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8/17/2019 Tesis GARZÓN
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 1
MODELADO DE FUNCIONES DESDE EL ENFOQUE COGNITIVO DE LAS
REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS
DIEGO ALEJANDRO GARZÓN BARRERA
Licenciado en Mate!tica" # F$"ica
A"e"o%&
PEDRO JES'S (ERN)NDEZ RIZZO
P*D+ en Geoet%$a A,-e.%aica
T%a.a/o de -%ado 0a%a o0ta% a, t$t1,o de Ma-$"te% en En"e2an3a de ,a" Mate!tica"
MAESTR4A EN ENSE5ANZA DE LAS MATEM)TICAS
FACULTAD DE CIENCIAS E6ACTAS 7 NATURALES
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
MEDELL4N
89:;
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 2
Dedicato%ia
Para Katerine y Samuel.
Todo este tiempo y esfuerzo es de ustedes gracias por compartirlo para que este tra!a"o fuera posi!le. Son elimpulso m#s grande para cumplir las metas que me $e
trazado. %&os amo'
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (
A-%adeciiento"
) mi familia en especial a mis padres por su constante apoyo y fortaleza en mi proceso
formativo.
) la *niversidad de )ntioquia por a!rirme nuevamente sus puertas y enriquecer mi
faceta acad+mica y profesional.
) mi asesor el doctor Pedro ,es-s ern#ndez /izzo por su incondicional
acompa0amiento en la construcción del tra!a"o y sus significativos aportes.
) los docentes Flor Mara ,urado y en"amn uritic# puesto que desde el rol asumido
por cada uno de ellos $e reci!ido un especial apoyo para la culminación de este ciclo.
)l grupo de profesores que me acompa0ó durante mi paso por la maestra. a sido un
grato placer compartir con ustedes en el mundo de la academia. *na mención especial al
docente ,os+ 3uillermo Molina $om!re de gran sa!idura.
)l 4olegio la 5nmaculada institución donde la!oro $ace m#s de siete a0os y en especial
a los estudiantes de grado und+cimo 627189 por su disposición y disciplina para el
cumplimiento del tra!a"o propuesto.
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :
Ta.,a de contenido
Li"ta de
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 8
+ So.%e e, conce0to de
@+:+ Metodo,o-$a de ,a ine"ti-aci?n+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++=>
@+8+ Di"e2o de ,a ine"ti-aci?n+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++9
@++ M1e"t%a++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:
@+@+ Tcnica" de %eco,ecci?n de in:
;+:+ Re"1,tado" c1e"tiona%io dia-n?"tico++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++>:
;+8+ Re"1,tado" -1$a" de a0%endi3a/e++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:98
;+8+:+ Re"1,tado" -1$a :+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:98
;+8+8+ Re"1,tado" -1$a 8+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:9
;+8++ Re"1,tado" -1$a +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++::>
;+8+@+ Conc,1"ione" -ene%a,e"++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8;
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas ;
;+8+;+ Recoendacione"+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8=
Aneo"+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8>
Aneo :+ P%1e.a 0i,oto++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++:8>
Aneo 8+ G1$a& %e0%e"entando
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas <
&ista de figuras
Figura 1 /esultados competencias y componentes evaluados en la prue!a sa!er => 6a0o 271:9. 18
Figura 2. &a competencia matem#tica en las prue!as P5S)..........................................................(:
Figura ( /epresentaciones gr#ficas de ?resme.............................................................................(=
Figura : Segmentos lineales asociados a una ecuación.................................................................:1
Figura 8. Función discontinua en el sentido euleriano..................................................................:(
Figura ;. )pro@imación de la función de Airic$let en un intervalo Ba!C......................................:<
Figura
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas D
Figura (7.Ta!las construidas a partir de la e@presión alge!raica de una función.......................17(
Figura (1.3r#fica de la función S ..........................................................................................17:
Figura (2.3r#fica propuesta en el numeral 2...............................................................................17<
Figura ((. /elación planteada entre el volumen de un cilindro y su radio.................................17=Figura (:. /elación entre el volumen de dos vasos seme"antes..................................................117
Figura (8. /espuesta errónea so!re la relación entre dos vol-menes..........................................111
Figura (;. 4onversión congruente del registro gr#fico al ver!al.................................................11:
Figura (
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas =
&ista de ta!las
Ta!la 1 /esultados prue!a Sa!er 11 6271:9 H Irea de matem#ticas.............................................1;
Ta!la 2. Principales definiciones de función en el siglo J5J........................................................:8
Ta!la (. )lgunos elementos caractersticos de la modelación y las situaciones reales.................8<
Ta!la :. 4omportamiento de un capital invertido a inter+s simple...............................................
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5ntroducción
En los -ltimos tiempos las propuestas de investigación y profundización referidas a la ense0anza
y aprendiza"e de las matem#ticas $an ampliado sus posi!les rutas de refle@ión trascendiendo del
simple cuestionamiento de los conceptos y procesos a!ordados en los conte@tos escolares a una
refle@ión muc$o m#s comple"a discutiendo so!re su $istoria y evolución epistemológica en el
marco de determinada teora del conocimiento los diversos sistemas de representación que se les
asocia sus posi!les escenarios did#cticos y sin lugar a dudas las caractersticas de los su"etos
que all intervienen a!ordando usos e interpretaciones propias de situaciones cotidianas que
ponen en evidencia la importancia de las matem#ticas en la sociedad actual.
Para el caso particular del presente tra!a"o el inter+s es centrado fundamentalmente en el
desarrollo del concepto de función con los estudiantes de grado und+cimo de la Fundación
4olegio la 5nmaculada 6Puerto erro )ntioquia9 partiendo del an#lisis de tres aspectos
sustancialesL i9 El proceso de modelación de situaciones y pro!lemas en conte@tos reales para el
desarrollo de competencias STEM 6ciencias tecnologa ingeniera y matem#ticas por sus siglas
en ingl+s9 ii9 el enfoque teórico de Auval so!re las diversas representaciones semióticas de este
concepto y iii9 su desarrollo $istórico epistemológico. 4on su articulación se !usca
esencialmente que los estudiantes acompa0ados por el docente accedan a mayores niveles de
comprensión y significado llegando a la consolidación de aprendiza"es que den cuenta de
adecuados desempe0os y competencias matem#ticas para la solución de pro!lemas.
Se !usca entonces una construcción did#ctica del concepto de función que tenga en cuenta el
proceso general de modelación y an#lisis de fenómenos que suponen la aparición de una serie de
situaciones pro!lema para los estudiantes donde es necesario $acer una correcta elección de las
varia!les que intervienen y de las posi!les relaciones que se esta!lecen entre ellas llevando a
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ca!o todo un accionar matem#tico que les permita $acer predicciones o!tener resultados y
verificar si son aplica!les o no a las situaciones dadas y con ello tener una visión glo!al y
completa de las caractersticas del fenómeno estudiado y los procedimientos o posi!les
alternativas de solución frente a los pro!lemas de all derivados. Pese a ello en el conte@to
institucional aunque el concepto de función es a!ordado a partir del grado noveno los
estudiantes llegan al -ltimo grado de !ac$illerato con fuertes vacos frente a su comprensión
limit#ndose a asociarlo en muc$as ocasiones con una simple ecuación que relaciona las letras x e
y dado que ni siquiera e@iste claridad so!re el concepto de varia!le. )s por e"emplo otro tipo de
representaciones como la ver!al gr#fica y ta!ular son entendidas como nociones totalmenteaisladas que $acen parte de otro tipo de situaciones matem#ticas llegando a ela!orar una
descripción limitada y distorsionada de los pro!lemas que se a!ordan y con ello a una
comprensión mnima del mismo.
Partiendo de lo anterior y dados los intereses de este tra!a"o el a!orda"e de situaciones reales
y cotidianas posi!ilita la articulación de una serie estrategias de ense0anza y am!ientes de
aprendiza"e que permitan a los estudiantes adquirir $a!ilidades para un eficaz uso de las
funciones en conte@tos cientficos matem#ticos y no matem#ticos que permiten la recolección
de información para recrear distintas representaciones y favorecer la formulación de $ipótesis o
con"eturas en el planteamiento de modelos para la resolución de pro!lemas precisamente uno de
los grandes retos de la actividad matem#tica en el aula y en general de los intereses educativos
de la sociedad actual.
ale la pena resaltar la importancia did#ctica que est# implcita en este tipo de pr#cticas dada
su influencia en la creación de am!ientes de aprendiza"e y la construcción de los conceptos
matem#ticos en la medida que permitan al estudiante manipularN de forma concreta las ideas o
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conceptos que se est#n tratando. )l respecto en los Est#ndares #sicos de 4ompetencias en
Matem#ticas 6E4M9 propuestos por el Ministerio de Educación Oacional 6MEO9 se sostiene
que esta estrategia recrea los elementos estructurales de los conceptos y los procedimientos que
se proponen para que los estudiantes los aprendan y e"erciten y as esa situación ayuda a
profundizar y consolidar los distintos procesos generales y los distintos tipos de pensamiento
matem#ticoQ 6MEO 277; p.
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Por otro lado en el captulo ( se introducen aspectos conceptuales so!re las funciones
consolidando un referente disciplinar !#sico que clarifique el tratamiento matem#tico que
reci!ir#n dentro del desarrollo del tra!a"o. En el captulo : se e@pone la ruta metodológica
donde adem#s de definir el tipo de investigación que orienta el tra!a"o se descri!en en detalle
las caractersticas de la propuesta de intervención y los instrumentos que fueron utilizados para
ello. Finalmente en el captulo 8 se analizan los resultados o!tenidos con la aplicación los
instrumentos dise0ados y se esta!lecen las conclusiones a las que se llega a la luz de los
planteamientos iniciales teniendo en cuenta un tratamiento descriptivo que pretende orientar una
serie de recomendaciones que pueden ser tenidas en cuenta en espacios de ense0anza yaprendiza"e del concepto de función.
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1. Aescripción de la propuesta
:+:+ 4onte@to de aplicación
El municipio de Puerto erro est# u!icado al oriente del departamento de )ntioquia en la
su!región del Magdalena Medio a 1=1 Gm de la capital Medelln. 4uenta con una e@tensión
geogr#fica de 1.1D: Gm2 y apro@imadamente :;.DD( $a!itantes. En materia educativa cuenta
con ; instituciones educativas que ofrecen los servicios de preescolar a und+cimo el Servicio
Oacional de )prendiza"e 6SEO)9 con sus programas de formación para el tra!a"o y presencia de
la *niversidad de )ntioquia con una de sus sedes. El marco de aplicación del presente tra!a"o se
centra en el conte@to del 4olegio la 5nmaculada 64?&5OP9 institución del sector privado
fundada por la comunidad de ermanas Terciarias 4apuc$inas en el a0o 1=;7 actualmente es
administrada por la Aiócesis de arranca!erme"a. Se encuentra u!icado en la ca!ecera
municipal.
Esta institución presta sus servicios en "ornada completa !a"o la modalidad de calendario )
ofreciendo un !ac$illerato con +nfasis en el #m!ito comercial razón por la cual adem#s de las
fundamentales se ofrecen #reas relacionadas con este campo. Para el a0o 2718 cuenta con una
po!lación total de (;D estudiantes de los estratos socioeconómicos 2 y ( provenientes de
familias con ingresos de tra!a"os formales teniendo en cuanta que en la mayora de los $ogares
$ay presencia de por lo menos uno de los padres quienes se caracterizan por contar en su
mayora con formación acad+mica profesional.
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) partir del componente teleológico en el colegio se o!serva un inter+s por !uscar la
formación integral de sus estudiantes permiti+ndoles comprender y asumir los desafos de la
cultura y el mundo productivo por lo que de!en desarrollar competencias cientficas e
intelectuales para analizar y e@plicar la realidad donde se desenvuelven. En materia de resultados
en prue!as sa!er partiendo de los datos ofrecidos por el 5nstituto 4olom!iano para la Evaluación
de la Educación 654FES9 para el a0o 271: con un punta"e promedio de (77 puntos en el #rea de
matem#ticas el colegio se encuentra por encima del promedio nacional 62=;9 y departamental
62
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)$ora !ien en cuando a las prue!as sa!er 11 la situación encontrada es muy similar dado
que el promedio en el #rea de matem#ticas est# por encima del nacional y el departamental como
se muestra en la Ta!la 1 lo que permite esta!lecer que es una institución con !uenos
rendimientos a nivel de prue!as e@ternas pero que necesita de propuestas de intervención para
que los estudiantes empiecen a me"orar sus desempe0os y superar las dificultades que a-n se
est#n presentando y que resultan estar dentro del marco de acción del presente tra!a"o.
%abla 1 Resultados prueba $aber 11 (2014) & 'rea de matemticas
Fuente !"F#$ (2014) Resultado pruebas saber 11
:+8+ )ntecedentes
aciendo seguimiento so!re algunos tra!a"os que guardan estrec$a relación con los intereses
particulares que se $an trazado como punto de partida para orientar el campo de acción se
pueden mencionar los siguientes $allazgosL
5nicialmente para dar profundidad y precisión teórica a los elementos asociados a la
evolución del concepto de función se tiene en cuenta los tra!a"os /uz 61==D9 y *galde 6271:9
quienes desarrollan una serie de planteamientos que permiten considerar la evolución $istórica y
epistemológica del concepto de función esta!leciendo una caracterización del mismo iniciando
en la +poca antigua $asta la discusión moderna articul#ndolo con una serie de consideraciones
pedagógicas y did#cticas que pueden ser tenidas en cuenta al momento de refle@ionar so!re la
ense0anza y el aprendiza"e de los conceptos asociados en escenarios acad+micos y escolares.
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Estos aportes tienen mayor profundidad conceptual al ser complementados con el tra!a"o de
Kleiner 61=D=9 donde ese rastreo $istórico epistemológico es enfocado prestando mayor
atención a los detalles disciplinares con lo que se tiene una mayor fundamentación al momento
de seguir los aspectos cruciales que dinamizaron las transformaciones del concepto.
Ae otra parte al considerar los componentes de ense0anza y aprendiza"e Medina 627129 en
su tesis de maestra desarrolla la conceptualización de las funciones con una propuesta did#ctica
mediada por conte@tos de las ciencias naturales. &a esencia de este tra!a"o radica en considerar
las funciones como una $erramienta de frecuente uso tanto para estudiantes como docentes en el
estudio de fenómenos donde se de!e tra!a"ar con las relaciones entre varia!les y desde all
analizar la solución de pro!lemas o cuestionamientos asociados. 5nicialmente se e@pone la
evolución que $a tenido el concepto dentro del campo de las matem#ticas descri!iendo los
diversos o!st#culos epistemológicos presentados a nivel $istórico y encontrando en cada uno de
ellos una posi!le e@plicación a las transformaciones que normalmente se descri!en cuando se
a!orda su ense0anza.
)l enmarcar la discusión en el campo de las ciencias naturales el autor considera que las
funciones son de muc$a utilidad para representar fenómenos reales y con frecuencia se dice que
son modelos. Es as que o!tener una función que act-e como modelo es la clave para
comprender situaciones de la fsica !iologa y qumica y de a$ su importanciaQ 6Medina 2712
p. 129. Aespu+s de analizar diversos modelos que se construyen en el estudio de funciones
lineales e@ponenciales cuadr#ticas c-!icas de proporcionalidad inversa entre otras se
reconoce la importancia de refle@ionar so!re el proceso de modelación matem#tica resaltando su
importancia dado que permite que los conceptos emer"an de forma intuitiva partiendo de
actividades que enmarcadas en un conte@to especfico movilicen en el estudiante la necesidad
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de desarrollar procesos de a!stracción y simplificación de los fenómenos llev#ndole a una
constante construcción y deconstrucción de estructuras matem#ticas que les dotan de significado.
Se de!e agregar que la propuesta se !asa en el dise0o y e"ecución de una serie de guas
did#cticas en las que se utiliza la metodologa de aprendiza"e activo como una estrategia que
potencializa el aprendiza"e autónomo y el pensamiento variacional as como el desarrollo de
competencias como la modelación y la solución de pro!lemas en diversos conte@tos de las
cienciasQ 6Medina 2712 p. (
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los diferentes registros de representación a partir de sa!eres previos lo que posi!ilita que se
puedan aplicar en diferentes situacionesQ 6p. 119.
/elacionar los registros semióticos con el proceso de modelación en la ense0anza yaprendiza"e de las funciones fue uno de los elementos fundamentales que orientaron el tra!a"o
doctoral de Planc$art 627729. En este tra!a"o se vincula tam!i+n un an#lisis profundo de las
dificultades que surgen en el aprendiza"e de la tem#tica en cuestión y el papel que "uega la
visualización en su conceptualización todo esto en el marco de algunos cursos de Pre c#lculo de
una institución universitaria de Puerto /ico. /etomando tam!i+n a Auval se plantea la $ipótesis
de que por un lado la apre$ensión de los o!"etos matem#ticos no puede ser otra cosa que una
apre$ensión conceptual y por otro lado solamente por medio de las representaciones semióticas
es posi!le una actividad so!re los o!"etos matem#ticosQ 6Auval 1==D citado por Planc$art 2772
p. :9. )s se plantea una fuerte crtica so!re los procesos de ense0anza ya que pese a considerar
diversos sistemas de representación sólo se realizan limitadas actividades de tratamiento entre
ellos. Tal es el caso de introducir el paso de la representación alge!raica al sistema gr#fico pero
el proceso de conversión contrario se $ace con menos frecuencia.
Ae esta forma se acepta que la apre$ensión de un concepto matem#tico no se $ace de forma
directa e inmediata sino que consiste en conocer en estructura y significado cada una de sus
representaciones as como de las m-ltiples relaciones que se esta!lecen en el interior de cada una
y entre ellas sin que $aya lugar a alg-n tipo de disparidad o contradicción.
Es interesante resaltar cómo se $ace un rastreo $istórico y !i!liogr#fico 6referente a li!ros de
te@to9 para tratar de encontrar posi!les e@plicaciones a las dificultades y o!st#culos
epistemológicos que se presentan en la ense0anza y aprendiza"e de las funciones. )l respecto se
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dice que en los li!ros de frecuente uso en los cursos de pre c#lculo esta tem#tica parte de
referencias a situaciones concretas de correspondencias presentes en fenómenos fsicos y reales
las cuales son posteriormente categorizadas como funciones y luego ilustrando algunas de sus
representaciones se construye una definición en el plano de lo formal es decir que este
concepto se presenta en tres modalidadesL como una relación de lo fsicoRreal como
representaciones y como definicionesQ 6Planc$art 2772 p. (79 )l estudiar las diferentes
definiciones que se encuentran del concepto estas podran enmarcarse dentro de ciertas
categorasL i9 En t+rminos de varia!les ii9 En t+rminos de con"unto de pares ordenados iii9 En
t+rminos de una regla de correspondencia y iv9 en t+rmino de m#quina razón por la cual elinter+s es orientado en determinar cu#les de!eran ser las caractersticas de una definición que
responda a las necesidades de investigación que se plantearon.
)s el autor se interesa por definir y e@plicar cómo la visualización influye en la actividad
cognoscitiva de los estudiantes al momento de construir el concepto de función. 5nicialmente se
tiene en consideración el particular $ec$o que a lo largo de la $istoria se $a dado un declive en la
valoración de los procesos visuales 6estructuras pictóricas9 siendo relegados por estructuras
!asadas en teoremas y postulados en la medida en que las matem#ticas fueron accediendo a
mayores niveles de formalización en contraste se da relevancia a la construcción de im#genes
visuales como ciertos esquemas para permitir y facilitar la consolidación de representaciones
internas 6mentales visuales y conceptuales9 que favorecen los procesos cognitivos que conducen
al aprendiza"e.
Por otro lado al aceptar que las funciones son uno de los conceptos matem#ticos que m#s
relación guardan con el conte@to fsico es prudente considerar el potencial did#ctico que tiene en
su ense0anza y aprendiza"e el uso de conte@tos reales relacionados con procesos cognitivos para
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la adquisición conceptual de las funciones posi!ilitando la construcción de esquemas y modelos
mentales para simularlos a partir de los o!"etos matem#ticos con lo que se est# provocando que
el estudiante al apro@imarse a fenómenos reales analice y descri!a aquellos elementos
matem#ticos como sonL la significación de o!"etos sim!ólicos ver!ales gr#ficos alge!raicos y
num+ricosQ 6Planc$art 2772 p. :;9 adem#s de generar un mayor grado de motivación y
significado en los estudiantes frente a las actividades realizadas.
Se de!e agregar que en la literatura revisada e@isten tam!i+n propuestas que pese a no
fundamentarse en las mismas !ases teóricas que $asta ac# se $an es!ozado permiten e@plorar
otro tipo de enfoques para la ense0anza de las funciones. En primer lugar Au!insGy y Uilson
6271(9 desarrollaron un estudio !asado en el Proyecto Ilge!ra1 con 18 estudiantes
pertenecientes a un grupo po!lacional clasificado como de !a"o desempe0o acad+mico y escasos
recursos económicos. Este fue llevado a ca!o incorporando consideraciones pedagógicas
innovadoras so!re el contenido curricular y la metodologa de las actividades orientadas al uso y
aplicación del concepto de función mostrando una serie de resultados que permiten mostrar
cómo los participantes adquirieron una serie de conocimientos y $a!ilidades para superar algunas
de las limitaciones y dificultades presentes en la solución de los pro!lemas que les fueron
planteados.
Seg-n los autores en esencia el currculo del Proyecto Ilge!ra est# dise0ado para acercarse
al aprendiza"e como un proceso interactivo y proporcionar un entorno en el que se permite a los
1 Este es un proyecto iniciado en 1=D7 con el fin de construir material para el aula de preR
#lge!ra !uscando desarrollar el pensamiento alge!raico y proporcionar una oportunidad para
que los estudiantes de secundaria en 4am!ridge 6Massac$usetts9 pudieran acceder al #lge!ra
estando a-n en sus primeras etapas escolares.
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estudiantes e@perimentar interactuar y tomar parte activa en su aprendiza"eQ 6p. D=9. Para ello
de!en plantearse actividades guiadas por la propia e@periencia de los estudiantes y orientarles
para que concreten y formalicen las ideas matem#ticas que pueden ser usadas para posteriores
representaciones sim!ólicas so!re lo que $an aprendido. /esulta interesante ver cómo este tipo
de estrategias ofrecen resultados satisfactorios en la comprensión del concepto por parte de los
estudiantes y la forma en que fortalecen las relaciones conceptuales asociadas para o!tener
me"ores desempe0os en situaciones cada vez m#s comple"as. Ae modo que los estudiantes
comenzaron a desarrollar una comprensión de lo que es y lo que no es una función y como a
veces se puede aplicar este conocimiento a situaciones y pro!lemas no familiares para ellosQ6Au!insGy y Uilson 271( p. ==9
Finalmente enfatizando precisamente en la solución de ese tipo de pro!lemas 3eromel y
/edling 627129 resaltan cómo estas estrategias ofrecen a los estudiantes una serie de
$erramientas para me"orar su capacidad de argumentación y an#lisis en la medida en que se
e@ploran diversas alternativas de solución. En contraste cuando los conceptos alge!raicos son
estudiados con +nfasis en el formalismo y en el rigor matem#tico tra!a"ando memorización y
repetición de contenidos y fórmulas pueden causar grandes dificultades para el entendimiento de
los alumnosQ 6p. 2229.
:++ Planteamiento del pro!lema
asta aqu se $a logrado evidenciar que el concepto de función es muy importante en la
formación de su"etos matem#ticamente competentes para una adecuada comprensión de los
conte@tos y situaciones pro!lema que intervienen en la construcción de aprendiza"es dentro del
#rea considerando un dominio inicial de los modelos que de!en construir para emplearlos en
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articulación con una serie de procesos y $a!ilidades especficas para una correcta interpretación
y modelación de la realidad. )$ora !ien la e@periencia docente en el #rea de matem#ticas para
los niveles de secundaria y media en el 4olegio la 5nmaculada del municipio de Puerto erro
adem#s de los espacios de refle@ión y articulación de los elementos teóricos del presente tra!a"o
permiten evidenciar una serie de dificultades que limitan la materialización de tal o!"etivo.
En el caso particular de los estudiantes de grado und+cimo sus desempe0os muestran que
pese a comprender algunos rasgos caractersticos del concepto de función normalmente se
restringen a situaciones de car#cter algortmico y alge!raico encontrando la imposi!ilidad de
que las construcciones all realizadas se utilicen en la solución e interpretación de interrogantes
presentes en su cotidianidad o fenómenos estudiados por otras ciencias. Este $ec$o $a
contri!uido a que se presente una concepción generalizada de las matem#ticas totalmente
mec#nica en la que se estudian conceptos e ideas sin ning-n tipo de significado o aplica!ilidad.
Es curioso que un estudiante comprenda con claridad dada su e@periencia cotidiana cómo es el
comportamiento del costo de una llamada en función de los minutos que $a consumido pero
cuando se le presenta un modelo !a"o la función mayor entero manifieste serias dificultades para
su comprensión tam!i+n que $aga toda una descripción analtica de una función cuadr#tica pero
sea incapaz de e@plicar y analizar el comportamiento de un o!"eto que cae li!remente.
Se o!serva que las pr#cticas de ense0anza asociadas a este concepto de"an de lado o no
profundizan en una articulación de los diferentes tipos de representación que son importantes y
fundamentales para que los estudiantes puedan captarlo y dominarlo en toda su comple"idad.
)unque se desarrollan actividades que !uscan identificar algunos registros de representación no
e@iste un tratamiento aunado de actividades que permitan a los estudiantes cam!iar de un registro
a otro en diferentes representaciones para tener una visión glo!al de los pro!lemas que est#
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analizando con lo que terminan por asimilarlos como conceptualizaciones aisladas e incone@as
que no les permiten esta!lecer ning-n tipo de relación. *na situación que e"emplifica claramente
esta realidad es cuando los estudiantes se enfrentan con el o!st#culo de no encontrar una fórmula
que descri!a un fenómeno dado razón por la cual concluye que +ste no se puede modelar
matem#ticamente algo que ocurre por e"emplo por tratarse de situaciones en las que el
tratamiento num+rico no es el predominante o por presentar una disociación entre un modelo
gr#fico perci!ido con aquellos que el estudiante tiene predeterminados 6gr#ficas que no le son
familiares9.
El $ec$o de no tener un adecuado mane"o de los diferentes registros de representación y los
tratamientos que se $acen para pasar de uno a otro termina por llevar a los estudiantes a $acer
generalizaciones incompletas o deducir propiedades de las funciones que son parcialmente
erróneas como considerar que siempre de!e e@istir una correspondencia directa entre cualquier
gr#fica y una función $omogeneidad entre los valores num+ricos de entrada y los de salida o
pensar en la continuidad como una propiedad general de toda función. En muc$as ocasiones la
forma de a!ordar la ense0anza del concepto por parte del docente se enfoca en el estudio y
memorización de una serie de reglas generales y artificios que terminan descuidando el an#lisis
de fenómenos relacionados con conceptos como la variación el cam!io y la dependencia o
correspondencia de varia!les 6aspecto que permitió a nivel $istórico la evolución de este
concepto9 limitando nota!lemente las posi!ilidades del desarrollo del pensamiento variacional
algo que es crucial en la construcción de modelos que permitan a los estudiantes interpretar y
solucionar pro!lemas propios del #rea o de otras ciencias. Por todo lo anterior se o!serva que los
estudiantes se desempe0an limitadamente de!ido a la presencia de fuertes vacos conceptuales
que no les permiten aplicar correctamente lo que al parecer $an logrado aprender.
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Es por esto que el inter+s particular del tra!a"o est# centrado en la conceptualización de las
funciones teniendo en cuenta los siguientes referentesL
•
&a importancia que tiene el tratamiento de los diferentes registros de representación del
concepto.
• &a modelación como proceso general que posi!ilita un punto de encuentro entre las
matem#ticas y el estudio de pro!lemas y situaciones propias del #rea y de fenómenos
reales 6competencias STEM9 y
• &a evolución $istórica y epistemológica del concepto como posi!ilidad de comprender y
analizar las dificultades presentadas en su comprensión refle@ionando so!re las
particularidades que se presentaron en su propio dinamismo y transformación
Ae esta forma se plantea la siguiente pregunta pro!lematizadoraL V4ómo me"orar la
comprensión del concepto de función por parte de los estudiantes de grado und+cimo del
4olegio la 5nmaculada desde una propuesta did#ctica que articule los diferentes registros de
representación a partir de la modelación de fenómenos y situaciones reales en diferentes
am!ientes de ense0anza y aprendiza"e que !uscan el desarrollo de competencias STEMW
:+@+ ,ustificación
En los &ineamientos 4urriculares de Matem#ticas 6&4M9 se plantea el desarrollo del
pensamiento variacional como uno de los o!"etivos primordiales de la educación !#sica por lo
que se $ace necesario superar la ense0anza de contenidos matem#ticos fragmentados y
compartimentalizados para u!icarse en el dominio de un campo conceptual que involucra
conceptos y procedimientos vinculados que permitan analizar organizar y modelar
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matem#ticamente situaciones y pro!lemasQ 6MEO 1==D p.
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so!resale tam!i+n la importancia de que los estudiantes lleguen a identificar con claridad los
procesos necesarios para pasar de una representación a otra 6conversión9 o para cam!iar de
registro en la misma representación 6tratamiento9.
Por otro lado se de!e reconocer que los conceptos matem#ticos o!edecen a un dinamismo
particular propio de la evolución que e@perimentan en el devenir $istórico por lo que la
comprensión de su estado actual de!e $acerse con un estudio detallado de las marcas y registros
que $a o!tenido con los aportes de diferentes pensadores en ciertas etapas signadas por
par#metros especficos presentes en la propia evolución conceptual de las matem#ticas
respondiendo sin duda a necesidades y requerimientos que pueden o no llegar a tener relaciones
entre s. En este sentido se considera importante que en el planteamiento de propuestas
did#cticas en matem#ticas se incorporare la evolución $istórica y epistemológica de los
conceptos como un aspecto clave que les confiere sentido en conte@tos particulares. /esaltar
estos elementos es algo fundamental puesto que permiten acercarse a la idea de mirar a esta
disciplina como una pr#ctica social y para comprender al $om!re $aciendo matem#tica en un
tiempo una sociedad y una cultura particularesQ 6Ingel X Molina 277D p. 1189. Parafraseando
los autores citados un an#lisis con las caractersticas planteadas sirve de !ase para comprender
las dificultades presentadas y la forma en que $an sido superadas dentro del desarrollo de
nociones o conceptos matem#ticos incluyendo aquellos significados que por sus diversas
transformaciones se $an perdido en el tiempo.
Es por esta razón que se considera pertinente a!ordar la conceptualización de las funciones a
partir de situaciones pro!lema referidas a fenómenos de cam!io y variación en la vida pr#ctica
puesto que se prepara al estudiante para comprender la naturaleza del concepto actual de función.
Es necesario enfrentar a los estudiantes a situaciones donde la función no e@$i!a una
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 2D
regularidad con el fin de ale"ar la idea de que su e@istencia o definición est# determinada por la
e@istencia de la e@presión alge!raicaQ 6MEO 1==D p.
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas 2=
R )rticular dentro de la resolución de pro!lemas !asados en situaciones reales los
diferentes enfoques semióticos del concepto de función resaltando la dependencia de
estos modelos.
R )nalizar los desempe0os de los estudiantes en el aprendiza"e del concepto de función
frente a las tareas de transformación 6tratamiento y conversión9 entre los diferentes
registros de representación considerando las dificultades que presentan al momento de
relacionarlos y utilizarlos en la construcción de modelos.
R Aise0ar e implementar guas de aprendiza"e !asadas en la resolución de pro!lemas de la
vida real para la apre$ensión y comprensión del concepto de función por parte de los
estudiantes con actividades orientadas a partir del enfoque formativo propuesto.
R 5ncentivar y emplear el #lge!ra como $erramienta de manipulación e identificación de los
patrones de comportamiento y de recursión en matem#tica para el tra!a"o con e@presiones
funcionales
R Aescri!ir el grado de aceptación y motivación de los estudiantes en su proceso de
aprendiza"e y conceptualización de las funciones mediante el uso de la modelación de
pro!lemas de la vida real y los diferentes registros de representación semiótica.
R 5ncentivar a partir de la articulación de los elementos clave de la propuesta la creación
de currculos que apunten al desarrollo de las competencias STEM
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2. Marco referencial
8+:+ F1ndaento ,e-a,
En el conte@to educativo colom!iano teniendo en cuenta la &ey 3eneral de Educación 61==:9 se
esta!lece como uno de los principales fines la formación de su"etos que se apropien del
conocimiento cientfico t+cnico y tecnológico con $#!itos intelectuales que les permitan de
forma adecuada la apre$ensión de los sa!eres para su posterior contri!ución en escenarios
productivos y el dominio de diversos conte@tos que contri!uyan al desarrollo del pas. Por tal
motivo dentro de los ciclos de educación formal se esta!lece la necesidad de tra!a"ar ciertas
#reas fundamentales y o!ligatorias entre ellas las matem#ticas. 4on esto se pretende dar disposiciones generales que orienten la organización del currculo educativo permitiendo un
tra!a"o en el que a pesar de las particularidades de cada institución se persigan ciertos o!"etivos
de formación a nivel nacional en correlación con el inter+s mencionado.
&a /enovación 4urricularN iniciada en 4olom!ia $ace m#s de treinta a0os marcó un proceso
de refle@ión e investigación referente a la formación y ense0anza de las matem#ticas en las
instituciones educativas del pas y en cómo esto se relaciona directamente con la !-squeda de
posi!les respuestas a las diversas necesidades e@istentes en los conte@tos inmediatos con los que
los estudiantes se relacionan e interact-an. Sin lugar a dudas en el trasegar de este camino tuvo
lugar la confrontación de posturas y paradigmas que sin ser vistos como esquemas rgidos $an
llegado a construir un escenario que delimita y esta!lece referentes claros so!re los cuales de!en
orientarse los procesos no sólo referidos a la ense0anza sino tam!i+n poniendo en consideración
el aprendiza"e $ec$o que adquiere un estado de maduración con la construcción de los
lineamientos y est#ndares curriculares de matem#ticas.
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)m!os documentos podran catalogarse como el referente curricular !#sico para la
construcción de propuestas de ense0anza que articuladas con la investigación en el campo de la
educación matem#tica y la filosofa propia del #rea !uscan dar respuesta a las diversas
pro!lem#ticas que surgen en la conceptualización de los o!"etos matem#ticos en el escenario
educativo. El papel del docente de matem#ticas supone entonces la necesidad de movilizar este
tipo de refle@iones con el fin de facilitar la creación de am!ientes en los que dic$as actividades
sean desarrolladas por los estudiantes en la consolidación de los o!"etivos y metas propuestas
para cada uno de los ciclos de su etapa escolar.
En este sentido se plantea la necesidad de considerar un modelo en el que los roles de los
su"etos se caracterizan por ser activos y din#micos donde no sólo se puntualizan los conceptos
sino que se $ace +nfasis en procesos de pensamiento ampliamente aplica!les y -tiles para
aprender cómo aprenderQ 6MEO 1==D p. 1D9. *na de las posi!ilidades de los conocimientos
matem#ticos es que sean aplica!les fuera del #m!ito escolar y est+n relacionados con la
e@periencia cotidiana de los estudiantes facilitando el planteamiento y resolución de pro!lemas
relacionados con diversas #reas y disciplinas. )l respecto en los E4M se menciona queL
En las dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la m#s usual de los contenidos y sus redes
conceptuales sino que se proponen los aspectos relacionados con los m+todos y t+cnicas con las
formas de e@presar y comunicar lo comprendido y con la pra@is cotidiana. 6MEO 277; p. :=9
Siguiendo estas refle@iones se plantea una estructura curricular !#sica para el #rea cimentadaen la articulación de tres componentesL procesos generales 6razonamiento resolución y
planteamiento de pro!lemas la comunicación la modelación y la ela!oración comparación y
e"ercitación de procedimientos9 conocimientos !#sicos distri!uidos en una serie de
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas (2
pensamientos 6num+rico espacial m+trico aleatorio y variacional9 y finalmente el conte@to
donde el aprendiza"e de las matem#ticas se $ace significativo siendo necesario el desarrollo y
construcción de competencias matem#ticas que le permitan a los estudiantes acceder a niveles de
comprensión m#s pr#cticos y organizados. Esto conlleva sin lugar a dudas al reto de formar
ciudadanos matem#ticamente competentes caracterstica que trasciende la simple !arrera del
sa!er y el conocer en un conte@to determinado. Seg-n la *OES4? 6?rganización de las
Oaciones *nidas para la Educación la 4iencia y la 4ultura por sus siglas en ingl+s9 $oy el foco
de la ense0anza est# puesto en la motivación y gestión del conocimiento y en que el estudiante
desarrolle la capacidad de utilizar conceptos representaciones y procedimientos matem#ticos para interpretar y comprender el mundo realQ 6*OES4? 277= p. 189
Para el inter+s particular de esta propuesta de lo anterior se rescata primordialmente el
inter+s por los elementos que permiten la construcción del concepto de función dentro del
enfoque planteado. 4on ello se centra el an#lisis en el proceso general de la modelación
matem#tica entendido como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones
cotidianas cientficas y matem#ticas para reconstruirlas mentalmenteQ 6MEO 277; p. 8(9
teniendo en cuenta su relación directa con el desarrollo del pensamiento variacional y la
representación de diversos registros sim!ólicos en el estudio de conte@tos donde se $ace
necesario construir sólidos esquemas y estructuras matem#ticas asociadas a los conceptos de
variación y cam!io.
Esas ideas son validadas tam!i+n por otras instituciones de car#cter internacional como la
*OES4? en las conclusiones que plantean analizando los resultados del Segundo Estudio
/egional 4omparativo y E@plicativo 6SE/4E9 en la región de )m+rica &atina y el 4ari!e. )ll
se sostiene que la escuela de la sociedad actual de!e contri!uir a la formación de competencias
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que permitan a los estudiantes desenvolverse eficazmente en su entorno social inmediato dando
cuenta de la formación de su"etos autónomos y crticos que llevan a ca!o pr#cticas matem#ticas
adecuadas para diversas situaciones "ustificando la validez de los procesos adelantados y los
resultados o!tenidos. )s es necesario !uscar el desarrollo de capacidades valores y actitudes
que permitan a los estudiantes $acer frente a distintas situaciones tomar decisiones utilizando la
información disponi!le y resolver pro!lemas pudiendo defender y argumentar sus puntos de
vistaQ 6*OES4? 277= p. ((9.
Aic$o enfoque adquiere mayor importancia cuando se menciona que la solución de pro!lemas
es un componente esencial dentro de las prue!as que pretenden medir la calidad educativa tanto
a nivel nacional como internacional por e"emplo las prue!as sa!er y P5S) 6Programa para la
Evaluación 5nternacional de )lumnos por sus siglas en ingl+s9. En el caso de esta -ltima prue!a
se trata de un estudio internacional comparativo liderado por la ?rganización para la
4ooperación y el Aesarrollo Económico 6?4AE9. En P5S) se tiene en cuenta el desarrollo de
competencias que los estudiantes utilizan para dar aplica!ilidad al sa!er matem#tico en una gran
variedad de situaciones relacionadas con la realidad midiendo las $a!ilidades la pericia y las
aptitudes de los estudiantes para analizar y resolver pro!lemas para mane"ar información y para
enfrentar situaciones que se les presentar#n en la vida adulta y que requerir#n de tales
$a!ilidadesQ 6?4AE 2712 p. 89.
En este sentido los estudiantes de!en tener la capacidad de razonar y analizar información
para dar solución a las situaciones que se le plantean. En la Figura 2 se muestran algunas de las
caractersticas de la competencia matem#tica para esta prue!a resaltando el papel que tiene el
uso de diversos conte@tos para su desarrollo sosteniendo queL
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El uso en distintos conte@tos y el an#lisis posterior de ese uso nom!rando las nociones del modo en
que son empleadas en la disciplina reformulando las conclusiones con representaciones m#s
a"ustadas a las convencionales permitir# la progresiva generalización de la noción ampliando el
campo de pro!lemas que los alumnos pueden resolver con ella. )l interactuar en su vida social los
ni0os aprenden las pr#cticas $a!ituales de cada comunidad y construyen entre otros
conocimientos ligados a la matem#tica los que no son siempre recuperados por la escuela.
6*OES4? 277= p. (;9
Figura 2 *a competencia matemtica en las pruebas +!$,
Fuente adaptado de -".# (2012) p /
)$ora !ien en la delimitación de las caractersticas necesarias para que se den este tipo de
construcciones en la ense0anza y el aprendiza"e de las matem#ticas se requiere partir de
situaciones que permitan me"orar los niveles de comprensión posi!ilitando la construcción de
escenarios donde las ideas matem#ticas se consolidan como $erramientas pr#cticas y -tiles para
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la solución de los pro!lemas asociados a las matem#ticas otras ciencias y los conte@tos
cotidianos para los estudiantes y con ello tengan mayores posi!ilidades para comprender e
interpretar el mundo que les rodea $aciendo uso de las nociones que tienen de los conceptos
construidos.
8+8+ A"0ecto" *i"t?%icoe0i"teo,?-ico" de, conce0to de
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ec$a esta salvedad puede $a!larse de una serie de pr#cticas que inicialmente se !asa!an en
procesos de o!servación y un rudimentario registro de ello y despu+s inclinarse $acia modelos
de razonamiento que atravesaron diversas etapasL filosóficos 6griegos9 cientficos
6/enacimiento iniciando en los tra!a"os de 3alileo9 y formales 6con la introducción del c#lculo
por parte de OeYton y &ei!niz y su evolución al an#lisis funcional de Euler con su posterior
desarrollo9. Puede o!servarse entonces como la forma e@plcita del concepto de función tuvo
que esperar $asta comienzos del siglo J555 y algunas de las razones por las cuales no apareció
antes son e@puestas por Kleiner 61=D=9 en los siguientes t+rminosL
• Falta de pre requisitos alge!raicos en especial en aspectos relacionados con la
ausencia de una notación sim!ólica y la idea del continuo de los n-meros reales.
• Falta de motivación e inter+s frente a la necesidad de una noción a!stracta del
concepto.
8+8+:+ 0oca anti-1a& .a.i,onio" # e-i0cio"
En cuanto a las referencias de esta +poca resulta interesante como a partir de la constante
cuantificación de fenómenos astronómicos o de datos asociados con la medición de #reas y
longitudes en conte@tos de agricultura se evidencian claros antecedentes de una descripción
ta!ular de las relaciones esta!lecidas entre cantidades dependientes entre s. En am!as culturas se
identifica una tendencia a $acer descripciones particulares 6almacenamiento de datos9 asociadas
a cierta noción de funcionalidad pero no era generalizada quiz#s por no contar con una
sim!ologa adecuada o por el e@cesivo empirismo que se evidencia!a en sus pr#cticas. Esto es
ilustrado claramente por *galde cuando introduce el $ec$o de que los egipcios utiliza!an un
m+todo para calcular el #rea de un crculo de radio tres y otro diferente para un crculo de radio
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cuatro pero entendieron el concepto de dependencia ya que sa!an que una variación en la
longitud del radio resulta!a en una variación de la magnitud del #rea am+n de otras situaciones
registradas en innumera!les ta!las de valoresQ 6*galde 271: p. ;9.
8+8+8+ E, "entido
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se afirma que la inconmensura!ilidad y las parado"as son o!st#culos a la noción de función
puesto que discretizan los n-meros y esto impide que se esta!lezcan relaciones num+ricas
generales entre las magnitudesQ 64otret 1=D8 citado por /uz 1==D p. 1179.
8+8++ O"c1%anti"o en ,a edad edia
&a edad media como es sa!ido cataloga una etapa de estancamientoN a nivel cientfico donde
pr#cticamente permanecieron vigentes las concepciones griegas en muc$os frentes de la ciencia.
Pese a esto es posi!le resaltar algunos aspectos $istóricos importantes para el an#lisis trazado
so!re el concepto de función en especial en lo referente a las culturas #ra!e e $ind- al sentar las
!ases del #lge!ra. /uz 61==D9 y *galde 6271:9 coinciden en manifestar que en esta +poca
so!resalen dos $ec$os fundamentalesL el uso de ta!las de valores y fórmulas para descri!ir
ciertas situaciones 6como el tra!a"o de alR,Y[rizmi con sus ta!las astronómicas o el
descu!rimiento de una fórmula general para encontrar n-meros amigos por parte Ta!it i!n
\urra9 y por otra parte una apro@imación a la representación gr#fica para el comportamiento de
cantidades relacionadas planteada por el matem#tico ?resme. So!re esto -ltimo ]ousc$Gevitc$
61=
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en movimiento en determinado instante. 4on esto $ace una construcción gr#fica donde sus
propiedades aparentemente guarda!an una estrec$a relación con las del fenómeno estudiado.
Figura Representaciones gricas de -resme
Fuente galde (2014) p 10
En la Figura ( se muestra el tipo de representación gr#fica usado por ?resme. En 6a9 la
velocidad es constante en 6!9 $ay aceleración positiva constanteL en 1 partiendo del reposo y en
2 con velocidad inicial diferente de cero. Por -ltimo en 6c9 la aceleración es cam!iante. )$ora
!ien se de!e $acer la precisión epistemológica de que estas representaciones a-n no conta!an
con la $erramienta de la continuidad num+rica a la que se llegó con el avance en el estudio de los
n-meros reales razón por la cual se segua presentando una ruptura en la relación entre las
cantidades num+ricas y las magnitudes algo que no viene a superarse $asta los desarrollos de la
geometra analtica de Aescartes y Fermat donde adem#s de presentarse la precisión cartesiana
tam!i+n se consideran las operaciones entre segmentos como otro segmento y no otro tipo de
relaciones geom+tricas 6#rea y volumen9.
8+8+@+ E, %enaciiento& "e con"o,ida ,a notaci?n a,-e.%aica
4on la aparición de una nueva revolución en el plano de la ciencia con pensadores como
4op+rnico Kepler y 3alileo se esta!lece un $ito $istórico que supone un divorcio de las ideas
teológicas en el plano de discusiones tendientes cada vez m#s a lo e@perimental ligado con los
fenómenos naturales. El estudio de varia!les requera entonces relacionarlas e@presarlas
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mediante n-meros y representarlas adecuadamente. Todo esto implica!a nuevas relaciones que
podan verificarse en forma e@perimentalQ 6*galde 271: p. 119.
)dicional a ello en los siglos J y J5 se presenta un notorio avance en materia dellengua"e alge!raico aquello que se $a!a iniciado en la matem#tica #ra!e e $ind- adquiere un
mayor grado de madurez con tra!a"os como el de 4ardano con el uso de e@presiones para
representar el cuadrado y el cu!o de una incógnita y algunas letras para las operaciones
aritm+ticas y posteriormente el de quien es considerado el padre de la notación sim!ólica en la
matem#tica i+te quien introduce el uso de letras para representar las incógnitas y sus
respectivas potencias. &os adelantos en la notación contri!uyeron a desarrollar la formulación y
la e@presión de lo que $oy en da consideramos como varia!leN en una función o incógnitaN en
una ecuaciónQ 6/uz 1==D p. 11;9.
8+8+;+ E, "i"tea ca%te"iano # ,a a0a%ici?n de, c!,c1,o
&os siglos J55 y J555 tienen unas p#ginas especiales en la $istoria de las matem#ticas en la
medida en que se presentó un vertiginoso avance en muc$as de sus ramas adem#s de evidenciar
el nacimiento de novedosas teoras que catalogaran la !ase so!re la cual se fundamentó m#s
adelante gran parte de la matem#tica moderna. En los tiempos mencionados comparten en
diversos escenarios los planteamientos teóricos de grandes mentes como Aescartes Fermat
OeYton &ei!niz entre otros.
El surgimiento de la geometra analtica que significó la creación del #lge!ra sim!ólico literal
con los tra!a"os independientes de Aescartes y Fermat marca un punto de encuentro entre el
#lge!ra y la geometra y as el o!"eto fundamental de estudio de las matem#ticas eran las curvas
y a partir de +stas eran estudiadas las relaciones ente algunas cantidades geom+tricas varia!lesQ
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6Martnez 277D p.
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dependencia entre cantidades y se0ala en uno de sus manuscritos el primer registro que se
conozca para el uso del t+rmino función referenci#ndolo en situaciones geom+tricas so!re las
propiedades de las curvas especialmente en lo concerniente a la recta tangente y algunas otras
dependientes de ella. Ae!e $acerse la precisión en que el c#lculo desarrollado por OeYton y
&ei!niz no tena el estado de formalidad actual puesto que tal y como afirma Kleiner 61=D=9 no
fue un c#lculo de funciones 69 su principal o!"eto de estudio fueron las curvas geom+tricas y
m+todos de solución de pro!lemas asociadosQ 6p. 2D(9
&a primera definición de función aparece en 1;== en un artculo de ,. ernoulli donde se
denota por función de una varia!le una cantidad compuesta de una o varias maneras de una
cantidad varia!le y constante dando con ello una apro@imación muc$o m#s a!stracta. Es
prudente mencionar que una de las grandes limitaciones epistemológicas de esta etapa se
encuentra en que dada la rigurosidad alge!raica del sistema cartesiano que $a!a adquirido gran
auge sólo se considera!a en el an#lisis de las funciones aquellas que se podan escri!ir $aciendo
uso de e@presiones o ecuaciones alge!raicas.
8+8++ Fina,e" de, "i-,o 6VIII e inicio" de, "i-,o 6I6& e, conce0to de
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varia!le como una e@presión analtica compuesta de cualquier manera que sea de esta misma
cantidad y de n-meros o de cantidades constantes. )unque no se define qu+ es una e@presión
analtica algunos autores precisan que para Euler es una e@presión compuesta de magnitudes
representadas por sm!olos y n-meros mediante las operaciones alge!raicas 69 o trascendentes
69Q 6Martnez 277D p.
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Es necesario aclarar que este concepto de continuidad es totalmente diferente con el concepto
actual donde la continuidad es una propiedad intrnseca de las curvas y no de su e@presión
alge!raica como est# aqu planteada. Esta distinción "ugó un papel importante en la discusión
so!re la solución del pro!lema de la cuerda vi!rante planteado por Taylor y frente al cual
destaca!an las soluciones de A. ernoulli 6quien o!tuvo la solución por medio de una -nica
fórmula e@presada por una serie trigonom+trica9 y la de AN)lem!ert 6cuya solución poda ser
dada por fórmulas diferentes para diferentes valores del argumento9Q 6*galde 271: p. 1:9. Para
Martnez 6277D9 la naturaleza fsica de este pro!lema conllevara a que m#s adelante en las
5nstitutiones 4alculi Aifferentialis Euler generaliza su propio concepto de función !uscando unacorrespondencia !iunvoca entre las funciones y las curvas para formular una nueva definición
que comprendiera todas las clases conocidas Euler utilizó la noción de correspondencia entre
pares de elementos que de $ec$o siempre $a!a estado presente en el concepto de función pero
nunca se $a!a $ec$o e@plcitaQ 6p. D89.
)simismo el de!ate de la cuerda vi!rante tuvo consecuencias importantes para la evolución
del concepto de función. Seg-n Kleiner el mayor efecto fue la ampliación del concepto para
incluirL a9 funciones definidas a trozos por e@presiones analticas en diferentes intervalos y !9
funciones di!u"adas a mano alzada y la posi!ilidad de no estar determinada por alguna
com!inación de e@presiones analticas 6Kleiner 1=D= p. 2DD9.
8+8+=+ Si-,o" 6I6 # 66H ,a eo,1ci?n *acia e, conce0to act1a,
Para *galde 6271:9 en la primera mitad del siglo J5J cuando 4auc$y &o!ac$evsGy Airic$let
y /iemann a trav+s de la teora de funciones esta!lecida en 1
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :8
Ta!la 2. Principales definiciones de función en el siglo J5J.
A1to% A0o%te a ,a conce0t1a,i3aci?n de ,a"
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Modelado de Funciones desde el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas :;
función de la varia!le independiente x Q.
Rieann
:;K
Se dir# que y es una función de x si a todo valor de x corresponde
un valor !ien determinado de y cualquiera que sea la forma de la relación
que une a x y a y Q.
Es claro o!servar que con estas definiciones se puede $a!lar del paso de la relación
geom+trica al concepto de correspondencia entre varia!les como punto fundamental de partida
para conceptualizar una función aunque las limitaciones e@istentes en lo referente a los
con"untos num+ricos y las e@presiones analticas terminaron por dotarle de muc$os aspectosintuitivos que no permitieron por e"emplo terminar de dilucidar temas como el an#lisis de la
continuidad. ay una intención en los autores de este siglo para desligar el concepto de función
de situaciones fsicas de la representación gr#fica o del uso de fórmulas concretas algo que
requirió grandes procesos de formalización y a!stracción. ?N4onnor y /o!ertson 627789
resaltan por e"emplo que a pesar de la generalidad de la definición de 4auc$y que est# dise0ada
para cu!rir tanto las funciones implcitas como las e@plcitas a-n piensa en una función en
t+rminos de una fórmulaQ.
)l respecto de!e mencionarse un tra!a"o revolucionario para la evolución del concepto de
función y es el aporte de Fourier. ) partir de uno de sus aportes fundamentales sostiene que
cualquier función f ( x) definida en un intervalo (−l , l) es representa!le en ese intervalo
mediante series de senos y cosenos. &o que resulta interesante es que al momento de realizar las
prue!as y demostraciones para "ustificar que una función ar!itraria es e@presa!le mediante series
de Fourier termina utilizando el concepto de continuidad en el sentido moderno.
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Ae acuerdo a los planteamientos de Kleiner 61=D=9 Fourier destaca en el desarrollo del
concepto en la medida en queL
•
Se clarifica que dos funciones con diferentes e@presiones analticas pueden coincidir
en un intervalo independientemente no coincidan por fuera del intervalo.
• Precisa el concepto de continuidad mostrando que en el sentido planteado por Euler
e@istan ciertas limitaciones y dificultades.
• ?frece un nuevo +nfasis so!re las e@presiones analticas. 6p. 2=79
)ceptando muc$as de las ideas planteadas por Fourier sera otro gran matem#tico de la +poca
quien renovara la discusión so!re el concepto de función. 4on la definición de Airic$let la
importancia de la correspondencia ar!itraria ya no radica en la definición sino m#s !ien en la
aplicación que llega a d#rsele. Para clarificar esta idea en 1D2= define una función de forma
ver!al mostrando que para ella no e@iste representación gr#fica ni ta!ular ni alge!raica que la
represente en su totalidad. Esta función actualmente es conocida como función caracterstica de
Airic$let y una apro@imación gr#fica de ella se muestra en la Figura ;.
χ Q ( x )={0, si x es un número irracional1, si x esun número racional
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Figura 7 ,proximaci3n de la unci3n de .iric8let en un intervalo a:b;
Fuente elaboraci3n propia
)$ora !ien la aparición y desarrollo de la teora de con"untos en el siglo JJ terminara por
dar el -ltimo avance en la conceptualización que se mane"a actualmente en las matem#ticas.
Siguiendo el planteamiento de /uz 6277D9 en esta etapa se o!serva un marcado cam!io entre el
concepto de función desde sus inicios $asta la actualidad en tanto es asociada con una visión
totalmente est#tica que se ale"a completamente de los conceptos de cam!io variación
dependencia y continuidad que orientaron la discusión en todo el devenir $istórico. En pala!ras
de *galde 6271:9 el desarrollo de las matem#ticas del siglo J5J e inicios del siglo JJ y los
requerimientos de otras disciplinas como la fsica $icieron inevita!le pasar al estudio de
funciones definidas so!re con"untos ar!itrarios con valores en con"untos ar!itrariosQ 6p. 1;9. En
esta etapa se pueden resaltar los tra!a"os de 4antor y del grupo our!aGi. )s pues se llega a la
siguiente definición de funciónL
Sean A y B con"untos. *na función f : A → B de A en B es un su!con"unto
f de A × B tal queL i9 para todo elemento de a en A e@iste un elemento b en B
con (a , b) en f y ii9 si (a , b) y (a , b ' ) son elementos de f entonces b=b ' .
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Para Freudent$al 61=D(9 citado por Prada 61==;9 en este concepto se presenta que las dos
caractersticas m#s desarrolladas son su naturaleza ar!itraria y la univocidad. El primero se
refiere a que una función no de!e presentar ning-n tipo de regularidad 6como ya se $a!a
evidenciado en el e"emplo de Airic$let9 y el segundo indica que a cada elemento del dominio
sólo le puede corresponder un elemento del rango.
2.(. Un e"cena%io co-nitio& ,a teo%$a de ,a" %e0%e"entacione" "ei?tica"
4omo ya se $a mencionado uno de los intereses de esta propuesta est# puesto en el marcado
distanciamiento encontrado en el conte@to escolar cuando se quiere esta!lecer una relación entre
las formas del pensamiento matem#tico y las que se presentan por fuera de las matem#ticas
resaltando ineludi!lemente las dificultades a las que se llega en t+rminos de ense0anza y
aprendiza"e al momento de usar el concepto de función para estudiar y analizar situaciones del
mundo real. En esta medida es importante considerar y descri!ir desde el punto de vista
cognitivo algunas caractersticas propias so!re el uso y desarrollo del pensamiento matem#tico
para lo cual se propone especficamente considerar el enfoque teórico de las representaciones
semióticas.
Para Auval 6277;9 la actividad matem#tica se realiza dentro de diversos conte@tos de
representación que son necesariamente semióticos razón por la cual su an#lisis y estudio de!e
$acerse teniendo en cuenta las formas de representación utilizadas y los requisitos cognitivos que
involucran. )s en la actividad matem#tica se de!en considerar dos requisitos fundamentalesque al entrar en conflicto son resaltados por el autor como una parado"a cognitiva. En primer
lugar dada su naturaleza a los o!"etos matem#ticos no se accede por alg-n tipo de percepción
sensorial sino que sólo es posi!le realizar una apre$ensión conceptual a trav+s de las diversas
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representaciones semióticas que permiten alg-n tipo de actividad so!re ellos. Por otro lado el
o!"eto matem#tico no de!e confundirse con el contenido de las representaciones que se le
asocian puesto que en estas tam!i+n e@iste influencia de los sistemas semióticos de
representación utilizados.
En esencia esta teora reconoce que las representaciones mentales que los estudiantes
construyen y e@teriorizan so!re los o!"etos matem#ticos est#n influenciadas directamente por las
representaciones e@ternas por medio de las cuales llegan a realizar alg-n tipo de actividad
cognitiva so!re ellos siendo as importante preguntarse y refle@ionar so!re la forma en que
pasan de unas a otras. Ae a$ que dentro de la teora de Auval se resalta que en matem#ticas
de!e tra!a"arse necesariamente con diversos registros de representación. Estos pueden ser
discursivos 6usando una lengua natural que constituye un sistema semiótico por e@celencia o
una lengua formal9 o registros no discursivos como las figuras geom+tricas o sistemas de
coordenadasQ 6/o"as 2712 p. (9. Ae!e aclararse que en la clasificación planteada por Auval
tam!i+n se presenta una distinción entre registros multifuncionales y monofuncionales. &os
primeros tienen que ver con un tratamiento que no se puede dar de forma algortmica como si
ocurre con los segundos.
En este sentido la actividad matem#tica se enmarca en dos caractersticas semióticas
esencialesL la formación y selección de representaciones en un registro semiótico particular y la
puesta en escena de las propiedades de transformación que implica el procesamiento matem#tico.
4uando se $a!la de formación se referencia una actividad cognitiva que permite consolidar
una serie de registros semióticos que evocan las representaciones mentales del concepto y de
acuerdo a la intencionalidad que se esta!lece los estudiantes de!en estar en capacidad de $acer
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adecuadas selecciones caracterizadas por criterios de coordinación interna y diferenciación
funcional que permitan la coe@istencia de esa pluralidad de representaciones como !ase para el
desarrollo de sus capacidades cognitivas. Para ello es tam!i+n importante el mane"o de los
diferentes procesos de transformación que e@ige la actividad matem#tica como una serie de
mediaciones semióticas en las que se resaltan fundamentalmente las de tratamiento cuando se
produce una nueva representación dentro del mismo registro y las de conversión que implican
la aparición de una representación en un registro diferente a la inicial. )$ora !ien estas dos
clases de transformaciones de representaciones yacen en el corazón de la actividad matem#tica.
Por ello el primer requisito metodológico para analizar los pro!lemas de la comprensiónmatem#tica de los estudiantes es diferenciar por completo estas clases de transformacionesQ
6Auval 277; p. 1:=9. En la Figura < se muestra un e"emplo de estos procesos cognitivos de
transformación en el conte@to de estudio de la función cuadr#tica.
Figura
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Ae este modo dentro del pensamiento matem#tico es claro que la conversión y el tratamiento
forman una unidad elemental donde se privilegia fundamentalmente la correcta selección del
registro m#s adecuado para la solución de un pro!lema pero cuando esta situación es llevada al
plano cognitivo con el fin de analizar las dificultades de aprendiza"e que se encuentran los
estudiantes resulta ser muy importante que adquieran la capacidad de diferenciar y dominar
estas dos clases de transformaciones teniendo en cuenta que cada una de ellas es fuente de
particulares o!st#culos para llegar a la comprensión pero reconociendo en la mayora de los
casos que la conversión se sit-a un plano de mayor comple"idad. Precisamente una de las
dificultades o!servadas en la ense0anza y aprendiza"e de las funciones radica en el $ec$o dea!ordar sólo algunas conversiones entre ciertos registros de representación y en un sentido
determinado.
4on ello Auval resalta que la conversión no es un proceso cognitivo que se reduce a
actividades de codificación mostrando por e"emplo las lagunas cognitivas manifestadas por los
estudiantes cuando de!en estudiar las propiedades de una función que sufre ciertas
transformaciones 6refle@iones alargamientos traslaciones etc.9 pasando del registro gr#fico al
alge!raico con la simple codificación cartesiana donde sólo se pueden estudiar caractersticas
num+ricas locales y no las propiedades cualitativas glo!ales 6visuales9 que se corresponden con
las de la e@presión alge!raica tal como se muestra en la Figura D.
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Figura / .iicultades para pasar del registro grico al algebraico
Fuente .uval (2007) p 160
Tam!i+n Auval en este caso citado por ?spina 627129 concluye queL
&a conversión posee dos caractersticas. &a primera $ace referencia a que tiene una orientación
se0ala que son conocidos tanto el registro de partida como el registro de llegada y la segunda
e@presa que la conversión entre registros de representación semiótica puede ser o no congruente.
6pp. (;R(
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En la Figura = se representan algunas de las $a!ilidades que necesitan los estudiantes para
$acer procesos de conversión entre los registros semióticos m#s utilizados para representar las
funciones aclarando que estos no se dan de forma espont#nea sino que requieren poner en
marc$a intencionalmente una serie de actividades destinadas para ello. &as descripciones
ver!ales son tomadas como multifuncionales discursivas las e@presiones alge!raicas y ta!las de
datos son monofuncionales discursivas y las gr#ficas cartesianas monofuncionales no
discursivas.
Figura 9 abilidades necesarias para cambiar de registro en las unciones
Fuente elaboraci3n propia
Es en esta medida donde se $ace necesario involucrar una serie de mediaciones semióticas
que permitan cam!iar de un sistema de representación a otro sin cam!iar las propiedades
matem#ticas que se est#n representando sino que al contrario sean discriminadas de forma tal
que se resalte su relevancia y lleguen a transferirse a diferentes conte@tos de aprendiza"e. )l
respecto Auval 6277;9 sostiene que la mayor piedra de toque para la comprensión es la
posi!ilidad de transferir lo que se $a aprendido a nuevos y diferentes conte@tos dentro y fuera de
las matem#ticas y esto siempre implica la conversión de representaciónQ 6p. 18D9. Entonces un
aspecto crucial para la ense0anza de las matem#ticas no es elegir el me"or sistema de
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representación sino !uscar las estrategias adecuadas para que los estudiantes lleguen a esta!lecer
m-ltiples relaciones entre ellos o!edeciendo al criterio de coordinación interna y moviliz#ndolas
de forma con"unta e interactiva para reconocer su aplica!ilidad en los conte@tos reales
involucrados $a!ilidad a partir de la cual puede desarrollarse la comprensión conceptual. En
sntesis considerando el enfoque cognitivo de las representaciones semióticas Tamayo 6277;9
propone los siguientes aspectos so!re los cuales de!e centrarse la atención en cuanto a las
transformaciones que tienen los conceptos matem#ticos en su ense0anza y aprendiza"eL
• El proceso de producción de representaciones e@ternas es el que $ace posi!le comprender
y tener claridad so!re las representaciones mentales internas.
• Ae!e reconocerse que la conversión de una representación semiótica a otra es el proceso
cognitivo de mayor dificultad para los estudiantes.
• Oo e@isten reglas definidas para orientar el proceso cognitivo de la conversión y en el
me"or de los casos las que puedan proponerse resultan tener un alcance muy limitado.
• &os diferentes cam!ios de registro !uscan economizar la actividad cognitiva de los
estudiantes aunque lo importante m#s que simplificar procesos es !uscar que se
identifiquen y coordinen los diferentes registros de representación en conte@tos de
aplicación determinados sin que se presenten contradicciones entre ellos.
• &as dificultades de comprensión presentadas por los estudiantes o!edecen en muc$os de
los casos a la poca atención que se le presta al tra!a"o so!re los diferentes cam!ios de
registro siendo necesario $acer una refle@ión so!re los procesos necesarios para ello.
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8+@+ La ode,aci?n ate!tica coo %e
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encuentro entre la realidad y las ideas matem#ticas tomando como elementos fundamentales los
que se descri!en en el siguiente esquema.
Figura 10 #lementos bsicos de la construcci3n de modelos
Fuente =#> (199/): p 9
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)ceptando estas ideas se encuentra que el desarrollo de actividades !asadas en situaciones
reales llega a ser un posi!le escenario en el que se articulan los elementos y e@igencias de la
modelación matem#tica como proceso y a la vez recrea algunos de los conte@tos $istóricos con
los que evolucionó el concepto de función valorando y resaltando su importancia dentro de la
ense0anza y el aprendiza"e. Es claro que al cuestionarse por medir y analizar el comportamiento
de las magnitudes que intervienen en cada pr#ctica y la forma en que se relacionan se introduce
directamente a los estudiantes en la comprensión del concepto de varia!le y el desarrollo del
pensamiento variacional originando nuevos sistemas de representación que favorecen su
interpretación en la medida en que de!en analizar predecir argumentar deducir descri!ir "ustificar y en fin desarrollar una serie de actividades cognitivas claves para orientar la
construcción de modelos y la conceptualización de las relaciones funcionales como !ase para la
solución de los pro!lemas. En la Ta!la ( se muestran una serie de consideraciones
fundamentales que "ustifican el inter+s por la modelación y el an#lisis de situaciones reales al
momento de a!ordar el concepto de función.
%abla )lgunos elementos caractersticos de la modelación y las situaciones reales.
Mode,aci?n De"a%%o,,o de actiidade" .a"ada" en
"it1acione" %ea,e"
P%o0?"ito Moviliza diversas representaciones que
permiten la a!stracción y simplificación
de situaciones reales a!ordadas a partir
la construcción de esquemas mentales.
El concepto de función es presentado de
forma pr#ctica a los estudiantes
favoreciendo su capacidad intuitiva
Actiida
d
co-nitia
4onstrucción y elección de registros de
representación 63eneralización
conceptual9
5nteracción entre las estructuras del
modelo 6?frece e@periencias
procesamiento de situaciones funcionales9
P%oce"o" /ecursiva y cclica. alidación interna y Pone en evidencia las relaciones entre las
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e@terna. varia!les. alidación interna.
)simismo seg-n iem!engut y ein 6277:9 cuando se considera la modelación matem#tica
como una metodologa de ense0anza se de!e partir de un tema que permita el desarrollo y
formulación de preguntas e interrogantes que quieren comprenderse o !uscan $acer alg-n tipo de
inferencias y de!en responderse mediante el uso de $erramientas matem#ticas y la investigación
propia so!re el tema. En esta medida es importante despertar la motivación del estudiante por
cuestionarse so!re los fenómenos que puede llegar a e@perimentar y !a"o el acompa0amiento
continuo del docente ela!ore modelos matem#ticos cada vez m#s comple"os y completos que le
proporcionen la posi!ilidad de desempe0arse en me"or medida 6desarrollo de competencias9 en el
tratamiento y resolución de pro!lemas con la consolidación de su pensamiento crtico y creativo.
&os autores antes citados sostienen que al potenciar la modelación matem#tica se espera que los
estudiantes puedanL
• 5ntegrar las matem#ticas con otras #reas del conocimiento aumentando el inter+s del #rea
frente a su aplica!ilidad.
• Me"orar en la apre$ensión de los conceptos matem#ticos.
• )umentar su capacidad y creatividad para leer interpretar formular y resolver situaciones
pro!lema.
• ?rientarse en la capacidad de realizar la investigación del tema.
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8+;+ La" co0etencia" STEM
4omo ya se $a referenciado uno de los grandes intereses educativos que tienen las actuales
sociedades del mundo glo!alizado tiene que ver con una adecuada formación cientfica ytecnológica que responda a las necesidades y demandas que se presentan a los su"etos en la
solución de pro!lemas del campo la!oral y productivo e@igiendo una muy !uena
fundamentación y adecuados desempe0os en campos cruciales como el del conocimiento
matem#tico. ) raz de esto $a tomado fuerza la consolidación de nuevas metodologas de
ense0anza y aprendiza"e que acompa0adas de adaptaciones a la estructura curricular !uscan
posi!ilitar desde edades tempranas el desarrollo de $a!ilidades y competencias para la solución
de pro!lemas propios de las ciencias las matem#ticas la tecnologa y otros campos afines
permitiendo formar !ases sólidas en los estudiantes para que en su formación avanzada y
universitaria no tengan dificultades para elegir carreras y lneas de acción afines con estas
tem#ticas.
Este es el caso por e"emplo de pases como EE.** y la zona Europea donde este tipo de
tendencias $a tomado mayor auge y se $an convertido en un tema de discusión o!ligado para las
agendas educativas. )s empieza a $a!larse del modelo de competencias STEM como una
respuesta al reto planteado considerando estrategias de ense0anza que persiguen una preparación
integrada e interdisciplinaria en dos o m#s de estas #reas a partir del enfoque de aprendiza"e
!asado en la solución de pro!lemas en conte@tos reales. Para Mata 6271:9 la !ase educacional
de STEM intenta quitar las !arreras que separan estas cuatro disciplinas mencionadas e
integrarlas con e@periencias de aprendiza"e rigurosas y significativas para los estudiantesQ 6p. D9
aclaración que pretende resaltar adem#s del inter+s por un enfoque interdisciplinario la
posi!ilidad de que los estudiantes puedan evidenciar la aplica!ilidad de los conceptos en el plano
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de lo real como punto de partida para comprender la din#mica propia de la naturaleza y resolver
los pro!lemas que la misma sociedad le plantea.
)l respecto el modelo de competencias STEM es catalogado por algunos autores como unnuevo paradigma dentro del campo educativo capaz de responder a las caractersticas de la
sociedad actual y sus necesidades formativas. Tal es el caso de osc$ 627119 quien sostiene que
adem#s de consolidar nuevas ideas y formas de darles aplica!ilidad surgir#n tam!i+n modernas
formas de desarrollo de $a!ilidades y competencias para adquirir conocimientos actuales y tener
una idea m#s clara de la relación entre matem#tica y las ciencias e ingeniera del mundo real del
siglo JJ5Q 6p. 1(89. Esta perspectiva enfatiza entonces en lograr que la ciencia tecnologa
ingeniera y matem#ticas lleguen a desarrollarse en conte@tos ntimamente relacionados y
e@plorados dentro del universo escolar para llegar a adquirir su mayor grado de potencialización
en la sociedad.
Ae esta forma la metodologa STEM est# ntimamente relacionada con el proceso de
modelación que se descri!ió en otra sección de este tra!a"o en la medida en que el desarrollo de
este tipo de competencias adquiere sentido y validez en los procesos de ense0anza y aprendiza"e
!asados en la estrategia de solución de pro!lemas. En este sentido Mata 6271:9 define una
actividad STEM como una