Tesis Completa M Belem Saldivar
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CENTRO DE INVESTIGACION Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL
INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL
UNIDAD DISTRITO FEDERAL
DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMTICO
Modelado y Anlisis de una Barra de Perforacin:
Enfoque de Ecuaciones Diferenciales en Diferencias
Tesis que presenta
Ing. Martha Belem Saldivar Mrquez
Para obtener el grado de
Maestro en Ciencias
En la Especialidad de
Control Automtico
Directores de Tesis:
Dra. Sabine Mondi Cuzange
Dr. Jean Jacques Loiseau
MXICO DISTRITO FEDERAL AGOSTO DE 2009.
-
Agradecimientos
A la Dra. Sabine Mondi Cuzange,
por su gran disposicin, generosa paciencia
y valiosa asesora brindadas.
Al Dr. Jean Jaques Loiseau,
por su importante colaboracin durante el
desarrollo de este trabajo.
A los Dres. Vadim Azhmyakov y Moiss Bonilla,
por sus atinados comentarios y correcciones de este trabajo.
A mis compaeros de estudio,
por su apreciable amistad y apoyo moral.
A todos los investigadores y personal de apoyo
que forman parte del departamento
de Control Automtico.
Al CONACYT,
por el otorgamiento de la beca de posgrado nacional.
Al CINVESTAV,
centro de investigacin y posgrado lder en Mxico y el mundo.
-
Dedicatoria
A Dios,
por la maravillosa vida en que me toc vivir
y por las personas con las que me toc compartirla.
A Gustavo Nez Moreno,
mi fiel compaero en la fortuna y adversidad,
por su invaluable apoyo en todos los aspectos de mi vida,
por su entera comprensin y entraable compaa.
A Martha Mrquez Franco y Julin Saldivar Pacheco,
mis admirables padres,
a quienes debo lo que soy.
A Lizeth Esmeralda, Karina Yareli e Ileana Nallely,
mis hermanitas,
porque mi amor hacia ellas es siempre retribuido.
A Erick Dan Jared Acosta Saldivar,
mi pequeo sobrino,
que con apenas 3 meses de edad llena mi espritu de felicidad.
A Luisito,
por todas las alegras vividas y por vivir.
Solo triunfa en el mundo quien se levanta y busca a las circunstancias
y las crea si no las encuentra.
Bernard Shaw
-
Resumen
En este trabajo se presenta un modelo de parmetros distribuidos para el sistema de perforacin
de pozos. Este modelo es descrito por una ecuacin diferencial parcial hiperblica con
condiciones de frontera.
El modelo inicial motivado fsicamente puede reducirse a un sistema con retardos en el tiempo
de tipo neutral a travs de la transformacin de DAlembert y tcnicas de la transformada de
Laplace. Este nuevo modelo facilita el anlisis y simulacin del sistema en comparacin con el
modelo diferencial parcial.
Durante el proceso de perforacin aparecen vibraciones torsionales a lo largo de la barra
causadas por la interaccin del dispositivo de corte con la superficie a perforar. Estas
oscilaciones se conocen como fenmeno atore-deslizamiento. Este fenmeno representa una
fuente de fallas que reduce la tasa de penetracin e incrementan los costos de operacin.
En una primera etapa el fenmeno atore-deslizamiento se modela como una perturbacin
acotada en el extremo inferior. Se obtienen cotas ltimas para algunas variables de inters del
sistema. En el contexto de ecuaciones en diferencias las cotas se obtienen por medio de
evaluaciones directas. En el marco de ecuaciones diferenciales parciales las cotas ltimas se
obtienen mediante solucin de desigualdades matriciales lineales (LMIs).
En la segunda parte del trabajo el contacto del dispositivo de corte con la superficie a perforar
se describe mediante una expresin no lineal conmutada. Este contexto de modelado da lugar
al fenmeno atore-deslizamiento. Los resultados de simulacin muestran que este modelo
refleja satisfactoriamente el comportamiento observado en pozos reales. De esta manera se
valida el modelo propuesto.
Finalmente, a partir del modelo anterior se evalan algunas estrategias basadas en la
experiencia con el objeto de reducir las oscilaciones torsionales.
-
Abstract
In this work a distributed parameter model of the oil well drilling system is presented. This
model is described by a hyperbolic partial differential equation with boundary conditions.
The physically motivated initial model can be reduced to a neutral type retarded system
through the DAlembert transformation and Laplace transform techniques. This new model
leads to more simple analysis and system simulation in comparison to partial differential
model.
During the drilling process, appearing torsional drillstring vibrations caused by the interaction
of the cutting device with the surface drilling. These oscillations are known as stick-slip
phenomenon. This phenomenon represents a source of failures which reduce penetration rates
and increase drilling operation costs.
In a first stage the stick-slip phenomenon is modeled as a bounded disturbance in the bottom
end. Ultimate bounds for some interest system variables are obtained. In the context of
difference equations the bounds are obtained by direct computations. In the framework of
partial differential equations ultimate bounds are obtained via the solution of linear matrix
inequalities (LMIs).
In the second part of this work the contact of the cutting device with the surface drilling is
described by a switched nonlinear expression. This modeling framework leads to stick-slip
phenomenon. The simulation results show that this model satisfactorily reflects the behavior
reported in real wells. In this way, the proposed model is validated.
Finally, based on the above model, some experience-based strategies are evaluated in order to
reduce torsional oscillations.
-
ndice general
1 Introduccin 1
1.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Organizacin del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Modelo del sistema de perforacin 6
2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Modelo de parmetros distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Modelo con retardos de tipo neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Transformacin de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Anlisis en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.3 Estabilidad formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Acotamiento ltimo 18
3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Modelo normalizado de parmetros distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Anlisis de la ecuacin en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Anlisis de la ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Ejemplos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.1 Tubera de perforacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2 Collares de perforacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i
-
4 Fenmeno atore-deslizamiento 34
4.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Modelado de la friccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 Curva de Stribeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Modelo del torque sobre el bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.1 Efecto del peso sobre el bit en el fenmeno
atore-deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Efecto de la velocidad en la supercie en el fenmeno
atore-deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Estrategias para reducir las oscilaciones torsionales . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.1 Manipulacin del peso sobre el bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.2 Manipulacin del amortiguamiento en el extremo inferior . . . . . . . 44
4.5 Modelo de parmetros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.1 Evaluacin de las estrategias para reducir las oscilaciones torsionales . 49
4.6 Conclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Conclusiones generales y perspectivas 53
A Artculos 58
A.1 Ultimate boundedness of the response of a drilling pipe model . . . . . . . . 58
A.2 Reducing stick-slip oscillations in oilwell drillstrings . . . . . . . . . . . . . . 65
ii
-
Captulo 1
Introduccin
El mecanismo de la barra de perforacin juega un rol importante en la industria de extraccin
del petrleo. Este sistema constituye un sistema dinmico complejo con parmetros descono-
cidos y variantes debido a que sus caractersticas cambian mientras progresa el proceso.
La interaccin de la barra de perforacin con el pozo da lugar a una amplia variedad
de oscilaciones no deseadas que pueden clasicarse dependiendo de la direccin en la que
aparecen. Pueden distinguirse tres diferentes tipos de vibraciones: torsionales (fenmeno
atore-deslizamiento, conocido en la literatura inglesa como "stick-slip phenomenon"), axiales
(rebote del dispositivo de corte, "bit bouncing") y laterales (rotacin anormal debida al
desbalance de la barra de perforacin, "whirling").
Las vibraciones torsionales suelen presentarse debido a las condiciones de formacin de la
supercie a perforar. Estas pueden provocar que el dispositivo de corte (conocido como "bit")
se atore en la formacin mientras que la mesa rotatoria contina girando. Cuando la energa
torsional atrapada alcanza un nivel en el que el bit ya no puede resistir, repentinamente se
suelta rotando y azotndose a muy altas velocidades. ste comportamiento puede generar
una onda torsional que viaja a travs de la barra de perforacin hasta el sistema de rotacin
en la supercie, la mesa rotatoria acta como un extremo jo debido a su inercia de gran
magnitud y reeja la onda torsional nuevamente al extremo inferior. El bit puede soltarse
nuevamente y el ciclo de onda torsional se repite [16].
Los azotes y las altas velocidades de rotacin en la fase de deslizamiento pueden generar
severas vibraciones laterales y axiales que pueden originar problemas como: debilitamiento
de la barra de perforacin (causando errores en la conexin entre segmentos de la tubera)
[9], avera de los componentes de la barra de perforacin [12], inestabilidad en el proceso de
1
-
perforacin del pozo [22] y dao en el dispositivo de corte.
No es razonable una descripcin completa que cubra todos los fenmenos oscilatorios
que ocurren el proceso de perforacin, por esta razn los autores usualmente estudian tales
fenmenos individualmente y comnmente se utilizan simplicaciones para propsitos de
analizar la estabilidad [3], [13], [24].
Los fenmenos no lineales presentes en el extremo inferior de la barra durante el proceso
de perforacin se consideran como disturbios externos y se modelan aadiendo un trmino
de perturbacin al modelo de parmetros distribuidos presentado en la primera parte de este
trabajo, con esta consideracin no es posible lograr estabilidad asinttica o exponencial, por
esta razn se encuentran cotas ltimas de la solucin [8].
Por otra parte, se presenta un modelo para el torque al que est sujeto el dispositivo de
corte, ste modelo permite describir el fenmeno atore-deslizamiento y evaluar estrategias
que permiten reducir las vibraciones torsionales en la barra de perforacin.
La reduccin de las oscilaciones producidas por el fenmeno atore-deslizamiento puede lo-
grarse mediante la correcta seleccin de diferentes parmetros como la velocidad de rotacin,
el torque al que est sujeto el bit y el peso que ste soporta, stos parmetros comnmente
se controlan desde la supercie.
La gran importancia prctica del anlisis de la barra de perforacin ha interesado a
varios investigadores. Se han usado muchos enfoques que tratan problemas de modelado y
de control, la mayora de ellos hacen frente al comportamiento torsional y la supresin del
fenmeno atore-deslizamiento.
Algunas tcnicas de control clsico para la eliminacin de las vibraciones torsionales son:
la implementacin de un sistema rotatorio de torque suave (soft torque rotary system STRS)
en el extremo superior de la barra [25] donde la idea es hacer que el sistema rotatorio en el
extremo superior tenga un comportamiento suave de manera que las ondas torsionales que
lleguen a la supercie sean absorbidas rompiendo as el movimiento cclico, la introduccin
de un absorbedor de vibraciones en el extremo superior de la barra [7], el diseo de un
controlador PID para controlar la velocidad rotatoria en la supercie [21] y la introduccin
de una friccin adicional en el bit [21].
1.1 Planteamiento del problema
El modelo de parmetros distribuidos del sistema de perforacin vertical de pozos est descri-
to por una ecuacin diferencial parcial de segundo orden de tipo hiperblica con condiciones
2
-
de frontera.
Los modelos de parmetros concentrados permiten realizar de manera ms simple el
anlisis y simulacin del sistema en comparacin con modelos en derivadas parciales. Por
esta razn, los autores preeren utilizar modelos descritos por un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias para el anlisis y control de los sistemas de perforacin. En estos
modelos se considera la barra de perforacin como un pndulo torsional con varios grados de
libertad. En [26], [16] y [7] se proponen modelos de dos grados de libertad y en [17] utilizan
un modelo de cuatro grados de libertad.
Sin embargo, para analizar de manera ms precisa el comportamiento torsional del sis-
tema de perforacin es conveniente utilizar un modelo de parmetros distribuidos ya que los
modelos de parmetros concentrados envuelven importantes simplicaciones mientras que
en un modelo de parmetros distribuidos el espacio de estados es innito-dimensional.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias normalmente resultan de considerar sistemas en
los que su comportamiento depende de una sola variable. Por ejemplo, el movimiento de
un sistema masa-resorte donde el resorte tiene masa despreciable, el cual solo depende de
la variable tiempo. El comportamiento de los sistemas reales normalmente depende de ms
de una variable. Por ejemplo, el movimiento de un cuerpo elstico depende tanto del tiem-
po como del punto del cuerpo que se considere, por tanto las ecuaciones que gobiernan el
comportamiento del sistema son ecuaciones diferenciales parciales.
Resulta interesante la obtencin de un modelo que evada las dicultades de los modelos
en ecuaciones diferenciales parciales y que a la vez describa adecuadamente las variables de
inters del sistema (en este caso, las variables en el extremo inferior de la barra). Este modelo
podra lograrse convirtiendo el sistema de parmetros distribuidos a un sistema con retardos
en el tiempo a travs de la transformacin de DAlembert (solucin general de la ecuacin
de onda).
Un procedimiento alternativo para obtener un modelo descrito por una ecuacin con
retardos en el tiempo de tipo neutral es el mtodo de la transformada de Laplace. El mto-
do consiste en aplicar la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial parcial y a las
condiciones de frontera, resolver la ecuacin resultante y obtener la transformada inversa.
3
-
1.2 Objetivos
Los principales objetivos son:
Obtener un modelo con retardos de tipo neutral a partir de un modelo de parmetrosdistribuidos que describe el comportamiento torsional en la barra de perforacin. Es im-
portante recalcar que los modelos de tipo neutral facilitan el anlisis y las simulaciones
en comparacin con modelos descritos por ecuaciones en derivadas parciales.
Obtener cotas ltimas de la solucin considerando el torque sobre el bit como unafuncin lineal de la velocidad y concentrando en un trmino de perturbacin acotado
los fenmenos no lineales en el extremo inferior de la barra presentes durante el proceso
de perforacin.
Validar el modelo de tipo neutral donde el torque al que est sujeto el dispositivode corte se describe por una expresin no lineal conmutada. Vericar la aparicin de
diversos fenmenos experimentales reportados en la literatura especializada.
1.3 Organizacin del trabajo
En esta memoria, se presenta en el Captulo 2, el modelo de parmetros distribuidos que
describe el comportamiento de la barra de perforacin utilizada en la industria de extraccin
de petrleo. Se deriva a partir de ste, un modelo con retardos de tipo neutral mediante
dos tcnicas: la transformacin de DAlembert para la ecuacin de onda y el anlisis en el
dominio de la frecuencia.
En el Captulo 3, el modelo para la barra de perforacin descrito por la ecuacin de onda
con condiciones en las fronteras se reduce a una ecuacin en diferencias y se obtiene una
cota ltima para la velocidad en el extremo inferior de la barra. Por otra parte, se propone
una funcin de energa para el modelo de parmetros distribuidos que permite encontrar
una cota ltima para una medida de las variables distribuidas que describen el sistema. Se
presentan ejemplos numricos ilustrativos.
En el Captulo 4, se evalan algunas estrategias para reducir el fenmeno indeseable
atore-deslizamiento presente en el proceso de perforacin empleando el modelo con retardos
de tipo neutral derivado en el Capitulo 2. Se demuestra que la manipulacin de variables
como la velocidad angular en la supercie, el torque al que est sujeto el dispositivo de corte
4
-
y el peso que ste soporta tienen un importante efecto en la reduccin de las vibraciones
torsionales de la barra de perforacin.
Finalmente en el Captulo 6, se presentan las conclusiones y perspectivas del trabajo.
1.4 Publicaciones
Los resultados obtenidos en este trabajo de tesis dieron lugar a las siguientes publicaciones:
1. Belem Saldivar, Sabine Mondi y Emilia Fridman, Ultimate boundedness of the res-
ponseresponse of a drilling pipe model. Aceptado en: IFAC Workshop on Time Delay
Systems (TDS 2009), Sinaia, Rumania, 1-3 de Septiembre de 2009.
2. Emilia Fridman, Sabine Mondi y Belem Saldivar, Estimates of the response of a
drilling pipe model subject to bounded disturbances. Aceptado en: IFAC Workshop on
Control of Distributed Parameter Systems (CDPS 2009), Toulouse, Francia, 20-24 de
Julio de 2009.
3. Belem Saldivar, Jean Jacques Loiseau y Sabine Mondi, Reducing Stick-Slip Oscilla-
tions in Oilwell Drillstrings. Sometido a: International Conference on Electrical En-
gineering, Computing Science and Automatic Control (CCE-2009), Toluca, Mxico,
10-13 de Noviembre de 2009.
5
-
Captulo 2
Modelo del sistema de perforacin
2.1 Introduccin
En este captulo se presenta un modelo de parmetros distribuidos que describe el compor-
tamiento torsional de la barra de perforacin.
Con el objeto de simplicar el anlisis y las simulaciones del sistema se obtiene un modelo
con retardos en el tiempo de tipo neutral a partir del modelo de parmetros distribuidos, se
presentan dos estrategias para lograrlo: la transformacin de DAlembert y un anlisis en el
dominio de la frecuencia.
2.2 Modelo de parmetros distribuidos
El proceso principal para la extraccin de petrleo es la perforacin de un pozo que se realiza
mediante una herramienta de corte denominada bit capaz de triturar la roca. La barra de
perforacin consta de dos partes principales: un ensamblaje localizado en el extremo inferior
(BHA, bottom hole assembly) y segmentos de tubera enroscados extremo a extremo.
El ensamblaje comprende el dispositivo de corte, estabilizadores que previenen el ba-
lanceo y una serie de secciones de tubo relativamente pesadas conocidas como collares de
perforacin.
Mientras la longitud del ensamblaje permanece constante, la longitud total de la tubera
de perforacin se incrementa mientras progresa la perforacin del pozo.
Un elemento importante en el proceso es el lodo de perforacin o uido, ste tiene la
funcin de limpiar, enfriar y lubricar el dispositivo de corte.
6
-
Los sistemas de perforacin con el actuador posicionado en la parte inferior de la barra son
ecientes pero existe un alto riesgo de que se produzca un colapso debido a la acumulacin
de material triturado a lo largo de la barra sin movimiento, por esta razn en perforaciones
profundas se preere que el mecanismo giratorio (mesa rotativa) se localice en la supercie.
Un bosquejo de un sistema vertical de perforacin de pozos simplicado es mostrado en
la Fig. 2.2.
Fig. 2.2. Sistema de perforacin de pozos.
La barra de perforacin se considera como un pndulo sujeto a torsin. Una inercia
concentrada IB se escoge para representar el ensamblaje en la parte inferior. Se asume a lo
largo de la estructura un amortiguamiento 0 que incluye tanto el estructural como elviscoso. La velocidad en la supercie ( = 0) se restringe a un valor constante . El otro
extremo ( = L) est sujeto a un torque T que es funcin de la velocidad angular.
El sistema mecnico se describe por la siguiente ecuacin:
GJ@2v
@2(; t) I @
2v
@t2(; t) @v
@t(; t) = 0; 2 (0; L); 0 (2.1)
7
-
con condiciones de frontera:
v(0; t) = t; GJ@v
@(L; t) + IB
@2v
@t2(L; t) = T
@v
@t(L; t)
; (2.2)
donde v(; t) es el ngulo de rotacin, I es la inercia, G es el mdulo de rigidez y J es el
momento geomtrico de inercia.
La existencia y unicidad de la solucin se asume para todas las condiciones iniciales.
La solucin estacionaria de este sistema es:
v0(; t) = t T ()
GJ+
GJL
+
2GJ2: (2.3)
Con el cambio de variable z(; t) = v(; t) v0(; t) se obtiene un sistema autnomoequivalente para el cual la funcin z0(; t) = 0 es solucin.
GJ@2z
@2(; t) I @
2z
@t2(; t) @z
@t(; t) = 0; 2 (0; L) (2.4)
con condiciones de frontera
z(0; t) = 0; GJ@z
@(L; t) + IB
@2z
@t2(L; t) = T () T
+
@z
@t(L; t)
: (2.5)
El extremo = 0 es ahora jo y la ecuacin de propagacin de la onda no cambia.
La estabilidad de la solucin trivial z0(; t) es equivalente a la estabilidad del equilibrio
v0(; t) [3].
2.3 Modelo con retardos de tipo neutral
Con el n de simplicar el anlisis del sistema, se obtiene a partir del modelo de parmetros
distribuidos una descripcin parcial del sistema que tiene la forma de un sistema con retardos
de tipo neutral. Para esto, se hace una simplicacin que reduce el modelo a la ecuacin de
onda. Despus se utilizan dos estrategias: la transformacin de DAlembert (solucin general
de la ecuacin de onda) y un anlisis en el dominio de la frecuencia con la transformada de
Laplace.
2.3.1 Transformacin de DAlembert
En lo subsecuente se asume nulo el amortiguamiento ( = 0) de manera que el modelo de
parmetros distribuidos se reduce a la ecuacin de onda unidimensional
@2v
@2(; t) = p2
@2v
@t2(; t); 2 (0; L); (2.6)
8
-
donde p =q
IGJ; con condiciones de frontera (2.2).
A continuacin se desarrolla el mtodo de DAlembert que permite encontrar la solucin
general de la ecuacin de onda unidimensional (2.6) que modela las vibraciones a lo largo de
la barra.
Se introducen las nuevas variables = t+ p, = t p y se aplica la regla de la cadenapara obtener
@
@=
@
@
@
@+@
@
@
@;
= p@
@ p @
@; (2.7)
@
@t=
@
@t
@
@+@
@t
@
@;
=@
@+
@
@: (2.8)
Se usan (2.7) y (2.8) para desarrollar el lado izquierdo y derecho de la ecuacin (2.6) como
sigue
@2v
@2=
p@
@ p @
@
p@v
@ p@v
@
;
= p2@2v
@2 2p2 @
2v
@@+ p2
@2v
@2; (2.9)
@2v
@t2=
@
@+
@
@
@v
@+@v
@
;
=@2v
@2+ 2
@2v
@@+@2v
@2: (2.10)
As, sustituyendo (2.9) y (2.10) en (2.6) se obtiene la ecuacin diferencial parcial
@2v
@@= 0
cuya solucin general es:
v(; t) = () + (); (2.11)
v(; t) = (t+ p) + (t p);
9
-
donde , son funciones de valor real de una variable continuamente diferenciables.
Para derivar la relacin entre la velocidad angular en la supercie y la velocidad en el
extremo inferior de la barra se utiliza la solucin general (2.11) de la ecuacin de onda.
@v
@t=
@v
@+@v
@;
@v
@= p
@v
@ p@v
@:
Las condiciones de frontera (2.2) pueden reescribirse como
_v(0; t) = _(t) + _ (t) = (t); (2.12)
@v
@(L; t) = p
@
@(t+ ) p@
@(t ) = IB
GJ
@2
@2(t+ ) +
@2
@2(t )
1GJ
T (t) (2.13)
donde = pL: Tomando como salida el desplazamiento desde la posicin no excitada hasta
el extremo inferior se obtiene
w(t) = v(L; t) = (t+ ) + (t ): (2.14)
De acuerdo con la derivada de (2.14) y considerando y como funciones del tiempo t,
sigue de (2.12) y (2.13) que
(t) +
(t) = (t); (2.15)
(t+ ) +
(t ) = w(t); (2.16)
p(t+ ) p
(t ) = IB
GJw(t) 1
GJT (t): (2.17)
La ecuacin (2.16) implica(t+ ) =
(t ) + w(t):
Con la sustitucin de esta ltima ecuacin en (2.15) y (2.17) se obtiene
(t)
(t 2 ) + w(t ) = (t) (2.18)
y
2p (t ) + p w(t) = IB
GJw(t) 1
GJT (t)
sta ltima puede reescribirse como
(t) =
1
2
w(t+ ) +
IB
2pIGJ
w(t+ ) +1
2pIGJ
T (t+ ):
10
-
Sustituyendo la ecuacin anterior en (2.18):
1
2
w(t+ ) +
IB
2pIGJ
w(t+ ) +1
2pIGJ
T (t+ ) 12
w(t )
IB2pIGJ
w(t ) 12pIGJ
T (t ) + w(t ) = (t):
Entonces el modelo con retardos de tipo neutral para el sistema de perforacin es:
w(t) w(t 2 )+pIGJ
IB
w(t)+
pIGJ
IB
w(t 2 ) = 1
IBT (t)+
1
IBT (t 2 )+ 2
pIGJ
IB
(t ):
Lo anterior se resume en la siguiente proposicin:
Proposicin 1 Sea el sistema que describe el comportamiento torsional de la barra de per-
foracin sin amortiguamiento
GJ@2v
@2(; t) I @
2v
@t2(; t) = 0; 2 (0; L);
con condiciones de frontera:
v(0; t) = t; GJ@v
@(L; t) + IB
@2v
@t2(L; t) = T
@v
@t(L; t)
;
donde v(; t) es el ngulo de rotacin, L la longitud de la barra, I la inercia, G el mdulo de
rigidez, J el momento geomtrico de inercia, el amortiguamiento a lo largo de la barra, la
velocidad angular en la supercie, IB una inercia concentrada que se escoge para representar
el ensamblaje en la parte inferior y T el torque al que est sujeto el dispositivo de corte. La
relacin de la velocidad en el extremo inferior de la barra y la velocidad en la supercie est
dada por la ecuacin con retardos de tipo neutral:
w(t) w(t 2 )+pIGJ
IB
w(t)+
pIGJ
IB
w(t 2 ) = 1
IBT (t)+
1
IBT (t 2 )+ 2
pIGJ
IB
(t )(2.19)
donde =q
IGJL y
w es la velocidad en el extremo inferior de la barra.
2.3.2 Anlisis en el dominio de la frecuencia
A continuacin se presenta una prueba alternativa de la proposicin anterior en donde se
deriva el modelo (2.19) a travs de la obtencin de la transferencia entrada-salida usando
tcnicas de la transformada de Laplace.
11
-
Denicin 2 La transformada unilateral de Laplace de v(; t) se dene como
$(v(; t)) =
1Z0
e stv(; t)dt = v^(; s);
y su inversa:
$ 1(v^(; s)) =
1
2i
c+i1Zc i1
v^(; s)estds = v(; t):
Lema 1 Sea una v : [0;+1)! R una funcin continua por pedazos en cada intervalo [a; b]contenido en [0;+1): Si existen constantes M; t0 > 0 y s0 2 R; tales que
jv(t)j Mect para todo t > t0
(en este caso se dice que v es de orden exponencial para t > t0), entonces la transformada
de Laplace de v(t) existe. Es decir, existe un nmero s0 tal que $(v(t)) existe para s > s0.
La primera derivada parcial de v con respecto a la variable temporal t puede transformarse
aplicando la denicin anterior,
$
@v
@t
=
1Z0
e st@v
@tdt;
integrando por partes con
u0 = e st dv0 = dv
du0 = se st v0 = v
se tiene que
$
@v
@t
= [u0v0]10
1Z0
vd
dte stdt
=ve st
10+ s
1Z0
e stvdt
= s
1Z0
e stvdt v(; 0)
12
-
$@v
@t
= sv^(; s) v(; 0)
donde v^ denota la transformada de Laplace de v:
La segunda derivada parcial de v con respecto a t tambin puede transformarse,
$
@2v
@t2
=
1Z0
e st@2v
@t2dt =
e st
@v
@t
10
+ s
1Z0
e st@v
@tdt;
entonces,
$
@2v
@t2
= s$
@v
@t
@v(; 0)
@t
= s2v^(; s) sv(; 0) @v(; 0)@t
Se aplica la transformada de Laplace de v con respecto a la variable temporal como sigue
$
@v
@
=
1Z0
e st@v
@dt;
aplicando la Regla de Leibnitz se tiene1Z0
e st@v
@dt =
@
@
1Z0
e stvdt;
as,
$
@v
@
=
@
@$ (v) =
@v^(; s)
@:
Similarmente,
$
@2v(; t)
@2
=
1Z0
e st@2v(; t)
@2dt =
@2
@2
1Z0
e stvdt =@2v^(; s)
@2:
Resumiendo lo anterior,
$
@2v(; t)
@t2
= s2$ (v(; t)) sv(; 0) vt(; 0) = s2v^(; s) sv(; 0) vt(; 0);
$
@v(; t)
@t
= s$ (v(; t)) v(; 0) = sv^(; s) v(; 0);
$
@2v(; t)
@2
=
@2$(v(; t))
@2=@2v^(; s)
@2;
$
@v(; t)
@
=
@$(v(; t))
@=@v^(; s)
@:
13
-
Considerando que las condiciones iniciales son nulas, la ecuacin (2.6) puede reescribirse
como
GJ@2v^(; s)
@2= Is2v^(; s): (2.20)
La solucin general de (2.20) es:
v^(; s) = v1(s)ep
IGJ
s + v2(s)e p
IGJ
s (2.21)
donde v1(s) y v2(s) son soluciones particulares a ser determinadas. De las condiciones de
frontera (2.2) se tiene que:
_v(0; t) = (t): (2.22)
De acuerdo con (2.22) las condiciones de frontera se pueden reescribir como
(s) = sv1(s) + sv2(s) (2.23)
GJ@v^
@(L; s) + IBs
2v^(L; s) = T (s): (2.24)
La derivada de (2.21) es
dv^(; s)
d= v1(s)
rI
GJsep
IGJ
s v2(s)r
I
GJse p
IGJ
s; (2.25)
sustituyendo (2.25) en (2.24),
GJ
v1(s)
rI
GJsep
IGJ
sL v2(s)r
I
GJse p
IGJ
sL
!
+IBs2v1(s)e
pIGJ
sL + v2(s)e p
IGJ
sL= T (s)
o en forma matricial s s
e s(pIGJs+ IBs
2) e s pIGJs+ IBs2
! v1(s)v2(s)
!=
(s)
T (s)
!
donde =q
IGJL: Entonces, las soluciones particulares v1(s) y v2(s) son:
v1(s)
v2(s)
!=
1
D(s)
e s
pIGJs+ IBs2
s
e s(pIGJs+ IBs2) s
!
(s)
T (s)
!
14
-
donde
D(s) = she s
pIGJs+ IBs
2 e s(
pIGJs+ IBs
2)i;
sigue que
v1(s) =e s
pIGJs+ IBs2
(s) + sT (s)
she s
pIGJs+ IBs2
e s(pIGJs+ IBs2)
i
=e 2 s
pIGJs+ IBs2
(s) + se sT (s)
she 2 s
pIGJs+ IBs2
(pIGJs+ IBs2)
i ;
v2(s) = e s(pIGJs+ IBs2)(s) sT (s)
she s
pIGJs+ IBs2
e s(pIGJs+ IBs2)
i=
(pIGJs+ IBs2)(s) se sT (s)she 2 s
pIGJs+ IBs2
(pIGJs+ IBs2)
i :Sea la salida el desplazamiento desde la posicin no excitada hasta el extremo inferior:
w(s) = v^(L; s) = v1(s)e s + v2(s)e
s;
sustituyendo las soluciones particulares v1 y v2 se tiene,
w(s) =e s
pIGJs+ IBs2
(s) + sT (s) e s(pIGJs+ IBs2)(s) se 2 sT (s)
she 2 s
pIGJs+ IBs2
(pIGJs+ IBs2)
isimplicando la expresin anterior,
w(s) = 2pIGJe s(s) + T (s) e 2 sT (s)
e 2 s pIGJs+ IBs2
(pIGJs+ IBs2)
o equivalentemente,
w(s)he 2 s
pIGJs+ IBs
2 (pIGJs+ IBs
2)i= 2
pIGJe s(s)+T (s) e 2 sT (s)
se obtiene
s2w(s) e 2 ss2w(s) +pIGJ
IBsw(s) +
pIGJ
IBe 2 ssw(s) = 1
IBT (s) (2.26)
+1
IBe 2 sT (s) +
2pIGJ
IBe s(s):
15
-
Finalmente, la ecuacin de tipo neutral (2.19) se obtiene a travs de la transformada
inversa de Laplace de (2.26),
$ 1 "s2w(s) = w(t);
$ 1 "e 2 ss2w(s) = w(t 2 );
$ 1 (sw(s)) =
w(t);
$ 1 "e 2 ssw(s) = w(t 2 );
$ 1 (T (s)) = T (t);
$ 1 "e 2 sT (s) = T (t 2 );$ 1 "e s(s) = (t ):
2.3.3 Estabilidad formal
La estabilidad formal del operador diferencia es una propiedad crucial de los sistemas con
retardo de tipo neutral.
Si un sistema es formalmente estable, las perturbaciones arbitrarias del retardo no alteran
la estabilidad del sistema. En el caso de la barra de perforacin, el retardo proviene de
transformaciones matemticas que dependen de la geometra del sistema. Por ello el retardo
no est sujeto a variaciones.
Denicin 3 [11]Considere un sistema de la forma
x(t) =
qXk=1
Ekx(t k) +
qXk=0
Akx(t k) +qX
k=0
Bku(t k) (2.27)
donde x(t) 2 Rn es el estado y u(t) 2 Rm es el control. Esta ecuacin diferencial funcionalretardada es llamada de tipo neutral si Ek 6= 0 para algn k: Es formalmente estable si
Rank(In E^(s)) = n
para todo s tal que Re(s) 0; donde
E^(s) =
qXk=1
Eke ks:
16
-
Note que el sistema (2.19) se puede reescribir en la forma (2.27)
_w(t) =
0 0
0 1
!_w(t 2 ) +
0 1
0 pIGJIB
!w(t) +
0 0
0 pIGJIB
!w(t) +
0
2pIGJIB
!
(t ) +
0
1IB
!T (t) +
01IB
!T (t 2 )
con
E^ =
0 0
0 e 2 s
!:
Para s = 0,
det(I E^) = det 1 0
0 1 e 2 s!= 1 e 2 s = 0
entonces, se concluye que el sistema (2.19) no es formalmente estable.
2.4 Conclusin
En este captulo se present un modelo de parmetros distribuidos que describe el compor-
tamiento torsional de la barra de perforacin de pozos verticales. Este modelo corresponde
a la ecuacin de onda cuando se considera nulo el amortiguamiento a lo largo de la barra.
El modelo de parmetros distribuidos se transform en una ecuacin con retardos en el
tiempo de tipo neutral utilizando dos tcnicas: la solucin general de la ecuacin de onda y
la transformacin de Laplace. Se demostr que este sistema no es formalmente estable.
17
-
Captulo 3
Acotamiento ltimo
3.1 Introduccin
En este captulo se aborda un importante tpico en el marco de sistemas perturbados: el
acotamiento ltimo (ultimate boundedness) [8].
Considere el sistema
_x = f(t; x) + g(t; x)
donde g(t; x) es una perturbacin que podra resultar de errores en el modelado del sistema
no lineal o de incertidumbres y disturbios que existen en un problema real.
En una situacin tpica no se conoce g(t; x), pero podra conocerse una cota superior de
kg(t; x)k : En un sistema de este tipo no se puede esperar que la solucin se aproxime a cerocuando t!1; lo mas que puede esperarse es que el trmino de la perturbacin sea pequeoen algn sentido entonces x(t) admite una pequea cota ltima; esto es, kx(t)k ser pequeopara un tiempo t sucientemente grande. Esto conduce al concepto de acotamiento ltimo.
Denicin 4 [8]. Sea el sistema perturbado
_x = f(t; x) + g(t; x)
donde f : [0;1) D ! Rn y g : [0;1) D ! Rn son continuas en pedazos en t ylocalmente Lipschitz en x sobre [0;1) D: D Rn es un conjunto abierto conectado quecontiene al origen x = 0; kg(t; x)k admite una cota superior. Las soluciones de _x = f(t; x)son uniformemente ltimamente acotadas si existen constantes b y c, y para cada 2 (0; c)existe una constante T = T () tal que
kx(t0)k < =) kx(t)k < b; 8t > t0 + T (3.1)
18
-
Las soluciones sern globalmente uniformemente ltimamente acotadas si (3.1) se cumple
para arbitrariamente grande. A la constante b en (3.1) se denomina cota ltima.
Es razonable adicionar al modelo de la barra de perforacin (2.4)-(2.5) una seal de
ruido acotada w(t) en el extremo inferior puesto que aunque los parmetros dimensionales
de la planta se conocen, una linealizacin empleada en el comportamiento del torque en
el extremo inferior introduce incertidumbre, adems de esto, es necesario considerar los
disturbios externos y posibles errores en el modelado.
Bajo estas circunstancias, no puede lograrse estabilidad asinttica o exponencial, en vez
de esto se buscan cotas ltimas de la solucin.
Tras apropiadas simplicaciones, el modelo de parmetros distribuidos se convierte en
una ecuacin en diferencias que describe la velocidad angular en el extremo inferior de la
barra, esta es la variable ms importante desde un punto de vista ingenieril.
Por otra parte, el problema se aborda en el marco de sistemas de parmetros distribuidos
como un caso especial de la ecuacin de onda. Se propone una funcin de energa de la que se
derivan condiciones en forma de desigualdades matriciales lineales (LMIs) para acotamiento
ltimo siguiendo con las ideas introducidas en [18], [5].
3.2 Modelo normalizado de parmetros distribuidos
El modelo del sistema mecnico de la barra de perforacin que se considera en esta seccin
es el descrito por las ecuaciones (2.4)-(2.5).
Se introduce una linealizacin del torque T :
T () T ( + zt(L; t)) = T 0( + zt)zt(L; t); 2 (0; L):
Normalizando el sistema (2.4)-(2.5) se tiene:
GJ
L2@2z
@2(; t) I @
2z
@t2(; t) @z
@t(; t) = 0; 2 (0; 1); (3.2)
z(0; t) = 0;GJ
L
@z
@(1; t) + IB
@2z
@t2(1; t) = T 0( + zt)zt(1; t) + w(t); (3.3)
donde = =L; jw(t)j w; t 2 (0;1) es un disturbio externo con el que se aproximan losfenmenos no lineales que suceden en el proceso de perforacin.
19
-
Las condiciones iniciales son:
z(; 0) = (); z(; 0) = _() 2 L2(0; 1);zt(; 0) =
1() 2 L2(0; 1):
(3.4)
Cuando el trmino w(t) no es idnticamente cero, no puede establecerse estabilidad a-
sinttica y no pueden determinarse estimados exponenciales, sin embargo se puede probar
acotamiento ltimo de las soluciones.
3.3 Anlisis de la ecuacin en diferencias
En esta seccin se considera un caso particular del modelo (3.2)-(3.3).
Se asume que el amortiguamiento y la inercia concentrada son nulos ( = IB = 0), por
lo que el modelo se reduce a:
@2z
@t2(; t) = a
@2z
@2(; t); 2 (0; 1); t > 0 (3.5)
z(0; t) = 0;@z
@(1; t) = k@z
@t(1; t) + rw(t) (3.6)
donde a = GJIL2
; k = LT0(+zt)GJ
; r = LGJ2 R:
En este caso es posible convertir el modelo de parmetros distribuidos en una ecuacin
en diferencias a travs de la transformacin de DAlembert. Se utiliza para este propsito la
solucin general de la ecuacin de onda unidimensional:
z(; t) = (t+ s) + (t s); t 0;
donde , son funciones de valor real continuamente diferenciables, y s =q
1a. Se tiene
que@z
@t(; t) = _(t+ s) + _ (t s); @z
@(; t) = s _(t+ s) s _ (t s): (3.7)
Las condiciones iniciales tienen la forma:
zt(; 0) = 1() =_(s) + _ ( s);
z(; 0) = _() = s _(s) s _ ( s):(3.8)
Entonces,_(s) = 0.5[1() + _()=s];_ ( s) = 0.5[1() _()=s]:
(3.9)
20
-
Las condiciones de frontera pueden escribirse de la siguiente manera:
z(0; t) = (t) + (t) = 0; (3.10)
@z(1; t)
@= s _(t+ s) s _ (t s) = k[ _(t+ s) + _ (t s)] + rw(t): (3.11)
De (3.10) sigue que
(t) = (t); t > 0 (3.12)y entonces (3.11) se puede escribir:
[s+ k] _ (t+ s) + [s k] _ (t s) = rw(t); t > 0 (3.13)
equivalentemente,_ (t+ s) = c0 _ (t s) c1w(t); t > 0 (3.14)
con c0 =(s k)(s+k)
y c1 = r(s+k) :
De (3.9) se obtienen las siguientes condiciones iniciales
_ (t) = 0.5[1(t=s) + _(t=s)=s]; t 2 (0; s);_ ( t) = 0.5[1(t=s) _(t=s)=s]; t 2 (0; s):
(3.15)
Este modelo puede ser tratado usando tcnicas de ecuaciones en diferencias. Sea t = ls+;
2 [ s; 0]; as (3.14) se puede reescribir como:
_ (ls+ + s) = c0 _ (ls+ s) c1w(ls+ )
o_ ((l + 1)s+ ) = c0 _ ((l 1)s+ ) c1w(ls+ ): (3.16)
A continuacin se realiza la iteracin de (3.16) para l = 1; 2; :::
l=1_ (2s+ ) = c0 _ () c1w(s+ );
l=2_ (3s+ ) = c0 _ (s+ ) c1w(2s+ );
l=3_ (4s+ ) = c0 _ (2s+ ) c1w(3s+ );
21
-
l=4_ (5s+ ) = c0 _ (3s+ ) c1w(4s+ );
l=5_ (6s+ ) = c0 _ (4s+ ) c1w(5s+ );
l=6_ (7s+ ) = c0 _ (5s+ ) c1w(6s+ );
l=7_ (8s+ ) = c0 _ (6s+ ) c1w(7s+ );
l=8_ (9s+ ) = c0 _ (7s+ ) c1w(8s+ );
con las sustituciones correspondientes se obtiene:
_ (5s+ ) = c0h c0 _ (s+ ) c1w(2s+ )
i c1w(4s+ );
= ( c0)2 _ (s+ ) + c0c1w(2s+ ) c1w(4s+ );_ (7s+ ) = c0
h( c0)2 _ (s+ ) + c0c1w(2s+ ) c1w(4s+ )
i c1w(6s+ );
= ( c0)3 _ (s+ ) c20c1w(2s+ ) + c0c1w(4s+ ) c1w(6s+ );_ (9s+ ) = c0
h( c0)3 _ (s+ ) c20c1w(2s+ ) + c0c1w(4s+ ) c1w(6s+ )
i c1w(8s+ );
= ( c0)4 _ (s+ ) c1( c0)0w(8s+ ) + ( c0)1w(6s+ )+
( c0)2w(4s+ ) + ( c0)3w(2s+ );
y se llega a
_ (2ls+ s+ ) = ( c0)l _ (s+ ) c1l 1Xi=0
( c0)iw((2(l i))s+ ): (3.17)
22
-
Por otro lado,
_ (4s+ ) = c0h c0 _ () c1w(s+ )
i c1w(3s+ );
= ( c0)2 _ () + c0c1w(s+ ) c1w(3s+ );_ (6s+ ) = c0
h( c0)2 _ () + c0c1w(s+ ) c1w(3s+ )
i c1w(5s+ );
= ( c0)3 _ () c20c1w(s+ ) + c0c1w(3s+ ) c1w(5s+ );_ (8s+ ) = c0
h( c0)3 _ () c20c1w(s+ ) + c0c1w(3s+ ) c1w(5s+ )
i c1w(7s+ );
= ( c0)4 _ () c1( c0)0w(7s+ ) + ( c0)1w(5s+ )+
( c0)2w(3s+ ) + ( c0)3w(s+ );
de las expresiones anteriores se llega a
_ (2ls+ ) = ( c0)l _ () c1l 1Xi=0
( c0)iw((2(l i) 1)s+ ): (3.18)
As, para l = 1; 2; :: la solucin es descrita por (3.17) y (3.18).
Como jc0j < 1; con = ln(jc0j); se tiene que( c0)i = e i ; entonces usandow(t) w;
t 0; sigue que para 2 [ s; 0] _ (2ls+ ) e l _ ()+ jc1j w l 1X
i=0
e i ;
_ (2ls+ s+ ) e l _ (s+ )+ jc1j w l 1Xi=0
e i :
Sigue de (3.15) que _ () 0;5[j1(=s)j+ _(=s) =s]; s s:Con la desigualdad
l 1Pi=0
e i 11 e ; se tiene:
_ (2ls+ ) 0;5e l[j1(=s)j+ _(=s) =s] + jc1j1 e w; _ (2ls+ s+ ) 0;5e l[j1(=s)j+ _(=s) =s] + jc1j1 e w;23
-
como e l = e s(t ) e s t se sigue que _ (2ls+ ) 0;5e s t[j1(=s)j+ _(=s) =s] + jc1j1 e w _ (2ls+ s+ ) 0;5e s t[j1(=s)j+ _(=s) =s] + jc1j1 e w:
Finalmente se obtiene una cota superior para _ (t) ;
_ (t) 0;5e s t[j1(=s)j+ _(=s) =s] + jc1j1 e w: (3.19)Adems, (3.12) implica que
_(t) satisface la misma cota superior que _ (t) para t s.Entonces, de (3.7) y (3.19) se tiene que
jz(1; t)j se s t[j1(=s)j+ _(=s) =s] + 2s jc1j
1 e w: (3.20)
Usando el siguiente resultado se obtendr otra cota exponencial.
Lema 5 [27]. Sea z : [a; b]! R una funcin escalar con z(a) = 0: EntoncesZ ba
z2()d (b a)2
2
Z ba
(z0())2d; (3.21)
y
max2[a;b]z2() = [max2[a;b]z()]
2 (b a)Z ba
(z0())2d: (3.22)
Usando (3.22) puede concluirse tambin que
max2(0;1)z2()
se
st[j1(=s)j+
_(=s) =s] + 2s jc1j1 e w
2:
Resumiendo los resultados anteriores se tiene el siguiente resultado.
Lema 6 La solucin del problema de valor en la frontera (3.5), (3.6) admite una cota ltima
y para todas las condiciones iniciales (3.4) satisface la desigualdad
jz(1; t)j se s t[j1(=s)j+ _(=s) =s] + 2s jc1j
1 e w; t > 0;
adems,
max2(0;1)z2()
se
st[j1(=s)j+
_(=s) =s] + 2s jc1j1 e w
2:
24
-
Finalmente, se obtendr una cota ltima para la variable de inters principal, la velocidad
angular en el extremo inferior zt(1; t).
Utilizando la solucin general de la ecuacin de onda, esta variable puede reescribirse
como@z
@t(1; t) = _(t+ s) + _ (t s):
En vista de (3.12), _(t) y _ (t) satisfacen la misma cota (3.19). As, se tienejzt(1; t)j e s t[j1(=s)j+
_(=s) =s] + 2 jc1j1 e w: (3.23)
3.4 Anlisis de la ecuacin de onda
El modelo del sistema en ecuaciones en diferencias proporciona un estimado del compor-
tamiento en el extremo inferior de la barra. Para una estimacin global, se tratar el problema
como un sistema de parmetros distribuidos.
La inercia concentrada IB se considera ahora nula, pero no as el amortiguamiento a lo
largo de la barra. Con estas consideraciones el modelo de parmetros distribuidos (3.2)-(3.3)
se reduce a la ecuacin de onda
ztt(; t) = az(; t) + dzt(; t)
t t0; 0 < < 1(3.24)
con las condiciones de frontera
z(0; t) = 0;
z(1; t) = kzt(1; t) + rw(t); t > 0;(3.25)
donde a = GJIL2, d =
I; r = L
GJy k = LT
0(+zt)GJ
con 0 < c1 T 0(+ zt) c2 y condicionesiniciales
z(; 0) = (); z(; 0) = _() 2 L2(0; 1);zt(; 0) =
1() 2 L2(0; 1):
(3.26)
Las siguiente desigualdad ser de vital importancia para la obtencin de cotas ltimas.
Lema 7 Sea V : [0;1)! R+ una funcin absolutamente continua y w una variable acota-da. Si existe > 0, b > 0 tal que se satisface la siguiente desigualdad
d
dtV + 2V bw2 0; (3.27)
25
-
entonces se sigue que
V (t) e 2(t t0)V (t0) + (1 e 2(t t0)) b2jwj2 :
Prueba. Multiplicando por e2( t) la desigualdad (3.27),
e2( t)d
dtV + 2e2( t)V bw2e2( t);
integrando de t0 a t la expresin anterior se tieneZ tt0
d
d(e2( t)V ())d b
Z tt0
e2( t)w2()d
o
V (t) e 2(t t0)V (t0) b2(1 e 2(t t0))w2:
y el resultado se sigue.
En vista del Lema 7, el primer paso para la obtencin de una cota ltima es buscar
las condiciones bajo las cuales la desigualdad ddtV + 2V bw2 0 se satisface. Para este
propsito considere la funcin de energa
V (z(;t);zt(; t)) = pR 10az2(; t)d + p
R 10z2t (; t)d
+2R 10z(; t)zt(; t)d
propuesta en [18] con constantes p > 0 y sucientemente pequeo.
En [5] la siguiente desigualdad matricial lineal"ap
p
#> 0 (3.28)
se introduce para garantizar que V > 0 paraR 10[z2(; t) + z
2t (; t)]d > 0:
Como la desigualdad
"ap
p
#> 0 es afn en 2 (0; 1); sigue de los complementos
de Schur y del Teorema de Rayleigh que
1
Z 10
[z2(; t) + z2t (; t)]d V (z(;t);zt(; t)) 2
Z 10
[z2(; t) + z2t (; t)]d (3.29)
con
1 = mn
"ap 0
0 p
#, 2 = max
"ap
p
#: (3.30)
26
-
Ahora buscamos condiciones sobre la derivada, para esto se ocupar la regla de integracin
por partes como sigue:
d(uv) = udv + vdu (3.31)Zd(uv) = uv =
Zudv +
Zvdu (3.32)Z
udv = uv Zvdu; (3.33)
utilizando la Regla de Leibniz,
d
dt
2
Z 10
ztzd
= 2
Z 10
d
dtztzd;
ocupando (3.32) con d = ddt; u = z, v = zt; du = zt; dv = ztt; se tiene
2
Z 10
d
dtztzd = 2
Z 10
zttzd + 2
Z 10
ztztd;
sustituyendo (3.24) en la expresin anterior,
d
dt
2
Z 10
ztzd
= 2a
Z 10
z(; t)zd + 2
Z 10
ztztd + (3.34)
2d
Z 10
zt(; t)zd:
Utilizando (3.33) para integrar el trmino 2R 10ztztd con u = zt; dv = zt; du = zt+zt;
v = zt;
2
Z 10
ztztd = 2z2t (; t)
10 2
Z 10
zt (zt + zt) d
= 2Z 10
ztztd 2Z 10
z2t d + 2z2t (1; t):
o
2
Z 10
ztztd = Z 10
z2t d + z2t (1; t): (3.35)
De manera anloga para el trmino 2R 10z(; t)zd con u = z, dv = z; du = z+z;
v = z;
2
Z 10
z(; t)zd = 2z2(; t)
10 2
Z 10
z (z + z) d
= 2Z 10
zzd 2Z 10
z2d + 2z2(1; t)
27
-
o2
Z 10
zzd = Z 10
z2d + z2(1; t): (3.36)
Sustituyendo en (3.34), las expresiones (3.35) y (3.36)
d
dt
2
Z 10
ztzd
= a
Z 10
z2d + az2(1; t)
Z 10
z2t d + z2t (1; t) + (3.37)
2d
Z 10
zt(; t)zd;
introduciendo la condicin de frontera (3.25)
2 ddt
R 10ztzd
= R 1
0(z2t + az
2)d + z
2t (1; t)
+a ( kzt(1; t) + rw(t))2 + 2dR 10zt(; t)zd:
Se busca diferenciar V a lo largo de (3.24),
ddtV = p d
dt
R 10az2(; t)d + p
ddt
R 10z2t (; t)d
+2 ddt
R 10z(; t)zt(; t)d;
(3.38)
utilizando (3.32) para desarrollar el trminoR 10
ddtpaz2(; t)d con u = pa; v = z
2; du = 0;
dv = 2zzt; sigue que
pd
dt
Z 10
az2(; t)d = 2p
Z 10
az(; t)zt; (3.39)
similarmente para el trmino pR 10
ddtz2t (; t)d con u = v = zt(; t); du = dv = ztt(; t);
pd
dt
Z 10
z2t (; t)d = 2
Z 10
zt(; t)ztt(; t)d: (3.40)
Sustituyendo (3.39) y (3.40) en (3.38) se tiene que
d
dtV = 2p
Z 10
az(; t)zt(; t)d +
2p
Z 10
zt(; t)ztt(; t)d + 2d
dt
Z 10
ztzd
;
28
-
introduciendo la expresin (3.24) en la anterior se llega a
d
dtV = 2p
Z 10
az(; t)zt(; t)d +
2p
Z 10
zt(; t) [az(; t) + dzt(; t)] d + 2d
dt
Z 10
ztzd
= 2p
Z 10
[az(; t)zt(; t) + azt(; t)z(; t)]d + (3.41)
2pd
Z 10
zt(; t)zt(; t)d + 2d
dt
Z 10
ztzd
:
Ahora, integrando por partes el trminoR 10zt(; t)z(; t)d con u = zt(; t); dv = z(; t);
du = zt(; t); v = z(; t); y sustituyendo la condicin de frontera (3.25), se tieneZ 10
zt(; t)z(; t)d = zt(; t)z(; t)j10 Z 10
zt(; t)z(; t)d (3.42)
= zt(1; t)( kzt(1; t) + rw(t)) Z 10
zt(; t)z(; t)d
as, sustituyendo las expresiones (3.42), (3.37) en (3.41),
ddtV = 2apkz2t (1; t) + 2apzt(1; t)rw(t)
+2pdR 10zt(; t)zt(; t)d
+h R 1
0(z2t + az
2)d + z
2t (1; t) + az
2(1; t) + 2d
R 10zt(; t)zd
i:
Sigue que:
ddtV + 2V bw2 = 2apkz2t (1; t) + 2apzt(1; t)rw(t)
+2pdR 10zt(; t)zt(; t)d
+h R 1
0(z2t + az
2)d + z
2t (1; t) + a( kzt(1; t) + rw(t))2
+2dR 10zt(; t)zd
i+R 102[apz2(; t) + 2z(; t)zt(; t) + pz
2t (; t)]d:
bw2:
(3.43)
Deniendo #T (; t) = [zt(1; t) z(; t) zt(; t); w(t)], la expresin anterior se puede reescribir
comod
dtV + 2V bw2 =
Z 10
#T (; t)#(; t)d;
29
-
note que Z 10
#T (; t)#(; t)d < 0
si
=
24 1 0 0 akr + apr 2 (2 + d) 0
3 0 b+ ar2
35 < 0 (3.44)
donde 1 = 2akp+ (1 + ak2); 2 = a+ 2ap; 3 = + 2pd+ 2p:
(3.45)
Como la desigualdad (3.44) es afn en 2 (0; 1), entonces por complementos de Schur esfactible si 2
4 1 0 0 akr + apr 2 (2 + d) 0 3 0 b+ ar2
35 < 0: (3.46)
Entonces, si (3.46) es factible, (3.29) y el Lema 7 implican
1R 10[z2(; t) + z
2t (; t)]d V (z(;t);zt(; t))
V (z(;t0);zt(; t0))e 2(t t0) + b2 (1 e 2(t t0))w2 2e 2(t t0)
R 10[21()+
_2(]d + b
2(1 e 2(t t0))w2:
As, las soluciones del problema de valor en la frontera (3.24), (3.25) podran satisfacer la
desigualdad anterior para todo t > t0.
Adems, sigue de (3.22) que
z2(; t) max2(0;1)z2() = [max2(0;1)z()]2 Z 10
(z0())2d Z 10
[z2(; t) + z2t (; t)]d:
Asi mismo se tiene el siguiente estimado
z2(; t) 21e 2(t t0)
Z 10
[ _()2 +1()2]d +
b
12w2:
En resumen, se tiene el siguiente resultado:
Teorema 8 Dado > 0, si las desigualdades matriciales lineales (3.44) y (3.46) con nota-
ciones (3.45) se satisfacen para algn p > 0. Entonces el problema de valores en la frontera
30
-
(3.24), (3.25) admite una cota ltima y para todas las condiciones iniciales (3.26) se satisface
la desigualdadZ 10
[z2(; t) + z2t (; t)]d
21e 2(t t0)
Z 10
[ _()2 +1()2]d +
b
12w2 (3.47)
con 1 y 2 denidas en (3.30). Adems, z2(; t) tambin satisface (3.47).
3.5 Ejemplos numricos
3.5.1 Tubera de perforacin
Los siguientes resultados fueron calculados con los siguientes valores de los parmetros para
la tubera de perforacin dados en [2]:
G = 79.3x109N=m2; I = 0.095Kg m; T 0( + zt) = 3000N m;J = 1.19x10 5m4; L = 3145m;
considerando nulo el amortiguamiento ( = 0):
Ecuacin en diferencias
En este caso, c0 = 0.8185, c1 =3.001110 4; s =0.9979; = ln(jc0j) =0.2002: Susti-tuyendo estos valores en (3.20) y (3.23) se tiene:
jz(1; t)j 0.9979e 0.2006t[j1(=0.9979)j+ 1.0021 _(=0.9979)] + 0.0033 w:
jzt(1; t)j e 0.2006t[j1(=0.9979)j+ 1.0021 _(=0.9979)] + 0.0033 w:
Ecuacin de onda
Las condiciones en forma de desigualdades matriciales lineales del Teorema 8 dan lugar a los
siguientes pares (; b):
Caso 1 2 3 4 5
0.08 0.06 0.04 0.01 0.0001
b 3.2521 1.0707 1.2145 1.5221 1.7951
1 5.0009 1.0934 1.2657 1.6273 1.9328
2 5.9854 1.3019 1.5074 1.9383 2.3023
31
-
Para =0.04 y condiciones iniciales z(; t0) = _; zt(; t0) = 1(); con la expresin (3.47)
en el Teorema 8 se obtiene la siguiente condicin de cota ltima:Z 10
[z2(; t) + z2t (; t)]d 1.1909e 0.08t
Z 10
[21()+_2()]d + 11.9944 w2:
Si el amortiguamiento es =0.1N s, se obtienen los siguientes resultados:
Caso 1 2 3 4 5
0.08 0.06 0.04 0.01 0.0001
b 1.0310 1.0088 1.0874 1.1761 1.2580
1 0.7931 0.6741 0.7205 0.7721 0.8185
2 0.9389 0.7992 0.8541 0.9111 0.9699
Para =0.04 y condiciones iniciales z(; t0) = _; zt(; t0) = 1() se tiene la siguiente cota:Z 10
[z2(; t) + z2t (; t)]d1.1854e 0.08t
Z 10
[21()+_2()]d + 18.8654 w2:
3.5.2 Collares de perforacin
Los siguientes resultados fueron calculados con los siguientes valores para los parmetros del
ensamblaje en el extremo inferior (collares de perforacin y dispositivo de corte) dados en [2].
Note que en este caso la longitud del segmento es menor que la de la tubera de perforacin,
G = 79.3x109N=m2 I = 0.474Kg m; L = 334m:T 0( + zt) = 3000N m; J = 5.93x10 5m4;
considerando el amortiguamiento = 0:
Ecuacin en diferencias
En este caso, c0 = 0.3354, c1 =2.226510 4; s =0.106; = ln(jc0j) =1.0924: Sustituyendoestos valores en (3.20) y (3.23) se tiene:
jz(; t)j 0.106e 10.3057t[j1(=0.106)j+ 9.434 _(=0.106)] + 7.1024 10 5 w; t 0:
jzt(1; t)j e 10.3057t[j1(=0.106)j+ 9.434 _(=0.106)] + 6.7004 10 4 w; t 0:
32
-
Ecuacin de onda
Las condiciones en forma de desigualdades matriciales lineales del Teorema 8 dan lugar a los
siguientes pares (; b); considerando =0.1N s:
Caso 1 2 3 4 5
1 0.5 0.8 0.2 0.001
b 0.9900 1.0565 1.0369 1.0679 1.0980
1 0.0163 0.0166 0.0169 0.0160 0.0161
2 1.4413 1.4768 1.5039 1.4230 1.4318
Para =0.8 y condiciones iniciales z(; t0) = _; zt(; t0) = 1(); con la expresin (3.47)
en el Teorema 8 se obtiene la siguiente condicin de cota ltima:Z 10
[z2(; t) + z2t (; t)]d88.9881e 1.6t
Z 10
[21()+_2()]d + 57.6698 w2:
3.6 Conclusin
Con el objeto de encontrar cotas ltimas para algunas variables de inters se llevaron a
cabo dos procedimientos: primero se analiz la ecuacin en diferencias obtenida a partir del
modelo de parmetros distribuidos a travs de la transformacin de DAlembert y despus
se trat el problema como un sistema de parmetros distribuidos mediante la ecuacin de
onda.
El estimado para la ecuacin en diferencias se obtuvo mediante clculos directos mientras
que el estimado para la ecuacin de onda se encontr a travs de la solucin de desigualdades
matriciales lineales.
Las dos tcnicas presentadas se complementan: el anlisis de la ecuacin en diferencias
permite encontrar una cota ltima para la principal variable de inters, la velocidad en el
extremo inferior de la barra zt(1; t), mientras que el modelo de la ecuacin de onda provee una
cota ltima para la medida de la naturaleza distribuida del sistema:R 10[z2(; t)+ z
2t (; t)]d.
Finalmente, se presentaron ejemplos numricos.
33
-
Captulo 4
Fenmeno atore-deslizamiento
4.1 Introduccin
En este captulo se presenta un anlisis de las vibraciones torsionales presentes durante el
proceso de perforacin.
El fenmeno atore-deslizamiento1 se presenta debido a las condiciones de formacin de la
supercie a perforar. Las oscilaciones torsionales pueden provocar que el dispositivo de corte
(conocido como bit) se atore en la formacin mientras que la mesa rotativa contina girando.
Cuando la energa torsional atrapada alcanza un nivel en el que el bit ya no puede resistir,
repentinamente se suelta rotando y azotndose a muy altas velocidades. ste comportamiento
puede generar una onda torsional que viaja a travs de la barra de perforacin hasta el sistema
de rotacin en la supercie, la mesa rotatoria acta como un extremo jo debido a su inercia
de gran magnitud y reeja la onda torsional nuevamente al extremo inferior. El bit puede
soltarse nuevamente y el ciclo de onda torsional se repite [16].
En este apartado se introducen algunos modelos clsicos de friccin que dan pie al mo-
delado de los torques a los que est sujeto el bit. Estos torques permiten representar el
fenmeno atore-deslizamiento.
El modelo reeja el hecho de que el aumento de la velocidad en la supercie y la disminu-
cin del peso que soporta el dispositivo de corte ayuda a reducir las oscilaciones torsionales.
Se evalan algunas estrategias basadas en la experiencia para disminuir tales oscilaciones.
Este estudio se hace por medio de simulaciones basadas en el modelo con retardos de
tipo neutral. La ventaja de este modelo es que describe las principales variables de inters
1Este fenmeno es conocido en la literatura inglesa como "stick-slip phenomenon".
34
-
involucradas, en cambio, el modelo de parmetros distribuidos describe las variables a lo largo
de la barra de perforacin. En consecuencia, las simulaciones se pueden realizar empleando
herramientas sencillas como las de Matlab y se evita el uso de herramientas de solucin para
ecuaciones en derivadas parciales.
4.2 Modelado de la friccin
Para describir el fenmeno atore-deslizamiento es necesario considerar un modelo adecuado
para las fricciones que existen en el extremo inferior de la barra: la friccin entre el dispositivo
de corte y el pozo y la friccin causada por el contacto del material triturado con el bit.
La friccin es la interfaz fsica entre dos supercies en contacto. La friccin est presente
en todos los sistemas mecnicos como cilindros neumticos e hidrulicos, vlvulas, frenos y
transmisiones mecnicas.
Las fuerzas de reaccin son el resultado de muchos mecanismos fsicos diferentes que
dependen de la geometra de contacto, propiedades de masa y supercie de los cuerpos,
desplazamiento y velocidad relativa y la presencia de lubricacin.
Los modelos clsicos de friccin constan de diferentes componentes que incluyen ciertos
aspectos de la fuerza de friccin. La idea principal es que la friccin se opone al movimiento
y su magnitud es independiente de la velocidad y el rea de contacto. As la friccin se puede
describir por la expresin
F = FCsgn(v) (4.1)
donde la fuerza de friccin FC es proporcional a la carga normal, esto es, FC = FN : Esta
descripcin de la friccin se denomina friccin de Coulomb (Fig. 4.2). Note que (4.1) es el
modelo de un rel ideal.
La friccin de Coulomb no especica la fuerza de friccin cuando la velocidad es cero,
en este caso la friccin puede ser cero o bien, puede tomar algn valor en el intervalo entre
FC y FC ; dependiendo de cmo se dena la funcin signo.En el siglo XIX se desarroll la teora de la hidrodinmica, sta dio lugar a expresiones
para la fuerza de friccin causada por la viscosidad de los lubricantes. El trmino friccin
viscosa es usado para este componente de fuerza y normalmente se describe por
F = Fvv:
La friccin viscosa a menudo se combina con la friccin de Coulomb como se muestra en
la Fig. 4.2. Un mejor ajuste a los datos experimentales se obtiene con una dependencia no
35
-
lineal de la velocidad
F = Fv jvjv sgn(v)donde v depende de la geometra de la aplicacin.
Fig. 4.2. Modelos clsicos de friccin.
La friccin esttica describe la fuerza de friccin cuando los cuerpos se encuentran en
estado de reposo. La friccin esttica contrarresta las fuerzas externas que estn por debajo
de cierto nivel y as se opone al inicio del movimiento.
Es claro que la friccin en estado de reposo no puede describirse slo como funcin
de la velocidad, sino que debe modelarse usando la fuerza externa Fe como se muestra a
continuacin [20]
F =
(Fe si v = 0 y jFej < FS
FSsgn(Fe) si v = 0 y j Fej FSLa fuerza de friccin para velocidad cero es una funcin de la fuerza externa y no de la
velocidad.
Los componentes de friccin pueden combinarse de diferentes maneras (Fig. 4.2). Estos
modelos tienen componentes que son lineales en la velocidad o constantes. Stribeck observ
en que la fuerza de friccin no decrece discontinuamente sino que la dependencia de la
velocidad es continua como se muestra en la Fig. 4.2. Esta es llamada friccin de Stribeck.
36
-
Una descripcin ms general de la friccin se introduce a continuacin [20]
F =
8>:
F (v) si v 6= 0Fe si v = 0 y jFej < FS
FSsgn(Fe) en otro caso
donde F (v) es una funcin arbitraria que puede tener la forma de la Fig. 4.2 (friccin que de-
crece continuamente desde el nivel de friccin esttica). Una forma comn de la no linealidad
es
F (v) = FC + (FS FC)e jv=vS jS + Fvvdonde vS es llamada velocidad de Stribeck. La funcin F se obtiene fcilmente midiendo
la fuerza de friccin para movimientos con velocidad constante. La curva generalmente es
asimtrica.
4.2.1 Curva de Stribeck
El efecto de la friccin no lineal a bajas velocidades denominada friccin de Stribeck da lugar
al movimiento atore-deslizamiento presente en el proceso de perforacin de pozos.
La curva de Stribeck es la grca de la friccin contra la velocidad en sistemas lubricados,
esta curva se ilustra en la Fig. 4.2.1 [1].
Fig. 4.2.1. Curva de Stribeck.
En la curva de Stribeck se observan cuatro secciones:
37
-
1. No existe deslizamiento.
2. Lubricacin lmite: las supercies se deslizan una sobre la otra pues la velocidad no es
adecuada para atraer el uido lubricante a las junturas.
3. Lubricacin parcial: la velocidad es adecuada para atraer una parte del uido a las
junturas pero no es suciente para separar completamente las supercies.
4. Lubricacin completa: las supercies son completamente separadas por una pelcula de
uido.
La parte decreciente de la curva en la seccin de lubricacin parcial se debe a que con
el aumento de la velocidad la pelcula de lubricante es mayor, esto hace que la friccin
decrezca. Esta porcin de la curva da lugar a un efecto desestabilizador substancial. No
existe un modelo motivado fsicamente de la friccin de Stribeck. Un modelo emprico de la
friccin entre dos supercies en contacto es el siguiente
F (t) = FCsgn(v) + Fvv + Fssgn(v)
Donde FC y Fv son la friccin de Coulomb y la friccin esttica respectivamente, Fs es
la magnitud de la friccin de Stribeck.
4.3 Modelo del torque sobre el bit
Un problema de especial importancia es el modelado de las condiciones de frontera, espe-
cialmente la interaccin del dispositivo de corte con la roca.
Es bien sabido que las vibraciones torsionales de la barra de perforacin tambin conoci-
das como fenmeno atore-deslizamiento contribuyen al deterioro de los elementos que com-
ponen la barra de perforacin.
La presencia del fenmeno puede afectar la tasa de penetracin y la eciencia instantnea
de la instalacin.
A continuacin se presenta un modelo para el torque sobre el bit T que describe el
fenmeno atore-deslizamiento. La siguiente ecuacin conmutada introducida en [17] permite
aproximar el fenmeno fsico en el extremo inferior
T = cb _w(t) +WobRbb( _w(t))sgn( _w(t)): (4.2)
38
-
El trmino cb _w(t) es un torque de amortiguamiento viscoso en el bit, ste aproxima la inu-
encia del lodo de perforacin en el bit. El trminoWobRbbsgn( _w(t)) es un torque de friccin
seca que modela el contacto del bit con la roca. Rb > 0 es el radio del bit y Wob > 0 es
el peso que soporta el bit. El coeciente de friccin seca en el bit b( _w(t)) es una funcin
dependiente de la velocidad en el extremo inferior que se describe mediante la expresin
b( _w(t)) = cb + (sb cb)e bvfj _w(t)j
(4.3)
donde sb; cb 2 (0; 1) son coecientes de friccin esttica y de Coulomb respectivamente,0 < b < 1 es una constante que dene la tasa de decrecimiento de la velocidad. La velocidad
constante vf > 0 se introduce con el objeto de tener unidades apropiadas.
A bajas velocidades, el modelo (4.2)-(4.3) da lugar a un torque sobre el bit decreciente
cuando la velocidad angular del bit es creciente (efecto Stribeck). Esta es la causa de las
vibraciones producidas por el fenmeno atore-deslizamiento.
El decaimiento exponencial de T coincide con valores experimentales del torque.
El modelo con retardos en el tiempo de tipo neutral (2.19) con la descripcin del torque
sobre el bit (4.2)-(4.3) modelan el comportamiento de la barra de perforacin y la presencia
de las oscilaciones causadas por el fenmeno atore-deslizamiento.
Una simulacin del sistema de perforacin (2.19) donde T est dado por (4.2)-(4.3) con
Wob = 97347N y = 10rad=seg es mostrada en la Fig. 4.3. Note que cuando el fenmeno
ocurre, aparecen importantes uctuaciones en el torque tal como ocurre en el caso real [9].
Los parmetros del modelo usados para las simulaciones del modelo (2.19), (4.2)-(4.3)
presentadas en ste captulo son:
G = 79.3x109N=m2; I = 0.095Kg m; L = 1172m;J = 1.19x10 5m4; Rb = 0.155575m; vf = 1;
cb = 0.03Nms=rad; cb = 0.5; sb = 0.8; b = 0.9:
Las simulaciones se realizaron usando la herramienta de solucin ode45 (mtodo Dormand
39
-
Prince) de paso variable de Matlab-Simulink.
Fig. 4.3. Fenmeno atore-deslizamiento. (1) Velocidad en el extremo
inferior. (2) Torque sobre el bit.
4.3.1 Efecto del peso sobre el bit en el fenmeno
atore-deslizamiento
A continuacin se presentan resultados de simulacin que muestran el efecto del peso sobre
el bit Wob en el fenmeno atore-deslizamiento.
De acuerdo con la experiencia en la industria de la perforacin de pozos petroleros, si se
tiene una velocidad angular ja en la supercie y se reduce el peso que soporta el bit Wobse logra que el fenmeno atore-deslizamiento desaparezca, cuando Wob es muy grande el bit
puede detenerse completamente [25].
En la Fig. 4.3.1 se observan los resultados de una simulacin del sistema (2.19) donde
T est dado por (4.2)-(4.3) con = 10rad=seg y Wob = 51649N; note que existe una
considerable reduccin de las oscilaciones producidas por el fenmeno atore-deslizamiento en
40
-
comparacin con la simulacin de la Fig. 4.3 donde el peso que soporta el bit es de 97347N .
Fig. 4.3.1. Reduccin del fenmeno atore-deslizamiento mediante la
disminucin del peso sobre el bit. (1) Velocidad en el extremo
inferior. (2) Torque sobre el bit.
De acuerdo con resultados de simulacin del modelo (2.19), (4.2)-(4.3), los valores del peso
sobre el bit para los cuales el fenmeno atore-deslizamiento desaparece se muestran en la
siguiente tabla:
(rad=seg) Wob(N) <
2 1208
4 7198
6 26355
8 38509
10 54117
20 116673
40 448828
60 68800
41
-
Por ejemplo, si la velocidad en la supercie es de = 10rad=seg; el peso que soporta el
bit debe ser menor a 54117N:para evitar las oscilaciones causadas por el fenmeno atore-
deslizamiento.
4.3.2 Efecto de la velocidad en la supercie en el fenmeno
atore-deslizamiento
A continuacin se presentan resultados de simulacin que muestran el efecto de la velocidad
en la supercie en el fenmeno atore-deslizamiento.
Los resultados experimentales indican que el fenmeno atore-deslizamiento tambin puede
evitarse incrementando la velocidad en la supercie :
En los resultados de simulacin de la Fig. 4.3.2 se observa que las vibraciones producidas
por el fenmeno atore-deslizamiento se reducen mediante el incremento de la velocidad en
el extremo superior de la barra. La velocidad en la supercie se incrementa de 10rad=seg a
20rad=seg mientras que el peso sobre el bit es de 97347N como en el caso de la Fig. 4.3.
Fig. 4.3.2. Reduccin del fenmeno atore-deslizamiento mediante el
incremento de la velocidad en la supercie. (1) Velocidad en el
extremo inferior. (2) Torque sobre el bit.
42
-
Puesto que las simulaciones anteriores reejan los resultados experimentales, se valida el
modelo (2.19)-(4.2).
4.4 Estrategias para reducir las oscilaciones torsionales
Se ha mostrado que aumentar la velocidad en la supercie ayuda a disminuir las vibraciones
torsionales en el sistema de perforacin, sin embargo, en la prctica, un aumento signicativo
de la velocidad podra resultar en oscilaciones laterales de la barra de perforacin. La dismin-
ucin del peso que soporta el dispositivo de corte no siempre resulta conveniente cuando se
busca eliminar las oscilaciones causadas por el fenmeno atore-deslizamiento puesto que no
siempre es posible un decremento considerable que logre que las oscilaciones desaparezcan.
En esta seccin se presentan dos estrategias efectivas para reducir el fenmeno atore-
deslizamiento: la introduccin de una ley de variacin del peso sobre el bit y el incremento
del amortiguamiento en el extremo inferior que puede lograrse mediante la modicacin del
uido de perforacin o con la inclusin de un absorbedor de choque en el extremo inferior
del sistema.
En la prctica, el operador de la perforacin comnmente controla desde la supercie
parmetros como la densidad y viscosidad del uido, el peso sobre el bit y la velocidad
rotacional de la barra para optimizar la operacin.
4.4.1 Manipulacin del peso sobre el bit
De la experiencia en el campo de la perforacin de pozos y de las simulaciones del modelo
estudiado puede deducirse que la manipulacin del peso sobre el bit puede ser una solucin
al problema de las oscilaciones torsionales incluso para bajas velocidades en la supercie.
El incremento de la velocidad en el extremo superior de la barra puede dar lugar a
vibraciones laterales, por esta razn, la manipulacin del peso sobre el bit es una solucin
alternativa para atenuar las oscilaciones.
Se propone la variacin del peso sobre el bit en [16] como sigue:
Wob( _w) = Kw j _w(t)j+Wob0 (4.4)
con Wob0 > 0 y Wob > Wob0: La expresin (4.4) captura las principales caractersticas del
peso sobre el bit. Si _w(t) se reduce, entonces Wob tambin debe disminuir. Si el peso que
soporta el bit es muy poco, el proceso de perforacin se detiene, por esta razn el peso sobre
43
-
el bit debe mantenerse en un valor mnimo (Wob0) para asegurar una apropiada tasa de
penetracin.
Wob0 no debera ser un valor constante sino que debera analizarse con relacin a la
longitud de la barra.
La ley de variacin del peso sobre el bit (4.4) puede sustituirse en el modelo (2.19) con
(4.2)-(4.3) para una combinacin de parmetros de perforacin para los que el fenmeno
atore-deslizamiento se presenta. Este es el caso de considerar = 10rad=seg y Wob0 =
97347N como se muestra en la Fig. 4.4.1.
Fig. 4.4.1. Reduccin de las oscilaciones torsionales mediante la
introduccin de la ley de variacin 4.4. (1) Velocidad en el extremo
inferior. (2) Torque sobre el bit.
4.4.2 Manipulacin del amortiguamiento en el extremo inferior
Otra estrategia para reducir las oscilaciones causadas por el fenmeno atore-deslizamiento
consiste en incrementar el amortiguamiento en el extremo inferior, lo cual puede hacerse
principalmente de dos formas:
44
-
1. Modicando las caractersticas del uido de perforacin. Esto se puede aproximar in-
crementando el coeciente de amortiguamiento cb.
2. Con la inclusin de absorbedores de vibracin posicionados a la altura de los collares
de perforacin con el propsito de amortiguar las vibraciones torsionales generadas en
el bit e impedirles viajar a travs de la barra de perforacin [16].
El comportamiento de la velocidad en el extremo inferior del sistema (2.19) con la expre-
sin para el torque (4.2) para diferentes valores de cb es mostrado en la Fig. 4.4.2.
Fig. 4.4.2. Velocidad en el extremo inferior para diferentes valores del
coeciente de amortiguamiento: (1) cb = 0;5Nms=rad; (2) cb = 5Nms=rad;
(3) cb = 50Nms=rad; (4) cb = 250Nms=rad.
4.5 Modelo de parmetros concentrados
Para tratar el problema de las oscilaciones torsionales en el proceso de perforacin usualmente
se utilizan en la literatura modelos de parmetros concentrados puesto que facilitan el anlisis
45
-
y las simulaciones en comparacin con modelos de parmetros distribuidos.
En esta seccin se evalan las estrategias para reducir el fenmeno atore-deslizamiento
en un modelo de parmetros concentrados de dos grados de libertad [16].
Se considera un modelo simple genrico del sistema de perforacin que permite describir
las oscilaciones torsionales.
El comportamiento torsional de la barra de perforacin se describe por un pndulo simple
torsional de dos grados de libertad manejado por un motor elctrico, la interaccin de la roca
con el dispositivo de corte se representa con un modelo de friccin seca.
El modelo que se deriva de la Fig. 4.5 es un pndulo torsional simple con un motor
elctrico en su extremo superior.
El modelo consta de dos inercias amortiguadas mecnicamente acopladas por un hilo
elstico con rigidez k y amortiguamiento c. La inercia J1 representa la inercia de la mesa
rotatoria ms las inercias del motor elctrico y la caja de transmisin en el sistema real.
J2 es la inercia de la barra ms la inercia del ensamblaje en el extremo inferior. T1 y T2representan torques de friccin seca y de amortiguamiento viscoso asociados con las inercias
J1 y J2, respectivamente. El torque Tm es producido por el motor elctrico.
Fig. 4.5. Modelo simplicado de la barra
de perforacin.
Se asume que:
1. El pozo y la barra son verticales y rectos.
46
-
2. El bit no se mueve lateralmente.
3. En el sistema rotatorio del extremo superior existe una velocidad angular diferente de
cero.
4. No se considera la friccin entre las secciones de tubo.
5. El lodo de perforacin se representa con un elemento de friccin viscosa en el bit.
Las ecuaciones de movimiento son [16]:
J11 + c( _1 _2) + k(1 2) = Tm T1 (4.5)J22 c( _1 _2) k(1 2) = T2
donde 1 es el desplazamiento angular de la mesa giratoria y 2 es el ngulo de rotacin del
bit.
Deniendo los estados x1 = _2; x2 = 1 2; x3 = _1, el modelo (4.5) se puede reescribircomo
dx1dt
= a1(x3 x1) + a2x2 a3T2; (4.6)dx1dt
= x3 x1; (4.7)dx3dt
= a4(x3 x1) a5x2 a6T1 + a7u; (4.8)
donde a1 = c=J2; a2 = k=J2; a3 = 1=J2; a4 = c=J1; a5 = k=J1; a6 = a7 = 1=J1:
Durante el proceso de perforacin, los parmetros J2 y k cambian puesto que se incre-
menta la longitud de la barra.
Los torques pueden modelarse de la siguiente manera
T1 = c1x3 + Tc1sgn(x3); (4.9)
T2 = c2x1 + Tb:
Tb modela el contacto del bit con la roca,
Tb = WobRbb(x1)sgn(x1) (4.10)
donde Rb es el radio del bit y Wob el peso que ste soporta.
47
-
El coeciente de friccin seca en el bit b(x1) es
b(x1) = cb + (sb cb)e bvfjx1j (4.11)
donde sb; cb 2 (0; 1) son coecientes de friccin esttica y de Coulomb respectivamente,0 < b < 1 es una constante que dene la tasa de decrecimiento de la velocidad.
Las ecuaciones (4.6)-(4.11) describen el comportamiento de la barra de perforacin y la
presencia de las oscilaciones torsionales.
Una simulacin de este modelo con Wob = 200N es mostrada en la Fig. 4.5.1.
Los parmetros del modelo usados para las simulaciones presentadas a lo largo de esta
seccin son:
J1 = 0.0318Kgm2; J2 = 0.518Kgm2; c1 = 0.018Nms=rad; c2 = 0.03Nms=rad;
c = 0.0001Nms=rad; k = 0.073Nm=rad; Rb = 0.155575m; vf = 1; Tc1 = 0.5Nm;
cb = 0.03Nms=rad; cb = 0.5; sb = 0.8; b = 0.9; Tm = 10Nm:
Los valores para las inercias, el mdulo de rigidez y el coeciente de amortiguamiento co-
rresponden a un modelo de escala reducida, aunque no corresponden con parmetros reales
pueden usarse para describir el comportamiento de la barra de perforacin.
Las simulaciones se realizaron usando la herramienta de solucin ode45 (mtodo Dormand
Prince) de paso variable de Matlab-Simulink.
Fig. 4.5.1. Velocidad en el extremo inferior, fenmeno atore-deslizamiento.
48
-
4.5.1 Evaluacin de las estrategias para reducir las oscilaciones
torsionales
Como se mencion anteriormente, reducir el peso que soporta el dispositivo de corte resulta
en la disminucin de las vibraciones torsionales en la barra de perforacin.
Una simulacin del sistema (4.6)-(4.11) se presenta en la Fig. 4.5.2 donde Wob = 50N ,
se muestra una considerable atenuacin de las oscilaciones causadas por el fenmeno atore-
deslizamiento en comparacin con la simulacin de la Fig. 4.5.1. donde el peso que soporta
el bit es de 200N .
Fig. 4.5.2. Reduccin de las oscilaciones torsionales mediante la disminucin del peso
que soporta el bit.
Es bien sabido que el aumento de la velocidad en el extremo superior de la barra ayu-
da a mitigar las vibraciones torsionales con la gran desventaja de que podran producirse
vibraciones laterales, por esta razn se preere la manipulacin del peso sobre el bit como
estrategia para reducir el fenmeno atore-deslizamiento.
Bajo ciertas condiciones de perforacin, manipular la propiedades elctricas del motor en
el extremo superior de la barra, y consecuentemente, el torque proporcionado por el actuador
en la supercie puede no ayudar a la reduccin de las oscilaciones torsionales.
Existen dos soluciones efectivas a este problema: la manipulacin de parmetros como
el peso que soporta el bit y la inclusin de dispositivos en el extremo inferior de la barra
49
-
como absorbedores de vibracin para amortiguar las vibraciones torsionales generadas en el
dispositivo de corte y prevenir que viajen a travs de la barra.
Manipulacin del peso que soporta el bit
La ley de variacin (4.4) puede aplicarse al modelo (4.6)-(4.11) para una combinacin de
parmetros en los que el fenmeno atore-deslizamiento se presenta, este es el caso de consid-
erar Wob0 = 200N como se muestra en la Fig. 4.5.1.
El resultado se presenta en la Fig. 4.5.3.
Fig. 4.5.3. Reduccin del fenmeno atore-deslizamiento mediante la aplicacin de la
ley de variacin (4.4).
Inclusin de un absorbedor de choque
Otra estrategia efectiva para reducir las oscilaciones torsionales consiste en incrementar el
amortiguamiento en el extremo inferior de la barra. Esto se puede lograr modicando las
caractersticas del uido de perforacin o aadiendo un absorbedor de choque (shock sub)
justo arriba de los collares de perforacin.
El absorbedor de choque puede aproximarse con un resorte y un amortiguador conectado
al ensamblaje en el extremo inferior (BHA), la inercia del absorbedor de choque se puede
aadir a J2:
50
-
El torque proporcionado por el absorbedor de choque es el siguiente [16]:
Tsub(x) = ka(x2) + ca(x3 x1)
donde ka es el mdulo de rigidez y ca el coeciente de amortiguamiento.
As, el modelo (4.5) se reescribe
J11 + c( _1 _2) + k(1 2) = Tm T1; (4.12)J22 c( _1 _2) k(1 2) = T2 + Tsub:
El comportamiento de la velocidad del bit depende de los valores de los parmetros ka y ca:
Si ka y ca son muy pequeos, el fenmeno atore-deslizamiento no ser reducido. Si el
valor de estos coecientes es grande, se reduce el tiempo que permanece atorado el bit, de
hecho, si ka y ca son sucientemente grandes, el bit podra no atorarse.
Sin embargo existen limitaciones en la variacin de los parmetros ka y ca estos parme-
tros dependen de las caractersticas del material y deben determinarse los rangos vlidos.
Simulaciones del sistema (4.12) se muestran en las Fig. 4.5.4. y 4.5.5.
Fig. 4.5.4. Reduccin del fenmeno atore-deslizamiento mediante la inclusin de un
absorbedor de choque con ka = 0;2 y ca = 0;6:
51
-
Fig. 4.5.5. Reduccin del fenmeno atore-deslizamiento mediante la inclusin de un
absorbedor de choque con ka = 0;4 y ca = 0;9:
4.6 Conclusin
Se introdujeron algunos modelos clsicos de friccin para dar pie a la descripcin de los
torques a los que est sujeto el bit.
Estos torques permiten representar las vibraciones torsionales presentes en el proceso de
perforacin.
Se aplicaron dos estrategias al modelo con retardos en el tiempo de tipo neutral para
reducir las oscilaciones torsionales basadas en la manipulacin de las caractersticas del
ensamblaje en el extremo inferior: la variacin del peso que soporta bit y el incremento del
amortiguamiento en el extremo inferior.
Puesto que las estrategias presentadas coinciden con resultados experimentales se valida
el modelo con retardos de tipo neutral.
Finalmente se present un modelo de parmetros concentrados de dos grados de liber-
tad en el que se evaluaron las mismas estrategias logrando tambin la reduccin de las
oscilaciones.
52
-
Captulo 5
Conclusiones generales y perspectivas
Se resumen a continuacin las principales aportaciones de esta tesis:
Se present un modelo de parmetros distribuidos que describe el comportamiento tor-
sional de la barra de perforacin vertical de pozos.
A partir de ste modelo se obtuvo un modelo que relaciona la velocidad angular en el
extremo inferior y la velocidad angular en la supercie de la barra. Este modelo es descrito
por una ecuacin con retardos de tipo neutral. Se utilizaron dos tcnicas obtener el modelo
de tipo neutral: la transformacin de DAlembert y el anlisis en el dominio de la frecuencia.
Se determinaron cotas ltimas para las principales variables de inters en el sistema de
perforacin de pozos considerando el torque sobre el bit como una funcin lineal que depende
de la velocidad en el extremo inferior.
Primero, se obtuvo una cota ltima de la velocidad del dispositivo de corte en el sistema
de perforacin. Esto se logr a partir de la descripcin de esta variable mediante una ecuacin
en diferencias obtenida a partir del sistema de parmetros distribuidos.
Despus, se obtuvo una cota ltima de una medida de la naturaleza distribuida del
sistema. Para ello se consider la barra sin amortiguamiento y de esta manera se logr
reducir el modelo a la ecuacin de onda.
Cabe recalcar que el estimado para la ecuacin en diferencias se obtuvo mediante clculos
directos mientras que el estimado para la ecuacin de onda se encontr a travs de la solucin
de desigualdades matriciales lineales.
Finalmente se present un anlisis detallado del torque al que est sujeto el bit, llegando
a una expresin no lineal del mismo que da lugar a las indeseables vibraciones torsionales
53
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que se presentan durante el proceso de perforacin.
Por medio de simulaciones del modelo con retardos de tipo neutral se corroboraron los
fenmenos experimentales reportados en la literatura especializada. De esta manera se valida
el modelo retardado propuesto.
Tambin se evaluaron dos estrategias conocidas para la reduccin de las vibraciones
torsionales: la manipulacin del peso que soporta el bit por medio de la inclusin en el
modelo de una ley de variacin de este parmetro y el incremento del amortiguamiento en
el extremo inferior de la barra que puede lograrse de dos maneras: con la modicacin de
las caractersticas del uido de perforacin y con la inclusin de absorbedores de vibracin
posicionados a la altura de los collares de perforacin.
Es importante hacer notar que los modelos de parmetros concentrados propuestos en la
literatura tambin reejan los fenmenos experimentales. Una ventaja de utilizar el modelo
de tipo neutral es que ste modelo se deriva de manera exacta del modelo de parme-
tros distribuidos, mientras que el modelo de parmetros concentrados involucra importantes
simplicaciones.
Las perspectivas de este trabajo son:
Validar los resultados obtenidos en esta memoria experimentalmente, es decir, apli
