas inde-

pendientemente posible del valor que tomen sus parametros. Este estudio deberıa

realizarse antes de la estimacion para detectar problemas potenciales antes de re-

coger datos. En la practica, esto no siempre es posible ya que muchos metodos de

analisis de identificabilidad son locales y requieren conocer el valor de los parametros

procedente de una calibracion previa.

El analisis de identificabilidad estructural es un problema a priori y se formu-

la de la siguiente manera: dado un modelo para el sistema, que se considera sin

errores de caracterizacion, se pregunta si, bajo condiciones ideales de observacion

(medidas ilimitadas y sin ruido) e independientemente de los valores particulares de

los parametros y de las condiciones experimentales, los parametros desconocidos del

modelo postulado pueden ser estimados de forma unica.

Aunque necesaria, la identificabilidad estructural no es suficiente para garantizar

una estimacion satisfactoria de los parametros a partir de datos reales y es entonces

cuando el concepto de identificabilidad a posteriori o practica entra en juego. Se sigue

asumiendo que la estructura del modelo es exacta, sin embargo, ahora las condiciones

experimentales son conocidas y los datos son limitados y con ruido y la pregunta

es: ¿pueden los parametros desconocidos del modelo postulado ser determinados a

partir de los datos disponibles?

29

Page 58: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

30 Capıtulo 4. Analisis de identificabilidad

4.1. Identificabilidad estructural

Considerese un proceso y una estructura para su modelado. Antes de comenzar

a recoger datos y de realizar la estimacion de parametros, es recomendable estudiar

si sus parametros pueden ser determinados de forma unica. Para definir el concepto

de identificabilidad estructural se debe considerar un marco idealizado donde:

- el proceso y el modelo tienen identica estructura, M ,

- los datos no contienen error,

- las entradas u y los tiempos de medida pueden ser escogidos libremente.

Bajo estas condiciones, siempre es posible (p.ej., eligiendo p = p∗) calibrar los

parametros del modelo de modo que su comportamiento sea identico al del proceso

para cualquier tiempo y entrada, lo que se denotara por M(p∗) = M(p). Lo que

interesa saber ahora es si este comportamiento identico implica que los parametros

del modelo, p, son iguales a los del proceso, p∗. Mas concretamente y adoptando las

definiciones de Walter y Pronzato (1997), se dira que el parametro individual pi es:

Estructuralmente globalmente (o unicamente) identificable (s.g.i.) si y solo

si, para casi cualquier p∗ ∈ P,

M(p) = M(p∗) ⇒ pi = p∗i (4.1)

La estructura M sera s.g.i. si todos sus parametros son s.g.i.

Estructuralmente localmente identificable (s.l.i) si y solo si, para casi cual-

quier p∗ ∈ P, existe una vecindad V(p∗) tal que

p ∈ V(p∗) y M(p) = M(p∗) ⇒ pi = p∗i (4.2)

La identificabilidad local es, por lo tanto, una condicion necesaria para la

identificabilidad global.

La estructura M sera s.l.i. si todos sus parametros son s.l.i.

Estructuralmente no identificable (s.u.i.) si y solo si, para casi cualquier

p∗ ∈ P no existe ninguna vecindad V(p∗) tal que

p ∈ V(p∗) y M(p) = M(p∗) ⇒ pi = p∗i (4.3)

La estructura M sera s.u.i. si al menos uno de sus parametros es s.u.i.

Page 59: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

4.1. Identificabilidad estructural 31

Notese que la restriccion a casi cualquier p∗ se refiere a que la condicion debe

ser cierta para casi cualquier valor de los parametros y puede ser falsa en un

subespacio del espacio parametrico de medida cero. Es decir, una propiedad

que es cierta para cualquier valor de p excepto para alguna hipersuperficie

atıpica se considera estructural ya que, la probabilidad de elegir aleatoriamente

un valor atıpico de p es cero.

De un analisis de identificabilidad estructural, se puede concluir que solo algunas

combinaciones de los parametros son identificables. Si el numero de parametros

identificables es menor al numero total, se debera reducir el numero de parametros

a estimar o modificar la estructura del modelo.

Se han publicado distintas tecnicas para el analisis de identificabilidad estructu-

ral a priori de modelos lineales (ver p.ej. Walter y Pronzato (1997) y los trabajos

ahı citados). Sin embargo, este analisis es especialmente difıcil para modelos dinami-

cos no lineales y existen relativamente pocas tecnicas propuestas para ese caso, a

saber, el metodo de Taylor, la aproximacion de transformacion de similitud y tecni-

cas basadas en algebra diferencial.

Chappel et al. (1990) comparan los dos principales metodos disponibles en ese

momento para el analisis de identificabilidad estructural de parametros de un sistema

no lineal, la aproximacion por series de Taylor de Pohjanpalo (1978) y la aproxima-

cion de transformacion de similitud, basada en el teorema de isomorfismo de estado

local, introducido por Vajda et al. (1989). Ambos metodos han sido aplicados con

exito a algunas estructuras no lineales especıficas pero se ha probado que no son

aplicables para el caso general, principalmente cuando el sistema no lineal aumenta

de tamano.

Tambien se han aplicado tecnicas basadas en algebra diferencial al estudio de

este problema. Ollivier (1990) y Ljung y Glad (1994) propusieron por primera vez

metodos de este tipo. Mas recientemente, se ha desarrollado un nuevo algoritmo

basado en algebra diferencial (Audoly et al., 2001) que mejora la eficiencia de los

anteriores y aumenta su dominio de aplicacion. Sin embargo, a pesar de que estos

metodos han mejorado enormemente el analisis de identificabilidad para modelos

no lineales, la construccion de un algoritmo eficiente aplicable al caso general sigue

siendo una tarea difıcil debido a las limitaciones en su aplicabilidad (Dokos y Lovell,

2004; Baker et al., 2005).

Desafortunadamente, probar la identificabilidad estructural global para algunos

de los modelos considerados en este trabajo no parece posible con las tecnicas dispo-

nibles en la actualidad ya que la mayorıa no pueden ser aplicadas a no linealidades

exponenciales. La aproximacion de Taylor es aplicable a algunos de los modelos a

Page 60: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

32 Capıtulo 4. Analisis de identificabilidad

estudio aunque con algunas restricciones en el tamano del conjunto de parametros.

A pesar de las limitaciones, esta tecnica permitira realizar el analisis de la iden-

tificabilidad estructural local (s.l.i.) de subconjuntos particulares de parametros,

proporcionando informacion util para llevar a cabo una identificacion iterativa del

modelo, como se mostrara mas adelante.

Metodo de series de Taylor

La aproximacion por series de Taylor, propuesta originalmente por Pohjanpalo

(1978), se basa en analizar la expansion en series de potencias de las trayectorias de

las medidas z(t), evaluadas a tiempo cero, en funcion del conjunto desconocido de

parametros p:

zi(p, O+) = a0i(p) + a1i(p)t +1

2a2i(p)t2 + ... +

1

n!ani(p)tn (4.4)

siendo:

aji(p) =djzi

dtj∀i = 1, ..., Nz; j = 0, ...n (4.5)

Ya que el vector de medidas es unico, todas sus derivadas son tambien unicas.

Por lo tanto una condicion suficiente para que el modelo sea s.g.i. sera:

aji(p) = aji(p) ⇒ p = p (4.6)

Cuando no se verifica la condicion suficiente, el problema de demostrar la iden-

tificabilidad teorica de los parametros del modelo es equivalente a determinar el

numero de soluciones de p para el conjunto de ecuaciones algebraicas (4.5), que

normalmente son no lineales en los parametros. Si este es mayor que uno pero un

numero finito, se podra decir que el modelo es s.l.i. y no unicamente identificable y,

si el numero de soluciones es infinito, se dira que es s.u.i.

4.2. Identificabilidad local a priori

La limitada aplicabilidad de las tecnicas existentes para la determinacion de la

identificabilidad global estructural, junto con la necesidad de metodos practicos,

suponen un argumento clave para enfatizar el uso de metodos locales a priori a

pesar de las limitaciones derivadas de su naturaleza local. Estos metodos dependen,

no solo del valor de los parametros, sino tambien de las condiciones experimentales

pero, a diferencia con la identificabilidad a posteriori o practica, suponen que los

datos experimentales son ilimitados y sin ruido.

Page 61: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

4.2. Identificabilidad local a priori 33

Las funciones de sensibilidad de la salida son fundamentales para el estudio

de la identificabilidad local a priori. Si las funciones de sensibilidad son linealmente

dependientes, el modelo no es identificable mientras que funciones de sensibilidad que

son casi linealmente dependientes son un indicador de la existencia de parametros

muy correlacionados.

Una manera sencilla de estudiar la identificabilidad local de un modelo es re-

presentar graficamente las funciones de sensibilidad calculadas para ese conjunto de

parametros pero esto se vuelve complicado cuando el numero de estados medidos y

de parametros aumenta.

Zak et al. (2003) presentan el siguiente metodo numerico para comprobar la

identificabilidad local a priori de los parametros en un punto determinado p haciendo

uso de las funciones de sensibilidad, basado en el propuesto por Jacquez y Greif

(1985).

Considerese un sistema de modelo-experimento descrito por:

F (y, y, z,u,p, t) = 0 (4.7)

F0 (y(t0), z(t0),u(t0), t0) = 0 (4.8)

Considerando los valores de los parametros del conjunto p como “valores ver-

daderos”, las matrices de sensibilidad de los estados medidos, Sz, de dimension Nz

por Np, se calculan para un numero suficientemente grande de puntos de tiempo N

donde:

Szij=

(∂zi

∂pj

)

z=z(t,p),p=p

(4.9)

La matriz G se construye entonces almacenando las matrices de sensibilidades

para estos puntos:

G =

Sz(t1)Sz(t2)

...Sz(tN)

(4.10)

Finalmente la matriz de correlacion de los parametros (Mc), de dimension Np

por Np, se calcula como:

Mc = correlacion(G) (4.11)

Los parametros que son localmente identificables tienen correlaciones entre −1

y +1 con todos los demas parametros. Los parametros que no son localmente iden-

tificables tienen correlaciones de exactamente −1 o +1 con al menos uno de los

otros parametros. Esto significa que estos parametros influyen en las variables me-

didas de la misma manera o de manera exactamente opuesta. El conjunto original

Page 62: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

34 Capıtulo 4. Analisis de identificabilidad

de parametros, p, puede reducirse al conjunto de parametros identificables, pI, de

longitud NI , calculando Mc, eliminando uno de los parametros no identificables, re-

calculando Mc, eliminando otro parametro no identificable, etc., hasta que no quede

ningun parametro no identificable.

4.3. Identificabilidad practica o a posteriori

A diferencia de la identificabilidad estructural o teorica que solo depende de la

estructura del modelo, la identificabilidad practica esta tambien relacionada con la

calidad de los datos y su contenido informativo. Mientras que la identificabilidad es-

tructural se estudia bajo los supuestos de datos perfectos, el problema de parametros

muy correlacionados se acentua cuando se usa un conjunto limitado de datos expe-

rimentales y con ruido para la estimacion. Bajo estas condiciones, la unicidad de los

parametros estimados predicha por un analisis teorico ya no puede ser garantizada

ya que un cambio en un parametro puede ser compensado casi por completo por un

cambio proporcional en otro y estos seguir produciendo un ajuste satisfactorio de

los datos experimentales.

La cuestion a tratar en esta seccion es la siguiente: con los datos experimen-

tales disponibles, ¿se les puede dar a los parametros valores unicos para el mejor

ajuste? O, en otras palabras, si se produce una pequena desviacion en el conjunto

de parametros, ¿tendra esto como consecuencia una disminucion considerable de la

bondad del ajuste?

Existen varias tecnicas para analizar la identificabilidad practica siendo las mas

empleadas el metodo basado en la matriz de informacion de Fisher y el analisis

basado en las regiones de confianza.

4.3.1. Metodo basado en la FIM

Matematicamente este metodo puede formalizarse del modo que se detalla a

continuacion (Munack, 1991). En primer lugar recuerdese que la estimacion de

parametros puede formularse como la minimizacion de la siguiente funcion obje-

tivo cuadratica mediante la eleccion optima de los parametros p:

J(p) =N∑

i=1

(zi(p)− zi)T Qi (zi(p)− zi) (4.12)

donde zi y zi(p) son vectores de N valores medidos y predicciones del modelo a los

tiempos ti (i = 1 a N), respectivamente, y Qi es una matriz cuadrada proporcionada

por el usuario de coeficientes de peso.

Page 63: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

4.3. Identificabilidad practica o a posteriori 35

El valor esperado de la funcion objetivo para un conjunto de parametros ligera-

mente diferente del optimo viene dado por:

E[J(p + δp)] ∼= δpT

[N∑

i=1

(∂z

∂p(ti)

)T

Qi

(∂z

∂p(ti)

)]δp +

N∑i=1

tr (ViQi) (4.13)

donde Vi representa la matriz de covarianza del error de las medidas (Qi se elige

tıpicamente como Vi−1).

Una consecuencia importante de la ecuacion (4.13) es que para optimizar la

identificabilidad practica (maximizar la diferencia entre J(p + δp) y J(p)) se tiene

que maximizar el termino entre corchetes [·]. Este termino se conoce como matriz

de informacion de Fisher (FIM) y expresa la cantidad de informacion de los datos

experimentales (Ljung, 1999):

FIM =N∑

i=1

(∂z

∂p(ti)

)T

Qi

(∂z

∂p(ti)

)(4.14)

Los terminos ∂z/∂p son las funciones de sensibilidad que son de gran importancia

para la evaluacion de la identificabilidad practica ya que son el componente principal

de la matriz de informacion de Fisher.

Como se explicara en detalle en el capıtulo 5, la matriz de informacion de Fisher

es tambien una aproximacion de la inversa de la matriz de covarianza del error del

mejor estimador lineal no sesgado (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE):

C = FIM−1 =

[N∑

i=1

(∂z

∂p(ti)

)T

Qi

(∂z

∂p(ti)

)]−1

(4.15)

Ademas, de la matriz de covarianza tambien se puede obtener informacion util

sobre la correlacion de los parametros estimados. La matriz de correlacion, cuyos

elementos son los coeficientes de correlacion aproximados entre el parametro i y el

j, se define como:

Rij =Cij√CiiCjj

, i 6= j, (4.16)

Rij = 1, i = j, (4.17)

La matriz de correlacion, R, mide la relacion entre los parametros y da una idea

de los efectos de compensacion de los cambios en los valores de los parametros sobre

la salida del modelo. Si dos parametros, pi y pj, estan altamente correlacionados,

un cambio en la salida del modelo ocasionado por un cambio en pi puede estar

(casi) compensado por un cambio apropiado en el valor de pj. Esto evita que los

Page 64: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

36 Capıtulo 4. Analisis de identificabilidad

parametros sean identificables de forma unica incluso si la salida del modelo es muy

sensible a los cambios en los parametros individuales.

El problema de analizar la identificabilidad practica es similar al analisis de la

identificabilidad a priori local pero ahora los puntos de evaluacion de las funciones

estan limitados a los datos experimentales y estos tienen error. Si las funciones de

sensibilidad presentan dependencia lineal en los puntos de los datos experimentales,

la matriz de covarianza se vuelve singular y el modelo no es identificable. Una FIM

singular indica la presencia de parametros no identificables y correlaciones entre

parametros superiores de 0.99 pueden dar lugar a una FIM singular.

En el presente estudio, se ha utilizado el estimador del numero de condicion de

una matriz de Matlab, rcond, para determinar si la FIM es singular:

rcond(FIM) =1

norm(FIM, 1)norm(FIM−1, 1)(4.18)

Si rcond(FIM) < 10ε, donde ε es la maxima precision de Matlab en punto

flotante (2.2 10−16), la FIM se considera singular.

A pesar de que el analisis de sensibilidad basado en la FIM es una tecnica muy

extendida, esta implica una linealizacion de primer orden del modelo con respecto a

los parametros lo que en algunos casos dara lugar a conclusiones erroneas (Petersen,

2000). En el caso de problemas muy no lineales, en esta aproximacion se pierde

mucha informacion lo que podrıa dar lugar a que los parametros sean identificables

en la practica aun cuando la FIM sea singular.

Por este motivo, el analisis basado en las regiones de confianza se presenta en este

trabajo como una una alternativa mas robusta aunque mucho mas costosa desde el

punto de vista computacional.

4.3.2. Metodo basado en las regiones de confianza

Existen distintas posibilidades para la determinacion de las regiones de confian-

za para los parametros estimados (ver capıtulo 5). Las tecnicas basadas en la FIM

presentan las limitaciones inherentes a esta matriz derivadas de su caracter lineal.

Sin embargo, la forma y dimensiones de las regiones de confianza obtenidas me-

diante metodos de Monte Carlo permitiran obtener conclusiones objetivas sobre la

identificabilidad practica de los parametros del modelo.

Page 65: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 5

Intervalos de confianza

Despues de ajustar los parametros p a los datos experimentales, es deseable

obtener alguna medida de la calidad de los estimadores. En principio, el objetivo

es obtener la distribucion de probabilidad de los parametros estimados o una ca-

racterizacion adecuada de la misma, por ejemplo, mediante el calculo de diferentes

percentiles de la distribucion. Sin embargo, en la mayorıa de los casos, esta distri-

bucion no se conoce y por lo tanto es necesario obtener una aproximacion de la

misma.

En este capıtulo, se introducira, en primer lugar, la definicion basica de las re-

giones de confianza exactas. A continuacion, se consideran dos metodos de aproxi-

macion: una linealizacion local de las salidas dando lugar a la matriz de informacion

de Fisher (FIM) y una expansion cuadratica del funcional del error de estimacion

implicando a la matriz Hessiana. Por ultimo se consideran alternativas mas robustas

basadas en metodos de Monte Carlo.

5.1. Regiones de confianza exactas

Las regiones de confianza son de gran importancia ya que proporcionan una eva-

luacion objetiva de la precision de los parametros estimados y de su identificabilidad.

Dado que la funcion objetivo J representa la cercanıa de los datos experimentales al

modelo ajustado, es justificable basar la region de confianza de p en los contornos

de J(p). En el espacio parametrico, esta region tiene la forma general:

p : J(p) ≤ cJ(p) (5.1)

para todo c > 1. Esta region puede ser considerada como “exacta” ya que no esta ba-

sada en ninguna aproximacion, aunque es difıcil seleccionar un valor de c con sig-

nificado estadıstico. De todos modos, para un numero de puntos experimentales N

37

Page 66: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

38 Capıtulo 5. Intervalos de confianza

grande, la region de confianza basada en estadısticos F (Seber y Wild, 1989)

p : J(p) ≤

(1 +

Np

N −Np

F 1−αNp,N−Np

)J(p)

(5.2)

tiene el nivel de confianza asintotico de 100(1 − α) % donde F 1−αNp,N−Np

es el nivel

crıtico superior α de la distribucion FNp,N−Np .

La dificultad practica de estimar esta region ha sido examinada por Vanrolleghem

y Keesman (1996) que sugirieron utilizar simulaciones extensivas de Monte Carlo

que se explicaran mas adelante. Mas recientemente, Dochain y Vanrolleghem (2001)

propusieron un metodo de contraccion sucesiva para encontrar el valor de J(p)

correspondiente al valor prescrito de la distribucion F .

5.2. Metodo basado en la FIM

La region de confianza puede definirse como una funcion de la matriz de cova-

rianza de los parametros C y puede expresarse como (Seber y Wild, 1989; Ljung,

1999): p : (p− p)TC−1(p− p) ≤ NpF

1−αNp,N−Np

(5.3)

Para un modelo lineal z = py + ε, con ruido residual ε ∼ N(0, σ2Iq), C puede

obtenerse de forma compacta como:

C = σ2[YTV−1Y

]−1(5.4)

donde Y = [y1, y2, ..., yN ]T .

Para modelos no lineales no hay un modo exacto de obtener C y la aproximacion

lineal puede dar lugar a estimaciones pobres de la region de confianza real (Donald-

son y Schnabel, 1987; Rooney y Biegler, 1999). La matriz de covarianza anterior

C obtenida para el caso lineal puede ser ampliada para dar lugar a una matriz de

covarianza aproximada como:

CJ(p) =J(p)

N −Np

[J(p)TV−1J(p)

]−1(5.5)

donde el termino J(p)/N −Np es una aproximacion objetiva de la varianza residual

σ2 y J es la matrix Jacobiana del modelo que puede escribirse en columna, tal que:

J =[J1|J2|...|Jj|...|JNp

](5.6)

siendo

Jj(p) =∂z

∂pj

∣∣∣∣p

= Sj, j = 1, ..., Np (5.7)

Page 67: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

5.3. Metodo basado en la matriz Hessiana 39

Las columnas de la matrix Jacobiana J son las salidas de las funciones de sensibilidad

Sj = (∂z/∂pj) con respecto a los parametros.

Asumiendo que el ruido de las medidas no esta correlacionado y que este pre-

senta una distribucion normal con media cero y varianza constante, CJ, dada por

la ecuacion (5.5), es tambien la inversa de la FIM, definida como:

FIM =N∑

i=1

(∂z(ti)

∂p

)T

V −2i

(∂z(ti)

∂p

)(5.8)

es decir,

CJ(p) = FIM−1 (5.9)

En este caso, la inversa de la FIM representa la matriz de covarianza del error del

estimador objetivo de varianza mınima de acuerdo con el teorema de Cramer-Rao

(Ljung, 1999). Sustituyendo C de la ecuacion (5.5) en la ecuacion (5.3), se obtienen

los elipsoides de confianza aproximados:

p : (p− p)TCJ

−1(p− p) ≤ NpF1−αNp,N−Np

(5.10)

5.3. Metodo basado en la matriz Hessiana

Para modelos no lineales la funcion objetivo J(p) dada por la ecuacion (4.12) no

es una forma cuadratica exacta pero, para desviaciones de los parametros suficiente-

mente pequenas (p− p), puede ser aproximada por una expansion de segundo orden

alrededor de los parametros estimados p. Dado que en la vecindad del mınimo el

termino de primer orden se pierde ((∂J/∂p)p ≈ 0) la expansion de segundo orden

da lugar a:

J(p) ≈ J(p) +1

2(p− p)T

(∂2J

∂p∂pT(p)

)(p− p) (5.11)

Sustituyendo la ecuacion (5.11) en la ecuacion (5.2), se obtiene un resultado formal-

mente similar al caso lineal:

CH(p) =2

N −Np

J(p)H(p)−1 (5.12)

donde:

H(p) =∂2J(p)

∂p∂pT(5.13)

con los elipsoides de confianza dadas por:

p : (p− p)TCH

−1(p− p)T ≤ NpF1−αNp,N−Np

(5.14)

Page 68: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

40 Capıtulo 5. Intervalos de confianza

En cualquiera de los dos casos, el intervalo de confianza individual de cada

parametro σi puede obtenerse como:

σi = ±t1−(α/2)N−Np

√Cii (5.15)

donde C puede ser aproximada o bien por CJ de la ecuacion (5.5) o por CH de la

ecuacion (5.12) y t1−(α/2)N−Np

es la distribucion t de Student de dos colas para un nivel

de confianza dado α y N −Np grados de libertad. En el lımite de un numero largo

de medidas (N −Np > 100), el intervalo de confianza del 95% para los parametros

es [pi − 1.96σi, pi + 1.96σi].

Los elipsoides de confianza obtenidos a partir del Hessiano o con el metodo de

Fisher coinciden solo cuando la estimacion converge a los parametros verdaderos.

De otro modo, estos dan resultados claramente distintos, pudiendo ası detectar si

los resultados de la estimacion son inadecuados (Marsili-Libelli et al., 2003).

De todos modos, estos intervalos de confianza son estadısticamente optimistas

debido al uso de una aproximacion del modelo no lineal en la vecindad de la mejor

estimacion de los parametros (Vanrolleghem y Dochain, 1998). Otras tecnicas alter-

nativas mas robustas como los metodos jackknife y bootstrap producen varianzas de

los parametros mas realistas aunque estos metodos son bastante intensivos desde un

punto de vista computacional.

5.4. Metodos de Monte Carlo

La estimacion de parametros utiliza los datos obtenidos de un sistema en un ex-

perimento dado. En general, debido a las perturbaciones que actuan sobre el sistema

y el ruido en las medidas, la repeticion de experimentos identicos no conducira a

los mismos resultados. Por lo tanto, antes de la recogida de datos, el vector z es

un vector aleatorio cuyo estimador asociado sera p(z) y una vez llevados a cabo los

experimentos, lo que se tendra es una realizacion particular de ese vector aleatorio.

Los metodos de Monte Carlo tratan de determinar las caracterısticas estadısticas

de la poblacion de estimadores proporcionada por un conjunto de todas las posibles

realizaciones de z, es decir, de todos los resultados experimentales posibles. Con este

fin, se generan vectores de datos ficticios zf mediante simulaciones del modelo para

el valor estimado de los parametros, incorporando errores aleatorios para representar

la presencia de perturbaciones y de ruido. Cada vector de datos ficticios dara lugar

a un estimador ficticio pf = p(zf ), calculado como para los datos reales. De este

modo se obtendra un conjunto de estimadores ficticios cuyas propiedades estadısticas

pueden ser estudiadas. Normalmente, pf se considera un vector aleatorio normal

Page 69: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

5.4. Metodos de Monte Carlo 41

y su distribucion se caracteriza por la media y la matriz de covarianza empırica

de los estimadores ficticios. Este metodo requiere, por lo tanto, un gran numero

de estimaciones y de simulaciones del modelo. Con objeto de reducir el esfuerzo

computacional se han sugerido varias tecnicas (ver, p. ej., Grant y Solberg, 1983).

Una de las dificultades de los metodos de Monte Carlo esta en la eleccion de la

distribucion empleada para generar los datos ficticios zf . Las tecnicas jackknife (Que-

nouille, 1949) y bootstrap (Efron, 1982) hacen posible evitar estimar la distribucion

del error a partir de los residuos.

5.4.1. Jackknife

La mayor ventaja de la tecnica jackknife estriba en su simplicidad. Sea N = Gh,

el vector de datos experimentales z = (z1, z2, ..., zN) se divide de la forma z =

(z′1, z′2, ..., z

′G), siendo cada z′g(g = 1, 2, ..., G) un vector h × 1. Sea p el vector de

parametros estimados a partir de todos los datos z y p(g) el mejor estimador de

parametros para el modelo omitiendo el grupo z′g calculado iterativamente emplean-

do p como punto inicial. Se definen entonces G pseudo-estimadores de la forma:

pg = Gp− (G− 1)p(g) (g = 1, 2, ..., G) (5.16)

con media:

pJk =1

G

G∑g=1

pg (5.17)

y matriz de varianza-covarianza:

CJk =[(CJkij

)]

=1

G− 1

G∑g=1

(pg − pJk) (pg − pJk)T (5.18)

De este modo, pJk es el estimador jackknife de p∗ y CJk/G es un estimador de

D[pJk]. Considerando pg (g = 1, 2, ..., G) independientes e igualmente distribuidos,

se puede construir una region con un nivel de confianza de 100(1 − α) % para p

empleando la distribucion T 2 de Hotelling (p. ej. Seber, 1984) de modo que:

p : (p− pJk)

TCJk−1(p− pJk) ≤ Np

G−Np

G− 1

GF 1−α

Np,G−Np

(5.19)

Ademas, para un pi dado, el intervalo de confianza 100(1 − α) % puede obtenerse

como:

pJki± t

1−(α/2)N−Np

√CJkii

G(5.20)

donde pJkies el elemento i de pJk.

Page 70: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

42 Capıtulo 5. Intervalos de confianza

Las propiedades de (5.19) y (5.20) fueron estudiadas por Dunkan (1978) para

N = 24 y distintos valores de h. Aunque tener un h lo mas grande posible es

conveniente desde el punto de vista computacional, su estudio concluye claramente

que las omisiones de uno en uno (h = 1) son mas recomendables, especialmente para

muestras pequenas. A pesar de su facil implementacion, este metodo resulta menos

flexible y fiable que el metodo bootstrap (Walter y Pronzato, 1997).

5.4.2. Bootstrap

El metodo bootstrap (ver, por ejemplo, DiCiccio y Romano, 1988; Hinkley, 1988)

utiliza solamente los valores de los datos experimentales z y el modelo M(p) asu-

miendo que los errores son variables aleatorias con identica distribucion pero sin

especificar. Se asume por ejemplo que

z(ti) = z(ti,p∗) + bi, i = 1, ..., N (5.21)

donde los bi corresponden a variables independientes e igualmente distribuidas. Un

estimador de bi viene dado por el residuo i:

bi = z(ti)− z(ti, p), i = 1, ..., N (5.22)

donde p es un estimador de p∗. Un vector zf de datos ficticios zf se obtiene entonces

como:

zf (ti) = z(ti, p) + b, i = 1, ..., N (5.23)

donde, para cada ti, b se elige aleatoriamente entre los residuos bk (k = 1, ..., N)

considerados como equiprobables. Esto equivale a sustituir la distribucion empırica

de los residuos por la distribucion verdadera de los bi que sera mas aceptable cuanto

mas cerca este p de p∗. Repitiendo esta operacion, se obtiene la poblacion de vectores

de datos ficticios, a partir de la cual puede derivarse la poblacion de los parametros.

Las caracterısticas de esta poblacion (media pB, matriz de covarianza CB) podran

entonces ser estudiadas de manera analoga al metodo jackknife obteniendo, para un

pi dado, el intervalo de confianza 100(1− α) %:

pBi± t

1−(α/2)N−Np

√CBii

(5.24)

donde pBies el elemento i de pB.

Page 71: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 6

Diseno optimo de experimentos

Para llevar a cabo la estimacion de parametros de modo satisfactorio, es impres-

cindible que los datos experimentales sean de suficiente calidad. La realizacion de

experimentos en bioprocesos, especialmente a nivel industrial, es una actividad muy

costosa en tiempo y dinero. Por estos motivos, se hace necesario el diseno optimo

de experimentos (OED) cuyo objetivo es encontrar los experimentos dinamicos ne-

cesarios para que los parametros estimados a partir de los datos proporcionados por

los mismos sean de la mejor calidad estadıstica posible.

Ademas, todos los algoritmos numericos empleados para la estimacion de parame-

tros en modelos no lineales presentan dificultades cuando se encuentran con proble-

mas mal condicionados. Asumiendo que la estructura del modelo es correcta y que

este es estructuralmente identificable, el diseno de experimentos va a influir en gran

medida para la identificabilidad practica del mismo. El OED ayudara a mejorar la

identificabilidad practica mejorando a su vez el condicionamiento del problema de

estimacion y facilitando ası la tarea de los metodos de optimizacion.

Cuando uno se enfrenta a un problema de diseno optimo de experimentos las

preguntas que se debe plantear son:

- ¿Que medir? Esta pregunta afronta la eleccion de las variables medidas.

- ¿Donde medir? Aquı se trata el problema de la localizacion de los sensores.

- ¿Cuando medir? Consiste en establecer la estrategia de muestreo.

- ¿Como manipular? Se trata de definir cuales son las posibles variables ma-

nipuladas o controles y el tipo de manipulaciones, es decir, la variacion de

los controles a lo largo del experimento. En algunos casos tambien se podran

modificar las condiciones iniciales de ciertas variables.

43

Page 72: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

44 Capıtulo 6. Diseno optimo de experimentos

Para el diseno de experimentos informativos, se han desarrollado diferentes es-

trategias basadas en la definicion del contenido de informacion de un experimento

dado. Por sus caracterısticas, la matriz de informacion de Fisher (FIM) es la clave

de muchos de estos procedimientos. Para sistemas lineales y bajo ciertas suposicio-

nes sobre el ruido de las medidas, la inversa de la FIM evaluada en los verdaderos

parametros del proceso p∗ es la matriz de covarianza del mejor estimador lineal no

sesgado (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE) (Goodwin y Payne, 1977; Godfrey

y DiStefano III, 1985). Cuando los parametros estimados a partir de un experimento

estan cerca de los parametros verdaderos del proceso p∗, la matriz de informacion

de Fisher evaluada en esos estimadores puede verse como una aproximacion de la

FIM evaluada en los parametros verdaderos del proceso p∗. De este modo, su in-

versa proporciona una aproximacion de la mejor covarianza del error que se puede

conseguir.

Para modelos no lineales en los parametros, la aplicacion de esta metodologıa

implica la suposicion de que las salidas pueden ser aproximadas por una expansion

en series de Taylor de primer orden en la vecindad de los parametros verdaderos

de proceso p∗. En la practica, los parametros verdaderos se desconocen por lo que,

durante el diseno de experimentos, debe utilizarse un conjunto de parametros, lla-

mado conjunto de parametros nominales p0 que generalmente no coincide con los

parametros verdaderos del proceso p∗. Normalmente, estos parametros nominales

p0 se obtienen a partir de experimentos preliminares o de datos bibliograficos. De

este modo, el problema de OED se establece como la optimizacion de una funcion

escalar de la FIM evaluada en los parametros nominales p0. Dado que estos nor-

malmente no coinciden con los parametros verdaderos, se debe realizar un esquema

iterativo de diseno para obtener los verdaderos experimentos optimos con respecto al

vector de parametros verdadero p∗. En cada ciclo iterativo, los valores de los parame-

tros estimados a partir del experimento precedente son utilizados como conjunto de

parametros nominales para el diseno optimo de experimentos.

6.1. Criterios de diseno optimo

Con objeto de comparar la eficacia de un experimento con respecto a la identi-

ficabilidad de los parametros y a la precision esperada de la estimacion a partir de

los datos recogidos, se han sugerido como medida varias funciones escalares de la

matriz de informacion de Fisher. Estos funcionales tambien se utilizan como ındices

de eficacia para el diseno optimo de experimentos. En la bibliografıa se pueden en-

contrar varios de estos criterios de diseno optimo (Vanrolleghem y Dochain, 1998)

Page 73: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

6.1. Criterios de diseno optimo 45

cuya interpretacion geometrica se ilustra en la Figura 6.1:

p1

p2

Criterio ECriterio A

Criterio D

Figura 6.1: Interpretacion geometrica de varios criterios de

diseno optimo (Asprey y Macchietto, 2002)

Criterio A: min traza(FIM−1

)

Este criterio se centra en la minimizacion de la traza y por lo tanto de la

suma de los autovalores de la matriz de covarianza, es decir, el cuadrado de

la longitud de los ejes de los elipsoides de confianza. Esto es equivalente a

minimizar la media aritmetica de los errores de los parametros. Notese que

este criterio se basa en la inversion de la FIM por lo que producira errores

numericos en el caso de que la FIM sea singular o este mal condicionada.

Criterio A modificado: max traza (FIM)

Este criterio es similar al criterio A solo que, en este caso, se maximiza la

traza de la FIM de modo que se evitan los errores numericos en caso de

que la FIM sea singular. Sin embargo, el problema de este criterio es que

en el maximo puede darse el caso de que la matriz sea singular porque uno

de los autovalores sea cero, si alguno de los otros autovalores se ha vuelto

lo suficientemente grande (Goodwin y Payne, 1977). Esto significarıa que la

region de confianza se va a infinito en cierta direccion y que los parametros no

son identificables.

Page 74: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

46 Capıtulo 6. Diseno optimo de experimentos

Criterio D: max det (FIM)

Aquı se trata de maximizar el determinante de la FIM. El determinante es

proporcional al volumen de la region de confianza. Maximizando el criterio D

se minimiza el volumen de los elipsoides de confianza asintoticos y, por lo tan-

to, la media geometrica del error de los parametros. Ademas, este criterio es

invariable a cualquier reescalado de los parametros (Walter y Pronzato, 1997).

Por otra parte, un diseno D-optimo consiste normalmente en la repeticion de

un numero pequeno de condiciones experimentales diferentes, es decir, algu-

nos experimentos apareceran repetidos (Atkinson y Hunter, 1968; Box, 1968,

1970). Como se explica en detalle en Walter y Pronzato (1997), esto puede

ayudar a eliminar optimos locales a la hora de estimar los parametros.

Criterio E: min λmax (FIM−1)

La longitud de los ejes de los elipsoides de confianza es proporcional a la

inversa de la raız cuadrada de los autovalores correspondientes. El criterio E

maximiza el mınimo autovalor de la FIM y, por lo tanto, minimiza la longitud

del mayor de los ejes de los elipsoides de confianza. De este modo, este criterio

trata de minimizar el mayor de los errores de los parametros y ası maximizar

la distancia del caso singular (no identificable).

Criterio E modificado: min abs(λmax(FIM)λmin(FIM)

)

Este criterio tambien esta relacionado con la forma de la region de confianza.

Aquı el objetivo es la minimizacion del numero de condicion (relacion entre el

mayor y el menor autovalor) o lo que es lo mismo, trata de igualar el mayor

y el menor de los ejes de los elipsoides. Una de las ventajas de este criterio

es que su valor optimo es conocido y corresponde a la unidad indicando el

caso donde la forma de los elipsoides de confianza es una (hiper)esfera (en una

representacion tridimensional corresponderıa a una forma conica) y los errores

de los parametros estan igualmente distribuidos.

En este punto, se debe mencionar que el reescalado de los parametros afecta a

las propiedades de la matriz de informacion de Fisher y por lo tanto de su inversa,

la matriz de covarianza. El reescalado de los parametros puede utilizarse de modo

ventajoso ya que mediante un reescalado adecuado se puede minimizar los problemas

relacionados con la inversion de la FIM. Sin embargo, este efecto tambien afecta al

diseno optimo de experimentos basado en funciones escalares de la FIM. Como se

muestra en Petersen (2000), todos los criterios antes explicados con excepcion del

criterio D son sensibles al reescalado de los parametros. Esto significa que los disenos

Page 75: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

6.2. Formulacion del OED como un problema de optimizacion dinamica 47

experimentales obtenidos mediante estos criterios seran diferentes si el modelo se

expresa, por ejemplo, en distintas unidades de tiempo. Por este motivo, con objeto

de obtener unos elipsoides de confianza lo mas esfericos posible, se recomienda escalar

todos los parametros al mismo valor, p. ej. la unidad. Por otra parte, si se desea

que unos parametros tengan mejor calidad estadıstica que los otros, se recomienda

escalar estos parametros a un valor mayor que el resto.

6.2. Formulacion del OED como un problema de

optimizacion dinamica

El problema de diseno optimo de experimentos puede ser formulado como un

problema de optimizacion dinamica, tambien llamado de control optimo en lazo

abierto, como sigue:

Encontrar los factores externos variables con el tiempo o variables de control

(temperatura, pH, concentraciones, etc.), u(t), ası como los tiempos de muestreo, la

duracion del experimento y las condiciones iniciales, v, que minimizan (o maximizan)

una funcion escalar φ de la matriz de informacion de Fisher:

JOED = φ(FIM) (6.1)

sujeto a:

la dinamica del sistema:

F (y, y, z,u,v,p, t) = 0 (6.2)

F0 (y(t0), z(t0),u(t0),v,p, t0) = 0 (6.3)

donde y es el vector de las variables de estado del modelo, z es el vector de las

variables medidas en puntos discretos de tiempo, u es el vector de variables de

control o factores externos, v incluye los tiempos de medida, la duracion de

los experimentos y las condiciones iniciales y p es el vector de los parametros

del modelo.

posibles restricciones de igualdad y desigualdad respectivamente:

h (y, z,u,v,p, t) = 0 (6.4)

g (y, z,u,v,p, t) ≤ 0 (6.5)

Page 76: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

48 Capıtulo 6. Diseno optimo de experimentos

otras restricciones algebraicas relacionadas con limitaciones experimentales:

uL(t) ≤ u(t) ≤ uU(t) (6.6)

vL ≤ v ≤ vU (6.7)

Los metodos existentes en la actualidad para la resolucion de problemas de op-

timizacion dinamica pueden clasificarse en tres grandes grupos:

1. Metodos de programacion dinamica desarrollados inicialmente para pro-

blemas discretos y que estan basados en las condiciones de optimalidad de

Bellman (1957). Luus (1990) propone el metodo denominado programacion

dinamica iterativa (Iterative Dynamic Programming, IDP) que se basa en apli-

car el principio de Bellman de manera iterativa.

2. Metodos indirectos que emplean las condiciones del principio mınimo de

Pontryagin (1962) dando lugar a un problema de condiciones iniciales para

los estados y finales para las variables adjuntas (Two Point Boundary Value

Problem, TPBVP) (Bryson y Ho, 1975).

3. Metodos directos, donde el problema original se transforma en un proble-

ma de optimizacion no lineal (NLO) utilizando o bien la parametrizacion de

control (Control Vector Parametrization, CVP) (Vassiliadis, 1993) o bien la

parametrizacion total (Complete Parametrization, CP), donde se parametri-

zan tanto las variables de control como las variables de estado (Polak, 1971;

Biegler, 1984).

Las tecnicas mas utilizadas en la actualidad para la resolucion de problemas de

optimizacion dinamica estan basadas en metodos directos (ver revisiones por Balsa-

Canto, 2001 y Banga et al., 2005). De las distintas alternativas, en este trabajo se

ha elegido la parametrizacion de control (CVP) ya que permite el diseno de varios

experimentos simultaneos con varias entradas para el caso general de modelos de

dimension elevada sin resolver NLO excesivamente grandes (Banga et al, 2002).

6.3. Metodo de parametrizacion de control

El metodo de parametrizacion de control (CVP) consiste en la discretizacion de

las variables de control u utilizando un conjunto finito de parametros w de modo

que los controles pueden expresarse como:

Page 77: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

6.3. Metodo de parametrizacion de control 49

u(t) = θ(t, w) (6.8)

De este modo el problema original de dimension infinita se transforma en un

problema de optimizacion no lineal (NLO) de dimension finita con restricciones

diferenciales-algebraicas.

En Vassiliadis (1993), la duracion de los experimentos se divide en un numero

de ρ elementos y se aproximan las variables de control empleando polinomios de

orden bajo. Las aproximaciones lineales (rampas) o constantes (escalones) son las

mas convenientes ya que permiten la incorporacion simple de la mayorıa de las

actuaciones sobre los sistemas que se observan en la practica real.

Finalmente se debe resolver un problema de optimizacion no lineal (NLO) siendo

las variables de decision:

los coeficientes de los polinomios

la duracion de los experimentos

los tiempos de muestreo

las condiciones iniciales

La funcion objetivo sera una funcion escalar de la matriz de informacion de Fis-

her para cuya evaluacion se requiere la simulacion de la dinamica del sistema y el

calculo de sensibilidades parametricas. Por los motivos expuestos en el capıtulo 3,

se utilizara el codigo ODESSA (Leis y Kramer, 1985) para la resolucion del siste-

ma de ecuaciones diferenciales que describe la dinamica del sistema y la obtencion

simultanea de las sensibilidades parametricas.

El problema ası formulado puede resolverse, de forma analoga al problema de

estimacion de parametros formulado en la seccion 2.2, mediante metodos de valor

inicial o metodos multiple shooting. Los metodos mas populares para la resolucion de

este NLO son metodos de valor inicial consistentes en la resolucion del problema de

valor inicial (IVP) para cada evaluacion de la funcion. La mayorıa de estos metodos

son tecnicas de optimizacion local basadas en el gradiente, habitualmente variantes

del metodo de programacion cuadratica secuencial (Sequential Quadratic Problem,

SQP). Sin embargo, debido al caracter no lineal de la mayorıa de los bioprocesos,

el uso del metodo CVP da lugar con frecuencia a NLOs no convexos por lo que los

metodos de optimizacion local no convergeran o lo haran a optimos locales. Con

el fin de solventar estas dificultades, en el presente trabajo se propone el uso de

metodos de optimizacion global que se explican con detalle en el capıtulo 7.

Page 78: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 79: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 7

Metodos de optimizacion

Optimizar es encontrar, de forma eficiente, la mejor solucion del conjunto de

todas las posibles. Tanto en el caso de estimacion de parametros como en el de

diseno optimo de experimentos, lo que se pretende es encontrar el valor de un vector

de variables de decision que proporciona el mınimo valor posible de una funcion

objetivo J . En el caso de la estimacion de parametros, las variables de decision

son los parametros del modelo que se debe calibrar. Para resolver ambos problemas

se empleara un esquema de un problema de optimizacion no lineal que requiere

la resolucion de un problema de valor inicial para cada evaluacion de la funcion

objetivo. Como se explica en la seccion 2.2.1, los metodos de optimizacion numerica

generan nuevos valores para las variables de decision en cada iteracion de modo que

estos disminuyan el valor de la funcion objetivo. La generacion de nuevos valores se

realiza habitualmente de acuerdo con:

pi+1 = pi + αdi (7.1)

donde di es una direccion de busqueda basada en informacion acerca de la funcion

objetivo J(p) adquirida en iteraciones previas y α es una constante positiva deter-

minada de modo que se obtenga una disminucion apropiada del valor de J(p). El

modo en que se calcula di va a determinar el tipo de metodo de optimizacion. En

una primera clasificacion, los metodos de optimizacion pueden dividirse en metodos

deterministas, estocasticos e hıbridos.

Los metodos deterministas calculan las direcciones de busqueda de manera sis-

tematica mediante la toma de decisiones deterministas. En muchos casos requieren

el calculo del gradiente y del Hessiano de la funcion objetivo y suelen buscar la ve-

rificacion de las condiciones de optimalidad. Dentro de este tipo se puede distinguir

entre metodos locales y metodos globales. Los metodos locales buscan un vector p

tal que J(p) < J(p) para todos los valores de p cercanos a p. En el caso de los meto-

51

Page 80: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

52 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

dos globales lo que se pretende es encontrar el valor de p tal que J(p) < J(p) para

todos los posibles valores de p. Notese que, en el caso de los problemas convexos, el

optimo local coincide con el global.

Por otra parte, los metodos estocasticos calculan las direcciones de busqueda

empleando secuencias pseudo-aleatorias con un importante componente heurıstico y

valores previos de la funcion objetivo, sin hacer uso de informacion sobre la estruc-

tura del problema. En general, son de caracter global aunque debido a su naturaleza

aleatoria no se puede garantizar la convergencia al optimo global con total certe-

za. Sin embargo, muchos de estos metodos disponen de pruebas de convergencia

asintoticas y a menudo son estrategias muy eficientes localizando las proximidades

del optimo global.

A su vez, la mayor parte de los metodos hıbridos combinan estrategias estocasti-

cas y deterministas para superar las limitaciones inherentes a cada una de ellas

mientras que potencian sus puntos fuertes. No obstante, un metodo hıbrido es todo

aquel que resulta de la combinacion de dos o mas algoritmos por lo que tambien

se pueden encontrar estrategias que combinan varios metodos estocasticos o varios

metodos deterministas. La clave para la obtencion de metodos hıbridos robustos y

eficaces radica en la eleccion de los metodos a combinar y en el modo de estructurar

dicha combinacion.

Figura 7.1: Metodos locales Figura 7.2: Metodos globales

Este trabajo se centra en la estimacion de parametros y el diseno optimo de

experimentos (OED) de modelos dinamicos no lineales que, como se ha explicado

anteriormente, pueden formularse como problemas de optimizacion no lineal (NLOs).

Debido a la acusada no linealidad de los modelos considerados, los problemas de ca-

libracion y de OED resultantes seran multimodales por lo que los metodos locales

quedaran atrapados en soluciones locales. Para solventar esta limitacion se requiere

Page 81: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.1. Metodos locales 53

el uso de estrategias de optimizacion que proporcionen mas garantıas de convergen-

cia a la solucion global. Las Figuras 7.1 y 7.2 representan el comportamiento de

los metodos de optimizacion local y global respectivamente para la resolucion de

problemas no convexos.

En las siguientes secciones se hara una revision de los metodos de optimiza-

cion mas utilizados en la actualidad, tanto locales como globales y se justificara la

eleccion de algoritmos estocasticos e hıbridos para la resolucion de los problemas

considerados.

7.1. Metodos locales

Como ya se ha mencionado, la mayorıa de los metodos locales son deterministas

y por lo tanto calculan la direccion de busqueda de manera sistematica. La diferencia

entre unos metodos y otros estriba, fundamentalmente, en el tipo de problemas que

pueden resolver y en el modo de generar las direcciones de busqueda. A continuacion

se presenta una breve revision de los principales metodos para tratar problemas de

optimizacion multidimensionales (Edgar y Himmelblau, 1988; Reklaitis et al., 1983).

7.1.1. Metodos para problemas sin restricciones

En funcion de la informacion que necesiten, estas estrategias pueden clasificarse

en dos grandes grupos:

Metodos de busqueda directa: solamente requieren valores de la funcion

objetivo, y no de las derivadas parciales de la misma, para encontrar el optimo.

Tambien se conocen como metodos de orden cero ya que utilizan las derivadas

de orden cero de la funcion. De entre estos metodos se debe destacar los meto-

dos de busqueda por patrones como el metodo de Hooke y Jeeves (1961), el

metodo de Powell (1964), el metodo de Rosenbrock (1960), el metodo simplex

(Dantzig, 1963) y el metodo de Nelder y Mead (1965), que es una modificacion

del simplex. Estos metodos son los mas adecuados para problemas simples con

un numero de variables relativamente pequeno pero generalmente son menos

eficientes y requieren mayor numero de evaluaciones de la funcion objetivo que

los metodos de busqueda indirecta.

Metodos de busqueda indirecta: requieren conocer, ademas de los valores

de la funcion objetivo, el gradiente y en algunos casos tambien el Hessiano de

la misma. De entre los metodos basados en gradiente, aquellos que requieren

solamente las primeras derivadas de la funcion objetivo se llaman metodos de

Page 82: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

54 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

primer orden y aquellos que requieren las derivadas de primer y segundo orden

se llaman metodos de segundo orden. El primer metodo de este grupo, propues-

to por Cauchy en el siglo XIX, es el metodo del gradiente clasico que utiliza

el negativo del gradiente como direccion de busqueda para la minimizacion.

En este metodo la direccion de busqueda puede interpretarse como ortogo-

nal a una aproximacion lineal tangente a la funcion objetivo en ese punto. Los

metodos de segundo orden tienen tambien en cuenta la curvatura de la funcion

para lo que debera considerarse la matriz Hessiana de la misma. Entre estos

metodos destacan el metodo de Newton y los populares metodos quasi-Newton

que tratan de aproximar la direccion de Newton asintoticamente.

Estas tecnicas han sido originalmente desarrolladas para resolver problemas sin

restricciones pero se adaptan facilmente a la resolucion de problemas con restriccio-

nes mediante el uso de funciones de penalizacion (Balsa-Canto, 2001).

7.1.2. Metodos para problemas con restricciones

Ademas de las tecnicas de resolucion de problemas de optimizacion no lineales

con restricciones (NLOs) mediante su transformacion en problemas sin restricciones

por medio de funciones de penalizacion, existen metodos especialmente disenados

para este tipo de problemas que hacen uso de las condiciones de optimalidad de

Karush-Kuhn-Tucker, KKT (ver, por ejemplo, Bazaara et al., 1993). Entre estos

metodos destacan el metodo clasico basado en multiplicadores de Lagrange, los

metodos de linealizacion iterativa y los metodos de programacion cuadratica secuen-

cial que hacen uso de los valores de la funcion objetivo y de su gradiente. Ademas,

el metodo complex, que es una modificacion del metodo simplex, permite resolver

problemas con restricciones sin hacer uso de las derivadas de la funcion.

De entre los metodos de linealizacion iterativa, que consisten en linealizar el pro-

blema y aplicar tecnicas de optimizacion lineal de un modo secuencial, destaca el

metodo del gradiente reducido generalizado (Generalized Reduced Gradient, GRG)

(Abadie y Carpentier, 1969). Este metodo utiliza el llamado gradiente reducido gene-

ralizado para el calculo de la direccion de busqueda que consiste en una combinacion

del gradiente de la funcion objetivo y el jacobiano de las restricciones.

El metodo GRG requiere un tiempo de computacion muy elevado, lo que hace

que los metodos de programacion cuadratica sucesiva (Sequential Quadratic Pro-

gramming, SQP) (Fletcher, 1982; Gill et al., 1981) sean los mas utilizados, junto con

los metodos de penalizacion, para resolver problemas de optimizacion no lineal con

restricciones (NLOs). Los metodos SQP aproximan localmente la funcion objetivo

por una funcion cuadratica y las restricciones por funciones lineales de modo que

Page 83: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.1. Metodos locales 55

el problema original se convierte en una sucesion de problemas cuadraticos con res-

tricciones lineales. Estos metodos se basan en la aplicacion del metodo de Newton

a las condiciones necesarias de optimalidad Karush-Kunh-Tucker y resuelven una

secuencia de problemas cuadraticos, en los que en cada iteracion se requiere la reso-

lucion de un sistema de ecuaciones generalmente grande. Aunque estos metodos han

demostrado una gran eficiencia para la resolucion de problemas con funcion objetivo

y restricciones suaves, esto puede resultar muy costoso por lo que se han dedicado

muchos esfuerzos al desarrollo de estrategias eficientes.

7.1.3. Metodos locales empleados

Con objeto de ilustrar las ventajas de los metodos de optimizacion global y co-

mo segunda etapa de los metodos hıbridos, en este trabajo tambien se han utilizado

metodos locales estandar. En ocasiones se han empleado en un esquema multiarran-

que (multi-start), generando soluciones aleatorias entre los lımites de los parametros

y comenzando el algoritmo local en esos puntos. Los metodos considerados son los

siguientes:

clsSolve: este algoritmo forma parte del entorno de optimizacion Tomlab (Holms-

trom, 2004) y resuelve problemas de estimacion de parametros no lineales,

dispersos o densos, manejando explıcitamente igualdades y desigualdades li-

neales y lımites simples en las variables.

fmincon: metodo local basado en gradiente implementado como parte de la librerıa

de optimizacion de Matlab (Maltab Optimization Toolbox R©, The MathWorks

Inc.). Este metodo encuentra el mınimo local de una funcion multivariable con

restricciones por medio de un algoritmo de programacion cuadratica secuencial,

SQP. El metodo utiliza gradientes numericos o analıticos si estan disponibles.

n2fb/dn2fb: este algoritmo fue especialmente disenado para problemas de estima-

cion de parametros por Denis et al., (1981). Esta basado en la combinacion

de un algoritmo Gauss-Newton y uno quasi-Newton y soporta lımites supe-

riores e inferiores para las variables de manera independiente. Una parte del

Hessiano se calcula directamente y otra se aproxima mediante un metodo de

actualizacion quasi-Newton. En ciertas situaciones el algoritmo se reduce a un

algoritmo Gauss-Newton o Levenberg-Marquardt. El metodo es estabilizado

mediante una tecnica de regiones de confianza junto con una eleccion adaptati-

va del modelo del Hessiano para alcanzar la convergencia. El algoritmo dn2fb

es la version en doble precision de n2fb.

Page 84: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

56 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

NOMADm: metodo directo de proposito general implementado en Matlab y disenado

por Abramson (2002) para la optimizacion de problemas no lineales con va-

riables continuas, discretas y/o categoricas (Nonlinear Optimization for Mixed

variables And Derivatives-Matlab, NOMADm). Emplea varios algoritmos de

busqueda por patrones generalizados (Generalized Pattern Search, GPS), y no

requiere informacion sobre las derivadas. Resulta especialmente adecuado para

problemas de calibracion con datos con mucho ruido para los que los metodos

basados en gradiente no dan buenos resultados.

npsol: desarrollado por Stanford Systems Optimization Laboratory (ver Gill et al.,

1998), se considera como el estado actual para la resolucion de problemas de

optimizacion no lineal densos.

snopt: desarrollado por Stanford Systems Optimization Laboratory (ver Gill et al.,

2002), se considera el metodo mas puntero para la resolucion de problemas

grandes y dispersos de optimizacion no lineal.

solnp: metodo SQP implementado por Ye (1987) para problemas de optimizacion

no lineal densos con restricciones.

7.2. Metodos globales

La optimizacion global (GO) de sistemas dinamicos no lineales ha recibido una

atencion creciente en los ultimos anos por parte de ingenieros, matematicos e in-

formaticos. Favorecido por el aumento de las capacidades computacionales a lo largo

de las ultimas decadas, este campo ha crecido a un ritmo muy rapido y con el el

numero de algoritmos propuestos para resolver problemas que antes resultaban in-

tratables. En Horst y Pardalos (1995), Pinter (1996) y mas recientemente en Moles

(2003) puede encontrarse una revision de los metodos deterministas y estocasticos

disponibles en la actualidad.

7.2.1. Metodos deterministas

Los metodos de optimizacion global deterministas pueden garantizar la opti-

malidad global bajo unas condiciones determinadas y para ciertos problemas. Sin

embargo, ninguno de estos algoritmos puede garantizar la resolucion de problemas

generales NLOs con certeza en un tiempo finito (Guus et al., 1995). De hecho, el

esfuerzo computacional asociado crece muy rapido (a menudo exponencialmente)

con el tamano del problema.

Page 85: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.2. Metodos globales 57

Recientemente han aparecido varias tecnicas avanzadas de ramificacion y poda

(branch and bound) para la resolucion de problemas de optimizacion dinamica y la

estimacion de parametros de sistemas dinamicos no lineales (Esposito y Floudas,

2000; Papamichail y Adjiman, 2002). Esta parece una lınea de investigacion pro-

metedora pero la funcion objetivo y la dinamica del sistema deben ser doblemente

diferenciables y continuas y las restricciones de camino que pueden manejar son

limitadas. Ademas, estos metodos no escalan bien con el tamano del problema y

no resultan aplicables para problemas de estimacion con un numero relativamente

grande de parametros como los considerados en este trabajo. Por otra parte, los

problemas de diseno optimo no garantizan el cumplimiento de las condiciones ne-

cesarias para la aplicacion de estos metodos ya que la funcion objetivo depende no

solo de los estados sino tambien de las sensibilidades parametricas.

Una revision extensa de estos metodos esta fuera de los objetivos de este trabajo

y puede encontrarse en Pinter (1996) y Floudas (2000).

7.2.2. Metodos estocasticos

Con respecto a los metodos estocasticos, muchos investigadores han demostrado

que estos pueden localizar la vecindad de la solucion global para problemas NLOs

con bastante eficicencia (Banga et al., 1991; Luus, 1993; Banga et al., 1997; Ali

et al., 1997; Wang y Chiou, 1997; Moles et al., 2003b; Banga et al., 2003). No

obstante, los metodos estocasticos son metodos basados en algoritmos probabilısticos

y, por lo tanto, se debe sacrificar la posibilidad de una garantıa absoluta de exito.

En su lugar, algunos metodos disponen de pruebas de convergencia asintoticas que

garantizan que, a medida que aumenta el esfuerzo computacional, la probabilidad de

encontrar el optimo global se acerca a la unidad (Guus et al., 1995). Sin embargo, en

muchas situaciones practicas estos metodos resultan satisfactorios y proporcionan

una solucion “suficientemente buena” que a menudo es la mejor disponible, en un

tiempo computacional reducido. Ademas, los metodos estocasticos resultan faciles

de implementar y de usar, y no requieren la transformacion del problema original

que puede ser tratado como una caja negra.

Debido al gran interes por el estudio de tecnicas que permitan resolver proble-

mas de gran complejidad que no pueden ser resueltos por los metodos tradicionales,

el numero de algoritmos estocasticos ha experimentado un crecimiento muy rapido

(ver revision por Osman y Laporte (1996) con mas de 1300 referencias). Resulta

difıcil hacer una clasificacion exhaustiva de todos los metodos existentes por lo que

a continuacion se presentara una clasificacion de los tipos de metodos mas significa-

tivos:

Page 86: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

58 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

Metodos de busqueda aleatoria y metodos estocasticos adaptativos:

tienen sus orıgenes en investigaciones realizadas a lo largo de los anos cin-

cuenta y sesenta (Brooks, 1958; Matyas, 1965; Rastrigin y Rubinstein, 1969).

Basandose en estas investigaciones, en la ultima decada se han desarrollado

metodos mas refinados y eficientes (p. ej. Zabinsky y Smith, 1992; Banga y

Seider, 1996; Torn et al., 1999).

Metodos de agrupamiento: (clustering) derivan de los conceptos basicos de

los metodos multi-start, es decir, metodos locales que comienzan en distintos

puntos iniciales. Los metodos de agrupamiento son mas eficientes y robustos

que los multi-start ya que tratan de identificar la vecindad de los optimo locales,

e incrementan su eficiencia evitando la determinacion repetida de las mismas

soluciones locales (Torn, 1973; Rinnooy-Kan y Timmer, 1987).

Computacion evolutiva: la mayorıa de estos algoritmos fueron creados si-

guiendo ideas de la evolucion biologica pero en la practica pueden ser con-

siderados como metodos adaptativos estocasticos basados en poblaciones. Al

menos tres clases fueron desarrolladas independientemente a finales de los anos

sesenta y principios de los setenta: algoritmos geneticos (Genetic Algorithms,

GAs) (Holland, 1975; Goldberg, 1989), programacion evolutiva (Evolutionary

Programming, EP) (Fogel et al., 1966) y estrategias evolutivas (Evolution Stra-

tegies, ES) (Schwefel, 1995; Beyer, 1996; Beyer y Schwefel, 2002).

Templado simulado: (Simulated Annealing, SA) este metodo y sus variantes

fueron desarrollados originariamente para problemas combinatorios. Su base

esta en la simulacion de un cierto fenomeno natural que tiene lugar a nivel

atomico, relativo al enfriamiento de metales (Kirkpatrick et al., 1983; Laarho-

ven y Aarts, 1987).

Otros metodos inspirados en la biologıa y metaheurısticas: en los ulti-

mos anos se han presentado un gran numero de las denominadas metaheurısti-

cas, la mayor parte de ellas basadas en fenomenos biologicos o fısicos, desarro-

lladas en primera instancia para problemas combinatorios. Algunos ejemplos

son el metodo de la colonia de hormigas (Ant Colony Optimization, ACO) (Do-

rigo et al., 1996; Bonabeau et al., 2000), el metodo del enjambre de partıculas

(Particle Swarm Method) (Bonabeau et al., 1999) y el metodo de busqueda

tabu (Tabu Search, TS) desarrollado por Glover y Laguna (1997) basandose

en conceptos del campo de la Inteligencia Artificial. En este grupo se debe

tambien destacar el metodo de busqueda dispersa (Scatter Search, SS) intro-

ducido por Glover (1977) como una heurıstica para programacion entera. A

Page 87: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.2. Metodos globales 59

partir de la publicacion de Glover (1998), SS ha empezado a ser utilizado por

numerosos investigadores para la resolucion de NLOs complejos obteniendo

resultados de gran calidad. Una revision de estas y otras tecnicas recientes

puede encontrarse en Corne et al. (1999) y Michalewicz y Fogel (2000) entre

otros.

En la actualidad, los tipos de metodos estocasticos mas populares son los algorit-

mos geneticos (GAs) y los de templado simulado (SA). Sin embargo, segun nuestra

propia experiencia y como muchos autores han senalado en los ultimos anos (Banga

et al., 2003; Moles et al., 2003b), los GAs y SA, disenados en primera instancia

para problemas combinatorios (con variables enteras), no son normalmente los al-

goritmos mas eficientes y robustos para la optimizacion global en variables reales.

La eleccion de un metodo para un cierto tipo de problemas de GO es complicada

y la bibliografıa al respecto esta muy fragmentada, por lo que en muchos casos la

eleccion esta basada mas en la predileccion del autor por un tipo de tecnicas que en

criterios racionales (Preux y Talbi, 1999). Aunque este continua siendo un tema de

gran debate, sin embargo, Wolpert y MacReady (1997) han demostrado a traves del

teorema “no hay comida gratis” (No Free Lunch, NFL) que no existe ningun meto-

do que pueda ser considerado mejor que los demas para la resolucion de problemas

generales de optimizacion global de estructura desconocida.

No obstante, para el caso de optimizacion global de NLOs y para el caso par-

ticular de estimacion de parametros, diferentes trabajos recientes (Balsa-Canto et

al., 1998; Moles et al., 2003a; Moles et al., 2003b) indican que ciertos metodos

estocasticos simples, en concreto el metodo Evolucion Diferencial (Differential Evo-

lution, DE) (Storn y Price, 1997) y ciertas estrategias evolutivas como la Estrategia

Evolutiva con Ranking Estocastico (Stochastic Ranking Evolution Strategy, SRES)

desarrollada por Runarsson y Yao (2000, 2005) presentan un comportamiento mejor

en terminos de eficiencia y robustez. Ademas estas estrategias escalan bien con el

tamano del problema y permiten ser paralelizados muy facilmente, lo que signifi-

ca que los problemas de mediana o gran escala podran ser resueltos en un tiempo

computacional razonable.

Por estos motivos, estos dos seran los metodos estocasticos considerados en el

presente estudio y serviran tambien de base para la creacion de metodos hıbridos

que mejoren su eficiencia manteniendo su robustez:

DE: (Differential Evolution) es un algoritmo heurıstico robusto para la optimiza-

cion global de funciones no lineales continuas y posiblemente no diferenciables

desarrollado por Storn y Price (1997). Esta basado en poblaciones y mane-

ja variables estocasticas por medio de un metodo de busqueda directa. Este

Page 88: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

60 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

metodo es muy utilizado por la comunidad de computacion evolutiva y se ha

demostrado que supera a otros algoritmos populares de optimizacion global

como los de templado simulado (SA) o algoritmos geneticos (GAs).

SRES: (Stochastic Ranking Evolution Strategy) desarrollado por Runarsson y Yao

(2000, 2005), consiste en una estrategia evolutiva combinada con una aproxi-

macion denominada clasificacion estocastica (Stochastic Ranking) para equili-

brar de modo estocastico la funcion objetivo y las funciones de penalizacion.

En este algoritmo tipo (µ, λ)-ES, la funcion objetivo y las funciones de pena-

lizacion para cada individuo se emplean para clasificar los individuos de una

poblacion, y los individuos mejor clasificados (µ de λ) son seleccionados pa-

ra la siguiente generacion. Este hecho lo hace especialmente atractivo para la

resolucion de problemas con restricciones.

7.2.3. Metodos hıbridos

La idea clave de los metodos hıbridos esta en el concepto de sinergia, esto es,

union de varios elementos cuyo resultado aprovecha y maximiza las cualidades de

cada uno de ellos. Las metodologıas hıbridas han recibido un interes creciente en

los ultimos anos y se han propuesto una gran variedad de aproximaciones (ver Talbi

(2002) con referencias a casi 100 algoritmos hıbridos diferentes). Las combinaciones

de algoritmos como templado simulado (SA), algoritmos evolutivos y otras me-

taheurısticas han proporcionado metodos de busqueda eficientes y robustos dando

lugar a que los mejores resultados para muchas aplicaciones practicas fueran ob-

tenidos mediante hıbridos. Sin embargo, la hibridacion de algoritmos es una tarea

delicada en donde la eleccion de los metodos a combinar y el modo de estructurar

dicha combinacion juegan un papel clave.

Una primera clasificacion de los metodos hıbridos puede hacerse segun el tipo de

hibridacion, secuencial o paralela (Preux y Talbi, 1999):

Hibridacion secuencial

La hibridacion secuencial es aquella en la que dos o mas algoritmos son aplicados

uno despues de otro, utilizando cada uno de ellos el resultado del anterior como

punto inicial. Numerosos autores han utilizado la idea de hibridacion secuencial

dando lugar a muchos esquemas diferentes: varios metodos estocasticos combinados

entre si, un algoritmo voraz para generar una buena poblacion para un algoritmo

evolutivo, un metodo estocastico con uno determinista local, etc.

Page 89: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.2. Metodos globales 61

Una caracterıstica comun de la mayorıa de los metodos estocasticos de optimi-

zacion es que presentan una velocidad de convergencia relativamente lenta, especial-

mente en la ultima etapa de la busqueda. Esto puede ocasionar tiempos de calculo

excesivos, especialmente si se requiere una gran precision en la solucion. Por el con-

trario, los metodos locales deterministas (como aquellos basados en el gradiente)

convergen muy rapido si se inicializan adecuadamente, es decir, dentro del radio de

atraccion de la solucion global. Por este motivo, los metodos que combinan de forma

secuencial un algoritmo estocastico en la primera fase y un algoritmo local basado en

gradiente en la segunda son bastante frecuentes y han demostrado ser muy eficientes

(Banga y Seider, 1996; Banga et al., 2005; Rodriguez-Fernandez et al., 2006).

El problema fundamental de la hibridacion secuencial radica en decidir cuando

parar un algoritmo e iniciar el siguiente. Una posibilidad consiste en esperar a que

la busqueda se estabilice, pero podrıa existir un punto anterior a la estabilizacion

desde el cual el siguiente algoritmo ya se encontrarıa en la zona de atraccion de la

solucion global, por lo que comenzar en ese punto serıa mas eficiente. Por otra parte,

una inicializacion demasiado temprana puede hacer que, si el segundo algoritmo es

de naturaleza local, este quede atrapado en la zona de convergencia de una solu-

cion local. Por lo tanto, una estrategia adecuada para elegir este punto de cambio

sera imprescindible para el buen funcionamiento del metodo hıbrido secuencial.

Hibridacion paralela

Dependiendo del tamano del problema a tratar, sera conveniente considerar im-

plementaciones paralelas de los metodos a utilizar. Sin embargo, se debe distinguir

entre la mera paralelizacion de un algoritmo secuencial y una implementacion de

un algoritmo paralelo. Una implementacion en paralelo de un algoritmo trata de

mantener la esencia de la busqueda secuencial mientras que los algoritmos hıbridos

paralelos son una sub-clase de algoritmos estocasticos que se comportan de modo

diferente a los secuenciales. Dentro de estos metodos se debe distinguir entre la

hibridacion paralela sincronica y asincronica.

La idea fundamental de la hibridacion paralela sincronica es la utilizacion de un

algoritmo como un operador de otro. Un ejemplo de este tipo de hibridacion serıa

emplear un algoritmo evolutivo como estrategia de busqueda principal en donde, los

tradicionales operadores matematicos utilizados en las etapas de recombinacion y/o

mutacion, son sustituidos por otro algoritmo que puede ser desde un metodo local

tradicional hasta un metodo tabu o incluso un algoritmo de templado simulado SA.

Este tipo de hibridacion se denomina hibridacion paralela sincronica porque en ella

los diferentes algoritmos estan sincronizados con precision.

Page 90: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

62 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

Basicamente, el esquema de la hibridacion paralela asincronica implica varios

algoritmos realizando una busqueda en un determinado espacio o sub-espacio, y

cooperando para encontrar el optimo intercambiando informacion. Los algoritmos

que cooperan pueden ser todos identicos dando lugar a metodos homogeneos, o

diferentes, en cuyo caso el metodo resultante se denominara heterogeneo.

7.3. Desarrollo de un metodo hıbrido secuencial

En una contribucion reciente (Moles et al., 2003b), se consideraron varios meto-

dos de optimizacion global, tanto deterministas como estocasticos, para resolver un

problema de estimacion de parametros relativamente complejo, asociado a una ruta

bioquımica. Solo un cierto tipo de algoritmos estocasticos, las estrategias evolutivas

(ES), fue capaz de resolverlo satisfactoriamente. El mejor resultado fue obtenido con

el metodo SRES, aunque con un elevado tiempo de calculo.

Los algoritmos evolutivos simulan mas o menos un proceso natural. Una propie-

dad basica de estos procesos evolutivos es que la poblacion que actua en ellos se

vuelve cada vez mas uniforme, por lo que, empezando con una poblacion aleatoria,

todos sus individuos se vuelven muy parecidos despues de un cierto periodo de tiem-

po. La uniformizacion de los genotipos esta relacionada con la estabilizacion de la

aptitud media de la poblacion. Si se observa la evolucion a lo largo del tiempo de

la aptitud media de la poblacion de los algoritmos evolutivos, se ve claramente que

esta tiende a converger y que la estabilizacion es bastante rapida. De este modo, es-

tos metodos seran relativamente rapidos en encontrar la vecindad del optimo global

pero se haran especialmente lentos en la ultima fase de la busqueda si se requiere

una solucion refinada.

Por otra parte, se ha demostrado que ciertos metodos locales deterministas, como

los presentados en la seccion 7.1.3, convergen muy rapido si son inicializados desde

un punto que se encuentre dentro de la zona de atraccion de la solucion global.

En el presente estudio se ha utilizado el metodo hıbrido secuencial en dos fases

presentado en Rodriguez-Fernandez et al. (2006) para problemas de estimacion de

parametros. En la primera fase de este metodo hıbrido se utiliza un metodo global

estocastico, SRES. El metodo estocastico se interrumpe cuando se satisface un cri-

terio de parada relativamente amplio. A pesar de que este criterio no asegura una

solucion final apropiada, se elige lo suficientemente ajustado para asegurar que se

ha encontrado un punto en la vecindad de la solucion global. La segunda fase se

inicializa desde este punto y se lleva a cabo por tecnicas rapidas de estimacion de

parametros basadas en el gradiente. En este trabajo, se ha utilizado el metodo n2fb

Page 91: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.3. Desarrollo de un metodo hıbrido secuencial 63

(Denis et al., 1981) con muy buenos resultados.

7.3.1. Ajuste del metodo hıbrido secuencial

Una vez que el metodo global y el local han sido seleccionados, se debe tratar la

cuestion de como estructurar su combinacion. Aquı se ha elegido una aproximacion

hıbrida secuencial de dos fases por lo que el asunto clave sera decidir la cantidad

de busqueda a realizar por cada metodo, es decir, el ajuste del hıbrido. En nues-

tra propuesta, el usuario debe especificar previamente el criterio de parada para el

metodo estocastico y para el determinista local, SC1 y SC2. El valor asignado a SC1

establece el punto de cambio entre la busqueda global y la local, y en cierto modo

controla la robustez del hıbrido, es decir, la probabilidad de convergencia a la ve-

cindad de la solucion global. Por lo tanto, este debe elegirse de modo que se asegure

que el metodo estocastico va a llegar a un punto dentro del radio de convergencia

del metodo determinista al optimo global. Por otra parte, el valor elegido para SC2

sera crucial a la hora de minimizar el tiempo de computacion final asegurando a su

vez una solucion muy cercana a la verdaderamente global. De este modo, uno debe

encontrar el mejor ajuste, es decir, un compromiso entre robustez y eficiencia.

Debe destacarse, que la eleccion de unos criterios SC1 y SC2 adecuados es de-

pendiente del problema, por lo que, en general, el ajuste del metodo hıbrido debe

realizarse para cada clase especıfica de problemas. En otras palabras, y como ocurre

con todos los metodos estocasticos en general, no hay ningun procedimiento analıti-

co a priori para derivar, en base a las caracterısticas estructurales del problema,

rangos aconsejables para los criterios de parada. Esta dependencia es especialmente

relevante en problemas con restricciones dinamicas no lineales como los considerados

en el presente trabajo. Sin embargo, esta ampliamente aceptado que los metodos es-

tocasticos, o sus hıbridos, pueden ser ajustados en base a resultados empıricos para

clases especıficas. De hecho, esta aproximacion ha dado lugar a los mejores metodos

que se conocen para muchas clases de problemas (Michalewicz y Fogel, 2000).

Basandose en la experiencia, se ha ideado una heurıstica simple para ajustar el

punto de cambio (eleccion de SC1) del metodo hıbrido. Comenzando con las curvas

de convergencia (historiales de la funcion objetivo y de los vectores de decision fren-

te al tiempo de CPU) obtenidos con algunas optimizaciones del metodo estocastico

puro, se selecciona un numero de posibles puntos de cambio, en la mayorıa de los

casos igualmente distribuidos en la escala lineal de tiempos de CPU. El metodo de

optimizacion local se inicia desde estos puntos, y se registran las curvas de con-

vergencia. En general, se va a obtener un cierto numero de puntos de cambio que

convergen a soluciones locales (normalmente los que corresponden a tiempos mas

Page 92: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

64 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

tempranos), y un conjunto de puntos que convergen a la mejor solucion conocida

(o su vecindad proxima, dependiendo del valor de SC2 elegido), que sera considera-

da como la global. En general, no se tendra ningun conocimiento a priori sobre la

solucion global, por lo que esta ultima suposicion es la tıpica de cualquier esquema

que incorpore metodos estocasticos. Por supuesto, en el caso de problemas sinteti-

cos (como algunos de los considerados aquı), se esta en mejor posicion de evaluar la

eficacia del hıbrido, por que la solucion global es conocida.

De estos datos se encontrara una region de valores admisibles para SC1 que re-

presentan un compromiso entre robustez y eficiencia, en otras palabras, estos valores

aseguran la convergencia final a la vecindad proxima de la mejor solucion (robustez)

manteniendo el tiempo computacional total (global mas local) en valores razonables

(eficiencia). Ademas, es importante destacar que este proceso de ajuste preliminar

no incrementa significativamente el esfuerzo computacional total comparado con el

uso del metodo estocastico puro, ya que: (i) el metodo estocastico se para prema-

turamente y (ii) las curvas de convergencia de un metodo estocastico pueden ser

reutilizadas.

En es este punto debe recordarse que los metodos estocasticos (ver revision en

Moles et al., 2003b) pueden normalmente proporcionar muy buenas soluciones (cer-

ca de las globales), pero no proporcionan garantıas totales (o solo de modo proba-

bilıstico debil). Por lo tanto, cualquier aproximacion hıbrida que este basada en

una primera fase de busqueda global estocastica sufrira la misma limitacion basica,

incluso si el metodo de cambio es muy sofisticado (lo que, en cualquier caso, solo

puede ser considerado como una heurıstica mas refinada).

7.4. Metodo hıbrido paralelo sincronico

Con objeto de incrementar aun mas la robustez y la eficiencia computacional,

en nuestro grupo se ha implementado una nueva metaheurıstica basada en Scatter

Search (SS), conocido en castellano como busqueda dispersa (Egea et. al, 2006).

Con esta metaheurıstica combinada con varios metodos locales, se consigue una

aceleracion de mas de un orden de magnitud con respecto a los resultados previos.

Ademas este metodo elimina la delicada tarea de decidir donde colocar el punto de

cambio entre el metodo global y el local.

En una reciente revision en la que se comparan un buen numero de metodos de

optimizacion global en un conjunto de 1000 problemas de optimizacion global con

restricciones (Neumaier et al, 2005), el metodo llamado OQNLP (basado en Scatter

Search) resulto ser el mejor de todos los estocasticos. Ademas, OQNLP resolvio el

Page 93: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.4. Metodo hıbrido paralelo sincronico 65

mayor porcentaje de problemas con un alto numero de variables de decision. Esta

es la justificacion para elegir e implementar un algoritmo hıbrido basado en Scatter

Search para resolver nuestros problemas de optimizacion global.

Cuando la busqueda local esta activada, Scatter Search puede definirse como un

metodo hıbrido paralelo sincronico ya que combina una busqueda global con una

intensificacion (es decir, busqueda local). El algoritmo utiliza distintas heurısticas

para elegir eficientemente puntos iniciales para la busqueda local, basadas en filtros

de merito y de distancia ası como un termino de memoria, lo que ayuda a superar

el problema del cambio de la busqueda global a la local.

Scatter Search es un metodo de poblaciones basado en formulaciones original-

mente propuestas en los anos 60 para combinar reglas de decision y problemas con

restricciones, como el metodo de restricciones subrogadas. Este fue introducido por

primera vez por Glover (1977) como una heurıstica para programacion entera. Scat-

ter Search orienta sus exploraciones sistematicamente en relacion a un conjunto de

puntos de referencia que normalmente esta compuesto por buenas soluciones obte-

nidas en anteriores esfuerzos por resolver el problema.

Es interesante observar las similitudes y las diferencias entre Scatter Search y las

propuestas originales de los algoritmos geneticos. Ambos son metodos basados en

poblaciones, o estrategias evolutivas. Ambos incorporan la idea de que un aspecto

clave para producir nuevos elementos es la generacion de alguna forma de combina-

cion de los elementos existentes. Sin embargo, los GAs se basan en la idea de elegir a

los padres aleatoriamente para producir descendencia, y ademas en introducir alea-

toriedad para determinar que componentes de los padres deben ser combinados. A

diferencia de esto, Scatter Search no enfatiza la aleatoriedad, particularmente en el

sentido de ser indiferente a la eleccion entre alternativas. En lugar de esto, SS in-

corpora respuestas estrategicas tanto deterministas como probabilısticas, que tienen

en cuenta las evaluaciones y la historia. Debido al modo en que el proceso de gene-

racion esta implementado, esta propuesta se centra en generar resultados relevantes

sin perder la habilidad de producir soluciones diversas.

En Laguna y Marti (2003) se da un esquema en cinco pasos para describir las

etapas basicas del algoritmo (ver Figura 7.3):

I.– Metodo de generacion de soluciones diversas: el algoritmo comienza

generando un conjunto inicial de soluciones diversas (alrededor de 100), del

que se extrae un subconjunto pequeno (alrededor de b = 10) que se denomi-

nara conjunto de referencia RefSet.

II.– Metodo de mejora: tıpicamente se trata de un metodo de busqueda local

Page 94: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

66 Capıtulo 7. Metodos de optimizacion

NO

NO

NO

NO

SÍ SÍ

Formación del RefSet

Combinación elementos RefSet

¿Llamadamétodolocal?

¿Pasa filtros?

¿Elementos no

combinados?

¿Satisfaccióncriterio deparada?

ActualizaciónRefSet

RegeneraciónRefSet

Resultados

Cálculoresultados

método local

Generación de Soluciones Diversas

Figura 7.3: Esquema de funcionamiento de Scatter Search

para mejorar las soluciones, tanto del conjunto de referencia como las combi-

nadas antes de estudiar su inclusion en el conjunto de referencia.

III.– Metodo de actualizacion del conjunto de referencia: las soluciones del

conjunto de referencia RefSet estan ordenadas de mejor a peor con respecto

a su calidad, de modo que el acceso de otras partes del metodo sea eficiente.

Las soluciones entran a formar parte de este conjunto en funcion de criterios

de calidad y diversidad.

IV.– Metodo de generacion de subconjuntos: metodo para generar subconjun-

tos del RefSet a los que se aplicara el metodo de combinacion. Scatter Search

se basa en examinar de forma bastante exhaustiva todas las combinaciones del

RefSet y este metodo especifica la forma en que se seleccionan los subconjuntos

para aplicarles el metodo de combinacion.

Page 95: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

7.4. Metodo hıbrido paralelo sincronico 67

V.– Metodo de combinacion de soluciones: metodo de combinacion para

transformar un subconjunto dado de soluciones producidas por el Metodo de

generacion de subconjuntos en uno o mas vectores combinados.

Las diferencias entre las distintas implementaciones de Scatter Search se basan en

el nivel de sofisticacion con el que estan implementados los pasos, no en la presencia

o ausencia de otros pasos. En nuestra implementacion, llamada SSm (Scatter Search

para Matlab), se han anadido algunas caracterısticas avanzadas:

El usuario puede elegir una distribucion logarıtmica para la generacion de so-

luciones iniciales con objeto de favorecer su presencia cerca de los lımites en

terminos de distancia euclıdea, ya que en problemas de estimacion de parame-

tros es bastante usual que el optimo global se encuentre cerca de los lımites

inferiores.

Se han anadido mecanismos para evitar zonas planas (tambien frecuentes en

problemas de estimacion de parametros) ası como otros para no quedar atra-

pado en soluciones locales pequenas.

Un nuevo metodo de combinacion permite explorar con mayor profundidad el

espacio de busqueda.

Cuando ya se han hecho todas las combinaciones entre las soluciones del Ref-

Set, el algoritmo puede parar o continuar mediante la reconstruccion parcial

del conjunto de soluciones de elite. Se ha implementado una nueva estrategia

para reconstruir este conjunto, basada en direcciones de busqueda ortogonales.

El usuario puede elegir entre un amplio numero de metodos locales SQP como

fmincon (The MathWorks Inc.), solnp (Ye, 1987), npsol (Gill et al, 1998),

snopt (Gill et al, 2002), metodos directos como NOMADm (Abramson, 2002)

para casos con datos con mucho ruido, y otros especıficamente disenados para

problemas de estimacion de parametros como n2fb/dn2fb de Dennis et al.

(1981).

Page 96: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 97: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 8

GOSBio: entorno para modelado e

identificacion

El desarrollo de modelos matematicos puede ser considerado como un ciclo y

debe comprender una serie de pasos. La omision de alguna de estas etapas pue-

de dar lugar a modelos erroneos o de baja capacidad predictiva. Por este motivo,

en el presente estudio se ha acoplado el uso de metodos de optimizacion global

para la estimacion de parametros y el diseno optimo de experimentos con otros

procedimientos computacionales para analizar la identificabilidad y otras medidas

asociadas. Todas estas tareas fueron implementadas en Matlab (The Mathworks

Inc.) creando pasarelas adecuadas para llamar a codigos Fortran externos cuando

resulto necesario. Estos codigos Fortran fueron implementados como librerıas de en-

lace dinamicas (dynamic link libraries, .dll) dando lugar a un entorno integrado,

denominado GOSBio (Global Optimization for Systems Biology), capaz de llevar a

cabo la estimacion robusta de parametros, el analisis de identificabilidad y el di-

seno optimo de experimentos dinamicos (Rodriguez-Fernandez y Balsa-Canto, 2006;

Balsa-Canto y Rodriguez-Fernandez, 2006).

Para utilizar estas herramientas, el usuario tiene que especificar el modelo y

otros datos (por ejemplo, los valores iniciales de los estados, los tiempos a los que

se efectuan las medidas o las variables manipulables en el OED) en un fichero de

entrada.

GOSBio llevara a cabo entonces la estimacion de parametros y/o el diseno optimo

de experimentos evaluando a su vez la identificabilidad y otras medidas del modo

que se detalla a continuacion.

Los resultados, ademas de presentarse por pantalla en tiempo real, se guardan

en un fichero de datos de salida y en una serie de ficheros graficos.

69

Page 98: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

70 Capıtulo 8. GOSBio: entorno para modelado e identificacion

8.1. Descripcion de la metodologıa

Las principales etapas del entorno GOSBio pueden esquematizarse del siguiente

modo (ver Figura 8.1):

Modelopropuesto

Modeloadecuado

Cálculosensibilidades

Estimaciónparámetros

Ránkingparámetros

Análisis identificabilidadteórica

Diseñoexperimentos

CómputoFIM

Análisis identificabilidadpráctica

Cálculo intervalosde confianza

Validación delmodelo

Modelo noadecuado

Obtención datosexperimentales

Modificar modelo

NOSÍ

NO

NO

Figura 8.1: Esquema de GOSBio

Paso 1: Calculo de las sensibilidades parametricas (derivadas parciales de los esta-

dos con respecto a los parametros) para un valor dado del conjunto de parame-

tros. En el caso de problemas sinteticos (aquellos en los que los datos son

pseudo-experimentales calculados mediante simulacion) las sensibilidades se

calcularan para los valores nominales. Sin embargo, en el caso de datos reales,

cuando este paso se realiza previo a cualquier estimacion de parametros, se

emplearan los valores de los parametros disponibles en la bibliografıa u otras

fuentes. De no disponer de ninguna informacion previa sobre el valor de los

parametros, se considerara el punto medio entre los lımites definidos para la

estimacion.

Paso 2: Computo de las sensibilidades relativas a partir de las sensibilidades abso-

lutas obtenidas en el paso anterior y del valor de los estados obtenido mediante

simulacion. Empleando las sensibilidades relativas se procede al calculo del va-

lor de los cinco criterios δmsqr, δmabs, δmean, δmax y δmin explicados en la seccion

3.3 y a la clasificacion de los parametros en orden decreciente de δmsqr dando

lugar a un ranking de importancia.

Page 99: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

8.1. Descripcion de la metodologıa 71

Paso 3: Analisis de la identificabilidad a priori local mediante la construccion de la

matriz de correlacion a priori y eliminacion de los parametros no identificables

y/o redundantes a partir de la informacion proporcionada por este analisis y

el ranking de parametros.

Dado que esta eliminacion de parametros no identificables esta basada en un

analisis local (para un valor concreto de los parametros) este paso debe realizar-

se iterativamente. El analisis de identificabilidad local para distintos conjuntos

de parametros puede dar lugar a conclusiones diferentes sobre la identificabi-

lidad de los mismos. Por ello, una vez realizada la estimacion, debe volverse al

Paso 1 para calcular las sensibilidades para los nuevos valores incluyendo de

nuevo los parametros descartados en etapas anteriores.

Paso 4: Estimacion de los parametros mediante metodos de optimizacion global a

partir de los datos experimentales disponibles. Los metodos empleados permi-

ten manejar con robustez medidas con ruido y observaciones parciales.

Paso 5: Computo de las sensibilidades parametricas para los valores obtenidos de

la estimacion de modo analogo al paso 1 y construccion de la matriz de infor-

macion de Fisher (FIM), la matriz de covarianza y la de correlacion.

Paso 6: Calculo del numero de condicion (rcond) de la FIM para determinar si

esta es singular en cuyo caso el modelo se considera practicamente no identi-

ficable debido probablemente a experimentos no informativos (asumiendo que

el modelo es estructuralmente identificable e identificable a priori).

Paso 7: Analisis de las posibles correlaciones entre pares de parametros mediante

la matriz de correlacion.

Paso 8: Computo de los intervalos de confianza del 95 % a partir de la FIM y

mediante el metodo de Monte Carlo ofreciendo una medida objetiva sobre la

precision de los parametros estimados.

Paso 9: Validacion del modelo: a pesar de que no existe ningun metodo que pueda

garantizar la validez de un modelo con total certeza, es necesario investigar el

comportamiento del mismo de modo que, si supera todas las pruebas de invali-

dacion a las que es sometido, se pueda considerar satisfactorio. Este programa

permite realizar distintas pruebas de invalidacion:

observacion de las graficas correspondientes al ajuste de las predicciones

del modelo con respecto a los datos experimentales

Page 100: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

72 Capıtulo 8. GOSBio: entorno para modelado e identificacion

metodos estadısticos basados en los errores de prediccion (los residuos

deben tener media cero, estar distribuidos de forma simetrica y ser inde-

pendientes del tiempo y de las entradas)

estudio del comportamiento del modelo con conjuntos de datos indepen-

dientes (datos no empleados para la calibracion)

analisis de la precision de los parametros estimados mediante los interva-

los de confianza

Paso 10: Diseno optimo de nuevos experimentos dinamicos mediante metodos de

optimizacion global con objeto de mejorar la identificabilidad y la precision

de los parametros estimados. El programa permite al usuario elegir la funcion

escalar de la matriz de informacion de Fisher que desea emplear como funcion

objetivo (criterio A, A-Modificado, D, E o E-modificado).

8.2. Fichero de entrada

El fichero de entrada contiene toda la informacion necesaria para llevar a cabo la

estimacion de parametros y/o el diseno optimo de experimentos. En el Apendice A

se da un ejemplo de un fichero de entrada que debe contener la siguiente informacion:

8.2.1. Modelo matematico

El sistema de ODEs o DAEs que describe el modelo debe proporcionarse en

alguna de estas formas:

1. Fichero Fortran de nombre fcn.f con la siguiente estructura:

SUBROUTINE FCN(N,X,Y,YDOT,PAR,IPAR,U)

IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)

DIMENSION Y(N),YDOT(N),PAR(*),IPAR(*),U(*)

YDOT=F(...) OR M*YDOT=F(...)

RETURN

END

Los sistemas de ODEs se resolveran mediante los integradores rkf45 (Sham-

pine et al., 1976) o radau5 (Hairer y Wanner, 1996) y los de DAEs mediante

radau5.

2. Fichero Matlab, fcn.m, de estructura:

function yteor = fcn(t,y,par)

Page 101: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

8.2. Fichero de entrada 73

El sistema se resolvera mediante el integrador de Matlab ode15s.m.

3. Vector problem input.ydot, tipo caracter, incluyendo las ecuaciones. A par-

tir de este vector el programa generara un fichero Fortran y el sistema se

resolvera mediante los integradores rkf45 o radau5.

8.2.2. Datos de entrada

problem input.n states: numero de variables de estado.

problem input.y0: vector de condiciones iniciales.

problem input.sens0: matriz de valores iniciales de las sensibilidades. Esta

matriz sera cero a menos que la condicion inicial para un estado en particular

dependa de un parametro.

problem input.n par: numero de parametros del modelo.

problem input.par: valores nominales de los parametros.

problem input.n theta par: numero de parametros a estimar.

problem input.index theta par: ındice de los parametros a estimar.

problem input.n exp: numero de experimentos.

problem input.n theta y0: numero de condiciones iniciales a estimar.

problem input.index theta y0: ındice de las condiciones iniciales a estimar.

problem input.n obs: numero de variables medidas.

problem input.ms: vector de estados medidos o funciones de observacion.

problem input.n m: numero de medidas por experimento.

problem input.t m: vector de tiempos de las medidas.

problem input.measurement type: tipo de medidas.

- real: el usuario debe proporcionar los datos experimentales

- sim: el codigo generara datos pseudo-experimentales

problem input.exp data: datos experimentales.

problem input.rel error: error relativo anadido a los datos simulados.

Page 102: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

74 Capıtulo 8. GOSBio: entorno para modelado e identificacion

problem input.noise type: tipo de error de los datos pseudo-experimentales.

- 0: exp data = yteor*(1+rel error*rand)

- 1: exp data = yteor+rel error*rand

problem input.fobj type:

Para estimacion de parametros:

- 0: mınimos cuadrados sin normalizacion

- 1: normalizacion con max(exp data)

Para diseno optimo de experimentos:

- A optimality = trace(inv(FIM))

- A modified = -trace(FIM)

- D optimality = -det(FIM)

- E optimality = max(abs(eig(inv(FIM))))

- E modified = max(abs(eig(FIM)))/min(abs(eig(FIM)))

problem input.n u: numero de variables de control.

problem input.n con: numero de escalones de control.

problem input.u: valor de las variables de control.

problem input.t con: vector de tiempos para los cambios en el control.

ivp solver.name: nombre del integrador.

- ode15s: integrador de Matlab para ODEs y DAEs

- radau5: integrador Runge-Kutta en Fortran adecuado para DAEs

- rkf45: integrador Runge-Kutta-Fehlberg en Fortran para ODEs

ivp solver.sens: metodo de calculo de las sensibilidades parametricas.

- ODESSA: metodo BDF implementado en Fortran

- finite differences: metodo de diferencias finitas

opt solver.name:

- DE: Differential Evolution

- SRES: Stochastic Ranking Evolutionary Search

Page 103: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

8.3. Ficheros de salida 75

- SSm: Scatter Search para Matlab 2.5

- only local: metodo local a elegir entre clssolve, fmincon, n2fb, dn2fb,

NOMADm, npsol, snopt y solnp

- multistart: multi-start de cualquiera de los metodos locales

- simulate: realiza solo la simulacion

opt solver.par guess/par min/par max: valores iniciales y lımites inferiores

y superiores para los parametros a estimar.

opt solver.y0 guess/y0 min/y0 max: valores iniciales y lımites inferiores y

superiores para las condiciones iniciales a estimar.

opt solver.u guess/u min/u max: valores iniciales y lımites inferiores y su-

periores para los controles en OED.

opt solver.t f/tf min/tf max: valor inicial y lımite inferior y superior para

el tiempo final en OED.

results.folder: nombre de la carpeta donde se guardaran los resultados.

results.report: nombre del fichero del informe de resultados.

8.3. Ficheros de salida

8.3.1. Datos

El programa GOSBio genera un fichero de texto con los datos mas relevantes y

una estructura de datos de Matlab (.mat) con todas las entradas proporcionadas

por el usuario y todos los resultados obtenidos. Estos dos archivos se guardan en la

carpeta results.folder.

8.3.2. Figuras

Ademas se generan una serie de figuras que se detallan a continuacion. Estas se

muestran en pantalla y son posteriormente almacenadas en la carpeta de resultados

como figuras de Matlab (.fig) y en formato PostScript encapsulado (.eps).

ranking parameters: representacion en el eje de ordenadas del valor de los

cinco criterios relativos al ranking de parametros. En el eje de abscisas se

representan los parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr.

Page 104: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

76 Capıtulo 8. GOSBio: entorno para modelado e identificacion

correlation a priori: representacion de la matriz de correlacion a priori.

Para facilitar su visualizacion, esta matriz se representa en una cuadrıcula

donde el color de cada celda viene dado por el valor de cada uno de los ele-

mentos de la matriz. El color rojo corresponde a 1, el azul a -1 y el verde a 0

mientras que los valores intermedios se representaran por distintas tonalidades

de estos colores. Una barra representando la escala de colores adjunta a cada

grafica facilita la identificacion del valor correspondiente a cada color.

fit plot: representacion de los valores predichos por el modelo para cada

uno de los estados medidos (linea continua) y de los datos experimentales

correspondientes (marcador) a lo largo del tiempo.

residuals plot: representacion de los residuos (diferencia entre los valores

predichos por el modelo y los datos experimentales) en funcion del tiempo.

convergence curve PE: curva de convergencia (valor de la funcion objetivo en

funcion del tiempo) para el metodo de optimizacion elegido para la estimacion

de parametros.

convergence curve OED: curva de convergencia (valor de la funcion objetivo

en funcion del tiempo) para el metodo de optimizacion elegido para el OED.

histogram: histograma de frecuencia de las soluciones para el modo multi-

start.

correlation a posteriori: representacion de la matriz de correlacion a pos-

teriori de forma analoga a la matriz de correlacion a priori.

experiment profile: representacion de los experimentos dinamicos disenados

mediante OED (tiempos de medida y variacion de los controles a lo largo del

tiempo).

confidence plots: representacion de los intervalos de confianza obtenidos

mediante el metodo de Monte Carlo.

least sq plots: representacion de las lıneas de contorno de la funcion objetivo

en el plano parametrico.

Este programa puede ser empleado para la identificacion de un amplio rango

de modelos no lineales. En el presente estudio, su potencial se ilustra mediante la

resolucion de una serie de problemas de la ingenierıa de bioprocesos. Los resultados

obtenidos se muestran en los siguientes capıtulos. Todos los calculos fueron realizados

en un PC/Pentium 4 (1.80 GHz) bajo Windows 2000 y Matlab 6.5.

Page 105: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Parte III

Aplicaciones

Page 106: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 107: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 9

Secado de alimentos

9.1. Introduccion

La creciente demanda de los consumidores con respecto a la calidad de los ali-

mentos y el endurecimiento de las normas de seguridad, han motivado el desarrollo

de metodos de computacion basados en modelos para la simulacion, la optimizacion

y el control de tecnicas para su procesamiento (Datta, 1998; Banga et al., 2003).

El modelado de secado por aire de alimentos ha recibido una gran atencion

durante las ultimas decadas ya que es uno de los metodos de preservacion mas

importantes. Los primeros modelos matematicos simples de este proceso aparecieron

a finales de los anos 70. El desarrollo de nuevas tecnicas numericas y el incremento

de las capacidades computacionales han permitido el aumento de la complejidad

de modelos posteriores. Muchos autores han revisado los distintos avances, ver p.ej.

Bruin y Luyben (1980), Jayaraman y Das Gupta (1992) o Waananen et al. (1993) o,

mas recientemente, Ruiz-Lopez et al. (2004) en el contexto de modelado de procesos

y Banga y Singh (1994) y los trabajos allı citados, en el contexto de optimizacion.

La combinacion de las leyes fısicas de transferencia de masa y de energıa con las

propiedades fısicas del producto alimentario, permiten la prediccion de la variacion

a lo largo del tiempo de las variables de estado relevantes (contenido de humedad y

temperatura), sujetas a diferentes condiciones de secado. Aunque los modelos mas

simples asumen que la contraccion del alimento durante el proceso es despreciable y

que las propiedades de transporte son constantes, se ha ilustrado experimentalmente

que estas suposiciones no son realistas (Balaban, 1989; Park, 1998; Simal et al., 1998)

y que, por lo tanto, cualquier modelo riguroso deberıa considerar estos efectos (ver

una revison mas extensa en Mayor y Sereno (2004)).

En la bibliografıa se han propuesto muchos modelos (la mayorıa empıricos) para

diferentes tipos de alimentos. La mayor parte de ellos son muy no lineales, frecuen-

79

Page 108: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

80 Capıtulo 9. Secado de alimentos

temente exponencialmente no lineales, con respecto al contenido de humedad y a

la temperatura y dependen de varios parametros. Por otro lado, normalmente se

asume que las propiedades de transporte varıan linealmente con la temperatura y

que dependen tambien de uno o dos parametros. Notese que estos parametros no

son medibles directamente por lo que deben ser estimados mediante la resolucion de

un problema de estimacion (calibracion del modelo).

En este capıtulo se considero el analisis de identificabilidad y el problema de

estimacion de parametros en modelos de secado. Como se ha explicado en la parte

correspondiente a Metodologıa, dada la estructura de un modelo para un produc-

to alimentario en particular y un conjunto de datos experimentales, el objetivo de

la estimacion de parametros es calibrar el modelo de modo que reproduzca los re-

sultados experimentales de la mejor forma posible. Aunque aparentemente simple,

la calibracion de modelos no lineales es normalmente una tarea compleja debido a

numerosas razones, entre las que destacan la presencia de problemas de no identifi-

cabilidad (es decir, la imposibilidad de encontrar una solucion unica para todos los

parametros) y la existencia de soluciones sub-optimas y valles muy estrechos o muy

planos donde es muy difıcil progresar hacia la solucion (Rodriguez-Fernandez et al.,

2006; Schittkowski, 2002).

El caracter no lineal de los modelos considerados, tanto con respecto a los

parametros como a los estados, da lugar a menudo a este tipo de dificultades.

En Rodriguez-Fernandez et al. (2004), se considero el problema de estimacion de

parametros en modelos de transferencia de masa y energıa para el procesamiento de

alimentos, ilustrando la necesidad de metodos de optimizacion globales con objeto

de evitar las soluciones espureas encontradas a menudo por los metodos tradicionales

basados en gradiente. Ademas, este estudio revelo la presencia de problemas de iden-

tificabilidad en el modelo considerado que no habıan sido presentados anteriormente.

Por lo tanto, en este capıtulo se propone una aproximacion para la identificacion en

dos pasos que permitira evitar estas dificultades. El primer paso consiste en analizar

la identificabilidad estructural del modelo y el segundo en resolver el problema de

estimacion de parametros utilizando metodos de optimizacion global.

El analisis de identificabilidad estructural se realizo utilizando la llamada apro-

ximacion de Taylor (ver seccion 4.1). El analisis de la funcion de mınimos cuadrados

revelo tambien la presencia de soluciones locales proporcionando una clara motiva-

cion para el empleo de tecnicas de optimizacion global.

Page 109: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

9.2. Modelo matematico 81

9.2. Modelo matematico

Como ejemplo de un modelo de secado de complejidad media, se considero el

secado por aire de una lamina compuesta por agua y celulosa en una bandeja de

secado (ver Figura 9.1). No obstante, los metodos empleados tambien pueden ser

aplicados a modelos de mayor complejidad. La formulacion matematica del modelo

dinamico, en la que estan implicados dos fenomenos acoplados de transferencia de

masa y energıa, fue tomada de Banga y Singh (1994) y se resume a continuacion.

corriente de aire

Tdb

Ts , m

L1 = 3.4 cm

L2 = 3.5 cm

L3 = 0.2 cm

Figura 9.1: Secado por aire de una lamina de celulosa

9.2.1. Transferencia de masa

Se asume que el transporte de agua dentro del solido es el mecanismo de control

y que la fuerza conductora es el gradiente del contenido de humedad. Por lo tanto,

la ecuacion de gobierno sera la ley de Fick para la difusion (segunda ley de Fick):

dm

dt= ∇ (D∇m) (9.1)

Debido al pequeno grosor de la lamina en comparacion con las otras dimensiones,

esta puede ser considerada como un sistema semi-infinito en donde el contenido de

humedad depende solo de la posicion con respecto a la dimension menor. Ademas,

con objeto de tener en cuenta el efecto de la contraccion, se asume que la difusividad

D es una funcion no lineal de ambos, el contenido de humedad y la temperatura,

por lo que la ecuacion (9.1) resulta:

dm

dt= D

(∂2m

∂x2

)+

∂D

∂m

(∂m

∂x

)2

(9.2)

Page 110: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

82 Capıtulo 9. Secado de alimentos

con el valor de la difusividad calculado segun Luyben, Liou, y Bruin (1982):

D = Drefexp

[−ED

R

(1

Ts

− 1

Tref

)](9.3)

donde Dref y ED son funciones del contenido de humedad:

Dref = exp

(−b1 + b2m

1 + b3m

)(9.4)

ED =

(b4 + b5m

1 + b6m

)(9.5)

El contenido medio de humedad de la lamina se calcula utilizando:

mavg =1

L

∫ L

0

m(x)dx (9.6)

ms =ρ0L1L2L3

mavg,0 + 1(9.7)

9.2.2. Transferencia de energıa

Se asume que la temperatura de la lamina es uniforme. Por lo tanto, un balance

de energıa resulta (suposicion de lamina fina):

(msCps + msmavgCpw)dTs

dt= hA (Tdb − Ts) + msλw

(dmavg

dt

)(9.8)

donde el calor latente de vaporizacion λw depende de la temperatura:

λw = α1 − α2Ts (9.9)

El coeficiente de transferencia de calor y el area de la superficie son variables

durante el secado, por lo que hA se estima utilizando una funcion lineal empırica de

la humedad:

hA = A0 (p1mavg + p2) (9.10)

donde:

A0 = 2 (L1L2 + L1L3 + L2L3) (9.11)

El problema tıpico de calibracion consistirıa en calcular los parametros relaciona-

dos con la contraccion y la transferencia de energıa, en nuestro caso bi y pi, basandose

en medidas experimentales del contenido medio de humedad de la lamina mavg y

Page 111: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

9.3. Analisis de identificabilidad estructural 83

de su temperatura Ts a lo largo del tiempo para un conjunto de condiciones experi-

mentales dadas. El resto de los parametros estan disponibles en manuales estandar

(p.ej. aquellos para la vaporizacion de agua).

En un estudio preliminar (Rodriguez-Fernandez et al., 2004), este problema fue

resuelto utilizando metodos de optimizacion global obteniendo varias soluciones (di-

ferentes valores para los parametros), todas ellas capaces de ajustar adecuadamente

los datos experimentales. El hecho de que estas soluciones sean equivalentes y ob-

tenidas utilizando tecnicas de optimizacion global permite concluir que no son el

resultado de la convergencia a soluciones locales sino un claro signo de la falta de

identificabilidad del modelo.

9.3. Analisis de identificabilidad estructural

Con objeto de estudiar la identificabilidad estructural del modelo considerado,

se aplico el metodo de series de Taylor detallado en la seccion 4.1. Para ello, la

ecuacion diferencial parcial (9.2) se transformo primero en un conjunto de ecuaciones

diferenciales ordinarias (ODEs) utilizando el metodo numerico de las lıneas (NMOL)

(Schiesser, 1991) que consiste en la discretizacion del dominio espacial. El secado

por aire de alimentos se describe entonces por:

m1 = 0 (9.12)

mi = Di

(mi−1 − 2mi + mi+1

2dx

)+

(Di+1 −Di−1

2dx

)(mi+1 −mi−1

2dx

)(9.13)

mnx = Dnx

(mnx−1 −mnx

dx

)(9.14)

mavg =1

L

nx∑i=1

mi (9.15)

Ts =

(1

msCps + msCpwmavg

)(A0 (p1mavg + p2) (Tdb − Ts) (9.16)

+ms (α1 − α2Ts) mavg)

donde mi representa el contenido local de humedad en el punto xi = (nx− i) dx, de

modo que x1 = L y Di = D (mi); nx es el nivel de discretizacion y dx = L/ (nx− 1).

A continuacion, la aproximacion de Taylor, implementada en un software de

manipulacion simbolica (MATHEMATICATM), fue aplicada a las trayectorias de

las medidas en las ecuaciones (9.15-9.16) y se obtuvieron los siguientes coeficientes:

Page 112: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

84 Capıtulo 9. Secado de alimentos

a01 = mavg,0

a02 = Ts,0

a11 = −1

2dxDm,0m0 +

1

4dx2 (Dm,0 −Dm1,0) m0

a12 =λw,0a11

Cps + Cpwa01

+A0 (a01p1 + p2) (Tdb,0 − a02)

(Cps + Cpwa01) ms

a21 =dx2m0a12 (ED,0 − b4Dm1,0)

4Ra202

− Dm,0dx

2

(a11

(1− m0 (b2 + b3log (Dref,0))

1 + b3m0

+m0 (−b5 + b6ED,0) (log (Dref,0)− log (Dm,0))

ED,0 (1 + b6m0)

)+

m0ED,0a12

Ra202

)

a22 =A0 (a01p1 + p2)

(Tdb,0 − a12

)+ A0p1a11 (Tdb,0 − a02) + msa21λw,0

(Cps + Cpwa01) ms

+a11

(−a12 (α1 + Cpw)− 12dxDm,0λw,0

)

Cps + Cpwa01

donde el sub-ındice “,0” se refiere al valor de la magnitud en t = 0, tal que Dm,0 =

D (m0) y Dm1,0 = D (m1 (t = 0)).

La complejidad del sistema hace imposible el estudio de la identificabilidad es-

tructural global de todo el conjunto de parametros p = [b1 b2 b3 b4 b5 b6 p1 p2]T . Sin

embargo, el primer coeficiente de Taylor permite extraer algunas conclusiones sobre

la identificabilidad estructural local para algunos subconjuntos:

i. Fijando todos los bi y utilizando a12 y a21 se puede obtener una solucion

unica para los parametros relacionados con la transferencia de energıa, p1 y

p2, siempre que Tdb,0 sea diferente de Ts,0.

Por lo tanto pk = [p1 p2]T son s.l.i.

ii. Para algunas parejas pk = [bi bj]T y pk = [pi bj]

T tambien es posible conseguir

una solucion unica, siendo tambien s.l.i., pero no para todas ellas. A modo

ilustrativo, las Figuras 9.2 y 9.3 muestran las lıneas de contorno correspon-

dientes a la funcion de mınimos cuadrados empleando un unico experimento

“perfecto” con Tdb constante para la estimacion de b3b6 y p1b3. Las graficas

confirman lo que predice la aproximacion de Taylor: es posible estimar b3 con

gran precision pero es imposible estimar b6 o p1. Notese que utilizando un di-

seno de experimentos adecuado puede mejorarse la identificabilidad de estos

parametros.

Page 113: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

9.3. Analisis de identificabilidad estructural 85

6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7 7.1

4

6

8

10

12

14

16

18

b3

b 6

Figura 9.2: Lıneas de contorno para

los parametros b3 y b6

8.71 8.715 8.72 8.725 8.73 8.735 8.74 8.745 8.75

x 10−4

6.725

6.73

6.735

6.74

6.745

6.75

6.755

p1

b 3

Figura 9.3: Lıneas de contorno para

los parametros p1 y b3

iii. Las condiciones suficientes (ecuacion 4.6) aplicadas a a22 revelan que algunos

conjuntos de cuatro parametros son s.l.i. A modo ilustrativo, aquı se consi-

dero el caso pk = [b1 b4 p1 p2]T .

De la ecuacion a22 ([b1b4p1p2]) = a22

([b1b4p1p2

])se concluye que:

p1 = p1 (9.17)

a01p1 + p2 = a01p1 + p2 (9.18)

−b1 + b4

(− 1

RTs,0

+1

RTref

)= −b1 + b4

(− 1

RTs,0

+1

RTref

)(9.19)

− b1

1 + b3m0

+b4

1 + b6m0

(1

RTs,0

+1

RTref

)= − b1

1 + b3m0

(9.20)

+b4

1 + b6m0

(− 1

RTs,0

+1

RTref

)

y estas ecuaciones son simultaneamente ciertas solo en el caso de que:

[b1b4p1p2] =[b1b4p1p2

]

Las Figuras 9.4 y 9.5 muestran las lıneas de contorno correspondientes a la

funcion de mınimos cuadrados utilizando un unico experimento “perfecto” con Tdb

constante para la estimacion de b1b4 y p1p2. Notese que aunque la identificabilidad

estructural esta garantizada, aparecen varias soluciones suboptimas, demostrando

la necesidad de emplear tecnicas de optimizacion global a la hora de afrontar la

resolucion del problema de estimacion de parametros.

Page 114: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

86 Capıtulo 9. Secado de alimentos

8.71 8.715 8.72 8.725 8.73 8.735 8.74 8.745 8.75

x 10−4

0.01866

0.01867

0.01868

0.01869

0.01870

0.01871

0.01872

0.01873

0.01874

p1

p 2

Figura 9.4: Lıneas de contorno para

los parametros p1 y p2

34.12 34.14 34.16 34.18 34.2 34.22 34.24 34.26 34.2899.75

99.8

99.85

99.9

99.95

100

100.05

100.1

100.15

100.2

100.25

b1

b 4

Figura 9.5: Lıneas de contorno para

los parametros b1 y b4

9.4. Ranking de parametros

Mediante la evaluacion de la sensibilidad de los estados medidos con respecto

a los parametros para sus valores nominales tambien se pueden extraer algunas

conclusiones de como estos van a afectar a las predicciones del modelo y establecer

un ranking de los mismos. En la Tabla 9.1 se muestra el valor de los criterios descritos

en la seccion 3.3 para los ocho parametros del modelo. Los parametros aparecen en

orden decreciente con respecto al criterio δmsqr y se representan en la Figura 9.6.

b3 b2 b1 b6 p2 b4 b5 p1−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Parámetros

Val

or d

el c

riter

io

dmsqr

dmabs

dmean

dmax

dmin

Figura 9.6: Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr

Page 115: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

9.5. Estimacion de parametros 87

Parametro Valor nominal δmsqr δmabs δmean δmax δmin

b3 6.74e+0 8.52e-1 1.42e+0 -1.37e+0 1.26e-1 -3.24e+0

b2 1.38e+2 7.30e-1 1.23e+0 1.17e+0 2.73e+0 -1.20e-1

b1 3.42e+1 4.31e-1 6.73e-1 6.70e-1 1.91e+0 -9.28e-3

b6 1.00e+2 4.34e-2 5.60e-2 5.42e-2 1.73e-1 -2.34e-2

p2 1.87e-2 3.97e-2 7.76e-2 5.92e-3 2.15e-1 -9.14e-2

b4 1.00e+2 3.49e-2 4.21e-2 -4.13e-2 1.14e-2 -1.48e-1

b5 2.00e+2 2.29e-2 3.05e-2 -2.91e-2 1.54e-2 -8.70e-2

p1 8.73e-4 1.29e-3 2.36e-3 1.62e-4 8.62e-3 -2.92e-3

Tabla 9.1: Valores para el ranking de parametros

Estos resultados reflejan grandes diferencias en los valores de δmsqr para los

distintos parametros lo que indica que la salida del modelo es considerablemente

sensible a algunos de ellos y muy poco sensible a otros. Ası se ve, por ejemplo, que

el parametro ante el cual el modelo presenta una mayor sensibilidad es b3 y el de

menor influencia es p1. Las lıneas de contorno representadas en la Figura 9.3 tambien

apuntan en esta direccion mostrando como un cambio en el valor de b3 produce una

gran variacion en el valor de la funcion objetivo mientras que un cambio en p1

produce un efecto mucho menor.

Las pequenas diferencias entre δmsqr y δmabs, indican que no existe una gran va-

riabilidad en las sensibilidades (Sj) ni valores alejados (outliers). Una comparacion

de δmax y δmin indica que todos los parametros presentan sensibilidades tanto posi-

tivas como negativas siendo el efecto global negativo para tres de los parametros y

positivo para los demas, como puede verse por el signo de δmean.

9.5. Estimacion de parametros

Para este problema se considero como funcion de coste la funcion de mınimos

cuadrados:

J(p) =5∑

i=1

2∑j=1

13∑

k=1

wij (zijk − zijk(p))2 (9.21)

donde wij corresponde a los diferentes pesos considerados con objeto de normalizar

la contribucion de cada termino:

wij = (1/max (zijk))2 (9.22)

Page 116: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

88 Capıtulo 9. Secado de alimentos

Esta normalizacion se hace especialmente necesaria en problemas donde las va-

riables medidas tienen valores de diferente orden de magnitud como sucede en el

caso que nos ocupa.

Para poder evaluar los metodos considerados mediante una medida objetiva de

la calidad de la solucion, se emplearon datos pseudo-experimentales. Las medidas

correspondientes al contenido de humedad medio de la lamina mavg y a su tempe-

ratura Ts a lo largo del tiempo, fueron generadas mediante simulacion considerando

los parametros publicados por Luyben et al. (1982) como los valores verdaderos

(ver Tabla 9.2 para examinar el valor nominal y los lımites de cada parametro).

Se realizo un conjunto de cinco experimentos (simulaciones) con diferentes valores

constantes para la temperatura de bulbo seco, Tdb (55, 65, 75, 85 y 100 o¯C).

Parametro Valor nominal Lımite inferior Lımite superior

p1 8.73e-4 1.00e-4 1.00e+0

p2 1.87e-2 1.00e-4 1.00e+0

b1 3.42e+1 1.00e+0 1.00e+3

b2 1.38e+2 1.00e+0 1.00e+3

b3 6.74e+0 1.00e+0 1.00e+3

b4 1.00e+2 1.00e+0 1.00e+3

b5 2.00e+2 1.00e+0 1.00e+3

b6 1.00e+1 1.00e+0 1.00e+3

Tabla 9.2: Valores nominales y lımites para los 8 parametros

9.5.1. Caso 1

Con objeto de ilustrar los problemas revelados por el analisis de identificabilidad

estructural, se intento estimar todos los parametros relacionados con la contraccion

y la transferencia de energıa a la vez, p = [b1 b2 b3 b4 b5 b6 p1 p2]T , asumiendo ausen-

cia de error en los datos pseudo-experimentales. Para este caso, incluso utilizando

metodos de optimizacion global, se encontraron distintos conjuntos de parametros

con capacidades predictivas equivalentes (p.ej., soluciones I y II en la Tabla 9.3). Sin

embargo, solo una (o ninguna) de estas soluciones serıa capaz de predecir el com-

portamiento del proceso en condiciones experimentales diferentes lo cual confirma

la no identificabilidad estructural revelada por la aproximacion de Taylor.

Page 117: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

9.5. Estimacion de parametros 89

Parametro Solucion I Solucion II

p1 4.89e-3 3.04e-2

p2 1.45e-2 4.92e-4

b1 5.49e+2 5.99e+1

b2 9.85e+2 5.79e+2

b3 7.13e+1 2.85e+1

b4 9.96e+2 6.47e+2

b5 9.93e+2 9.88e+2

b6 1.24e+1 8.51e+2

Tabla 9.3: Soluciones para el caso 1 correspondientes a J=0.33 y J=0.31

9.5.2. Caso 2

Aquı se considero el problema de estimacion del conjunto pk = [b1 b4 p1 p2]T

que, como se ha demostrado, es estructuralmente identificable y multimodal. Para

acercarse mas a las condiciones experimentales reales, se considero un error relativo

gaussiano de un 5% en las medidas pseudo-experimentales.

Con objeto de enfatizar la necesidad de metodos globales de optimizacion, en

primer lugar se intento resolver el problema utilizando un metodo de optimizacion

local de tipo SQP (solnp) en modo multi-start. El histograma de la Figura 9.7

representa la frecuencia de las soluciones mostrando que la mayorıa de ellas estan

lejos del optimo global (soluciones locales).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Función Objetivo

Fre

cuen

cia

Figura 9.7: Frecuencia de las soluciones de un SQP en modo multi-start

Page 118: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

90 Capıtulo 9. Secado de alimentos

Por otra parte, el uso de metodos globales (SRES, DE y SSm) dio lugar solucio-

nes optimas globales siendo el valor del vector de parametros encontrado proximo

al vector nominal. El algoritmo SSm convergio casi dos ordenes de magnitud mas

rapido que los demas como se ilustra en la Figura 9.8 con las curvas de convergencia

(evolucion del valor de la funcion objetivo con respecto al tiempo de computacion).

0 500 1000 1500 2000 2500

102

103

104

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

o

DESRESSSm

Figura 9.8: Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm

Las Figuras 9.9 y 9.10 muestran una comparacion entre los valores predichos a

partir del mejor vector de decision y los datos pseudo-experimentales correspondien-

tes a la temperatura de la lamina (Ts) y al contenido medio de humedad (mavg).

Los parametros estimados mediante los metodos de optimizacion global permiten

reproducir adecuadamente los datos pseudo-experimentales.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 700030

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Ts

(ºC

)

Tdb

=100

Tdb

=85

Tdb

=75

Tdb

=65

Tdb

=55

Figura 9.9: Valores predichos versus

datos experimentales para Ts

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s)

mav

g

Tdb

=55T

db=65

Tdb

=75T

db=85

Tdb

=100

Figura 9.10: Valores predichos versus

datos experimentales para mavg

Page 119: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

9.6. Identificabilidad a posteriori 91

9.6. Identificabilidad a posteriori

La Figura 9.11 representa la matriz de correlacion a posteriori para el conjunto

de parametros pk = [b1 b4 p1 p2]T en el optimo. A pesar de que este conjunto de

parametros ha demostrado ser estructuralmente identificable, en la practica y debido

a las limitaciones experimentales, la matriz de Fisher esta bastante mal condicionada

(rcond(FIM)=1.1e-9). Como se puede ver en la Figura 9.11 donde se representa la

matriz de correlacion, los parametros del par p1 y p2 estan muy correlacionados con

un valor de R1,2 = −0.98 lo que explica las dificultades encontradas por algunos

metodos para alcanzar la solucion global.

p1 p2 b1 b4

p1

p2

b1

b4

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 9.11: Matriz de correlacion a posteriori

9.7. Intervalos de confianza

Los valores de los parametros correspondientes a la mejor solucion y sus inter-

valos de confianza del 95 % obtenidos mediante la aproximacion de Cramer-Rao y

el metodo de Monte Carlo se presentan en la Tabla 9.4. Los intervalos obtenidos

por ambos metodos son bastante cercanos excepto para el parametro p2 para el cual

difieren en casi un orden de magnitud. El metodo de Monte Carlo, siendo el mas

robusto de los dos, predice un error de casi el 25% para los parametros p1 y p2 lo

cual podrıa explicarse por la alta correlacion que existe entre ellos. Para los otros

dos parametros los intervalos son pequenos en terminos relativos indicando que estos

fueron estimados con precision.

La forma elıptica de la region de confianza para los parametros b1 y b4 confirma los

Page 120: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

92 Capıtulo 9. Secado de alimentos

Parametro Valor optimo Int conf (95 %) Int conf (95 %)

Cramer-Rao Monte Carlo

p1 7.05e-3 1.51e-3 1.76e-3

p2 1.43e-2 6.24e-4 3.47e-3

b1 3.43e+1 3.45e-1 7.34e-1

b4 1.08e+2 3.90e+0 8.96+0

Tabla 9.4: Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos

resultados del analisis de correlacion (R3,4 = 0.82). Sin embargo, la baja correlacion

entre los parametros p2 y b4 (R2,4 = 0.61) se traduce en una region de confianza mas

esferica.

0.0125 0.013 0.0135 0.014 0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.016590

95

100

105

110

115

120

p2

b4

Figura 9.12: Region de confianza

para los parametros p2 y b4

33.8 34 34.2 34.4 34.6 34.890

95

100

105

110

115

120

b1

b4

Figura 9.13: Region de confianza

para los parametros b1 y b4

9.8. Conclusiones

En este capıtulo se presento un analisis detallado del problema de estimacion

de parametros relativo al secado por aire de alimentos que revela la necesidad de

llevar a cabo un procedimiento en dos pasos para garantizar que la solucion alcan-

zada sea capaz de reproducir el comportamiento del sistema en un amplio rango de

condiciones de operacion.

En una primera fase, se estudio la identificabilidad estructural del modelo por

medio de la aproximacion de Taylor lo cual permitio concluir que solo un subconjunto

de parametros relacionados con la contraccion y la transferencia de energıa pueden

Page 121: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

9.8. Conclusiones 93

ser estimados al mismo tiempo. Ademas, se detecto la presencia de multiples optimos

locales motivando el uso de metodos de optimizacion global en el segundo paso de

la identificacion.

Varios metodos globales estocasticos fueron capaces de converger a la solucion

global mientras que, como era de esperar, las aproximaciones locales quedaron atra-

padas en soluciones locales la mayorıa de las veces. Notese que una solucion subopti-

ma puede dar lugar a conclusiones erroneas sobre la capacidad predictiva del modelo.

Ademas, con SSm la solucion global fue obtenida en un numero de evaluaciones

muy razonable lo que hace que este metodo sea especialmente atractivo para la

identificacion de modelos relacionados con el procesamiento de alimentos, que con-

sisten normalmente en un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales

acopladas.

El analisis de identificabilidad a posteriori reflejo que, a pesar de que la iden-

tificabilidad estructural este garantizada, en la practica pueden presentarse ciertas

dificultades a la hora de realizar la estimacion debido a la correlacion entre ciertos

pares de parametros ocasionada por las limitaciones experimentales.

Page 122: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 123: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 10

Procesamiento termico de

alimentos

10.1. Introduccion

El procesamiento termico es una de las operaciones mas importantes para la

conservacion de alimentos. La idea subyacente es procesar el producto alimentario a

una temperatura elevada durante un cierto periodo de tiempo con objeto de reducir

los microorganismos daninos, garantizando la seguridad alimentaria y aumentando

su tiempo de conservacion. Sin embargo, los cambios que experimentan los alimentos

durante el procesamiento termico dan lugar, normalmente, a un empeoramiento de

su calidad. Resulta, por lo tanto, esencial procesar el alimento de manera que las

propiedades sensoriales y nutricionales se mantengan en los niveles mas altos posibles

garantizando siempre la seguridad.

A este respecto, en las ultimas decadas se han propuesto varias aproximaciones

para el diseno y/o optimizacion de este tipo de procesos (ver revision por Banga

et al., 2003). Las metodologıas mas satisfactorias son aquellas que utilizan tecnicas

computacionales basadas en modelos, especialmente aquellas que consisten en el

uso de modelos de principios fundamentales (Banga et al., 1991; Durance, 1997;

Ramaswamy et al., 1997; Balsa-Canto et al, 2002; Garcia et al. 2006).

Estos modelos matematicos combinan las leyes de conservacion con las propie-

dades fısicas de los productos, modelos de degradacion de la calidad y cineticas de

los microorganismos, permitiendo la prediccion de las propiedades organolepticas y

la seguridad del producto final, sujetas a diferentes condiciones de procesamiento.

La degradacion de la calidad se describe generalmente utilizando cineticas de

cero, primer y segundo orden, y normalmente se asume que la dependencia de la

velocidad de degradacion con la temperatura sigue la ecuacion de Arrhenius (Sa-

95

Page 124: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

96 Capıtulo 10. Procesamiento termico de alimentos

guy y Karel, 1980) o el modelo basado en el concepto de tiempo de muerte termica

(Thermal Death Time, TDT) (Rasmaswamy et al., 1989). Por lo tanto, los modelos

resultantes consideran un numero de factores de calidad (lisina disponible, digesti-

bilidad de la proteına, contenido de tiamina o color de la superficie) que dependen

de una serie de parametros. En los modelos tipo Arrhenius estos parametros son,

entre otros, la energıa de activacion, Ea, y la constante pre-exponencial y en el mo-

delo TDT el tiempo de reduccion decimal, Dref , y el parametro que caracteriza la

sensibilidad a la temperatura, Zref . Dado que estos no pueden ser medidos directa-

mente, la calibracion del modelo sera un paso crucial para garantizar la capacidad

predictiva del modelo.

Lenz y Lund (1980), propusieron un diseno de experimentos factorial para la

determinacion de los parametros cineticos de la degradacion de alimentos durante

el procesamiento termico. En concreto, sugirieron dos tipos de aproximaciones ex-

perimentales, la estacionaria (isotermica) a realizar utilizando pequenos tubos para

garantizar una temperatura constante en la muestra y la no estacionaria a llevar a

cabo utilizando cualquier tipo de contenedor y en la cual debe considerarse la varia-

cion de la temperatura espacial y temporalmente dentro del producto alimentario.

En cualquiera de los dos casos proponen el uso de 10 a 18 experimentos (5-6 tem-

peraturas de calentamiento y 2-3 tiempos de calentamiento) dependiendo del grado

de precision deseado para los parametros.

La calibracion del modelo, una vez que se dispone de datos experimentales, es

mucho mas sencilla para el caso estacionario que para el no estacionario, ya que este

no requiere la resolucion de la ecuacion de Fourier. Ademas, el diseno es relativa-

mente simple dado que el numero de temperaturas a considerar dentro de los lımites

practicos es limitado. Esto ha hecho bastante popular la aproximacion estaciona-

ria. Por ejemplo, Banga et al. (1992) hicieron uso de 20 experimentos estacionarios

para calibrar la cinetica de degradacion de la digestibilidad de la proteına y de la

lisina disponible durante el procesamiento termico de atun. Van Loey et al. (1995),

emplearon 50 combinaciones de tiempo y temperatura para la calibracion de las

cineticas que describen el deterioro de la calidad de los guisantes verdes y las habas

blancas durante el procesamiento termico.

Sin embargo, notese que los parametros resultantes no son sensibles a las in-

fluencias practicas del proceso ya que el procesamiento isotermico se aleja bastante

de las condiciones de procesamiento practicas. Ademas, el uso de la aproximacion

estacionaria no proporciona mucha informacion sobre el comportamiento cinetico

ocasionando a menudo problemas de no identificabilidad y/o grandes errores en los

parametros estimados a no ser que se realice un gran numero de experimentos.

Page 125: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

10.2. Modelo matematico 97

El uso de la aproximacion no estacionaria ha demostrado reducir estas dificul-

tades. Banga et al. (1993) emplearon 10 experimentos dinamicos para calibrar un

modelo TDT para la disminucion de tiamina en el procesamiento termico de atun

en lata obteniendo un error maximo para los parametros estimados de un 2.3 %.

Garote et al. (2001) utilizaron alrededor de 10 experimentos dinamicos para esti-

mar los parametros cineticos que describen la inactivacion de la lipogenasa durante

el calentamiento de judıas verdes, consiguiendo una buena concordancia entre la

prediccion del modelo y los datos experimentales.

Sin embargo, el uso de experimentos dinamicos no optimos puede dar lugar a

una carga experimental innecesariamente elevada, problemas de identificabilidad o

grandes intervalos de confianza para los parametros. Los trabajos de Versyck et

al. (1999) y Grijspeerdt y Vanrolleghem (1999) fueron los primeros en introducir el

diseno optimo de experimentos para modelos de biologıa predictiva y posteriormente,

Nahor et al. (2001, 2003) propusieron su utilizacion para la estimacion de parametros

termicos de alimentos.

En este capıtulo, se propone el uso de diseno optimo de experimentos (OED)

para superar las dificultades antes mencionadas en la estimacion de los parametros

cineticos de retencion de tiamina en la esterilizacion termica de alimentos enlatados.

10.2. Modelo matematico

La conduccion y la conveccion son las formas de trasferencia de energıa mas

comunes en el procesamiento termico de alimentos, siendo la primera el mecanismo

relevante en alimentos solidos y lıquidos muy viscosos y el segundo el caracterıstico

en alimentos lıquidos. Con objeto de proporcionar una explicacion detallada de es-

tos procesos y de su efecto en la seguridad microbiologica y la calidad del producto

alimentario, se requiere un modelo matematico general basado en principios funda-

mentales. Ademas de la distribucion de la temperatura, este modelo debe considerar

la concentracion de las posibles esporas de microorganismos presentes en el alimen-

to ya que estas determinan el grado de seguridad microbiologica. La concentracion

de sustancias responsables de la calidad del producto, como vitaminas o enzimas,

tambien debe ser incluida. Formalmente, la evolucion temporal y espacial de la tem-

peratura para productos solidos homogeneos e isotropos puede describirse por la

ecuacion de Fourier (10.1):

ρCpTt = k∆T + q(T,∇T, ξ, t) (10.1)

que esta definida en un dominio limitado con coordenadas generalizadas ξ y las

Page 126: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

98 Capıtulo 10. Procesamiento termico de alimentos

adecuadas condiciones iniciales y de frontera. Los parametros ρ y Cp correspon-

den a la densidad del alimento y su capacidad calorıfica respectivamente y k es la

conductividad termica. Los procesos termicos inducidos mediante campos electro-

magneticos (microondas) o calentamiento ohmico tambien pueden ser introducidos

en esta formulacion mediante el termino de generacion q(T, ξ, t).

Para el caso de productos solidos las especies de interes no se distribuyen median-

te conveccion o difusion por lo que la ecuacion general que describe la disminucion

de la calidad como efecto de la temperatura es (Saguy y Karel, 1980):

−dC

dt= f(T ) (10.2)

donde C representa el factor de calidad considerado.

Con objeto de resolver las ecuaciones (10.1-10.2), deben imponerse condiciones

iniciales y frontera adecuadas en el dominio.

10.2.1. Esterilizacion industrial de alimentos enlatados

En este capıtulo se considero el caso de la esterilizacion termica de atun enlatado

como se formula en Banga et al. (1993). El sistema se modelo como un producto

calentado por conduccion en contenedores cilındricos de volumen VT (radio R y

altura 2L). Debido a la simetrıa, es suficiente modelizar la transferencia de energıa

y los fenomenos cineticos en el plano medio del cilindro. El objetivo consistio en

disenar experimentos optimos (un conjunto de esterilizaciones realizadas mediante

el procesamiento de latas en un autoclave) que proporcionen datos experimentales

(retencion de tiamina en cada experimento) que permitan la mejor estimacion posible

de los parametros cineticos TDT para la degradacion termica de tiamina.

La ecuacion de Fourier (10.1) en coordenadas cilındricas para un producto ali-

mentario homogeneo e isotropo resulta:

∂T

∂t= α

(∂2T

∂r2+

1

r

∂T

∂r+

∂2T

∂z2

)(10.3)

Se establecen los siguientes lımites y condiciones iniciales:

T (R, z, t) = Tautoclave(t) (10.4)

T (r, L, t) = Tautoclave(t) (10.5)

∂T

∂r(0, z, t) = 0 (10.6)

∂T

∂z(r, 0, t) = 0 (10.7)

Page 127: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

10.3. Analisis de identificabilidad estructural 99

T (r, z, 0) = T0 (10.8)

Para este caso particular el estado medido corresponde a la retencion media de

nutrientes que se calcula asumiendo una cinetica de primer orden (10.2):

y =1

VT

∫ VT

0

exp

(− ln 10

DN,ref

∫ tf

0

exp

(T (r, z, t)− TN,ref

ZN,ref

ln 10

)dt

)dV (10.9)

Notese que este valor se mide a tiempo final por lo que solo se dispone de una

medida por cada experimento.

Para transformar la ecuacion diferencial parcial original (10.3) en un conjunto

de ecuaciones diferenciales ordinarias, se empleo el metodo numerico de las lıneas

(NMOL) (Schiesser, 1991). El sistema de ODEs resultante, combinado con las ecua-

ciones cineticas (una ecuacion por posicion espacial) se resolvio posteriormente con

ODESSA (Leis y Kramer, 1988) para permitir el calculo de las sensibilidades pa-

rametricas.

10.3. Analisis de identificabilidad estructural

Con objeto de analizar la identificabilidad estructural, se aplico el metodo de

Taylor para generar un sistema de ecuaciones no lineal en los parametros. Dado que

solo se van a estimar dos parametros, DN,ref y ZN,ref , se requieren solamente tres

coeficientes de Taylor. El primero es independiente de los parametros y el segundo

y el tercero dan lugar a combinaciones de terminos exponenciales dependientes de

ZN,ref y de la temperatura inicial del producto, la temperatura de la autoclave y

otros terminos relativos a la derivada temporal de la temperatura de la autoclave.

Desafortunadamente, debido a la complejidad de este sistema, no hay modo de

obtener soluciones analıticas por lo que no es posible extraer conclusiones generales

sobre la identificabilidad estructural.

10.4. Ranking de parametros

El ranking de parametros refleja que existe una diferencia de mas de un orden

de magnitud entre la importancia del ajuste para DN,ref y para ZN,ref (ver Tabla

10.1). Esto implica que un mal ajuste de DN,ref tendra mucha mas influencia en la

prediccion del modelo que un mal ajuste de ZN,ref .

Notese que para todos los calculos se emplearon los valores de los parame-

tros normalizados por lo que su valor sera igual a la unidad. Para ello se consi-

dero D∗N,ref = 5428 s y Z∗

N,ref = 31.4o¯C como se establece en Banga et al (1993).

Page 128: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

100 Capıtulo 10. Procesamiento termico de alimentos

p1 p2−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parámetros

Val

or d

el c

riter

io

dmsqr

dmabs

dmean

dmax

dmin

Figura 10.1: Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr

Parametro Val nom δmsqr δmabs δmean δmax δmin

DN,ref/D∗N,ref 1 4.81e-1 1.03e+0 1.03e+0 1.51e+0 0.00e+0

ZN,ref/Z∗N,ref 1 4.66e-2 9.99e-2 7.28e-2 1.71e-1 -7.12e-2

Tabla 10.1: Valores para el ranking de parametros

10.5. Diseno optimo de experimentos

Para este caso, el objetivo del diseno optimo de experimentos puede ser formulado

de la siguiente manera:

Calcular las condiciones experimentales optimas, temperatura de procesamiento

Tautoclave(t) y duracion de un numero dado de experimentos, nexp, que permitan

estimar los parametros cineticos relacionados con la retencion de tiamina Dref y

Zref , con la maxima precision posible.

Este problema se resolvio considerando las siguientes condiciones:

El numero de experimentos se fijo a un valor mınimo de cinco, considerando

que, como indica Sontag (2002), el mınimo numero de medidas “perfectas”

para la calibracion de Np parametros es 2Np + 1. Para evaluar su efecto en los

intervalos de confianza de los parametros, tambien se considero el OED para

el caso de seis y ocho experimentos.

Se asumio que la temperatura de la autoclave sigue el perfil tıpico de proce-

samiento de calentamiento-enfriamiento. Por lo tanto, el vector de variables

de decision sera [Tc,iexp; Te,iexp; tc,iexp] donde Tc,iexp representa la temperatura

Page 129: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

10.5. Diseno optimo de experimentos 101

de calentamiento, Te,iexp la temperatura de enfriamiento y tc,iexp el tiempo de

calentamiento del experimento iexp. Se considero que la duracion de la fase de

enfriamiento es el 60 % de la de calentamiento para garantizar que la degrada-

cion de nutrientes no continue despues del final del experimento, es decir, que

la temperatura del producto sea suficientemente baja.

Los lımites establecidos para las variables de decision son los siguientes:

110oC ≤ Tc,iexp ≤ 140oC (10.10)

20oC ≤ Te,iexp ≤ 25oC (10.11)

1800 s ≤ tc,iexp ≤ 9000 s (10.12)

Se considero una sola medida por experimento a tiempo final y que estas estan

sujetas a un ruido gaussiano del 3 %.

El objetivo de la optimizacion consistio en la maximizacion del criterio D.

En primer lugar y con objeto de analizar la posible naturaleza multimodal del

problema, se resolvio el problema de diseno de cinco experimentos empleando un

metodo local en modo multi-start. La Figura 10.2 representa el histograma de fre-

cuencia de las soluciones mostrando la presencia de varias soluciones suboptimas y

confirmando la necesidad de emplear metodos de optimizacion global.

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

x 105

0

1

2

3

4

Funcion Objetivo

Fre

cu

en

cia

Figura 10.2: Frecuencia de las soluciones de un SQP en

modo multi-start

Page 130: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

102 Capıtulo 10. Procesamiento termico de alimentos

La solucion encontrada por los metodos globales SRES, DE y SSm es practicamente

la misma siendo este ultimo considerablemente mas rapido en terminos de conver-

gencia como puede apreciarse en la Figura 10.3 para el caso de seis experimentos.

0 5000 10000 15000−10

6

−105

−104

−103

−102

−101

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

oDESRESSSm

Figura 10.3: Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm

La Tabla 10.2 presenta los valores optimos obtenidos por SSm mediante la ma-

ximizacion del criterio D considerando cinco, seis y ocho experimentos ası como los

valores del criterio E modificado para estos disenos.

nexp Criterio D Criterio E Mod

5 2.63e + 5 1.46e+0

6 3.95e + 5 1.88e+0

8 7.01e + 5 1.86e+0

Tabla 10.2: Valor del criterio D y E modificado para cinco,

seis y ocho experimentos

Como era de esperar, cuando se emplea el criterio D, cuanto mayor es el numero

de experimentos mayor es la cantidad de informacion y por lo tanto mayor sera el

valor optimo para este criterio y menor sera el tamano de los intervalos de confianza

como se vera a continuacion. Los valores de la tabla y la Figura 10.4 que muestra la

evolucion de los valores optimos obtenidos en funcion del numero de experimentos,

ilustran el hecho de que este tipo de experimentos fuerzan la decorrelacion entre los

parametros (el valor del criterio E modificado es cercano a la unidad en todos los

casos). Notese que empleando solo un experimento la FIM resulta singular por lo

que el valor del criterio D es cero y el criterio E modificado no esta definido.

Page 131: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

10.5. Diseno optimo de experimentos 103

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4 x 105

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Crite

rio

D

E m

od

ific

ad

o

nexp

Figura 10.4: Evolucion de los criterios D y E modificado

con el numero de experimentos

Una propiedad del criterio D es su tendencia a repetir un numero pequeno de

condiciones experimentales diferentes (Walter y Pronzato, 1997). En este ejemplo,

el diseno optimo consiste en la realizacion repetida de dos tipos de experimentos:

uno a alta temperatura durante un tiempo corto y otro a baja temperatura durante

un tiempo largo. En el caso de seis experimentos (nexp = 6) las condiciones optimas

consisten en realizar tres experimentos de cada tipo, como muestran los perfiles

optimos de calentamiento-enfriamiento representados en las Figuras 10.5-10.6.

0 2000 4000 6000 800020

40

60

80

100

120

140

Experimentos: 1, 3, 6

Tiempo (s)

Te

mp

era

tura

(ºC

)

Figura 10.5: Perfiles optimos para los

experimentos 1, 3 y 6

0 2000 4000 6000 800020

40

60

80

100

120

140

Experimentos: 2, 4, 5

Tiempo (s)

Tem

pera

tura

(ºC

)

Figura 10.6: Perfiles optimos para los

experimentos 2, 4 y 5

Page 132: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

104 Capıtulo 10. Procesamiento termico de alimentos

La evolucion de la temperatura en el punto crıtico y la retencion de nutrientes

correspondientes a cada experimento se presentan en las Figuras 10.7-10.8.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20

40

60

80

100

120

140

0 2000 4000 6000 8000

Tiempo (s)

Experimentos: 1, 3, 6

ret N

T(º

C)

0

T0

retN

Figura 10.7: Dinamica de la T0 y la

retN para los experimentos 1, 3 y 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20

40

60

80

100

120

140

0 2000 4000 6000 8000

Tiempo (s)

Experimentos: 2, 4, 5

ret N

T(º

C)

0T0

ret N

Figura 10.8: Dinamica de la T0 y la

retN para los experimentos 2, 4 y 5

10.6. Identificabilidad a posteriori

Con objeto de comprobar las propiedades de los esquemas experimentales opti-

mos, se realizo el analisis de identificabilidad practica. Para ello se selecciono el caso

de seis experimentos ya que ofrece un buen compromiso entre la calidad de la solu-

cion y el esfuerzo experimental. La Figura 10.9 muestra la matriz de correlacion a

N,ref

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

D

N,refD

N,refZ

N,refZ

Figura 10.9: Matriz de correlacion a posteriori

Page 133: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

10.7. Intervalos de confianza 105

posteriori para los parametros DN,ref y ZN,ref considerando el diseno experimental

optimo. Tal y como indicaba el valor del criterio E modificado, la correlacion entre

los mismos es muy baja con un valor de R1,2=0.265 lo que da lugar a una matriz de

informacion de Fisher bien condicionada (rcond(FIM)=5.8e-1). Esto significa que los

parametros considerados son identificables a posteriori a partir del diseno obtenido.

10.7. Intervalos de confianza

A partir de los disenos optimos correspondientes a cinco, seis y ocho experimentos

se generaron datos pseudo-experimentales considerando los parametros nominales y

anadiendoles un 3 % de error gaussiano. A partir de estos datos, se estimaron los

parametros obteniendose en todos los casos valores muy cercanos a los nominales y

se calculo el valor de los intervalos de confianza del 95% mediante la aproximacion

de Monte Carlo. Los resultados se muestran en la Tabla 10.3.

DN,ref/D∗N,ref ZN,ref/Z∗

N,ref

nexp Valor optimo Int conf (95 %) Valor optimo Int conf (95 %)

5 exp. 1.0 1.95e-2 1.0 2.02e-2

6 exp. 1.0 1.58e-2 1.0 1.58e-2

8 exp. 1.0 1.42e-2 1.0 1.44e-2

Tabla 10.3: Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos

El mayor error, correspondiente al caso de cinco experimentos, es ligeramente

mejor al obtenido por Banga et al. (1993) empleando diez experimentos dinamicos

(2.3%). Como ya se ha senalado, cuanto mayor es el numero de experimentos mayor

es la cantidad de informacion y por lo tanto menor sera el volumen de la elipse de

confianza asintotica. De este modo, el uso de seis u ocho experimentos reduce el

tamano de los intervalos de confianza. Estos resultados confirman el hecho de que el

diseno optimo de experimentos puede ayudar a reducir sustancialmente el esfuerzo

experimental, hasta un 50% en este ejemplo.

La region de confianza para los parametros representada en la Figura 10.10,

confirma que los parametros son totalmente identificables y que ademas estan casi

completamente decorrelacionados ya que esta es practicamente redonda.

Ademas, el problema de calibracion resultante es convexo en la vecindad del

optimo global, como ilustra la representacion del valor de la funcion objetivo en las

proximidades de la solucion (ver Figura 10.11) por lo que, una vez alcanzada esa

Page 134: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

106 Capıtulo 10. Procesamiento termico de alimentos

0.980 0.985 0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 1.015 1.020

0.980

0.985

0.990

0.995

1.000

1.005

1.010

1.015

1.020

Dref/Dref*

Zref/Zref*

Figura 10.10: Region de confianza para el diseno optimo

de seis experimentos

zona mediante un metodo de optimizacion global, el problema podrıa ser resuelto

facilmente mediante un metodo local.

0.51

1.5

0.51

1.5

0

1

2

3

4

5

6

Dref/D *

refZref

/Z*ref

log(J

)

mc

Figura 10.11: Funcion objetivo para el diseno optimo

de seis experimentos

Page 135: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

10.8. Conclusiones 107

10.8. Conclusiones

En este capıtulo se considero el diseno optimo de experimentos para la estimacion

de los parametros cineticos relativos al procesamiento termico de bioproductos. El

empleo de un metodo local en modo multi-start detecto la presencia de optimos loca-

les por lo que varios metodos estocasticos de optimizacion global fueron empleados

para la resolucion del problema, siendo el metodo SSm el mas rapido en converger.

Ademas, se ilustro el efecto del numero de experimentos en el valor de distintos

criterios escalares de la FIM. De este modo, se ve como el valor del criterio D aumen-

ta con la cantidad de informacion a la vez que disminuyen los intervalos de confianza

para los parametros. El empleo del criterio D dio lugar a disenos que consisten en

la repeticion de dos tipos de experimentos: uno caracterizado por un procesamien-

to de corta duracion a alta temperatura y otro por un procesamiento largo a baja

temperatura. Este resultado confirma la idea, ya apuntada por otros autores, de

que el criterio D tiende a repetir experimentos. Fisher (1935) ya senala las ventajas

de la repeticion de experimentos argumentando que, si todos los experimentos son

diferentes, un error en uno de ellos disminuira significativamente el rendimiento glo-

bal mientras que, si el experimento se repite varias veces, podra probarse su validez

mediante la predominancia de las realizaciones con exito.

Los resultados obtenidos demuestran que mediante un esquema experimental

optimo no solo se reducen los problemas de identificabilidad sino que ademas se

reducen los intervalos de confianza de los parametros a la vez que disminuye el

esfuerzo experimental requerido, hasta un 50% con respecto a las aproximaciones

tradicionales para el caso considerado.

Page 136: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 137: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 11

Isomerizacion del α-pineno

11.1. Introduccion

Este problema consiste en estimar cinco constantes de reaccion (p1, ..., p5) de

un sistema de reaccion complejo estudiado originalmente por Box et al. (1973), que

forma parte de COPS (Collection of large-scale Constrained Optimization ProblemS)

(Dolan et al., 2004). La Figura 11.1 representa el esquema de reaccion propuesto

para esta reaccion quımica homogenea que describe la isomerizacion termica del α-

pineno (y1) a dipenteno (y2) y allo-ocimeno (y3) que a su vez se convierte en α- y

β-pironeno (y4) y en un dımero (y5).

Figura 11.1: Esquema de la isomerizacion del α-pineno

Este proceso fue estudiado por Fuguitt y Hawkins (1947), que proporcionaron

las concentraciones del reactante y de los cuatro productos en ocho intervalos de

tiempo (zji). Si los ordenes de las reacciones quımicas son conocidos, se pueden

derivar modelos matematicos que den las concentraciones de las distintas especies

109

Page 138: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

110 Capıtulo 11. Isomerizacion del α-pineno

en funcion del tiempo. Hunter y MacGregor (1967) asumieron cineticas de primer

orden y derivaron un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales para las cinco

respuestas.

Asumiendo que el modelo es adecuado y que se conocen las condiciones iniciales

para las cinco especies, se pueden estimar los coeficientes desconocidos p1, ..., p5

minimizando una funcion de coste que corresponde a una medida de la distancia

entre los valores experimentales correspondientes a las variables medidas y los valores

predichos para estas variables.

Box et al. (1973) intentaron en un primer momento resolver este problema sin

analizar los datos de respuesta multiple y encontraron valores de los parametros que

proporcionaban un mal ajuste de los datos experimentales. Dado que ignorar las

posibles dependencias entre las respuestas puede provocar dificultades a la hora de

estimar los parametros (multiples mınimos locales, funcion objetivo muy plana,...),

Box et al. (1973) describieron un metodo para detectar y manejar estas relaciones

lineales. Con este estudio demostraron que existen dependencias entre los datos y

de las cinco respuestas utilizaron solamente tres combinaciones linealmente indepen-

dientes para la identificacion, mejorando significativamente el ajuste de los datos.

Este analisis de los datos de respuesta multiple, a pesar de su eficiencia, requiere

un esfuerzo considerable especialmente para detectar las causas de las dependencias

una vez que han sido localizadas, y se requiere un conocimiento en profundidad del

modelo (que ya no puede ser considerado como una caja negra). Ademas, esto deja

de ser asequible cuando se incrementa la complejidad del modelo.

Tjoa y Biegler (1991) tambien consideraron este problema y utilizaron un metodo

robusto de estimacion local para estimar los parametros desconocidos. Consideraron

todo el conjunto de datos experimentales con objeto de evaluar el comportamiento

del metodo con dependencias entre los datos. En el punto de convergencia, obtu-

vieron los mismos parametros optimos que los obtenidos por Box et al. (1973). No

obstante, el valor inicial considerado para los parametros estaba muy cerca de la

solucion optima, lo que explica que este metodo alcanzase el optimo global sin que-

dar atrapado en una solucion local. Como senala Averick et al. (1991), la solucion

de este problema no es difıcil de obtener desde valores iniciales de p cercanos a la

solucion global, pero la dificultad se incrementa cuando se intenta resolver desde

puntos iniciales remotos.

Con objeto de evitar la convergencia a soluciones locales sin requerir unos bue-

nos valores iniciales para los parametros y/o un analisis exhaustivo de los datos de

respuesta multiple, en este capıtulo se propone la utilizacion de metodos de optimi-

zacion global para la calibracion del modelo.

Page 139: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

11.2. Modelo matematico 111

11.2. Modelo matematico

Para la resolucion de este problema, se consideran las ecuaciones lineales deriva-

das por Hunter y MacGregor (1967) asumiendo cineticas de primer orden:

dy1

dt= −(p1 + p2)y1 (11.1)

dy2

dt= p1y1 (11.2)

dy3

dt= p2y1 − (p3 + p4)y3 + p5y5 (11.3)

dy4

dt= p3y3 (11.4)

dy5

dt= −p4y3 + p5y5 (11.5)

11.3. Analisis de identificabilidad estructural

Con objeto de estudiar la identificabilidad estructural del modelo considerado, se

aplico el metodo de series de Taylor (ver seccion 4.1) a las ecuaciones de los estados

medidos (11.1-11.5). De este modo se obtuvieron los siguientes coeficientes de cero

y primer orden:

a01 = y1,0

a02 = y2,0

a03 = y3,0

a04 = y4,0

a05 = y5,0

a11 = −(p1 + p2)y1

a12 = p1y1

a13 = p2y1 − (p3 + p4)y3 + p5y5

a14 = p3y3

a15 = −p4y3 + p5y5

Del analisis de estos coeficientes pueden extraerse las siguientes conclusiones

sobre la identificabilidad estructural de los parametros del modelo:

i. De los coeficientes a11 y a12 se concluye que p1 y p2 son estructuralmente

Page 140: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

112 Capıtulo 11. Isomerizacion del α-pineno

globalmente identificables (s.g.i.) ya que:

a11([p1, p2]) = a11([p1, p2]) =⇒ −(p1 + p2)y1 = −(p1 + p2)y1 (11.6)

a12([p1]) = a12([p1]) =⇒ p1y1 = p1y1 (11.7)

y estas ecuaciones son simultaneamente ciertas solo en el caso de que p1 = p1

y p2 = p2

ii. De modo analogo, del coeficiente a14 se concluye que p3 es estructuralmente

globalmente identificable (s.g.i.) ya que:

a14([p3]) = a14([p3]) =⇒ p3y3 = p3y3 (11.8)

y esto es cierto solo en el caso de que p3 = p3

iii. Del coeficiente a15 se deduce que p4 y p5 son s.g.i. ya que:

a15([p4, p5]) = a15([p4, p5]) =⇒ −p4y3 + p5y5 = −p4y3 + p5y5 (11.9)

y esto es cierto solo en el caso de que p4 = p4 y p5 = p5 siempre que la relacion

entre y3 e y5 no sea constante, lo cual viene dado por el modelo de ODEs.

En este caso los coeficientes de Taylor de primer orden son suficientes para de-

mostrar que todos los parametros del modelo son estructuralmente globalmente

identificables (s.g.i.).

11.4. Ranking de parametros

Los resultados del analisis de sensibilidad se resumen mediante el valor de los

criterios descritos en la seccion 3.3 para los cinco parametros del modelo que se mues-

tran en la Tabla 11.1. Los parametros aparecen en orden decreciente con respecto

al criterio δmsqr y se representan en la Figura 11.2.

Estos resultados no reflejan grandes diferencias en los valores de δmsqr para los

distintos parametros lo que indica que la salida del modelo es considerablemente

sensible a todos ellos. Las pequenas diferencias entre δmsqr y δmabs, indican que no

existe una gran variabilidad en las sensibilidades (Sj) ni valores extremos (outliers).

Una comparacion de δmax y δmin indica que todos los parametros presentan sensibi-

lidades tanto positivas como negativas aunque el efecto global es positivo para tres

de los parametros y negativo para los otros dos, como puede verse por el signo de

δmean.

Page 141: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

11.5. Estimacion de parametros 113

Parametro Valor nominal δmsqr δmabs δmean δmax δmin

p1 5.93e-5 0.7144 0.5712 -0.3169 0.9946 -2.1582

p2 2.96e-5 0.6978 0.6313 0.3415 0.9982 -1.0793

p4 2.75e-4 0.4762 0.3403 -0.1869 0.9834 -0.8533

p3 2.05e-5 0.4242 0.2206 0.1552 0.9988 -0.1593

p5 4.00e-5 0.2256 0.1303 0.0864 0.7189 -0.1641

Tabla 11.1: Valores para el ranking de parametros

p1 p2 p4 p3 p5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Val

or d

el c

riter

io

Parámetros

dmsqr

dmabs

dmean

dmax

dmin

Figura 11.2: Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr

11.5. Estimacion de parametros

Para este problema la funcion de coste puede formularse como:

J(p) =5∑

j=1

8∑i=1

(zj(p, ti)− zji)2 (11.10)

Los metodos utilizados requieren un lımite superior e inferior ası como un punto

inicial para los parametros. El lımite inferior para los cinco parametros viene dado

por consideraciones fısicas, pi ≥ 0, y el lımite superior se considera pi ≤ 1, muy lejos

de la mejor solucion conocida p1 = 5.93e-5, p2 = 2.96e-5, p3 = 2.05e-5, p4 = 27.5e-5,

p5 = 4.00e-5). Como punto inicial se elige pi = 0.5.

Page 142: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

114 Capıtulo 11. Isomerizacion del α-pineno

En primer lugar se intento resolver el problema utilizando un metodo SQP en mo-

do multi-start. El histograma de frecuencias representado en la Figura 11.3 muestra

que los metodos locales no son capaces de converger a la solucion global estando la

mayorıa de las soluciones muy alejadas de este punto. Por este motivo, el empleo de

herramientas de optimizacion global resulta imprescindible para resolver con exito

este problema.

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4

x 104

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Función objetivo

Fre

cuen

cia

Figura 11.3: Frecuencia de las soluciones de un SQP en

modo multi-start

La Figura 11.4 muestra claramente que SSm convergio siempre a la solucion global

en un tiempo de computacion corto mientras que otros metodos de optimizacion

global fallaron o convergieron en un tiempo computacional mucho mayor. Con objeto

de favorecer la visualizacion, la curva correspondiente a SSm se representa en ejes

diferentes, ya que SRES y DE quedaron atrapados en soluciones locales cerca del

punto inicial mientras que SSm convergio al optimo global lejos del primer valor.

Asimismo, la Figura 11.5 muestra una comparacion entre los valores predichos

a partir del mejor vector de parametros obtenido con SSm (linea continua) y los

datos experimentales para estas especies proporcionados por Fuguitt y Hawkins

(1947) (sımbolos), correspondientes a la concentracion del reactante y de los cuatro

productos. Los parametros estimados permiten reproducir los datos experimentales

y, como puede verse en la Figura 11.6, no existe correlacion entre los residuos y el

tiempo lo que indica que el error de los datos experimentales es homocedastico.

Page 143: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

11.6. Identificabilidad a posteriori 115

100

101

102

103

30000

40000

50000

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

o

100

101

102

103

101

103

105

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

o

SRESDE

SSm

Figura 11.4: Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Con

cent

raci

ón (

% p

eso)

Tiempo (min)

y1: alfa−pinenoy2: dipentenoy3: allo−ocimenoy4: pironenoy5: dimero

Figura 11.5: Datos experimentales

versus valores predichos por el modelo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (min)

Res

iduo

s

y1: alfa−pinenoy2: dipentenoy3: allo−ocimenoy4: pironenoy5: dimero

Figura 11.6: Valores de los residuos en

funcion del tiempo

11.6. Identificabilidad a posteriori

La matriz de correlacion representada en la Figura 11.7 muestra una identifi-

cabilidad aceptable en el optimo, con un numero de condicion rcond(FIM)=2.2e-4.

Este hecho lleva a pensar que los problemas en la calibracion del modelo experimen-

tados por la mayorıa de los metodos se deben fundamentalmente a la existencia de

multiples mınimos locales.

Page 144: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

116 Capıtulo 11. Isomerizacion del α-pineno

p1 p2 p3 p4 p5

p1

p2

p3

p4

p5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 11.7: Matriz de correlacion a posteriori

Las Figuras 11.8 y 11.9 muestran las lıneas de contorno de la funcion objetivo

en el plano parametrico para el par (p1, p2) que presenta un valor del coeficiente de

correlacion R1,2 = 0.13 y para el par mas correlacionado (p4, p5) con R4,5 = 0.82.

3 4 5 6 7 8

x 10−5

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x 10−5

p1

p 2

Figura 11.8: Funcion objetivo en el

plano (p1, p2)

1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−4

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

x 10−5

p4

p 5

Figura 11.9: Funcion objetivo en el

plano (p4, p5)

Page 145: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

11.7. Intervalos de confianza 117

11.7. Intervalos de confianza

Por otra parte, los intervalos de confianza del 95 % que se muestran en la Tabla

11.2 para los valores optimos de los parametros (J = 19.87) son pequenos lo que

indica que estos fueron estimados con precision. No obstante, el parametro que

presenta un mayor intervalo de confianza, en terminos relativos, es p5. Este hecho

puede explicarse por la menor sensibilidad del modelo con respecto a este parametros

que resulto el ultimo en el ranking y por la correlacion entre p4 y p5 detectada en el

analisis de identificabilidad a posteriori.

Parametro Valor optimo Int. conf. (95 %) Int. conf. (95 %)

Cramer Rao Monte Carlo

p1 5.926e-5 8.706e-7 3.732e-7

p2 2.963e-5 8.431e-7 3.563e-7

p3 2.047e-5 5.313e-6 1.725e-6

p4 2.745e-4 3.984e-5 1.003e-5

p5 3.998e-5 1.439e-5 4.579e-6

Tabla 11.2: Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos

Las Figuras 11.10 y 11.11 muestran las regiones de confianza obtenidas por el

metodo de Monte Carlo. Como era de esperar, la correlacion existente entre el par

(p4, p5) dio lugar a una forma elıptica mientras que la correspondiente al par (p1, p2)

es practicamente circular.

5.86 5.88 5.9 5.92 5.94 5.96 5.98

x 105

2.9

2.92

2.94

2.96

2.98

3

3.02

x 10 5

p1

p2

Figura 11.10: Funcion objetivo en el

plano (p1, p2)

2.55 2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9

x 104

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

x 10 5

p4

p5

Figura 11.11: Funcion objetivo en el

plano (p4, p5)

Page 146: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

118 Capıtulo 11. Isomerizacion del α-pineno

11.8. Conclusiones

En este capıtulo se considero la calibracion de un sistema de reaccion para la

isomerizacion termica del α-pineno. Mediante el metodo de series de Taylor se de-

mostro la identificabilidad estructural de los cinco parametros del modelo. A pesar de

que el modelo es aparentemente sencillo, el problema inverso asociado es multimodal

debido, entre otros factores, a dependencias entre los datos. Esto se debe a que las

concentraciones proporcionadas por Fuguitt y Hawkins (1947) para algunos de los

productos no fueron obtenidas experimentalmente sino calculadas matematicamente

a partir de las concentraciones de otros productos (Box et al., 1973).

Esta multimodalidad fue corroborada mediante un multi-start de un metodo

SQP motivando el uso de estrategias de optimizacion global para la estimacion de

los parametros del modelo. La consideracion de un rango muy amplio para los lımites

de los parametros y de un punto inicial muy alejado de la solucion global hace que,

incluso algunos metodos de optimizacion global de probada eficacia como SRES y DE,

presenten problemas de convergencia. Sin embargo, la metaheurıstica SSm probo ser

muy robusta y alcanzo la solucion global muy rapidamente lo que la convierte en

una estrategia muy recomendable para la resolucion de esta clase de problemas.

El analisis de identificabilidad a posteriori no revela grandes correlaciones en-

tre los parametros que pudieron ser estimados con precision como demuestran los

intervalos de confianza calculados.

Page 147: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 12

Inhibicion de la proteasa del HIV

12.1. Introduccion

Este problema consiste en la estimacion de un numero de parametros de un

modelo que describe el mecanismo de reaccion para la inhibicion irreversible de la

proteasa del HIV originalmente estudiado por Kuzmic (1996) (ver Figura 12.1).

Figura 12.1: Esquema de reaccion para la inhibicion

irreversible de la proteasa del HIV

La enzima (M) solo es activa en forma de dımero (E), el producto (P) es un

inhibidor competitivo con el sustrato (S) y el inhibidor (I) es irreversible (Kuzmic,

1996). La proteasa del HIV (concentracion de ensayo 0.004 µM) fue anadida a una

disolucion de un inhibidor irreversible y un sustrato fluorogenico (25 µM). Los cam-

bios de fluorescencia fueron monitorizados durante una hora en cada uno de los

119

Page 148: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

120 Capıtulo 12. Inhibicion de la proteasa del HIV

cinco experimentos llevados a cabo a cuatro concentraciones diferentes de inhibidor

(0, 0.0015, 0.003 y 0.004 µM en duplicado).

Mendes y Kell (1998) trataron de calibrar el modelo utilizando una serie de meto-

dos de optimizacion y encontraron varios conjuntos de parametros que, a pesar de

presentar valores de la funcion objetivo cercanos, tenıan valores considerablemente

diferentes. Estos investigadores apuntaron la posibilidad de que este hecho fuese de-

bido a la convergencia a mınimos locales o a una funcion objetivo muy plana en la

region del espacio correspondiente al optimo global.

Con objeto de dilucidar las causas de estas dificultades, en este capıtulo se con-

sidero el mismo problema resuelto por Kuzmic (1996) y Mendes y Kell (1998) y

se analizo su identificabilidad a posteriori. Ademas se calibro el modelo utilizando

varios metodos de optimizacion global, confirmando la superioridad de SSm para la

resolucion de este tipo de problemas.

12.2. Modelo matematico

El modelo matematico consiste en un conjunto de nueve ecuaciones diferenciales

ordinarias no lineales con diez parametros. Este sistema de ODEs puede describirse

de la siguiente forma:

d[M ]

dt= −2k11[M ][M ] + 2k12[E] (12.1)

d[P ]

dt= k22[ES]− k21[P ][E] + k42[EP ] (12.2)

d[S]

dt= −k21[S][E] + k22[ES] (12.3)

d[I]

dt= −k21[I][E] + k52[EI] (12.4)

d[ES]

dt= k21[S][E]− k22[ES]− k3[ES] (12.5)

d[EP ]

dt= k41[P ][E]− k42[EP ] (12.6)

d[E]

dt= k11[M ][M ] + k12[E]− k21[S][E] + k22[ES] + k3[ES] (12.7)

−k41[P ][E] + k42[EP ]− k51[I][E] + k52[EI]

d[EI]

dt= k51[I][E]− k52[EI]− k6[EI] (12.8)

d[EJ ]

dt= k6[EI] (12.9)

Page 149: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

12.3. Ranking de parametros 121

12.3. Ranking de parametros

El valor de los criterios descritos en la seccion 3.3 para los cinco parametros a

estimar se muestran en la Tabla 12.1. Los parametros aparecen en orden decreciente

de acuerdo con el criterio δmsqr y se representan en la Figura 12.2.

Parametro Valor nominal δmsqr δmabs δmean δmax δmin

k42 5.00e+2 8.10e+1 1.62e+2 1.62e+2 5.00e+2 1.26e+2

k22 3.00e+2 4.85e+1 9.67e+1 9.68e+1 3.00e+2 7.53e+1

k3 1.00e+1 1.80e+0 3.60e+0 3.60e+0 1.00e+1 2.81e+0

k52 1.00e-1 6.49e-2 1.10e-1 1.10e-1 1.63e-1 4.97e-2

k6 1.00e-1 4.17e-2 6.59e-2 -4.97e-2 1.00e-1 -7.29e-2

Tabla 12.1: Valores para el ranking de parametros

k42 k22 k3 k52 k6−100

0

100

200

300

400

500

Parámetros

Val

or d

el c

riter

io

dmsqr

dmabs

dmean

dmax

dmin

Figura 12.2: Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr

Estos resultados reflejan grandes diferencias en los valores de δmsqr para los dis-

tintos parametros lo que indica que la salida del modelo es muy sensible a unos y

poco sensible a otros. Las diferencias entre δmsqr y δmabs, indican que existe cierta

variabilidad en las sensibilidades de los distintos estados con respecto a un mismo

parametro (Sj). Una comparacion de δmax y δmin indica que solamente k6 presentan

sensibilidades tanto positivas como negativas mientras que para los demas parame-

tros estas son siempre positivas.

Page 150: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

122 Capıtulo 12. Inhibicion de la proteasa del HIV

12.4. Estimacion de parametros

El problema de estimacion que se plantea consiste en la calibracion de cinco

constantes de reaccion. En este ajuste, se asumio tambien un cierto grado de in-

certidumbre en el valor de las concentraciones iniciales de sustrato y de enzima (±50%) (errores de valoracion). Ademas, la lınea base del fluorımetro (offset) se con-

sidero tambien como un grado de libertad. Dado que se dispone de cinco curvas de

datos experimentales, se tendra un total de veinte parametros ajustables: las cinco

constantes de reaccion, cinco concentraciones iniciales de la enzima, cinco concentra-

ciones iniciales del sustrato y cinco valores para el offset. La senal medida es funcion

de la concentracion de producto tal que:

senal = εp[P ] + offset (12.10)

Parametro Valor inicial Lımite inf. Lımite sup.

k3 1.00e+1 0.00e+0 1.00e+5

k42 5.00e+2 0.00e+0 1.00e+5

k22 3.00e+2 0.00e+0 1.00e+5

k52 1.00e-1 0.00e+0 1.00e+5

k6 1.00e-1 0.00e+0 1.00e+5

S0 (exp 1) 2.50e+1 1.25e+1 3.75e+1

S0 (exp 2) 2.50e+1 1.25e+1 3.75e+1

S0 (exp 3) 2.50e+1 1.25e+1 3.75e+1

S0 (exp 4) 2.50e+1 1.25e+1 3.75e+1

S0 (exp 5) 2.50e+1 1.25e+1 3.75e+1

E0 (exp 1) 4.00e-3 2.00e-3 6.00e-3

E0 (exp 2) 4.00e-3 2.00e-3 6.00e-3

E0 (exp 3) 4.00e-3 2.00e-3 6.00e-3

E0 (exp 4) 4.00e-3 2.00e-3 6.00e-3

E0 (exp 5) 4.00e-3 2.00e-3 6.00e-3

offset (exp 1) 1.00e-1 -2.00e-1 4.00e-1

offset (exp 2) 1.00e-1 -2.00e-1 4.00e-1

offset (exp 3) 1.00e-1 -2.00e-1 4.00e-1

offset (exp 4) 1.00e-1 -2.00e-1 4.00e-1

offset (exp 5) 1.00e-1 -2.00e-1 4.00e-1

Tabla 12.2: Valores nominales y lımites para los 20 parametros

Page 151: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

12.4. Estimacion de parametros 123

Para poder comparar los resultados se tomaron los lımites y valores iniciales para

los parametros empleados por Mendes y Kell (1998) (ver Tabla 12.2). Una de las

dificultades anadidas de este problema son los amplios lımites considerados para las

constantes cineticas.

Mediante la minimizacion de la suma de los cuadrados de los residuos entre

los datos medidos y los simulados, la mejor solucion conocida hasta este trabajo

fue obtenida por Mendes y Kell (1998) utilizando el metodo Simulated Annealing,

con un coste computacional de tres millones de simulaciones. La siguiente mejor

solucion fue obtenida utilizando un metodo Levenberg-Marquardt con un esfuerzo

computacional considerablemente menor (4000 simulaciones) aunque la convergencia

al optimo global con este metodo solo esta garantizada si se inicializa en su vecindad.

En este trabajo se trato de resolver el problema mediante un metodo local tipo

SQP en modo multi-start. El histograma de frecuencias (Figura 12.3) muestra que

este metodo se quedo atrapado en soluciones locales la mayorıa de las veces lo que

demuestra que este problema es multimodal por lo que se necesitaran metodos de

optimizacion global para poder asegurar la convergencia al optimo global.

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

Función objetivo

Fre

cuen

cia

Figura 12.3: Frecuencia de las soluciones de un SQP en

modo multi-start

El metodo SSm convergio a mejores soluciones que las encontradas por Mendes y

Kell (1998) en menos de 1500 simulaciones lo que confirma el buen comportamien-

to de este metodo incluso en problemas complejos de estimacion de parametros.

Ademas, cuando se compara con otros metodos estocasticos de demostrada eficacia

Page 152: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

124 Capıtulo 12. Inhibicion de la proteasa del HIV

como SRES o DE, SSm alcanzo mejores soluciones con una aceleracion en el tiempo

de calculo de casi tres ordenes de magnitud (ver Figura 12.4).

100

102

104

106

10−2

10−1

100

101

102

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

oSRESDESSm

Figura 12.4: Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm

A pesar de que SSm convergio en todas las optimizaciones a valores muy buenos

de la funcion objetivo (siempre inferiores al mejor valor publicado hasta el momen-

to), los valores de los parametros no siempre fueron los mismos lo que indica una

funcion objetivo muy plana en la region del espacio de parametros cerca del optimo.

En la Tabla 12.3 se ilustra este hecho mostrando el valor de los parametros corres-

pondientes a dos soluciones cuyo valor de la funcion objetivo es muy proximo siendo

los valores de los parametros significativamente diferentes.

La Figura 12.5 muestra el buen ajuste de los datos experimentales a las predic-

ciones del modelo obtenidas con el mejor vector encontrado por SSm (Solucion I). La

Figura 12.6 representa los residuos y en ella se puede apreciar la falta de correlacion

de los mismos con respecto al tiempo.

12.5. Identificabilidad a posteriori

La matriz de correlacion (ver Figura 12.7) ayuda a explicar la existencia de

multiples soluciones ya que existen valores de coeficientes de correlacion de R2,3 =

0.9999 entre algunos pares de parametros como k42 and k22 dando lugar a una matriz

casi singular (rcond(FIM) =1.7e-21). Esto da lugar a una funcion objetivo muy plana

y por lo tanto a la falta de identificabilidad del modelo.

Page 153: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

12.5. Identificabilidad a posteriori 125

Parametro Solucion I (J=1.99e-2) Solucion II (J=2.03e-2)

k3 6.23e+0 5.66e+0

k42 8.77e+4 6.88e+2

k22 4.73e+2 1.21e+2

k52 9.73e-2 4.61e+0

k6 1.42e-2 3.53e+0

S0 (exp 1) 2.46e+1 2.47e+1

S0 (exp 2) 2.33e+1 2.34e+1

S0 (exp 3) 2.69e+1 2.71e+1

S0 (exp 4) 1.33e+1 1.71e+1

S0 (exp 5) 1.25e+1 1.45e+1

E0 (exp 1) 5.52e-3 5.40e-3

E0 (exp 2) 5.32e-3 5.20e-3

E0 (exp 3) 6.00e-3 6.00e-3

E0 (exp 4) 4.39e-3 4.26e-3

E0 (exp 5) 3.98e-3 3.97e-3

offset (exp 1) -4.34e-3 -5.61e-3

offset (exp 2) -1.58e-3 -4.25e-3

offset (exp 3) -1.12e-2 -1.52e-2

offset (exp 4) -1.66e-3 -9.65e-3

offset (exp 5) 7.13e-3 1.33e-3

Tabla 12.3: Valor de los parametros para dos resultados obtenidos con SSm

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tiempo (s)

Señ

al

Experimento 1Experimento 2Experimento 3Experimento 4Experimento 5

Figura 12.5: Datos experimentales versus

valores predichos por el modelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Tiempo (s)

Res

iduo

s

Experimento 1Experimento 2Experimento 3Experimento 4Experimento 5

Figura 12.6: Valores de los residuos en

funcion del tiempo

Page 154: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

126 Capıtulo 12. Inhibicion de la proteasa del HIV

k3

k42

k22

k52

k6

S0(1)

E0(1)

offset(1)

S0(2)

E0(2)

offset(2)

S0(3)

E0(3)

offset(3)

S0(4)

E0(4)

offset(4)

S0(5)

E0(5)

offset(5)

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 12.7: Matriz de correlacion a posteriori

12.6. Intervalos de confianza

Los valores de los parametros correspondientes a la mejor solucion y sus inter-

valos de confianza del 95% obtenidos mediante la aproximacion de Cramer-Rao se

presentan en la Tabla 12.4. Como era de esperar, los parametros que presentaron

altas correlaciones como k42, k22, k52 y k6 son los que tienen los mayores intervalos

de confianza. El elevado valor de estos intervalos, demuestra nuevamente la falta de

identificabilidad de estos parametros.

12.7. Conclusiones

En este capıtulo se considero el problema de estimacion de parametros y concen-

traciones iniciales para un modelo de la inhibicion irreversible de la proteasa del HIV.

El metodo SSm demostro ser una estrategia muy eficaz para su resolucion alcanzando

valores muy buenos de la funcion objetivo en un tiempo de calculo muy razonable y

superando en mas de dos ordenes de magnitud los requerimientos computacionales

de otros metodo de optimizacion global como SRES, DE o Simulated Annealing.

Page 155: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

12.7. Conclusiones 127

Parametro Valor optimo Int conf (95%)

k3 6.23e+0 3.25e+0

k42 8.77e+3 4.61e+4

k22 4.73e+2 6.25e+2

k52 9.73e-2 1.29e-1

k6 1.42e-2 1.03e-2

S0 (exp 1) 2.46e+1 7.82e-2

S0 (exp 2) 2.33e+1 1.35e+0

S0 (exp 3) 2.69e+1 1.22e+0

S0 (exp 4) 1.33e+1 1.82e+0

S0 (exp 5) 1.25e+1 1.81e+0

E0 (exp 1) 5.52e-3 1.97e-3

E0 (exp 2) 5.32e-3 1.31e-3

E0 (exp 3) 6.00e-3 1.11e-3

E0 (exp 4) 4.39e-3 8.69e-5

E0 (exp 5) 3.98e-3 8.84e-5

offset (exp 1) -4.34e-3 1.79e-3

offset (exp 2) -1.58e-3 2.97e-3

offset (exp 3) -1.12e-2 2.73e-3

offset (exp 4) -1.66e-3 1.88e-3

offset (exp 5) 7.13e-3 1.76e-3

Tabla 12.4: Valores e intervalos de confianza de los parametros optimos

Sin embargo, el analisis de identificabilidad a posteriori revelo altas correlaciones

entre ciertos pares de parametros. Esta falta de identificabilidad es el origen de las

multiples soluciones con capacidades predictivas equivalentes encontradas por los

metodos de optimizacion empleados aun siendo de naturaleza global. De este modo,

a pesar de que las predicciones del modelo se ajusten a los datos experimentales

empleados para su calibracion, los parametros ası obtenidos carecen de robustez y

no seran validos para predecir el comportamiento del modelo en condiciones expe-

rimentales diferentes.

Por este motivo, resulta imprescindible la realizacion de nuevos experimentos

mas informativos para obtener un modelo capaz de reproducir resultados en un

amplio rango de condiciones experimentales.

Page 156: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 157: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 13

Funcion de las caspasas en la

apoptosis

13.1. Introduccion

La apoptosis consiste en una cascada de reacciones enzimaticas que conduce a la

muerte celular programada o suicidio celular, un proceso que juega un importante

papel desde el desarrollo temprano hasta el envejecimiento. Las caspasas son unas

proteınas pertenecientes al grupo de las cisteın-proteasas, caracterizadas por presen-

tar un residuo de cisteına que media en la ruptura de otras proteınas. En el caso de

las caspasas el corte se produce al nivel de un residuo de aspartato de donde deriva

su nombre (cisteinil-aspartato proteasas). Estas enzimas son mediadoras esenciales

de los procesos de muerte celular programada y, una vez activadas, desmantelan la

celula mediante la ruptura selectiva de proteınas clave despues de residuos de aspar-

tato. Los eventos que culminan en la activacion de las caspasas estan sujetos a un

intenso estudio debido a su papel en el cancer y en enfermedades neurodegenerativas

y autoinmunes.

Fussenegger et al. (2000) presentaron un modelo matematico mecanıstico, descri-

biendo los elementos clave de la activacion de las caspasas por medio de receptores

y mecanismos inducidos por estres (ver Figura 13.1). Este grupo utilizo principios

de conservacion de masa junto con leyes sobre las velocidades cineticas para for-

mular un sistema de ecuaciones diferenciales que describe la evolucion temporal de

la activacion de las caspasas. El modelo consiste en 19 estados (concentraciones de

proteınas) y 11 velocidades de reaccion. Se simularon varias estrategias cualitativas

para la prevencion de la activacion de las caspasas mostrando concordancia con la

informacion disponible.

Gadkar et al. (2005) consideraron la identificacion de este modelo y generaron

129

Page 158: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

130 Capıtulo 13. Funcion de las caspasas en la apoptosis

Activación inducida por el receptor

Activación inducida por estrés

Procaspasa-8Procaspasa-8

Procaspasa-9Procaspasa-9

Caspasa-8Caspasa-8

Caspasa-9Caspasa-9

FADDFADD

FAS/FASL

Citocroma - c

Citocroma - c

Caspasa-8

Caspasa-9

Ejecutor procaspasa

Ejecutor procaspasa

FLIP

Mitocondria

Ejecutor caspasa

Ejecutor caspasa

ARC

IAPs

Bcl-2

Bcl-xL

p53

Bcl-xL

Bax, bik, bad

División proteolítica

División proteolítica

zVAD-fmk

Apaf-1

Ruptura de proteínas

Figura 13.1: Esquema apoptosis (Fussengger et al., 2000)

datos pseudo-experimentales a partir de simulaciones de este sistema corrompiendo-

los con un 10 % de error y suponiendo que solo un conjunto de siete proteınas y

ninguna velocidad de reaccion podıa ser medido directamente. Este grupo propuso

un algoritmo iterativo para la identificacion del modelo que incluye el estudio de la

identificabilidad, la eliminacion de los parametros no identificables y la estimacion

de los parametros identificables. En el trabajo citado, se emplea un algoritmo basado

en el problema del regulador de estado (State Regulator Problem, SRP) para estimar

todas las concentraciones no medidas y las velocidades de reaccion a partir de los

estados medidos. De este modo, la calibracion fue realizada mediante la division de

los parametros en varios grupos, correspondiendo cada uno de ellos a los parametros

relacionados con una de las velocidades de reaccion, y resolviendo ası el problema de

estimacion de modo desacoplado con respecto a cada reaccion mediante un metodo

local basado en gradiente.

En este capıtulo, se considero este mismo modelo y se resolvio el problema de

estimacion de parametros asociado mediante tecnicas de optimizacion global ilus-

trando su superioridad frente a las tecnicas locales. El analisis de identificabilidad

practica permitira extraer conclusiones interesantes sobre el modelo.

Page 159: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

13.2. Modelo matematico 131

13.2. Modelo matematico

El modelo de la apoptosis activada por caspasas propuesto por Fussenegger et al.

(2000) consiste en 19 estados (concentraciones de proteına) y 11 velocidades de reac-

cion con 27 parametros (11 constantes de reaccion y 16 constantes de saturacion).

Las ecuaciones del modelo pueden representarse como:

x1 = Ω1 − µx1 (13.1)

x2 = r1 − µx2 (13.2)

x3 = Ω3 − 2r2 − µx3 (13.3)

x4 = r2 − µx4 (13.4)

x5 = r10 − r3 − µx5 (13.5)

x6 = Ω6 − µx6 (13.6)

x7 = r3 − µx7 (13.7)

x8 = Ω8 − 2r4 − 2r6 − µx8 (13.8)

x9 = Ω9 − 2r5 − 2r7 − µx9 (13.9)

x10 = Ω10 − r8 − r9 − µx10 (13.10)

x11 = 2r4 + 2r6 − µx11 (13.11)

x12 = 2r5 + 2r7 − µx12 (13.12)

x13 = r8 + r9 − r11 − µx13 (13.13)

xk = Ωk − µxk k = 14, 15, ..., 19 (13.14)

donde xi denota la concentracion de la proteına i, rj denota la velocidad de reaccion

j, Ωk denota la velocidad de sıntesis de la proteına k y µ denota la velocidad de

degradacion del complejo proteınico. Las velocidades de reaccion se expresan del

siguiente modo:

r1 =kl(x1 − x2)L

K−1S + L

(13.15)

r2 = ka

[x3x2

(1 + KAx3 + KAKBx23)− x4

KAKBx3

](13.16)

r3 = kh

[x5x6

1 + KHx5 + KIx19

1+KJx17

− x7

KH

](13.17)

r4 =k8za1x

28x4

K−1C K−1

D + K−1D x8 + x2

8 + KF K−1C K−1

D x15 + KGK−1D x8x15

(13.18)

Page 160: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

132 Capıtulo 13. Funcion de las caspasas en la apoptosis

r5 =k9za1x

29x7

K−1K K−1

L + K−1L x9 + x2

9 + KNK−1K K−1

L x16 + KOK−1L x9x16

(13.19)

r6 = k8za2x28 (13.20)

r7 = k9za2x29 (13.21)

r8 =k83ax10x11

K−1P + KRK−1

P x14 + x10

(13.22)

r9 =k93ax10x12

K−1P + KRK−1

P x14 + x10

(13.23)

r10 = αCE [υ (x13, x18) + υ (X, x18)] (13.24)

r11 = kux13[IAPs]

1 + KU [IAPs](13.25)

donde

L = concentracion de ligando libre (receptor) (13.26)

υ (x13, x18) =

1 ∀ x13

x18> 0.25

0 ∀ x13

x18≤ 0.25

(13.27)

υ (X, x18) =

1 ∀ X

x18> 0.025

0 ∀ Xx18

≤ 0.025

(13.28)

X = factor quımico/nutricional (estres) (13.29)

[IAPs]

1 + KU [IAPs]= 0.1765 (13.30)

13.3. Ranking de parametros

10 3 16 4 5 19 21 23 25 8 26 27 17 14 13 11 9 7 2 1 15 12 18 20 22 24 6 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Parámetros

Val

or d

el c

riter

io

dmsqr

dmabs

dmean

dmax

dmin

Figura 13.2: Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr

Page 161: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

13.3. Ranking de parametros 133

En la Figura 13.2 se representa el valor de los criterios de los criterios descritos en

la seccion 3.3 para los 27 parametros del modelo. Los parametros aparecen en orden

decreciente de acuerdo con el criterio δmsqr y sus valores numericos se muestran en

la Tabla 13.1

Param pn Val nom δmsqr δmabs δmean δmax δmin

αCE p10 1.00e-1 3.34e-1 1.40e-1 1.20e-1 1.04e+0 -1.56e-1

kh p3 3.00e-1 2.23e-1 8.47e-2 5.81e-2 9.95e-1 -1.37e-1

KI p16 1.00e+2 2.09e-1 7.98e-2 -5.44e-2 1.34e-1 -9.48e-1

k8za1 p4 1.25e+0 2.07e-1 8.78e-2 -8.44e-3 7.65e-1 -5.65e-1

k9za1 p5 1.25e+0 2.07e-1 6.12e-2 3.37-2 9.68e-1 -2.20e-1

KS p19 1.00e+2 2.02e-1 8.53e-2 -8.23e-3 7.37e-1 -5.47e-1

KG p21 2.00e+3 1.99e-1 8.45e-2 8.15e-3 5.42e-1 -7.30e-1

KL p23 1.00e+2 1.98e-1 5.86e-2 3.22e-2 9.23e-1 -2.11e-1

KO p25 2.00e+3 1.97e-1 5.82e-2 -3.20e-2 2.10e-1 -9.18e-1

k83a p8 5.00e-1 1.87e-1 5.37e-2 -2.19e-2 8.57e-1 -8.79e-1

Kp p26 1.50e+0 1.86e-1 5.33e-2 -2.38e-2 6.23e-1 -8.13e-1

KR p27 5.00e+0 1.42e-1 4.07e-2 1.80e-2 6.18e-1 -4.97e-1

KJ p17 5.00e+0 1.28e-1 4.80e-2 3.32e-2 6.81e-1 -7.49e-2

KB p14 1.00e+2 9.25e-2 3.02e-2 -1.73e-2 8.64e-2 -3.97e-1

KA p13 1.00e-1 8.93e-2 2.92e-2 -1.67e-2 8.33e-2 -3.83e-1

ku p11 1.10e-1 5.21e-2 1.16e-2 -1.16e-2 0.00e+0 -2.76e-1

k93a p9 5.00e-1 4.35e-2 1.04e-2 -5.87e-3 5.84e-2 -2.70e-1

k9za2 p7 1.00e-5 3.60e-2 2.33e-3 2.20e-3 9.97e-1 -9.18e-4

ka p2 2.00e+0 1.89e-2 7.07e-3 -2.84e-3 1.49e-1 -7.73e-2

kI p1 2.00e+0 1.69e-2 7.14e-3 6.49e-4 1.41e-1 -5.88e-2

KH p15 1.00e+1 1.23e-2 3.82e-3 -1.77e-3 3.51e-2 -6.98e-2

KS p12 1.00e+1 1.02e-2 3.80e-3 2.80e-4 1.20e-1 -5.00e-2

KC p18 1.00e+2 1.93e-3 8.20e-4 -8.22e-5 6.46e-3 -5.05e-3

KF p20 2.00e+3 1.93e-3 8.20e-4 8.22e-5 5.05e-3 -6.46e-3

KK p22 1.00e+2 1.16e-3 3.45e-4 1.89e-4 5.30e-3 -1.31e-3

KN p24 2.00e+3 1.16e-3 3.45e-4 -1.89e-4 1.31e-3 -5.29e-3

k8za2 p6 1.00e-5 9.28e-5 3.83e-5 -3.28e-6 5.06e-4 -2.87e-4

Tabla 13.1: Valores para el ranking de parametros

Estos resultados reflejan grandes diferencias en los valores de δmsqr para los

distintos parametros lo que indica que la salida del modelo es muy sensible a unos

Page 162: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

134 Capıtulo 13. Funcion de las caspasas en la apoptosis

y poco sensible a otros. Entre δmsqr y δmabs no hay grandes diferencias lo que indica

que no existe mucha variabilidad en las sensibilidades de los distintos estados con

respecto a un mismo parametro (Sj). Una comparacion de δmax y δmin indica que

todos los parametros presentan sensibilidades tanto positivas como negativas.

13.4. Estimacion de parametros

Para poder comparar nuestros resultados con los publicados anteriormente, se

consideraron las condiciones del caso 3 de Gadkar et al. (2005). De este modo, los

datos pseudo-experimentales fueron obtenidos mediante simulacion a partir de los

valores de los parametros nominales a los que se anadio un 10% de error. Mediante el

computo de la matriz de correlacion a priori (ver seccion 4.2) se comprobo que el con-

junto de los 27 parametros del modelo no es identificable por lo que se considero un

conjunto de 18 parametros identificables a priori cuyo valor nominal ası como sus

lımites superior e inferior se muestran en la Tabla 13.2.

Param pn Val nom Lim inf Lim sup

kI p1 2.00e+0 0.00e+0 1.00e+1

ka p2 2.00e+0 1.00e-1 1.00e+1

kh p3 3.00e-1 1.00e-1 2.00e+0

k8za1 p4 1.25e+0 1.00e-1 1.00e+1

k9za1 p5 1.25e+0 1.00e-1 1.00e+1

k83a p8 5.00e-1 1.00e-1 1.00e+1

k93a p9 5.00e-1 1.00e-1 1.00e+1

αCE p10 1.00e-1 0.00e+0 1.00e+0

ku p11 1.10e-1 0.00e+0 1.00e+0

KS p12 1.00e+1 1.00e-1 1.00e+2

KA p13 1.00e-1 1.00e-2 1.00e+1

KH p15 1.00e+1 1.00e-1 1.00e+3

KI p16 1.00e+2 1.00e-1 1.00e+3

KS p19 1.00e+2 1.00e-1 1.00e+3

KG p21 2.00e+3 1.00e-2 2.00e+6

KO p25 2.00e+3 1.00e-1 1.00e+4

Kp p26 1.50e+0 5.00e-2 1.00e+2

KR p27 5.00e+0 1.00e-2 2.00e+1

Tabla 13.2: Valores nominales y lımites para los 18 parametros

Page 163: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

13.4. Estimacion de parametros 135

Se consideraron las mismas concentraciones iniciales de proteınas que las nominales

(cero para x2, x4, x5, x7, x11, x12 y x13 y uno para el resto) perturbadas con un error

del 25%. Las medidas se tomaron cada cinco minutos durante un tiempo total de

simulacion de 100 minutos. Las proteınas medidas son x2, x3, x4, x5, x7, x10 y x12.

En un primer momento el problema fue resuelto con un metodo de SQP en

modo multi-start. En la Figura 13.3 se representa el histograma de frecuencia de las

soluciones estando todas ellas lejos del optimo global. La convergencia a mınimos

locales de los metodos de esta naturaleza resulta una clara motivacion para el uso

de estrategias globales con mas garantıas de convergencia a la solucion global.

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Función objetivo

Fre

cuen

cia

Figura 13.3: Frecuencia de las soluciones de un SQP en

modo multi-start

Por este motivo, el problema de estimacion fue tambien resuelto con los metodos

globales SRES, DE y SSm. El metodo DE no alcanzo la solucion global mientras que

SRES y SSm convergieron a valores muy buenos de la funcion objetivo aunque el

tiempo de calculo requerido por SSm fue de menos de 10 segundos, mas de un orden

de magnitud inferior al requerido por SRES.

A pesar de que para la estimacion solamente se consideraron los datos pseudo-

experimentales correspondientes a la concentracion de siete proteınas, el ajuste de

todos los estados es bueno como muestra la Figura 13.6. El valor de las velocidades

de reaccion predicho por el modelo tambien se ajusta bien a los valores teoricos a

pesar de que estos no hayan sido empleados para la estimacion (ver Figura 13.5).

Page 164: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

136 Capıtulo 13. Funcion de las caspasas en la apoptosis

100

101

102

103

100

101

102

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

ectiv

o

DESRESSSm

Figura 13.4: Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm

0 50 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo (min)

r 1

0 50 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

Tiempo (min)

r 2

0 50 1000

0.005

0.01

0.015

Tiempo (min)

r 3

0 50 1000

0.01

0.02

0.03

Tiempo (min)

r 4

0 50 1000

0.005

0.01

0.015

Tiempo (min)

r 5

0 50 1000.6

0.8

1

1.2

1.4x 10−5

Tiempo (min)

r 6

0 50 1001

1.5

2

2.5

3

3.5x 10−5

Tiempo (min)

r 7

0 50 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Tiempo (min)

r 8

0 50 1000

0.01

0.02

0.03

Tiempo (min)

r 9

0 50 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

Tiempo (min)

r 10

0 50 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tiempo (min)

r 11

Figura 13.5: Valores predichos versus datos pseudo-experimentales

para las 11 velocidades de reaccion

Page 165: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

13.5. Identificabilidad a posteriori 137

0 50 1001

1.5

2

2.5

Tiempo (min)

x 1

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (min)

x 2

0 50 1000.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (min)

x 3

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (min)

x 4

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

Tiempo (min)

x 5

0 50 1001

1.5

2

2.5

Tiempo (min)

x 6

0 50 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Tiempo (min)

x 7

0 50 100

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (min)

x 8

0 50 1001

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo (min)

x 9

0 50 1000

0.5

1

1.5

Tiempo (min)

x 10

0 50 1000

0.5

1

1.5

Tiempo (min)

x 11

0 50 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tiempo (min)

x 12

0 50 1000

0.5

1

1.5

Tiempo (min)

x 13

0 50 1000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (min)

x 14

0 50 100

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Tiempo (min)

x 15

0 50 1001

1.5

2

2.5

Tiempo (min)

x 16

0 50 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

Tiempo (min)

x 17

0 50 1000.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (min)

x 18

0 50 100

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo (min)

x 19

Figura 13.6: Valores predichos versus datos pseudo-experimentales

para las 19 concentraciones de proteına

13.5. Identificabilidad a posteriori

A pesar de que el ajuste es bastante bueno, a la hora de realizar el estudio de

identificabilidad a posteriori, la matriz de informacion de Fisher resulto ser singular

Page 166: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

138 Capıtulo 13. Funcion de las caspasas en la apoptosis

lo que significa que los parametros considerados no son identificables a partir de

la informacion disponible. De hecho, al llevar a cabo multiples optimizaciones con

los metodos globales, el valor de la funcion objetivo fue siempre muy parecido pero

los parametros correspondientes resultaron ser diferentes de cada vez. Esto significa

que hay multiples combinaciones de parametros que proporcionan el mismo ajuste

de los datos experimentales. Sin embargo, solo uno o ninguno de estos conjuntos

de parametros seran capaces de reproducir los resultados del modelo en condiciones

experimentales diferentes.

Dado que la FIM es singular, no se puede realizar un diseno optimo de expe-

rimentos ya que el punto inicial no es siquiera factible. Por lo tanto, con objeto de

disminuir los problemas de identificabilidad practica, se considero un experimento

similar al anterior pero en donde se midio la concentracion de todas las proteınas.

Para ese caso los metodos de optimizacion global funcionaron de modo analogo

encontrando un conjunto de parametros que ajustan muy bien los datos pseudo-

experimentales. La matriz de informacion de Fisher para este experimento ya no

es singular pero sigue estando muy mal condicionada (rcond = 7.7e-19) habiendo

pares de parametros muy correlacionados (R3,15 = 0.998, R3,16 = 0.999) como puede

verse representado en la Figura 13.7.

1 2 3 4 5 8 9 10111213151619212526271234589

1011121315161921252627

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 13.7: Matriz de correlacion a posteriori

Page 167: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

13.6. Intervalos de confianza 139

13.6. Intervalos de confianza

Para el caso de siete estados medidos, los intervalos de confianza de Cramer-Rao

no pueden ser calculados ya que la FIM es singular y estos requieren la inversion

de la misma.

Los parametros optimos y los intervalos de confianza del 95 % obtenidos median-

te a aproximacion de Cramer-Rao para el experimento en el que se miden todos los

estados se muestran en la Tabla 13.3. Como puede apreciarse, los intervalos de con-

fianza son muy elevados para todos los parametros que presentan altas correlaciones

con otros lo que significa que estos fueron estimados con muy poca precision.

Param pn Valor optimo Int conf (95 %)

kI p1 8.41e-1 4.40e-1

ka p2 1.54e+0 5.70e-1

kh p3 1.05e-1 1.05e+1

k8za1 p4 9.95e+0 7.01e+3

k9za1 p5 1.88e+0 3.48e+2

k83a p8 5.54e+0 1.37e+3

k93a p9 7.95e+0 1.99e+3

αCE p10 9.71e-2 4.13e-3

ku p11 1.10e-1 2.50e-2

KS p12 6.08e+1 8.23e+1

KA p13 1.13e-1 3.57e-2

KH p15 3.78e+0 4.54e+2

KI p16 3.20e+1 3.49e+3

KS p19 1.87e+2 2.58e+6

KG p21 2.90e+4 4.21e+8

KO p25 3.19e+3 6.09e+5

Kp p26 1.46e-1 2.93e+1

KR p27 7.91e+0 5.13e+2

Tabla 13.3: Valores e intervalos de confianza de los

parametros optimos

Page 168: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

140 Capıtulo 13. Funcion de las caspasas en la apoptosis

13.7. Conclusiones

En este capıtulo se considero la estimacion de parametros en un modelo que

describe los elementos clave de la activacion de las caspasas. El empleo de metodos

globales permitio realizar un buen ajuste de los datos experimentales. El metodo

SSm resulto ser mucho mas rapido que otras tecnicas globales de probada eficacia.

Sin embargo, el analisis de la identificabilidad a posteriori, demostro la existen-

cia de graves problemas de identificabilidad por lo que no se puede asegurar que los

parametros estimados puedan reproducir el comportamiento del sistema en condi-

ciones experimentales diferentes.

Page 169: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 14

Ruta bioquımica en tres pasos

14.1. Introduccion

La construccion de modelos dinamicos de rutas bioquımicas es un punto clave pa-

ra el desarrollo de modelos celulares y de organismos completos. Estas herramientas

pueden dar lugar, en ultima instancia, a medicina predictiva y/o preventiva basada

en modelos.

Los recientes trabajos de Sugimoto et al. (2005), Voit y Almeida (2004) y Poli-

setty et al. (2006) demuestran el interes creciente por llevar a cabo la identificacion

de modelos de rutas bioquımicas. En Moles et al. (2003b) se considera un conjun-

to seleccionado de metodos estocasticos y deterministas de optimizacion global que

pueden manejar modelos tipo caja negra para resolver el problema de estimacion de

parametros de una ruta bioquımica empleado como problema de referencia (ver Fi-

gura 14.1). Solamente un cierto tipo de metodos estocasticos de optimizacion global,

las estrategias evolutivas, fueron capaces de resolver con exito el problema inverso

asociado aunque con un esfuerzo de calculo muy elevado, especialmente cuando se

requiere una gran precision para la solucion.

Con objeto de acelerar los metodos de optimizacion global estocasticos mante-

niendo su robustez, las estrategias hıbridas tratan de combinar ambas metodologıas

de un modo adecuado (sinergico) para beneficiarse de sus ventajas reduciendo, o

eliminando, sus limitaciones. En este capıtulo se utilizo el metodo hıbrido secuencial

en dos fases, estocastico-determinista presentado en la seccion 7.3. Con objeto de

incrementar todavıa mas la eficiencia computacional y de comparar ambas aproxi-

maciones, tambien se empleo el metodo hıbrido paralelo sincronico basado en Scatter

Search presentado en la seccion 7.4, SSm.

141

Page 170: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

142 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

S M1 M2 P

E1 E2 E3

G1 G2 G3

Figura 14.1: Esquema de reaccion para la ruta bioquımica en tres pasos

14.2. Modelo matematico

La formulacion matematica del modelo dinamico no lineal descrito por ocho

ODEs consta de 36 parametros y viene dada por (Moles et al., 2003b):

dG1

dt=

V1

1 +(

PKi1

)ni1+

(Ka1

S

)na1

− k1 G1 (14.1)

dG2

dt=

V2

1 +(

PKi2

)ni2+

(Ka2

M1

)na2− k2 G2 (14.2)

dG3

dt=

V3

1 +(

PKi3

)ni3+

(Ka3

M2

)na3− k3 G3 (14.3)

dE1

dt=

V4 G1

K4 + G1

− k4 E1 (14.4)

dE2

dt=

V5 G2

K5 + G2

− k5 E2 (14.5)

dE3

dt=

V6 G3

K6 + G3

− k6 E3 (14.6)

dM1

dt=

kcat1 E1

(1

Km1

)(S −M1)

1 + SKm1

+ M1

Km2

−kcat2 E2

(1

Km3

)(M1 −M2)

1 + M1

Km3+ M2

Km4

(14.7)

dM2

dt=

kcat2 E2

(1

Km3

)(M1 −M2)

1 + M1

Km3+ M2

Km4

−kcat3 E3

(1

Km5

)(M2 − P )

1 + M2

Km5+ P

Km6

(14.8)

Page 171: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.3. Ranking de parametros 143

donde M1, M2, E1, E2, E3, G1, G2 y G3 representan la concentracion de las 8 especies

implicadas en las diferentes reacciones bioquımicas. La concentracion del sustrato

S y del producto P actuan como variables de control y se consideran constantes

para cada experimento (su concentracion inicial es lo suficientemente elevada como

para considerar despreciable su variacion en relacion con la variacion de las demas

especies). Las condiciones iniciales para cada estado (y para todos los experimentos)

aparecen en la Tabla 14.1.

Especie Concentracion

G1 6.6667e-1

G2 5.7254e-1

G3 4.1758e-1

E1 4.0000e-1

E2 3.6409e-1

E3 2.9457e-1

M1 1.4190e+0

M2 9.3464e-1

Tabla 14.1: Valores iniciales para los 8 estados

14.3. Ranking de parametros

El valor de los cinco criterios descritos en la seccion 3.3 se muestran en la Tabla

14.2 donde los parametros aparecen en orden decreciente de acuerdo con el criterio

δmsqr. Los valores de los cinco criterios para los 36 parametros se representan en la

Figura 14.2.

Estos resultados reflejan que, a pesar de diferencias de mas de dos ordenes de

magnitud en δmsqr, la salida del modelo es considerablemente sensible a todos los

parametros. Para algunos parametros existen diferencias bastante grandes entre

δmsqry δmabs lo que indica una variabilidad relativamente elevada y/o la existen-

cia de valores extremos (outliers) en Sj. Una comparacion de δmax y δmin indica

que todos los parametros presentan sensibilidades tanto positivas como negativas

aunque, como puede verse por el signo de δmean, el efecto global es positivo para 16

parametros y negativo para los otros 20.

Page 172: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

144 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

Parametro pnumero δmsqr δmabs δmean δmax δmin

na1 p5 2.61e-1 3.81e-1 -2.42e-1 2.83e-1 -1.44e+0

na2 p11 1.80e-1 2.38e-1 -1.89e-1 1.73e-1 -1.08e+0

na3 p17 1.62e-1 2.39e-1 -1.45e-1 2.21e-1 -1.05e+0

Ka1 p4 1.42e-1 2.52e-1 -1.99e-1 1.16e-1 -9.67e-1

Ka2 p10 1.32e-1 2.32e-1 -2.17e-1 6.26e-2 -1.09e+0

k4 p21 1.21e-1 3.00e-1 -1.21e-1 3.30e-1 -1.39e+0

Ka3 p16 1.19e-1 2.59e-1 -1.50e-1 2.55e-1 -1.20e+0

k1 p6 1.11e-1 2.74e-1 -2.27e-1 8.32e-2 -1.47e+0

V 1 p1 1.08e-1 2.61e-1 2.31e-1 1.00e+0 -6.39e-2

k2 p12 1.07e-1 2.43e-1 -2.21e-1 9.66e-2 -1.07e+0

V 2 p7 1.06e-1 2.40e-1 2.19e-1 1.02e+0 -9.61e-2

k6 p27 9.68e-2 2.29e-1 1.57e-2 5.65e-1 -9.96e-1

k5 p24 9.58e-2 1.98e-1 -1.47e-1 1.94e-1 -1.22e+0

k3 p18 9.37e-2 2.23e-1 -1.28e-1 2.57e-1 -1.03e+0

V 3 p13 9.31e-2 2.21e-1 1.29e-1 9.92e-1 -2.47e-1

V 4 p19 8.88e-2 2.10e-1 1.61e-1 9.99e-1 -9.08e-2

V 5 p22 8.53e-2 1.80e-1 1.34e-1 9.84e-1 -1.65e-1

V 6 p25 8.31e-2 1.99e-1 -1.50e-4 8.10e-1 -4.49e-1

kcat1 p28 7.40e-2 1.85e-1 -1.04e-2 2.73e-1 -4.61e-1

kcat3 p34 7.18e-2 1.74e-1 -1.52e-1 3.09e-2 -6.72e-1

K4 p20 6.44e-2 1.47e-1 -1.04e-1 7.97e-2 -7.47e-1

K6 p26 6.39e-2 1.52e-1 -3.66e-3 3.21e-1 -6.44e-1

K5 p23 6.30e-2 1.27e-1 -9.63e-2 1.07e-1 -7.39e-1

Km1 p29 6.00e-2 1.31e-1 4.96e-2 4.20e-1 -1.22e-1

Km5 p35 4.94e-2 1.15e-1 9.86e-2 4.20e-1 -2.30e-2

Ki2 p8 4.02e-2 4.95e-2 4.49e-2 2.41e-1 -2.07e-2

Ki3 p14 3.93e-2 4.84e-2 3.92e-2 2.18e-1 -3.52e-2

Ki1 p2 3.75e-2 4.34e-2 4.09e-2 1.74e-1 -4.05e-3

kcat2 p31 3.27e-2 8.54e-2 2.18e-2 2.52e-1 -1.86e-1

Km2 p30 2.22e-2 5.37e-2 -8.38e-3 7.36e-2 -1.72e-1

Km3 p32 1.80e-2 4.94e-2 -1.19e-2 1.02e-1 -1.45e-1

ni1 p3 8.41e-3 1.06e-2 1.05e-2 4.13e-2 -3.00e-4

Km4 p33 7.48e-3 1.94e-2 5.25e-3 6.20e-2 -4.38e-2

ni2 p9 7.46e-3 9.28e-3 8.21e-3 5.41e-2 -5.29e-3

Km6 p36 6.34e-3 1.65e-2 -9.16e-3 9.81e-3 -5.53e-2

ni3 p15 4.97e-3 6.24e-3 3.15e-3 3.79e-2 -1.04e-2

Tabla 14.2: Valores para el ranking de parametros

Page 173: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.4. Estimacion de parametros 145

5 11 17 4 10 21 16 6 1 12 7 27 24 18 13 19 22 25 28 34 20 26 23 29 35 8 14 2 31 30 32 3 33 9 36 15−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Parámetros

Val

or d

el c

riter

io

dmsqr

dmabs

dmean

dmax

dmin

Figura 14.2: Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr

14.4. Estimacion de parametros

El problema de optimizacion consiste en ajustar los 36 parametros del modelo

matematico, que estan divididos en dos clases diferentes: seis que pueden variar en

el rango (0.1, 10), y todos los demas, que pueden variar en el rango (10−12, 103) (ver

Tabla 14.3).

Con el fin de estudiar el comportamiento de las diferentes tecnicas para la re-

solucion del problema inverso se generaron datos pseudo-experimentales mediante

simulacion a partir de un conjunto determinado de parametros considerados como

los verdaderos o valores nominales (ver Tabla 14.3). De este modo, las medidas

pseudo-experimentales de las concentraciones de las especies de metabolitos, pro-

teınas y RNA mensajero, correspondientes a las ocho especies implicadas en las

diferentes reacciones bioquımicas descritas, son el resultado de 16 experimentos di-

ferentes (simulaciones) con distintas concentraciones iniciales de sustrato (S) y de

producto (P ). Los valores de S y P correspondientes a cada experimento para el

diseno original y para el diseno optimo se muestran en la Tabla 14.4.

En una primera etapa los datos simulados corresponden a resultados exactos,

Page 174: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

146 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

Parametros pnumero Val. nom. Lımite inf. Lımite sup.

V1 p1 1 1e-12 1e+3

Ki1 p2 1 1e-12 1e+3

ni1 p3 2 1e-1 1e+1

Ka1 p4 1 1e-12 1e+3

na1 p5 2 1e-1 1e+1

k1 p6 1 1e-12 1e+3

V2 p7 1 1e-12 1e+3

Ki2 p8 1 1e-12 1e+3

ni2 p9 2 1e-1 1e+1

Ka2 p10 1 1e-12 1e+3

na2 p11 2 1e-1 1e+1

k2 p12 1 1e-12 1e+3

V3 p13 1 1e-12 1e+3

Ki3 p14 1 1e-12 1e+3

ni3 p15 2 1e-1 1e+1

Ka3 p16 1 1e-12 1e+3

na3 p17 2 1e-1 1e+1

k3 p18 1 1e-12 1e+3

V4 p19 0.1 1e-12 1e+3

K4 p20 1 1e-12 1e+3

k4 p21 0.1 1e-12 1e+3

V5 p22 0.1 1e-12 1e+3

K5 p23 1 1e-12 1e+3

k5 p24 0.1 1e-12 1e+3

V6 p25 0.1 1e-12 1e+3

K6 p26 1 1e-12 1e+3

k6 p27 0.1 1e-12 1e+3

kcat1 p28 1 1e-12 1e+3

Km1 p29 1 1e-12 1e+3

Km2 p30 1 1e-12 1e+3

kcat2 p31 1 1e-12 1e+3

Km3 p32 1 1e-12 1e+3

Km4 p33 1 1e-12 1e+3

kcat3 p34 1 1e-12 1e+3

Km5 p35 1 1e-12 1e+3

Km6 p36 1 1e-12 1e+3

Tabla 14.3: Valores nominales y lımites para los 36 parametros

Page 175: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.4. Estimacion de parametros 147

Concentracion de S Concentracion de P

Experimento 1 0.1 0.05

Experimento 2 0.1 0.13572

Experimento 3 0.1 0.36840

Experimento 4 0.1 1.0

Experimento 5 0.46416 0.05

Experimento 6 0.46416 0.13572

Experimento 7 0.46416 0.36840

Experimento 8 0.46416 1.0

Experimento 9 2.1544 0.05

Experimento 10 2.1544 0.13572

Experimento 11 2.1544 0.36840

Experimento 12 2.1544 1.0

Experimento 13 10 0.05

Experimento 14 10 0.13572

Experimento 15 10 0.3684

Experimento 16 10 1.0

Tabla 14.4: Valores de S y P (10 experimentos)

es decir, medidas sin ruido (conjunto de datos pseudo-experimentales I). A conti-

nuacion, se anadieron errores relativos, normalmente distribuidos, de un 3% y un

5% a los datos resultantes de la simulacion dando lugar a los conjuntos de datos

pseudo-experimentales II y III, respectivamente:

z∗ (i) = z (i)± σν (14.9)

donde ν representa la variable normalmente distribuida con media cero y desviacion

estandar igual a la unidad y σ son las desviaciones estandar de los errores anadidos a

z∗. El error relativo (r) se utiliza para definir estas desviaciones estandar σ = rz (i).

Resultados de los metodos locales

En una primera aproximacion, se intento resolver el problema empleando varios

metodos locales (n2fb, NOMADm y solnp) llegando a la conclusion de que ninguno

de ellos es capaz de resolver el problema satisfactoriamente si no se inicializa en un

punto muy proximo al verdadero valor de los parametros. Ademas, la aproximacion

multi-start tradicional (es decir, elegir un gran numero de valores iniciales aleatorios

Page 176: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

148 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

dentro de los lımites de los parametros y realizar la busqueda local desde cada uno

de ellos) dio lugar a un gran numero de soluciones locales. En la Figura 14.3, se

puede observar el histograma de frecuencias para el metodo n2fb en modo multi-

start donde la mayor parte de las soluciones estan lejos del optimo global que no se

alcanzo en ninguna ocasion.

0 200 400 600 800 1000 12000

5

10

15

20

25

30

Función Objetivo

Fre

cuen

cia

Figura 14.3: Frecuencia de las soluciones de n2fb en modo multi-start

Esto lleva a confirmar la idea de que solo los metodos de optimizacion global son

adecuados para resolver esta clase de problemas.

Resultados del metodo hıbrido SRES-n2fb

Los resultados obtenidos con el hıbrido SRES-n2fb mejoraron significativamente

los resultados de Moles et al. (2003b) utilizando SRES solo. En concreto, el tiempo

computacional se redujo en un orden de magnitud (de un rango de 35-40 a 2-3

horas, empleando 5 optimizaciones con cada aproximacion) y, simultaneamente, se

obtuvo un valor de la funcion objetivo mucho mejor (en el caso de conjunto de datos

I, el valor final de la funcion objetivo se redujo de 10−3 a 10−7). Esto se muestra

claramente en la Figura 14.8, donde se comparan las curvas de convergencia (valor

de la funcion objetivo frente al tiempo computacional, en escala logarıtmica) del

metodo SRES y del hıbrido SRES-n2fb (para este ultimo, la fase estocastica global y

la local se representan con distinto tipo de lınea). Notese que, para esta grafica, el

metodo hıbrido fue inicializado a proposito en un punto peor (es decir, con un valor

Page 177: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.4. Estimacion de parametros 149

mayor de la funcion objetivo) que el metodo SRES. A pesar de esta ventaja inicial,

puede verse como la fase local del hıbrido proporciona una convergencia mucho mas

rapida a una solucion mejor, dando lugar a una aceleracion total de un orden de

magnitud.

Basandose en la observacion de la Figura 14.8, serıa natural argumentar que un

cambio mas temprano de la busqueda estocastica a la fase local del hıbrido podrıa

dar lugar a una aceleracion todavıa mayor. Sin embargo, como ya se discutio en

la seccion 7.3, si el cambio se realiza demasiado pronto, este podrıa dar lugar a la

convergencia a una solucion local, es decir, un punto de cambio anterior tiene mayor

probabilidad de estar fuera de la zona de atraccion de la solucion global. Este efecto

se ilustra en la Figura 14.4 donde se representan tres busquedas locales realizadas a

partir de diferentes puntos de la misma busqueda global. Las flechas indican el punto

de cambio a lo largo de la curva de convergencia de SRES (lınea contınua), mientras

que la convergencia de n2fb para cada punto se representa por lıneas discontinuas.

Las dos primeras, senaladas con (a), convergieron a soluciones locales, mientras que

la ultima, senalada con (b), alcanza la solucion optima global.

0 2000 4000 6000 8000 10000 1200010

−8

10−6

10−4

10−2

100

102

104

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

o

(a)

(b)

Figura 14.4: Efecto del punto de cambio en la convergencia del hıbrido

Obviamente, el tamano de la zona de atraccion, o en general, la topologıa del

espacio de busqueda, es dependiente del problema. Por lo tanto, encontrar un punto

de cambio adecuado que de lugar a la mejor relacion eficiencia/robustez requiere

unos cuantos ensayos preliminares. De todos modos, una vez que esto se ha llevado

a cabo (y el tiempo computacional no es prohibitivo), nuestra experiencia demuestra

Page 178: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

150 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

que el hıbrido ajustado puede ser aplicado a otros conjuntos de datos, o incluso a

modelos ligeramente diferentes, sin ajuste adicional.

Para el conjunto de datos I, el mejor resultado (J=1.54e-7) se obtuvo despues de

un tiempo de calculo de 3.1 horas. Para el conjunto de datos pseudo-experimentales

II (3% de error) el mejor resultado (J = 1.25) se obtuvo despues de un tiempo de

calculo de 3.4 horas y para el conjunto de datos pseudo-experimentales III (5% de

error) se alcanzo un valor de la funcion objetivo J = 3.27 en un tiempo de calculo

total de 3.5 horas. En la Tabla 14.5 se muestran los valores del tiempo computacional

y de la funcion objetivo en cada una de las etapas del metodo hıbrido (punto inicial,

punto de cambio y resultado final) para los tres conjuntos de datos.

Conjunto I Conjunto II Conjunto III

J tCP U(h) J tCP U(h) J tCP U(h)

Punto inicial 1180 0 1116 0 1100 0

Primera etapa 48.2 1.55 34.9 2.50 44.6 2.09

Segunda etapa 1.54e-7 1.59 1.25 0.93 3.27 1.39

Final 1.54e-7 3.14 1.25 3.43 3.27 3.47

Tabla 14.5: Evolucion de SRES-n2fb para los conjunto de datos I y II

Este metodo hıbrido converge siempre a la solucion global si la segunda fase

(metodo n2fb) se inicializa desde un punto lo suficientemente cercano a la solucion

global. En este caso (y como confirman los puntos de cambio para la mejor solucion

de cada uno de los tres conjuntos de datos) se puede considerar J < 35 como criterio

de parada para la primera etapa para asegurar la convergencia. Ademas, siempre

se puede asegurar la convergencia a resultados mejores que los de cualquier meto-

do local (incluso en modo multi-start) en un tiempo computacional relativamente

pequeno.

Para dar una medida cuantitativa de la calidad de las soluciones obtenidas con

el metodo hıbrido para los tres conjuntos de datos, se calcularon los errores relativos

de los parametros estimados con respecto a los parametros nominales (verdaderos).

En el caso de los datos sin error (conjunto I), el hıbrido recupera el valor de todos

los parametros con un error relativo muy bajo (practicamente se puede decir que

recupera los valores exactos de los parametros verdaderos). En el caso de datos con

ruido, que son mucho mas realistas, las Figuras 14.5 y 14.6 muestran como el error

puede ser de hasta un 20% para ciertos parametros, pero que para la mayorıa de

ellos es bastante inferior al 10%, que es un resultado muy satisfactorio. En cualquier

caso, como se discutira mas adelante, este problema (debido al diseno experimental

Page 179: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.4. Estimacion de parametros 151

considerado) presenta ciertas dificultades con respecto a su identificabilidad que

pueden explicar en parte esos errores.

5 10 15 20 25 30 35−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Parámetro

erro

r re

lativ

o (%

)

Figura 14.5: Error relativo considerando

el conjunto de datos II (3 % de error)

5 10 15 20 25 30 35−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Parámetro

erro

r re

lativ

o (%

)

Figura 14.6: Error relativo considerando

el conjunto de datos III (5 % de error)

La Figura 14.4 muestra los valores M1, M2, E1, E2, E3, G1, G2 y G3 teoricos

(lınea continua) frente a sus experimentales (marcador) considerando los mejores

parametros estimados por el metodo hıbrido secuencial para el conjunto de datos

III en cada uno de los 16 experimentos. Notese que existe una muy buena correlacion

entre los datos experimentales y los predichos incluso para el conjunto de datos con

mas ruido. El comportamiento para los otros dos conjuntos de datos es similar por

lo que se omitio su representacion.

Resultados del metodo SSm

Como se puede apreciar en la Figura 14.8 el metodo hıbrido paralelo sincronico,

SSm, fue capaz de mejorar el resultado del metodo hıbrido secuencial SRES-n2fb en

un orden de magnitud con respecto al tiempo computacional. Ademas, SSm presenta

la ventaja de no requerir ningun ensayo preliminar para el ajuste del metodo, lo que

hace que sea una estrategia muy facil de usar. En resumen, empleando SSm se redujo

el tiempo computacional de dos dıas (Moles et al., 2003b) a un par de minutos,

asegurando la robustez.

Page 180: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

152 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

5

6

M1

Tiempo (min)

0 20 40 60 80 100 1200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

M2

Tiempo (min)

0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

E1

Tiempo (min)

0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

E2

Tiempo (min)

0 20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

E3

Tiempo (min)

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

G1

Tiempo (min)

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

G2

Tiempo (min)

0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

G3

Tiempo (min)

Figura 14.7: Valores predichos versus datos pseudo-experimentales (conjunto III)

Page 181: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.5. Identificabilidad a posteriori 153

102

103

104

105

10−6

10−4

10−2

100

102

104

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

o

SRESSRESn2fbSSm

Método híbrido

Figura 14.8: Curvas de convergencia de SRES, hıbrido SRES-n2fb y SSm

14.5. Identificabilidad a posteriori

Un estudio sobre el condicionamiento de la FIM demuestra que esta no esta bien

condicionada (rcond(FIM) = 1.7e-7) pero que no es singular, lo que significa que los

parametros son practicamente identificables para el valor optimo encontrado a partir

de los datos experimentales considerados (conjunto II). La matriz de correlacion a

posteriori se representa en la Figura 14.9. Se puede percibir que, aunque ningun

elemento fuera de la diagonal es igual a +1 o -1, los pares (p1,p6), (p7,p12) (p13,p18)

tienen correlaciones muy elevadas (mayores que 0.99 en valor absoluto) lo que explica

en cierto modo las dificultades encontradas por algunos metodos para resolver el

problema.

Para ilustrar mejor esta situacion, la Figura 14.11 muestra las lıneas de contorno

correspondientes a la funcion objetivo en el plano de los parametros para un par de

parametros poco correlacionados (p1,p4), mientras que la Figura 14.10 presenta la

grafica equivalente para un par de parametros altamente correlacionados (p1,p6).

En el primer caso, la falta de correlacion se refleja en un contorno bastante

redondeado de la funcion objetivo en la vecindad del mınimo. Sin embargo, la grafica

correspondiente al par (p1,p6) muestra un largo valle a lo largo de la diagonal de

estos dos parametros, donde todos los puntos de esta diagonal presentan valores muy

Page 182: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

154 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

35

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 14.9: Matriz de correlacion a posteriori

pequenos y similares de la funcion de coste. Por lo tanto, aunque existe un mınimo

verdadero para los valores (1,1), existen muchas otras combinaciones de p1 y p6 que

dan practicamente el mismo valor de la funcion objetivo, es decir, que dan lugar al

mismo comportamiento del modelo para el diseno de experimentos considerado.

14.6. Intervalos de confianza

Los intervalos de confianza del 95 % calculados a partir de la matriz de infor-

macion de Fisher para los 36 parametros se representan en la Tabla 14.6. Como se

0.5 1 1.50.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

p1

p 6

Figura 14.10: Lıneas de contorno

para los parametros p1 y p6

0.5 1 1.50.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

p1

p 4

Figura 14.11: Lıneas de contorno

para los parametros p1 y p4

Page 183: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.6. Intervalos de confianza 155

Int conf (95 %) Int conf (95%) Int conf (95 %)

Parametro pn Conjunto I Conjunto II Conjunto III

V 1 p1 2.160e-5 8.639e-2 1.424e-1

Ki1 p2 2.056e-6 1.148e-2 1.953e-2

ni1 p3 9.278e-6 1.012e-1 1.478e-1

Ka1 p4 2.036e-6 1.149e-2 1.869e-2

na1 p5 2.957e-6 1.651e-2 2.861e-2

k1 p6 2.157e-5 8.558e-2 1.409e-1

V 2 p7 3.197e-5 6.952e-2 1.739e-1

Ki2 p8 2.228e-6 1.335e-2 2.063e-2

ni2 p9 1.381e-5 1.078e-1 1.903e-1

Ka2 p10 2.282e-6 1.396e-2 2.164e-2

na2 p11 4.819e-6 1.915e-2 3.127e-2

k2 p12 3.210e-5 7.001e-2 1.717e-1

V 3 p13 3.667e-5 1.228e-1 2.320e-1

Ki3 p14 7.752e-6 2.135e-2 3.307e-2

ni3 p15 4.084e-5 1.675e-1 3.440e-1

Ka3 p16 7.689e-6 2.337e-2 3.858e-2

na3 p17 7.610e-6 2.190e-2 3.695e-2

k3 p18 3.644e-5 1.236e-1 2.360e-1

V 4 p19 7.369e-7 2.703e-3 4.053e-3

K4 p20 1.228e-5 3.805e-2 5.344e-2

k4 p21 3.694e-7 1.608e-3 2.778e-3

V 5 p22 9.714e-7 3.307e-3 4.883e-3

K5 p23 1.375e-5 4.465e-2 7.318e-2

k5 p24 9.298e-7 2.561e-3 3.112e-3

V 6 p25 1.245e-6 3.167e-3 7.095e-3

K6 p26 1.809e-5 4.707e-2 1.002e-1

k6 p27 9.718e-7 1.999e-3 3.672e-3

kcat1 p28 1.067e-5 3.198e-2 5.926e-2

Km1 p29 1.905e-5 5.059e-2 9.101e-2

Km2 p30 5.175e-5 1.913e-1 2.727e-1

kcat2 p31 2.475e-5 7.569e-2 1.339e-1

Km3 p32 3.781e-5 9.858e-2 1.510e-1

Km4 p33 9.325e-5 3.560e-1 3.855e-1

kcat3 p34 2.376e-5 6.890e-2 1.079e-1

Km5 p35 3.646e-5 1.034e-1 1.563e-1

Km6 p36 2.456e-5 9.928e-2 1.317e-1

Tabla 14.6: Intervalos de confianza de los parametros optimos

Page 184: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

156 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

puede observar, el valor de los intervalos de confianza es pequeno para todos los

parametros y los tres conjuntos de datos lo que indica una buena estimacion de los

mismos. Como era de esperar, estos intervalos son mayores a medida que aumenta

el error de los datos experimentales.

Aunque en todos los casos los valores de confianza son aceptables, estos son

mayores para los parametros que presentan altas correlaciones. Vease, por ejemplo,

que los intervalos para el parametro p1 que presenta altas correlaciones con otros

parametros, estos son un orden de magnitud mayores que para el parametro p2 que

esta poco correlacionado. Esta situacion puede ser mejorada mediante un diseno

experimental adecuado.

14.7. Diseno optimo de experimentos

Una vez que las herramientas para la evaluacion de la identificabilidad y otras

medidas relacionadas han proporcionado informacion util sobre las propiedades del

problema, es importante darse cuenta de que estas corresponden al diseno experi-

mental concreto que se esta considerando. Sin embargo, como se ha explicado en

el capıtulo de Metodologıa correspondiente al diseno optimo de experimentos, este

diseno puede ser mejorado mediante la formulacion y la resolucion de un problema

de optimizacion dinamica.

El diseno experimental considerado hasta este momento (que se denotara como

original) consiste en 16 combinaciones diferentes de valores de S y P que se mantienen

constantes a lo largo de cada uno de los experimentos. Para un diseno experimental

nuevo, se podrıa intentar disenar experimentos en los que S y P varıen a lo largo

del tiempo. Aunque esto es factible numericamente, se asumio que, para este caso

particular y debido a limitaciones practicas, estos controles (es decir, los valores de

S y P), deben ser constantes durante cada uno de los experimentos. Por lo tanto, el

problema de OED puede ser formulado como:

Dado el numero de experimentos nuevos que se desean realizar N2exp, encontrar

los valores de S y P para cada uno que maximicen o minimicen el valor de un cierto

criterio basado en la FIM sujeto a las siguientes restricciones:

dinamica del sistema

lımites para S y P

otras posibles restricciones (por ejemplo debidas a limitaciones practicas)

Este es un problema de optimizacion no lineal (NLO) con restricciones diferen-

ciales que puede resolverse como se detalla en seccion 6.2. Notese que, por supuesto,

Page 185: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.7. Diseno optimo de experimentos 157

tambien podrıa plantearse una formulacion mas (o menos) general del problema.

Por ejemplo, el numero de nuevos experimentos N2exp podrıa ser considerado como

una variable de decision, dando lugar a un problema de optimizacion no lineal en-

tero mixto (Mixed-Integer Non-Linear Programming, MINLP) con un problema de

valor inicial interno. El horizonte de tiempo y los tiempos de muestreo para cada

experimento tambien podrıan ser considerados como variables de decision. Obvia-

mente, aumentar la generalidad de la formulacion implica resolver un problema de

optimizacion mas complejo.

Para los objetivos de este trabajo, se considero que el valor de N2exp es fijo y

ademas:

el horizonte de tiempo y los tiempos de muestreo son los mismos que en el

diseno original

los lımites para los valores de S y P se consideran como el maximo y el mınimo

valor de estas variables en el diseno original

los valores de P y S son invariantes con el tiempo para cada uno de los expe-

rimentos

De este modo, se intento encontrar un diseno experimental alternativo de igual

dificultad practica que el original (es decir, al emplear los mismos tiempos de mues-

treo significa que se podran utilizar los mismos sensores, etc.).

Este problema fue resuelto mediante la minimizacion del criterio E, consideran-

do 10 y 16 experimentos. Para su resolucion se emplearon los metodos globales DE,

SRES y SSm alcanzando los tres la solucion optima global. No obstante, como mues-

tra la Figura 14.12 para el caso de 16 experimentos, SSm resulto ser un orden de

magnitud mas rapido que los otros dos. Ademas se utilizaron dos metodos locales,

fmincon y NOMADm, que quedaron atrapados en soluciones locales confirmando la

multimodalidad del problema y la necesidad de emplear metodos de optimizacion

global.

Los resultados se resumen en la Tabla 14.7, donde se muestran los valores del

criterio E y de otros criterios para el diseno original y para los disenos resultantes.

El nuevo diseno de 16 experimentos mejora el criterio E (empleado para la optimi-

zacion) en un orden de magnitud. Ademas, tambien reduce el criterio E modificado

y simultaneamente mejora los demas. Sin embargo, debe destacarse que el criterio E

modificado del nuevo diseno es tambien muy grande, indicando que todavıa existen

problemas de identificabilidad aunque en menor grado.

Page 186: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

158 Capıtulo 14. Ruta bioquımica en tres pasos

100

101

102

103

104

105

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018fminconNOMADmDESRESSSm

Fun

cion

obj

etiv

o =

crit

erio

E

Tiempo CPU (s)

Figura 14.12: Curvas de convergencia para el OED con 16 experimentos

El nuevo diseno optimo para 10 experimentos tambien mejora el criterio E del

diseno original aunque en menor medida. Esto era de esperar ya que menos expe-

rimentos significa menos informacion. Sin embargo, cabe destacar que, a pesar de

la reduccion sustancial del trabajo experimental de este nuevo diseno, el criterio E

todavıa pudo ser mejorado significativamente.

Criterio Diseno Diseno Opt. Diseno Opt.

Original (16 exp.) (10 exp.)

Criterio E 1.658e-2 1.404e-3 2.586e-3

Criterio E modificado 1.682e+6 8.673e+5 1.443e+6

Criterio A 6.040e-2 6.162e-3 1.181e-2

Criterio A modificado 2.670e+8 9.434e+8 7.887e+8

Criterio D 2.264e+161 8.799e+185 5.428e+177

Tabla 14.7: Diseno original y disenos optimos para 16 y 10 experimentos

A partir del diseno optimo para 16 experimentos se generaron nuevos valores

pseudo-experimentales y se volvio a calibrar el modelo dando lugar a valores muy

similares para los parametros y disminuyendo los intervalos de confianza de los que

aparecıan mas correlacionados en el diseno original.

Page 187: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

14.8. Conclusiones 159

14.8. Conclusiones

En este capıtulo se considero la estimacion de parametros y el diseno expe-

rimental optimo para un modelo de una ruta bioquımica. Empleando el hıbrido

SRES+n2fb para el problema de estimacion de parametros se obtuvieron soluciones

mejores que con el metodo SRES a solas en un tiempo computacional mucho mas

reducido. Ademas, esta metodologıa demostro ser robusta cuando se maneja ruido

en las medidas. Sin embargo, empleando el metodo SSm el tiempo computacional

se reduce todavıa mas pasando de un rango de 35-40 horas con SRES a un par de

minutos, conservando la robustez.

El analisis de identificabilidad revelo correlaciones elevadas entre ciertos pares

de parametros que estaban ocasionando un mal condicionamiento del problema.

Mediante el uso de nuevos disenos experimentales se demostro que esta situacion

puede ser mejorada. Los parametros estimados utilizando datos experimentales ob-

tenidos a partir del diseno optimo presentaron intervalos de confianza menores que

los estimados con el diseno original.

Los resultados del diseno optimo de experimentos confirman la utilidad de esta

metodologıa mejorando la precision de los parametros estimados a la vez que se

reduce el esfuerzo experimental.

Page 188: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 189: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Capıtulo 15

Cinetica de la glucosa en pacientes

diabeticos

15.1. Introduccion

La diabetes mellitus se define como un grupo de enfermedades metabolicas que

se caracterizan por altos niveles de glucosa en sangre (hiperglucemia) (Expert Com-

mittee on the Diagnosis and Classification of Diabetes Mellitus, 2003). Esta hiper-

glucemia es el resultado de defectos en la secrecion de insulina, en la accion de la

insulina, o en ambas. En la diabetes de tipo 1 hay una deficiencia absoluta de secre-

cion de insulina debido a la destruccion de las celulas β. Las personas con diabetes

de tipo 1 son propensas a la cetoacidosis y son totalmente dependiente de insulina

exogena. Se estima que en el ano 2000 habıa 17.1 millones de personas con diabetes

de tipo 1 en todo el mundo (Wild et al., 2004; Eiselein et al., 2004).

En diabetes, la hiperglucemia cronica se asocia con complicaciones a largo plazo

debido a danos, disfunciones e insuficiencias en varios organos, especialmente ojos,

rinones, nervios, corazon y vasos sanguıneos. Las mayores complicaciones son en-

fermedades cardıacas, ataques de apoplejıa, retinopatıas, nefropatıas y neuropatıas.

Estas pueden eventualmente producir fallos renales, ceguera, amputacion y otros

tipos de morbilidad. Los sujetos con diabetes tienen un alto riesgo de sufrir en-

fermedades cardiovasculares y se enfrentan a una mayor morbilidad y mortalidad

cuando son enfermos crıticos.

La eficacia de un tratamiento intensivo para la prevencion de complicaciones

diabeticas ha sido demostrada por el Ensayo sobre el Control y las Complicacio-

nes de la Diabetes (Diabetes Control and Complications Trial, 1993) y el Estudio

Prospectivo de Diabetes del Reino Unido (United Kingdom Prospective Diabetes

Study, 1998). En ambos ensayos los regımenes de tratamiento que redujeron la me-

161

Page 190: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

162 Capıtulo 15. Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos

dia de la hemoglobina glicosilada A1C (medida clınica del control glucemico que

refleja los niveles medios de glucosa en sangre durante los 2-3 meses precedentes) a

un aproximadamente 7% (el rango normal es de 4-6 %) fueron asociados con pocas

complicaciones microvasculares a largo plazo. A pesar de ello, evidencias recientes

sugieren que estos niveles objetivo no son suficientemente bajos (Khaw et al., 2001;

Muntner et al., 2005).

Los tratamientos intensivos requieren multiples inyecciones diarias de insulina

(tres o mas), o un tratamiento con una bomba de infusion de insulina (ver Figura

15.1). En cualquier caso, este control estricto (lo mas cercano posible a la normali-

dad) debe mantenerse de por vida para aprovechar todos los beneficios que confiere.

Hay muchos factores que influyen en la dosis de insulina requerida a traves del tiem-

po, incluyendo el peso, la condicion fısica y los niveles de estres. Debido a esto, se

requiere una monitorizacion frecuente de la glucosa en sangre. Basandose en estas

medidas, se puede modificar la dosificacion de la insulina, implementar cambios en

la dieta (como alteraciones en los horarios, frecuencia y contenido de las comidas)

y variar las pautas de actividad y ejercicio.

Figura 15.1: Bomba de infusion de insulina

Esto ha fomentado el desarrollo de sistemas de control retroalimentados que

puedan ajustar automaticamente las dosis de insulina (Bellazzi et al., 2001; Parker

et al., 2001; Bequette, 2005). Un componente crıtico de estos esfuerzos es el desarrollo

de un modelo matematico que pueda ser empleado para probar la eficacia del sistema.

Hay varios modelos en la literatura aunque todos ellos fueron obtenidos utilizando

datos de sujetos sin diabetes. Para el presente estudio ha sido elegido uno de los

modelos recientemente publicados por Hovorka et al. (2004), sustituyendo el modelo

para la infusion subcutanea de insulina por el descrito por Wilinska et al. (2005).

Cinco sujetos con diabetes de tipo 1 fueron sometidos a un ensayo clınico en con-

diciones de hiperinsulinemia (Defronzo et al., 1979) y euglucemia durante el cual les

fue administrada una comida y la dosis correspondiente de insulina subcutanea (Be-

vier et al., 2006). En este capıtulo, los datos recogidos fueron utilizados para ajustar

los parametros del modelo utilizando metodos de optimizacion global. Los resultados

Page 191: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

15.2. Modelo matematico 163

muestran que el modelo es capaz de describir las dinamicas observadas para sujetos

de tipo 1 y por lo tanto puede ser empleado para simular el comportamiento del

paciente en estas condiciones.

15.2. Modelo matematico

El protocolo experimental se encuentra detallado en Bevier et al. (2006). El

principal objetivo del protocolo es reunir los datos de la respuesta de la glucosa en

sangre a una comida mixta y la correspondiente dosis de insulina subcutanea; el

procedimiento de la prueba permite garantizar que el sujeto se encuentra en estado

estacionario euglucemico en el momento que comienza la ingestion de la comida.

Cada sujeto se somete a este procedimiento dos veces, de modo que se tiene un

conjunto de datos independientes para cada uno con el que validar el modelo.

La glucosa en sangre es medida cada cinco minutos durante todo el experimento.

Los niveles de insulina en plasma tambien son medidos: cada 30 minutos hasta el

comienzo de la comida, despues cada 10 minutos durante 90 minutos, a continuacion

cada 15 minutos durante 45 minutos, despues cada 20 minutos durante 40 minutos y

finalmente cada 30 minutos hasta el final del experimento. Los datos experimentales

fueron procesados con un filtro de Hampel para eliminar los datos anomalos (outliers)

(Pearson, 2002).

El modelo propuesto por Hovorka et al. (2004) es un modelo compartamental

(ver Figura 15.2). Dos estados describen la glucosa en plasma y tejidos, uno es para

la insulina en plasma y el resto describen tres efectos diferentes de la insulina en

la dinamica de la glucosa. En general, el modelo consiste en las ecuaciones de un

balance de masa que se detallan a continuacion:

dQ1(t)

dt= −F c

01 − x1(t)Q1(t) + k12Q2(t)− FR (15.1)

+UG(t) + EGP0 [1− x3(t)]

dQ2(t)

dt= x1(t)Q1(t)− [k12 + x2(t)] Q2(t) (15.2)

dx1(t)

dt= −ka1x1(t) + SIT ka1I(t) (15.3)

dx2(t)

dt= −ka2x2(t) + SIDka2I(t) (15.4)

dx3(t)

dt= −ka3x3(t) + kb3I(t) (15.5)

G(t) = Q2(t)/VG (15.6)

Page 192: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

164 Capıtulo 15. Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos

x1ka1

x2

ka2

x3

ka3

Q2k12Q1EGP0

UG

x1

x2

x3

Q2Q1

x1

kb1

x2

kb2

x3

kb3

I

Q2

Fc01Q1/(GVG)-FR

Q1

G=Q1/VG

ke

UI /VI

absorción

insulina

absorción

intestinal

Figura 15.2: Estructura del modelo de Hovorka et al. (2004)

donde

F c01 =

F01 si G ≥ 4.5 mmol/LF01G/4.5 en otro caso

(15.7)

FR =

0.003(G− 9)VG si G ≥ 9 mmol/L0 en otro caso

(15.8)

UG =DGAGte−t/tmax,G

t2max,G

(15.9)

El modelo captura algunos aspectos de la fisiologıa que otros modelos o bien

ignoran o bien agrupan con otros parametros. Estos son la variacion del efecto de

la concentracion de glucosa en el flujo de glucosa no dependiente de la insulina, la

depuracion renal de glucosa y la produccion endogena de glucosa hepatica. Este ulti-

mo efecto no se observa en nuestras condiciones experimentales, ya que es suprimido

por la hiperinsulinemia, por lo tanto se eliminara este termino del modelo para la

estimacion de parametros, ası como el correspondiente al estado x3(t).

En una publicacion posterior, el mismo grupo realizo un modelado mas detallado

para la dinamica de la absorcion de insulina para una infusion subcutanea (Wilinska

et al., 2005). El modelo que destacan con mejores resultados (Modelo 10) divide la

absorcion de insulina en un canal lento y otro rapido, basandose en que la forma

monomerica de la insulina va a ser absorbida mas rapidamente que la forma dimerica.

El modelo tambien incluye la degradacion local de insulina en el espacio de los

tejidos. La estructura del modelo se muestra en la Figura 15.3.

Page 193: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

15.3. Ranking de parametros 165

Q2

ka1Q1 Q2Q1 Q2Q1a

ku

Q2Q1 Q2Q1 Q2Q1a

(1-k)u ka2

ka1

canal lento

canal rápido

LDa

insulina en

plasma

ke

Figura 15.3: Estructura del modelo de infusion de insulina (Wilinska et al., 2005)

Las ecuaciones que describen la cinetica de la insulina son:

dQI1a(t)

dt= ku(t)− kia1QI1a(t)− LDa (15.10)

dQI1b(t)

dt= (1− k)u(t)− kia2QI1b(t)− LDb (15.11)

dQI2(t)

dt= kia1QI1a(t)− kia1QI2 (15.12)

dI(t)

dt=

1

VI

(kia1QI2 + kia2QI1b(t))− keI(t) (15.13)

donde

LDa =Vmax,ldQI1a

km,ld+QI1a(15.14)

LDb =Vmax,ldQI1b

km,ld+QI1b(15.15)

15.3. Ranking de parametros

En la Figura 15.4 se representa el valor de los criterios de los criterios descritos

en la seccion 3.3 para los 4 parametros a estimar. Los parametros aparecen en orden

decreciente de acuerdo con el criterio δmsqr y sus valores numericos se muestran en la

Tabla 15.1. Estos resultados no reflejan grandes diferencias en los valores de δmsqr

para los distintos parametros lo que indica que no hay mucha diferencia entre la

sensibilidad de la salida del modelo con respecto a variaciones en cada uno de ellos.

Entre δmsqr y δmabs tampoco hay grandes diferencias indicando que no existe mucha

Page 194: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

166 Capıtulo 15. Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos

SIT SID F01 tmaxG−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Parámetros

Val

or d

el c

riter

io

dmsqr

dmabs

dmean

dmax

dmin

Figura 15.4: Parametros ordenados por orden decreciente de δmsqr

Param pn Val nom δmsqr δmabs δmean δmax δmin

SIT p1 5.12e-3 8.17e-1 7.83e-1 -7.83e-1 0.00e+0 -9.65e-1

SID p2 8.20e-4 3.96e-1 3.62e-1 -3.62e-1 0.00e+0 -5.12e-1

tmax,G p4 4.00e+1 2.53e-1 1.36e-1 -9.81e-2 3.05e-1 -6.61e-1

F01 p3 9.70e-3 1.86e-1 1.68e-1 -1.68e-1 0.00e+0 -3.00e-1

Tabla 15.1: Valores para el ranking de parametros

variabilidad en las sensibilidades de los distintos estados con respecto a un mismo

parametro (Sj). El efecto global de las sensibilidades para todos los parametros es

negativo tal y como indica el signo de δmean.

15.4. Estimacion de parametros

Es bien sabido que los parametros del sistema glucorregulatorio varıan conside-

rablemente entre sujetos, por lo tanto, la estimacion de parametros se realizo por

separado para cada uno de los pacientes. Utilizando varios metodos de optimizacion,

se estimaron los parametros correspondientes al sistema de glucosa (F01, SIT , SID)

y tambien tmax,G considerada una constante del modelo por Hovorka et al. (2004).

Los parametros relacionados con el sistema de insulina se mantuvieron en sus valo-

res nominales. Para los metodos que requieren un valor inicial para los parametros

se consideraron los valores de la bibliografıa. Los lımites inferiores y superiores se

muestran en la Tabla 15.2.

Page 195: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

15.4. Estimacion de parametros 167

Parametro Val inicial Lımite inf Lımite sup

SIT 5.12e-3 1.00e-5 1.00e+0

SID 8.20e-4 1.00e-5 1.00e+0

F01 9.70e-3 1.00e-5 1.00e+0

tmax,G 4.00e+1 2.00e+1 1.00e+2

Tabla 15.2: Valores nominales y lımites para los cuatro parametros

En un primer momento se resolvio el problema empleando un metodo SQP en

modo multi-start. En la Figura 15.5 se muestra la frecuencia de las soluciones para

el primer paciente. Este metodo local convergio a soluciones que ajustan bastante

bien los datos experimentales pero, dado que se desconoce el valor de la funcion

objetivo en el optimo y debido a la naturaleza del metodo, no se puede saber si la

solucion obtenida corresponde al optimo global. Por ello, se hace necesario resolver

el problema empleando metodos de optimizacion global que proporciones mayores

garantıas de convergencia a la solucion optima global.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Función objetivo

Fre

cuen

cia

Figura 15.5: Frecuencia de las soluciones de un SQP en

modo multi-start

Por este motivo, se emplearon los metodos globales SRES, DE y SSm. Los tres

metodos convergieron a la solucion optima global en un tiempo reducido siendo SSm

el mas rapido de los tres. En la Figura 15.6 se muestran las curvas de convergen-

Page 196: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

168 Capıtulo 15. Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos

cia para los tres metodos durante la estimacion de parametros correspondientes al

primer paciente (para los demas pacientes los resultados obtenidos fueron similares).

2 4 6 8 10 20 40 600

1

2

3

4

5

6x 10

4

Tiempo CPU (s)

Fun

ción

obj

etiv

o

SRESDESSm

Figura 15.6: Curvas de convergencia de SRES, DE y SSm

En la Tabla 15.3 se muestran los valores de los parametros obtenidos para cada

uno de los cinco pacientes.

Paciente 1 Paciente 2 Paciente 3 Paciente 4 Paciente 5

SIT 5.05e-3 2.48e-3 4.49e-3 5.57e-4 1.73e-3

SID 1.49e-5 9.94e-5 2.18e-5 1.00e-5 1.00e-5

F01 2.36e-2 2.70e-2 2.55e-2 5.25e-2 3.60e-2

tmax,G 3.82e+1 5.58e+1 5.63e+1 8.92e+1 8.75e+1

Tabla 15.3: Valores de los parametros optimos para cada paciente

La Figura 15.7 representa el error entre los datos experimentales y los datos

predichos por el modelo para la concentracion de glucosa como funcion del tiem-

po, mostrando buena concordancia para los cinco sujetos. Los valores medios de los

errores absolutos para la concentracion de glucosa se dan en la Tabla 15.4. Se ob-

serva que los parametros estimados son apropiados y que la dinamica del sistema es

capturada. Los errores medios son inferiores al 5% para todos los sujetos a estudio.

Page 197: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

15.4. Estimacion de parametros 169

200 250 300 350 400

−10

−5

0

5

10

Tiempo (min)

Err

or d

e P

redi

cció

n (%

)

Paciente 1Paciente 2Paciente 3Paciente 4Paciente 5

Figura 15.7: Porcentaje de error entre los datos

experimentales y los predichos

Paciente 1 Paciente 2 Paciente 3 Paciente 4 Paciente 5

4.41% 3.71% 3.07 % 4.19% 4.79%

Tabla 15.4: Valor medio de los errores de prediccion para los niveles de glucosa

Los parametros ajustados para un sujeto a partir de los datos de un experimento

fueron validados con los datos de un segundo experimento. Para el sujeto 1, la Figura

15.8 muestra el ajuste del modelo basado en la primera prueba y la Figura 15.9, los

resultados de la segunda prueba comparados con la prediccion del modelo para esas

condiciones empleando el mejor conjunto de parametros encontrado utilizando los

datos experimentales de la primera.

Para los objetivos del estudio, el factor mas importante es la tendencia y esta es

capturada por el modelo cuando se utiliza para predecir los resultados de la prueba

de validacion. El error en si mismo no es malo, considerando que los dos experimentos

fueron realizados en un intervalo mas de tres meses, un periodo de tiempo suficiente

para que el peso del sujeto, su condicion fısica y otros factores que afectan estas

dinamicas hubiesen cambiado en cierta medida. Las diferencias observadas pueden

ser facilmente explicadas por un aumento en la sensibilidad a la insulina durante el

segundo experimento en comparacion con el primero.

Page 198: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

170 Capıtulo 15. Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos

0 50 100 150 200 250 300 3500

20

40

60

80

100

120

Glu

cosa

(m

g/dl

)

Tiempo (min)

datos experimentalesdata filtradospredicción del modelo

Figura 15.8: Ajuste del modelo con los

datos del experimento 1

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

20

40

60

80

100

120

140

Glu

cosa

(m

g/dl

)

Tiempo (min)

datos experimentalesdatos filtradospredicción del modelo

Figura 15.9: Validacion del ajuste con

los datos del experimento 2

15.5. Identificabilidad a posteriori

Para asegurar que el problema de estimacion de parametros esta bien planteado,

deben realizarse pruebas sobre la identificabilidad de los parametros. La identifica-

bilidad practica fue evaluada mediante la matriz de correlacion, calculada a partir

de la matriz de informacion de Fisher como se detalla en 4.3.

La matriz de correlacion (ver Figura 15.10) no presenta elementos iguales a +1

o -1 fuera de la diagonal (la mayor correlacion se encuentra entre SID y SIT con

un valor de R1,2 = −0.77), lo que significa que todos los parametros son localmente

identificables en la practica.

SIT SID F01 tmaxG

SIT

SID

F01

tmaxG

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 15.10: Matriz de correlacion a posteriori

Page 199: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

15.6. Intervalos de confianza 171

15.6. Intervalos de confianza

El valor medio de los parametros estimados para los 5 pacientes y su desviacion

estandar, se muestran en la Tabla 15.5 junto con los valores publicados por Hovorka

et al. (2004).

Parametro Hovorka et al. (2004) Valor optimo Desv estd

SIT 5.12e-3 2.86e-3 1.88e-3

SID 8.20e-4 3.12e-5 3.84e-5

F01 9.70e-3 3.29e-2 1.19e-2

tmax,G 4.00e+1 6.54e+1 2.22e+1

Tabla 15.5: Valores y desviacion estandar de los parametros optimos

Cabe destacar que, a pesar de que los parametros del sistema glucorregulatorio

varıan entre sujetos y por eso su estimacion se realiza por separado, la desviacion

estandar de algunos de ellos es relativamente pequena.

15.7. Conclusiones

En este capıtulo se considero la calibracion de un modelo para la cinetica de

la glucosa en pacientes con diabetes de tipo I. El metodo SSm demostro converger

en un tiempo computacional reducido al optimo global proporcionando un buen

ajuste de los datos experimentales. La validacion del modelo con otros conjuntos de

datos experimentales fue satisfactoria demostrando que el modelo evaluado es capaz

de describir las dinamicas observadas bajo el protocolo experimental del ensayo

hiperinulinımico-euglucemico incluyendo una comida.

Esto sugiere que el modelo considerado puede servir como punto de partida para

la incorporacion de otros efectos que ningun otro modelo describe actualmente. Estas

otras dinamicas estan relacionadas con la variacion circadiana en la sensibilidad

a la insulina, cambios en el ritmo de flujo (debidos y no debidos a la insulina)

dependiendo de los niveles de actividad fısica, y respuestas contra-regulatorias a

hipoglucemia, estres y otros.

Page 200: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 201: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Parte IV

Conclusiones

Page 202: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 203: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Conclusiones

En esta tesis se abordo el modelado y la identificacion de procesos relaciona-

dos con la industria alimentaria y biotecnologica. Debido a la compleja estructura

de estos modelos, descritos en su mayorıa por sistemas de ecuaciones algebraicas y

diferenciales ordinarias y/o en derivadas parciales de naturaleza no lineal, se desa-

rrollo una metodologıa en varios pasos para la adecuada resolucion del problema

inverso asociado.

La primera parte de este trabajo se centro en el problema de estimacion de

parametros. Como conclusiones y resultados mas relevantes cabe destacar:

Los metodos locales basados en el gradiente, empleados habitualmente para

el ajuste de sistemas dinamicos no lineales, presentan a menudo problemas de

convergencia local dando lugar a conclusiones erroneas sobre la validez de los

modelos.

La mayorıa de los metodos de optimizacion global capaces de resolver este tipo

de problemas dan lugar a tiempos de calculo excesivos, especialmente cuando

se requiere una gran precision para la solucion.

Con objeto de superar estas dificultades se desarrollo un metodo hıbrido es-

tocastico-determinista (SRES+n2fb) y se emplearon otras metaheurısticas al-

ternativas (SSm) para la calibracion de los modelos considerados. Mediante

la resolucion de una serie de problemas de complejidad media-alta, estas es-

trategias han demostrado mejorar la eficiencia sin perder robustez, manejando

adecuadamente medidas con ruido y observaciones parciales. En todos los pro-

blemas considerados, SSm resulto ser al menos dos ordenes de magnitud mas

rapido que metodos estocasticos de probada eficacia como SRES y DE.

El valor de los parametros estimados siempre debe ir acompanado de una medi-

da objetiva de su precision. Para ello se calcularon los intervalos de confianza

mediante la aproximacion de Cramer-Rao y mediante el metodo de Monte

Carlo resultando esta ultima aproximacion mas robusta.

175

Page 204: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

176 Conclusiones

En una segunda parte se realizo un estudio sobre de los diferentes metodos para el

calculo de sensibilidades y el analisis de identificabilidad obteniendose las siguientes

conclusiones:

El estudio de la identificabilidad estructural global es muy complejo para mo-

delos no lineales. Para algunos de los modelos considerados (el relativo al seca-

do de alimentos y el correspondiente a la isomerizacion termica del α-pineno)

se pudo estudiar la identificabilidad estructural mediante el metodo de series

de Taylor. A pesar de que las tecnicas basadas en algebra diferencial hayan

demostrado resultados prometedores, la aplicabilidad de las tecnicas existentes

en la actualidad es limitada (Dokos y Lovell, 2004; Baker et al., 2005) por lo

que para otros de los modelos considerados no fue posible realizar este analisis.

El analisis de sensibilidades permitio establecer un ranking en funcion de la

importancia de los parametros de modo que los que demostraron tener poco

efecto pudieron ser simplificados o incluso ignorados. Dado el caracter local

de este procedimiento, este debe realizarse con especial cautela y siempre de

modo iterativo para evitar descartar parametros poco importantes en fases

intermedias que afecten significativamente a las predicciones del modelo una

vez encontrado el optimo global. Por este motivo, siempre que fue posible, se

intento llevar a cabo la estimacion del conjunto completo de los parametros

del modelo.

Se realizo el chequeo de la identificabilidad practica de todos los modelos

considerados. En algunos casos, como en el modelo de la ruta bioquımica

en tres pasos, al llevar a cabo el estudio de identificabilidad a posteriori se

vieron algunos pares de parametros altamente correlacionados. A pesar de estos

resultados, al realizar la identificacion con metodos globales, se comprobo que

los parametros sı pueden ser determinados de forma unica. Esto lleva a pensar

que, como ya han indicado otros autores como Petersen et al. (2001), en algunos

casos la matriz de informacion de Fisher resulta inadecuada para evaluar la

identificabilidad practica. Debido a la linealizacion de primer orden del modelo

con respecto a los parametros en la que se basa la FIM, se podrıa estar

perdiendo alguna informacion sobre los parametros lo que hace que en algunas

ocasiones estos sean identificables aun cuando la FIM sea singular.

En la tercera parte de este trabajo se considero e problema de diseno optimo de

experimentos. Basandose en los resultados obtenidos se puede concluir que:

Page 205: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Conclusiones 177

El diseno optimo de experimentos mediante tecnicas de optimizacion dinamica

consiguio reducir los problemas de identificabilidad practica de algunos mode-

los a la vez que se aumento la precision de los parametros estimados.

Esta tecnica permite ademas reducir el esfuerzo experimental con el consi-

guiente beneficio economico que esto supone a nivel industrial.

Debido a la multimodalidad de este tipo de problemas, el uso de metodos

globales permitio asegurar que los nuevos experimentos disenados son global-

mente optimos y evitar la convergencia a soluciones espureas experimentada

por los metodos locales.

Los resultados obtenidos con los distintos criterios sugieren el uso de otras for-

mulaciones alternativas a ser estudiadas en trabajos futuros como, por ejemplo,

formulaciones multi-objetivo para considerar simultaneamente varios criterios

basados en la matriz de informacion de Fisher.

La cuarta parte de este trabajo consistio en el desarrollo de un entorno de trabajo

(GOSBio) para la automatizacion de estas tareas dando lugar a una herramienta de

las siguientes caracterısticas:

El entorno principal se logro empleando codigo Matlab y creando pasarelas

para llamar a codigos Fortran externos para la simulacion, el computo de las

sensibilidades parametricas y algunos metodos de optimizacion como n2fb.

Esto permitio reducir considerablemente el esfuerzo de calculo con respecto

a una implementacion completa en Matlab, manteniendose todas las ventajas

de este lenguaje en cuanto a facilidad de implementacion y visualizacion de

los resultados.

La simplicidad de uso del codigo desarrollado, su versatilidad y su rapidez lo

convierten en una herramienta practica y eficaz que puede ser empleada para

el modelado e identificacion de un amplio rango de modelos no lineales.

Por ultimo, la utilidad y potencial de esta metodologıa se ilustro mediante el mo-

delado e identificacion de una serie de procesos de complejidad media-alta tomados

del area de ingenierıa de bioprocesos. Las principales conclusiones fueron:

Secado de alimentos: mediante la aproximacion de Taylor se detectaron pro-

blemas de identificabilidad estructural en este modelo. La eliminacion de los

parametros no identificables y el empleo de metodos de optimizacion global

para la calibracion de los parametros identificables a priori permitio estimarlos

con gran precision como muestran los intervalos de confianza calculados.

Page 206: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

178 Conclusiones

Procesamiento termico de alimentos: los resultados obtenidos del diseno opti-

mo de experimentos para un esquema de esterilizacion termica de alimentos

enlatados permitio no solo reducir los problemas de identificabilidad del mode-

lo y aumentar la precision de los parametros estimados sino tambien disminuir

el esfuerzo experimental requerido con el consiguiente ahorro economico.

Isomerizacion del α-pineno: mediante la aproximacion de Taylor se demostro la

identificabilidad estructural de todos los parametros de este modelo. Sin em-

bargo, la multimodalidad del problema inverso asociado hizo que solo la me-

taheurıstica SSm fuese capaz de alcanzar la solucion global en un tiempo de

calculo reducido lo que la convierte en una estrategia muy recomendable para

la resolucion de esta clase de problemas.

Inhibicion de la proteasa del HIV: el metodo SSm resulto ser una estrategia

muy eficaz para la resolucion del problema de estimacion de parametros aso-

ciado a este modelo. Sin embargo, el analisis de identificabilidad a posteriori

y los intervalos de confianza calculados demostraron que el buen ajuste de

los datos experimentales no es siempre garantıa de una buena calibracion del

modelo. De hecho, cuando los modelos presentan problemas de identificabi-

lidad, los parametros estimados para un conjunto de datos no seran capaces

de reproducir el comportamiento del modelo en condiciones experimentales

diferentes.

Funcion de las caspasas en la apoptosis: como en el caso del modelo ante-

rior, el metodos SSm encontro un conjunto de parametros que ajustan bien los

datos experimentales en un tiempo de calculo reducido. Sin embargo, los pro-

blemas de identificabilidad a posteriori detectados no permiten asegurar que

estos parametros sean capaces de reproducir el comportamiento del sistema

en condiciones experimentales diferentes.

Ruta bioquımica en tres pasos: este problema, especialmente costoso desde

el punto de vista computacional, permitio comparar la eficacia de distintas

metodologıas demostrando la eficacia de las estrategias hıbridas frente a los

metodos estocasticos puros. Ademas, el diseno optimo de nuevos experimentos

permitio mejorar la precision de los parametros estimados a la vez que se redujo

el esfuerzo experimental.

Cinetica de la glucosa en pacientes diabeticos: el metodo SSm permitio ob-

tener un buen ajuste de los datos experimentales para todos los pacientes a

estudio. La validacion del modelo con otros conjuntos de datos experimentales

Page 207: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Conclusiones 179

no empleados para la calibracion confirmo que el modelo evaluado es capaz de

describir las dinamicas observadas bajo el protocolo experimental considerado.

Page 208: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 209: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Parte V

Apendices

Page 210: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 211: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Apendice A

Ejemplo de fichero de entrada

para el entorno GOSBio

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% USER MUST INTRODUCE HERE PROBLEM RELATED DATA: %

% --> SIMULATION DATA %

% --> OPTIMIZATION RELATED DATA %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% User may change the name of the function according to his/her necessities

% Please, remember to save the file as name_function.m

function[problem_input,ivp_solver,opt_solver,results]=mendes_input_data;

% problem_input.folder: folder to keep problem related files.

problem_input.folder=’Mendes’;

% Folder to keep all output files:

% General input report for a particular run.

% Optimizer report.

% Plots: Best fit and Convergence curve when available

results.folder=’results_SSm_noise_5_run_1’;

% problem_input.report: file to keep input/output information for each different run

results.report=’results.m’;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ANALYSIS TO BE PERFORMED %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ’PE’ Parameter estimation

% ’OED’ Optimal experimental design

% ’prior_analysis’ Performs: Ranking of parameters and local a priori identifiability analysis

% ’post_analysis’ Performs practical identifiability analysis

% ’all’ Performs a priori analysis, OED and a posteriori analysis

problem_input.task=’PE’;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% MODEL RELATED DATA %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% results.n_states: number of state variables.

problem_input.n_states=8;

183

Page 212: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

184 Apendice A. Ejemplo de fichero de entrada para el entorno GOSBio

% ODES/DAES describing the system may be supplied in the following manners:

% 1: fcn.f: Fortran file, as follows

% SUBROUTINE FCN(N,X,Y,YDOT,PAR,IPAR,U)

% IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)

% DIMENSION Y(N),YDOT(N),PAR(*),IPAR(*),U(*)

% YDOT=F(...) OR M*YDOT=F(...)

% RETURN

% END

% DAE solution may be approached using RKF45 or RADAU5.

% Note that fcn.f will vary with the solver

% 2: fcn.m: Matlab file as follows,

% function yteor = fcn(t,y,par)

% DAE system will be solved using ode15s

% 3: problem_input.ydot: a "char" type vector including the equations.

% Code will generate fortran files DAE solution may be

% approached using RKF45 or RADAU5

% 4: function yteor = fcn(t,y,par,u)

problem_input.model_type=3;

problem_input.ydot=char(...

’ydot(1)=par(28)*y(3)*(1.0d0/par(29))*(u(1)-y(1))/(1.0d0+(u(1)/par(29))+(y(1)/par(30))),...

-par(31)*y(4)*(1.0d0/par(32))*(y(1)-y(2))/(1.0d0+(y(1)/par(32))+(y(2)/par(33)))’,...

’ydot(2)=par(31)*y(4)*(1.0d0/par(32))*(y(1)-y(2))/(1.0d0+(y(1)/par(32))+(y(2)/par(33))),...

-par(34)*y(5)*(1.0d0/par(35))*(y(2)-u(2))/(1.0d0+(y(2)/par(35))+(u(2)/par(36)))’,...

’ydot(3)=par(19)*y(6)/(par(20)+y(6))-par(21)*y(3)’,...

’ydot(4)=par(22)*y(7)/(par(23)+y(7))-par(24)*y(4)’,...

’ydot(5)=par(25)*y(8)/(par(26)+y(8))-par(27)*y(5)’,...

’ydot(6)=par(1)/(1.0d0+(u(2)/par(2))**par(3)+(par(4)/u(1))**par(5))-par(6)*y(6)’,...

’ydot(7)=par(7)/(1.0d0+(u(2)/par(8))**par(9)+(par(10)/y(1))**par(11))-par(12)*y(7)’,...

’ydot(8)=par(13)/(1.0d0+(u(2)/par(14))**par(15)+(par(16)/y(2))**par(17))-par(18)*y(8)’);

% problem_input.y0: fixed initial conditions

problem_input.y0= [1.4190 9.3464e-1 4.0e-1 3.6409e-1 2.9457e-1 6.6667e-1 5.7254e-1 4.1758e-1];

% Initial conditions for the parametric sensitivities. This matrix will be zero unless the

% initial condition for a particular state depends on any parameter

problem_input.sens0=zeros(problem_input.n_states,problem_input.n_par);

% problem_input.n_par: number of model parameters (initial conditions not included here)

problem_input.n_par=36;

% problem_input.par: vector of parameters (nominal values)

problem_input.par=[1.0 1.0 2.0 1.0 2.0 1.0 1.0 1.0 2.0 1.0 2.0 1.0 1.0 1.0 2.0 1.0 2.0,...

1.0 0.1 1.0 0.1 0.1 1.0 0.1 0.1 1.0 0.1 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0];

% problem_input.n_theta_par: number of parameters to be considered

problem_input.n_theta_par= 36;

% problem_input.index_theta_par: index of parameters to be considered within vector par

problem_input.index_theta_par=[1 : 1 : 36];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% INPUT DATA TO CALCULATE THE OBJECTIVE FUNCTION. EXPERIMENTAL DATA %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% problem_input.n_exp: number of experiments

problem_input.n_exp=16;

for iexp=1:problem_input.n_exp

Page 213: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Apendice A. Ejemplo de fichero de entrada para el entorno GOSBio 185

% Measured states for experiment

% n_obsiexp: number of measured states for each experiment

problem_input.n_obsiexp=8;

% problem_input.ms includes the vector of states, or functions of states,

% to be measured. Note the brackets used.

problem_input.msiexp=char(’ms(:,1)=y(:,1)’,...

’ms(:,2)=y(:,2)’,...

’ms(:,3)=y(:,3)’,...

’ms(:,4)=y(:,4)’,...

’ms(:,5)=y(:,5)’,...

’ms(:,6)=y(:,6)’,...

’ms(:,7)=y(:,7)’,...

’ms(:,8)=y(:,8)’);

% problem_input.n_theta_y0: number of initial conditions to be estimated

problem_input.n_theta_y0iexp=0;

% problem_input.index_theta_y0: index of initial conditions to be estimated

problem_input.index_theta_y0iexp=[];

% problem_input.y0i: vector of fixed initial conditions

problem_input.exp_y0iexp=problem_input.y0;

% n_m: Number of measurements

problem_input.n_miexp=21;

% problem_input.t_ini: initial process time

problem_input.t_iniexp=0;

% problem_input.t_fi: final process time

problem_input.t_fiexp=120;

% problem_input.t_miexp: Sampling times, for non equidistant measurements

% problem_input.t0iexp: initial sampling time >= t_iniexp

problem_input.t0iexp=problem_input.t_iniexp;

% Equidistant measurements

problem_input.t_miexp=[0:6:120];

% measurement_type:

% ’sim’: the code will generate a pseudo_data, using par0, rel_error, and tm

% ’real’: the code will use real data, rel_error must be fixed to 1 in this case

%

problem_input.measurement_type=’sim’;

% problem_input.noise_type: for simulated experimental data

% 1: exp_data= yteor*(1+rel_error*rand)

% 0: exp_data= yteor+rel_error*rand (suitable for normalized values)

%

problem_input.noise_type=1;

% exp_datai: to be defined only in case measurement_type=’real’, is a matrix N_m x n_m_states,

% where the different columns correspond to the state measurements

% problem_input.rel_error: relative error introduced to pseudo-measurements.

Page 214: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

186 Apendice A. Ejemplo de fichero de entrada para el entorno GOSBio

% For the case experimental data is provided this value should be fixed to 1.0

problem_input.rel_erroriexp=0.05;

% problem_input.fobj_norm:

% 1: to normalize objective function with max experimental data.

% 0: no normalization is applied problem_input.

problem_input.fobj_norm=1;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% OBJECTIVE FUNCTION FOR OPTIMAL EXPERIMENTAL DESIGN %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% problem_input.fobj_type: Function of the FIM to be minimized

% A_optimality = trace(inv(FIM))

% A_modified = -trace(FIM) (maximize trace(FIM))

% D_optimality = -det(FIM) (maximize det(FIM))

% E_optimality = -min(abs(eig(FIM))) (maximize min(eig(FIM)))

% E_modified = max(abs(eig(FIM)))/min(abs(eig(FIM)))

problem_input.fobj_type=’D_optimality’;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% CONTROL RELATED DATA FOR EACH EXPERIMENT i %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% problem_input.n_u: number of control variables >=1 for experiment i:1-n_exp

problem_input.n_u=2;

% problem_input.n_con: number of control steps >=1 for experiment i:1-n_exp

problem_input.n_coniexp=1;

% problem_input.u: control variable for experiment i:1-n_exp

S_list = [0.1 0.1 0.1 0.1 0.46416 0.46416 0.46416 0.46416 2.1544 2.1544 2.1544 2.1544 10 10 10 10];

P_list = [0.05 0.13572 0.3684 1 0.05 0.13572 0.3684 1 0.05 0.13572 0.3684 1 0.05 0.13572 0.3684 1];

problem_input.uiexp(1,:)=S_list(iexp);

problem_input.uiexp(2,:)=P_list(iexp);

% t_con: temporal control switching points for experiment i:1-n_exp

% t_con(n_con)=tf

% problem_input.t_con=[];

problem_input.t_coniexp=[120.0];

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ODE SOLVER RELATED DATA %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Select the solver to be used from the following alternatives

% radau5: BDF based method suitable also for DAEs

% rkf45 : Runge-Kutta-Fehlberg ODE Solver

% ode15s: MATLAB code to be used when fcn.m is provided

% odessa: BDF based method suitable for parametric sensitivity analysis

ivp_solver.name= ’radau5’;

% rtol/atol: integration tolerances

ivp_solver.rtol = 1.0D-6;

ivp_solver.atol = 1.0D-6;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% NLP SOLVER RELATED DATA %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Page 215: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Apendice A. Ejemplo de fichero de entrada para el entorno GOSBio 187

% Select the solver to be used from the following alternatives

% simulate: will perform a simulation for the initial guess provided by user

% DE: Differential Evolution (Rainer and Storm, 1997)

% SRES: Stochastic Ranking Evolutionary Search (Runarsson and Yao, 2000)

% SSm: Scatter Search, Matlab version, J. Egeas - SSm beta 2.5

% only_local

% multistart

opt_solver.name=’SSm’;

opt_solver.n_starts=100; % To be used in multistart

opt_solver.local_solver=’n2fb’; % To be used in multistart or only_local

% opt_solver.par_guess/par_min/par_max: Initial guess/lower/upper bounds for the parameters

opt_solver.par_guess=[500 500 5 500 5 500 500 500 5 500 5 500 500 500 5 500 5 500 500 500,...

500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 ];

opt_solver.par_min=[1.e-12 1.e-12 0.1 1.e-12 0.1 1.e-12 1.e-12 1.e-12 0.1 1.e-12 0.1 1.e-12 1.e-12,...

1.e-12 0.1 1.e-12 0.1 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 ,...

1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12 1.e-12];

opt_solver.par_max=[1.e3 1.e3 10. 1.e3 10. 1.e3 1.e3 1.e3 10. 1.e3 10. 1.e3 1.e3 1.e3,...

10. 1.e3 10. 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3,...

1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3 1.e3];

% opt_solver.y0_guess/y0_in/y0_max:

% initial guess/lower/upper bounds for the initial conditions to be estimated

opt_solver.y0_guessiexp=[];

opt_solver.y0_miniexp=[];

opt_solver.y0_maxiexp=[] ;

% opt_solver.u_guess/u_min/u_max: Initial guess/lower/upper bounds for the controls

opt_solver.u_guessiexp(1,:)=S_list(iexp);

opt_solver.u_guessiexp(2,:)=P_list(iexp);

opt_solver.u_miniexp(1,:)=ones(1,problem_input.n_coniexp)*0.05;

opt_solver.u_miniexp(2,:)=ones(1,problem_input.n_coniexp)*0.05;

opt_solver.u_maxiexp(1,:)=ones(1,problem_input.n_coniexp)*10.0;

opt_solver.u_maxiexp(2,:)=ones(1,problem_input.n_coniexp)*10.0;

% opt_solver.t_fiexp/tf_min/tf_max

opt_solver.tf_guessiexp=[120];

opt_solver.tf_miniexp=[120];

opt_solver.tf_maxiexp=[120];

end %iexp

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% OUTPUT RELATED DATA %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Names for the figures. The name of opt and ivp solvers will be added to the names provided here

results.fit_plot=’fit_plot’;

results.convergence_curve=’conv_curve’;

results.histogram=’histogram’; results.residuals_plot=’residuals’;

results.correlation=’correlation_matrix’;

return

Page 216: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos
Page 217: Tesis Modelado e Identificacin de Bioprocesos

Parte VI

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