UNIVERSIDAD SIMN BOLVAR Decanato de Estudios de Postgrado Doctorado En Ingeniera MODELADO MATEMTICO DE LA CLULA CARDIACA Tesis doctoral presentada a la Universidad Simn Bolvar por: Rossany Odalys Roche Valencia Como requisito parcial para optar al grado de Doctor en Ingeniera Realizado con la tutora de la Profesora Rosalba Lamanna de Rocco Noviembre, 2005. Versin preliminar MODELADO MATEMTICO DE LA CLULA CARDIACA Resumen Enestetrabajosedesarrollaunmodeloglobaldelaclulacardacaqueintegratantola actividad elctrica como la actividad cintico-qumica de los diferentes elementos del citosol, el retculosarcoplsmicoylamembranacelular(canalesL,canalesdeRianodina,bomba SERCA, bomba ATPasa, intercambiador Na+-Ca2+, miofibrillas).Elmodelo,basadoenlainterpretacindelaclula(miocito)comounsistemademicro-reactoresqumicosinterconectados,arrojaresultadosqueconcuerdanconlos comportamientos reales de excitacin-relajacin esperados: las dinmicas de concentracin de calcio y de voltaje son cclicas, con forma de campana asimtrica para el calcio y de onda con mesetaparaelvoltaje.Lasvalidacionesdelmodelocondatosrealesmuestranademsque puede ser fcilmente adaptado a miocitos de diferentes especies animales. La estructura fenomenolgica del modelo hace posible, luego de un estudio de sensibilidad, la identificacindeculesdeloselementoscelularesestnrelacionadoscondiferentestiposde comportamientos dinmicos, y por lo tanto hace posible el uso del modelo como herramienta en el diseo de protocolos experimentales, para el estudio de efectos de drogas y en el diseo de tratamientos para cardiopatas. Parafacilitarprecisamenteelusodelmodeloeninvestigacionesmdicasoparafines acadmicos, se desarrolla tambin un simulador basado en la herramienta Guide de Matlab. Este programa, que contiene adems el modelo de Tang y Othmer (1994) y el modelo de Fox y colaboradores(2001),parafinescomparativos,esmuyflexibley sencillodeutilizarydirigeal usuario en el proceso interactivo de ajuste del modelo a diferentes situaciones experimentales. Palabras claves: modelado cardiaco, clula cardiaca, contraccin-relajacin, dinmica de calcio, clula virtual, simulador celular. MATHEMATICAL MODELING OF THE CARDIAC CELL Summary A global model of the cardiac cell is formulated, integrating the electrical, kinetic and chemical dynamical aspects of the different components in the cytosol, the sarcoplasmic reticulum, and thecellularmembrane(L-channels,Ryanodinechannels,SERCA-pump,ATP-pump,Na+-Ca2+-exchanger, myofibrilles). The model, based on the idealization of thecell as a two-interconnected-stirred-tank-reactor system,producestheexpectedtimeresponsesoftheexcitation-contraction(E-C)coupling, namely the oscillatory-bell-shaped curve in the calcium dynamics and the characteristic plateau phase in the membrane potential. Validations of the model with different real data sets show that it can be well adapted to represent cells of different species. Following a sensibility analysis of the model, the phenomenological structure of its equations allowstheidentificationofthecellularsub-systemsthatarerelatedtospecificoraltereddynamics, and hence the applications of the model in experiment design, drug-effect analysis and cardiac-pathology treatment.AsimulationprogramusingMatlabisalsopresented.Itisintendedtobethebaseofa computer aided system, to be used by biologists and doctors, as a research or academic tool. It contains the models by Tang and Othmer (1994) and Fox et al. (2001) as well, for comparison purposes.Itsuser-friendlyinterfaceallowsthemodificationofthemodelparametersin correspondence with different cellular elements, and hence the testing of the sensibility of the E-C process to drugs and inhibitors. Keywords: Cardiacmodeling,Cardiaccell,E-Ccoupling,Calciumdynamics,Virtualcell, Cellular simulation. i Tabla de Contenidos Lista de Tablasiv Lista de Figurasv INTRODUCCIN GENERAL1 Captulo 1LA CLULA CARDIACA8 1.1INTRODUCCIN.8 1.2ANATOMA DE LA CLULA CARDIACA.8 1.2.1 El Sarcolema.9 1.2.2El Retculo Sarcoplsmico.10 1.2.3Las Miofibrillas.11 1.2.4Elementos celulares13 1.3FISIOLOGA DE LA CLULA CARDIACA20 1.4CONCLUSIONES24 Captulo 2ANTECEDENTES DEL MODELADO 26 2.1 INTRODUCCIN26 2.2MODELOS MATEMTICOS DE LOS DIVERSOS COMPONENTES CELULARES DEL MIOCITO 28 2.2.1Modelado de los fenmenos fsicos qumicos28 2.2.2Modelado de fenmenos elctricos46 2.3MODELOS MATEMTICOS DE LA CLULA CARDIACA59 2.4CONCLUSIONES67 Captulo 3 DESARROLLO DE UN MODELO GLOBAL 69 3.1INTRODUCCIN69 3.2EL SISTEMA MIOCITO70 3.3FORMULACIN DEL MODELO74 3.3.1Ecuaciones principales de balances74 3.3.2Ecuaciones auxiliares descriptivas77 3.3.3Parmetros del modelo95 3.4CONCLUSIONES101 Captulo 4 SIMULACIN Y VALIDACIN DEL MODELO103 4.1INTRODUCCIN103 4.2RESOLUCIN DEL MODELO105 ii 4.3VALIDACIN DEL MODELO CELULAR GENERALIZADO109 4.3.1Variables utilizadas110 4.3.2Procedimiento de validacin general112 4.3.3Resultados de simulacin del modelo generalizado115 4.3.4 Comparacin del modelo con otros modelos.116 4.4VALIDACIN POR ESPECIES.119 4.4.1 Obtencin de los datos reales.119 4.4.2 Validaciones.122 4.4.3 Anlisis de resultados129 4.5 ESTUDIO DE SENSIBILIDAD DEL MODELO132 4.5.1 Perturbaciones en el subsistema cintico-qumico135 4.5.2Perturbaciones en el subsistema elctrico153 4.6CONCLUSIONES165 Captulo 5APLICACIONES169 5.1INTRODUCCIN169 5.2EL SIMULADOR170 5.2.1Diseo del simulador171 5.2.2Descripcin del simulador174 5.3 EFECTOS DE DROGAS.183 5.3.1 Efectos de la inyeccin de Cafena 10 mM185 5.3.2 Efectos de la inyeccin de Forskolin 1 M189 5.3.3Efectos de la inyeccin de Rojo de Rutenio 1 M192 5.3.4 Efectos de la inyeccin de Tapsigargin 1 M195 5.4 EXTENSIONES DEL SIMULADOR200 5.4.1Ayuda para el ajuste de parmetros: Identificacin200 5.4.2 Ayuda para la sntesis de resultados203 5.5 CONCLUSIONES.211 Captulo 6CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS214 6.1 CONCLUSIONES214 6.2 PERSPECTIVAS218 6.3 PUBLICACIONES CONCERNIENTES A ESTE TRABAJO.220 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS221 iii APNDICE A: Matlab functions229 APNDICE B:Tcnica de patch-clamp235 APNDICE C:Protocolo Experimental usado para medir concentracin de calcio en el miocito de pollo. 237 APNDICE D: Datos experimentales usados para validar el modelo238 APNDICE E: El programa cdigo de MyocyteSimulator240 APNDICE F: Datos experimentales usados para validar el efecto de drogas241 iv ndice de Tablas Tabla 3.1Condiciones de borde de las variables del modelo94 Tabla 3.2Parmetros asociados a la geometra del miocito96 Tabla 3.3Parmetros asociados al transporte de calcio en el citosol97 Tabla 3.4Parmetros asociados al transporte de calcio en el retculo sarcoplsmico97 Tabla 3.5Parmetros asociados a las corrientes inicas98 Tabla 3.6Parmetros asociados a las concentraciones invariables del modelo99 Tabla 3.7Parmetros asociados a las constantes fsicas del modelo100 Tabla 4.1Condiciones iniciales para el sistema de ecuaciones diferenciales108 Tabla 4.2Parmetros modificados en el sistema de ecuaciones diferenciales 113 Tabla 4.3 Valores comparativos entre el modelo de Tang, el modelo de Fox y el modelo propuesto. 118 Tabla 4.4 Validacin del modelo para diferentes especies de miocito128 Tabla 4.5 Valores de las constantes cinticas de reaccin para el mecanismo de reaccin de la bomba SERCA planteado por Mahaney et al., 2000. 147 Tabla 5.1 Validacin del modelo para diferentes tipos de drogas: Cafena, Forskolin,Rojo de Rutenio, Tapsigargin. 199 v Lista de Figuras Figura 1.1 La Clula Cardiaca9 Figura 1.2 Diagrama esquemtico del miocito11 Figura 1.3 Esquema del sarcmero12 Figura 1.4 Detalle en las miofibrillas12 Figura 1.5 Canales L14 Figura 1.6 Canales de Na+15 Figura 1.7 Poro del canal de Na+15 Figura 1.8 Canales de potasio16 Figura 1.9Canales de Rianodina16 Figura 1.10Esquema del intercambiador Na+-Ca2+18 Figura 1.11Bomba Na+-K+ y su ciclo de activacin19 Figura 1.12Enzima de la bomba SERCA19 Figura 1.13Ciclo de activacin de la bomba SERCA20 Figura 1.14Potencial de membrana22 Figura 1.15Dinmica de Calcio 22 Figura 2.1Activacin de protenas29 Figura 2.2Estados de transicin tpicos para un canal de membrana32 Figura 2.3Identificacin de los parmetros Km y Vmax35 Figura 2.4Dinmica del potencial de membrana y corrientes generadas por la actividad de los canales de potasio 51 Figura 2.5Esquema de miocito para el modelo de Tang y Othmer (1994) y Hamam y colaboradores (2000). 60 Figura 2.6Resultados de las simulaciones del modelo de Hamah: concentracin de calcio respecto al tiempo 64 Figura 2.7Esquema de la clula cardiaca utilizado en el modelo de Fox65 Figura 2.8Resultados de potencial de membrana para el modelo de Fox65 Figura 2.9Resultados de la concentracin molar del in calcio para el modelo de Fox66 Figura 3.1Miocito interpretado como sistema de reactores qumicos72 Figura 3.2Membrana celular con dipolo76 Figura 3.3Asociacin entre los elementos celulares del miocito y los parmetros matemticos del modelo 101 Figura 4.1Programa realizado en Simulink107 Figura 4.2Resultados del modelo generalizado para los ciclos de V.115 Figura 4.3Resultados del modelo generalizado para los ciclos de Cai2+.115 Figura 4.4 Comparacin entre el modelo de Tang y el modelo propuesto para la dinmica de Cai2+ (miocito generalizado). 116 vi Figura 4.5 Comparacin entre el modelo de Fox y el modelo propuesto para la dinmica de Cai2+. 116 Figura 4.6 Comparacin entre el modelo de Fox y el modelo propuesto para la dinmica de V. 117 Figura 4.7 Comparacin entre el modelo de Fox y el modelo propuesto para la dinmica de ICa. 117 Figura 4.8Montaje experimental para el mtodo fluorescente.122 Figura 4.9Validacin de la dinmica de Cai2+ para miocito canino.123 Figura 4.10 Validacin de la dinmica de V para miocito canino.123 Figura 4.11 Validacin de la dinmica de ICa para miocito canino.124 Figura 4.12 Validacin de la dinmica de V para miocito de conejo.125 Figura 4.13 Validacin de la dinmica de ICa para miocito de conejo.125 Figura 4.14 Validacin de la dinmica de Cai2+ para miocito de pollo.126 Figura 4.15 Detalle de la validacin de la dinmica de Cai2+ para el miocito de pollo.126 Figura 4.16 Dinmica de V simulada para el miocito de pollo.127 Figura 4.17 Validacin de la dinmica de Cai2+ para miocito humano.128 Figura 4.18 Simulacin de la dinmica de CaSR2+ para las diferentes especies de miocito.130 Figura 4.19 Simulacin de la dinmica de x2 para las diferentes especies de miocito.131 Figura 4.20 Simulacin de la dinmica de PopenL para el miocito de perro y de conejo.132 Figura 4.21Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1l sobre la dinmica de2x. 136 Figura 4.22Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1l sobre la dinmica de+ 2iCa. 136 Figura 4.23Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1l sobre la dinmica deV 136 Figura 4.24Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 ml sobre la dinmica de2x. 138 Figura 4.25Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 ml sobre la dinmica de+ 2iCa. 138 Figura 4.26Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 ml sobre la dinmica deV. 138 Figura 4.27 Efectos de las perturbaciones en el parmetro dF sobre la dinmica de + 2iCa. 140 Figura 4.28 Efectos de las perturbaciones en el parmetro dF sobre la dinmica de V. 140 Figura 4.29 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 dK sobre la dinmica deCaM 141 Figura 4.30 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 dK sobre la dinmica de+ 2iCa 141 Figura 4.31Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 dK sobre la dinmica de V 142 Figura 4.32 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1psobre la dinmica de + 2iCa 143 Figura 4.33 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1psobre la dinmica de + 2SRCa 143 Figura 4.34 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1psobre la dinmica de V 144 vii Figura 4.35 Efectos de las perturbaciones extremas en el parmetro 1psobre la dinmica de + 2SRCa. 145 Figura 4.36Efectos de las perturbaciones extremas en el parmetro 1psobre la dinmica de + 2iCa. 145 Figura 4.37 Efectos de las perturbaciones extremas en el parmetro 1psobre la dinmica de V. 145 Figura 4.38 Simulacin de la dinmica de + 2iCa. 150 Figura 4.39 Simulacin de la dinmica de V. 150 Figura 4.40 Simulacin de la dinmica de + 2SRCa. 150 Figura 4.41 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1q sobre la dinmica de + 2iCa. 152 Figura 4.42 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1q sobre la dinmica de V. 152 Figura 4.43 Efectos de las perturbaciones en el parmetro K sobre la dinmica de + 2iCa. 153 Figura 4.44 Efectos de las perturbaciones en el parmetro K sobre la dinmica de V. 153 Figura 4.45Efectos de las perturbaciones en el parmetro Na G sobre la dinmica de V. 154 Figura 4.46 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Na G sobre la dinmica de + 2iCa. 154 Figura 4.47 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Nab G sobre la dinmica de V. 155 Figura 4.48 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Nab G sobre la dinmica de + 2iCa. 155 Figura 4.49 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 K G sobre la dinmica de V. 156 Figura 4.50 Efectos de las perturbaciones en el parmetro 1 K G sobre la dinmica de + 2iCa. 156 Figura 4.51 Efectos de las perturbaciones en el parmetro to G sobre la dinmica de V. 157 Figura 4.52 Efectos de las perturbaciones en el parmetro to G sobre la dinmica de + 2iCa. 157 Figura 4.53 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Kp G sobre la dinmica de V. 158 Figura 4.54Efectos de las perturbaciones en el parmetro Kp G sobre la dinmica de + 2iCa. 158 Figura 4.55Efectos de las perturbaciones en el parmetro Kr G sobre la dinmica de V. 158 Figura 4.56Efectos de las perturbaciones en el parmetro Kr G sobre la dinmica de + 2iCa. 158 Figura 4.57Efectos de las perturbaciones en el parmetro Ks G sobre la dinmica de V. 159 viii Figura 4.58 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Ca P sobre la dinmica de + 2iCa. 160 Figura 4.59 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Ca P sobre la dinmica de V. 160 Figura 4.60 Efectos de las perturbaciones en el parmetro CaK P sobre la dinmica de + 2iCa. 161 Figura 4.61 Efectos de las perturbaciones en el parmetro CaK P sobre la dinmica de V 161 Figura 4.62 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Cab G sobre la dinmica de V. 162 Figura 4.63 Efectos de las perturbaciones en el parmetro Cab G sobre la dinmica de + 2iCa. 162 Figura 4.64 Efectos de las perturbaciones en el parmetro max pCaI sobre la dinmica de V. 163 Figura 4.65 Efectos de las perturbaciones en el parmetro max pCaI sobre la dinmica de + 2iCa. 163 Figura 4.66 Efectos de las perturbaciones en el parmetro NaCak sobre la dinmica de V. 164 Figura 4.67 Efectos de las perturbaciones en el parmetro NaCak sobre la dinmica de + 2iCa. 164 Figura 4.68 Efectos de las perturbaciones en el parmetro max NaK I sobre la dinmica de V. 165 Figura 4.69 Efectos de las perturbaciones en el parmetro max NaK I sobre la dinmica de + 2iCa. 165 Figura 4.70Ciclo de voltaje y su interrelacin con las descripciones matemticas del modelo. 168 Figura 4.71Ciclo de concentracin del in calcio y su interrelacin con las descripciones matemticas del modelo 168 Figura 5.1Interfaz de MATLAB 173 Figura 5.2 Pantalla principal del simulador. 174 Figura 5.3Pantalla principal del simulador: comandos para cargar los resultados simulados y experimentales y para realizar grficos. 176 Figura 5.4Pantalla secundaria para el modelo de Tang y Othmer (1994).177 Figura 5.5Pantalla secundaria para el modelo de Fox y colaboradores (2001).178 Figura 5.6Pantalla secundaria para el modelo propuesto (Roche y colaboradores, 2004).179 Figura 5.7Ejecucin de los comandos Perturbation y Run.181 Figura 5.8Ejecucin de los comandos Run y Save.182 Figura 5.9Pantalla adicional de slo grfico (opcin Only Figure).183 ixFigura 5.10Validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Cafena 10mM. 187 Figura 5.11Detalle de la validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Cafena 10mM. 187 Figura 5.12Simulacin de la dinmica de SERCAFQ y de Ca ENaFQ con inyeccin de Cafena 10mM. 187 Figura 5.13Simulacin de la dinmica de 2x con inyeccin de Cafena 10mM. 187 Figura 5.14Simulacin de la dinmica de V con inyeccin de Cafena 10mM. 188 Figura 5.15Validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Forskolin 1M. 190 Figura 5.16Detalle de la validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Forskolin 1M 190 Figura 5.17Simulacin de la dinmica de V con inyeccin de Forskolin 1M. 191 Figura 5.18Validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Rojo de Rutenio 1M. 193 Figura 5.19Detalle de la validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Rojo de Rutenio 1M. 193 Figura 5.20Simulacin de la dinmica de 2x con inyeccin de Rojo de Rutenio 1M. 193 Figura 5.21Simulacin de la dinmica de + 2SRCaconinyeccin de Rojo de Rutenio 1M 193 Figura 5.22Simulacin de la dinmica de CaI coninyeccin de Rojo de Rutenio 1M. 194 Figura 5.23Simulacin de la dinmica de V coninyeccin de Rojo de Rutenio 1M. 194 Figura 5.24Validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Tapsigargin 1M. 197 Figura 5.25Detalle de la validacin de la dinmica de + 2iCa con inyeccin de Tapsigargin 1M. 197 Figura 5.26Simulacin de la dinmica de 2x con inyeccin de Tapsigargin 1M. 197 Figura 5.27Simulacin de la dinmica de + 2SRCa con la inyeccin de Tapsigargin 1M. 197 Figura 5.28Simulacin de la dinmica de SERCAFQ con la inyeccin de Tapsigargin 1M. 198 Figura 5.29Simulacin de la dinmica de V con la inyeccin de Tapsigargin 1M. 198 Figura 5.30Pertenencia a un sub-conjunto (a) clsico, (b) borroso.204 Figura 5.31Varias funciones de pertenencia.205 Figura 5.32Estructura general de un SIB206 Figura 5.33.Mecanismos de inferencia difusa.208 Figura 5.34Funciones de pertenencia para la especificacin de una entrada en un sistema difuso. 208 Figura 5.35Propuesta para el SIB-A.209 Figura 5.36Propuesta para el SIB-B.210 Figura 6.1Esquema para el diseo de autmatas celulares. 219 Introduccin General1 INTRODUCCIN GENERAL La cuestin ms importante para la ciencia no es descubrir nuevos hechos sino descubrir nuevas maneras de pensar en ellos . -Sir William Bragg- Estetrabajoestenmarcadoenunproyectofranco-venezolanodecooperacincientfica, financiadoporECOS-Nord(MinistredesAffairestrangres,Francia)yFONACIT (MinisteriodeCienciayTecnologa,Venezuela),titulado:Modeladodefenmenos cardiacos: de la clula al rgano. En el proyecto participan el grupo venezolano de modelado y simulacin del Departamento de ProcesosySistemasdelaUniversidadSimnBolvar,enCaracas,ytresgruposfranceses:el LaboratoriodeSistemasInformticos(A2SI)delInstitutoESIEE(coleSuprieure dIngnieurs lectroniques et lectrotechniques) de Pars; la Unidad 99 del Instituto INSERM (Institut National de la Sant et de la Recherche Mdicale), tambin de Paris; y el Laboratorio LAIL de la Ecole Centrale de Lille, en Lille-Francia. La principal meta del proyecto es reunir dos aspectos convergentes del modelado de funciones cardiacas:elnivelcelularyelnivelorgnico.Lapresentetesis,realizadaenlaUniversidad Simn Bolvar y en el A2SI del ESIEE (Paris), est dedicada al modelado de la clula cardiaca. Lasclulascardiacas,denominadastambinmiocitos,conformaneltejidodelmsculo cardiaco y su comportamiento dinmico est a la base del fenmeno contraccin-relajacin. La cabalcomprensindesufuncionamientoesmuyimportanteporquelasenfermedadesdel corazn,quepresentanunaaltaincidenciaysonunadelasprincipalescausasdemuerteen muchospases,estnensumayorarelacionadasconlainactivacinouninadecuado funcionamiento de los miocitos. Introduccin General2 El objetivo de modelar el comportamiento celular se justifica porque el modelado cuantitativo en biologaexperimentalpermitereemplazarunapartenotabledelosexperimentosinvivoeinvitro porexperimentos"incomputero".experimentosinvivoeinvitroporexperimentos"incomputero". Esto tambin permite definir bien los procedimientos de experimentacin en s mismos, gracias a lascapacidadesdeprediccindelosmodeloscuantitativos:lassimulacionesinformticasy numricasdeestosmodelossoncomparadasconlosresultadosdelaexperimentacinbiolgica sobreeltejidovivo.Lastcnicasdeidentificacinfinalmentepuedenlograrunavalidacindel modelo cuantitativo y su mejor ajuste a los comportamientos reales observados. El desarrollo de drogas de accin especfica por ejemplo, para tratar las enfermedades cardiacas, requiere entender demaneramsdetallada cmosucedeelprocesodeexcitacin-contraccinyrelajacinycules son los elementos celulares involucrados. En este sentido, el modelado matemtico representa una excelenteherramientapuespermiteformalizarcuantitativamenteelconocimiento fenomenolgicoqueseposeedelcomportamientodelmiocito,mediantelaaplicacindeleyes fundamentales de la fsica y de la bioqumica,y combinarlo con el conocimiento experto (basado en observaciones y datos experimentales). Es bien conocido que el in calcio es el principal regulador de la actividad de las clulas cardiacas. Eltransportedeesteinhaciaelinteriory/oexteriordelmiocitodalugarafenmenosde naturaleza qumica (variacin de la concentracin del in calcio y otros iones) y elctrica (cadas de voltaje) que modulan el proceso de excitacin-contraccin y relajacin (Bryan et al., 1994, Guyton et al., 1994). Enlaliteraturaespecializadaseencuentrantrabajosdedicadosalmodeladodeestosfenmenos en dos modalidades: Modelado de los elementos celulares: Este tipo de representacin es fenomenolgica y su principal inters es establecer los mecanismos mediante los cuales los elementos celulares influyensobrelaactividadcardiaca.Estosmodelosslodescribeninteraccionesmuy especficasyaisladasparaestudiarlanaturalezade unelementocelularenparticularms nopermitenobtenerinformacinglobalsobreelcomportamientodelmiocito.Adems, como son modelos netamente fenomenolgicos algunas propuestas pueden llegar a tener expresionesmatemticasmuycomplejasyporlotantocostosasdesdeelpuntodevista Introduccin General3 computacional.Ejemplos de estas contribuciones estn dadas en los trabajos de:Smith y colaboradores (2000), Fabiato (1985), Rothberg y Magleby (1999), Fujioka y colaboradores (2000), Mahanay y colaboradores (2000), Therien y Blostein, 1999, Kurata y colaboradores (1999). Modeladodelaclulacardiacacomountodo:Existennumerosascontribucionessobre modelos que intentan representar el miocito integralmente. Algunas formulan la dinmica de transferencia de masa entre los diferentes elementos celulares que se interpretan como compartimientos (Tang y Othmer, 1994, Hamah et al, 2000, Roche et al, 2003, Rocaries etal,2004),describiendosololosfenmenoscintico-qumicosinvolucrados.Estos modeloslogranunabuenaprediccindel comportamientode ladinmicadecalciopero no pueden predecir el comportamiento elctrico de la clula y es ste precisamente el que se detecta ms rpidamente a nivel clnico en un paciente. Por otra parte, existen modelos dedicadossoloaladescripcindelosfenmenoselctricos,queinterpretanlaclula como una pila o batera, y que obtienen una correcta prediccin de la dinmica de voltaje msnodelaconcentracindecalcio.Actualmenteexistenmuchostrabajosrealizados bajoestaperspectiva,sinembargo,lamayoradeellosestnbasadosenlaspropuestas iniciales planteadas en el modelo de Luo y Rudy, 1994 y en el modelo de Noble, 1994. Este trabajo de tesis se enfoca fundamentalmente a la obtencin de un modelo dinmico global de laclulacardiaca,quecontengaunadescripcintantodelosfenmenosqumicosyde transferencia de masa, como de los elctricos, y de las interrelaciones entre ellos. Para lograrlo, se proponeinterpretarlaclulacomounsistemademicro-reactoresqumicosinterconectados. Naturalmente se incluyen las descripciones disponibles de subsistemas celulares bien conocidos y setrabajaenelmejoramientodeotras.Sedeseaobtenerunmodeloqueposeaunaestructura bsicafundamentadaenlafenomenologadelprocesoyquepermitaentoncesaislarefectosen elementosespecficosdelsistema.Sinembargo,loselementosmuycomplejosy/o imperfectamentecomprendidosserepresentanconestructurasmssencillasdeparmetros ajustables.Estoapuntaaundoblepropsito:evitarunaexcesivacomplejidaddelmodeloy permitir su adaptacin a diferentes situaciones. En resumen se orienta el desarrollo del modelo a formular de manera que se logre:Introduccin General4 Que las ecuaciones matemticas del modelo representen tanto la dinmica qumica como la dinmica elctrica. Esto permite estudiar las importantes interdependencias que existen entre ellas y representar efectivamente a la clula en su totalidad. Que se pueda utilizar el conocimiento fenomenolgico existente de cada elemento celular en este modelo global. En este sentido, la estructura del nuevo modelo debe ser capaz de asociarparmetrosmatemticosaelementoscelularesespecficospermitiendoasla identificacin de cada una de las partes que componen el miocito.Que se garantice el compromiso entre complejidad y computabilidad, pues si bien es ciertoquelafenomenologapuedeconllevaraexpresionesmatemticascomplicadas, tambinesciertoqueapartirdestasdebenobtenersesolucionesnumricasalavez rpidas y precisas. Que el modelo pueda ajustarse a distintas condiciones (por ejemplo: estudio de diferentes especiesanimales)y/osometerseaperturbaciones(porejemplo:inyeccindedrogas). Esto tiene como ventaja ampliar el alcance de las aplicaciones del modelo. Por otra parte, la necesidad de integrar el conocimiento e informacin generado por los diversos modelosmatemticosformuladosyelavanceenmateriadeinformticaenlasltimasdcadas hanpermitidoeldesarrollodeunagrancantidaddesimuladores.Lossimuladorescelulares, utilizan algn lenguaje de programacin (FORTRAN, C+, DELPHIS, MATLAB) para la resolucin numrica automtica de los modelos, reproduciendo el comportamiento de una clula real,raznporlacual,muchosinvestigadoresdenominanalossimuladores:clulasvirtuales (Zhangetal,2003).Lossimuladorespermitenmodificarlosvaloresdelosparmetrosdel modelo,loqueequivalealestudiodelaclulabajodiferentescondiciones.Deestamanerase ahorratiempoydineroeneldiseodeprotocolosexperimentalesyenlabsquedade tratamientosparalasenfermedadescardiacas.Asmismo,lossimuladoresseusancomo herramienta de enseanza didctica en el medio acadmico. Laevolucindelasclulasvirtualessiguelamismatendenciaqueladelosmodelos matemticos globales y hoy da la mayora de estos simuladores slo estn enfocados en describir demaneraparcialelcomportamientodelasclulascardiacas.Especficamente,todoslos simuladores desarrollados hasta el momento y que se describen a continuacin, utilizan modelos Introduccin General5 del miocito que representan muy bien la dinmica elctrica pero que fallan en la prediccin de la dinmica qumica: OxSoftHEART:secomenzadesarrollardesdeelao1984yestbasadoenlos diferentesmodelospropuestosporDenisNoble(Nobleetal.,1994)y/oRaimond Winslow (Winslow et al., 1999). Utiliza el lenguaje de programacin Borland Pascal y es bastante rpido: requiere 3segundos de ejecucin de tiempo real para simular 1segundo delcomportamientocelular(KholyNoble,2003).Laltimaversindelao1999,se denomina OxSoft HEART 4.X (Noble, 1999). CardioPrism: se basa en los modelos propuestos por Luo y Rudy (1994), est dirigido a la industria farmacutica para el diseo de tratamientos de las enfermedades cardiacas y es netamente comercial (Zenglan, 2001). iCell:esunsimuladorprogramadoenellenguajeJava,elcualesbastanteflexible, permitiendo que iCell pueda ejecutarse en lnea desde Internet, sin importar el sistema operativo disponible en el computador. No obstante, para ejecutar iCell sin conexin a Internet es necesario pedir un permiso especial a sus creadores (Demir, 1998). Tambin se basaenunmodeloelctricodesarrollado apartirdelmodelopropuestopor LuoyRudy (1994). Enlosltimosaos,ladisponibilidaddelenguajesdeprogramacinqueemulanpantallascon grficos integrados tipo ventanas (Windows) han permitido el desarrollo de simuladores mucho ms potentes desde el punto de vista grfico. Tal es el caso de LabHeart (Puglisi y Bers, 2001) queutilizaellenguajedeprogramacinLabViewparaimplementarmodeloscelularesy presentarlosenunainterfazbastanteamigableparalosusuarios.Sinembargo,LabHeartes bastantelento,puesparaobtener1sdesimulacindeunaclulademiocitodecerdo,conun modelo relativamente sencillo como el de Luo y Rudy (1994), requiere ejecutar 10 s de tiempo real en un procesador del tipo Intel Pentium IV 1.8 Ghz. Esto es debido a las limitaciones incapacidad dellenguajedeprogramacinLabViewpararesolverconrapidezlascomplejasecuaciones matemticas propias de los modelos celulares (Khol y Noble, 2003). Introduccin General6 En este trabajo se pretende tambin desarrollar un simulador de la clula cardiaca bajo un sistema operativotipoventanasquepermitaalusuariolaresolucindirigidadelmodelopropuesto.Los objetivos en este aspecto se pueden resumir en lo siguiente: Queelmodelopropuestopuedaserutilizadopormdicosybilogosparafines acadmicos o investigativos. En este sentido, el simulador del modelo debe ser intuitivo y amigable sin que esto sacrifique la rapidez y precisin de la resolucin numrica, y con una buena ayuda grfica. Queseaposibleunprocesodeajusteinteractivodelmodeloparaemularsituaciones experimentalesreales,indicandoalusuarioculesparmetrosasociadosaelementos celulares especficos deben ser modificados. Que el modelo pueda ser comparado con otros modelos disponibles. El presente documento est organizadoen seis captulos de la siguiente manera: Enelcaptulo1sedescribeelsistemamiocito.Sepresentaunbreveresumensobrela anatomayelcomportamientodelaclulacardiaca:sedetallanloscomponentesdela clulaquepermitenelmovimientodecontraccinyrelajacinyseexplicalafisiologa bsica del proceso que da lugar a este movimiento. Enelcaptulo2serealizaunarevisinhistricadelosmodelosmatemticosexistentes pararepresentarentodooenpartealaclulacardiaca.Seretomanlasleyes fenomenolgicas utilizadas en cada caso y se analizan la aplicabilidad y las limitaciones de cadamodelo.Seresumenlasdiferentescontribucionesdemodeladodelosdiversos fenmenosfsicos,qumicosyelctricosaisladosdelmiocitoysepresentaunabreve revisin de los modelos celulares conocidos hasta el presente. En el captulo 3 se desarrolla el nuevo modelo matemtico de la clula cardiaca. Para ello, seconcibelaclulacomounsistemademicro-reactoresinterconectadosquetienen caractersticasyfronterasclaramentedefinidas.Enfuncindeestaperspectivase Introduccin General7 formulanlasecuacionesdelmodelo,estipulandolasconsideracionesfsicas, simplificaciones, parmetros y condiciones de borde necesarias. En el captulo 4 se obtiene la resolucin numrica del modelo planteado en el captulo 3, precisando sus variables de entrada y de salida y formulando sus condiciones iniciales. Se realizanlas validaciones del modelo en diferentes situacionesque permiten comparar sus resultadosconlosdeotrosmodelospropuestosenlaliteratura,ytambinadaptarloa clulas de diferentes especies. En particular se valida el modelo para miocitos de pollo, de perro,ydeconejoyparaelmiocitohumano.Enestecaptuloademssepresentaun detalladoestudiodesensibilidaddelmodelo,quepermiteanalizarculesvariaciones paramtricas inducen cambios y de qu tipo en los perfiles de las respuestas temporales. En el captulo 5 se desarrolla el simulador que contiene el modelo propuesto. Se explican lasfuncionesycomandosdiseadosparautilizarloysemuestraunadesusaplicaciones paravalidarlosefectosqueinducenlainyeccindeciertasdrogas(Cafena,Forskolin, RojodeRutenioyTapsigargin)enladinmicadecalcioydevoltaje.Asmismose plantean ideas para extender las capacidades del simulador en el futuro. Finalmente se concluye acerca de los aportes de este trabajo y se discuten las perspectivas de avance en esta rea de investigacin. La Clula Cardiaca 8 C a p t u l o 1 LA CLULA CARDIACA Nada en la vida es para ser temido solo para ser entendido.-Marie Curie- 1.1INTRODUCCIN. Laclulacardiacatambinllamadamiocitoocardiomiocitoformaengranparteeltejido cardiacoyconstituyeunsistemabiolgicoaltamenteespecializado.Enelmiocitoocurrenuna seriedefenmenoselectroqumicosmuycomplejosqueinvolucranprincipalmentealas especiesinicas Ca2+,K+yNa+yquedanlugar aunespecialciclodecontraccinyrelajacin quecumplelaclulayqueeselresponsabledelmovimientortmicodelcorazn.En consecuencia la comprensin de la dinmica inica y en especial del in calcio es indispensable en las investigaciones sobre cualquier aspecto relativo al corazn o sus patologas. Enestecaptulosepresentaunbreveresumensobrelaanatomayelcomportamientodela clula cardiaca. En la seccin 1.2 se describen los componentes de la clula y aquellos elementos presentesenella,quepermitenelmovimientodecontraccinyrelajacin.Lafisiologabsica del proceso que da lugar a este movimiento se explica en la seccin 1.3. 1.2ANATOMA DE LA CLULA CARDIACA. A pesar de las diferentes funciones que realizan las clulas del cuerpo humano, todas ellas presentan una estructura comn y general (Guyton, 1994). En tal sentido, en la clula cardiaca se distinguen: (i) la membrana celular o sarcolema que rodea a la clula y la separa delmedio exterior; (ii) el citoplasma o citosol que es una matriz lquida donde estn suspendidos todos los elementos celulares; (iii) el ncleo queLa clula cardiaca9 sirveparalareproduccincelular.Sinembargo,enelmiocitoexistenademsotrosimportantes elementos:(iv)elretculosarcoplsmicoqueesunaestructuraqueseencuentradentrodelcitosoly actacomounreguladoralacumularoliberarlosionesdecalcio;(v)lasmiofibrillasquesonhaces moleculares (o sarcmeros) que estn suspendidos en el citosol y son las unidades contrctiles de la clula. Enlafigura1.1semuestraundibujoaproximadodeunaclulacardiacayseguidamentese presentan las descripciones de sus diferentes componentes. Figura 1.1 La clula cardiaca1.1.2.1El Sarcolema. Elsarcolemaesunaestructuradelgadayelsticaformadacasiporcompletoporprotenasylpidos cuyopapelfundamentalesregularelintercambiodeionesentrelosmediosintrayextracelular (Bray et al., 1994). Para ello, la membrana contiene protenas integrales que protruyen a su travs y queproporcionancanalesestructuralesoporospormediodeloscualessepuedendifundirlas 1FiguratomadadelabasededatosdeEKUBiologyCoursesdisponibleen http://www.biology.eku.edu/RITCHISO/301notes3.htm. La clula cardiaca10 sustanciashidrosolubles,enespeciallosiones,desdeelinteriorhaciaelexteriordelaclulay viceversa. Los poros o canales del sarcolema son altamente selectivos porque su activacin depende del tipo de afinidad qumica y/o elctrica que presenta cada in con los elementos que constituyen el canal. Otrasprotenasintegralesdelsarcolemaactancomoprotenastransportadorasparallevar sustanciasensentidoopuestoasusentidonaturaldedifusin,estoes,desdeelmediodemenor concentracinhastaelmediodemayorconcentracin.Estetransporterequiereelconsumode energa la cual proviene del ciclo de transformacin del ATP2. Los ms importantes canales encontrados en el sarcolema son: los canales de calcio o canales L, los canalesdepotasioyloscanalesrpidosdesodio.Asmismo,lasprincipalesprotenas transportadorassonllamadaselintercambiadorNa+-Ca2+,labombaNa+-K+ylabomba ATPasa del sarcolema. Lafigura1.2muestraundiagramaesquemticodelaclulacardiacadondeestnsealadoslos diferenteselementosquelacomponenytambinsemuestranlasconcentracionesinicastpicas que existen en el medio extracelular y aquellas que hay en el citosol en estado de reposo. 1.2.2El retculo sarcoplsmico. El retculo sarcoplsmico(SR) es una estructura en forma de red localizada en el citosol y abrazada al sarcolemamedianteinterconexiones(invaginacionesdelsarcolema)enformadetubos denominados tubos T (Bray et al., 1994). Contiene altas concentraciones de calcio inico que es liberadohaciaelcitosolmediantecanalesllamadoscanalesdeRianodina(Fabiato,1985).El 2 Como es bien sabido elATPo Adenosin Trifosfato esuna enzima sintetizadaabundantementeen todaslas clulas, que en medio acuoso sufre lo que se denomina hidrlisis o desfosforilacin del ATP. Esto es una reaccin qumica que libera una gran cantidad de energa que es aprovechada por otras reacciones a diferentes niveles en las clulas (Kargacin y Kargacin, 1997). La clula cardiaca11 calcioliberadoesluegorecapturadoporunaprotenatransportadoraembebidaenelretculo sarcoplsmico y denominada bomba SERCA. La funcin principaldel retculo sarcoplsmico es controlar la liberacin y recaptura de calcio en el citosol. (Ver figuras 1.1 y 1.2). Figura 1.2 Diagrama esquemtico del miocito. 1.2.3Las miofibrillas. LasMiofibrillasounidadescontrctilesdelaclulacardiacasonpequeasfibrasquecontienen repetidosgruposmolecularesllamadossarcmeros,loscualesrepresentanlaunidadbsicao elementaldecontraccindelmiocito.Elsarcmeroestcompuestoprincipalmentepordos filamentos proteicos: miosina y actina y se muestran esquemticamente en la figura 1.3. La miosina es el filamento grueso del sarcmero, contiene dos cabezas o sitios activos para el ATP y posee un pesomolecularde~470kDa.Existenaproximadamente300molculasdemiosinaporcada filamentodeactina.Laactinaeselfilamentodelgadodelsarcmeroquecontieneademsla tropomiosina y la troponina. Este conjunto es denominado el complejo proteico regulatorio (ver figura 1.4). Citosol Intercambiador Na+-Ca2+ 3 Na+ Ca2+ Canales de Na+ Bomba ATPasa del Sarcolemma 2 Na+ 3 K+Bomba Na+-K+

Na+ Ca2+ Canal L Miofibrillas Canales de K+ Ca2+ Sarcolema Bomba SERCA CanalesRianodina K+140 mM Na+5-15 mM Ca2+0,1 M Cl- 5-15 mMConcentraciones en reposo Retculo Sarcoplsmico K+ 5 mM Na+ 145 mM Ca2+ 1-2 mM Cl-110 mM Concentraciones en el medio extracelular K+ La clula cardiaca12 La actina es una protena globularcolocada sobre un arreglo de unidades repetidas que forma una hlice y que est intercalada con la tropomiosina en la relacin de 6-7 molculas de actina por una detropomiosina(verfigura1.4).Latropomiosinacontieneasuvezintervalosregularesdel complejodetroponinaelcualesthechodetressubunidades:troponinaT(TN-T),troponina-C (TN-C),quesirvedesitioactivoparaelcalcioytroponina-I(TN-I)lacualinhibeelsitiode activacin entre la miosina y la actina (Bray et al., 1994). Lasimportantesfluctuacionesqueocurrenenlaconcentracindecalcioinicopresenteenel citosol dan lugar a las interacciones fsicas y qumicas que ocurren entre la actina, la miosina, el ATP yelincalcio,quehacenqueelsarcmerocambiedelongitudcausandolacontraccindelas miofibrillas. Este proceso se explica en la seccin 1.3. Figura 1.3 Esquema del Sarcmero3. 3FiguratomadadelabasededatosdeScientiaReviewdisponibleen: http://www.scientia.org/cadonline/Biology/specialcells/sarcomere.ASP. Miosina Actina Tropomiosina Troponina Calcio ATP La clula cardiaca13 Figura 1.4 Detalle en las miofibrillas4. 1.2.4Elementos celulares. Todas las protenas (canales y protenas transportadoras) contenidas en el sarcolema y en el retculo sarcoplsmico juegan un rol importante en la ocurrencia y regulacin de los procesos fisiolgicos del miocito,porlotanto,enlosprximosprrafossedescribeenunaformadetallada,lafunciny composicin de estos elementos. a)Canales: Canales L: Los canales L o canales de calcio son protenas muy especializadas que seleccionan los iones decalcioenelexterior,dondeseencuentranenmenorproporcinrespectoalosotros ionesdeNa+yK+,parahacerlospasarhaciaelinteriordelaclula.CadacanalLest compuesto por cuatro grupos carboxilatos que contienen a su vez subunidades llamadas 1, 2,y(verfigura1.5)formadaspor300-400aminocidosrepetidosensecuenciasde cuatro5. La subunidad 1, es una subunidad larga de peso molecular 175-230 kDa capaz de responderacambiosdevoltaje6.Elrestodelcanalesaltamentesensibleaenlazarsecon ionescalcio.ParaqueelcanalLseactiveoseabraydejepasarlosionescalcio,es necesario que la subunidad 1 detecte un voltaje positivo en la membrana. La desactivacin o cierre del canal ocurre cuando existe un voltaje negativo en la membrana y un aumento en la concentracin de calcio inico en el citosol (Chunlei, 2001). 4FiguratomadadelabasededatosdeHarrisandSabbadiniCoursesdisponibleen: http://www.sci.sdsu.edu/movies/actin_myosin_gif.html. 5UnarevisinmsdetalladadeestoscanalespuedeencontrarseenlabasededatosdeMedwebVoltage-operated calcium channels (VOCC) disponible en: http:// medweb.bham.ac.uk/ research/ calcium/ Homeostasis/ VOCC.html # anchor414561. 6 El voltaje es un importante mecanismo regulador en la funcin de la clula cardiaca y en las funciones que llevan a cabo los diferentes elementos celulares quelacomponen.Este fenmenose debe a ladiferencia de concentraciones inicas que existe entre el medio extra e intracelular y la explicacin de su comportamiento ypapel regulador en el miocito es dado con mayor detalle en la seccin 1.3.La clula cardiaca14 Figura 1.5 Canales L7. Canales rpidos de sodio:

Los canales de sodio son protenas capaces de generar rpidamente un cambio de voltaje en elsarcolema,deallquesedenominencanalesrpidosdesodio.Cadacanalposeeuna subunidad principal que es una cadena polipptida de ms de 1800 aminocidos8. La cadena contieneasuvezsegmentosconladosnopolaresqueinteractanconloslpidosdela membranacelularformandogruposdenominadosalfahlicesdetransmembrana.Existen aproximadamente 24 grupos alfa hlices por cadena polipptida.En la figura 1.6 se muestra 4gruposdealfahlicesqueformanfilasalolargodelsarcolema.Cadagrupoposeeuna secuencia similar de aminocidos constituyendo bloques con una simetra cclica que permite formarporos(figura1.7).Losporosocanalessonaltamenteselectivospuesiones parecidos al Na+ como el in K+ no pueden atravesarlos. La actividad de estos canales est modulada por el voltaje en el sarcolema (Oin et al., 2000). 7 Figura tomada de Striessnig, 1999. 8UnarevisinmsdetalladapuedeencontrarseenlabasededatosdeTransportClassificationdisponibleen: http://tcdb.ucsd.edu/index.php.

LLCitosolCa2+ inactivacin Voltaje La clula cardiaca15 Figura 1.6 Canales de Na+9. Figura 1.7 Poro del canal de Na+10. Canales de potasio: Loscanalesdepotasiosonprotenasqueseactivanporelcalciointracelularyelvoltaje positivo en la membrana (Magleby y Pallotta, 1983, Methfessel y Boheim, 1982, Wong et al., 1982).Una vez abiertos, existe un flujo pasivo de potasio hacia el medio extracelular lo que hace que el voltaje en la membrana celular se haga ms negativo. De esta forma los canales depotasiocontribuyenaregularelvoltajeenlaclulaloqueesmuyimportanteparasu funcionamiento.Algunasdelasregionesqueconformanelporodelcanaldepotasiohan sidoidentificadas,encontrndosesubunidadesllamadasqueformanestructurasmuy parecidas a tetrmeros de manera similar a los canales L (Shen et al., 1994). Adems dentro dedichostetrmerosseencuentratambinuncensoroelementosensiblealvoltaje denominadoS4ysitiosdealtaafinidadconelcalciointracelular(Atkinsonetal.,1991; Butleretal.,1993).Enlafigura1.8semuestraunesquemadeestoscanalesde transmembrana. 9 Figura tomada de la base de datos de Transport Classification disponible en: http://tcdb.ucsd.edu/index.php. 10 Figura tomada de la base de datos de Transport Classification disponible en: http://tcdb.ucsd.edu/index.php. Na+ La clula cardiaca16 Figura 1.8 Canales de potasio11. Canales de Rianodina o Canales R: Denominadosasdebidoaquedichoscanalessebloqueanconunalcaloidedenominado Rianodina,sonprotenasembebidasenlamembranadelretculosarcoplsmicoque presentan una conformacin tetradrica como se muestra en la figura 1.9. Su conformacin tienedoscaras,unahaciaelcitosolyotrahaciaelretculosarcoplsmico.Loscanalesde Rianodinasonaltamentesensiblesaloscambiosdeconcentracionesdeincalcioenel citosol,dondetienensuspuntosactivosyseabrenocierrandeacuerdoaloscambiosen dichaconcentracin(Fabiato,1985;TangyOthmer,1994).Laaperturadeestoscanales permite el paso difusivo de calcio desde el retculo sarcoplsmico hacia el citosol. Figura 1.9 Canales de Rianodina12. 11 Figura tomada de la base de datos de Transport Classification disponible en: http://tcdb.ucsd.edu/index.php.12FiguratomadadelabasededatosdeDiwan,RensselaerBiochemistryofMetabolismCoursedisponibleen: http://www.rpi.edu/dept/bcbp/molbiochem/MBWeb/mb1/part2/casignal.htm. citosol extracelular N C H51

2 3 4

5 6 ++

K+ La clula cardiaca17 b)Protenas Transportadoras: Intercambiador Na+-Ca2+: Elintercambiador Na+-Ca2+ es unaprotena construidapor 970aminocidos que tiene un peso molecular de 108 kDa.Esta protena contiene dos grupos de transmembrana que son segmentosseparadosporunlargolazocitoplasmticodeaproximadamente500 aminocidos.Losdosgruposdetransmembranacontienensendossitiosreguladoreslos cualestienenlapropiedaddeservirdepuentesentrelaclulayelmedioextracelularpara transportarlosionesNa+yCa2+encontradesusentidonaturaldedifusin.Unodelos sitios es afn con el in calcio (Levitsky et al., 1994) y el otro sitio es modulado por el voltaje delsarcolema.Laprincipalfuncindelintercambiadoresextraercalciodelcitosolenuna relacin estequiomtrica fija: por cada in calcio extrado se inyectan tres iones sodio desde el exterior hacia el citosol. La actividad del intercambiador es inversamente proporcional a la concentracindecalcioenelcitosol.Seconsideraqueelintercambiadoreselprincipal mecanismodesalidadecalciodesdeelcitosolhaciaelmedioexterior.Lafigura1.10 muestra un esquema del intercambiador Na+-Ca2+. Citosol -2 sitio alternativo Sar colema -1 -2 -1 Ca2+ sitio Figura 1.10 Esquema del intercambiador Na+-Ca2+. La clula cardiaca18 Bomba Na+-K+: Es una protena conformada pordos unidades esenciales y . La unidadescataltica y afn con el Na+ y el K+ y se encuentra modulada por la hidrlisis del ATP.La unidad es requerida para la insercin y estabilidad de la bomba Na+-K+ en el sarcolema y tambin para el transporte del Na+ y del K+ (Therien y Blostein, 1999). La bomba Na+-K+ usa la energa derivada de la hidrlisis de una molcula de ATP para extraer tres iones de Na+ del citosol e importardosionesdeK+encontradelsentidonaturaldedifusindeambosiones.La actividad de la bomba Na+-K+ es modulada por la concentracin del Na+ y del K+ y por el voltaje. De hecho el aumento de voltaje en el sarcolema estimula la actividaddela bomba Na+-K+.Lafigura1.11muestraelcambioconformacionalqueocurreparaquelabomba Na+-K+ funcione. Bomba ATPasa del Sarcolema y bomba SERCA: Ambas protenas pertenecen a la misma familia de las bombas tipo ATPasa (MacLennan y Kranias,2003)porlocualsuestructuraymecanismodeactivacinsonsimilares.Son protenasenzimticasdetransmembranaqueposeenunpesomolecularde110kDa (Mahaneyetal.,2000).ContienenunsitiodeaccinespecficoparaelATPydossitios especficosparaelincalcioyusanlaenergaqueproporcionalahidrlisisdelATPpara moverelincalcioencontradelsentidonaturaldedifusin.LabombaATPasadel sarcolema mueve el calcio hacia el medio extracelular y la bomba SERCA captura el calcio delcitosolparallenarelretculosarcoplsmico.Lafigura1.12muestralaenzimadela bomba SERCA y la figura 1.13 muestra el cambio conformacional que ocurre en la enzima de dichas bombas para que el transporte de los dos iones de calcio tenga lugar. La clula cardiaca19 Figura 1.11 Bomba Na+-K+ y su ciclo de activacin13. Figura 1.12 Enzima de la bomba SERCA14. 13FiguratomadadelabasededatosdeMarkDaltondisponibleen: http://www.cbc.umn.edu/~mwd/cell_www/chapter2/Na-Kpump.html.14FiguratomadadelabasededatosdeDiwan,RensselaerBiochemistryofMetabolismCoursedisponibleen: http://www.rpi.edu/dept/bcbp/molbiochem/MBWeb/mb1/part2/casignal.htm. La clula cardiaca20 Figura 1.13 Ciclo de activacin de la bomba SERCA15. 1.3FISIOLOGA DE LA CLULA CARDACA. Inicialmentelaclulacardiacaseencuentraencondicindereposo(relajada)conunvoltajeo potencial de reposo y una concentracin mnima de calcio en el citosol (0,1 M). El potencial de reposo existe debido a la diferencia de concentraciones inicas entre un lado y otro de la membrana celular (ver figura 1.2). El sarcolema es selectivamente permeable al in K+ pero no al in Na+, esto hace que el in K+ tienda a difundirse hacia afueradejando unacarga negativa en el citosol.Los valores tpicos para este potencial de reposo varan entre -90 a -60 mV (Chunlei, 2001). Apartirdeestacondicindereposolaclulaestpreparadaparaqueocurranunaseriede fenmenos de transferencia de masa, transformaciones qumicas y flujos inicos dentro de ella, que a su vez dan lugar al proceso de excitacin-contraccin y relajacin. Aunque estos fenmenos son simultneos y continuos dentro del miocito, el proceso de excitacin-contraccin y relajacin puede serdescritosecuencialmentemedianteunaseriedeeventosconcatenadoscomoseexplicaa continuacin. -Primer evento: Elprimerevento(I)oexcitacinconsisteenlaentradadelincalciodesdeelmedioextracelular haciaelcitosolyocurreenbuenamedidaporungradientedeconcentracin.Esteeventose 15FiguratomadadelabasededatosdeDiwan,RensselaerBiochemistryofMetabolismCoursedisponibleen: http://www.rpi.edu/dept/bcbp/molbiochem/MBWeb/mb1/part2/casignal.htm. La clula cardiaca21 desencadena a partir de una seal elctrica externa16 que estimula el voltaje o potencial del sarcolema (Bray et al., 1994) y hace que el interior de la clula sea menos negativo en voltaje, el cual pasa de -80mVa0mV(figura1.14).Comoconsecuenciadirectadeestaaccin,locanalesqueson dependientes del voltaje se activan. Entrminosdevoltajeesteperodoesconocidocomodespolarizacindelamembrana.El sarcolemarepentinamentesevuelvepermeablealosionesdeNa+porqueloscanalesrpidosde Na+seabrenpermitiendoelflujodeestosionesalinteriordelmiocito.Asuvezelpotencialde membranaaumentamsyrpidamenteycomienzaasermspositivo,subiendohastalos35mV (Fox et al., 2001). SimultneamenteloscanalesLseactivan(Zahradnikovaetal.,1999),permitiendoladifusinde iones de Ca2+ desde el exterior de la clula hacia el citosol. La concentracin de calcio extracelular es del orden de 2000 M, comparativamente muy superior a la del citosol en su estado de reposo (0,1 M).Estegradientequmicoeselqueimpulsalaentradadecalcioalcitosolaumentandosu concentracindesde0,1Mhasta0,14M(Lecarpentier,1996-Verfigura1.15).Estoscanales permanecen activos un cierto perodo en el que en consecuencia el potencial de accin se estabiliza y presenta una forma de meseta o plateau tpico de los miocitos ventriculares (figura 1.14). - Segundo evento: El aumento de la concentracin del in calcio en el citosol, es capaz a su vez de estimular los canales de Rianodina existentes en la membrana del retculo sarcoplsmico el cual es muy rico en este in17. LoscanalesdeRianodinaseabrenmedianteunareaccinqumicaentreelcalciopresenteenel citosolylaprotenaqueconformaelcanaldandolugaralsegundoevento(II)queesunflujode calcio desde el retculo sarcoplsmico hacia el citosol.Con este flujo adicional de calcio se aumenta 16 Lanaturaleza de esta seal elctrica es poco conocida debido a que involucra otros sistemas fsicos como el sistema nervioso y el sistema endocrino (Guyton, 1994; Bray et al., 1994), lo cual hace que su descripcin sea muy compleja. Por esta razn muchos autores (Jafri et al., 1998; Fox et al., 2001) se han limitado a describirla como un pulso elctrico que toca el sarcolema sin tomar encuenta las causas que la determinan.Esta aproximacin es suficiente en trminos de la comprensin y modelado de la clula cardiaca y su funcin.17 Contiene una concentracin de iones calcio de ~ 500- 320 M en estado de reposo (Negretti et al., 1995; Fox et al., 2001). La clula cardiaca22 anmslaconcentracindelincalcioenelcitosolhastavaloresde1M,conunaduracin aproximada de 200 ms (Lecarpentier et al., 1996). (Ver figura 1.15). Figura 1.14 Potencial de membrana. Figura 1.15 Dinmica de Calcio.

- 90 mV - 50 mV 0 mV 200 - 400 ms II y III IV Potencial de reposo

I Despolarizacin

II y III Fase Meseta

IVRe- polarizacin I 0,1 M 1 M 0200800 tiempo ms Calcio III II I IV La clula cardiaca23 - Tercer evento: Eltercerevento(III)eslacontraccindelasmiofibrillas.Elcalcioliberadodesdeelretculo sarcoplsmicoirrigalasmiofibrillasproducindoseunareaccinentrelasprotenasquelas conforman y el in calcio (Smith et al., 2000). La reaccin en un detalle ms especfico ocurre de la siguiente manera: el in calciolibre o excedente es atractivo paralos sitios activos detroponina C (TN-C). CuandolaTN-Cseenlazaalincalcioseinduceuncambioconformacionalenelsitio regulador de la troponina-I (TN-I) el cual muestra su sitio activo paraque la actina la miosina y el ATPreaccionen.CuandolahidrlisisdelATPocurreelcomplejoactina-miosinaformadose desplazaproduciendolacontraccindelsarcmeroomovimientoodeslizamientodelas miofibrillas. Estos ciclos de contraccin ocurren mientras la concentracin de calcio en el citosol se mantiene elevada.Entre tanto, la dinmica de voltajecontina en sufase meseta gracias a la lenta inhibicin de los canales L (figura 1.14). - Cuarto evento: Elcuartoevento(IV)consisteenlasalidadelincalciodesdeelcitosolhaciaelretculo sarcoplsmico y hacia el espacio extracelular, con la consecuente relajacin de las miofibrillas. Con la salidadelincalciolosvaloresdereposoparaelvoltajeyconcentracindecalciosereestablecen mediante los siguientes mecanismos: a)Recuperacin del valor de reposo para el voltaje: los canales rpidos de sodio y los canales L se cierran y loscanalesdepotasio juntoconlabombaNa+-K+reestablecenrpidamenteelpotencialde membrana,retornandolaclulaaunvoltajenegativo.Esteprocesoesconocidocomore-polarizacin de la membrana (ver figura 1.14) y puede tener una duracin entre 200 a 400 ms (Fox et al., 2001). b) Recuperacin del valor de reposo para la concentracin de calcio: la bomba SERCA, presente en el retculo sarcoplsmico,aumentasuactividad(MacLennanyKranias,2003)debidoalaltovalorde concentracindecalcioalcanzadoenelcitosol(1M)yrecapturaelincalciohaciaelretculo sarcoplsmicoencontradelgradientequmicoutilizandoparaellolaenergaqueproporcionala La clula cardiaca24 hidrlisisdelATP. Paralelamenteelincalcioestambinextradodelcitosolhaciaelmedio extracelularmediantelaactividaddelintercambiadorNa+-Ca2+ydelabombaATPasadel sarcolema. Enconsecuencialaconcentracindecalcioenelcitosolsereduce(0,1M)yelin calcio es removido de la troponina TN-C con lo cual se reactiva el sitio inhibitorio de la troponina TN-I lo que provoca la restauracin de la longitud del sarcmero y la relajacin de las miofibrillas. Esteprocesoesmslento(figura1.15)respectoalprocesoderecuperacindevoltajedereposo (figura 1.14) ya que el transporte del in calcio se realiza en contra del gradiente qumico y requiere de diferentes cambios conformacionales en las protenas transportadoras y del consumo de energa. 1.4CONCLUSIONES. Un estudio riguroso y detallado sobre la fisiologa y anatoma del miocito puede ser encontrado en libros especializados de fisiologa celular (Bray et al., 1994; Guyton et al., 1994). En este captulo se hanexplicadobrevementeloselementoscelularesquecomponenelmiocitoylosfenmenos qumicos y elctricos que tienen lugar entre ellos y que son esenciales para la contraccin y relajacin delaclulacardiaca.Otrosfenmenosquesuceden enelmiocitocomoentodaslasclulasvivas (conversin de energa, smosis, trfico vesicular, etc) no se han tomado en cuenta porque o bien son poco conocidos o bien su influencia directa en el proceso de excitacin-contraccin y relajacin puede ser considerada poco significativa. Lasdescripcionesdadasenestecaptulocorrespondenalosconocimientosmnimose indispensablesqueserequierenparaentenderlascontribucionesdelosmodelosmatemticos existentesqueexplicanlafenomenologadelaclulacardiacayenespecialcmolasdinmicas inicayelctricaafectanelprocesodeexcitacin-contraccinyrelajacin.Unarevisinhistrica sobre estos modelos se realiza en el prximo captulo. Para finalizar, se ha revelado la clara interdependencia que existe entre el potencial de membrana y la dinmica de calcio y su rol en la activacin de las miofibrillas (Berridge et al., 2003), lo cual puede ser resumido de la siguiente manera: (i) Un potencial de accin (pulso externo de voltaje) desencadena un importante flujo difusivo del in calcio desde el exterior de la clula y despus tambin desde el La clula cardiaca25 retculosarcoplsmicohaciaelcitosoldebidoalaactivacindeloscanalesLydeRianodina respectivamente. (ii) En respuesta alconsecuente aumentode la concentracindel incalcio en el citosol, se estimula la actividad de las miofibrillas y stas se contraen. (iv) Seguidamente se retorna al estadodereposo(relajacindemiofibrillas)medianteunagrancantidaddereaccionesencadena, dondeintervienenprotenasaltamenteespecializadascomolabombaSERCAyelintercambiador Na+-Ca2+queextraenelincalcioenexcesoenelcitosoltransportndolohaciaelinteriordel retculo sarcoplsmico y hacia el medio extracelular. Antecedentes del Modelado 26 C a p t u l o 2 ANTECEDENTES DEL MODELADO Las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas, y por regla general pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos.-Albert Einstein- 2.1INTRODUCCIN Unmodeloeslarepresentacinmatemticaaproximadadeunsistema,queseutilizapara reproducir y predecir su comportamiento bajo diversas condiciones. Para realizar la representacin, losmodelosformalizanenunlenguajematemticoelconocimientoquesetienedelsistema,en general, utilizando las leyes que rigen los diferentes fenmenos que ocurren en l. Enelcampodelabiologaylamedicina,losmodelosmatemticospuedenayudaramejorarla comprensindediferentesmecanismoscelularesuorgnicos,delasinteraccionesentredistintos subsistemas,delaevolucindeenfermedades,etc...einvestigarsituacionesquenopuedenser fcilmenteestudiadasanivelexperimental.Laresolucindelosmodelospermitepredecirel comportamientodelossistemasyluegoreduceelesfuerzoinvertidoenrealizacionesfsicasde experimentos.Estodisminuyedrsticamenteeltiemponecesarioparaejecutarymejorarlas investigacionesconlaconsecuentedisminucindeloscostosenrecursoshumanosymateriales.Por ejemplo la industria farmacutica se ha basado tradicionalmente en el mtodo de ensayo y error para las pruebas de los frmacos y muchos de esos errores se han pagado de manera muy costosa (Kohl et al., 2000). Los modelos matemticos pueden reducir estos riesgos simulando los efectos no sloinmediatossinosecundariosdesustanciasespecficasyayudandoaexploraryestandarizar nuevos protocolos experimentales. Antecedentes del Modelado 27 Elmodeladomatemticodeunsistemapuedeenfrentarsedediferentesmaneras,dependiendo del nivel de conocimiento que se posea del mismo. La manera ms usual de realizar un modelo esdescribirmatemticamentetodoslosfenmenosqueocurren,paralocualstosdebenser bien conocidos y comprendidos. Este tipo de modelo se denomina fenomenolgico y permite identificar y relacionar matemticamente, mediante parmetros numricos, los procesos descritos por elmodelo con la estructura fsica del sistema. Los parmetrosdel modelo poseen entonces unsignificadofsico,porejemplo:coeficientesdedifusin,energasdeactivacin,coeficientes cinticos,etc.Sinembargo,establecerunmodelofenomenolgicopuedellegarasermuy complejo. Adems de la dificultad de establecer las ecuaciones del modelo, la medicin correcta delosparmetrosnumricosasociadosaunmodeloparticularpuedeconllevaraunavasta cantidad de costosos procedimientos y puede no ser siempre posible. Otraimportanteformadeenfrentarelmodeladoquesalvaestetipodedificultades,eslaque constituyenlastcnicasdeidentificacin.Laidentificacinesunprocedimientoquepermite construirunmodelomatemticodeunsistemadinmicoapartirdemedicionesdesus respuestasanteentradasconocidas(Ljung,1987).Laconstruccindelmodeloapartirdelos datos de entrada y de salida del sistema involucra tres aspectos bsicos: los datos, un conjunto de familias de modelos matemticos y la regla que permite verificar la validez del modelo al utilizar los datos (Soderstrom y Stoica, 1990). La eleccin de la familia (o estructura) del modelo es una etapa esencial y difcil en el proceso de identificacin. Cuando se posee conocimiento a priori del sistema ste se puede usar para configurar o poner restricciones sobre la estructura del modelo. Si no es posible asumir una estructura se debe recurrir a modelos generales como por ejemplo: modeloslinealesentrada-salida,modelosnolinealesbasadosenredesneuronales,etc.Los parmetrosenestecasoseajustanconmtodosdeoptimizacinconvencionales(bsquedade mnimocuadrtico,descensoporgradiente,mtododeNewton,entreotros)ynoreflejan ningunaconsideracinfsica.Losmodelosresultantessloreproducenelcomportamiento entrada-salidadelsistemaysellamanportantodetipocajanegra,encontraposicinalos modelos fenomenolgicos o de tipo caja blanca. A nivel de los sistemas biolgicos, especficamente del sistema clula cardiaca, usualmente es de msintersestudiarcondetallesufenomenologa.Actualmenteexistenconocimientos Antecedentes del Modelado 28 adecuadossobrealgunosfenmenoscelularesdelosquesedisponemodelosmatemticos relativamente bien comprendidos y aceptados (Fox et al., 2001, Luo y Rudy, 1994), mientras que otros fenmenos aun no pueden ser completamente explicados debido a la enorme complejidad delosmismos.Enestassituacioneslomseficazesenfrentarelmodeladoglobaldelaclula combinandolosconocimientoscomprobadossobreelmiocitoyestimandolosparmetros desconocidosdelmodelomedianteprocesosdeidentificacinqueutilicenenciertogradoel conocimientoquesetienedelsistema.Seobtieneasunmodelodetipocajagrisqueposee unaestructurabsicafundamentadaenlafenomenologadelprocesoyquepermiteasociar diferentesefectosaelementosespecficosdelsistemaperoalavezsemantienerelativamente sencilloyusaparmetrosidentificadosquerepresentancaractersticasdeelementosno modelados o muy simplificados. Elobjetivodeestecaptuloesrealizarunarevisinhistricadelosmodelosmatemticos existentespararepresentarentodooenpartealaclulacardiaca.Seretomanlasleyes fenomenolgicasutilizadasencadacasoy seanalizanlaaplicabilidadylaslimitacionesdecada modelo. En la seccin 2.2 se resumen las diferentes contribuciones de modelado de los diversos fenmenos fsicos, qumicos y elctricos aislados del miocito y en la seccin 2.3 se presenta una breve revisin de los modelos celulares conocidos hasta el presente.

2.2MODELOSMATEMTICOSDELOSDIVERSOSCOMPONENTES CELULARES DEL MIOCITO. En el sistema miocito ocurren fenmenos complejos de diversa naturaleza, pero principalmente fenmenosdetransformacinqumicacombinadoscontransferenciademasayfenmenos elctricos. En esta seccin se resumen las diversas contribuciones existentes en la literatura sobre estosaspectos,queluegopuedenutilizarseeneldesarrollodeunmodeloglobaldelaclula cardiaca. Elprocesodeexcitacin-contraccinyrelajacindelaclula cardiacainvolucraprincipalmente cambiosdeconcentracindelincalcioenelcitosol(transportedelincalcio)ycambiosde Antecedentes del Modelado 29 voltaje en el sarcolema (flujos de iones). Por lo tanto el estudio de estas variables dinmicas ayuda a comprender el comportamiento del miocito y de los elementos que lo componen. 2.2.1Modelado de los fenmenos fsico- qumicos. La dinmica de la variable concentracin del in calcio involucra entre otras cosas la actividad de lasdiferentesprotenasquecomponenelmiocito(canales,protenastransportadorasy miofibrillas),porloqueelmodeladodedichadinmicaimplicaladescripcinmatemticadel comportamiento de estos elementos celulares. Loscanalesdelsarcolemacambiansuconfiguracinparapermitirelpasodelcalciohaciael citosoldesdeelmedioextracelularydesdeelretculosarcoplsmicoyviceversa.Estocambios conformacionales son en realidad transformaciones qumicas que suceden dentro de las protenas porque conllevan a la reordenacin o redistribucin de los tomos para formar otras molculas. Las reacciones qumicas se estudian considerando los diferentes mecanismos de transformacin deunelementoP enotroselementos,yestudiandoloscambiosfsicosyenergticosyla velocidad de transformacin de las sustancias. Unejemplosencillodereaccinqumicaaplicadoalastransformacionesdelasprotenasque constituyen canales es el siguiente: Figura 2.1Activacin de protenas. Antecedentes del Modelado 30 El elementoPes la protena en su estado inactivo. Cuando se presenta un estimulo (elctrico y/ oqumico)laprotenaseactiva(elcanalseabre),esdecir;setransformaenunelemento 1Pcomo lo muestra la figura 2.1. Para medir la tasa de transformacin entrePy 1Pse recurre a un mecanismo de reaccin que en el caso ms sencillo podra ser por ejemplo:1111P PP Prr (2.1) Losparmetros 1r y 1 r midenlavelocidaddereaccinotasadecambioentreunelementoy otro. Estos parmetros pueden depender de la temperatura, concentracin de las sustancias y/ o voltaje, por lo tanto se tiene en general: ) , , (i i ik C V f r =(2.2) donde: ir : velocidad de reaccin. V : voltaje iC : concentracin para el ini. ik : parmetros cinticos. El sencillo mecanismo de transicin recin propuesto puede ser ampliado a un mecanismo ms completo cuando la protena ( P ) pasa por diferentes estados de transicin en reaccin conjunta con una molcula tpica como el ATP, de la siguiente forma: 2 3112 21P PADP P P ATP Prr rir + + +(2.3) Antecedentes del Modelado 31 donde: 3 2 1, , , P P P P : estados conformacionales de la protena. iP : fsforo liberado debido a la hidrlisis de ATP. ADP: Adenosin Difosfato. 2 2 1 1, , , r r r r : velocidades de reaccin. Este mecanismo podra representar una buena parte de las transformaciones que ocurren en las protenas de los canales, los intercambiadores, las bombas y las miofibrillas del miocito. Porotraparte,engeneral,elmodeladofenomenolgico(cajablanca)deestoselementoses complejoyengorrosoysuponeconocerconexactitudtodoslosmecanismosdereaccin,es decir, todas las transformaciones o estados de transicin de cada protena bajo estudio. Para ello sera necesario aislar las protenas y medir todas las velocidades de reaccin, las cuales suelen ser muyrpidasyalgunascasiinstantneas,requirindoseparaello,tcnicasexperimentalesque inclusive hoy da an deben ser perfeccionadas. Hodgkin-Huxley(1952)planteanunmodeloemprico(cajagris)querepresentaagrandes rasgos las transformaciones discutidas arriba. El modelo de Hodgkin -Huxley es especfico para canales que son dependientes del voltaje. En tal sentido, la actividad del canal es representada por un estado abierto (1P ) y otro cerrado ( P ) como en la figura 2.1. El estado cerrado (o inhibido) ( P )esenrealidad: 11 P ,yaquenoexistenestadosintermediosylatransicinentreambos estados se encuentra modulada por velocidades de reaccin nicamente dependientes del voltaje ( ) , (i ik V f r = )lascualessonajustadasempricamentedeacuerdoconladataexperimental disponible.LacontribucindelmodeloHodgkin-Huxleypermiterepresentarvarioscanales presentes en el sarcolema (Beeler y Reuter, 1977). Conelpasodelosaosylosavancesenlastcnicasexperimentalesselogranprecisar numerososestadosdecanaleidentificarmodulacionesnosloderivadasdelvoltajesinode concentraciones inicas, como es el caso de los canales L (Brehm y Eckert, 1978). Antecedentes del Modelado 32 Otrosautores(LuoyRudy,1994;Foxetal.,2001)adaptanlateoradeHodgkin-Huxley agregandoestadosadicionalesdetransicinyconstruyendonuevasrelacionesempricasde velocidad de reaccin dependientes no slo del voltaje sino de las concentraciones inicas. El avance computacional hace posible actualmente otros modelados matemticos para transicin de canales. Los modelos Markov(caja gris), sonmodelos estocsticos y probabilsticossobre los diferentes estados del canal, los cuales suelen ser numerosos (entre 30 y 40 estados diferentes de transicin). Medianteesta tcnica es posible medir la probabilidad de apertura del canal oP(entre 0 y 1) en funcin de la concentracin inica, del voltaje y de otros parmetros de ajuste. La ventajadeestatcnica,esquepuedeobtenerseunafielrepresentacindelosestadosdelcanal dondeinclusivesepuedenmodelarmodificacionesgenticasdelmismo(Winslow,2002).Sin embargo,muchasdeestasexpresionesrequierengrancantidaddeparmetrosloscualesse obtienen despus de numerosos experimentos y conllevan a expresiones matemticas complejas. Unejemploconcretodelmodeladoprobabilsticopuedeservistoenlafigura2.2,dondeestn representados numerosos estados de canal. Figura 2.2. Estados de transicin tpicos para un canal de membrana. Antecedentes del Modelado 33 La tasa de transicin entre un estado y otro, dada por la teora de Eyring (Urry, 1982), depende del cambio de entropa, entalpa y carga o valencia del sistema microscpico del canal, como se muestra a continuacin:|||

\|++ =RTFV zRSRTHiiririrehkTr (2.4) donde: k : constante de boltzmann. T : temperatura absoluta. h : constante de Plank. F : constante de Faraday. R : constante universal de gases. ir : tasa de transformacin del elemento i irz : valencia para el elemento i. irH : cambio de entalpa para el elemento i. irS : cambio de entropa para el elemento i. Laprobabilidaddeaperturaoactivacindelcanalestdescritaporunsistemadeecuaciones diferenciales dado por la siguiente ecuacin matricial:) () (t WPtt P=(2.5)donde: ) (t P : vector de probabilidades para medir si el estado del canal est abierto. W : la matriz con los estados de transicin. t : tiempo. La ecuacin 2.5 debe satisfacer dos principios fundamentales: (i) la suma de los diferentes estados de transicin debe oscilar entre 0 y 1, (ii) el principio de reversibilidad microscpica derivado del balancedeenergadebecumplirse;esdecir,elcambioentlpicoyentrpicoentreelciclode Antecedentes del Modelado 34 transicindeestadoscerrado-abierto-inactivoyelcicloinactivo-abierto-cerradodebenser igualesparaqueelcanalpuedacumplirconsuciclodeactividad.Esevidentequecontales requerimientossedebedisponerdeunaricadataexperimentalyrealizarunvastoclculo computacional para resolver el sistema y calcular) (t P . Porotraparte,elmodeladomatemticodelasreaccionesqumicasqueocurrenaniveldelas protenas transportadoras (bombas) y las miofibrillas encuentra an muchos ms inconvenientes. Encuantoalasprotenastransportadoras,dichasprotenasnoslointeractanconionessino conotrasmolculasmediantemecanismosdereaccinqumicaquenoestntodavaclaros. Adicionalmentelasvelocidadesdereaccinseencuentrangeneralmentemoduladasporel voltaje,yporlasconcentracionesdeionesydeprotenas,yesmuycomplicadalamedicinde tales variables.Debido a que existen muchas incgnitas sobre los mecanismos de reaccin de las protenas, los modelos propuestos son del tipo caja gris, aproximando el comportamiento a las respuestasconocidasdelsistema.Unodelosmodelosmsutilizadosdeestetipo,hasidoel modelopropuestoporMichaelis-Menten(1913).Enestemodeloseutilizaelcomportamiento observadodemuchasprotenasenzimticaslascualessesaturanaunavelocidadmximade reaccin, esto es, alcanzan un nivel de actividad mxima para luego volver a su estado de reposo. La expresin de velocidad de reaccin irms conocida de acuerdo a este modelo est dada por:( )i miiC KC Vr+=max(2.6)donde: maxV : valor mximo de velocidad de reaccin de la protena, mK : concentracin del in iC a la cual la velocidad de la reaccin es la mitad de la maxV . Paradeterminargrficayexperimentalmentelosvaloresde mK y maxV seutilizala representacindeLineweaver-Burk(Piszkiewicz,1977)odoblerecprocadondesedibujael inversodelavelocidaddereaccin(1/ir )frentealinversodelaconcentracin iC (figura2.3). Antecedentes del Modelado 35 Estogeneraunalnearectaenlacual:(i)lapendientees mK /maxV ,(ii)laabscisaenelorigen (1/ir = 0) es -1/mKy la ordenada en el origen (1/iC = 0) es 1/maxV . Figura 2.3Identificacin de los parmetros mKy maxV . Los diferentes enfoques de modelado explicados hasta aqu para representar la actividad qumica de las protenas han servido de base a resultados especficos para cada elemento celular. En los siguientes prrafos se realiza una revisin ms especfica orientada al modelado de cada elemento presente en el miocito. a)Modelado de canales: Canales L: Laaperturadeestoscanalesesestimuladaporuncambioenelpotencialdemembrana (Kamp et al., 2000) pero se ha demostrado que el aumento de la concentracin del in Ca2+ limitasuactividad(BrehmyEckert,1978),yluegolasvelocidadesdereaccinnoson nicamentefuncindelvoltaje.BasadosenestasobservacionesImredyyYue(1994) 1/ir1/iCAntecedentes del Modelado 36 proponen un mecanismo de transicin denominado tipo switch compuesto por 12 estados para los canales L como se muestra a continuacin: ObCaOg fag fCCaCbCaCaCCbaCaCCbaCaCCCaC 4/4' '4 443/' 4 '3333 2 ' 3 ' 222/222 3 ' 2 ' 31/14 ' ' 40 0 (2.7) donde: O: estado abierto. 4 ,..., 0 , = iiC : estados dependientes del voltaje. 4 ,..., 0 , = iCaCi: estados inhibidos por el calcio. CaO : estado abierto y modulado por el calcio' , ' , , , , : constantes cinticas de reaccin (Jafri et al., 1998). Antecedentes del Modelado 37 g f b a , , , : factores de ajuste (Jafri et al., 1998). En este mecanismo la apertura de canales depende del voltaje y la inhibicin o cierre de los mismosdelaconcentracindelincalcio.Estapropuestareproduceelretardoenla desactivacindeloscanalesL,queesdeterminanteenlafasemesetadelpotencialde membrana.Posteriormente,Jafriycolaboradores(1998)identificanexperimentalmentelas constantesdereaccinasociadasaestemecanismoenmiocitoscaninos.Sinembargo,los resultados del ajuste no son buenos, porque no se produce la suficiente activacin de canales Lnecesariaparaestimularelprocesodeexcitacin-contraccin.Ademselusodeeste mecanismo presupone la resolucin de un gran sistema de ecuaciones diferenciales derivado del balance de masa que se genera para cada estado de transicin propuesto (12 en total). Foxycolaboradores(2001),proponenencambiounmecanismomssencillocon3 posibilidades para el canal; a saber:a)Canalactivo:encualquierinstantehayunafraccind deltotaldecanalesactivos,abiertos. b)Canalsusceptibledeinhibicinporelvoltaje:hayunafraccinf deestoscanales abiertos. c)Canalsusceptibledeinhibicinporelvoltajeylaconcentracindelincalcio:hayuna fraccin Cafde estos canales abiertos. Este esquema de modelado es entonces del tipo Hodgkin Huxley y para los canales L es en resumen: Fox y colaboradores realizan el ajuste de este mecanismo a datos experimentales de miocitos caninos(Foxetal.,2001).Losresultadosnorequierenunexcesivogastocomputacionaly sonsatisfactoriosencuantoalperododeretardoenelcierredeloscanalesL correspondientealaduracindelaformademesetaenelgrficodecomportamientodel potencial de membrana. Antecedentes del Modelado 38 abiertafraccincerradafraccinCa y V por inhibicin de canalCafCafCafCafabiertafraccincerradafraccinV por inhibicin de canal ffffabiertafraccincerradafraccinactivo anal dddd+ 211c 1 (2.8) donde: f f d d , , , : constantes de reaccin dependientes del voltaje. Ca Caf f , : constantes de reaccin dependientes del voltaje y de la concentracin del in calcio. Canales rpidos de sodio: Laactividaddeloscanalesrpidosdesodiodependedelvoltajeystospresentanuna apertura muy rpida y breve, por lo que sus mecanismos de reaccin pueden ser deducidos estadsticamente mediante los modelos tipo Markov (Oin et al., 2000). Sin embargo, bajo este planteamiento,esnecesariorealizarelajustedetodoslosparmetrosrequeridosparalos numerososestadosdetransicinquepuedanproponerse.Comoalternativa,seformulan mecanismosdetransicinmssencillos(Kurataetal.,1999),perodebidoalarpida actividaddeloscanaleslasconstantesdereaccinsonmedidasavoltajeconstanteconlo cual la dinmica del potencial de membrana no puede representarse. Antecedentes del Modelado 39 Enresumen,elmodeladofenomenolgicodeloscanalesrpidosdesodioseencuentra limitadopuesnoesposiblemedirconprecisinlasrpidasvelocidadesdereaccin involucradasenlascinticaspropuestas.Porestarazn,muchosautorescomoFoxy colaboradores (2001) y Luo y Rudy (1994) optan por una solucin similar a la explicada para los canales L, esto es, reemplazan los numerosos estados del canal por una formulacin ms sencilla con 3 estados independientes:a)Canalactivo:encualquierinstantehayunafraccinmabiertadeltotaldecanales activos. b)Canal susceptible de inhibicin rpida por el voltaje: hay una fraccinhde estos canales abiertos. c)Canal susceptible de inhibicin lenta por el voltaje: hay una fraccinjde estos canales abiertos. ParaajustarlospocosparmetrosdereaccinseusalateoradeHodgkinHuxley,cuya aplicacin permite obtener correctamente la caracterstica de los canales rpidos de sodio. El mecanismo planteado bajo esta perspectiva es como sigue:abiertafraccincerradafraccinlenta n inhibici de canal jjjabiertafraccincerradafraccinpida r n inhibici de canal hhhabiertafraccincerradafraccinactivo canal mmmjhm 1 11

( 2.9) donde: Antecedentes del Modelado 40 j h m j h m , , , , , : constantes de reaccin dependientes del voltaje. Canales de potasio: Laactividaddeloscanalesdepotasioesbastanterpidayestmoduladaporelcalcioyel voltaje(MaglebyyPallota,1983yXiaetal.,2002).Lamayoradelosmodelospropuestos para simular su actividad son de tipo Markov. Changeux y Eldestien (1998) trabajan con 10 estadosdetransicin,Coxycolaboradores(1997)con35estadosyRothbergyMagleby (1999) con 50 estados. El problema de estos planteamientos, es de nuevo la gran cantidad de parmetros necesarios para el ajuste, lo que implica una rica base de datos experimentales los cuales no estn siempre disponibles debido a la alta velocidad de reaccin que poseen dichos canales.OtrostrabajosdeCox(1997A),simplificanlosestadosdelcanaldepotasioy adaptanenunaexpresinmatemticabastantesencillalosparmetrosdelmodelo.Enesta adaptacin se utilizan datos experimentales provenientes de un gen que conforma la protena delcanaldepotasioparaclulasderata.Losresultadossonfielesalasobservaciones experimentales, pero no son extensibles al canal completo. Debido a que los canales de potasio presentan una actividad bastante rpida, la misma puede ser satisfactoriamente representada mediante expresiones empricas dependientes nicamente del voltaje (teora de Hodgkin -Huxley). En efecto, Fox y colaboradores (2001) y Luo y Rudy (1994)realizanajustesparamtricosquerepresentanagrandesrasgoslaregulacinque ejercenloscanalesdepotasiosobreelaspectoelctricodelmiocito(dinmicadevoltaje), aunquenosobreelaspectoqumico(dinmicadecalcio).Ladesventajadeestatcnica, adems de no representar la modulacin debida al in Ca2+, estriba en que se deben modelar distintoscomportamientosparadistintasporcionesdecanales,pueslaactividaddecada porcincontribuyeendiferentemanerasobreelpotencialdemembrana.Porejemplo, existenporcionesdecanalesqueayudanalograrlarepolarizacindelamembrana(evento IV) y otras porciones que regulan el valor del potencial de meseta (evento II y III). Entonces pararepresentardichascontribucionesseconstruyenvariasfuncionesatrozosquebarren todo el rango de potencial de membrana. Las ecuaciones derivadasa partir de este enfoque slopermitenmodelarelaspectoelctricodeloscanalesdepotasioporloqueuna Antecedentes del Modelado 41 explicacinmsdetalladadeladescripcinmatemticadeestoscanalesserdadams adelante, en la seccin correspondiente a modelado de los fenmenos elctricos. Canales de Rianodina: Los canales de Rianodina han sido objeto de numerosos estudios debido a su papel regulador en el retculo sarcoplsmico y a su fcil identificacin por la inhibicin que sufren cuando son sometidos al alcaloide Rianodina. Fabiato (1985) muestra que bajo condiciones de reposo la aperturadeestoscanalesesestimuladaporunpulsodecalcioenelcitoplasma. Posteriormente (Fabiato, 1992) obtiene un modelo de adaptacin de los canales bajo pulsos constantes de calcio citoslico que consiste en un esquema de transicin con cuatro estados posibles delcanal: activable-abierto-cerrado-refractario1.En dicho esquema se asume que el canaldeRianodinaposee dossitiosreguladoresyafinesconelincalcioyqueesteinse uneaestossitiosdemaneraindependiente.EstemodeloesperfeccionadoporTangy Othmer(1994),quienesadaptanlasconstantescinticasdereaccinparareproducira grandesrasgosladinmicadecalcioenelmiocito.LostrabajosdeZarahdnikovay Zahradnik(1996),KeiseryLevine(1996),Schieferycolaboradores(1995)ySterny colaboradores (1999) proponen luego diferentes esquemasde transicinpara los canalesde Rianodina. Finalmente Zarahdnikova y colaboradores (1999) prueban diferentes mecanismos dereaccinparaestoscanales,desdeesquemascon 4estadosconformacionalesdeenzima hastaesquemascon9estadosconformacionales,concluyendoqueelmodeloms satisfactoriocorrespondea4estadosdereaccin.Deestamanera,laproposicinrealizada por Tang y Othmer sigue siendo valida porque adems de reproducir el comportamiento de los canales de Rianodina resulta ser un modelo de fcil resolucin. El mecanismo de reaccin correspondiente a este modelo se muestra a continuacin: 1 El estado refractario es equivalente a la recuperacin del canal de Rianodina con lo cual el canal puede volver a su estado activable para cumplir con su actividad cclica.Antecedentes del Modelado 42 + + RCllRl l l lC RCllRC221 1 1 122 (2.10) donde: R : canal de Rianodina activable. +RC : canal abierto de Rianodina +C RC : canal cerrado de Rianodina. RC-: canal refractario de Rianodina. 2,2,1,1 l l l l : constantes cinticas de reaccin (Tang y Othmer,1994) b)Modelado de protenas transportadoras: Intercambiador Na+-Ca2+: Se acepta comnmente que el intercambiador Na+-Ca2+ es el mecanismo por el cual se extrae del citosol la mayor parte del calcio. Est modulado por la concentracin de Na+ y Ca2+ y por elvoltaje,conunarelacindetransportede3ionesNa+queingresanhaciaelcitosolpor cadainCa2+quesalehaciaelmedioextracelular(LangeryPeskoff,1993).Muchos mecanismosdereaccinsehanpropuestoparaesteproceso(Khananshvilietal.,1995; BlausteinyLederer,1999;Fujiokaetal.,2000),peroningunodeellossehacomprobado experimentalmente, porque aun no existe un mtodo preciso para medir la concentracin de sodio dentro de laclula. Los trabajos de Fujioka y colaboradores (2000) muestran avances en la especificacinde cada paso conformacional propuesto(entotal se proponen 8 pasos) peroslosehanmedidocinticasdereaccinavoltajesconstantes,locualnose correspondealarealidad,pueselpotencialdemembranaposeeunadinmicapropiay Antecedentes del Modelado 43 caracterstica.EnMichailovaycolaboradores(2002)sepresentaunaaproximacindelas cinticas de reaccin por medio de coeficientes de saturacin como el usado por Michaelis-Menten(1913).Estemodelado,aunquebastantesencillo,consigueunaexpresinparael transportedecalcioenfuncindelaconcentracindeCa2+ yelvoltajecomosemuestraa continuacin:| || | ( )sMV mV V sisMV mV V siCa KCa V Vrncytnmncytexch3 . 85 0853 70) (maxmax22max= == =+=++(2.11) donde: exchr :velocidad de reaccin del intercambiador. ) (max V V : mxima velocidad de intercambio en funcin del voltaje.| |cytCa + 2: concentracin de calcio intracelular. mK : concentracin de calcio a la mitad de la velocidad mxima deintercambio) (max V V . n : coeficiente de saturacin para la enzima, en este caso el valor de n es igual a 1. Bomba SERCA y bomba ATPasa del Sarcolema: Deestafamilia,labombaSERCAhasidolamsestudiada.Muchosautorescoincidenen quelamismaposeedosconformacionesprincipales:unaactivadaporlaconcentracinde calcio en el citosol y otra activada por la concentracin de calcio en el retculo sarcoplsmico (Meissner,1973).Sehanpropuestovariosmecanismosdetransicinentreestasdos conformaciones(Meisner,1973;Jencks,1989;Shigekawaetal.,1979).Sinembargo,en ninguno de estos mecanismos se han medido todas las constantesde reaccin cinticapara lospasosdetransformacin(trasnlocacin)delaenzima.RecientestrabajosdeMahanayy colaboradores(2000)planteanelsiguienteesquemacintico(8pasosdetransicin)parala bomba SERCA: Antecedentes del Modelado 44 i i SR t cy t cyt cy cyt cytP E EP Ca ADP P E Ca ATPE ATP Ca ECa E Ca Ca E Ca E Ca E E+ + + + + + + + ++ + +2 8 7262 '1 52 '12 '1 42 '1 3 1 221 1 222 22 (2.12) donde:

+ 2cytCa : concentracin de calcio en el citosol. i cyt cytEP P E Ca ATPE Ca E Ca E Ca E E E , , , , , , ,2 '12 '1'1 1 1 2+ +:estadosintermediosdelmecanismo de transformacin de la enzima. ADP: adenosin difosfato. iP : fsforo liberado del ATP.+ 2SRCa : concentracin de calcio en el retculo sarcoplsmico. Ladesventajadeestemodeloeslacantidaddepasosdetransicinquedebenserresueltos matemticamente (8 pasos), aunque ha sido validado calculndoselas constantes cinticas de reaccin para miocitos ventriculares caninos (Mahaney et al., 2000). Otros autores como Tang y Othmer (1994) y Hamam y colaboradores (2000) reemplazan los mecanismosdetransicinporunareaccincinticadesaturacintipoMichaelis-Menten como se muestra a continuacin:( )212max22] [Ca K] [CaV rcytcytSERCA+++=(2.13) donde : SERCAr : velocidad de reaccin de la bomba SERCA. maxV : velocidad mxima de reaccin. 1K: concentracin de calcio a la mitad de la velocidad mxima de transporte de calcio maxV . Estaaproximacinpermitesimplificarlosclculosconbuenosresultados.Respectoala bomba ATPasa del Sarcolema, muchos autores coinciden en que el mecanismo de activacin Antecedentes del Modelado 45 esbastantesimilaralabombaSERCA(MacLennanyKranias,2003)perosuvelocidadde reaccin es en un 90% ms baja (Negretti et al., 1995). Bomba Na+- K+: La bomba Na+-K+ transporta 3 iones Na+ hacia el exterior de la clula por cada 2 iones K+ que ingresan (Holmgren et al., 2000). Muchos autores coinciden en que esta protena posee dos estados principales de conformacin (Therien y Blostein, 1999), uno de alta afinidad con el sodio y otro de alta afinidad con el potasio. Sin embargo, el mecanismo de transicin entre un estado y otro no est claro. Algunos autores proponen pasos de transicin directos entre unestadoyotro(TherienyBlostein,1999),otrosautoresproponen6pasosintermedios conformacionales(Peluffoetal.,2000).Comoquieraquesea,ningunolograobtener cinticasdereaccinreales,puestodoslosajustesdeparmetrosserealizanavoltaje constanteyestdemostradoqueestabombaesmoduladaporcambiosenelpotencialde membrana (Balashw et al., 2000). Finalmente, Holmgrem y colaboradores (2000), plantean 4 estados de transicin para la bomba y ajustan una cintica dependiente del voltaje con datos experimentalesdeaxonesdecalamargigante,conbuenosresultados.Sinembargo,esta cintica no puede aplicarse al modelado de un miocito humano pues ambas especies poseen dinmicas de potencial de membrana muy diferentes. c)Modelado de miofibrillas: Muchos modelos se han propuesto para simular la interaccin entre los filamentos de actina y miosina (Lymm y Taylor, 1971; Rayment y Holden, 1994; De la Cruz et al., 1999; Smith et al.,2000).Losmecanismosvaranentre4y12estadosdetransicin,peroenningunode ellossehanhalladolasvelocidadesdereaccincorrespondientesacadacambio conformacional planteado. Esto es debido a que el mecanismo de reaccin de las miofibrillas involucra a muchas especies qumicas (miosina, actina, troponina, calcio, ATP) pero falta por descubrir la verdadera relacin estequeomtrica entre ellas. Adems, a nivel experimental las diversassustancias no pueden ser aisladas ni existen tcnicas experimentales para medir sus concentraciones.Porlotanto,muchosautores(Jafrietal.,1998;PeskoffyLanger,1998; Chunlei, 2001; Fox et al., 2001) han aproximado el comportamiento de las miofibrillas como Antecedentes del Modelado 46 un equilibrio qumico con el calcio como un buffer. Esto es, una reaccin que se favorece de un lado a otro dependiendo de la variacin de concentracin de los componentes segn un mecanismo del tipo siguiente: CaMdkdkM Ca ++212 (2.14) donde: 2,1dkdk : constantes cinticas. CaM : complejo calcio-miofibrilla. M : miofibrilla. Bajo este modelado (tpicamente caja gris) es ms fcil identificar los parmetros cinticos de la reaccin pues el equilibrio qumico entre la miofibrilla y el calcio y ms especficamente entre la protena troponina y el calcio, la cual es la principal especie reguladora de este in, se ha medido experimentalmente (Peskoff y Langer, 1998). 2.2.2Modelado de fenmenos elctricos. La apertura de canales en el sarcolema que permite el paso natural de iones entre los medios intra y extra celular, provoca un flujo de iones o corrientes inicas ( I ) que generan a su vez una cada depotencial(voltaje)enlamembrana.Evidentemente,enelmodeladodelmiocitodebe representarselarelacinentreelpotencialdemembrana,lascorrientesinicasylas concentraciones qumicas de los diferentes iones. Desde el punto de vista elctrico, el sarcolema puede ser visto como un conductor de electricidad con una conductancia especfica ( g ) que varia con el voltaje o cada de potencial ( E ). Esto es, un circuito elctrico con resistencia, capacitancia y carga (como en una batera). La aplicacin de la ley de Ohm a este sistema conduce a la siguiente ecuacin: Antecedentes del Modelado 47 gE I = (2. 15) donde: I : corriente elctrica generada en el sarcolema. g : conductancia especfica. E : cada de voltaje. Por otro lado, los iones tienden a moverse de la regin de ms alta concentracin a la regin de msbajaconcentracinparaalcanzarelequilibrio.Estemovimientodesdeelpuntodevista elctrico constituye tambin un flujo de energa. Tomando en cuenta este hecho, Nerst y Planck (1906) postularon el siguiente balance energtico para encontrar el potencial en equilibrio que se alcanza en la membrana celular: |||

\|=inoutiCiCiF zRTeq E ln ) ((2.16) donde: ) (eq E : potencial de membrana en equilibrio. outCi : concentracin extracelular del in i. inCi : concentracin intracelular del in i. iz : valencia del in i La corriente inica de la ecuacin 2.15, es una corriente microscpica, referida a un solo canal de la membrana. Entonces es necesario medir la conductancia total de la membrana ( G ) la cual es producto de la conductancia especfica G por el nmero de canales N abiertos a travs de los cuales fluyen los iones que producen la corriente en cuestin. Consecuentemente, la corriente macroscpicaesproporcionalalaconductanciaG yalvoltajeefectivo,comosemuestraa continuacin: ( )) (eq i iE V G I =(2.17) N G G = (2.18) Antecedentes del Modelado 48 donde: iI : corriente macroscpica del in i. ) (eq iE : potencial de equilibrio para elin i. G : conductancia macroscpica del canal que genera la corriente iI . G : conductancia especfica de los canales que generan la corriente iI . N : nmero de canales abiertos. El clculo del nmero de canalesNactivos para los flujos inicos en cada caso se resuelve con diferentesmodeloscomoseresumeenlosapartadossiguientes.Lasecuaciones2.16y2.17 relacionanelgradientedeconcentracin,elpotencialdemembranaylascorrientesinicasy constituyenunmodelovlidoparacualquiercorrienteinicageneradaenelsarcolema.Sin embargo, aislar un canal y caracterizar su conductancia especfica, no es un proceso trivial por lo quemuchascorrientesinicasexistentesenelsarcolemaseignoranenlosprimerosmodelos celulares.Apartirdelosaos90,ciertasinnovacionesexperimentalespermitenobtener descripciones muy especficas de las corrientes inicas, las cuales se aprovechan en el modelado del potencial de membrana de la clula cardiaca como se explica en los siguientes prrafos. Enlosltimosaossehanpublicadomuchostrabajosexperimentalesydemodelado(Luoy Rudy,1994;Jafrietal.,1998;Winslowetal.,1999;Foxetal.,2001),referentesalascorrientes inicas delsarcolemadel miocito. La mayora de ellos coinciden en que existen cuatro tipos de corrientes generales: las corrientes de sodio, las corrientes de potasio, las corrientes de calcio y l