TESIS DE GRADO PA RA EL TITULO DE INGENIERO CIVIL LA ...
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TESIS DE GRADO PA RA EL TITULO DE INGENIERO CIVIL D'I". LA UNIVERSIDAD DE COSTA RICA PRESENTADA POR: GUILLERMO E. ODIO G. SAN JOSE, COSTA RICA 1 9 6 2
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TESIS DE GRADO
PA RA EL TITULO DE INGENIERO CIVIL
D'I". LA UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
PRESENTADA POR:
GUILLERMO E. ODIO G.
SAN JOSE, COSTA RICA
1 9 6 2
Con cariño a mis padres y esposa; con gratitud
a quienes hicieron posible este trabajo.
Guillermo E. Odio G.
]? __ j __ s L Ñ o D E B o V E D A s e A s e A R A
C 1 L 1 N D R ! . G A S P O R M E D 1 O _ L> _E
C 0~- E' F I G I E N T E S
I N D I C E
CAPITULO PRIMERO
Pag.
Diseño de las Bóvedas Cáscara Cilíndricas
( Ge]1eralida·des ) ...................•.................
CAiPITULO SEGUNDO
Dise fi. .o de la Bóveda Cáscara Intermedia ................. 15
CAPITULO TERCERO
Diseño de la Bóveda Cáscara Exter:i!or •.•••••••••.•..••••• 40
CA~PIJ'1J'.L. O CUARTO
Chequeo de las Varillas de Amarre por Esfuerzo Cortante .•• 52
Efecto de la Continuidad entre la Bóveda Cáscara y el Mar-
<.;o So portante .•••.•.••••.•••••.•••••••• 4 ••••••••••••• 52 - .
Estabilidad Elástica de las Bóvedas Cáscara •.•.•••.•••••• 55
CAPITULO QUINTO.
Diseño de los Marcos Transversales de Soporte •••••••••• 60
* * *
-1-
lNTRODUCCION
El problerna ocasionado por 1a .:escasez. de agua potable en el Area Metro-
politana d,e la Provincia .de sa·n .Jos.é, tendrá i,lna futura y total solución
mediante la construcción d$ úh nuevo '·acuequcto, meta que se propone el
Servicio Nacional: de Acueductos . y Alcantarillado.
El proyec to· consfate en obt~ner aguas dé varios ríos, pr.incipalmente del
Rfo B·lanco; situados en la1s \cerc.anfas de las fal das del Volcán Irazú y lle
vadas mediante :un túnel y tubería metálica hasta Sa,n Isidro de Coronado.
f.n este lugar S!3 constniirá una ·planta c;le tratamiento, desde donde se dis-
tribuirá el agua a todos los centros de población que forman la antes men-
cionada Aréa Metropolitana.
La planta de tratamiento será oori.stru(da en dos etapas, siendo su capaci-
d aél fit:J.al de .1300 lts/seg.
Será de filtros rápidos, y esta.r~ formada por ocho sedimentadores con sus
respectivas camaras de mezcla lent~, doce f:Htros dobles, galería de co-
mandos, etc. y un edifi9io _en et cual estar~ s i tuados los servícios ad -
ministrativos, dosificación, bodegas, etc.
Con el fin deJ.ogtar; el funclona m.iento óptimo de esta planta, se efectua
ron var.ias alte.mativa ,~ de la confonnación. y distribución de este edificio , . .
siendo la pres entada .en las figuras 1 y 2, una d e ellas.
En la pritne!!a ,;planta de. la Sección N ° 1 de e:Ste edificio ( Fig • # 1 ), fueron
ubicadas las oficinas administrativas, sala de balanzas, sala de clora -
c:ión y láboratorio; en la segui).da planta estarc1.n las bombas de lavado, si~
L " ."-!ª hidroneumático, etc:.; y en .lá .última estará el tanque de agua clara.
La S~cción Nº 2 está forma,da por cuatro depósitos de concreto,de los cua
.ic 3 dos 3•:l tán destinados para el almacenamient o de Sulfato de Aluminio y
.lo~i rnstantes paro CarJDonato .de Calcio,
2
LABORATORIO OFICINAS CLOFl.4 DO ES BALANZAS
BOMBAS
:¡ TUBERIAS 1 NSTRUMENTOS
TANQUE
FIGURA ~ 1
FIGURA #- 2
-4-
l ,n t t::rcera Sección será utilizada como bodega y Servicios Generales.
Podrá observarse en las Figuras Nº 1 y Nº 2, tomando en cuenta la des
cripción antes efectuada, las diferentes características que presentan es
tas tres Secciones. La primera Sección contiene gran masa: tanque de a
gua, maquinaria, etc;. todo esto en dos plantas las cuales serán subte
rráneas. La segunda será la más alta, toda superficial y también con gnn
masa formada por los depósitos y el peso del material en ellos.
La tercera es la más liviana, estando formada por dos filas de marcos pa
ralelos, los cuales soportarán la estructura de techo.
Tan diferentes conformaciones traen como consecuencia que sus velocida
des de oscilación en caso de sismos sean también bastante diferentes,
problema que fue solucionado separando las tres secciones ,de tal mane
ra que formen tres estructuras independientes.
En la Sección Nº 3, o sea la bodega, se hace necesario suficiente espa_
cio libre para una fácil movilización de los químicos, cHindros de cloro,
etc , Fueron escogidas tentativamente las bóvedas cáscara como armadu
ra de techo, ya que además de llenar las necesidades antes descritas, iJE.
primen un aspecto realmente agradable a toda la estructura. En -otras p~
labras, llenan las necesidades funcionales y arquitectónicas del proyec
to. Se dijo tentativamente, ya que en la escogencia final entra en juego
el factor económico, para el cual se efectuará un estudio comparativo con
otro tipo de estructura.
Esto motivó la necesidad de efectuar el estudio y diseño de las bóvedas
cáscara por el Departamento de Diseño del Servicio, llegándose a la con
clusión de que las bóvedas cáscara del tipo cilíndrico son las más adecua
das a construir en esa zona, debido a la naturaleza ventosa del lugar, si
guiendo el criterio externado por Pilarski.
Mi tesis versa sobre el diseño de las bóvedas cáscara cilíndricas pa-
-5-
ra la Sección Nº 3, diseño en el cual se tratará de que cumpla caracte -·
rísticas de simplicidad y rapidez.
Deseo manifestar mis agradecimientos a los señores Ingº José Luis Caba
da M., Ingº Rafael A. Chinchilla, Ingº Enrique Soto M., e Ingº Walter
Fabian B., cuya cooperación ha sido básica en la elaboración de este tra
bajo.
También deseo agradecer los consejos y ayuda prestados por el Ingº Ed -
mundo Kikut L.
-6-
.CAPITULO PRIMERO
D I s E Ñ o D E LA s B o V E DA s e A s o A RA e I L IN D RI e A s
Generalidades:
Deseo hacer notar que este trabajo tiene como primordial finalidad el dise
ño práctico en sr, de las bóvedas y sus marcos soportantes.
El desarrollo dé la teorra matemática que trata acerca del análisis del com
portamiento de las bóvedas cáscara, no será considerado en esta tesis, ya
que el objetivo principal es presentar un trabajo que sirva como gura para
el diseño rápido y práctico de bóvedas cáscara de forma cilíndrica.
Por supuesto, se analizará su comportamiento estático en la forma más
clara posible, de tal modo que permita una percepción rápida de los dis
tintos pasos del diseño.
Atendiendo este razonamiento se ha escogido el método propuesto por la
"American Society of Civil Engineers". El análisis matemático tridimen
sional de las bóvedas cilíndricas da como resultado final un gran número
de engorrosas ecuaciones. La resolución de éstas con el fin de obtener
los esfuerzos a que está sometida la cáscnra cilfüdrica, significa una can
tidad inmensa de trabajo sumamente cuidadoso, y como inmediata conse -
cuencia, gran cantidad de tiempo a utilizar.
El método desarrollado por la mencionada Asociación, permite una simpli
ficación notable del trabajo, pues basados en las ecuaciones finales, han
confeccionado una serie de tablas de coeficientes, los cuales son fun
ción de las diferentes características de las bóvedas cilíndricas, tales co
mo su radio, ángulo subtendido, etc.
Quiero hacer notar que estos coeficientes, asf como varias de las f6nnu -
las a utilizar están desarrolladas en unidades inglesas, detalle que justi-
- 7 -
fica el uso de éstas en determinadas secciones de este trabajo.
Lo mismo que en el análisis de otras estructuras indeterminadas en las
cuales debe adicionarse a los esfuerzos primarios, el efecto de los secun
darios, en las bóvedas cáscara a los esfuezos estáticamente determina -
dos, ( esfuerzos de membrana ) deben adicionarse los esfuerzos creados
por las condiciones limitantes existentes en los bordes de la bóveda cilín
drica.
Las reacciones y esfuerzos cortantes aplicados a lo largo de los bordes
para satisfacer los requerimientos de la estática, crean el control sobre
los esfuerzos directos y deflexión en las bóvedas cáscara. Es la determi
nación de estos esfuerzos causados por las condiciones limitantes de los
bordes, lo que causa la dificultad matemática del diseño de las bóvedas
cáscara.
Este problema es facilitado por las tablas confeccionadas por la A .s .e .E.,
las cuales permiten el cálculo rápido de los esfuerzos debidos a las car
gas viva y muerta, lo mismo que los esfuerzos originados por las condicio
nes limitantes de los bordes longitudinales. Esfuerzos adicionales son
causados por la continuidad existente entre el marco soportante y la bóve -
da. La combinación de todos los valores obtenidos, nos dará la distribu -
ción final de los esfuerzos en la bóveda cilíndrica.
El grado de importancia de los esfuerzos que se originan en los bordes
longitudinales y transversales, dependen de la razón formada por el radio
de curvatura "r", y la distancia entre soportes, o sea "l", la luz longitud!_
na!. Bóvedas cilíndricas en las cuales el valor de r/l es menor de O. 6, se
comportan aproximadamente como vigas de sección transversal curva. En
este tipo de bóveda, ' los esfuerzos creados por la deformación de los sopor
tes transversales van perdiendo importancia en el sentido longitudinal,rn:ien_
tras que los que tienen su origen en la deflexión de los bordes longitudi -
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nales, si influyen decisivamente en la distribución de esfuerzos de la bó
veda cáscara. A medida que el valor de r/l aumenta a partir de O. 6, la in
fluencia de los esfuerzos que se originan en los bordes va disminuyendo.
Por otra parte, si la distancia entre soportes es pequeña, pudiera suceder
que los esfuerzos que se originan en sus deformaciones se extienden de
un soporte a otro.
Como en otras estructuras indeterminadas, deben tomarse en considera
ción los efectos de los esfuerzos secundarios, además de los esfuerzos de
bidos a carga viva y muerta. El principal a considerar es la continuidad e
· xistente entre la bóveda cáscara y su marco soportante.
TIPOS DE BOVEDA CASCARA
Se puede efectuar una primera clasificación atendiendo a su condición de
continuidad en el sentido longitudinal. Si la bóveda cáscara termina en
dos marcos los cuales deben ser integrales con ella, la bóveda recibe el
nombre de " simplemente soportáda ". Si la bóveda c'ontinda a partir de es
tos soportes, se denomina "cont!nua ".
De acuerdo con sus condiciones limitan tes de los bordes longitudinales,
pueden dividirse en:
a) Simple;s:
b) Múltiples:
c) Con Viga . de Borde:
La cáscara termina en su borde lon
gitudinal.
En su borde longitudinal tiene su
inicio otra c~scara.
Existe una viga en su borde long_!
tudinal.
Por supuesto, pueden existir combinaciones de estos tres tipos.
La bóveda cáscara cilíndrica que se diseñará, es de cuatro domos, sien-
do los centrales del tipo múltiple, y los exteriores con viga de borde. S~
rán simplemente apoyados en marcos cuya sección transversal es variable.
-9-
El procedimiento a seguir en el diseño de los otros tipos de bóvedas cáscª-
r~ cilíndrica& puede ser hallado en la publicación efectuada por la antes
mencionada A .s .e .E., " Design of Cylindrical Concrete Shell Roofs ".
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO
En el análisis de una estructura indeterminada es costumbre convertirla en
determinada creando una condición adicional asumiendo que alguno de sus
apoyos pueda desplazarse y girar. Posteriormente reacciones son apHca
das par<;l llevar la estructura a su posición ori.ginr>.l. Los esfuerzos finales
serán la suma algebraica de los obtenidos de la estructura considerada co
mo determinada, y de los calculados debido a la reacción aplicada. El a -
nálisis de la bóveda cáscara sigue el mismo procedimiento.
Primero se asume que las cargas superficiales se transmiten a los sopor
tes por medio de esfuerzos directos generalmente llamados "Esfuerzos de
Membrana", lo cual es equivalente a . asumir la estructura determinada.En
el diseño de las bóvedas cáscara el primer paso llamado "Análisis de ~.Q.!
brana ", produce desplazamientos y reacciones a lo largo de los bordes
longitudinales, lo cual no concuerda con los requerimientos limitantes.
Para satisfacer estos requerimientos, cargas lineales deben ser aplica -
das a lo largo de los bordes longitudinales. Estas cargas producen esfuer
zos directos y flexión en la bóveda cáscara. En otras palabras, si pudi~
ramos aislar una fracción de bóveda, existirfan únicamente los esfuerzos
conocidos como de Membrana, pero al ser restringidos sus bordes por con
diciones limitantes, se producen esfuerzos que deben ser tomados en
cuenta.
Por lo tanto, el diseño de bóvedas cáscara puede ser dividido en dos par
tes:
a) Determinación de los esfuerzos internos creados por las car
gas superffoiales en base del análisis de membrana.
- 10-
b) Determinación de esfuerzos debido a las cargas concentra -
das de borde •
a) Cargas SuEerficiales. -
El análisis de membrana de una bóveda cáscara cHíndri.ca está compuesto
de sucesivas derivaciones e integrales de las componentes radiales y tan
genciales de las cargas superficiales. Por lo tanto siempre es posible para
cargas contfnuas, que el esfuerzo creado por ellas expresado como una
función de las coordenadas longitudinale s y rad.i.ales x y J6, pueda ser de
terminado. En la fig. # 3 pueden ser observadas las fuerzas internas y
desplazamientos debidos a las cargas superficiales.
FIGURA# 3
TJZ}: Componente de la fuerza directa en la dirección transversal ,
considerada positiva cuando es de tensión.
Tx : Componente de la fuerza directa en la dirección longitudinal,
considerada positiva cuando es de tensión.
S Fuerza cortante tangencial, considerada posltiva cuando pro
duce tensión en la dirección en que aumentan los valores de
xyjlf.
6 v: Despl azamiento vertical, considerado positivo cuando ocurre
-11 -
hacia abajo.
Ah: Desplazamiento horizontal, considerado positivo cuando su
dirección es hacia adentro.
1: Distancia entre soportes de la bóveda cáscara.
r: Radio de la bóveda tomado en su línea centro.
t: Espesor de la bóveda cáscara.
x: Distanc'ia longitudinal medida a partir del soporte izquierdo.
~: Angulo medido a partir del borde derecho de la bóveda cáscara.
~k: Angulo subtendido por el borde de la bóveda cáscara medido a
partir de la lfnea de centro.
E: Módulo de elasticidad del Concreto.
pu: Valor de la carga sobre la bóveda cáscara por unidad de área.
Pd: Valor de la carga muerta por unidad de área .
Los valores de los desplazamientos y esfuerzos internos serán cal
culados por medio de tablas de coeficientes, las cuales serán con -
signadas y comentadas posteriormente.
b) Cars¡as a lo largo de los bordes longitudinales.
A lo largo de los bordes longitudinales, pueden ser aplicadas cua
tro tipos de carga:
1) Una fuerza cortante radial
2) Una fuerza cortante longitudinal.
3) Una fuerza transversal tangencial.
4) Un momento .
Las fuerzas aplicadas en un borde pueden ser distintas a las aplicadas en
el otro, por lo que con estas ocho cargas cualquier requerimiento de borde
puede ser cubierto. Estas fuerzas pueden ser observadas en la Fig. # 4. En
una bóveda cáscara cilíndrica simple sujeta a una carga simétrica, las car
gas concentradas de corrección consisten de una fuerza transversal tange!}_
- 12 -
cial, y una fuerza cortante longitudinal. Cuando la s condicione s d e bor
de se complican por la presencia del inicio de otra bóveda o una v iga d e
borde, deben adicionarse a las fuerzas ya mencionadas, una fuerza cortag
te radial, y un momento normal a los bordes. El procedimiento para obte
ner el valor de estas cargas de borde, consiste en la resolución de ecuac-!2
nes simultáneas, las cuales se basan en las condiciones c onocidas de bor
de.
F IG U RA # 4
CA R GA S S IMETRICAS DE B O R D E
Las d iferentes fuerzas producidas por las c argas d e borde pueden ser ob
servadas en la Fig. # 5 en donde:
N,16: La fuerza cortante radial en la cara radial, considerada posi
tiva cuando actúa hacia arriba .
Nx: La fuerza cortante longitudinal en la cara long i tudinal, c on si
derada positiva cuando actúa hacia arriba .
M,e5°: Momento de flexión en la cara radial, cons iderado pos itivo
cuando produce tensión en las fibras interiores.
Mx: Momento de flexión en la cara transversal , c onsiderado posi-
-13 -
tivo cuando produce tenslón en las Hbras interiores.
Mt : Momento torsiorn.ü, considerado positivo cuando produce teQ
, sión en las fibras interiores eh el sentido en que aumentan
los valores de x y ~ •
u: Desplazamiento de la bóveda en la dirección longitudinal,con
siderado positivo en la direcci.ón en que aumentan los valo -
res d e x.
\( · Desplazamiento tangencial de la bóveda, considerado pos.iti
vo en. el .senti.do que aumentan. los valores de~ •
w: Desplazamiento radial, considerado positivo cuando se suce
de , hacia arriba •
e: Rotación de la bóveda cáscara, considerada positiva cuando
la sección gira . en el sentido contrario a las manecillas del
reloj.
FIGURA# 5
El efecto de las cargas de borde es más pronunciado en las cercanías de
donde son aplicadas, disminuyendo las fuerzas internas proporcionalmente
- 14 -
a la distancia existente entre el punto considerado, y los bordes de la
bóveda cáscara.
Cuando la cuerda de la bóveda cil.rndrica es pequeña en relación con la
luz longitudinal, las fuerzas internas producidas por las cargas de borde
no disminuyen tan r~pidamente para que el efecto de una carga de borde a-
plicada en uno de éstos, pueda des preciarse con res pecto al otro • Es por
papel esta razón que el ángulo subtendido por la bóveda c~scara ji.e. ga un
importante en la distribución de esfuerzos, y debe ser considerado.
Cuando la cuerda es grande comparada con la luz longitudinal, el efecto de
las cargas de borde con respecto al opuesto es despreciable, por lo que
cada borde puede ser analizado separadamente. No existe un límite bien
definido cuando este efecto puede ser despreciado, pero comprobaciones
prácticas han indicado que cuando r/l es mayor de O. 6, y pfk excede los
3 0° , cada borde longitudinal puede ser tratado independientemente. -
* *
-15 -
CAPITULO SEGUNDO
DISEÑO DE LA BOVEDA CASCARA INTERMEDIA
Las condiciones que deben cumplirse en los bordes longitudinales de la
bóveda cc1.scara intermedia son:
a) Cero rotación de los bordes.
b) Cero desplazamiento horizontal de los bordes.
Come nzaremos por fijar las diferentes dimensiones y constantes que inte!:_
vienen en el cálculo.
FIGURA# 6
A = 4. 00 mts ( 13 . l ') L = 12. 00 mts (3 9. 4 ') r= 3 • 5 mts. (11 • 5 ')
F = O. 6 2 rnts. J6k = 3 5 °
r = 3. 5 = t 0.038
t = 3. 8 cms. { l . 5 ')
93 ~ 100 r L
= 3.5 = 0 . 3 12
-16-
Un concepto práctico en la .fijación del valor de la flecha, es el de que
F ::: O .1 L, pero en este caso, debi.do al valor relativamente bajo de A, si
se hubiese aplicado esta regla, indudablemente no se obtendría un buen
efecto estético en la bóveda. Cabe hacer notar, que las dimensiones fija-
das son tales que la gradiente entre la corona y el borde longitudinal es de
un treinta por ciento.
Los valores de A y L son fijados por las condiciones del edificio; los de
r y s6k pueden ser calculados gráficamente una vez fijado F.
El espesor mínimo utilizado por razones constructivas y de colocación del
acero es generalmente de 7. 5 cms. Para e fectos de diseño trabajaremos
tentati.varnente con el espesor anteriormente fijado, pero en el cálculo de
la carga muerta se tomará un posible espesor de 7. 5 cms.
·En la tabla 4f 1 son presentados los valores de Ts6, Tx y Ms6. Para x = L/2 y de S para x =o. Los valores de los otros momentos flexionantes y
fuerza s han sido exclufdos, pues su efecto es despreciable.
Obtención de la Tabla #: 1. -
En las filas 1 y 2 se tabulan los valores de los esfuerzos y momentos
producidos por las cargas viva y muerta, en las 3, 4, 5 y 6 los debidos
a las cargas de borde. Los valore s finales puedén ser lerdos en la fila 7,
la cual es la suma algebraica de los esfuerzos i:;onsignados en las filas
anteri.ores.
Puede notarse que los valores de los esfuerzos han sido obtenidos a su vez
para diferentes valores de ¡S , oscilando entre s6 = oº y s6 = ¡Sk = 35º. El
signo + significa tensión y el compresión.
Cálculo de los Esfuerzos y momentos debidos a carga viva Y. muerta. -
Se asumió una carga viva debida a viento de Pu= 73, 7 K/m2(15lbs/ft2 ),sien
do la muerta:
Pd = 7.5 x 2400 = 186,7 K/m2 ( 38 lbs/ft 2) 100
ANGULO (ll EN GRADOS ANGULO (ll EN GRADOS 1 COL FUERZA FACTORES FACTORES
35 o 30° 20° 10 o Oº 35 o 30° 20° 10° oº - - -
T~ PARA X= 1¡2 ts POR P1IE s PARA X= o f s POR PIE
1 VIVA 4/TT X 15 X 11.5 X coef. 1 -2 20 -2 1 6 - 2 o 5 1 - 1 6 o -1 4 7 4/íl X 15 X 11.5 X 3.4 X coef. O• - 6 z -1 1 e - 273 - 3 3 5
2 1
MUERTA 4/11 X 38 X 115 X coet. -5 56 - 5 5 4 - 5 3 7 -50 4 -456 4/íl X 36 X 115 X 3.4 X coef. o -1 o 5 - 3 1 2 - 509 - 69 1
3 \IL 359x coef. '
-928 -896 - 64 o -1 6 7 + 199 346• 3.4 x coet. o -7 00 - 2137 - 2888 o
4 HL 738 x coef. +643 +656 ne + 72. J +6 05 738 x 3.4 x coef . o -3 8 7 -577 +1 89 o
5 SL 10 26 X coef. -70 - 62 -5 + 55 o 1026x 3.4 x coef. O· -1 98 -435 -164 +1026 1
-55/IJ.5 X Coef. 6 Mi l. 1 + 4 +3' ~1 ~ 3 o -55 /ll.5x 3:4 x coef . o + I :. H -7 o
7 ~ -1 1 27 -1o71 - 6G O -16 +ZO I o -1 4 37 -3617 -365 2 + o
1¡ 2 #s POR PIE l;2 #-1
Tx PARA x= M~ PARA X:. PIE POR PIE 1 1
1 lfl'IJ!, ¡ 4/11 x 1 5 x 115 x ( 3. 4 )2x coet. -772 -760 - S66 - 49 6 - 264
2. 1 MUERTA ! ;4/lT x 38 x 115 x (3.4 f x cae( - 1 3 03 - 1 2 98 - 1 2 59 -11 81 -1068
3 1 Vl 346 (3.4 f X coef. r -8624 -88 1 2 -8224 +2052 +40.120 346 x 11.5 x coet. -115 5 - 11 2 2 -876 -457 o
4 ' 11.. 738 (3.4 f xcoet - 5 1 5 2. -41 15 +2302 + 5325 -13.163 7 38 X 1 1,5 X coef. +1156 + 113 6 +- 965 + 59 2 o
5 $l. 1526 ( 3.4 f coet -2538 -2297 -289 +4099 +11 . 477 1026 xll.5 x coef. -42 -39 - 2.1 -2. o
6 ML - 55/11,5 (3.4 )2 coef. +I 9 4 + 156 - 84 -209 + 522 - 55 x coef . - 39 - 39 - 42 - 48 -55
--7
1 ::?. -1 8.19 5 -17.126 - 8430 + 9520 +37.624 2 - eo - 64 + 26 + 85 -55
TABLA #
ESFUERZOS INTERNOS BOVEDA INTERMEDIA X/ L 1/ 2
o s
1 0 15
20 25 30 35 40
4S so SS 60 65 •
70 75 80 85 90
18
(a) (AR Gfl UNIFORME TRANSVERSAL
~~-i:__i:·; ' """""· Ir -
- 1 -
Fuerzll Lon9ítudina l Tic-
Pu ·r [ (~}2 X Col. (1) J sin'\•
Fuerzo Cortonto S-
Pu r[ (+) X Col. (2)] Fuerza Transversal T tf-
cos!!:..!. t
Pu ' X Col (3) X sin~·
De•plazomiento Vertical Av-
Pu r r;:E [ ( 1 + ~(rr r/U2 + Íz!rrr/ti4)
X Col. (4) J sin "{
Oesplozom1ento Horizontal AH-
+ Pu r rl r E { ( T J X Col. ( S) + [ 1 + ~ ( 'í' r + 1~ ~rYJx Col.(6l} X 51n rr1•
T• 5 T~
(1) (2) (3) (4) (:; ) (6 )
1
-0.3040 o -IDOOO 0.1231 9 o o -0.2993 - 0,0829 -0.9924 0.121 80 0.0872 -Q00009
' -0.28S6 -0.163J -09698 0 . 11766 0.1 736 -o.ooo64 -02623 -0.2387 -0.9330 0 . 11102 0 · 2S88 -0.00213
-02329 -0.3069 -0.8830 0 .1 0222 0 . 3420 -0.0049C
-.0.1954 -036S8 - 0.8214 0 .09170 0 .4226 - 0.009'!C -O.l S20 -0,4140 -0.7500 0.08001 o .soco -0.01539 -0. 1040 -0.4487 -0.6710 0.06771 0.5736 -0.02325
-0.0528 -Q4702 -0.5868 0.05S3 7 0. 6428 -0.03Z7Z
o -0.4775 -o.sooo o.043S5 0 .7071 -0,04355, . 0.0528 -0.4702 -0.4132 0.03272 o. 7660 -0.05537 0,1040 -0.4487 . -0.3290 o.0232S Q.8191 -0.06771 OIS20 -0.4140 -0.2500 0.01 539 0 . 8660 -0.0800 0 .1 954 -0.36S8 -0.1786 0 .00930 0 -9063 -0,09170
0.2329 -0.3069 .,-0,I 170 0.00490 0 .9397 -Ql0222 0.2623 -0.2387 -0.0669 OPQ213 0.9659 -0.11102 0.2856 -0.1633 -0,0301 0.00064 0.9848 -0.11766 0.2993 -0.0829 r0.0076 0.00009 0.9962 -0,1 2180
0.3040 o o o 1 .oooo -0.12319
TABLA A
( b) CARGA DE P ESO MuERTO
Fuerza Lanoitudinol T •
Pd r [(fY X Col. (7) J Fuerzo Cortante 5-
sin ir x t
Pd r [ (f) X Col. (8)] cos~' Fuerza Transversal T ~-
Pd r X Col . (9) X sin';'
Desplazamiento Vertical Av-
l 4 [(2')2 2 Pd r r•t E Xi" + ;;:4
+ ( f r X Col. ( 10)] sin ""t •
Oesplozomienta Horizontal llH -
+ Pd r~[(f)4x coi (11J]
Tx s
(7) (8) 9
-02026 o - 1.000 -0201 9 -o.osss -0.9962 -0.1996 -0.1 IOS - U.9848 - 0.1 957 -0.1648 -0.9659
-0.1 904 -0.2178 -0.9397 -0.1837 -0.2690 -0.9063 - 0.1754 -0.3183 -0.8660 -0.1660 -o. 3652 -0.8191 -O.l S52 -0.4092 -0.7660
-0.1433 -0.4502 -0.7071 -0.1302 -0.4877 -0.6428 -0.1162 -Ó.52 IS -0.5736 -0.1013 -0.5513 - 0 .5000 -00856 -0.5769 -0.4226
-o.0693 -0,5982 -0.3420 -0.0524 -0.6149 -0.2588 -0;0351 -0.6269 -0.1 736 -0.0177 -06342 -0.0872
o -0.6366 o
rr • Xain T
(JO} (11) 1
1.0000 o 0.9924 Q.0868 0 .9698 0 . 171 o 0.9330 0.2500
OB830 0.321 4 0.8214 0.3830 0 ·7 500 0.4330 0 .6710 0 .46 98 o.5868 0.4924
0.5000 o.soco 0.4132 0.4924 0.3290 0.4698 0.2500 0.4330 Q.1786 0.3830
0.1170 0.3214 0.0669 0.2000 0 . 0301 0.1110 0.0076 0.0868
o o
FUER Z AS DE MEMBRANA y DESPLAZAM 1 E NTOS EN BOVEDAS
CASCARA CILINDRICAS SIMPLEMENTE SOPORTADAS; CARGA S
VARIANDO LONGITUDINALMENTE DE CERO EN LOS EXTREMOS,
A UN MAXIMO POSITIVO AL CENTRO
-19-
Por medio de las fórmulas y coeficientes consignados en la Tabla A, pue-
den ser obtenidos los valores de los esfuerzos debidos a pu y pd. Co -
mo se mencionó anteriormente, estos coeficientes vienen establecidos pa-
ra unidades inglesas, por lo que los valores de los esfuerzos aparecen en
esas unidades en la tabla # 1 .
Podrá observarse que en la Tabla A las cargas var!al!J uniformemente en el
sentido transversal, y en función del valor de sen 1( x longitudinalme12... ~ · L
te. Una explicación del por qué se utilizará una carga sinusoidal en lu-
gar de la carga uniforme realmente existente, se hace necesaria. Las car-
gas viva y muerta varían uniformerre nte, y pueden ser analizadas con ese
tipo de variación; pero las cargas correctivas de borde varían sinusoidal -
mente, por lo que para obtener compatibilidad entre los esfuerzos obteni -
dos a partir de los dos tipos de carga, se asume variación sinusoidal tam-
bién en las cargas viva y muerta.
Ambos . tipos de carga, uniforme y sinusoidal, tienen efectos de flexión si
. milares, como puede observarse al cargaruna viga simple con estos dos t!_
pos de carga ( Fig. i 7 ) .
FIGURA # 7
- 20-
Expresiones para esfuerzo cortante, momento, pendiente y deflexión, basa
dos en la carga sinusoidal p ::: l , son:
px ::: p sen 'lr X
V=) px d x = L
Pf sen '11' X dx = -12 L cos ')(, X
M=fVdx= L ..,,. L r L .,,.. Je 2 ,,. p cos dx = -pL sen X
-w-- L 'lf22 L G- =f.Mdx = PJ - L2 sen 1f X dx:= j::PL cos 1'( X
El EI L '· El~ L
A = fe-dx = _2-S 12
cos ,.. x EI 1fT L
4 dx = _p__ L sen 11' x
El ~ L
Usando estas expresiones, podemos hacer la siguiente comparación entre
los dos tipos de carga:
Al centro de la luz:
Momento ( sinusoidal ) 1 X 4 = o .128 1{T" 1r
Momento ( uniforme ) 1/8 = o .125
Deflexión ( sinusoidal ) 1 X 4 Ar = o~ 013 9 -=r 1'
Deflexión ( uniforme ) 5 / 384 - 0.0130 -
En los soportes:
Fuerza Cortante (sinusoidal) 1 X 4Jir = 0.405 ~
Fuerza Cortante (uniforme) 1 / 2 = 0.500
En esta comparación, la máxima ordenada de la carga sinusoidal es igual
a l .o X 4/1( , mientras que para la carga uniforme es 1.o. La ordenada
máxima de la carga sinusoidal será de mayor intensidad que la de la carga
uniforme, si las dos cargas son similares, y el factor 4/11' usado para es-
te propósito es derivado del análisis de Fourier. Los resultados de la col_!!.
paración efectuada nos indica que una buena aproximaCión es obtenida
para ·momentos y deflexiones en vigas cuando solamente se utiliza el pri -
roer término de las Series de Fourier. Lo mismo puede decirse con res pee
to a las bóvedas cáscara cilrndrica.
Pueden sumarse varios de los términos de la Serie de Fourier, para aproxi_
- 21 -
marse a la carga longitudinal un iforme. Gada uno de estos términos repr..§_
senta una carga parcial, las cuales varfan con el valor de sen n
n 'líx , L
en donde n = l, 3, 5 etc. Las figuras 8a, 8b y Se, ilustran gr~
ficamente los tres primeros términos.
La figura 8d muestra la carga resultante de la suma• de los primeros-- da;
términos, mientras qu; la 8e es la combinación de los primeros tres térmi
nos. Con la suma de todos los términos de la serie, se llegaría óproxima-
da mente al valor de la linea recta p = l • o •
Sin embargo, la anterior comparación nos indica que el uso de muchos tér-
minos es innecesaria. En este ejemplo, para mayor claridad, solamente se-
rá utilizado el primer término de la Serie de Fourier, para el cual ha sido
confeccionada la Tabla A. Si se quiere una mayor aproximación del va-
lor de los esfuerzos, debe utilizarse la tabla existente en la referencia
i 1, para el 2° término. Otro criterio existente es el de aurre ntar los es
fuerzos obtenidos mediante la Tabla A, en un 1 O al 15% .
Podrá observarse que T,6, Tx y M,6 varían con el sen 1í x , y S con el L
COS '\t X
L ; y· como la tabla it l ha sido calculada para T~, Tx y·M_,6 en
x ~ L/2, y S en x =o, el valor de la función trigonométrica en ambos
casos es l .o. Estando la carga apU.cada dada por la expresión de la Se-
rie de Fourier:
l n
sen 11' n X
L
debemos multiplicar las fórmulas de la Tabla A, por el valor de 4/1(
Cálculo de los Esfuerzou_Mornentos debido s a las Cargas Correctivas de
Borde.
Por medio de las fórmulas y c oe ficientes de la Tabla B pueden ser calculados
los esfuerzos y momentos debidos a las cargas correctivas de borde. Esta
tabla está li91itada en este caso para los valores de r/t y r/L del ejemplo
22
tf ,,, ! "- '
.__,__._~~~~--.--.--r-.':..__J__J_L__J_~~
.. - a+b+c ( d)
(e)
FIGURA ~ 8
-23 -
considerado, pero en la referencia Nº 1 existen tablas para diversos va-
lores de r/t y r/L • Cuando el valor de r/L excede a O • 6, debe utili -
zarse otro tipo de tabla, la cual está también en la referencia antes men -
cionada. En la bóveda intermedla la condición de continuidad en el senti
do transversal, trae como consecuencia que los bordes longitudinales, no
pueden girar, ni moverse horizontalmente .
Las cargas correcti.vas de borde serán en este caso VL, SL , ~ , y ~·
Las dos primeras, VL y Si. , dependerán de las reacciones resultantes
del análisis de membrana. Los esfu.erzos debidos a la teoría de membrana
( carga viva y muerta ) producen reacciones en los bordes longitudinales.
Como no existen condiciones restrictivas en el sentido vertical y longitu
dinal, cargas iguales pero contrarias a estas reacciones deben ser aplica-
das.
Podemos observar en la tabla #: 1 , que en x :: L/2, para T~ y para x_ = o para S, las fuerzas desbalanceadas son:
De donde:
T~ .. - 147 - '156 • - 603
s "" - 3 3 5 - 6 91 = - 1o2 6
v1 = - T~ sen ~k = 603 sen ~k = 346 lbs/pie ( 518 K/m)
SL - - S = + l O 2 6 lbs / pie ( 15 3 S K / rn )
Los valores de HL y ML dependen del desplazamiento de los bordes lon
gitudinales y como en e ste caso ese desplazamiento debe ser cero,dos e-
cuaciones simultáneas igualadas ambas a este valor deben ser planteadas.
En la Tabla A podrerro s ha.llar las fórmulas y coeficientes necesarios para
obtener el desplazamiento horizontal debido a las cargas viva y muerta. La
Tabla C da las fórmulas y coeficientes necesarios para el cc:Hculo de los
desplazamientos horizontales debidos a las cargas correctivas de borde.
Sumando algebraicamente todos los va lores de ' H, e igualándolos a ce-
- 24 -
ro, obtendremos la· siguiente ecuación:
l5xl1.S((ü.3)4
x 0.$736 [l + t (11' X 0.3 )2+ l/12(1íx0.3lj ( - 0.02325J
+ ·38 xll.5 [e 0.3)4x 0.4698] + 346 x15.65 - HLx 7.89 + 1026 x 0.1474
- ML x 54. 5 = o = .\ H - 11. s
Efectuando productos y simplificando:
(1) 5 5 6 2 , 5 - HL x 7 • 8 9 - ML X 4 • 7 3 = o
De la tabla C, podremos obtener las fórmulas y coeficientes necesarios pa
ra el cálculo de la rotación de los bordes debida a las cargas correctivas
de borde. Sumando algebra.icamente los valores de G , e ig,ualándolos a
ceto, nos resulta la ecuación siguiente:
346 x 11.5 x 0.1092 - HL x 11.5 x 0.056 + 1026xll.5x0.0009
- ML x o.496 ::: o = e
Efectuando productos y simplificando:
(2) M -=-890,18 - 1,28 H L L
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), obtenemos que
f.\. = + 738 lb/pie ( 1100 Kg/ m)
M1 = - 55 lb-pie/pie ( 25 K- m/m )
Con los valores obtenidos de v1
, s1
, HI. y M1
, podremos utilizar la ta
bla B, y obtener los respectivos esfuerzos, los cuales están consignados
en las filas 3,4, 5 y 6 de la Tabla =!F 1.
En la figura # 9 puede observarse la variación de los esfuerzos obtenidos.
Esta figura fue obtenida plateando los esfuerzos consignados en la fila 7
de la tabla #- I. Puede observarse en esta figura, que para cada valor de
~, está indicado el respectivo valor de la flecha.
CHEQ UEO ESTATICO
Un chequeo de los cálculos eíectuados, puede ser realizado media.nte :
a) Igualando la suma de las fuerzas internas en la dirección ve...r
t ical a las fuerzas externas conocidas.
• =35: k35
30 20 10 o
'k4o40:
30 20 10 o
lf =45: k45
40 30 20 10 o
,,k~50 :
40 "30 20 10 o
Fuerzo Longitudinal T r-
V L [Uf X Col. (1>] sin\"
Fuerzo Cortante S-
V L [~X Col. (2) ]cos ~ • Fuerzo Transversal Tlf
v L x Col. 131 X sin~·
Momento Transversa l M ,_
VL (r X Col.(4)lsin ~·
Tx
(1)
- 2.156 - 2.203 -2.106
s (2)
o -0.595 -1.817
+0.513 -2.456 +10.03 o
-0.216 o - 1.020 -0.275 -2.210 -1.203 - 0.295 -2.141 +10,01 o
+ 1.400 o + 1.083 +0.354 - 1.040 +0.432 - 3.11 0 -0.788 -0.946 -2.214 tll .24 o
I+ 2.so5 o ¡+ 1276 +1. 180 - 1.837 +1.062 - 4.099 -0.690 - 1-1 87 - 2.497 +12 66 o
Tri
( 3)
-2.682 -2.591 -1.850 -0.482 +0.574
-1.977 -1.892 - 1.430 -U.336 +0.643
-1.178 -1.224 -1.454 -1.326 -0.330 +0.707
-o 326 -0.676 -1.342 -1.432 - 0.379 + 0 766
-0.2903 -0.2821 -0.2201 -0. 1148
o
-0.2853 -0.2631 -0.1982 -0.1018
o
-02565 -0.2537 -0.2296 -0.1143 -0.0899
o
-0.2300 -02032 -0.1926 -0.1527 -0.0801
o
FORMULAS BASICAS Y DIAGRAMA S DE CARGA
Fuerza Longitudinal T r-
H L [U/xcol. 5]sonrr\x
Fuerzo Cortante S-
rt J rrx HL L7X Col. (6) eos t
Fuerza Transversal T f-
H L X Col. ( 7) X sin ~x
Momento Transversal M rl
H L !! X Col. (8)] sin ~·
Tx
( 5 )
s ( 6)
Mit
( 8)
Fuerzo Longitudinal T x-
5 L I (+ )' X COL (91 }in rr
Fuerza Cortante S-
SL [t X Col. (10) J eos ";,X
Fuerza Transversal Tf -
SL X Col. (ll)Xsin ~x
Momento Tran sversal M f-
IT" X SL [r X Gol. (12)] sin L
Tx
( 91
s ( 10)
Tf
(JI)
SL
Mf ( 12)
r / 1 = 100 y r / 1 = O. "
1_ 0.6039 '1
1
o +0.8706 +o.136' -0.2140 o -0.0685 -0.0036 - 0.4823 -0.1 544 +0.8892 +0.1338 -0.1937 -0.0568 -().()6()3 --0.0033 + 0.2698 -0.2300 +0.9859 +0.1137 -0.0244 -0.1248 -0.0046 - 0.0018
¡+ o.6242 +0.0755 +0.9800 +0.0698 +0.3456 -0.0471 +0.0535 -0.0002 1 - 1.543 o +o.8192 o +-0.9676 +o.3000 o o
- 1.176 o +0.6733 +O.Í 553 -0.1668 o -0.0736 -0.0048 - 0.4885 -0.51 49 +o.azoa +0.1488 -0.1238 -0.0837 -0.0485 -0.0039
:+ 0.9141 -0.3958 +1.069 +0.1252 +0~263 -0.1164 +0.0125 -0.0018 + 1.073 +0.2676 +1.040 +0.0762 +o 391 -0.0252 +o.0611 -0.0001 - 3.068 o + 0.7660 o +o.8934 +0.3000 o o
- 1.970 o +03055 +o.1591 1-0.1142 o +0.0719 -0.0059 - 1.728 -0.5178 +03766 +0.15'89 -0.1112 -0.0"310 -0.0674 -0.0056 - 0 .()1172 -1.061 +0.8385 +0.1550 -0.0776 -0.0851 -0.0328 --0.~ + 1.941 -0.5051 +1.279 +o.1338 +0.0382 -0.1013 +0.0241 -o.o 16 + 1.513 +0.6328 +1.158 +0.082• -+03209 -0.0128 +o.0645 -0.0001 - 5257 o +0.7071 o +08743 +o.3000 o o
- 2.821 o -02407 +0. 1409 -0,0565 o -0.0611 -0.0063 - 1. 744 - 1.346 +0.1577 +0.1474 -0.0651 -0.0327 -0.0514 -0.0056 + 0.8732 -1.624 +1.033 +0.1561 -0.0643 -0.0700 -0.0208 -0.003& + 3. 129 -0.4486 +1.623 +014 22 +0.0214 -0.0879 +00276 -0.0013 + 1 766 +1.1 5 5 + 1.31 5 + 0.0885 +03005 - 0.0113 +00639 + 0.0002
•"- 7 773 o +o6428 o +0.899 2 + 0.3000 o o '
TABLA B
CARGAS SIMETRICAS DE BORDE EN BOVEDAS CASCARA CILINDRICAS SIMPLEMENTE SOPORTADAS
Fuerzo Longitudinal T r--
M; [(~) 2
X Col. (13l ]sin ;•
Fuerzo Cortante S -
M rL [f X Col. (14) ]cos ~ ·
Fuerzo Transvers al T~
MrL X Col. (15) X sin";, x
Mome nto Transversal M ,_
ML X Col. (10) X sin.";, x
Tx
(1 3 )
:'to--;
s (14)
- 3.~3 l o - 2.808 - 0.8945 + 1.506 - 1.358 + 3.764 + 0.4236 - 9403 o
- 5.193 o - 2.222 - 2.288 + 3.993 - 1.809 + 5.004 + 1.180 - 14.38 o
, - 6.844 o - 6.032 - 1.802 - 0.316 - 3.743 + 6.7'0 - 1.867 + 5696 + 2.230 - 1961 o - 7.871 o - 4,994 - 3.782 + 2207 - 4.666 + 8,917 - 1.4 22 + 5.588 + 3 317 - 23.76 o
T ~
(1 5 )
- 0.7613 -0.6319 + 0.1098 + 0.4372
o
- 1.469 - 0.7475 + 0-5716 + 0.7966
o
- 2.463 - 2.202 - 0.4779 + 1.312 + 1.229
o
- 3.553 - 2.394 + 0.2204 + 2.17 1 + 1.625
o
M~
( 16)
+0.708 1 +0.7161 +o.7726 +0.8689 +1.000
+0.6071 +0.6444 +0.7382 +0.8572 +1.000
+0.4746, +0.4871 + 0.5768 +01124 +0.8510 +1.000
+0.3153 +0.3754 +0.5257 +0.6995 +o.850 8 +1. 000
1
I• =o. 1 : 1
30 35 40 45 50
1>=0·2: 30 35 40 45 50
/~=0.3: 30 35 40 45 50
rl• =O. 4: 30 35 40 45
50
CARG I! VERTICAL DE BORDE CARGA HORIZONTAL DE BORDE CARGA DE ESFUER70S CORTANTE DE BORDE
CARGA DE MOMENTO DE BORDE
Desplazamiento Vert ical fly V L rl ~+E X Col ( 1) X sin ~ x
t 4 rr x HL ;:3!"E X Col. (4) X sin T \.¡. • IT" X
S L ;:3iE X Col. (7) X sin -1-
t• IT X V L "11:'. X Col. (2) X sin T Desplazamiento Horizontal ~ BH
t4 rrx 14 rrx HL -
5- X Col. (5lXsin --;- SL .-it: X Col. (8)Xsin -t-
l 4 rr X MLX r•tE X Col ( 11) X sin t
Rotaci&n -e- r t E , rs
rr X
T V L ~~ X Col. ( 3) X sin ,...I x
Rotaci&n -9-rZ rr x
HL El X Col. (6)X sin T
Rotación -9-rt IT' X
SL Ei X Col. (9) XS1n T
Rotación -9-
· M X _r_ X Col ( 12) X sin
t:.v ( 1 )
1 2.53 6.265 3.611 2.591 2.043
1 7.3B 1 2.87 1 2.51 1 3.47 14.54
35.24 37.3 1 42,36 46.06 45.75
75.06 67.57 96.68 96.1 o 85.1 5
t.H ( 2)
0.1 445 0.2508 0.4009
º· 5987 0.8434
2.03 1 3.538 5.544
7.956 1 0.50
9.474 15.65
22.99 30.1 2 35.1 1
26.1 o 40.75 55.00 64,69
67. 32
-e( 3)
t,.v
( 4)
/j.H
( 5)
0.11 08 0.1420 0.1 752 0.2088 0.2410
1 - 0.1 445 - 0.0585 ' - 0.2508 - 0.1231
- 0.4009 - 0.2325
0.0982 0.1 259 0.1 524
0.1748 0.1899
o.0891 0.1092 0.1 245 0.1 317 0.1 285
0.07760 0.09046 0.09596 1
0.09256 i
0.08360
- 0.5981 - 0.4040 - 0,8434 - 0.6558
- 2.031 - C.8742 - 3.538 - 1.794 - 5.544 - 3.282 - 7.956 - 5.447 -1 0.50 - 8.270
- 9.474 - 4.01 o -1 5,65 - 7.890 - 22.99 -1 3.59 - 30.12 -20.69 -35-11 -27.93
- 26.10 -1 1.06 - 40.75 -20.25 -55.00 - 32.68 - 64.69 -44.95
- 67.32 -54.74
~
( 6)
{j.V
( 7)
(o)r/t=IOO
-0.04556 -0.071o8 -0.1039 -0.1444 -0.1925
-0.04288 -0,06530 - 0 09256 -0.1233 -0.1546
0.3401 0.21 78 0.1443 0.1 084 o.0792
0.6950 0.473 3 0.371 5 0.3402 0.361 o
-0.03866 1 1 1 '1 8 7 -0.05606 . ' 0.9583 -0.07595 -0.09384 -0.1070
-0,03483 -Q047 l 6 -0.05921 -0.06746
-0.0721 6
TAB L A C
0.9561 1 .073 1 ,209
1.940 1.924 2.189 2,500
2 59 1
t:.H ( 8)
0000480 0,001006 0,002009 Q003771
0.006516
0.00726 0.02065 0.04590 0.08862 0.1526
0.06357 0.1474 0.2931 0.5020 0.7 422
0.2256 0.5080 0.9067 1.372
1-731
-e( 9)
1 L E .I
t:.v (10)
/j.H
( 11 )
0.00036 3 1 _- i.3'.30 - o. 5469 0.000544 1·704 - 0.8531 0.000822 1
- 2.1 02 - 1,247 0.001 223 ! - 2.505 - 1.734
0.001776 - 2.892 - 2.312
0,00035 3 1
- 1 8.8 6 - 8.2 3 3 0.00067 8 - 24.1 8 -1 2.54 0.001145 -29.25 -17.77 0001-:~7 - 3356 -23.67 0,00 2476 - 36.4 f. -29.70
0,000536 0.000923 0.001413 0.001927 0.002334
0,000632 0.000994 0.001384 0.001641
0.001732
-< 86.6 4 -106.2 -121.0 -127.9 -124.9
-239.2 -277·7 -293.8 -284.1
-255.7
- 37.58 -5450 - i3.83 -91.21 -1040
-104.0
-145.2 -181.4 -20ll
-22Q8
C~RGAS SIMETRICAS DE BORDE EN BOVEDAS CA SCARA CILI NDR ICAS ~MPLEMENTE SOPORTADAS
( DESPLAZAMIENTO DEL BORDE EN 0 = O )
-e-( 12)
- 0.514 4 -0.5964 -0.6749 - 0.7542
- 0,8290
-0.4893 -0.5564 -0.6 159 -0.6651 -0.69~6
-04499 -00965 -0.5288 -0.5434 -0,5402
-0.4049 - 0,4320 - 0.441 7 -0,4348
-0;4228
1\)
O'>
ESCALAS 2:.
T tl 3 C M = 1 X 1 o 3
s 3 C M = 1 X 1 o 3
M tl 3 C M 1 X 1 o 2
Coron.a T X 3 C M 1 X 10 4
'l.
V
VARIACION DE ESFUERZOS PARA X/ L = 1/2 EN BOVEDA INTERMEDIA
-28 -
b) Igualando la suma de los momentos de las fuerzas horizonta-
les al momento estáti.co con respecto al centro de la luz.
Para este propósito, como la variación entre ordenadas no es lineal, utili
zaremos la Ley de Simpson:
Area = A L ( yo + 4 y 1 -+ 2 y 2 • • • + y n ) 3
en donde de yo a yn son ordenadas de la curva ( Fig. # 9 ) , n es un núme
ro par, y L es la distancia entre ordenadas.
La componente vertical del esfuerzo cortante S es igual a S x Sen (P'k - ¡)).
La suma de estas componentes a lo largo del borde transversal, o sea para
x :o o, es aproximadamente igual a la mitad de las cargas externas sobre
la bóveda cáscara, ya que una parte de ellas se transmite al marco por
medio de esfuerzos cortantes radiales.
La suma de las fuerzas verticales es la siguiente:
21l"x ll,5xl0 x 2 (0-1437x0,l + 2 x 3617x0,259-t- 4 x 3652 :xü,42+ O) 360 X 3
+ V= 11.300 lbs. ( 5140 Kgs.)
Un medio de la carga sinusoidal asumida sobre la bóveda ceiscara, es igual
a:
Carga 2
= _'l:.__ X 19, 7 x_.1__ o. Sx 6, 5 X 2 + J8 xll á x1í X 7 o X 2 1r 1f 360
::: ll,550lbs (5250Kgs)
El momento total en la dirección longitudinal, es igual a la suma de los pro
duetos de las fuerzas Tx por sus brazos. Como la suma de las fuerzas ho
rizontales debe ser cero, los momentos pueden ser tomados con respecto a
cualquier línea. Para facilidad en los cálculos, tomaremos momentos con
respecto al borde longitudinal de la bóveda cáscara, siendo el valor de es-
te brazo igual a r [ cos { ¡6k - ¡6 ) - cos .r6k] El momento de las fuerzas Tx entonces será
M1= 21rxll,5xl0 (O -4x9520xl,15+ 2x8430xl,5+ 4xl7126xl,7)
360 X 3
- 29-
+ 21rx 11 , 5x5 ( 18.195x1.8) = 153.lOOlb-pie (21.200 k -M) 360x3
El momento total de la carga externa sinusoidal con respecto al centro de
la luz es:
Me: 1 X
1fT 2
4 X 3 9 I 4 ( 15 X 6 I 5 X 2 + 3 8xll, 5 X 1r X 7 o X 2 -:;¡r 3 60
= 146,500 lb-pie ( 20,300 k - M)
Podemos observar que M L excede a Me en un 4, 3 % • Si se utilizan m~s
puntos de la curva, una mejor aproximación puede ser obtenida, pero para
efectos de diseño ésta se hace innecesaria.
Obtención de la Tabla # 2. -
En la Tabla # 2 son presentados valores de los esfuerzos T)6, Tx y S, para
diferentes puntos entre x = L/2 y x = o.
Como T)6 y Tx varían con el sen 1r x , y S con el cos 11' x , basta -1- L
multiplíGar los esfuerzos oJ?tenidos para x/L = 1/2 ox. = O, por el valor
del sen o cos "'\( x en el punto deseado. Por ejemplo, si se desea ob--1
tener el valor de S para x/L =- 1/4 , y p5 = 3 0°, se procede de la si-
guiente manera:
Valor de S para x/L = 0° y f6 = 30° 1437
'11' s 1
¡íil RELACION DE -1
--· o 1/8 1/4 3/B 1/2 o 1 1/8 1/4 ! 3/8 1/2 o 1/8
' l ~ o - 448 - B2 -108 1 -1 1 27 o Q o o o o - 69 22
~o o - 44: 6 -7 8 -1028 -1 071 - 1•437 -1320 -1010 • 547 o o - 6521
2C o - 2 ~ - 497 -649 -660 - 3617 -33 3 1 -2549 - 1380 o 1
o -3 241 -- - ·- - ·
' 'º o - 44 - 82 -· 07
- 76 - 3652 -3378 - 2585 -1399 o o 1 -3631
..
' o +;; + 1 18 + 1 52 +20 1 o -1 B -14 -8 o o + 14491
TABLI\ # 2
VALORES ESFUERZOS INTERNOS PARA DIVERSOS VALORES DE X / L BO VEDA JNTERMEDIA
Tx
X/L
1/4
-12 798
-1 2051
-5989
• +6 71 o
1 +26766 1 --
3/8
-16721
-15745
- 7825
+ 876 7
+34.985
1/2
-18.195
-17·120
- 8430
+ 9520
37.;; 24
1
i
:I
(>I
o
- 31 -
Valor de cos "'Ir x para x/L L
De donde:
1/4 cos 11/ 4 = cos 45 o = 0.7 07
S 1/4 ( ,6 = 30°) = 1437 X 0.707 = 1010
Obtención de la Tabla # 3. ·-
En esta tabla se presentan los valores de los esfuerzos principales, y los
ángulos de los planos en que actúan. Estos valores han sido calculados -
por- medio de las siguientes ecuaciones:
Tp = Tx + ~ 2
tg 2 J" =
= y;-T-x-
4-T-#-. ~-2-+--s~2-....
2 s -'rx =--1~-
Para facilitar el cálculo de Tp y j , han sido construídas las tablas 3a
y 3b. Los valores de T/l y Tx y S para los distintos valores de x y ,6 son
tornados de la Tabla # 2.
Puede observarse que a medida que los puntos que se calculan se aproxi -
man a X= L/2, por ir tendiendo el valor de S hacia cero, Tp se convie!.._
te en los valores de T;6 y Tx calculados en la Tabla# 1 ya que ~ pasa
a ser 90°.
Otro detalle interesante que puede ser notado en la Tabla # 2 es que T,6 y
Tx son máximos para x = L/2 y cero para x = o, mientras que S, como en
una viga corriente cargada uniformemente en toda su longitud, es máximo
para x = o , y cero para x = L/2.
Refuerzo_de-la Bóveda Cásc_ara Intermedia.-
A p-esar de que el concreto es capaz de llevar esfuerzos de tensión de un va
lor cercano a un décimo de su esfuerzo en compresión, el refuerzo es dise -
ñado para llevar todos los esfuerzos de tensión, los cuales pueden ser tom~
dos de la Tabla # 1. En general el refuerzo es colocado para tres condiciC2.._
nes de fuerza: el acero longitudinal resistirá las fuerzas Tx, y la fuerza T;6
combinada con el momento M;6 es llevado por el acero transversal; y el a-
cero diagonal tiene principalmente el fin de resistir las fuerzas S.
'1l X/L = O X/L= 1/8 X/L= 1/4 X/L= 3/8 X/L = 1/2 .!----·
T p, Tp. cf Tp, Tp• el Tp, Tp• <i Tp, Tp., d' T p, Tp• et 3~ o o Oº -•US - 6925 90 o ·-8:53 - 1 2. 793 90° - 1 o 8 1 + 1 6.721 ~ 90° - 1469 -1 8..089 90°
30 + 1 429 - 1429 45º - 1 5 4 - 6794 11 o - 699· -12.139 5 º - 907 -15.867 90° - 11 1 8 -1 7.038 90°
' 20 + 3605 - 3605 45 ° + 1885 - 5395 33° + 497 -6983 22° - 387 -8087 10° - 697 -8477 90 °
10 + 3656 - 3656 45º + 5644 - 2056 81 o + 7584 -9::i6 1 e 0 + 8970 - 61 o 9 º + 9497 -12J 90°
o + 20 - 20 45° + 1 4990 + 550 90° + 26 742 + 142 90° + 34.969 + 1 69 90° + 37.816 2 1 90º
TABLA# 3
VALORES DE ESFUERZOS PRINCIPALES Y ANGULOS a BOVEDA INTERIOR
' 1 X/L= O X'/L = 1 /8 X/L=l/4 X/L = 3/8 X/L= 1/2
" !
: Tp, Tp.re ' Tp, Tpf d' Tp, Tp.r t Tp1 Tp,i J Tp, Tp& / 3 5 o 4 5 o ' 90 o 90° o - 376 - 231 6 - 688 - 4288 90° - 901 - 560 1 90° - 1 248 - 6328
'3 0 + 492 - 492 45 o -179 - 2559 12° - 649 - 4409 5 º - 894 - 5714 90° - 957 - 6197 90°
20 + 1556 - 1556 45° + 35':;1 - 3387 25 o - 38 4 - 5224 12° - 723 - 6603 1 06° - 845 - 7085 ! 90°
1 o + 2768 - 2768 45 o + 1325 - 451 5 30° + 214 - 6106 13º - 340 - 7390 09° - 507 - 7827 ! 90°
o + 3974 - 3974 45 o + 2581 - 5159 36° ;- 1 2 99 - 6061 25 o + 329 - 6551 13° - 27 - 670 7 90°
TABLA # 6
VALORES DE ESFUERZOS PRINCIPALES Y ANGULOS cJ' EN BOVEDA EXTERIOR
33
ll'l X/L 2 5- Tx -TQI to 2 et d' 1
l5 1 o ·!)-<)
!· 45º i
l O o o.o i 45º 1
zo 1
o ·O - 4 5 o
1 0 o ·(>() 45°
o o l)Q 4 ~ Q
3 ~ o 1 1 64 7 <1 o 90 o
30 26 4 o o 4 3. 1 L ~
2.0 1/8 66 62 29 7 2 2.2 3 1
3 ! .,
10 67 5 6 36 7 5 L 84 3 1 o
o 3 6 14.42 8 o 9 o o - .
1 3 !. Q 11 -97 1 o 90 o '
30 2 o 20 11.2G4 0.1 B 1
!§.,
20 1/4 ~ 098 5492 o.""~ 2 2 o
1 0 5 1 70 6 7 92 1 o. 7 6 1 8 o
o 2 8' 2 6.648 o 90 "' 1
-·
3 5 ·O 15 -640 o 90º 1
1 !O 1 o 94 14-717
11 o 90 o
1
2:0 3/8 2760 7 .. 17 G 1
O. !I 9 1 0° 1
•o 21<;t8 ss~o : 1 0 . 3 2 9 · o 1
' Q 1 6 3 4-833 o o "
J'.5 1 o 1 o 90 o
30 o o 9 o o
20 1/2 o o 90 o
10 o o 9 o o
o o o 90°
TABLA 3a
VALORES DE el PA RA LA BOVEDA INTERIOR
. 2
v•~1~ slt T ~ t-l' ~- ri t ~
0 • / t -2
- ) 1 1of s ' 10 ~ ( h - h)+ Tp 1 T¡¡i.
' 2 2 .¡ lt 10 • '
3! o o o o o o 11. 1
1 o
~o o o 'I t Í4 2 9 pt ( 1 '1 29 )t 1429 + 1429 - 14 2 9
20 o o o D6 0 5 lt ., 1 36 osl' 3 60 5· + !6C!> - ~ 05 :
( 36 56 l' 1 0 ' o o ( 36 0 5l'l 3 605 3 6 0 5 -160!>
o 1
,11
il o o 4 <!O ~~ [ 20 )t ~ 1 20 -+ 20 - ~o
1 ,1 35 - Mi 9 ~ 10 · <178 o 10 · 4 8 3 Z4G - o\l~ !I -6 92~ -
o - ! 4 7 4 9' ·290 1·7 4 2. 11 ·on 33 2 0 - 1 4 - 67 4 '
: i o 1/ 8· -n 5 Z ·~O l • ·G "' 1 ·304 31>"10 + 1-965 - 3 9 ~ i
1 o n'3:4 3 . ~ B 1 1 · '!Ir 1'1· 71.?9 3 B50 S6 44 - 2 0~ 6 1
1
o +7770 52. D42 52•04 2 7220 ..- 14 .9·90 + :i50 '
~!le - Ga 1 :l. 3 ~ · 632 "3~ .a 12 5 980 - 33 - 1 2.l9~
>o - 64 113 3 •. 7 1 \)- 1· 020 ~l .n9 5720 -6-'il9 - 12. n""
zo 1/4 -!2 4~ 7 .~ 4 1 G .4 9 7 l 'l! .038 3740 4 '3' - 691l3 '
1 1 o 3 3 14 l l •533 11 , 6 . 6 B2 lll. 2 15 4270 + 7 :i!! 4 - 9~6·
o + I 3,~4 ~ 17' .s:a-9 ~I 1 7 ,52~ 1
13.300 + 2.6.742 +1 42
35 - 9 ·90 ! 6· 1 • 15.Z 1
6 1,15 2 1 7820 - 1 0 ~ 1 -16 •7ZI
30 - @, 3 !,!7 ~ol' .1 5 5 o .299 '5 <1 , 4·S4 7480 - 907 - l !i. 867 ·-
1 20 3/8 - <:12 37 1 :1?: 11374 11
1 ,'¡1{}4 14 ,179 3850 - 3 ij7 -B Otl?' -------·---
11 10 +4330 19 ·1f!i87 • . 9S1 2 1 .66 4 4640 + 5 '9 70 1 - ~ 1 o
1 o + r7.569
1 3 03/3S2 l 03 ,3 52 17 ,400 + .9 9 +IG~
1 ,i' 1 '3·5 - 9-62:9 r .1.5 7 2 7' 1 ,57~ 9.640 - i • G ~ - 18.0M
' 1 - - --~---- .. -
~o 1 - 9 .0 7 •6 , 4•U 6J.·4 4 1 7 .960 -1 11 8 - 17 .(JJ.S
20 1/ 2 1 - 4 ·'ª7 . ~. 096 15 . 0 B;6 °3<89'0 - 697 - 84 7'7 -
10 1 46 6 7 2!.06';!• Z.3 .. 06"3 41a 10 +9497 - 1 · .2 ~
o -+l'J , GIG H!l, 360 355 . 3 60 18,800 1" J7.516 +O!·~·
TABLA 3 b
VALORES DE ESFUERZOS PRINCIPALES EN BOVEDA INTERIOR
-35 -
un- aspecto foteresante en el diseño de la cáscara, es si el esfuerzo asig-
nado a el acero varía con n veces el esfuerzo en el concreto, o si un va-
lor de diseño para fs tal corno 20. 000 libras por pulgada cuadrada, pl,lede
ser a sumido independientemente del esfuerzo en el concreto. El análisis
de la bóveda cáscara ha sido efectuado_ bajo la teoría de que sú materia
es homogénea. En otras palabras, las deformaciones dé la estructura son
proporcionales a los esfuerzos del concreto. Esta misma relación existe eE
tre los esfuerzos y deformacjones en el acero; siendo en ambos casos :i!-
9ual la deformación.
Esta condición requiere el uso de un porcentaje constante de. acero a tra-
:.vés de toda la zona de tensión.
El. problema antes descrito también existe en estructuras indeterminadas~
les como marcos rígidos y arcos. En estos casos se acostumbra analizar
la estructura b<;)sándose en propiedades elásticas de los miembros, y en-
tonces determinar el área de acero requerida, bajo la asunción de que és-
te es e-sfoi::zado a un valor permisible de diseño. Esta misma practica se
seguirá en el diseño del refuerzo de la bóveda cáscara.
Cálculo del Ai;;_ero Longitudinal. -
Los esfuerzos permisibles en el acero longitudinal variarán en proporción
a su distancia al eje neutro. Si asumimos un fs de 127 O Kg/cm2( 20. 000
lb/pul 2), el área de acero requerid.a para x/L = 1/2 en el borde longitudi
nal de la bóveda cáscara será ( Tabla # 1 ) :
37. 624 = 1, 9 pulg2 / pie 20.000
En la· figura i g· podemos 'observar que el eje neutro está situado a h-=
41, 4 cms ( 1, 3 6'), por lo que si obtenemos el acero necesario para un _PU..!}
to intermedio entre h = O y h ::: 41, 4 cms. digamos h = 15 cms( O, 50' )-,
el esfuerzo permisible del acero en ese punto será:
fs = _20..:.,QQO x {],36 - 0 , 50}. e 12.000lbs/pul2
1, 3 6
-36-
de la figura # 9, Tx = 23, 000 lbs/pie: de donde
Para h • l'
2 As = _ 23, QOO · = l, 9 pulg
12,000
2 fs = 20 , 000 x O .1§_ = 4, 000 lbs/pulg
1,36 De la figura# 9, Tx = 10, 000 lbs/ pie , y
As= 10.000 4.000
= 2, 5 pulg 2 /pie
A partir del eje neutro, los esfuerzos pasan a ser de compresión, por lo
que se colocará a partir de ese punto un refuerzo nominal, el cual de acuer
do con la A .S .e .E., puede ser varillas# 3 a 30 cms.
Como las fuerz.as longitudinales varían con el sen ~ x , el área de aceL
.ro puede ser r~ducida en un 25% ·en x = L/4, , y en un 5 0% en x = L /6 .
- El r.esto de ~as varillas deberán continuar hasta los soportes.
De acuerdo con lo antes expuesto, el arreglo final será el siguiente:
De x/L • . 1/2 hasta x& • lf4:
De h = O hasta h = 41, 4 cms : # 6 a 5 cms.
De h = 41,4 cms. hasta la corona:# 3 a 30 cms.
D~ _ 0 • lL4 has.!fi x/b .. O:
De h = O hasta h = 41 , ~ e ms : # 5 a 5 e m s .
De h = 41,4 cms hasta la corona:# 3 a 30 cms.
Cálculo del Acero Transversal. -
El espaciamiento de este refuerzo est~ dictado por M$6" y Tf(5, s'umándose O
restándose su efecto de acuerdo con su signo. Por ejemplo, oe ia Tabla #1
para x/L ·= 1/2 y !D =· 35°;
T!D = - 1127 lbs/pie
M,16 = .. 8 O lbs - pie/pie
Tomando una d efectiva de 2, 5 cms ( 1 "), la fuerza que formaría el par
M/D, serta: ( siendo su brazo jd )
- 37 -
F = 8 O x 12 - 1115 lbs / pie O .86x 1
As .. - 1115 ± 1127 ~ O 20.000
Para x/ L = 1/2 y ¡& = 10° ,
Tí&= -76 lbs/pie
Mí& = + 85 lbs-pie/pie
As-= 1190 + 7 6 = O, 07 pull /pie 20.000
Los cálculos efectuados nos indican que deberá usarse un refuerzo nomi -
nal, que podría ser# 3 a 30 cms.
Como Mí& ·decrece a medida que ¡& decrece, la separación de las varillas
en el sentido transversal puede ser aumentada. En el sentido longitudinal,
también el área de acero puede ser reducida en un 25% para x : L/4, y en
un 50% para x: L/6, pero como obtuvimos del análisis efectuado una
cantidad de acero nominal, la separación y dicSmetros fijados como tal, se
rán mantenidos constantes en toda la bóveda cáscara.
Cálculo del Ac~o Diagonal. -
El espaciamiento de este acero está regido por la magnitud de los esfuer-
zos principales a una distancia determinada de los soportes. A partir de
donde los esfuerzos principales pasen a ser prácticamente los longitudina-
les y transversales, podrá ser colocado un refuerzo nominal.
En la Tabla # 3 podemos ver que el valor crítico ocurre en x = L/8, para
¡& = 10°, _siendo igual a + 5 644 lbs / pie. A partir de este punto los
esfue_rzos princfpales tienden a convertirse en los transversales y longitu
dinales; El acero necesario será:
As : 5644 ::::: O, 28 pulg2 /pie
20. 0 00
Se colocarán varillas # 3 a 20 cms., desde x/L ::: O, hasta x/L ::: 1/3, y
entre x/L : 1/3 y x/L : 1/2; varillas# 3 a 30 cms.
DISTRIBUCCION ACERO EN BOVEDA INTERMEDIA
€ '
# # ®
i 7 / ' 30
/ ' 30
'
- - -1
1 . ~ ¡"" """ ~ /~- ""''/ ~ I~ -'\, .""- \V'" ~ ", ""- "''
"" ' 1'(0~ 'x-"" " ~ "' K "" "' "" " ~ 1 ' "' ' ' " ~
# ' íaJ 20
-+--·-· i:
"- I"' K.' ""- "< '
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1. 3-0
1' ' i"< i"< ' ' '- ' " ' ' ' '
~ . --- ' --
l ®' I
1 1 '""""' / L 6®5
0 ,7'0
T1mpono
,r- Acero Trans versal
FIGURA #=- 10
-39-
En la figura # 1 O está mostrada la distribución de los tres refuerzos.
Cheg Ueo de la ~cción .de Concr~to. -
Hemos trabajado·con un espesor asumido de 3, 7S cms ( 1 1/2" ) y siendo
el valor máximo de esfúerzo de compresión el ocurrido para x/L = 1/2 y ~"!::
3 5 º, Tx = - 18, l 95 lbs p'or pie ( Tabla # 1 ) ,
fe __ 18 , l 95 = 1000 lbs / pulg 2
12x:l,5
Este esfuerzo, siguiendo las especificaciones del A .C .I., puede ser Uev~
do por un concreto de 2250 libras por pulgada cuadrada, o sean 150 kilog@
mos por centímetro cuadrado.
Efecto de ~a Marquesina. -
En e -ste ejemplo, el tamaño d~ la marquesina que continúa después de los
marcos soportantes es pequeño ( un metro ) , por lo que podemos a segurar
que las vigas d e los marcos tendrán la rigidez suficiente para tomar ]\'Os •
esfuerzos provenientes del voladizo. Si este fuese de tamaño_ mayor, es -
fuerzos adicionales se tran s mitirían a la bóveda cáscara, cuyo cálculo no
está contemplado en este método.
* *
-40-
CAPITULO TERCERO
DISEÑO DE LA BOVEDA CASCARA CILINDRICA EXTERIOR
En este diseño las condiciones de carga y dimensiones son comunes para
la bóveda cáscara interior y exterior, siendo la única diferencia existen
te que la interior está limitada en sus bordes por otra bóveda cáscara y la
exterior por una bóveda cáscara y una viga ( en este caso ) , en su borde
exteriér. En caso de existir varias bóvedas interiores con idénticas di
mensiones y cargas, bastará investigar una de ellas, ya que todas las de
más tendrán el mismo comportamiento·.
Para las bóvedas cáscara exteriores, es suficiente aproximación para obte
ner los esfuerzos que en ellas se ,desarrollan, suponer que de su corona al
borde interior se comporta como una bóveda cáscara interior, y de la coro
na a su borde exterior, como restringida por una viga de borde.
El análisis de bóvedas cilíndricas unidas a vigas de borde longitudinales
es simplificado considerando cada una de ellas como un miembro distinto
y sepqrado, unidos eventualmente por la aplicación de dos fuerzas iguales
pero de distinto signo a lo largo del plano de contacto. La solución de es
tas bóvedas cáscara puede ser dividida en dos partes para facilitar su a
nálisis. En la primera parte, los esfuerzos y desplazamientos producidos
por las cargas externas ( viva y muerta ) y las cargas correctivas de borde
son determinados, despreciando la presencia de la viga de borde. La se
gunda parte consiste en la aplicación de cargas concentradas adicionales
sobre la bóveda cáscara y sobre la viga, iguales pero de signo contrario,
de tal manera que los esfuerzos longitudinales y desplazamientos en pun
tos comunes de los dos miembros, sean iguales. Para la primera parte,
la determinación de los valores deseados puede ser efectuada por medio
de las tablas A y B, anteriormente presentadas; para el segundo paso,
- 41 -
fórmulas adicionales para las vigas de borde son necesarias.
En general, la altura de la viga es pequeña comparada con su longitud, por
lo que la teoría corriente de la flexi.ón es adecuada para expresar el com
porta miento elástico de la viga. Bajo esta premisa, una carga normal so
bre la viga de borde es expresada por la relación:
(1) Carga • EI a4 J-ax-zr En la cual J' es el desplazamiento vertical, considerado positivo cuan-
do es hacía arriba, e I es el momento de inercia con respecto a los e -
jes horizontales de la viga.
La carga en la bóveda cáscara se representa por medio de una aproximacnn
de cargas parciales, formadas por las series de Fourier. Esta misma aprQ_
ximación de carga puede ser aplicada a la viga, de tal manera que las cog
diciones de igual esfuerzo y desplazamiento sean satisfechas a lo largo
de la longitud de la viga. Por lo tanto, la carga sobre la viga se asume
que varía con Vv sen n 1'f x • La ecuación (1) tomará la forma: L
(2) = Jb!__ El
sen n 1t x L
Integrando esta ecuación, podemos lograr la siguiente relación: 2
(3)
De donde:
j= (4)
Y:!__ El
~ 2j· a x2
= -Vv El (-n; J sen n 11'~
L
sen n "U' x L
4 - Vv L x 0,12319
E b h 3 h 4
En donde b es el ancho de la viga y h la altura de la misma.
Sabemos que:
(5) M E I
Para una viga homogénea, el esfuerzo en la fibra extrema está dado por:
( 6) f = + 6 M bh Z
-42-
En esta relación el signo negativo significa que nos estamos refiriendo al
esfuerzo de la fibra superior de la viga, y el signo positivo, al de la fibra
inferior.
Sustituyendo en ( 6) el valor de M:
f = + Vv 6 ('.____.1_\ n 2 1r 2 ------rlJ'
2 1
b sen n1( X
L
{7) 2 - + Vv o, 607,91_ (...J._ \ _l._ sen nlr x
nl'. ~ hJ b L
Adicional a esta carga normal, una fuerza cortante es aplicada a lo largo
del borde superior de la viga, corno puede ser observado en la fl.gura .:!f 11.
FIG\JRA # 11
Esta fuerza debe variar necesariamenté con el valor del cos n 11" x , debi -L
do a que el esfuerzo cortante en la bóveda cáscara varía de esa manera.
Si la viga es considerada como un cuerpo libre, el empuje en cualquier se.Q_
oión debido a esta fuerza cortante Sv, es la suma de todas las fuerzas
desde uno de los extremos hasta la sección considerada. Matemáticamente,
esto puede ser expresado de la
[
X T = Sv cos n_11 _x .
t o
(8)
siguiente manera:
d x = Sv L --· -n'lf
sen Il '11 X
L
-43-
El momento en· le~ · Sección considerada es igual a T multiplicado por su
brazo { h/2 ) .
{9) M = - Sv 1 n 1f
x ~ sen n'lx 2 1
El esfuerzo en la fibra superior debido a T y M será:
' (10) f = Sv {-1- _l__ -t- _3_ __b_\ sen n 'll' x bh n1r n1r bh/ L
= Sv 1, 27 32 (b
1h 1 sen n 1r X
n L
y en la fibra inferior:
{11) f = - Sv 2 (b Lh) sen n 1f X
n'1r L
- -Sv 0 ¡ 6366 ( L ) sen n 1J X -n b h L
Utilizando la rel~wión de que el momento es proporcional a la segunda di
ferencial
{12)
de el desplazamiento con respecto a x:
: - Sv E
3 6 L ~1r3 b2 h2
O, 19351 ( L 3
) n3 b h 2
sen n 1f x 1
sen
Las dos incógn itas Vv y Sv son obtenidas igualando los esfuerzos en la
bóveda ~ cáscara al de la viga, Y. el desplazamiento en la bóveda al de la v!_
ga.
Pasaremos ahora a d e mostrar numéricamente este procedimiento.
Obtención de la ' Tabla iF 4. -
Las condicióne·s de carga y dimensiones son las mismas d e la bóveda in
terior, ·por lo que los esfuerzos de membrana, o sean las columnas 1 y 2,
con iguales a las respectivas columnas de la Tabla # 1. Los esfuerzos in
dicados en las columnas 3,4,5 son originados por las cargas correctivas
de borde, siendo ~stas en este caso VL, HL'.Y s1
• En x/L = ! y para
. ~ = Oº, las fuerzas desbalanceadas son:
-44 -
TJZS' = - 147 - 45 6 : - 603
y para x/L = o y jZS' = oº :
s - 335 - 691 =· - 1026
De donde:
v1 =- TjZS' sen jZS'k. = 603 sen 35 ° = 34 6 lb/pie ( 51~ k/M)
' .. H = -TJZS'cos .szSk -. 603 cos 35° = 4941b/pie ( 738 k/M)
L
s1
= 1026 lb/pie ( l~i30 k/M)
Los valores de v1
y s1
son afectados por las fuerzas Vv y Sv antes
mencionadas, por lo que procederemos a su cálculo.
Cálculo de Vv y Sv. -
En los bordes longitudinales de la bóveda, el valor de Tx debido a las
fuerzas de membrana y a las cargas correctivas de borde, puede ser obteni
do por medio de las tablas A y B, para las siguientes relaciones x /L=
1/2, r/t = 100; r/L = 0,3, ,f6k. = 35° y ?> = oº .
De esta manera, podemos plantear la siguiente ecuación: 2
Tx=(L/r) {-4'41 xl5xll,5xl0,40 - 4/'lf x38xll,5x 0,1660 + 346xl0,03
De donde:
(1)
-494x1,543-+ 1026 x 0,9676) sen 11' x L
2
Tx; (-~-) 3 678 sen :1': X L
También en los bordes longitudinales de la bóveda , y utilizando las Tabl as
A y C, podemos plantear la siguiente ecuación, la cual define el
del desplazamiento vertical:
valor 1,.,
4 2 4 J /!},v: 15xll,5x _ L [c1+1/2 (1fx 0,3) + 1/12 (.Yxü,3) x 0,067]sen1f'x
r3 t E ¡:--4 2 4 ~ + 38xÍ1,5 L [< Lx0.3) + 2 + {0.3) x 0,671 sen 1r x
r'3 t E "Ir 'if7i L
[ 4 4 4 ] + -\-346x L x37,31 - 494 L x15,65 + 1026 L x0,9583 sen 'líx
rt'E r"3tE- f3't'E - L-
De donde:
- 45 -
b. v = 6196 sen 411 x x L--
" Tomando en cuenta la viga de borde, o sea agregando el efecto debido a
las fuerzas denominadas Vv y Sv en la b<>veda y -Vv y -Sv en la viga,
utilizando la tabla B:
(13) 2
Tx = fx = (L/r) l/t (3678 +vv xl0,03 -\-Svx0,9676) sen 11 x t ~L-
4 (14) Av= L (6196 + Vv x 37 ,31 + Sv x 0,3583) sen 1t x
r3t E L
En las fibras superiores de la viga, para una b= 40 cms (16") h .. 60cm.
(24") y L - 12 mts., las correspondientes ecuaciones, incluyendo el e-
fecto de su peso propio, serán:
De las ecuaciones ( 7 ) y ( 1 O )
(15)
fX.;:¡¡ [-· 12
X 0,60793(4/1fX11/3X2xl50-t(-Vv)+l,2732-1::_(-Sv)1sent'x bhT" bh 1 L
De las ecuaciones ( 4 ) y ( 12 )
(16)
Áv =l=Í 14
x0,12319( 4 xl [bh3E 1f
l/3x2xl50 + (-Vv)+ 0, 19351 L3
x svl sen '1f x bhZE J t
Igualando ( 13 ) y ( 15 )
264.306 +291 Vv + 60,47 Sv = O
Igualando ( 14 ) y ( 1 6 )
4100 + 43, 4 Vv +O, 63 Sv =- O
De donde:
Sv = - 3916 lb/pie ( 5850 K/M)
Vv = - 3 7, 63 lb/pie ( 5 6, 2 K/M )
Estos valores de Vv y Sv sumados algebraicamente con V y S ·y nul L L .
-
ANGULO 0 EN GRADOS '
ANGULO 0 EN GRADOS 1 COL. FUERZA FACTORES
1 FACTO'RES
35 30 2.0 10 o 1 J 5 30 20 10 º' 1
T¡1 PARA X/ L 1 / 2 # s / PIE s PARA X/ L : o #s/ PIE '
- - --1 V IVA 4/ 1f • IS • 11.5 • Co•f. - 220 - 218 - 205 - 180 - 1 4 7 4/1J' x 15 X 11.5 X 3. 4xCoet. o - 6 2 - 1 7 8 - 2 7 3 - 3 3 5
z MUERTA 4/1J'x 38x 11.s X Coef. - 5 56 - 5 5 4 - 537 - 504 - 4 56 4/1Tx38xll.5x 3. 4xCoef. o - 105 - 3 12 - 5 09 - 6 9 1
~ 1 VL I M6-!~ co9'f,=:!08,4 t;'oel - 8 21 - 799 - 5 7 1 - 1 49 + 1 7 7 308.4 x 3.4 xcoef. o - 6 2 4 - 1906 - 2576 o 4 H L 4 94 x Coef. + 4 30 + 439 + 487 + 4 84 + 4 05 4 94 X 3.4 X Coef. o - 25 9 - 3 8 6 + 1 27 o 5 $ L ( 1026-3916) e oe t =-2890 Coef + 1 98 + 1 74 + 1 3 - 1 55 o - 2890x3.4xCoef o + 5 5 8 + 1226 + 4 63 - 2948
G 2::. - 975 - 95 8 - 8 53 - 5 04 - 2 1 o - 49 2 - 1556 - 2768 - 3974
Tx PARA X/ L = 1/ 2 #s /.PIE M i& PARA X/L = 1/ 2 #- F +/ PIE
1 VIVA o/ 'll' x 15x ll.5x(3.4)2x Coef, - 772 - 7 60 - 666 - 496 - 264
2 MUERTA 4/Tr x 38 x Jl.5(3.4)~x Coef - 1303 - 1298 1 - 1259 - 118 1 - 1068
¡\ vi. 308.4 ( 3. 4 )2 x Coef - 7686 - 7854 - 7508 + 1829 - 35.757 ' 308.4x11.5 x Coef. - 1030 - 1001 - 781 - 407 o
4 H~ 494 • (3.4)z Coef . - 3449 - 2754 + 1541 + 3565 - 8.812 494 x 11.5 x e oef. 1 + 7 74 + 760 + 6 46 + 3 97 o
' SL - 2890( 3. 4)2
Coet. + 7149 + 6471 + 8 1 5 - 11.546 - 32,32& - 2890 x 115 x Coef. 1 + 120 + 1 10 + 6 o + o
'e- I: - 6061 - 6195 - 7077 - 7829 - 67 13 1 - 1 3 6 - 1 3 1 - 7 5 - j o
TABLA i 4
ESFUERZOS INTERNOS EN BOVEDA EXTERIOR
1
Tj11 Tx s 1
!1l ' o 1/8 1/4 3/ 8 1 / 2 o 1/ 8 1 / 4 3/ 8 1 /2 o 1 / 8 1/4 3/8 1 / 2
--
!5 o - 3 7 3 - 6 8 9 - 9 o 1 - 9 7 5 1 o - 2319 - 4286 - 5600 - 6061 o o o o o
30 o - 367 - 6 7 7 - 8 B 5 - 9 5 8 o - 2371 - 4381 - 5723 - 6 195 - 4 92 - 4 5 5 - 3 4 8 - 1 8 8 o 1 2 o o - 3 2 6 - 6 03 - 7 8 8 - 8 5 3 o - 2708 - 5004 - 6538 - 7077 - 1556 - 1438 - 1017 - 5 9 5 o
10 o - 1 9 3 - 3 56 - 4 66 - 5 04 o - 2996 - 5536 '
- 7233 - 7829 - 276 8 - 2557 ' - 1 808 - 1059 o
o o - 8 - 1 5 - 1 9 - 2 1 o - 2569 - 4747 - 6202 - 6713 - 3974 - 3671 - 281 o - 1521 o '
TABLA #: 5
VALORES DE ESFUERZOS INTERNOS PARA DIVERSOS VALORE S DE X/ L EN BOVEDA EXTERIOR
47
0 X/L 25 Tx -Tjll tg 2 l d"
3 ~· o .,,.., 45 °
I~ 1
o i;><;I 45 o -20 o o - 45 o -10 o C><) 45 o ¡------- ' o
! o OQ 45º
3S o 1 9 0° 1 -
30 910 1
2004 0,45 12º -20 1/8 2 e 1 6 23 82 1 ,20 25º
--10 5 11 2 803 1,82 30° -O 1 7342 25 61 2,86 36 o
35
1
o 90° -
!O 696 3704 0,19 5º _ , 20 1/4 2034 4401 0,46 1 2 o - · 10 ~6 1 6 518 0 0,50 1 3 o
-o 1 5 620 4732 1,19 25º'
1
'!l!i o 1 469•9 90° -30 H6 .; .e~ e ' o 90° -' º 3/8 11 90 5750 0,21 ·6·º -10 l l ij IH57 ' 0,31 9 <>
- o 3042 6183 0,49 13"
H o . o 90° - ,
3 0 1 o o 90°
1/2 1
20 1
o o 90°
10 o o 1
90 o
o 1 o 1 o 90°
TABLA 6a
VALORES DE et' PARA LA BOVEOA EXTERIOR
Tx- T(tl 2 6 ( Tx-T!!! ¡2+ '
0 X/L Tx + T"' S
2 X 10
6 + r- •-T•)l! Sil , T Pt Tp2 2
(-2- lx10 t 2 S ·x 106 - - 2- + 1
35 o o o o o o o
30 o o ~ 4 9 2 ¡'Z 1 [ 4 9 2)'Z 4 9 2 + 4 9 2 - 4 9 2
zo o o o f 1 5 5 6 f [ 1 5 5 6 ¡f 1 5 5 6 ' + 1 5 5 6 - 1 5 5 6
' º o '
o { 2 7 6 8 f ~ 2 7 6 8 ¡t 2 7 6 8 1 + 2 7 6 8 -2 7 6 8
o ' o 1 o ( 3 9 7 4 f [ 3 9 7 4 j2 3 9 7 4 +3 9 7 4 - 3 9 7 4 '
35 - 1 3 4 6 9 4 7 o . 9 4 7 9 7 o - '3 1 6 - 2 3 1 6
30 - 1 3 6 9 1 o o 4 . 2 o 7 1 . 2 1 1 1 1 9 o - 1 7 9 - 2 5 5 9
20 1/8 - 1 5 1 7 1 4 1 8 2 .068 3 ,4 8 o 1 8 7 o 3 5 3 -3 3 8 7
1 o - 1 5 9 ,5 1 9 6 6 6 • 5 3 8 8 • 5 o 4 2 9 2 o :1 +I 3 2 5 - 4 5 1 5 -
o - 1 2 8 9 1 6 4 1 1 3 . 3 3 o 1 4 . 3 7 1 3 8 7 o + 2 5 8 1 ! - 5 1 5 9
.35 1
- 2 4 8 8 3 2 3 6 o 3. 2 3 6 1 8 o o - 6 8 8 -4 2 8 8
30 1 - 2 5 2 9 3 4 3 o . 1 2 1 3 5 5 1 1 8 8 o - 6 4 9 1 -4 4 o 9
20 1/4 - 2 8 o 4 4 8 \.4 4 1 ' o 3 4 5 8 7 8 2 4 2 o - 3 8 4 - 5 2 2 4
1 0 - 2 9 4 6 6 7 o 8 3 . 2 6 9 9 9 7 7 3 1 6 o + 2 1 4 - 6 j o 6
o - 2 3 8 1 ' ' 5 5 9 8 7 . 896 13 4 9 4 3 6 8 o + 1 2 9 9 -60 6 1
-35 - 3 2 5 1 1 5 5 2 3 o 5 5 2 3 2 3 5 o - 9 o 1 - 5 6 01
'30 - 3 '3 o 4 5 8 5 2 . o 3 5 5 3 1 7 2 4 1 o ; - 8 3 4 - 5 7 1 4
¡ 2 0 3/8 - 3 6 6 3 8 2 6 6 . 3 5 4 8 6 2 o 2 9 4 o - 7 2 3 - 6 6 o 3
1 o 1
- 3 8 5 o 11 . 4 5 1 1 . 1 2 1 1 2 5 7 2 !
3 5 4 o - 3 4 o - 7 3 9 o 1
o - 3 1 1 1 9 5 6 o 2 . 3 1 3 1 1 8 7 3 3 4 4 o .3 z 9 - 6 5 5 1
35 - 3 7 8 8 6 4 6 7 o 6 .. 4 6 7 · 2 5 4 o - 1 2 4 8 -6 3 2 8
3 0 - 3 5 7 7 6 8 5 9 o 6 8 59 2 6 2 o -· 9 5 7 -6 1 9 7
20 1/2 - 3 9 6 5 9 6 8 5 o 9 6 8 5 3 1 2 o - 8 4 5 -7 o 8 5
' º - 4 1 6 7 13 4 1 8 o 1 3 4 1 8 3 6 6 o - 5 o 7 -7 8 2 7
o - 3 3 6 7 11 1 9 6 o 1 1 1 3 6 3 3 4 o - 2 7 - 6 7 o 7
TABLA 6 b
VALORES DE ESFUERZOS PRINCIPALES EN BOVEDA EXTERIOR
-49-
tiplicados por los coeficientes de la Tabla B, nos dan las fuerzas de las
columnas 3 y 5 • El valor de HL multiplicado por los coeficientes de la
Tabla B, dará como resultado las fuerzas de la columna 4.
En el ejemplo anterior, las dimensiones de la viga de borde fueron fija
das de acuerdo con razones de índole constructiva; ( peso adicional debido
a portones, etc.) pero puede ser constru!da con dimensiones menores en
caso de que su única carga sea su peso propio y los esfuerzos que le tran.§_
mite la bóveda, y sin soporte alguno a lo largo de la luz de la bóveda cás
cara. La variación de esfuerzos en la viga puede ser obtenida mediante las
fórmulas con signadas anteriormente.
El chequeo estático para las fuerzas de la Tabla # 4, es similar al efectua
do para la Tabla # 1 de la bóveda interior, debiéndose agregar las fuer -
zas y momentos internos existentes en la viga de borde (ver página 19 de la
referencia =lf 2 ) •
Cálculo de Tablas Nos. 5, 6, 6a y 6b. -
Para el cálculo de estas tablas debe seguirse exactamente el mismo procedí
miento utilizado para las Tablas Nos. 2, 3, 3a y 3b de la bóveda interior.
Cálculo del Refuerzo. -
Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para la bóveda cáscara interior,
se obtuvo la distribución mostrada en la figura i 12. Nótese que la genera
lidad del acero es nominal, ya que ca si todos los esfuerzos son de compre
sión ,razón por la cual se hace innecesaria la figura que representa la distr.!_
bución de esfuerzos en la bóveda.
NOTA:
Podemos observar que debido al diámetro de las varillas del refuerzo resul -
tante, el espesor final de la bóveda cáscara 7, 5 cms. es mayor que el asu -
mido al comienzo del diseño ( aunque la carga muerta se calculó para = 7,5
cms .) .
# 3 [email protected] Ambos Direcciones ~ # 3 (cD .30 Ambos Direcciones ,7
/ ,L_ Colurnl"lo "---- # 3 ICil .15
FIGURA # 12
DISTRIBUCION ACERO EN BOVEDA EXTERIOR
--- <t
()1
o
-51 -
Debido a que la mayoría del refuerzo resultó nominal, un reediseño para
= 7, 5 cms. nos daría como resultado una menor cantidad únicamente del
refuerzo longitudinal en la bóveda cáscara interior. Para lograr esto, deben
repetirse todos los cálculos efectuados para la bóveda mencionada con
= 7, 5 cms.
* * *
- 52 -
CAPITULO CUARTO
CHEQUEO DE LAS VARILLAS DE AMA_RRE
PO R E S F U E RZ O C O R TAN T E
De acuerdo con la referencia # 3, en las bóvedas interior y exterior las
varillas longitudinales que unen. el cascarón con los marcos soportantes,d~
ben ser diseñadas para transmitir a éstos los esfuerzos cortantes 8.
Generalmente, el procedimiento utilizado es el de chequear ~as varillas
del refuerzo longitudinal de la bóveda, e introducirlas dentro del marco so-
portante, fijando un esfuerzo permisible para el acero en esfuerzo cortan -
te. Al respecto debemos recordar que por haber asumido variación sinusoi
dal de las cargas, el acero longitudinal en su unión con el marco, prá"ctica
mente no lleva esfuerzos en tensión.. Posteriormente también deben serche
queadas estas varillas para llevar una serie de esfuerzos y momentos se -
cundarios, los cuales tienen un efecto local en la y.nión entre el marco y
la bóveda, habiendo sido despreciados en los análisis ya efectuados. 8i
estos esfuerzos lo ameritan, debe adicionarse acero que los tome. Pasare -
mos ahora a estudiar sus efectos sobre la bóveda cáscara.
EFECTO DE LA CONTINU]])l-\D EN:TRE_LA BOVEDA CASCARA Y EL MARCO 80-
PORTANTE .-
Los esfuerzos de importancia práctica que son afectados por la continuidad ·
existente entre la bóveda y su marco soportante, son el momento longitudi-
nal Mx, la fuerza tangencial Ti y la fuerza cortante S. El momento Mx
• es esencialmente un efecto local, y desaparece rápidamente a una distan -
cia corta del marco. Los efectos debidos a Ti y S no desaparecen tan
rápidamente, y son importantes en bóvedas cáscara cortas, en donde toda
la estructura puede verse afectada. Es interesante hacer notar que, en la
-53 -
referencia # 2, el único ~fecto secundario que encuentran de importancia
para ser tomado en cuenta, es el debido al momento Mx.
8e puede cons~derar el efecto de continuidad entre el marco y la bóveda
cáscara como dividido en tres partes:
a) El efecto que ocurriría si el marco soportante fu~se infinitam.en
te rígido, esto es, si el marco no se deflectara ni permitiera
ninguria deformación tangencial en la bóveda.
b) La participación de la bóveda cáscara en la acción flexionante
del marco, similar a la existente entre losas y vígas.
e) :m efecto de las diferentes deformaciones en el marco y la bóv~
da, debido a .diferencias de temperatura y desigual deformación
del e onc reto .
·Estos tres éfectos pueden ser determinados separadamente, y los esfuer-
zos resultantes deben ser superpuestos y adicionados a los obtenidos de
los primeros análisis. La eva.luación de estos tres efectos está basada en
el principio d~ que la deformación tangencial Eizl' en la bóveda y el marco
debe ser igual, ya que ellos forman una estructura contínua. Si se con si -
<lera primero l~ bóveda separada del marco, es necesario adicionar fuer -
zas cortantes tangenciales 8 y fuerzas cortantes radial es N x de tal mag
nitud que la deformación e i en el marco y la bóveda lleguen a ser idénti-·
cas. Debido a que la bóveda está restringida y no puede tener movimien -
tos rotacionales, se producen momentos Mx .
a) Efecto de un marco infinitamente r!gido. -
Asumimos que la deformación en el marco es igua l a cero en cualquiera de
sus puntos. En la bóveda cáscara las tuerzas tangenciales Tfi{ originadas
por las cargas externas producirán deformaciones:
€0 = Ti E t
-54 -
En donde E. r6 es la deformación tangencial en un punto en donde se jun -
tan lá bóveda y el marco •. La deformación C. r6 es asumida positiva cuan -
do indica elongación, pudiendo variar como una función del angulo0. Para
·satisfacer la condición de que la deformación sea cero, es necesario adi -
cionar cargas Nx, 8 y Mx en los bordes transversales de la bóveda de
tal manera que las deformaciones que ellas produzcan contrcrresti:~ l a origi-
nada por T0.
Los valores de estas fuerzas y momentos ( lbs. y pies ) serán: 2
Mx = - _!U_ E lÍ ::: + _ t _ Ti
Nx = 3,56 3 ,56
Et be t'
dNx d
=
be r
. be · es el ancho efectivo de la bóveda, el cual participa de la acción fle -
xionante del marco, y que será analizado más adelante.
b) Efecto de la particieación de la b6veda cáscara en la acción flexionan-
te del marco. -
La bóveda puede proyeer una sección de concreto a la viga del marzo que la
haga trabajar como una viga tee
Los momentos y fuerzas directas que élct6an en la viga del marco produci -
rán esfuerzos transversales cr i en la socción cfocU.va de aquélla, y de
la cual participa la bóveda c áscara. Esta participación requiere fuerzas Nx,
8 y Mx, las cuales actúan en un punto donde la bóveda se une con el marco.
La magnitud d~ estas fuerzas depende del esfuerzo transversal tr ;6 en e-
se mismo punto, y debe ser obtenido del análisis del marco. 2
Mx = - t a- f6 3,56
Nx = t be a" 0 r
s - d Nx - t be do-$6 -d íi - --r dj'
-55 -
r 0 considerado pos itivo cuando .es de tensión.
c) Efecto de la diferenqia de de~ormac1ones entre la bóveda céscara Y- · el .
. Marco 8opo~ante. -
Definiendo por . A t, 0 e l · exceso de deformaci6n en la ·bóveda con re s pee.·
to al marco,- se asume primero que éste últi.mo es infinitamente dgido. Pa
ra· satisfacer las cond.iciones de contin\ff.idad, se aplican fuer:Zas al borde
de la cáscara, lo.s cualE.~s producirán deformac.iones:
Estas fuerzas se traducirán en momentos Mx y fuerzas cortantes Nx y 8,
las que actuarán en la unión entre la b(iveda y el marco, y tendrán los si-
guientes valores: 2 2
Mx - • Et - B t_e~i 3 '5 6 3,56
Nx = Et be c'r& ;;: -r
S ~ d Nx = dil?
E t be - d 95 -
Et be r
bE i
•e i
Las fuerzas Mx y 8 dadas por estas ec uaciones, corresponden a fuer ,.
zas iguales pero contrarias en e l marco. Como nos hemos basado en una
temporal rigidez infinita del marc o , esta s fuerzas produclrán esfuerzos en
aqu~l, de la misma manera que ca.rgas ex tmnas . Los esfuerzos ~ debi-
do a estas cargas pueden ser det e rminado¡'> y valores a.die.tonales de Mx ,
Nx y S pueden ser computa.dos por medio de la s fórmulas de la Sección b)
y sumados a los obtenidos en e).
Podemos asegurar cas.t corno una regla que los efectos del esfuerzo() i se-
rán pequeños y de signo contrario a los c alculados por medio de las fórmu-
las de la Sección b} , por lo que los valores de Mx, Nx y S obtenidos de las
ecuaciones e) pueden considerarse aceptables.
ESTABILIDAD ELASTICA DE LAS BOVEDAS CARGARA.
Bn general, el espesor de las bóvedas cc1scara debido a razones constructi-
-56-
vas es tal, que el peligro de flambeo es despreciable.
En las bóvedas cáscara del tipo largo, los esfuerzos .predominantes son
los longitudinales, y por lo tanto la tendencia al flam):>eo ocurre debido a
la formación de ondas longitudinales. El factor predominante en los esfu~
zos debidos a flambeo es la relación entre el espesor y el radio de la bó -
veda.
A medida de que la distancia longitudinal entre soportes transversales dis
minuye, los esfuerzos crrticos pasan a ser los transversales. Debido a e~
te cambio, el flambeo en bóvedas cáscara del tipo corto ,ocurre debido a la
formación de ondas transversales . 8in embargo, esta tendencia es peque -
ña, como lo demuestran el abundante número de bóvedas cáscara de gran
radio que han sido constr11ídas º
Bóv_edas Cáscara C:l).íngris:;~as de_l Tipo La!);lO. -
La determinación prec:Lsa del esfuerzo de flambeo teórico en una bóveda cá~
cara sujeta a cargas verticales, es un problema complicado. Afortunadamel}
te, tal investigación es rara.mente necesaria, por lo que. el presente análi
sis se dirigirá a una determinación aproximada de las áreas en las cual es
el flarnbeo puede ser considerado.
En bóvedas cáscara largas, en las cuales la fuerza predominante es Tx la
tendencia al flambeo se or:i.gina de esta fuerza. Por lo tanto, si las otras
fuerzas son despreciadas, las característi.cas de flambeo en las bóvedas
cáscara cilíndricas son análogas a las de un panel curvo sujeto en sus bor.
des, llevando una compresión axial. 8. Timoshenko ha demostrado que
los esfuerzos de flambeo críticos para tal miembro, son idénticos a los de
un tubo cilíndrico, cuando el ángulo subtendido medido e n radiantes es m'!_
yor de 3,38 t/r. Así los esfuerzos de flambeo en una bóveda cáscara cilín
drica pueden ser obtenidos de los valores teóricos calculados para
cilíndricos sujetos a compresión axial.
tubos
- 57 -
Estos esfuerzos críticos son:
(1) C-c;.'R.\t= O, 6 E t r
Esta ecuación es una aproximación satisfactoria con valores experimenta -
les para paneles cilíndricos en los cuales las dimensiones longitudinal
y circunferencial son casi las mismas, y el ángulo menor subtendido es
menor de 23°. Aumentando este ángulo hasta 114°, los valores experimen
tales son únicamente la mitad de los obtenidos mediante la ecuación ( 1) •
Para tubos cilíndricos, los valores experimentales, cuando r/t es menor
de 200, son cerca del 30% al 40% de los valores teóricos. Esta discrepan
cia entre los valores teóricos y experimentales, ha sido atribuída a impe:r_
fecciones iniciales de las superficies cilíndricas de los tubos metálicos
probados. En base de estas explicaciones, es prudente asumir un factor
bajo. Por lo tanto, para propósitos de diseño, el esfuerzo de fla mbeo crí-
tico es asumido como un tercio del dado por la teoría:
(2) (ic:,._ÍT.= O, 2 __ E_ t _ r
Asumiendo que el módulo de elasticidad del concreto es mil vec es la fuer-
za en el cilindro, la ecuación ( 2) , puede ser escrito como una relación en
tre el esfuerzo crítico de flambeo y la fuerza en el cilindro:
(3) =- 200 t/r Q.U.
En la ecuación ( 3 ) ~ cs-M · representa la fuerza crítica en e l cilindro.
En base de esta asun~ión, puede concluirse que el flambeo e n bóvedas cá_E
cara largas, en la cual los esfuerzos que se producen son iguales a los pe_r
mitidos, puede convertirse en crítica solamente cuando r/t excede el valor
de 200.
Bóvedas Cáscara Cilíndricas del Tipo Corto. -
En bóvedas cáscara cilíndricas cortas, · excepto en la zona c e rcana a los
bordes longitudinales, los esfuerzos transversales exceden los otros esfuer
-58 -
zos.
Por lo tanto, si éstos son despreciados, y solamente los esfuerzos trans -
versales son considerados, el flambeo de este tipo de bóvedas cáscara ES
similar al de un tubo cilíndrico sujeto a cargas radiales externas. s. Timo~
henko derivó la fórmula siguiente para el esfuerzo crítico de flambeo de un
tubo sujeto a carga radial: .,.
t2 12 r 2
En esta ecuación n es un número entero. El valor mínimo de <rc.e.xf> es ob
tenido seleccionando el valor de n que nos dé el valor mínimo.
Si E es asumido nuevame~te igual mil veces la fuerza en el cilindro, la
ecuación ( 4 ) se reduce en la forma siguiente:
crq,.,T:lOOo[ 1 ' + t2 [n2
-1- 21}-1~? (';;'4 len 2_1 >[1+(n;)2 ] 2 12 r Z l-(:1§JJ
<! (Jl _¡ w
o >- w
> o 0.9 900 w o m o ::;: <!
':? o.s eoo _¡ <! ~ILJ "'-
_¡ w < w o :::i o
ü O.& 600 <!
-lO
N (Jl "' o:: o::
w w 0,5 500 o
:::i o _¡
"'- w o:: <f o >
o z 0.4 400 <! o _¡ z _¡
<! o w :::i O_! 300 o:: o w 1- o z o
200 w o:: <! 0 .2 o N z z o:: 2 _¡ w 0 .1 100 o u :::i <! "'-_¡
w <! o w a o:: o _¡
o 1 2 3 4 5 .¡¡ 7 a 9 10 r
VALORES DE l FIGURA # 13
La Figura # 13 ha sido formada seleccionando los valores de n que dan los
valores mínimos de _ ["5;,:_B:~T._ , para varios valores de r/t. Cada curva (.\'" .M.
-59-
consiste de una serie de líneas curvas, las cuales han sido agrupadas por
la representada en la figura, sin gran pérdida de exactitud.
* * *
- 60-
CAPITULO O UINTO - --
DigEÑO DE LO~ MARCO~ TRAN~VERSALEA DE ROPORTE
Como la bóveda cáscara tiene un cornp~rtamiento similar al de una vi«Ja
longitudinal, las cargas superliciales soportadas p0r la. bóveda, son tran~
rnitidas por esfuerz.os cortantes tangenciales y radia]es al marco soportan
te.
Estos marcos deben ser diseñados para llevar su propio peso m~s la reac-
ci6n qué le transmiten los esfuerzos cortantes actuando a lo largo de la p~
riferia de la bóveda cáscara.
La determinación de los esfuerzos en el marco transversal debidos a su
propio peso es un problema corriente, y no .necesita mayor explt:: ach~m; p~
ro la obtención de los esfuerzos inducidos por las fuerzas oortantes, no
es tan obvia.
Sin duda, los esfuerzos cortantes tangenciales y radiales pueden ser ,con-
siderados como cargas externas sobre los marcos. Este pFooed.imiento re-
qui.ere Wia suma de momentos con res.pecto a un punto.
Este cálculo, el cual consiste en. determinar primero la magnitud y distri-
bución de los esfuerzos cortantes, y luego computa.r la longitud del brazo
del momento; puede ser facilitado sustituyendo el efecto de l os esfuerzos
cortantes tangenciales y radiales por cargas superficiales.
Un punto adicional debe tamblén ser considerado. Debido a la cont inu!dad
existente entre el marco y la. bóveda cáscara, ésta 6.iltima participa de la
acción flexionante del marco, teniendo esto como conse~uencla cambios en
los . esfoerzos obtenidos mediante el anális.is de la b6veda cáscara. Estos
esfuerzos cortantes no son conocidos todavía y él análisis no puede pro -
seguir mientras estos esfuerzos cortantes adicionales no sean determin~
dos o eliminados •
~ 61 -
Esta dificultad puede ser solucionada mediante el procedimiento de cómpu-
to en dos pasos. Primero se asume que el marco soportante es inf:lin!tamen-
te rígido 1 sin flexión. Los esfuerzos y reacciones pueden así ser determi -
nados con una corrección adiclonal, para permitir la no .flexibilidad del me!:_
co ( Sección a ) , efecto de la continuidad entre la bóveda cáscara y el mar-
co soportante). Bajo esta asunción / es posible encontrar el valor de car-
gas superficiales equivalen tes que tengan el mismo efecto de los esfuerzos
cortantes tangenciales y radiales.
En el segundo paso, las cargas superficiales equ_ivalente s son apl!cadas al
marco 1 el cual será un marco o arco estáticarnent.e indeterminado.
La viga del marco puede ser considerada como una viga tee , compuesta
de su propia sección rectangular, y alas de un ancho be .
FIGURA # 14
Estas alas repres~nta.n el efecto de la b6veda cáscara sobre la flexión de
la viga curva, de la misma manera que ocurre entre una losa y la viga por
la cual es soportada. La dimensión be para bóved.as cáscara contrnuas es:
be 0,76 ~
En caso de bóvedas c¿scara que Hnalizan en el marco soportante, los cua
le s s on incapaces de pruveer .r.uf. • h:int~ mr>tricción contra la rotac1ón del
- 62 -
borde de la bóveda:
b = 0,38 V7t' El ancho efectivo del ala de bóvedas cáscara las cuales están solamente
parcialmente restringidas, puede ser obtenido mediante una interpolación
en línea recta entre estos dos límites, basándose en la rigidez relativa
entre el marco y la bóveda cáscara.
Siguiendo el plan delineado en los párrafos anteriores, los esfuerzos cor
tantes tangenciales y radiales, determinados para el caso de un marco il}_
finitamente rígido, serán reemplazados por cargas superficiales equiva -
lentes, las cuales tendrán el mismo efecto sobre el marco.
A pesar de que estas dos cargas son diferentes en su dirección y distribu
ción, la similitud de sus efectos sobre el marco pueden ser observados
mediante un examen de las relaciones existentes entre las dos cargas. Si
consideramos una parte de la bóveda cáscara como un cuerpo libre ,lo cual
puede ser observado en la Figura i 14, todas las fuerzas que actúan en
él deben estar en equilibrio.
En otras palabras, el momento de las fuerzas cortantes en un borde con
respecto a una línea longituQ.inal, digamos BC del cuerpo libre ABCD {en
el cual el plano vertical a lo largo de AB representa la unión de la bóveda
y el mateo, y CD e s dibujáda paralela a -AB, con las líneas AD y BC
formando las otras dos resfricciones longitudinales), debe ser igual y o
puesta a la suma de momentos con respecto a BC de todas las cargas su
perficiales que actúan en el cuerpo libre y del momento de todas las fuer
zas internas que actúan a lo largo de las otras secciones restrictivas. Si
ahora hacemos coincidir el borde CD con el plano de cero esfuerzo cor -
tante, entonces las fuerzas a lo largo de CD no contribuirán al momento -
con respecto a BC. Además, la suma total de los momentos transversa -
les Mf6' a lo largo de la línea BC es pequeña comparada con los momeg
- 63 -
tos de las cargas superficiales con respecto a esa misma Unea, por lo
que pueden ser despreciados. ·Por consiguiente, el momento c:on respecto
a BC de los esfuerzos cortantes tangenciales y radiales actu3ndo a lo lar_
go de la viga del marco es igual a la suma de momentos con resper,to a BC
de las cargas superficiales contenidas en el área A.BCD y los momentos d P.
las fuerzas que actdan a lo largo del borde AD. De las fuerzas actuando
a lo largo del borde AD, solamente las componentes vertlcal y hortzon
tal es necesario que sean consideradas.
Como el momento en cualquier punto ( y por lo tanto en todos los puutos )
producido por las fuerzas cortantes actuando en la unión ent~ el marco y
la bóveda cáscara es igual a la suma de momentos producida por las c ar-
gas superficiales y los momentos de las fuerzas intemas a lo larqo dP AD,
el momento que se produce en el marco puede ser obtenido directamente du
las cargas superficiales. Las cargas superficiales son aplicadaf: al marcr>
con la misma distribución transversal que en la bóveda cáscara • Para bóv~
das cáscara cil!ndrlcas múltiples, la continuidad de l os marcos puede st-~r
analizada por cualquiera de los métodos convencionales existentes para º-~
tructuras indeterminadas.
En adición a este momento, los esfuerzos cortantes tan9enciales impar -
ten una fuerza tangencial al mareo soportante. La magnitud de. esta foorni'.l
es igual ( pero de signo opuesto ) a la suma de todas las fuerzas transver
sales T~ que actúan en el borde BC. Designaremos esta fuerza con el srxn
bolo Tst ( Fig. # 14 ) • Las fuerzas T~ en la bóveda son esencialmente
de compresión, por lo que le. fuerza longitudinal en el marco T st será de
tensión, y estará dada por la expre111i6n:
T s t : .. \c T ~ ds B
Rer.urni.:>nd0 1 fue encontrado que los esfuerzos cortantes S y Nx entre la
bóveda cáscara y el marco soportante producen un momento resultante y u -
- 64-
na fuerza directa Tst en el marco, actuando esta. fuerza al nivel de fo.
bóveda cáscara.
Para determinar los esfuerzos finales en el marco, el momento total y la
fuerza directa total son requeridos, pudiendo .ser calculados sumando al
momento proveniente de las reacciones externas el momento debido a la:>
cargas superficiales, y sumando los componentes de las reaccion8s exter ..
nas la fuerza Tst. Este momento y fuerza deben ser usados p¡;1ra enccm -
trar el esfuerzo en la "Sección Efectiva'', consistente en la viga on sr del
marco ,rrás la sección efecti.va de la bóveda cáscara, de nncho be. El pro
cedimiento antes descrito requiere el conocimiento de las reacciorn-H:; exto.r_
nas. Para un marco estáticamente determinado las reacciones pueden r.er
obtenidas de las tres ecuaciones de la estática, s:ln mayor dHicultad. En
caso de un marco estáticamente indeterminado, las reacciones pueden ser
obtenidas por cualquiera de los métodos convencionales, pero el efecto de
la fuerza tangencial Tst debe ser inclu!do en la determinación de estas
reacciones. Debe hacerse énfasis en el hecho de que, en este anál.is:i3 de
be hacerse uso siempre de la Sección Efectiva.
Con el objeto de ilustrar corno el efecto de la fuerza tangencial aparnce en
el análisis, asumamos que el método del trabajo virtual será utilizado. En
la aplicación de este método, varios integrales deben ser resueltos pari'i la
obtención de M y F. El símbolo M es definido como el momento dt' lfü>
fuerzas externas con respecto al centro de gravedad de la sección y F, co
mola fuerza directa debi.da a las cargas externas ya mencionadas.
Por lo tanto, M es la suma de los momentos debidos a las fuerzas exter
nas y cargas externas, incluyendo el momento - eTst debida; a la fuerzu
Tst, con respecto al centro de gravedad. La cxentricidad e , mostrada en
la Fig. #' 15, es positiva cuando
- 65 -
f -· C•n tro di il ro vedod
FIG UR A# 15
La bóveda cáscara está situada sobre el centro de gravedad . Similarmente ,
la fuerza Tst debe ser sumada algebraieamente. a la fuerza directa debida
a las reacciones externas y cargas sup;Srficiales. El momento M y la fuer-
za F en el análisis de un marco estáticamente indeterminado soportando 1:!__
na bóveda cáscara, difiere de un marco el cual soporta una losa convencio
nal, por los términos - e Tst y Tst, respectivamente.
Para probar la existencia de la fuerza T st, haremos uso de la Figura # 16.
Las fuerzas internas en el marco rfgido típico de la Figura 16 (a), son igua-
les a la suma de aquéllas existentes cuando el marco se hace estáticameI_!_
te determinado mediante un apoyo móvil horizontalmente en A', y las debi -
das a la reacción horizontal final H • En la condición estáticamente de-. . A'
terminada, no hay reacciones horizontales externas, y por lo tanto, no exi..2_
t irá fuerza directa en el miembro B 'C'. Sin embargo en la condición estáti -
ca mente indeterminada, se induce en el miembro B 'C' , una fuerza directa .!_
gual a H11
, •
~'"'
- 66-
e~ e• B e rí l _____ -=.--
1 1 1 l 1 1 1
\. 1 ¡, 1 l. 1
\. 1 1 1 1 1 1 1
1-lA' ! 1
- -JI.~ 01 • 1)
(a) ( b)
Plano de esf. Ca.rtante
Cero Esf. Corto·nle
- pg!ilJ;,
FIGURA #o 16
De una manera similar, el marco de la Fig • .:jf 16 (b), el cual se asume que
soportará una bóveda cáscara, no tiene reacción horizont al en A, cuand o
es estáticamente determinado. Sin embargo, una examen de parte del mar
;;o tomado corno un c ue rpo libre y representado e n la Fig. 16 (e), nos índJ_
c a que debe ser ofrec tda resistencia a las fuerzas Tf!{. Como no hay reac --
- 67.:...
ción horizonta.l, esta resistencia debe ser suplida por el marco, en- l a fo_~
ma de la fuerza Tst. actuando en el mismo plano de las fuerzas T~ Como
cualquier estruG:tura indeterminada puede ser analizada considerándola i .:..
nicialmente determinada, quiere decir que todos los marcos transversales
·están .sujetos cf una fuerza interna igual pero opuesta a las componentes
horizontales de las fuerzas Tf6. La expre sión exacta de esta fuerza, a un
sólo lado del marco será: E
Tst : TJÓ coS ( JÓk - JÓ)) 0
sen 1r \d x
s iendo E , la d i stancia a la cual ocurre el plano de cero esfuerzo corta'1L ,
la cual puede ser obtenida cons iderando la bóveda cásc ara como una viQa
en su sentido longitudinal, cargada uniformemente, ya sea de una sola luz
. o. contínua.
Re sumieñdo, cualquier sección de la viga del marco soportante, debe ser
diseñada para un momento originado en su propio peso más la carga viva y
mue rta de la bóveda cáscara; y la excentricidad de Tst; y para una fu e r za
directa , comp_ue s ta por T s t y las reacciones externas .
En el caso de este diseño especfficarnente, existen varias ra zones que lo
hacen efectivo para soportar esfuerzos adicionales . debidos a _movimientos
sísmicos.
Son ellos :
_a) La íorma en sr de las bóvedas cascara unidas las cuales en su
sen-tido longitudinal actúan corno vigas de gran peralte, forman
do as! una estructura de gran rigidez.
b) Existe refuerzo adicional en las zonas de compresión; y el de
las zonas de tensión puede sobreesforzarse en un 33%.
c) Espesor de concreto adicional debido a razones constructiva s .
d) Como s e asume comdnmente, las dos situaciones críticas, vi.en
-68 -
to y temblor no se suceder<1n simultáneamente.
Anteriormente vimos· cómo la viga del marco y una porción de la bóveda
-c<1soara actúan homogéneamente, por lo que el chequeo que debe efectuar
se de.füdo a la .fuerza horizontal ·que provoca el temblor, es por esfuerzo
cortante en la sección de la columna donde se une con la viga del ·marco;
y por momento en la columna, considerada ésta unida en su extremo supe __
rior; a una estructura de gran rigidez.
* * *
- 69-
BIBLIOGRAFIA
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A. S. C. E· •.
Design of Barre! Shell Roofs
Portland Cement Association
Diseño de Cascarones
Albin Ghronowic z
IHsefio de Casc aron.es
I. Pilars k:i
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Agriplno P. Spampinato
* * *
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