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“OBTENCIÓN DE LA CURVA DE CAPACIDAD PARA UN MARCO PLANO DE CONCRETO ARMADO MEDIANTE UN ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL” TESINA

1 ESPINOSA CAZARIN ERIC FERNANDO 2009

Contenido

Contenido ....................................................................................................... .1

Índice de Figuras ............................................................................................ .5

Índice de Tablas ............................................................................................. .8

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN .........................................................................10

1.1.-Planteamiento del problema ............................................................12

1.2.-Hipótesis ..........................................................................................13

1.3.-Objetivos ..........................................................................................14

1.4.-Justificación .....................................................................................14

Capítulo 2 MARCO TEÓRICO ......................................................................16

2.1- Conceptos Básicos de Sismología...................................................16

2.2.- Conceptos Básicos de Dinámica Estructural. .................................27

2.2.1.- Grados de Libertad ................................................................27

2.2.2.- Descripción y Ecuación de Equilibrio Dinámico .....................28

2.2.3.- Vibración Libre.......................................................................32

2.2.4.- Respuestas a Movimiento Del Terreno..................................35

2.2.5.- Respuesta Estructural ...........................................................35



2.2.6.- Amortiguamiento y Ductilidad ................................................36

Capítulo 3 MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN ..........................................39

3.1.- Concreto Simple. ............................................................................39

3.1.1.- Curva Esfuerzo-Deformación ................................................40

3.1.2.- Modelos Del Concreto. ..........................................................44

3.2. Acero De Refuerzo...........................................................................45

3.2.1.- Modelo Del Acero ..................................................................45

3.3.-Comportamiento Estructural Del Concreto Reforzado .....................46

Capítulo 4 MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO ............................................50

4.1.- Análisis Estático Lineal Equivalente o (ELF) ...................................50

4.2.- Análisis Dinámico Lineal. ................................................................51

4.3.- Análisis Dinámico No Lineal............................................................52

Capítulo 5 DISEÑO ESTRUCTURAL ............................................................54

5.1.- Diseño por Resistencia ...................................................................54

5.2.- Diseño Por Esfuerzos Admisibles ...................................................54

5.3.- Conceptos Básicos de Diseño por Desempeño. .............................55

Capítulo 6 ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL. .............................................58

6.1.- Limitaciones Del Análisis Lineal ......................................................58



6.2.-Importancia De La Relación Momento Curvatura M-φ.....................61

6.2.1.-Puntos Notables Del Diagrama De Momento Curvatura...............62

6.2.2.-Ecuaciones Empíricas Para El Cálculo Del Diagrama Momento-

Curvatura. .............................................................................................. .62

6.3.- Rótulas Plásticas ............................................................................65

6.3.1.-Estimacion De La Longitud De La Rótula Plástica..................68

6.3.2.- Zonas Potenciales de Aparición de Rótulas Plásticas. ..........69

6.4.- Aplicaciones De La Relación Momento-Curvatura..........................73

6.4.1.- Ductilidad Por Curvatura Local ..............................................73

6.4.3.- Redistribución De Momentos.................................................74

6.4.4.- Inercias Agrietadas ................................................................75

6.5.-Descripción general del proceso de análisis sísmico inelástico. ......76

Capítulo 7 TÉCNICA DEL PUSHOVER ........................................................78

7.1.-Curva de Capacidad ........................................................................79

7.2.- Distribución De Carga Lateral. ........................................................80

7.1.1.-Criterio 1: Modo Fundamental. ...............................................81

7.1.2.- Criterio 2: Modos Superiores .................................................81

7.2.-Desplazamiento Tope (target displacement)....................................82



7.3.-Curva de Deformación Plástica........................................................83

7.4.-Descripción General del Proceso de Cálculo ...................................85

7.5.- Análisis Estático No Lineal Pushover En SAP2000V14 ..................87

Capítulo 8 EJEMPLO DE APLICACIÓN ........................................................89

8.1.-Descripción General De La Estructura.............................................89

8.2.-Procedimiento para encontrar curva de Capacidad del marco por

medio del programa SAP 2000v14 .........................................................94

8.2.1.-Crear un Modelo .....................................................................94

8.2.2.-Definir y Asignar las Rótulas Plásticas. ..................................95

8.2.3.-Ubicación de la Rótula. .........................................................101

8.2.4.-Definir Patrones de Carga ....................................................103

8.2.5.-Resultados............................................................................109

Capítulo 9 CONCLUSIONES ......................................................................110

9.1 Conclusiones...................................................................................110

9.2.-Recomendaciones .........................................................................111

9.3.-Trabajos futuros .............................................................................112

Bibliografía ................................................................................................. .113

APÉNDICE A DISEÑO DE LAS RÓTULAS PLASTICAS (CD Anexo) ........117



APÉNDICE B FORMACIÓN DE LAS RÓTULAS PLÁSTICAS (CD ANEXO)

................................................................................................................... .118

Índice de Figuras

Figura 1.1 Mapa de Epicentros en Veracruz .................................................15

Figura 2.1.-Estructura interna de la tierra Tomada de www.smis.org.mx ......17

Figura 2.2.-Interación entre placas tectónicas ...............................................18

Figura 2.3.- Cinturón de fuego.......................................................................19

Figura 2.4.- Placas Tectónicas ......................................................................19

Figura 2.5.-Características de un sismo ........................................................20

Figura 2.6 Elementos de un sismo. ...............................................................21

Figura 2.7.-Tipos de ondas generadas por un sismo ....................................22

Figura 2.8.-Tipos de ondas generadas por un sismo ....................................22

Figura 2.9.-Nomograma para determinar la escala de Richter ......................26

Figura 2.10.-Grados de libertad Estáticos y Dinámicos.................................28

Figura 2.11.-Sistema simple con amortiguamiento viscoso...........................28

Figura 2.12.-Movimiento armónico simple .....................................................31

Figura 2.13.-Movimiento oscilante amortiguado ............................................34

http://www.smis.org.mx/



Figura 2.14 Desplazamientos contra resistencia ...........................................38

Figura 3.1.-Curva esfuerzo-deformación para un espécimen sujeto a carga

de corta duración.......................................................................................... .41

Figura 3.2 Efecto de la Edad .........................................................................42

Figura 3.3 Efecto de la Velocidad de Carga ..................................................42

Figura 3.4 Efecto de la Resistencia ...............................................................43

Figura 3.5 Velocidad de Deformación. ..........................................................43

Figura 3.6 Efecto de Esbeltez .......................................................................43

Figura 3.7.-Modelos del concreto no confinado.............................................44

Figura 3.8.-Modelos del Acero ......................................................................46

Figura 3.9.-Lazos de histéresis típicos de diferentes modalidades de concreto

estructural. (Moreno R 2006).........................................................................47

Figura 3.10.-Modelo tensión-deformación para carga monótonamente

creciente ....................................................................................................... .4

8

Figura 3.11.-Diagrama tensión deformación para el acero de refuerzo.........49

Figura 4.1.-Metodos de Análisis sísmico .......................................................53

Figura 6.1.-Diagrama Momento-Curvatura ....................................................59

Figura 6.2.-Diagrama Esfuerzo-Deformación real. ........................................59

Figura 6.3.-Efecto de acartelamiento.............................................................61



Figura 6.4.-Diagrama Momento-Curvatura ....................................................66

Figura 6.5.-Modelo Bilineal ............................................................................67

Figura 6.6.-Patrones de Rótulas en vigas .....................................................69

Figura 6.7.-Localización De Potenciales Rótulas Plásticas ...........................72

Figura 6.8.-Vigas Con Relocalización De Rótulas .........................................72

Figura 6.9.-Detalle De Rótulas Ubicadas Fuera De La Cara De La Columna.

..................................................................................................................... .72

Figura 6.10.-Modelo Trilineal .........................................................................73

Figura 7.1.-Curva De Capacidad ...................................................................80

Figura 7.2.-Generalización de la relación fuerza-deformación para una viga

de concreto donde domina la flexión. Tomada del FEMA 356 ......................84

Figura 8.1.-Planta Estructural. .......................................................................89

Figura 8.2.-Marco eje 2 en dirección Y ..........................................................90

Figura 8.3.-Armado de vigas niveles 1 a 3 ....................................................91

Figura 8.4.-Armado de vigas nivel 4 .............................................................91

Figura 8.5.-Armado de vigas nivel 5 ..............................................................92

Figura 8.6.-Armado de columnas ..................................................................92

Figura 8.7.-Modelo del marco en SAP 2000v14 ............................................95

Figura 8.8.-Pasos a seguir para definir las características de las rótulas ......95



Figura 8.9.-Definir propiedades de la rótula ..................................................96

Figura 8.10.-Material de la rotula...................................................................96

Figura 8.11.-Datos de las propiedades de la rótula .......................................97

Figura 8.12.-Propiedades de la rótula ...........................................................97

Figura 8.13.-Asignar Rótulas .......................................................................102

Figura 8.14.-Ubicación de rótulas en vigas y Columnas..............................102

Figura 8.15 Ubicación de Rótulas Plásticas en el Marco.............................103

Figura 8.16 -Casos de Carga ......................................................................104

Figura 8.17 .-Definir Casos de Carga. .........................................................104

Figura 8.18.-Datos del Caso de Carga ........................................................105

Figura 8.19 Patrón de Cargas Laterales......................................................106

Figura 8.20.-Control de la aplicación de carga no lineal..............................107

Figura 8.21.-Guardar Resultados ................................................................107

Figura 8.22.-Parámetros de caso no lineal. .................................................108

Figura 8.23.-Curva de Capacidad................................................................109

Índice de Tablas

Tabla 2.1 Escala de Mercalli .........................................................................24



Tabla 2.2.-Comparación entre la magnitud en intensidad de un sismo .........27

Tabla 2.3.-Valores recomendados para el amortiguamiento .........................37

Tabla 8.1 Momentos y Rotaciones en función de My y 99............................ ݕߠ

Tabla 8.2 Rotaciones Permisibles .................................................................99



Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

A través de la historia los ingenieros han tratado de entender el

comportamiento de la estructuras ante los efectos sísmicos. En México fue

en el año de 1985 después del sismo de la ciudad de México que la sociedad

entera fijó su atención en la ingeniería sísmica, debido a la gran cantidad de

edificios que colapsaron y que tuvo como consecuencia la pérdida de miles

de vidas.

En un principio sólo se estudio el comportamiento de los materiales de

la construcción en el rango elástico de acuerdo a la ley de Hooke 1635.

Entonces las estructuras únicamente se diseñaban para obedecer esta ley

sin tomar en cuenta el comportamiento más allá de ella, posteriormente se

empezó a estudiar las curvas de esfuerzo-deformación y se observó que en

materiales como el concreto los esfuerzo más importantes se encontraban en

la parte que está fuera del dominio de la ley de Hooke, a esta parte en la

cual los esfuerzos no son directamente proporcionales a las deformaciones

se le dio el nombre de estado no-lineal o estado plástico del material, hoy,

inclusive con este conocimiento se siguen analizando estructuras de

concreto basadas en un comportamiento lineal.

Hoy en día las estructuras se diseñan para soportar estados límites de

falla y de servicio además de ser económicas, seguras y aprovechar al

máximo las propiedades de los materiales de construcción. Es por esto que

es de suma importancia realizar análisis y diseños en base al estado

inelástico de los materiales ya que esta es la mejor manera de aprovechar

los materiales ante estas solicitaciones.

Existen diversos métodos para conocer el comportamiento inelástico

de una estructura como: el análisis no lineal dinámico el cual es muy



complejo para su aplicación, lo correcto sería utilizar el análisis no lineal

dinámico pero en vez de éste se utiliza el Análisis Estático No-Lineal (AENL)

el cual es un paso intermedio entre el análisis lineal elástico y el análisis no

lineal dinámico (Aguíar 2003).

Dentro del Análisis Estático No-Lineal (AENL) el más utilizado es el

“Pushover”, el cual permite determinar la capacidad de resistencia de la

estructura (diseñada previamente por cualquier código de construcción) y

compararla con la demanda posible ante un evento natural. La demanda

depende de diversos factores como la zona sísmica en la cual será

desplantado la estructura, el tipo de suelo, el tamaño e importancia de la

estructura. El (AENL) consiste primeramente en hacer actuar las cargas

gravitacionales en la estructura que producen deformaciones en ésta,

posteriormente se hacen actuar las cargas laterales; éstas se incrementan

de forma gradual hasta que se forma la primera rótula plástica y se presenta

una redistribución de rigidez de la estructura, esta metodología simula de

mejor forma lo que acontece en una estructura real, así se procede hasta

que la estructura llegue a la falla, es decir que se forme un mecanismo de

colapso. Con esto se obtiene una grafica que muestra dónde y en qué orden

se forman las rótulas plásticas en la estructura y la curva que muestra la

relación entre el cortante basal contra el desplazamiento en el nivel superior.

La realización del análisis Pushover es un método iterativo por lo cual

resulta conveniente la utilización de un software capaz de arrojar resultados

de forma rápida y eficiente. Además de que el manejo de la información

obtenida será más fácil. En la ingeniería estructural existen diversos

programas capaces de realizar el análisis “Pushover”, (DrainX, Staad Pro,

Ruaumoko) uno de los más famosos es el SAP2000 (Stress Analysis

Program).Por otra parte la Universidad Veracruzana cuenta con la licencia



oficial del software así éste trabajo servirá para los interesados en

profundizar sus conocimientos de dicho programa de cómputo.

1.1.-Planteamiento del problema

Los sismos se definen como sacudidas o movimientos bruscos del

terreno producidos en la corteza terrestre como consecuencia de la

liberación repentina de energía en el interior de la Tierra o a la tectónica de

placas. Esta energía se transmite a la superficie en forma de ondas sísmicas

que se propagan en todas las direcciones. Este es un fenómeno natural que

el hombre se ha preocupado por estudiar debido a que a lo largo de los años

ha causado innumerables pérdidas tanto humanas como económicas, es sin

duda estos dos factores por los cuales los ingenieros tratan de obtener la

mayor información acerca de los sismos.

Es por ello que se han desarrollado ciencias como la sismología que

estudia las causas que producen los terremotos, el mecanismo por el cual se

producen y propagan las ondas sísmicas, y la predicción del fenómeno

sísmico, pero, para los ingenieros estructurales, es de mayor importancia

definir y calcular las acciones que el movimiento sísmico aporta a la

estructura.

Una estructura debe cumplir la función para la que está destinada con

un grado razonable de seguridad y de manera que tenga un comportamiento

adecuado en las condiciones normales de servicio (Gonzáles O. 2005).

Además debe ser capaz de soportar efectos sísmicos con el objetivo

primordial que es salvar vidas ante sismos severos

Los ingenieros dedicados al análisis y diseño estructural se enfrentan

a retos importantes debido a que en la ingeniería estructural muchas veces

más de una solución es la correcta y lo importante es decidir cuál solución es



la que se apega al problema que se tiene. Idealmente el objetivo del diseño

de un sistema es la optimización del sistema, es decir la obtención de la

mejor de todas las soluciones posibles.

Por otra parte los métodos de análisis sísmico prescrito por los

reglamentos de diseño y empleados en la práctica son generalmente muy

simplificados y recurren a idealizaciones de la acción sísmica mediante

sistemas de fuerzas estáticamente equivalentes (Marcial 2008).

En los últimos años se ha observado que aunque las estructuras

llegan a cumplir satisfactoriamente su cometido de resistir los efectos

sísmicos severos, tienden a sufrir daños por sismos de menor magnitud para

los cuales fueron diseñados, sufriendo daños tanto estructurales como no

estructurales, los cuales necesitan ser reparados o rehabilitados y por lo

tanto hacen que sus propietarios pierdan grandes cantidades de dinero

durante el tiempo en que la estructura no podrá ser ocupada.

Además que se han registrado sismos como el del 6 de abrí de 2009

en Italia en la ciudad de L’Aquila donde un gran número de estructuras

colapsaron y se puso en evidencia a los códigos de construcción actuales.

Debido a estas experiencias es que en los últimos años la tendencia en el

análisis y diseño sísmico se están basando en el comportamiento esperado o

desempeño que las construcciones tienen ante los diferentes sismos a los

cuales son sometidos en su vida útil.

1.2.-Hipótesis

Aplicando un análisis estático no-lineal “Pushover” a un marco de

concreto reforzado diseñado por las NTC-04, que forma parte de una

estructura tipo B en la ciudad de Veracruz, la estructura tendrá una

respuesta global aceptable



1.3.-Objetivos

• Obtener la respuesta global de un marco de concreto reforzado

diseñado por las NTC-04

• Utilizar el programa de computo SAP2000v14 en la realización de este

proyecto.

• Obtener los niveles de daños en el marco según la reglamentación del

FEMA 356

• Difundir la importancia del Análisis Estático no lineal, como un método

confiable en el análisis y diseño sismo resistente.

1.4.-Justificación

A lo largo de los años en el estado de Veracruz se han presentado

una gran cantidad de sismos figura 1.1, como lo denotan los trabajos de

investigación “catálogo de sismos históricos para el estado de Veracruz

(1523-1912)” y el “catálogo sísmico instrumental del estado de Veracruz

(1910-2008)” (Hernández 2007) y (Pérez .S 2008) respectivamente. Estos

trabajos no pretenden alarmar a la población por el contrario tratan de

concientizar a los ingenieros civiles sobre la constante actividad sísmica en

nuestra entidad a lo largo de la historia.

Debido a la importancia tanto económica como turística que tiene el

Estado de Veracruz, es importante conocer la confiabilidad ante efectos

sísmicos en las estructuras, que están en funcionamiento y en las que están

próximas a construirse.

Por eso es necesaria la introducción de las nuevas filosofías de diseño

sísmico en nuestra entidad de las cuales se tiene poca información hasta el

momento, y el análisis estático no lineal, es el soporte de varias

metodologías que se han propuesto para encontrar la respuesta sísmica de



una edificación y dentro de este análisis la determinación de la curva de

capacidad resistente, es la base del análisis (Aguíar 2003)

Figura 1.1 Mapa de Epicentros en Veracruz

Tomado de “Catálogo de sismos instrumentales 1910-2008”

investigación realizada en el instituto de ingeniería de la Universidad

Veracruzana región Veracruz por Sara Pérez Torres y auspiciada por Fondos

mixtos CONACYT, gobierno del estado de Veracruz (FOMIX) y forma parte

del proyecto “Propuesta de zonificación sísmica para el estado de Veracruz”

(2007-2009), Clave 32675



Capítulo 2 MARCO TEÓRICO

2.1- Conceptos Básicos de Sismología

Es importante definir algunos de los términos que se estarán

manejando dentro de este documento, por lo tanto comenzaremos por definir

algunos conceptos básicos acerca del análisis y diseño sísmico.

La Sismología es la ciencia que estudia las causas que producen los

terremotos, el mecanismo por el cual se producen y propagan las ondas

sísmicas, y la predicción del fenómeno sísmico.

El conocimiento actual acerca del interior de la Tierra es resultado de

numerosos estudios científicos, en su mayoría basados en la propagación de

las ondas sísmicas a través del propio material terrestre. De esta manera ha

sido posible determinar su composición y dividirla en varias capas

concéntricas; del exterior al interior, son:

• Núcleo, con un radio de 3470 Km., constituido por núcleo interior y

núcleo exterior, formado por hierro fundido, mezclado con pequeñas

cantidades de níquel, sulfuros y silicio.

• Manto, con un espesor de 2900 Km, y está dividido en manto inferior,

manto superior, y zona de transición.

• Corteza o Litosfera, es la capa exterior de la Tierra, es de elevada

rigidez (roca) y anisotropía, sabemos que es de espesor variable, que

en algunos casos puede ser de 60 Km., en los continentes las

formaciones son graníticas, y basálticas en los fondos oceánicos



Figura 2.1.-Estructura interna de la tierra

Los sismos se producen debido al calor interno de la tierra, que

provoca el movimiento de las placas tectónicas en la superficie.

En el año de 1912 se planteó que las doce grandes zonas de la

corteza terrestre denominadas placas tectónicas (secciones rígidas de la

litosfera que se mueven como una unidad sobre el material de la astenósfera

la capa más plástica que está debajo) están en continua modificación, y que

los continentes se han formado a partir de uno único llamado Pangaea.

Los movimientos de deriva continental son los que han dado lugar a la

formación de los actuales continentes a partir de la Pangaea (Marcial 2008)

• Subdución: ocurre cerca de las islas, donde dos placas de similar

espesor entran en contacto entre sí.

• Deslizamiento: se produce cuando entran en contacto dos placas

oceánicas, o bien una continental y una oceánica



• Extrusión: este fenómeno ocurre cuando se juntan dos placas

tectónicas delgadas que se desplazan en direcciones opuestas, es el

caso del contacto de dos placas del fondo del océano.

• Acrecencia: tiene lugar cuando hay un impacto leve entre una placa

oceánica y una continental

Figura 2.2.-Interación entre placas tectónicas

Las principales zonas sísmicas del mundo coinciden con los contornos

de las placas tectónicas y con la posición de los volcanes activos de la Tierra,

tal como puede verse en la figura 2.3. Esto se debe al hecho de que la causa

de los terremotos y de las erupciones volcánicas está fuertemente

relacionada con el proceso tectónico del Planeta



Figura 2.3.- Cinturón de fuego

Figura 2.4.- Placas Tectónicas

Los terremotos pueden definirse como movimientos caóticos de la

corteza terrestre, caracterizados por una dependencia en el tiempo de

amplitudes y frecuencias. Un terremoto se produce debido a un choque

producido a una cierta profundidad bajo la superficie terrestre en un

determinado punto llamado foco o hipocentro (figura 2.5). A la proyección del



foco sobre la superficie terrestre se le denomina epicentro. En la figura 2.5 se

señalan algunas distancias relacionadas con el fenómeno sísmico, tales

como la distancia epicentral D1 o D2, la distancia focal R y la profundidad

focal H.

Figura 2.5.-Características de un sismo

El fenómeno tectónico origina tres tipos de ondas (figura 2.7): de

compresión o longitudinales, corte o transversales y superficiales. Las

primeras viajan a grandes velocidades (5,800 m/s. en granito) y alcanzan la

superficie antes que las demás. También se denominan ondas "P" (primary

waves, P-waves).

Las ondas P son de dilatación contracción, su propagación implica

cambios de volumen en el medio, y se propagan tanto a través de sólidos

como de fluidos.

Las ondas de corte no viajan tan rápido como las anteriores (3,000

m/s. en granito) a través de la corteza terrestre y alcanzan la superficie

después que las ondas de compresión. Son conocidas también como ondas

"S" (secondary waves, S-waves). Las ondas "S" no afectan al material que se

encuentra en su trayectoria, desplazan al mismo en ángulos rectos a su



pendiente. Aunque su velocidad es menor que la de las ondas "P", la energía

que transmiten es mayor y causan mayor daño a las estructuras.

Las ondas S son de cortante y solamente se propagan a través de

sólidos sin variaciones de volumen.

Figura 2.6 Elementos de un sismo.

El tercer tipo de ondas puede o no formarse durante el fenómeno

sísmico; son las ondas superficiales (Raleigh waves, R-waves; love waves, L-

waves). Su velocidad de transmisión en granito es de 2,700 m/s. y su llegada

ocurre siempre después de la de los dos primeros tipos de onda



Figura 2.7.-Tipos de ondas generadas por un sismo

Figura 2.8.-Tipos de ondas generadas por un sismo



La fuerza de un sismo es un término que generalmente abarca la

percepción humana de la intensidad y magnitud del fenómeno sísmico.

Intensidad es la medida cualitativa de la severidad del movimiento sísmico

del suelo en un sitio específico. Los valores de la intensidad se derivan de

factores subjetivos tales como la percepción humana, daños en edificios, etc.

Escalas como la Rossi-Forel, MSK y la de Mercali Modificada (usada con

mayor frecuencia) proveen valores para cuantificar esta característica. La

última de estas escalas es una escala cualitativa arbitraria asociada al poder

destructivo del terremoto. Esta escala tiene doce grados (Tabla 2.1) y la

mayoría de los sismos ocurren entre el grado VI y VIII. Gracias a la escala

anterior pueden generarse mapas donde se refleja la intensidad del

fenómeno en una región determinada. Estos mapas son denominados

mapas isosísmicos y en ellos se dibujan las curvas que unen locaciones con

la misma intensidad registrada del fenómeno.



Intensidad Efectos observados durante el terremoto

I No percibido excepto por muy pocas personas bajo circunstancias muyfavorables.

II Sentido por muy pocas personas en descanso, especialmente poraquellas en los pisos superiores de los edificio. Objetos suspendidos delicadamente pueden moverse.

III Percibido sin alarma por personas en interiores, especialmente en pisossuperiores de edificios. Muchas personas no logran identificar el fenómeno como un sismo ya que es parecido a las vibraciones causadas por el paso de camiones pesados. Los vehículos estacionados pueden mecerse un poco.

IV Durante el día es percibido en interiores por todos y en exteriores por sólounos cuantos. En la noche algunas personas son despertadas. Platos, ventanas, puertas dañadas; las paredes pueden crujir. Se tiene la sensación de que un vehículo pesado se impactó en el edificio. Los vehículos estacionados se mecen apreciablemente.

V Sentido por casi todos; muchas personas pueden despertarse. Algunosplatos y ventanas rotas, los objetos inestables se caen y los péndulos de los relojes pueden detenerse.

VI Sentido por todos, genera pánico. Algunos muebles pesados se mueven.Produce daños ligeros como la caída de yeso, tirol o recubrimientos.

VII Daño mínimo en edificios de buen diseño y construcción; daño ligero amoderado en estructuras ordinarias bien construidas; daño considerable en estructuras pobremente construidas. Alguna chimeneas se rompen.

VIII Daño ligero en estructuras especialmente diseñadas; daño considerableen edificios ordinarios, con derrumbes parciales; daño extremo en estructuras pobremente construidas. Caída de chimeneas, muebles pesados, monumentos, muros, columnas.

IX Daño considerable en estructuras especialmente diseñadas; estructurasbien diseñadas pierden plomeo. Gran daño en edificios y colapso parcial de los mismos. Edificios separados de su cimentación.

X Son destruidas algunas estructuras de madera bien construidas; lamayoría de estructuras de mampostería y estructuras formadas por marcos y sus cimentaciones, destruidas. Rieles doblados.

XI Pocas, quizá ninguna, estructuras de mampostería permanecen en pie.Puentes destruidos y rieles deformados considerablemente.

XII Daño total, líneas de nivel distorsionadas. Los objetos son arrojados alaire.

Tabla 2.1 Escala de Mercalli

ܣ



La magnitud de un sismo es la medida cuantitativa del tamaño del

sismo asociada indirectamente a la energía liberada lo cual la hace

independiente del lugar de observación. Es calculada a partir de la medición

de la amplitud de la onda de aceleración en acelerogramas (es una

representación de las aceleraciones registradas en el terreno en función del

tiempo) y es en una escala logarítmica expresada en números ordinales con

decimales. En 1935, Charles F. Richter desarrolló la escala que lleva su

nombre y en la cual se determina la magnitud del sismo en base al logaritmo

de la amplitud de onda registrada en el sismógrafo. Aunque esta escala no

tiene un límite superior, los sismos de mayor magnitud hasta ahora

registrados han sido de 8.7 y 8.9 grados en esta escala.

La magnitud en esta escala (M) es calculada utilizando la siguiente

ecuación:

Donde:

ܣ ��ൌ ܯ ଵ ൬

൰ … … 2.1

.Amplitud máxima registrada por el sismógrafo =ܣ

Amplitud de sismo estándar (de calibración), típicamente 0.001 =ܣ

La ecuación anterior asume que hay una separación de 100 km. entre

el epicentro y el sitio donde se localiza el sismógrafo. Para otras distancias,

el nomograma de la figura 2.9 debe de utilizarse como se describe a

continuación:

Determinar el tiempo de arribo entre las ondas "P" y "S".

• Determinar la máxima amplitud de oscilación.

• Unir con una recta en el monograma los dos valores obtenidos

anteriormente.

Leer la magnitud de Richter en la columna central del nomograma y la

distancia que separa el epicentro del sismógrafo en la columna izquierda.

Figura 2.9.-Nomograma para determinar la escala de Richter

Richter (magnitud) Mercalli Modificada

(intensidad)

1 --

2 I, II

3 III

4 IV, V

5 VI, VII

6 VIII

7 IX, X

8 XI

Tabla 2.2.-Comparación entre la magnitud en intensidad de un sismo

2.2.- Conceptos Básicos de Dinámica Estructural.

2.2.1.- Grados de Libertad

Desde el punto de vista dinámico, interesan los grados de libertad en

los que se generan fuerzas generalizadas de inercia significativas; es decir,

fuerzas iguales a masa por aceleración o momento de inercia por aceleración

angular. Por ejemplo en la figura 2.10, se muestra un marco que tiene 12

grados de libertad estáticos. Sin embargo, si las fuerzas de inercia

importantes son solamente las que generan las masas m1 y m2 al moverse

lateralmente y las deformaciones de los pisos en su plano son despreciables,

tenemos un sistema de dos grados de libertad dinámicos, que son

precisamente los desplazamientos laterales 1 y 2 en la figura aludida.

Figura 2.10.-Grados de libertad Estáticos y Dinámicos

2.2.2.- Descripción y Ecuación de Equilibrio Dinámico

Considérese el sistema mostrado en la figura 2.11, el cual representa

solo un grado de libertad, el sistema simple está constituido por una masa,

un resorte y un amortiguador.

Figura 2.11.-Sistema simple con amortiguamiento viscoso

Cuando el sistema está sujeto a un movimiento de su base, definido

por una historia de desplazamientos, la , o de aceleraciones del suelo ,

masa entrará en oscilación y se generarán sobre ella tres tipos de fuerzas:

a) La fuerza de inercia que, de acuerdo con el principio de D’Alambert

es proporcional a la masa y a la aceleración total que ésta sufre �ݑ ; esta

última es igual a la suma de aceleraciones del terreno ݑ, más la de la masa

relativa al terreno, ü.

��ൌ ��ܨ . …… �ݑ2.2

b) La fuerza que se genera en la columna por su rigidez lateral al tratar

de ser desplazada con respecto al terreno. Suponiendo que la respuesta de

la columna se mantiene dentro de un intervalo lineal, dicha fuerza será igual

al producto del desplazamiento relativo de la masa con respecto al suelo, por

la rigidez lateral de la columna

��ோ�� ൌܨ . … … ݑ .2.3

c) La fuerza de amortiguamiento que trata de restablecer el equilibrio

de la estructura en vibración. Esta fuerza puede considerarse proporcional a

la velocidad de la masa con relación al suelo; al factor de proporcionalidad se

le llama coeficiente de amortiguamiento

��ൌ ܨ . … … ݑ2.3

La ecuación de equilibrio dinámico se escribe como:

… ோ�� ൌ�� 0ܨ ܨ ��ܨ… .2.4

Sustituyendo

�ݑ ൌ�� 0 … … .2.5 ݑ ݑ

El punto sobre una cantidad significa derivación con respecto al

tiempo. Considerando que

�ݑ ൌ�� ݑ ݑ … …. .2.6

Donde

.aceleración del terreno=ݑ

.aceleración relativa del terreno=ݑ

�ݑ �ൌ�� ൌ ݑ ݑ … ݑ … 2.7

Dividiendo entre m

ቀ ݑ ቁ ݑቀ

ቁݑ ൌ�� ൌ�

ݑ… … . .2.8

Las dos constantes c /m y k /m, representan conceptos relacionados

con la vibración libre del sistema (la que corresponde al caso ݑ ൌ�� 0 ).

De ellas,

ൌ�� ଶ … …

2.9

ó

� ൌ�� ඥ / … … .2.10

En donde ω es la frecuencia circular del sistema no amortiguado, o

sea aquella con la que oscila éste cuando se le impone un desplazamiento y

se le suelta. Cuando el amortiguamiento es nulo el sistema describe un

movimiento armónico simple, con la frecuencia mencionada y con período

(figura 2.12) igual a:

ൌ�� ଶగ ൌ�� 2ߨඥ / … … 2.11

ఠ

Figura 2.12.-Movimiento armónico simple

El amortiguamiento representa la disipación de energía que la

estructura realiza principalmente debido a fricción interna de los materiales y

a rozamiento entre los componentes de la construcción; este

amortiguamiento reduce las oscilaciones. En vibración libre se define como

amortiguamiento crítico aquel para el cual el sistema, después de

desplazado, volvería a su posición de reposo sin oscilar. Esté equivale a:

√ൌ�� 2 ܥ 2.12. … … כ

Por lo tanto, la constante de amortiguamiento puede expresarse como

una fracción del crítico en la forma;

��ൌ ߝ ൌ�� … … 2.13ܥ 2√ כ

√ 2 כ ��ൌ כ ඨ

ൌ�� … … 2.14

2��ൌ ߝ … … .2.15

כ כ 2 �

Por otra parte

ൌ�� 2 2.16. … … ߝ כ �כ

La ecuación diferencial (2.7) se puede escribir como:

2 ݑ � ݑߝ . … … ݑ�ൌ�� ൌ ݑ �ଶ .2.17

ω se denomina frecuencia circular natural del sistema, Ccr se conoce

como amortiguamiento crítico, que usualmente se expresa como porcentaje.

De las definiciones de ω y Ccr deducimos que ܥ ൌ�� 2 �, lo cual

muestra

que el amortiguamiento crítico está relacionado con la frecuencia

fundamental de vibración.

2.2.3.- Vibración Libre

El sistema descrito anteriormente vibra libremente cuando la masa se

mueve, pero el terreno permanece inmóvil y no actúan fuerzas exteriores, en

este caso el segundo miembro de la ecuación (2.17.) se anula:

ൌ�� 0 … … .2.18 ݑωଶ ݑ2ωε ݑ

Y su solución es:

�ܣ ��ሻ ൌݐሺݑ ఌఠ௧ cos � ሺݐ ൌ� ߛሻ … … .2.19

Donde:

ଶ … … .2.20ߝ �ൌ�� ඥ1 ൌ �

frecuencia amortiguada del sistema= �

A y ߛ son constantes que dependen de las condiciones iniciales, es

decir, del desplazamiento y la velocidad cuando t=0

Cuando no existe amortiguamiento ሺߝ ൌ�� 0ሻ se dice que la masa

tiene un movimiento armónico, la ecuación (2.18) queda como:

ൌ�� 0 ݑ �ଶ ݑ … … 2.21

Y la solución es:

ሻ … … .2.22ߛ �ൌ ݐcos � ሺ ܣ ��ሻ ൌݐሺݑ

El tiempo t que dura un ciclo de oscilación completo, se llama periodo

de vibración natural del sistema y es igual a

ߨ2… … .2.23

�

Por otro lado si el amortiguamiento es igual al crítico ሺߝ ൌ�� 0ሻ

encontramos que ሺ� ൌ�� 0ሻ, por lo tanto:

�ܣ ��ሻ ൌݐሺݑ ఌఠ௧ … … .2.24

Indicando que la masa se mueve sin oscilar y vuelve a su posición de

equilibrio estático, u = 0 luego de un tiempo infinito.

En el análisis de edificios es de mayor interés el caso de

amortiguamientos menores que el crítico para el cual, si el desplazamiento y

la velocidad de la masa en el instante t = 0, valen respectivamente ݑ y ݑ ,

obtenemos:

�ܣ ��ሻ ൌݐሺݑ ఌఠ௧ ሺ൜ߝ ݑݑ� ሻ

ሺୱన୬ ఠ�௧ሻఠ�

ൠ … … .2.25ݐ � cos ݑ

Esta ecuación describe movimiento oscilante de la masa con

frecuencia ωa y con amplitud exponencialmente decreciente como se ilustra

en la figura 2.13

Figura 2.13.-Movimiento oscilante amortiguado

El período amortiguado ൌ�� ଶగ ఠ�

, es el tiempo que tarda un ciclo

completo de oscilación, y es una propiedad de la estructura independiente de

cómo se la excite.

Normalmente, el amortiguamiento de estructuras de edificios no

excede del 10 % del crítico, o sea que típicamente ߝ es menor que 0.1.

Aun para este límite relativamente alto, la ecuación (2.25) da � ൌ��

0.995�; de

aquí se determina que en casos prácticos la influencia del amortiguamiento

en la frecuencia de vibración es pequeña, siendo su efecto más importante

disminuir la amplitud de dicha vibración conforme avanza el tiempo, según lo

expresa el término exponencial de la ecuación (2.25) y se ilustra en la figura

2.13

2.2.4.- Respuestas a Movimiento Del Terreno

El segundo término de la ecuación (2.17) describe como varia la aceleración

del terreno con el tiempo y se conoce como acelerograma. En textos de

dinámica estructural se muestra que, cuando tal término no es nulo, la

solución de la ecuación aludida es:

ሻݐሺݑൌ��

1

ሻݐሺ � ݔ ሼ �ߝ ሺݐ ൌ� �ሻሽ sin � ሺݐ ൌ� �ሻ�

… … .2.26

Esta expresión hace ver que, como en el caso de vibraciones libres, las dos

propiedades de un sistema de un grado de libertad que determinan su

respuesta ante un movimiento prescrito del terreno son su frecuencia natural

y su fracción de amortiguamiento crítico. La velocidad y la aceleración de la

masa se calculan derivando sucesivamente ݑሺݐሻ con respecto al tiempo,

y otras respuestas de interés, como la fuerza en el resorte, se pueden

obtener en términos del desplazamiento y sus derivadas. Para fines de

diseño, interesan normalmente sólo los valores

máximos absolutos de tales respuestas.

2.2.5.- Respuesta Estructural

En el caso del análisis sísmico, el método preferido para obtener el

diseño de una estructura es mediante el espectro de respuesta porque esta

función representa todos los movimientos telúricos que pueden presentarse

en la región en donde se construirá la estructura dentro de un periodo de

retorno razonable.

El espectro de respuesta se define como una gráfica de la máxima

respuesta de un oscilador a la aceleración del suelo, graficada en función de

la frecuencia natural y el amortiguamiento del oscilador, por lo que el

espectro de respuesta de diseño es una envolvente de la máxima

aceleración con su correspondiente frecuencia que puede ocurrir en una

región determinada.

2.2.6.- Amortiguamiento y Ductilidad

Se dice que un sistema estructural es dúctil si es capaz de sufrir

deformaciones considerables bajo carga aproximadamente constante, sin

padecer daños excesivos o pérdidas de resistencia por aplicaciones

subsecuentes de carga (Rosenblueth E. 1992). Esta definición relaciona la

ductilidad con el amortiguamiento ya que éste es naturalmente dependiente

del nivel de deformación o esfuerzo en una estructura. Según lo expuesto en

el punto 2.1.2 de este documento el amortiguamiento crítico solo pude variar

en un 10% contrario a esta afirmación en la tabla 2.3 siguiente se exponen

algunos valores recomendados para el amortiguamiento crítico propuestos

por (Rosenblueth E. 1992)

Nivel de esfuerzos Tipo y condición de la estructura Porcentaje de amortiguamiento

críticoEsfuerzo de trabajo, no más de aproximadamente0.5 del esfuerzo de fluencia

a) Tubería o equipo muyimportante

1 a 2

b) Acero soldado, concreto presforzado, concreto adecuadamente reforzado(solo con grietas ligeras)

2 a 3

c) Concreto reforzado agrietadoconsiderablemente

3 a 5

d) Acero remachado o atornillado, estructuras de madera con juntasclavadas o atornilladas

5 a 7

En o justamente por debajo del esfuerzo de fluencia

a) Tubería o equipo muy importante

2 a 3

b) Acero soldado, concreto presforzado (sin pérdidacompleta del presfuerzo)

5 a 7

c) Concreto presforzado cuando se ha perdidototalmente el presfuerzo

7 a 10

d) Concreto reforzado 7 a 10

e) Acero remachado o atornillado, estructuras demadera juntas atornilladas

10 a 15

f) Estructuras de madera con juntas clavadas

15 a 20

Tabla 2.3.-Valores recomendados para el amortiguamiento

El comportamiento dúctil significa la habilidad de soportar grandes

deformaciones inelásticas, mientras la resistencia se mantiene esencialmente

constante.

Figura 2.14 Desplazamientos contra resistencia

A=Punto real de fluencia

B=Nivel efectivo de fluencia

C=Límite elástico efectivo

D=Resistencia real.

ߤ ��ൌ ௬ … … 2.27

Durante la respuesta de un sistema a un sismo intenso, el máximo

desplazamiento relativo D excederá de la deformación de fluencia Uv,

mientras que la máxima fuerza lateral permanecerá con el valor de la

fluencia, si se desprecian los efectos P-∆. Se dice que ocurre la falla si la

demanda de ductilidad D/Uy es mayor que la ductilidad disponible ߤ.

Capítulo 3 MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN

En la rama de la construcción se emplean una amplia gama de

materiales. En el análisis y diseño estructural los más utilizados son: el acero,

el concreto, la mampostería y la madera. Aunque en años recientes éste

último material a caído en desuso debido a las políticas ambientales que

pretenden conservar los bosques y a su capacidad como comburente lo cual

pone en peligro las estructuras construidas con este material.

Para los ingenieros estructurales es de vital importancia conocer las

características de cada uno de los materiales de construcción, determinar los

esfuerzos máximos así como su comportamiento ante diferentes niveles de

carga, estas características se pueden determinar por medio de la gráficas

de esfuerzo deformación, para finalmente determinar si los materiales con los

cuales están construidos los elementos estructurales son capaces de resistir

los esfuerzos a los que estarán sometidos.

3.1.- Concreto Simple.

El concreto es un material pétreo, artificial, obtenido de la mezcla, en

proporciones determinadas, de cemento, agregados y agua. El agua y el

cemento forman una pasta que rodea a los agregados, constituyendo un

material heterogéneo. También se pueden añadir aditivos que mejoran o

modifican las propiedades del concreto.

El valor del peso volumétrico es una característica que debe tomarse

en cuenta. Su valor oscila entre 1.9 y 2.5 ton/m3, algunos reglamentos como

el del distrito federal definen dos clases de concreto en función de su peso

volumétrico: clase 1, que tiene un peso volumétrico en estado fresco superior

a 2.2 ton/m3, y clase 2, cuyo peso volumétrico está comprendido entre 1.9 y

2.2 ton/m3. (González O. 2005)

El concreto simple, sin refuerzo, es resistente a la compresión, pero es

débil en tensión, lo que limita su aplicabilidad como material estructural. Para

resistir tensiones se emplea refuerzo de acero. El acero restringe el

desarrollo de grietas originadas por la poca resistencia a la tensión del

concreto. También el acero es utilizado en zonas de compresión para

aumentar la resistencia del elemento reforzado. Es decir proporcionar mejor

confinamiento al concreto. (Gonzales O. 2005)

3.1.1.- Curva Esfuerzo-Deformación

Las curvas esfuerzo-deformación se obtienen del ensaye de prismas

sujetos a carga axial repartida uniformemente en la sección transversal

mediante una placa rígida. Los valores del esfuerzo resultan de dividir la

carga total aplicada, P, entre el área de la sección transversal del prisma, A,

y representan valores promedio obtenidos bajo la hipótesis de que la

distribución de deformaciones es uniforme y de que las características

esfuerzo-deformación del concreto son constantes en toda la masa. El valor

de la deformación unitaria, %, es la relación entre el acortamiento total, a, y

la longitud de medición, figura 3.1 (González O. 2005)

Figura 3.1.-Curva esfuerzo-deformación para un espécimen sujeto a carga

de corta duración

Además de la grafica de esfuerzo deformación existen otras graficas

que relacionan al concreto con los siguientes fenómenos: efecto de la edad

del espécimen figura 3.2, la velocidad de aplicación de la carga 3.3, efectos

de la resistencia figura 3.4 efectos de la velocidad de deformación figura 3.5,

efecto de esbeltez figura 3.6 (González O. 2005)

Por otro lado existen pruebas como la prueba triaxial, en la cual se

puede observar que la resistencia del concreto aumenta considerablemente

al aplicar un esfuerzo de confinamiento al concreto.

Y la prueba a la resistencia a la tensión y la prueba brasileña que son

poco comunes debido a la poca resistencia que el concreto presenta ante

éste fenómeno.

Figura 3.2 Efecto de la Edad

Figura 3.3 Efecto de la Velocidad de Carga

Figura 3.4 Efecto de la Resistencia

Figura 3.5 Velocidad de Deformación.

Figura 3.6 Efecto de Esbeltez

3.1.2.- Modelos Del Concreto.

De las diferentes curvas esfuerzo deformación que se han obtenido

algunos investigadores han propuesto modelos simplificados de estas

curvas.

En la figura 3.7 (Aguíar 2003), se presentan tres modelos para el

concreto no confinado, el de la izquierda es el modelo de Jensen o bloque

trapezoidal, el de la mitad es el modelo de Hognestad (1955) y el de la

derecha el bloque rectangular del ACI o de Whitney (1942).

Este último se utiliza para el diseño por ser un modelo conservador y

sencillo para encontrar la resultante de la fuerza a compresión: el valor de

β1=0.85 para concretos con una resistencia a la compresión menor a 35MPa

en el modelo de Whitney

Figura 3.7.-Modelos del concreto no confinado.

3.2. Acero De Refuerzo.

El acero para reforzar concreto se utiliza en distintas formas. La más

común es la barra o varilla que se fabrica tanto de acero laminado en caliente

como de acero trabajado en frío. En las figuras se muestran curvas de ambos

tipos de acero, típicas de barras europeas.

Los diámetros usuales de las barras producidas en México varían de

1/4 de plg a 1 1/2 plg. Todas las barras con excepción del alambrón de ¼

plg, que generalmente es liso, tienen corrugaciones en la superficie, para

mejorar la adherencia al concreto. Las barras laminadas en caliente pueden

obtenerse con límites de fluencia entre 2300 y 4200 kg/cm2 el acero

trabajado en frio alcanza límites de fluencia de 4000 a 6000 kg/cm2

(González O. 2005)

3.2.1.- Modelo Del Acero

En la figura 3.8 (Aguíar 2003), se indican tres modelos para definir el

comportamiento del acero, el de la izquierda es el elasto-plasto muy utilizado

en el diseño por su sencillez, el de la mitad es el modelo trilineal que

contempla incrementos de esfuerzos en la zona post-fluencia mediante una

variación lineal y el de la derecha es la curva completa que considera una

ecuación de segundo grado para la zona de endurecimiento.

Figura 3.8.-Modelos del Acero

3.3.-Comportamiento Estructural Del Concreto Reforzado

Debido a que el sismo introduce en la estructura varios ciclos de

solicitaciones en diversas direcciones, interesa el comportamiento ante

repeticiones de carga alternadas. (Meli y Bazán 1988) Este se presenta

mediante las curvas de carga-deformación obtenidas de ensayes ante cargas

alternadas; estas curvas tienen la forma de lazos de histéresis (Meli y Bazán

1988). Para un buen comportamiento sísmico, las estructuras deben

mantener su capacidad de carga para deformaciones superiores a la de

cedéncia ya que la zona de comportamiento inelástico es importante para

disipar la energía inducida por el sismo, éste efecto de disipación de energía

producido por el comportamiento histerético de la estructura de un edificio

debe evaluarse con precisión, partiendo de un análisis inelástico. Parte de

esa energía introducida por el sismo es absorbida de forma elástica, mientras

que la otra es disipada gracias a la ductilidad (Moreno R. 2006)

La ductilidad perfecta corresponde al modelo ideal de (Paulay T .y

Priestley M.J.N 1992). En zonas sísmicas conviene que las estructuras

desarrollen lazos de histéresis con gran disipación de energía como se

muestra en la figura 3.9.a, es decir que la curva obtenga un área grande y

que el nivel de carga se mantenga después de varios ciclos. Si la rigidez en

el rango elástico se deteriora, se reduce notablemente la capacidad de

disipación de la energía figura 3.9.b. Además, si la resistencia se deteriora

con el número de ciclos, se produce un daño excesivo que compromete el

estado límite de no colapso 3.9.c, (Meli y Bazán 1999)

Figura 3.9.-Lazos de histéresis típicos de diferentes modalidades de concreto

estructural. (Moreno R 2006)

El diseño sísmico se orienta a satisfacer los requerimientos de

ductilidad que permiten alcanzar deformaciones más grandes que la de

cedencia, sin un deterioro importante en la resistencia o rigidez. Así la

estructura incursiona en el rango no lineal y es capaz de disipar energía. En

otras palabras, una estructura tiene ductilidad cuando es capaz de responder

inelásticamente sin degradación significativa de rigidez durante un sismo

severo.

Las curvas de esfuerzo-deformación del concreto no confinado ponen

de manifiesto un comportamiento frágil, éste se puede reducir o eliminar por

medio del confinamiento. El efecto de confinamiento es incrementar la

resistencia a compresión y la deformación última del concreto como se

muestra en la figura 3.10, donde la deformación a compresión se denota por

es la resistencia a compresión del Ԣ , y el esfuerzo a compresión por �

concreto, Ԣ es la resistencia a la compresión del concreto confinado, Ԣ௧

es la resistencia a tracción del concreto, ௨ es� la deformación

última a compresión, � es la deformación a compresión del concreto

confinado en la

tensión máxima.

Figura 3.10.-Modelo tensión-deformación para carga monótonamente

creciente

El acero tiene curvas de tensión deformación, con una sección de

comportamiento elástico lineal con módulo de elasticidad ES

aproximadamente a 200GPa, una meseta de cedéncia, una región de

endurecimiento por deformación, que los aceros estructurales presentan en

menor o mayor grado, y una región donde el esfuerzo decae hasta que

ocurre la fractura. A falta de datos experimentales, se puede adoptar el

diagrama característico para armaduras pasivas (EHE-99, 1999) que se

muestra en la figura 3.11 tomada de (Moreno R. 2006). En esta figura el

límite elástico característico del acero ௬ , produce una deformación

remanente, �௬ , de 0.002 � ௦ es la deformación del acero a tracción �௫ es la

deformación máxima del acero, que corresponde a ௫

Figura 3.11.-Diagrama tensión deformación para el acero de refuerzo

Capítulo 4 MÉTODOS DE ANÁLISIS SÍSMICO

La mayoría de los códigos sísmicos actuales y el diseño

sísmorresistente están basados en el análisis elástico de las estructuras.

Estos procedimientos incluyen análisis estático y dinámico, los cuales son

utilizados en los análisis de la fuerza lateral equivalente, el análisis del

espectro de respuesta, en el análisis modal y en el análisis elástico de

historia en el tiempo. Para tener en cuenta la incursión de la estructura en el

rango no lineal, los códigos sísmicos incluyen un factor de reducción o de

comportamiento para reducir el espectro elástico equivalente, el cual

depende del tipo de estructura. Estos métodos están bien documentados en

la literatura de la ingeniería sísmica y son extensamente usados. Cuando la

respuesta inelástica o no lineal es importante, el análisis elástico debe usarse

con precaución.

En un análisis lineal, las propiedades estructurales, tales como la

rigidez y el amortiguamiento, son constantes, no varían con el tiempo. Todos

los desplazamientos, esfuerzos, reacciones, son directamente proporcionales

a la magnitud de las cargas aplicadas. En un análisis no lineal las

propiedades estructurales pueden variar con el tiempo, la deformación y la

carga. La respuesta suele no ser proporcional a las cargas, ya que las

propiedades estructurales suelen variar. En el análisis no lineal no es

aplicable el principio de superposición, por lo tanto, sólo es posible realizar

análisis estáticos paso a paso o de historia en el tiempo. (Moreno R. 2006)

4.1.- Análisis Estático Lineal Equivalente o (ELF)

Este análisis es conocido en la literatura como ELF (Equivalent lateral

force) o análisis estático equivalente. Este método de evaluación provee

estimados aproximados de la deformación de la estructura hasta la aparición

de la inelasticidad significativa esto, sin embargo ignora importantes

características tales como la redistribución de momentos, efectos

histeréticos, degradación de fuerzas, rigidez y otros.

Este tipo de análisis es permitido en el reglamento de construcción del

distrito federal (RCDF) en los artículos 164 y 165 del capítulo VI y se describe

en las NTC para diseño sísmico en el capítulo 7. La aplicación de este

método consta esencialmente de los siguientes pasos:

• Se representa la acción del sismo por fuerzas horizontales que actúan

en los centros de masas de los pisos, en dos direcciones ortogonales.

• Estas fuerzas se distribuyen en los sistemas resistentes a carga lateral

que tiene el edificio (muros y/o marcos).

• Se efectúa el análisis estructural de cada sistema resistente ante

cargas laterales que le correspondan.

La estructura es modelada como un sistema equivalente de uno o

varios grados de libertad (gdl) con una rigidez elástica lineal donde la fuerza

es directamente proporcional a los desplazamientos, y un amortiguamiento

viscoso equivalente. La acción sísmica es modelada por una fuerza lateral

equivalente, con el objetivo de producir los mismos esfuerzos y

deformaciones que el sismo en la estructura. Basados en el primer modo de

vibración (modo predominante), la fuerza lateral es distribuida en la altura

del edificio y las correspondientes fuerzas y desplazamientos internos son

calculados usando el análisis elástico lineal.

4.2.- Análisis Dinámico Lineal.

En este análisis la estructura es modelada como un sistema de varios

grados de libertad, con una matriz de rigidez elástica lineal y una matriz de

amortiguamiento viscoso equivalente. La acción sísmica de entrada es

modelada usando un análisis modal o un análisis de historias en el tiempo

(time-history). Este análisis toma en cuenta los movimientos del suelo

durante el sismo y los modos de vibrar de la estructura, el análisis modal

supone que la respuesta dinámica de un edificio puede ser estimada a partir

de la respuesta independiente de cada modo natural de vibración usando el

espectro de respuesta elástico lineal. Solamente se consideran los modos

que contribuyen de forma significativa a la respuesta de la estructura. La

mayoría de los códigos sísmicos requieren que se incluyan suficientes modos

de vibración como para movilizar un 90% de la masa efectiva. El análisis de

historias en el tiempo implica una evaluación paso a paso de la respuesta del

edificio, usando registros reales o acelerogramas artificiales como

movimientos de entrada. En ambos casos, tanto las correspondientes

fuerzas como los desplazamientos internos se calculan usando un análisis

lineal elástico. (Moreno R. 2006)

4.3.- Análisis Dinámico No Lineal

Con este método la estructura es modelada de manera similar al

análisis dinámico lineal, pero incorporando directamente la respuesta

inelástica del material. La principal diferencia es que el sismo de entrada,

solo puede ser modelado usando una función de historias en el tiempo, el

cual implica una evaluación paso a paso de la respuesta del edificio, por lo

tanto mientras un problema estático tiene una única solución independiente

del tiempo, la solución dinámica requiere la descripción del sistema en todos

los instantes dentro del periodo de estudio (Mora Villalba Maldonado 2006)

Es la técnica de análisis más sofisticada disponible. Es posible incluir en el

análisis la interacción suelo-estructura.

Esta técnica requiere de poderosos programas en 2D y 3D de análisis

no lineal, por lo tanto resulta muy costoso para predecir las fuerzas y

desplazamientos bajo un movimiento sísmico. El principal valor del análisis

Modal (E) Espectral (E)

dinámico no lineal, es que constituye una potente herramienta de

investigación, que permite simular el comportamiento de una estructura en

detalle, es decir, para describir los desplazamientos esperados así como la

distribución y propagación del daño, la distribución de esfuerzos verticales y

de cortante y la forma de la curva histerética (Elnashai-Di Sarno 2008)

Método de Análisis

Análisis Dinámico Análisis Estático

Fuerza LateraEquivalente (E)

Pushover adaptado (I)

Pushover no adaptado (I)

Pushover (I)

Historias en el tiempo (E,I) Dinámico incremental (I)

Figura 4.1.-Metodos de Análisis sísmico

Capítulo 5 DISEÑO ESTRUCTURAL

La característica particular más importante de cualquier elemento

estructural es su resistencia real, la cual debe ser lo suficientemente elevada

para resistir, con algún margen de reserva, todas las cargas previsibles que

puedan actuar sobre aquel durante la vida de la estructura, sin que se

presente falla o cualquier otro inconveniente.

5.1.- Diseño por Resistencia

Para dimensionar los elementos estructurales, es decir seleccionar las

dimensiones del concreto y la cantidad de refuerzo, de manera que sus

resistencias sean adecuadas para soportar las fuerzas resultantes de ciertos

estados hipotéticos de sobrecarga, se utilizan cargas considerablemente

mayores que las cargas que se esperan que actúen en la realidad durante el

servicio. A esta metodología se le conoce como diseño por resistencia.

Para estructuras de concreto reforzado, cercanas a la falla, uno de los

dos materiales ya sea el concreto o el acero se encuentran inevitablemente

en su rango inelástico no lineal. Es por esto que la resistencia nominal del

concreto debe calcularse con base al comportamiento inelástico de los

materiales que lo conforman (Nilson 1999).

5.2.- Diseño Por Esfuerzos Admisibles

Es el método más antiguo de diseño para cargas de servicio, todos los

tipos de carga se tratan de la misma manera sin importar que tan diferentes

sean su variabilidad individual y su incertidumbre. Así mismo, los esfuerzos

se calculan con base en métodos elásticos, cuando en la realidad la

resistencia de un elemento depende del comportamiento esfuerzo-

deformación en el rango inelástico cercano y en la falla.

Por esta razón el método de diseño por cargas de servicio no permite

una evaluación explicita del margen de seguridad. En contraste, en el

método de diseño por resistencia, más moderno que el anterior, se pueden

ajustar factores individuales de carga para representar grados diferentes de

incertidumbre para los diversos tipos de carga (Nilson 1999)

5.3.- Conceptos Básicos de Diseño por Desempeño.

Un objetivo de desempeño determina, el nivel de comportamiento

deseado de un edificio para una o varias demandas símicas. El

comportamiento sísmico es descrito por el máximo estado de daño permitido,

(expresado en la deformación del la rótula), para un nivel de demanda

sísmica. Un objetivo de desempeño puede incluir varios niveles de

comportamiento del edificio para varios niveles de demanda sísmica y

entonces es denominado un objetivo de desempeño dual o múltiple.

(Delgadillo 2005)

Los niveles de desempeño estructural –Ocupación Inmediata (IO),

Seguridad de Vida (LS) y prevención del colapso (CP)- son estados de daño

y pueden ser usados directamente en procedimientos de evaluación y

reforzamiento. Existen otras designaciones de desempeño estructural

intermedios a los anteriormente mencionados –Control de daño, Seguridad

Limitada y No considerado- son importantes designaciones para permitir

directa referencia a la amplia variedad de niveles de desempeño del edificio

que puede ser deseado para su evaluación o reforzamiento.

• Ocupación Inmediata (IO), SP-1: Es el estado en que ocurre un

limitado daño estructural. El sistema básico de resistencia a fuerzas

laterales del edificio conserva casi toda sus características y

capacidades iniciales. El riesgo de amenaza a la vida por falla

estructural es insignificante y el edificio es seguro para su ocupación.


• Control de Daño, SP-2: Este término no es en realidad un nivel

específico pero es un rango de daño que varía desde SP-1

(Ocupación Inmediata) a SP-3 (Seguridad de Vida). Ejemplo de control

de daño incluye protección de la arquitectura de edificios históricos de

contenido valioso.

• Seguridad de Vida (LS), SP-3: Es el estado en el que pudiera haber

ocurrido daño significante a la estructura pero donde permanece algún

margen contra el colapso total o parcial. El nivel de daño es menor

que aquel para el nivel de Estabilidad Estructural. Las componentes

estructurales principales no fallan. Mientras que pudiera ocurrir daños

durante el terremoto, el riesgo de amenaza a la vida por el daño

estructural es muy bajo. Se espera probablemente que grandes

reparaciones estructurales sean necesarias antes de la reocupación

del edificio, aunque en algunas ocasiones pueda que el daño no sea

económicamente reparable. Este nivel de comportamiento estructural

está proyectado a ser el nivel de comportamiento esperado de todos

los códigos para nuevos edificio s .

• Seguridad Limitada, SP-4: Este término no es realmente un nivel

específico de desempeño, pero es un rango de estado de daño que es

por lo menos como SP-3 (Seguridad de Vida) pero no más que SP-5

(Estabilidad Estructural). Provee una definición para las situaciones

donde el reforzamiento puede no satisfacer todos los requerimientos

estructurales del nivel de Seguridad de Vida

• Prevención del colapso (CP), SP-5: Este nivel es el límite de estado

de daño estructural en que el sistema estructural del edificio está al

borde de experimentar colapso parcial o total. Un daño sustancial a la

estructura ha ocurrido, también significante degradación en la rigidez y

resistencia del sistema resistente a fuerza lateral. Sin embargo, todos

los componentes de su sistema resistente a cargas de gravedad

continúan para soportar sus demandas de gravedad. Aunque el


edificio permanece totalmente estable, existe riesgo significante

debido a falla que puede existir dentro y fuera del edificio. Se espera

que una reparación significante de la estructura principal sea

necesario antes de la reocupación. En antiguos edificios de concreto

es muy probable que el daño no sea técnicamente o económicamente

reparable

• No Considerado, SP-6: Este no es un nivel de desempeño, pero

provee una descripción para situaciones donde se ejecuta una

evaluación sísmica o reforzamiento. La explícita inclusión de un Nivel

de comportamiento Estructural No Considerado es una herramienta

útil de comunicación entre el diseñador y el propietario.


Capítulo 6 ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL.

6.1.- Limitaciones Del Análisis Lineal

Aunque la mayoría de las estructuras en condiciones de servicio,

tienen un comportamiento en concordancia con el análisis lineal, es en la

fase de pre-ruptura y ruptura que su comportamiento difiere de forma notable

con respecto al análisis lineal. Es por ello que para los sismos para los

cuales las condiciones de servicio son superadas es necesario realizar otro

tipo de análisis

Ahora veremos algunas de las principales fuentes de error de los

métodos de cálculo lineal. Basándose el desarrollo del método de cálculo en

que la relación momentos-curvaturas viene dada por la ecuación

ܯ� ൌ��… ܧܫ6.1 …

En la figura 6.1 se representa esquemáticamente la relación

momentos curvatura para una sección de concreto armado sometida a

flexión pura. El comportamiento dista mucho de ser lineal, e incluso en los

dos tramos OA y AB que pueden aceptarse como aproximadamente lineales,

los ángulos α y β no sólo dependen de la resistencia del concreto sino de

muchas de sus otras cualidades y las de sus componentes. Influencia

esencial tiene en el diagrama el carácter breve o duradero del proceso de las

cargas y, finalmente, el máximo valor de � viene fuertemente influido por la

armadura transversal (estribos), a través del confinamiento que ésta ejerce

en la cabeza comprimida.


Figura 6.1.-Diagrama Momento-Curvatura

En la ecuación 6.1 como podemos observar el valor de E (módulo de

elasticidad) está relacionado con el valor de � y aunque se considera

que este valor es constante debido a que el elemento estructural es

construido con el mismo material, en este caso concreto, como vemos en la

figura 6.2

Figura 6.2.-Diagrama Esfuerzo-Deformación real.

La curva esfuerzo deformación no es lineal y por lo tanto la relación

que define ܧ ൌ�� ఙ

no es completamente cierto, además que después del


límite

de fluencia del material esto llega a estar totalmente fuera de la realidad.


Esto hace en definitiva que el valor de E no sea constante en todos los

puntos de la estructura, como de manera simplificada lo supone el método

lineal. Por otro lado el valor de ܫ también contiene un grado de

incertidumbre, debido a que en las zonas donde se presentan los máximos

momentos en los elementos estructurales, el concreto estará fisurado. En

las fisuras, el esfuerzo de tensión necesario para equilibrar el momento,

evidentemente ha de ser proporcionado integralmente por el acero de

refuerzo longitudinal, y los esfuerzo de tensión en el acero son máximas. Al

alejarse el acero de las fisuras, se mejora paulatinamente su anclaje en

el concreto, tanto más deprisa cuanto más pequeño sea el diámetro y más

eficiente el corrugado de las barras y, como consecuencia de ello, el

armado reduce sus tensiones y transfiere parte del esfuerzo de tensión al

concreto. Correlativamente a lo anterior, los esfuerzos de tensión en el

concreto son nulos en las fisuras y aumentan gradualmente entre dos

fisuras consecutivas. Es por esto que el valor de I varía a lo largo de la luz.

Un segundo aspecto que varia el valor de I es la existencia de

columnas figura 6.3 Como vemos puede que exista la incertidumbre sobre el

valor de ௧ conforme se acerca hacia la columna ya que ésta puede cambiar

al valor de h, esto supone un efecto de acartelamiento (Aumento gradual de

la altura de una viga de concreto armando. por el ensanchamiento análogo

de los elementos de apoyo) enormemente importante. Su trascendencia ha

sido evaluada aproximadamente por Winter, Urquhart, O’rourque y Nilson

(Calavera 1999)


Figura 6.3.-Efecto de acartelamiento

6.2.-Importancia De La Relación Momento Curvatura M-φ.

Cuando se determina un diseño estructural, es muy importante

conocer la relación momento curvatura ܯ ൌ� , de las secciones de

sus elementos, con el objeto de conocer cuál es la capacidad de ductilidad

por curvatura ߤ , la máxima capacidad a flexión del elemento MU y

comparar

estas cantidades con las demandas que se tienen en el diseño.

Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura

va a presentar una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal.

Ya que es importante obtener una buena ductilidad para disipar la mayor

energía y así dar paso a la distribución de momentos.

En el análisis no lineal, es fundamental conocer la relación ܯ ൌ�

�, para encontrar la rigidez de cada una de las ramas del diagrama

histerético que se utiliza para definir la no linealidad del material. La relación

ൌ� �, es la base del análisis no lineal dinámico y del análisis no lineal ܯ

estático (Aguíar


2003).


6.2.1.-Puntos Notables Del Diagrama De Momento Curvatura

En un diagrama de curvatura existen puntos que representan las

fronteras de los acontecimientos significativos desde que el elemento

estructural se encuentra descargado, hasta que se llega al esfuerzo último

del elemento. Estos puntos son los siguientes:

• El punto A, se alcanza cuando el hormigón llega a su máximo esfuerzo

a la tracción. La capacidad a flexión del punto A es muy baja por este

motivo muchas veces se lo ignora, pero estrictamente es el comienzo

del rango elástico

• El punto Y, se determina cuando el acero a tracción alcanza el punto

de fluencia, definido por un esfuerzo ௬ , y una deformación . ௬ߝ

En varios estudios se considera el rango elástico a la recta que

une el origen de coordenadas con el punto Y.

• El punto S, se obtiene cuando el acero a tracción se encuentra al

inicio de la zona de endurecimiento, es decir al final de la plataforma

de fluencia, en el modelo trilineal del acero indicado en la Figura 3.8

se tendría este punto en la deformación ߝ௦

6.2.2.-Ecuaciones Empíricas Para El Cálculo Del Diagrama

Momento-Curvatura.

Si se quiere calcular el diagrama de Momento curvatura completo, es

conveniente contar con un programa capaz de realizar dicha tarea, un

ejemplo puede ser el programa CEINCI4 propuesto por Aguíar, el cual toma

en consideración los efectos de corte. Pero si no se cuenta con algún

programa existen una serie de formulaciones generales propuestas por

Y.Park (1985) que tienen un respaldo teórico y experimental de 400 ensayos.

Las cuales son generales tanto para vigas como para columnas.

ܥ


Punto A

ܫ ܯ

ൌ��௧൬ ൌ�

�൰ … . .6.2௧ ܣ

. … � ��ൌ ܣ.6.3

Donde:

� ൌ�� ܯ

6.4. . … ܧܫ

momento en el punto A= ܯ

.௧ =distancia del centro de gravedad a la fibra mas tensionadaܥ

Esfuerzo máximo a tracción del concreto= ௧ ൌ�� 0.1Ԣ

momento de inercia de la sección=ܫ

�fuerza axial=

Módulo de elasticidad del concreto=ܧ

Curvatura en el punto A= �

Punto Y

� ൌ�� 0.5Ԣ ܯ ଶሾሺ1 ൌ� ߚ ൌ� ߟሻ ߟ ሺ2 ൌ� ߟሻ௧ ሺߟ ൌ� 2ߚ ሻ ߙԢ௧ ሿ … .6.5

Ԣ

��ൌ ߚ … . .6.6 ��ൌ ߟ

0.75൬ߝ

ߝ௬

൰ . . .6.7 ��௬ ൌߙߝ

. .6.8

ߝ ௬ߙ 1

௦ܣ௬௧ ൌ��

� Ԣ … 6.9

Ԣ

ൌ�� Ԣ௦ ௬௧ܣ � Ԣ


… 6.10 6.11 … ߝ ߝ �ൌ�� ௬ ൌ ߝ

ߚ �ൌ�� ሺ1 ൌ ߙ

ሻ ߝ

ߝ ௬

ൌ� 6.12 … 1 ߚ

௧

௧

ߝ

ߟ ௬ߝቃ�௬ ൌ�� ቂ1.05 ሺܥଶ ൌ�

1.05ሻ 0.03

ሺ1 ൌ� ሻ … 6.13

ൌ�� ඨሺ௧ ᇱ ௧ ሻଶ

1 1ଶ

ᇱ ௧ ߚ ௧ሺ ሻ

1 ൌ� ൫௧

ᇱ ൯ … 6.14௬ߙ4 ௬ߙ ௬ߙ2

ଶ ൌ�� 1ܥ0.45ሺ0.84 ሻ

…

6.15

Donde:

ᇱ =recubrimiento en la zona de compresión

deformación máxima útil del concreto, sin considerar contribución= ߝ

del acero transversal.

deformación a la cual el acero alcanza su esfuerzo de fluencia, que= ߝ

en este documento se considera igual a 0.0021

deformación del concreto asociada a la máxima resistencia en este= ߝ

documento se tomará igual a 0.002.

Punto U

… ௬ܯሻ ߟ௧ ൌ� 0.5ൌ�� ሺ1.24 ൌ� 0.15 ܯ6.16

… ఝ �௬ߤ ��ൌ �.6.17

ఝߤߝൌ�� ൬

௪�ଶ.ଵହ��ଶଵ.൰ … 6.18

exp ሺ0.654 0.38ሻ

Donde ݓ es la cuantía de confinamiento del refuerzo transversal en

porcentaje. Si ݓ ݓ se considera %2 ൌ�� 2. Por otra parte la ductilidad por

curvatura ߤఝ será igual a 1 si el valor que resulta al aplicar la

respectiva ecuación es menor a la 1.

௧

ଶ ଶ ଵ ሻܥ �ଶ ൌܥሺ ଵܥൌ�� ቂ ߝߟቃ �௬ … 6.20ߝ ൌ�� 0.50.5 ߝሺߠ ߝ ௦ … .6.19 0.3

ܥ ଵ ൌ�� 1.05 � ݎ Ԣ௧ � 0 ଶ.ସܥ ଵ ൌ�� 1

௧1.9� ݎ Ԣ௧ ൌ�� 0

ଶ ൌ�� 1ܥ 0.45ᇱ2 0.84

… .6.21 ൌ� ௧ ሻ

0.002ߠ ௦ ൌ�� ܮ

ൌ� 0.5

൏ 5 ݑ o ܮ 4

0.002ߠ ௦ ൌ�� ܮ

ൌ� 0.5

ሾ1 ݑ0.27 ൌ� 5ሻሿ

y 5 ݑ ܮ2.5 ൏ ൏ 4

0.002ߠ ௦ ൌ�� ܮ

ൌ� 0.5

ൌ� 5ሻ ݑ0.185ቈ1

ඥ ݓ ൌ� 0.4

y…5 ݑ ܮ൏ 2.5

��ൌ ݑ �

… 6.22 ඥ Ԣ

Donde ߠ௦ es la rotación por corte, � es el esfuerzo promedio de adherencia y

L es la longitud del elemento

6.3.- Rótulas Plásticas

La ecuación 6.1 le corresponde en la figura 6.4 (tomada de Calavera)

la curva 1 de coeficiente angular ܫܧ . Este diagrama corresponde a

una idealización bastante radical del comportamiento de una pieza de

concreto armado y supone que, alcanzado el punto A, en el cual la tensión

del acero iguala el valor de su límite elástico, la pieza se agota. Este

agotamiento encierra un doble significado, pues por una parte supone

que la máxima capacidad resultante de la pieza es el valor MA del

momento; esto es bastante aproximado. También supone que la

curvatura � es la máxima

alcanzable por la pieza, y esto es muy inexacto.

Sin embargo debido a varios fenómenos como la fisuración, la

retracción y la fluencia, el comportamiento de la estructura no es lineal y

presenta aspectos más complejos

Figura 6.4.-Diagrama Momento-Curvatura

Un comportamiento bastante frecuente de una sección de concreto

armando sometida a flexión en un proceso de carga monótonamente

creciente viene dado por la curva 2 de la figura 6.4. En él, se aprecia

claramente que la ley lineal sólo resulta aceptable en un campo de

deformaciones relativamente restringido. El punto B correspondiente a la

fisuración y, a partir de él, aunque el diagrama sigue aproximándose

aceptablemente a una ley lineal, lo hace con un coeficiente angular menor,

ya que, en el producto EI, el valor de ܫ se verá reducido a causa de

la fisuración del concreto. A partir del punto C donde se alcanza el

limite elástico del acero, el diagrama cambia bruscamente, pasa por un

máximo del momento y alcanza finalmente el punto E de agotamiento. La

diferencia en el valor máximo de M alcanzado entre las curvas 1 y 2 es

pequeña, sin

embargo, la diferencia en deformaciones es muy importante y la curvatura ��

puede ser muchas veces superior a �

Una curva típica como la 2 en la figura 6.2 puede ser representada en

una como la de la figura 6.4 (tomada de calavera) en lo que se conoce como

un modelo bilineal

Figura 6.5.-Modelo Bilineal

De acuerdo con este diagrama, al crecer en una sección determinada

de la pieza el momento flector M aplicado, la curvatura crecerá

proporcionalmente al momento. Alcanzando en la sección el valor de MA, la

curvatura crece ya, sin incremento del momento aplicado, constituyendo lo

que se denominó como rótula plástica (Calavera 1999).Entonces si un

elemento estructural tiene suficiente ductilidad y es capaz de alcanzar su

momento máximo y después de esto, seguir incrementado sus

deformaciones, será capaz de redistribuir momentos (ver inciso 6.4.3 de este

documento), (si el elemento estructural forma parte de un sistema

hiperestático) entonces en los puntos donde se localicen esos momentos

máximos será donde aparezcan las llamadas rótulas plásticas, y al tiempo

que las rótulas plásticas supere el grado de hiperestaticidad de la estructura,

se puede decir que se la estructura se convierte en una estructura inestable y

llega a un mecanismo de falla y la estructura colapsará.

6.3.1.-Estimacion De La Longitud De La Rótula Plástica

Una vez definido el diagrama de momento-curvatura, sólo falta

conocer la longitud de la rótula plástica, ya que al multiplicar ésta por la

curvatura en cada uno de los puntos del diagrama de curvatura se obtiene el

diagrama Momento-rotación el cual nos permite conocer la capacidad de

rotación de la rótula plástica.

Algunos factores que pueden afectar la longitud de la rótula plástica

son: las características del acero de refuerzo, las características del concreto,

el tipo de carga, el cambio de curvatura a lo largo de la viga en el diagrama

de momentos, y el tipo de sección transversal (Penelis Kappos 1997) en los

años sesenta del siglo XX se propusieron varias relaciones empíricas para

conocer el valor de (longitud de la rótula plástica).

Dentro de estas relaciones podemos encontrar las propuestas por

Baker, Corley, Sawyer y Mattock, éste último propone formulaciones

simplificadas en base en los estudios de Corley.

0.05 ൌ�� 0.5 … ݖ 6.23

Donde:

=peralte efectivo del elemento estructural

z=distancia de la sección crítica al punto de inflexión

Existen otras formulaciones como las de Park y Priestley 1992, las

cuales involucran el diámetro del refuerzo longitudinal, y está basada, al

efecto de penetración del esfuerzo de tensión. Para vigas típicas puede

tomar un valor 0.5 �� en donde h es la profundidad de la viga.

Se debe notar que es la longitud de la articulación plástica

equivalente en un lado de la sección crítica. En consecuencia, una

articulación plástica dentro del claro de una viga cargada simétricamente

tendrá una longitud equivalente total de 2 .(Park y Paulay 1991)

6.3.2.- Zonas Potenciales de Aparición de Rótulas Plásticas.

Las rótulas plásticas en vigas de marcos dúctiles, diseñados cuando la

acción de las fuerzas sísmicas es dominante, comúnmente se desarrollan al

lado de las columnas, como se muestra en la figura 6.6 (tomada de Park y

Priestley 1992)

Figura 6.6.-Patrones de Rótulas en vigas

Cuando el momento positivo en un vano se vuelve grande a causa del

dominio del momento debido a las cargas gravitacionales, particularmente en


vigas de vanos grandes, es muy difícil que las rótulas plásticas se formen en

la cara de la columna. El diseñador tiene que decidir entonces a qué

distancia de la cara de la columna se tiene que desarrollar la rótula, un

ejemplo típico es mostrado en el vano largo en la figura 6.6, (a), donde la

fuerza sísmica es mostrada como se muestra, el momento positivo de la

rótula plástica en la viga superior de la figura 6.6, (a), se desarrollará cerca

del interior de la columna, en la localización del momento máximo. Si la rótula

plástica se formó en la cara de la columna, la rotación de la rótula sería ߠ,

como la mostrada en el vano corto. Sin embargo, con la rótula positiva

formando una distancia ଵכ medida de la columna derecha. La rotación de la

rótula plástica tendrá un incremento de:

ቇ כ ᇱ ൌ�� ቆߠ …… ߠ

6.24ଵ

Es evidente según la figura 6.6, (a) que conforme más lejos se

encuentre la rotula de la columna de la izquierda, mas grande será la

rotación de ésta, En la parte inferior de la viga con vano largo, la presencia

de un punto de carga en la mitad indica que este punto podría ser la

localización del máximo momento positivo dentro de la acción de las cargas

gravitacionales y sísmicas. Si la rótula plástica es localizada ahí, la rotación

plástica se incrementaría en:

ቇ… כ ᇱᇱ ൌ�� ቆߠ …

6.25ଶ

La ductilidad por curvatura deseada en las rótulas plásticas es

alcanzada principalmente por un gran esfuerzo de tensión inelástico. Por

tanto la tensión media en la profundidad de la viga y a lo largo de la longitud

de la rótula plástica estará en tensión, resultando en un alargamiento en esa

parte de la viga. Debido a que la profundidad del eje neutro varía a lo largo


del vano, las deformaciones también ocurren después del agrietamiento en la

parte elástica de la viga, sin embargo éstas son insignificantes en

comparación con los desarrollados por encima de la rótula plástica. Si las

acciones de las fuerzas sísmicas son importantes, resultan dos rótulas

plásticas en la viga como lo muestra la figura 6.6.c, causando que las vigas

sean más largas ∆. La magnitud de la longitud del vano se incrementará

∆ y esto afecta la profundidad efectiva de la viga, la rotación de la rótula ߠ ó

ᇱߠ , y por tanto por la localización de la rótula figuras 6.6.a y d.

Algunas condiciones para la presencia de rótulas plásticas son:

• Cuando la sección critica de la rótula plástica se encuentra en

la cara de la columna o muro, esta longitud es medida de la

sección crítica hacia el vano. Un ejemplo se muestra en la

figura 6.7 (tomada de Park y Priestley 1992) en la cual el

momento ܯ o ܯ son el resistente.

• Cuando la sección critica de la rótula plástica no es la cara de la

columna figura 6.8 (tomada de Park y Priestley 1992) y es

localizada a una distancia no menor que la profundidad de la

viga o 500mm, fuera de la cara de la columna, la longitud debe

asumirse entre la cara de la columna y la sección crítica, por lo

menos 0.5 o 250mm desde la sección critica y extenderse al

menos 1.5 pasada la sección crítica hacia la mitad del vano.

ejemplo ver figura 6.9

• Para una rótula plástica positiva donde la fuerza cortante vale

cero en la sección crítica, como en el punto C de la figura 6.7 ,

la longitud debe extenderse una distancia en ambas

direcciones de la sección critica

Figura 6.7.-Localización De Potenciales Rótulas Plásticas

Figura 6.8.-Vigas Con Relocalización De Rótulas

Figura 6.9.-Detalle De Rótulas Ubicadas Fuera De La Cara De La Columna.

6.4.- Aplicaciones De La Relación Momento-Curvatura

6.4.1.- Ductilidad Por Curvatura Local

La ductilidad por curvatura ߤఝ que relaciona la curvatura última ఝ

, con la relación a la curvatura de fluencia �௬ , que se denomina también

como

la capacidad de ductilidad por curvatura de una sección. Ver figura 6.10

ൌ�� ௨ߤఝ�௬

… … 6.26

Figura 6.10.-Modelo Trilineal

Es muy importante que el valor de ߤఝ sea lo más alto posible para

que la estructura sea capaz de disipar la mayor energía ante un sismo

muy severo (Aguíar 2003).

6.4.2.- Reserva De Ductilidad Por Curvatura

Se define la demanda de ductilidad por curvatura ߤ�� , con la

siguiente relación:

�� ൌ ߤ

�� ௬

… … . 6.27

Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura μr,

como la diferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de

ductilidad, por curvatura

��ൌ ߤ�௨

�௬

ൌ� ��

�௬

… … 6.28

Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los

diferentes elementos que conforman una estructura, mejor será el

comportamiento sísmico que se espera de la edificación, toda vez que se

permitirá la redistribución de momentos, se obligará a que otros elementos

adyacentes a los que están sobrecargados absorban parte de las cargas,

aliviando de esta manera las zonas recargadas (Aguíar 2003).

6.4.3.- Redistribución De Momentos.

Para que se dé la redistribución de momentos, es necesario que los

elementos tengan suficiente reserva de ductilidad por curvatura (ecuación

6.28), en las secciones críticas que son los extremos de los elementos.

Un principio fundamental para la redistribución de momentos, es que

la suma de los momentos de las vigas, antes de la redistribución, es igual a

la suma de momentos en las vigas, después de la redistribución. La

redistribución se puede realizar de la siguiente manera:

• Redistribución de momentos a través de un nudo. En este caso, si el

momento negativo de un nudo se reduce en un determinado

porcentaje, en el mismo porcentaje debe aumentarse el momento

positivo del nudo en análisis. Por lo tanto, el momento total introducido

al nudo permanece inalterado; en consecuencia, los momentos y

cortantes de la columna que concurre al nudo, no cambian, Paulay y

Priestley (1992).

• Redistribución de momentos en vigas que involucra redistribución de

acciones entre las columnas. Se cambian los momentos en vigas,

considerando el principio fundamental de la redistribución indicado

anteriormente y luego, se debe buscar el equilibrio del nudo para la

cual se modifica los momentos en las columnas y esto conduce a

deducir nuevos cortantes que actúan sobre la columna.

• Se puede únicamente cambiar los momentos en los extremos de las

vigas, dejando constante el momento en el centro del tramo. Para

lograr el equilibrio, ante cargas verticales, se considera que la viga se

encuentra simplemente apoyada. Por lo tanto, los momentos se

consideran superpuestos sobre la base de una línea recta que une los

momentos de los extremos de las vigas.

Las secciones de las vigas, cuyos momentos se han reducido debido

a la redistribución, ingresaran al rango no lineal, en forma anticipada pero

tienen suficiente reserva de ductilidad por curvatura y esto implica que tienen

suficiente reserva de ductilidad por rotación, lo que permite que el concreto

trabaje a grandes deformaciones y la sección rote inelásticamente

transmitiendo las acciones a otros elementos (Aguíar 2003).

6.4.4.- Inercias Agrietadas

Una vez que se tiene la relación momento curvatura de una sección,

definida por un modelo numérico de cálculo similar al indicado en la figura

6.10, se puede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes condiciones a

las cuales puede estar sujeto el elemento.

Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el

modelo actuante es menor que MA, en este caso se tiene.

�

ܧܫൌ��

ܯ 6.29. … … ܧܫ�

Donde ܫ es la inercia no agrietada de la sección transversal del

elemento y E es el módulo de elasticidad del material.

Si en la figura 6.10, se une el punto Y, con el origen se determina la

rigidez a flexión agrietada ܫܧ

ܫܧ௬ܯ ൌ��

௬… … .6.30

Es importante destacar que cuando se trabaja con inercias agrietadas

todos los elementos de la estructura se ven reducidos en su rigidez pero esto

no es cierto ya que no todos los elementos van a ingresar al rango no lineal

durante un sismo muy severo. Esto es una debilidad de trabajar con ܫ

(Aguíar 2003).

6.5.-Descripción general del proceso de análisis sísmico

inelástico.

El modelo estructural para el análisis inelástico es similar al modelo

lineal elástico en donde el ingeniero desarrolla un modelo del edificio o

estructura.

La principal diferencia es que las propiedades de algunos o todos los

componentes del modelo incluyen fuerzas y deformaciones post-elásticas,

además de las características iniciales elásticas. Estos se basan

normalmente en las aproximaciones derivados de los resultados de pruebas

sobre los componentes individuales o de análisis teóricos (prueba del

comportamiento histerético fuerza-deformación), esta información se

encuentra registrada en el ATC-40 (Applied Technology Council) y el FEMA

356 (Federal Emergency Management Agency).

Un modelo estructural detallado a menudo se puede simplificar en un

modelo de varios grados de libertad equivalentes. (MDOF, multi-degree of

freedom), y en algunos casos, con modelos (SDOF, simple-degree of

freedom), modelos de oscilador, éste último modelo es el que se utiliza en el

análisis estático no lineal. Una de las razones por la cual se realizan estas

simplificaciones es, reducir la gestión de datos y los esfuerzos

computacionales. Pero el aspecto negativo de realizar estas simplificaciones

es que se introducen mayores incertidumbres en el proceso de análisis.

Se puede simplificar los movimientos del suelo debidos al sismo en la

frecuencia dominante, con el espectro de respuesta que muestra la máxima

respuesta de espectro elástico de un (SDOF) oscilando en función del

periodo. Otra simplificación importante a los modelos estructurales detallados

es lo que se conoce como “Pushover” o “curva de capacidad”

Capítulo 7 TÉCNICA DEL PUSHOVER

La técnica del “Pushover” o también conocida con el nombre de

análisis incremental del colapso es la más utilizada dentro de un análisis

estático no lineal. El objetivo de esta técnica es encontrar la “curva de

capacidad resistente” figura 6.1 de un marco, ante acciones sísmicas, dicha

curva relaciona el cortante basal V (ordenada), con el desplazamiento lateral

máximo de la estructura D (abscisa), esta curva es la base del análisis

sísmico por desempeño o (PBE).

La técnica del Pushover se puede llevar a cabo aplicando un patrón de

cargas laterales a la estructura, que representen las fuerzas sísmicas, patrón

que se va incrementando monótonamente hasta alcanzar la capacidad última

de la estructura o el colapso (Moreno R 2006), con cada incremento de carga

la estructura va perdiendo rigidez. Las curvas Pushover muestran la

respuesta global del sistema (desplazamientos laterales, cortante basal, y

drift o derivas)

La técnica del Pushover se realiza con pequeños incrementos de

carga alrededor de 0.1 T. esto para cuando se utiliza un programa de

ordenador. Para resolver manualmente se pueden plantear incrementos de

carga de 2 T como lo recomienda Aguíar, la carga con la que se resuelve es

muy alta pero se tendrán menos operaciones y será factible mostrar la

secuencia de cálculo (Aguíar 2003)

El vector de cargas que será el que se incrementara monótonamente

es usualmente una representación de la aceleración relativa asociado con el

primer modo de vibrar de la estructura, ésta se podría considerar una

limitante para edificios que cuenten con un nivel de excentricidad

considerable, debido a que las fuerzas se deben aplicar en los dos sentidos,

y ortogonalmente.

El Pushover es capaz de mostrar deficiencias de diseño que el análisis

elástico no puede detectar (Elnashai-Di Sarno 2008)

Una de las limitaciones más importantes de este método es: que no es

aplicable a edificios altos y a edificios con periodos fundamentales de

vibración muy largos.

En los últimos años se han desarrollado algunas variaciones del

método de Pushover original, que puedan obtener resultados más próximos

a los obtenidos en el análisis dinámico no lineal, incluyendo el Pushover

Modal, este método requiere de tantos pasos que se está perdiendo el

atractivo principal del Pushover clásico, como lo ha señalado Madison (2005)

7.1.-Curva de Capacidad

Como se describió en el inciso anterior, aplicando la técnica de

Pushover obtendremos la respuesta no lineal de una estructura, la cual

podemos representar en la “curva de capacidad”

El análisis tiene como base dos conceptos primordiales: la capacidad

y la demanda. La primera. La podemos entender como una característica

propia de la edificación que depende de factores como la geometría de los

elementos, la cantidad de refuerzo, las propiedades de los materiales como

rigidez, ductilidad entre otras. La demanda depende de un sismo en

particular, representado mediante un acelerograma o un espectro de diseño,

y hace referencia a las fuerzas y deformaciones impuestas por este, de

manera que la demanda, a diferencia de la capacidad, no es en teoría un

valor constante, pues depende del conjunto de fuerzas externas o

aceleraciones a las que se someterá la edificación (Mora, Villálba y

Maldonado 2006)

Figura 7.1.-Curva De Capacidad

7.2.- Distribución De Carga Lateral.

Existen diversas distribuciones de fuerzas laterales que se pueden

aplicar a la estructura para obtener la curva de capacidad, (triangular,

parabólica, uniforme), la elección de cada una de ellas afecta los resultados

que se obtienen en la curva de capacidad.

No existe un único patrón de fuerzas que sea universalmente

aceptado (Moreno Gonzales 2006), una solución práctica es usar al menos 2

dos distribuciones diferentes y definir la curva de capacidad mediante la

envolvente de los resultados obtenidos (Fajfar, 2000)

ELF

Es posible utilizar las fuerzas obtenidas del análisis sísmico estático o

El profesor Aguíar propone algunos criterios para obtener las fuerzas

laterales. El primero de ellos, sólo trabaja con el modo fundamental, éste


criterio es válido para estructuras regulares en planta y elevación, y el

segundo criterio considera los modos superiores para el efecto se debe

encontrar el modo fundamental equivalente, este criterio es para estructuras

en las cuales los modos superiores tienen un papel importante en la

respuesta estructural.

La curva de capacidad sísmica resistente de una estructura es función

de la distribución de fuerzas laterales que se aplican en cada uno de los

pisos. Por este motivo es importante tener presente los principios de la

dinámica de estructuras para aplicar las fuerzas laterales en cada uno de los

pisos, con los cuales se va aplicar la técnica del “Pushover”.

7.1.1.-Criterio 1: Modo Fundamental.

Si se tiene una estructura muy regular en planta y elevación ésta va a

trabajar básicamente en el primer modo de vibración. En consecuencia las

fuerzas laterales a aplicarse en cada uno de los pisos se determinan con la

siguiente ecuación.

��ൌ ܨ߶

∑ோ� ߶… … .7.1

Donde

La masa en el piso i =

La forma del primer modo en el piso i = ߶

V= Cortante basal.

N= Número de pisos.

La fuerza correspondiente al piso i= ܨ

7.1.2.- Criterio 2: Modos Superiores

Cuando se tiene una estructura en la cual se conoce que la influencia

de los modos superiores es importante en la respuesta sísmica, se debe


∑ ߛ

߶

encontrar las fuerzas laterales aplicando el presente criterio que está basado

en el Modo fundamental equivalente ߶ത propuesto por Valles (1996).

El modo fundamental equivalente ߶ത se determina empleando

el criterio del Máximo Valor Probable en la combinación de los modos

de

vibración, utilizando la siguiente ecuación:

ோ�

߶ത ൌ�� ඩ ሺ߶ … ሻ ߛ … .7.2�ଵ

∑ோ� ଵ ߶ �

ோ�

�ଵ

ଶ … … .7.3

Finalmente las fuerzas laterales en cada piso se obtienen aplicando la

siguiente expresión:

߶തܨ ൌ�� ∑ோ�

߶ത

… … 7.4

7.2.-Desplazamiento Tope (target displacement)

El análisis estático no lineal debe continuar su incremento de cargas

hasta que la deflexión del punto de control exceda el ciento cincuenta por

ciento del desplazamiento tope (NEHRPA5.2)

El desplazamiento tope se puede calcular como sigue:

Donde

ଶܥ ܥ ܥ ܥ ��ൌ ߜ 7.4௧ … … ଵ ଶ ଷ ߨ4 ଶ


Factor de modificación debido a la simplificación del sistema de= ܥ

un grado de libertad a uno de varios grados de libertad. Otra opción es la

tabla

3-2 FEMA 356

ଵ =factor de modificación que relaciona el máximoܥdesplazamiento

inelástico esperado, con los desplazamientos calculados por la respuesta

lineal:

ݎ 1.0 ��ௌ

1 ൌ� 1ሻௌ��

൨

ݎ ൏ ௦ … … .7.5

Pero ܥ ଵ no puede ser menor que 1

También se pueden utilizar las fórmulas empíricas del punto

3.3.1.3 del FEMA 356

periodo fundamental de la estructura=

௦ =respuesta característica del espectro de respuesta.

=Proporción de la demanda de la fuerza elástica para calcular

coeficiente de resistencia a la fluencia

ଶ =facto de modificación para representar la escasa forma delܥ

la curva de histéresis, la degradación de rigidez y el deterioro de

la fuerza en el máximo desplazamiento.

ଷ =factor de modificación que representa el incrementoܥ

del desplazamiento a causa de los efectos P-∆

aceleración espectral. Para el periodo fundamental (1.6.2.1=

FEMA 356)

7.3.-Curva de Deformación Plástica.

Como se puede observar en el inciso 5.2 el diagrama de Momento-

curvatura mide la capacidad de ductilidad de la viga y posteriormente la

compara con las demandas que tiene el diseño, según los criterios de FEMA

356, de igual forma la demanda se puede calcular comparando cualquier

deformación contra fuerza, así para cada elemento mecánico, se puede

definir una curva que representa la capacidad que la estructura tiene para

soportar la demanda que ésta exige. En elementos como vigas y columnas la

respuesta típica para esta curva se observa en la figura 7.2

El significado de cada uno de los puntos es el siguiente:

Figura 7.2.-Generalización de la relación fuerza-deformación para una viga

de concreto donde domina la flexión. Tomada del FEMA 356

• A es siempre el origen

• B representa la fluencia, ninguna deformación se produce en la rótula

antes del punto B hablamos de un comportamiento Elástico,

independientemente del valor de deformación especificada para el

punto B. El desplazamiento (rotación) en el punto B puede ser

determinado por la deformación en el punto C, D, y E. sólo la

deformación plástica más allá del punto B será mostrada en la rótula.

• Punto C representa la capacidad última para el análisis Pushover. Sin

embargo, se puede especificar una pendiente positiva de C a D para

otros propósitos

• Punto E representa la falla total. Más allá del punto E la rótula podrá

bajar la carga al punto F (el cual no se muestra en la gráfica)

directamente debajo del punto E en el eje horizontal. Si no se

pretende que la rótula falle en esta forma, es importante especificar un

valor considerable para la deformación en el punto E.

Es posible adicionar el valor de deformación para los puntos que

determinan los niveles de desempeño según el FEMA 356

Para el cálculo de la distancia a, b y c de la Figura 7.2.a, es posible

utilizar las tablas que se encuentran en el FEMA 356 tabla 6-7 y 6-8 para

vigas y columnas.

7.4.-Descripción General del Proceso de Cálculo

En el cálculo manual del la técnica del Pushover se toman en cuenta

algunas hipótesis importantes: consideramos a la estructura sólo con 2

grados de libertad, uno debido a giro en los nudos y otro debido al

desplazamiento horizontal de todo el nivel, esta hipótesis parte del hecho de

considerar que la viga es infinitamente rígida

La carga horizontal aplicada se concentra en un nudo del piso. Con

cada incremento de carga se determina las nuevas características obtenidas

en base a las relaciones momento curvatura. Para el caso de las columnas

(la viga no porque se considera totalmente rígida), se determina las nuevas

rigideces de los elementos, las deformaciones, los momentos que genera

cada incremento de carga.

Es necesario encontrar en la relación momento curvatura los puntos

en los cuales se produce el cambio de pendiente, estos puntos son: A, Y U

Figura 6.10. En donde el punto A representa que el concreto ha

llegado a su máxima capacidad de tracción, el punto Y cuando el acero

alcanza la fluencia y por último en punto U, el cual nos indica que el concreto

llega a la máxima deformación útil.

La técnica del Pushover se realiza con pequeños incrementos de

carga de alrededor de 0.1Ton. Esto para cuando se utiliza un programa de

cómputo. Para resolver manualmente Aguíar recomienda incrementos de

carga de 2Ton, la carga con la que se resuelve el problema es muy alta pero

se tendrán menos operaciones y será más factible mostrar la secuencia del

cálculo.

Para encontrar la curva de capacidad resistente de una estructura se

procede de la siguiente, manera:

• Se determina la relación momento de curvatura en vigas y

columnas, la relación momento curvatura en columnas depende

de la carga axial para iniciar el cálculo se considera una carga

axial nula

• Se calcula la matriz de rigideces condesada de la estructura.

• Para iniciar el cálculo se aplica una carga horizontal

• Se obtiene el vector de desplazamientos debido a la carga

horizontal aplicada en la estructura.

• Finalmente se obtienen los momentos actuantes en la

estructura.

• Se procede a comparar los momentos resultantes con los

momentos de agrietamientos calculados en el primer paso

• Si los momentos encontrados superan a los momentos de

agrietamiento se determina la carga lateral exacta que se debe

aplicar para llegar al momento de agrietamiento, esto se hace

con una regla de tres.

• Una vez encontrada la fuerza se debe repetir el proceso y

desde un punto de vista riguroso con otras rigideces en función

de la carga axial que gravita sobre cada columna

• Esta fuerza provoca reacciones en las columnas y con esta

carga axial se determina nuevamente la relación momento

curvatura y por consiguiente la nueva matriz de rigidez en cada

uno de los elementos de la estructura

• De igual forma se realizan los incrementos sucesivos hasta

llegar al punto Y, y de la misma forma cuando pasen ese punto

cada una de las columnas se trabajará con la nueva rigidez que

para la ultima rama será la rigidez ultima de la estructura.

7.5.- Análisis Estático No Lineal Pushover En SAP2000V14

Como se observó en el punto anterior el proceso de cálculo de un

análisis estático no lineal Pushover puede llegar a ser tedioso y poco práctico

de realizar de forma tradicional. Es por eso que para la realización de este

trabajo se propone la utilización de un programa de cómputo, debido a que

Facultad de Ingeniería de la Universidad Veracruzana cuenta con la licencia

oficial del programa de computo SAP 2000v14 el autor de este trabajo a

tomado la decisión de realizar el análisis estático no lineal en dicho programa

de computo.

Cabe resaltar que el objetivo de este trabajo no es dar a conocer todas

las herramientas con las que cuenta dicho programa de cómputo, sólo las

necesarias para poder realizar el análisis estático no lineal.

SAP2000 provee las siguientes herramientas que son necesarias para

realizar un análisis de Pushover

• Podemos definir la no-linealidad del material incluyendo las

articulaciones plásticas, las cuales podemos crear con las

características que consideremos convenientes o, utilizar el

criterio del FEMA 356

• El análisis estático no lineal permite tener un control en los

desplazamientos

• Es capaz de mostrar las curvas de capacidad

• Es capaz de mostrar el estado de las rótulas plásticas en cada

uno de los pasos del análisis Pushover

Capítulo 8 EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se desea encontrar la curva de capacidad del marco perteneciente al

eje 2 en dirección Y de la estructura de 5 niveles cuya configuración en

planta se indica en la figura 8.1

Figura 8.1.-Planta Estructural.

8.1.-Descripción General De La Estructura

La altura de cada entrepiso es de 3.10 metros para cada nivel, la

altura máxima de la estructura es de 15.50m medidos desde el nivel de

banqueta.

La estructura se proyectó para alojar 4 departamentos por nivel dando

un total de 20 departamentos en total. Según lo anterior y en base al

reglamento de construcción del Distrito Federal, (debido a que el estado de

Veracruz carece de un reglamento adecuado) la estructura se ubicará en la

cuidad y puerto de Veracruz. se clasifica como tipo B, la zona Sismica según

el reglamento de construcción del DF es B. El tipo de suelo es II, debido a

esto el coeficiente sísmico a utilizar es 0.3 y el factor de comportamiento

sísmico es Q=3 en los dos sentidos.

Figura 8.2.-Marco eje 2 en dirección Y

Figura 8.3.-Armado de vigas niveles 1 a 3

Figura 8.4.-Armado de vigas nivel 4

Figura 8.5.-Armado de vigas nivel 5

Figura 8.6.-Armado de columnas

El detallado de los miembros estructurales se puede observar en las

figuras 8.4 a 8.6 se siguieron las siguientes hipótesis para el diseño de los

miembros:

• Se realizó el método sísmico estático o ELF mencionado en el

inciso 4.1 de este documento, para obtener el patrón de cargas

laterales aplicado en el marco.

• Se realizó un análisis elástico lineal, para la obtención de los

elementos mecánicos

• Se realizaron 3 combinaciones de carga: (CM+CV),

(CM+CV+SISMOY), y (CM+CV+SISMOYN), multiplicados por

sus diferentes factores de carga.

• Para el diseño del las barras longitudinales en trabes se

consideró el momento de mayor magnitud en ambos sentidos

(positivo y negativo) y con esto se obtuvo el acero requerido

mínimo, posteriormente se propusieron áreas de acero

ligeramente por encima del requerido.

• En las columnas se consideró un momento uniaxial,

• Para el cálculo del cortante resistente VCR se consideró la

fórmula simplificada en la cual la resistencia al esfuerzo

cortante es constante a lo largo de la viga.

• Se siguieron las indicaciones para conseguir marcos dúctiles.

• En general se utilizaron las especificaciones de diseño de las

NTC-04

8.2.-Procedimiento para encontrar curva de Capacidad del

marco por medio del programa SAP 2000v14

Se mostraran cada uno de los pasos a seguir para obtener la curva

de capacidad del marco que se está analizando, se recomienda al lector

tener conocimientos previos acerca del programa SAP2000V14 o versiones

anteriores.

Para aquellos que no estén familiarizados con el programa, al final de

este trabajo se recomiendan algunos manuales.

8.2.1.-Crear un Modelo

Este paso se omite y se presenta el modelo que se creó a base de

elementos barras, definiéndose tanto las propiedades de los materiales como

la geometría de cada sección que conforma el marco

Figura 8.7.-Modelo del marco en SAP 2000v14

8.2.2.-Definir y Asignar las Rótulas Plásticas.

Para definir las características de cada una de las rotulas plásticas, en

la barra de herramientas Define Section Properties Hinge Properties

figura 2

Figura 8.8.-Pasos a seguir para definir las características de las rótulas

Posteriormente aparece una ventana como la de la figura 8.9 y

seleccionamos la opción de Add New Propert y , Inmediatamente se despliega

el menú mostrado en la figura 8.10 en el cual seleccionamos el material de la

rótula

Figura 8.9.-Definir propiedades de la rótula

Figura 8.10.-Material de la rotula

Una vez que seleccionamos OK se despliega la pantalla de la figura

8.11 en la cual se podemos definir el nombre de la rótula, por default el

programa la llama FH1, también definimos el tipo de rotula, en este caso

seleccionamos una rótula con características de deformación controlada o

dúctil.

Seleccionamos Moment M3, damos click en Modify/Show Hinge

Properties y se despliega la siguiente pantalla figura 8.12

Figura 8.11.-Datos de las propiedades de la rótula

Figura 8.12.-Propiedades de la rótula

Para definir las características de las rótulas plásticas se tomaron las

siguientes consideraciones:

Las rótulas diseñadas para vigas sólo están trabajando ante efectos

de flexión dejando de lado los efectos de cortante, ya que se considera que

el confinamiento es el adecuado.

Así para definir las características de la rótula 1 que se ubica en la

viga 6 a la izquierda de la misma, se utiliza en el armado de la figura 8.3,

pero trabajando como simplemente armada, momento positivo.

Se utiliza los datos del cálculo de los puntos notables del diagrama de

momento-curvatura en esa sección de viga, y se multiplican por la longitud

de la rotula para obtener la gráfica Momento-Rotación, ya que esta gráfica es

la que SAP2000v14 maneja para definir las características de la rotula.

Por último es necesario conocer los criterios de aceptación del

comportamiento de la rótula como lo marca el FEMA356, para conocer el

nivel de desempeño en el cual se encuentran las rotulas.

Se calcularon los puntos notables del diagrama de momento de

curvatura aplicando las fórmulas mencionadas en el inciso 5.2.1 de este

documento, para cada armado de vigas y la columna se calculan los puntos

Y y U, posteriormente se calculó la longitud de la rotula plástica, siguiendo

los críterios marcados en los incisos 6.3.1 y 6.3.2.

Esta rótula se ubicará en el extremo derecho de la viga 16, los datos

del diagrama Momento-Rotación son los siguientes

Punto M/My ߠ௬ߠ

A

B

C

D

E

0 0

1 0

1.17950345 4.0717493

0.2 4.0717493

0.2 5.6076239

Tabla 8.1 Momentos y Rotaciones en función de My y ߠ௬

Con estos datos es posible obtener la curva momento rotación

suavizada donde cada valor de M esta expresado como un porcentaje del

momento My.

Con la tabla 6-7 del FEMA356 se obtienen las rotaciones permisibles

para cada nivel de desempeño de la rotula.

Niveles dedesempeño Rotaciones

permisibles expresadas% de ߠ௬

IOLS(P) CP(P)

0.761.533.07

Tabla 8.2 Rotaciones Permisibles

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 2 4 6

θ/θy

M/M

y

Momento-Rotación

A B C D E

Gráfica 8.1.- Grafica Momento-Rotación de la Rotula R1

Se describe cómo llenar la tabla de la figura 8-12 con los datos de la

rótula R1.

a) En la parte superior de la tabla Di s placement Control Para m eter s ,

introducimos los datos de la tabla 11, en la parte inferior de la gráfica

seleccionamos la opción de S y mmetric ya que la carga lateral sólo

actúa en un sentido.

b) En la parte superior derecha Type, seleccionamos Momento-Rotación

ya que este es el tipo de gráfica que estamos utilizando.

c) En Load Carrying Capacity Be y ond Point E , seleccionamos la opción

is Extrapolated , esto quiere decir que una vez que la rótula haya

agotado su capacidad de carga hasta el punto E, el programa

extrapolara el valor de la rotación y el momento más allá del punto E

d) En Scaling for Moment and Ro t ation . Indicamos el valor del momento

My y de la rotación ߠ௬ , el momento My para el caso de la rótula R1

es el mostrado en el apéndice A, y la rotación es el producto de

curvatura en Y y la longitud de rótula en el extremo izquierdo de la

viga 16

e) Finalmente en la parte inferior A cceptance Criteria P l a stic Rotati o n/SF

vaciamos los datos de la tabla 8.2

f) Seleccionamos OK, y damos ok a cada ventana hasta que

regresemos al menú principal.

Este procedimiento se tiene que repetir para definir cada una de las

rotulas que el encargado de realizar el análisis pretende diseñar.

8.2.3.-Ubicación de la Rótula.

Seleccionamos la viga, o Columna a la cual vamos a asignar la rótula

plástica dando click sobre el elemento barra. Posteriormente vamos a la

barra de herramientas en Assign F rame Hinges (figura 7),

seleccionamos la opción y se despliega la ventana mostrada en la figura 8.

a) En Hinge Propert y , seleccionamos la rótula que definimos

previamente

b) En Relati v e Distance seleccionamos la distancia con respecto

al punto de inicio del elemento en la cual queremos ubicar la

rótula, esta distancia se expresa en porcentaje de la distancia

total del elemento.

c) Los datos de las distancias de todas las rotulas del proyecto se

encuentran en el apéndice A, las podemos observar en la figura

8.15

Figura 8.13.-Asignar Rótulas

Figura 8.14.-Ubicación de rótulas en vigas y Columnas.

Figura 8.15 Ubicación de Rótulas Plásticas en el Marco

8.2.4.-Definir Patrones de Carga

Para los patrones de carga se escogen los utilizados en el análisis

lineal, la carga muerta y la carga viva se han introducido en un mismo patrón

de cargas. Sólo que se crearán patrones de carga no lineales

El patrón de cargas laterales es el mismo que se obtuvo en el método

sísmico estático, pero se transformará a un caso no lineal.

Para definir los patrones de carga, en la barra de herramientas nos

dirigimos hacia Define Load Cases (figura 8.16).

Figura 8.16 -Casos de Carga

Figura 8.17 .-Definir Casos de Carga.

En esta ventana tenemos los casos de carga que se utilizaron en el

análisis elástico lineal. Estos serán de utilidad para transformarlos en casos

no lineales.

Escogemos la opción Add New Load Case si se despliega la siguiente

pantalla.

Figura 8.18.-Datos del Caso de Carga

Primero creamos el caso de carga no lineal de las fuerzas verticales, en este

caso la CM y CV. En la parte superior derecha, Load Case Type,

seleccionamos Static, y en el tipo de análisis escogemos Nonlinear.

En la parte izquierda del menú, en initial conditions seleccionamos

zero initials conditions, ya que esta será la primera carga que afectará a la

estructura.

En Load Applied, seleccionamos el caso de carga, que como se

mencionó será el de CM+CV, las demás opciones se dejan tal cual, aparecen

por default.

Ahora realizamos el mismo procedimiento, sólo que esta vez

definimos el patrón de carga lateral: PUSH1, el cual será la carga que se

incrementara de manera monótonamente creciente.

Figura 8.19 Patrón de Cargas Laterales

En el apartado de initial conditions seleccionamos, Continue From

State at End of Nonlinear Case, y seleccionamos el caso de CM+CV (No

Lineal)

Vamos a Others Parameters, en Load aplicación y damos click en

Modify/Show, enseguida se despliega el siguiente menú

Figura 8.20.-Control de la aplicación de carga no lineal.

En el menú seleccionamos la opción Displacement Control, y Use

Conjugate Displacement con lo anterior el programa automáticamente

calcula el desplazamiento tope. Los demás parámetros se quedan tal como

se encuentran.

En la opción Result Saved damos click en Modify/Show

Figura 8.21.-Guardar Resultados

Seleccionamos la opción Multiple States, para guardar cada uno de

los resultados obtenidos para cada incremento de carga.

En la opción Nonlinear Parameters damos click y tenernos la siguiente

ventana.

Figura 8.22.-Parámetros de caso no lineal.

En la opción Unloading Method seleccionamos Apply Local

Redistribution, para que ocurra la redistribución de momentos en la

estructura.

Una vez definidos todos los parámetros estamos en posición de correr

el análisis.

8.2.5.-Resultados

Para observar la curva de capacidad vamos al menú Disp lay Show

Static Pushover Curve y se despliega la siguiente ventana:

Figura 8.23.-Curva de Capacidad

Para observar la Aparición de las rótulas plásticas en el análisis

incremental en el menú Disp lay. Show Deformed Shape, se observa una

ventana, seleccionamos el caso no lineal de incremento monótono para este

caso (PUSH1) y vemos cada uno de los pasos y como en cada paso se

observa el estado de daño de las rótulas según lo marca el inciso 5.3 de este

documento.

Capítulo 9 CONCLUSIONES

9.1 Conclusiones

Se realizó un análisis estático no lineal “Pushover” a un marco plano

de concreto reforzado de cinco niveles (figura 8.2) para dicho plano se

realizó un pre-diseño de los elementos estructurales (columnas y vigas). Con

esta información se modelaron las rótulas plásticas como se puede ver en el

apéndice A basándose en las recomendaciones del FEMA 356, se aplicó un

patrón de cargas con la forma del método sísmico estático (ELF) figura 8.18

como lo recomienda Chopra y Goel (2001), en base a esto se obtuvo la curva

de capacidad de la figura 8.22.

• Para un cortante basal de 64.45Ton y un desplazamiento en el

último nivel de 7.34mm (figura 8.23) el cual ocurre para el

patrón de cargas calculado con el método sísmico estático, la

estructura no ingresa al rango no lineal ya que se queda en la

primera parte de la curva entonces para un sismo de menor

magnitud la estructura también se comportará de forma elástica

por lo tanto se cumple lo establecido en el diseño por

resistencia, en el cual para un sismo moderado la estructura se

comporta de manera lineal.

• Ahora como se mencionó anteriormente para un sismo de gran

magnitud la estructura no ingresa al rango no lineal, en este

caso aunque la estructura será de igual manera segura ante

efectos sísmicos, se está desaprovechando las propiedades no

lineales de los materias por lo tanto podríamos decir que la

estructura se encuentra un tanto cuanto sobre diseñada. Y se

podrían reducir las secciones o las cantidades de acero en los

elementos estructurales, así rediseñar las rótulas plásticas y

aprovechar las propiedades no lineales y la redistribución de

momentos pero sin sobrepasar los niveles marcados por el

FEMA 356.

.

9.2.-Recomendaciones

En este trabajo el diseño de los elementos estructurales se realizó

para el caso más desfavorable y sólo se redujo el número de barras de acero

en las vigas y para columnas se realizó sólo un diseño.

• El autor recomienda realizar un análisis más detallado de cada

uno de los elementos estructurales.

• Se propone realizar un diseño más refinado para cada una de

las rótulas plásticas que se esperan se formen durante el

incremento de cargas.

• Se recomienda obtener al menos 2 curvas de capacidad para

dos diferentes patrones de carga. Como lo recomienda Fajfar

(2000).

• Durante la realización de este trabajo se observó la escasa

información acerca de la longitud de la rótula plástica, por lo

tanto se recomienda realizar más estudios acerca de este

fenómeno que es de vital importancia para el diseño de las

rótulas plásticas.

• Por otra parte seria importante desarrollar un programa de

cómputo que sea capaz de calcular los diagramas de momento-

rotación basados en el bloque de esfuerzos propuesto por las

NTC 04, ya que los existentes están basados en la hipótesis

ACI.

9.3.-Trabajos futuros

Como trabajos futuros se recomienda introducir un espectro de diseño

basado en un acelerograma capturado de un sismo registrado en el estado

de Veracruz. Cabe destacan que el instituto de ingeniería de la Universidad

veracruzana cuenta con un amplio registro de acelerogramas.

Dicho espectro de diseño se puede transformar a un espectro de

demanda, y la curva de capacidad se puede transformar a un espectro de

capacidad, estas dos curvas estarán en función de aceleraciones y

desplazamientos espectrales. Con esta información y siguiendo la

metodología del método del espectro capacidad descrito en el ATC-40, con

este método finalmente se puede definir el punto de desempeño de la

estructura, el cual representa el máximo desplazamiento estructural esperado

para el terremoto de demanda

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proporcionado en el seminario internacional de Computers & Structures, Inc

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APÉNDICE A DISEÑO DE LAS RÓTULAS PLASTICAS (CD

Anexo)


APÉNDICE B FORMACIÓN DE LAS RÓTULAS PLÁSTICAS

(CD ANEXO)

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