Tesis de Grado (Ricardo Lopez) TURBINAS

7/18/2019 Tesis de Grado (Ricardo Lopez) TURBINAS

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TRABAJO ESPECIAL DE GRADO

DISEO DE CAJAS ESPIRALES DE SECCIN CIRCULAR PARATURBINAS HIDRULICAS NORMALIZADAS.

Presentado ante la ilustreUniversidad Central de Venezuela

Por el BachillerLpez S, Ricardo A

Para optar al tituloDe Ingeniero Mecnico

Caracas, 2003


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TRABAJO ESPECIAL DE GRADO

DISEO DE CAJAS ESPIRALES DE SECCIN CIRCULAR PARATURBINAS HIDRULICAS NORMALIZADAS.

Tutor Acadmico: Prof. Dr. Ing. Stefan Zarea.

Presentado ante la ilustreUniversidad Central de Venezuela

Por el BachillerLpez S, Ricardo A

Para optar al tituloDe Ingeniero Mecnico

.

Caracas, 2003


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Lpez S, Ricardo A.

Diseo de cajas espirales de seccin circular para turbinashidrulicas normalizadas.

Tutor acadmico: Prof. Dr. Ing. Stefan Zarea.Tesis, Caracas, UCV. Facultad de Ingeniera, Escuela de Ingeniera MecnicaAo 2003, 98 Pg.

Palabras claves: Caja Espiral, Turbinas hidrulicas, Turbinas Francis, Normalizacinde turbinas.

Resumen: El objetivo principal de este trabajo es realizar un diseo de cajas espiralesde seccin circular para turbinas hidrulicas normalizadas en funcin del nmeroespecfico de revoluciones (nq).

Para lograr el diseo normalizado de turbinas Francis se recurre al criteriopropuesto por el Prof. Stefan Zarea (Q/H1/2=ctte) y se establece el dimetro de descarga

del rodete segn la serie R20 de los nmeros normales (series de Renard). Con dichocriterio se cubri todo el campo de aplicacin de las turbinas Francis entre el rango de20 a 500m de altura para velocidades de giro sincrnicas y arbitrarias, obtenindose 15turbinas para cada valor de dimetro de descarga lo cual conlleva a un numerorelativamente pequeo de turbinas para poder cubrir todo este campo.

El dimensionamiento de los rganos principales de las turbinas Francis se llevana cabo mediante 2 mtodos estadsticos que son: a) Mtodo de dimensionamiento deSiervo y Leva, b) Mtodo de dimensionamiento del Prof. Stefan Zarea. Para ello se usandatos recopilados en trabajos anteriores. Todas estas dimensiones se expresan como el

producto del dimetro caracterstico del rodete y el correspondiente coeficiente quevienen expresados en funcin del nmero especfico de revoluciones nq que es el

parmetro adimensional de mayor uso actualmente.

El mtodo por medio del cual se disea geomtricamente este rgano principales el mtodo geomtrico del Prof. Stefan Zarea, varindose el tipo de espiral y lascondiciones de borde necesarias para definir correctamente la geometra y elcomportamiento mecnico de la caja espiral.

Entre las variables que fueron objeto de estudio en este trabajo se encuentran lasprdidas hidrulicas, esfuerzos, distribucin de velocidades y presiones; obtenindosecomo resultados que las espirales con mejor comportamiento mecnico fueron lasespirales de Galileo, Logartmica y de Arqumedes con condiciones de borde de unarelacin de velocidades de 0,8 para un angulo de 270 para prdidas, velocidades y

presin y condiciones de borde de una relacin de velocidades de 1,0 para un angulo de320para los esfuerzos.


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AGRADECIMIENTOS

Primeramente quisiera expresar mi ms profundo agradecimiento al Profesor

Stefan Zarea por haberme propuesto el tema, suministrado informacin, bibliografa y

guiado en la realizacin de este trabajo, porque sin su ayuda, dedicacin y paciencia el

mismo hubiese sido imposible su culminacin.

A los Profesores Jos Luis Perera por toda su ayuda en los momentos cuando la

necesite, Manuel Martnez por las consultas sobre el Capitulo IV.

A Carolina Caropresse en la edicin de las figuras y diagramacin de este

trabajo, a Leo mi hermano por su ayuda incondicional y por ltimo pero no menos

importante a todos mis amigos y amigas por estar presente y darme animo en los

momentos difciles Ustedes saben quienes son.


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DEDICATORIA

A mi Abuela, Padres y Hermanos.


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TABLA DE CONTENIDO

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION

INDICE DE FIGURAS. ..................................................................................................I

INDICE DE TABLAS. .................................................................................................. II

CAPITULO I: Generalidades sobre turbinas Francis. ............................................... 1

1.1 Descripcin de una turbina Francis. ....................................................................... 1

1.2 Campo de aplicacin de las Turbinas Francis. ....................................................... 5

1.3 Eficiencia de turbinas Francis. ............................................................................... 6

1.4 Cavitacin en turbinas. ........................................................................................... 7

1.5 Formulas usadas en el diseo de turbinas hidrulicas. ........................................... 7

1.5.1 Numero especfico de revoluciones................................................................. 7

1.5.1.1 Numero especfico de revoluciones Ns en funcin de la potencia........... 8

1.5.1.2 Numero especfico de revoluciones en funcin del caudal. ..................... 8

1.5.1.3 Relacin entre el Ns y los especficos de revoluciones en funcin del

caudal.................................................................................................................... 9

1.5.2 Caudal Unitario (Q1I). ..................................................................................... 9

1.5.3 Dimetro unitario (D1I). .................................................................................. 91.5.4 Coeficiente de velocidad perifrica (Ku). ........................................................ 9

CAPITULO II: Normalizacin de Turbinas Francis. ............................................... 10

2.1 Segn el nmero especifico de revoluciones (Ns) y el caudal unitario (Q1I). ...... 10

2.1.1 Eleccin de una turbina normalizada segn el criterio del Ns y el Q1I........ 11

2.2 Segn el nmero especifico de revoluciones (nq) y el dimetro unitario (D1I). ... 12

2.2 Normalizacin segn el criterio Q vs. H1/2=ctte................................................... 13

2.3.1 Seleccin del dimetro caracterstico segn la serie R20............................. 14

2.3.2 Delimitacin del campo Q vs. H para un D3fijo........................................... 15

2.3.3 Delimitacin del campo Q vs. H para frecuencias de 50 y 60 Hz................. 19

2.3.4 Campo Q vs. H para velocidades sincrnicas............................................... 20

2.4 Anlisis de resultados........................................................................................... 22


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TABLA DE CONTENIDO

CAPITULO III: Dimensionamiento de turbinas Francis con mtodos

estadsticos.23

3.1 Mtodo de dimensionamiento de Siervo y Leva. ................................................. 23

3.1.1 Determinacin del nmero especifico de revoluciones................................. 23

3.1.2 Velocidad de embalamiento. ......................................................................... 243.1.3 Altura de Aspiracin...................................................................................... 24

3.2 Mtodo de dimensionamiento del Prof. Stefan Zarea. ......................................... 24

3.3 Relaciones estadsticas para el dimensionamiento de los rganos principales de

las turbinas Francis. .................................................................................................... 25

3.3.1 Actualizacin de los distintos mtodos de dimensionamiento....................... 27

3.3.2 Comparacin de los distintos mtodos de dimensionamiento en base a

mtodos estadsticos. .............................................................................................. 29

3.4 Mtodo Geomtrico del Prof. Stefan Zarea.......................................................... 293.4.1 Condiciones de Borde.................................................................................... 32

3.4.2 Metodologa de clculo para las dimensiones de la caja espiral. ................ 33

3.4.3 Anlisis de resultados.................................................................................... 35

3.5 Dimensiones para la fabricacin de cajas espirales soldadas............................... 36

3.5.1 Metodologa de clculo. ................................................................................ 37

3.5.2 Trazado de un tramo de seccin de la caja espiral....................................... 42

CAPITULO IV: Esfuerzos en la caja espiral............................................................. 434.1 Presin en la caja espiral. ..................................................................................... 43

4.1.1 Seleccin del factor de seguridad.................................................................. 45

4.2 Mtodos de clculos simplificados....................................................................... 45

4.2.1 Mtodo de cilindro de pared delgada. .......................................................... 45

4.2.2 Mtodo de cilindros de Pared gruesa (Lam).............................................. 46

4.2.3 Variacin entre los mtodos de clculo simplificados. ................................. 47

4.3 Calculo de espesores mediante el uso del programa MSC Nastran Versin 4,5.. 48

4.4 Clculos de espesores de pared por fatiga............................................................ 504.4.1 Amplitud del Esfuerzo medio......................................................................... 51

4.4.2 Limite del esfuerzo sometido a fatiga............................................................ 52

4.5. Factores de correccin para el clculo de espesores de pared de la caja espiral.53

4.5.1 Factor de correccin por la forma de la caja espiral (KF) ........................... 53

4.5.2 Factor de correccin por presin (KH). ........................................................ 54


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TABLA DE CONTENIDO

4.5.3. Factor de correccin por mtodo de dimensionamiento (KM). .................... 55

4.5.4 Factor de correccin por el tipo de espiral (KE)........................................... 56

4.6 Espesores de pared corregidos.............................................................................. 56

4.6 Anlisis de Resultados.......................................................................................... 57

CAPITULO V: Perdidas Hidrulicas dentro de la caja espiral............................... 59

5.1 Mtodo de la velocidad constante (Vu=Constante). ............................................. 60

5.1.1 Relacin entre Kcey el nmero especfico de revoluciones (nq)................... 61

5.1.2 Evaluacin de Perdidas hidrulicas segn Osterwalder. ............................. 63

5.2 Mtodo del momento hidrulico central constante (r*Vc=Ctte)........................... 64

5.3 Mtodo del momento hidrulico constante (r*Vu=Ctte). .................................... 66

5.4 Anlisis de Resultados.......................................................................................... 67

CAPITULO VI: Distribucin de velocidades y presiones. ....................................... 70

6.1 Distribucin de Velocidades................................................................................. 70

6.1.1 Mtodo de las lneas de corriente.................................................................. 70

6.1.1.1 Anlisis de resultados. ............................................................................ 74

6.1.2 Mtodo del flujo potencial............................................................................. 74

6.1.2.1 Condiciones de contorno. ....................................................................... 75

6.1.2.2 Solucin con datos empricos. ................................................................ 76

6.1.2.3 Anlisis de resultados. ............................................................................ 81

6.1.4 Comparacin de los mtodos de distribucin de velocidades....................... 84

6.2 Distribucin de Presiones..................................................................................... 84

6.2.1 Anlisis de Resultados................................................................................... 85

CAPITULO VII: Manuales del usuario para el uso de los programas de

computacin. ................................................................................................................. 87

7.1 Programa para el clculo de las dimensiones para el trazado de las secciones de la

caja espiral. ................................................................................................................. 87

7.2 Programa para el clculo de las prdidas hidrulicas........................................... 88

7.3 Programa para el clculo de la distribucin de velocidades y presiones en la caja

espiral. ........................................................................................................................ 90

CONCLUSIONES ........................................................................................................ 93


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TABLA DE CONTENIDO

RECOMENDACIONES .............................................................................................. 94

NOMENCLATURA..................................................................................................... 95

BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................... 96

REFERENCIAS ........................................................................................................... 98

ANEXOS ....................................................................................................................... 99


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INTRODUCCIN

INTRODUCCION

Desde que en el ao 1850 la turbina de reaccin fue desarrollada por el

ingeniero ingles James Bichens Francis1, conocida actualmente como turbina Francis o

turbina de reaccin, el diseo de la misma ha permanecido prcticamente inalterado;consistiendo de un rodete, que tiene un ncleo o cubo, una llanta exterior y varios alabes

dispuestos entre ambos elementos. En los ultimas dcadas debido al aumento de la

demanda de generacin de energa hidroelctrica se ha venido trabajando en mtodos

alternativos de diseo de turbinas, para de esa forma y junto a la investigacin y

desarrollo de nuevos materiales y procesos constructivos se ha logrado el aumento de

la eficiencia y reduccin de los costos de produccin de las mismas.

Las principales centrales hidroelctricas en nuestro pas estn equipadas con

turbinas Francis. En Venezuela existe un gran potencial hidroelctrico no explotado

an. El objetivo de este trabajo junto con otros trabajos guiados por el Profesor Stefan

Zarea consisten en realizar estudios sobre turbinas Francis para que en un futuro poder

producir este tipo de maquinas en nuestro pas y de esa manera colaborar con nuestro

desarrollo tcnico y econmico.

En el presente trabajo se har nfasis en el diseo de cajas espirales sin dejar de

lado algunos criterios de normalizacin de turbinas Francis ya que en los momentos

actuales se recurre a esto para producir turbinas en serie.

El primer capitulo consiste en una revisin bibliogrfica sobre conceptos

bsicos en el rea de las Turbomquinas especficamente lo concerniente a lo que a

turbinas Francis se refiere.

En el Capitulo II se realizo una discusin sobre algunos mtodos para el diseo

de turbinas Francis normalizadas, haciendo nfasis en el criterio del Q/H1/2=ctte, tanto

para velocidades sincrnicas como arbitrarias, en donde se delimita todo el campo de

aplicacin de las turbinas Francis (Q, H) en funcin del numero especifico de

revoluciones para un dimetro de descarga del rodete tanto para velocidades

sincrnicas como arbitrarias.

1James Bichens Francis: Ingeniero Ingls por el cul se le dio el nombre a este tipo de turbinas, noobstante en 1858 se le otorgo la patente de una Turbina Centipeta a Samuel David, pero losperfeccionamientos introducidos por Francis a esta turbina fueron de tal importancia que se le otorgo sunombre.


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INTRODUCCIN

En el Capitulo III se presentan los mtodos de dimensionamiento en base a los

mtodos estadsticos de Siervo y Leva y del Prof. Stefan Zarea, as como una

actualizacin de los mismos teniendo para ello datos mas recientes y un cambio de

Variable para expresar dichas dimensiones en funcin del nmero especifico de

revoluciones (nq, nqw y nqw), en vez del Ns que actualmente ha quedado en desuso.Adems se define el mtodo geomtrico del Prof. Stefan que es el mtodo por el cual se

disean geomtricamente las cajas espirales en este trabajo, luego se desarrollo una

metodologa sencilla para el trazado de los tramos de las cajas espirales soldadas ya que

es la forma mas viable y econmica de fabricacin para turbinas de gran potencia.

En el Capitulo IV se dimensionan los espesores de pared de las cajas espirales

normalizadas bajo el criterio Q/H1/2=Ctte para los dos materiales mas usados en la

fabricacin de las cajas espirales y los distintos tipos de espirales y condiciones de

borde descritas en el Capitulo III. Dicho dimensionamiento se realiza tanto encondiciones estticas como por fatiga, haciendo uso para ello de algunos modelos

tericos y mediante el software MSC NASTRAN versin 4.5, que es un programa de

clculo de esfuerzos que trabaja con el mtodo de los elementos finitos.

En los Captulos V y VI se realiza un estudio bidimensional de la distribucin

de velocidades, presiones y perdidas hidrulicas dentro de la caja espiral, sabiendo que

esto parmetros son de vital importancia al momento del diseo de cajas espirales, y de

esa manera conocer la influencia del tipo de espiral y las condiciones de borde en el

comportamiento hidrulico y mecnico de la misma.


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INDICE DE FIGURAS I

INDICE DE FIGURAS.Figura 1. 1 Tipos actuales de turbinas. ............................................................................. 1

Figura 1. 2 Corte con un plano radial de una turbina Francis. ......................................... 2

Figura 1. 3 Caja espiral..................................................................................................... 3

Figura 1. 4 Distribuidor Fink............................................................................................ 3

Figura 1. 5 Variacin en la forma del rodete.................................................................... 4

Figura 1. 6 Tubo de aspiracin: a)Troncnico, b) Acodado............................................. 5

Figura 1. 7 Campo de aplicacin de las turbinas hirulicas segn Esher- Wyss.............. 6

Figura 1. 8 Diagrama de concha de una turbina a reaccin.............................................. 6

Figura 1. 9 Curvas de eficiencia constante para distintos tipos de turbinas hidrulicas... 7

Figura 2. 1 Normalizacin de turbinas Francis por el criterio Ns y Q1I.....10

Figura 2. 2 Normalizacin de turbinas Francis por el criterio nqy D1I. ......................... 12

Figura 2. 3 Delimitacin del campo Q vs. H bajo el criterio Q/H1/2=Ctte. .................... 15

Figura 3. 1 Dimensiones principales del rodete..25

Figura 3. 2 Dimensiones principales de la caja espiral................................................... 25

Figura 3. 3 Dimensiones principales del tubo de aspiracin.......................................... 26

Figura 3. 4 Seccin de la caja espiral. ............................................................................ 31

Figura 3. 5 Condiciones de borde para el mtodo geomtrico del Prof. Stefan Zarea... 33

Figura 3. 6 Caja espiral soldada. .................................................................................... 37

Figura 3. 7 Isometra de virola de bocas circulares y eje oblicuo. ................................. 38Figura 3. 8 Vista lateral y superior de una virola de bocas circulares y eje oblicuo. ..... 39

Figura 3. 9 Vista lateral de la seccin principal de una seccin de la caja espiral. ........ 41

Figura 3. 10 Trazo de un tramo de seccin para cajas espirales soldadas...................... 42

Figura 4. 1 Localizacin de la altura media de una serie de turbinas..........43

Figura 4. 2 Series de turbinas segn criterio Q/H1/2=Ctte. ............................................. 44

Figura 4. 3Restricciones de la caja espiral en la zona del predistribuidor y seccin de

entrada. ................................................................................................................... 49

Figura 4. 4Restricciones de la caja espiral en la zona del predistribuidor y la seccinultima. ..................................................................................................................... 49

Figura 4. 5 Caja espiral simulada en MSC Nastran V4.5............................................... 50

Figura 4. 6Linea de Soderberg. ...................................................................................... 51

Figura 4. 7 Amplitud del esfuerzo medio....................................................................... 52

Figura 5. 1 Tamao del elemento diferencial para el clculo de prdidas hidrulicas... 60


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INDICE DE FIGURAS

Figura 5. 2 Dimensiones de seccin de la caja espiral segn Osterwalder. ................... 60

Figura 5. 3 Relacin entre el area de secciun transversal y el dimetro de seccin..... 63

Figura 5. 4 Prdida hidrulicas en la caja espiral de turbinas Francis

(suponiendo a=0,8; f=0,0015). ............................................................................... 64

Figura 5. 5 Dimetros de la caja espiral para perdidas de acuerdo con la figura 5.4. .... 64Figura 6. 1 Mtodo de las lineas de corriente..71

Figura 6. 2 Angulo entre las componentes de la velocidad............................................ 74

Figura 6. 3 Superficies de control................................................................................... 75

Figura 6. 4 Modelo experimental del Dr.. Athanassiadis Espiral Logaritmica. ............. 77

Figura 6. 5 Modelo experimental del Dr. Athanassiadis Espiral de Arquimides. .......... 78

Figura 6. 6 Distribucin de velocidades......................................................................... 80


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INDICE DE TABLAS II

INDICE DE TABLAS.

Taba 2. 1 Valores de D3segn la serie R20 de los nmeros normales. ......................... 14

Taba 2. 2 Rangos de nq necesarios para cubrir el campo Q vs. H ................................. 16

Taba 2. 3 Velocidades de giro sincrnicas. .................................................................... 20

Tabla 3. 1 Coeficientes de las formulas de Siervo y Leva .27

Tabla 3. 2 Coeficientes del mtodo de dimensionamiento del Prof. Stefan Zarea......... 27

Tabla 3. 3Ventajas y desventajas entre los mtodos de dimensionamiento. .................. 29

Tabla 4. 1 Presin en la caja espiral44

Tabla 4. 2 Presin en la caja espiral (corregida)............................................................. 45

Tabla 4. 3 Espesores de Pared adimensionales (t*) para el acero. ................................. 47

Tabla 4. 4 Formulas de clculo para el espesor de la caja espiral segn programa ....... 49

Tabla 4. 5 Factor de correccin por la forma de la caja espiral...................................... 53

Tabla 4. 6 Factor de correccin por presin (KH)........................................................... 54

Tabla 4. 7 Factor de correccin por mtodo de dimensionamiento (KM)....................... 55

Tabla 4. 8Factor de correccin por tipo de espiral (KE). ................................................ 56

Tabla 5. 1 Valores promedio del coeficiente de prdidas69


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CAPITULO I 1

CAPITULO I: Generalidades sobre turbinas Francis.

Existen dos tipos de turbinas, las de reaccin y las de accin. Las turbinas de

reaccin utilizan tanto la energa de presin como la energa cintica del fluido; la

conversin de energa ocurre en un espacio encerrado a presiones mayores que laatmosfrica, mientras que las turbinas de accin requieren que la energa de flujo del

liquido se convierta en energa cintica por medio de una tobera antes de que el flujo

interacte con la rueda.

En la actualidad prcticamente los nicos tipos de turbinas hidrulicas son las

que aparecen en el cuadro siguiente:

Figura 1. 1 Tipos actuales de turbinas.

Ver bibliografa [10].

1.1 Descripcin de una turbina Francis.

La turbina Francis es la ms conveniente para plantas hidroelctricas para alturas

de salto de agua en el rango de 25 a 400 m, teniendo una eficiencia entre el 90 y 94%para grandes instalaciones. La aplicacin de este tipo de turbinas esta comprendido

entre valores de nmero especifico de revoluciones Ns de 60 a 400.

Todas las turbinas Francis consisten de los mismos rganos principales que son

los siguientes: El rodete que es el mas importante de ellos (al igual que en cualquier

turbomquina), y los dems rganos que son construidos en torno a el tales como, la

caja espiral, distribuidor, predistribuidor y tubo de aspiracin.

En la figura 1.2 se puede observar los siguientes elementos.

1- Caja espiral.2- Distribuidor.

3- Rodete.

4- Codo de entrada en el tubo de aspiracin.

5- Nivel del agua en la galera de fuga.

S- Seccin de salida del tubo de aspiracin.


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CAPITULO I 2

Figura 1. 2 Corte con un plano radial de una turbina Francis.


A continuacin se har un breve comentario sobre los elementos constitutivos

ms importantes en las turbinas Francis.

1-Caja Espiral: la caja espiral es un rgano que se encuentra en todas las turbinas

hidrulicas de reaccin. Las dos funciones principales de este elemento son:

a) Distribuir el agua por toda la periferia del rodete a travs de un rgano fijo

llamado predistribuidor y de rgano mvil llamado distribuidor

b) Transformar parte de la energa de presin del fluido en energa cintica.

Segn las dimensiones se construye de acero colado, fundicin, chapa roblonada u

hormign armado (solo o blindado con chapa).


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CAPITULO I 3

Figura 1. 3 Caja espiral.Ver bibliografa [16].

2-Predistribuidor:este es un rgano esencial en las turbinas Francis ya que el mismo

cumple con la funcin de rigidizar la caja espiral.

3-Distribuidor:el distribuidor Fink es el ms corriente en todas las turbinas hidrulicas

de reaccin. Consta de dos bielas o brazos robustos, movido por uno o varios

servomotores de aceite que hacen girar al anillo donde pivota un extremo de las bielas,

las cuales a su vez hacen girar a unos fijos que pivotan en torno a un eje fijo. Las

funciones del distribuidor Fink son:

a) Crea el campo de velocidades ms favorables en toda la periferia de entrada del

rodete.

b) Regular el caudal y con el la potencia.

c) Cerrar a la turbina en la parada y en caso de anulacin de la carga, para evitar el

embalamiento.

Figura 1. 4 Distribuidor Fink.



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CAPITULO I 4

4- Rodete: el rodete es el elemento principal de una turbina ya que en el es donde

ocurre la transformacin de la energa hidrulica que trae el fluido en energa mecnica.

El rodete esta conformado por dos coronas entre las cuales se encuentran los

alabes. Por lo general los alabes se fabrican en plancha de acero y se encuentran fijadas

a las coronas del rodete.La forma del rodete varia en funcin del numero especifico de revoluciones para

cual se disee el mismo (ver figura 1.5). En las turbinas Francis el campo de aplicacin

de las mismas es entre 60Ns 400, aunque existen diseos para Ns de hasta 600 pero

los mismos no son muy frecuentes.

Figura 1. 5 Variacin en la forma del rodete.


5- Tubo de Aspiracin:es el rgano de desage, pero se le da el nombre de tubo de

aspiracin porque crea una aspiracin depresin a la salida del rodete. El tubo de

aspiracin tiene tres funciones primordiales que son:

a) Conducir la corriente ordenadamente despus de haber cedido su energa en el

rodete de la turbina hasta el canal de salida.

b) Recuperar la altura esttica de aspiracin.

c) Recuperar la altura dinmica de la corriente a la salida del rodete.


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CAPITULO I 5

Figura 1. 6 Tubo de aspiracin: a) Troncnico, b) Acodado.


1.2 Campo de aplicacin de las Turbinas Francis.

En la actualidad las turbinas Francis es la turbina hidrulica ms frecuente

utilizada en centrales hidroelctricas, ya que esta cubre la gama de alturas netas y

potenciales ms usuales.

Los saltos naturales se caracterizan por un caudal y una altura de salto

determinadas, estas dos variables (Q y H) se han llevado a distintos grficos como por

ejemplo el grfico realizado por la firma Escher Wyss, (figura 1.7), en donde se observa

claramente que las turbinas Francis cubren gran parte del campo Q vs. H.


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CAPITULO I 6

Figura 1. 7 Campo de aplicacin de las turbinas hidrulicas segn Esher- Wyss.

1.3 Eficiencia de turbinas Francis.

La eficiencia en turbinas Francis depende de los siguientes factores principales:

a) Prdidas de carga por friccin y prdidas de carga en el tubo de aspiracin.

b) Separacin por falta de coincidencia entre el angulo de entrada del flujo y el angulo

de los alabes.

c) Necesidad de alcanzar cierta velocidad de la turbina antes de obtener una salida depotencia til.

d) Prdidas mecnicas atribuidas a sellos, cojinetes y dems.

Figura 1. 8 Diagrama de concha de una turbina a reaccin.



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CAPITULO I 7

Figura 1. 9 Curvas de eficiencia constante para distintos tipos de turbinas hidrulicas.


1.4 Cavitacin en turbinas.

En las turbinas hidrulicas a reaccin aparece la cavitacin en las zonas donde la

presin es menor o igual a la presin de vaporizacin del agua en las condiciones de

operacin. La aparicin de la cavitacin est correlacionada con la altura de diseo,

altura geomtrica de colocacin de la turbina respecto al nivel del agua canal (galera)

de descarga y la presin atmosfrica. Estas tres magnitudes permiten definir elcoeficiente externo de cavitacin llamado tambin coeficiente de Thoma.

El coeficiente interno de cavitacin i se expresa en funcin de la velocidad

especifica y cuando estos dos coeficientes son iguales aparece la cavitacin.

H

hH catm= (1.1)

Donde:

: Coeficiente de Cavitacin o de Thoma.

Hatm: presin atmosfrica (m)hc: Altura de colocacin de la turbina respecto al nivel del agua en el canal de fuga.

H: Altura de diseo de la turbina.

1.5 Formulas usadas en el diseo de turbinas hidrulicas.

1.5.1 Numero especfico de revoluciones.

El nmero especifico de revoluciones introducido por primera vez por Kramerer,

ha adquirido un uso extenssimo en el estudio de turbomquinas hidrulicas, y

constituye el parmetro ms significativo en el estudio de turbinas.

Para una turbina, el nmero especfico de revoluciones es un parmetro

asociado a una familia dada de turbinas que operan con eficiencia mxima. Este

parmetro tiene varias formas, algunas; en funcin de la potencia o el caudal:


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CAPITULO I 8

1.5.1.1 Numero especfico de revoluciones Ns en funcin de la potencia.El nmero especfico de revoluciones Ns se define, para turbinas, como la

velocidad a la que deber girar el eje de la turbina, para suministrar al eje una potencia

de 1Kw, en un salto de 1 m, con ptimo rendimiento, segn lo antes dicho el Ns se

expresa matemticamente como:

4/5H

PnNs= (1.2)

Donde:

n: Velocidad de giro (r.p.m.).

P: Potencia suministrada al eje (Kw).

H: salto de agua (m).

1.5.1.2 Numero especfico de revoluciones en funcin del caudal.

En este caso en vez de expresar el numero especifico de revoluciones en funcin

de la potencia, se realiza en funcin de caudal, lo cual trae como ventaja principal que

no depende de la eficiencia, este parmetro tiene varias formas, dependiendo de las

unidades en que se trabajen, y se define como la velocidad a la que gira el eje de la

turbina para un caudal de 1 m3/s y un salto de 1 m.

A continuacin presentaremos algunas de las formas de este parmetro, segn

sean las unidades en que se trabajen:

4/3H

Qn

nq = (1.3)

( ) 4/3gH

Qwnqw = (1.4)

( ) 4/3

2gH

Qw

n qw= (1.5)

Donde:

n: Velocidad de giro en r.p.m.w: Velocidad de giro en rad/s.

g: Constante de gravedad.

H: salto de agua en m.

Q: Caudal en m3/s.


23/243

CAPITULO I 9

1.5.1.3 Relacin entre el Ns y los especficos de revoluciones en funcindel caudal.

Si asumimos que todas las turbinas poseen una eficiencia del 90%, se demuestra

fcilmente que:

qnNs = 9731,2 (1.6)

qwnNs = 281,157 (1.7)838,468 qwnNs = (1.8)

1.5.2 Caudal Unitario (Q1I).

Se define como el caudal consumido por un rodete de dimetro caracterstico de

1 metro, a plena admisin y con una altura de salto de 1 metro, matemticamente este

nmero se escribe de la manera siguiente:

gHD

Q

Q I 221 = (1.9)

Donde:

Q, D, H: Son el caudal, dimetro caracterstico y altura de salto de una turbina

semejante respectivamente.

1.5.3 Dimetro unitario (D1I).

Entre los rodetes de una serie de turbinas determinada siempre existe de tamao

de 1 m de salto a plena admisin que trabaja con 1 m 3/s. Este dimetro as como el

nmero especifico de revoluciones nq, pueden servir como constantes caractersticas de

una serie de turbinas, la expresin matemtica de este parmetro se escribe de la

siguiente forma:

Q

DD I

11 = (1.10)

1.5.4 Coeficiente de velocidad perifrica (Ku).

Se denomina al coeficiente de velocidad perifrica a la relacin de cualquier

velocidad entre ( gH2 ).Conocido tambin como coeficiente de forma, debido a que

dicho coeficiente vale aproximadamente 0,47 para turbinas de carga alta como la Pelton

y valores de 2,5 para turbinas de carga baja como Kaplan. Su expresin matemtica es:

H

Dnx

gH

UKu

==

21018,1

2 (1.11)


24/243

CAPITULO II 10

CAPITULO II: Normalizacin de Turbinas Francis.

Debido a que las turbinas Francis abarcan un amplio rango del campo de caudal

versus altura (Q vs. H), se recurre a la normalizacin de turbinas a manera de cubrir

dicho campo con un numero relativamente pequeo de turbinas, ya que en casocontrario el numero de turbinas necesarias para cubrir todo el campo seria demasiado

grande. Dicha normalizacin permite producir turbinas en serie y de esa manera se

reducen los costos de produccin y fabricacin de las mismas.

En el presente capitulo se presentan varios mtodos de normalizacin de turbinas

Francis, haciendo nfasis en el criterio de normalizacin Q vs. H1/2=ctte.

Entre los mtodos de normalizacin que se har referencia en este capitulo se

encuentran los siguientes:

a) Segn el nmero especfico de revoluciones (Ns) y el caudal unitario (Q1I).

b) Segn el nmero especfico de revoluciones (nq) y el dimetro unitario (D1I).

c) Segn el criterio de Q/H1/2=ctte.

Figura 2. 1 Normalizacin de turbinas Francis por el criterio Ns y Q1I.


2.1 Segn el nmero especifico de revoluciones (Ns) y el caudal

unitario (Q1I).

En el grafico 2.1 se muestra un ejemplo de este criterio de normalizacin. En dicho

grafico se han establecido 10 series de turbinas. (ver referencia 1)


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CAPITULO II 11

Debido a que se han establecido como valores representativos el numero

especifico de revoluciones (Ns) y el caudal unitario (Q1I), en cada una de las series de

turbinas se debe cumplir que tanto el numero especifico de revoluciones (Ns) y el caudal

unitario (Q1I) deben permanecer constantes, por tanto se han establecido los valores

medios de tales valores en cada una de las series.Para decidir cuantas series de turbinas sern elegidas se toman en cuenta hasta

donde se debe bajar la eficiencia de las turbinas en cada una de las series, por lo tanto

se tiene que por mas divisiones que se tengan, mayor ser la eficiencia de cada una de

las series pero en consecuencia se tendr mayor numero de formas de rodetes.

2.1.1 Eleccin de una turbina normalizada segn el criterio del Ns y

el Q1I.

Para la eleccin de una turbina normalizada segn este criterio se procede de lamanera siguiente:

Dados una altura (H) y un caudal mximo Q y asumiendo una eficiencia se

puede calcular la potencia de la turbina mediante la ecuacin siguiente:

= HQP (2.1)

Donde:

P: Potencia a plena carga.

Q: Caudal de diseo.

H: Altura neta de diseo.

: Peso especifico del agua (9810 N/m3).

: Eficiencia de la turbina.

Luego de calcular la potencia se debe considerar si la velocidad de giro de la

turbina ser sincrnica o arbitraria:

a) Si la velocidad de giro es sincrnica primero se debe asumir una velocidad de

giro sincrnica y luego se calcula el numero especifico de revoluciones (Ns) por

medio de la ecuacin (1.2), posteriormente se entra a la grafica (2.1) con dichovalor y se obtiene el valor de caudal unitario (Q1I) correspondiente y

seguidamente se calcula el dimetro caracterstico D1mediante la ecuacin (ver

referencia 1):

2/11

4/1

2/1

1IQH

QD

= (2.2)


26/243

CAPITULO II 12

b) Para velocidades de giro arbitrarias primero se elige una serie del grafico (2.1)

obteniendo as un valor delNs y de Q1I, luego con la ecuacin 2.2 se obtiene el

dimetroD1y con la siguiente ecuacin se calcula la velocidad de giro:

2/1

4/5

P

NHn s

= (2.3)

2.2 Segn el nmero especifico de revoluciones (nq) y el

dimetro unitario (D1I).

Figura 2. 2 Normalizacin de turbinas Francis por el criterio nqy D1I.

Ver bibliografa[17].

Ya que tanto el numero especifico de revoluciones nqy el dimetro unitario son

constantes caractersticas para turbinas Francis, ambos pueden ser usados para la

normalizacin de las mismas.

En la figura (2.2) se muestra un ejemplo de este criterio de normalizacin, este

criterio tiene la ventaja de que es independiente de la potencia y en consecuencia de la

eficiencia de la turbina.

Para la seleccin de una turbina mediante este mtodo se procede de la manera

siguiente:

1. Se calcula el nmero especfico de revoluciones mediante la ecuacin (1.3).

2. Se debe decidir si las r.p.m. sern sincrnicas o arbitrarias.


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CAPITULO II 13

3. Una vez decidido si la velocidad es sincrnica o arbitraria se procede igual que

el criterio delNsy Q1Ipero se entra esta vez en la figura (2.2).

2.2 Normalizacin segn el criterio Q vs. H1/2=ctte.

Este criterio surge a partir de la definicin del nmero especifico derevoluciones en cualquiera de sus formas, en este caso se har el desarrollo para el

nq, y al final de est seccin se escribirn las ecuaciones para las dems formas de

este parmetro. Partiendo de la definicin del nmero especifico de revoluciones nq.

4/3H

Qnnq = (2.4)

y del coeficiente de velocidad perifrica que permite despejar la velocidad de

rotacin ( n ) de la siguiente forma:

3D

HKn= (2.5)

Donde

K=84,5.Ku.

Ku: Coeficiente de velocidad perifrica (ver Capitulo I)

D3: Dimetro de descarga del rodete.

n : velocidad de rotacin de la turbina en r.p.m.

Sustituyendo (2.5) en (2.4) se tiene que:

2/1

2/13

=

H

Q

D

Knq (2.6)

Realizando todo el procedimiento anterior pero partiendo de las definiciones del

nqwy del nqwse obtienen las siguientes ecuaciones en funcin de dichos parmetros:

2/1

34/330

=

H

Q

Dg

Knqw

(2.6.a)

( ) 2/12/14/3

3

2/12/1

60

2

=

H

Q

gD

Kn qw

(2.6.b)

De la ecuacin (2.6) y por consiguiente tambin las ecuaciones (2.6.a) y (2.6.b),

se puede deducir que al fijar un valor del dimetro de descarga del rodete y eficiencia

para un par de valores de caudal y altura, se esta definiendo un numero de revoluciones

especificas que corresponde a las dimensiones de una turbina dada.


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CAPITULO II 14

Por tal motivo se puede concluir que la turbina estar en condiciones de operar

en todas las condiciones de caudal y altura que cumpla con la siguiente relacin:

CtteK

Dn

H

Q

u

q=

=

2

3

2/1 5,84 (2.7)

Si se sustituye el valor deKupor la formula del profesor Stefan Zarea para el

valor deKumaximo(ver Capitulo III) resulta:

Ctten

Dn

H

Q

q

q=

=

2

5,0

3

2/1 068,05,84

. (2.7.a)

Como se observa la ecuacin anterior no es mas que el despeje de la relacin

caudal versus altura de la ecuacin (2.6), por lo tanto si se quiere hallar dicha relacin

en funcin de las otros dos formas del numero especifico de revoluciones (nqwy nqw)

solo se despeja tal relacin de las ecuaciones (2.6.a) (2.6.b) segn sea la necesidad.La ecuacin (2.7) al ser dependiente del dimetro de descarga del rodete, se

podr delimitar el campo Qvs. Hpara un dimetro D3, a continuacin se explicar el

procedimiento para tal fin.

2.3.1 Seleccin del dimetro caracterstico segn la serie R20.

Las series de nmeros normales o series de Renard , son progresiones

geomtricas cuyas razones son: 101/5, 101/10, 101/20, 101/40y 101/80; a estas series se le

designan abreviadamente R5, R10, R20, R40 y R80. A sugerencia del Prof. StefanZarea, para fijar los valores de los dimetros de descarga del rodete se usar la serie

R20 de los nmeros normales, ya que esta serie proporciona un nmero adecuado de

valores para el dimetro de manera de poder cubrir todo gran mayora del campo

Qvs.H.

En la siguiente tabla se presentan los valores del dimetro de descarga del rodete

seleccionados en base a la serie R20. (la serie R20 base tiene los mismos valores

que los dimetros seleccionados del 1,00 hasta 9,00).

Taba 2. 1 Valores de D3segn la serie R20 de los nmeros normales.

Dimetros de descarga del rodete seleccionados (m)0,18 0,20 0,224 0,25 0,28 0,315 0,3550,40 0,45 0,50 0,56 0,63 0,71 0,800,90 1,00 1,12 1,25 1,40 1,60 1,802,00 2,24 2,50 2,80 3,15 3,55 4,004,50 5,00 5,60 6,30 7,10 8,00 9,00


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CAPITULO II 15

2.3.2 Delimitacin del campo Q vs. H para un D3fijo.

En base a resultados experimentales y estadsticos, el Prof. Stefan Zarea, en

estudios previos, ha comprobado que una turbina Francis puede operar, con buena

eficiencia, en un rango de altura de un 25% por arriba y un 35% por debajo de la altura

neta de diseo, por lo tanto se cumple la siguiente relacin:

92,1.65,0

.25,1

min

==H

H

H

Hmx (2.8)

En los trabajos especiales de grado [5], [8] guiados por el Prof. Stefan Zarea se

ha desarrollado una metodologa de delimitacin del campo de utilizacin de turbinas

Francis normalizadas utilizando la ecuacin que relaciona el numero especifico de

revoluciones con la altura desarrollada por Siervo y Leva, tanto para la altura mxima

como para la mnima, y realizando dicho cociente se tiene que:

66,0.. 625,0

min

max

2

1=

=

HKHK

nn

q

q (2.9)

Ya una vez fijado el dimetroD3y el numero especifico de revoluciones, valor

al cul llamaremos nq1, se procede a calcular la relacin Q/H1/2con (2.7).

12/1Ctte

H

Q=

Luego con (2.9) se calcula el otro valor del nmero especfico de revoluciones,

para luego nuevamente con la ecuacin (2.7) se procede a calcular la nueva relacin:

22/1 CtteH

Q=

Figura 2. 3 Delimitacin del campo Q vs. H bajo el criterio Q/H1/2=Ctte.

Con estas dos relaciones se puede dibujar el campo de aplicacin de esta turbina

que operar entre esos dos valores de nq, faltando solamente la altura mxima y mnima


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CAPITULO II 16

en donde operar dicha turbina. Para obtener dichos valores de alturas se recurre

nuevamente a las ecuaciones de Siervo y Leva.

6,1

2min

840,995

=

qnH

Ntese que esta manera ya queda cubierto el campo de aplicacin para unaturbina Francis para un dimetro de descarga fijo que opere entre dos valores de n q, por

lo tanto falta saber las dems turbinas que pueden operar en los otros campo (dems

valores de nq) que estn dentro del campo de aplicacin de las turbinas Francis, para eso

se usar la ecuacin (2.9) y se dividir todo el campo Q vs. H para todos los posibles

valores de nq, En la siguiente tabla se presentan tales valores del nmero especfico de

revoluciones.

Taba 2. 2 Rangos de nq necesarios para cubrir el campo Q vs. H

Numeroespecficode Rev.

Rango

nq 20 30 45,5 68,2 102,3 150nqw 0,38 0,57 0,855 1,275 1,9125 2,8nqw 0,12 0,18 0,27 0,41 0,64 0,96

En los grficos (2.1.a) al (2.35.b) se presenta la delimitacin del campo Q vs. H

para turbinas normalizadas segn el criterio de de Q/H1/2=ctte, usando para ello las

formulas de dimensionamiento medio del Prof. Stefan Zarea, para un dimetro de

descarga de rodete fijo de 1,00 m, seleccionado segn la serie R20 de los nmeros

normales (series de Renard), teniendo 5 turbinas normalizadas para valor de dimetro de

rodete, lo cul da un numero relativamente pequeo de turbinas para cubrir todo el

campo, influyendo satisfactoriamente en la produccin turbinas en serie, en donde el

costo de las mismas ser menor. Sin embargo en los grficos (2.36), se nota claramente

que los dimetros de descarga seleccionados cubren todo el campo Q vs. H excepto en

algunas zonas de la ultima serie de turbinas. Para cubrir estas zonas se debe crear series

de turbinas con los valores proporcionadas por las formulas de dimensionamiento del

Prof. Stefan Zarea para el coeficiente de velocidad perifrica (Ku) mximo o mnimo,segn sea el requerimiento (grfica 2.36.I).

A continuacin se presentar un ejemplo de una normalizacin de turbinas por

este criterio para un dimetro de 1,00 m.


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CAPITULO II 17

Grfico 2.16.a

Delimitacin del campo Q vs. H

Para 120 m H 570 m y D3=1,00m

Mtodo de dimensionamiento Zarea medio

120

170

220

270

320

370

420

470

520

570

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Q (m3/s)

H (m)

nq=20

nq=30

nq=45,5

Grfico 2.16.b


Para 15 m H 150 m y D3=1,00m

Mtodo de dimensionamiento Zarea medio

15

35

55

75

95

115

135

6 7 8 9 10 11 12 13 14

Q (m3/s)

H (m)

nq=150

nq=102,3

nq=68,2

nq=45,5


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CAPITULO II 18

Grfico 2.36.iDelimitacin del campo Q vs. H

Para 100m H 570m y D3=1,00m

Comparacin de mtodos de dimensionamiento

Siervo y Leva y Zarea

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Q (m3/s)

H (m)

Siervo y Leva Zarea mximo Zarea medio Zarea mnimo Serie18


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CAPITULO II 19

Grfico 2.36.j


Para 0m H 200m y D3=1,00m

Comparacin de mtodos de dimensionamiento

Siervo y Leva y Zarea

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Q (m3/s)

H (m)

Siervo y Leva Zarea mximo Zarea medio Zarea mnimo

2.3.3 Delimitacin del campo Q vs. H para frecuencias de 50 y 60 Hz.

Generalmente las turbinas hidrulicas se emplean para mover generadores

elctricos sincrnicos, a los que se acoplan rgidamente sobre un mismo eje. La

velocidad de giro es determinada por las condiciones hidrulicas, de acuerdo con la

carga y el caudal, pero es preciso hacer el reajuste final teniendo en cuenta ciertas

condiciones elctricas. El generador sincrnico es una mquina de corriente alterna

excitada por corriente directa, existiendo una relacin entre la frecuencia de la corrientey la velocidad de giro de la mquina, que da el nmero de pares de polos del generador,

tal relacin viene dada por la siguiente expresin:

p

fn

.60= (2.10)

Donde:

n: Revoluciones a la que gira la turbina (r.p.m).

p: Pares de polos del generador.

f: Frecuencia de la corriente (Hz).

El nmero de pares de polos suele variar de 1 a 48 (2 a 96 polos), siendo 3600

r.p.m. la mxima velocidad de giro. Las turbinas hidrulicas giran a velocidades ms

bajas, variando entre 72 y 600 r.p.m. aproximadamente para mquinas modernas.

Los nmeros de pares de polos seleccionados son los siguientes:

De 1 a 10 con incrementos de 1.


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CAPITULO II 20



De lo antes dicho y junto con la ecuacin (2.10) se obtienen todas las posibles

velocidades a la que pueden girar las turbinas normalizadas, tales resultados se

presentan en la tabla siguiente tanto para 50 y 60 Hz de frecuencia.

Taba 2. 3 Velocidades de giro sincrnicas.

Velocidad de giro (r.p.m.)Numero de paresde polos 50 Hz 60 Hz

1 3000 36002 1500 18003 1000 12004 750 9005 600 7206 500 6007 428,57 514,29

8 375 4509 333,33 40010 300 36012 250 30014 214,29 257,1416 187,5 22518 166,67 20020 150 18022 136,36 163,6424 125 15026 115,38 138,4628 107,14 128,5730 100 120

32 93,75 112,536 83,33 10040 75 9044 68,18 81,8248 62,50 75

2.3.4 Campo Q vs. H para velocidades sincrnicas.

Para hallar el campo para este tipo de turbinas se parte de la definicin del

nmero especfico de revoluciones (ecuacin 1.3), y adems recordando la relacin que

existe entre el nmero especfico de revoluciones y la altura proporcionada por Siervo y

Leva, donde:

625,0= HKnq (2.11)

Combinando ahora la ecuacin anterior con la definicin del nmero especfico

de revoluciones (nq), la relacin caudal versus altura teniendo como parmetro la

velocidad de giro ser:


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CAPITULO II 21

48

QK

nH

= (2.12)

La constante que aparece en la ecuacin anterior varia segn Siervo y Leva entre

995,8402 y 1167,815, para este caso se usar el valor de 1167,815 ya que este valor

representa el valor para las turbinas construidas ms recientemente, por lo tanto laecuacin (2.12) queda como:

4

8

815,1167Q

nH

= (2.13)

Como se puede ver el campo Q vs. H est definida por la velocidad de giro de la

turbina (r.p.m.), por lo tanto se define el campo manteniendo las r.p.m. constante segn

la tabla tanto para las frecuencias de 50 y 60 Hz, y se tomar 500m como el valor limite

para la altura debido que hasta ese valor es que una turbina Francis puede operar

satisfactoriamente.

Grfico 2.37.a

Delimitacin del campo Q Vs H para

Velocidades de giro sincrnicas (50 Hz)

para 0 m3/s Q 10 m

3/s

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q (m3/s)

H(m)

3000 rpm 1500 rpm

1000 rpm

750 rpm

600 rpm


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CAPITULO II 22

Grfico 2.38.f

Delimitacin del campo Q Vs H para

Velocidades de giro sincrnicas (60 Hz)

para 400 m3/s Q 1200 m

3/s

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Q (m

3

/s)

H(m)

120 rpm

112,5 rpm 81,82 rpm

75 rpm

90 rpm

100 rpm

2.4 Anlisis de resultados.

En las grficas (2.37.a) a la (2.38.f) se representan el dominio para 50 Hz y 60 Hz

respectivamente.

En los grficos antes mencionados se observa que al momento de seleccionar la

velocidad de rotacin de la turbina normalizada, es mas conveniente escoger el valor de

las r.p.m. a la derecha del punto de operacin por razones de Cavitacin, ya que almovernos de izquierda a derecha la altura de colocacin disminuye, influyendo esto de

manera importante para la presencia de la Cavitacin., (ver Referencia 2).


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CAPITULO III 23

CAPITULO III: Dimensionamiento de turbinas Francis

con mtodos estadsticos.

En los ltimos aos se ha venido trabajando en mtodos alternativos de diseo

en turbinas Francis, tomando como referencia la informacin suministrada por otras

turbinas instaladas alrededor del mundo.

Entre los diversos trabajos de investigacin que han sido realizados con este

objetivo y sern mencionados en este trabajo se encuentran los siguientes.

a) Mtodo de dimensionamiento de Siervo y Leva.

b) Mtodo de dimensionamiento del Profesor Stefan Zarea.

3.1 Mtodo de dimensionamiento de Siervo y Leva.

Este mtodo fue desarrollado por dos investigadores, cuyos nombres son F de

Siervo y F de Leva, razn por la cul este mtodo lleva sus nombres.

Este mtodo de dimensionamiento de turbinas se efectu recopilando

informacin entre los aos 1960-1975 de turbinas Francis instaladas alrededor de todo

el mundo, haciendo nfasis en las turbinas de grandes centrales hidroelctricas debido al

incremento de la demanda en la generacin de potencia.

Tal dimensionamiento consiste en una vez obtenida toda la informacin sobre

los rganos principales de las turbinas ya instaladas en ese periodo se realiza una

regresin de mnimos cuadrados relacionando una dimensin de la turbina con el

dimetro de descarga del rodete y el numero especifico de revoluciones (Ns).

3.1.1 Determinacin del nmero especifico de revoluciones.

Esta metodologa de clculo propone que el nmero especfico de revoluciones

(Ns), viene dado por la expresin siguiente:

625,03470 = HNs (3.1)

Donde:

Ns: Numero especifico de revoluciones.

H: Altura de diseo (m).


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CAPITULO III 24

3.1.2 Velocidad de embalamiento.

Para el clculo de la frecuencia de rotacin de embalamiento a una velocidad de

rotacin ya definida (n), necesaria para definir el diseo del generador elctrico, Siervo

y Leva recomiendan el uso de la siguiente expresin:

Nsxn

nf += 31052,152,1 (3.2)

Donde:

nf: Velocidad de empalamiento (r.p.m.).

n: Velocidad de rotacin de la turbina (r.p.m.)

3.1.3 Altura de Aspiracin.

El coeficiente de Thoma se puede escribir en funcin del nmero especfico de

revoluciones en cualquiera de sus formas, segn Siervo y Leva se tiene que paraturbinas Francis la ecuacin tiene la siguiente forma:

41,1410501,3 qnx = (3.3)

Donde:

: Coeficiente de Thoma.

3.2 Mtodo de dimensionamiento del Prof. Stefan Zarea.

En esta metodologa de dimensionamiento parte del mismo principio que el

mtodo propuesto por Siervo y Leva pero tiene las siguientes diferencias:

a) La forma de la regresin es nica y es representada por una funcin

monmica.

bXay = (3.4)

Donde:

y: Variable dependiente (dimensin de cualquier rgano principal).

X: Variable independiente (numero especfico de revoluciones).

a, b: Constantes halladas por la aproximacin de mnimos cuadrados.Para obtener mayor informacin sobre este mtodo de dimensionamiento se

recomienda ver referencia (2).

Se tienen tres distintas curvas para cada dimensin, un valor mximo, uno

mnimo y uno medio.


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CAPITULO III 25

3.3 Relaciones estadsticas para el dimensionamiento de los

rganos principales de las turbinas Francis.

Tanto en el trabajo de Siervo y Leva (ver referencia 3) como trabajos guiados

anteriormente por el Prof. Stefan Zarea (ver referencias 2 y 4), se relacionaron las

dimensiones de los rganos principales de las turbinas mediante regresiones de mnimos

cuadrados, los rganos que fueron tomados en cuenta son los siguientes:

b) Rodete de la turbina (figura 3.1).

Figura 3. 1 Dimensiones principales del rodete.


c) Caja espiral (figura 3.2).

Figura 3. 2 Dimensiones principales de la caja espiral.



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CAPITULO III 26

d) Tubo de aspiracin (figura 3.3).

Figura 3. 3 Dimensiones principales del tubo de aspiracin.


En trabajos anteriores se relacionan todas las dimensiones con el numero

especifico de revoluciones Ns. Desde hace algn tiempo el nmero especifico de

revoluciones Ns ha quedado en desuso, siendo sustituido por los nmeros especficos de

revoluciones (nq, nqw y nqw), razn por la cul en este trabajo se presentarn las

formulas de dimensionamiento en funcin de los parmetros antes mencionados, para

tal fin se procede a realizar un cambio de variable usando las relaciones (1.6), (1.7) y

(1.8) segn sea el caso. En los cambios de variables solo se ve afectado uno de los 2

coeficientes dependiendo del tipo de curva de ajuste que se halla usado, por ejemplo si

el tipo de curva es el siguiente:

baXY= (3.4)

El nico valor que cambia es (a), donde ay bson coeficientes de la regresin y

X e Y son las variables independiente y dependiente respectivamente, esto ocurre ya

que la relacin entre los nmeros especficos de revoluciones son lineales.

En la tablas (3.1) a la (3.7) se presentan las formulas modificadas.


41/243

CAPITULO III 27

Tabla 3. 1 Coeficientes de las formulas de Siervo y Leva .

XbaY

+=

1

X =nqw X =n'qw X =nqDimensin (Y)A B a b a b

D2/D3 0,96 0,0597 0,96 0,1781 0,96 0,0011H2/D3 3,16 0,2670 3,16 -0,6094 3,16 -0,0038

S/D3 -9,28 39,3202 -9,28 117,210 -9,28 0,7428

Tabla 3. 2 Coeficientes del mtodo de dimensionamiento del Prof. Stefan Zarea.

bXaY = X =nq

Mximo Medio MnimoDimensin

(Y)a a a b a b

D1/D3 12,5491 -0,6 10,0212 -0,5714 8,9264 -0,5714D2/D3 1,2991 -0,0625 1,2602 -0,0666 1,2551 -0,0769

H1/D3 0,0777 0,2 0,0370 0,3333 0,0099 0,2H2/D3 11,5131 -0,9 18,3625 -1,1111 17,3613 -1,2H2/D3 0,2787 0,1 0,2315 0,1 0,1785 0,1A/D3 0,8270 0,1 0,6437 0,125 0,6840 0,25B/D3 4,4747 -0,25 3,5834 -0,2222 3,1402 -0,2222C/D3 4,1229 -0,2 3,7216 -0,2 3,3940 -0,2

D/D3 4,5844 -0,2 3,5695 -0,1666 2,8844 -0,1428E/D3 5,1282 -0,2857 4,7868 -0,3 4,2917 -0,3F/D3 13,0224 -0,4444 8,2132 -0,375 8,7841 -0,4285G/D3 8,7846 -0,4 6,8045 -0,375 4,4686 -0,3

H/D3 7,6571 -0,4 5,0186 -0,3333 4,4095 -0,3333I/D3 0,0470 0,4285 0,0214 0,5714 0,0056 0,8333L/D3 0,7912 0,0714 0,6523 0,1 0,6021 0,1M/D3 0,8629 -0,0588 0,5952 -0,0034 0,6252 -0,0357

N/D3 16,6181 -0,375 15,8331 -0,4285 11,2759 -0,5714O/D3 12,9424 -0,4444 13,2732 -0,5 16,9605 -0,625

P/D3 2,1181 -0,1 1,8831 -0,1 1,6493 -0,1Q/D3 1,7764 -0,1666 1,6568 -0,2 1,6147 -0,25

R/D3 3,3360 -0,1666 2,9758 -0,2 3,0161 -0,25S/D3 43,2130 -0,4444 17,3409 -0,2857 9,5433 -0,2T/D3 1,7424 0,0119 1,3994 0,0235 1,1829 0,0125U/D3 1,9128 -0,3333 1,6418 -0,375 1,4108 -0,4285V/D3 4,2706 -0,2222 3,5680 -0,2222 2,3352 -0,1666

Z/D3 4,1326 -0,0714 3,8116 -0,0714 3,6081 -0,0714nf/D3 1,1040 0,1428 0,9280 0,1666 0,8560 0,1666

Ku/D3 0,1172 0,5 0,0603 0,5 0,0454 0,6666V/D3 72,2307 -0,4444 53,1398 -0,4444 33,2092 -0,375

V1/D3 24,3082 -0,1428 18,5735 -0,1428 13,3267 -0,1428

3.3.1 Actualizacin de los distintos mtodos de dimensionamiento.

Para este trabajo se realizo los mismos procedimientos descritos anteriormente

pero con datos actualizados. En este caso debido a la imposibilidad de conseguir datos


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CAPITULO III 28

de todas las dimensiones de la caja espiral solo se actualizarn las dimensiones (Iy

F), ver figura 3.2.

Los datos necesarios para realizar la regresin de mnimos cuadrados fueron

extrados de las referencias (5) y (6).

A continuacin se presentan los resultados de dichas regresiones y de manerailustrada se muestran en las graficas (3.1) y (3.2).

Grfico 3.1

Dimensiones principales de la caja espiral

Dimetro del predistribuidor adimensional (F/D3)

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

0 20 40 60 80 100 120

nq

F/D3

Zarea mximo Zarea minimo Zarea minimo Siervo y Leva

Grfico 3.2

Dimensiones principales de la caja espiral

Ancho del Predistribuidor adimensional (I/D3)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

nq

I/D3

Zarea medio Zarea maximo Zarea minimo Siervo y Leva


43/243

CAPITULO III 29

En las grficas (3.2) y (3.3) se presentan los resultados de las regresiones para

las dimensiones F e I respectivamente, en dichas graficas se observa la gran

dispersin que existe entre los datos, lo cual se traduce en el factor de correlacin (R2

)que se presentan en las tablas (3.8) y (3.9), lo cual muestra que el mtodo de

dimensionamiento mas adecuado es el del Prof. Stefan Zarea, ya que en dicho mtodo

se trabaja dentro de un rango de valores y no con un valor nico.

3.3.2 Comparacin de los distintos mtodos de dimensionamiento

en base a mtodos estadsticos.

Entre las ventajas y desventajas de los dos mtodos de dimensionamiento en

base a mtodos estadsticos estudiados en este trabajo se enumeran las siguientes:Tabla 3. 3Ventajas y desventajas entre los mtodos de dimensionamiento.

Mtodo Ventajas Desventajas-Posee diferentes tipos de regresin por elmtodo de los mnimos cuadrados.Siervo y

Leva

-Al poseer distintas regresiones (lineal,exponencial, potencial, etc.) se puede ajustarla curva al tipo de regresin que mejor seajuste a la distribucin de los datos.

-Al realizar una sola regresin para cadadimensin o variable el coeficiente decorrelacin es menor y en consecuencia notodos los datos se ajustan a la regresin

-Se tienen rangos de trabajos para cada unade las variables dimensiones que cubreeste mtodo.

-No siempre la regresin monmica seajusta perfectamente bien a la distribucinde los datos.Zarea

-Posee un solo tipo de forma deregresin monmica. -Los coeficientes de correlacin no son deltodo representativos , ya que para obtenerlos valores mximos y mnimos de cadavariables se tuvo que excluir dichos valoresde los valores medios

3.4 Mtodo Geomtrico del Prof. Stefan Zarea.

Para el calculo de las secciones de la caja espiral se usar el mtodo propuesto por el

profesor Stefan Zarea llamado Mtodo geomtrico (ver figura 3.4).

Dicho mtodo se basa en las siguientes suposiciones:

- La caja espiral sigue la forma de una de las siguientes espirales:

a) Espiral logartmica:

= ceKRc (3.5)

b) Espiral de Arqumedes:

+= CKRc (3.6)


44/243

CAPITULO III 30

c) Espiral Hiperblica:

K

CRc

+

=

(3.7)

d) Espiral de Galileo:

2 += CKRc (3.8)

e) Espiral de Fermat:

+= CKRc (3.9)

f) Espiral Polinmica:

KCCCRc nnn

n ++++=

11

1 ... (3.10)

Donde:Rc = radio de la espiral en el centro de la seccin .

K, C, Cn, Cn-1,, C1=constantes.

= angulo de la espiral expresado en radianes.

- Las secciones de la caja espiral son circulares.

- Los centros de las secciones de la caja espiral estn ubicados sobre la espiral.

- La caja espiral recorre un angulo de 360 medidos a partir de la seccin de

entrada.

- La distribucin de caudal a la entrada al rodete se supone uniforme.

tQQ

=

3601

(3.11)

Donde:

Q=caudal en la seccin .

Qt=caudal en la seccin de entrada de la caja espiral.

= angulo de posicin de cada seccin medido a partir de la seccin de entrada,

expresado en grados.


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CAPITULO III 31

Figura 3. 4 Seccin de la caja espiral.


De la figura 3.4 mediante el teorema de Pitgoras se derivan las siguientes:

( )22

2RiRc

I+

= (3.12)

Donde:

Ri=F/2

=radio de la seccin D= 2 .

D: Dimetro de seccin.

=

2/cos2

FRca (3.13)

Donde:


46/243

CAPITULO III 32

=angulo de la seccin truncada en la seccin .

Aplicando la definicin de caudal a cualquier seccin se tiene:

AVQ = (3.14)

Usando la ecuacin anterior junto con la ecuacin (3.10) queda:

ee AVAV

=

3601

(3.15)

Debido que en la seccin est truncada el rea de dicha seccin es igual a:

[ ])(2

22

senA

= (3.16)

Con la ecuacin (3.15) sustituida en (3.16) y ordenando se obtiene la siguiente

expresin para el clculo del radio de seccin:

( )[ ]

=

))((2/113601

senEX

Ae (3.17)

Donde:

EX: Relacin de Velocidades de la seccin y la seccin de entrada

eV

VEX =

3.4.1 Condiciones de Borde.

De acuerdo a las ecuaciones (3.5) a la (3.10) se deben hallar 2 constantes que

aparecen en las ecuaciones antes mencionadas, excepto para el caso de la espiral

Polinmica, caso que ser explicado ms adelante. Para ello se impondrn dos

condiciones de borde en algn punto dentro de la caja espiral. Debido a que las

ecuaciones mencionadas describen solo la trayectoria de los centros de las secciones

(radio de la espiral), es en ese punto en donde se evaluarn las condiciones de borde.

La primera condicin de borde se evaluar en la seccin de entrada (=0), endonde el radio de la espiral es igual a la dimensin B (distancia entre el centro de la

turbina hasta el centro de la seccin de entrada segn los mtodos de dimensionamiento

con mtodos estadsticos).

La segunda condicin de borde consiste en imponer una relacin de velocidades

para una posicin angular determinada, usando para ello la ecuacin (3.17). Segn


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CAPITULO III 33

recomendaciones del Prof. Stefan Zarea la relacin de velocidades (EX) puede variar

entre 0,8 a 1,2 para ngulos () comprendidos entre 270 a 340 grados (ver figura 3.5).

Figura 3. 5 Condiciones de borde para el mtodo geomtrico del Prof. Stefan Zarea.

Donde:

eV

VuEX =

3.4.2 Metodologa de clculo para las dimensiones de la caja espiral.

Una vez seleccionadas las condiciones de borde, la primera se evala en la entrada

de la caja espiral:

*)0( BRc =

Donde:B: distancia entre el eje del rodete al centro de la seccin de entrada segn mtodo

de dimensionamiento de siervo y Leva o del Prof. Stefan Zarea.

Para usar la segunda condicin de borde se supondr un angulo y se iterarn en

las ecuaciones (3.11), (3.12) y (3.16) los valores de ,Rcy .

Una vez hallados dichos valores se calcula el valor de las constantes de la ecuacin

de la espiral correspondiente. Nombrando como , Rc, y el valor de dichas

variables en el angulo de la condicin de borde se pueden rescribir las ecuaciones (3.5)

a la (3.9) de la manera siguiente:

a) Espiral logartmica:

=*

* B

RcLn

eBRc

(3.18)


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CAPITULO III 34

b) Espiral de Arqumedes:

+=

** BRBRc c (3.19)

c) Espiral Hiperblica:

( )

*

*

+

=

cc

c

RRB

BRRc (3.20)

d) Espiral de Galileo:

22

**

+=

BRBRc c (3.21)

e) Espiral de Fermat:

+=

** BRBRc c (3.22)

Donde:

180

2 =

3

*

D

BB =

: Angulo para la condicin medido a partir de la seccin de entrada (grados).

:Angulo para la condicin medido a partir de la seccin de entrada (radianes).

Para la espiral Polinmica para la cual se necesitan n condiciones no evaluadas en

cero, donde n es el grado del polinomio y una condicin adicional que puede ser en

cero.

Debido a que las nicas distancias que proporciona las formulas de

dimensionamiento en base a mtodos estadsticos tanto Siervo y Leva o del Prof. Stefan

Zarea (ver CAPITULO II), son las de la ubicacin de la trayectoria de los centros de

seccin de la espiral en 90, 180 y 270 grados, por lo tanto se trabajar con una espiral

Polinmica de tercer grado 3, llamemos a , , y los ngulos de 90,180 y 270

grados respectivamente el sistema de ecuaciones a resolver ser:

=

**

**

**

1

2

3

23

23

23

)(

)(

)(

*

)()(

)()(

)()(

BE

BC

BD

C

C

C

(3.23)


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CAPITULO III 35

3.4.3 Anlisis de resultados.

En las graficas (3.3.a) a la (3.13) se presentan los resultados de la metodologa

de clculo antes descrita para las distintas espirales y condiciones de borde, con el fin de

que el lector adems de tener una idea del comportamiento de una espiral pueda obtener

los valores de las constantes sin que resuelva las ecuaciones (3.4.7), (3.4.8) y (3.4.12).

En las grficas (3.3.a) a la (3.8.b) se observa la relacin que existe entre las

condiciones de borde seleccionadas y las constantes presentes en las ecuaciones de las

distintas formas de espiral. En las dos primeras (Espiral Logartmica) de estas graficas

se observa que a medida que se aumenta la relacin de velocidades o el angulo de la

condicin de borde aumenta el valor de la constante, lo que trae como consecuencia que

el radio de la espiral debe disminuir.

En las graficas (3.4.a) y (3.6.b) se observa que ocurre lo contrario que en el caso

anterior, o sea el valor de la constante disminuye a medida que se aumenta las

condiciones de borde, pero el resultado definitivo es el mismo debido a la forma de las

ecuaciones de la espiral de Arqumedes, Fermat y Galileo.

En las grficas (3.9.a) a la (3.11.b) se presentan los resultados de los radios de

los centros de seccin (radio de la espiral) para las espirales logartmica, Arqumedes e

Hiperblica respectivamente, en donde se observa lo anteriormente dicho, o sea que a

medida que se aumente las condiciones de borde (angulo de borde o relacin de

velocidades) disminuye los radios de espirales y en consecuencia los radios de la

seccin, en este caso solo se estudio las espirales antes mencionadas ya que el

comportamiento de las espirales de Fermat y Galileo es cualitativamente similar al de la

de Arqumedes.

En las grficas (3.12) y (3.13) se presentan los resultados de los centros de las

secciones y radios de las secciones para las distintas espirales en funcin de la posicin

angular de la seccin para un numero especifico de revoluciones (nq=100) y

condiciones de borde de (EX=0,8 y =270), en estas curvas se observa que

dependiendo de la posicin de la seccin (posicin angular) se intercalan los valores de

radios de seccin y espiral para todas las espirales, por lo que se puede decir que la

seleccin del tipo de espiral influye en las dimensiones de la caja espiral.


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CAPITULO III 36

Grfico 3.3.b

Constante de la Espiral Logartmica (c)

Mtodo geomtrico del Prof. Stefan Zarea

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0 20 40 60 80 100 120 140 160

nq

C

Angulo=270 Angulo=320 Angulo=340

Espiral Logaritmica

Relacion de Velocidades=0,8

En la grfica (3.3.b) se observa que al imponer como condiciones de borde de

relacin de velocidades altas (EX=1,2) en angulo superior a 270el mtodo geomtrico

del Prof. Stefan Zarea presenta el inconveniente de no tener solucin.

3.5 Dimensiones para la fabricacin de cajas espirales

soldadas.

Para cajas espirales soldadas, la caja se divide en distintas secciones en las

cuales cada seccin tienen un ngulo al centro de 15 grados (ver figura 3.5). La unin

mediante soldadura de todas esas secciones formar la caja espiral.

Para poder ensamblar cada una de esas secciones se necesita ante todo generar

un desarrollo del slido de tal forma que al ser doblado quede perfectamente

conformada la seccin, para tal fin existen dos opciones, hacer uso de mtodos grficos

usar mtodos analticos . En este caso se usara el mtodo analtico por tener la

propiedad de optimizar los tiempos necesarios para la obtencin de los datos as como

escaso espacio para la representacin del trazado; pues, despus de haber calculado los

datos solo se necesitar una hoja de papel para hacer la representacin mediante un

croquis y la razn mas importante es la que mediante el uso del calculo su precisin es

mayor, sobre todo, para trazados de grandes secciones.


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CAPITULO III 37

Figura 3. 6 Caja espiral soldada.


3.5.1 Metodologa de clculo.

Esta metodologa de calculo consiste en triangular la superficie del slido adesarrollar (ver figura 3.8) y determinar todos los lados de dichos tringulos en

verdadero tamao para luego ser trasladados al desarrollo quedando as formado la

superficie del slido (ver figura 3.6).


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CAPITULO III 38

Figura 3. 7 Isometra de virola de bocas circulares y eje oblicuo.

En la figura 3.7 se ve representado mediante una vista isomtrica y en las figuras

3.8 y 3.9 se ven otras vistas para su mejor visualizacin de una virola de bocas

circulares y eje oblicuo, siendo esta la geometra del slido mediante el cul se

modelaran los tramos de la caja espiral.

En la figura 3.7 se ve el slido con su base inferior (seccin de entrada)

apoyada sobre un plano horizontal (plano XY) mientras que el eje Z (eje X=O y Y=0)

pasa por el centro de la circunferencia de radio e que forma la base inferior, y la base

superior (seccin de salida) de radio s la cual esta inclinada a 15() respecto a un

plano horizontal.

La metodologa de clculo del desarrollo de las virolas sigue las indicaciones dela referencia [7].


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CAPITULO III 39

Figura 3. 8 Vista lateral y superior de una virola de bocas circulares y eje oblicuo.


Para el desarrollo se necesitar dividir ambas bases en igual numero de divisiones y

debido a la simetra de la pieza respecto al plano YZ el calculo se har respecto a una

sola mitad de la pieza y luego copiando los resultados obtenidos al otro lado del

desarrollo, por lo tanto:

n

= (3.24)

Donde:

: es el angulo que hay de separacin entre dos puntos consecutivos situados en

cualquiera de las bases de la virola.

n: es el nmero de divisiones en que se quiere dividir ambas bases, por lo tanto dicha

variable tiene que ser entera y positiva.

Ntese que para poder realizar la triangulacin se necesita calcular cada una de

la generatrices y la distancia que hay entre un punto de la base superior al punto de la

base inferior que pertenezca a la generatriz siguiente. Para la distancia de las

generatrices se procede de la manera siguiente:

Usando la ecuacin para calcular la distancia (Teorema de Pitgoras) entre dos

puntos tomando como puntos de la generatriz a los puntosA0yB0, se tiene que:


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CAPITULO III 40

( ) ( ) ( )2002

002

0000 zzyyxx BABABABA ++= (3.25)

Donde:

00BA : Distancia entre A0y B0

Los subndices x, y z indica la coordenada de dicho punto sobre los ejes coordenados.

Las coordenadas de los puntos de la ecuacin (3.25) son:

)()cos()(00 senHsenBHB szyz +=+= (3.26.a)

)cos( = eoyA (3.26.b)

)cos()cos()cos(00 == szyy LBLB (3.26.c)

)(0 senA ex = (3.26.d)

)(0 senB sx = (3.26.e)

Debido a que se supuso al slido sobre el plano XY el terminoA0z=0

Introduciendo las ecuaciones (3.26a) a la (3.26e) en (3.25) y Debido a que se debe

repetir el clculo anterior tantas veces como divisiones se hagan a ambas bases se

escribir a continuacin la ecuacin 3.25 en forma general, por lo tanto:

( ) ( ) ( )222 iziyiyixixii BBABABA ++= (3.27)

=

=

==

=

+=+=

)(

)(

)cos()cos()cos(

)cos(

)()cos()(0

isenB

isenA

iLBLB

iA

seniHsenBHB

six

eix

sizyiy

eiy

szyiz

(3.28)

Donde i=0,1,2n

Para el calculo de las hipotenusas de los tringulos en cuestin habr que hallarse las

distancias que hay entre un punto de la base superior al punto de la base inferior quepertenezca a la generatriz siguiente por el teorema de Pitgoras, dicha distancia se

hallan de la misma forma que la vez anterior, por lo tanto las ecuaciones escritas en

forma general serian de la forma:

( )( ) ( )( ) ( )( )2

12

12

1)1( ziyiiyxiixii BBABABA ++++ ++= (3.29)


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CAPITULO III 41

+=

=

+==

=

++=+=

+

++

++

))1((

)(

)cos())1cos(()cos(

)cos(

)())1cos(()(

)1(

)1()1(

)1()1(

isenB

isenA

iLBLB

iA

seniHsenBHB

sxi

eix

szyiyi

eiy

szyizi

(3.30)

Donde i=0, 1,2 (n-1)

Los otros catetos que todava hacen faltan para la generacin de los tringulos

(ver figura 3.8) representan las distancias que hay entre los puntos de divisin de ambas

bases, por lo tanto esas distancias serian iguales a la longitud de arco que hay entre dos

puntos consecutivos, por lo anteriormente expuesto las expresiones para esas distancias

son:

enn AAAAAA ==== )1(2110 ... (3.31.a)

snn BBBBBB ==== )1(2110 ... (3.31.b)

Ntese que para determinar todas las distancias es necesario conocer las

variablesLy Hque no son ms que las proyecciones del eje de la virola en los planos

coordenados (ver figura 3.8).

Figura 3. 9 Vista lateral de la seccin principal de una seccin de la caja espiral.

Aplicando el teorema del coseno al triangulo OAB queda que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )cos(2)cos(2 2222 +=+= eses RcRcRcRcOABOOABOAB (3.32)

Aplicando el teorema del seno al triangulo OAB queda que:

=

=

)(

)(

)(

)()(

AB

senRcarcsen

AB

senBOarcsen s

(3.33)

( ) )(senABH = (3.34))cos(= ABL (3.35)


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CAPITULO III 42

3.5.2 Trazado de un tramo de seccin de la caja espiral.

A partir de los resultados de las ecuaciones (3.27) y (3.29) se puede dibujar el

desarrollo de un tramo seccin de la caja espiral para su posterior fabricacin, mediante

el uso de una maquina de corte que realice dicha trayectoria para luego ser dobladas y

de esa forma se obtiene el tramo considerado.

Figura 3. 10 Trazo de un tramo de seccin para cajas espirales soldadas [2].

La discretizacin del contorno de la seccin se numer desde la zona en donde

se encuentran los alabes fijos hasta el punto mas alejado de la seccin (Rc+), solose dibujar media seccin aprovechando la simetra de la seccin.

A continuacin se realizara un esquema a manera de explicar como se dibuja una

seccin de la caja espiral:

a) Se debe dibujar una recta que permanecer fija de longitud igual a 00BA .

b) Se construye el triangulo correspondiente a el punto A0, o sea del punto A0 se

traza una recta de longitud 10BA interceptndose con una recta con la longitud

calculada con la ecuacin (3.29).c) Se toma como fija la recta 10BA y se construye el triangulo desde el punto B0

con la recta 11BA y del punto A1con la recta calculada con (3.27).

d) Se repiten los pasos (b), (c) y (d) tantas veces segn el nmero de particiones se

hallan realizados a las bases de la virola.


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CAPITULO IV 43

CAPITULO IV: Esfuerzos en la caja espiral.

El estudio de los esfuerzos a los que est sometida la caja espiral es de gran

importancia para el dimensionamiento de las mismas, de tal manera que conociendo la

forma de los esfuerzos se podr realizar una seleccin del espesor adecuado para undiseo confiable.

Las cajas espirales se construyen de hormign (para pequeas alturas),

fundicin, acero colado mixto (metlicas empotradas en hormign como receptor de

esfuerzos), o por soldadura segn sea el tamao de la turbina y la presin interna.

En este capitulo se trataran solo las cajas espirales metlicas, sometidas a la

accin de la presin interna que tienda a abrir la caja, como nica fuerza que acta sobre

ella.

En todos los casos se supondr que la caja espiral esta sometida a presininterna constante debido a la columna de fluido que soportara la caja espiral (altura

neta). Segn lo antes dicho la presin interna a la cual estar sometida la caja espiral

ser la presin hidrosttica, correspondiente a la altura de diseo a la cul se le agrega la

sobrepresin debida al golpe de ariete. Siendo la altura de diseo un dato primordial en

la metodologa convencional.

4.1 Presin en la caja espiral.

Para turbinas normalizadas en una determinada serie de turbinas la altura varaentre los limites: Hminimo y Hmaximo, identificadas en el grfico de normalizacin (ver

figura 4.2), siendo la altura mxima, mnima y media idntica para las series con

distintos valores de D3, ya que la altura es solo funcin del nq(.ver capitulo II).

La altura en el centro de una serie de turbina es:

Figura 4. 1 Localizacin de la altura media de una serie de turbinas.


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CAPITULO IV 44

Sabiendo que:

2minmax HHHmed

+= (4.1)

Llamaremos Serie de turbinas a las turbinas de la misma familia o sea

que las mismas sean geomtricamente semejantes, tal caracterstica semantiene dentro de cada uno de los cada uno de los rombos formados bajo el

criterio de normalizacin de Q/H1/2=Ctte. En el presente capitulo se calcularn

los espesores para cada una de las series aprovechando est caracterstica y se

enumerarn de arriba hacia abajo, teniendo de esa manera 5 series de turbinas

(ver figura 4.2 y el capitulo II).

Para el clculo de los esfuerzos en la caja espiral hay dos opciones:

a) Considerar la presin correspondiente a la altura media (Hmed) en cada

serie de turbinas.

b) Asumir la hiptesis ms conservadora en donde la presin considerada es

la presin mxima (Hmax).

Figura 4. 2 Series de turbinas segn criterio Q/H1/2=Ctte.

Tabla 4. 1 Presin en la caja espiral.

Opcin para el calculo de presionesHmed HmaxSeriePresin (MPa) Presin (m) Presin (MPa) Presin (m)

1 3,8425 391,6996 5,0472 514,49792 2,0149 205,4025 2,6381 268,91953 1,0597 108,0280 1,3919 141,89004 0,5539 56,4664 0,7275 74,16615 0,2934 29,9160 0,3803 38,7667


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CAPITULO IV 45

A sugerencia del Prof. Stefan Zarea la p

Tesis de Grado (Ricardo Lopez) TURBINAS

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