TESIS ADOLFO UNMSM 2015ultimo 16 noviembre.docx

7/24/2019 TESIS ADOLFO UNMSM 2015ultimo 16 noviembre.docx

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)

FACULTAD DE EDUCACIN

UNIDAD DE POSTGRADO

APLICACIN DEL MTODO HEURSTICO EN EL RENDIMIENTO

ESCOLAR DEL REA DE MATEMTICA EN LOS ALUMNOS DEL 1 AO

DE EDUCACION SECUNDARIA, DE LA INSTITUCIN PBLICA CSAR

VALLEO! DEL DISTRITO DE CHANCAY " LIMA #$1%

TESIS PARA OPTAR EL GRADO ACADMICO DE MAGSTER EN

EDUCACIN, MENCIN& EDUCACIN MATEMTICA

PRESENTADO POR& SILVA, NARVASTE ADOLFO

LIMA " PER

#$1'


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D()*+-./*

Dedico la presente investigacin a ispadres, por s! apo"o por los valoresostrados para salir adelante, por la

perseverancia " constancia #!e e $anin%!ndado& A is $i'as por s! coprensin,aor " ser la ran de contin!arest!diando&


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AGRADECIMIENTO

A Dios infinitamente por la vida, la salud, y

colocar en mi camino personas maravillosas; a

mi asesora, por su apoyo, comprensin ysugerencias, a la IE Cesar Vallejo de Chancay,como a los estudiantes, por permitir llevar a cabo

la presente investigacin

&


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NDICE

Res!en &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Introd!ccin&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*

CAPTULO I& PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO

+&+ !ndaentacin del Pro-lea&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+*

+&. or!lacin del Pro-lea&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+/

+&0 1-'etivos &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+2

+&/ 3!sti%icacin de la Investigacin &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+4

+&!ndaentacin " %or!lacin de las 5iptesis&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.6

+&7Identi%icacin " clasi%icacin de varia-le&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.+

CAPTULO II& MARCO TERICO

.&+ Antecedentes de la Investigacin&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.0

.&. 8ases 9ericas&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.7

.&0 :losario de 9;rinos&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&7+

CAPTULO III& METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN

0&+1peracionaliacin de varia-les&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&7/

0&.& 9ipi%icacin de investigacin&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&7*

0&0& Estrategia para la Pr!e-a de 5iptesis&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&740&/Po-lacin " !estra&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*6

0&Instr!ento de recoleccin de datos &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*+

0&&+&


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CAPTULO IV& TRABAO DE CAMPO Y PROCESOS DE CONTRASTEDELA HIPTESIS

/&+Presentacin, an=lisis e interpretacin de los datos&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*2

CONCLUSIONES&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&24

RECOMENDACIONES&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4+

REFERENCIAS&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4.

ANE0OS

1 >>>>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4

# Pr!e-a de coprensin lectora>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4*

% Instr!ento para eval!ar apas concept!ales>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+6

Enc!esta>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+6

' Matri de consistencia>>>>>>>>>>>>>>>>>&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&+6*


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RESUMEN

En la presente investigacin se est!di la aplicacin del ;todo $e!r?stico so-re el

rendiiento escolar en el =rea de ate=tica en est!diantes del +er a@o de sec!ndaria

de la Instit!cin P-lica C;sar


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ABSTRACT

ia .6+0 H In t$is researc$ t$e application o% $e!ristics on sc$ool per%orance in t$e

area o% at$eatics in t$e +st "ear st!dents o% secondar" sc$ools in t$e P!-lic

Instit!tion C;sar


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INTRODUCCIN

5a" dos o-'etivos #!e conlleva la tarea en el aprendia'e de las ate=ticas, !no el de

conseg!ir destrea en el c=lc!lo " otro el de pensar (raonar) a la $ora de a-ordar "

resolver pro-leas&

as ate=ticas es !na -!ena esc!ela de pensar& El pensaiento #!e se p!ede

aprender en ate=ticas es ane'ar a-stracciones& as ate=ticas $acen re%erencia a

neros " los neros son !na a-straccin& C!ando trataos de resolver !n pro-lea

pr=ctico, de este pro-lea pr=ctico de-eos $acer priero !n pro-lea a-stracto& as

ate=ticas aplican directaente a las a-stracciones, la idea de-e de nacer en la

ente del est!diante " el pro%esor de-e de $acer el papel de g!?a& Esto es !n principio

!" antig!o " odernaente $a" !n no-re para elloG M;todo de desc!-rir&

a accin =s iportante en aprender es #!e el est!diante, g!iado por el pro%esor,

aprenda por s! propia accin, desc!-riendo por s? iso (;todo $e!r?stico)& Esto

ser= la parte =s iportante de la docencia tal #!e lo #!e t! desc!-res por ti iso

d!rar= =s " e'or&

9odo conociiento $!ano coiena con la int!icin, sig!e de a#!? a las

concepciones, " terina en las ideas, #!e trad!cido en t;rinos sencillos ser?aG

aprender coiena con accin " percepcin, " de a#!? se sig!e a las pala-ras "

conceptos, " de-e de terinar en -!enos $=-itos entales&


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a presente Investigacin $a sido dividida en c!atro cap?t!los " !n Aneo&

En el Cap?t!lo I se epone el Planteaiento del Est!dio #!e incl!"e la or!lacin

del Pro-lea, los 1-'etivos, la 3!sti%icacin, las liitaciones, la or!lacin de

5iptesis " las


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CAPTULO I

PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO


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1212 FUNDAMENTACIN DEL PROBLEMA&

!no de lospro-leas #!e atraviesa act!alente el Per, es la crisis en la ec!acinG

Ense@ana aprendia'e de las ate=ticas& a a"or?a de los pro%esores en el nivel

sec!ndario ense@an la ate=tica de !na %ora r!tinaria, epositiva " tediosaO no

aplican ;todos, t;cnicas ni estrategias de aprendia'e " an sig!en en el odelo

tradicionalista, no se preoc!pan por s! capacitacin e innovacin en s!s %oras de

ense@ar, todo esto reperc!te en el aprendia'e de los al!nos por#!e se o-serva #!e,

!n alto porcenta'e tienen -a'o nivel de aprendia'e en la asignat!ra de ate=ticas&

As? ta-i;n in%ora la UNEFC1 a trav;s del Prograa Internacional de Eval!acin

de Est!diantes (PIFA), los al!nos tienen res!ltados -a'os en lo #!e respecta al

aprendia'e del =rea de ate=tica, $an ostrado !n -a'o nivel de desepe@o en la

resol!cin de pro-leas, coo #!e tienen serias di%ic!ltades para trad!cir " epresar

ate=ticaente las condiciones prop!estas en pro-leas, aplicar estrategias de

sol!cin para o-tener las resp!estas " '!sti%icarla con arg!entos ate=ticos

v=lidos, esto es la %alta del ;ito #!e tienen los est!diantes en el a-orda'e de sol!cin

de pro-leas&

Por tanto esta pro-le=tica $a llevado a dirigir la atencin $acia el proceso de

ense@ana " aprendia'e en ate=tica&

En la act!alidad la ense@ana de la ate=tica, especialente a nivel de ed!cacin

-=sica, es cr?tica, resaltado coo !no de los indicadores del -a'o rendiiento

est!diantil& El !ndo act!al eige !na preparacin ate=tica e%ectiva en diversos


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capos " niveles, por lo tanto no se de-e peritir #!e la ense@ana de esta ciencia se

estan#!e& A %in de iniiar este estancaiento, de-e incorporarse en la investigacin

ed!cativa n!evas etodolog?as, #!e les perita a los al!nos constr!ir s!s propios

cainos de raonaiento " s!s propias estrategias de sol!cin&

El con de los per!anos #!e asisten a la esc!ela no logra ni reotaente los

o-'etivos #!e el Estado se prop!so al crear el sistea ed!cativo& 3venes de + a@os

no coprenden lo poco #!e leen, ni sa-en $acer c=lc!los arit;ticos -=sicos& Por ello

el go-ierno to edidas para re%orar las =reas de ate=ticas " coprensin

lectora&

A pesar de #!e las ate=ticas son la -ase de la ciencia, " por lo tanto de los avances

tecnolgicos, entre los est!diantes del Per el aprendia'e de esta ateria es de%iciente&

Eisten eval!aciones #!e $an deterinado #!e el nivel de conociiento de esta

asignat!ra en los est!diantes es !" -a'o, ran por lo c!al en el .660 el go-ierno

declar en eergencia la ed!cacin nacional&

Fin e-argo, a pesar de las edidas correctivas, an se o-serva #!e los 'venes

!estran !na actit!d negativa %rente a este c!rso& Fe pres!e, no eiste ning!na

investigacin #!e lo certi%i#!e, #!e se de-e a #!e alg!nos pro%esores en la priaria no

logran !na co!nicacin adec!ada con los al!nos&

No o-stante, en !n in%ore realiado para la 1rganiacin de Estados

I-eroaericanos, a%ira #!e gran parte de los %racasos ate=ticos de los est!diantes

se de-e a !na inadec!ada introd!ccin a la ateria por parte de s!s aestros&

El retraso en el aprendia'e de las ate=ticas trae consec!encias negativas para el

Per, "a #!e esta ateria se eplea en el desarrollo de la ciencia, la sociedad del

conociiento nos eige sa-er identi%icar cdigos n!;ricos, es decir, tener !na c!lt!ra


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cient?%ico tecnolgica& Estar en !n nivel !" -a'o de coprensin ate=tica, resta

posi-ilidades al pa?s para alcanar !n a"or desarrollo&

En la l!c$a por e'orar la ense@ana de la ate=tica, !" pocos docentes est=n

coproetidos verdaderaente por in"ectar !n ca-io necesario " s!%iciente en las

distintas instit!ciones ed!cativas en #!e la-oran& o =s parad'ico de esta sit!acin,

es #!e para a#!ellos pro%esionales #!e as!en este iportante reto, no slo se les

ipone !na gran inversin de tiepo " sacri%icio personal, sino ta-i;n llevar a

c!estas las d!ras cr?ticas de s!s colegas o presiones -!rocr=ticas por parte de las

r?gidas norativas inisteriales&

En el rendiiento escolar de la asignat!ra de ate=tica, ta-i;n es destaca-le,

s!ar el gran deterioro #!e $a s!%rido la estr!ct!ra %ailiar, la a"or?a de los

est!diantes se %oran -a'o !na concepcin de ediocridad " con%orisoO

acost!-rados a pretender #!e otros res!elvan s!s pro-leas " no as!ir con

seriedad las responsa-ilidades personales& Este rasgo caracter?stico, se evidencia en las

a!las instit!cionalesO si se le eige al al!no #!e rinda gran parte de s! potencial

individ!al, los reclaos " disg!stos no se $acen esperar, la direccin, los padres de

%ailia " el est!diante, constit!"en !n '!rado !" di%?cil de convencer& a ense@ana

de la ate=tica no de-er?a desvirt!arse ediante adaptaciones al po-recito

est!diante& Este c?rc!lo vicioso, $a tra?do coo consec!encia #!e ella por s!s

condiciones act!ales, no est; contri-!"endo de %ora integral al desarrollo de los

al!nos " por ende del pa?s&

as di%ic!ltades en el aprendia'e, se asocian a pro-le=ticas coo el coportaiento

social inadec!ado el c!al coprende la indisciplina %rec!ente, la desotivacin, el


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a!sentiso escolar " !na -a'a a!toestia de-ido a #!e el est!diante no tiene ;ito

acad;ico epiea a pensar #!e no es capa, o #!e es enos #!e s!s copa@eros&

Ello da coieno a !na serie de acciones #!e lo convierten potencialente en !n

enor con alto riesgo de delinc!encia '!venil, de pandilla'e, de cons!o de drogas "

en general cond!cta re-elde " agresiva #!e se re%le'a en s! =-ito social&

M!c$os ni@os #!e %racasan en el est!dio, soportan los reproc$es, de s!s padres " $asta

el altrato (%?sico "o ver-al) de-ido a #!e los ad!ltos los perci-en no coo ni@os #!e

a%rontan di%ic!ltades en s!s procesos de aprendia'e, sino coo %lo'osB, pereososB,

desc!idadosB, irresponsa-lesB, etc& Ante esto, ellos terinan por creer #!e en verdad

no sirven para el est!dioB, " optan por a-andonar el colegio&

Fe viene o-servando dentro de la Instit!cin Ed!cativa .602 Inca :arcilaso de la


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pro-leas de-e ser o-'eto de est!dio central en las investigaciones relacionadas con la

ense@ana de las ciencias " de las ate=ticas en partic!lar&

Esta tendencia pedaggica conci-e el proceso de ense@anaHaprendia'e coo !n

sistea docente donde, sin enosca-o de las tareas encainadas al desarrollo de

procediientos cognoscitivos, el est!diante es soetido siste=ticaente al

en%rentaiento de tareas #!e lo $acen pensar, eplorar, contrastar, %or!lar $iptesis "

veri%icar los res!ltados&

El tea es de inter;s no solo para los docentes, sino ta-i;n para los padres de %ailia

" la co!nidad&

El prier propsito de esta investigacin es deostrar #!e con la !tiliacin del

;todo $e!r?stico e'orar= el rendiiento escolar de los al!nos " por ende red!cir

el nero de al!nos desapro-ados en esta asignat!ra&

Un seg!ndo propsito es esta-lecer !n ;todo #!e perita a los al!nos de .T grado

adec!arse al ;todo $e!r?stico en el =rea de ate=tica, #!e al %inal se o-servar= los

e%ectos entre los al!nos #!e participan en este pro"ecto de investigacin " los #!e no

participan de ella&

Este est!dio es !na alternativa de sol!cin al pro-lea planteado " es de gran

iportancia por#!e -!sca encontrar !n ;todo adec!ado #!e perita e'orar la

ense@ana " aprendia'e la Mate=tica, as? iso pone ;n%asis en los procesos del

pensaiento " en los procesos de aprendia'e&


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a pertinencia del presente tra-a'o es #!e se -!sca repensar la anera coo se tra-a'a

la ate=tica dentro de las a!las, por#!e generalente, esta disciplina es ense@ada

descontet!aliada de las otras =reas c!rric!lares " sin ning!na relacin con otros

=-itos de la vida real del al!no, por lo c!al, en la pr=ctica r!tinaria se en%atia la

resol!cin de pro-leas en %ora ec=nica " repetitiva sin %avorecer la prod!ccin

del conociiento& El proceso de ense@anaHaprendia'e de la ate=tica #!eda

red!cido a la era aplicacin de %r!las sin sentido para el est!diante&

F./345+*67 )(5 P/.85(3

!ego de la %!ndaentacin descrita, se %or!lan los sig!ientes pro-leasG

1212#2 P/.85(3 G(7(/5

QEn #!; edida la aplicacin del ;todo $e!r?stico in%l!"e en el rendiiento

escolar del =rea de ate=tica en los al!nos del + a@o de ed!cacin

sec!ndaria, de la Instit!cin P-lica C;sar


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QEn #!; edida el ;todo $e!r?stico in%l!"e en los %actores de car=cter

pedaggicoHdid=ctico en el rendiiento escolar de ate=tica detectado en

los al!nos del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin P-lica

C;sar .9 E9:(+;


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Analiar en #!; edida el ;todo $e!r?stico in%l!"e en los %actores de

car=cter pedaggicoHdid=ctico en el rendiiento escolar de ate=tica

detectado en los al!nos del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin

P-lica C;sar


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Preoc!pados por el -a'o rendiiento acad;ico -!scaos deostrar #!e el

!so del ;todo $e!r?stico en la ense@ana H aprendia'e de la ate=tica

p!ede red!cir el porcenta'e de al!nos desapro-ados en la asignat!ra de

ate=tica "a #!e eleva s! rendiiento escolar&

Fi no aplicaos prograas innovadores para e'orar la ense@ana de la

ate=tica seg!ireos teniendo al!nos con di%ic!ltades en el raonaiento

lgico lo c!al a%ectar= a las %!t!ras generaciones de est!diantes& a cr?tica #!e

siepre se $ace a la ed!cacin sec!ndaria es #!e los al!nos tienen !n

conociiento eor?stico, escaso desarrollo del raonaiento a-stracto, no

entienden lo #!e leen, no poseen $=-itos " t;cnicas adec!ados para realiar !n

est!dio siste=tico, siendo el desarrollo del raonaiento anal?tico lo

%!ndaental para el aprendia'e de la ate=tica&

Una de las etas #!e persig!e este tra-a'o es lograr #!e el al!no ad#!iera o

re%!erce ciertas $a-ilidades cognoscitivas #!e le peritan resolver !n

pro-lea, "a sea ate=tico o cotidiano " #!e posteriorente, p!edan

trans%erir el !so de estas $erraientas a s!s est!dios s!periores o a s! capo

pro%esional& Fin e-argo, para #!e el aprendia'e escolar c!pla la %!ncin de

ser !tiliado en c!al#!ier conteto, es necesario #!e el individ!o no slo

ad#!iera !n conociiento deterinado, sino la posi-ilidad de reconstr!irlo en

sit!aciones diversas&

D!rante la eperiencia ac!!lada coo docentes en ate=ticas se $a

o-servado #!e los al!nos no tienen !na estrategia e%ica para resolver

e'ercicios " sol!cionar pro-leasG no separan la incgnita de lo dado " al

%inaliar, si $an logrado aplicar los procesos algor?ticos, !c$as veces no

sa-en responder a la preg!nta del pro-lea& Esto se de-e =s -ien a #!e a #!e


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sa-en $acer cosas pero no entienden lo #!e $acen& Dada esta sit!acin, es

indispensa-le eplicitar !na estrategia e%ica " generalia-le a gran variedad de

pro-leas, para #!e el al!no toe en principio coo odelo al pro%esor "

posteriorente sea capa de aplicar la estrategia ense@ada&

a presente investigacin invol!crar= a toda la co!nidad ed!cativa para

poder e'orar la calidad de ed!cacin #!e se -rinda en dic$a instit!cin&

A trav;s de esta investigacin se lograr= -ene%iciar a los al!nos #!e

participan en la !estra " ta-i;n a los docentes, sa-iendo #!e el ;todo

prop!esto p!ede a"!dar a e'orar s!s estrategias de ense@ana en el desarrollo

del =rea de ate=tica& A!n#!e !c$os docentes dicen conocer el ;todo

$e!r?stico, en visitas a clases realiadas a pro%esores de sec!ndaria, se $a

detectado #!e no se ponen en pr=ctica estas indicaciones& os pro%esores

entrevistados, ani%iestan #!e a!n#!e conocen los procediientos $e!r?sticos

" la iportancia de s! epleo en el proceso de ense@ana H aprendia'e de la

Mate=tica, estos no son aplicados en s!s clases por#!e no sa-en co

$acerlo o por#!e %alta tiepo para instr!entarlos, lo c!al indica #!e no se $an

$a-it!ado a !tiliar estos procediientos %!ndaentales para desarrollar el

raonaiento lgico de los al!nos&

49-*


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a presente investigacin pretende aportar !n ;todo innovador del sistea

ed!cativo en el =rea de la ate=tica #!e est= planteado dentro de los

lineaientos de la pol?tica ed!cativa, #!e a"!dar= a e'orar el raonaiento

lgico en n!estros est!diantes #!e ser=n o-'eto de la !estra& o #!e en el

%ondo se persig!e con ella es transitir en lo posi-le de !na anera siste=tica

los procesos de pensaiento e%icaces en la resol!cin de verdaderos

pro-leas&

122 FUNDAMENTACIN Y FORMULACIN DE LAS HIPTESIS&

1221 HIPTESIS GENERAL

a aplicacin del ;todo $e!r?stico in%l!"e en el rendiiento escolar del =rea de

ate=tica en los al!nos del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin

P-lica C;sar


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as di%erencias signi%icativas in%l!"en en el rendiiento escolar, entre los

al!nos, antes " desp!;s de la aplicacin del ;todo $e!r?stico en los al!nos

del + a@o de ed!cacin sec!ndaria, de la Instit!cin P-lica C;sar


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CAPTULO II

MARCO TERICO


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.&+ A7-(+()(7-(9

Eisten pocos tra-a'os de investigacin #!e $a"an aplicado el ;todo $e!r?stico

en la ense@ana de la ate=tica en el nivel sec!ndario&

Matias, P& (+4/), El ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la ate=ticaB& 9esis,

ac!ltad de Ed!cacin de la UNMFM, ia, a%ira #!e de los ;todos de

ense@ana de la ate=tica, el ;todo $e!r?stico es el #!e rene a"ores

condiciones venta'osas& Esto por#!e considera al al!no coo !n eleento

activo #!e de-e intervenir en la ela-oracin de s!s conociientos& Ade=s #!e se

adapta a las noras esta-lecidas en los planes " prograas de est!dios " por#!e

en s!a se adaptan a la nat!ralea del al!no& Coo consec!encia de lo anterior

es !na necesidad la ense@ana de la ate=tica por este ;todo, por#!e c!ple

con el principioG la e'or ed!cacin es la #!e !no iso se proporciona& #!e

de-e generaliarse el epleo de este ;todo, en la ense@ana de la ate=tica en

todos los colegios de la rep-lica, "a #!e las venta'as #!e presenta son

inn!era-les " por#!e no re#!iere es%!eros iposi-les&


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Rivera R& (+4*+)& El ;todo $e!r?stico en la Ense@ana de la Mate=tica " s!

aplicacin en la ense@ana sec!ndariaB, Monogra%?a, ac!ltad de Ed!cacin de la

UNMFM, ia, plantea #!e la ate=tica necesita !na evol!cin #!e se adapte a

las necesidades del !ndo oderno " a las posi-ilidades intelect!ales "

reacciones a%ectivas del !ndo& a ense@ana de la ate=tica se $a de

desenvolver en !n clia de clase activa, de clase taller " no de clase pasiva, de

clase con%erencia& Ade=s #!e entre los ;todos de ense@ana de la ate=tica,

el ;todo $e!r?stico es el #!e rene las e'ores condiciones venta'osas, dado #!e

el al!no se convierte en participante activo en la ense@ana " aprendia'e,

perite darse c!enta del progreso de los al!nos ediante la practica peranente

de preg!ntas " resp!estas, los conociientos ad#!iridos por este ;todo son !na

con#!ista personal, entonces son di%?ciles de olvidar " en consec!encia le ser=n

provec$osas, " p!ede considerarse coo !n edio para olvidarse del desarrollo

de clases& Por estas consideraciones el ;todo $e!r?stico de-e ser aplicado en

todos los colegios sec!ndarios&

:on=les A& (+4*+) El ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la 9eor?a de

Con'!ntosB, 9esis, ac!ltad de Ed!cacin de la UNMFM, ia, concl!"e #!e el

;todo $e!r?stico en la ense@ana de la teor?a de con'!ntos en la ed!cacin

sec!ndaria de-e llevarse a ca-o ediante eperientaciones siste=ticas a %in de

poder renovar s!s estr!ct!ras en el plao =s -reve posi-le, " #!e est=

deostrado #!e el ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la ate=tica es la -ase

priordial para #!e los al!nos capten e'or los principios de esta ciencia "

sirva este ;todo para #!e la ense@ana en n!estro pa?s salga del -a'o nivel en el


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#!e se enc!entra& Ade=s se@ala #!e la ense@ana de la ate=tica ediante el

;todo $e!r?stico en la ed!cacin sec!ndaria tiene la %acilidad de deostrar al

est!diante la verdad coo parte de s! la-or de investigacin " la posicin #!e

tiene coo ciencia disciplinada de la inteligencia por#!e ense@a a pensar con

orden, precisin " claridad&

1rti, M& (+4*) Paralelo entre el ;todo de la Instr!ccin prograada " el

;todo $e!r?stico en la ate=ticaB, 9esis para optar el grado de 8ac$iller,

ac!ltad de Ed!cacin de la UNMFM, ia, plantea #!e la la-or del pro%esor es

tan pro-le=tica en el ;todo $e!r?stico, en el ;todo $e!r?stico la plani%icacin

res!lta =s siple, en tanto #!e la aplicacin propiaente dic$a enc!entra serios

o-st=c!los, principalente en la cond!cta del al!no " #!e los res!ltados

o-tenidos en s! pr!e-a de logros, ser?a =s aconse'a-le " positivo a la ve, #!e

para tener !na e'or actit!d valorativa, se de-e eval!ar en el ;todo $e!r?stico en

%ora oral p!es en esa %ora se o-tiene !na e'or concordancia con las

caracter?sticas de dic$o ;todo&

P;re, & (+42*) E%ectividad del ;todo $e!r?stico en la ense@ana de la

ate=tica en los al!no del 7to& :rado de priaria del C&E& 0.4+7 9ingo

Mar?aB& 9ra-a'o de investigacin, Universidad 5erilio


27/109

Pi@a, I& " Rodr?g!e, I& (.66/)& Resol!cin de Pro-leas Mate=ticos: Una

estrategia para el desarrollo del pensaiento divergente en al!nos del F;ptio

:rado de Ed!cacin 8=sicaB, $acen ;n%asis a este tipo de pro-le=tica en la

ense@ana de la ate=tica " a%iran en s! investigacin #!e el sistea

tradicional de ense@ana " el aprendia'e de la ate=tica le coacta la li-ertad al

al!no de desarrollar s! pensaiento de !na %ora no lineal ", es por ello, #!e

proponen en s! investigacin -!scar, a trav;s de la resol!cin de pro-leas, #!e

el est!diante desarrolle s! creatividad ate=tica al =io& Una $a-ilidad

esencial para entender " eplicar la realidad ediante la coprensin de

estr!ct!ras, s?-olos " la anip!lacin de o-'etos ideales #!e periten constr!ir

diversas si!laciones, representaciones " operaciones entales en isoor%iso

con la nat!ralea de los %enenos o-servados& os investigadores s!gieren #!e

de esta %ora se p!ede desarraigar las creencias in$i-idoras del pensaiento

a-ierto de los al!nos " li-erar los di%erentes -lo#!eos presentes al oento de

resolver pro-leas&


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aprendizaje& Para ellos la resol!cin de pro-leas es !n proceso #!e de-e

penetrar todo el dise@o c!rric!lar " proveer el conteto en el c!al los conceptos "

las actit!des p!eden ser aprendidos desde ltiples perspectivas& Ade=s, por

edio de esta estrategia el docente de ate=tica p!ede colocar al est!diante

%rente a !na sit!acin cople'a, no estr!ct!rada, con%!sa, en la #!e ;l iso de-e

sentirse interesado " coproetido a resolver sin cainos prescritos& Para ello, es

necesario #!e identi%i#!e las coponentes " analice cr?ticaente el pro-lea

antes de llegar al esta-leciiento de las sol!ciones posi-les " a la creacin "

ensa"o de la sol!cin personal&

Rodr?g!e I& (.66) L R(9.54+*67 )( P/.85(39 @ (5 P(793*(7-.

M-(3-*+. D*>(/?(7-(! Plantea soeraente co la ed!cacin ate=tica

$a ganado espacios " co la co!nidad investigadora tiende a en%ocar aspectos

p!nt!ales de la ense@ana de la ate=tica, con res!ltados coincidentes, respecto

a la potencialidad $!ana de desarrollar alg!nas capacidades especi%icas de

raonaiento #!e antes se cre?an propias de seres dotados gen;ticaente con

cere-ros ate=ticos& Esta investigacin tiene coo propsito eplorar alg!nos

avances de la investigacin en ed!cacin ate=tica respecto al desarrollo del

pensaiento ate=tico divergente coo prod!cto de la ipleentacin de

t;cnicas $e!r?sticas " alternativas did=cticas en la %oracin de ci!dadanos con

sentido ate=tico nat!ral " cotidiano&

Rodr?g!e C& (.667), 8as=ndose en la teor?a de la %oracin " desarrollo de

$a-ilidades etacognitivas, para el proceso de asiilacin, se propone !n

con'!nto de indicaciones etodolgicas atendiendo a los tres niveles de

desepe@o cognitivos, #!e constit!"en !na g!?a para el pro%esor, en la


29/109

ela-oracin de !n gr!po de pro-leas para la organiacin " desarrollo de la

etacognicin de los est!diantes, #!e propician #!e el al!no aprenda a

aprender& A partir de de%iciencias en el desarrollo de la etacognicin del

ed!cando " en el planteaiento " resol!cin de pro-leas en las distintas

asignat!ras -!scando #!e el al!no sepa $acer, #!e $acer " co $acer

#2#2 BASES TEORICAS&

#2#212 EL MTODO HEURSTICO2 ETIMOLOGA Y DEFINICIN

ETIMOLOGA2 a pala-ra o t;rino $e!r?stico proviene del griego E!ricioB

#!e #!iere decir o enc!entroB& (M!rga, +426)&

Etiolgicaente al ;todo $e!r?stico se le conoci coo la $e!r?stica #!e

#!iere decir conociiento seg!roB, era el no-re #!e se le da-a a !na ciencia

al de%inida #!e se relaciona-a con la lgica, la %iloso%?a " la sociolog?a, c!"oo-'etivo era el est!dio de las le"es " los ;todos de invencin " del

desc!-riiento&

DEFINICIN2 Es !n ;todo de ense@ana activo, en el c!al el docente a trav;s

del di=logo " ediante interrogaciones otiva, incentiva, g!?a al est!diante a

coprender, a encontrar raones antes de %i'ar los conociientos& Es est!diante

de-e tener oport!nidad de desc!-rir '!sti%icaciones o %!ndaentos " de-e

investigar para ello, e'ercitando en esta %ora s!s %ac!ltades entales,

alientando s!s iniciativas personales " desenvolviendo s! esp?rit! de

investigacin& (


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El ;todo $e!r?stico presenta, entre otras, las sig!ientes caracter?sticasG

ES UNA CONVERSACIN INSTRUCTIVA2 El ;todo $e!r?stico es !n

instr!ento #!e sostiene la atencin del al!nos " ed!ca s! vol!ntad, o-tiene de

s!s %ac!ltades cognitivas el a"or rendiiento posi-le, le proporciona el placer

ine%a-le de #!e ;l desc!-ra la verdad, le in%!nde c!riosidad del sa-er " con%iana

en s! capacidad " le convence de #!e es posi-le instr!irse a s? iso&

SE BASA EN UN DILOGO2 En el ;todo $e!r?stico, el di=logo es !tiliado a

gran escala, p!es se toa en consideracin #!e dic$o di=logo no es =s #!e !na

participacin del di=logo !niversal, #!e !ne a los seres entre s?, " #!e $ace #!e

toda pala-ra del $o-re dic$a a s? isa es ta-i;n co!nicativa&

El di=logo coo conectivo !niversal del ser, est= en la %ora de interrogar " en la

%ora de responder& a leccin dialogada es siepre %r!ct?%era " por eso en el

;todo $e!r?stico se eige =s repeticin, de donde se resalta #!e es =s corto

por#!e s! e%icacia copensa la d!racin del e'ercicio&

SU ESENCIA ES LA INTERROGACIN2 En el ;todo $e!r?stico todo

conociiento #!e se desea #!e los al!nos desc!-ran tiene #!e dividirse en !na

serie de interrogantes, las c!ales generalente son ep!estas por el pro%esor&

as interrogaciones por parte del docente de-en epear por llaar la atencin de

los al!nos respecto al as!nto de la leccin, -as=ndose en los conociientos #!e

ellos tienen& El docente les epone !n con'!nto de sit!aciones $=-ilente

co-inadas, intentando con ella, $acerles desc!-rir o encontrar por s? isos la

verdad o el conociiento deseado&

Para #!e este aspecto se c!pla a ca-alidad se de-e considerar lo sig!ienteG

as preg!ntas de-en ser variadas " al alcance de los al!nos&


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a interrogacin de-e ser clara, sencilla " en lo posi-le -reve& as interrogantes de-en epresarse etdicaente, acorde a !n plan

" grad!alente dosi%icadas, de odo #!e las =s %=ciles precedan a

las di%?ciles " estas a s! ve preparen la sol!cin del tea en est!dio& El nero de interrogantes de-e estar en concordancia con el tea "

los o-'etivos del aprendia'e del tea&

ES UN MTODO ACTIVO2 En el ;todo $e!r?stico no se consideran las

lecciones dog=ticas o epositivas, p!es se eige #!e el est!diante $aga !n

es%!ero personal, -!scando #!e enc!entre por s? iso #!e se le #!iere ense@ar&

En res!en, es !n ;todo activo #!e re#!iere o-ligatoriaente la participacin

con'!nta del pro%esor " del al!no, en el #!e el al!no aprende contri-!"endo ;l

iso en las resp!estas, desc!-riendo por s! propio parecer los conociientos&

Ade=s no slo el al!no realia esta actividad, sino #!e el docente se ve en la

o-ligacin " necesidad de interesarse =s en s! c!rso o ateria #!e tiene a s!

cargo&

LAS REGLAS HEURISTICAS

8allester, F& (+44.)& Fostiene #!e las reglas tienen !n car=cter =s espec?%ico "

epresan las acciones " operaciones a realiar en la -s#!eda de los edios " de

las v?as para resolver !n pro-lea&

Eiste !na aplia gaa de estas reglasO !nas =s generales, otras =s espec?%icasG

Deterinar a partir de c!ales eleentos conocidos o datos del e'ercicio

ellos p!eden ser o-tenidos Deterinar #!e se necesita reiterar el proceso para o-tener n!evos

res!ltados parciales a trav;s de los c!ales se p!ede entonces o-tener la

conein necesaria con los datos&


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Encontrar !na contradiccin con los datos o con algn conociiento verdadero dentro de la teor?a de #!e se trateO en este caso el e'ercicio no

tiene sol!cin& En esta estrategia los datos sirven para onitorear el

tra-a'o de re%lein e in%erencia a partir de lo -!scado&

LA BASE ESCOLAR

a ense@ana de !n prograa de Mate=tica es copara-le a !na cadenaG -astar=

#!e %alle !n esla-n para #!e pierda s! e%icacia& El aprendia'e re#!iere ser, desde

el inicio, etdico " copleto para garantiar s! e%icacia&

En el Nivel Priario se dan los prieros pasos& El aestro tiene !na %oracin

generalista por lo #!e no de-e esperarse #!e sea !n conocedor eperto de cada

asignat!ra o tea #!e ense@aO sin e-argo, s! -ase de conociientos eleentales

de Mate=tica de-e ser lo s!%icienteente %ire para poder c!plir con s!

coetido a satis%accin& Provenientes a"oritariaente de !na orientacin de

-ase $!an?stica, #!e es donde tradicionalente la Mate=tica se trata con

enor alcance " eigencia, los %!t!ros aestros ingresan al Magisterio sin

ane'ar con la propiedad re#!erida alg!nos %!ndaentos ate=ticos& Esto

origina #!e !c$os aestros arrastren iportantes errores concept!ales #!e l!ego

trasladan a s!s al!nos&(Ci-ils &, .66*)as di%ic!ltades en el aprendia'e de la

Mate=tica en Ur!g!a"BO Monogra%?a& Peridica Nacin, a@o I, N / , Ur!g!a"&

EL APRENDIAE DE LA MATEMTICA EN EL NIVEL SECUNDARIO2

a di%ic!ltad de los adolescentes para aprender Mate=tica en la ense@ana

sec!ndaria constit!"e !n pro-lea de larga data " !" generaliado en el !ndo


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entero, por ello la iportancia gravitante #!e tiene !n adec!ado aprendia'e de la

Mate=tica en el %!t!ro de todo est!diante&

Es !" %rec!ente esc!c$ar la preg!nta para qu sirve aprender tantos nmeros

!rmulas"a Mate=tica es !na parte esencial del aprendia'e #!e ap!nta a dotar

a ni@os " adolescentes de ciertas capacidades -=sicas de etraordinaria

iportancia para s! e'or desepe@o coo %!t!ros ad!ltos& Ade=s de la

inensa !tilidad pr=ctica de s! conociiento, la Mate=tica es de ins!stit!i-le

a"!da en la ad#!isicin de condiciones intelect!ales espec?%icas, coo son el

raonaiento lgico " ordenado, la a-straccin, la ded!ccin " la ind!ccin, todas

ellas iprescindi-les para encarar con ;ito las eigencias #!e la sociedad $a-r=

de presentar en el %!t!ro del adolescente&

El tea de la ense@ana " aprendia'e de la ate=tica en el nivel sec!ndario $a

co-rado !c$a iportancia en el pa?s por ser esta !na disciplina #!e se !tilia en

los c!rsos de ciencias " por otro lado el est!diante se ve %r!strado " desotivado

para proseg!ir s!s est!dios sec!ndarios& (Ci-ils & .66*) as di%ic!ltades en el

aprendia'e de la Mate=tica en Ur!g!a"BO Monogra%?a& Peridica Nacin, a@o I,

N /& os ca-ios r=pidos e incesantes del !ndo de $o" $acen #!e ta-i;n

ca-ien a s! cop=s los conociientos de ate=tica, estos ca-ios consideran

por !n lado a ense@ar !c$o en poco tiepo ", por otro lado, #!e lo #!e se ense@e

var?e contin!aente& 5a" #!e revisar peranenteente los contenidos " las

etodolog?as para antenerse al d?a& a no sirven los c!rr?c!los peranentes

d!rante !c$os a@os& Es decir #!e se de-e estar preparado para s!stit!ir en los

prograas de est!dio !c$os tpicos o-soletos por otros n!evos, ello o-liga a

tener pro%esores disp!estos a los ca-ios& (Capos A&, 1rti A& +44+) Capos A&,


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1rti A& (+44+) Feinario de la Ense@ana de la Mate=tica F!periorB&

Universidad de ia&

En el in%ore a la UNEFC1 de la Coisin Internacional so-re la ed!cacin

para el siglo WWI, presidida por 3ac#!es Delors, se se@ala #!e la ed!cacin es

!na v?a al servicio del desarrollo $!ano =s aronioso, =s gen!ino, para

$acer retroceder la po-rea, la ecl!sin, las incoprensiones, las opresiones, las

g!erras, etc&B " > tiene la isin de peritir a todos sin ecepcin $acer

%r!cti%icar todos s!s talentos " todas s!s capacidades de creacin Delors, 3&

(+447)& a Ed!cacin encierra !n tesoroB In%ore a la UNEFC1 de la Coisin

Internacional so-re ed!cacin para el Figlo WWI, Madrid H Espa@a&

Planteaientos #!e est=n !" relacionados con la la-or del docente sec!ndario de

ate=tica& As? iso es iportante tener en c!enta los c!atro pilares de la

ed!cacinG Aprender a conocer, aprender a $acer, aprender a ser " aprender a

vivir '!ntosB (Delors, 3& (+447) , lo c!al nos lleva a pensar #!e la la-or ed!cativa

en ate=tica se vinc!la =s en los tres prieros pilares " especialente en el

priero, "a #!e en ;l se considera esencial el aprender a aprender " la ate=tica

-rinda ecelentes oport!nidades para desarrollar esto, so-re todo si de la clase

tradicional para trasitir conociientos se pasa a !na ense@ana en la #!e se de

prioridad a la constr!ccin de conociientos, propiciando la participacin activa

de los al!nos, %oentando el tra-a'o en gr!po, las relaciones interpersonales e

intergr!pales, considerando " respetando los conociientos " eperiencias

previasO generando en el ed!cando con%iana En s! Capacidad de aprender " de

$acer prop!estas, eliinando el a!toritariso " el verticaliso, esti!lando la

creatividad, el placer de aprender, de resolver pro-leas " de encontrar resp!estas

a la c!riosidad intelect!al del ed!cando&


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En la ense@ana " aprendia'e de la ate=tica se de-e esti!lar el esp?rit!

creativo " cr?tico del est!diante con la presentacin de adec!adas otivaciones,

orientando inteligenteente los conceptos ate=ticos a s! interrelacin con la

realidad " las de=s ciencias del sa-er $!anoO es decir propender a la %oracin

de est!diantes con criterio de an=lisis, #!e propone, #!e se e#!ivo#!e #!e

relacione conceptos, #!e int!"a, #!e invente e'eplos " contrae'eplos&

MODELO DE UNA CLASE HEURSTICA

Una clase !tiliando el ;todo $e!r?stico Es !n centro de actividad del docente "

est!dianteB, este es !no de los ;todos #!e perite en las clase a"or actividad

de parte del al!no, contrariaente al ;todo epositivoO pero este p!ede

convertirse en !n ;todo activo c!ando la $a-ilidad del pro%esor sa-e despertar el

inter;s de los al!nos por el tea #!e se trata, !no de los aspectos =s

iportantes del ;todo $e!r?stico es la cond!ccin de los interrogatorios&

Dionisio, M (. 66)

a clase $e!r?stica re#!iere la presentacin de la ateria en %ora especial, tiene

coo %inalidad poner a los al!nos en contacto con el tea lo c!al de-e $acerse

en %ora clara " s!gestiva para despertar el inter;s de ellos as? coo ta-i;n

proporcionarles eleentos necesarios para #!e p!edan encontrar sol!cin por s!s

propios edios, se %or!lan !na serie de preg!ntas de tal anera #!e s!s

resp!estas cond!can a los res!ltados deseados& Pero siepre -a'o la direccin del

pro%esor&

as preg!ntas de-en $acerse en leng!a'e apropiado, estar ligadas !nas con las

otras, de tal anera #!e se proc!re #!e el al!no piense por s? iso&


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a estr!ct!racin de preg!ntas " orientaciones en cada pro-lea o cada tarea

para el desarrollo de las $a-ilidades& as preg!ntas " orientaciones en la sol!cin

de cada pro-leas entre otras de-en ir encainadas al coproetiiento,

conciencia, onitoreo " eval!acin, iplica a"!dar al al!no #!e tenga

conociiento " control de s? iso " del proceso en s?&

A partir del odelo general de erner 3!ngK, se propone realiar los sig!ientes

ip!lsos en cada %ase del pro-lea&

O/*(7-+*67 +* (5 :/.85(3&

QCon #!; raa de la ate=tica est= relacionado el pro-leaS

QX!; conceptos ate=ticos aparecen en el pro-leaS

QCo se de%inen estos conceptosS

T/8=. (7 (5 :/.85(32

QConoces teoreas o de%iniciones ate=ticas relacionadas con el pro-leaS

De ellas QC!=les podr?an cond!cir a la sol!cin del isoS

QEstaos en condiciones de resolver el pro-leaS

QX!; e lo ipideS

QConoces las relaciones entre las agnit!des dadas " -!scadasS

QFer= necesario introd!cir agnit!des a!iliaresS

QFa-es introd!cirlasS

QFe podr=n calc!lar estas agnit!desS

QX!; e lo ipideS


37/109

S.54+*67 )(5 :/.85(3&

QC!=l p!ede ser aproiadaente el res!ltadoS

QNecesitas realiar conversin de !nidades de edidasS

QFa-es realiarlaS

QP!edes realiar los c=lc!los en el orden esta-lecidoS

QX!; di%ic!ltades presentasS

E>54+*67 )( 5 9.54+*67 @ )( 5 >;2

Q9iene lgica el res!ltado o-tenidoS

Qos valores o-tenidos son la sol!cin del pro-leaS

QX!; de-eos $acer para estar seg!rosS

Qa sol!cin es nicaS

QCo procedios para $allar la sol!cin del pro-leaS

QEs aplica-le esta v?a a la sol!cin de otro pro-leaS

QFe p!ede resolver por otra v?aS

QC!=lS

QX!; di%ic!ltades tienes para elloS

Estas preg!ntas a"!dan al pro%esor a orientar al est!diante en reconocer,

identi%icar, esta-lecer relaciones concept!ales, $acer re%leiones " contet!aliar&

MARCO HISTRICO

En la aplicacin " desarrollo del ;todo $e!r?stico a trav;s de la $istoria se

p!eden encionar a los sig!ientes ate=ticosG


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PAPPUS2 C;le-re ate=tico griego, vivi posi-leente $acia el a@o 066 A&C&

en s! li-ro 9esoros de An=lisisB o Arte de resolver pro-leasB o 5e!r?sticaB

dice lo sig!ienteG a $e!r?stica para llaarla por s! no-re es !n res!en, !na

doctrina especial, para el !so de a#!ellos #!e tras $a-er est!diado los eleentos

ordinarios, desean dedicarse a la sol!cin de pro-leas ate=ticosO no es

!tilia-le para otros casosB

REN DESCARTES2 (+47H+76) ilso%o " gran ate=tico se propone

encontrar !n ;todo !niversal para la sol!cin de pro-leas, pero de'

inconcl!sas s!s Reglas para la direccin de la enteB, los an!scritos de'ados

por ;l " #!e %!eron editados desp!;s de s! !erte contienen %ragentos de co

resolver pro-leas&

ILHELM GOTTFRIED LEIBNI (+7/7 +*+7) %!e c;le-re %ilso%o "

ate=tico plane escri-ir !na o-ra #!e tendr?a coo t?t!lo Arte de la

invencinB, pero n!nca lo llev a ca-o, en ca-io escri-i No $a" nada =s

iportante #!e el considerar las %!entes de la invencin #!e son a i criterio =s

interesantes #!e las invencionesB&

BERNARDO BOLANO EITRAS (+*2+ +2/2) %!e legista " ate=tico,

en s! o-ra lgica issense$a%tsle-reB, dedic gran parte de ella a la $e!r?stica "

respecto a esto dice no pretendo en lo a-sol!to a#!? ningn procediiento de

investigacin #!e no sea conocido desde $ace tiepo de los $o-res de talento,

no creo #!e enc!entre a#!? nada copletaente n!evo en la ateria, pero vo" a

esperare en asentar en t;rinos claros, las reglas " los cainos de la

investigacin seg!ido por todo $o-re capa, a!n#!e en la a"or?a de los casos

los seg!? sin tener plena conciencia de ello& Fi -ien ignoro si $e tenido o no ;ito


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en la epresa, g!ardo al enos la il!sin #!e i odesta contri-!cin sea del

g!sto de alg!ien " tenga aplicaciones =s tardeB

P.5@plantea #!e la $e!r?stica oderna trata de coprender el ;todo #!e

cond!ce a la sol!cin de pro-leas, en partic!lar, las operaciones mentales

t#picamente tilesen este proceso& (+44., +6.)&

Una estrategia $e!r?stica es !na t;cnica destinada a coprender e'or !n

pro-lea " si eres a%ort!nadoH resolverlo& (Fc$oen%eld, +42, +62

a resol!cin de pro-leas se re%iere a los procesos de cond!cta " pensaiento

dirigidos $acia la e'ec!cin de deterinadas tareas intelect!alente eigentes&

Carretero M& " :arc?a 3& (+42/, +2) a%iran #!e la a"or parte de los psiclogos

consideran #!e !n pro-lea eiste c!ando $a" algn o-st=c!lo entre !na

sit!acin dada " !na sit!acin eta& a eistencia de ese o-st=c!lo o-liga al

s!'eto a considerar los posi-les cainos #!e le p!eden cond!cir a la sit!acin

eta2 Es all? en donde '!ega !n papel iportante el $e!r?stico&

Delors, 3& (+447)& a Ed!cacin encierra !n tesoroB& In%ore a la UNEFC1 de la

Coisin Internacional so-re Ed!cacin para el siglo WWI, Madrid Espa@a&

En el in%ore en encin se se@alaG En !na sociedad, la ense@ana s!perior es a

la ve !no de los otores del desarrollo econico " !no de los polos de la

ec!acin a lo largo de la vida& Es, a !n tiepo, depositaria " creadora de

conociientos& Ade=s, es el principal instr!ento de transisin de la

eperiencia, c!lt!ral " cient?%ica, ac!!lada por la $!anidadB, (p& 24)&

De lo ep!esto se p!ede ded!cir la gran iportancia de la ense@ana en el nivel

sec!ndario " !niversitario de todas las asignat!ras en general " en partic!lar el de


40/109

las ate=ticas "a #!e en la act!alidad se le considera coo el leng!a'e de todas

las ciencias&

a pro-le=tica de la ense@ana " el rendiiento acad;ico de la ate=tica en

el nivel sec!ndario, est= dentro de la pro-le=tica ed!cativa del pa?s " del !ndoO

por esta ran, es #!e se p!ede se@alar categricaente, #!e es !n pro-lea

-astante cople'o de car=cter estr!ct!ral " #!e est= relacionado o es consec!encia

directa de los pro-leas #!e atraviesan los de=s sectores de la sociedad, tanto

econicos, sociales " pol?ticos&

a capacidad $e!r?stica es !n rasgo caracter?stico de los $!anos, es el arte, " la

ciencia del desc!-riiento para resolver !n pro-lea, ediante la creatividad "

el pensaiento lateral, divergente&

4J (9 47 :/.85(3K

Es la -s#!eda consciente, con alg!na accin apropiada para lograr !na eta

claraente conce-ida, pero no inediata de alcanar (:& Pol"a +47.)&

Es !na preg!nta a la #!e es iposi-le dar !na resp!esta inediata& Deterina

toda la actividad posterior al s!'eto, d=ndole !na car=cter selectivo& (3!lia +42+)&

9area di%?cil para resolver& Fit!acin en la #!e se intenta alcanar !n o-'etivo, "se $ace necesario encontrar !n edio para conseg!irlo (C$i M :laser R, +427)&

APLICACIN DEL MTODO HEURSTICO&

Fe trata de considerar lo =s iportante&

+&H X!e el al!no anip!le los o-'etivos ate=ticos.&H X!e active s! propia capacidad&

0&H X!e e'erce s! creatividad&


41/109

/&H X!e re%leione so-re s! propio proceso de pensaiento a %in de

e'orarlo conscienteente&&H X!e, a ser posi-le $aga trans%erencia de la actividad a otro

proceso ental&7&H X!e tenga con%iana en el iso&*&H X!e sea !na diversin ental2&H X!e sea !na preparacin para resolver otros pro-leas de la

ciencia " coad"!ven a resolver pro-leas de s! vida cotidiana&

4&H X!e sea !na preparacin para los n!evos retos de la ciencia "

tecnolog?a&

QX!; venta'as tieneS QPor #!; es%orarse en este o-'etivoSa) o e'or es o%recerle esta capacidad para resolver s!s propios

pro-leas de la vida&-) De-ido a la capacidad de evol!cin del !ndo&c) El tra-a'o de-e ser siepre atractivos, divertido, satis%actorio,

a!torrealiador " creativo&d) os $=-itos desarrollados& Poseen !n valor !niversal, no solo al

!ndo de la ateria&e) Es aplica-le a todas las edades&

Fiepre sea ense@ado ate=tica, pero el res!ltado es de-ido

a la %ora tradicional del tra-a'o docenteO #!e podeos res!ir

en las %ases sig!ientes&

Eposicin de contenidos&

E'eplos&YE'ercicios sencillosYE'ercicios =s coplicadosYQPro-leasS

C!ando lo =s adec!ado es el tea -asado en la escrit!ra de la resol!cin de

pro-lea, procediiento de la sig!iente aneraG


42/109

Prop!esto de la sit!acin pro-lea, de donde s!rge al tea (-asada en la $istoria,

aplicaciones, odelo, '!egos)&

Manip!lacin por los est!diantes& ailiariacin con la sit!acin " s! di%ic!ltad& Ela-oracin de estrategia posi-le& Ensa"o diverso por los est!diantes& Eleccin de estrategia& 5erraientas ela-oradas (contenido otivado) Ata#!e " resol!cin de pro-lea& Record de critico (re%lein de proceso)

En todo el proceso el e'e principal $a de ser la propia actividad dirigida con tino

por el pro%esor $aciendo #!e el ni@o participe, sin ani#!ilar el placer de ir

desc!-riendo por si iso lo #!e los grandes ate=ticos $an logrado con

sacri%icio&Un gran desc!-riiento res!elve !n gran pro-lea, pero en la sol!cin de

todo pro-lea, $a" !n cierto desc!-riientoB&El pro-lea #!e se plantea p!ede ser odesto, pero si se pone a pr!e-a la

c!riosidad #!e ind!ce a poner en '!ego la %ac!ltad inventiva, si se res!elve por

propios edios, se p!ede eperienta el encanto del desc!-riiento " el goce

del tri!n%o&Eperiencias de este tipo, a !na edad conveniente, p!ede deterinar !na

a%icin para el tra-a'o intelect!al, e ipriirle !na $!ella iperecedera en la

ente " en el car=cter :eorge Pol"a (Coo res!elve !n pro-lea, +4*.&

Editorial 9rillas, P=g& 06)

Es decir -rindarles a los al!nos las $erraientas necesarias, #!e i-!idos de

este esp?rit! as!e el reto de desc!-riiento " dis%r!tar del tri!n%o #!e

o-tengan, %orando s! ente " s! car=cter %!t!ro&

RESOLUCIN DE PROBLEMAS EN LA POCA CONTEMPORNEA2

A inicios del siglo WW, aparecen los aportes de 5& Poinncare (+42/ +4+.), es

!n ate=tico ranc;s #!e se oc!pa de so-re anera en la etodolog?a general


43/109

de la ciencia no peranece al !ndo real, #!e son ac!erdos convencionales,

para $acer coda " til la descripcin de los %enenos dados&En s! !ndations o% science (+4+0), poincarZs dedica !n aportado so-re la

creacin de los conceptos ate=ticos& En ella resalta el acto creativo,

destacando / %asesG Fit!acin (actividad consciente #!e iplica tra-a'ar el

pro-lea d=ndole posi-le) Inc!-acin (el s!-consciente el #!e tra-a'a) Inspiracin (la idea s!rge repentinaente coo !n %las$

segn PoincarZe)


44/109

9$orndiKe investig la sol!cin de pro-leas en aniales colocando a !n gato

$a-riento dentro de la ca'a " !n troo de pescado& !era de ella& Para resolver

el pro-lea el gato realia-a !na gran cantidad de resp!estas ine%icientes,

rasg!@ando o ordiendo las paredes e introd!ciendo s!s patas a trav;s de las

a-ert!ras& Pero event!alente acerta-a a pisar la palanca #!e $a-r?a el cerro'o

de la p!erta& C!ando se introd!c?a en la ca'a n!evaente $acia los isos

oviientos aarosos $asta n!evaente pisa-a la palanca " a-r?a la ca'a& Poco

a poco en las veces s!cesivas disin!?an los oviientos aarosos $asta #!e

al entrar de %rente pisa-a la palanca " a-r?a la p!erta&

Desp!;s de est!diar por a@os el tiepo " los ;todos de los aniales para

resolver pro-leas, 9$orndiKe %or!l la le" del e%ecto, esta-leciendo #!e los

coponentes seg!idos de res!ltados positivos se %ortalecen " los seg!idos

negativos se de-ilitan $asta eting!irse&De odo #!e la sol!cin espont=nea de pro-leas segn 9$orndiKe oc!rre no

g!iada por el raonaiento sino por el aprendia'e, por ensa"o " error #!e

oc!rre en %ora grad!al en pe#!e@os pasos " re%ora-a por est?!los, pero el

ser $!ano de%iere s!-stancialente de la >, sol!cin de pro-leas de los

aniales, por#!e contaos con !na capacidad de raonaiento =s

evol!cionada " por otro lado la sol!cin no tiene #!e ser necesariaente

espont=nea, dado #!e podeos re%inar n!estra capacidad asiilando estrategiaspara increentas n!estro propio potencial de resol!cin de pro-leas&T(./; )( 5 G(9-5-Poco desp!;s de 9$orndiKe aparecieron, los psiclogos de la :estalt #!e

s!stentaron #!e para est!diar la sol!cin de pro-leas era necesario no solo

investigar el coportaiento de los aniales s!periores coo priates, sino

ta-i;n la ente $!ana ante !n pro-lea s!rge en la ente del s!'eto !na

reorganiacin de los eleentos #!e intervienen, de odo #!e se acoodan de


45/109

!na anera di%erente& os gestalistas sosten?an precisaente #!e las personas

se atascan en la resol!cin de pro-leas por#!e no p!eden irar la sit!acin

de !na perspectiva n!eva " no p!eden ver !na n!eva %ora de $acer enca'ar

los eleentos&

Fegn los gestalistas si el pro-lea no se res!elve es necesario de'arlo por !n

oento para #!e tenga l!gar el proceso de inc!-acin, es decir, el paso de

!n lapso #!e perite el olvido de las ideas #!e con%!nden " el a%loraiento de

n!evas ideas #!e a"!dan a captar !na n!eva %ora de considerar el pro-leas

#!e encierre s! sol!cin&Un pro-lea t?pico de los gestalistas el pro-lea de los seis palitos #!e

presenta Lavona& El pro-lea p!ede plantearse as? Dado 7 palitos e#!il=teros

c!"os lados tengan !n palito de longit!dB&Alg!nos colocan . palitos en aspa& os colocan al centro de !n c!adrado

%orado por / palitos " e%ectivaente se %oran / tri=ng!los no son

e#!il=teros p!esto #!e s!s tres lados no tienen !n palito de longit!d&Para resolver el pro-lea el s!'eto de-e ca-iar de perspectiva " pensar en 0

diensiones, %orando !na pir=ide de -ase triang!lar " la car son los otros

tres&Es necesario #!e ert$eier, otro, psiclogo de la :eslalt, $ace !na distincin

interesante entre pensaiento reprod!ctivo " pensaiento prod!ctivo& El

pensaiento reprod!ctivo sipleente reprod!ce antig!os $=-itos o

coportaientos "a ad#!iridos " evidenteente es !no de los tipos de

pensaientos caracter?sticos #!e investigan los asociacionistas& Mientras #!e

del otro lado eiste el pensaiento prod!ctivo, -asado en la creacin de !na

n!eva sol!cin #!e prod!ce la visin de !na di%erencia organiacional

estr!ct!ral ! en este tipo de pensaiento #!e interesa a los psiclogos de la

:estalt&


46/109

D(9//.55. )(5 :/.85(3 9(?7 P.5@

:eorge Pol"a (+4*.) prop!so / %ases e introd!'o en ella la idea, plan o

estrategia, concepto clave -asado en s! eperiencia coo pro%esor de

Mate=tica& Estas c!atro %ases sonG

C.3:/(79*67 )(5 :/.85(3

Priero Pol"a dice 9eneos #!e ver claraente lo #!e se pideB por#!e es

tonto contestar !na preg!nta #!e se coprende& Pero el al!no no solo de-e

coprender el pro-lea, de-en ta-i;n desear resolverlo& Pol"a toca por

priera ve el aspecto de la vol!ntad " el inter;s del est!diante& Fi $a" %alta de

coprensin o $a" %alta de inter;s del s!giere Pol"a p!ede de-erse a !na al

seleccin del pro-lea por parte del docente o ala %alta de presentacin de

!n odo nat!ral e interesante& El aestro preg!nta al al!no las partes

principales del pro-leaG los dato, la incgnita " la condicin, al o-servar

coo los datos les preg!ntar= QEs posi-le colocando los datos en esta %ora

satis%acer la condicin del pro-leaS

E58./+*67 )( 47 :57

9eneos conce-ido !n plan c!ando =s o enos sa-eos #!e el c=lc!lo, #!e

raonaiento o constr!cciones $a-reos de e%ect!ar para deterinar la

incgnita&De $ec$o esta es la parte =s iportante para sol!cionar pro-leas& Esta idea

p!ede toar, %ora poco a poco, desp!;s de ensa"os =s o enos in%r!ct!osos

o p!ede oc!rrir #!e l!ego de !n periodo de de!da se p!ede tener !na idea

-rillanteO Pol"a (Co plantear !n pro-lea, +4*.HEd& 9rillas, P=g06)&


47/109

Es decir este proceso de de!da le da l!ego n!evas ideas #!e peritir=n plantear

n!evas alternativas al pro-lea&

E=(+4+*67 )(5 P57

C!ando "a se $a conce-ido el plan e'ec!tarlo es c!estin de paciencia& En este

sentido es =s sencillo e'ec!tarlo #!e conce-irlo por#!e esto iplica-a !na

serie de circ!nstanciasG conociientos ad#!iridos, -!enos, $=-itos de

pensaiento " concentracin, ade=s de -!ena s!erte con s!rgiiento de las

ideas adec!adas&Mientras #!e c!ando el al!no no $a conce-ido "a el plan, dispone de !na

l?nea general de tra-a'o " a$ora de-e repasar cada detalle, para aseg!rarse #!e

no p!ede ningn rincn osc!ro&En este oento el aestro goa de !na pa relativa a!n#!e de-e insistir en

#!e el al!no rec!erde " veri%i#!e cada caso&R(


48/109

eisten en la eoria de #!ien va a resolver el pro-lea para plantear el

as!nto en t;rinos adec!ados de-eos $a-lar de relaciones, eternas entre

eleentos del pro-lea " es#!eas lgicos del s!'eto& 9odo pro-lea eterno

de-e ser asiilado a la propia eperiencia interna del #!e piensa " ser

trad!cido a t;rinos %ailiares de ac!erdo con este p!nto de vista, el

pensaiento es !n proceso de desc!-rir !n con'!nto de eperiencias pasadas

con el #!e $a de relacionarse el n!evo pro-lea para l!ego ser interpretado de

ac!erdo con el es#!ea partic!lar #!e se $a"a seleccionado&A!s-el a%ira #!e c!ando los datos reci-idos son asiilados, se p!ede $a-lar

de la asiilacin de !n n!evo es#!ea lgico a la estr!ct!ra cognitiva&En la estr!ct!ra alacenaos dos tipos de es#!eaG

Conociientos con signi%icativos provenientes de la

eperiencia& Conociientos o algoritia, es decir !n con'!nto de

%r!las ec=nicas o reglas para operar conceptos&A!s!-;l nos $a-la de organiadores previos, pero es iportante sa-er #!e no

$a" !n nico odo general de proceder& En general, el aestro tiene #!e

proporcionar al al!no el andaia'e adec!ado, pero se necesita !na gran

destrea " !n aplio repertorio de sol!ciones para proporcionar a cada

al!no el e'or aprendia'e en cada pro-lea&

L 9.54+*67 )( P/.85(3

En principio el oviiento s!rgi coo alternativa al concepto, de est?!lo

resp!esta del cond!ctiso " s! inter;s radica-a so-re todo en prestar atencin

a lo #!e oc!rre en la ente $!ana entre el est?!lo " la resp!esta&

No o-stante a en!do encontraos las diversas teor?as del procesaiento de la

in%oracin denoinadas por la %ig!ra del cop!tador " el papel de la

eoria& El cop!tador se presenta coo odelo de la enteH$!ana " al

ig!al #!e este, aparato lo decisivo para s! %!ncionaiento es la eoria,


49/109

p!esto #!e s! o-'etivo es el seno de la eoria a largo plao (MP) donde

precisaente se realia la sol!cin de pro-leas, la toa de decisiones " la

creacin de n!evos conociientos& Fi la in%oracin de la M9 se codi%ica "

organia coo copati-le con los conociientos alacenados en la MP&Entonces la in%oracin de la MP, en la c!al peranece por !n tiepo

inde%inido #!e p!ede ser -reve o !" largo $asta ser peranente&

o interesante " sing!lar del procediiento es la et=%ora de la eoria coo

!n ordenador, la ente $!ana posee !n control de entrada #!e selecciona la

in%oracin #!e pasa en la M9 " !n alac;n en la MP& a analog?a se $a

llevado an =s le'os, al a%irar #!e la ente $!ana posee incorporada

desde el naciiento " "a disp!esta para la accin, !na R1M (read onl"

eor"), es decir !na eoria solo de lect!raB&

os psiclogos act!ales del proceso, es la presentacin del pro-lea& Esta

representacin incl!"e 0 aspectosG

a) Estado inicial.$Fit!acin a-iental del individ!o-) Estado intermedio&H Inicio de la resol!cin de pro-lea+ El estado meta&H in -!scando para resolver pro-lea

D(9//.55. )( T(39 /(5+*.7).9 :/.85(39 @ .8=(-.9 :57-().9 (7 5 -(9*9

Qu es y que no es la resolucin de problemas?

En !c$os tetos al %inal de cada leccin $a" !na serie de es posi-le #!e se le

doinen a!n#!e es ipro-a-le #!e lo sean&

a priera caracter?stica de !n pro-lea es #!e no es !n e'ercicio r!tinario&a seg!nda caracter?stica, la resol!cin de pro-leas ate=ticos es !n proceso

!" cople'o #!e se p!ede generar conociientos de tipo prod!ctivo&


50/109

Estas estrategias, son procesos de -s#!eda s!aente prod!ctivas por#!e tienen

por o-'eto $allar n!evas estr!ct!ras conceptos ate=ticos adec!ados para

de%inir la representacin ental del pro-lea& Aclarada esta, por %in podeos "

seleccionar el tipo de c=lc!lo adec!ado para la e'ec!cin de la sol!cin&

inalente e%ect!ados las operaciones no de-er?aos terinar solo con la

resp!esta sino =s -ien, generando !n proceso de copro-acin de la sol!cin

de !na v?a alterna&

Fegn Descartes epresaG Cada pro-lea #!e resolv? se convirti en !na regla

#!e sirvi desp!;s para $acer otro pro-leaB& Al!diendo con ello !na tercera

caracter?stica !" iportante en la resol!cin de pro-leaO #!e consiste en #!e al

analiar la sol!cin de !n pro-lea con !na deterinada estr!ct!ra, estaos en

condiciones de a-arcar !na serie de pro-leas an=logos&

Una caracter?stica es !na relativa di%ic!ltad& o iportante de !n pro-lea es #!e

s! sol!cin constit!"e para el #!e aprende !na novedad #!e enc!entra desp!;s

de sortear !n o-st=c!lo& (1rton, A&+442& P=g&6)&

L9 :/(3*99 )(5 -(-. @ 94 9*?7*


51/109

9ratareos a$ora los conceptos ate=ticos coo !n eleento %!ndaental en la

resol!cin de pro-leas& En e%ecto, si !na persona no conoce los signi%icados de

los conceptos ate=ticos #!e el pro-lea re#!iere, di%?cilente podr=

resolverlos, a enos #!e posea !na gran capacidad anal?tica " se epe@e en

$acerlo, le ser= sencillo resolverlo, si conoce de anteano los conceptos

ate=ticos iplicados en el pro-lea&

En !na ocasin al preparar !n -anco de preg!ntas para eval!ar los conociientos

de pro%esores estatales de 791 grado se s!giri el sig!iente pro-leaGUn =r-ol de navidad enciende s! ciclo de l!ces cada /2 seg!ndos " !n

naciiento cada 07 seg!ndos& Fi se conectan por priera ve al iso tiepo

QCada c!=ntos seg!ndos se encender=n si!lt=neaenteSBa psicloga, #!e asesora-a la pr!e-a, pidi #!e se retirase por#!e ni ella lo pod?a

resolver& e t!ve #!e eplicar el concepto con ltiplo para #!e lo aceptara

coo !n pro-lea adec!ado para eval!ar la coprensin de dic$o concepto, #!e

por los de=s es !na nocin #!e de-e doinara todo pro%esor #!e pretenda

ense@ar ate=tica en 7to grado, sin ser genios, con solo $a-er entendido el

concepto de ?nio con ltiplo, a trav;s de !n e'eplo&

a ense@ana pro-le=tica tiene dos vertientes&

Una de ellas pretende ense@ar diversas t;cnicas " estrategias para resolver

pro-leas c!al#!iera #!e estos sean, ientras #!e la seg!nda pretende organiar

la clase en torno a !n pro-lea, reconociendo !na estr!ct!ra ate=tica eistente

en algn aspecto de !n concepto ate=tico&

Dice !n especialista de esta tendencia El desarrollo de los conceptos se eplica a

partir de las relaciones #!e se dan longit!dinalente " transversalenteB&


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Un concepto ad#!iere s! sentido en %!ncin de la !ltiplicidad a los c!ales

responde&

Para Fc$oen%eld (+42) la di%ic!ltad de de%inir el t;rino pro-leaB radica en#!e es relativoG !n pro-lea no es in$erente a !na tarea ate=tica, =s -ien es

!na relacin partic!lar entre el individ!o " la tarea& En este sentido, C$arna"

(+44/) dice #!e !n pro-lea p!ede verse coo !na terna sit!acinal!noH

entornoO es decir, el pro-lea se da solo si el al!no perci-e !na di%ic!ltad&

Ciertaente, lo #!e es !n pro-lea para !n individ!o p!ede no serlo para otro,sea por#!e est= totalente %!era de s! alcance o por#!e para el nivel de

conociientos del individ!o, el pro-lea $a de'ado de serlo Parra (+446, p&+/)&

En +47., en s! li-ro Mat$eatical Discover", Pol"a de%ine !n pro-lea coo

a#!ella sit!acin #!e re#!iere la -s#!eda consciente de !na accin apropiada

para el logro de !n o-'etivo claraente conce-ido pero no alcana-le de %ora

inediata&

arios (.666), !n pro-leaes !na sit!acin (real o $ipot;tica) #!e res!lta

pla!si-le al al!no desde s! p!nto de vista eperiencial " #!e invol!cra

conceptos, o-'etos ! operaciones ate=ticos, ientras #!e !n e'ercicio se re%iere

a operaciones con s?-olos ate=ticos nicaente (s!as, !ltiplicaciones,

resol!cin de ec!aciones, etc;tera)& En s?ntesis, !n e'ercicio se res!elve a trav;s

de procediientos r!tinarios #!e cond!cen a la resp!esta, el pro-lea eige el

desarrollo de !na estrategia para resolver la incgnita&

En los pro-leas no es evidente el caino a seg!irO incl!so p!ede $a-er varios&

Por tanto, !n pro-leaB es !na c!estin a la #!e no es posi-le contestar por

aplicacin directa de ningn res!ltado conocido con anterioridad, sino #!e para


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resolverla es preciso poner en '!ego conociientos diversos " -!scar relaciones

n!evas entre ellos&

Pol"a (+426)G resolver !n pro-lea es encontrar !n caino all? donde no seconoc?a previaente caino alg!no, encontrar la %ora de sortear !n o-st=c!lo,

conseg!ir el %in deseado, #!e no es conseg!i-le de %ora inediata, !tiliando los

edios adec!adosB, " Parra (+446, p& +)G a resol!cin de pro-leas se re%iere

a la coordinacin de eperiencias previas, conociiento e int!icin, en !n

es%!ero para encontrar !na sol!cin #!e no se conoceB&

En apo"o a estas ideas, De :!=n (.66*) sostiene #!e la resol!cin de

pro-leas en la ense@ana de las ate=ticastiene la intencin de transitir, de

!na anera siste=tica, los procesos de pensaiento e%icaces en la resol!cin de

verdaderos pro-leas& 9al eperiencia de-e peritir al est!diante activar s!

capacidad ental, e'ercitar s! creatividad " re%leionar so-re s! propio

aprendia'e (etacognicin) al tiepo #!e se prepara para otros pro-leas, con lo

#!e ad#!iere con%iana en s? iso&

Pol"a, a trav;s del li-ro Co plantear " resolver pro-leasB, introd!ce el

t;rino $e!r?sticaB para descri-ir el arte de la resol!cin de pro-leas& a

$e!r?stica trata de coprender el ;todo #!e cond!ce a la sol!cin de pro-leas,

en partic!lar lasoperaciones entales t?picaente tiles en este proceso (Pol"a,

+47, p& +6.)& Agrega #!e la $e!r?stica tiende a la generalidad, al est!dio de los

;todos, independienteente de la c!estin tratada " se aplica a pro-leas de

todo tipo&

Fegn Pol"a (+47, p& +4), para resolver !n pro-lea se necesitaG Coprender el

pro-leaG Qc!=l es la incgnitaS, Qc!=les son los datos " las condicionesS


54/109

Conce-ir !n planG Qconoce !n pro-lea relacionado con ;steS, Qconoce algn

teorea #!e le p!eda ser tilS, Qpodr?a en!nciar el pro-lea de otra %oraS, Q$a

epleado todos los datosS E'ec!cin del planG copro-ar cada !no de los pasos,

Qp!ede !sted ver #!e el paso es correctoS


55/109

I7>(9-*?+*.7(9 /(5*)9 :./ P.5@ (7 5 /(9.54+*67 )( :/.85(39&

En +4/, Pol"a en s! li-ro 5oJ to solve it, desarrolla !na serie de estrategias

iportantes en la resol!cin de pro-leas, con lo c!al potencia la constr!ccin de

!na n!eva etodolog?a en los procesos de ense@anaHaprendia'e de las

ate=ticas, En este li-ro, el a!tor propone c!atro pasos -=sicos para resolver !n

pro-lea, a sa-erG coprender el pro-lea, conce-ir !n plan, e'ec!tarlo "

eainar la sol!cin& En cada !no de estos pasos, segn Pol"a, el docente de-e

g!iar a s!s est!diantes con !na serie de preg!ntas, En la etapa de coprensin, el

docente de-e proponer !n pro-lea con !n nivel de di%ic!ltad adec!ado (ni !"

%=cil ni !" di%?cil), el c!al de-e ser ep!esto de %ora nat!ral e interesante para

el est!diante& En la etapa de conce-ir !n plan, el papel del docente radica en g!iar

al est!diante, a trav;s de preg!ntas, $acia !na estrategia para la sol!cin del

pro-lea -asada en eperiencias anteriores " conociientos previos, En lo #!e

respecta a la etapa de e'ec!cin del plan, es el est!diante #!ien eaina todos los

detalles " analia #!e los pasos realiados sean correctos (es iportante $acer

notar la di%erencia entre deostrar #!e !n paso es correcto a sipleente

copro-arlo)& inalente, en el c!arto paso, se lleva a ca-o !na visin

retrospectiva de la sol!cin con el o-'eto de veri%icar el res!ltado " el

raonaiento seg!idos, esto le perite al est!diante a%ianar s!s conociientos "

desarrollar aptit!des para resolver otros pro-leas&

a idea %!ndaental de este li-ro, es en s?ntesis, plantear !na serie de pasos para

resolver !n pro-lea, en donde se de%inen claraente el rol del est!diante " del

docente en cada !no de ellos& Es iportante se@alar, #!e a pesar del a-orda'e

e%ect!ado por Pol"a en las estrategias a seg!ir para la resol!cin de pro-leas,


56/109

;ste no o%rece !na de%inicin clara de lo #!e es !n pro-lea en el li-ro 5oJ to

solve it, ser= $asta +47+, con s! li-ro Mat$eatical Discover", en el c!al de%ine

!n pro-lea coo a#!ella sit!acin #!e re#!iere la -s#!eda consciente de !na

accin apropiada para el logro de !n o-'etivo claraente conce-ido pero no

alcana-le de %ora inediata& En otras pala-ras, !na sit!acin, c!antitativa o de

otra clase, a la #!e se en%renta !n individ!o o !n gr!po, #!e re#!iere sol!cin, "

para la c!al no se visl!-ra !n edio o caino aparente " o-vio #!e cond!ca a

la isa (Lr!liK " R!dniK, +426)& En el a@o +477, Pol"a -rinda !n n!evo aporte

signi%icativo a la ense@ana de la ate=tica, en partic!lar, a la resol!cin de

pro-leas con s! li-ro, Mate=ticas " raonaiento pla!si-le, p!es !estra

co la constr!ccin ate=tica p!ede ser aprovec$ada para s! ense@ana, es

decir, co las estrategias seg!idas por !n pro%esional en ate=tica, #!e Pol"a

denoina raonaientos pla!si-les p!eden peritirle a !n est!diante aprender

ate=ticas& Por otro lado, s! en%o#!e en el desarrollo de estrategias $e!r?sticas,

deliita claraente las condiciones #!e de-e tener !n pro-lea para generar !n

aprendia'e signi%icativo, p!es s!giere #!e !n pro-lea de-e peritirle al

est!diante rec!rrir a pro-leas an=logos, realiar con'et!ras, generaliar, entre

otras& En res!en, los tra-a'os de Pol"a al!den a las caracter?sticas -=sicas #!e

de-e presentar !n pro-lea, as? coo el ipacto cognitivo #!e genera la

resol!cin de pro-leas en los procesos de ense@anaHaprendia'e&

R(4*9*-.9 )( 47 84(7 :/.85(3


57/109

Para ense@ar -ien las $a-ilidades de resol!cin de pro-leas " raonaiento, los

pro%esores de-en contar con !n -anco de pro-leas -!enos& Un -!en pro-lea,

para propsitos de instr!ccin, tiene las sig!ientes caracter?sticasG

Es interesante " desa%iante para los al!nos& Re#!iere $a-ilidades de an=lisis cr?tico " o-servacin& Provee !na oport!nidad para disc!tir e interact!ar& Iplica la coprensin de conceptos " la aplicacin de !na $a-ilidad& De-iera llevar a !n principio "o generaliacin& Fe presta para !na variedad de sol!ciones, ", a veces, para ltiples resp!estas&

L9 (//3*(7-9 (9-/-J?*+9 :/ (7.92

Coo $eos visto, nos solo -asta el raonaiento, es necesario raonar aplicandolos conceptos ate=ticos asiilados& Coo ta-i;n $eos a%irado, !" a

en!do los conceptos asiilados a trav;s de !na -!ena -ater?a de pro-leas nos

periten identi%icar la sol!cin de !n pro-lea por siple raonaiento

analgico& Peo ta-i;n s!ele s!ceder #!e nos presentan pro-leas por siple

raonaiento analgico& Pero ta-i;n s!ele s!ceder #!e se nos presentan

pro-leas con n!evos conceptos ate=ticos, #!e a!n no conoceos

pro%!ndaente " #!e podeos eplorar a trav;s de ciertas $erraientas

estrat;gicas #!e se p!eden ser creadas por n!estra propia instit!cin pero ta-i;n

aprendidas a trav;s de la pr=ctica contina&A trav;s de la aplicacin de estas estrat;gicas, #!e nos a"!dan a sacar a la l! la

estr!ct!ra ate=tica de !n pro-lea n!evo, en el sentido de no conocido por

#!ien lo res!elve, podeos Ir =s all= de la in%oracin dadaB " llegar a in%erir

el dato #!e necesitaos para sol!cionar el pro-lea&Por tanto para en%rentar !n pro-lea n!evo, ade=s del concepto ate=tico "

de los c=lc!los de procediientos pertinentes de-eos tener a ano los

conociientos relativos a la aplicacin de $erraientas estrat;gicas generales, s!s

variados odelos " s!s diversos !sos&L9 /(?59 )( 5.9 :/.+()*3*(7-.9 :/ 5 (=(+4+*67 )( 5.9 5?./*-3.9


58/109

En n!estra opinin, los res!ltados #!e provienen del c=lc!lo algor?tico,

act!alente p!edan o-tenerse a trav;s del !so de la calc!ladora, de odo #!e no

es totalente iprescindi-le conocer los algoritos relativos a las operaciones

para resolver pro-leas, para lograrlo, es !c$o =s iportante conocer el

concepto de la operacin en s?, #!e la e'ec!cin del algorito& Fo-re la !tilidad

del aprendia'e del c=lc!lo algor?tico en la esc!ela $a" !n de-ate incl!so, $asta

#!e p!nto s! aprendia'e, eor?stico es %orativo&C!ando los escolares se dan c!enta #!e los algoritos no son nicos si no $a"

di%erentes opciones, tienen !na idea =s ca-al de las operaciones ate=ticas&

o iso s!cede c!ando aprenden a operar en -ase no deciales s!ar en -ase

c!atro les da !na idea !c$o =s aplia del signi%icado del algorito de la

adicin&Es !" %=cil escoger !na de%inicin de =ng!lo " eponerla con c!idado a los

al!nos, acopa@=ndola con !c$os e'eplos, con varios e'ercicios "

eperiencias practicasO pero ta-i;n es !" raro #!e '!nto con la eplicacin

ver-al, con el di-!'o " con la de%inicin de concepto " asiilado per%ecta "

r=pidaente&5a-iendo dado !na de%inicin de =ng!lo, por e'eplo, por priera ve en el a@o

+77*, en el tratado de Arna!d diceG =ng!lo es la parte de !n plano coprendida

entre dos seirrectas #!e tienen origen conBH Nos daos c!enta

inediataente #!e no $a" pro%esor #!e no tenga la desil!sin, tarde o teprano,de ver #!e !c$os al!nos a los #!e se les pida di-!'ar =ng!los =s grande #!e

otros, previaente dado, sipleente prolong!en los lados #!e $a-?an sido

dados coo segentos&El iso pro%esor al a@o sig!iente, para no caer en el iso error did=ctico,

piensa evitar a#!ella de%inicin #!e eige la consideracin de !na parte in%inita


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del plano " decide a-stenerse a la de%inicin #!e se reonta a E!clidesG =ng!lo

es la inclinacin rec?procas de dos seirrectas #!e tienen !n origen conB&L9 /(?59 :/ 5 :5*++*67 )(5 +5+45. 3(7-5 +.3. 5-(/7-*> 5 49. )(5

5?./*-3.2

Fin e-argo, en el a!la de clase nos conviene apres!rar la ense@ana de los

algoritos, $asta #!e el al!no p!eda racionalente asiilar los conceptos #!e

le sirven de -ase& En este sentido, en los prieros grados, el conociiento

oport!no del c=lc!lo ental perite resolverlos c=lc!los siples con celeridad,

sin necesidad de aplicar el algorito, el c=lc!lo ental #!e es !n procediientoental siple e int!itivo, nos perite, anticipaO !n res!ltado aproiado #!e

nos a"!da a copro-ar la sol!cin& 9ener por adelantado !n res!ltado aproiado

de la sol!cin nos a"!da a no coeter gr!esos errores " a destacar de anteano

res!ltados a-s!rdos&

U9. )(5 +5+45. 5?./;-3*+.2

Un algorito es la s!cesin de acciones #!e $a" #!e realiar para llegar a la

sol!cin de !n pro-lea& El algorito siepre arro'a !na resp!esta al pro-lea,

a!n#!e no siepre es e%ica, esto es de-ido a #!e alg!nos pro-leas est=n al

de%inidos&

C!ando se $ace !so del algorito, se considera siste=ticaente todos los

posi-les oviientos para lograr el propsito en algn p!nto&

8 U9. )( 5 H(4/;9-*+2

El ;todo $e!r?stica se -asa en el !so de principios generales, con alta pro-a-ilidad

de ;ito& En resol!cin de pro-leas el ;todo $e!r?stico perite $allar =s de

!na sol!cin& os $e!r?sticos son reglas pr=cticas ad#!iridas por la eperiencia "


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#!e g!?an en la -s#!eda de alternativas e%icientes en la sol!cin de pro-leas&

5ace #!e los ni@os "o est!diantes res!elven pro-leas siste=ticaente& a

$e!r?stica p!ede parecer r?gida, pero, de $ec$o, los pasos #!e se llevara a ca-o con

%lei-ilidad&El epleo del ;todo $e!r?stico s!ele ser =gil " es !" conocido por s! siilit!d

con la cond!cta #!e las personas evidencien c!ando en%rentan !n pro-lea, el

'!ego de a'edre es !n caso t?pico de pro-lea $e!r?stico& as sol!ciones son

variadas e in%initas %rente a los oviientos #!e se e'ec!tan al desarrollar el '!ego&

(9esisG Estrategias did=cticas& .66* ia)&

as estrategias nos periten trans%orar el pro-lea en !na sit!acin =s

sencilla " #!e sep

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