Tesis Desarrollo de un sincrofasor en tiempo real para línea

____________________________________________________________

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

Programa Doctoral

____________________________________________________________

Desarrollo de un sincrofasor en tiempo real para

líneas de transmisión eléctrica.

Tesis que presenta

Armando Rafael San Vicente Cisneros

para obtener el Grado de

Doctor en Ciencias

en la Especialidad de

Ingeniería Eléctrica

Director de la Tesis: Dr. Raúl Ángel Cortés Mateos

México, Distrito Federal 2010

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

Resumen

Se describen los algoritmos computacionales, el método de medición, el diseño y la

implementación de un sincrofasor; el cual mide en tiempo real el ángulo de desfase

entre una misma señal o entre dos o más señales de energía eléctrica que se encuentran

ubicadas en puntos distantes. El sincrofasor consiste en un sistema Ground Position

System (GPS), un Procesador de Señales Digitales (DSP) y una computadora (PC). EL

GPS genera un pulso para sincronizar la medición, el DSP calcula la amplitud y el

ángulo de las señales con respecto al pulso de sincronía, la computadora PC recibe los

ángulos y amplitudes del DSP, hace procesamiento, almacenamiento y realiza el cálculo

del desfase. También se describe un algoritmo para detección de fallas de sobrecorriente

en menos de un cuarto del período basado en las variaciones del ángulo del fasor.

Abstract

Development of a synchrophasor for the measurement of electric transmission line in

real time.

The computational algorithm, the measurement method, the design and the

synchrophasor implementation which measures in real time the angle of diphase

between the same signal or in between two or more electric energy signals that are

located in distant spots, are described. The synchrophasor consists on a Ground Position

System (GPS), a Digital Signals Processor (DSP) and a computer (PC). The GPS

generates a pulse to synchronize the measurement; the DSP calculates the amplitude and

the signals angle with respect to the synchrony pulse. The PC computer receives the

angle and amplitude measurements from the DSP, then it process the information, save

it and carry out the phase angle calculation. An Algorithm for Instant Overcurrent

Relays Based on the Angle Variations of Current Phasor line is also described.

Temario

Resumen.

1. Introducción. 1.1. Planteamiento del problema 1-1

1.2. Estado del Arte. 1-2

1.3. Objetivos. 1-5

1.4. Justificación. 1-5

1.5. Aportaciones. 1-5

1.6. Organización de la tesis. 1-6

2. Desarrollo de algoritmos en tiempo real. 2.1. Algoritmo para el cálculo del fasor. 2-1

2.2. Algoritmo para relevadores de sobrecorriente instantaneos

basado en la variación del ángulo del fasor de corriente.. 2-9

3. Implementación del instrumento. 3.1. Estado actual: 3-1

3.2. Cálculo del fasor. 3-4

3.3. Medición de los ángulos de desfase. 3-5

3.4. Requerimientos para la implementación de un sicrofasor. 3-7

3.5. Especificaciones del sincrofasor a implementar. 3-16

3.6. Selección y justificación de componentes. 3-20

3.7. Pruebas y calibración de sensores y acondicionadores de señal. 3-30

3.8. Integración del subsistema de sensores y acondicionamiento

de señal con el ADC del DSP. 3-37

3.9. Pruebas del sistema GPS. 3-38

3.10. Integración de los subsistemas GPS, DSP y PC 3-47

3.11. Desarrollo de software 3-49

4. Pruebas y resultados. 4.1 Prueba para la medición del desfase. 4-1

4.2 Pruebas de desfase de los sensores y acondicionadores de señal. 4-4

4.3 Pruebas del sistema conectado a una línea de transmisión a escala

de 120 volts.1 4-8

4.4 Análisis comparativo con equipos comerciales. 4-16

Conclusiones. 5-1

Referencias.

Apéndices. A1. Análisis de la señal.

A2. Artículos

A.2.1. DSP-Microcontroller Implementations of a Simplified

Algorithm for Synchrophasor Calculation.

A.2.2. Construcción de un sincrofasor de bajo costo basado

en un DSP-Controlador.

A.2.3. Synchrophasor Design Based on a DSP-Microcontroller.

A.2.4. Algorithm for Instant Overcurrent Relays Based on

the Angle Variations of Current Phasor

Índice de figuras

Figura Tema Página

1 Sincronización de la medición 1 -2

2.1 Diagrama a bloques del sistema de pruebas del algoritmo 2-6

2.2 Señales observadas en el osciloscopio, 1PPS y señal de referencia 2-7

2.3 Diferencia en la medición de magnitud. 2-7

2.4 Diferencia en la medición del ángulo. 2-8

2.5 Error de fase y amplitud que se produce cuando la frecuencia de la

señal es diferente de 60 Hz, (Obtenida de [68]).

2-10

2.6 Error de fase en una señal que varía de 59.8 a 60.2 Hz. 2-11

2.7 Diferencia de los ángulos periodo a periodo 2-11

2.8 Diferencia de los ángulos periodo a periodo con diferentes

amplitudes y en diferentes instantes

2-12

2.9 Zones of angular variation period to period with a failure of the

6.45% of amplitude.

2-13

2.10 Distintas diferencias angulares. La diferencia angular periodo a

periodo es la que más variación tiene cuando se presenta una falla.

2-13

2.11 Variación angular en fallas presentes entre 90 y 270 grados 2-14

2.12 Variación angular en fallas presentes entre 225 y 135 grados 2-15

3.1 Sistema de medición 3-2

3.2 Sistema eléctrico con la asignación de un nodo de referencia 3-3

3.3 Convención de signos en el flujo de potencia 3-3

3.4 Línea corta de transmisión 3-3

3.5 Circuito equivalente de una línea de transmisión 3-4

3.6 Niveles de posprocesamiento 3-5

3.7 Cálculo del ángulo de desfase 3-6

3.8 Sincronización de la medición 3-6

3.9 Proceso general del medidor 3-7

3.10 Diagrama a bloques general del sincrofasor 3-8

3.11 Acondicionador de señales 3-9

3.12 Acondicionador de nivel 3-9

3.13 Métodos para la atenuación: a) Con elementos activos, b) Con

elementos pasivos.

3-10

3.14 Circuito atenuador con filtro pasa bajas 3-10

3.15 Circuito offset a) mediante un circuito integrado voltaje de

referencia, b) mediante un divisor de voltaje

3-11

3.16 Sistema con procesador digital: a) Clasificación de periféricos, b)

Diagrama a bloques más general

3-13

3.17 Sistema mínimo 3-13

3.18 Detección del 1PPS: a) Por Poleo, b) Por Interrupción 3-14

3.19 Sistema de comunicación serial: a) Requerimiento óptimo, b)

Requerimiento mínimo

3-15

3.20 Sistema Procesador Digital 3-15

3.21 Diseño a bloques de la arquitectura del sincrofasor 3-20

3.22 Arquitectura del LC2407A [40] 3-21

3.23 Diagrama a bloques del modulo eZdspTM

LF2407 [43] 3-23

3.24 Opciones para la comunicación entre dispositivos seriales. 3-25

3.25 Sistema completo de comunicación. 3-25

3.26 Diagrama de bode del filtro del TP. 3-26

3.27 Atenuador de corriente y filtro 3-27

3.28 Diagrama de bode del filtro del TC 3-28

3.29 Diagrama a bloques detallado 3-29

3.30 Proceso de acondicionamiento del sensor de voltaje. 3-30

3.31 Conexión de la fuente de voltaje de referencia offset con la señal

de voltaje.

3-30

3.32 Circuito de la fuente de voltaje de referencia offset. 3-31

3.33 Circuito del sensor de voltaje y su acondicionador 3-31

3.34 Forma de onda de la señal de voltaje calibrada 3-32

3.35 Proceso de acondicionamiento del sensor de corriente 3-33

3.36 Circuito del sensor de corriente y su acondicionador 3-33

3.37 Forma de onda de la señal de corriente calibrada 3-34

3.38 Subsistema de sensores y acondicionamiento de señal 3-35

3.39 Diagramas de Bode de los filtros a) TP b) TC. 3-36

3.40 Proceso de integración y prueba 3-38

3.41 Visualización de la trama NMEA y el 1PPS 3-40

3.42 Visualización de las señales 1PPS de dos receptores GPS. 3-41

3.43 Sincronía entre 1PPS, Trama NMEA y señal de 60Hz a digitalizar 3-42

3.44 Proceso sincronizado de la medición 3-43

3.45 Modo cero 3-44

3.46 Modo uno 3-44

3.47 Modo dos 3-44

3.48 Modos de operación del multiplexor 3-45

3.49 Diagrama a bloques del MUX utilizando el AT89C2051 3-45

3.50 Diagrama de flujo y código del programa del multiplexor 3-46

3.51 Diagrama esquemático de la interconexión GPS, DSP, MUX y PC 3-48

3.52 Diagrama de flujo del programa principal 3-51

3.53 Diagrama de flujo de la rutina de servicio de la interrupción

externa XINT1

3-52

3.54 Diagrama de flujo de la rutina de servicio de la interrupción del

ADC

3-53

3.55 Diagrama de flujo de la detección de flujo de la trama NMEA 3-53

4.1 Diagrama a bloques del sistema de pruebas del desfase 4-1

4.2 Red de atraso 4-2

4.3 Oscilograma para un desfase de 1° indicado en el procesador 4-3

central

4.4 Oscilograma para un máximo desfase de la red de atraso (28.08°). 4-3

4.5 Oscilograma para un desfase de 28° indicados en el procesador

central

4-4

4.6 Diagrama del circuito de prueba de los TP´s 4-5

4.7 Comparativo entre las señales de dos TP´s 4-5

4.8 Diagrama del circuito de prueba de los TC’s 4-6

4.9 Comparativo entre las señlales dos TC´s 4-6

4.10 Diagrama del circuito de prueba de un TP y un TC 4-7

4.11 Comparativo entre las señales de un TP y un TC 4-7

4.12 Prueba de los sincrofasores conectados una misma fase 4-8

4.13 Prueba de los sincrofasores conectados una misma fase, con una

conexión invertida

4-9

4.14 Línea de transmisión a escala de 120 volts 4-9

4.15 Conexión de los sincrofasores con la línea de transmisión a escala 4-10

4.16 Conexión de los sincrofasores con la línea de transmisión a escala 4-11

4.17 Corriente de entrada vs corriente de salida 4-12

4.18 Voltaje de entrada vs voltaje de salida 4-13

4.19 Voltaje de salida vs corriente de salida 4-14

4.20 Voltaje de entrada vs corriente de entrada 4-15

4.21 Error en magnitud para una línea trifásica balanceada a frecuencia

nominal (figura tomada de [65])

4-17

4.22 Error de magnitud 4-17

4.23 Sincronización entre la señal de 1 PPS y la señal eléctrica (figura

tomada de [65])

4-17

4.24 Error de ángulo 4-18

Índice de tablas

Tabla Tema Página

2.1 Tabla de senos y cosenos 2-4

2.2 Cálculo de la amplitud 2-4

2.3 Tabla del arcsin 2-6

2.4 Diferencia angular 2-12

3.1 Especificaciones generales del sistema 3-17

3.2 Especificaciones del subsistema GPS 3-17

3.3 Especificaciones de los sensores, del filtro, atenuadores y offset. 3-18

3.4 Especificaciones del ADC y Sistema Digital 3-19

3.5 Características del los periféricos del LC2407A [56] 3-22

3.6 Especificaciones técnicas del módulo ACE III GPS™ [48] 3-24

3.7 Conector heder de 8 terminales 3-38

3.8 Características del estándar NMEA 0183 3-39

3.9 Parámetros de la trama GGA del estándar NMEA 0183 [48] 3-39

3.10 Lenguajes de programación para el TMS320LF2407 3-49

Capítulo 1 - 1

Capítulo 1

Introducción

1.1 Planteamiento del problema

En la transmisión de energía eléctrica a través de líneas de transmisión y de otros

elementos de la red eléctrica, se producen desfases no conocidos entre las señales de

corriente y voltaje. Estos desfases se deben a las cargas y a los flujos de energía,

El problema consiste en poder medir el desfase que presenta una misma señal eléctrica

en dos puntos distantes.

En la interconexión de dos o más generadores de energía eléctrica, se requiere que las

señales de voltaje se encuentren en fase antes de ser interconectados a la red eléctrica.

El problema consiste en poder medir el desfase entre dos señales eléctricas de voltaje

diferentes que se encuentra en dos puntos remotos.

La medición de las amplitudes en las señales eléctricas distantes resulta sencilla ya que

en estos casos los voltajes que entregan los sensores de voltajes y corrientes se miden

con la misma referencia de voltaje que es tierra o cero volts. Para el caso de la medición

del desfase se requiere también de una misma referencia, pero en este caso es temporal.

Con un mismo instrumento se pueden medir el desfase de una misma señal o de dos

señales diferentes de manera local, ya que ambas señales se están midiendo con la

misma referencia temporal del propio instrumento. Esta referencia temporal que genera

el instrumento está únicamente referenciada con el tiempo en que fue energizado. Es

decir que, es aleatoria.

Para el caso de dos puntos remotos, resulta imposible hacer mediciones de fase con el

mismo instrumento en un mismo tiempo. Si se utilizan dos instrumentos diferentes,

cada una de las señales remotas quedaran referenciadas temporalmente a su propio

instrumento.

Partiendo de los razonamientos anteriores, el problema de medir el desfase en dos

puntos remotos ya sea de la misma señal o de señales diferentes, se reduce a poder

sincronizar ambos instrumentos con la misma referencia temporal. Es decir realizar una

medición sincronizada del fasor como se puede apreciar en la figura 1., en donde, en

cada nodo se hace una medición de amplitud “V” con un ángulo de fase “” en el

mismo instante de tiempo.

Capítulo 1 - 2

Figura 1. Sincronización de la medición

Además de la medición de flujos de potencia, la medición del fasor sincronizada tiene

actualmente diversas aplicaciones [1, 2], entre otras en relevadores de protección y en el

control de FACTS (flexible AC transmission systems). En el siguiente apartado Estado

de Arte se describen los avances que existen en la medición sincronizada del fasor.

1.2 Estado del Arte

En 1983 Phadke y Thorp [1] proponen una técnica para la medición de la amplitud y

fase de una señal eléctrica. En el cálculo se aplica la transformada discreta de Fourier

(DFT) a un conjunto de muestras obtenidas de una ventana del tamaño de un periodo.

La DFT es el algoritmo más utilizado actualmente en el desarrollo de medidores

fasoriales.

En 1988 se desarrolla en el Tecnológico de Virginia la primer Unidad de Medición

Fasorial (PMU) sincronizada mediante un pulso de reloj proveniente de un sistema

satelital de posicionamiento global (GPS) [3]

En 1992 se instala por primera vez un sistema sincronizado vía GPS a una línea de

transmisión de 500kV [4].

En 1993 el sistema GPS (que en su inicio fue de uso exclusivamente militar) es

declarado para uso civil, con esto se inicia el desarrollo y la comercialización de

medidores fasoriales sincronizados vía GPS [5, 6, 7]. Siendo la empresa Macrodyne la

primer empresa en comercializarlos. En este periodo también se producen diversas

aplicaciones y publicaciones de los experimentos y experiencias generados durante la

instalación de los primeros medidores [8, 9, 10, 11, 12, 13].

En 1995 se desarrolla el estándar IEEE 1344 en el cual se denomina a la PMU

sincronizada mediante un GPS como Sincrofasor. En el mismo estándar se define el

formato de los datos de salida de un Sincrofasor. En el 2001 se reafirma dicho estándar

[14,15].

Para el año 2002 se estima que ya hay más de una centena de sincrofasores en sus

diversas aplicaciones instalados alrededor del mundo y con algunas empresas

desarrollando equipos [3, 16, 17, 18].

Capítulo 1 - 3

El 17 de agosto del 2007 se concede la patente MX 248117 titulada “Rele protector con

capacidad sincronizada de medición de fasor para el uso en sistemas de energía

eléctrica”a la empresa Schweitzer Engineering Laboratories, INC. Y resumen lo

siguiente : “Se describe un sistema relé que obtiene valores de voltaje y corriente a

partir de una línea de energía y utiliza un primer elemento de muestreo para muestrear

los valores de voltaje y corriente a intervalos de tiempo seleccionados. Las señales

muestreadas resultantes son utilizadas para la protección, control, monitoreo y

medición en amplitud de sistema de energía. Las señales muestreadas son luego

muestreadas nuevamente a una velocidad que es seleccionada de un múltiplo de la

frecuencia del sistema de energía. Los resultados del re-muestreo son procesados por el

conjunto de circuitos de procesamiento para las funciones de protección incluyendo las

determinaciones de falla”.

Actualmente además de Macrodyne, inc. (www.macrodyneusa.com) y Schweitzer

Engineering Laboratorios (SEL) (www.selinc.com), existen otras empresas con el

mayor número de equipos instalados: Arbit Systems (www.arbiter.com), AMETEK

Power Instruments (www.ametek.com) [19]. La compañía SEL cuenta con dispositivos

equipados con la función de medida de fasores sincronizados reportando frecuencias

medidas a través del sistema eléctrico de potencia de los Estados Unidos de

Norteamérica y Monterrey México [20, 21, 22].

En enero del 2008 se publica el primer libro relacionado con el tema: [23] Phadke, A.

G.; Thorp, J. S. Synchronized Phasor Measurements and Their Applications. Springer,

New York, January 2008. Los autores del libro son los que más artículos han publicado

al respecto. El libro en esencia es una ontología de dichos artículos.

El elevado costo de los sincrofasores comerciales es uno de los aspectos más

importantes a destacar, por ejemplo, el modelo básico que maneja la empresa

Schweitzer Engineering Laboratorios el SEL 734 con la única función de medición

fasorial con todas las opciones que incluyen software y conectores tiene un precio

$6,865US. El equipo más completo de la misma empresa, el SEL 421 con todas las

opciones y que incluyen funciones de automatización y protección tiene un precio

$11,696US [24]. Por otro lado la empresa Arbiter Systems cuenta con el Analizador de

Potencia modelo 1133a que tiene un costo de $5,165 US sin incluir el software y

accesorios [25]. Los precios anteriores fueron consultados directamente de las páginas

de los fabricantes o de cotizaciones solicitadas, sin embargo, en la referencia [21]

página 2 se menciona un costo por nodo de $24,000 USD por sincrofasor dedicado.

Los 20 años de desarrollo tecnológico en sincrofasores se manifiestan en el modelo SEL

421que es uno de los ejemplos más destacados del avance tecnológico que hay en esta

materia. Éste incorpora a parte de la función de medición fasorial el sistema de

protección de línea de alta velocidad, automatización, control y protección de líneas de

transmisión con funciones de distancia y direccionales de alta velocidad [24].

Información no publicada:

Analizando con detalle las referencias antes citadas se aprecia que preferentemente se

utiliza la DFT para el cálculo del fasor y para la sincronización se utiliza el Sistema de

Posicionamiento Global (GPS). En cuanto a la construcción de un sincrofasor, el mayor

detalle se presenta en la referencia [13] en la cual se describe mediante un diagrama a

http://www.macrodyneusa.com/

http://www.selinc.com/

http://www.arbiter.com/

http://www.ametek.com/

http://www.selinc.com/synchrophasors

http://www.selinc.com/synchrophasors

Capítulo 1 - 4

bloques la construcción del sincrofasor Macrodyne modelo 1690, en donde se aprecia

que el equipo fue desarrollado con un microprocesador 68030. Sin embargo no hay

ninguna referencia en la que se indique con detalle el algoritmo computacional que

desarrolla la DFT [26, 27, 28, 29]. No se menciona como se establece el algoritmo de

sincronización entre el GPS y el sistema Adquisición de datos – Microprocesador,

tampoco hay descripción (ni aún a nivel de diagramas de flujo) del desarrollo del

software de los algoritmos de cálculos matemáticos, de los algoritmos de sincronización

entre los diversos periféricos y tampoco hay descripción de los algoritmos de

comunicación entre el microprocesador, el GPS y la PC. En cuanto al hardware, como

ya se mencionó, la descripción se reduce a diagramas a bloques. En resumen, no hay un

Know How [30] para el desarrollo y la constricción de un sincrofasor.

1.2.1 Antecedentes del desarrollo de PMU sincronizados dentro de la

SEPI.

Se presenta este antecedente derivado de las propuestas de mejora del comité de tesis en

la reunión de examen cerrado.

En dicha reunión se presentó el desarrollo de un prototipo de sincrofasor al cual

denominó sincrofasor SF_SEPI 1. Este sincrofasor se desarrolló para la medición de los

fasores trifásicos de voltaje y de corriente en estado estacionario de una línea de

transmisión de energía eléctrica. En el prototipo SF_SEPI 1 se calculan en tiempo real

los seis fasores, utilizando una ventana de un período por cada señal cada vez que se

detecta el 1PPS del GPS. Se captura el estampado de tiempo y se transmiten cada

segundo a la computadora PC . La computadora recibe la información de dos

dispositivos SF_SEPI 1 y calcula fuera de línea el rms , las potencias, el factor de

potencia y los ángulos de desfase entre señales (δ) con el estampado de tiempo.

Para la validación de la información entregada en dicho desarrollo, se decidió

implementar otro prototipo basándose en la documentación generada. El siguiente

prototipo basado en la información entregada, fue desarrollado como trabajo de tesis de

maestría por el Ing. Carlos Cuvas, a este prototipo se le denominó SF_SEPI 2, El

prototipo SF_SEPI 2 calcula las componentes reales e imaginarias de las seis señales,

se transmiten a una PC y se calculan fuera de línea (no en tiempo real) los fasores, la

frecuencia y las potencias. Cabe mencionar que en estos trabajos se consideraron y

utilizaron algunas normas y estándares, sobre todo el estándar IEEE 1344. Sin embargo

se dieron como válidas y no se hizo una comprobación experimental. En el trabajo

presentado “ Implementación de un PMU Normalizado“ de la Ing Blanca Verónica

Hernández Gómez se realiza dicha comprobación.

Propuesta.

Dentro de las propuestas derivadas de la reunión con el comité de tesis, se planteó como

mejora del SF_SEPI 1 el de ampliar las aplicaciones al estado dinámico y no

solamente en estado estacionario como se propuso originalmente. Dadas las

características de rapidez de algoritmo y el desarrollo embebido en un solo circuito

integrado (Embedded on-chip systems) se plantea la posibilidad de emigrar el PMU a

un PMCU (phasor measurement and control unit). Este tipo de dispositivos además de

Capítulo 1 - 5

las funciones del sincrofasor, incorpora funciones de monitoreo y /o protección de las

líneas de transmisión [3, 4].

1.3 Objetivos

1. Desarrollar un algoritmo de medición fasorial en tiempo real.

2. Desarrollar un algoritmo para protección de sobrecorriente instantánea basado

en las variaciones angulares del fasor de corriente.

3. Diseñar y construir un sincrofasor.

4. Probar el funcionamiento del sincrofasor, midiendo la amplitud y la fase de las

señales de voltaje y corriente en los extremos de una línea de transmisión

trifásica real o a escala.

1.4 Justificación

La dependencia tecnológica es sin duda uno de los factores que más influyen en el

desarrollo y retraso económico de un país [31, 32]. En México el avance tecnológico en

el área de sincrofasores tiene un rezago de por lo menos 20 años, con el desarrollo de

esta tesis además de que se acorta dicho rezago, se logra un importante abatimiento en

el costo del sincrofasor, a $1000 US aproximadamente. Además de que el desarrollo

tecnológico es el principal catalizador y precursor de la creación de nuevas líneas de

investigación.

Es durante el desarrollo tecnológico en donde se generan las verdaderas necesidades de

investigación. El desarrollo tecnológico permite posicionarse en el estado del arte de las

cosas, además de que permite comprobar la valides y utilidad de las teorías y además

también permite validar la factibilidad de los algoritmos matemáticos con las

tecnologías actuales. El desarrollo tecnológico es necesario, tiene importancia y no es

sencillo.

El desarrollo tecnológico propuesto en esta tesis permitirá a estudiantes e investigadores

generar nuevos algoritmos matemáticos y computacionales para la medición monitoreo,

protección y control de sistemas eléctricos. Los algoritmos tendrán la posibilidad de ser

probados en campo, se podrán abordar y generar tecnologías en otras aplicaciones tales

como protecciones, relevadores a distancia, control de FACTS, calidad de la energía y

otra descritas en los documentos referenciados en el apartado Estado del Arte. Por

último, con el desarrollo de esta tesis se abre la posibilidad de poder generar fuentes de

Capítulo 1 - 6

trabajo, recursos económicos y financiamiento para otros proyectos de investigación

básica.

1.5 Aportaciones

Las aportaciones más importantes que se presentan son:

Desarrollo original de un algoritmo computacional en tiempo real para el cálculo

de la DFT, que mediante el uso de tablas (Look Up Tables) permite el cálculo

del ángulo en cuatro instrucciones de lenguaje ensamblador.

Desarrollo original de un algoritmo para protección instantánea de sobre

corriente (en menos de un cuarto del periodo) basado en las variaciones

angulares del fasor de corriente.

Sistema de desarrollo para el diseño de instrumentos de protección, monitoreo y

control de sistemas eléctrico.

Publicación y presentación de artículos en congresos internacionales IEEE:

o “Algorithm for Instant Overcurrent Relays Based on the Angle

Variations of Current Phasor”,San Vicente, R.; Cortés, R.; Robles, J.;

Chong-Quero J.E IEEE International Conference on Industrial

Technology (ICIT 2008)

o “DSP-Microcontroller Implementations of a Simplified Algorithm

for Synchrophasor Calculation” Rafael San Vicente, Raúl Cortés,

Jaime Robles, J. Enrique Chong-Quero IEEE 2nd

International

Conference on Electrical and Electronics Engineering and XI conference

on Electrical Engineering (ICEEE-CIE 2005).

o “Synchrophasor Design Based on a DSP-Microcontroller” San

Vicente, R.; Cortés, R.; Robles, J.; Chong-Quero, J.E. IEEE International

Symposium on Intelligent Signal Processing (WISP’2005).

Patente en tramite:

o “Sistema de desarrollo para el diseño de instrumentos de protección,

monitoreo y control de sistemas eléctrico” (Development system for

instruments design of protection, monitoring and control of electric

systems.) con el bufete jurídico Uhthoff gomez vega & uhthoff, s.c

propiedad intelectual y derechos corporativos (Hamburgo 260 col.

Juárez CP 06600 D.F. México tel. +52(55) 5533 5060)

Presentación en el programa "eXpressDSP™-Compliant Third-Party

Algorithms" de Texas Instruments del algoritmo XDAIS Medición de RMS.

Capítulo 1 - 7

Documentación del desarrollo del sincrofasor.

o Requerimientos para la implementación.

o Alternativas de solución.

o Especificaciones del sistema.

o Diagrama a bloques del sistema.

o Diagrama esquemático del circuito.

o Diagrama de ensamblado del sistema.

El proceso de cómputo sincronizado.

o Diagrama de flujo del proceso de cómputo.

o Diagrama de flujo del programa.

1.6 Organización de la tesis

En el capítulo 2 se presenta el desarrollo del algoritmo computacional en tiempo real

para el cálculo de la DFT, que mediante el uso de tablas (Look Up Tables) permite el

cálculo del ángulo en cuatro instrucciones de lenguaje ensamblador. También se

presenta el desarrollo de un algoritmo para protección de sobre corriente instantánea

(en menos de un cuarto del periodo) basado en las variaciones angulares del fasor de

corriente.

En el capítulo3 se presenta la implementación del sincrofasor. En el apartado Estado

actual, se describe con detalle la información que hay al respecto, esta información se

utiliza como punto de partida. En el apartado requerimientos para la implementación se

identifican los subsistemas mínimos necesario para la implementación. Se presentan las

especificaciones del sincrofasor a implementar y a partir de éstas se selección y

justificación de componentes. Se describe la integración y las pruebas de los siguientes

subsistemas:

Pruebas y calibración de sensores y acondicionadores de señal.

Integración de sensores y acondicionadores de señal con el ADC del DSP

Pruebas del sistema GPS.

Integración de los subsistemas GPS, DSP y PC.

Desarrollo de software

En el capítulo 4 se presentan las pruebas que se hicieron al algoritmo computacional y

al sistema completo. Con la finalidad de medir la exactitud del algoritmo computacional

propuesto las pruebas se realizaron directamente con el DSP interconectado al GPS sin

utilizar las etapas de sensores y acondicionamiento de señal. Se presentan también las

pruebas realizadas al conectar el sistema de dos sincrofasores a una línea de transmisión

de 120 volts a escala. Finalmente se presenta un comparativo del sincrofasor

desarrollado en este trabajo con otros sincrofasores comerciales.

Capítulo 2 - 1

Capítulo 2

Desarrollo de algoritmos en tiempo real

2.1 Algoritmo para el cálculo del fasor

Todos los medidores fasoriales en servicio utilizan el algoritmo recursivo de la DFT

para el cálculo del fasor, no se utiliza el algoritmo FFT ya que este requiere 2n muestras

de la ventana de datos, donde n es un entero positivo, además de que se requieren tener

todas las muestras antes de hacer los cálculos, mientras que con el algoritmo DFT se

pueden utilizar cualquier número de muestras (no necesariamente potencias de 2 como

en el caso de la FFT). Con la DFT se pueden hacer los cálculos en forma recursiva, es

decir que en cada adquisición se puede calcular el fasor. Se ha encontrado que con un

muestreo de 12 adquisiciones por periodo se puede calcular el fasor con la exactitud

requerida en las diversas aplicaciones, los relevadores de protección digitales utilizan

periodos de muestreo de entre 4fo y 40fo [6, 7, 8, 9]

Si la frecuencia varia, se presenta un error el cálculo del fasor entonado a 60Hz, esto se

debe a que los datos muestreados en la ventana de tiempo de anchura fija no

corresponden a un ciclo entero de la señal y por lo tanto, no se satisface la condición de

periodicidad de señal de la transformada de Fourier. En las referencias [20, 33, 34, 35,

36, 37] se describen otros algoritmos o métodos para discriminar los errores por

variación de de frecuencia, armónicos o componentes de CD, algunos de estos aspectos

como los armónicos de alta frecuencia y las componentes de CD se han minimizado

mediante el acondicionador de señal. Por otro lado, si se considera que la variación de la

frecuencia afecta de la misma forma a dos o más UMP en los extremos de una misma

línea de transmisión eléctrica, entonces el error se anula entre ellos, además de que en

un sistema eléctrico la frecuencia varía muy poco. El método de la DFT es inmune a

harmónicos múltiplos de 60Hz

Algoritmo matemático.

Para la medición de la amplitud y fase de una señal eléctrica se aplica la DFT a un

conjunto de muestras obtenidas de una ventana del tamaño de un periodo.

Una señal cosenoidal esta representada en su forma polar o fasorial por

A (2.1)

y

Capítulo 2 - 2

22

ir ZZA (2.2)

r

i

Z

Zarctan

(2.3)

(2.4)

(2.5)

En donde las nX son cada una de las muestras y N es el número de muestras obtenidas

en la ventana de un periodo, para la implementación que aquí se presenta se escogió un

número de 16 muestras, siendo el mínimo aceptable de 12 [2]. Este proceso de cálculo

es aplicado en el sistema eléctrico trifásico a cada una de las tres señales de 60Hz de

voltaje y de corriente.

El problema consiste en implementar con el mínimo de código las ecuaciones (2.2),

(2.3), (2.4) y (2.5) en un DSP-Microcontrolador de punto fijo, con el cual solamente se

pueden efectuar instrucciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división en el

mejor de los casos. En el apartado 2.1.2 (Pruebas del algoritmo) se muestran los

resultados.

A continuación se presenta el desarrollo del programa, mostrando los cálculos como

bloques y posteriormente se describe el algoritmo computacional que calcula el

algoritmo matemático.

Algoritmo computacional. [38]

Se presenta un algoritmo computacional [38, 39] que mediante el uso de look up table

(LUT) y preprocesos se logra una reducción de cálculos, y por lo tanto, una reducción

en el tiempo de proceso. Con la misma técnica se presenta también un algoritmo para la

obtención de la función trigonométrica inversa en el cálculo del ángulo de desfase.

Existen una gran diversidad de algoritmos computacionales que pueden realizar un

mismo algoritmo matemático, sin embargo, para las aplicaciones del sincrofasor [37], la

optimización consiste en mejorar en orden de importancia:

El tiempo de procesamiento y

La minimización del código

N

nnX

NjZi

n

n

2sin][

2 1

0

1

0

2cos

2 N

n N

nnX

NZr

Capítulo 2 - 3

La rapidez del procesamiento no necesariamente depende de la minimización del código

sino de la velocidad de calculo (MIPS) del procesador, sin embargo, un código

minimizado siempre será el más rápido en cualquier procesador.

La alta escala de integración con la que actualmente cuentan los sistemas embebidos

tales como los DSP- Microcontroladores permite discriminar el problema de

requerimiento de memoria.

En este trabajo se presen dos técnicas de programación que permiten flexibilidad en

cuanto a la aplicación del sincrofasor, el “Pos proceso” y el “Preproceso”.

Pos proceso. El pos proceso son programas que en lugar de ser ejecutados en el

medidor sincrofasor, son ejecutados en el procesador central. Si el medidor se conecta a

un procesador central, para concentrar, almacenar y analizar, se puede utilizar también

para procesar información que no se requiere de manera local. Los pos procesos pueden

ser:

Obtención del valor de los fasor; calculados a partir de las componentes real e

imaginaria transmitidas por el sincrofasor y

Obtención del valor de potencias.

Preproceso Si en un equipo de medición digital de propósito específico se conocen la

resolución y los rangos, entonces se pueden desarrollar algoritmos computacionales a la

medida tal que, se pueda lograr el menor código de programa. El preproceso evita

cálculos repetitivos entre constantes, simplifica la programación, y para los casos en que

se requiera rapidez, también reduce el tiempo de ejecución del algoritmo matemático.

El preproceso que aquí se presenta consiste en prepara en una tabla LUT con las

funciones trigonometrías en formato de números enteros. Esta tabla contiene el

resultado de las operaciones aritméticas entre los valores de las funciones y las

constantes que son requeridas en el cálculo del fasor.

LUT para el cálculo de la amplitud.

Si se desarrolla la ecuación (2.4) sin tomar en cuenta el operador “j”se tiene que

16

152sin...0sin

16

2150

XXZi (2.6)

89.5sin8

1...0sin

8

1150 XZXZi (2.7)

La idea es generar la tabla del seno considerando la operación con la constate 1/8 y

posteriormente multiplicar todos los productos 1/8 sin() por un número n2 tal que, cada

uno de los productos queden como un numero entero y proporcionen la resolución

deseada. La idea de multiplicar por n2 es para que una vez que se regrese al valor

original con una división entre n2 , se pueda realizar con simples rotaciones a la

izquierda, si es que el Microcontrolador no tiene la instrucción de división.

Capítulo 2 - 4

Ejemplo para generar la tabla sin(), cos() y el cálculo de la amplitud.

El menor número entero “1/8*sin()* n2 ” se obtiene con n = 7, por lo tanto, la tabla se

puede realizar con n 7 en las tablas 2.1 y 2.2se presenta un ejemplo con n = 7 (27 =

128)

Tabla 2.1 Tabla de senos y cosenos

CteS Tabla sin CteC Tabla cos

n 2pn/16 1/8*sin() CteS* 128 1/8*cos() CteC*128

0 0.000000 0.000000 0 0.125000 16

1 0.392699 0.047835 6 0.115485 15

2 0.785398 0.088388 11 0.088388 11

3 1.178097 0.115485 15 0.047835 6

4 1.570796 0.125000 16 0.000000 0

5 1.963495 0.115485 15 -0.047835 -6

6 2.356194 0.088388 11 -0.088388 -11

7 2.748894 0.047835 6 -0.115485 -15

8 3.141593 0.000000 0 -0.125000 -16

9 3.534292 -0.047835 -6 -0.115485 -15

10 3.926991 -0.088388 -11 -0.088388 -11

11 4.319690 -0.115485 -15 -0.047835 -6

12 4.712389 -0.125000 -16 0.000000 0

13 5.105088 -0.115485 -15 0.047835 6

14 5.497787 -0.088388 -11 0.088388 11

15 5.890486 -0.047835 -6 0.115485 15

Tabla 2.2 Cálculo de la amplitud

Señal X[n] X[n]*Tabla sin Zi/128 X[n]*Tabla cos Zr/128 Amplitud

117 0 83 1872 111 139

130 796 1922

127 1437 1437

123 1818 753

96 1536 0

51 754 -312

-6 -68 68

-64 -392 946

-108 0 1728

-136 833 2010

-140 1584 1584

-117 1730 716

-76 1216 0

-25 370 -153

36 -407 407

85 -520 1256

Capítulo 2 - 5

LUT para el cálculo del ángulo.

Una vez que se tiene la amplitud A y las componentes real rZ e imaginaria iZ , el

ángulo de desfase se puede obtener aplicando una de las tres funciones siguientes:

arctan, arcsin o arccos, si se analizan los argumentos de las tres funciones, iZ / rZ , iZ / A

y rZ / A respectivamente variando el ángulo de 0 a 90° se tiene que:

0 iZ / rZ (2.8)

0 iZ / A 1 (2.9)

1 rZ / A 0 (2.10)

El argumento de la función arctan (2.8) tiene discontinuidades difíciles de manejar en el

DSP de punto fijo, mientras que en las funciones arcsin (2.9) y arccos (2.10) varían de 0

a 1 siendo la función arcsen más apropiada para generar un LUT ya que esta varía en

forma ascendente de la misma forma que el ángulo.

Procedimiento para generar la tabla arcsin

Partiendo de que en las operaciones de división en lenguaje ensamblador se generan dos

resultados, el cociente y el residuo, se procede a realizar una tabla en donde con

cualquiera de los dos resultados se pueda obtener el ángulo. Como se puede observa,

todos los cocientes enteros de la relación iZ / A son 0 excepto uno, cuando iZ = A , por

lo tanto, la idea es generar un conjunto de cocientes en fracciones de 0 a 1 cuyos

residuos sean enteros y que por lo tanto, se puedan utilizar como apuntadores de la

tabla. Se propone el siguiente procedimiento:

Se determina el tamaño de la tabla, es decir el número de pasos que se requieren,

el número de pasos depende de la resolución en grados que se desee. Por

ejemplo, si el registro apuntador es de 8 bits la tabla será de 256 pasos del 0 al

255, esto no quiere decir que la resolución sea 1/255° puesto que la relación

iZ / A varía senoidalmente

Se generan entre 0 y 1 una lista de 256 cocientes cuyos residuos sean los enteros

del 0 al 255. Esta lista tiene la siguiente forma 0, 1/255, 2/255, …, 255/255.

En la tabla 2.3 se muestra como ejemplo una porción de la tabla de 256 pasos. De los

algoritmos aritméticos de la división se puede comprobar que para este caso el residuo

es igual al numerador

numerador = denominador * CocienteEntero + residuo (2.11)

pero como los cocientes enteros son cero.

numerador = residuo (2.12)

Capítulo 2 - 6

Tabla 2.3 Tabla del arcsin

residuo

cociente = ArcSin(n/255)

Radianes

Grados

0 0 0 0

1 0.00392157 0.00392158 0

2 0.00784314 0.00784322 0

3 0.01176471 0.01176498 1

255 0.99999999 1.5707962 90

2.1.2 Pruebas del algoritmo

En este apartado se presentan las pruebas y resultados obtenidos para la medición de la

exactitud en la amplitud y la fase, también se presenta un análisis del tiempo de proceso

para la obtención del ángulo mediante una comparación con el valor obtenido a través

de la serie de Mac Laurin [38, 39].

En este trabajo se ha dado especial énfasis al algoritmo computacional y al uso del DSP-

Microcontrolador, por tal motivo, las pruebas aquí presentadas fueron realizadas sin el

uso del los sensores y acondicionadores de señal. Se utilizó un generador de funciones

para suministrar las señales eléctricas directamente al ADC y un osciloscopio para

corroborar las mediciones. En la figura 2.1 se muestra el diagrama a bloques de la

prueba y en la figura 2.2 las señales observadas en el osciloscopio.

Figura 2.1 Diagrama a bloques del sistema de pruebas del algoritmo

Generador de Funciones

Osciloscopio

Hyper-

terminal

DSP

GPS

TTL a RS-232

ADC

IXNT1

1PPS

Capítulo 2 - 7

Figura 2.2 Señales observadas en el osciloscopio, 1PPS y señal de referencia

Resultados de las pruebas de amplitud.

Las pruebas se hicieron con un voltaje de 220 volts rms. Considerando el 20% por sobre

voltajes, se requiere que el medidor tenga un rango de hasta 264 volts rms o 374 volts

pico, de tal manera que el rango requerido par el instrumento es de 748 volts pico-pico.

El ADC de 10 bits permite tener un rango de 1023 volts pico-pico con una resolución

de 1 volt (que es la resolución requerida), por lo tanto, el rango del instrumento queda

de 0 a 511 volts pico. En la figura 2.3 se muestra la gráfica de la diferencia entre el

voltaje de entrada y el voltaje medido.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 100 200 300 400 500 600

Voltage in volts

Dif

fere

nce

in

vo

lts

Figura 2.3 Diferencia en la medición de magnitud.

El error máximo en el rango fue de 2 volts, 0.39% del rango total, lo cual es aceptable

para la aplicación. Considerando los errores por cuantización del ADC que es de 1/2

LSB y los de redondeo, los resultados son los esperados.

Capítulo 2 - 8

Resultados de las pruebas del ángulo de desfase.

Con una frecuencia exacta de 60.00000Hz el 1PPS se mantiene siempre en la misma

posición con respecto a la señal a medir. Para mover la posición relativa de ambas

señales (figura 2.2), se procedió a variar ligeramente la frecuencia de la señal

cosenoidal, (hacia arriba o hacia abajo, por ejemplo 60.00001Hz), una ves que se

encuentran en la posición deseada se regresa a la frecuencia de 60.00000Hz para hacer

la medición.

En la figura 2.4 se muestra la gráfica de la diferencia entre el ángulo medido en el

osciloscopio y el ángulo medido por el instrumento. Las pruebas se hicieron con dos

tablas, una de 255 pasos y otra de 1023 pasos.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

60 70 80 90

Degrees

Dif

fere

nce

in

deg

rees

255 Steps

1023 Steps

Figura 2.4 Diferencia en la medición del ángulo.

El error máximo en el rango fue de 2 grados, 2.2% del rango total, lo cual es aceptable

para la aplicación. El error en ángulos cercanos a los 90 grados se reduce aumentando

el tamaño de la tabla

Análisis temporal del algoritmo

Una alta velocidad de procesamiento mejoran las características funcionales del

instrumento para las aplicaciones en protecciones y control.

Como se mencionó anteriormente, el tiempo de procesamiento de cualquier algoritmo,

depende en primera instancia de los MIPS del procesador, sin embargo, el algoritmo

que utiliza el menor número de instrucciones siempre será el más rápido. El cálculo del

ángulo es realizado comúnmente mediante la serie del arctan de Mac Laurin - Taylor:

1...53

tan53

1 zzzz 1z (2.13)

en donde z = Zi/Zr

Para lograr una precisión de 2 grados, la serie se extiende hasta el término z5/5 lo cual

implica al menos 10 operaciones y en el mejor de los casos el mismo número de ciclos.

Utilizando la función arcsen y la LUT aquí propuesta las operaciones se reducen a:

Capítulo 2 - 9

1. Zi/A => CocienteEntero (cero) y un residuo.

2. residuo => apuntador de memoria de datos => un ciclo.

3. instrucción TBLR (table read) => tres ciclos.

Por lo tanto, el algoritmo con LUT se realiza en cuatro ciclos de máquina del DSP.

2.2 Algoritmo para relevador de sobrecorriente

instantáneo basado en la variación del ángulo del fasor de

corriente.

El principal problema en la detección rápida de las falla (en menos de un cuarto del

periodo), es que dependiendo del momento en que se presenta la falla la evidencia de tal

es diferente, por ejemplo, si la falla se presenta cuando la señal normal se encuentra en

descenso después del pico del semiciclo positivo, al muestrear la señal las medidas son

muy semejantes a las de la señal normal [40], [41], [20].

En condiciones normales de operación las señales de corriente y voltaje son muy

semejantes a una señal senoidal pura, no obstante, cuando se presenta una falla o

disturbio muchas componentes transitorias son generadas y las frecuencias de las

señales son distorsionadas [42]. Se han hecho estudios de la diferencia angular entre las

tres fases cuando se presenta una falla [43]. Se han hecho estudios de la diferencia

angular en diferentes nodos de una red cuando se presenta una falla [44]. En este trabajo

se propone la detección de la falla mediante la diferencia angular muestra a muestra

entre los ángulos de desfase de la señal de falla y la misma señal un periodo antes de la

falla.

Para medir muestra a muestra el desfase de una señal, se utiliza el algoritmo recursivo

de la DFT. (RDFT) Éste se utiliza por ser el más ampliamente probado [42],[45]. Las

componentes reales e imaginarias se calculan con las siguientes ecuaciones:

N

kXX

NXX Nkkrkrk

2cos

21

(2.14)

N

kXX

NXX Nkkikik

2sin

21

(2.15)

Capítulo 2 - 10

Situación Actual

En un sistema eléctrico de potencia, la frecuencia del voltaje en cada lugar es

ligeramente diferente y siempre cambia, por lo tanto, se presenta un error en el cálculo

del fasor entonado a 60Hz, esto se debe a que los datos muestreados en la ventana de

tiempo de anchura fija no corresponden a un ciclo entero de la señal y por lo tanto, no se

satisface la condición de periodicidad de señal de la transformada de Fourier [46].

En la figura 2.5 se puede observar que para una variación de frecuencia de 59Hz

(desviación = -1) a 61Hz (desviación = 1) se presenta un error de fase menor de ± 10

grados [46], por lo tanto, una diferencia de fase periodo a periodo en condiciones

normales de operación en una red eléctrica deberá ser menor de 10 grados, ya que por

norma la máxima variación en frecuencia en una red eléctrica es de ± 0.5Hz (0.8% de la

frecuencia nominal)

En la figura 2.6 se muestran el error de fase periodo a periodo de una señal de 5

periodos que varia en incrementos y decrementos de frecuencia de 0.1 Hz. desde 59.8Hz

hasta 60.2Hz (en la figura se muestra únicamente el resultado). Como se puede observar

el máximo error de fase es de 3.5 grados. Por lo tanto, existen en todo momento

pequeñas variaciones del ángulo de fase, sin embargo, cuando se presenta una falla, las

variaciones son más evidentes. Como se demuestra más adelante.

Figura 2.5 Error de fase y amplitud que se produce cuando la frecuencia

de la señal es diferente de 60 Hz (desviación = 0), Obtenida de [46].

Capítulo 2 - 11

Algoritmo [69]

En una línea de transmisión durante el día y en condiciones normales de operación los

parámetros de las señales cambian muy lentamente (sin eventos de falla), de tal manera

que, en todo momento, un periodo de la señal normal es semejante al periodo que le

antecede. Por lo tanto, si comparamos el desfase de la señal con falla con el desfase que

debería de tener (el de un periodo anterior), es posible detectar la falla desde la primera

muestra inmediatamente después de que ocurre.

La diferencia de ángulos de desfase periodo a periodo esta dado por.

Δθ = θk – θk-N (2.16)

Si se calcula muestra a muestra los ángulos y se comparan las diferencias Δθ los valores

serán normales hasta que se presenta una falla, ver figura 2.7. (más adelante se muestran

los criterios que determinan una diferencia de ángulos normales).

En el siguiente apartado (simulación) se grafican los cálculos de las diferencias

angulares en una falla a tierra típica [40], [41], [20]. Se presentan los cálculos para fallas

presentes en diferentes instantes (ángulos) de la señal normal. Las líneas punteadas

acotan las señales en un cuarto del periodo después de la falla. Además de que se

presenta la diferencia angular periodo a periodo, se presentan otras relaciones como la

diferencia de las diferencias periodo a periodo, la diferencia angular muestra a muestra

y la diferencia de las diferencias muestra a muestra. Como se puede apreciar en las

gráficas, la diferencia angular periodo a periodo es la que más variación tiene cuando se

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.02 0.04 0.06 0.08time [seg]

Ph

ase

erro

r [°

]

Figura 2.6 Error de fase en una señal que varía de 59.8 a 60.2 Hz.

11 2

2 33

θ1’ – θ1 => Normal

θ2’ – θ2 => Normal

θ3’ – θ3 => Anormal

Figura 2.7 Diferencia de los ángulos periodo a periodo

Capítulo 2 - 12

presenta una falla. En la tabla 2.4 se presenta un concentrado con diferentes variaciones

de porcentaje de amplitud en los diferentes instantes de falla.

En la figura 2.8, se presenta la interpretación gráfica de la tabla 2.4

Como se puede apreciar, las variaciones de ángulo se hacen mínimas en los ángulos de

45, 135, 225 y 315 grados, que es cuando la señal se encuentra a la mitad del recorrido

de ascenso y descenso en ambos semiciclos, sin embargo, estas variaciones son

significativamente mayores a las variaciones normales que se presentan en una señal sin

falla y operando con mínimas variaciones de frecuencia (59.5 a 60.5 Hz) [47]. Figura

Tabla 2.4 Diferencia angular

Fai

lure

’s I

nst

ant

[º]

0 1.1 1.8 3.2 4.6 5.9 11.2 15.1 18.0 20.4 21.3

22.5 1.6 1.6 3.1 4.3 5.3 9.5 12.3 14.2 15.7 16.2

45 2.1 2.5 2.8 3.4 3.8 5.6 7.1 8.3 9.4 9.8

67.5 2.1 2.5 2.8 3.4 3.8 5.6 7.1 8.3 17.2 17.9

90 3.4 4.9 6.4 7.7 9.0 14.1 17.8 20.6 22.9 24.0

112.5 0.8 2.3 3.7 5.0 6.2 11.2 14.9 17.7 19.8 20.7

135 0.5 0.8 1.2 1.7 2.5 5.1 7.4 9.2 10.9 11.8

157.5 1.3 2.2 3.3 4.4 5.4 10.2 14.3 17.8 20.8 21.9

180 1.5 3.0 4.5 5.9 7.2 12.4 16.3 19.3 21.6 22.3

202.5 1.5 2.7 4.0 5.2 6.3 10.5 13.3 15.2 16.7 17.3

225 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 5.4 6.8 8.0 9.0 9.4

247.5 2.7 3.7 4.7 5.7 6.6 10.2 13.0 15.6 16.9 17.5

270 3.2 4.7 6.1 7.4 8.6 13.6 17.2 20.0 22.2 23.3

292.5 3.2 4.8 6.3 7.6 8.9 14.0 17.7 20.5 23.0 24.2

315 2.3 3.1 3.8 4.5 5.2 8.2 10.7 12.8 14.6 15.7

337.5 1.1 0.8 2.0 3.1 4.1 8.9 13.0 16.5 19.5 20.7

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.00 4.00 5.00 6.00 6.45

% of amplitude variation


0

10

20

30

0 45 90 135 180 225 270 315

Failure’s Instant [ º ]

Angular Difference

[ º ]

1.2 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 6 6.45

h

Figura 2.8. Diferencia de los ángulos periodo a periodo con diferentes amplitudes y en

diferentes instantes

Capítulo 2 - 13

2.9

Simulación

En esta simulación se presentan las distintas diferencias angulares con las cuales se

experimentó. Las líneas verticales punteadas limitan un cuarto del periodo de la señal

después de una falla. En las figuras 2.10, 2.11 y 2.12 se presentas las gráficas de dicha

simulación. Como se puede observar, es posible detectar una falla eléctrica midiendo la

diferencia de los ángulos de fase entre la señal de falla y la señal normal (la misma señal

de corriente un periodo antes). En la medida que se tengan más muestras por periodo y

algoritmos de cómputo que calculen en línea el fasor entre muestra y muestra, se tendrá

la posibilidad de poder detectar las fallas desde sus facetas tempranas

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200 250 300 350

Failure instant [°]

Angula

r D

iffe

rence

[°]

6.45% of amplitude variation Maximum normal variationl

Normal phase angle

variation zone

Failure zone

Tolerance zone

Figura 2.9 Zonas de variación angular para una falla de 6.45% de amplitud (falla

proporcionada por CFE).

-30

-10

10

Time [seg]

[°] Angular Difference

Difference of the differences sample to sample

Difference sample to sample

Difference period to period

Difference of the differences period to period

Figura 2.10 Distintas diferencias angulares. La diferencia angular periodo a periodo

es la que más variación tiene cuando se presenta una falla.

Capítulo 2 - 14

Figura 2.11 Variación angular en fallas presentes entre 90 y 270 grados

Amplitude

-8

0

8

90º

time

∆θ

-30

-5

20

¼ T90º

time

Amplitude

-8

0

845º

∆θ

-30

-5

20

45º

∆θ

-8

0

8

315º

time

∆θ

-30

-5

20

315º

time

∆θ

-8

0

8270º

time

∆θ

-30

-5

20

270º

time

Capítulo 2 - 15

Figura 2.12 Variación angular en fallas presentes entre 225 y 135 grados

∆θ

-8

0

8

180º

time

∆θ

-30

-5

20

180º

time

∆θ

-8

0

8225º

time

∆θ

-30

-5

20

225º

Amplitude

-8

0

8135º

time

∆θ

-30

-5

20

135º

time

Capítulo 3 - 1

Capítulo 3

Implementación del instrumento

3.1. Estado actual Como ya se mencionó en el apartado estado del arte, en cuanto a la construcción de un

sincrofasor, el mayor detalle se presenta en la referencia [13] en la cual se describe

mediante un diagrama a bloques la construcción del sincrofasor Macrodyne modelo

1690, en donde se aprecia que el equipo fue desarrollado con un microprocesador

68030. Sin embargo no hay ninguna referencia en la que se indique con detalle el

algoritmo computacional que desarrolla la DFT [26, 27, 28, 29]. No se menciona como

se establece el algoritmo de sincronización entre el GPS y el sistema adquisición de

datos – Microprocesador, tampoco hay descripción (ni aún a nivel de diagramas de

flujo) del desarrollo del software de los algoritmos de cálculos matemáticos, de los

algoritmos de sincronización entre los diversos periféricos y tampoco hay descripción

de los algoritmos de comunicación entre el microprocesador, el GPS y la PC. En cuanto

al hardware, como ya se mencionó, la descripción se reduce a diagramas a bloques. En

resumen, no hay un Know How [30] para el desarrollo y la constricción de un

sincrofasor.

3.1.1. Medición fasorial sincronizada mediante GPS.

El GPS consta en promedio de una constelación de 24 satélites activos. Los satélites se

encuentran girando en órbitas a 18000 kms de la superficie. Mediante órbitas cruzadas

que se repiten dos veces al día se cubre toda la superficie de la Tierra de tal forma que,

en todo momento del día, siempre y cuando se consideren las restricciones de

propagación de las microondas, hay “línea de vista” de varios satélites en cualquier

lugar de la Tierra.

El sistema proporciona a usuarios terrestres que cuentan con un receptor GPS varios

servicios entre los que se encuentran la medición de las coordenadas geográficas, la

altura al nivel del mar, la velocidad, la dirección del desplazamiento, la deriva

magnética en grados, la hora mediante el UTC (universal coordinated time) y la señal de

un pulso por segundo (1PPS) entre otros [5,48]

3.1.2. Señal de sincronía 1PPS

La señal de 1PPS es una señal TTL generada por el sistema GPS receptor (terrestre).

Por omisión, cada vez que se energiza el receptor, se genera el 1PPS aunque no se haya

detectado satélite alguno, una vez que se detecta por lo menos un satélite, el receptor

sincroniza el flanco de subida del 1PPS con la recepción del UTC. La señal de 1PPS

tiene un ancho de pulso de 10 microsegundos, un tiempo de ascenso típico menor de 20

nanosegundos y un periodo de un segundo con una exactitud de más menos 100

nanosegundos. A su vez el UTC está sincronizado con un reloj atómico de Cesium de

alta estabilidad que contiene cada satélite, el reloj de cada uno de los satélites están

Capítulo 3 - 2

sincronizados entre si con un reloj maestro, de tal manera que, todos los satélites envían

el UTC virtualmente al mismo tiempo, el 1PPS llega a cualquier lugar de la tierra con

una exactitud de 1 microsegundo, que traducido a ángulo de desfase es de 0.021 grados.

Para cualquier aplicación en donde se utilice el GPS para sincronizar, se deberá usar el

flanco de subida del 1PPS ya que este se sincroniza a partir de la recepción del UTC. En

la figura 3.1 se muestra el diagrama a bloques del sistema de medición, el GPS terrestre

recibe la señal de uno o más satélites, (para poder calcular las coordenadas terrestres por

ejemplo, se requiere que el receptor capte por lo menos tres satélites), una vez que el

receptor detecta una señal de buena calidad de por lo menos un satélite, decodifica el

UTC y lo trasmite en sincronía con la señal de 1PPS a cada uno de los medidores

fasoriales (PMU) [1,9]. Cada PMU utiliza la señal de 1PPS para sincronizar sus

respectivos temporizadores de muestreo, calcula el fasor y lo trasmite junto con el UTC

a un procesador central que es el que se encarga de calcular los desfases de cada nodo

de medición.

Figura 3.1 Sistema de medición

3.1.3. Medición de líneas de transmisión eléctrica [49, 20]

Dado un sistema eléctrico, en donde se asigna un nodo de referencia y un parámetro con

un desfase cero (figura 3.2) y se conocen para todos y cada uno de los demás nodos los

valores eficaces (rms) de los fasores de voltajes y corrientes, los valores de potencias

generadas o consumidas se calculan aplicando las ecuaciones correspondientes:

*VIS , cosVIP , sinVIQ , 22 QPS ,y cos.. PF , θ = δ – β, en

donde δ = Ángulo de fase del voltaje, β = Ángulo de fase de la corriente

GPS1 GPS2 GPSn

PMU 1

(A1, θ1)

PMU 2

(A2, θ2)

PMU n

(An , θn)

Cálculo de los

ángulos de desfase

Procesador Central

Capítulo 3 - 3

Figura 3.2 Sistema eléctrico con la asignación del nodo 1 como de referencia.

Con los valores de los fasores y aplicando las convenciones que se muestran en la figura

3.3 los problemas de flujos de potencia y pérdidas en líneas de transmisión se reducen al

análisis de un circuito eléctrico [50].

Figura 3.3 Convención de signos en el flujo de potencia

Para medir la impedancia total en serie en una línea de transmisión corta, figura 3.4 se

aplica la ecuación [50]

I

VVZ 21 (3.1)

En donde 1V , 2V e I son los fasores cuyos ángulos de desfase son δ1, δ2 y δI

respectivamente.

V11

II

V22

Figura 3.4 Línea de transmisión corta

+ Potencia absorbida

- Potencia suministrada

V2V2

I2I2

1 3

2

1

V10

I1I1

V3V3

I3I3

Capítulo 3 - 4

Para la línea corta de transmisión se tiene que la potencia real que fluye del nodo 1 al

nodo 2 a través de la línea de transmisión con impedancia Z, en donde R = 0 es:

1221

12 sinX

VVP (3.2)

Las pérdidas de potencia en una línea de transmisión se pueden obtener con la suma

algebraica de las potencias

21 SSSP

Para medir la impedancia y la admitancia en la línea de transmisión representada por un

circuito en PI (figura 3.5) se tiene que:

YVI

VVZ

22

21

2

)(2

(3.3)

y

)(

)(2

12

21

VV

IIY

(3.4)

Figura 3.5 Circuito equivalente de una línea de transmisión

3.2 Cálculo del fasor

En el capítulo 2 se demostró como mediante el proceso de la DFT se obtiene el fasor de

las componentes de 60Hz de las señales eléctricas. En el algoritmo, primero se calculan

las componentes real e imaginaria del fasor y a partir de estos resultados se calcula la

amplitud y el ángulo de fase de la señal con respecto a la primera de las dieciséis

adquisiciones de la ventana de cálculo. En el apartado “Medición fasorial sincronizada

mediante GPS” se describe la necesidad de contar con un procesador remoto, de estas

situaciones se desprenden dos ideas para el cálculo del fasor.

1. Que en el sincrofasor de manera local, se calculen las componentes real (Zr)

e imaginaria (Zi) y que también en el mismo sincrofasor se calculen la

2I 1I Z

2

Y

2

Y 1V

2V

Capítulo 3 - 5

amplitud y la fase. Con este método se podría calcular y visualizar en el

punto de medición otras mediciones locales tales como potencias.

2. Que el sincrofasor calcule las componentes real e imaginaria, que el

sincrofasor transmita las componentes al procesador central y que el

procesador central calcule mediante un “Posproceso” las amplitudes, las

fases y otros parámetros de los nodos. Con este método se liberaría al

procesador del sincrofasor del cálculo de la amplitud y la fase que para

ciertas aplicaciones no tendrían ningún sentido de manera local.

3.

Posproceso. Si el sistema se conecta a un procesador, para concentrar, almacenar y

analizar, entonces se puede utilizar también para procesar. Se le da la connotación de

posproceso porque el resultado final no se procesa o calcula en tiempo real, sino en un

tiempo posterior dentro del procesador. Con lo anterior se tiene la ventaja de que se

libera al sincrofasor de procesar información que no se requiere de manera local.

Dependiendo de las necesidades en conocer cierta información de manera local, el

posproceso se puede aplicar en diversos niveles, la más básica sería asignar al

sincrofasor únicamente la tarea de calcular las componentes real e imaginaria, es decir,

en donde la medición local no aporte suficiente información y se requiere de por lo

menos la información de otro sincrofasor, por ejemplo, en la medición en tiempo real de

nodos remotos de una líneas eléctrica. Un nivel intermedio sería que el sincrofasor

calcule el fasor y que el procesador central dependiendo de la aplicación genere los

cálculos necesarios, tales como potencias. Un nivel mínimo de posproceso sería que el

sincrofasor calculase incluso las potencias y el procesador central calcule únicamente

los desfases. En la figura 3.6 se muestra mediante un esquema los dos niveles extremos

Figura 3.6 Niveles de posprocesamiento

3.3 Medición de los ángulos de desfase

Para calcular el desfase en un nodo determinado, es necesario que uno de los ángulos de

una de las señales, se seleccione como señal de referencia, con esta referencia el desfase

Sincrofasor

Calcula Zi, Zr, A y

otros parámetros

Procesador central remoto

Calcula los desfases.

Sincrofasor

Calcula Zi y Zr

Procesador central remoto

Calcula A , otros parámetros

y los desfases.

Transmite Zi y Zr

a) Nivel bajo

b) Nivel alto

Transmite A y

otros parámetros

Capítulo 3 - 6

de las señales de los demás nodos se calculan con una resta, como se puede observar en

la figuras 3.7 y 3.8

El procedimiento del cálculo del desfase de las señales de la figura 3.7 se ejemplifica en

los siguientes pasos:

La referencia 1PPS se recibe al mismo tiempo en cada uno de los medidores.

Se calcula el ángulo de desfase de la señal medida en el nodo con respecto a la

referencia 1PPS, dando como resultado los ángulos 1 y 2; 1 y 2

respectivamente.

Cada medidor transmite por algún medio de comunicación a un procesador

central los ángulos calculados junto con el tiempo específico en el que se hizo la

medición.

El procesador central calcula el desfase. Si se toma como referencia el medidor 1

(1). El desfase de la señal del medidor 2 con respecto a la señal del medidor 1

está dado por 2 = 1-2.

Para el resto de los nodos se sigue el mismo procedimiento, de manera genérica

se tendría que para el nodo n n = 1-n.

Con el fasor de cada uno de los nodos, se calculan otros parámetros tales como

Potencias, Impedancias y Admitancias.

Figura 3.7 Cálculo del ángulo de desfase

Capítulo 3 - 7

Figura 3.8 Sincronización de la medición

En la figura 3.9 se muestra el diagrama de flujo más general del proceso

Figura 3.9 Proceso general del medidor

3.4 Requerimientos para la implementación de un

sicrofasor.

En el apartado 3.1.1 Medición fasorial sincronizada mediante GPS, se hizo una

descripción general del sistema de medición, en la figura 3.1 Sistema de medición, se

muestra el diagrama a bloques más general del sistema. Se empezará por definir los

requerimientos para el subsistema GPS. Éste deberá contar con una salida que

proporcione la señal 1PPS, deberá contener también un canal de comunicaciones

mediante el cual se pueda consultar el UTC. Las señales eléctricas a medir pueden

variar en amplitud y ser del orden de los cientos de volts y de amperes, por lo tanto, el

sistema deberá contar con sensores y acondicionadores de señal que transformen la

amplitud de las señales a medir en señales que puedan ser introducidas a un Convertidor

Análogo Digital (ADC). Una vez que se han digitalizado las señales, un procesador

digital se encarga de calcular el fasor. La señal de sincronía 1PPS del GPS, indica al

procesador el inicio de la primera de las N muestras de la ventana de cálculo de la DFT,

para este diseño se seleccionaron 16 muestras [51, 52], por lo tanto, el periodo de

muestreo para las adquisiciones subsecuentes tendría que ser de 0.00104166 segundos

para la señal de 60 Hz. El UTC también deberá ser recibido por el procesador digital

Cálculo del fasor en cada uno de los nodos y

en cada una de las tres señales de corriente y voltaje

Cálculo del desfase entre señales

Cálculo de otros parámetros

Potencias, Impedancias y Admitancias

Capítulo 3 - 8

para que junto con el fasor sean transmitidos al procesador central. De tal forma que

también es requerido un sistema de comunicaciones tanto locales como remotas.

En un sistema con procesadores digitales, la comunicación entre el CPU, la memoria y

los dispositivos de E/S es del tipo maestro esclavo, en donde el CPU es el maestro, por

tal motivo, la señal de 1PPS debe ser detectada en primera instancias por el CPU y no

por el ADC como erróneamente se han presentado en algunos diagramas a bloques de

los artículos citados en la referencia con los números [3, 6, 8 y 20] En la figura 3.10 se

muestra el diagrama a bloque que ilustra los requerimientos anteriores.

Figura 3.10 Diagrama a bloques general del sincrofasor.

Subsistema acondicionador de señales. Está constituido por los sensores de voltaje,

sensores de corriente, acondicionadores de nivel y filtros. Las características de este

subsistema dependen de dos factores principalmente: El rango de medición de voltajes y

corrientes y el voltaje de conversión del ADC. En la figura 3.11 se muestra una primera

aproximación de este subsistema.

Sensores. Como sensores de voltaje y de corriente se han venido utilizando los

trasformadores de potencial (TP) y los trasformadores de corriente (TC)

respectivamente, con las principales características de que aíslan eléctricamente el

sistema a medir con el sistema de medición, presentan una alta impedancia de entra y

una baja impedancia de salida, existen actualmente una gran cantidad de fabricantes que

comercializan TP y TC par la detección en diferentes rangos de medición de voltaje y

corriente. Dentro de los criterios de selección de los sensores se deben tomar en cuenta

principalmente los siguientes factores:

Que no distorsionen la forma de onda de las señales.

A

D

C

Línea eléctrica de AC

Acondicionador de

señales

Procesador

digital

GPS

UTC

1PPS

Comunicaciones

Comunicación

remota

Capítulo 3 - 9

Que no exista desfase entre la señal medida y la entregada o que todos los

diferentes sensores tengan el mismo desfase.

Que el nivel de voltaje entregado por los sensores sean muy cercanos (por

arriba) al voltaje de entrada del ADC, que normalmente es de 0 a 5 ó de 0 a 3.3

volts.

Figura 3.11 Acondicionador de señales.

El acondicionador de nivel, ajusta la señal a los niveles de voltaje necesarios para que

queden dentro del rango de conversión del ADC, que como ya se menciona es de 0 a 5 ó

de 0 a 3.3 volts. El acondicionador de nivel está constituido por un atenuador (o

amplificador si es el caso) pasivo o activo, un filtro y un voltaje de referencia de CD. El

atenuador o amplificador permite el ajuste al nivel pico a pico de la señal. El filtro

permite el paso de la señal fundamental y las armónicas deseadas. El voltaje de

referencia de CD (voltaje de offset) se adiciona a la señal de AC entregada por el

atenuador para ajustar la señal, de cero volts al máximo voltaje del ADC. En la figura

3.12 se muestra un diagrama a bloques del acondicionador de nivel.

Figura 3.12 Acondicionador de nivel.

Atenuador. Cuando los sensores son de baja impedancia de salida, es más deseable

atenuar que amplificar la señal, ya que la atenuación se puede hacer con elementos

pasivos, mientras que para la amplificación siempre es necesario utilizar elementos

activos. En la figura 3.13 se presentan los dos métodos de solución. En el caso de

utilizar elementos activos, los elementos más probados y confiables son los

Sensor ADC

Acondicionamiento de

nivel y Filtrado

V

t

Acondicionamiento de

nivel y Filtrado

3.3 ó 5

t

V

3 TC´s

3 TP´s

offset Atenuador

o

Amplificador

y

filtrado

Capítulo 3 - 10

amplificadores operacionales, que presentan una alta impedancia de entrada y una baja

impedancia de salida. Para el caso de utilizar elementos pasivos lo más sencillo y

confiable es el divisor de voltaje. La baja impedancia de salida del TP hace del

atenuador por divisor de voltaje el circuito ideal.

Figura 3.13. Métodos para la atenuación: a) Con elementos activos,

b) Con elementos pasivos.

Filtro. Dentro de las aplicaciones alternas para la que se ha pensado este sistema se

encuentra la del análisis armónico y calidad de la energía, por tal motivo se ha decidido

incluir un filtro pasa bajas cuya frecuencia de corte se determina en las especificaciones

generales del sistema. Interconectando el divisor de voltaje con el filtro pasa bajas, se

tiene el diagrama de la figura 3.14

R1

C1

Vi R2

Vo

Figura 3.14 Circuito atenuador con filtro pasa bajas.

De donde

io VRR

RV

21

2

(3.5)

pcf

2

1 (3.6)

CReqp (3.7)

21

21

RR

RRReq

(3.8)

CRR

RRf c

21

212

1

(3.9)

R2 1k

R1

1k

Vi Vo R1

R2

Vi Vo iZ

0oZ

a) b)

Capítulo 3 - 11

SRCRRR

RsH

11221

2

(3.10)

Offset. Conocidos los requerimientos de entrada del ADC, se pueden determinar los

niveles de voltaje del offset, que de manera genérica está dado por:

2

ADCofs

VV (3.11)

en donde:

VADC Es el voltaje máximo de entrada del ADC

Existen dos métodos comúnmente utilizados para generar el voltaje de offset: utilizando

referencias de voltaje disponible en un circuito integrado y utilizando un divisor de

voltaje, la elección del método dependerá del voltaje, del ADC que se seleccione, en la

figura 3.15 se muestran los circuitos para el offset.

Figura 3.15 Circuito offset a) mediante un circuito integrado voltaje de referencia, b)

mediante un divisor de voltaje

Subsistema ADC. La principal característica a analizar para la selección del ADC es la

resolución en número de bits. La velocidad de conversión no representa ningún

problema, ya que los tiempos más lentos de conversión para los ADC actuales fluctúan

en alrededor de los 32 microsegundos, lo cual significa que se pueden hacer 520

adquisiciones en un periodo de una señal de 60 Hz. Como el sistema está planeado para

sistemas trifásicos, por lo tanto se requiere medir tres señales de voltaje y tres de

corriente, de tal modo que el ADC deberá contar con un mínimo de 6 canales. El ADC

entrega un número fijo de datos dependiendo del número de bits, es decir, que divide en

un número fijo de divisiones la señal de voltaje de entrada. Este número de datos o

divisiones (Ndiv) está dado por

Ndiv = 2n–1 (sin incluir el cero) (3.12)

Por otro lado, la cantidad de divisiones requerida en la medición (Ndiv), está

determinada por el rango de medición, la resolución de la medición y se relacionan de la

siguiente manera:

R

LIRLSRNdiv

(3.13)

en donde:

b)

V Voff

Voff

V a)

Capítulo 3 - 12

LSR es el límite superior del rango, LIR es el límite inferior del rango y R es la

resolución.

De tal manera que el número de bits n necesarios para poder representar Ndiv a partir

del rango y la resolución, se obtiene igualando (3.12) y (3.13)

R

LIRLSRn

12 (3.14)

Despejando a n

2

1

n

R

LIRLSRn

n

(3.15)

En la ecuación (3.8) el número de bits que se obtiene puede ser un número fraccionario,

pero, como el número de bits solo puede ser entero, entonces:

)2(

1

.n

R

LIRLSRn

MASREDONDEARn

(3.16)

Subsistema GPS. Dependiendo de la aplicación, existen comercialmente diferentes

sistemas de receptores GPS. Desde los sistemas cerrados, en los cuales el medio para

obtener la información es mediante una pantalla de cristal líquido (LCD) y un teclado,

hasta circuitos integrados para desarrollar el receptor a la medida. Lo importante es que

el receptor GPS tenga la salida de 1PPS con el nivel de voltaje de 5 o de 3.3 volts para

que pueda ser detectada por el procesador digital. Y que adicionalmente, disponga de

una salida serial que normalmente es del tipo Transmisor Receptor Asíncrono Universal

(UART) para la lectura de UTC. Existen diversos protocolos GPS de comunicación de

los cuales se puede obtener el UTC, cada una de sus características se pueden consultar

en la referencia [48]. El protocolo estándar industrial NMEA 0183 (National Marine

Electronics Association) (Trimble Navigation Limited, 2000) resulta ser el más

económico y sencillo de utilizar, requiere de una sola vía de comunicación (simplex) y

utiliza el código estándar ASCII. Otros protocolos además de ser de dos vías (full

duplex), requieren del desarrollo de software para la interpretación de los comandos en

código binario, por otro lado, el NMEA por su estatus de protocolo estándar, es

manejado por la mayoría de los receptores GPS.

Subsistema procesador digital. Todos los sistemas con procesadores digitales están

compuestos por una unidad central de procesos (CPU) y periféricos. Los periféricos en

un sistema digital son el oscilador, las memorias y los dispositivos de entrada y salida

(E/S). El mínimo de periféricos requeridos por un sistema digital son el oscilador y la

memoria de programa ver figura 3.16.

Capítulo 3 - 13

Figura 3.16 Sistema con procesador digital: a) Clasificación de periféricos, b) Diagrama

a bloques más general.

Al mínimo de componentes que constituyen al sistema digital, se le agregan los

periféricos requeridos para el cálculo del sincrofasor. Para poder determinar los

periféricos necesarios, se parte del siguiente análisis.

Requerimientos del sistema mínimo: El mínimo de periféricos necesarios que permiten

hacer funcionar a un procesador son el oscilador y la memoria de programa, el oscilador

proporciona los pulsos de reloj que necesita la unidad de temporización y control del

procesador para ejecutar en cada pulso una o más de las micro instrucciones que

componen una instrucción. La memoria de programa almacena los códigos de operación

de las instrucciones que componen el programa del sincrofasor. Actualmente existen el

mercado memorias de programa no volátiles desde 8Kbytes, la cual por comparación

con otras aplicaciones, es suficiente para albergar el programa del sincrofasor, ver figura

3.17

Figura 3.17 Sistema mínimo

Requerimientos de periféricos para el cálculo del algoritmo de la DFT: Además del

ADC que ya se mencionó, los cálculos derivados de la DFT generan la necesidad de

tener variables o localidades de memoria en donde se vayan almacenando los cálculos

matemáticos, este almacenamiento se hace en memoria RAM al igual que la memoria

de programa, existen en el mercado memorias RAM desde 8Kbytes, que como el

sistema no está pensado para funcionar como “Dataloger” es suficiente.

Requerimientos de sincronización: La entrada del 1PPS al procesador puede ser de dos

formas. La primera opción es conectar el 1PPS a una entrada de un puerto paralelo, para

detectar mediante poleo la presencia del 1PPS, es decir, que utilizando un lazo (loop) de

instrucciones se tendría que revisar constantemente la entrada para detectar la presencia

OSC CPU

Memoria de Programa

CPU Periféricos

b)

CPU Oscilador

(osc)

Memoria

E/S

a)

Capítulo 3 - 14

del pulso. La segunda opción es conectar el 1PPS a una interrupción del procesador a

través de un controlador de interrupciones, ver figura 3.18. La segunda opción permite

al CPU realizar otras tareas mientras llega el pulso, además, la mayoría de los

procesadores digitales, llámense microprocesador, microntrolador o DSP, cuentan con

terminales para interrupciones externas, por lo tanto, se recomienda que la señal del

1PPS sea detectada por hardware mediante una interrupción externa que pueda ser

activada con los flancos o transiciones de subida del pulso [48].

Figura 3.18 Detección del 1PPS: a) Por Poleo, b) Por Interrupción

Después de detectado el flanco de subida del 1PPS, se procede a la adquisición del

conjunto de las 16 muestras en la ventana de un periodo de la señal de 60Hz, para tal

efecto, se deben de generar los períodos de muestreo de 0.001041666 segundos

(frecuencia de muestreo de 960Hz). Para generar con exactitud dichos periodos, se debe

utilizar un temporizador que sincronice a su vez a la señal para el inicio de conversión y

de muestreo y retención (S/H) del ADC. El temporizador deberá tener una bandera de

sobre flujo o una salida por comparación que se utilice como señal de sincronía.

Requerimientos de comunicación: Como ya se mencionó en el subsistema GPS, el UTC

es transmitido mediante un sistema de comunicaciones del tipo UART. Para la

comunicación remota, ya sea mediante MODEM o Tarjeta de Internet a través de una

PC local se utilizan los sistemas de comunicación serial UART en estándar RS-232 o

mediante USB. Por lo tanto, el puerto serial tendría que ser del tipo UART y/o USB.

Como se mencionó en el apartado “Medición de los ángulos de desfase”, después de

que el sincrofasor recibe el 1PPS, el UTC y calcula el fasor, transmite la información al

procesador central, de lo anterior se deduce que el requerimiento mínimo del puerto

serial es de un receptor (del GPS al Puerto serial) y un transmisor (del Puerto serial al

procesador central). Sin embargo para ciertas aplicaciones sería probable que se

requiriese una comunicación del procesador central al puerto serial del sincrofasor. En

la figura 3.19 se muestran ambos requerimientos.

CPU

Controlador de

Interrupciones 1PPS INT

Puerto Paralelo

CPU

Bus

1PPS

b)

a)

Capítulo 3 - 15

Figura 3.19 Sistema de comunicación serial: a) Requerimiento óptimo, b)

Requerimiento mínimo

Otros requerimientos: Los periféricos descritos anterior mente son suficientes para el

desarrollo del sincrofasor. Si se requiriese algún ajuste o programación de parámetros al

sincrofasor, este lo podría hacer el procesador central mediante el canal de

comunicaciones bidireccional (inciso a) fig 3.19). Sin embargo si se desea que de

manera local se programen parámetros o se visualicen mediciones, es necesario que se

agreguen puertos paralelos mediante los cuales se conectarían las interfases con el

usuario, por ejemplo, teclados y pantallas, los cuales se pueden conectar en un puerto

paralelo de 16 bits. En la figura 3.20 se muestra el diagrama a bloques general del

subsistema Procesador Central con los subsistemas de comunicaciones y el ADC.

Figura 3.20 Sistema Procesador Digital

OSC CPU

Memoria de Programa

Memoria de Datos

Controlador de

Interrupciones

Puerto Serial

Puerto Paralelo

GPS

IPPS UTC

Local

Remota

ADC

S/H

Temporizador

Bus CPU

Puerto Serial

RX

GPS

UTC

Sistema de Comunicación

Remota TX RX

CPU

Puerto Serial

RX

GPS

UTC

Sistema de Comunicación

Remota TX

Bus

a)

b)

Capítulo 3 - 16

3.5 Especificaciones del sincrofasor a implementar

Partiendo de la aplicación propuesta para el sincrofasor y de los recursos disponibles

para el desarrollo y pruebas, se proponen las siguientes especificaciones generales. Para

la medición de los parámetros de las líneas de transmisión, es suficiente una resolución

de un grado en la medición de la fase y de un volt en la medición de la amplitud. Con

respecto al rango en la medición de la amplitud, se propone de 0 a 120 volts (más 20%

debido a sobretiros ocasionados en las fallas), considerando que este es el rango de

funcionamiento de la línea de transmisión a escala con la que se cuenta en el laboratorio

de pruebas, las especificaciones anteriores se describen en la tabla 3.1

Partiendo de los requerimientos de diseño y de las especificaciones generales del

sincrofasor, se generan las especificaciones de cada subsistema, las de algunos ya

vienen dadas desde los requerimientos de diseño, por ejemplo, las del subsistema GPS,

sin embargo, la mayoría se definen con las especificaciones generales. En la tabla 3.2 se

resumen las especificaciones del subsistema GPS.

Capítulo 3 - 17

Tabla 3.1 Especificaciones generales del sistema

Especificaciones Generales

Requerimientos de medición Características

Fases 3 fases

Frecuencia 60 Hz

Análisis armónico 9° armónica

Rango de medición en voltaje* 0 a 120 volts + 20%

Resolución en voltaje* 1 volt

Rango de medición en corriente* 0 a 5 amperes

Resolución en corriente * 0.1 amperes

Rango del ángulo de fase 0 a 359 grados

Resolución del ángulo de fase 1 grado

*Estos valores están determinados por los transformadores de corriente y voltaje (TC

TP) utilizados, por tal motivo, los rangos y la resolución se pueden determinar

cambiando dichos transformadores.

Tabla 3.2 Especificaciones del subsistema GPS

GPS

Requerimientos Capítulo 4 Características

IPPS Periodo T = 1s

Amplitud 5V ó 3.5V

UTC Disponible en puerto serial UART

Protocolo NMEA

Especificaciones de los sensores. Para el caso de los TP, considerando el 20%

adicional por voltajes de sobretiro en el rango de medición para líneas de 120 volts, se

tiene que el rango de medición contemplando el sobre tiro es de 144 volts, si se ajusta a

valores comerciales de TP, se tiene que el TP más apropiado es el de 240 a 12 volts, de

tal forma que, como acondicionador de nivel, se tendría que utilizar un atenuador. Para

el caso de los TC, los modelos comerciales tienen una relación de conversión de XX:5

en donde el valor XX corresponde a la máxima corriente de entrada y el 5 a la máxima

Capítulo 3 - 18

corriente de salida proporcional a los amperes de entrada. Como el rango total de

corriente a cubrir es de 0 a 5 amperes, entonces, se requiere de un TC con una relación

de corriente de 5:5. De tal forma que con una resistencia de 1 ohm se tiene un voltaje de

salida de 5 volts, que es uno de los máximos voltaje de entrada estándar de los ADC.

En el caso de emplear un ADC de 3.3 volts, entonces se tendría que utilizar un circuito

atenuador. En la tabla 3.3 se concentran las especificaciones del sensor.

Especificaciones del filtro, atenuador y offset. Como se indica en los requerimientos

generales del sistema, el sincrofasor está planeado para realizar, medición de armónicos,

de tal modo que si se desea analizar hasta el 9 armónico, un filtro pasa bajas con

frecuencia de corte de 540 Hz. es el adecuado. Sin embargo una frecuencia de corte de

1kHz. es recomendada en el estándar 519 de la IEEE [53], en donde se estipula que: El

efecto de interferencias producidas por corriente y/o tensiones no es uniforme a lo largo

de todo el espectro de audio. Los equipos de comunicaciones en combinación con el

oído humano, presentan una sensibilidad para audiofrecuencias que tiene un máximo a

una frecuencia cercana a 1,000 Hz.

Los TP y los TC, entregan voltajes de salida por arriba de 5 volts, que es el máximo

voltaje de entrada de los ADC, por lo tanto, independientemente de que el voltaje del

ADC sea de 5 o 3.3 volts, el acondicionador de nivel es del tipo atenuador. En el caso

de que el ADC sea de 5 volts y la impedancia de salida del TC sea la apropiada,

entonces se puede hacer una conexión directa del TC al ADC. De acuerdo a la ecuación

(3.11) el voltaje de offset dependiendo del voltaje del ADC pudieran ser 1.66 volts o 2.5

volts. En la tabla 3.3 se muestran las especificaciones.

Tabla 3.3 Especificaciones de los sensores, del filtro, atenuadores y offset.

Sensores

Requerimientos Características

TP Voltaje de entrada 240V

Voltaje de Salida 12V @ 500mA

TC Relación de Corriente 5:5

Atenuador TP Divisor de voltaje de 12 a 5 ó 3.3V

Atenuador TC Seguidor de Voltaje

Circuito Offset Voltaje de referencia de 2.5V ó 1.66V

Especificaciones del ADC. El rango de voltaje considerando el 20% de sobretiro es de

0 144 volts, que en volts pico son 203.64 volts y 407.29 volts pico-pico, aplicando la

ecuación (3.16) utilizando un volts de resolución, se tiene que n = 9 bits. Por lo tanto se

selecciona un ADC de 10 bits. Las demás especificaciones se generaron en los

requerimientos de diseño.

Capítulo 3 - 19

Especificaciones del Sistema Digital. Para la aplicación del sincrofasor en la medición

de líneas de transmisión, midiendo el fasor cada segundo, la selección de la CPU se

queda con un mínimo de limitaciones, pudiendo realizar esta tarea un microncontrolador

o un microprocesador o un DSP de 8 o más bits, sin embargo, si se desea que el mismo

sistema se emigre a otras aplicaciones, se recomienda que se seleccione desde un

principio una CPU con buenas características funcionales en cuanto a velocidad de

cálculo y número de bits. Actualmente existen en el mercado DSP, microprocesadores y

microcontroladores de 16 bits o más y de 20 MIPS o más. Por el momento y con la

finalidad de generar el diagrama a bloques específico y detallado se deja como única

característica que el CPU cuente con una interrupción externa. En la tabla 3.4 se

concentran dichas especificaciones.

Tabla 3.4 Especificaciones del ADC y Sistema Digital

ADC y Sistema Digital

Requerimientos Características

ADC

Resolución: 10 bits mínimo

Canales: 6 canales mínimo

Tiempo de conversión: 32 microsegundos máximo

CPU DSP o microprocesador con una interrupción externa con

activación por flancos de subida

Memoria de Programa 8 Kbytes mínimo

Memoria de Datos 8 Kbytes mínimo

Puerto Serial 1 UART con baud rate variable mínimo

Puerto Paralelo 16 bits mínimo

Temporizador Con bandera de sobre flujo o con salida por comparación

3.5.1 Diseño a bloques especifico.

Clarificados los requerimientos de diseño, seleccionadas las soluciones y dadas las

especificaciones generales del sistema y subsistemas, se juntan los bloques para generar

un diagrama a bloques detallado del sincrofasor. El siguiente paso después de este

diagrama sería seleccionar componentes comerciales para todos y cada uno de los

bloques descritos, para a su vez, generar otro diagrama a bloques con los elementos con

los cuales se implementará la solución final. En la figura 3.21 se describe mediante un

diagrama a bloques la arquitectura general del sincrofasor

Capítulo 3 - 20

Figura 3.21 Diseño a bloques de la arquitectura del sincrofasor

OSC CPU

Memoria de Programa

Memoria de Datos

Controlador de

Interrupciones

Puerto Serial

(SCI)

Puerto Paralelo

GPS

IPPS UTC

Local

Remota Sistema de

comunicación

remota

Rx

Rx

Tx

Temporizador

S/H

ADC

6 canales

Capítulo 3 - 21

3.6 Selección y justificación de componentes

Selección del CPU. Si se compara la figura 3.20 Sistema Procesador Digital con la

figura 3.21 Diseño a bloques de la arquitectura del sincrofasor, se observa que la mayor

parte de los bloques están concentrados en el sistema procesador digital. El CPU a su

vez, por su carácter de maestro en el sistema maestro esclavo de los sistemas con

procesadores digitales, debe ser el primer dispositivo a seleccionar, puesto que los

demás elementos se deberán subordinar a las características de éste. Actualmente las

opciones más usuales para cubrir la función del CPU son: los microcontroladores, los

microprocesadores y los DSP, en lo que se refiere a concentración de periféricos junto

con un CPU, los microcontroladores son la mejor opción, sin embargo los DSP y los

microprocesadores cuentan con mejores características funcionales en cuanto a

velocidad de procesamiento. Los microprocesadores están diseñados para manejar

grandes cantidades de memoria, lo cual hacen del sistema mínimo un sistema muy

complejo de implementar, esta desventaja, aunada con que el sistema no requiere de

tanta memoria hacen del DSP una mejor opción. Consultando la referencia [54]

“POCKET GUIDE TO DSP PROCESSORS AND CORES” se encuentra que existen

los “hybrid DSP/microcontroller core” que están constituidos por un DSP y periféricos

integrados en una misma pastilla de circuito integrado (Chip). En este tipo de

dispositivos se concentran las mejores características de un microcontrolador, que

principalmente son los periféricos integrados con un CPU, con las mejores

características del DSP que principalmente es la alta velocidad de procesamiento. En la

guía se observa que dentro del mismo rango de características funcionales, los DSP

microcontroladores de la familia C2000 de Texas Instrument son los más económicos (2

US dólares). Cabe mencionar también que, la familia C2000 fue la primera plataforma

en la que tanto TI como Terceras Partidas, desarrollaron módulos de evaluación y

herramientas de programación que facilitan el diseño y el desarrollo.

En la guía de selección de la familia C2000 [55] se presentan dos subfamilias la C24X

de 16 bits y la C28X de 32 bits, ambas subfamilias cumplen con los requerimientos para

el diseño del sincrofasor, con la diferencia de que el dispositivo más económico de la

familia C28X tiene un costo de 18 US dólares, que es relativamente más costoso

comparado con el más económico de la familia C24X que es de 2 US dólares. Dentro de

la subfamilia C24X, el dispositivo LC2407A, es el más completo en cuanto a cantidad

de memoria y dispositivos de E/S integrados. Comparando el diagrama a bloques de la

figura 3.21 con la figura 3.22 diagrama a bloques de la arquitectura interna del

LC2407A [56, 57] se observa que la mayoría de los periféricos necesarios para la

implementación del sincrofasor, se encuentran embebidos en el dispositivo. En la tabla

3.5 se describen las características específicas de los periféricos.

Capítulo 3 - 22

Figura 3.22 Arquitectura del LC2407A [56]

De acuerdo a los requerimientos antes descritos, se tiene que el LC2407A cuenta con 16

canales de ADC de 10 bits, un tiempo de conversión de 375 ns y un VADC de 3.3 volts,

32K de memoria de programa Flash con palabra de 16 bits, 2.5 K de memoria de datos

RAM con palabra de 16 bits, controlador de interrupciones con 5 interrupciones

externas activas con flancos de subida y de bajada, UART puerto serial SCI con

BaudRate variable, manejador de eventos (timer) con salida para activación de inicio de

conversión del ADC (ADCSOC), puertos paralelos con capacidad de 41 terminales.

Capítulo 3 - 23

Tabla 3.5 Características del los periféricos del LC2407A [56]

Como se mencionó anteriormente, la familia C2000 cuenta con las herramientas de

hardware y de programación que facilitan el diseño de sistemas con DSP, Existen

módulos de desarrollo denominados “stand-alone module” los cuales cuentan con el

DSP y el mínimo de componentes que permiten la programación de la memoria flash

“on board”, es decir con el DSP soldado a la tarjeta, lo anterior tiene la ventaja de poder

cambiar el programa las veces que sean necesarias si necesidad de desmontar los

circuitos. Por la misma razón de que tienen el mínimo de componentes, tienen la ventaja

de ser muy económicas, además de que permiten también probar el programa antes de

grabarlo en flash. Para buscar productos relacionados con la familia C2000, se consulta

la página Texas Instrument DSP Developers´ Village [58], para el DSP LC2407A, se

encontró el módulo eZdspTM

LF2407 de la empresa Spectrum Digital, Inc. El módulo

eZdsp resultó ser el más básico y económico, además de que permite hacer pruebas del

software y la programación de la flash on board. Una vez programada la memoria flash,

Capítulo 3 - 24

el LC2407A trabaja de manera independiente y transparente de los demás componentes

en la tarjeta [59]. En la figura 3.23 se muestra el diagrama a bloques de la tarjeta, la cual

cuenta con conectores que permiten la conexión de todas las terminales del DSP.

Figura 3.23 Diagrama a bloques del modulo eZdspTM

LF2407 [59]

Selección del GPS. Como se mencionó en los requerimientos de diseño, existen

diversos modelos de receptores GPS, sin embargo, en un primer criterio se pueden

discriminar la mayoría de ellos, en primer instancia, se eliminan los modelos cerrados,

es decir los que cuentan únicamente con una pantalla y un teclado para obtener la

información, dentro de estos modelos, existen algunos que cuentan con las salidas del

1PPS y un puerto serial con el protocolo NMEA, sin embargo, la interfaz del teclado y

la pantalla son innecesarias y encarecen el prototipo. El siguiente nivel de receptores

GPS que tienden a dispositivos más básicos son los módulos para aplicaciones de

sistemas embebidos, estos módulos viene sin gabinete y con los elementos necesarios

que permiten disponer de la señal de 1PPS y el protocolo NMEA, el siguiente nivel más

básico seria el desarrollo del receptor GPS a partir de circuitos integrados, esta última

opción se descarta debido a que el objetivo de este trabajo es el desarrollo de

sincrofasores y no el del receptores GPS el cual, sería interesante desarrollar en otro

trabajo futuro. En la referencia [60] se enlista una serie 66 empresas de productos y

servicios en GPS. Haciendo una referencia cruzada entre las empresas que

comercializan el módulo para aplicaciones embebidas con las características antes

mencionadas y que cuenten con un distribuidor en México, se identifica la empresa

Trimble. Además de que Trimble fue la primera empresa no militar en desarrollar y

comercializar productos con GPS. Consultando la guía de productos de Trimble [61] el

producto más básico y económico es el módulo ACE III GPS™, el módulo cuenta con

Capítulo 3 - 25

el protocolo NMEA disponible en UART con niveles TTL y con la señal de 1PPS con

niveles TTL. En la tabla 3.6 se muestran las especificaciones técnicas del módulo.

Tabla 3.6 Especificaciones técnicas del módulo ACE III GPS™ [48]

Selección del sistema de comunicación remota. En los requerimientos de diseño se

determinó que en función de los requerimientos, podría haber dos tipos de sistemas de

comunicación. En el diseño a bloques de la arquitectura del sincrofasor se optó por el

sistema óptimo. Sin embargo el DSP seleccionado únicamente cuenta con un UART, de

tal modo que, para poder implementar este modo partiendo de un solo UART se

sugieren las siguientes opciones:

a) Que en el DSP se desarrolle el receptor UART TX, mediante software

b) Que se desarrolle un sistema multiplexor que permita conmutar las

comunicaciones entre el DSP, el dispositivo remoto y el GPS.

En la figura 3.24 se muestran los diagramas a bloque de las dos opciones. La opción

mediante software, consume tiempo de proceso del DSP, que para futuras aplicaciones

en las que se requiera velocidad de procesamiento, resulta poco práctica. Además la

opción por multiplexor permite más flexibilidad en las comunicaciones, por ejemplo,

permitiría una conexión transparente (sin pasar por el DSP) entre el dispositivo remoto

y el GPS.

Capítulo 3 - 26

Figura 3.24 Opciones para la comunicación entre dispositivos seriales.

Dispositivo remoto. Dependiendo de la infraestructura en comunicaciones del usuario

final, se pueden seleccionar diversos dispositivos remotos. El dispositivo remoto puede

variar desde una simple conexión, en el caso de que se tuviera líneas de comunicación

dedicadas hasta una tarjeta de comunicación vía Internet con aplicaciones Web. Para

fines prácticos, en este desarrollo se opta por utilizar una computadora personal con una

aplicación mediante la cual se puedan conectar dos sincrofasores para comprobar el

correcto funcionamiento del sistema. Los niveles de voltaje del UART del DSP son

TTL a 3.3volts, mientras que el UART de la PC funciona con niveles RS-232, por lo

tanto, se hace necesario conectar un adaptador de niveles de TTL a RS-232 y viceversa.

En la figura 3.25 se muestra el diagrama a bloques completo del sistema de

comunicación entre los tres dispositivos; incluyendo el multiplexor y el circuito

adaptador de TTL a RS-232.

Figura 3.25 Sistema completo de comunicación.

Selección de los sensores. En la sección de especificaciones del sistema, se

determinaron las características de entrada y salida de los TP y los TC. Para este tipo de

DSP

MUX

DSP

RX

GPS

Dispositivo remoto TX Puerto RX

GPS Dispositivo remoto

RX TX

a)

b)

MUX

DSP

INT Tx

Rx

GPS 1PPS

Tx

RS-232

Capítulo 3 - 27

elementos, existe una gran variedad de productos y de fabricantes, por tal motivo, como

primer criterio de selección se opta por los elementos de los distribuidores locales. El

TP seleccionado es del tipo Racom con voltaje de entrada de 240V y voltaje de salida de

12V @ 500mA. El TC seleccionado es del tipo Racom con relación de corriente 5:5

Cálculo de los atenuadores, filtro y referencia de voltaje (offset).

Atenuador de voltaje y filtro: Conocidos el voltaje de salida del TP denominado Vi en

ecuación (3.5) y el voltaje máximo de entrada del ADC denominado Vo en la misma

ecuación, se propone R2 y se calcula R1

KR 12

KR 94.11

Dado el valor no comercial para R1, se utiliza un preset de precisión.

Proponiendo una frecuencia de corte de 1KHz, se calcula el capacitor C en la ecuación

(3.9). nFC 241 Para el caso del capacitor se aproxima al valor comercial más próximo

que en este caso es de

nFC 2201

Recalculando la frecuencia de corte para el valor comercial del capacitor se tiene que

fc = 1.09KHz

En la figura 3.26 se muestra el diagrama de bode del filtro, de donde se observa que:

Punto A = Frecuencia: 10, Ganancia: –3.61

Punto B = Frecuencia: 1.09K, Ganancia: –6.61

Ganancia B-A = -3dB

Capítulo 3 - 28

Figura 3.26 Diagrama de bode del filtro del TP.

Atenuador de corriente y filtro: De acuerdo a especificaciones del TC se puede obtener

un voltaje de 5V a la salida con una corriente máxima de entrada de 5 amperes, como el

VADC es de 3.3volts, entonces, se puede utilizar un divisor de voltaje para atenuar la

salida de 5volts a 3.3 volts, en la figura 3.27 se presenta el equivalente para el TC del

bloque del atenuador y filtro de la figura 3.21.

Figura 3.27 Atenuador de corriente y filtro.

Al igual que el atenuador del TP se propone R3 y se calcula R4

KR 13

7144R

Frecuencia [Hz]

Fas

e [d

eg]

10

100

1K

10K

10

- 1

5

- 4

0

0

Frecuencia [Hz]

10

1K

100

10K

-

10

- 2

0

B A G

anan

cia

[dB

]

Capítulo 3 - 29

Dado el valor no comercial para R1, se utiliza un preset de precisión.

Proponiendo una frecuencia de corte de 1KHz, se calcula el capacitor C en la ecuación

(3.9). nFC 382 Para el caso del capacitor se aproxima al valor comercial más próximo

que en este caso es de

nFC 3302

Recalculando la frecuencia de corte para el valor comercial del capacitor se tiene que

fc = 1.16KHz

En la figura 3.28 se muestra el diagrama de bode del filtro, de donde se observa que:

Punto A = Frecuencia: 10, Ganancia: –7.61

Punto B = Frecuencia: 1.16K, Ganancia: –10.62

Ganancia B-A = -3dB

Figura 3.28 Diagrama de bode del filtro del TC.

Referencia de voltaje offset: Conocido el VADC de 3.3 volts y aplicando la ecuación

(3.11) se tiene que:

voltsVofs 66.1

Gan

anci

a [d

B]

-

5

Frecuencia [Hz]

10

1K

100

10K

-

15

- 2

5

B A

Frecuencia [Hz]

Fas

e [d

eg]

10

100

1K

10K

10

- 1

5

- 4

0

Capítulo 3 - 30

Comercialmente existen referencias de voltaje de 2.5 volts y ajustables, Las referencias

de voltaje en circuito integrado se utilizan principalmente, cuando a causa de grandes

cambios de temperatura (variaciones hasta de 30 grados Celsius) los divisores de voltaje

con resistencias, no mantienen al voltaje deseado, situación que se recomienda que no

suceda en el equipo, puesto que los procesadores DSP de aplicación comercial requieren

de cierta estabilidad térmica. La otra opción es el divisor de voltaje que bajo control de

grandes variaciones de temperatura resulta igualmente eficiente. Considerando las

variaciones de temperatura están controladas, se opta por utilizar el divisor de voltaje.

3.6.1 Diseño a bloques detallado

Como la información de los sincrofasores estará concentrada en el procesador central,

entonces, el esquema de comunicaciones más conveniente en tres los tres dispositivos es

el de que el procesador central actué como maestro y el DSP y el GPS como esclavos,

de tal manera de que la PC que se utiliza como procesador central, controle mediante el

multiplexor el flujo de la información. En el apartado 3.4 se analizarán todos los

posibles modos de conexión y comunicación entre los tres sistema. El diseño y detalles

del multiplexor y del circuito RS-232 se presentan en el apartado 3.9.1, dejándose en

bloques por el momento. Finalmente en la figura 3.28 se concentran todos los elementos

seleccionados en un diagrama a bloques detallado.

Capítulo 3 - 31

Figura 3.29 Diagrama a bloques detallado.

3.7 Pruebas y calibración de sensores y acondicionadores

de señal

3.7.1. Sensor de voltaje y acondicionador de señal

Con el sensor de voltaje seleccionado y el acondicionador de señales calculado en el

apartado anterior se procese a armar el subsistema del sensor de voltaje y su

acondicionador.

En el diseño del instrumento se determino la utilización de un ADC de 10 bits, lo cual

nos permite 1023 pasos de medición, que en términos de voltajes de AC nos da un

rango de -511.5 volts a +511.5 volts pico-pico, considerando también que el VADC es 3.3

volts y que por lo tanto el Vofs es de 1.66 volts, entonces se debe calibrar el

acondicionador de señal de tal manera que para un voltaje de entrada de 511.5 volts se

tenga un voltaje de salida de 3.3 volts en la figura 3.30 se muestra el proceso deseado.

TP

TC

Línea Trifásica

R1

R4

R2

R3

C1

C2

VCC

3

3 3

3

MUX

GPS

1PPS

Tx

RS-232

DSP CPU INT

OSC/PLL

WD

Timer

Digital I/O

Rx Tx

SCI

UART

Program

Memory

Data

Memory

ADC 10bits 16

Channels Digital

Capítulo 3 - 32

Figura 3.30 Proceso de acondicionamiento del sensor de voltaje.

Una de las formas más sencillas de agregar una componente de CD a una señal de AC

es mediante la conexión enserie de la fuente de AC con la fuente de CD en la figura

3.31 se muestra la conexión.

Figura 3.31 Conexión de la fuente de voltaje de referencia offset con la señal de voltaje.

Con la finalidad de reducir el rango de calibración del voltaje de offset, se pone una

resistencia en serie al con el potenciómetro de calibración, con la finalidad de construir

un solo circuito de offset que alimente a las 6 señales, se sugiere que la corriente que

proporcione el circuito no sea tan pequeña, es decir menos del orden de los mili

amperes, la resistencia en serie y el potenciómetro de calibración se proponen de

1Khom, de tal manera que el rango de calibración del offset se reduce de 0 a 2.5 volts,

como se muestra en la figura 3.32 y en los cálculos siguientes.

Figura 3.32 Circuito de la fuente de voltaje de referencia offset.

Transformador y

divisor de voltaje

Compensador de

CD

(Offset)

1023

0

+511.5

-511.

+1.65

-1.65

1.65 3.3

Capítulo 3 - 33

vRK

RV

ofs

ofs

ofs 51

(3.17)

Si VVofsRofs 0;0

Si VVofsKRofs 5.2;1

0V Vofs 2.5V

En la figura 3.33 se muestra el circuito final del sensor de voltaje, el circuito divisor de

voltaje y el circuito del voltaje de referencia en donde R2 de acuerdo a los cálculos

presentados en el apartado anterior es de 1Kohm y R1 de 1.94Kohms, debido a que este

último no es un valor comercial para una resistencia, por lo tanto se propone un

potenciómetro de 2Kohms. El potenciómetro también se hace útil ya que se requerirá de

algún ajuste debido a la imprecisión de los transformadores que se determinaron

también en el apartado anterior.

Figura 3.33 Circuito del sensor de voltaje y su acondicionador

3.7.2. Calibración del acondicionador de señal del sensor de voltaje.

Como la mayor parte del tiempo las mediciones se estarán realizando en el rango de

120Vrms 20%, se procede a hacer la calibración en 120Vrms (169.70Vp o 339.4Vpp).

Considerando que el máximo voltaje de medición en volts pico pico de 1023Vp

corresponden a un voltaje de entrada al ADC de 3.3 VppADC, se tiene la siguiente

relación directamente proporcional:

3.3VppADC 1023Vpp

XVppADC 339.4Vpp

En donde XVppADC son los volts pico pico a la entrada del ADC cuando el voltaje a la

entrada del sensor de voltaje es 339.4 volts pico pico o 120 volts rms. De la relación

anterior se tiene que:

Vpp

VppVVX

ppADC

ppADC1023

)4.339)(3.3( (3.18)

Capítulo 3 - 34

VVX ppADC 094.1

En la figura 3.34 se muestra la señal que se debe “ver “a la salida del acondicionador de

señal después de ajustar el nivel pico con R1 y el voltaje de offset con Rofs

Del análisis anterior se propone una ecuación general para la calibración del

acondicionador de señal.

VLIRVLSR

VCppVVX ADC

ppADC

))((

(3.19)

en donde

XVppADC es el voltaje pico de la señal a la entrada del ADC.

VADC es el máximo voltaje de entrada del ADC

VCpp es el voltaje pico pico de la señal que se utiliza para calibrar

VLSR - VLIR es el rango total pico pico de la medición

2

Figura 3.34 Forma de onda de la señal de voltaje calibrada

3.7.3. Sensor de corriente y acondicionador de señal

El rango requerido para la medición de corriente es de 0 a 5 amperes, el ADC de 10

bits, permite 1023 pasos de medición, que en términos de voltajes de AC da un rango

de -5.11 amperes a +5.11 con una resolución de 0.01 amperes pico-pico, considerando

también que el VADC es 3.3 volts y que por lo tanto el Vofs es de 1.66 volts, entonces se

debe calibrar el acondicionador de señal de tal manera que para una corriente de entrada

de 5.11 amperes se tenga un voltaje de salida de 3.3 volts en la figura 3.35 se muestra el

proceso deseado.

V

1.65

ms

2.19 V

0.54V

0.54V 1.09 Vpp

0.54 V

1.65 V

t

Capítulo 3 - 35

Figura 3.35 Proceso de acondicionamiento del sensor de corriente.

De manera análoga a los sensores de voltaje se determina el voltaje de offset. En la

figura 3.36 se muestra el circuito final del sensor de corriente, el circuito divisor de

voltaje y el circuito del voltaje de referencia en donde R3 de acuerdo a los cálculos

presentados en el capitulo de diseño es de 1Kohm y R4 de 714 ohms, debido a que este

ultimo no es un valor comercial para una resistencia, entonces se propone un

potenciómetro de 1Kohms. El potenciómetro también se hace útil ya que se requerirá de

algún ajuste debido a la imprecisión de los transformadores que se determinaron

también en el capitulo anterior.

Figura 3.36 Circuito del sensor de corriente y su acondicionador

3.7.4. Calibración del acondicionador de señal del sensor de corriente.

Para calibrar el acondicionador de voltaje del sensor de voltaje se utilizó un fuente de

voltaje de 120 volts rms y una carga resistiva tal que se genera una corriente de 0.7

amperes (0.98 amperes pico), sustituyendo para valores de corriente en la ecuación

(3.19) se tiene que:

XVADC = Amp

AmpV

23.10

)98.1(3.3

Transformador y

divisor de voltaje

Compensador de

CD

(Offset)

1023

0

+5.11

-5.11

+1.65

-1.65

1.65 3.3

Capítulo 3 - 36

XVADC = 0.6393 V

En la figura 3.37 se muestra la señal que se debe “ver “a la salida del acondicionador de

señal después de ajustar el nivel pico con R4 y el voltaje de offset con Rofs que ya con

antelación se calibró con los sensores de voltaje

Figura 3.37 Forma de onda de la señal de corriente calibrada

3.7.5. Subsistema de sensores y acondicionamiento de señal.

Como el medidor es trifásico, se triplican los subsistemas de medición de voltaje y de

corriente, en la figura 3.38 se muestra el subsistema completo. Como puede apreciarse,

el circuito de offset es compartido por los seis sensores. Los primarios de los sensores

se conectan directamente al sistema eléctrico a medir. Las salidas de los

acondicionadores de señal, se conectan directamente al ADC del DSP.

V

1.65

1.68 V

0.03

1 0.03 0.63 Vpp

0.03 V

1.65 V

t

Capítulo 3 - 37

Figura 3.38 Subsistema de sensores y acondicionamiento de señal.

Con la adición del circuito de offset y el potenciómetro de ajuste de la amplitud se

probaron los filtros y se encontró que estos se movieron en la frecuencia de corte, por

tal motivo, se procedió a recalcular el valor de los capacitares. En la figura 3.38 se

muestran los nuevos valores y en la figura 4:11 se muestran los diagramas de bode. Para

el caso de los TP los parámetros quedan como sigue

Frecuencia: 93.63 , Ganancia: –15.6

Frecuencia: 1.01K , Ganancia: –18.37

Ganancia = 3dB

Para los TC

Frecuencia: 54.68, Ganancia: –20.84

Frecuencia: 1.01K , Ganancia: –23.9

Ganancia = 3dB

a) TP

5v

1k

2k

1k

1k

1k

1k

1k

1k

1k

1k

2k

2k

TC1

TC2

TC3

120nF

65nF

120nF

120nF

65nF

65nF

ADCN0

ADCN1

ADCN2

ADCN3

ADCN4

ADCN5

1k

1k

TP2

TP1

TP3

Capítulo 3 - 38

b) TC

Figura 3.39 Diagramas de Bode de los filtros a) TP b) TC.

100 10 1 10K 1K 100K

Frecuencia [Hz

-20

-80

-40

-60

Gan

anci

a [d

B

100 10 1 10K 1K 100K

-10

-70

-30

-50

Frecuencia [Hz

Gan

anci

a [d

B

100 10 1 10K 1K 100K

Frecuencia [Hz

10

-40

-15

Fas

e [g

rad

os

-65

100 10 1 10K 1K 100K

Frecuencia [Hz

10

-40

-15

Fas

e [g

rad

os

-65

Capítulo 3 - 39

3.8 Integración del subsistema de sensores y

acondicionamiento de señal con el ADC del DSP

Con las señales de los acondicionadores de señal conectadas directamente al ADC se

procede a hacer pruebas de medición. Como el ADC es de 10 bits, entonces se tiene que

La resolución en voltaje del ADC está dada por

12

n

ADCVV (3.20)

Sustituyendo datos en la ecuación (3.20) se tiene

00322580.01023

3.3

VV V

Es decir que cuando el dato digital del ADC (DADC) sea uno, entonces, el voltaje en la

entrada del ADC (X VADC) es 0.00322580V y la relación entre DADC y XVADC queda

determinada por

XVADC = DADC V (3.21)

Para determinar el valor instantáneo de voltaje o de corriente una vez que el dato ya se

encuentra en formato digital dentro del DSP, se aplica un proceso inverso al del

acondicionamiento, es decir, que como se agrega a la señal un offset de 1.65 volts, se

procede a sustraerlo mediante un procesamiento digital. En donde el voltaje medido

(Vm) queda determinado por

Vm = DADC - Dofs (3.22)

Mediante la ecuación (3.21) se encuentra que el offset agregado a la señal de 1.65V

equivale a un DADC de 511.5 o 1FFh. Sustituyendo el valor de Dofs en la ecuación (3.22)

se tiene que para cualquier momento

Vm = DADC – 511.5 (3.23)

Desarrollando un programa que resuelva la ecuación (3.23), calcule la amplitud y

muestre el resultado mediante un emulador, se comprueba el correcto funcionamiento

de la integración del subsistema de sensores y acondicionamiento de señal con el ADC

del DSP. En la figura 3.40 se muestra un ejemplo del proceso, incluso, mediante este

proceso, se puede lograr un ajuste fino de la calibración, una vez obtenida la forma de

onda de la figura 3.34, se procede a corroborar el voltaje pico medido de la señal de

referencia con el dato digital obtenido y calculado mediante el ADC y el DSP

respectivamente. Analíticamente se tiene que:

De la ecuación (3.21) DADC = V /XVADC

Para XVADC = 2.19V DADC = 679

Aplicando la ecuación (3.23) Vm = 679 – 511.5

Vm = 168 volts

Capítulo 3 - 40

Figura 3.40 Proceso de integración y prueba.

3.9 Pruebas del sistema GPS.

Ante de hacer la integración del GPS con el DSP se procede a probarlo la tarjeta GPS

por separado. El GPS ACE III [48] cuenta con un conector heder de 8 terminales (ver

tabla 3.5) mediante el cual el sistema se alimenta con 5 volts. En este conector también

se encuentran dos puertos seriales asíncronos universales (UART) y la terminal del

1PPS.

Tabla 3.5 Conector heder de 8 terminales

Terminales del sistema GPS

# Pin Función Descripción

1 TXD 2 Port 2 transmit, CMOS/TTL NMEA

2 Prime Power 5VDC ±5%, 95 mA typical

3 TXD 1 Port 1 transmit, CMOS/TTL

4 Backup Power +3.2VDC to +5.25VDC, 4µA typical

5 RXD 1 Port 1 receive, CMOS/TTL

6 1 PPS Pulse-Per-Second, CMOS/TTL

7 RXD 2 Port 2 receive, CMOS/TTL

8 GND Ground, Power and Signal

El Puerto serial 1 está dedicado al protocolo binario bidireccional TSIP bi-directional.

El Puerto serial 2 está dedicado al protocolo NMEA 01883 el cual se utilizará para

monitorear la sincronía y obtener el UTC. Ver apartados 3.4 y 3.4.3 del la referencia

[48]. Las características del UART NMEA se presentan en la tabla 3.6

169 V

2.19 V

Sensor

y

acondicionador

ADC

2.19V 679

Vm = 679 - 511.5

Vm = 168 V

Calcula Vm

Lee ADC

DSP

DADC = 679

Capítulo 3 - 41

Tabla 3.6 Características del estándar NMEA 0183

UART NMEA

Baud Rate Bits de datos Paridad Bits de paro

4800 8 Ninguna 1

El formato del mensaje se puede consultar en el apéndice E.2 de la referencia [48].

Por omisión, una vez que se energiza, el receptor GPS transmite cada segundo la trama

GGA de tiempo y posición estacionaria y la trama VTG de velocidad terrestre. Ver

apéndices E.3, E.4.1 y E.4.6. La trama GGA tiene el siguiente formato:

$GPGGA,hhmmss,llll.lll,a,nnnnn.nnn,b,t,uu,v.v,w.w,M,x.x,M,y.y,zzzz*hh <CR><LF>

En donde el UTC en formato hhmmss (horas minutos y segundos) es enviado como

primer dato de la trama GGA. Ver tabla 3.7.

Tabla 3.7 Parámetros de la trama GGA del estándar NMEA 0183 [48]

GGA – GPS Fix Data Message Parameters

Field Capítulo 5 Description

1 UTC of Position

2,3 Latitude, N (North) or S (South)

4,5 Longitude, E (East) or W (West)

6 GPS Quality Indicator: 0 = No GPS, 1 = GPS, 2 = DGPS

7 Number of Satellites in Use

8 Horizontal Dilution of Precision (HDOP)

9, 10 Antenna Altitude in Meters, M = Meters

11, 12 Geoidal Separation in Meters, M=Meters. Geoidal separation is the

difference between the WGS-84 earth ellipsoid and mean-sea-level.

13 Age of Differential GPS Data. Time in seconds since the last Type 1 or 9

Update

14 Differential Reference Station ID (0000 to 1023)

hh Checksum

Pruebas de la trama GGA y la señal 1PPS de un solo receptor GPS.

Para verificar y familiarizarse con la trama GGA, se conecta el pin TXD2 (terminal 1)

del GPS a través de un convertidor de TTL a RS-232 a un puerto COM de la

computadora utilizando la interfaz “HyperTerminal” del sistema operativo WINDOWS.

Por otro lado, la señal de 1PPS se visualiza directamente conectando la salida 1PPS

(terminal 6) a un canal de un osciloscopio. Con la finalidad de visualizar la sincronía

que existe entre la señal 1PPS y la trama GGA se conecta la terminal TX2 al otro canal

del osciloscopio. En la figura 3.41 se muestra el diagrama a bloques de la prueba en

donde la interfaz de la computadora HyperTerminal se debe configurar de acuerdo a la

Capítulo 3 - 42

tabla 3.6. También es importante ubicar la antena del receptor GPS sin ningún obstáculo

en línea de vista con la bóveda celeste.

Figura 3.41 Visualización de la trama NMEA y el 1PPS.

Observaciones.

1. En el momento en que se energiza el receptor se encontró que:

Inmediatamente se transmite el formato de la trama GGA, pero sin datos,

ejemplo.

$GPGGA,,,,,,,,,,,,,,*hh <CR><LF>

Inmediatamente se genera la señal de 1PPS.

2. En condiciones de vista parcial de ½ de la bóveda celeste y después de que se

energiza el receptor, tarda hasta dos minutos en detectar por lo menos un

satélite. La detección del satélite se manifiesta con el envió completo de la trama

GGA, con el despliegue de la UTC cambiando cada segundo y con la

sincronización de la señal de 1PPS con la trama GGA. La evidencia de que

únicamente se detectó un satélite se muestra en la trama GGA en el campo 7

“número de satélites en uso”.

3. Cuándo una vez sincronizado el receptor GPS, se pierde por alguna razón la

señal de todos los satélites, se encontró que las tramas GGA y VTG son

transmitidas aun sin sincronía satelital, por omisión, se transmiten las últimas

tramas que se generaron antes de la perdida de la sincronía, es decir, sin cambio

del UTC en cada segundo. Como el medidor se encuentra en un punto fijo,

tampoco hay cambio de coordenadas, ni de altura y ni de velocidad, es decir que,

con sincronía o sin ella, estos parámetros permanecen sin cambio. Otro

parámetro aparte del UTC que deja en evidencia la pérdida de sincronía es el

parámetro Q (campo 6 de la trama GGA), el parámetro Q es el indicador de

calidad GPS de la trama GGA el cual indica con un cero que no hay recepción

GPS.

TTL a

RS-232

Osciloscopio

Hyper-

terminal

GPS

Tx

IPPS

Capítulo 3 - 43

Pruebas de la señal 1PPS entre dos receptores GPS.

Para verificar la sincronía existente entre las señales de 1PPS de dos receptores GPS, se

conectan cada una de las señales a cada uno de los canales de un osciloscopio, como se

muestra en la figura 3.42.

Figura 3.42 Visualización de las señales 1PPS de dos receptores GPS.

Observaciones.

1. Una vez sincronizados ambos receptores, las señales 1PPS llegan al mismo

tiempo a ambos receptores.

2. Se desincronizó uno de los receptores ocultando la antena, después de 15

minutos el desfase fue de 4 microsegundos (0.08 grados).

De la información obtenida anteriormente, se determina que para que sea valida la

información, es necesario que el sistema GPS se encuentre sincronizado. Uno de los

métodos que se proponen para detectar si el receptor está en sincronía, es mediante la

revisión de los incrementos en cada segundo del UTC, de tal manera que si se reciben

dos datos con el mismo UTC se infiere que hay perdida de sincronía. Otra de las formas

para detectar la perdida podría ser mediante el parámetro Q. En la figura 15 se muestra

la traza del osciloscopio que se obtuvo en el experimento de la figura 3.41.

Sincronía entre 1PPS, cálculo del fasor y captura del UTC

La señal 1PPS es conectada al DSP a través de la terminal de una interrupción externa,

la interrupción deberá ser programada de tal manera que ésta sea sensitiva con los

flancos de subida,

Una vez que el receptor GPS terrestre se ha sincronizado con el satélite, la cadena de

datos NMEA que contienen el UTC es transmitida 22ms después de que el GPS generó

la señal de 1PPS. En la figura 15 se muestra la sincronía entre el 1PPS, la cadena de

datos NMEA y una porción de la señal que se digitaliza. Como se puede observar, la

información obtenida de la figura 15 sugiere la forma en como se puede calcular el

fasor.

GPS 2

1PPS

Osciloscopio

GPS 1

1PPS

Capítulo 3 - 44

Figura 3.43: Sincronía entre 1PPS, Trama NMEA y señal de 60Hz a digitalizar

El estándar IEEE especifica que el estampado de tiempo se haga en el último muestreo

de la ventana. En el periodo entre el 1PPS y la trama NMEA de 22ms cabe un periodo

de la señal a digitalizar de 16.66ms. La señal 1PPS inicia el temporizador generador del

periodo de muestreo, de tal forma, que la primera de las 16 adquisiciones se presenta

1.04ms (16.6ms/ 16) después del 1PPS, por lo tanto, las adquisiciones se completan

17.70ms (1.04ms x 17) después del 1PPS y se tiene una tiempo de 4.3ms antes del

inicio de la trama GGA. El análisis anterior induce a dos posibles estrategias a seguir.

En la primera los pasos a seguir serían:

Se calculan los fasores en el tiempo de los 4.3ms.

Se espera y valida la trama GGA.

Se captura y se transmite el UTC.

Se transmiten los fasores previamente calculados.

En la segunda serían:

Se espere durante los 4.3ms la trama GGA.

Se valida la trama GGA

Se capture y se transmita el UTC

Se calculen y transmitan uno a uno cada fasor.

Si se escoge la primera opción, se debe tener la seguridad de que en los 4.3ms se

calculen los 6 fasores. Para el caso del algoritmo computacional de cálculo de los

fasores aquí presentado, los 4.3ms son suficientes, de hecho se presenta un algoritmo

que pudiera ser utilizado incluso en aplicaciones de protección, sin embargo, para la

aplicación de medición de líneas de transmisión en tiempo real para estudios de flujo de

potencia que es el motivo de este diseño, el monitoreo fasorial de la línea trifásica cada

segundo quedaría sobrado. Por tal motivo, se opta por la segunda estrategia ya que sería

la más adecuada para la medición de líneas de transmisión, debido a que la información

calculada de los fasores se tiene que transmitir en forma serial para a su vez calcular los

desfases en los extremos de la línea, comparando los 4.3ms que se podrían ahorrar con

el tiempo de transmisión de los UART, resultan insignificantes. Con una tasa de

transmisión de 4800 bits por segundo del estándar NMEA un dato UART de 10 bits se

transmite en 2.083ms. El total del tiempo consumido en todo el proceso se calcula como

sigue:

Capítulo 3 - 45

Llegada del 1PPS, arranque del temporizador de muestreo y las 16 adquisiciones

17.70ms.

Espera de la llegada de la trama GGA 4.3ms.

Validación de la trama $GPGGA, 14.58ms (cada caracter se transmite en

2.083ms).

Capturara y retransmisión de UTC hhmmss 12.49ms

Cálculo y transmisión de cada fasor, 3 caracteres para la amplitud y dos para la

fase por fasor. Por los seis fasores 62.49ms.

Total 111.56ms

Otro factor importante para seleccionar la segunda estrategia, es la de que si se desea

desarrollar el algoritmo computacional con un microcontrolador lento o utilizando un

lenguaje de alto nivel como C, se tiene tiempo suficiente para calcular los fasores antes

de que llegue el siguiente 1PPS.

Considerando la segunda estrategia como opción a seguir, el proceso sincronizado de la

medición debe seguir los siguientes pasos, ver figura 3.44.

Figura 3.44 Proceso sincronizado de la medición.

3.9.1 Diseño del multiplexor digital

Requerimientos de diseño

Como ya se mencionó en el apartado anterior, la función del multiplexor digital es la de

interconectar en forma serial el GPS, el DPS y el procesador central, que para fines de

prueba será una computadora personal (PC). Las funciones o modos de operación

propuestos para el multiplexor digital son:

Se espera el 1PPS

Se hacen las 16 adquisiciones

de los 6 canales

Se espera trama NMEA

Se captura el UTC y se transmite

Se calculan los 6 fasores y se

transmiten

Capítulo 3 - 46

Modo cero: Conectar el Tx y el Rx del DSP con el Rx y el Tx respectivamente de la

PC. Este modo se utiliza para programa desde el procesador central ciertos parámetros

del medidor no contemplados en este diseño, figura 3.45

Figura 3.45 Modo cero

Modo uno: Conectar el Tx del GPS el Rx del DSP y el Tx del DSP al Rx de la PC. Esta

conexión es el modo común de operación del instrumento, en donde, el DSP para

calcular el fasor, captura el UTC del GPS, una vez calculado el fasor, el DSP transmite

a la PC el fasor junto con el estampado de tiempo, figura 418.

Figura 3.46 Modo uno

Modo dos: Conectar el Tx del GPS con el Rx de la PC. Este modo se utilizar para

monitorear directamente desde la PC la trama GGA del GPS, figura 3.47

Figura 3.47 Modo dos

Debido a que el procesador central concentra las mediciones de todos los instrumentos,

se propone que los modos de operación del multiplexor sean seleccionados desde el

mismo procesador central. En la figura 3.48 se muestran los modos de operación del

multiplexor.

El diseño del multiplexor digital se desarrolló bajo la siguiente idea: El multiplexor se

implementó con un pequeño microcontrolador, el cual debe contar con un mínimo de 5

terminales de entrada y salida en paralelo correspondientes las terminales TxG, TxD,

RxD TxP y RxD, debe contar con un UART, en donde el Rx del UART se conecta al

Tx de la PC. La función del microcontrolador es la de recibir de la PC el modo de

operación e interconectar mediante software las terminales correspondientes.

TxP RxD TxD RxP

TxG RxD TxD RxP

TxG RxP

Capítulo 3 - 47

Figura 3.48 Modos de operación del multiplexor

Para la implementación del multiplexor se seleccionó un microcontrolador de 20

terminales AT89C2051 de Atmel con memoria flash y SCI UART [62]. En la figura

3.49 se muestran el diagrama a bloques de la implementación del multiplexor con el

AT89C2051.

Figura 3.49 Diagrama a bloques del MUX utilizando el AT89C2051

P1.5 P1.4

P1.6 P1.3

S

C

I

P1.7

AT89C2051

RS

232

16 RxD

15 RxP

TxG 17

TxD 18

TxP 2

19

MUX

10k

GPS

PC

DSP

MUX

Modo 2

TxG TxP RxP

RxD TxD

Modo 0

GPS

PC

DSP

MUX

RxP TxP

RxD TxD

TxG

GPS

PC

DSP

Modo 1

MUX

TxG RxP

TxD RxD

TxP

Capítulo 3 - 48

El divisor de voltaje conectado a la terminal RxD, se utiliza para bajar los niveles TTL

de 5 volts del multiplexor a 3.3 volts que maneja el DSP. En la referencia [63] se

presentan las hojas de especificaciones del convertidor de TTL a RS-232.

En la figura 3.50 se muestra el diagrama de flujo del proceso y el código del programa,

como se puede observar en los diagramas a bloque y flujo, todo dato transmitido por la

PC es capturado y almacenado en el registro “Modo”, si el dato capturado no es el

correspondiente a alguno de los comandos del modo de operación, el programa se

mantiene ejecutándose en el modo cero, por lo tanto, se debe asegurar que dentro del

protocolo de comunicación entre la PC y el DSP no contenga datos iguales a los

comandos del modo de operación del multiplexor. En el código del programa se asignan

los comandos “#” al Modo 0, “%” al Modo 1 y “&” al Modo 2

Diagrama de flujo del multiplexor

Interrupción serial

Modo = Puerto Serial

RETORNA

No

No

No

Modo

0

Modo = 0

? RxD = TxP Si

Si

Si

Principal

Inicia Puerto Serial

Modo = 1

?

Modo = 2

?

RxD = TxG

RxP = TxG

RxP = TxD

RxP = TxD

Modo

0

Capítulo 3 - 49

Códigos del programa del multiplexor

Figura 3.50 Diagrama de flujo y código del programa del multiplexor

3.10 Integración de los subsistemas GPS, DSP y PC.

Considerando el multiplexor MUX como un bloque central y estableciendo las

conexiones entre sistemas, como se muestra en la figura 3.49, se llega al circuito

esquemático de la integración entre los sistemas GPS, DSP y PC. En la figura 3.51 se

muestra el diagrama esquemático del circuito final con la interconexión entre el GPS el

DSP y la PC. Las pruebas de funcionamiento en la integración de los subsistemas se

realizaron utilizando el accesorio de comunicaciones HiperTermina. Se debe considera

que los UART de los cuatro dispositivos deberán estar programados de acuerdo a la

tabla 3.6. Las pruebas se realizaron como sigue:

Para el Modo 0.

Se desarrolló en el DSP el programa ECO que recibe un dato de la PC y lo

retransmite a la PC.

ORG 0000H LJMP INICIO

ORG 0023H

LJMP SERIAL

INICIO: MOV IE,#90H ;Habilita interrupcion serial

MOV SCON,#050H ;Modo serial 1, habilita recepsión. MOV TMOD,#20H ;Habilita temporizador modo 2

MOV TL1,#0FAH ;Valor de recarga BR=4800

MOV TH1,#0FAH ;Valor de recarga fo=11.059MHz SETB TR1 ;Arranca el temporizador 1

CLR A

MODO: CJNE A,#”#”,REVMODO1

LJMP MODO0

REVMODO1: CJNE A,#”%”,REVMODO2

LJMP MODO1

REVMODO2: CJNE A,#”&”,MODO

LJMP MODO2

;********************************************************************** MODO0: MOV C,P1.7

MOV P1.4,C

MOV C,P1.6 MOV P1.3,C

SJMP MODO

MODO1: MOV C,P1.5

MOV P1.4,C

MOV C,P1.6 MOV P1.3,C

SJMP MODO

MODO2: MOV C,P1.5

MOV P1.3,C

SJMP MODO ;**********************************************************************

SERIAL: MOV A,SBUF CLR RI

RETI

;********************************************************************** END

Capítulo 3 - 50

Se transmite mediante el HyperTerminal el comando “#”.

Se transmite mediante el HyperTerminal cualquier otro carácter, el DSP recibe y

retransmite el carácter a la PC, el cual se imprime en el HyperTerminal.

Para el Modo 1.

Se desarrolló en el DSP el programa Reenviar que recibe el UTC del GPS y lo

reenvía a la PC

Se transmite mediante el HyperTerminal el comando “%”.

Se imprimen cada segundo en la HyperTerminal el UTC de las trama GGA

Para el Modo 2.

Se transmite mediante el HyperTerminal el comando “&”.

Se imprimen cada segundo en la HyperTerminal, las tramas GGA y VTG

+

1uF 25V

10

0K

100K

0

+ 5V

VCC

VCC TXD

RXD GND

XINT1 GNDGND

GND

P2 DSP

0

TXD2

PPS VCCGND

1357

2468 + 5V

GPS

MAX232

C1+1

C1-3

C2+4

C2-5

V+2

V-6

R1OUT12

R2OUT9

T1IN11

T2IN10

R1IN13

R2IN8

T1OUT14

T2OUT7

DB9

1

2

3

4

5

6789

+

10

uF 2

5V

+

10

uF 2

5V

+

10uF 25V+

10uF 25V

+ 5V

15

RX

GND

TX

GND

AT89C2051

RST/VPP1

VCC20

XTAL15

XTAL24

P1.0/AIN012 P1.1/AIN113 P1.214 P1.315 P1.416 P1.517 P1.618 P1.719

P3.0/RXD2

P3.1/TXD3

P3.2/INT06

P3.3/INT17

P3.4/T08

P3.5/T19

P3.711

2 4 6 8 10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

1 3 5 7 91

11

31

51

7

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

11.059 MHz

22 pF 22 pF

+5V

Figura 3.51 Diagrama esquemático de la interconexión GPS, DSP, MUX y PC

Capítulo 3 - 51

3.11 Desarrollo de software

Una vez que se ha diseñado el hardware del sistema, uno de los primeros dilemas que se

presentan es el de seleccionar el lenguaje de programación, Para el caso del DSP

seleccionado, existen diversas herramientas de programación que involucran un

determinado lenguaje, entre los más comunes tenemos el lenguaje ensamblador y el

lenguaje C, además de otros lenguajes visuales de muy alto nivel que se programan con

bloques gráficos funcionales tales como el simulink de MATLAB, el LabVIEW de

National Instrument y el Code Visual de Texas Instrument.[58]. Ver tabla 3.8

Tabla 3.8 Lenguajes de programación para el TMS320LF2407

Nivel de programación

Bajo Medio Alto

Ensamblador C Simulink MATLAB

C++ LabVIEW

Code Visual

Para la aplicación en medición de líneas de transmisión en tiempo real y en función del

hardware diseñado, cualquiera de los lenguajes de programación antes mencionados

pueden ser utilizados. En cuanto a la memoria de código, como ya se mencionó, se

cuenta con 12Kbytes de memoria, suficiente para albergar el programa desarrollado en

cualquiera de los lenguajes antes mencionados. En cuanto al tiempo de proceso, el

cálculo del fasor de una muestra por segundo, permite un tiempo suficiente para

desarrollar el algoritmo computacional con cualquiera de los lenguajes. La limitante de

hardware más importante es de que el DSP es de punto fijo y por lo tanto, se tiene que

tomar en cuanta esta limitante para el desarrollo del algoritmo computacional.

Como ya se mencionó una de las ideas fundamentales en el desarrollo del algoritmo

computacional para el cálculo del fasor, es la de que se pueda utilizar en aplicaciones de

alta velocidad de cómputo, como es el caso de las protecciones. Por tal motivo, en este

trabajo se tiene la motivación en desarrollar un algoritmo de bajo consumo de tiempo de

procesamiento. Dentro de las herramientas de programación existentes, hay

compiladores en C que optimizan el código, es decir que al compilarlos, el código se

aproxima en tamaño al código generado en lenguaje ensamblador, sin embargo, el

código más reducido, únicamente se puede lograr programando en lenguaje

ensamblador. Por lo tanto el lenguaje seleccionado para esta aplicación fue el lenguaje

ensamblador.

Por otro lado, el algoritmo puede ser utilizado como una simple función desde el

lenguaje de programación en C, en el caso de que en un futuro se quisiera trabajar en C,

y como esta función no depende de ninguna librería en C para funcionar, se logra de

Capítulo 3 - 52

esta manera una optimización de código, espacio de memoria y tiempo de

procesamiento.

3.11.1. Desarrollo del programa [39]

Partiendo del proceso propuesto en la figura 3.44, derivado de la sincronía que se

presenta entre el 1PPS, la señal de 60Hz a digitalizar y la generación de la trama GGA,

se desarrollaron programas de prueba que al integrarlos conforman la estructura general

del programa, Los programas se fueron generando como sigue:

Programas de prueba descritos en el apartado 3.10 Integración de los

subsistemas GPS, DSP y PC.

Programa recursivo que hace una conversión del ADC, se obtiene Vm mediante

la ecuación (3.23), se convierte a decimal y se muestra el resultado en el

HyperTerminal

Programa recursivo que hace una conversión del ADC con un periodo de

muestreo generado por el temporizador, el resultado de Vm se muestra en

decimal en el HyperTerminal

Programa que mediante el flanco de subida del 1PPS conectado a la interrupción

externa XINT1, arranca el temporizador de muestreo y genera el mismo proceso

del punto anterior.

Programa que mediante el punto anterior acumula 16 muestras, calcula el fasor

captura el UTC y muestra el valor del fasor y el UTC en decimal mediante la

Hyperterminal.

Programa que calcula el fasor trifásico de corrientes y voltajes con estampado de

tiempo.

El programa se compone básicamente de tres bloques: El programa principal, la rutina

de servicio de la interrupción externa XINT1 (generada por el 1PPS) y la rutina de

servicio de la interrupción de fin de conversión del ADC.

El programa principal: En el programa principal se prepara y reserva la memoria a

utilizar, se programan y habilitan los periféricos a utilizar: el ADC, el Timer y el SCI.

Se habilitan las interrupciones y se esperan en un ciclo infinito las interrupciones

XINT1 o la de fin de conversión del ADC. En la figura 3.52 se muestra el diagrama de

flujo.

La rutina de servicio de la interrupción IXNT1: En esta rutina lo único que se hace

es arrancar el temporizador que proporciona el periodo de muestreo del ADC. Como

esta interrupción es generada por la señal 1PPS del GPS se presenta cada segundo. En la

figura 3.53 se muestra el diagrama de flujo.

Capítulo 3 - 53

Figura 3.52 Diagrama de flujo del programa principal

Prepara

Inicio

Programa Principal

Habilitar reloj para

SCI.ADC.EVA

Habilita WD sobreflujo=1.1ms

Inicializa tabla de coseno

Habilita interrupción externa con flancos de subida

Habilita SCI 4800 bits/s

1 bit paro, sin paridad, 8 bits

Programa terminales

TX, RX y XINT1

Limpia memoria

Inicializa tabla de seno

Definición del Macro

Limpia WD

Asignación de variables en RAM

Habilita ADC

Inicia Conversión con EVMA (Timer 2)

Asigna interrupción con SEQ1

Asigna mayor prioridad de interrupción.

Habilita GP Timer 2

Asigna Periodo de 960Hz Asigna inicio de conversión al ADC

Habilita interrupciones

globales

Ciclo principal

Limpia WD

Espera interrupción externa (XINT1) o fin de conversión (ADC)

A

A

Capítulo 3 - 54

Figura 3.53 Diagrama de flujo de la rutina de servicio de la interrupción externa XINT1

La rutina de servicio de la interrupción de fin de conversión del ADC: El periodo

de muestro que genera el temporizador en el ADC es de 960 Hz, por lo tanto, esta

interrupción se presenta en 16 ocasiones después de recibido el 1PPS. Aplicando el

algoritmo computacional, cada vez que se genera la interrupción del ADC se hace el

cálculo de nnCosX y se acumula con el mismo producto de todas y cada una de las

muestras, para la primera interrupción en donde n = 1se tiene que:

00CosX = 00SenX = 0 (3.24)

Como el ADC entrega el valor de la conversión de los 6 canales entonces, se pueden

hacer las sumatorias de los productos de cada una de las 6 señales aplicando los

siguientes algoritmos.

nnnn CosXCosX 11Re (3.25)

nnnn SenXSenX 11Im (3.26)

De tal forma que, después de las 16 adquisiciones ya se tienen de las 6 señales las

componentes real e imaginaria expresadas en las ecuaciones (4.11) y (4.12). En la figura

3.54 se muestra la rutina de servicio de la interrupción del ADC

Después de calculadas las componentes reales e imaginarias, se espera mediante poleo

la recepción de datos provenientes del GPS (trama NMEA), se captura el UTC que llega

con el formato HHMMSS.S. Ya capturado el UTC se transmite y se procede al cálculo

del fasor de cada una de las 6 señales mediante las ecuaciones (4.9) y (4.10). Finalmente

se transmiten los fasores calculados y se retorna al programa principal a esperar la

siguiente interrupción del 1PPS. En la figura 3.55 se muestra el diagrama de flujo de la

rutina de detección de la trama NMEA

Interrupción

XINT

Arranca temporizador para período de muestreo

RETORNA

Deshabilita XINT

Capítulo 3 - 55

Figura 3.54 Diagrama de flujo de la rutina de servicio de la interrupción del ADC

Figura 3.55 Diagrama de flujo de la detección de flujo de la trama NMEA

Interrupción

ADC

Contador de muestras

1n

Lee

Sen n y Cos n

Calcula

nSennXnSennX 116,,2,1Im

Calcula

nCosnXnCosnX 116,,2,1Re

n = n+1

No

16n ?

RETORNA

SI

Calcula y transmite

fasores

RETORNA

Espera trama NMEA,

captura y transmite UTC

Prepara

Transmite fin de trama “1AH”

A

A

Trama NMEA

Recibe y transmite UTC HHMMSS.D,

RETORNA

Transmite Inicio de

trama “$”

No

RETORNA

SI

Trama = $GPGGA,

?

Capítulo 4 - 1

Capítulo 4

Pruebas y resultados

4.1 Prueba para la medición del desfase.

Esta prueba consiste en verificar la medición del desfase de acuerdo a lo esperado en la

etapa de diseño. De igual forma que en las pruebas anteriores, las pruebas para medir el

ángulo de desfase se hicieron sin la etapa de sensores y acondicionamiento de señal, lo

anterior se realiza con la finalidad de discriminar posibles desfases introducidos por los

sensores, acondicionadores y filtros, en la figura 4.1 se muestra el diagrama a bloques

del sistema de pruebas. Las pruebas se realizaron como sigue:

Se ajusta con el generador de funciones una señal cosenoidal menor de 3.3 volts

pico-pico de amplitud, con una frecuencia de 60Hz y una componente 1.65 volts

de DC.

La señal generada se hace pasar por una red RC de atraso de fase, para provocar

en la salida de la red un desfase con respecto a la señal de entrada ver figura 4.1.

Se miden las amplitudes y el desfase entre las señales con un osciloscopio.

Se conectan dos sincrofasores sin la etapa de sensores y acondicionamiento, uno

directamente del generador de funciones y otro en la salida de la red de atraso.

Se corre una aplicación de software en la PC que calcule 1 - 2 y se verifica

que ambas mediciones, la del osciloscopio y la mostrada en la PC sean las

mismas.

Hyper-

terminal

Generador de Funciones

Osciloscopio

Red de

atraso

Sincrofasor

2

A D

C

Sincrofasor

1

A D

C

Capítulo 4 - 2

Figura 4.1 Diagrama a bloques del sistema de pruebas del desfase

Red de atraso. La red de atraso se calculó para generar un barrido de atraso de 0° a 30°

para lo cual, se utiliza un potenciómetro para variar el valor de la resistencia del

circuito, ver figura 4.2.

Figura 4.2 Red de atraso

Cálculo de la red de atraso:

Aplicando la ecuación del divisor de voltaje se tiene que:

c

c

ent

sal

jXR

jX

V

V

(4.1)

En forma polar:

R

XXR

X

V

V

cc

c

ent

sal

arctan

90

22

(4.2)

Separando magnitud y fase.

R

XArc ctan90 (4.3)

Calculando para = –30o y proponiendo R = 5K

)5)(9030tan( kX c (4.4)

Calculando C

)25.8660)(60(2

1

C (4.5)

C = 0.306F

Resultado de las pruebas.

Se realizaran diversas mediciones en diferentes ángulos con el osciloscopio, como se

puede observar, en la figura 4.3 el osciloscopio marca una diferencia temporal de 40 s

5 kΩ

330 nF Vsal

Vent

Capítulo 4 - 3

que equivalen a 0.86 grados, mientras que en la computadora el desfase marcado fue de

1 grado

Aplicando el máximo desfase del circuito, se obtiene una diferencia temporal de

1.30 ms lo que equivale a un ángulo de 28.08 grados ver figuras 4.4 y 4.5, para este

desfase el procesador central indicó 28 grados

Figura 4.3 Oscilograma para un desfase de 1° indicado en el procesador central

Capítulo 4 - 4

Figura 4.4 Oscilograma para un máximo desfase de la red de atraso (28.08°).

Figura 4.5 Oscilograma para un desfase de 28° indicados en el procesador central

4.2 Pruebas de desfase de los sensores y acondicionadores

de señal

Capítulo 4 - 5

Los resultados presentados en el apartado anterior, determinan que con una buena

calibración los errores máximos serian los mismos que se presentaron en el capitulo 2

pruebas del algoritmo. En cuanto a la calibración en amplitud, las pruebas hechas hasta

el momento indican que con potenciómetros de varias vueltas con ajuste mediante un

pequeño tornillo (presets) se minimizan los errores. Sin embargo hasta el momento no

se ha descrito cual seria el error en la medición del ángulo introducido por los sensores

y acondicionadores de señal. En la primer prueba se verifica que no haya desfases entre

los TP conectados a una misma fase. Se midió con un osciloscopio la combinación de

dos en dos de los tres sensores con acondicionamiento y se encontró que no hay

desfases entre ellos. En la figura 4.6 se muestra el diagrama a bloques de la prueba y en

la figura 4.7 se muestra la medición entre TP1 y TP2, siendo la misma gráfica para las

otras dos combinaciones.

Las mismas pruebas se hicieron para los dos TC, el diagrama a bloques de la prueba se

muestra en la figura 4.8 y el oscilograma se muestra en la figura 4.9. Como se puede

observar, tampoco hay desfase entre los sensores.

Figura 4.6 Diagrama del circuito de prueba de los TP´s

Osciloscopio

Acondicionador

de

señal

TP1

Acondicionador

de

señal

TP2

Acondicionador

de señal

TP3

Capítulo 4 - 6

Figura 4.7 Comparativo entre las señales de dos TP´s

Acondicionador de

señal TC1

Acondicionador de

señal TC2

Acondicionador de

señal TC3

A

CARGA

Osciloscopio

Capítulo 4 - 7

Figura 4.8 Diagrama del circuito de prueba de los TC’s

Figura 4.9 Comparativo entre las señales dos TC´s

Pruebas de desfase entre TP´s y TC´s. Utilizando una carga puramente resistiva para

evitar desfases entre la señal de voltaje y de corriente, se implementó el circuito de

pruebas cuyo diagrama a bloque se muestra en la figura 4.10. Si se consideran las

señales de voltaje como referencia, en este caso se observa en la figura 4.11 del

oscilograma obtenido, que las señales de corriente se atrasan 24 grados a las señales de

voltaje.

TP

Acondicionador de

señal TC

A

CARGA

Osciloscopio

Acondicionador

de señal

Capítulo 4 - 8

Figura 4.10 Diagrama del circuito de prueba de un TP y un TC

Figura 4.11 Comparativo entre las señales de un TP y un TC

Para el caso de la medición de parámetros (por ejemplo potencias) que utilizan el

desfase entre el voltaje y la corriente de una misma fase, se deberá tomar encuesta para

los cálculos el desfase de 24 grados que se presenta entre los TP´s y los TC´s y sus

circuitos acondicionadores.

4.3 Pruebas del sistema conectado a una línea de

transmisión a escala de 120 volts.

En esta parte se deberá demostrar que el prototipo cumple con las especificaciones

señaladas, aprobando las pruebas a superar que se definieron en el apartado de

especificaciones generales (apartado 3.5). Con las pruebas de campo y de laboratorio se

obtendrán las especificaciones finales.

En la parte de implementación (figura 4.8) se generaron pruebas para un solo

sincrofasor conectado a una fuente de 120 volts. Antes de conectar dos sincrofasores en

los extremos de una la línea de transmisión a escala, se procede a realizar algunas

pruebas muy sencillas pero significativas, que aseguran en una primera instancia que el

sistema de dos sincrofasores se encuentra funcionando. En una primer prueba, se

conectan los dos sincrofasores a una fase de la línea de 120 volts, haciendo

corresponder la fase de ambos sincrofasores con la fase de la línea y ambos neutros del

sincrofasor con el neutro de la línea ver figura 4.12. El resultado obtenido, como es de

Capítulo 4 - 9

esperarse fue de de un par de fasores con un desfase de 0°. En una segunda prueba, se

conectan ambos sincrofasores a la misma fase de 120 volts, pero con un sincrofasor

conectado en forma invertida, ver figura 4.13. El resultado tal cono fue de esperarse fue

un par de fasores con un desfase de 180 grados.

Figura 4.12 Prueba de los sincrofasores conectados una misma fase

Figura 4.13 Prueba de los sincrofasores conectados una misma fase, con una conexión

invertida

Conexión con la línea de transmisión a escala de 120 volts.

En la figura 4.14 se muestra el circuito equivalente de una porción o bloque de la línea

de transmisión a escala. La línea se puede configurar con uno o varios bloques en serie.

Como se puede observar, las tres fases cuentan con los mismos parámetros. Para tener

una idea aproximada de lo que registrará el sistema de medición se hace una simulación

L

Sincrofasor 1

Sincrofasor 2

N

L1 N L1 N

L

Sincrofasor 1

Sincrofasor 2

N

L1 N L1 N

Capítulo 4 - 10

del desfase esperado en una de las fases. En la figura 4.15 se muestra la forma en como

se conectan los sincrofasores a la línea de transmisión. La simulación del

comportamiento de la línea de transmisión se realizó con el analizador de circuitos

TINA [64].

Figura 4.14 Línea de transmisión a escala de 120 volts

L1

L2

L3

N

3x 1uF

0.5 uF

0.5 uF

0.5 uF

290 mH

290 mH

290 mH

250 mH

13

13

13

11

3x 1uF

0.5 uF 0.5 uF

0.5 uF

Capítulo 4 - 11

Figura 4.15 Conexión de los sincrofasores con la línea de transmisión a escala

Análisis de la línea de transmisión.

Con los parámetros de dos bloques conectados en serie como el descrito en la figura

4.14 para la línea de transmisión de una fase y con una carga puramente resistiva de 40

Ea’

Eb’

Ec’

Ia’

Ib’

Ic’

Carga

Ea

Eb

Ec

Ia

Ib

Ic

Línea

N L3 L2 L1

Capítulo 4 - 12

ohms, se procede a hacer el análisis de una fase del circuito de la figura 4.15. En la

figura 4.16 se muestra el diagrama en el analizador TINA con los dos bloques de la

línea de transmisión. En donde el voltaje de entrada es de 130 volts pico, que fue el que

se midió en la línea de transmisión a escala.

Figura 4.16 Conexión de los sincrofasores con la línea de transmisión a escala

Como resultado de la simulación se obtuvieron los fasores Vin y Vout, Iin e Iout. En las

figuras de la 4.17 a la 4.20 se muestran respectivamente los desfases entre Iin e Iout,

Vin y Vout, Vin e Iin y el desfase entre Vout, e Iout que determinan las potencias y los

parámetros de la línea.

Capítulo 4 - 13

T

Parte real

-100.00m 0.00 100.00m 200.00m 300.00m 400.00m

Pa

rte

im

ag

ina

ria

-300.00m

-150.00m

0.00

150.00m

300.00m

7.04

Iout = 338.64mA 10.33

Iin = 240.16mA 17.37

Figura 4.17 Corriente de entrada vs corriente de salida

Capítulo 4 - 14

Figura 4.18 Voltaje de entrada vs voltaje de salida

Capítulo 4 - 15

Figura 4.19 Voltaje de salida vs corriente de salida

Capítulo 4 - 16

Capítulo 4 - 17

Figura 4.20 Voltaje de entrada vs corriente de entrada

Haciendo las mediciones con el sistema de sincrofasores en una sola fase de dos

porciones de línea se generaron los resultados siguientes.

= 70°

out = 180°

in = 100°

Como se mencionó al inicio de esta prueba, se hizo el análisis de la red con la finalidad

de tener una idea aproximada de los resultados a obtener. A pesar de que se presentan

diferencias al comparar los resultados del análisis con los medidos directamente en la

línea se observa que en todas las comparaciones existe cierta relación, por ejemplo, en

los desfases entre Vin y Vout, o Vin e Iin, los ordenes de magnitud de las diferencias

son semejantes. Considerando que los valores de los parámetros marcados en la línea de

transmisión a escala tiene cierta tolerancia, entonces se da por válida la prueba ya que la

exactitud del sistema también está corroborada en las pruebas pasadas y en el análisis

comparativo con equipos comerciales que se hace a continuación.

Capítulo 4 - 18

4.4 Análisis comparativo con equipos comerciales

En [65] se reportan los resultados de una prueba comparativa realizada a 4 sincrofasores

comerciales. Se toman los resultados del error en magnitud, el error en fase y se

comparan con los errores obtenidos en las pruebas hechas al equipo aquí presentado. En

la figura 4.21 se muestran los resultados de las pruebas de amplitud hechas en [65]. Los

sincrofasores A, B y C, en el rango de operación del 80% al 120%, presentan un error

de entre el 0.02% y el 0.08%. En el mismo rango, el error promedio del sincrofasor aquí

presentado es del 0.024%, ver figura 4.22

Para la detección del error de fase en [65] se utilizó un generador de funciones y un

osciloscopio. En la figura 4.23 se muestra la sincronización entre 1PPS y la señal de

voltaje realizada en [65]. Variando el generador de funciones de una frecuencia de

60.0000hz a 60001, el 1PPS y la señal se desplazan ligeramente. En la figura 4.24 se

muestran los resultados de la medición realizada en el sincrofasor aquí presentado.

Debido al LUT los errores se presentan en las cercanías de los 90 grados, este error, se

puede minimizar aumentando el tamaño de la tabla. El error promedio en todo el rango

de medición es del 0.14% que es apropiado para aplicaciones de medición de líneas de

transmisión.

Figura 4.21 Error en magnitud para una línea trifásica balanceada a frecuencia nominal

(figura tomada de [65]).

Capítulo 4 - 19

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100 120 140

Voltage %

Err

or

%

Fig. 4.22. Error de magnitud

Figura 4.23 Sincronización entre la señal de 1 PPS y la señal eléctrica

(figura tomada de [65])

0

1

2

3

75 80 85 90 95 100

Degrees

Err

or

%

Figura 4.24 Error de ángulo

Capítulo 5 - 1

Conclusiones

Partiendo de los resultados obtenidos en las pruebas y de los comparativos con otros

equipos comerciales, se concluye que los procedimientos de diseño e implementación

presentados son validos, se concluye también que durante el desarrollo tecnológico se

genera conocimiento, que como en este caso se generó un algoritmo computacional para

el cálculo de la DFT en cuatro instrucciones de DSP y un algoritmo para la detección de

fallas de sobrecorriente.

La utilización de los look up tables permite realizar la medición fasorial de una señal de

60 Hz utilizando Microcontroladores o DSP-Microcontroladores de punto fijo.

El tiempo de procesamiento se reduce considerablemente al eliminar series de potencias

en el cálculo de funciones trigonométricas.

Dependiendo de la resolución que se desee el tamaño de las tablas se pueden aumentar.

Para las aplicaciones del sincrofasor en donde se requiera una resolución en el ángulo de

un grado o menos la tabla de 8 bits (256 pasos) es suficiente.

El algoritmo esta diseñado para calcular el fasor considerando una frecuencia nominal

de 60 Hz estable, es decir que si la frecuencia cambia de 60 Hrz. Se generara un error en

el cálculo del fasor. Si se considera que la variación de la frecuencia afecta de la misma

forma a dos o más UMP, entonces el error se anula entre ellos, además de que la

frecuencia varia muy poco, el método de la DFT es inmune a harmónicos múltiplos de

60Hz.

Con el algoritmo para relevadores de sobrecorriente instantáneos basado en la variación

del ángulo del fasor de corriente. Es posible detectar una falla eléctrica midiendo la

diferencia de los ángulos de fase entre la señal de falla y la señal normal (la misma señal

de corriente un periodo antes). En la medida que se tengan más muestras por periodo y

algoritmos de cómputo que calculen en línea el fasor entre muestra y muestra, se tendrá

la posibilidad de poder detectar las fallas desde sus facetas tempranas (antes de un

cuarto del periodo).

Actualmente los sincrofasores se encuentran instalados en líneas de transmisión, sin

embargo, según CFE también son requeridos en las áreas de distribución, esto implica

un gran gasto en medidores. El desarrollo aquí presentado permite un abatimiento de

hasta el 80% del costo de los medidores comerciales. El bajo costo del desarrollo aquí

presentado radica precisamente en que la mayoría de los sistemas requeridos en el

funcionamiento de un sincrofasor se encuentran junto con el procesador central

embebidos en una sola pastilla de circuito integrado. El reducido tamaño de la tarjeta

del circuito impreso (PCB) y el uso de un procesador de punto fijo también son factores

en el bajo costo del instrumento.

Capítulo 5 - 2

Recomendaciones futuras y aportaciones adicionales.

1. Partiendo de este desarrollo, se pueden diseñar otros productos para aplicaciones

similares tales como:

Calidad de la energía

Sistema de adquisición de datos para estudios de ahorro y calidad de la

energía

Relevadores de protección

Flujos de potencia

Control de FACTS

2. Se abre la posibilidad de continuar con líneas de investigación propias en el área de:

Desarrollo de algoritmos fuera de frecuencia nominal (55-65 Hz).

Desarrollo de algoritmos que permita suplir el 1PPS y el UTC en un

momento de pérdida satelital.

Desarrollo de algoritmos matemáticos y computacionales diferentes a la

DFT.

Desarrollo de un receptor GPS mediante circuitos integrados

3. Se ha utilizado la información generada en este desarrollo, en la reproducción de la

misma aplicación con diferentes procesadores. Actualmente se está desarrollando una

tesis de maestría utilizando uno de los más recientes y ventajosos Controladores de

Señales Digitales.

4. El software de soporte del dispositivo DSP, permite programarlo con diferentes

lenguajes, de alto nivel como C y Matlab, logrando de esta manera un ensayo real y en

campo de los algoritmos y por lo tanto una verificación del funcionamiento más

confiables que las simulaciones computacionales.

5. Este desarrollo está pensada para uso industrial y científico-tecnológico es decir que

aparte de poderse utilizar en aplicaciones reales de campo, se puede utilizar en un

laboratorio para ensayar diferentes algoritmos de medición y protección, en su forma

más completa se puede configurar como un medidor con telemetría y relevador de

protección.

6. Uno de los objetivos del programa doctoral es el de darle un impulso al desarrollo

tecnológico del país. Aparte de la posibilidad de comercialización del sincrofasor aquí

presentado. Se ha contribuido con el desarrollo tecnológico mundial, a través del

"eXpressDSP™-Compliant Third-Party Algorithms". Dentro del programa de terceras

partes de la compañía Texas Instruments y por medio de la compañia Mexicana

RACOM microelectronics. Obteniéndose los siguientes resultados.

Presentación en el programa de terceras partes de Texas Instruments del

algoritmo XDAIS Medición de RMS.

Capítulo 5 - 3

RACOM microelectronics es la primera y única empresa Latino Americana

aceptada y reconocida mundialmente por TI como una aliada en el desarrollo

tecnológico con DSP.

R - 1

Referencias

1. Phadke, A. G.; Thorp, J. S.; Adamiak, M. G. A new measurement technique

for tracking voltage phasors, local system frequency, and rate of change

frequency. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-

102, No. 5, May 1983

2. Phadke, A. G. Synchronized phasor measurements, Chapter 6. IEEE

Tutorial Course, Advancements in microprocessor based protection and

communication.1997

3. Phadke, A.G. Synchronized phasor measurements-a historical overview.

Transmission and Distribution Conference and Exhibition 2002: Asia Pacific.

IEEE/PES , Volume: 1 6-10 Oct. 2002

Pages:476 - 479 vol.1

4. Jodice, J. A.; Ryan, R.; Carr, K. Satellite synchronized test instruments

replace the staged fault as the ultimate test of protection system

performance. Double Engineering Company.

5. Moore, T. An introduction to the global positioning system and its

applications. Developments in the Use of Global Positioning Systems , the

Institution of Electrical Engineers. Savoy Place. London, UK 8 Feb 1994

Pages:1/1 - 1/6

6. Cory, B.J.; Gale, P. Applications of precise time in electrical transmission

and distribution systems. Precise Time and Frequency - the Beat of a Single

Drum, IEE Colloquium on , 11 Nov 1992

Pages:8/1 - 8/3

7. Kumar, A. GPS and communications for precision power engineering.

Power Quality '98 , 1998

Pages:285

8. Phadke, A.G.; Pickett, B.; Adamiak, M.; Begovic, M.; Benmouyal, G.; Burnett,

R.O., Jr.; Cease, T.W.; Goossens, J.; Hansen, D.J.; Kezunovic, M.; Mankoff,

L.L.; McLaren, P.G.; Michel, G.; Murphy, R.J.; Nordstrom, J.; Sachdev, M.S.;

Smith, H.S.; Thorp, J.S.; Trotignon, M.; Wang, T.C.; Xavier, M.A.

Synchronized sampling and phasor measurements for relaying and

control. Power Delivery, IEEE Transactions on , Volume: 9 , Issue: 1 , Jan.

R - 2

1994

Pages:442 - 452

9. Phadke, A.G. Synchronized phasor measurements in power systems.

Computer Applications in Power, IEEE , Volume: 6 , Issue: 2 , April 1993

Pages:10 – 15

10. Cory, B.J.; Gale, P.F. Satellites for power system applications. Power

Engineering Journal [see also Power Engineer] , Volume: 7 , Issue: 5 , Oct.

1993

Pages:201 – 207

11. Wilson, R.E. PMUs [phasor measurement unit]. Potentials, IEEE , Volume:

13 , Issue: 2 , April 1994

Pages:26 – 28

12. Phadke, A. G. Recent advances in monitoring, protection and control of

power systems. Virginia Tech.

13. Burnett, R.O., Jr.; Butts, M.M.; Cease, T.W.; Centeno, V.; Michel, G.;

Murphy, R.J.; Phadke, A.G. Synchronized phasor measurements of a

power system event. Power Systems, IEEE Transactions on , Volume: 9

, Issue: 3 Aug. 1994

Pages:1643 – 1650

14. Phadke, A. G.; Martin, K. IEEE standard for synchrophasors for power

systems. IEEE Std 1344-1995(R2001) , 2001

15. Martin, K. E.; Benmouyal G.; Adamiak, M. G.; Begovic, M.; Burnett, R.O.,

Jr.; Carr, K. R.; Cobb, A. Kusters, J. A.; Horowitz, S. H.; Jensen, G. R.;

Michel, G. L.; Murphy, R.J.; Phadke, A. G..; Sachdev, M.S.; Thorp, J.S. IEEE

standard for synchrophasors for power systems. IEEE Transactions on

Power Delivery, Vol. 13, No. 1, January 1998

16. Fardanesh, B.; Zelingher, S.; Sakis Meliopoulos, A.P.; Cokkinides, G.;

Ingleson, J. Multifunctional synchronized measurement network [power

systems]. Computer Applications in Power, IEEE , Volume: 11 , Issue: 1 , Jan. 1998

Pages:26 – 30

17. Ching-Shan Chen; Chih-Wen Liu; Joe-Air Jiang. A new adaptive PMU

based protection scheme for transposed/untransposed parallel

transmission lines. Power Delivery, IEEE Transactions on , Volume: 17

, Issue: 2 , April 2002

Pages:395 – 404

R - 3

18. Yunping Chen; Chengxue Zhang; Zhijian Hu; Xurui Wang. A new approach

to real time measurement of power angles of generators at different

locations for stability control. Power Engineering Society Winter Meeting,

2000. IEEE , Volume: 2 , 23-27 Jan. 2000

Pages:1237 - 1242 vol.2

19. AMETEK, Inc. TR-2000 Multi-Function Recorder ©2002.

20. Benmouyal, E.O.; Schweitzer; Guzmán A. Synchronized phasor

measurement in protective relays for protection, control, and analysis of

electric power systems. Schweitzer Engineering Laboratories, Inc., 22-24,

October 2002

21. Moxley, Roy; Woodward Darold. Improving power system operating

capacity through wide-area synchronous phase angle measurement.

Schweitzer Engineering Laboratories, Inc., 2002

22. Moxley, Roy; Petras, Chuck; Anderson, Chris; Fodero, Ken II. Display and

analysis of transcontinental synchrophasors. Schweitzer Engineering

Laboratories, Inc., 2002

23. Phadke, A. G.; Thorp, J. S. Synchronized Phasor Measurements and Their

Applications. Springer, New York, January 2008.

24. Anderson, Chris; Fearn, Brian; Guzmán, Armando; Moxley, Roy. Using SEL-

421 relay synchrophasors in basic applications. SEL Application Guide,

Vol. 1

25. Arbiter Systems. Model 1133A power sentinel functional description.

26. Real Academia Española. DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAÑOLA

Vigésima segunda edición 2001 www.rae.es

27. Johnsonbaugh, R; Schaefer,M. Algorithms, chapter 1. Prentice Hall, New

Jersey 2004

28. Brassard, P;Bratley, G. Algorithms, chapter 1. Prentice Hall, New Jersey

1988

29. Baeza Yates, R. Algoritmia. Dpto. de Cs. de la Computación, Univ. de Chile,

www.baeza.cl

30. Organisation for Economic Co-operation and Development La definición de

"know-how", recopilado por Rafael San Vicente Cisneros. No publicado y

extraido de www.oecd.org/home/

31. Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) Informe 2001-2003

y Perpectivas para 2004 México, D. F.© 2004.

http://www.rae.es/

http://www.baeza.cl/

http://www.oecd.org/home/

R - 4

32. Sociedad Mexicana para el Progreso de la Ciencia y la Tecnología, A.C Por

una política nacional de ciencia y tecnología en el contexto global. Mexico,

D.F. Diciembre 2005

33. Sidhu, T.S.; Sachdev, M.S. An iterative DSP technique for tracking power

system frequency and voltage phasors. Electrical and Computer

Engineering, 1996. Canadian Conference on , Volume: 1 , 26-29 May 1996

Pages:115 - 118 vol.1

34. Jun-Zhe Yang; Chih-Wen Liu. A smart method makes DFT more precise

for power system frequency estimation. Power Engineering Society 1999

Winter Meeting, IEEE , Volume: 2 , 31 Jan-4 Feb 1999

Pages:909 - 913 vol.2

35. Funaki, T.; Tanaka, S. Error estimation and correction of DFT in

synchronized phasor measurement. Transmission and Distribution

Conference and Exhibition 2002: Asia Pacific. IEEE/PES , Volume: 1 , 6-10

Oct. 2002

Pages:448 - 453 vol.1

36. De La O, J.A. New theory for phasor measurement. Instrumentation and

Measurement Technology Conference, 2002. IMTC/2002. Proceedings of the

19th IEEE , Volume: 2 , 21-23 May 2002

Pages:1405 - 1410 vol.2

37. Electric Power Research Institute, IECASA Team Intelligrid uses case

SynchroPhasor Domain Description Intelligrid Architecture Volume II. Palo

Alto, California 94304 USA. 2004

38. Rafael San Vicente, Raúl Cortés, Jaime Robles, J. Enrique Chong-Quero,

DSP-Microcontroller Implementations of a Simplified Algorithm for

Synchrophasor Calculation. IEEE 2nd International Conference on

Electrical and Electronics Engineering and XI conference on Electrical

Engineering (ICEEE-CIE 2005).

39. A. R. San Vicente Cisneros, R. A. Cortés Mateos, J. Robles García, J. E.

Chong Quero, Construcción de un sincrofasor de bajo costo basado en un

DSP-Controlador. Third LACCEI International Latin American and

Caribbean Conference for Engineering and Technology

(LACCET‟2005)“Advances in Engineering and Technology:A Global

Perspective”, 8-10 June 2005, Cartagena de Indias, Colombia

40. Eduardo Cesar Senger, Giovanni Manassero, Jr., Clovis Goldemberg, and

Eduardo Lorenzetti Pellini Automated Fault Location System for Primary

Distribution Networks

R - 5

41. Schweitzer Engineering Laboratories SEL-311A Data Sheet, Inc. Event

Reporting and Sequential Events Recorder (SER).

42. T.S. Sidhu, X. Zhang, F. Albasri and M.S. Sachdev Discrete-Fourier-

transform-based technique for removal of decaying DC offset from

phasor estimates TEE hoc.-Gner, Tw" Dlrrr&.. Vol. 150, No. 6, Nowdm

2003

43. M.S. Sachdev' T.S. Sidhu' I. Uttamchandani' W.O. Kennedy Design of Phase

and Amplitude Comparators for Transmission Line Protection. 1991

Conference on Communications. Power and Computing WESCANEX'97

Proceedings; Winnipeg, MB; May 22-23, 1997; pp. 179-184

44. Armando Guzman, Satish Samineni, and Mike Bryson. Protective Relay

Synchrophasor Measurements during Fault Conditions. Schweitzer

Engineering Laboratories, Inc. Copyright © SEL 2005 (All rights reserved)

20050920 TP6214-01

45. Madisetti, V., and Williams, D. B. ‘The Digital Signal Processing

Handbook„ CRC Press, B m Raton, FL, 1997

46. Youheng Xu, and Baoping Ju Synchronized phasor measuring method

using recursive DFT with a window function 2005 IEEE/PES transmission

and Distribution Conference & Exhibition: Asia and Pacific Dalian, China.

47. Zhian Zhong, Chunchun Xu, Bruce J. Billian, Li Zhang, Shu-Jen Steven Tsai,

Richard W. Conners, Virgilio A. Centeno, Arun G. Phadke, and Yilu Liu,

Power System Frequency Monitoring. Network (FNET) Implementation

IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS, VOL. 20, NO. 4,

NOVEMBER 2005

48. Trimble Navigation Limited. ACE III GPS™ System Designer Reference

Manual. Sunnyvale, CA 2000.

49. Glover,J.D; Sarma,M. Sistemas de Potencia (capitulo 5). Tercera edición.

Thomson, México, D.F.© 2004.

50. Glover,J.D; Sarma,M. Demostración de las ecuaciones que representan el

modelo de una línea de transmisión. Presentada por Rafael San Vicente

Cisneros. No publicado y extraído de Glover,J.D; Sarma,M. Sistemas de

Potencia (capitulo 5). Tercera edición. Thomson, México, D.F.© 2004.

51. R. Cortés; D. Libreros; R. San Vicente Medición de RMS Mediante DSP

Tms320c240 Cuarto Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y

de Sistemas. Centro Histórico de la ciudad de México, trabajo publicado

1998.

R - 6

52. R. Cortés; D. Libreros; R. San Vicente; E. Osorno. Medición de la

Frecuencia a Partir de las Componentes Simétricas Duodécima Reunión

de Verano de Potencia IEEE Acapulco Guerrero, México. trabajo publicado

1999.

53. IEEE Std. 519 1992 IEEE Recommended Practice and Requiriments for

Harmonic Control in Electrical Power Systems 1992.

54. BERKELEY DESIGN TECHNOLOGY, INC. POCKET GUIDE TO

POPULAR DSP PROCESSORS AND CORES. 2107 Dwight Way, 2nd

Floor, Berkeley CA 94704 Revised 2/1/2001 Copyright

55. Texas Instrument C2000 Platform. http://www.go-

dsp.com/fet/c2000/index.html

56. Texas Instrument. TMS320LF/LC240xA DSP Controllers Reference Guide

System and Peripherals. Dallas, Texas 75265. Revised December 2002

57. Texas Instrument. TMS320C24x DSP Controllers Reference Guide: CPU

and Instruction Set. Dallas, Texas 75265. Revised December 2002

58. Texas Instrument DSP Developers´Village http://dspvillage.ti.com/

59. Spectrum Digital, Inc. eZdspTM

LF2407 Technical Reference. 12502

Exchange Dr., Suite 440 Stafford, TX. 77477 August 2001

60. GPS World. GPS World 2005 Buyers Guide.

http://www.gpsworld.com/gpsworld/ JUNE 2005

61. Trimble. GPS Boards & Chipsets Home, Embedded: Portable Devices

http://www.trimble.com/

62. Atmel Corporation. AT89C2051, 8 bits microcontroller. 2325 Orchard

Parkway San Jose, CA 95131 2000.

63. Maxim Integrated Products, +5V-Powered, Multichannel RS-232

Drivers/Receivers 120 San Gabriel Drive, Sunnyvale, CA 94086 (408) 737-

7600 2003

64. DesignSoft, TINA PRO, El laboratorio completo para Windows

Iniciación Rápida. Budapest, Hungría 1998.

65. Depablos, J.; Centeno, V.; Phadke, A.G.; Ingram, M.; Comparative testing

of synchronized phasor measurement units. Power Engineering Society

General Meeting, 2004. IEEE 6-10 June 2004 Page(s):948 - 954 Vol.1

66. McClellan, James H; Schafer, Ronald W; Yoder, Mark A. Signal processing

first. Upper Saddle River, NJ : Pearson, 2003.

http://www.trimble.com/

R - 7

67. Oppenheim, Alan V. Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, Inc.

New Jersey 1999.

68. Robinson citado por Garnica y otros en Tecnología: Un Instrumento Para

La Competitividad. Dos Casos de Transferencia de Tecnología. Revista

LAGOVEN. Venezuela. 1996.

69. San Vicente, R.; Cortés, R.; Robles, J.; Chong-Quero, Synchrophasor Design

Based on a DSP-Microcontroller. J.E IEEE International Symposium on

Intelligent Signal Processing (WISP‟2005).

70. San Vicente, R.; Cortes, R.; Robles, J.; Chong-Quero, J.E. Algorithm for

instant overcurrent relays based on the angle variations of current phasor Industrial Technology, 2008. ICIT 2008. IEEE International Conference on

21-24 April 2008 Page(s):1 – 4

Apéndice A1 - 1

A1

Análisis de la señal

A.1.1 Análisis teórico.

En este apéndice se presenta la demostración de las ecuaciones matemáticas que

permiten en un sistema eléctrico de potencia calcular la amplitud y la fase de la señal

fundamental de 60Hz ( 0f ) y de las armónicas que pudiera contener.

Planteamiento del problema:

Dado un conjunto de n muestras X[1], X[2],…, X[n] obtenidas de una señal con

armónicos X (t) , se desea conocer para ciertas frecuencias de la señal 0f , 2 0f , 3 0f ,

…,k 0f las amplitudes 1A , 2A , 3A , …, Ak y las fases 1 , 2 , 3 ,…, k de las señales

que componen a X(t). Es decir que se tienen como datos las muestras de la señal y las

frecuencias de las armónicas en donde se desea calcular la amplitud y la fase (fasor).

Para una mayor claridad y simplicidad en las gráficas se presenta un ejemplo en donde

el análisis se hace con una señal de 60Hz y una armónica. En la figura A1.1 se muestra

gráficamente como la señal X (t) se genera a partir de la suma de la señal fundamental

)602cos(0.1)(1 ttX

y la 3er armónica (3 0f )

)4/1802cos(8.0)(3 ttX

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo

Am

pli

tud

X1(t) X3(t) X(t) = X1(t) + X3(t)

Figura A1.1 Composición de una señal con armónicas

Apéndice A1 - 2

Como el número de señales que componen a )(tX es finito, son sinusoidales y sus

frecuencias están limitadas a un “acho de banda” entonces:

L

k

k tXtX0

)()( (A1.1)

Las señales )(tX k son sinusoidales, por lo tanto, se pueden escribir como funciones

seno o coseno. Por razones de simplicidad al trasformar a la forma exponencial

compleja (como se explica más adelante) se utilizara la función coseno para representar

las )(tX k . En forma genérica, la señal )(tX pudiera contener una componente de

corriente directa (DC) que en la ecuación (A1.1) se representa por la componente de

frecuencia cero )(0 tX . Tomando en cuenta las anteriores consideraciones, la ecuación

(A1.1) se escribe como sigue.

)2cos()(1

L

k

kkko tfAAtX (A1.2)

En donde:

L = número finito de señales sinusoidales que conforman la señal X(t)

oA = componente de DC.

Si las frecuencias de las señales que componen a X(t) son múltiplos k (armónicas) de la

señal de frecuencia más baja denominada frecuencia fundamental ( 0f ) y que oA = 0

tenemos que (A1.2) se escribe:

)2cos()(1

0

L

k

kk tkfAtX (A1.3)

En la ecuación (A1.3) ya se aprecian los datos y las incógnitas que se involucran en el

problema. Se conocen la señal medida )(tX y la frecuencia k 0f de la señal o armónica

a la cual se le desea conocer la amplitud. kA y el ángulo de fase k que son las

incógnitas.

Para facilitar la manipulación algebraica y poder despejar las incógnitas, se transforma

la funcione a la forma exponencial compleja. Utilizando la fórmula inversa de Euler

(ver apéndice A.1.4) [32,33]

2cos

jj ee

se tiene que

L

k

jj

k eeAtX1

)(2

1)(

(A1.4)

en donde

Apéndice A1 - 3

)2( 0 ktkf

Interpretación de la ecuación (A1.4)

El término )( jj ee representa la suma de dos fasores rotatorios, uno con frecuencia

positiva 0kf y otro con frecuencia negativa 0kf (ver apéndice A.1.6) [32,33].

Como je representa la misma señal que je pero con frecuencia negativa, la ecuación

(A1.4) se puede rescribir como:

L

k

j

keAtX12

1)(

(A1.5)

o como

L

k

j

keAtX12

1)(

(A1.5.1)

Cambiando por )2( 0 ktkf y sustituyendo en (A1.5)

L

k

tkfjj

k

L

k

tkfj

k eeAeAtX kk

1

)2(

1

)2( 00

2

1

2

1)(

para separar de la ecuación las incógnitas kA y k se hace

kj

kkk eAAaa

2

1),( (A1.6)

entonces

L

k

tkfj

keatX1

)2( 0)(

(A1.7)

Como la componente de DC = 0; entonces en la ecuación (A1.1) )(0 tX = 0. Con la

consideración anterior e igualando la ecuación (A1.1) con la ecuación (A1.7)

1

)()(k

k tXtX

1

)2( 0

k

tkfj

kea

(A1.8)

Desarrollando ambos miembros de la ecuación

)(1 tX + )(2 tX + … + )(tX k = )12(

10tfj

ea

+)22(

20tfj

ea

+…+)2( 0tkfj

kea

igualando termino a termino se tiene el conjunto de ecuaciones

Apéndice A1 - 4

)(1 tX = )12(

10tfj

ea

)(2 tX = )22(

20tfj

ea

)(tX k = )2( 0tkfj

k ea

(A1.9)

En donde ),( Aak es el fasor incógnita.

El conjunto anterior de ecuaciones indican que cada una de las señales (vectores) que

componen la señale )(tX se pueden analizar de manera independiente.

Despejando ),( Aak de la ecuación (A1.9) se tiene que

),( Aak = )(tX k

)2( 0tkfje

(A1.10)

Como se puede observar la ecuación (A1.10) ya representa los k fasores de las k

señales. En este momento se hace un paréntesis para analizar las ecuaciones, para tal

efecto, se procede a graficar la ecuación (A1.10) para tener una mejor visión de los

resultados obtenidos.

Haciendo k = 1 para analizar el fasor de la señal fundamental (60Hz) y aplicando la

formula de Euler (ver apéndice A.1.4) [32,33].

tjsenttXAa 602)602cos()(),( (A1.10.1)

Haciendo un cambio de variable (ver apéndice A.1.5) [32,33]

ir jZZAa ),( (A1.10.2)

Si se desarrolla de la misma forma la ecuación (A1.5.1) entonces.

ir jZZAa ),( (A1.10.3)

Aplicando identidades trigonométricas y el teorema de Pitágoras (ver apéndice A.1.5)

[32,33] se tiene que

22

ir ZZA (A1.10.4)

r

i

Z

Zarctan (A1.10.5)

Graficando A vs. En las ecuaciones (A1.10.2) y (A1.10.3)

Apéndice A1 - 5

a = Zr + Zi

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 45 90 -45 0 45 90 -45 0 45 90 -45 0 45 90

Ángulo

Am

plit

ud

a)

a = Zr - Zi

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 -45 -90 45 0 -45 -90 45 0 -45 -90 45 0 -45 -90

Ángulo

Am

plit

u

b)

Figura A1.2 Gráficas de A vs.

Procedimiento de graficación:

Las gráficas se generaron en Excel. Se tabuló contra el tiempo de manera independiente

la parte real y la imaginaria de la ecuación (A1.10.1); para cada complejo generado de

la tabulación anterior, se aplicaron (A1.10.4) y (A1.10.5) obteniéndose de esta manera

A y de cada complejo, que al graficarlos, generan las gráficas a) y b) para las

ecuaciones (A1.10.3) y (A1.10.2) respectivamente.

Observación:

Las ecuaciones (A1.10.2) y (A1.10.3) en ambos casos, determinan el valor instantánea

del valor absoluto de la amplitud, sin embargo en la gráfica de la figura A1.2 a) de la

ecuación (A1.10.3), el ángulo varia en forma ascendente de derecha a izquierda,

mientras que en la gráfica de la figura A1.2 b) de la ecuación (A1.10.2) el ángulo varia

de derecha a izquierda en forma descendente. Esta prueba nos permite comprobar que se

Apéndice A1 - 6

trata de la misma señal pero con frecuencia opuesta. En la figura A1.3 se muestra la

gráfica polar de las ecuaciones (A1.10.2) y (A1.10.3).

Figura A1.3 gráfica polar de las ecuaciones (A1.10.2) y (A1.10.3)

Recordando el planteamiento del problema que ha dado origen a este análisis, de la

función X (t) se tiene un conjunto de n muestras X[1], X[2],…, X[n] , para cada t

discreto de 1,2,…,n se tiene que la ecuación (A1.10) queda.

),( Aak )

2(

0][ T

njk

k enX

(A1.11)

En donde 0

01

Tf

El valor promedio de una función periódica en un periodo de un total de N muestras

discretas en el tiempo esta dado por.

1

0

)(1 N

n

nXfN

Si se obtiene el valor promedio de las N muestras en la ecuación (A1.11)

),( Aak

1

0

)2

(

][1 N

n

N

njk

k enXN

(A1.12)

En donde ][nX k es el conjunto de N muestras recolectadas dentro de una ventana que

abarca un periodo To de la señal. La ecuación (A1.12) es conocida como

Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Si en la ecuación (A1.6) kj

kk eAAa

2

1),(

se hace kj

kk eAZ

Apéndice A1 - 7

1

0

22

),(N

n

N

njk

kk enXN

AZ

(A1.13)

Aplicando la fórmula de Euler

1

0

22cos

2),(

N

n

kkN

njsenk

N

nknX

NAZ

(A1.14)

1

0

1

0

222cos

2),(

N

n

k

N

n

kkN

nsenknX

Nj

N

nknX

NAZ

haciendo un cambio de variables

kikrk jZZAZ ),( (A1.15)

Aplicando identidades trigonométricas y el teorema de Pitágoras para expresar el vector

complejo en términos de amplitud y fase de la ecuación (A1.15) tenemos (ver apéndice

A.1.5) [32,33].

22

kikrk ZZA (A1.16)

kr

kik

Z

Zarctan (A1.17)

En donde kA es la amplitud de la señal )(tX k y k el ángulo en el momento que se

hizo la primera adquisición o muestreo de la señal )(tX k (ver apéndice A.1.6) [32,33].

Si k =1 el fasor que se encuentra es el de la señal fundamental, si k =2 de la segunda

armónica y así sucesivamente. De tal manera que para la componente fundamental

1

0

22cos][1

2),(1

N

n N

njsen

N

nnX

NAZ

(A1.18)

y por ejemplo para la 3er armónica k =3

1

0

33

23

23cos][

2),(

N

n N

njsen

N

nnX

NAZ

(A1.19)

Apéndice A1 - 8

A.1.2 Análisis gráfico de la ecuación.

De la misma manera que en la ecuación (A1.10) se obtuvo para k = 1 y k = 3 el fasor

( A , ) se grafica la ecuación (A1.12) (que como ya se menciona es la DFT de la

señal). Para tal efecto se utilizan las ecuaciones (A1.16) y (A1.17) en donde

(A1.20)

(A1.21)

La amplitud se calcula como ya se menciono con la ecuación (A1.16)

22

kikrk ZZA

Para el calculo de se utiliza la función arco seno por los motivos que se explican en el

capítulo 3.

k

kik

A

Zarcsen (A1.22)

Que para obtener en los cuatro cuadrantes se utiliza el esquema de la figura A1.4.

Figura A1.4 Arco seno en los cuatro cuadrantes

1

0

1

0

22

2cos

2

N

h

k

N

n

k

N

nsenknX

NjZki

y

N

nknX

NZkr

Apéndice A1 - 9

Utilizando las mismas señales de la figura A1.1

Con Hzf 600

la fundamental (k = 1)

)602cos(0.1)(1 ttX

la 3er armónica (3 0f con k = 3)

)4/1802cos(8.0)(3 ttX

y

)()()( 21 tXtXtX

La gráfica de las señales queda como en la figura A1.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo

Am

pli

tud

X1(t) X3(t) X(t) = X1(t) + X3(t)

Figura A1.5 Composición de una señal con armónicas

Se tabulan para valores discretos de t en donde t se propone de To/16 ya que se

proponen 16 muestras por periodo de la señal fundamental. Se ha demostrado que es

aceptable para analizar la componente fundamental de 60 Hz una frecuencia de

muestreo de 720 Hz o 12 muestras por periodo [1]. En este trabajo se han seleccionado

16 muestras por que son una potencia de 2, lo cual facilita el procesamiento del

algoritmo. En la tabla A1.1 se muestran los valores de las gráficas de la figura A1.5, los

datos se obtienen por medio de Excel.

Apéndice A1 - 10

Tabla A1.1 Valores de las señales )(1 tX , )(3 tX y )(tX

tiempo To/16 X1(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X3(t)

0.0000 1.0000 0.5657 1.5657

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929

0.0073 -0.9239 0.3061 -0.6177

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Cálculo de A y de la señal )602cos(0.1)(1 ttX (k = 1).

Para tal efecto se toma una ventana con las primeras 16 muestras de la señal )(1 tX .

Procedimiento:

Para cada n de la 0 a la 15 se calcula

16

21cos1

nnX

. En la tabla se

muestran los resultados de cada operación.

Se calcula la sumatoria de las 16 muestras

15

016

2

n

Zr . En la tabla se muestra

el resultado de la suma.

Para cada n de la 0 a la 15 se calcula

16

211

nsennX

. En la tabla se

muestran los resultados de cada operación.

Apéndice A1 - 11

Se calcula la sumatoria de las 16 muestras

15

016

2

n

Zi . En la tabla se muestran

los resultados de cada operación.

Con la ecuación (A1.16) se calcula la Amplitud (A). En la tabla se muestra el

resultado de la amplitud.

Con la ecuación (A1.22) y aplicando la figura A1.4 se calcula la fase ( ). En la

tabla se muestra el resultado en grados.

Se grafica la ventana

En la tabla A1.2 se muestran los resultados del cálculo en donde de A =1 y = 0

grados. En la figura A1.6 se muestra la gráfica de las tres señales en la ventana de

cálculo de las 16 muestras.

Tabla A1.2 Corrida para la señal )602cos(0.1)(1 ttX (k = 1).

tiempo X1(t) X3(t) X1(t)+X3(t) n X1[n] cos1(2n/16) Zr = X1[n] sen1(2n/16) Zi = Amplitud = r² + (Zi)²

0.0000 1.0000 0.5657 1.5657 0 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 A = 1

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630 1 0.8536 0.3536

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071 2 0.5000 0.5000 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564 3 0.1464 0.3536 (radianes) 0.0000

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657 4 0.0000 0.0000 (grados) 0.0000

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765 5 0.1464 -0.3536 Primer cuadrante (+,+)

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929 6 0.5000 -0.5000 =

0.0073 -0.9239 0.3061 -0.6177 7 0.8536 -0.3536 (grados) = 0.0000

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657 8 1.0000 0.0000

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630 9 0.8536 0.3536

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071 10 0.5000 0.5000

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564 11 0.1464 0.3536

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657 12 0.0000 0.0000

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765 13 0.1464 -0.3536

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929 14 0.5000 -0.5000

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177 15 0.8536 -0.3536

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Apéndice A1 - 12

Gráfica de las tres señales en la ventana de cálculo

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

tiempo

Am

plit

ud

X1(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X3(t)

Figura A1.6 Gráfica de las señales )(1 tX , )(3 tX y )(tX en la ventana de 16 muestras

Análisis:

El cálculo de A entrega la amplitud máxima de la señal, que en efecto es el valor

promedio de los valores instantáneos calculados en las ecuaciones (A1.10.2) y

(A1.10.3), con la aclaración que en ese cálculo no se consideró la constante ½ de la

ecuación

kj

kk eAAa

2

1),(

El ángulo de fase o desfase calculado es el valor del ángulo del la señal en el ínstate

en que se toma la primer muestra o se hace la primer adquisición, que en el caso anterior

como se aprecia en el inicio de la gráfica de la figura A1.6 es de cero grados para la

señal fundamental.

Para corroborar el análisis anterior, se procede a calcular A y para

)4/602(3cos8.0)(3 ttX en donde se espera una A = 0.8 y un = 45 grados.

El procedimiento de cálculo es el mismo que en la corrida anterior, en la tabla A1.3 se

presenta la corrida para la señal )(3 tX en donde los valores de A y fueron los

esperados. En la figura A1.6 se aprecia que en la gráfica de )(3 tX la ventana de cálculo

se inicia a los 45 grados.

Apéndice A1 - 13

Tabla A1.3 Corrida para la señal )4/1802cos(8.0)(3 ttX

tiempo X1(t) X3(t) X1(t)+X3(t) n X3[n]cos3(2n/16) Zr = X3[n]sen3(2n/16) Zi = Amplitud = r² + (Zi)²

0.0000 1.0000 0.5657 1.5657 0 0.5657 0.5657 0.0000 0.5657 A = 0.8

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630 1 0.2828 0.6828

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071 2 0.0000 0.0000 a = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564 3 0.6828 0.2828 a (radianes)= 0.7854

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657 4 0.0000 0.5657 a (grados) = 45.00

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765 5 0.2828 -0.1172 Primer cuadrante (+,+)

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929 6 0.5657 0.5657 f = a

0.0073 -0.9239 0.3061 -0.6177 7 -0.1172 0.2828 f (grados) = 45.00

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657 8 0.5657 0.0000

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630 9 0.2828 0.6828

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071 10 0.0000 0.0000

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564 11 0.6828 0.2828

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657 12 0.0000 0.5657

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765 13 0.2828 -0.1172

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929 14 0.5657 0.5657

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177 15 -0.1172 0.2828

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Conclusión:

Los cálculos de la Amplitud y la Face utilizando la DFT (ecuación (A1.12) nos

proporcionan respectivamente los valores de la amplitud máxima de la señal y el ángulo

de la señal en el instante de la primera adquisición.

Haciendo corridas con otro número de muestras se encontró que las ventanas de

muestreo deben ser de mínimo To (un periodo de la frecuencia fundamental) y

múltiplos de To para las armónicas. Como se puede observar en las corridas anteriores

la ventana abarca un periodo de la frecuencia fundamental y tres periodos de la tercera

armónica.

A.1.2.1 Propiedad de filtrado de la DFT.

Partiendo de que X(t) es la sumatoria de las )(tX k señales, se demuestra la propiedad de

filtrado si en lugar de tomar las muestras de las respectivas señales )(tX k se toman las

muestras de la señal X(t). Para tal efecto se procede a generar una corrida para la señal

X(t)= X1(t)+X3(t) y de la cual se desea analizar la A y el para la señal X3(t). La

Apéndice A1 - 14

corrida es similar a la que se hizo para X3(t) pero las X[n] muestras se toman de X(t) en

lugar de X3(t).

Tabla A1.4 Corrida tomando las muestras de la señal )()()( 21 tXtXtX

tiempo X1(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X3(t) n X[n]cos3(2n/16) Zr = X[n]sen3(2n/16) Zi = Amplitud = r² + (Zi)²

0.0000 1.0000 0.5657 1.5657 0 1.5657 0.5657 0.0000 0.5657 A = 0.8

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630 1 0.6364 1.5364

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071 2 -0.5000 0.5000 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564 3 0.3293 0.1364 (radianes) 0.7854

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657 4 0.0000 0.5657 (grados) 45.00

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765 5 -0.0707 0.0293 Primer cuadrante (+,+)

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929 6 0.0657 0.0657 =

0.0073 -0.9239 0.3061 -0.6177 7 0.2364 -0.5707 (grados) = 45.00

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657 8 1.5657 0.0000

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630 9 0.6364 1.5364

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071 10 -0.5000 0.5000

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564 11 0.3293 0.1364

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657 12 0.0000 0.5657

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765 13 -0.0707 0.0293

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929 14 0.0657 0.0657

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177 15 0.2364 -0.5707

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Conclusión:

La amplitud A y el ángulo de fase encontrados pertenecen a la señal X3(t)

Corrimiento de la ventana

Se presenta el cálculo de 1A , 1 , 3A y 3 tomando como muestras la señal X(t) para

otras dos ventanas diferentes. En la tabla A1.5 se presenta la corrida para el cálculo de

3A y 3 (tercer armónico) y en la tabla A1.6 se presenta la corrida para calcular 1A y 1

(señal fundamental). Como se puede observar el valor del cálculo de la amplitud de las

señales es el mismo que cuando se calculó con la ventana en el origen t = 0. Sin

embargo para las ´s el valor calculado apunta en el ángulo en el que se hizo la primera

adquisición. En la figura A1.7 se muestra la gráfica de las señales en la ventana de

cálculo, en donde también, se puede observar el ángulo de desfase de ambas señales con

respecto a la primera adquisición.

Apéndice A1 - 15

Tabla A1.5 Corrida para calcular 3A y 3 (tercer armónico)

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

tiempo

Am

plit

ud

X1(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X3(t)

Figura A1.7 Gráfica de las señales en la ventana de cálculo


0.0000 1.0000 0.5657 1.5657 A = 0.8

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564 (radianes) 1.1781

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657 (grados) 67.50

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765 0 -0.0765 0.3061 0.0000 0.7391 Primer cuadrante (+,+)

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929 1 0.0355 0.0858 =

0.0073 -0.9239 0.3061 -0.6177 2 0.4368 -0.4368 (grados) = 67.50

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657 3 1.4465 0.5992

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630 4 0.0000 1.6630

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071 5 -0.6533 0.2706

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564 6 0.2520 0.2520

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657 7 -0.2165 0.5226

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765 8 -0.0765 0.0000

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929 9 0.0355 0.0858

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177 10 0.4368 -0.4368

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657 11 1.4465 0.5992

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630 12 0.0000 1.6630

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071 13 -0.6533 0.2706

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564 14 0.2520 0.2520

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657 15 -0.2165 0.5226

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Apéndice A1 - 16

Tabla A1.6 Corrida para calcular 1A y 1 (señal fundamental)

Cálculo de 1A , 1 y 3A , 3 para la segunda ventana diferente.

Las tablas A1.7 y A1.8 y la grafica A1.8 muestran el mismo experimento para una

tercer ventana presentándose nuevamente los resultados esperados


0.0000 1.0000 0.5657 1.5657 A = 1

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564 (radianes) 1.1781

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657 (grados) 67.50

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765 0 -0.0765 -0.3827 0.0000 -0.9239 Tercer cuadrante (-,-)

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929 1 0.0858 0.0355 = 180+

0.0073 0.9239 0.3061 -0.6177 2 -0.4368 -0.4368 (grados) = 247.50

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657 3 -0.5992 -1.4465

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630 4 0.0000 -1.6630

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071 5 0.2706 -0.6533

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564 6 -0.2520 0.2520

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657 7 -0.5226 0.2165

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765 8 -0.0765 0.0000

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929 9 0.0858 0.0355

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177 10 -0.4368 -0.4368

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657 11 -0.5992 -1.4465

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630 12 0.0000 -1.6630

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071 13 0.2706 -0.6533

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564 14 -0.2520 0.2520

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657 15 -0.5226 0.2165

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Apéndice A1 - 17

Tabla A1.7 Corrida para calcular 3A y 3 en la ventana 3

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

tiempo

Am

plit

ud

X1(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X3(t)

Figura A1.8 Gráfica de las señales en la tercera ventana de cálculo


0.0000 1.0000 0.5657 1.5657 A = 0.8

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564 (radianes) 0.7854

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657 (grados) 45.00

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765 Cuarto cuadrante (+,-)

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929 =360 -

0.0073 -0.9239 0.3061 -0.6177 (grados) = 315.00

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657 0 0.5657 0.5657 0.0000 -0.5657

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765 1 0.0293 0.0707

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929 2 0.0657 -0.0657

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177 3 -0.5707 -0.2364

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657 4 0.0000 -1.5657

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630 5 1.5364 -0.6364

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071 6 0.5000 0.5000

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564 7 0.1364 -0.3293

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657 8 0.5657 0.0000

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765 9 0.0293 0.0707

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929 10 0.0657 -0.0657

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177 11 -0.5707 -0.2364

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657 12 0.0000 -1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630 13 1.5364 -0.6364

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071 14 0.5000 0.5000

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564 15 0.1364 -0.3293

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Apéndice A1 - 18

Tabla A1.8 Corrida para calcular 1A y 1 en la ventana 3

tiempo X1(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X3(t) n X[n]cos(2n/16) Zr = X[n]sen(2n/16) Zi = Amplitud = r² + (Zi)²

0.0000 1.0000 0.5657 1.5657 A = 1

0.0010 0.9239 0.7391 1.6630

0.0021 0.7071 0.0000 0.7071 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 -0.7391 -0.3564 (radianes) 1.5708

0.0042 0.0000 -0.5657 -0.5657 (grados) 90.00

0.0052 -0.3827 0.3061 -0.0765 Primer cuadrante (+,+)

0.0063 -0.7071 0.8000 0.0929 =

0.0073 -0.9239 0.3061 -0.6177 (grados) = 90.00

0.0083 -1.0000 -0.5657 -1.5657

0.0094 -0.9239 -0.7391 -1.6630

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.7071

0.0115 -0.3827 0.7391 0.3564

0.0125 0.0000 0.5657 0.5657 0 0.5657 0.0000 0.0000 1.0000

0.0135 0.3827 -0.3061 0.0765 1 0.0707 0.0293

0.0146 0.7071 -0.8000 -0.0929 2 -0.0657 -0.0657

0.0156 0.9239 -0.3061 0.6177 3 0.2364 0.5707

0.0167 1.0000 0.5657 1.5657 4 0.0000 1.5657

0.0177 0.9239 0.7391 1.6630 5 -0.6364 1.5364

0.0188 0.7071 0.0000 0.7071 6 -0.5000 0.5000

0.0198 0.3827 -0.7391 -0.3564 7 0.3293 -0.1364

0.0208 0.0000 -0.5657 -0.5657 8 0.5657 0.0000

0.0219 -0.3827 0.3061 -0.0765 9 0.0707 0.0293

0.0229 -0.7071 0.8000 0.0929 10 -0.0657 -0.0657

0.0240 -0.9239 0.3061 -0.6177 11 0.2364 0.5707

0.0250 -1.0000 -0.5657 -1.5657 12 0.0000 1.5657

0.0260 -0.9239 -0.7391 -1.6630 13 -0.6364 1.5364

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.7071 14 -0.5000 0.5000

0.0281 -0.3827 0.7391 0.3564 15 0.3293 -0.1364

0.0292 0.0000 0.5657 0.5657

0.0302 0.3827 -0.3061 0.0765

Prueba con tres señales.

Finalmente se procede a hacer una última prueba con 3 señales.

)602cos(0.1)(1 ttX , frecuencia fundamental

)1202cos(2.0)(2 ttX , segunda armónica

)3/1802cos(4.0)(3 ttX , tercera armónica y

)()()()( 321 tXtXtXtX , señal fundamental con dos armónicas

Apéndice A1 - 19

Tabla A1.9 Valores de )602cos(0.1 t , )1202cos(2.0 t ,

)3/1802cos(4.0 t y )()()( 321 tXtXtX ,

tiempo X1(t) X2(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X2(t)+X3(t)

0.0000 1.0000 0.0000 0.2000 1.2000

0.0010 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790

0.0021 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106

0.0031 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068

0.0042 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464

0.0052 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891

0.0063 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207

0.0073 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218

0.0083 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000

0.0094 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106

0.0115 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761

0.0125 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464

0.0135 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719

0.0146 0.7071 0.0000 -0.3864 0.3207

0.0156 0.9239 -0.1414 -0.2435 0.5390

0.0167 1.0000 -0.2000 0.2000 1.0000

0.0177 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790

0.0188 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106

0.0198 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068

0.0208 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464

0.0219 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891

0.0229 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207

0.0240 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218

0.0250 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000

0.0260 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106

0.0281 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761

0.0292 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464

0.0302 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

tiempo

Am

plit

ud

X1(t) X2(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X2(t)+X3(t)

Figura A1.9 Gráfica de las cuatro señales.

Apéndice A1 - 20

Tabla A1.10 Corrida para )602cos(0.1)(1 ttX , frecuencia fundamental

tiempo X1(t) X2(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X2(t)+X3(t) n X[n]cos1(2n/16) Zr = X[n]sen1(2n/16) Zi = Amplitud = r² + (Zi)²

0.0000 1.0000 0.0000 0.2000 1.2000 A = 1

0.0010 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790

0.0021 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068 (radianes) 0.7854

0.0042 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464 (grados) 45.00

0.0052 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891 Primer cuadrante (+,+)

0.0063 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207 =

0.0073 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218 (grados) = 45.00

0.0083 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000

0.0094 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106

0.0115 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761

0.0125 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464

0.0135 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719

0.0146 0.7071 0.0000 -0.3864 0.3207 0 0.3207 0.7071 0.0000 0.7071

0.0156 0.9239 -0.1414 -0.2435 0.5390 1 0.4979 0.2062

0.0167 1.0000 -0.2000 0.2000 1.0000 2 0.7071 0.7071

0.0177 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790 3 0.4512 1.0893

0.0188 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106 4 0.0000 0.8106

0.0198 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068 5 -0.0791 0.1910

0.0208 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464 6 0.1035 -0.1035

0.0219 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891 7 0.1747 -0.0723

0.0229 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207 8 0.3207 0.0000

0.0240 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218 9 0.7592 0.3145

0.0250 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000 10 0.9899 0.9899

0.0260 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619 11 0.5594 1.3506

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106 12 0.0000 0.8106

0.0281 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761 13 0.0291 -0.0703

0.0292 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464 14 0.3864 -0.3864

0.0302 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719 15 0.4360 -0.1806

Apéndice A1 - 21

Tabla A1.11 Corrida para )1202cos(2.0)(2 ttX , segunda armónica


0.0000 1.0000 0.0000 0.2000 1.2000 A = 0.2

0.0010 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790

0.0021 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068 (radianes) 1.5708

0.0042 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464 (grados) 90.00

0.0052 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891 Cuarto cuadrante (+,-)

0.0063 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207 =360-

0.0073 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218 (grados) = 270.00

0.0083 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000

0.0094 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106

0.0115 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761

0.0125 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464

0.0135 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719

0.0146 0.7071 0.0000 -0.3864 0.3207 0 0.3207 0.0000 0.0000 -0.2000

0.0156 0.9239 -0.1414 -0.2435 0.5390 1 0.3811 0.3811

0.0167 1.0000 -0.2000 0.2000 1.0000 2 0.0000 1.0000

0.0177 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790 3 -0.8337 0.8337

0.0188 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106 4 -0.8106 0.0000

0.0198 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068 5 -0.1462 -0.1462

0.0208 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464 6 0.0000 0.1464

0.0219 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891 7 -0.1337 0.1337

0.0229 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207 8 -0.3207 0.0000

0.0240 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218 9 -0.5811 -0.5811

0.0250 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000 10 0.0000 -1.4000

0.0260 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619 11 1.0337 -1.0337

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106 12 0.8106 0.0000

0.0281 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761 13 -0.0538 -0.0538

0.0292 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464 14 0.0000 -0.5464

0.0302 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719 15 0.3337 -0.3337

Apéndice A1 - 22

Tabla A1.12 Corrida para )3/1802cos(4.0)(3 ttX , tercera armónica

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

tiempo

Am

plit

ud

X1(t) X2(t) X3(t) X(t)= X1(t)+X2(t)+X3(t)

Figura A1.10 Gráfica de las señales en la ventana de cálculo


0.0000 1.0000 0.0000 0.2000 1.2000 A = 0.4

0.0010 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790

0.0021 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106 = aseno(|Zi/A|)

0.0031 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068 (radianes) 0.2618

0.0042 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464 (grados) 15.00

0.0052 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891 Terser cuadrante (-,-)

0.0063 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207 =180+

0.0073 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218 (grados) = 195.00

0.0083 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000

0.0094 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619

0.0104 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106

0.0115 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761

0.0125 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464

0.0135 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719

0.0146 0.7071 0.0000 -0.3864 0.3207 0 0.3207 -0.3864 0.0000 -0.1035

0.0156 0.9239 -0.1414 -0.2435 0.5390 1 0.2062 0.4979

0.0167 1.0000 -0.2000 0.2000 1.0000 2 -0.7071 0.7071

0.0177 0.9239 -0.1414 0.3966 1.1790 3 -1.0893 -0.4512

0.0188 0.7071 0.0000 0.1035 0.8106 4 0.0000 -0.8106

0.0198 0.3827 0.1414 -0.3173 0.2068 5 0.1910 -0.0791

0.0208 0.0000 0.2000 -0.3464 -0.1464 6 -0.1035 -0.1035

0.0219 -0.3827 0.1414 0.0522 -0.1891 7 0.0723 -0.1747

0.0229 -0.7071 0.0000 0.3864 -0.3207 8 0.3207 0.0000

0.0240 -0.9239 -0.1414 0.2435 -0.8218 9 0.3145 0.7592

0.0250 -1.0000 -0.2000 -0.2000 -1.4000 10 -0.9899 0.9899

0.0260 -0.9239 -0.1414 -0.3966 -1.4619 11 -1.3506 -0.5594

0.0271 -0.7071 0.0000 -0.1035 -0.8106 12 0.0000 -0.8106

0.0281 -0.3827 0.1414 0.3173 0.0761 13 -0.0703 0.0291

0.0292 0.0000 0.2000 0.3464 0.5464 14 -0.3864 -0.3864

0.0302 0.3827 0.1414 -0.0522 0.4719 15 0.1806 -0.4360

Apéndice A1 - 23

A.1.3 Números complejos [32,33]

En ingeniería eléctrica los números complejos son usados para simplificar con simples

reglas algebraicas la manipulación de las señales sinusoidales y su visualización a través

de la geometría vectorial.

Los números imaginarios surgen como una necesidad de poder resolver la ecuación.

X 2 = - 1

El símbolo j se utiliza en ingeniería eléctrica para representar 1 , pro lo tanto, las

soluciones de la ecuación son:

jX

Los números complejos son una extensión de los números reales, están formados por un

número real y uno imaginario. Surgen como una necesidad de poder resolver la

ecuación cuadrática.

02 cbxax

Cuya solución para x es

a

acbbx

2

42

Ejemplo, sea la ecuación

012 xx

412

1

2

1x

86.05.0 jx

Por convención los números complejos se representan con la letra z y en general se

escriben como z = x + j y

A.1.4 Fórmula de Euler xixeix sincos

La fórmula de Euler se demuestra utilizando las series de Taylor. Las series para las

funciones trigonométricas seno y coseno se pueden reagrupar como sigue:

0

244642

!24!4...

!6!4!21cos

n

nn

n

x

n

xxxxx

Apéndice A1 - 24

0

3414753

!34!14...

!7!5!3sin

n

nn

n

x

n

xxxxxx

La serie para xe es:

0

43210

!...

!4!3!2!1!0 n

nx

n

xxxxxxe

y para ixe

000 !!! n

nn

n

nn

n

n

ix in

x

n

xi

n

ixe

reordenando términos y reagrupando los términos con i

0

3414

0

244

!34!14!24!4 n

nn

n

nnix

n

x

n

xi

n

x

n

xe

En donde se aprecia que la parte real es la serie de Taylor para el coseno y la imaginaria

la del seno, por lo tanto.

xixeix sincos

Las fórmulas de Euler inversas nos permiten escribir las funciones seno y coseno en

términos de exponentes complejos:

2cos

jj ee

j

eesen

jj

2

A.1.5 Representación gráfica vectorial.

Hasta antes de los números complejos la recta numérica fue suficiente para representar

los números reales, al agregarse la parte imaginaria se agrega también otra recta

perpendicular para representar la parte imaginaria (plano cartesiano).

Apéndice A1 - 25

El número complejo en el plano cartesiano queda representado como un punto con

coordenadas (x,y) o como un vector de longitud r y ángulo , figura A.1.11

Figura A.1.11 Plano complejo cartesiano

Como ya se mencionó, el número complejo esta determinado por

jyxz (1)

Las coordenadas (x,y) pueden ser determinadas por las identidades trigonométricas

cosrx (2)

rseny (3)

sustituyendo. (2) y (3) en (1)

rjsenrz cos

)(cos jsenrz (4)

aplicando la formula de Euler

jsene j cos

la ecuación (4) queda

jrez (5)

La ecuación anterior es definida como la forma exponencial compleja, gráficamente z

queda representado por el vector complejo de magnitud r y ángulo, figura A.1.12.

Apéndice A1 - 26

Figura A.1.12 Forma exponencial compleja

A partir del punto (x,y) se puede encontrar el vector complejo aplicando identidades

trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

x

yarctan (6)

22 yxr (7)

A.1.6 Vector complejo rotatorio

Dados los números complejos 1z , 2z y el producto 213 zzz en donde

1

11

jeAz y

2

22

jeAz

entonces:

212121

2121213

jjjjjeAAeeAAeAeAz

Del resultado anterior se concluye que en el producto de dos números complejos, las

amplitudes se multipliquen y los ángulos se suman.

Si la amplitud de uno de los complejos es uno, entonces la amplitud del vector producto

permanece constante mientras que el ángulo se incrementa, ver figura A.1.13

Apéndice A1 - 27

Figura A.1.13 Producto vectorial

Un número complejo representado en su forma exponencial compleja

jAe

cuyo argumento es el de una señala cosenoidal (señal de interes)

)2( tf

queda de la forma

)2()(

tfjAetZ

aplicando las leyes de los exponentes

)2(

)(tfjj eAetZ

(A.1.23)

Analizando Z(t) se observa que éste esta compuesto del producto de dos complejos.

Retomando el análisis gráfico que se hizojAe y

tfje

2son dos vectores en el plano

complejo. En donde jAe es un vector fijo y

tfje

2es un vector de amplitud uno y

variante con el tiempo (función compleja evaluada en el tiempo).

En la medida que t se incrementa el vector complejo Z(t) simplemente rotará a una tasa

constante, determinada por f2 describiendo un circulo de radio A , de tal modo que

Z(t) se convierte en un vector complejo rotatorio.

Al vector fijojAe compuesto por una amplitud A y un desfase se le denomina

fasor. De este hecho la señal exponencial compleja se le denomina también fasor

rotatorio.

El fasor rotatorio da una vuelta completa cada que el tiempo del ángulo )(t cambia

2 radianes.

El sentido de rotación es como se observa en la figura A.1.13 en sentido inverso a las

manecillas del reloj por que )2( ft se incrementa a medida que el tiempo se

incrementa.

Si la frecuencia es negativa, )2( ft cambia en dirección negativa a medida que se

incrementa el tiempo es decir que la rotación es en sentido de las manecillas del reloj.

De la ecuación (A.1.23) también se observa que para t = 0,

jAetZ )(

Por tal motivo a se le denomina ángulo de desfase, ya que es el ángulo con el que

inicia la señal de acuerdo a una referencia temporal.

Apéndice A2 - 1

A2

Artículos

Synchrophasor Design Based on a DSP-Microcontroller

Rafael San Vicente1, 2, Raúl Cortés2, Jaime Robles2, J. Enrique Chong-Quero1 1 Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México

Carretera Lago de Guadalupe Km 3.5 Col. M.M. Juárez 52926 Edo de Mex México Phone: +55 5864-5555 ext 2485, Email: [email protected], [email protected].

2Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Sección de Estudios de Postgrado e Investigación

Edificio Z-4, 1er. piso, Col. Lindavista- 07788 D. F. México Phone: +55 5729-6000 ext 54625 Email: [email protected], [email protected].

Abstract – The design of a synchrophasor based on a DSP-Microcontroller (C2000 family) is presented in this article. The standard temporal reference of this system is generated with a signal of 1 pulse per second (1PPS) from a Global Positioning System (GPS), this lets the measurement of the phase between two electrical signals that can be located far away one from the other. Synchrophasor is the acronym of synchronized phasor and it is a phasor measured and calculated by sampling with a standard temporal reference.

V1 δ1 V2 δ2 V3 δ3

Keywords –.Synchrophasor, DSP-Microcontroller.

I. INTRODUCTION

In the transmission of the electrical energy through the electrical network, the electical signal suffers a change on phase due to the electrical network, loads and energy flux.

The problems related to this is: To measure the change of phase that presents a single

electrical signal between two separete points. To measure the change of phase that present two different

electrical signals that are located far away. There is no problem to measure the amplitudes of two

electircal signals that are located far away from each other. This can be easily done measuring each signal with the same ground reference. The problem appears when the measurement is required to determine the phase between those signals because the we need a temporal reference.

With one instrument is possible to measure the phase in one electrical signal or between two electrical signals that are located near the instrument, because the measurements are taken with the same temporal reference of the instrument. This temporal reference given by the instrument is taken as soon as

the instrument is energized, it means that this reference is aleatory.

Due obvious reasons, it is impossible to measure two distant points with the same instrument. If we use two instruments (one for each remote signal) the reference will be different at each instrument and the measurement of the phase between those points will be impossible.

The problem related to measure the phase between two remote points (from the same signal or from different signals) can be solved synchronizing both instruments with the same temporal reference. This is explained in figure 1: in each node we can measure the amplitude V and the phase δ at the same time.

Fig. 1. Measurement’s synchronization.

Nowadays measuring the phasor with synchronization has more applications than just measuring the power flux [2,5], for example, it can be applied in protection relays and in the control of FACTS (Flexible AC Transmission Systems).

1-3 September, 2005 • Faro, Portugal

80 0-7803-9030-X/05/$20.00 ©2005 IEEE.

Authorized licensed use limited to: Tec de Monterrey. Downloaded on December 11, 2008 at 11:32 from IEEE Xplore. Restrictions apply.

A. Synchronization by GPS

The GPS system has 24 active satellites. The satellites describe orbits that let any point in the Earth to have “line sight” 24 hours a day with different satellites. The GPS system proportionate services as the position in geographical coordinates, the altitude above the sea, velocity and direction of a moving object, the magnetic derive in degrees, the time by the UTC (Universal Coordinated Time), the signal 1PPS and others [6].

A terrestrial GPS receives the signal from one or more satellites (for example, to calculate the geographical coordinates it is required the reception of the signal from three satellites). Once the receptor detects the signal with good strength from at least one satellite, it decodes the UTC and transmits it in synchronization with the 1PPS signal from each one of the instruments that measure the phasor (PMU) [2]. Each PMU uses the 1PPS signal to synchronize its own measurement system. After the measurement has done, the phasor is calculated and transmitted together with the UTC to a main processor which is responsible to calculate the difference of phase between each measured node. In figure 2 there is a block diagram that summarizes this process.

Fig. 2. Measurement system.

B. 1PPS Synchronization Signal

The 1PPS signal has a TTL level and is generated in the GPS receiver system. By omission, each time the receiver is energized, the 1PPS signal is generated even if the receiver doesn’t detect the signal from a satellite. Once the receiver

detects a satellite, the receiver synchronizes the rise time of the 1PPS with the reception of the UTC.

The 1PPS signal has a pulse width of 10 microseconds, the rise time takes usually less than 20 nanoseconds and a period of exactly one second ±100 nanoseconds. In the other hand, UTC is synchronized with a reference from a Cesium atomic clock of high stability that is contained in each satellite. The clock of each satellite is synchronized with a master clock, so each satellite sends the UTC signal at the same time. For any application where a GPS is required for synchronization, the rise time of the 1PPS signal has to be used because this is synchronized at each repetition of the UTC [6].

C. Measuring the Phase Angle

It is necessary to use the phase from one node as a reference to calculate the difference of phase between two or more nodes. This measurement is summarized in figure 3.

Fig. 3. Calculating the difference of phase between two nodes.

The procedure to calculate the difference of phase between two nodes is best described in the next steps:

• The 1PPS signal is received at the same time at each system.

• The phase angle between the measured signal and the 1PPS signal is calculated, this gives as a result the angles 1 and 2 (θ1 and θ2).

• Each system transmits the calculated angle and the specific time at which the measurement was done, to a main processor.

• The main processor calculates the difference of phase between each signal. If the system 1 (θ1) is used as the reference, the difference of phase with the signal 2 is δ2 = θ1-θ2.

Difference of phase = θ1 - θ2

1 PPS

Calculation of the phase angle

Main Proccesor

PMUn An,θn

PMU2 A2,θ2

PMU1A1,θ1

GPSn GPS2 GPS1

θ1

PMU 1

θ2

PMU 2


81


D. Phasor Calculation

When calculating the phasor (amplitude and phase) of a signal, the DFT is applied to a group of samples obtained with a window of one period size.

The sinusoidal signal represented in its polar form is as shown:

A∠θ (1) and

( ) ( )22

ir ZZA += (2)

r

i

ZZ

arctan=θ (3)

The synchrophasor is based on a GPS ACE III from Trimble, a DSP TMS320LF2407 from Texas Instruments (TI) and a personal computer (PC). The GPS provides the 1PPS and the UTC signals to synchronize the measurements. The DSP calculates from each signal the amplitude and the angle with the 1PPS reference. The PC receives the angles and the amplitudes, makes a process, saves the results and sends the information to a server to publish the results on a web page. A remote PC receives the signals from the different locations to calculate the phase between each signal. To do this calculation the remote PC has to know the reference node, with the reference node and the UTC the remote PC calculates the phase angle between the signals that have the same UTC.

= ∑

−

= NnnX

NjZi

N

n

π2sin][2 1

0 (4)

[ ]∑

−

=

=

1

0

2cos2 N

n NnnX

NZr π

(5)

The GPS receiver use an asynchronous serial port to transmit the UTC and more data in a NMEA 0183 standard protocol (National Marine Electronics Association), (Trimble Navigation Limited, 2000). There are more protocols, but NMEA is the simplest and chipset protocol. It requires a one way communication only (simplex) and uses the ASCII code. Other protocols require a full duplex communication and software to interpret the binary code. In the other hand, the NMEA protocol is widely used by the GPS receivers. In figure 4 the block diagram of the system is shown.

Where X[n] are the samples and N is the number of samples obtained by the window in one period. For the implementation a minimum of 12 samples are required [2] and we implemented it with 16 samples. The calculation process is applied on the electrical system in each one of the three lines of 60 Hz (voltage and current).

The DSP TMS320LF2407 is a system from the C2000 family from TI. This family was one of the first to integrate a DSP of fixed point in a single chip (CI). This new generation of processors is known as a DSP microcontroller because it integrates the abilities of a DSP and a microcontroller. The system presented in this paper is cheap and this is due the use of the DSP microcontroller.

II. DESIGN OF THE INSTRUMENT In detail, in the figure 4 we can find that the Analog to Digital Converter (ADC) of 10 bits and 16 input channels is inside the DSP (only 6 channels are used on the system). The ADC is responsible to digitize the analog signals of current and voltage, which has been previously conditioned to give 0 to 3.3 volts (this is the range accepted by the ADC). The timer generates the sample period. 16 samples per period are required from each signal. The beginning of the acquisition is synchronized with the external interrupt signal (XINT1) which is generated from the 1PPS of the GPS. Also the baud rate (BR) is generated by the timer and requires a serial communication interface (SCI). At the RX pin, the DSP receives the UTC from the GPS. After the calculation of the phasor, the DSP at pin TX transmits the amplitude and the phase angle to the PC. In the communication between the DSP and the PC is required a circuit to generate the electrical levels that the RS232 requires.

The advantage of using a DSP-Microcontroller is that most of the systems required to calculate the synchrophasor are located together with the main processor embedded in a single chip [3] as shown in figure 4. This arrangement lets the development of very low cost circuits to calculate the synchrophasor.

. . .

Tx

Electric signals

. . .

Sensors and

signal setup

PC

GPS 1PPS

DIGITAL I/O

32K 32K Data Memory

Program Memory

Rx Tx

SCI

UART

ADC

10bits

16 Channels

Timer

OSC/PLL WD

DSP CPU INT

III. ALGORITHM

The development of the preprocessing consists in the preparation of a trigonometric function table in a format of integer numbers. This table contains the trigonometric values and the operations between the constants that are required to calculate the phasor. Fig. 4. Block diagram of a synchrophasor.

If we know the resolution and intervals required in a digital measuring equipment, then it is possible to develop the

WISP 2005

82


necessary algorithms for an application with the minimum code length and also that requires the minimum time for processing.

TABLE I.

TABLE SIN AND TABLE COS The preprocessing is required to avoid that some

calculations are done several times. θ CteS Table sin CteC Table cos

n 2pn/16 1/8*sin(θ) CteS* 128 1/8*cos(θ) CteC*128

0 0.000000 0.000000 0 0.125000 16

1 0.392699 0.047835 6 0.115485 15

2 0.785398 0.088388 11 0.088388 11

3 1.178097 0.115485 15 0.047835 6

4 1.570796 0.125000 16 0.000000 0

5 1.963495 0.115485 15 -0.047835 -6

6 2.356194 0.088388 11 -0.088388 -11

7 2.748894 0.047835 6 -0.115485 -15

8 3.141593 0.000000 0 -0.125000 -16

9 3.534292 -0.047835 -6 -0.115485 -15

10 3.926991 -0.088388 -11 -0.088388 -11

11 4.319690 -0.115485 -15 -0.047835 -6

12 4.712389 -0.125000 -16 0.000000 0

13 5.105088 -0.115485 -15 0.047835 6

14 5.497787 -0.088388 -11 0.088388 11

15 5.890486 -0.047835 -6 0.115485 15

In the practice, usually there are different algorithms to solve one mathematical problem. When talking about synchrophasor [4], it is required an optimization of the algorithm to obtain: • Less time for processing. • Code length minimization. The minimization of the time for processing is not always

completely dependant to the minimization of the code length, it depends on the velocity of processing (MIPS) of the processor. Of course, a minimized algorithm will be always faster in any processor.

New embedded systems have a high scale of integration that lets discriminate the problem of memory requirement. DSP-Microcontrollers have this advantage.

IV. AMPLITUDE LOOK UP TABLE

If equation (4) is developed without taking care of the “j” operator, the next is obtained

[ ] ( ) [ ]

++=

16152sin...0sin

162

150πXXZi (6)

TABLE II.

AMPLITUDE CALCULATION.

[ ] ( ) [ ] ( 89.5sin81...0sin

81

150 XZXZi ++= ) (7)

Signal X[n]*Tablesin Zi/128 X[n]*Tablecos Zr/128 Amplitude

117 0 83 1872 111 139

130 796 1922

127 1437 1437

123 1818 753

96 1536 0

51 754 -312

-6 -68 68

-64 -392 946

-108 0 1728

-136 833 2010

-140 1584 1584

-117 1730 716

-76 1216 0

-25 370 -153

36 -407 407

85 -520 1256

The idea is to generate the table for the sinusoidal function

taking into account the operation with 1/8 and the multiplication with 2n to obtain an integer number by each product that also gives the desired resolution.

The idea of multiplying with 2n is that when we recover the original value dividing by 2n, this could be done with simple left rotations in case the microcontroller doesn’t have the division instruction.

E. Example to Generate the Table for sin(), cos() and the Amplitude

The minimum integer number “(1/8)*sin()*2n” is obtained with n = 7, then, the table can be done with n ≥ 7. Table I and II are examples obtained for n = 7.

V. ANGLE LOOK UP TABLE After A the amplitude is obtained, the values for ,

and rZ iZ

θ can be obtained applying different functions like arctan, arcsin or arccos. If we analyze the arguments of the three functions, / , /iZ rZ iZ A y /rZ A respectively varying the angle from 0 to 90°, the next is obtained:


83


0 ≤ Z / rZ < ∞ (8) i but due QuoteInteger are cero numerator = remainder (12) 0 ≤ Z /i A ≤ 1 (9)

VI. TESTS AND RESULTS. 1 ≥ Z /r A ≥ 0 (10) The tests results obtained for the measurement of the

exactitude in the amplitude and phase are presented. Also the analysis of the processing time to obtain the angle is presented. This angle is obtained through the revision between the values obtained with the use of the Taylor series.

The argument of arctan function (8) has discontinuities that are difficult to implement in a fixed point DSP, while the arcsin function (9) and the arcos function (10) give results between 0 and 1. Because of this, the arcsin function is the most appropriate to generate a LUT. Special emphasis to the use of the DSP-Microcontroller and

to the use of the computational algorithm is given in this article. Due this emphasis, the presented results were done without the use of the “Sensors and Signal Setup” block (fig.4). A function generator was used to provide the electrical signals to the ADC, and an oscilloscope was used to check the measurements.

F. Procedure to Develop the arcsin Table

Taking into account that division operations in assembler language generate two results (quotient and remainder) it is possible to develop a table to obtain the angle with any of the two results. As it is shown, all the QuoteInteger from the relation /iZ A are 0 (except when = iZ A ) then, the idea is to generate a group of quotients in fractions from 0 to 1 which remainders are integer numbers that can be used as pointers of the table. The next procedure is proposed:

G. Amplitude Tests.

The system was designed to be used with distribution lines of electrical energy of 220 Vrms. Considering a 20% of over voltages, the maximum range is 264 Vrms or 374 Vpp, in other words, the maximum range for the equipment is 748 Vpp. The 10 bit ADC lets the correct measurement of a signal of 1023 Vpp with a resolution of 1 V. A resolution of 1 V is the required parameter, then the instrument range is from 0 V to 511 Vp. In figure 5 is shown a graph of the difference between the input voltage and the measured voltage.

1. The size of the table is determined; it means that

for the number of steps required depends on the resolution of the angle that is required. For example, if the pointer register has 8 bits, the table will have 256 steps (from 0 to 255); this doesn’t mean that the resolution will be 1/255° because the relation /iZ A takes values from the sinusoidal.

2. A list of 256 quotients is generated from 0 to 1 with integer remainders from 0 to 255. This list has the form: 0, 1/255, 2/255, … , 255/255.

Table III shows an example of a portion of the table for 256

steps.

TABLE III.

ARCSIN TABLE

remainder Quote θ= Arcsin(n/255) Radians

θ Grades

0 0 0 0

1 0.00392157 0.00392158 0

2 0.00784314 0.00784322 0

3 0.01176471 0.01176498 1

255 0.99999999999997 1.5707962 90

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 100 200 300 400 500 600

Voltage in volts

Diff

eren

ce in

vol

ts

Fig. 5. Magnitude difference. The maximum error in the range was of 2 V, which is a

0.39% of the total range, and this is acceptable for this application. The results were the expected, considering the quantization errors from the ADC (± 1/2 LSB) and the rounding

From the arithmetic algorithms required for the division it is

possible to demonstrate that for this case the remainder is equal to the numerator.

numerator = denominator*QuoteInteger + remainder (11)

WISP 2005

84


H. Angle Test where z = Zi/Zr To obtain a precision of 2 degrees near of 45 degrees, the

series is extended until the z5/5 term. This implies at least 10 operations and in the best cases the same number of cycles.

With and exact frequency of 60.00000 Hz, the 1PPS is always in the same position with respect to the signal that will be measured. To move the relative position between both signals, it was necessary to make a little variation in the frequency signal (towards or backwards, 60.00001 Hz for example). Once the signals are in the required position, the frequency is readjusted to 60.00000 Hz to make the measurement.

Using the arcsen function and the LUT here proponed, the operations are reduced to:

• Zi/A => cero QuoteInteger and remainder. • remainder => data memory addressing => one

cycle. In figure 6 is shown the graph of the difference between the angle measured in the oscilloscope and the angle measured with the developed instrument. Those tests were captured in two tables, one in 255 steps and the other in 1023 steps.

• TBLR (table read) => three cycles. The algorithm with the LUT is realized in four machine

cycles in a DSP.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

60 70 80 90

Degrees

Diff

eren

ce in

deg

rees

255 Steps

1023 Steps

CONCLUSION

The use of look up tables let realize the phasorial measurement of a signal of 60 Hz using microcontrollers or fixed point DSP-Microcontrollers.

The processing time of the algorithm is reduced notoriously due to the elimination the use of power series in the calculus of trigonometric functions.

Depending on the resolution that is required, the size of the tables can be bigger. For the applications of a synchrophasor where it is required a resolution of 1 degree for the angle, a table of 8 bits (256 steps) is enough.

REFERENCES

[1] Martin, K. E.; Benmouyal G.; Adamiak, M. G.; Begovic, M.; Burnett, R.O., Jr.; Carr, K. R.; Cobb, A. Kusters, J. A.; Horowitz, S. H.; Jensen, G. R.; Michel, G. L.; Murphy, R.J.; Phadke, A. G..; Sachdev, M.S.; Thorp, J.S. “IEEE standard for synchrophasors for power systems”. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No. 1, January 1998

Fig. 6. Angle difference. The maximum angle error was of 2 degrees (1023 steps

table), which is a 2.2% of the total range. This is acceptable for the application. The error in angles near 90 degrees can be reducing by using a bigger table

[2] Phadke, A. G. “Synchronized phasor measurements, Chapter 6. IEEE Tutorial Course”, Advancements in microprocessor based protection and communication.1997

[3] Texas Instrument. “TMS320LF/LC240xA DSP Controllers Reference Guide System and Peripherals” Dallas, Texas 75265. Revised December 2001

I. Temporal Analysis of the Algorithm.

[4] Electric Power Research Institute, IECASA Team “Intelligrid use case SynchroPhasor Domain Description” Intelligrid Architecture Volume II. Palo Alto, California 94304 USA. 2004

A high speed of processing gives better characteristics to the instrument in applications of protection and control

As was mentioned before, the processing time of any algorithm depends on the MIPS of the processor, but the algorithm that uses less number of instructions will be the faster. The angle calculation is realized by the use of the arctan Taylor series.

[5] Anderson, Chris, Fearn, Brian, Guzmán, Armando, Moxley, Roy.“Using SEL-421 relay synchrophasors in basic applications.” SEL Application Guide, Vol. 1. 2003

[6] Trimble Navigation Limited. “ACE III GPS™ System Designer Reference Manual.” Sunnyvale, CA. 2000

( ) 1;...53

tan53

1 ⟨−+−=− zzzzz (13)


85


Abstract— An algorithm based on the angle variations of the

current phasor under failure conditions is presented. The current phasor is calculated with the recursive algorithm of the Discrete Fourier Transform (RDFT). The behavior of the phasor’s angle is analyzed under frequency variations according to the standard (±0.5Hz or 0.8% of the nominal frequency). Also the behavior of the phasor’s angle is analyzed under failure conditions, simulating different faults in different instants of the sinusoidal waveform of the current. Finally, the obtained algorithm is presented.

Index Terms—Discrete Fourier transforms, RDFT, Protective relaying, Fault currents.

I. INTRODUCTION

or a quick failure detection (in less than a quarter of a period), the principal problem is the evidence because it will be different every time is presented. For example, if

the failure occurs when the waveform is decreasing, (after the positive peak) the measured samples of the signal will be very similar to the typical signal [1], [2], [3].

Under normal conditions of operation, the voltage and current signals will be similar to a sinusoidal waveform. On the other hand, when a failure or disturbance is presented, many transients are generated and the frequency spectrum will be different [4]. Many studies have been developed to analyze the difference between the angles of the three phases when a failure is presented [5]. Many studies have been developed to analyze the difference between the angles in different nodes of a network when a failure is presented [6]. This paper proposes the detection of the failure by means of the angular difference sample to sample between the phase angles of the failure signal and the same signal one period before the fault.

To measure sample to sample the phase difference of a signal, it is used the recursive algorithm of the DFT (RDFT). The RDFT is the most tested algorithm [4], [7]. The real and imaginary components are calculated with the next equations:

( )−+= −− NkXX

NXX Nkkrkrk

π2cos21

(1)

( )−+= −− NkXX

NXX Nkkikik

π2sin21

(2)

II. ACTUAL SITUATION

In an electrical energy system, the frequency of the voltage at different points is quiet different and always changes, therefore, an error in the phasor calculation around 60 Hz is presented. This is due the sampled data in the time window of fixed width do not correspond to an entire cycle of the waveform and does not satisfy the signal periodicity conditions of the Fourier transform [8].

As shown in Figure 1, for a frequency variation from 59 Hz to 61 Hz, an error in the phase of less than ±10 degrees is presented. Then, under normal conditions of operation in an electrical network, a phase difference of less than 10 degrees between period to period should be presented. This is because for standards, the maximum frequency variation in an electrical network is ±0.5 Hz (0.8% of the nominal frequency).

Figure 2 shows the phase error period to period in a signal of 5 periods that varies upwards and downwards 0.1 Hz in frequency, from 59.8 Hz to 61.2 Hz. In this figure is observed a maximum phase error of 3.5 degrees. Every time there are little phase angle variations, but when a failure is presented, the variations are more evident, this is shown in the next section.

Algorithm for Instant Overcurrent Relays Based on the Angle Variations of Current Phasor

Rafael San Vicente1, 2, Raúl Cortés2, Jaime Robles2, J. Enrique Chong-Quero1

1 Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México, México 2Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, D.F. México

F

Fig. 1. Phase and amplitude error presented when the frequency of the signal is different from 60 Hz (from [9]).

-3-2-10123

0 0.02 0.04 0.06 0.08time [seg]

Phas

e er

ror [

°]

Fig. 2. Phase error in a signal with variations from 59.8 Hz to 60.2 Hz.

978-1-4244-1706-3/08/$25.00 ©2008 IEEE.


III. ALGORITHM

In a transmission line, under normal conditions of operation, signals change slowly, each moment, a period of a signal is similar to one period before. Then, comparing the phase difference of the signal under failure conditions, with the phase difference that should be expected (one period before), it is possible to detect the failure in the first sample after the failure is presented.

The difference in the angles period to period is given by:

= k – k-N (3)

If the angles are calculated sample to sample and the differences are calculated, the values will be normal until a failure is presented, as is shown in figure 3 (the criterions that determine if an angle difference is normal will be presented next).

In section IV, calculations of the angular differences in a failure to typical ground [1], [2], [3] are plotted. The calculations for failures at different instants (angles) in a normal signal are presented. Doted lines mark out the signals to one quarter of the period after the failure. In Figure 6 the angular difference period to period is presented and also other rates are presented, like the difference of the differences period to period, the angular difference sample to sample and the difference of the differences sample to sample. It is shown that the angular difference period to period is the one that presents more differences when a failure is presented.

Variations of the amplitude percentage at different instants of the failure are presented in Table 1 and Figure 5. Making the same experiment shown in section IV, but with different variations of the percentage of the amplitudes during failure, the values presented in Table 1 are obtained and plotted in Figure 4. The values presented in Table 1 are obtained measuring the maximum angular variations presented in less than a quarter of one period of the signal.

As it can be seen, angular variations are minimized at the angular instants of 45, 135, 225 y 315 degrees, which are the instants when the signal is at the half of the ascending waveform and at the half of the descending waveform at each semicycle; but, these variations are considerably bigger to the normal variations presented in a signal without failure and in operation with minimum frequency variations (59.5 to 60.5 Hz) [9], Figure 5.

IV. SIMULATION

The variations of the angular differences at different moments of the failure are presented in this section. The doted vertical lines remark one quarter of the period after the failure happens.

1θ 1θ ′ 2θ ′2θ 3θ 3θ ′

1’ – 1 => Normal 2’ – 2 => Normal 3’ – 3 => Abnormal

Fig. 3. Angular difference period to period.

TABLE IANGULAR DIFFERENCE

0 1.1 1.8 3.2 4.6 5.9 11.2 15.1 18.0 20.4 21.3

22.5 1.6 1.6 3.1 4.3 5.3 9.5 12.3 14.2 15.7 16.2

45 2.1 2.5 2.8 3.4 3.8 5.6 7.1 8.3 9.4 9.8

67.5 2.1 2.5 2.8 3.4 3.8 5.6 7.1 8.3 17.2 17.9

90 3.4 4.9 6.4 7.7 9.0 14.1 17.8 20.6 22.9 24.0

112.5 0.8 2.3 3.7 5.0 6.2 11.2 14.9 17.7 19.8 20.7

135 0.5 0.8 1.2 1.7 2.5 5.1 7.4 9.2 10.9 11.8

157.5 1.3 2.2 3.3 4.4 5.4 10.2 14.3 17.8 20.8 21.9

180 1.5 3.0 4.5 5.9 7.2 12.4 16.3 19.3 21.6 22.3

202.5 1.5 2.7 4.0 5.2 6.3 10.5 13.3 15.2 16.7 17.3

225 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 5.4 6.8 8.0 9.0 9.4

247.5 2.7 3.7 4.7 5.7 6.6 10.2 13.0 15.6 16.9 17.5

270 3.2 4.7 6.1 7.4 8.6 13.6 17.2 20.0 22.2 23.3

292.5 3.2 4.8 6.3 7.6 8.9 14.0 17.7 20.5 23.0 24.2

315 2.3 3.1 3.8 4.5 5.2 8.2 10.7 12.8 14.6 15.7

337.5 1.1 0.8 2.0 3.1 4.1 8.9 13.0 16.5 19.5 20.7

Failu

re’s

Inst

ant

[º]

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.00 4.00 5.00 6.00 6.45



0

10

20

30

0 45 90 135 180 225 270 315Failure’s Instant [ º ]

Angular Difference [ º ]

1.2 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 6 6.45

h

Fig. 4. Differentiates of the angles period to period with different amplitudes and in different instants

05

1015202530

0 50 100 150 200 250 300 350Failure instant [°]

Ang

ular

Diff

eren

ce [°

]

6.45% of amplitude variation Maximum normal variationl

Normal phase angle i i

Failure zone

Tolerance zone

Fig. 5. Zones of angular variation period to period with a failure of the 6.45% of amplitude.


V. CONCLUSION

It is possible to detect an electrical failure by measuring the angular difference of the phase between a signal with failure and a normal signal (the same current signal one period before).

As more samples per period are obtained and more powerful algorithms are developed to calculate phasors on line between sample to sample; it will be possible to detect failures on real time if measurements are correctly executed

If the frequency variations are by up of the standard, the algorithm will detect a fault and there will not be a difference between amplitude failure and frequency failure.

REFERENCES

[1] E.C. Senger, G. Manassero Jr, C. Goldemberg, and E. Lorenzetti Pellini “Automated Fault Location System for Primary Distribution Networks,” IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 20, No. 2, April 2005

[2] SEL-311A Data Sheet Schweitzer Engineering Laboratories, Inc. Event Reporting and Sequential Events Recorder (SER).

[3] G. Benmouyal and A. Guzmán “Synchronized Phasor Measurement in Protective Relays for Protection, Control, and Analysis of Electric Power Systems,” 29th Annual Western Protective Relay Conference Spokane, Washington October 22-24, 2002

[4] T.S. Sidhu, X. Zhang, F. Albasri and M.S. Sachdev, “Discrete-Fourier-transform-based technique for removal of decaying DC offset from phasor estimates,” TEE hoc.-Gner, Tw Dlrrr&. Vol. 150, No. 6, Nowdm 2003

[5] M.S. Sachdev, T.S. Sidhu, I. Uttamchandani and W.O. Kennedy “Design of Phase and Amplitude Comparators for Transmission Line Protection,” 1991 Conference on Communications. Power and

Amplitude

-8

0

890º

time

-30

-5

20

¼ T90º

time

Amplitude

-8

0

845º

-30

-5

20

45º

time

time

Amplitude

-8

0

8315º

time

-30

-5

20

315º

time

Amplitude

-8

0

8270º

time

-30

-5

20

270º

time

Fig. 7. Angular variation when the failure is presented between 90 and 270 degrees.

-30

-10

10

Time [seg]

[°] Angular Difference

Difference of the differences sample to sampleDifference sample to sampleDifference period to periodDifference of the differences period to period

Fig. 6. Different angular relations are shown. The angular difference period to period is the one that presents more differences when a failure is presented

Amplitude

-8

0

8225º

time

-30

-5

20

225º

time

Amplitude

-8

0

8180º

time

-30

-5

20

180º

time

Amplitude

-8

0

8135º

time

-30

-5

20

135º

time

Fig. 8. Angular variation when the failure is presented between 225 and 135 degrees


Computing, WESCANEX'97 Proceedings; Winnipeg, MB; May 22-23, 1997; pp. 179-184

[6] A. Guzman, S. Samineni, and M. Bryson, “Protective Relay Synchrophasor Measurements during Fault Conditions,” Schweitzer Engineering Laboratories, Inc. Copyright © SEL 2005 (All rights reserved) 20050920 TP6214-01

[7] V. Madisetti and D.B Williams, The Digital Signal Processing Handbook, CRC Press, B m Raton, FL, 1997

[8] Y. Xu, and B. Ju “Synchronized phasor measuring method using recursive DFT with a window function,” 2005 IEEE/PES transmission and Distribution Conference & Exhibition Asia and Pacific, Dalian, China.

[9] Z. Zhong, C. Xu, B.J. Billian, L. Zhang, S.S. Tsai, R.W. Conners, V.A. Centeno, A.G. Phadke and Y. Liu, “Power System Frequency Monitoring. Network (FNET) Implementation,” IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 20, No. 4, November 2005


Abstract –– Synchrophasor is the acronym of synchronized

phasor and it is a phasor measured and calculated by sampling

with a standard temporal reference. The utility of a

synchrophasor is to measure the angle of phase between two

electrical signals placed in remote nodes. In the article is

expressed the computational algorithm to calculate the phasor

of the fundamental component (60 Hz) of an electrical signal.

This algorithm is implemented with the Discrete Fourier

Transform (DFT) and a Look Up Table (LUT) which in

junction lets diminish the process time. It is also presented an

algorithm which uses the same technique to obtain the inverse

trigonometric function that is required to calculate the phase

angle. The full algorithm presented in this paper was

implemented in a DSP-Microcontroller, fixed point from

C2000 family. The Standard temporal reference is generated

with a signal of 1 pulse per second (1PPS) from a Global

Positioning System (GPS).

Keywords –– DSP-Microcontroller, Synchrophasor, Look

up table

I. INTRODUCTION

IEEE 1344 Standard [1] defines a phasor as the complex

equivalent in polar form of a sinusoidal signal in which the

complex module is the amplitude and the angle is the phase

of the sinusoidal signal. In the same Standard,

synchrophasor is the acronym of synchronized phasor and it

is a phasor measured and calculated by sampling with a

standard temporal reference.

When calculating the phasor (amplitude and phase) of a

signal, the DFT is applied to a group of samples obtained

with a window of one period size [2]. The sinusoidal signal

represented in its polar form is as shown:

A∠θ (1)

and

( ) ( )22ir ZZA +=

(2)

r

i

Z

Zarctan=θ

(3)

= ∑

−

=N

nnX

NjZi

N

n

π2sin][

21

0 (4)

[ ]∑−

=

=

1

0

2cos

2N

nN

nnX

NZr

π

(5)

Where [ ]nX are the samples and N is the number of

samples obtained by the window in one period. For the

implementation a minimum of 12 samples are required [2]

and we implemented it with 16 samples. The calculation

process is applied on the electrical system in each one of the

three lines of 60 Hz (voltage and current).

The problem consist in the implementation of the

equations (2) to (4) with the minimum code length in a DSP-

Microcontroller of fixed point, in which usually it is only

possible to develop arithmetic instructions like plus, minus,

multiplication and division.

II. METHODOLOGY

The computational algorithm presented was

implemented in the TMS320F247 DSP-Microcontroller

from the C2000 family of Texas Instrument. The use of a

preprocessing algorithm based on Look Up Tables (LUT) is

important. These tables contain the trigonometric values and

the operations between the constants that are required to

calculate the phasor [5].

1) Hardware development: The advantage of using a

DSP-Microcontroller is that most of the systems required to

calculate the synchrophasor are located together with the

main processor embedded in a single chip [3] as shown in

figure 1. This arrangement lets the development of very low

cost circuits to calculate the synchrophasor The GPS

generates a signal of one pulse per second (1PPS), which is

DSP-Microcontroller Implementations of a Simplified Algorithm for

Synchrophasor Calculation

Rafael San Vicente1, 2

, Raúl Cortés2, Jaime Robles

2, J. Enrique Chong-Quero

1

1 Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México

Carretera Lago de Guadalupe Km 3.5 Col. M.M. Juárez 52926 Edo de Mex México

Phone: +55 5864-5555 ext 2485, E-mail: [email protected], [email protected]. 2Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Sección de Estudios de Postgrado e Investigación

Edificio Z-4, 1er. piso, Col. Lindavista- 07788 D. F. México

Phone: +55 5729-6000 ext 54625 E-mail: [email protected], [email protected].

2nd International Conference on Electrical and Electronics Engineering (ICEEE) and XI Conference on Electrical Engineering (CIE 2005)

Mexico City, Mexico. September 7-9, 2005

IEEE Catalog Number: 05EX1097

ISBN: 0-7803-9230-2

0-7803-9230-2/05/$20.00 ©2005 IEEE.

408


delivered to all the synchrophasors at the same time. With

the 1PPS, the synchrophasors calculate the phasor. The GPS

also sends the actual hour to the DSP through the Rx pin

with a resolution of one second. Once the pashor is

calculated, it is transmitted with the hour to a remote

personal computer (PC) through the Tx pin to calculate the

difference of phase between all the signals transmitted from

the synchrophasors.

Fig. 1. Block diagram of synchrophasor.

2) algorithm development: The preprocessing

algorithm consist in the preparation of a table that contains

the integer values of some trigonometric functions and the

results of some operations that are used in the calculation of

the phasor.

If we know the resolution and intervals required in

digital measuring equipment, then it is possible to develop

the necessary algorithms for an application with the

minimum code length and also that requires the minimum

time for processing. The preprocessing is required to avoid

that some calculations are done several times.

In the practice, usually there are different algorithms to

solve one mathematical problem. When talking about

synchrophasor [4], it is required an optimization of the

algorithm to obtain:

• Less time for processing.

• Code length minimization.

The minimization of the time for processing is not

always completely dependant to the minimization of the

code length, it depends on the velocity of processing (MIPS)

of the processor. Of course, a minimized algorithm will be

always faster in any processor. New embedded systems have

a high scale of integration that lets discriminate the problem

of memory requirement. DSP-Microcontrollers have this

advantage.

III. RESULTS

A. Look Up Table Amplitude

If equation (4) is developed without taking care of the “j”

operator, the next is obtained

[ ] ( ) [ ]

++=

16

152sin...0sin

16

2150

πXXZi (6)

[ ] ( ) [ ] ( )89.5sin8

1...0sin

8

1150 XXZi ++= (7)

The idea is to generate the table for the sinusoidal

function taking into account the operation with 1/8 and the

multiplication with 2n to obtain an integer number by each

product that also gives the desired resolution.

The idea of multiplying with 2n is that when we recover

the original value dividing by 2n, this could be done with

simple left rotations in case the microcontroller doesn’t have

the division instruction.

B. Example to Generate the Table for sin(), cos() and the

Amplitude

The minimum integer number “(1/8)*sin()*2n” is

obtained with n = 7, then, the table can be done with n ≥ 7.

Table I and II are examples obtained for n = 7.

TABLE I

TABLE SIN AND TABLE COS

θ CteS Tablesin CteC Tablecos

n 2pn/16 1/8*sin(θ) CteS* 128 1/8*cos(θ) CteC*128

0 0.000000 0.000000 0 0.125000 16

1 0.392699 0.047835 6 0.115485 15

2 0.785398 0.088388 11 0.088388 11

3 1.178097 0.115485 15 0.047835 6

4 1.570796 0.125000 16 0.000000 0

5 1.963495 0.115485 15 -0.047835 -6

6 2.356194 0.088388 11 -0.088388 -11

7 2.748894 0.047835 6 -0.115485 -15

8 3.141593 0.000000 0 -0.125000 -16

9 3.534292 -0.047835 -6 -0.115485 -15

10 3.926991 -0.088388 -11 -0.088388 -11

11 4.319690 -0.115485 -15 -0.047835 -6

12 4.712389 -0.125000 -16 0.000000 0

13 5.105088 -0.115485 -15 0.047835 6

14 5.497787 -0.088388 -11 0.088388 11

15 5.890486 -0.047835 -6 0.115485 15

DSP CPU INT

OSC/PLL

WD

Timer

ADC

10bits

16

Channels

Rx

Tx

SCI

UART

Program

Memory

Data

Memory 32K 32K

Digital I/O

GPS

PC

Sensors and

signal

setup

.

.

.

Electric

signals

Tx 1PPS

.

.

.


ISBN: 0-7803-9230-2 409


TABLE II

AMPLITUDE CALULATION

Signal X[n]*Tablesin Zi/128 X[n]*Tablecos Zr/128 Amplitude

117 0 83 1872 111 139

130 796 1922

127 1437 1437

123 1818 753

96 1536 0

51 754 -312

-6 -68 68

-64 -392 946

-108 0 1728

-136 833 2010

-140 1584 1584

-117 1730 716

-76 1216 0

-25 370 -153

36 -407 407

85 -520 1256

C. Look Up Table Angle

After A the amplitude is obtained, the values for Zr, Zi

andθcan be obtained applying different functions like arctan,

arcsin or arccos. If we analyze the arguments of the three

functions, Zi/Zr, Zi /A and Zr /A respectively varying the

angle from 0 to 90°, the next is obtained:

0 ≤ iZ / rZ < ∞ (8)

0 ≤ iZ / A ≤ 1 (9)

1 ≥ rZ / A ≥ 0 (10)

The argument of arctan function (8) has discontinuities that

are difficult to implement in a fixed point DSP, while the

arcsin function (9) and the arcos function (10) give results

between 0 and 1. Because of this, the arcsin function is the

most appropriate to generate a LUT.

D. Procedure to Develop the Arcsin Table

Taking into account that division operations in assembler

language generate two results (quotient and remainder) it is

possible to develop a table to obtain the angle with any of

the two results. As it is shown, all the QuoteInteger from the

relation iZ / A are 0 (except when iZ = A ) then, the idea

is to generate a group of quotients in fractions from 0 to 1

which remainders are integer numbers that can be used as

pointers of the table. The next procedure is proposed:

1. The size of the table is determined; it means that for

the number of steps required depends on the

resolution of the angle that is required. For example,

if the pointer register has 8 bits, the table will have

256 steps (from 0 to 255); this doesn’t mean that the

resolution will be 1/255° because the relation Zi /A

takes values from the sinusoidal.

2. A list of 256 quotients is generated from 0 to 1 with

integer remainders from 0 to 255. This list has the

form: 0, 1/255, 2/255 … 255/255.

Table III shows an example of a portion of the table for

256 steps.

TABLE III

TABLE OF ARCSIN

Remainder Quote θ= ArcSin(n/255)

Radians θ

Grades

0 0 0 0

1 0.00392157 0.00392158 0

2 0.00784314 0.00784322 0

3 0.01176471 0.01176498 1

255 0.99999999999997 1.5707962 90

From the arithmetic algorithms required for the division

it is possible to demonstrate that for this case the remainder

is equal to the numerator.

numerator = denominator*QuoteInteger + remainder (11)

but due QuoteInteger are cero

numerator = remainder (12)

E. Comparative Analysis with Industrial Equipment

The results of a comparative test performed with 4

industrial synchrophasors are presented in [6]. The principal

parameters in these tests are the amplitude and phase errors,

these parameters are compared with the errors obtained with

the equipment presented in this article. The results of the

amplitude errors obtained in [6] are presented in figure 2.

The synchrophasors A, C and C in the operation range of

80% to 120% shows an error between 0.02% and 0.08%. In

the same range, the average error of the synchrophasor

presented in this article shows an error of 0.024%, as it is

shown in figure 3.

For the detection of the phase error in [6] the authors

used a function generator and an oscilloscope. The

synchronization between 1PPS and the voltage signal

performed in [6] is shown in figure 4. The pulse per second

signal and the signal move slightly varying the frequency in

the function generator from 60.0000 Hz to 60.0001 Hz. The

results obtained with the synchrophasor presented in this

article, it is shown in figure 5.


ISBN: 0-7803-9230-2 410


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80 100 120 140

Voltage %

The errors appear in the vicinity of the 90° is due the

LUT and those can be minimized augmenting the size of the

table. The average error in all the range of measurements is

0.14% which is appropriate for transmission lines

applications.

Fig. 2. Magnitude errors for balanced three phase voltage at nominal frequency (from [6]).

Fig. 3. Magnitude error.

Fig. 4. 1 PPS pulse and voltage signal synchronization (from [6]).

0

1

2

3

75 80 85 90 95 100

Degrees

Err

or

%

Fig. 5. Angle error.

V. CONCLUSION

The use of the LUT let the calculation of the phasor through

the DFT with a fixed point processor and with the minimum

of instructions. With the minimization of instructions it was

possible to reduce the processing time. With the reduction of

the processing time it is possible to use the synchrophasor in

other applications running together. For example, to locate a

failure in the transmission line. The development presented

in this article is cheaper than the commercial equipments in

less than 80%. This cost saving is due the use of only one

fixed point processor.

REFERENCES

[1] Martin, K. E.; Benmouyal G.; Adamiak, M. G.; Begovic, M.; Burnett,

R.O., Jr.; Carr, K. R.; Cobb, A. Kusters, J. A.; Horowitz, S. H.;

Jensen, G. R.; Michel, G. L.; Murphy, R.J.; Phadke, A. G..; Sachdev,

M.S.; Thorp, J.S. “IEEE standard for synchrophasors for power systems”. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No. 1,

January 1998

[2] Phadke, A. G. “Synchronized phasor measurements, Chapter 6. IEEE Tutorial Course”, Advancements in microprocessor based protection

and communication.1997

[3] Texas Instrument. “TMS320LF/LC240xA DSP Controllers Reference Guide System and Peripherals” Dallas, Texas 75265. Revised

December 2001

[4] Electric Power Research Institute, IECASA Team “Intelligrid use case SynchroPhasor Domain Description” Intelligrid Architecture

Volume II. Palo Alto, California 94304 USA. 2004

[5] San Vicente, R.; Cortés, R.; Robles, J.; Chong-Quero, J.E. “Synchrophasor Design Based on a DSP-Microcontroller” IEEE

International Symposium on Intelligent Signal Processing

(WISP’2005), in press. [6] Depablos, J.; Centeno, V.; Phadke, A.G.; Ingram, M. ”Comparative

testing of synchronized phasor measurement units” Power

Engineering Society General Meeting, 2004. IEEE 6-10 June 2004 Page(s):948 – 954, Vol.. 1


ISBN: 0-7803-9230-2 411


LACCET’2005 – Energy Track – Paper No. 008 1

Third LACCEI International Latin American and Caribbean Conference for Engineering and Technology (LACCET’2005) “Advances in Engineering and Technology:A Global Perspective”, 8-10 June 2005, Cartagena de Indias, COLOMBIA Construcción de un sincrofasor de bajo costo basado en un DSP-Controlador

A. R. San Vicente Cisneros , PhD Student.

Profesor Consultor, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey CEM, México. PhD Student, Instituto Politécnico Nacional ESIME SEPI, México.

[email protected]

R. A. Cortés Mateos, PhD. Profesor Investigador, Instituto Politécnico Nacional ESIME SEPI, México.

[email protected]

J. Robles García, PhD. Profesor Investigador, Instituto Politécnico Nacional ESIME SEPI, México.

[email protected]

J. E. Chong Quero, PhD. Profesor Investigador, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey CEM, México.

[email protected] Resumen Según el estándar IEEE 1344 un fasor es el equivalente complejo, en forma polar de una señal senoidal en donde el módulo del complejo es la amplitud de la senoide y el ángulo es el desfase de la senoide. En el mismo estándar, sincrofasor es el acrónimo de fasor sincronizado y es un fasor medido y calculado mediante muestreos con una referencia temporal estándar. Se presenta el diseño de un sincrofasor basado en un DSP-Microcontroladore de la familia C2000 y cuya referencia temporal estándar se genera con la señal un pulso por segundo (1PPS) de un Sistema de Posicionamiento Global (GPS), de tal forma que, se pueden medir ángulos de desfase de señales eléctricas ubicados en nodos de una red eléctrica geográficamente remotos. En un sistema de distribución de energía eléctrica, la medición del fasor de los voltajes y corrientes son de importancia ya que con esta medición se pueden conocer los consumos de energía, las pérdidas de energía en una línea de transmisión y los flujos de potencia entre otros parámetros. Y además entre otras aplicaciones, la medición del sincrofasor también es requerida por los relevadores de distancia y protección en un sistema eléctrico de potencia. Palabras clave Sincrofasor, DSP-Microcontrolador. 1. Introducción


En la transmisión de energía eléctrica a través de líneas de transmisión y de otros elementos de la red eléctrica, se producen desfases de las señales de corriente y de voltaje. Estos defasamientos se deben a las cargas y a los flujos de energía. 1.1 Planteamiento del problema El problema consiste en:

• Poder medir el desfase que presenta una misma señal eléctrica en dos puntos distantes. • Poder medir el desfase entre dos señales eléctricas diferentes que se encuentran en dos puntos

remotos. La medición de las amplitudes en las señales eléctricas distantes resulta sencilla ya que en estos casos los voltajes se miden con la misma referencia de voltaje que es tierra o cero volts. Para el caso de la medición del desfase se requiere también de una misma referencia, pero en este caso es temporal. Con un mismo instrumento se pueden medir el desfase de una misma señal o de dos señales diferentes de manera local, ya que ambas señales se están midiendo con la misma referencia temporal del propio instrumento. Esta referencia temporal que genera el instrumento esta únicamente referenciada con el tiempo en que fue energizado, es decir que, es aleatoria. Por razones obvias, para el caso de dos puntos remotos resulta imposible medir con el mismo instrumento. Si se utilizan dos instrumentos diferentes cada una de las señales remotas quedaran referenciadas temporalmente a su propio instrumento es decir a un punto aleatorio. Por lo tanto, resulta imposible la medición. Partiendo de los razonamientos anteriores, el problema de medir el desfase en dos puntos remotos ya sea de la misma señal o de señales diferentes, se reduce a poder sincronizar ambos instrumentos con la misma referencia temporal. Es decir realizar una medición sincronizada del fasor como se puede apreciar en la figura 1, en donde, en cada nodo se hace una medición de amplitud V con un ángulo de fase δ en el mismo instante de tiempo.

Figura 1: Sincronización de la medición Además de la medición de flujos de potencia, la medición sincronizada del fasor tiene actualmente diversas aplicaciones (Anderson et al., 2003. Phadke, 1997), entre otras, en relevadores de protección y en el control de FACTS (Flexible AC Transmission Systems). En el siguiente apartado (Estado del Arte) se describen los avances que existen en la medición sincronizada del fasor. 1.2 Estado del arte En 1988 se desarrolla en el Tecnológico de Virginia la primer Unidad de Medición Fasorial (PMU) sincronizada mediante un pulso de reloj proveniente de un GPS (Phadke, 2002). En 1995 se desarrolla el


estándar IEEE 1344, en el cual se denomina a la PMU sincronizada mediante un GPS como Sincrofasor. En el mismo estándar se define el formato de los datos de salida de un sincrofasor. En el 2001 se reafirma dicho estándar (Phadke et al.,. 2001. Thorp, 1998). Actualmente, los equipos más desarrollados incorporan además de la función de medición fasorial el sistema de protección de línea de alta velocidad, automatización, control y protección de líneas de transmisión con funciones de distancia y direccionales (Anderson et al., 2003). No obstante el costo por nodo asciende hasta $24,000 USD por sincrofasor dedicado (Moxley et al., 2002). 2. Sincronía vía GPS El GPS consta en promedio de una constelación de 24 satélites activos. Los satélites describen tales orbitas que, en todo momento del día hay “línea de vista” de varios satélites en cualquier lugar de la Tierra. El sistema proporciona a usuarios terrestres que cuentan con un receptor GPS, varios servicios entre los que se encuentran la medición de las coordenadas geográficas, la altura al nivel del mar, la velocidad, la dirección del desplazamiento, la deriva magnética en grados, la hora mediante el UTC (Universal Coordinated Time) y la señal de un pulso por segundo (1PPS) entre otros (Moore, 1994. Trimble Navigation Limited, 2000). El GPS terrestre recibe la señal de uno o más satélites, (para poder calcular las coordenadas terrestres por ejemplo, se requiere que el receptor capte por lo menos tres satélites). Una vez que el receptor detecta una señal de buena calidad de al menos un satélite, éste decodifica el UTC y lo trasmite en sincronía con la señal de 1PPS a cada uno de los medidores fasoriales (PMU) (Phadke., 1993). Cada PMU utiliza la señal de 1PPS para sincronizar sus respectivos temporizadores de muestreo, calcula el fasor y lo trasmite junto con el UTC a un procesador central que es el que se encarga de calcular los desfases de cada nodo de medición, tal como puede apreciarse en la figura 2 del diagrama a bloques del sistema de medición.

Figura 2: Sistema de medición

GPS1 GPS2 GPSn

PMU 1 (A1, θ1)

PMU 2 (A2, θ2)

PMU n (An , θn)

Cálculo de los ángulos de desfase

Procesador Central


2.1 Señal de sincronía 1PPS La señal de 1PPS es una señal TTL generada por el sistema GPS receptor (terrestre). Por omisión, cada vez que se energiza el receptor, se genera el 1PPS aunque no se haya detectado satélite alguno, una vez que se detecta por lo menos un satélite, el receptor sincroniza el flanco de subida del 1PPS con la recepción del UTC. La señal de 1PPS tiene un ancho de pulso de 10 microsegundos, un tiempo de ascenso típico menor de 20 nanosegundos y un periodo de un segundo con una exactitud de ±100 nanosegundos. A su vez el UTC esta sincronizado con un reloj atómico de Cesium de alta estabilidad que contiene cada satélite, el reloj de cada uno de los satélites están sincronizados entre si con un reloj maestro, de tal manera que, todos los satélites envían el UTC virtualmente al mismo tiempo. Para cualquier aplicación en donde se utilice el GPS para sincronizar, se deberá usar el flanco de subida del 1PPS ya que este se sincroniza a partir de la recepción del UTC (Trimble Navigation Limited, 2000). 3. Medición de los ángulos de desfase Para calcular el desfase en un nodo determinado, es necesario que uno de los ángulos de una de las señales, se seleccione como señal de referencia, con esta referencia el desfase de las señales de los demás nodos se calculan con una resta, como se puede observar en la figura 3.

Figura 3: Cálculo del ángulo de desfase El procedimiento del cálculo del desfase de las señales de la figura 3 se ejemplifica en los siguientes pasos:

• La referencia 1PPS se recibe al mismo tiempo en cada uno de los medidores.


• Se calcula el ángulo de desfase de la señal medida en el nodo con respecto a la referencia 1PPS, dando como resultado los ángulos 1 y 2; θ1 y θ2 respectivamente.

• Cada medidor transmite por algún medio de comunicación a un procesador central los ángulos calculados junto con el tiempo específico en el que se hizo la medición.

• El procesador central calcula el desfase. Si se toma como referencia el medidor 1 (θ1). El desfase de la señal del medidor 2 con respecto a la señal del medidor 1 esta dado por δ2 = θ1-θ2.

4. Cálculo del fasor En 1983 se proponen una técnica para la medición de la amplitud y fase de una señal eléctrica (Phadke et al., 1983). En el cálculo se aplica la transformada discreta de Fourier (DFT) a un conjunto de muestras obtenidas de una ventana del tamaño de un periodo. La señal senoidal representada en su forma polar o fasorial esta dada por

θ∠A (1) y

( ) ( )22ir ZZA += (2)

r

i

ZZarctan=θ

(3)

(4)

(5)

[ ]nX son cada una de las muestras y N es el número de muestras obtenidas en la ventana de un periodo,

para la implementación que aquí se presenta se escogió un número de 16 muestras, siendo el mínimo aceptable de 12 (Phadke et al., 1983). Este proceso de cálculo es aplicado en el sistema eléctrico trifásico a cada una de las tres señales de voltaje y de corriente. 5. Diseño a bloques del instrumento El sincrofasor consiste en un sistema GPS ACE III de la marca Trimble, un DSP TMS320LF2407 de Texas Instrument (TI) y una computadora (PC). El GPS proporciona la señal 1PPS y el UTC para sincronizar la medición, el DSP calcula la amplitud y el ángulo de las señales con respecto al pulso de sincronía, la PC recibe los ángulos y amplitudes, hace un procesamiento y almacenamiento local y sube la información a un servidor vía Internet. Una PC remota recibe las señales de las diferentes estaciones locales para el cálculo del desfase, para hacer el cálculo a la PC remota se le especifica el nodo de referencia, es decir, el nodo con un ángulo de cero. Con el ángulo de referencia y el UTC la PC remota

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

−

= NnnX

NjZi

n

n

π2sin][2 1

0

[ ]∑−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1

0

2cos2 N

n NnnX

NZr π


efectúa las restas de los ángulos que tienen el mismo UTC, de tal manera que el cálculo del desfase solo es posible si se tiene el fasor junto con el estampado de tiempo en que se efectuó la medición. El receptor GPS mediante un puerto serial asíncrono, transmite el UTC junto con otros datos en una cadena o trama de mensajes de acuerdo al protocolo estándar industrial NMEA 0183 (National Marine Electronics Association) (Trimble Navigation Limited, 2000). Existen otros protocolos, sin embargo el NMEA resulta ser el más económico y sencillo de utilizar, requiere de una sola vía de comunicación (simplex) y utiliza el código estándar ASCII. Otros protocolos además de ser de dos vías (full duplex), requieren del desarrollo de software para la interpretación de los comandos en código binario, por otro lado, el NMEA por su estatus de protocolo estándar, es manejado por la mayoría de los receptores GPS. En la figura 4 se muestra el diagrama a bloques del sistema.

Figura 4: Diagrama a bloques del sistema El DSPD TMS320LF2407 es un dispositivo de la familia C2000 de TI, esta familia fue una de las primeras en integrar en una sola pastilla de circuito integrado (CI) un DSP de punto fijo con diversos periféricos, a esta nueva generación de procesadores se les denomina DSP microntrolador ya que integran las funciones de un DSP y un microcontrolador. El bajo costo del desarrollo aquí presentado radica precisamente en concentrar en un solo CI la mayor parte de los requerimientos de diseño del instrumento. Detallando con más precisión el diagrama de bloques, se puede apreciar que en el DSP ya esta contenido el Convertidor Analógico Digital (ADC) de 10 bits y 16 canales de los cuales solamente se utilizan 6 canales. El ADC se encarga de digitalizar las señales analógicas de corriente y voltaje que ya previamente se han acondicionado a una señal de 0 a 3.3 volts (máximo nivel de voltaje que aceptan los canales del ADC). El temporizador (timer) cuya señal de reloj proviene de un oscilador de cuarzo se encarga de generar los periodos de muestreo, de tal manera que, se puedan adquirir con precisión y exactitud las 16 muestras por periodo de todas y cada una de las señales. A su vez, el inicio de las adquisiciones esta sincronizada con la señal de interrupción externa (XINT1) que proviene de la señal 1PPS del GPS. También mediante el timer se genera la tasa de transmisión “Baud Rate” (BR) que requiere la Interfase de Comunicación Serial (SCI). El DSP recibe por medio de la terminal RX el UTC del GPS. Por otro lado, una vez que se ha calculado el fasor, el DSP por medio de la terminal TX transmite a la PC el valor de la amplitud y el ángulo de fase. En la comunicación entre el DSP y la PC es requerido un circuito igualador de niveles eléctricos el cual se logra con el CI RS 232. Las características del la comunicación asíncrona con la cual se programa el SPI son las del estándar NMEA las cuales se enlistan en la tabla 1.


Tabla 1: Características del estándar NMEA 0183

Baud Rate Bits de datos Paridad Bits de paro

4800 8 Ninguna 1 6. Proceso de medición Una vez que el receptor GPS terrestre se ha sincronizado con el satélite, la cadena de datos NMEA que contienen el UTC es transmitida 22ms después de que el GPS generó la señal de 1PPS. En la figura 5 se muestra la sincronía entre el 1PPS, la cadena de datos NMEA y una porción de la señal que se digitaliza. Como se puede observar, la información obtenida de la figura 5 sugiere la forma en como se puede calcular el fasor.

Figura 5: Sincronía IPPS, Trama NMEA y señal de 60Hz a digitalizar Entre el 1PPS y la trama NMEA (22ms) cabe un periodo de la señal a digitalizar (16.66ms), por lo tanto, el proceso debe seguir los siguientes pasos (ver tabla 2):

Tabla 2: Proceso de medición de los fasores

Paso Proceso 1 Se espera el 1PPS 2 Se hacen las 16 adquisiciones de los 6 canales 3 Se espera la trama NMEA 4 Se captura el UTC 5 Se calculan los seis fasores 6 Se transmiten el UTC y los seis fasores 7 Regresa al paso 1

6.1 Algoritmo computacional. El programa se compone básicamente de tres bloques: El programa principal, la rutina de servicio de la interrupción externa XINT1 (generada por el 1PPS) y la rutina de servicio de la interrupción de fin de conversión del ADC. En la figura 6 se muestran los diagramas de flujo de las tres partes del programa


Figura 6: Diagramas de flujo del programa

Interrupción ADC

Contador de muestras 1=n

Lee Senn y Cosn

Calcula nnnn SenXSenX += −− 116,,2,1Im K

Calcula nnnn CosXCosX += −− 116,,2,1Re K

n = n+1

No 16=n ?

RETORNA

Espera trama NMEA, captura y transmite UTC

SI

Calcula y transmite fasores

RETORNA

Interrupción XINT

Arranca timer para Periodo de muestreo

RETORNA

Inicio Principal

Programa Periféricos XINT1, ADC, Timer, SCI

Ciclo principal

Espera interrupciones

1PPS Fin de conversión (XINT1) (ADC)


El programa principal: En el programa principal se prepara y reserva la memoria a utilizar, se programan y habilitan los periféricos a utilizar: el ADC, el Timer y el SCI. Se habilitan las interrupciones y se esperan en un ciclo infinito las interrupciones XINT1 y la de fin de conversión del ADC. La rutina de servicio de la interrupción IXNT1: En esta rutina lo único que se hace es arrancar el temporizador que proporciona el periodo de muestreo del ADC. Como esta interrupción es generada por la señal 1PPS del GPS se presenta cada segundo. La rutina de servicio de la interrupción de fin de conversión del ADC: El periodo de muestro que genera el timer en el ADC es de 960 Hz, por lo tanto, esta interrupción se presenta en 16 ocasiones después de recibido el 1PPS. Aplicando el algoritmo computacional, cada vez que se genera la interrupción del ADC se hace el cálculo de nnCosX y se acumula con el mismo producto de todas y cada una de las muestras, para la primer interrupción en donde n = 1se tiene que:

00CosX = 00SenX = 0 (6) Como el ADC entrega el valor de la conversión de los 6 canales entonces, se pueden hacer las sumatorias de los productos de cada una de las 6 señales aplicando los siguientes algoritmos.

nnnn CosXCosX += −− 11Re (7)

nnnn SenXSenX += −− 11Im (8) De tal forma que, después de las 16 adquisiciones ya se tienen de las 6 señales las componentes real e imaginaria expresadas en las ecuaciones (4) y (5). Después de calculadas las componentes reales e imaginarias, se espera mediante poleo la recepción de datos provenientes del GPS (trama NMEA), se captura el UTC que llega con el formato HHMMSS.S. Ya capturado el UTC se transmite y se procede al cálculo del fasor de cada una de las 6 señales mediante las ecuaciones (2) y (3). Finalmente se transmiten los fasores calculados y se retorna al programa principal a esperar la siguiente interrupción del 1PPS. Conclusiones Actualmente los sincrofasores se encuentran instalados en líneas de transmisión, sin embargo, también son requeridos en las áreas de distribución, esto implica un gran gasto en medidores. El desarrollo aquí presentado permite un abatimiento de hasta el 80% del costo de los medidores comerciales. El bajo costo del desarrollo aquí presentado radica precisamente en concentrar en un solo CI la mayor parte de los requerimientos de diseño del instrumento. El reducido tamaño de la tarjeta del circuito impreso (PCB) y el uso de un procesador de punto fijo también fueron factores en el bajo costo del instrumento. Referencias Anderson, Chris, Fearn, Brian, Guzmán, Armando, Moxley, Roy.(2003) “Using SEL-421 relay synchrophasors in basic applications.” SEL Application Guide, Vol. 1 Martin, K. E., Benmouyal, G., Adamiak, M. G., Begovic, M., Burnett, R.O., Jr., Carr, K. R, Cobb, A,. Kusters, J. A., Horowitz, S. H., Jensen, G. R., Michel, G. L., Murphy, R.J., Phadke, A. G.., Sachdev, M.S., Thorp, J.S. (1998). ”IEEE standard for synchrophasors for power systems.” IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No. 1, January.


Moore, T. (1994) “An introduction to the global positioning system and its applications.” Developments in the Use of Global Positioning Systems , the Institution of Electrical Engineers. Savoy Place. London, UK 8 Feb Pages:1/1 - 1/6. Moxley, Ro, Woodward Darold. (2002).”Improving power system operating capacity through wide-area synchronous phase angle measurement.” Schweitzer Engineering Laboratories, Inc. Phadke, A. G., Thorp, J. S., Adamiak, M. G. (1983). “A new measurement technique for tracking voltage phasors, local system frequency, and rate of change frequency.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102, No. 5, May. Phadke, A. G. (1997) “Synchronized phasor measurements, Chapter 6.” IEEE Tutorial Course, Advancements in microprocessor based protection and communication. Phadke, A.G. (2002) “Synchronized phasor measurements-a historical overview.”Transmission and Distribution Conference and Exhibition: Asia Pacific. IEEE/PES , Volume: 1 6-10 Oct. Pages:476 - 479 vol.1. Phadke, A.G. (1993) “Synchronized phasor measurements in power systems.”Computer Applications in Power, IEEE , Volume: 6 , Issue: 2 , April Pages:10 – 15. Phadke, A. G., Martin, K. (2001). ”IEEE standard for synchrophasors for power systems.” IEEE Std 1344-1995(R2001). Trimble Navigation Limited. (2000). “ACE III GPS™ System Designer Reference Manual.” Sunnyvale, CA. Información Biográfica Rafael SAN VICENTE CISNEROS Mr. Profesor del Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus Estado de México, Estudiante del Doctorado en Ciencias en Ingeniería Eléctrica en la Sección de Graduados e Investigación de la ESIME-IPN. Dr. Raúl CORTÉS MATEOS. Profesor Titular (TCE). Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica de la ESIME-IPN (1971). Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica, Sección de Graduados e Investigación ESIME-IPN (1975). y Doctor en Ciencias en Ingeniería Eléctrica en la Sección de Graduados e Investigación de la ESIME-IPN (1997). Dr. Jaime ROBLES GARCÍA. Profesor Titular (TCE). Ingeniero Electricista de la ESIME-IPN (1987). Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica, Sección de Graduados e Investigación ESIME-IPN (1993). Doctor en ciencias en Ingeniería Eléctrica, Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (1996). Dr. Jesús Enrique CHONG QUERO. El Dr. Chong Quero es profesor del Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus Estado de México, y actualmente es colaborador del Centro de Investigación en Calidad Ambiental del mismo Instituto.

Tesis Desarrollo de un sincrofasor en tiempo real para línea

Documents

Transcript of Tesis Desarrollo de un sincrofasor en tiempo real para línea