Tesis de Maestr´ıa Estudio de la fracturacion de las part ...

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Tesis de Maestrıa

Estudio de la fracturacion de las

partıculas empleando el Metodo de los

Elementos Discretos

por:

Lina Maria Torregroza Aldana

Candidato a M.Sc.

Asesor:

Prof. Dr.-Ing. Arcesio Lizcano

Universidad de los Andes

Facultad de Ingenierıa

Departamento de Ingenierıa Civil y Ambiental

Magıster en Ingenierıa Civil

Grupo de Investigacion en Geotecnia

2007

A mis padres y a mi hermano,a mi esposo Gilberto,y a mi hija Catalina.

Tabla de Contenido

1. Introduccion 1

2. Estado del conocimiento 3

2.1. Factores que influyen en la fracturacion de las partıculas . . . . . . . . . . . 42.2. Consecuencias del fracturamiento de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Indices de crushing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. Analisis por tamizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2. Analisis Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Distribucion Weibull de la resistencia de las partıculas . . . . . . . . . . . . 162.4.1. Funcion Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1.1. Muestras del mismo tamano . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1.2. Muestras de diferentes tamanos . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Marco Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.1. Correlacion con parametros standar del suelo . . . . . . . . . . . . . 212.5.2. Correlacion con la Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.3. Efectos de la carga sobre la distribucion de tamanos . . . . . . . . . 222.5.4. Crushing en una Partıcula individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.4.1. Esfuerzo inducido y resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.4.2. Variabilidad en la resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.5. Crushing en una muestra de suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6. Marco Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.1. Criterios de ruptura propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2. Modelaciones de la fractura de una partıcula . . . . . . . . . . . . . 402.6.3. Modelaciones del Crushing en un agregado de aglomerados . . . . . 48

2.6.3.1. Compresion Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.3.2. Compresion Isotropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

II

2.6.3.3. Corte Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6.3.4. Ensayo Biaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6.3.5. Ensayo triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Base numerica y computacional 68

3.1. Metodo de los Elementos Discretos (DEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.1.1. Ciclo de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.1.2. La ley Fuerza-Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.3. Ley de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2. Particle Flow Code - PFC 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.1. Ciclo de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.2. Ley fuerza-desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2.3. Ley de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2.4. Modelos Constitutivos de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.4.1. Modelo de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2.4.2. Modelo de Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4. Modelacion numerica del crushing 88

4.1. Modelacion de una partıcula fracturable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2. Criterio de Ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3. Criterio de Fracturacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4. Diagrama de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5. Compresion Edometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.5.1. Configuracion de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.1.1. Caja edometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.1.2. Material granular virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5.2. Aplicacion de la carga axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6. Compresion Biaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.6.1. Configuracion de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6.1.1. Caja Biaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6.1.2. Material granular virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.6.2. Aplicacion de la carga Biaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5. Resultados y analisis 99

5.1. Compresion Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.1. Efecto del tamano de las partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.2. Efecto de la relacion de vacıos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.3. Curva de compresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.4. Dimension Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.1.5. Coeficiente de Presion de Tierras Ko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2. Compresion Biaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2.1. Generacion muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Conclusiones y perspectivas de trabajos 119

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2. Propuesta de trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7. Anexos 126

7.1. Anexo A: Subrutina de Fracturacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.2. Anexo B: Codigo Compresion Edometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3. Anexo C: Codigo Compresion Biaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Indice de figuras

2.1. Efecto del tamano de la partıcula en la curva e− logσ. [24] . . . . . . . . . 52.2. Efecto de la angularidad en la curva e− logσ. [24] . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Efecto de la composicion mineralogica en la curva e− logσ. [24] . . . . . . . 72.4. Efecto de la relacion de vacıos en la curva e− logσ. [24] . . . . . . . . . . . 82.5. Esquema: Efecto de la gradacion del suelo en la fracturacion de las partıcu-

las. Lee & Farhoomand (1967). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6. Relacion entre porcentaje de fracturamiento, presion media y contenido de

agua en muestras despues de ensayos triaxiales, Lee & Coop (1995) . . . . . 102.7. Esquema de apoyo para definir el factor de rotura de Hardin (1985). . . . . 122.8. Indices de crushing, [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.9. Esquema de apoyo para explicar la funcion de distribucion Weibull [19]. . . 182.10. Esquema de apoyo para observar el efecto del tamano en la resistencia de

las partıculas y determinacion del modulo Weibull [19]. . . . . . . . . . . . . 182.11. Prueba de la resistencia a la tension de una partıcula (Lee,1992),[21]. . . . . 232.12. Curva carga vs desplazamiento de una partıcula comprimida entre dos plati-

nas,(Lee, 1992),[21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.13. Resistencia a la tension principal como una funcion del tamano de la partıcu-

la (Lee, 1992),[21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.14. Diagrama esquematico del aparato de crushing. [24]. . . . . . . . . . . . . . 262.15. Izquierda:curvas Funcion Weibull ; Derecha:curvas de probabilidad de su-

pervivencia normalizadas para el esfuerzo pico (Cuarzo), [23]. . . . . . . . . 272.16. Mini - Edometro.[4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.17. Curva de Compresion Unidimensional. [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.18. Fractura progresiva de un grano.[4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.19. Curva de compresion unidimensional para arena sılica y carbonada. [21]. . . 342.20. Simulaciones de Astrom (1998). a) Modelo de falla (B) y modo de fractura

(I). b) Modelo de falla (B) y modo de fractura (II) [1]. . . . . . . . . . . . . 38

V

2.21. Esquema de configuracion de fragmentos usada en la simulacion de Tsoungui(1999) [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.22. Crushing de un aglomerado.[26] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.23. Curva fuerza-deformacion de la simulacion del crushing de un aglomerado

entre platinas. [26]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.24. Estadıstica de Weibull aplicada al crushing de granos usando resistencias

aleatorias en los contactos.[26]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.25. Curva tıpica fuerza-deformacion en un aglomerado de 0.5 mm de diametro.[22]. 452.26. 20 granos tıpicos de las pruebas individuales de crushing [3]. . . . . . . . . . 462.27. Prueba de crushing en una partıcula individual. a) Simulacion DEM, b)

Arena sılica (Nakata et al, 2001)[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.28. Rompimiento de los contactos del aglomerado[3]. . . . . . . . . . . . . . . . 482.29. Efecto de la velocidad de las platinas en la fractura del aglomerado. [3] . . . 492.30. Elementos cubicos de granos fracturables y no fracturables sujetos a 30 %

de compresion unidimensional [26]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.31. Incremento del Coeficiente de presion de Tierra con la fracturacion de los

granos [26]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.32. Arreglo cubico de 389 aglomerados [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.33. Efecto de la velocidad de compresion: a) relacion de vacıos versus p’; b)

Ruptura de enlaces versus logp’[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.34. Curvas de Compresion Isotropica Normalizadas [3]. . . . . . . . . . . . . . . 542.35. Idealizacion de un esfuerzo de tension inducido y los fragmentos producidos

despues de la falla por tension de una partıcula real y material idealizado [18]. 552.36. Porosidad y evolucion del crushing (Fuerza vertical = 1,6 ∗ 104 N) [18] . . . 562.37. Porosidad y evolucion del crushing (Fuerza vertical = 3 ∗ 104 N) [18]. . . . . 572.38. Evolucion de la distribucion de tamanos [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.39. Desplazamiento horizontal inducido versus esfuerzo cortante aplicado [18]. . 592.40. Esquema del modelo de partıcula. Adaptado de [12] . . . . . . . . . . . . . 612.41. Ciclos de Compresion Isotropica [26]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.42. a)Trayectorias de esfuerzo y Evolucion del crushing [26]. . . . . . . . . . . . 632.43. b)Evolucion de Crushing y trayectorias de esfuerzo [26]. . . . . . . . . . . . 642.44. Prueba triaxial Convencional:a) esfuerzo versus deformacion; b)deformacion

volumetrica versus deformacion desviadora [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.45. a)esfuerzo desviador versus deformacion desviadora; b)porcentaje de ruptura

de enlaces versus esfuerzo desviador [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.46. c)esfuerzo medio efectivo versus esfuerzo desviador [3] . . . . . . . . . . . . 672.47. Estimacion de la lınea de estado crıtico de la Simulation Dem. [3] . . . . . . 672.48. Resultados de la prueba de compresion triaxial no drenada (Yamamuro &

Lade, 1993) [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1. Dos discos comprimidos entre paredes rıgidas (los traslapos son exagerados).[5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2. Ley Fuerza-desplazamiento) [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3. Convencion de signos para Fn y Fs).[5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4. Tipos de contactos en PFC 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1. Configuracion de carga equivalente e idealizacion de esfuerzo de tension in-ducido. Fuente:Lobo-Guerrero & Vallejo (2005) . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2. Idealizacion de la fracturacion de una partıcula. Adaptado de Lobo-Guerrero& Vallejo (2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3. Diagrama de Flujo de la subrutina de crushing. . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1. Estado inicial de la compresion edometrica para diferentes diametros . . . . 1015.2. Primera fractura durante la compresion edometrica para diferentes tamanos

de partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3. Efecto del tamano de las partıculas en el inicio de la fracturacion de las

partıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4. Efecto de la relacion de vacio en el inicio de la fracturacion de las partıculas. 1045.5. Curva de compresion. einicial = 0,28 ; Rinicial = 3mm . . . . . . . . . . . . 1065.6. Evolucion de la fracturacion de las partıculas durante la simulacion de la

compresion edometrica para un radio inicial de 3 mm . . . . . . . . . . . . . 1075.7. Evolucion de los esfuerzos axial y lateral durante la simulacion de la com-

presion edometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.8. Curva de Compresion sin subrutina de crushing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.9. Compresion Edometrica sin considerar fracturacion de partıculas εv = 0,2. . . . . 1085.10. Evolucion de la Dimension Fractal. einicial = 0,28 ; Rinicial = 3mm . . . . . 1095.11. Evolucion del coeficiente de presion de tierras durante la simulacion de la

compresion edometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.12. Fase de Corte a σ2 = 1 ∗ 105Pa; εv = 0,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.13. Evolucion de la Dimension Fractal en el corte a σ2 = 6 ∗ 105Pa constante . . . . . 1135.14. Evolucion de la fracturacion de las partıculas en la compresion biaxial σ2 = 6∗105Pa .114

5.15. Esfuerzo desviador vs deformacion vertical durante el corte a σ2 = 6 ∗ 105Pa . . . 1155.16. Evolucion de la Dimension Fractal en el corte a σ2 = 10 ∗ 105Pa constante . . . . 1165.17. Evolucion de la fracturacion de las partıculas en la compresion biaxial σ2 = 10 ∗

105Pa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.18. Esfuerzo desviador vs deformacion vertical durante el corte a σ2 = 10 ∗ 105Pa . . . 1185.19. Cırculos de Mohr y envolventes de falla para cada confinamiento. . . . . . . . . . 118

Indice de tablas

2.1. Calculo del Indice de rotura Marsal para una capa de balasto [6]. . . . . . . 112.2. Caracterısticas generales de las simulaciones de Tsoungui (1999) . . . . . . 392.3. Resultados de Ensayos experimentales de crushing en granos de arena sılica

[22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1. Caracterısticas generales de las simulaciones y material granular virtual . . 94

5.1. Evolucion de la Dimension Fractal durante la Compresion Edometrica . . . 110

IX

Capıtulo 1

Introduccion

Las leyes constitutivas actuales modelan el comportamiento del suelo suponiendo al mis-mo como una masa continua de material, en donde las partıculas son permanentes. Estasuposicion funciona bien bajo ciertas condiciones de carga y esfuerzo en el suelo. Peropara otras condiciones los procesos micromecanicos, o a nivel de partıcula, tienen una granincidencia sobre el comportamiento macromecanico del suelo.

Un buen entendimiento del comportamiento de un suelo granular se logra al reconocer sunaturaleza discreta o particulada, y algunos procesos que ocurren a nivel de partıcula comoes la fracturacion de los granos.

El fenomeno de crushing o fracturacion de los granos del suelo, ha sido observado expe-rimentalmente en laboratorio por diversos investigadores y se ha encontrado una estrecharelacion entre la micro-fracturacion de las partıculas y la deformacion macroscopica del sue-lo. Asimismo, la fracturacion de las partıculas se presenta en campo, en suelos granularessometidos a cargas monotonica (suelo bajo un pilote de punta o en el pie de una presa) y acargas cıclicas (bases granulares en pavimentos y capas de balasto en vıas ferreas) y parael diseno de estas estructuras geotecnicas no es tenido en cuenta el proceso de fracturacion,aun cuando el fenomeno de crushing puede tener un efecto negativo importante en es-tas y otras situaciones geotecnicas, como la reduccion en la capacidad de conductividadhidraulica y la reduccion del angulo de friccion interna promedio de un suelo.

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CAPITULO 1. INTRODUCCION MIC 2007-II-23

Por las razones anteriormente expuestas, hoy dıa se busca describir el comportamientodel suelo desde su micro-estructura, y algunos procesos micromecanicos, entre ellos lafracturacion de las partıculas, han sido motivo de estudio desde hace varios anos y aun hoylo siguen siendo.

El presente trabajo de investigacion consiste en el estudio del fenomeno de crushing dentrode un marco numerico, mediante la modelacion del comportamiento de un suelo granularempleando el Metodo de los Elementos Discretos (DEM) a traves del programa PFC 2D(Itasca Consulting Group) teniendo en cuenta la fracturacion de las partıculas.

El objetivo principal de este estudio es observar la evolucion de la fracturacion de laspartıculas, reproducir su efecto sobre el comportamiento macromecanico del suelo, ası comotambien el efecto de algunas propiedades del suelo sobre este fenomeno. Para lograr esteobjetivo se desarrollaron dos tipos de simulaciones numericas: compresion edometrica ycompresion biaxial; se adopto un modelo de fractura basado en estudios y criterios previos,para poder tener en cuenta la fracturacion de las partıculas, dado que el metodo DEMoriginal no considera este fenomeno.

Este documento se encuentra organizado de la siguiente manera: el capıtulo 2 es un re-sumen del estado del conocimiento sobre el fenomeno de crushing, que incluye algunasinvestigaciones realizadas por diferentes autores a nivel experimental y numerico; el capıtu-lo 3 consiste en una plataforma conceptual en cuanto al metodo numerico y herramientacomputacional empleados en este estudio; el capıtulo 4 presenta los criterios de rupturay fragmentacion del modelo de fractura adoptado y las caracterısticas generales de lassimulaciones de los ensayos de laboratorio; en el capıtulo 5 se encuentran consignados losresultados y analisis de las simulaciones desarrolladas; el capıtulo 6 presenta las conclu-siones y se proponen algunos trabajos futuros segun el criterio del autor. Por ultimo, enlos anexos se encuentran consignados los codigos desarrollados en el lenguaje FISH de lassimulaciones realizadas en esta investigacion.

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Capıtulo 2

Estado del conocimiento

El estudio del fenomeno de crushing se ha basado a traves de los anos en ensayos experimen-tales, analisis teoricos y analisis numericos sobre diversos materiales granulares fracturablessolicitados bajo diferentes configuraciones de carga (carga puntual, compresion uniaxial,isotropica, biaxial, triaxial, corte directo, entre otros).

Desde el punto de vista experimental y numerico el fenomeno de crushing se ha examinadodesde un nivel micro: partıcula por partıcula, hasta un nivel macro: agregado de partıculas.

Se han correlacionado diversos factores con la fracturacion de las partıculas, y asimismo,la rotura de granos se ha correlacionado con diversos parametros y propiedades del suelo.

Diversos investigadores han buscado la manera de cuantificar la cantidad de fracturacion,con base en las curvas granulometricas y en la dimension fractal de la muestra.

Estas investigaciones han permitido comprender, mas no en su totalidad, la naturalezaclastica del suelo y el rol que desempena el crushing en el comportamiento de los suelosfracturables.

A continuacion se presenta el estado del conocimiento en lo que se refiere al estudio delcrushing desde el punto de vista experimental y numerico.

3

CAPITULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO MIC 2007-II-23

2.1. Factores que influyen en la fracturacion de las partıculas

Existen diversos factores que influyen en la cantidad como en el inicio de la fracturacionde las partıculas [13], [24], [8].

Se llevaron a cabo ensayos de compresion unidimensional sobre muestras de arena seca de 50mm de diametro y 10 mm de altura con una rata de deformacion constante de 0,01mm/min.De los resultados obtenidos se analizo la influencia del tamano de las partıculas, de larelacion de vacıos, de la angularidad y de la composicion mineralogica [24]. Ademas de estos,otros factores que influyen en la fracturacion de las partıculas se presentan a continuacion.

Para entender los resultados analizados en estas referencias es importante explicar el con-cepto de esfuerzo de fluencia adoptado.

El esfuerzo de fluencia puede ser definido para un suelo sometido a compresion unidimen-sional como el punto donde la relacion de deformacion con el esfuerzo cambia rapidamenteen un plano semilogarıtmico. El punto del esfuerzo de fluencia es tambien el inicio de lafracturacion de las partıculas y despues de la fluencia el grado de crushing se incrementarapidamente [24].

Tamano de las partıculas [24]: La cantidad de fracturacion depende del tamano delas partıculas del suelo. Para un suelo uniforme, se presentara mayor cantidad decrushing y se iniciara primero la fracturacion en suelos con partıculas de mayortamano. La figura 2.1 muestra una curva de e− logσ de una muestra de arena sılicauniformemente gradada con una relacion de vacıos de 0.666 y los tamanos de laspartıculas son:1,4 − 1,7mm, 0,6 − 0,71mm y 0,25 − 0,3mm. Cada arena tiene unesfuerzo de fluencia claro, y depende del tamano de la partıcula, incrementando conla disminucion del tamano.

Ademas se ha establecido que la compresibilidad de las arenas se incrementa con elcrushing de las partıculas y que el punto de fluencia esta relacionado con el umbralde esfuerzo para fracturar las partıculas no solo en compresion unidimensional sinotambien para compresion isotropica. La compresion de materiales granulares en elpunto de maximo ındice de compresion esta fuertemente caracterizada por una im-portante fracturacion de partıculas. La figura 2.1 muestra que el esfuerzo de fluenciaaumenta en la medida en que el tamano de las partıculas es menor.

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Figura 2.1: Efecto del tamano de la partıcula en la curva e− logσ. [24]

Angularidad [24]: Se presenta mayor cantidad de crushing y se inicia primero la frac-turacion en suelos con partıculas angulares que en suelos con partıculas redondeadas.La figura 2.2 muestra los resultados de los materiales: Glass Ballotini y glass angular(fracturado) con un tamano de grano de 0,85− 1,0mm. Cada muestra fue preparadapara la misma densidad relativa de 100 %, con lo cual la relacion de vacıos para elAngular Glass fue de 0.74 y de 0.6 para el Glass Ballotini. En la figura 2.2 se puedeobservar que el esfuerzo de fluencia para las partıculas angulares (Angular Glass) esnotablemente menor que el de las partıculas menos angulosas (Glass Ballotini).

Los materiales angulares desarrollan deformaciones de compresion mayores al iniciode la carga.

Composicion mineralogica [24]: En la medida en que los minerales que constituyenlos granos del suelo tengan una mayor dureza, entonces se retarda el inicio de lafracturacion. La figura 2.3 muestra las curvas e − logσ de tres arenas diferentes:Silica (100% cuarzo), Aio (70 % cuarzo y 30 % feldespato) y Masado (30 % cuarzo,40 % feldespato y 30% partıculas mixtas con cuarzo y feldespato). La muestra conlas partıculas mas angulares fue masado mientras que la menos angular fue Aio. Lasmuestras se prepararon con la misma densidad relativa del 100 %.

A pesar de la variabilidad en cuanto a angularidad y relacion de vacıos, el esfuerzode fluencia parece incrementarse con el contenido de cuarzo. Ademas como se puedeobservar en la figura 2.3 todas las curvas convergen en una sola curva postfluencia.

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Figura 2.2: Efecto de la angularidad en la curva e− logσ. [24]

Esto indica que no hubo influencia de la mineralogia despues de llegar a la fluencia.

Relacion de vacıos [24]: A mayor relacion de vacıos mayor cantidad de crushing,debido a que el numero de coordinacion dismunuye y por lo tanto el esfuerzo inducidoen la partıcula se hace mayor. [8]. La figura 2.4 muestra las curvas e − logσ de tresmuestras de arena toyoura preparadas para diferentes relaciones de vacıos. En estecaso el esfuerzo de fluencia disminuye con el incremento en la relacion de vacıosinicial.

El numero de coordinacion aumenta con la disminucion de la relacion de vacıos. Elnumero de coordinacion promedio segun Field (1963)es:

Ca =12

1 + e(2.1)

Un analisis realizado por Jaeger (1967) sugiere que el esfuerzo de tension para unapartıcula en una matriz disminuye con el aumento del numero de coordinacion. Locual va de la mano con los resultados obtenidos.

Gradacion del suelo: Un suelo mal gradado presenta mas crushing que uno biengradado. Suelos uniformes con tamanos de partıculas diferentes exhiben diferentecantidad de crushing, aquellos con tamanos de partıculas mayores presentan mayorcantidad de fracturacion de sus partıculas. Estas conclusiones se pueden observar enel esquema presentado en la figura 2.5.

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Figura 2.3: Efecto de la composicion mineralogica en la curva e− logσ. [24]

Presencia de agua: El contenido de agua presente en un suelo influye en la fracturacionde sus partıculas. A mayor cantidad de agua se incrementa la cantidad de crushing.Esto se puede observar en los resultados obtenidos por Lee & Coop (1995), a partirde ensayos triaxial sobre muestras de arena de granito con diferentes contenidos deagua, ver figura 2.6.

Nivel de esfuerzo: A mayor nivel de esfuerzo mayor cantidad de crushing.

Trayectoria de esfuerzo: Despues de un ensayo, una misma cantidad de fracturacion selogra a diferentes niveles de deformacion dependiendo de las trayectorias de esfuerzosutilizadas.

Resistencia de las partıculas: La fracturacion de las partıculas esta relacionada consu resistencia [8].

Numero de Coordinacion: Una partıcula con un alto numero de coordinacion es masdifıcil de romperse debido a la mejor distribucion de esfuerzo y confinamiento.

Tiempo: Bajo un estado de esfuerzos constante de suficiente magnitud, la fracturacioncontinua con el tiempo de manera decreciente.

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Figura 2.4: Efecto de la relacion de vacıos en la curva e− logσ. [24]

2.2. Consecuencias del fracturamiento de partıculas

La fracturacion de las partıculas de un suelo puede tener consecuencias importantes en sucomportamiento macromecanico y propiedades ingenieriles. El Comportamiento esfuerzo-deformacion, la resistencia, el desarrollo de la presion de poros y la permeabilidad sonalgunas de las propiedades macro del suelo que son afectadas por el nivel de crushing [13].

Son tres formas basicas en las que la fracturacion puede afectar las propiedades men-cionadas [19]:

Reduccion de la relacion de vacıos A partir de los ensayos de laboratorio de compre-sion edometrica y compresion biaxial se ha demostrado que existe una clara relacionentre la relacion de vacıos y el esfuerzo macroscopico aplicado. Como se menciono enla section anterior, un mayor nivel de esfuerzo aumenta el nivel de crushing. Al pro-ducirse mas cantidad de fracturamiento la relacion de vacıos disminuye en mayorcantidad para un mismo incremento de esfuerzo, con el consecuente incremento en elcoeficiente de compresion, que es un importante parametro ingenieril.

Reduccion de la conductividad hidraulica La conductividad hidraulica de un suelopuede ser reducida como consecuencia de la fracturacion de sus partıculas. Esto es

8


Figura 2.5: Esquema: Efecto de la gradacion del suelo en la fracturacion de las partıculas.Lee & Farhoomand (1967).

importante debido a que disminuye la capacidad de drenaje del agua, lo que es muyrepresentativo en los casos de bases y subbase de pavimentos, debido a que una desus funciones primordiales es precisamente drenar el agua.

Reduccion del angulo de friccion interna El angulo de friccion interna disminuye conel nivel de fracturacion de las partıculas del suelo. Esto puede observarse en la nolinealidad de la envolvente de falla de mohr-coulomb.

Algunos de los factores mencionados que afectan el crushing, han sido relacionados con elındice de compresibilidad Cc llegando a las siguientes conclusiones [24]:

A mayor tamano de partıcula mayor ındice de compresibilidad

A mayor relacion de vacıos inicial mayor ındice de compresibilidad

A mayor angularidad mayor ındice de compresibilidad

A menor contenido de cuarzo mayor Cc

De lo anterior se puede inferir que a mayor cantidad de crushing mayor ındice de compre-sibilidad.

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Figura 2.6: Relacion entre porcentaje de fracturamiento, presion media y contenido deagua en muestras despues de ensayos triaxiales, Lee & Coop (1995)

2.3. Indices de crushing

Han sido propuestos diversos ındices con el fin de cuantificar la cantidad de fracturacion departıculas. La mayorıa de estos ındices se obtienen a partir de las curvas granulometricasantes y despues del ensayo [8]. Sin embargo, tambien se ha propuesto cuantificar el crushinga partir de la Dimension Fractal de la muestra, debido a que esta va cambiando con lafracturacion de las partıculas.

2.3.1. Analisis por tamizado

En la referencia [13] se encuentran definidos los factores mas ampliamente usados, pro-puestos por Marsal(1967), Lee and Farhoomand (1967) y Hardin (1985).

Marsal (1967):El metodo de Marsal (1967) se basa en el cambio del tamano de las partıculas indi-viduales entre las distribuciones de tamano inicial y final. Se calcula la diferencia del

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porcentaje retenido para cada tamano. Esta diferencia puede ser positiva o negativa.El factor, B, de Marsal, es la suma de las diferencias que tienen el mismo signo. Ellımite inferior de este factor es el cero porciento y el lımite maximo teorico es el100 %. En la tabla 2.1, se puede observar un ejemplo real de aplicacion y calculo deeste ındice.

Tabla 2.1: Calculo del Indice de rotura Marsal para una capa de balasto [6].

Lee & Farhoomand (1967):Lee and Farhoomand (1967) desarrollaron una serie de pruebas de carga isotropicaen arenas para estudiar la fracturacion de las partıculas y propusieron un factor decrushing que consiste en el cambio del valor correspondiente al 15 % de finos en lacurva de gradacion antes y despues de la prueba. Ası, el factor de crushing puede serexpresado como D15(inicial)

D15(final. El lımite inferior para este factor es la unidad y no existe

un lımite superior. Ver figura 2.8.

Hardin (1985):Hardin (1985) baso su factor de crushing en el cambio de toda la curva de gradacion.Para esto, el definio dos cantidades: el potencial de crushing, BP , definido como elarea bajo la curva y el tamiz No.200, y la fracturacion total, Bt, definido como elarea entre la curva de gradacion inicial y la curva de gradacion final. Entonces, elfactor de crushing o la fracturacion relativa, Br, fue definido como la relacion entrela fracturacion total y el potencial de crushing, Bt

Bp. Los lımtes de este factor son el 0

y 1. Ver figuras 2.8 y 2.7.

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Figura 2.7: Esquema de apoyo para definir el factor de rotura de Hardin (1985).

2.3.2. Analisis Fractal

La geometrıa fractal permite caracterizar y cuantificar algunos patrones existentes en lanaturaleza que parecen irregulares y caoticos mediante el parametro conocido como Dimen-sion Fractal (Mandelbrot, 1977). Es considerado un fractal, cualquier forma cuya dimensionfractal sea mayor que su dimension euclideana. Por lo tanto, la dimension fractal para unalınea de cualquier condicion varıa entre 1 y 2, y para una superficie entre 2 y 3.

De acuerdo con diversos investigadores la distribucion de tamanos de partıculas de suelo(generado en forma natural) posee una naturaleza fractal y por lo tanto puede ser carac-terizada por una dimension fractal.

Lade et al.(1996), encontraron que si un material granular uniforme es fracturado, la dis-tribucion de tamanos resultante es la de un suelo bien gradado para cargas de compresionmuy grandes. Bolton (1999) y McDowell et al.(1996) establecieron que la distribucion detamano de los granos de un arreglo granular que ha sido fracturado bajo grandes cargasde compresion resulta ser una distribucion fractal. Una distribucion bien gradada o unadistribucion fractal representa una estructura granular que esta compuesta por granos detodos los tamanos incluyendo los granos originales que no se fracturaron [27].

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Figura 2.8: Indices de crushing, [13].

Turcotte (1986), examino los tamanos de los fragmentos para una amplia variedad demateriales fracturables y encontro que la distribucion de tamanos tiene un caracter fractal[21]. Un fractal define una relacion entre el numero de partıculas y su tamano, de talmanera que el numero de fragmentos que tienen un diametro (o cualquier otra dimesionlineal caracterıstica) de tamano L mayor que el tamano d esta dado por la ecuacion:

N(L > d) = Ad−D (2.2)

donde A es una constante de proporcionalidad y D es la dimension fractal. La dimencionfractal frecuentemente varia entre 1.5 y 2.5 para suelos granulares, donde el lımite superiorcorresponde a la condicion de puro crushing.

Una expresion equivalente fue desarrollada por Tyler y Wheatcraft (1992) para obtener ladimension fractal, si se conoce la distribucion del tamano de los granos del suelo por peso:

M(R < d)MT

=(

r

rL

)3−Df

(2.3)

donde M(R < r) es la masa acumulada de las partıculas con un tamano R mayor a r. MT

es la masa total de las partıculas. r es la abertura del tamiz y rL es el tamano maximo

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de partıcula definido como el mayor tamano de tamiz empleado en el analisis. Df es ladimension fractal.

En la referencia [27], se calcula la dimension fractal para dos tipos de partıculas una masrugosa que la otra y se obtuvo como resultado que la dimension fractal, D, del perfil masrugoso es mayor que la dimension fractal del perfil liso. Para evaluar la dimension fractalpromedio de un grupo de partıculas, es recomendado el metodo area-perımetro (Hyslip andVallejo, 1997). Este metodo involucra la medida de las areas y sus respectivos perımetrosde las multiples partıculas que forman un grupo. Entonces se grafican en log-log las areasy los perımetros de cada partıcula individual. La pendiente m de la recta que mejor seaproxime a los puntos se usa para calcular la dimension fractal promedio, D, del grupo departıculas analizadas, D = 2

m (Hyslip and Vallejo, 1997).

Para evaluar la cantidad de crushing a partir de la dimension fractal, se realizaron ensayoscon grava seca, en los cuales se introduce la grava seca en un cilindro metalico de 15 cm dediametro. La altura de la muestra dentro del cilindro fue de 20 cm. Se empleo un martillode Proctor Standar y la grava fue sometida a 100, 300 y 500 golpes. Como resultadodel esfuerzo dinamico de compresion inducido por la caıda del martillo sobre la muestra,la grava sufre crushing. Se realizo un tamizado antes y despues del ensayo. Usando losresultados de las granulometrıas y las ecuaciones de la teorıa fractal de Mandelbrot, 1977y Tyler & Wheatcraft, 1992, se obtuvo la dimension fractal para cada ensayo.

Como resultado se obtuvo que la dimension fractal aumenta con el numero de golpes. Estoes, la distribucion de tamanos se hace mas fractal con el nivel de compresion dinamicasobre la grava.

En la referencia [21], se asumio por simplicidad, que la compresion normal produce unadistribucion fractal de las partıculas con un valor de D = 2.5. De acuerdo con esta referecia,una distribucion de tamanos de partıculas estrictamente fractal obedece la ecuacion 2.2 yse extiende sobre un rango de escalas infinito. Sin embargo, la distribucion fractal debelimitarse. Debe haber un tamano maximo de partıcula do correspondiente al agregadooriginal y un tamano mas pequeno ds, el cual generalmente se reduce con el incremento deesfuerzo. Si la distribucion fuera estrictamente fractal sin lımite, el agregado tendrıa unarelacion de vacıos unica que estarıa definida por la dimension fractal D. Pero la compresionplastica y clastica dependen de la reduccion de las partıculas de tamano ds, producida porla fractura contınua, y de esta manera la relacion de vacıos va disminuyendo.

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La probabilidad de fractura de una partıcula es determinada por el esfuerzo aplicado, eltamano de las partıculas y el numero de coordinacion. La probabilidad de fractura Pf (d)debe incrementar con cualquier incremento de esfuerzo macroscopico σ,pero debe disminuircon la disminucion de los tamanos de las partıculas o con el incremento en el numero decoordinacion.

Erroneamente puede anticiparse que como las partıculas de menor tamano son mas fuertesque las de mayor tamano, las partıculas mas grandes tienen siempre la mayor probabilidadde fracturarse. Esto conducirıa a la evolucion de una matriz uniforme de partıculas finasa partir de la compresion de un agregado de granos fracturables, comportamiento queno es evidente en la literatura de geotecnia. En realidad, aunque las partıculas pequenassean las mas fuertes tienen el menor numero de coordinacion y estos dos efectos opuestosafectan la probabilidad de fractura: el tamano y el numero de coordinacion. Si el numerode coordinacion predomina sobre el tamano de la partıcula en la evolucion del agregado,entonces las partıculas mas pequenas siempre tienen la mas alta probabilidad de fractura.En este caso la compresion de un agregado de granos uniformes deberıa conducir a unadistribucion irregular de los tamanos.

En esta referencia suponen que las partıculas mas pequenas son las que se fracturan con-tinuamente bajo el incremento de esfuerzo y que la probabilidad de fractura de las mismases una constante p y que el numero de fragmentos producidos es una constante n. Estosparametros definen la distribucion de los fragmentos la cual es fractal. Se considera unajerarquıa de granos en la cual el tamano de partıcula mas grande es do y los subsiguientestamanos en orden son d1,d2,d3 hasta ds el tamano mas pequeno. Si originalmente hubo w

partıculas de orden 0, entonces el numero de partıculas de orden i debe ser w(np)i(1− p).El numero de partıculas de tamano di o mayor esta dado por:

N(L > di) = w(np)i(1− p)[1− 1

np

]−1

(2.4)

para np > 1. Por lo tanto resulta:

N(L > di)N(L > di+1)

=1np

(2.5)

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Y a partir de la ecuacion 2.2 se tiene:

N(L > di)N(L > di+1)

=(

di

di+1

)−D

= (n13 )−D (2.6)

por lo tanto comparando las ecuaciones 2.5 y 2.6 se tiene la siguiente relacion:

D = 3(

1 +lnp

lnn

)(2.7)

La idea de tener una probabilidad de fractura constante para las partıculas mas pequenas esconsistente con la idea de que las partıculas mas pequenas permanecen en configuracionesgeometricamente similares, con un mınimo de coordinacion. En este caso es evidente que losgranos mas pequenos en promedio tendran un esfuerzo de tension caracterıstico inducidoproporcional al esfuerzo macroscopico.

2.4. Distribucion Weibull de la resistencia de las partıculas

La fractura de una partıcula tiene lugar cuando la partıcula esta sujeta a un esfuerzo detension mayor que su resistencia. La resistencia de una partıcula de un tamano y minera-logıa dadas no es constante. Los materiales naturales como los granos de suelo, presentanuna variabilidad en su resistencia debido a la presencia de grietas en su estructura in-terna. Lo contrario sucede con materiales como el acero, cuya resistencia es constante eindependiente del tamano, por ser un material de estructura homogenea.

La variabilidad de la resistencia a tension de las partıculas fragiles puede ser descritamediante el modelo de distribucion estadıstica Weibull y puede caracterizarse a traves delmodulo Weibull [23].

A continuacion se describe brevemente este modelo estadıstico aplicado a la distribucionde resistencia de un volumen dado (grano de suelo).

16


2.4.1. Funcion Weibull

Weibull (1951) reconoce que para que un bloque de material no se fracture bajo tension,se requiere que todas sus partes constituyentes permanezcan intactas. Ademas, indica quepara un volumen V, bajo un esfuerzo de tension aplicado σ, la probabilidad de supervivenciaPs(V) del bloque esta dada por [21], [20]:

Ps(V ) = exp

[− V

Vo

(σ

σo

)m](2.8)

Donde Ps(V ), es la probabilidad de supervivencia que tiene un volumen V, bajo un esfuerzoσ y Vo es el volumen de material de referencia tal que:

Ps(Vo) = exp

[−(

σ

σo

)m](2.9)

El parametro σo es el valor del esfuerzo a tension tal que el 37 % del numero total de bloquesno se fracturan. El exponente m es el modulo Weibull. Este disminuye con el incrementoen la variabilidad de la resistencia a la tension. Para cemento, roca, ceramica y tiza, m esaproximadamente 5. Para suelos se espera que m se encuentre en el intervalo 5 - 10.

El modulo Weibull puede ser calculado realizando ensayos individuales de crushing enpartıculas de un mismo tamano o en partıculas con diferentes tamanos.

2.4.1.1. Muestras del mismo tamano

Despues de realizar ensayos de crushing (carga puntual) en partıculas del mismo tamano,se puede obtener una curva como la mostrada en la figura 2.9. A partir de esta curva sepueden obtener los valores de σo y m, como se muestra en la figura 2.9.

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Figura 2.9: Esquema de apoyo para explicar la funcion de distribucion Weibull [19].

2.4.1.2. Muestras de diferentes tamanos

El modulo Weibull tambien puede determinarse ensayando partıculas de un mismo suelopero de diferentes tamanos. Para cada partıcula se calcula su resistencia. Se grafican eldiametro versus la resistencia, para cada partıcula y se obtiene una curva como la figura2.10. A partir de esta curva se calcula el modulo weibull como se muestra en la figura 2.10.

Figura 2.10: Esquema de apoyo para observar el efecto del tamano en la resistencia de laspartıculas y determinacion del modulo Weibull [19].

De acuerdo con la referencia [21], se puede ver facilmente que la resistencia a la tensionprincipal para muestras de volumen Vo esta dada por:

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σmean = σoΓ(

1 +1m

)(2.10)

Donde Γ es la funcion gamma y retorna un valor de 1 para los valores de m considerados.

La mayor velocidad a la cual la muestra de volumen Vo se fractura en la medida en que seincrementa el esfuerzo de tension aplicado ocurre cuando σ = σo. Un analisis mas rigurosomuestra que dPs/dσ es un mınimo cuando el esfuerzo esta dado por:

σ = σo

(m− 1

m

) 1m

(2.11)

Se hace evidente que σo es un parametro muy util para describir la resistencia de mate-riales fracturables. Para un bloque de material de volumen V1 bajo tension se obtiene laresistencia del 37 % σ01 a partir de la ecuacion 2.8.

σ01 = σo

(V0

V1

) 1m

(2.12)

y la resistencia promedio se escala de la misma manera.

Si las partıculas son geometricamente similares y tienen el mismo numero y distribucionde contactos, el tamano de las zonas de esfuerzo de tension inducido dentro de ellas, puedeescalarse con su volumen. En este caso aplica Weibull. Por lo tanto, la probabilidad desupervivencia de una partıcula de diametro d bajo compresion diametral esta dada por:

Ps(d) = exp

[−(

d

do

)3( σ

σo

)m]

(2.13)

donde σ es el esfuerzo de tension caracterıstico inducido en la partıcula dado por la ecuacion1.1, y σo es ahora el valor de F

d2 al cual el 37 % de las partıculas ensayadas sobrevive yes aproximadamente igual (y proporcional) a la resistencia a la tension promedio de laspartıculas de tamano do. Es evidente en las ecuaciones 2.12 y 2.13 que la resistencia a

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tension promedio de los granos se escala con el tamano de las partıculas de acuerdo con larelacion:

σo = d−3m (2.14)

la cual es equivalente a la ecuacion 2.17. Aparentemente, valores de m en el rango 5 - 10,cubre los datos de Lee para granos de roca en la figura 2.13.

Del anterior analisis se deduce que el valor de Fd2 en la fractura para granos comprimidos

diametralmente entre platinas es una medida apropiada de la resistencia a la tension departıculas fracturables.

Algunos casos de aplicacion experimental y numerica del modelo estadıstico Weibull en ladistribucion de la resistencia de las partıculas, se presenta en las siguientes secciones.

2.5. Marco Experimental

Todas las investigaciones que han involucrado ensayos de laboratorio de suelos bajo pre-siones geotecnicas normales han dado como resultado una considerable fracturacion departıculas. La fracturacion de las partıculas embebidas en una masa de suelo puede ocurriraun bajo presiones relativamente bajas. Esto depende del caracter individual de los granosdel suelo [13].

La fracturacion de un partıcula ocurre cuando el esfuerzo inducido en el grano excede laresistencia al crushing, aun si la fractura del grano ocurre en una matrix de suelo [24].

En general, para el tipo de deformacion que principalmente produce cambio de volumen, talcomo deformacion unidimensional o compresion isotropica, la fracturacion de las partıculascontribuye a la reduccion del volumen. Para el tipo de deformacion donde las partıculasse mueven pasando o se deslizan alrededor una de la otra, tal como ocurre en la compre-sion triaxial o corte simple, el crushing de la partıculas disminuye la rata de dilatacioncorrespondiente a una relacion de esfuerzo principal [8].

20


Toda la informacion que se presenta a continuacion se encuentra consignada en las refe-rencias citadas de manera puntual en el texto.

2.5.1. Correlacion con parametros standar del suelo

Para cada uno de los ensayos mencionados en la seccion anterior, se calcularon tres factoresde crushing propuestos por: Marsal, Lee and Faroomand y Hardin [13]. Estos factores segraficaron contra el esfuerzo normal medio a la falla y contra la relacion de vacıos. Estascurvas muestran que la fracturacion se incrementa con el aumento del esfuerzo normalmedio en la falla en cada tipo de prueba; la fracturacion de partıculas resulta ser mayor enlos ensayos de compresion que en los de extension para un mismo esfuerzo normal medioen la falla; esto puede ser porque los esfuerzos y deformaciones son mucho menores enextension que en comprension; la cantidad de crushing es menor en las pruebas drenadasya sea en compresion o extension; los factores de crushing llegan a ser constantes a presionesmuy altas; esto se debe al hecho de que la cantidad de crushing alcanza cierto lımite, yentonces los vacıos se disminuyen considerablemente y las partıculas tienen mayor numerode puntos de contacto.

Los factores de crushing se graficaron versus la relacion de vacıos en la falla. De estascurvas se pudo concluir que hay una relacion directa entre la fracturacion de las partıculasy la relacion de vacıos. Con respecto a la cantidad de crushing, fue mayor en los ensayosde compresion que en los de extension, pero fue aproximadamente igual en los ensayosdrenados y no drenados. Sin embargo, la relacion de vacıos no puede ser considerada unfactor de correlacion efectivo, debido a que las pruebas de compresion y extension producencurvas o lıneas separadas.

Los factores de crushing tambien se graficaron versus la presion media efectiva normal. Deestas curvas, se pudo observar que se presento mas crushing en las pruebas no drenadasque en las drenadas, tanto en compresion como en extension. Como el esfuerzo normalmedio efectivo no refleja el efecto de la trayectoria de esfuerzo en la fracturacion de laspartıculas, no puede ser considerado un parametro efectivo de comparacion de la cantidadde crushing encontrado en diferentes tipos de pruebas.

21


2.5.2. Correlacion con la Energıa

La mayorıa de los parametros de la mecanica de suelos derivados del analisis de los datosde los ensayos de laboratorio no se correlacionan efectivamente con la cantidad de crushing.Sin embargo, se ha demostrado que el incremento en la presion de confinamiento tambiencomo el corte a mayores niveles de esfuerzos y deformaciones incrementa la cantidad decrushing. Y dado que el calculo de energıa involucra las magnitudes de los esfuerzos ydeformaciones, la magnitud de la energıa total por unidad de volumen de una muestradurante las pruebas podrıa ser visto como un parametro apropiado para correlacionarlocon la fracturacion de las partıculas [13].

Este tipo de correlacion ya fue propuesto por Miura and O-hara 1979. Ellos emplearontrabajo plastico enves de energıa total, extrayendo la energıa elastica de la energıa totalpara calcular el trabajo plastico.

Sin embargo, la cantidad de energıa elastica que se presenta en muestras en las cuales lacantidad de crushing es significativa, es muy poca en comparacion con el trabajo plastico.Por lo tanto la diferencia entre el trabajo total y el trabajo plastico es muy pequena yel uso de la energıa total simplifica los calculos considerablemente. Por lo tanto, en estareferencia, se opto por calcular la energıa total.

Al graficar la energıa total calculada por unidad de volumen versus el factor de crushing deHardin, se observa una excelente correlacion entre los parametros de crushing y la energıatotal de entrada. Existe una unica relacion para todos los tipos de prueba en una solacurva.

2.5.3. Efectos de la carga sobre la distribucion de tamanos

Lade et al.(1996), realizaron ensayos de compresion y extension triaxial drenado y nodrenado, sobre muestras de arena densa Cambria. Las presiones de confinamiento fueron de0.5 a 70 MPa. Despues de cada emsayo se realizo un analisis granulometrico. A partir de losresultados obtenidos de estos ensayos, se pudo concluir que la fracturacion de las partıculasaumenta con el aumento de la presion de confinamiento inicial. Todas las gradacionesfinales de los ensayos muestran una granulometrıa bien gradada. Para una misma presion

22


de confinamiento, las pruebas drenadas conducen a mayor crushing que las pruebas nodrenadas, debido a que el esfuerzo efectivo medio normal es mas bajo en las pruebasno drenadas dado el desarrollo de grandes presiones de poro positivas. Los ensayos decompresion presentaron mayor cantidad de crushing que los ensayos de extension [13].

2.5.4. Crushing en una Partıcula individual

2.5.4.1. Esfuerzo inducido y resistencia

De acuerdo con McDowell (1998), se acepta ampliamente que la falla de una partıculaesferica bajo compresion es de hecho una falla por tension. Por lo tanto, la resistencia a latension de granos de roca puede ser medida indirectamente mediante la compresion de losgranos entre platinas delgadas. El esquema se muestra en la Figura 2.11 [21].

De acuerdo con Jaeger (1967) para una partıcula con un diametro d bajo una fuerzadiametral F, el esfuerzo a tension caracterıstico inducido puede ser definido como:

σ =F

d2(2.15)

Esto es consistente con la definicion de resistencia a la tension del concreto en el ensayoBrasilero.

Figura 2.11: Prueba de la resistencia a la tension de una partıcula (Lee,1992),[21].

23


La figura 2.12 muestra una curva tıpica de carga vs desplazamiento correspondiente a laconfiguracion de la figura 2.11. Los tres primeros picos notables de la curva se deben ala fractura de las esquinas angulosas. Pero esto no puede considerarse como la fracturade la partıcula. Estos picos iniciales son seguidos de un gran pico correspondiente a lacarga maxima, y a una particion catastrofica de la partıcula, en la cual la carga decrece demanera abrupta. La fractura de una partıcula debe considerarse cuando esta se parte endos o mas piezas. Luego, con esta definicion de fractura Lee (1992) calculo la resistencia ala tension de los granos como:

σf =Ff

d2(2.16)

Figura 2.12: Curva carga vs desplazamiento de una partıcula comprimida entre dos plati-nas,(Lee, 1992),[21].

Donde el subındice F denota falla.

24


2.5.4.2. Variabilidad en la resistencia

Lee (1992) tambien encontro que para las partıculas de un mismo tamano y misma miner-alogıa, la resistencia a la tension no es una constante, tiene una desviacion estandar sobreuna valor principal y la resistencia a la tension promedio es funcion del diametro d de lapartıcula [21].

La figura 2.13 muestra la resistencia a la tension principal como una funcion del tamanode la partıcula a traves de la relacion:

σf ∝ db (2.17)

Figura 2.13: Resistencia a la tension principal como una funcion del tamano de la partıcula(Lee, 1992),[21].

El efecto del tamano en la resistencia de una partıcula se hizo evidente en pruebas expe-rimentales de crushing en partıculas individuales desarrolladas por Billam (1972) y es unaconsecuencia directa de la variacion estadıstica en la resistencia de partıculas fragiles. Enlas partıculas fragiles las fallas se distribuyen segun el tamano. Las partıculas mas pequenastienen menos fallas y son de menor tamano. Por esta razon las partıculas mas pequenasson mas fuertes que las mas grandes.

25


McDowell y Bolton (1998) cuantificaron esto mas rigurosamente empleando la estadısticade fractura de Weibull. Este modelo estadıstico fue explicado en la anterior seccion.

Nakata et al.(1999), [23], tambien realizaron pruebas en partıculas individuales, a partirde las cuales calcularon las resistencias de cada grano de suelo ensayado.

Las pruebas consistieron en colocar cada grano individualmente entre platinas rıgidas yluego mover la platina inferior a una velocidad constante de 0,1 mm/min hasta fracturarla partıcula (ver figura 2.14). Durante la prueba se midieron la fuerza y el desplazamiento.Se realizaron el mismo numero de pruebas (120) para partıculas de cuarzo y feldespato.

Figura 2.14: Diagrama esquematico del aparato de crushing. [24].

Para cada partıcula se hizo lo siguiente: se calculo la resistencia de acuerdo con Jaeger(1967), ecuacion 2.15, tomando F , como la fuerza maxima o pico y d como la distanciainicial entre platinas; por ultimo, se calculo la probabilidad de supervivencia de acuerdocon la ecuacion 2.18.

Ps =NumeroParticulasFracturadasaσ > σf

Numerototalparticulasensayadas(2.18)

Se graficaron curvas de resistencia versus probabilidad de supervivencia. Se obtuvieron dos

26


graficas: una para las partıculas de cuarzo y otra para las partıculas de feldespato. Enuna misma grafica, se presentaron las curvas obtenidas para cada uno de los tamanos departıculas ensayados, como se muestra en la parte derecha de la figura 2.15, para el caso delas partıculas de cuarzo. De estas curvas, se pudo observar que en las partıculas de cuarzohay una tendencia de las partıculas de mayor tamano a tener una menor probabilidad desobrevivencia a cualquier nivel de esfuerzo dado. Este fenomeno es menos marcado en elfeldespato.

Por otro lado, Nakata et al. (1999), ajustaron estas curvas de resistencia versus probabilidadde supervivencia a la funcion Weibull (descrita en la seccion anterior). De esta manerapudieron caracterizar la variabilidad de la resistencia de las partıculas a traves del moduloWeibull, ajustando la curva real con alguna de las curvas mostradas en la parte izquierdade la figura 2.15.

Figura 2.15: Izquierda:curvas Funcion Weibull ; Derecha:curvas de probabilidad de super-vivencia normalizadas para el esfuerzo pico (Cuarzo), [23].

De esta regresion se obtuvo un valor de m para las partıculas de cuarzo de 4.2 y para laspartıculas de Feldespato de 1.8. Un valor bajo del modulo significa una gran variabilidaden la resistencia.

Tambien graficaron las resistencia de cada partıcula versus su diametro en escala semilog-arıtmica. A partir de esta grafica tambien es posible determinar el modulo weibull (verseccion Distribucion Weibull de la resistencia de las partıculas).

27


2.5.5. Crushing en una muestra de suelo

Cheng et al. (2001), referencia [4], realizaron un element test en el cual emplearon fotografıadigital para seguir la evolucion de los granos del suelo bajo el incremento de carga y obtenerla medida de las deformaciones macroscopicas.

El element test consistio en un miniedometro de 10 mm de diametro y 5 mm de altura. Seutilizo un lente de vidrio para observar el crushing en una muestra de arena carbonatadaseca durante la compresion unidimensional. Se ubico un strain gauge para medir la cargaactuante en la arena mientras el piston avanza lentamente. Las imagenes de la arenacomprimida fueron capturadas por una camara digital Kodack DC280 con lentes de +40de amplificacion. El mini-edometro se muestra en la figura 2.16.

Figura 2.16: Mini - Edometro.[4].

En cuanto a las observaciones macroscopicas la figura 2.17 muestra las medidas de volumen-esfuerzo. Esta curva concuerda con Golighty (1990). Se pueden observar tambien los puntosdonde inicia la fracturacion de las partıculas.

Con respecto al comportamiento microscopico, fue observado que los granos se reaco-modaron sin fracturarse, durante la primera etapa de la compresion que es llamada conven-cionalmente elastica o recuperable. La figura 2.17 muestra la prueba 1 en la cual el esfuerzovertical maximo es 10 MPa. La primera fractura de granos ocurre a un nivel de esfuerzode 0.2-0.6 Mpa, lo cual indica el inicio de la deformacion irrecuperable. Las fotografıas dela microestrutura del suelo muestran que la respuesta lineal plastica esta governada por lacombinacion de tres procesos: dano en el contacto, la fractura contınua de partıculas es-pecıficas y la fractura de partıculas intactas en nuevas posiciones con reposicionamiento de

28


Figura 2.17: Curva de Compresion Unidimensional. [4].

las piezas fracturadas. Para el momento en que se alcanza la lınea de normal consolidacion,muchas partıculas de gran tamano se han fragmentado sucesivamente.

La figura 2.18 muestra el fracturamiento contınuo de un grano de arena seleccionado bajoun esfuerzo macroscopico en el rango 0 - 10 MPa, con una descarga y recarga que iniciaa un esfuerzo de 5.58 MPa. La primera fractura en B ocurre a un esfuerzo de 0.63 MPa.Esta partıcula no experimento reposicionamiento pero se observo mas rompimiento en Ccuando inicio la descarga. Durante la descarga en D, no se observo reubicacion en laspartıculas. Cuando inicia la recarga a 5.92 MPa, se observan movimientos relativos de laspiezas fracturadas (E). Mas fractura se observa en la medida en que la compresion siguepor la lınea de normal consolidacion.

Figura 2.18: Fractura progresiva de un grano.[4].

La granulometrıa del ensayo elemental muestra que el 25 % (en masa) de las partıculas mas

29


grandes (> 800µmm) se fracturo y un 28 % (en masa) de las partıculas finas (< 300µmm)se encontro despues de que la compresion de la arena hubiese llegado hasta la lınea denormal consolidacion, lo cual es consistente con las imagenes obtenidas en la figura 2.17.Estos finos son los bordes fracturados de las partıculas grandes y medianas.

Nakata et al.(1999)[23], observaron la evolucion del crushing en arenas durante la compre-sion isotropica y el corte en ensayos triaxiales. La resistencia al crushing de una partıcula,la definieron para la fractura de una aspereza y para la fractura completa de la partıcula.Definieron un factor de crushing en terminos de la evolucion de la curva de distribucionrespecto del tamano mas pequeno. Ellos encontraron que el cambio de la curva de gradacionesta relacionada con la superficie de fluencia, entre mayor la envolvente mayor fracturacionde las partıculas.

Algunos granos de la muestra de arena para los ensayos triaxiales fueron marcados con elfin de relacionar las caracterısticas del crushing en una partıcula individual con aquellasdel crushing de las partıculas embebidas en una matrix de suelo.

El material que utilizaron fue arena de Aio (Japon), cuyos componentes principales son:68.7% cuarzo y 31.3 % feldespato. El tamano de las partıculas empleado en los ensayos fuedesde 0.85 mm hasta 2.0 mm. Algunas de las propiedades de la arena son las siguientes:gravedad especıfica 2.615, maxima relacion de vacıos 0.985, mınima relacion de vacıos0.706 y D50 1.91. El diametro de la muestra para el triaxial fue de 50 mm. La muestrafue saturada con una contrapresion de 196 kPa. La consolidacion isotropica se llevo a 2.94MPa y 9.81 MPa.

En cuanto a las caracterısticas del crushing para una partıcula individual se puede resumirlo siguiente: la relacion fuerza-desplazamiento es distinta para todos los tipos de partıculasensayadas. Pero se observa una diferencia mayormente marcada entre la de los granos defeldespato y de cuarzo. Esto se atribuye a la estructura cristalina de los granos de feldespato,los cuales contienen mayor numero de fallas incipientes que los granos de cuarzo. Por estarazon existe la posibilidad de que las partıculas de feldespato no siguan un patron desimilaridad geometrica. Las partıculas de cuarzo presentan la tendencia a que las partıculasmas grandes tengan una probabilidad mas baja de sobrevivir (permanecer intactas) bajoun esfuerzo dado. Las resistencias σc (esfuerzo al cual ocurre el primer pico en la curvafuerza-desplazamiento) y σf (esfuerzo maximo al cual ocurre la fractura de la partıculacomo un todo), son consistentemente mayores para las partıculas de cuarzo que para las

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de feldespato y la probabilidad de supervivencia para las partıculas de cuarzo es mayor aun nivel de esfuerzo dado.

En lo referente al crushing de las partıculas embebidas en la muestra de suelo del ensayotriaxial se resume lo siguiente:

La comparacion entre las partıculas antes y despues de la consolidacion a 2.94 MPa, nomuestra evidencia de crushing a este nivel de esfuerzo. Las partıculas sujetas a una con-solidacion a un nivel de esfuerzo de 9.81 Mpa, muestran tres tipos de danos: abrasion enla superficie de las partıculas (este tipo de dano no se observa en partıculas comprimidasentre platinas), fractura de fragmentos de la partıcula y la fractura de la partıcula en 2 omas granos.

Durante el ensayo de corte con una presion de camara de 2.94 MPa, se presento un nivel decrushing ligeramente mayor que aquel presentado en la sola compresion isotropica a 2.94MPa. La trayectoria de esfuerzo en el caso de la muestra sometida a corte a una presionde camara de 9.81 MPa, muestra una reduccion considerable de la relacion de vacıos.

Con el fin de relacionar el crushing en una partıcula individual con los resultados de losensayos de compresion triaxial, calcularon la fuerza actuante sobre una partıcula embebidaen la muestra empleando una aproximacion simplificada. El volumen de solidos en unaunidad de volumen del suelo esta dado por:

Vs =1

1 + e(2.19)

donde e es la relacion de vacıos. El numero de partıculas de arena por unidad de volumenesta dado por:

N =Vs

Vsp(2.20)

donde Vsp es el volumen de una partıcula individual. El numero de partıculas por la unidadde area de seccion transversal es calculada como N

23 . La fuerza Fsp actuante en una partıcu-

la individual embebida en el especimen se calcula dividiendo el esfuerzo normal por el

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numero de partıculas a traves del plano:

Fsp =σ

N23

(2.21)

Para la condicion de consolidacion isotropica, σ es asumido igual al esfuerzo efectivo prin-cipal promedio, mientras que para el corte triaxial se asume que σ es el maximo valordel esfuerzo principal mayor σ

′1 durante la prueba. El uso del esfuerzo principal mayor

esta basado en el vector de fuerza producido por el metodo de los elementos discretos.

Con el fin de calcular el esfuerzo de tension en la partıcula, el volumen promedio de unapartıcula fue tomada como:

Vsp =16∗ π ∗ d3 (2.22)

donde d es el diametro promedio de partıcula. Sustituyendo las ecuaciones 2.19, 2.20, 2.22en la ecuacion 2.21, se obtiene:

Fsp = σ ∗

( 3

√(1 + e) ∗ π

6

)2 ∗ d2 (2.23)

y

σsp = σ ∗

(3

√(1 + e) ∗ π

6

)2

(2.24)

Se puede notar en la ecuacion 2.24 que para un grupo de esfuerzos aplicados, el esfuerzocaracterıstico promedio no depende del tamano de las partıculas sino que es funcion de larelacion de vacıos.

Usando las ecuaciones 2.23 y 2.24, fueron calculados para cada prueba el esfuerzo car-acterıstico maximo de las partıculas embebidas y la probabilidad de supervivencia de la

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partıcula bajo un esfuerzo de crushing σf dado con la siguiente ecuacion:

Ps =NumeroParticulasFracturadasaσ > σf

Numerototalparticulasensayadas(2.25)

Con base en estos resultados, y las observaciones de las partıculas coloreadas despues decada ensayo se pudo resumir lo siguiente: bajo condiciones isotropicas la probabilidad defractura es menor que en el corte; una vez calculado el esfuerzo caracterıstico maximo enuna partıcula embebida, y calculada la probabilidad de sobrevivencia Psp bajo ese esfuerzo(obtenida a partir de los ensayos de crushing individuales), fue comparada esta probabilidadcon las partıculas fracturadas despues del ensayo triaxial y fue encontrada ciera similituden los resultados.

Nakata et al. (1999a), [24], realizaron ensayos de compresion unidimensional en arenasılica y encontraron que en el caso de arena uniformemente gradada se presenta mayorfracturamiento de las partıculas entre el esfuerzo de fluencia y el punto en el cual el ındicede compresion alcanza un maximo. Se observo para esta arena, que inmediatamente de-spues de la fluencia, el 50 % de las partıculas habıa experimentado la fracturacion masimportante. Para la arena bien gradada, hubo una diferencia en el comportamiento decrushing dependiendo del tamano de las partıculas. En la zona entre el esfuerzo de fluenciay el esfuerzo en el ındice de compresion maximo, se incremento la fracura de asperezas dela partıculas mas grandes. Para las partıculas pequenas, la fracturacion de las partıculasen esta zona estuvo caracterizada por un incremento de la fractura total de las partıculasy no por fractura de sus asperezas.

Nakata et al. (2001) [24], realizaron ensayos de compresion unidimensional llevados a caboen diferentes materiales granulares uniformemente gradados. A partir de estas compresionesdeterminaron la influencia del tamano de las partıculas, de la relacion de vacıos, de laangularidad y la mineralogıa en la compresion y fluencia caracterısticas de los materialesensayados. Estos resultados fueron descritos en este primer capıtulo en la seccion Factoresque influyen en la fracturacion de las partıculas.

McDowell & Bolton (1998), estudiaron el comportamiento micromecanico del suelo bajocompresion unidimensional haciendo enfasis en el rol de la fractura de los granos. La figura2.19 muestra las curvas e−(σv)

′de arena sılica y carbonatada de Golightly, (1990) [21]. Las

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muestras fueron comprimidas en un edometro y para ambas arenas se empleo un estadosuelto y uno denso. Los analisis realizados se muestran a seguir.

Figura 2.19: Curva de compresion unidimensional para arena sılica y carbonada. [21].

En la figura 2.19 son evidentes dos regiones 1 y 2. La primera de menor deformacion sedebe principalmente al reacomodamiento de las partıculas. La reduccion de vacıos en laregion 2 es causada en mayor medida por la fracturacion de las partıculas. Para la arenadensa la cual ha alcanzado hasta este punto todo el reacomodamiento posible, es necesariola fracturacion de las partıculas para que exista compresion. Para un arreglo de partıculasaproximadamente uniformes bajo compresion, el esfuerzo de tension caracterıstico prome-dio inducido debe ser proporcional al esfuerzo macroscopico aplicado. Para partıculas car-gadas de esta manera debe existir un valor de esfuerzo de tension caracterıstico inducidoσo para el cual el 37 % de las partıculas no se fracturan. El esfuerzo σo tambien representa(aproximadamente) el esfuerzo de tension caracterıstico al cual la rata de cambio del crush-ing de las partıculas con el incremento de esfuerzo dPf

dσ es un maximo, el cual se podrıaconsiderar corresponde al esfuerzo de fluencia en la region 2. De esta manera, el esfuerzode fluencia debe ser proporcional a la resistencia a la tension de los granos medida en unensayo de compresion diametral entre platinas delgadas [21].

Bolton & McDowell (1996), llamaron el comportamiento de la region 2 fluencia clastica,donde ocurre una importante deformacion irrecuperable debido al inicio de la fracturacion

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de las partıculas. El esfuerzo de fluencia clastica σo puede ser definido como el valor del es-fuerzo macroscopico que produce la rata maxima de fractura de granos bajo el incrementode esfuerzo, para partıculas cargadas en esta configuracion. Para un agregado de partıcu-las fracturables con un modulo Weibull muy alto (una unica resistencia a la tension), esevidente que una compresion catastrofica del agregado puede ocurrir cuando el esfuerzomacroscopico aplicado alcanza un valor igual al esfuerzo de fluencia clastica.

La figura 2.19 muestra que la arena sılica suelta presenta mayor reacomodamiento de suspartıculas antes del inicio del crushing. El esfuerzo de fluencia clastica es menor, debido aque a altos valores de relacion de vacıos el numero de coordinacion se reduce en el agregado.

En la figura 2.19 se observa que la region de fluencia clastica para la arena carbonatadadensa es menos pronunciada que para la arena sılica densa. Ademas se observa que paraun agregado fracturable que ha sido comprimido unidimensionalmente, la fluencia clasticaesta seguida por una region de endurecimiento plastico, en la cual el esfuerzo macroscopicodebe incrementarse para producir cualquier compactacion adicional. Los ingenieros geotec-nistas llaman esta region de compresion normal.

2.6. Marco Numerico

En los analisis y simulaciones numericas del crushing se ha empleado ampliamente el Meto-do de los Elementos Discretos (DEM) desarrollado originalmente por Cundall y strack en1979. El metodo original DEM y por lo tanto sus implementaciones, no cosideran la frac-turacion de las partıculas. Sin embargo se han propuestos diferentes soluciones para podertener en cuenta este fenomeno.

Una de las soluciones propuestas hasta el momento consiste en representar una partıculacomo un aglomerado poroso, el cual es construıdo enlazando varias partıculas elementales.El aglomerado se puede disgregar (fracturar) durante la simulacion, con la ruptura delos enlaces existentes entre las partıculas elementales. Otra de las soluciones propuestas esreemplazar las partıculas que han fallado, segun el criterio de falla predefinido, por un grupode partıculas de menor tamano. Algunas de las investigaciones que han implementado estosmetodos seran presentadas a continuacion.

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Los programas PFC 2D y 3D (Itasca Consulting Group), los cuales estan basados en DEM,han sido ampliamente utilizados para implementar las diferentes soluciones propuestas paramodelar la fracturacion de las partıculas.

La modelacion del crushing se ha estudiado a nivel de partıcula ası como tambien a nivel deun agregado de aglomerados bajo diferentes condiciones de carga (compresion edometrica,biaxial, triaxial, corte directo, entre otros).

A continuacion se presentan diversas investigaciones sobre crushing desarrolladas dentrodel marco de la modelacion numerica en los ultimos anos. Toda la informacion se encuentraconsignada en las referencias citadas de manera puntual en el texto.

2.6.1. Criterios de ruptura propuestos

En la literatura se encuentran diversos criterios de falla y fragmentacion propuestos por di-ferentes autores entre ellos: Lobo-Guerrero & Vallejo (2005)[19], Lang (2002) [14], Tsoungui(1999)[25] y Astrom & Herrmann (1998)[1].

El criterio propuesto por Lobo-Guerrero & Vallejo (2005), es adoptado en este estudio ypor lo tanto es descrito en el capıtulo 3.

Astrom & Herrmann (1998), modelaron la fracturacion de las partıculas de un mediogranular bajo compresion edometrica. Los granos y sus fragmentos fueron representadoscomo discos circulares elasticos. Al inicio de la simulacion bidimensional, se generan pocasbolas ubicadas aleatoriamente dentro de una caja. Si los granos se traslapan, se repelencada uno con una fuerza igual a la ecuacion 2.26.

F =E(ri + rj − δs)

12√

1ri

+ 1rj

(2.26)

donde ri, rj son los radios de los granos traslapados, δs es la distancia entre los centrosde los granos, y E el modulo de Young. Las paredes de la caja tambien son elasticas.La presion se incrementa disminuyendo el tamano de la caja. Los granos se mueven deacuerdo con las ecuaciones de newton de movimiento. Se realizaron simulaciones con dos

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tipos diferentes de criterios de fragmentacion: A) un valor crıtico de presion en un grano,y B)un valor crıtico para la maxima fuerza de compresion en los contactos de un grano.Los fragmentos tambien se representaron como discos circulares con el fin de manejarlosde manera similar a los granos.

Segun estos autores, el problema de escoger un buen modelo de fractura es que:

(1) El numero de fragmentos en cada fractura debe mantenerse bajo, de tal forma,que se puedan hacer muchas fracturas en cada simulacion.

(2)Los fragmentos deben ser escogidos y organizados de tal manera que la presionlocal disminuya con la fractura.

(3)El mecanismo de fractura debe imitar el evento real.

Con base en los anteriores argumentos usaron dos criterios diferentes de fractura: (I) Elgrano se parte en dos fragmentos de igual tamano. Este criterio viola (2) e induce fuertespresiones locales. (II) Se agrupan 12 fragmentos de tres tamanos diferentes dentro del areadel grano fracturado y se coloca el resto de la masa afuera en los alrededores del granooriginal. Este criterio viola (1), pero en la mayorıa de los casos satisface (2). Y el criterio(3) tambien es satisfecho de manera razonable.

Dentro de los resultados mas relevantes se encontro que con el modo (II) se fracturan menoslas partıculas orignales; a pesar de esto la distribucion de tamanos de los fragmentos nodifiere mucho entre ambos modos (I) y (II). Los radios promedios al final de la simulacionno varıan mucho entre sı 0.14 mm para (I) y 0.12 para (II). La fuerza empleada en elcriterio de fractura es crucial para la fracturacion de un medio granular bajo presion. Laconfiguracion de los fragmentos influye menos dramaticamente. En la figura 2.20, se puedenobservar los estados finales de las simulaciones.

Tsoungui (1999), estudio la fracturacion de las partıculas de un medio granular bajo com-presion edometrica y propuso un modelo teorico para definir el criterio de falla de un granoindividual sujeto a un juego arbitrario de fuerzas de contacto. Este modelo de falla simplifi-cado se basa en el numero, posicion y magnitud de las fuerzas de contacto y en la fracturade un grano bajo compresion diametral. Con base en calculos basados en el metodo de

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Figura 2.20: Simulaciones de Astrom (1998). a) Modelo de falla (B) y modo de fractura(I). b) Modelo de falla (B) y modo de fractura (II) [1].

los elementos finitos de la distribucion de esfuerzos en un grano de suelo sujeto a compre-sion diametral y biaxial (inclined-cross), se observaron similitudes en ambas condicionesde carga. Los esfuerzos σxx y σyy, estan en compresion en las areas de contacto y solo losesfuerzos σxx perpendiculares a los ejes de compresion son positivos en un area de traccioncentral. Estos esfuerzos son, por lo tanto, los responsables de la fractura del grano. Cuandoel radio del area de contacto es mucho menor que el radio del grano las soluciones analıticasde las distribuciones de esfuerzo muestran que cerca del centro del grano los esfuerzos sonindependientes del tipo de carga (presion uniforme, presion Hertz, fuerza puntual, etc).Para el caso de compresion diametral los esfuerzos en el centro se calculan de acuerdo conlas ecuaciones 2.27 y 2.28.

σoxx =

F

πR(2.27)

σoyy = − 3F

πR(2.28)

Para el caso de compresion biaxial (inclined-cross), los esfuerzos en el centro se calculande acuerdo con las ecuaciones 2.29 y 2.30.

σoxx =

Fmax − 3Fmin

πR=

σmax − 3σmin

2(2.29)

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σoyy =

Fmin − 3Fmax

πR=

σmin − 3σmax

2(2.30)

Como Fmax ≥ Fmin, el esfuerzo σoyy esta siempre en compresion mientras que el esfuerzo

σoxx es positivo cuando Fmax ≥ 3Fmin. Entonces la grieta transversal responsable de la

fractura del grano, inicia su propagacion cuando σoxx excede un valor crıtico σcrit. Este

valor crıtico puede definirse como aquel que fractura un grano sujeto a dos cargas igualesopuestas (Fmin = 0). Muchos trabajos experimentales han mostrado que la fuerza crıticaFcrit requerida para fracturar un grano de radio R bajo compresion diametral esta dada porla ley de fuerza Fcrit = KoR

α, donde el parametro Ko puede ser definido como un factorque solo depende de la naturaleza del material. El exponente α depende de la dimensiondel grano y el modulo Weibull. Por lo tanto, se puede deducir que la fractura de un granosujeto a un juego arbitrario de cargas puede tomar lugar cuando:

σoxx ≥ σcrit(R) =

Ko

πRα−1 (2.31)

Este modelo de falla es una aproximacion, pero presenta la ventaja de simular los efectosde la presion hidrostatica y el esfuerzo de corte en la fragmentacion por compresion.

Para validar este modelo de falla de un grano, Tsoungui, lo implemento en una simulacioncomputacional bidimensional de la compresion edometrica de un arreglo de granos, basadaen el metodo de la Dinamica Molecular (MD) con interacciones elasticas entre granos.Los granos son representados por discos elasticos. Las caracterısticas principales de lasimulacion numerica estan consignadas en la tabla 2.2.

Tabla 2.2: Caracterısticas generales de las simulaciones de Tsoungui (1999)Caracterıstica General UnidadModulo de Young 2 GPaRelacion de Poisson 0.4Densidad Partıcula 1200 kg/m3

No. inicial de granos 200 PaCoeficiente de Friccion 0.3Radio Inicial de granos 0.5 - 1.25 mmKo 681α 0.8

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Los granos que cumplen el criterio de falla son reemplazados por un juego de fragmentos.Las observaciones experimentales han mostrado que los granos cilındricos se fracturangeneralmente en dos grandes fragmentos y muchos granos pequenos de acuerdo con lafigura 2.21. En estas simulaciones se fracturan los granos de acuerdo con la configuracionpropuesta por Drlik (1987): el grano que se fractura es reemplazado por 12 fragmentos decuatro (4) tamanos diferentes en su volumen original. Con el fin de conservar la masa delgrano se uso el metodo propuesto por Astrom (1998) el cual coloca el resto de la masaen los alrededores de la bola original. Se impuso un tamano lımite de grano por debajodel cual los granos no pueden seguir fracturandose, con el fin de optimizar el tiempo de lasimulacion.

Figura 2.21: Esquema de configuracion de fragmentos usada en la simulacion de Tsoungui(1999) [25]

2.6.2. Modelaciones de la fractura de una partıcula

Dentro de las diversas simulaciones de crushing en una partıcula individual realizadas enlos ultimos anos, se pueden citar las siguientes: Robertson & Bolton, 2001 [26];McDowell& Harireche, 2002 [22]; Cheng, Nakata & Bolton, 2003 [3].

En estas investigaciones fue empleado el programa PFC 3D. Este programa esta funda-mentado en DEM y trabaja con esferas elementales. Las esferas son infinitamente rıgidas,no pueden fracturarse; sin embargo es posible representar una partıcula fracturable o gra-no de arena, uniendo varias esferas a traves de los contactos mediante diferentes modelosconstitutivos (modelo de rigidez, deslizamiento y enlace), y de esta manera, generar arreg-los de esferas, con formas arbitrarias y conformar lo que se conoce como un aglomerado.

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Es bien concebido que un aglomerado pueda representar una partıcula teniendo en cuentaque a nivel de atomos un solido esta conformado por la union de moleculas y estas porla union de atomos. Adicionalmente, al eliminar bolas del aglomerado se pueden simulargrietas y de esta manera lograr una distribucion de la resistencia de las partıculas [22].En las investigaciones que se presentaran a continuacion, las partıculas del suelo fueronmodeladas con esta metodologıa.

Robertson & Bolton 2001 [26], realizaron simulaciones del crushing en una partıcula indi-vidual. El modelo de enlace que emplearon en los contactos entre cada esfera elemental fueel contacto de enlace simple (PFC maneja ademas el contacto Hertz). Las resistencias delos contactos inicialmente fueron identicas. Cada aglomerado fue sujeto a compresion di-ametral (el eje de simetrıa de la esfera coincide con el eje de compresion) entre dos platinas.Nakata et al. (1999) [23], observaron que la distribucion Weibull aplica en la distribucionde la resistencia de los granos de arena. Para lograr reproducir esta distribucion, le fuedado un caracter aleatorio a la ubicacion de las fallas, introduciendo la omision aleatoriade bolas al inicio de cada prueba (probabilidad de existencia). Con esto fue posible into-ducir una variacion aleatoria en la resistencia de los granos. El esquema de la simulacionnumerica del crushing en un aglomerado se muestra en la figura 2.22. En la figura 2.23 semuestra una curva tıpica de fuerza vs deformacion de la compresion de un aglomerado.

La estadıstica de Weibull demanda una relacion lineal entre log(log(probabilidad de su-pervivencia) y log(resistencia). Como se puede ver en la figura 2.24, esta linealidad secumplio para las pruebas en donde el rango de probabilidad de los contactos que no fallanvarıa entre 0.4 y 1. La pendiente de la curva es el Modulo Weibull, el cual varıa entre 2.5y 5 para granos de arena. En este caso el modulo fue de 2.8.

Las resistencias de los contactos que fallaron tenıan el 5 % de la resistencia de los contactosque no fallaron. Mas detalle sobre el metodo de modelacion empleado puede encontrarseen Robertson (2000).

McDowell & Harireche (2002) [22], tuvieron como objetivo principal, modelar el efecto realdel tamano de las partıculas sobre la resistencia de las mismas. En esta modelacion seestabilizo el agregado bajo gravedad antes de la aplicacion de la carga. Este procedimientopermite que la carga se incremente desde el inicio de la prueba y se obtiene un pico biendefinido a una fractura mas rapida.

41


Figura 2.22: Crushing de un aglomerado.[26]

Se llevaron a cabo simulaciones de crushing en aglomerados de 0.5 mm, 1 mm y 2 mmde diametro. Fueron realizados 30 ensayos experimentales para cada tamano de partıcula.El aglomerado de 0.5 mm de diametro fue conformado por 135 bolas con un diametrode 0.074 mm cada una, en un empaque cerrado hexagonal (h.c.p). Con este aglomeradose busco simular un grano de arena sılica, siendo el principal objetivo el de reproducirla variacion del esfuerzo caracterıstico σo con el tamano de acuerdo con la tabla 2.3. Sele dio un caracter aleatorio a la rotacion de los aglomerados y algunas bolas (en estecaso 11) fueron eliminadas previamente a la prueba, para simular la presencia de grietas.El aglomerado fue estabilizado bajo gravedad antes de la aplicacion de la carga. Paradeterminar el efecto de la velocidad de la platina, se probaron tres velocidades diferentespara un mismo aglomerado. Las velocidades fueron de 0.16, 0.64 y 1.28 m/s. Los resultadosmostraron que la velocidad de 0.64 m/s puede aplicarse sin efectos significativos sobre laresistencia, como se muestra en la figura 2.25. Por lo que en las subsiguientes pruebasse empleo esta misma velocidad. En todas las pruebas, los aglomerados fueron rotadosaleatoriamente, fueron removidas algunas de sus bolas y estabilizados bajo gravedad antesde ser aplicada la carga.

42


Figura 2.23: Curva fuerza-deformacion de la simulacion del crushing de un aglomeradoentre platinas. [26].

Tabla 2.3: Resultados de Ensayos experimentales de crushing en granos de arena sılica[22].

Los parametros requeridos en el programa y los valores empleados fueron los siguientes:

kn = ks = 14,8 ∗ 106N/m (rigidez normal y rigidez tangencial de las bolas);

bn = bs = 0,72N (resistencias de los contactos);

r = 1 (relacion entre la rigidez de la platina y la rigidez de la bola);

µb = µ = 0,5 (coeficiente de friccion de la bola y la platina).

En la figura 2.25 se puede apreciar una resistencia pico bien definida. La fractura delaglomerado ocurrida al alcanzar este valor de resistencia pico fue rapida.

Se encontro que eliminando 0 - 25 % bolas al inicio de la prueba (la proporcion es unavariable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y 25), se obtiene un modulo weibullde 3 aproximadamente con 30 ensayos. Tambien se obtuvo que aumentando el numero debolas eliminadas no se disminuye la probabilidad de supervivencia. El esfuerzo de falla

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Figura 2.24: Estadıstica de Weibull aplicada al crushing de granos usando resistenciasaleatorias en los contactos.[26].

tambien depende de la ubicacion de las bolas eliminadas y de la rotacion aleatoria que sele aplica a la partıcula.

Inicialmente para el aglomerado de 0.5 mm se obtuvo un modulo de 2.5 y una resistenciacaracterıstica de 93,6 MPa. Robertson (2000) encontro que aumentando la rigidez delcontacto de la bola y la resistencia del enlace por un mismo factor f, la falla ocurre a unamisma deformacion que para una fuerza de fractura aumentada en el mismo factor f. Porlo tanto, para reproducir los resultados de la Tabla 2.3, la resistencia del contacto y lasrigideces de las bolas y las platinas fueron aumentadas en un factor f = 147/93,6 = 1,57.La prueba se repitio obteniendo un modulo de 2.9 y una resistencia caracterıstica de 145MPa.

En la prueba del aglomerado de 1 mm de diametro se obtuvo inicialmente un modulo de 2.8y una resistencia caracterıstica de 154 MPa, mayor que el valor de resistencia de 145 Mpaobtenido en el aglomerado de 0.5 mm de diametro. Esto se le atribuyo a las diferencias enla geometrıa de los aglomerados y a la rotacion aleatoria.

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Figura 2.25: Curva tıpica fuerza-deformacion en un aglomerado de 0.5 mm dediametro.[22].

De los resultados de las pruebas iniciales, se dedujo el factor de mayoracion f para obtenerel esfuerzo σo bajo el cual el 37 % de los aglomerados no se fracturan, dados en la tabla2.3. De estas pruebas se encontro que el efecto del tamano sobre la resistencia es pequeno.Esto se le atribuyo a que el numero de bolas eliminadas es suficiente para producir ge-ometrıas diferentes en la falla para cada factor f. Por lo tanto se eliminaron un 20 % masde bolas, ademas de las bolas eliminadas inicialmente (0-25 %). Se encontro un resultadomas satisfactorio en cuanto al efecto del tamano.

Cheng et al. (2003) [3], realizaron modelaciones de crushing para una partıcula individual.Para proporcionar una variabilidad estadıstica a la resistencia y forma de los aglomerados,a cada esfera elemental se le dio una probabilidad de existencia del 80 % al momento de sercreada. Por lo tanto el 20 % de las bolas creadas no aparecen en el aglomerado. La Figura2.26 muestra 20 granos tıpicos de la simulacion.

Posteriormente los aglomerados fueron comprimidos entre dos platinas rıgidas y lisas bajocon deformacion controlada. De estas pruebas se obtuvieron diversos esfuerzos picos debidoa la variabilidad dada a los aglomerados. La figura 2.27 muestra una curva tıpica de esfuerzovs desplazamiento obtenida de las pruebas y una curva obtenida por Nakata et al. (2001)

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Figura 2.26: 20 granos tıpicos de las pruebas individuales de crushing [3].

en una prueba experimental con un grano de arena sılica. Se debe tener en cuenta que eldiametro de los granos reales es ligeramente mayor (1,4−1,7 mm) que el de los aglomeradosde la simulacion (1,0 mm). Ambas curvas tienen una gran similitud. Al inicio se presentanpequenos picos y luego, sı se presenta un gran pico. Las platinas continuan aproximandoseuna a la otra, y se siguen presentando pequenos picos en la curva.

Como se puede observar en la figura 2.28, en las pruebas numericas no se presenta la fallade ningun contacto antes de que se alcance un esfuerzo de 34 Mpa.

De lo anterior se puede inferir que los picos bajos se deben a rotacion y deslizamientode esferas, mientras el pico grande sı se debe a la fractura del aglomerado. Se puede decirentonces que la figura 2.27 es una simulacion razonable de la fractura interna y del crushingexterno de granos de arena sılica debido a la similaridad en comportamiento de las figuras2.27a) y 2.27b).

La metodologıa de simulacion de la fractura de un aglomerado individual es similar a ladescrita por Robertson & Bolton (2001), excepto que aquı se uso un analisis dinamico y no

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Figura 2.27: Prueba de crushing en una partıcula individual. a) Simulacion DEM, b)Arena sılica (Nakata et al, 2001)[3].

la rutina casi estatica del programa PFC 3D (Differential Density Scaling). De esta manerase pudo verificar que los efectos inerciales de impacto dinamico producidos por velocidadesaltas de carga no hayan sido significativos en el comportamiento. La figura 2.29 muestrade que manera se realizo esta verificacion.

Se selecciono un aglomerado en particular y fue comprimido a diferentes velocidades de lasplatinas. En la figura 2.29 en el item a, se puede notar que el esfuerzo pico es funcion de lavelocidad de compresion y que se deben emplear velocidades menores a 1 m/s para lograrefectos despreciables en la resistencia de la partıcula.

Cheng et al (2003), se basaron en la estadıstica Weibull para describir la variabilidad de las

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Figura 2.28: Rompimiento de los contactos del aglomerado[3].

resistencias a la tension de las piezas aparentemente identicas de un material fracturable.

2.6.3. Modelaciones del Crushing en un agregado de aglomerados

Dentro del marco de la modelacion numerica, en los ultimos anos se ha simulado el com-portamiento de una masa de suelo teniendo en cuenta la fracturacion de sus partıculas.Estas modelaciones en su mayorıa han empleado ampliamente los programas PFC 2D y 3D(Itasca Consulting group). Como estos programas estan fundamentados en DEM, el sueloes representado ya no como un medio continuo sino como un medio discreto. La masa desuelo es concebida como una suma de partıculas.

En el programa PFC 3D cada partıcula es representada por un aglomerado (union deesferas elementales) y la masa de suelo como un agregado de aglomerados. En PFC 2D nose emplean aglomerados, sino que cada partıcula es representada por un disco elemental yla masa de suelo como un agregado de discos.

Dentro de las ultimas investigaciones con este enfoque se encuentran: Roberson & Bolton(2001) [26], Cheng, Nakata & Bolton (2003) [3], Lobo-Guerrero & Vallejo (2005) [17] [18][16] [15], Cheng, Bolton & Nakata (2005) [2], Kato, Nomani & Sakakibara (2005) [12], entreotros.

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Figura 2.29: Efecto de la velocidad de las platinas en la fractura del aglomerado. [3]

A continuacion se describen brevemente las investigaciones mencionadas y se presentan losresultados mas relevantes.

2.6.3.1. Compresion Uniaxial

Robertson & Bolton (2001) [26], simularon la compresion uniaxial con el fin de analizar elefecto de la fracturacion de las partıculas haciendo uso del programa PFC en tres dimen-siones.

Se creo un arreglo de 159 aglomerados con una relacion de vacıos de 0,5. Las resistenciasnormal y de corte de las esferas fueron 4,0 ∗ 106 N/m y el coeficiente de friccion fue de 0.5que corresponde a un angulo de friccion de 26,5o. La figura 2.30 muestra la comparacionentre la muestra en la que los aglomerados no se fracturan y la muestra en la se le da unadistribucion aleatoria de la resistencia de los contactos. Se puede observar que la fuerza solo

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empieza a desarrollarse despues de un 15 % de la compresion uniaxial cuando los vacıos sehan disminuıdo considerablemente.

Figura 2.30: Elementos cubicos de granos fracturables y no fracturables sujetos a 30% decompresion unidimensional [26].

Las fuerzas que actuan en las paredes incrementa constantemente en la muestra de granosno fracturables. Pero la fracturabilidad limita el incremento de la fuerza de compresion. Elcoeficiente de presion de tierra inicial Ko es de 0,2 aprox. y corresponde a una relacion dePoisson de 0,17 para granos no fracturables. Con el crushing de los granos, Ko se incrementay alcanza un valor maximo de 0,5. Este valor corresponde a un angulo de friccion de 30o

el cual esta proximo al valor del angulo de friccion seleccionado de 26,5o como se puedeobservar en la figura 2.31.

2.6.3.2. Compresion Isotropica

Cheng, Nakata and Bolton (2003) [3], simularon la compresion isotropica incluyendo lafracturacion de las partıculas. Emplearon el programa PFC en tres dimensiones.

Para cada prueba numerica, se crearon un juego de exoesferas con un tamano ligeramente

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Figura 2.31: Incremento del Coeficiente de presion de Tierra con la fracturacion de losgranos [26].

menor que el tamano requerido para los aglomerados. Las exoesferas fueron ubicadas demanera aleatoria pero sin traslapos. Luego se expandieron hasta el tamano requerido (1mm) y se sometieron a varios ciclos hasta alcanzar el equilibrio, para reducir los vacıos. Du-rante este proceso la rigidez de corte y la friccion se fijaron en cero mientras la rigidez nor-mal tomo un valor 100 veces mayor al valor final. Siguiendo Robertson (2000), se creo unalista de almacenamiento de las coordenadas de los centros de cada una de las exoesferasy luego estas fueron borradas. Por ultimo, en esos mismos centros se crearon aglomeradosrotados aleatoriamente y la muestra fue sometida a varios ciclos hasta el equilibrio antesde iniciar cada prueba. Con el fin de reducir la probabilidad de ruptura de enlaces duranteesta etapa, las resistencias en los enlaces se colocaron inicialmente muy altas y se redujerondespues de cierto numero de ciclos.

Los valores de las rigideces normal y de corte finales de los aglomerados fueron de 4,0 ∗ 106

N/m y el coeficiente de friccion fue de 0.5 (correspondiente a un angulo de friccion de 26,5o.Un 2 % del total de los enlaces sufrieron ruptura durante la etapa final de este proceso depreparacion de la muestra. El esfuerzo de equilibrio en esta fase fue de 20 kPa, sin embargoel esfuerzo maximo que se presento fue de hasta 1 MPa.

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El arreglo cubico de 389 aglomerados que se muestra en la figura 2.32, fue comprimidoisotropicamente hasta 0.1 MPa, moviendo un par de paredes progresivamente y continua-mente ajustando la posicion de las otras dos paredes para alcanzar la trayectoria de esfuerzoisotropico. La velocidad que emplearon en las paredes de 0.01 m/s fue lo suficientementelenta para eliminar los efectos dinamicos.

Figura 2.32: Arreglo cubico de 389 aglomerados [3].

En la figura 2.33, se puede observar que la fase inicial de la compresion irrecuperable a 1MPa ocurre antes de cualquier fracturamiento significativo y se atribuye al reacomodamien-to debido a la compresion elastica en los puntos de contacto permitiendo el deslizamiento.La fracturacion inicia a aproximadamente 8 MPa, un decimo de la resistencia caracterısticaa la fractura de aglomerados ensayados entre platinas.

Cuando se alcanza la lınea de compresion virgen a 15 MPa, la curva de ruptura de enlacesversus logp

′, muestra una lınea similar. Esto demuestra una coincidencia interesante entre

el comportamiento micro y macro de un suelo bajo compresion clastica.

La figura 2.34, muestra una comparacion entre la arena sılica y la simulacion DEM con unavelocidad de platina de 1 m/s. En esta figura se puede ver como la curva de la simulacionempieza a rigidizarse a una relacion de vacıos de 0.6, en contraste con la arena real. Estopuede atribuirse al hecho de que los aglomerados tienen un numero limitado de esferas yla arena real tiene mas oportunidad de seguir fragmentandose.

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Figura 2.33: Efecto de la velocidad de compresion: a) relacion de vacıos versus p’; b)Ruptura de enlaces versus logp’[3].

2.6.3.3. Corte Directo

Sebastian Lobo-Guerrero y Luis Vallejo (2005) [18], modelaron el ensayo de corte directocon una muestra de suelo granular empleando el programa PFC 2D. Ellos realizaron dossimulaciones, cada una con diferente esfuerzo vertical. Las variables estudiadas fueron: laporosidad, la granulometrıa, los niveles de crushing y la resistencia al corte.

En este estudio, el primer paso fue la construccion de la caja de corte con un espesor de 6cm y una altura de 3 cm. Las rigideces normal y de corte de las paredes que forman la cajafueron de 1 ∗ 109 N/m. Se adoptaron paredes no friccionantes. Despues de la construccionde la caja, se generaron 48 partıculas con un radio de 3 mm. La densidad de las partıculasfue de 2500 kg/m3. Las rigideces normal y de corte de las bolas fueron de 1 ∗ 108 N/m. El

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Figura 2.34: Curvas de Compresion Isotropica Normalizadas [3].

coeficiente de friccion de las bolas fue de 0.7. La posicion de las bolas fue escogida de maneraaleatoria por el programa, con la limitacion de no permitir el traslapo entre partıculas. Seempleo un campo gravitacional de 9,8 m/s2 durante la simulacion. Las dos simulaciones quese realizaron en esta investigacion se iniciaron con esta misma configuracion y estructuradel material granular.

Las dos pruebas se iniciaron moviendo las pared superior verticalmente hasta lograr unafuerza vertical especıfica de 1,6 ∗ 104 N para la primera prueba y de 3 ∗ 104 N para lasegunda prueba. En la primera prueba la fuerza aplicada produjo un esfuerzo verticalmenor que su esfuerzo de fluencia. En la segunda prueba la fuerza aplicada produjo unesfuerzo vertical mayor que su esfuerzo de fluencia. El esfuerzo de fluencia se definio comoel esfuerzo vertical que causa el inicio de la fracturacion de las partıculas observado enlos resultados de las simulaciones DEM. La fuerza vertical aplicada permanecio constantedurante el resto de la simulacion. Para lograr la fuerza aplicada los autores programaron unservo mecanismo usando el lenguaje FISH. Despues de lograr la fuerza requerida y dejarlaconstante, se dio inicio a la etapa de corte, moviendo la seccion superior de la caja hacia laizquierda a una velocidad constante de 5∗10−8 m/step. Las pruebas finalizaron al alcanzarun desplazamiento horizontal de 5 mm.

Para permitir el crushing los autores programaron una nueva subrutina. El criterio defractura empleado estuvo basado en las fuerzas actuantes en cada partıcula, su numero decoordinacion y su tamano. El criterio de falla simplificado considera:

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Solo las partıculas con un numero de coordinacion igual o menor a tres (3) se puedenfracturar.

Para las partıculas con un numero de coordinacion igual o menor a tres, la configu-racion de la figura 2.35, se asume ser equivalente a la del ensayo brasilero.

La resistencia a la tension de una partıcula con un radio de 1 mm esta predefinidacomo σmax1mm = 3∗106 Pa y se asume que la resistencia a la tension de una partıculaconun radio r, σmax(r) esta realcionada con σmax1mm ası:

σmax(r) = σmax1mm[r]−1 (2.32)

Cada partıcula con un numero de coordinacion menor o igual a 3 se fractura siσt > σmax(r)

Figura 2.35: Idealizacion de un esfuerzo de tension inducido y los fragmentos producidosdespues de la falla por tension de una partıcula real y material idealizado [18].

Con la distribucion idealizada de fragmentos se logra que solo un 3 % de la masa inicialde la muestra se pierda al final del ensayo. Cuando se cumple el criterio de falla parauna partıcula esta es borrada y reemplazada por 8 fragmentos como en la configuracionmostrada en la figura 2.35. Las caracterısticas de las bolas generadas en su posicion son

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similares a la de la partıcula fracturada. La subrutina no restringe que las partıculas maspequenas puedan seguirse fracturando.

Los resultados muestran que solo una partıcula se fracturo en la prueba con la cargavertical mas baja. Por otro lado, en la otra prueba varias partıculas se fracturaron durantela simulacion. Las dos primeras partıculas que se fracturaron se encontraban en contactocon las paredes superior e inferior de la caja. La razon de este hecho es que las partıculasen contacto con las paredes horizontales tienen que soportar grandes cargas.

En la primera prueba (1,6 ∗ 104 N), la porosidad de la parte izquierda siempre fue mayorque la porosidad de la parte derecha. Esto se esperaba dado que al inicio de la fase decompresion la porosidad de la parte izquierda fue mayor que la porosidad de la partederecha. Al inicio de la fase de corte la muestra presento un comportamiento contractantereflejado en la porosidad. Despues la muestra empezo a dilatar (ver figura 2.36).

En cuanto a la segunda prueba (3 ∗ 104 N) se presento la misma tendencia en el compor-tamiento. Sin embargo la dilatancia fue algo suprimida por la mayor fracturacion que sepresento en este caso (ver figura 2.37).

Figura 2.36: Porosidad y evolucion del crushing (Fuerza vertical = 1,6 ∗ 104 N) [18]

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Figura 2.37: Porosidad y evolucion del crushing (Fuerza vertical = 3 ∗ 104 N) [18].

Como se puede observar en la figura 2.37, en el caso de la carga vertical mayor, la muestratrata de evolucionar de un material uniforme a uno bien gradado. La distribucion detamanos generada por la fracturacion de las partıculas es fractal por naturaleza. Por estarazon Lobo-Guerrero y Vallejo analizaron la distribucion de tamanos en la prueba de mayorfuerza vertical mediante la ecuacion:

N(R > r) = k(r)−Df (2.33)

En la figura 2.38 se puede observar la distribucion de tamanos en funcion de la deformacionhorizontal. Se obtuvo un alto valor de R2 lo que significa que la distribucion obtenida esfractal por naturaleza. Ademas se obtuvo un valor muy pequeno de Df de 0.492, lo queindica que la distribucion esta controlada por las partıculas originales.

Por ultimo en la figura 2.39 se observa las curvas esfuerzo-desplazamiento para cada prueba.Para la primera prueba (1,6 ∗ 104 N) se obtuvo un esfuerzo cortante maximo de 2,237 ∗105 Pa a un desplazamiento de 1.75 mm y un coeficiente de friccion de 0.814. Para lasegunda prueba (3 ∗ 104 N) se obtuvo un esfuerzo cortante maximo de 3,36 ∗ 105 Pa a un

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Figura 2.38: Evolucion de la distribucion de tamanos [18].

desplazamiento de 2 mm y un coeficiente de friccion de 0.65. Por lo tanto el coeficiente defriccion disminuye debido al crushing.

2.6.3.4. Ensayo Biaxial

Sebastian Lobo-Guerrero y Luis Vallejo (2005) [16], modelaron la compresion biaxial de unsuelo granular empleando el programa PFC 2D. En los resultados obtenidos ellos pudieronobservar como la muestra de suelo tiende a tener una distribucion fractal de sus partıculasy que el angulo de friccion disminuye como resultado del crushing de las partıculas.

Para tener en cuenta la fracturacion de las partıculas Sebastian Lobo-Guerrero y LuisVallejo, programaron una nueva subrutina teniendo en cuenta los criterios de ruptura yfragmentacion descritos en la simulacion del ensayo de corte directo (item anterior).

Las dimensiones iniciales de la caja del biaxial fueron: 5 cm de espesor y 13 cm de altura.Las paredes horizontles del biaxial tienen una longitud total de 7 cm, de manera que lacaja pueda expandirse horizontalmente. Las rigideces normal y de corte de las paredesque forman la caja fueron puestas igual a 1 ∗ 109 N/m. Las paredes fueron supuestas nofriccionantes. A las paredes verticales se les permitio moverse en la direccion horizontal conel fin de controlar el esfuerzo horizontal aplicado y a su vez, la pared horizontal superiorpodıa moverse en la direccion vertical con el fin de controlar el esfuerzo vertical aplicado.

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Figura 2.39: Desplazamiento horizontal inducido versus esfuerzo cortante aplicado [18].

Finalmente se crearon 165 partıculas circulares dentro de la caja, con un radio uniforme de3 mm y sin traslapos. La densidad de las partıculas fue de 2500 kg/m3, su rigidez normal yde corte fue de 1∗108 N/m y su coeficiente de friccion fue de 0.7. Se sometio a la muestra aun campo gravitacional de 9,8 m/s2. A estas partıculas se les permitio fallar y acomodarsedentro de la caja, por lo tanto la altura inicial de la muestra fue menor que 13 cm.

La prueba biaxial inicio con una presion de confinamiento de 18∗105 Pa. Se guardaron trescopias de esta muestra al momento de alcanzar las presiones de confinamiento de: 1 ∗ 105

Pa, 5∗105 Pa y 10∗105 Pa. Las presiones de camara se mantuvieron constantes a lo largo dela prueba para cada caso. Posteriormente se aplico el esfuerzo desviador, moviendo la pared

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horizontal superior hacia abajo a una velocidad constante de 1 ∗ 10−7m/step. Durante lacompresion isotropica y la aplicacion del esfuerzo desviador, se presento fracturacion departıculas.

Durante la compresion isotropica la fracturacion de las partıculas inicio a una presion deconfinamiento entre 5 ∗ 105 Pa y 6 ∗ 105 Pa. Para los valores mas bajos de presion deconfinamiento las relaciones de vacıos de la parte superior e inferior de la muestra tenıanvalores diferentes pero a mayores presiones de confinamiento la diferencia entre estas esmenor. La mayorıa del crushing se presento en los bordes de la muestra. No se produjomas de tres generaciones de crushing.

Durante la etapa del corte, para una presion de confinamiento de 1 ∗ 105 Pa, la muestra nopresento crushing. La deformacion volumetrica fue 0.0116 en compresion. Para una pre-sion de confinamiento de 5 ∗ 105 Pa, se pudo notar que este confinamiento estuvo cerca delesfuerzo de fluencia (esfuerzo para el cual inicia el crushing). En este caso la fracturacioninicio a bajos valores de deformacion vertical y se presento en los bordes aunque no es-tuvo concentrada en ellos. De igual manera no se presento mas de la tercera generacionde crushing. Inicialmente la muestra presento un comportamiento contractivo pero a unadeformacion vertical de 0.28 empezo a dilatar debido a que el material ya se habıa den-sificado lo suficiente. El material pasa de ser uniforme a un material bien gradado. Porultimo, para la presion de confinamiento de 10 ∗ 105 Pa, se pudo observar que, durantela compresion isotropica ya se habıa presentado crushing pero fue durante la aplicaciondel esfuerzo desviador que se presento una cantidad significativa de fracturacion. En estecaso se llego hasta una cuarta generacion de crushing. Esta ultima prueba presento uncomportamiento contractivo durante toda la simulacion.

Para las presiones de confinamiento de 5 ∗ 105 Pa y 10 ∗ 105 Pa, se grafico el numero departıculas con un radio R mayor que r versus r, en funcion de la deformacion verticalinducida. De estas curvas se obtuvo una regresion, en la cual el valor R de correlacionobtenido demuestra que la distribucion de partıculas es fractal. La dimension fractal Dpara el confinamiento 10∗105 Pa fue de 1.169. Este valor fue mayor que el obtenido para elconfinamiento de 5 ∗ 105 Pa. Esto demuestra que se presento mas crushing para la presionde confinamiento mayor. Por otro lado el valor maximo para la dimension fractal en dosdimensiones es de 1.5, y los valores obtenidos fueron menores que este.

Por otro lado, se graficaron los cırculos de mhor tomando el valor pico del esfuerzo desviador

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para cada presion de confinamiento. Se calculo una envolvente de falla para cada cırculoindependientemente. De esta manera se pudo observar que el angulo de friccion se reducesignificativamente debido al crushing (desde 27o hasta 20.5o).

Kato et al (2005) [12], estudiaron la relacion entre fracturabilidad y resistencia al corte y de-formacion, mediante modelaciones del ensayo biaxial empleando PFC2D. Adicionalmente,analizaron el efecto de la fracturacion en la lınea de estado crıtico.

Las partıculas las representaron como aglomerados como se muestra en la figura 2.40. Laspartıculas elementales estan unidas por fuerzas intergranulares en los contactos (medianteel modelo de enlace). Cuando la fuerza inducida en el contacto supera a la resistencia delenlace, la partıcula se libera del aglomerado.

Figura 2.40: Esquema del modelo de partıcula. Adaptado de [12]

Con el modelo de partıcula empleado en estas simulaciones, se obtuvo el comportamientocorrespondiente al de un material fracturable real, permitio simular bien el proceso defracturacion de partıculas en materiales reales; se obtuvo, ademas, que en la medida enque se incrementa el confinamiento, aumenta el nivel de crushing; por ultimo, se pudoobservar que en el proceso de corte, la lınea de estado crıtico para material con bajoporcentaje de crushing es paralela a aquella para materiales con alto nivel de crushing.

2.6.3.5. Ensayo triaxial

La compresion triaxial ha sido modelada teniedo en cuenta la fracturacion de las partıcu-las. Robertson & Bolton (2001) y Cheng, Nakata & Bolton (2003) fueron algunos de losestudiosos que examinaron el comportamiento de un suelo granular bajo esta configuracion

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de carga. A continuacion se resumen brevemente estas investigaciones.

Robertson & Bolton (2001) [26], ademas de la compresion edometrica, simularon tambienla compresion triaxial. Para ello generaron un arreglo de 389 aglomerados (22173 esferas entotal), ver figura 2.41. En la prueba 1 (Test one), los enlaces fueron identicos para todos loscontactos, pero en la prueba 3 (Test three) la resistencia de los enlaces fue distribuıda demanera aleatoria. Es claro que la distribucion de las resistencias le da mayor fracturabilidadal suelo [26].

Figura 2.41: Ciclos de Compresion Isotropica [26].

En la figura 2.41 el ciclo de descarga desde 40 MPa hasta 20 Mpa se realizo para inicializar lamuestra antes de las pruebas de trayectoria de esfuerzo. El 31 % de los enlaces se rompieronal final de la prueba 3.

Se emplearon varias trayectorias de esfuerzo (desde la a hasta la h), ver figura 2.42. Encada una de estas trayectorias de esfuerzo se investigo la respuesta esfuerzo-deformacionhasta llegar a un 10 % adicional de ruptura de enlaces. Cada trayectoria finalizo dondeindica la punta de la flecha.

En la trayectoria h de descarga no se presento crushing adicional. Esta trayectoria final-izo cuando las paredes no estuvieron en contacto con la muestra.

Con la trayectoria g se alcanzo el maximo esfuerzo con una reduccion de volumen contınua.

Las trayectorias a-f indujeron la ruptura sucesiva de enlaces desde el inicio. En la figura2.42, se puede observar que los datos se aproximan a homologas superficies de contornoelıpticas de crushing, de las cuales la superficie de contorno de 0,8 % de ruptura incluye elpunto de precompresion de 40 MPa.

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Figura 2.42: a)Trayectorias de esfuerzo y Evolucion del crushing [26].

En la figura 2.42 tambien se puede observar como la deformacion volumetrica se desarrollacon el crushing dependiendo de la trayectoria de esfuerzo y que el esfuerzo desviador versusla deformacion volumetrica tambien depende de la trayectoria de esfuerzo. El corte inducecompactacion la cual se reduce de la trayectoria a a la g y se convierte en dilatanciaen la trayectoria h. En la figura 2.43. Se puede observar que existe una unica curva deesfuerzo-deformacion desviadoras y la ausencia de un punto de fluencia claro.

El comportamiento que se observa en las figuras 2.42 y 2.43 representa es muy similar alcomportamiento de un suelo real.

Cheng, Nakata & Bolton (2003) [3], tambien emplearon diversas trayectorias de esfuerzo.La simulacion fue similar a la prueba triaxial de laboratorio en la cual hay un controlde esfuerzos y deformaciones. Se simularon pruebas de volumen constante (e=constante),compresion drenada con presion de camara constante(σ′

3) y por ultimo fue simulada laprueba con esfuerzo medio efectivo constante (p’=constante) .

En la figura 2.44, se comparan las curvas DEM con las curvas de la arena real para loscasos de σ

′3 = 10 MPa y σ

′3 = 20 MPa. Las simulaciones son consistentes con la realidad.

En cada prueba el esfuerzo desviador alcanza un maximo mientras el volumen disminuye

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Figura 2.43: b)Evolucion de Crushing y trayectorias de esfuerzo [26].

continuamente en la medida de la ruptura de los enlaces. Sin embargo, el esfuerzo desviadory su correspondiente deformacion volumetrica en la arena real son sobreestimados en lassimulaciones DEM por un factor entre 1.2 - 1.4. Ademas, en cuanto a los aglomeradosindividuales DEM, su esfuerzo caracterıstico es mayor que aquel para un grano de arenasılica por un factor de 2.6.

Las figuras 2.45 y 2.46 muestran los resultados de la prueba no drenada en las curvasesfuerzo desviador versus deformacion desviadora, esfuerzo desviador versus porcentaje deruptura de enlaces durante el corte y el esfuerzo medio efectivo (p’) versus el esfuerzodesviador.

El porcentaje de ruptura de enlaces fue calculado dividiendo el numero de enlaces quesufrieron ruptura durante el corte entre el numero inicial de enlaces existente en la presionmedia efectiva inicial de la prueba respectiva. El esfuerzo desviador alcanzo un esfuerzoentre 3-5 MPa (para todos las pruebas) antes de que iniciara alguna ruptura de enlacesdurante esta etapa. La figura 2.28 muestra que para una partıcula individual el inicio dela ruptura de enlaces se dio para un esfuerzo macroscopico de 34 MPa.

La segunda etapa en cada prueba consistio en una pequena pero significativa ruptura de

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Figura 2.44: Prueba triaxial Convencional:a) esfuerzo versus deformacion; b)deformacionvolumetrica versus deformacion desviadora [3]

enlaces con el incremento del esfuerzo desviador. Esta segunda etapa finaliza cuando ladeformacion desviadora alcanza el valor de 2.5 %. El comportamiento subsecuente dependeen gran medida de la presion media inicial.

Una tercera etapa podrıa considerarse a partir de una deformacion de 2.5%, y a esta etapala llamaron Fase de Transformacion o estado casi estatico, en la cual la velocidad de cambiodel esfuerzo medio efectivo empieza a disminuir y surge una resistencia adicional ganadadebido a la eliminacion de la dilatancia. Esta dilatancia se debe al reacomodamiento de losaglomerados debido al corte. Se requiere una alta relacion de esfuerzo (q/p′) para lograrel reposicionamiento, pero en la medida en que p′ aumenta la cantidad de crushing seincrementa y los niveles de resistencia disminuyen debido a que el crushing compensa elreposicionamiento dilatante.

En contraste, las simulaciones que empiezan con una presion media efectiva muy alta (40- 80 MPa), son inicialmente rıgidas, presumiblemente porque el agregado se encuentra enun estado denso y las esferas y aglomerados estan mas interconectados. Ellas alcanzanuna resistencia pico a una deformacion del 2.5%,despues de la etapa 2, pero el esfuerzo

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Figura 2.45: a)esfuerzo desviador versus deformacion desviadora; b)porcentaje de rupturade enlaces versus esfuerzo desviador [3]

desviador cae lentamente en la etapa 3 hasta un mınimo de 17 MPa para p′i = 40 MPa y

de 22 MPa para p′i = 80 MPa a una deformacion desviadora de 10 %, correspondiente a

una relacion de esfuerzo casi crıtica (M ≈ 1,4).

Se presento una ambiguedad en la ubicacion de la lınea de estado crıtico en la curva dee− log(p)

′en la figura 2.47.

En las figuras 2.46 y 2.48 se puede observar que el esfuerzo desviador pico ocurre aproxi-madamente a la mitad de la presion de confinamiento inicial. Entonces el esfuerzo desviadorcae para alcanzar el punto de fase de transformacion, despues del cual se incrementa nue-vamente a una relacion de esfuerzo constante antes de alcanzar el estado crıtico.

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Figura 2.46: c)esfuerzo medio efectivo versus esfuerzo desviador [3]

Figura 2.47: Estimacion de la lınea de estado crıtico de la Simulation Dem. [3]

Figura 2.48: Resultados de la prueba de compresion triaxial no drenada (Yamamuro &Lade, 1993) [3].

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Capıtulo 3

Base numerica y computacional

Los dos metodos de simulacion computacional mas usados en fısica actualmente son laDinamica Molecular que es de caracter determinista, y Montecarlo, que es de caracterprobabilıstico. Ambos pueden considerarse como metodos para generar configuracionesdiferentes de un sistema de partıculas.

La informacion que genera una corrida de Dinamica Molecular es la posicion y la velocidadde cada partıcula del sistema en cada instante de tiempo. Por su parte, en el caso de MClo que obtenemos es la posicion de las partıculas en cada paso de simulacion.

El ensemble convencional en Dinamica Molecular es el ensemble microcanonico, es decirlas variables termodinamicas que se mantienen constantes son el numero de partıculas, lavelocidad y la energıa, mientras que en Montecarlo es el canonico (Numero de partıculas,Velocidad y Temperatura). Tambien se han desarrollado tecnicas para llevar a cabo simu-laciones de MC en otros ensembles, ası como simulaciones de DM en el ensemble canonico(Numero de partıculas, presion y Temperatura) entre otros [7].

Una parte central de todo el programa de DM lo constituye el algoritmo de integracion. Lasecuaciones de movimiento de Newton dadas por las ecuacion miri = −∇riν son ecuacionesdiferenciales ordinarias acopladas, no-lineales, de segundo orden. Ellas deben ser resueltasnumericamente. Dadas las posiciones y velocidades iniciales a un tiempo inicial to, la tareadel algoritmo es entregar las posiciones y velocidades al tiempo to + ∆t. Para evaluar

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CAPITULO 3. BASE NUMERICA Y COMPUTACIONAL MIC 2007-II-23

la nueva posicion r(t + ∆t), solo se necesita conocer la posicion anterior r(t − ∆t) y laaceleracion en el tiempo t; no se necesita la velocidad [7].

En resumen, un programa de DM trabaja de la siguiente forma [7]:

Se establecen los parametros como la temperatura inicial, el numero de partıculas,la posicion de las partıculas (estructura fcc, bcc, etc)la densidad, el paso de tiempo∆t, tiempo total de simulacion, etc.

Se asignan las posiciones y velocidades iniciales

Se calculan fuerzas sobre todas las partıculas

Se integran las ecuaciones de movimiento de newton y se guardan las posiciones,velocidaddes, fuerzas, etc, durrante cada paso en un archivo para luego ser procesadas.

Se calculan y se imprimen los diferentes promedios.

Una de las mayores diferencias entre MC y DM es que en MC no es posible calcularpropiedades dinamicas, pues la dinamica que se sigue es ficticia. Segun Frenkel, siempreque se pueda, deberıa preferirse DM. Sin embargo hay algunos casos en los que no es posibleusar DM: i)sistemas que no poseen dinamica intrınseca, como modelos en la red, sistemasde espines; ii) casos en que las barreras de activacion son demasiado altas.

Por las razones anteriormente mencionadas el estudio del fenomeno de crushing en estainvestigacion se realiza empleando el Metodo de los Elementos Discretos que es un modelonumerico basado en Dinamica Molecular.

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3.1. Metodo de los Elementos Discretos (DEM)

La descripcion que a continuacion se presenta del Metodo DEM se encuentra consignadaen la referencia [5].

DEM es un modelo numerico capaz de describir el comportamiento mecanico de arreglosde esferas, discos y en general partıculas de cualquier forma. Este metodo esta basadoen el uso de un programa numerico explıcito en el cual la interaccion de las partıculas esmonitoreada contacto por contacto y el movimiento de las partıculas es modelado partıculapor partıcula. Este metodo fue validado comparando los vectores de fuerzas obtenidos delprograma BALL (basado en DEM) con los vectores correspondientes a aquellas obtenidasa partir de un analisis fısico elastico. El analisis fotoelastico empleado para la validaciones aquel aplicado para un arreglo de discos por De Josselin de Jong and Verruijt (1969).

En DEM, el equilibrio de fuerzas de contacto y desplazamientos de un arreglo de discossometido a esfuerzos, se obtiene a traves de una serie de calculos siguiendo el movimiento dela partıculas. Estos movimientos son el resultado de la propagacion de perturbaciones origi-nadas en el contorno a traves de un medio: proceso dinamico. La velocidad de propagaciones una funcion de las propiedades fısicas del medio discreto.

Para la descripcion numerica del comportamiento dinamico arriba mencionado, se proponeun paso de tiempo (tiempo crıtico) en el cual las velocidades y aceleraciones son constantes.DEM esta basado en la idea de que el paso de tiempo debe escogerse de tal forma quedurante cada paso de tiempo la perturbacion no se propague desde cualquier disco, masalla de su vecino inmediato. Por lo tanto, en cada tiempo las fuerzas resultantes en cualquierdisco son determinadas exclusivamente por su interaccion con el disco con el cual esta encontacto. Esta es la principal caracterıstica de DEM que permite reducir los requerimientosen cuanto a memoria o prescindir de un procedimiento iterativo. Los analisis presentadosaquı son para arreglos secos y fuerzas de contacto totales.

3.1.1. Ciclo de calculo

Los calculos desarrollados en DEM se alternan entre la aplicacion de la segunda ley deNewton a los discos y una ley constitutiva de fuerza-desplazamiento en los contactos. La

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ley de Newton provee el movimiento de una partıcula como resultado de las fuerzas queactuan en ella. La ley de fuerza-desplazamiento se usa para encontrar las fuerzas producidaspor los despazamientos.

Las deformaciones de las partıculas individuales son muy pequenas en comparacion con ladeformacion del arreglo granular como un todo. Esta ultima, se debe principalmente a losmovimientos de las partıculas como cuerpos rıgidos. Por lo tanto, para una buena aproxi-macion de una modelacion de la deformacion no necesariamente se requiere una modelacionexacta de la deformacion de una partıcula individual. Las partıculas se traslapan en lospuntos de contacto. Estos traslapos modelan la deformacion individual de las partıculas.La magnitud de los traslapos esta relacionada directamente con la fuerza de contacto. Sinembargo, los traslapos son pequenos en relacion con el tamano de las partıculas.

El caso representado en la figura 3.1 debe considerarse para poder ilustrar de que manerase calculan las fuerzas y los desplazamiento durante un ciclo.

Figura 3.1: Dos discos comprimidos entre paredes rıgidas (los traslapos son exagerados).[5].

Las paredes se mueven una hacia la otra con una velocidad constante υ. Inicialmente en eltiempo t = to las paredes y los discos se estan tocando pero no existen fuerzas de contactoaun. Un tiempo ∆t depues, las paredes se han movido una distancia υ∆t. Las posiciones delos discos se mantienen en su posicion original durante el intervalo de tiempo desde t = to

hasta t = to + ∆t. Los traslapos se presentan en el tiempo t1 = to + ∆t en los contactos Ay C (ver figura 3.1(b)), y tienen una magnitud de ∆n = υ∆t.

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Los puntos A(D) y A(w) (ver figura 3.1(b)) son puntos del disco y de la pared respectiva-mente y se encuentran sobre la lınea perpendicular a la pared y a traves del centro deldisco. El contacto A esta definido como el punto medio entre A(D) y A(w). El desplaza-miento relativo ((∆n)A)t1 en el contacto (el traslapo) esta definido como el desplazamientodel punto A(w) relativo al del punto A(D) que ocurre en un incremento de tiempo.

Los desplazamientos relativos en los contactos A y C en el tiempo t1 = to +∆t, se empleanen la ley fuerza-desplazamiento para el calculo de fuerzas en los contactos.

La ley incremental de Fuerza-desplazamiento es la siguiente:

∆Fn = kn(∆n)t1 = knυ∆t (3.1)

donde kn es la rigidez normal y ∆Fn representa el incremento de la fuerza normal. Definien-do positiva la direccion 1 que va del disco x al disco y (ver figura 3.1b)), las fuerzas F(x)1

y F(y)1 de los discos x y y en el tiempo t1 = to + ∆t se determinan ası:

F(x)1 = kn(∆n)t1, F(y)1 = −kn(∆n)t1 (3.2)

Estas fuerzas permiten encontrar las nuevas aceleraciones usando la segunda ley de Newton:

[x1]t2 = [F(x)1/m(x)]δt, [y1]t2 = [F(y)1/m(y)]δt (3.3)

El incremento en los desplazamientos relativos en los contactos A, B y C en el tiempot2 = to + 2 ∗∆t se calculan de acuerdo con las ecuaciones 3.4, 3.5 y 3.6:

(δnA)t2 = (υ − [F(x)1/m(x)]δt)δt (3.4)

(δnB)t2 = ([F(x)1/m(x)]δt− [F(y)1/m(y)]δt)δt (3.5)

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(δnC)t2 = ([F(y)1/m(y)]δt− [−υ])δt (3.6)

donde δnA,δnB y δnC son positivos en compresion.

Este ciclo puede repetirse una y otra vez: las fuerzas correspondientes a los desplazamientosson encontrados usando la ley de fuerza-desplazamiento, ecuacion 3.2, y las fuerzas sonsustituıdas en la segunda ley de Newton, ecuacion 3.3, para obtener los desplazamientos.

En el caso de un arreglo de varios discos, la ley de fuerza-desplazamiento es aplicada encada contacto de cada disco y la suma vectorial de las fuerzas de contacto conduce a lafuerza resultante actuante en cada disco. Una vez este paso se ejecute, entonces se obtienennuevas aceleraciones a partir de la seguada ley de Newton.

3.1.2. La ley Fuerza-Desplazamiento

Para facilitar la compresion de la ley de fuerza-desplazamiento se presenta el caso de dosdiscos en contacto, disco x y disco y en la figura 3.2.

Figura 3.2: Ley Fuerza-desplazamiento) [5].

Las coordenadas de los centros de los discos son representas como xi = (x1, x2) y yi =(y1, y2) donde los ındices 1 y 2 se refieren a las coordenadas en un sistema cartesiano. Las

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componentes de los vectores de velocidad de los discos x y y son xi = x1, x2, yi = y1, y2 y lasvelocidades angulares son θ(x) y θ(y) con la convencion positiva en el sentido antihorario. Elpunto se refiere a derivada con respecto al tiempo. Los discos x y y tienen radios R(x) y R(y)

y masas m(x) y m(y). Los puntos Px y Py estan definidos como los puntos de interseccionentre la lınea que conecta los centros de los discos y los contornos de los discos x y y.

Los discos estan en contacto solo si la distancia D entre sus centros es menor que la sumade sus radios, es decir si:

D < Rx + Ry (3.7)

Si existe esta condicion, el desplazamiento relativo en el contacto C (ver figura 3.2), se de-termina a partir de la integration de la velocidad relativa. La velocidad relativa esta definidacomo la velocidad del punto Px con respecto a Py. El vector unitario ei = (cosα, senα)(ver figura 3.2), se introduce en la direccion que va desde el centro del disco x al centro deldisco y, es decir:

ei =yi − xi

D= (cosα, senα) (3.8)

y el vector unitario ti se obtiene rotando el vector unitario ei en el sentido horario 90o, esdecir:

ti = (e2, e1) (3.9)

Por lo tanto, con estos elementos se puede expresar la velocidad relativa del punto Px conrespecto a Py como Xi de la siguiente manera:

Xi = (xi − yi)− (θ(x)R(x) + θ(y)R(y))ti (3.10)

Las componentes normal y tangencial de la velocidad relativa (ni) y (si) respectivamente,son las proyecciones de Xi en las direcciones ei y ti respectivamente, es decir:

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n = Xiei = (xi − yi)ei − (θ(x)R(x) + θ(y)R(y))tiei = (xi − yi)ei (3.11)

s = Xiti = (xi− yi)ti− (θ(x)R(x) + θ(y)R(y))titi = (xi− yi)ti− (θ(x)R(x) + θ(y)R(y)) (3.12)

donde se adopta la convencion de suma de Einstein para el ındice i. A partir de la inte-gracion de las componentes de la velocidad relativa con respecto al tiempo, se obtienen lascomponentes δn y δs de los incrementos de desplazamientos relativos, ası:

δn = (n)δt = (xi − yi)eiδt (3.13)

δs = s)δt = (xi − yi)ti − (θ(x)R(x) + θ(y)R(y))δt (3.14)

Estos incrementos en desplazamientos relativos se emplean para calcular los incrementosen las fuerzas normal y tangencial de las fuerzas, δFn y δFs, mediante la ley de fuerza-desplazamiento.

δFn = knδn = kn(xi − yi)eiδt (3.15)

δFs = ksδs = ks(xi − yi)ti − (θ(x)R(x) + θ(y)R(y))δt (3.16)

donde kn y ks representan la rigidez normal y tangencial respectivamente.

Finalmente, en cada paso de tiempo los incrementos de fuerzas, δFn y δFs son adicionadosa la suma de todos los incrementos de fuerza, Fn y Fs determinados para el anterior pasode tiempo:

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(Fn)N = (Fn)N−1 + δFn; (Fs)N = (Fs)N−1 + δFs (3.17)

donde los ındices N y N-1 hacen referencia a los tiempos tN y tN−1 tal que tN − tN−1 = δt.La convencion de signos para las componentes normal y tangencial de la fuerza se ilustraen la figura 3.3. Fn y Fs son positivos en las direcciones opuestas a ei y ti.

Figura 3.3: Convencion de signos para Fn y Fs).[5].

En este metodo se incorpora una ley de friccion de tipo Coulomb. La magnitud de la fuerzade corte Fs calculada con la ecuacion 3.17, se compara con el maximo valor posible (Fs)max

definido como:

(Fs)max = Fntanϕµ + c (3.18)

donde ϕµ es el menor de los angulos de friccion de dos discos en contacto y c es la menorcohesion. Si el valor absoluto de (Fs)N encontrado a partir de la ecuacion 3.17 es mayorque (Fs)max, entonces (Fs)N toma el valor de (Fs)max, conservando el signo obtenido deecuacion 3.17.

Una vez se obtienen las fuerzas normal y de corte para cada contacto de un disco, porejemplo disco x, ellas son dividas en dos componentes en las direcciones 1 y 2. A partir dela suma de estas componentes de fuerzas de contacto se obtienen las fuerzas resultantes∑

F(x)1 y∑

F(x)2. El momento resultante actuante en el disco x,∑

M(x), es positivo enel sentido antihorario y se determina a partir de

∑M(x) =

∑FsR(x) donde la suma cubre

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todos los contactos del disco x.

Los momentos y fuerzas resultantes actuando en el disco x, se emplean en la segunda leyde Newton para determinar las nuevas aceleraciones xi y θi.

3.1.3. Ley de movimiento

Las velocidades xi y θi usadas en la ley de fuerza-desplazamiento en las ecuaciones 3.15 y3.16, se obtienen como se explica a continuacion. La fuerza y momento actuales resultantesen un tiempo tN se suponen constantes durante un intervalo de tiempo δt desde tN−1/2

hasta tN+1/2. La segunda ley de newton aplicada al disco x es:

m(x)xi =∑

F(x)i (3.19)

I(x)θ(x) =∑

M(x) (3.20)

donde I(x) representa el momento de inercia en el disco x. Tomando xi y θ(x) constanteen el intervalo de tiempo δt, se obtienen las siguientes expresiones para las velocidades apartir de las ecuaciones 3.19 y 3.20.

(xi)N+1/2 = (xi)N−1/2 + [∑

F(x)i/m(x)]Nδt (3.21)

(θi)N+1/2 = (θ(x))N−1/2 + [∑

M(x)/I(x)]Nδt (3.22)

Estas ecuaciones son aplicadas a cada disco. Estos nuevos valores de velocidad ahora sepueden usar en la ley fuerza-desplazamiento y el ciclo se repite para un nuevo incrementode tiempo.

Estos valores de velocidad se emplean para actualizar las posiciones y rotaciones de los

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discos en la siguiente integracion numerica:

(xi)N+1 = (xi)N + (xi)N+1/2δt (3.23)

(θi)N+1 = (θ(x))N + (θ(x))N+1/2δt (3.24)

Las ecuaciones de diferencias finitas 3.21, 3.23, 3.22 y 3.24 representan un sistema de tiempocentrado.

Las Fuerzas volumetricas, como la fuerza gravitacional, se pueden incorporar si se quiere.En ese caso los terminos m(x)gi son adicionados a la sumatoria de fuerzas

∑F(x)i en la

ecuacion 3.21, donde gi = (g1, g2) representan las dos componentes del vector de aceleraciondebido a la fuerza volumetrica.

3.2. Particle Flow Code - PFC 2D

El codigo numerico empleado para desarrollar esta investigacion es el Particle Flow Codeen dos dimensiones, PFC 2D (Itasca Consulting Group). A continuacion se presentan losprincipios y suposiciones en los que se fundamenta este programa. Toda la informacionproviene de los manuales del PFC 2D, referencias [11] y [10].

PFC2D es un modelo de flujo de partıculas que contiene las siguientes supocisiones:

Las partıculas son tratadas como cuerpos rıgidos.

Los contactos ocurren sobre un area despreciable (en un punto).

Las partıculas rıgidas pueden traslaparse en los puntos de contacto.

La magnitud del traslapo esta relacionada con la fuerza de contacto a traves de unaley de fuerza-desplazamiento, y todos los traslapos son pequenos en comparacion conel tamano de las partıculas.

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Pueden existir enlaces entre partıculas en los contactos.

Todas las partıculas son circulares; sin embargo, es permitida la creacion de clumpsque son un juego de partıculas traslapadas y enlazadas entre sı que actuan como uncuerpo rıgido y que pueden tener cualquier forma.

La suposicion de partıculas rıgidas es una buena suposicion, debido a que la deformacionde un arreglo de partıculas o un arreglo granular como una arena, resulta principalmentepor el deslizamiento y rotacion de las partıculas como cuerpos rıgidos y no de la deforma-cion individual de las partıculas. De manera que un modelo preciso de la deformacion delas partıculas no es necesario para obtener una buena aproximacion del comportamientomecanico de tales sistemas.

PFC2D modela el movimiento e interaccion de arreglos esforzados de partıculas circularesrıgidas en dos dimensiones usando el Metodo de los Elementos Discretos (DEM). PFC2Dpuede verse como una implementacion simplificada de DEM, debido a la restriccion departıculas circulares rıgidas (DEM puede manejar partıculas polıgonales deformables). Porlo tanto solo se presentaran solo los aspectos de DEM aplicables a PFC2D.

En DEM la interaccion de partıculas es tratada como un proceso dinamico en el cual la ve-locidad de propagacion de las perturbaciones producidas por el movimiento de las paredeso partıculas depende de las propiedades fısicas del sistema discreto. El comportamientodinamico es representado por un algoritmo explıcito para la integracion de aceleraciones yvelocidades en intervalos de tiempos. DEM esta basado en la idea de que el intervalo detiempo debe ser tan pequeno de tal manera que en un intervalo de tiempo, las perturba-ciones generadas por un objeto, no puedan propagarse mas alla del vecino inmediato. Deesta manera las fuerzas actuantes en una partıcula son determinadas por su interaccioncon las partıculas en contacto.

Los calculos realizados en DEM se alternan entre la aplicacion de la segunda ley de New-ton y una ley de Fuerza-Desplazamiento. La segunda ley de Newton se aplica para darmovimiento a las partıculas y la ley de fuerza-desplazamiento para actualizar las fuerzasen cada contacto. El movimiento de las paredes es especificado por el usuario.

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3.2.1. Ciclo de calculo

El ciclo de calculo en PFC2D es un algoritmo que consiste en la aplicacion repetida dela ley de movimiento a cada partıcula, una ley de fuerza-desplazamiento en cada contactoy una actualizacion constante de la posicion de las paredes. Los contactos pueden existirentre bola y bola o entre bola y pared. Al inicio de cada intervalo de tiempo, el juegode contactos es actualizado a partir de las posiciones conocidas de las bolas y paredes.Luego, la ley de fuerza-desplazamiento es aplicada a cada contacto, para actualizar lasfuerzas de contacto con base en el movimiento relativo entre dos entidades en contactoy el modelo constitutivo. Posteriormente, se aplica a cada partıcula la ley de movimientopara actualizar su velocidad y su posicion con base en la fuerza y momento resultantesproducidos por las fuerzas de contacto. Tambien son actualizadas las posiciones de lasparedes de acuerdo con las velocidades especificadas.

3.2.2. Ley fuerza-desplazamiento

Esta ley opera en un contacto y es descrito en terminos de un punto de contacto, x[C]i , que se

encuentra sobre un plano de contacto que esta definido por un vector normal ni. El punto decontacto se encuentra dentro del volumen de traslapo entre dos entidades. Para un contactoentre dos bolas, el vector normal esta sobre la lınea que une los centros de las bolas. Para uncontacto entre bola y pared, el vector normal esta sobre la lınea dfinida como la distanciamas corta entre el centro de la bola y la pared. La fuerza de contacto se descompone enuna componente normal que actua en la direccion del vector normal y una componente decorte que actua en el plano de contacto. La ley de fuerza-desplazamiento relaciona estas doscomponentes de fuerza con las componentes correspondientes del desplazamiento relativoa traves de las rigideces normal y de corte en el contacto.

En la figura 3.4, se presenta un esquema de los tipos de contacto bola-bola y bola-paredrespectivamente. En ambos casos Un denota el traslapo.

Para el contacto bola-bola, el vector normal unitario ni que define el plano de contactoesta dado por:

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(a) Contacto Bola-Bola (b) Contacto Bola-Pared

Figura 3.4: Tipos de contactos en PFC 2D.

ni =x

[B]i − x

[A]i

d(3.25)

donde x[A]i y x

[B]i son los vectores de posicion de los centros de las bolas A y B, y d es la

distancia entre centros:

d = |x[B]i − x

[A]i | =

√(x[B]

i − x[A]i )(x[B]

i − x[A]i ) (3.26)

El traslapo Un, definido como el desplazamiento relativo en el contacto en la direccionnormal, esta dado por:

Contacto bola-bola:Un = R[A] + R[B] − d (3.27)

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Contacto bola-pared:Un = R[b] − d (3.28)

donde R[Φ] es el radio de la bola Φ.

La ubicacion del punto de contacto esta dado por:

Contacto bola-bola:x

[C]i = x

[A]i + (R[A] − 1

2Un)ni (3.29)

Contacto bola-pared:

x[C]i = x

[b]i + (R[b] − 1

2Un)ni (3.30)

El vector de fuerza de contacto, el cual representa la accion de la bola A sobre la bola Bpara el contacto entre bolas y la accion de la bola sobre la pared para el contacto entrebola y pared, puede descomponerse en una direccion normal y una tangencial con respectoal plano de contacto ası:

Fi = F[n]i + F

[s]i (3.31)

donde F[n]i y F

[s]i son los vectores normal y de corte respectivamente.

La magnitud de la fuerza de contacto normal es calculada de la siguiente manera:

Fn = K [n]Un (3.32)

donde K [n] es la rigidez normal en el contacto. El valor de K [n] se determina de acuerdocon el modelo de rigidez establecido. La rigidez normal es un modulo secante en el cual serelacionan el desplazamiento y la fuerza totales. La rigidez de corte, Ks, por otro lado, esun modulo tangente que relaciona el desplazamiento y la fuerza incrementales.

La componente de corte del incremento del desplazamiento en el contacto que ocurre al

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cabo de un intervalo de tiempo δt se calcula ası:

δU s = V sδt (3.33)

y se emplea para calcular el incremento de fuerza elastica de corte ası:

δF s = −KsδU s (3.34)

donde Ks es la rigidez cortante en el contacto y es determinado de acuerdo con el modelode rigidez establecido.

La nueva fuerza de contacto cortante se determina sumando la fuerza de corte existente alinicio del intervalo de tiempo con el incremento de fuerza de contacto cortante calculada.La fuerza de corte debe ser en todo momento menor que el producto de la fuerza normalpor el coeficiente de friccion establecido previamente.

3.2.3. Ley de Movimiento

El movimiento de una partıcula individual rıgida se determina a partir de los vectores defuerza y momento que actuan sobre la misma y puede describirse en terminos del movimien-to traslacional de un punto en la partıcula y el movimiento rotacional de la partıcula. Elmovimiento traslacional del centro de masa es descrito en terminos de su posicion xi, veloci-dad xi, y aceleracion xi; el movimiento rotacional de la partıcula esta descrita en terminosde su velocidad angular wi y su aceleracion angular wi.

Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse como dos ecuaciones vectoriales, una delas cuales relaciona la fuerza resultante con el movimiento traslacional y la otra relaciona elmomento resultante con el movimiento rotacional. La ecuacion del movimiento traslacionalpuede escribirse en la forma vectorial:

Fi = m(xi − gi) (3.35)

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donde Fi es la fuerza resultante, la suma de las fuerzas externas aplicadas actuantes enla partıcula; m es la masa total de la partıcula; y gi es el vector de aceleracion (cargagravitacional).

La ecuacion del movimiento rotacional puede escribirse de la forma vectorial:

Mi = Hi (3.36)

donde Mi es el momento resultante actuante en la partıcula y Hi es el momentun angularde la partıcula. Esta relacion se refiere a un sistema de coordenadas local cuyo origen seencuentra en el centro de masa de la partıcula. Si el sistema local se encuentra orientadosobre los ejes principales de inercia de la partıcula entonces la ecuacion 3.36, se reduce alas ecuaciones de movimiento de Euler:

M1 = I1w1 + (I3− I2)w3w2M2 = I2w2 + (I1− I3)w1w3M3 = I3w3 + (I2− I1)w2w1 (3.37)

donde I1, I2 y I3, son los principales momentos de inercia de la partıcula; w1, w2 y w3 sonlas aceleraciones angulares sobre los ejes principales; y M1, M2 y M3 son las componentesde los momentos resultantes referidos a los ejes principales.

Las ecuaciones de movimiento, dadas por las ecuaciones 3.35 y 3.36, se integran usando unprocedimiento de diferencia finita centrada que involucra un intervalo de tiempo δt. Lascantidades xi y w3 son calculadas en la mitad del intervalo, es decir, t± n δt

2 , mientras lascantidades xi, xi, w3, Fi y M3, son calculados al inicio del intervalo de t± nδt.

Las siguientes expresiones describen las aceleraciones traslacional y rotacional en el tiempot en terminos de los valores de velocidad en la mitad del intervalo. Las aceleraciones secalculan ası:

x(t)i =

1δt

(x(t+ δt

2)

i − x(t− δt

2)

i ) (3.38)

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w(t)3 =

1δt

(w(t+ δt

2)

3 − w(t− δt

2)

3 ) (3.39)

Insertando estas ecuaciones en las ecuaciones 3.35 y 3.36, y resolviendo para las velocidadesen el tiempo (t + δt

2 se obtiene:

xt+ δt

2i = x

t− δt2

i +

(F

(t)i

m+ gi

)δt (3.40)

wt+ δt

23 = w

t− δt2

3 +

(M

(t)3

I

)δt (3.41)

Finalmente las velocidades de las ecuaciones 3.40 y 3.41 se utilizan para actualizar laposicion de los centros de las partıculas ası:

xt+δti = xt

i + xt+ δt

2i δt (3.42)

3.2.4. Modelos Constitutivos de Contacto

El comportamiento constitutivo de un material es simulado en PFC2D asociando un mo-delo constitutivo sencillo con cada contacto. El modelo constitutivo que actua en cadacontacto en particular esta compuesto de tres partes: un modelo de rigidez, un modelo dedeslizamiento y un modelo de enlace.

En esta investigacion solo los dos primeros modelos fueron empleados, debido a que sesimula el comportamiento de un suelo granular suelto no cementado, y el modelo de enlacese emplea cuando se desea modelar materiales cementados.

Es posible utilizar modelos alternativos a los descritos a continuacion para la simulacionde comportamientos mas complejos, como el modelo viscoelastico simple, entre otros.

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3.2.4.1. Modelo de rigidez

Este modelo relaciona las fuerzas de contacto y los desplazamientos relativos en las direc-ciones normal y tangencial. La rigidez normal es una rigidez secante, debido a que relacionala fuerza normal total con el desplazamiento normal total.

Fni = KnUnni (3.43)

La rigidez de corte es una rigidez tangente debido a que relaciona el incremento de la fuerzade corte con el incremento del desplazamiento de corte.

δF si = −KsδU s

i (3.44)

Las rigideces de contacto utilizadas en las anteriores ecuaciones pueden tener diferentesvalores dependiendo del modelo de rigidez empleado. PFC2D cuenta con dos modelos derigideces: un modelo lineal y un modelo Hertz-Mindlin simplificado.

En este trabajo de investigacion fue empleado el modelo de rigidez lineal que a continuacionse describe.

El modelo de rigidez lineal esta definido por las rigideces normal y de corte kn y ks de losdos objetos en contacto (bola-bola o bola-pared). La rigidez en el contacto se determinasuponiendo que las rigideces de los dos objetos en contacto actuan en serie. La rigidezsecante normal del contacto se calcula ası:

Kn =k

(A)n k

(B)n

k(A)n + k

(B)n

(3.45)

La rigidez tangente de corte del contacto esta dada por:

Ks =k

(A)s k

(B)s

k(A)s + k

(B)s

(3.46)

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donde (A) y (B) denotan los objetos en contacto. En el modelo lineal la rigidez secantenormal es igual a la rigidez tangente normal.

3.2.4.2. Modelo de Deslizamiento

El modelo de deslizamiento es una propiedad intrıseca de los dos objetos en contacto (bola-bola o bola-pared). En este modelo no existe una restriccion o resistencia de tension enla direccion normal y permite que ocurra deslizamiento limitando la fuerza de corte. Estemodelo siempre esta activo, al menos que este presente un modelo de enlace, caso en elcual el modelo de enlace prima sobre el modelo de deslizamiento.

Este modelo esta definido por el coeficiente de friccion en el contacto µ, donde µ es tomadocomo el mınimo coeficiente de friccion de los dos objetos en contacto. Se verifica el contactoen cuanto a la condicion de deslizamiento, calculando la maxima fuerza de contacto de cortepermitida:

F smax = µ|Fn

i | (3.47)

Si |F si | > F s

max, entonces ocurre el deslizamiento (durante el ciclo siguiente) colocando lamagnitud de |F s

i | igual a F smax.

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Capıtulo 4

Modelacion numerica del crushing

En esta investigacion el estudio del fenomeno de crushing se realizo dentro de un marconumerico, a partir de simulaciones numericas basadas en DEM. Este metodo fue implemen-tado a traves del programa PFC 2D (las bases del metodo y del programa son descritosen el capıtulo anterior) con el fin de modelar el comportamiento de un suelo granular,considerando su naturaleza discreta y la fracturacion de sus partıculas. El metodo DEMoriginal, aun cuando permite modelar y estudiar el comportamiento micromecanico de unsuelo granular, no considera el proceso de fracturacion de los granos, y por lo tanto, fuenecesario programar una nueva subrutina en el lenguaje FISH, lenguaje que hace parte dela plataforma de PFC 2D. Con base en investigaciones y simulaciones previas encontradasen la literatura (algunas de ellas presentadas en el segundo capıtulo), se adoptaron loscriterios de ruptura, fragmentacion y una de las soluciones propuestas para representarcada grano de suelo.

Fueron desarrolladas simulaciones numericas de compresiones edometricas y biaxiales deun suelo granular virtual, a partir de las cuales se pudo observar la evolucion del crushingde las partıculas dentro de una muestra de suelo, observar y analizar el efecto de algunasvariables sobre el proceso de fracturacion y asimismo analizar el efecto que produce elcrushing de partıculas sobre algunos parametros del suelo.

A continuacion se presentan los criterios de ruptura y fracturacion adoptados y las carac-terısticas particulares de las simulaciones de los ensayos de laboratorio.

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CAPITULO 4. MODELACION NUMERICA DEL CRUSHING MIC 2007-II-23

4.1. Modelacion de una partıcula fracturable

La modelacion del crushing requiere, como primera medida, la representacion de partıculasfracturables. A partir de las investigaciones encontradas en la literatura (algunas presen-tadas en el estado del conocimiento, segundo capıtulo), una partıcula fracturable se puederepresentar de dos formas basicas: la primera, como un aglomerado poroso, que consisteen un conjunto de partıculas no fracturables (discos elementales infinitamente rıgidos) en-lazadas entre sı a traves de un modelo de enlace previamente definido. Este aglomeradorepresenta una partıcula fracturable, pues en la medida en que los enlaces se rompen, en-tonces las partıculas elementales se separan entre sı y permiten finalmente la fractura delaglomerado. En estos casos en que las partıculas fracturables se representan por aglome-rados porosos, inicialmente se le da una probabilidad de existencia a las partıculas paraque se puedan generar espacios dentro del aglomerado que representen grietas y con estolograr una variabilidad real en la resistencia.

Otra forma de representar partıculas fracturables, es simplemente como una partıculaelemental (discos infinitamente rıgidos), que al momento de satisfacer el criterio de falla, seelimina y se reemplaza por sus fragmentos (discos de menor tamano ubicados de acuerdocon alguna configuracion previamente definida).

Ambas alternativas para representar partıculas fracturables son validas en programas dedos o tres dimensiones. En la literatura se observa que la primera opcion es mas comunencontrarla cuando se utilizan programas de tres dimensiones y la segunda opcion cuandose utilizan programas de dos dimensiones.

Sin embargo, en la referencia [12], fue empleada la primera opcion para representar unapartıcula fracturable (mediante un aglomerado) aun cuando el programa utilizado fue PDF2D. El esquema del aglomerado se muestra en la figura 2.40.

En esta investigacion se adopto representar cada partıcula del suelo mediante un discoelemental, el cual en el momento de cumplir o satisfacer el criterio de ruptura, es elimi-nado y reemplazado por sus fragmentos. Estos a su vez, son discos elementales de menortamano, que pueden seguir fracturandose indefinidamente. Esta suposicion aplica para lassimulaciones numericas desarrolladas en este estudio, las cuales se describen en la siguienteseccion.

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4.2. Criterio de Ruptura

El criterio de ruptura utilizado en esta investigacion esta basado en aquel empleado enlas simulaciones numericas de Lobo-Gerrero & Vallejo (2005). El criterio adoptado, auncuando es una aproximacion de la realidad, su simplicidad justifica su empleo. Por otrolado, aun cuando no se logra reproducir la variabilidad de la resistencia de partıculas de unmismo tamano, sı se logra reproducir el efecto del tamano en la resistencia de acuerdo conresultados experimentales (ver Distribucion Weibull de la resistencia, segundo capıtulo).

El criterio de ruptura simplificado considera:

Solo las partıculas con un numero de coordinacion menor o igual a tres (3) puedenfracturarse. Esto esta basado en el hecho de que las partıculas con un numero decoordinacion bajo tienen mayor posibilidad de fracturarse.

Aquellas partıculas que tengan un numero de coordinacion menor o igual que tres,y cuya configuracion real de carga sea la presentada en la figura 4.1a), se suponeser equivalente a la configuracion de carga de compresion diametral del ensayo detension indirecta (ensayo brasilero). Con esta expresion lo que se logra es aproximarel esfuerzo de tension,σt inducido en la partıcula con la ecuacion presentada en lafigura 4.1b), donde P1 es la mayor fuerza de contacto, L es el espesor del disco (eneste caso es la unidad) y D es el diametro del disco. El esfuerzo de tension inducidocalculado de esta manera puede ser mucho mayor que el real, pero la simplicidad deeste calculo lo justifica.

La resistencia a tension de un grano de suelo con un radio de 1 mm esta predefini-da como: σmax1mm = 3x106Pa. Este valor es arbitrario, es decir, no esta sujeto aresultados experimentales y representa la resistencia del material virtual. Se suponeque la resistencia de una partıcula de radio r, esta relacionada con σmax1mm de lasiguiente manera:

σmax(r) = σmax1mm.[r]−1 (4.1)

De esta manera las partıculas con un radio mayor a 1 mm tendran una resistenciamenor a σmax1mm y por el contrario las partıculas con un radio mayor a 1 mm,su resistencia sera mayor a σmax1mm. Esto concuerda con resultados experimentales

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Figura 4.1: Configuracion de carga equivalente e idealizacion de esfuerzo de tension in-ducido. Fuente:Lobo-Guerrero & Vallejo (2005)

obtenidos, al probar partıculas de diferentes tamano bajo carga puntual, donde se haobservado que la resistencia de las partıculas es funcion de su tamano.

Toda partıcula con un numero de coordinacion menor o igual que 3, en la cual secumpla que σt es mayor que σmax(r), debera fracturarse. Esta fracturacion sera deacuerdo con el criterio de fracturacion que se describe en la siguiente seccion.

4.3. Criterio de Fracturacion

La distribucion del tamano y forma de los fragmentos producidos a partir de un grano desuelo cuyo esfuerzo de tension inducido supera su propia resistencia, depende de la composi-cion mineralogica del material. Se han realizado ensayos de carga puntual sobre agregadosreales de diferente mineralogıa y tamanos y lo que se ha observado es que los fragmentosproducidos, varıan con respecto a su tamano y forma, para cada material e inclusive enpartıculas del mismo tamano y misma composicion mineralogica. Es decir, aun no se haencontrado un patron de fracturamiento de las partıculas. Investigaciones como Astrom &Herrman (1998), Tsoungui et al (1999), Lang (2002), Lobo-Guerrero (2005), entre otros,han adoptado diferentes configuraciones de fragmentos en sus simulaciones numericas. Lavariacion de estas configuraciones consiste tanto en el tamano de los fragmentos como en sucantidad. Por lo tanto, en estas instancias, cualquier configuracion adoptada serıa valida,siempre y cuando con ella se logre reproducir el comportamiento macromecanico del suelo.

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El criterio de fragmentacion utilizado en este estudio, esta basado en el criterio empleado enlas simulaciones numericas de Lobo-Guerrero & Vallejo (2005). Las razones por las que seadopto este criterio se resumen en que, aun cuando no existe un patron de fracturamiento,se ha observado a partir de ensayos de carga puntual que generalmente los fragmentosvarıan en cuanto a su tamano. En esta configuracion se consideran 3 radios diferentes.En la literatura se han encontrado configuraciones en la que los fragmentos son todosdel mismo tamano. Por otra parte, si se consideran fragmentos de menor tamano, tal vezcon el fin de disminuir los vacıos o conservar la masa, el tiempo de corrida del programaaumenta considerablemente, haciendose poco practico. El paso de tiempo es inversamenteproporcional a la masa o tamano de las partıculas, y ademas el tiempo se hace mayor conla variabilidad en los tamanos de partıculas.

El criterio de fragmentacion adoptado, consiste en que aquella partıcula que deba frac-turarse, es decir, una vez cumpla el criterio de falla, sera reemplazada por 8 fragmentos(discos en este caso) de menor tamano, de acuerdo con la configuracion mostrada en lafigura 4.2.

Figura 4.2: Idealizacion de la fracturacion de una partıcula. Adaptado de Lobo-Guerrero& Vallejo (2005)

4.4. Diagrama de Flujo

Haciendo uso de los criterios de falla y fragmentacion anteriormente descritos, fue modi-ficado el metodo DEM para tener en cuenta la fracturacion de las partıculas. Una nuevasubrutina fue escrita en el lenguaje FISH que hace parte de la plataforma de PFC2D, parainvolucrar el criterio de falla y la configuracion de fragmentos adoptados. En la figura 4.3se presenta el diagrama de flujo del codigo de crushing desarrollado por el autor.

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Figura 4.3: Diagrama de Flujo de la subrutina de crushing.

4.5. Compresion Edometrica

El estudio unidimensional de los suelos se suele hacer mediante el aparato de ensayo cono-cido como edometro. Este consiste esencialmente en un anillo, en el cual se encuentracomprimido el suelo entre dos placas porosas y cuyas dimensiones estandar son 2,54 cmde altura y 6,35 cm de diametro. El ensayo de compresion edometrica corresponde a la so-licitacion de una muestra cilındrica de suelo en compresion axial y sin deformacion lateral[9].

El objetivo de la simulacion de este ensayo es observar la evolucion del crushing, analizarel efecto de la relacion de vacıos inicial y el tamano inicial de las partıculas en el inicio

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de la fracturacion. Se calcula la dimension fractal de la muestra en diferentes etapas de lacompresion ya que como se menciono en el segundo capıtulo del estado del conocimiento,el cambio en la dimension fractal tambien es una manera de cuantificar el crushing.

4.5.1. Configuracion de la muestra

La muestra esta conformada por un suelo granular virtual cuyas dimensiones inicialesestan determinadas por la caja edometrica. En la tabla 4.1 se encuentran consignadas lascaracterısticas generales.

Tabla 4.1: Caracterısticas generales de las simulaciones y material granular virtualCaracterıstica General UnidadRigidez Partıcula 1 ∗ 108 N/mRigidez Pared 1 ∗ 109 N/mDensidad Partıcula 2500 kg/m3

Resistencia Partıcula 3 ∗ 106.[r]−1 PaCoeficiente de Friccion 0.7Dimension caja edometrica 10 cm * 5 cm

4.5.1.1. Caja edometrica

En este estudio, la compresion se realizo en una caja cuyas dimensiones son: 5 cm de altoy 10 cm de diametro.

Los diametros de partıculas empleados estuvieron condicionados por el tiempo de corridadel programa, el cual depende de la masa y por lo tanto del tamano de las partıculas, yasimismo, por la subrutina de crushing desarrollada, la cual genera bolas cada vez maspequenas. Por lo tanto los radios iniciales de partıculas que se manejaron estuvieron en elrango de 1 - 5 mm. Este tamano de partıcula es grande en comparacion con una granu-lometria real de una arena y en comparacion con las dimensiones de un anillo edometricoestandar. Por lo tanto para poder manejar un mayor numero de partıculas para representarla muestra de suelo, la caja edometrica empleada para la compresion unidimensional tienedimensiones mayores.

La caja esta compuesta por cuatro paredes que deben ser generadas en una direccion y

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orden especıficos de acuerdo con la ubicacion de la muestra de suelo (ver manual User’sGuide, PFC 2D) [11]. Por esta razon las paredes fueron generadas en el siguiente orden ydireccion: pared horizontal inferior, de izquierda a derecha, pared vertical derecha, de abajohacia arriba, pared horizontal superior, de derecha a izquierda y pared vertical izquierda,de arriba hacia abajo.

La pared esta caracterizada por una identificacion (numeros) y por una rigidez (ver tabla4.1). Las fuerzas que se requieren aplicar en las paredes no se asignan directamente, sinoque se obtienen estableciendo una velocidad en la pared. Esta velocidad puede ser constante(deformacion controlada) o puede ser variable (esfuerzo controlado).

4.5.1.2. Material granular virtual

El material granular virtual esta caracterizado por su gradacion, tamano de partıculas,porosidad, rigidez de sus partıculas y resistencia de sus partıculas (ver tabla 4.1).

Para efecto de simular crushing, emplear una granulometrıa real de una arena es pocopractico, debido a que los tamanos muy pequenos de partıculas incrementan considerable-mente el tiempo de corrida del programa. Por esta razon, se empleo una gradacion inicialdel suelo uniforme, donde todas las partıculas tienen un mismo radio.

Para la generacion de la muestra de suelo, el programa ofrece dos metodos: generacion porexpansion del radio y generacion por repulsion explosiva (ver manual, User’s Guide, PFC2D) [11].

En esta simulacion se genero la muestra por expansion del radio. Este metodo consiste engenerar bolas de un radio menor al requerido. La ubicacion de las bolas es aleatoria y elprograma no permite traslapos en esta etapa de generacion. Luego las bolas se expandenhasta el radio deseado. Con esto algunas bolas se traslapan y se generan fuerzas en loscontacto entre bolas. Por lo tanto es necesario llevar la muestra al equilibrio, es decir,hasta que las fuerzas en los contactos sean mınimas. Para alcanzar el equilibrio se debenhacer el numero de ciclos necesarios.

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4.5.2. Aplicacion de la carga axial

En PFC 2D, la aplicacion de las fuerzas en las paredes no se realiza directamente sino atraves de la velocidad que se le asigne a la pared.

En esta simulacion, la compresion se hace con deformacion controlada. A la pared superiorse le asigna una velocidad de 1 ∗ 10−7 m/s constante, que permite comprimir la muestra.Mientras que las otras paredes no se mueven, para no permitir la deformacion radial.

4.6. Compresion Biaxial

El objetivo de la simulacion de este ensayo es observar la evolucion de la fracturacion de laspartıculas bajo esta configuracion de carga, observar el efecto de la presion de confinamien-to en la cantidad de fracturacion de partıculas y por ultimo analizar la influencia de lacantidad de fracturacion en el angulo de friccion interna promedio del material. Se calculala dimension fractal de la muestra en diferentes etapas de la compresion ya que como semenciono en el segundo capıtulo del estado del conocimiento, el cambio en la dimensionfractal tambien es una medida de crushing.

4.6.1. Configuracion de la muestra

La muestra esta conformada por un material granular virtual cuyas dimensiones inicialesestan determinada por la caja biaxial utilizada. En la tabla 4.1 se encuentran consignadaslas caracterısticas generales.

4.6.1.1. Caja Biaxial

En esta simulacion las dimensiones de la caja fueron 13 cm de alto y 5 cm de ancho.

Los diametros de partıculas empleados estuvieron condicionados por el tiempo de corridadel programa, el cual depende de la masa y por lo tanto del tamano de las partıculas,

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y tambien por la subrutina de crushing desarrollada, la cual genera bolas cada vez maspequenas. Por lo tanto el radio inicial de las partıculas fue de 3 mm.

La caja esta compuesta por cuatro paredes que deben ser generadas en una direccion yorden especıficos de acuerdo con la ubicacion de la muestra de suelo (ver manual User’sGuide, PFC 2D) [11]. Por esta razon las paredes fueron generadas en el siguiente orden ydireccion: pared horizontal inferior, de izquierda a derecha, pared vertical derecha, de abajohacia arriba, pared horizontal superior, de derecha a izquierda y pared vertical izquierda,de arriba hacia abajo.

Cada pared esta caracterizada por una rigidez (ver tabla 4.1).

4.6.1.2. Material granular virtual

El material granular virtual esta caracterizado por su gradacion, tamano de partıculas,porosidad, rigidez de sus partıculas y resistencia de sus partıculas (ver tabla 4.1).

Para efecto de simular crushing, emplear una granulometrıa real de una arena es pocopractico, debido a que los tamanos muy pequenos de partıculas incrementan considerable-mente el tiempo de corrida del programa. Por esta razon, se empleo una gradacion inicialdel suelo uniforme, donde todas las partıculas tienen un mismo radio.

En esta simulacion se genero la muestra por el metodo de expansion de radio (ver manual,User’s Guide, PFC 2D) [11]. Este metodo consiste en generar inicialmente bolas de unradio menor al requerido. La ubicacion de las bolas es aleatoria y el programa no permitetraslapos en esta etapa de generacion. Luego las bolas se expanden hasta el radio deseado.Con esto algunas bolas se traslapan y se generan fuerzas en los contacto entre bolas. Porlo tanto es necesario llevar la muestra al equilibrio, es decir, hasta que las fuerzas en loscontactos sean mınimas. Para alcanzar el equilibrio se deben hacer el numero de ciclosnecesarios.

La resistencia de las partıculas esta determinado por el criterio de ruptura descrito en laseccion anterior.

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4.6.2. Aplicacion de la carga Biaxial

En PFC 2D, la aplicacion de las fuerzas en las paredes no se realiza directamente sino atraves de la asignacion de determinada velocidad en la pared.

Esta simulacion esta compuesta por dos etapas: una compresion hasta alcanzar un esfuerzoisotropico y la aplicacion de un esfuerzo desviador.

Para la primera etapa, se emplea un servomecanismo que controla la velocidad en las pare-des de tal forma que se incrementa en una misma magnitud los esfuerzos de confinamientoen los sentidos vertical y horizontal, hasta llegar al valor requerido. Este servomecanismo seencuentra descrito en el manual User’s Guide de PFC 2D [11]. Algunos cambios pertinentesse han hecho sobre este servomecanismo para la aplicacion de la subrutina de crushing.

Para la aplicacion de un desviador, el servomecanismo se deja de aplicar en la paredhorizontal superior, sencillamente, por medio de un suiche, y entonces a la pared superior sele asigna una velocidad constante de 1∗10−7 m/s. Mientras que el esfuerzo de confinamientose mantiene constante en el valor requerido.

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Capıtulo 5

Resultados y analisis

Las simulaciones numericas desarrolladas en esta investigacion permitieron observar laevolucion de la fracturacion de las partıculas en diferentes etapas de las compresiones,analizar el efecto de diferentes variables sobre el proceso de fracturacion y analizar elefecto de la fracturacion sobre algunos parametros del suelo.

A continuacion se presentan los resultados obtenidos para cada una de las simulaciones ylos analisis y conclusiones que a partir de ellos se obtuvieron.

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CAPITULO 5. RESULTADOS Y ANALISIS MIC 2007-II-23

5.1. Compresion Uniaxial

En este estudio se realizo la simulacion del ensayo de compresion edometrica con el fin deobservar la evolucion del crushing en diferentes etapas de la compresion; analizar el efectode la relacion de vacıos inicial y el tamano inicial de partıcula en el inicio de la fracturacion;comparar los resultados obtenidos a partir de las simulaciones de este estudio con aquellospresentados en el primer capıtulo del estado del conocimiento; cuantificar la cantidad decrushing a traves de la dimension fractal. Adicionalmente se obtuvo la curva de compresiony se comparo con la curva obtenida en una simulacion donde no se considera la fracturacionde las partıculas, con el fin de analizar los efectos al considerar este fenomeno.

Las caracterısticas generales y particulares de la simulacion de este ensayo de laboratoriofueron presentadas en el capıtulo 3 y los resultados obtenidos se presentan a continuacion.

5.1.1. Efecto del tamano de las partıculas

Para analizar el efecto del tamano de las partıculas sobre el inicio del proceso de frac-turacion de las partıculas, se procedio a hacer varias corridas del programa, variandounicamente el tamano o radio inicial de las partıculas. Se empleo para todas las simu-laciones una relacion de vacıos inicial de 0.28.

Los radios iniciales de las partıculas empleados fueron en unidades de milımetro: 1, 1.5,2, 2.5, 3, 3.5, 4 y 5. En la figura 5.1, se observan los estados iniciales para algunos de losdiametros mencionados. Se puede observar que el numero de bolas se reduce considerable-mente al incrementar el radio de las bolas en 1 mm.

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(a) 1247 bolas radio 1mm

(b) 310 bolas radio 2mm

(c) 137 bolas radio 3mm

(d) 77 bolas radio 4mm

Figura 5.1: Estado inicial de la compresion edometrica para diferentes diametros

En la figura 5.2, se presenta el momento de la compresion donde ocurre la primera fractura.Fp, ε, e, denotan, fuerza en la pared superior requerida a la primera fractura, deformacionvertical unitaria y relacion de vacıos, respectivamente. En esta figura, se puede observar queno es posible establecer un patron de fracturamiento inicial, pues en cada caso, la primerafractura ocurre en diversas posiciones, aunque sı se puede notar que en la mayorıa de loscasos, esta primera fractura ocurre en los lımites con las paredes. Por otro lado, se puedeobservar que la fuerza vertical requerida para ocasionar la primera fractura se incrementacon la disminucion del radio inicial de las partıculas. Este resultado se presenta en la figura5.3 y concuerda con los resultados experimentales presentados en el primer capıtulo delestado del conocimiento en la seccion de los factores que influyen en la fracturacion de laspartıculas.

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(a) Rinicial1mm.Fp = 5,44e4N ;ε = −5,17e − 2;e = 2,15e− 1

(b) Rinicial1,5mm.Fp = 3,73e4N ; ε =−3,59e − 2; e =2,36e− 1

(c) Rinicial2mm.Fp = 4,95e4N ;ε = −3,75e − 2;e = 2,34e− 1

(d) Rinicial2,5mm.Fp = 3,86e4N ; ε =−3,75e − 2; e =2,35e− 1

(e) Rinicial3mm.Fp = 1,59e4N ;ε = −3,75e − 2;e = 2,35e− 1

(f) Rinicial3,5mm.Fp = 1,8e4N ; ε =−3,04e − 2; e =2,45e− 1

(g) Rinicial4mm.Fp = 2,14e4N ;ε = −2,08e − 2;e = 2,58e− 1

(h) Rinicial5mm.Fp = 2,45e4N ;ε = −9,4e − 3;e = 2,74e− 1

Figura 5.2: Primera fractura durante la compresion edometrica para diferentes tamanosde partıcula

Con respecto a la figura 5.3, se puede notar la tendencia decreciente de la fuerza a laprimera fractura con el incremento del radio de la partıcula, con excepcion del caso enque el radio inicial es de 5mm. Aun cuando este resultado se obtuvo con una version delprograma diferente, lo cual pudo haber influido, una de las razones puede ser imputada alhecho de que la fracturacion de las partıculas depende de la accion conjunta del esfuerzo

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Figura 5.3: Efecto del tamano de las partıculas en el inicio de la fracturacion de laspartıculas.

inducido en la partıcula, de la resistencia de la misma y de su numero de coordinacion. Laresistencia de las partıculas es inversamente proporcional a su tamano. Pero a la vez laspartıculas de mayor tamano tienen un numero de coordinacion mayor que partıculas demenor tamano. El efecto combinado de estos dos factores, es lo que define si la partıculase fractura o no. Por lo tanto, aunque la fracturacion inicio primero en la simulacion conpartıculas de radio inicial de 5 mm que en la simulacion con partıculas de radio inicial de 4mm, el valor de la fuerza a la primera fractura, no supera las fuerzas requeridas para iniciarla fracturacion en las simulaciones con partıculas de radio menor a 4 mm. En conclusion,se puede inferir que el efecto combinado de tamano o resistencia y numero de coordinacionpuede romper la tendencia decreciente encontrada en la figura 5.3, solo para los casos deradios cercanos. Esto se puede observar en los casos de radios con valores intermedios como1.5, 2.5 y 3.5 mm, con respecto a sus vecinos inmediatos. Pero la relacion general de lafuerza a la primera fractura y radio inicial, es decreciente.

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5.1.2. Efecto de la relacion de vacıos

Para determinar el efecto de la relacion de vacıos inicial de la muestra sobre el inicio del pro-ceso de fracturacion, se realizaron diferentes simulaciones variando unicamente la relacionde vacıos inicial y conservando las caracterısticas generales de la simulacion presentadasen el capıtulo 3.

Para el desarrollo de este analisis, se escogio un radio de partıcula de 3 mm, para lograrsimultaneamente un numero de partıculas alto y un tiempo de corrida aceptable.

Los valores de relacion de vacıos utilizados fueron: 0.22, 0.23, 0.25, 0.27 y 0.28. En esteanalisis, para cada corrida se obtuvo el valor de la fuerza a la primera fractura. Se graficaronlos valores de cada relacion de vacıos con su respectivo valor de fuerza y los resultados sepresentan en la figura 5.4.

Figura 5.4: Efecto de la relacion de vacio en el inicio de la fracturacion de las partıculas.

En la figura 5.4, se puede observar que a mayor relacion de vacıos inicial, menor la fuerzarequerida para que inicie la fracturacıon de las partıculas. La explicacion de esta relacion

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se debe al hecho de que a mayor relacion de vacıos, el numero de coordinacion o contactosde las partıculas dismuye, incrementando el esfuerzo de tension inducido. Este resultadoconcuerda con aquellos presentados en el capıtulo 1 del estado del conocimiento, en laseccion de factores que afectan la fracturacion de las partıculas.

5.1.3. Curva de compresion

Para efecto de observar la fracturacion de las partıculas en los diferentes estados de la com-presion edometrica, fue necesario ejecutar una corrida principal, en la cual la compresionse llevo hasta alcanzar una deformacion vertical unitaria del 20 %.

Para llevar a cabo la corrida principal, se escogio un radio inicial de partıcula de 3 mm, conel fin de lograr simultaneamente un tiempo de corrida aceptable y un numero de partıculasalto. La relacion de vacıos inicial seleccionada fue de 0.28, para acelerar el inicio de lafracturacion. Las caracterısticas generales de la simulacion se encuentran consignadas enel capıtulo 3.

En la figura 5.5 se presenta la curva de compresion, obtenida a partir de la corrida principal.Como se puede observar en esta figura, la curva de compresion, desde el punto de vistacualitativo, tiene la forma esperada y es muy aproximada con una curva de una arena real.El coeficiente de compresion calculado a partir de esta curva, tiene un valor de 0.1880. Estees un valor de coeficiente de compresion aceptable para una arena.

Por otro lado, en la figura 5.6, se puede observar la evolucion del crushing dentro de lamuestra de material granular virtual. A partir de estas figuras, no es posible observarningun patron de fracturamiento. La distribucion de las cadenas de fuerzas al parecertiene un caracter aleatorio, lo que permite que el fracturamiento de las partıculas no sealocalizado sino mas bien se presente en todo el interior de la muestra.

La evolucion de los esfuerzos lateral y axial se puede observar en la figura 5.7.

Se realizo una simulacion con las mismas caracterısticas de la anterior pero sin considerarla fracturacion de las partıculas. Se obtuvo un coeficiente de compresion para el mismomaterial granular de 0.371, mucho mayor que el coeficiente de 0.188 obtenido al activarla subrutina de crushing. Esto se debe a que la subrutina de crushing limita el traslapo

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Figura 5.5: Curva de compresion. einicial = 0,28 ; Rinicial = 3mm

entre partıculas y permite un reacomodamiento de las mismas. La curva de compresiony el estado ultimo de la compresion (deformacion vertical 20%) obtenidas a partir de lasimulacion sin crushing se muestran en las figuras 5.8 y 5.9.

5.1.4. Dimension Fractal

Como fue mensionado en el primer capıtulo del estado del conocimiento, se han propuestosdiversos factores para cuantificar crushing, la mayorıa de ellos basados en las curvas gran-ulometricas antes y despues del ensayo. Otra forma de cuantificar el crushing es a travesde la Dimension Fractal de la muestra, la cual va cambiando a medida que se fracturan laspartıculas.

En este estudio se opto por calcular y analizar la evolucion de la dimension fractal de lamuestra, calculada con base en Turcotte (1986).

La razon principal para no calcular los otros ındices, es que ellos estan basados en las curvas

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(a) ε = −1,37e− 1 (b) ε = −1,74e− 1 (c) ε = −1,82e− 1 (d) ε = −1,93e− 1

Figura 5.6: Evolucion de la fracturacion de las partıculas durante la simulacion de lacompresion edometrica para un radio inicial de 3 mm

(a) Esfuerzo axial (b) Esfuerzo lateral

Figura 5.7: Evolucion de los esfuerzos axial y lateral durante la simulacion de la compresionedometrica

107


Figura 5.8: Curva de Compresion sin subrutina de crushing

Figura 5.9: Compresion Edometrica sin considerar fracturacion de partıculas εv = 0,2.

108


granulometricas. El criterio de fragmentacion empleado, aun cuando se puede decir con baseen los resultados obtenidos en esta investigacion, es una buena aproximacion de la realidad,no cumple con el principio de conservacion de masa y por lo tanto los pesos retenidosobtenidos en algunos tamices no serıan reales. La dimension fractal puede obtenerse apartir de los mayores tamanos de bolas, no necesariamente de todos los tamanos, y porlo tanto, el numero de bolas que puedan hacer falta (que corresponden a los tamanosmenores), no afectarıa en el calculo de la dimension fractal.

En la figura 5.10, se presentan los resultados obtenidos para diferentes niveles de defor-macion en la compresion. Se puede observar como a medida que la muestra esta mascomprimida y por lo tanto contiene un mayor nivel de fracturamiento, la dimension fractalde la muestra aumenta.

Figura 5.10: Evolucion de la Dimension Fractal. einicial = 0,28 ; Rinicial = 3mm

Las dimensiones fractales para cada uno de los estados presentados en la figura 5.10, sepresentan en la tabla 5.1.

109


Tabla 5.1: Evolucion de la Dimension Fractal durante la Compresion EdometricaDeformacion vertical unitaria Dimension Fractal R2

−5,74e− 2 0.052 0.94−7,71e− 2 0.18 0.94−8,51e− 2 0.33 0.93−1,04e− 2 0.41 0.95−1,17e− 2 0.50 0.93

5.1.5. Coeficiente de Presion de Tierras Ko

Se observo la evolucion del coeficiente de presion de tierras durante la compresion edometri-ca. El resultado obtenido a partir de esta simulacion esta de acuerdo con el resultadoobtenido en la investigacion de Robertson & Bolton (2001), presentada en el capıtulo 1,en la seccion de consecuencias de la fracturacion de las partıculas.

El resultado obtenido en esta simulacion se presenta en la figura 5.11.

Figura 5.11: Evolucion del coeficiente de presion de tierras durante la simulacion de lacompresion edometrica

A partir de la figura 5.11, se puede observar que el coeficiente de presion de tierras va

110


aumentando al inicio de la compresion, pero se va estabilizado despues de cierto nivel dedeformacion.

5.2. Compresion Biaxial

El objetivo de la simulacion de este ensayo es observar la evolucion de la fracturacionde las partıculas, observar la influencia de la presion de confinamiento en la cantidad decrushing y analizar la influencia de la cantidad de fracturacion en el angulo de friccioninterna promedio. Se calcula la dimension fractal de la muestra en diferentes etapas de lacompresion ya que como se menciono en el primer capıtulo del estado del conocimiento, elcambio en la dimension fractal tambien es una medida de crushing.

Las caracterısticas generales y particulares de la simulacion de este ensayo de laboratoriofueron presentadas en el capıtulo 3 y los resultados obtenidos se presentan a continuacion.

5.2.1. Generacion muestra

Se crearon tres copias de una misma muestra, con el fin de comprimir la misma muestraa tres esfuerzos isotropicos diferentes (1e5, 6e5 y 10e5 Pa). Seguidamente fue aplicadoun esfuerzo desviador imponiendo una velocidad constante a la pared superior de 1 ∗ 10−7

m/step, hasta alcanzar una deformacion vertical del 40 % de la altura original. La presion deconfinamiento fue mantenida constante. Las caracterısticas generales del material granularempleado y la caja biaxial son las mismas consignadas en el capıtulo 3 en la tabla 4.1. Elradio inicial de las partıculas fue de 3 mm y la relacion de vacıos inicial de 0.28.

En estas simulaciones fue empleada la funcion de Density Scaling del programa PFC2D,con el fin de incrementar a la unidad el paso de tiempo y disminuir el tiempo de corridadel modelo. Adicionalmente, de acuerdo con Lobo-Guerrero & Vallejo (2005), bajo estascondiciones de esfuerzo solo ocurre fracturamiento de partıculas hasta la tercera y cuartageneracion de crushing, es decir, solo se fracturan las partıculas originales, fragmentos departıculas originales y fragmentos de estos ultimos fragmentos, por lo tanto, fue limitadoel fracturamiento hasta este punto con el fin de disminuir el tiempo de corrida.

111


Figura 5.12: Fase de Corte a σ2 = 1 ∗ 105Pa; εv = 0,4

Durante el corte a una presion de confinamiento de 1e5 Pa, se produjo el fracturamientosolo de seis (6) partıculas originales como se muestra en la figura 5.12. El volumen de lamuestra no cambio significativamente. La dimension fractal obtenida al final del corte fuede tan solo 0.5.

Durante el corte a una presion de confinamiento de 6 ∗ 105Pa constante, se produjo unacantidad significativa de fracturamiento. En la figura 5.13 se muestra la distribucion detamanos de las partıculas en funcion de la deformacion vertical. Los coeficientes de cor-relacion al cuadrado varıan entre 0.92 y 0.97, por lo tanto, se puede decir que la distribuciondebida a la fracturacion de las partıculas tiene un caracter fractal, como es sugerido por di-versos autores (McDowell and Bolton, 1998; Turcotte, 1986). La dimension fractal obtenidaen el estado final del corte fue de 0.9249.

En la figura 5.14, se puede observar la evolucion de la fracturacion de las partıculas en losdiferentes estados del corte. Se observa como el grupo de partıculas tiende a evolucionar deun material uniforme a un material bien gradado, aunque no es posible observar un patronde fracturamiento. Adicionalmente, se observa al final del corte que la muestra sigue aundominada por las partıculas originales. Por lo tanto era de esperarse que la dimensionfractal fuera mucho menor que la maxima de 1.5 reportada en la literatura.

112


Figura 5.13: Evolucion de la Dimension Fractal en el corte a σ2 = 6 ∗ 105Pa constante

En la figura 5.15 se presenta el esfuerzo desviador aplicado versus la deformacion vertical.

Durante el corte a una presion de confinamiento de 10 ∗ 105Pa constante, se produjouna cantidad significativa de fracturamiento al momento de alcanzar el esfuerzo isotropicoası como tambien al final del corte. En la figura 5.16 se muestra la distribucion de tamanosde las partıculas en funcion de la deformacion vertical. Los coeficientes de correlacion alcuadrado varıan entre 0.95 y 0.98, por lo tanto se puede decir que la distribucion de tamanosgenerada por la fracturacion de las partıculas tambien tiene un caracter fractal, al igualcomo sucede con el confinamiento anterior. La dimension fractal obtenida en el estado finaldel corte fue de 1.0336, menor que el maximo valor de 1.5 (dos dimensiones) reportado enla literatura.

En la figura 5.17, se puede observar la evolucion de la fracturacion de las partıculas en losdiferentes estados del corte. Se observa como el grupo de partıculas tiende a evolucionar deun material uniforme a un material bien gradado, aunque no es posible observar un patronde fracturamiento. Adicionalmente, se observa al final del corte que la muestra sigue aun

113


(a) εv = 0,0 (b) εv = −5,56e− 2 (c) εv = −9,36e− 2 (d) εv = −1,31e− 1

(e) εv = −1,69e− 1 (f) εv = −2,07e− 1 (g) εv = −2,45e− 1 (h) εv = −2,83e− 1

(i) εv = −3,34e− 1 (j) εv = −4,10e− 1

Figura 5.14: Evolucion de la fracturacion de las partıculas en la compresion biaxial σ2 = 6∗105Pa.

114


Figura 5.15: Esfuerzo desviador vs deformacion vertical durante el corte a σ2 = 6 ∗ 105Pa

dominada por las partıculas originales. Por lo tanto era de esperarse que la dimensionfractal fuera mucho menor que la maxima de 1.5 reportada en la literatura.

En la figura 5.18 se presentan los valores del esfuerzo desviador aplicado versus la defor-macion vertical inducida.

A partir de los resultados obtenidos para cada presion de confinamiento, se puede notar quela fracturacion de las partıculas aumenta con el nivel de esfuerzo, inclusive estableciendo unlımite de fracturacion. Este resultado se evidencia en las dimensiones fractales obtenidas,las cuales aumentaron con el nivel de confinamiento. En la literatura se reporta que elangulo de friccion disminuye con la fracturacion de las partıculas. Este efecto se pudoreproducir, pues los angulos de friccion interna obtenidos fueron 38.2o, 30.31o y 28.34o,para los confinamientos de 1∗105Pa, 6∗105Pa y 10∗105Pa, respectivamente. Los cırculosde Mohr obtenidos en el estado final de la compresion para cada confinamiento se presentanen la figura 5.19. El comportamiento de la muestra fue contractivo durante todo el cortepara las tres presiones de confinamiento empleadas.

115


Figura 5.16: Evolucion de la Dimension Fractal en el corte a σ2 = 10 ∗ 105Pa constante

116


(a) εv = 0,0 (b) εv = −3,51e− 2 (c) εv = −7,66e− 2 (d) εv = −1,19e− 1

(e) εv = −1,65e− 1 (f) εv = −2,12e− 1 (g) εv = −2,61e− 1 (h) εv = −3,12e− 1

(i) εv = −3,66e− 1 (j) εv = −4,76e− 1

Figura 5.17: Evolucion de la fracturacion de las partıculas en la compresion biaxial σ2 = 10∗105Pa.

117


Figura 5.18: Esfuerzo desviador vs deformacion vertical durante el corte a σ2 = 10 ∗ 105Pa

Figura 5.19: Cırculos de Mohr y envolventes de falla para cada confinamiento.

118

Capıtulo 6

Conclusiones y perspectivas de

trabajos

El presente trabajo de investigacion consiste en el estudio de la fracturacion de las partıcu-las o crushing mediante simulaciones numericas basadas en el Metodo de los ElementosDiscretos (DEM).

El metodo DEM original no considera la fracturacion de las partıculas, sin embargo, fueposible modelar el fenomeno de crushing, desarrollando una nueva subrutina de crushingbasada en modelos de ruptura y de fragmentacion previamente definidos.

6.1. Conclusiones

A partir de la revision bibliografica y de las simulaciones numericas realizadas en estainvestigacion, se pueden realizar las siguientes conclusiones:

El metodo DEM ha sido una herramienta ampliamente utilizada para el estudiomicromecanico de materiales granulares. DEM permite reproducir el comportamientode suelos granulares y algunos procesos que ocurren a nivel micro como la fracturacionde las partıculas, realizando algunas modificaciones en el metodo original.

119

CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS DE TRABAJOSMIC 2007-II-23

DEM tambien es una herramienta eficaz y ha sido ampliamente utilizada para en-tender el efecto de crushing sobre algunas estructuras de ingenierıa como pilotes,pavimentos, zapatas, vıas ferreas, entre otros. Algunos de estos efectos son la reduc-cion de la resistencia del suelo y de la conductividad hidraulica, y la produccion deuna excesiva deformacion plastica.

Diversos modelos para representar una partıcula fracturable han sido utilizado porlos investigadores. Un metodo consiste en modelar una partıcula como un aglomera-do, el cual es la union de varias partıculas de menor tamano enlazadas entre sı enlos contactos a traves de un modelo de enlace previamente definido. Estos enlacesse rompen una vez se supere su resistencia y permiten la fractura del aglomerado.Otro metodo es representar la partıcula mediante una forma basica (triangulo, esfera,disco), la cual al momento de fallar (cuando el esfuerzo inducido es mayor que suresistencia) es reemplazada por otras partıculas mas pequenas. Al representar unapartıcula como un aglomerado es posible generar aglomerados o partıculas con dife-rentes formas. Con esto se puede eliminar un poco el exceso de rotacion cuando seutilizan programas que trabajan con esferas o discos para aplicar DEM.

La relacion de vacıos inicial afecta el proceso de fracturacion. El incremento de larelacion de vacıos inicial acelera el crushing.

La angularidad de las partıculas afecta el proceso de fracturacion. Suelos con partıcu-las angulares inician primero el crushing que suelos con partıculas redondeadas.

La composicion mineralogica es un factor que afecta el crushing. Los suelos conpartıculas compuestas por minerales de gran dureza como el cuarzo tienden a iniciarla fracturacion de sus partıculas mas tarde que suelos constituıdos por mineralesblandos. La mineralogıa no influye en el comportamiento del suelo despues de lafluencia.

El tamano inicial de las partıculas afecta el proceso de fracturacion. Suelos conpartıculas de mayor tamano inician mas rapido el crushing.

Al considerar la fracturacion de las partıculas en el metodo DEM se disminuye elcoeficiente de compresion del material granular.

La fracturacion de las partıculas afecta propiedades ingenieriles de los suelos comola conductividad hidraulica y la resistencia al corte. A mayor porcentaje de crushing

120


menor la capacidad de drenaje del agua y se disminuye el angulo de friccion internapromedio.

El modelo de fractura adoptado en esta investigacion, el cual consiste en reemplazaraquella partıcula que ha fallado en tension, por 8 fragmentos de diferente tamano;las simplificaciones adoptadas para calcular el esfuerzo de tension inducido en unapartıcula embebida en una matriz de suelo (basado en el ensayo de tension indirecta)y para distribuir las resistencias de las partıculas del suelo, permitieron reproducir elcomportamiento de un suelo uniforme bajo compresion edometrica y biaxial.

A partir de las simulaciones edometricas desarrolladas en esta investigacion se obtuvoque la curva de compresion tiene la forma esperada y un coeficiente de compresionde 0.1880 para el material granular virtual creado; los esfuerzos vertical y lateralincrementan con el nivel de deformacion axial; se reprodujo el efecto de la relacionde vacıos inicial y del tamano de las partıculas en el proceso de fracturacion de laspartıculas, de acuerdo con los resultados experimentales encontrados en la literatura;el coeficiente de presion de tierra se incrementa con la deformacion hasta alcanzar unvalor maximo alrededor del cual se estabiliza; se encontro que la fracturacion de laspartıculas tiene un caracter fractal y que la dimension fractal aumenta con el nivel decrushing. Por ultimo, se pudo observar la evolucion de crushing dentro de la muestradurante la compresion, pero no fue posible observar un patron de fracturamiento.Se observa crushing en todo el interior de la muestra de suelo. La primera fracturageneralmente ocurrio en los bordes, sin embargo, algunas simulaciones rompen coneste patron.

6.2. Propuesta de trabajos futuros

El tema de la fracturacion de las partıculas ha sido ampliamente estudiado a nivel numericoy experimental. Lo que se busca con estas investigaciones, es comprender el fenomeno parapoder involucrarlo en el diseno de las estructuras geotecnicas donde juega un rol importante(pavimentos, vıas ferreas, hincado de pilotes, etc) y en los modelos constitutivos actuales(elastoplasticidad, hipoplasticidad) quiza mediante un factor de crushing que sea evolutivo.

Por lo tanto, aun queda mucho por hacer y proponer alrededor de este tema.

121


Despues de realizar esta investigacion, se proponen algunos trabajos que permitan com-prender aun mas el fenomeno de crushing y mejorar las suposiciones y simplificacionesque se han adoptado hasta el dıa de hoy, haciendo uso y con base en los codigos de lassimulaciones numericas realizadas en esta investigacion, los cuales estan consignados en losanexos.

La consideracion de crushing en esta investigacion, implico el desarrollo de una nuevasubrutina de fractura que esta compuesta basicamente por dos modelos: un modelode ruptura, en el cual, por un lado, se adopta una configuracion equivalente de cargapara el calculo del esfuerzo inducido en una partıcula embebida y por otro lado, semodela la resistencia de las partıculas teniendo en cuenta el efecto del tamano enla resistencia pero sin darle una variabilidad a las partıculas del mismo tamano. Unmodelo de fragmentacion, en el cual se adopta una configuracion de fragmentos (8discos de tres tamanos diferentes) en que se fractura aquella partıcula que falle atension de acuerdo con el modelo de ruptura.

Por lo tanto, hay tres elementos con los que se puede jugar en la modelacion delcrushing: la configuracion de carga de una partıcula embebida en el suelo o lo que eslo mismo, el calculo del esfuerzo de tension inducido en una partıcula, el modelo dedistribucion de la resistencia de las partıculas y la configuracion de los fragmentos.

En la literatura se proponen diferentes modelos de ruptura y fragmentacion. La com-paracion de estos modelos puede ayudar a definir cual es la mejor manera de modelarla fracturacion de las partıculas.

Realizar simulaciones de los ensayos de laboratorio mas utilizados en la practicateniendo en cuenta la fracturacion de las partıculas y sin considerar este fenomeno.A partir de estas simulaciones es posible observar la evolucion del crushing y analizarel efecto de este fenomeno en cada condicion de carga.

Comparar el valor del esfuerzo inducido calculado como se propone en esta tesis conel esfuerzo maximo que puede ser inducido en una partıcula embebida en el suelopropuesto por Nakata et al, 2001 [24] [23].

Simular el comportamiento de un material granular bajo diferentes cargas monotonicasy cıclicas. Con esto es posible evaluar los niveles de cargas o el numero de ciclos apartir de los cuales tiene relevancia el fenomeno de crushing.

122

Bibliografıa

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125

Capıtulo 7

Anexos

7.1. Anexo A: Subrutina de Fracturacion

DEF _Fractura

while_stepping

_bp = ball_head

loop while _bp # null

_bnext = b_next(_bp)

_No_contactos = 0

_cp = b_clist(_bp)

loop while _cp # null

_fuerza_con = c_nforce(_cp)

if _fuerza_con = 0.0 then

if c_ball1(_cp) = _bp then

_cp = c_b1clist(_cp)

else_cp = c_b2clist(_cp)

end_if

else

_No_contactos = _No_contactos + 1


126

CAPITULO 7. ANEXOS MIC 2007-II-23



end_if

end_if

end_loop

if _No_contactos <= 3

if _No_contactos >= 2

_id = b_id(_bp)

_rad = b_rad(_bp)

_diam = 2.0 * _rad

_resistencia = 1*3e6 * (1.0/(_rad*1000.0))

array _fuerza_contacto(10)

i = 1_cp = b_clist(_bp)

loop while _cp # null

_fuerza_con = c_nforce(_cp)

if _fuerza_con = 0.0 then




end_if

else_fuerza_contacto(i) = c_nforce(_cp)

i = i + 1




end_if

end_if

end_loop

_fuerza_maxima_contacto = _fuerza_contacto(1)

127


loop i (2,_No_contactos)

if _fuerza_contacto(i) > _fuerza_maxima_contacto

_fuerza_maxima_contacto = _fuerza_contacto(i)

end_if

end_loop

_esfuerzo_inducido = (2.0 * _fuerza_maxima_contacto)/((pi) * _diam)

if _esfuerzo_inducido > _resistencia

_color = b_color(_bp)

_centro_y = b_y(_bp)

_centro_x = b_x(_bp)

_x1 = _centro_x

_y1 = _centro_y + _rad/2.0

_x2 = _centro_x

_y2 = _centro_y - _rad/2.0

_x3 = _centro_x + 2.0 * (_rad/3.0)

_y3 = _centro_y

_x4 = _centro_x - 2.0 * (_rad/3.0)

_y4 = _centro_y

_x5 = _centro_x + 2.0 * (_rad/3.0)


_x6 = _centro_x + 2.0 * (_rad/3.0)


_x7 = _centro_x - 2.0 * (_rad/3.0)


_x8 = _centro_x - 2.0 * (_rad/3.0)


_rad1 = _rad/2

_rad2 = _rad/2

_rad3 = _rad/3

_rad4 = _rad/3

_rad5 = _rad/6

_rad6 = _rad/6

_rad7 = _rad/6

_rad8 = _rad/6

128


command

ball x=_x1 y _y1 rad _rad1








prop dens _dens ks = _s_stiff kn = _n_stiff fric = _tan_fric

end_command

command

range name _Fragmentos circle center _centro_x _centro_y radius _rad

end_command

if _color = 0 then

command

prop _Primera_generacion range _Fragmentos

end_command

end_if

if _color = 1 then

command

prop _Segunda_generacion range _Fragmentos

end_command

end_if

if _color = 2 then

command

prop _Tercera_generacion range _Fragmentos

end_command

end_if

if _color = 3 then

command

129


prop _Cuarta_generacion range _Fragmentos

end_command

end_if

ii = del_ball(_bp)

ii = pre_cycle

end_if

end_if

end_if

_bp = _bnext

end_loop

END

7.2. Anexo B: Codigo Compresion Edometrica

new

set random

set disk on

; ========================= GENERACION MUESTRA =======================

DEF _variables

_dens = 2500.0

_height = 10e-2

_width = 5e-2

_width_ini = 0.0

_height_ini = 0.0

_poros = 0.22

_tot_vol = _height * _width * 1.0

_mult = 1.6

; propiedades bolas

_fric = 35.0

130


_tan_fric = tan(_fric*pi/180.0)

_ball_stiff = 1*10^8

_wall_stiff = 10*_ball_stiff

_n_stiff = _ball_stiff

_s_stiff = _ball_stiff

; propiedades paredes

_w_fric = _fric

_w_tan_fric = tan(_w_fric*pi/180.0)

_w_stiff = _wall_stiff

_w_ntiff = _wall_stiff

END

_variables

DEF _make_walls

command

wall id=1 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (0.0,0.0) (_width,0.0)

wall id=2 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (_width,0.0) (_width,_height)

wall id=3 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (_width,_height) (0.0,_height)

wall id=4 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (0.0,_height) (0.0,0.0)

end_command

END

_make_walls

DEF _make_assembly

_numc = 1

_rad_ini = (0.003) ; radio de las bolas (m)

_numa = int(((1.0 - _poros) * _tot_vol) / (pi * (_rad_ini)^2))

_rad = _rad_ini/(2*_mult)

command

131


gen id=_numc,_numa rad=_rad,_rad x=_width_ini,_width y=_height_ini,_height

prop dens _dens ks 0.0 kn = _n_stiff fric 0.0

end_command

_sum = 0.0

_bp = ball_head


_sum = _sum + pi * b_rad(_bp)^2

_bp = b_next(_bp)

end_loop

_pmeas = 1.0 - _sum/_tot_vol

_mult = sqrt((1.0 - _poros) / (1.0 - _pmeas))

command

ini rad mul _mult

cycle 2000

ini xvel 0 yvel 0 spin 0

cycle 1000

prop ks = _s_stiff fric _tan_fric

wall id=1 ks = _w_stiff fric = _w_tan_fric




end_command

END

_make_assembly

SET grav 0 -9.81

cycle 500

plot create view_1

plot add ball white blue red black

132


plot add wall black id on

plot add cfor lblue lgreen

plot add axes

plot set background white

plot set cap size 30

plot show

; ========================= COMPRESION EDOMETRICA =======================

DEF _applicar_velocidad

while_stepping

_disp_max = 0.2*_height

_num_step = 193000

_vel_wall = -_disp_max/float(_num_step*_time_del)

command

wall id=3 yvel _vel_wall

end_command

END

DEF _do_cycling

_initial_num_step = int(0.75*(_num_step))

command

cycle _initial_num_step

end_command

_curr_disp = 0

_flag_loop = 1

loop while _flag_loop = 1

command

step 200

end_command

_curr_disp = abs(w_y(_wadd3))

if _curr_disp > _disp_max

_flag_loop = 0

end_if

133


end_loop

END

_do_cycling

save @_sav_fname_stage_2

return

7.3. Anexo C: Codigo Compresion Biaxial

new

set random

set disk on

;=================================GENERACION MUESTRA==============================

DEF _variables

_dens = 2500.0

_height = 13e-2

_width = 7e-2

_posx_1 = _width - (_width - 5e-2) / 2

_posx_2 = (_width - 5e-2) / 2

_poros = 0.22

_tot_vol = _height * 5e-2 * 1.0

_mult = 1.6

; propiedades bolas

_fric = 35.0

_tan_fric = tan(_fric*pi/180.0)

_ball_stiff = 1e8

_wall_stiff = 10*_ball_stiff

_n_stiff = _ball_stiff

_s_stiff = _ball_stiff

134


; propiedades paredes

_w_fric = _fric

_w_tan_fric = tan(_w_fric*pi/180.0)

_w_stiff = _wall_stiff

_w_ntiff = _wall_stiff

END

_variables

DEF _make_walls

command

wall id=1 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (0.0,0.0) (_width,0.0)

wall id=2 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (_posx_1,0.0) (_posx_1,_height)

wall id=3 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (_width,_height) (0.0,_height)

wall id=4 kn=_w_ntiff ks=0.0 fric=0.0 nodes (_posx_2,_height) (_posx_2,0.0)

end_command

END

_make_walls

DEF _make_assembly

_numc = 1

_rad_ini = (0.003)

_numa = int(((1.0 - _poros) * _tot_vol) / (pi * (_rad_ini)^2))

_rad = _rad_ini/(2*_mult)

command

gen id=_numc,_numa rad=_rad,_rad x=_posx_2,_posx_1 y=0.0,_height

prop dens _dens ks 0.0 kn = _n_stiff fric 0.0

end_command

_sum = 0.0

_bp = ball_head


_sum = _sum + pi * b_rad(_bp)^2

_bp = b_next(_bp)

end_loop

135


_pmeas = 1.0 - _sum/_tot_vol

_mult = sqrt((1.0 - _poros) / (1.0 - _pmeas))

command

ini rad mul _mult

cycle 3000

ini xvel 0 yvel 0 spin 0

cycle 1000

prop ks = _s_stiff fric _tan_fric

end_command

END

_make_assembly

command

wall id 2 kn=w_stiff

wall id 4 kn=w_stiff

end_command

end

SET grav 0 -9.81

solve


;==========================================COMPRESION BIAXIAL===================

plot create view_1

plot add ball white blue red lgray black

plot add wall red

plot set background white

plot show

DEF get_ssv

xdif = w_x(wadd2) - w_x(wadd4)

ydif = w_y(wadd3) - w_y(wadd1)

136


new_xwidth = 5e-2 + xdif

new_height = 13e-2 + ydif

wsxx = 0.5 * (w_xfob(wadd4) - w_xfob(wadd2)) / (new_height * 1.0)

wsyy = 0.5 * (w_yfob(wadd1) - w_yfob(wadd3)) / (new_xwidth * 1.0)

wexx = 2.0 * xdif / (5e-2 + new_xwidth)

weyy = 2.0 * ydif / (13e-2 + new_height)

wevol = wexx + weyy

END

DEF _e_vacios

_sum = 0

_bp = ball_head


_sum = _sum + pi * b_rad(_bp) ^ 2

_bp = b_next(_bp)

end_loop

_e_vacios = (new_height * new_xwidth - _sum) / (_sum)

END

DEF get_gain

alpha = 0.001

count = 0

avg_stiff = 0

cp = contact_head

loop while cp # null

if c_ball1(cp) = wadd2

count = count + 1

avg_stiff = avg_stiff + c_kn(cp)

end_if


count = count + 1


end_if


count = count + 1

137



end_if


count = count + 1


end_if

cp = c_next(cp)

end_loop

nxcount = count / 2.0

avg_stiff = avg_stiff / count

gx = alpha * (13e-2 * 1.0) / (avg_stiff * nxcount * tdel)

count = 0

avg_stiff = 0

cp = contact_head

loop while cp # null


count = count + 1


end_if


count = count + 1


end_if


count = count + 1


end_if


count = count + 1


end_if

cp = c_next(cp)

end_loop

nycount = count / 2.0

avg_stiff = avg_stiff / count

138


gy = alpha * (5e-2 * 1.0)/ (avg_stiff * nycount * tdel)

DEF servo

while_stepping

get_ss

udx = gx * (wsxx - sxxreq)

w_xvel(wadd4) = udx

w_xvel(wadd2) = -udx

if y_servo = 1

udy = gy * (wsyy - syyreq)

w_yvel(wadd3) = -udy

end_if

END

DEF iterate

loop while 1 # 0

get_gain

if abs((wsxx - sxxreq)/sxxreq) < sig_tol then

if abs((wsyy - syyreq)/syyreq) < sig_tol then

exit

end_if

end_if

command

cycle 20

end_command

end_loop

END

macro zero ’ini xvel 0 yvel 0 spin 0’

DEF _wall_addr

wadd1 = find_wall(1)




END

139


_wall_addr

zero

set dt dscale

SET sxxreq=-10e5 syyreq=-10e5 sig_tol=0.005 y_servo = 1

iterate


return

140

Tesis de Maestr´ıa Estudio de la fracturacion de las part ...

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