Termodinamica Problemas

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FUNDAMENTOS FSICOS DE LA INGENIERA PROBLEMAS DE TERMODINMICA PROCESOS POLITRPICOS DE UN GAS IDEALProblema 1. Ciclo 3 etapas (isocora + adiabtica + isoterma) Problema 2. Ciclo de Carnot (ciclo de potencia) Problema 3. Ciclo de Stirling Problema 4. Ciclo de Otto Problema 5. Proceso adiabtico + isotermo. Clculo de entropa Problema 6. Proceso politrpico. Clculo de calor Problema 7. Ciclo 4 etapas (2 isoabaras + 2 isocoras) Problema 8. Proceso politrpico. Clculo de entropa Problema 9. Ciclo 3 etapas (isobara + politrpica + isoterma). Clculo de entropa Problema 10. Ciclo de Carnot (ciclo de refrigeracin) 1

T e r m o d i n m i c a

PROBLEMA 1 Un gas ideal de coeficiente adiabtico = 1.4 con un volumen especfico inicial de 0.008 m3/mol se somete a un calentamiento isocrico que hace variar su presin entre 2.65 bar y 4.20 bar. Seguidamente el gas se expande adiabticamente hasta un volumen adecuado, y por ltimo se somete a una compresin isoterma hasta que recupera su volumen especfico inicial. Se pide: A) Dibuje esquemticamente en forma cualitativa los procesos sufridos por este gas en un diagrama p v. B) Determine presin, volumen y temperatura del punto comn del proceso adiabtico y del proceso isotermo sufrido por el gas. Dato: R = 8,314 J/(Kmol) C) Determine el rendimiento del ciclo termodinmico que ha descrito el gas. Apartado A)v0 = v1 = v2 = 0.008 m3 /molP 1 = 2.65 bar P2 = 4.20 barP2UCLM

P

2

El gas describe un ciclo de potencia (sentido horario) cuyos puntos notables son 1, 2 y 3.

P1

1

ADIABTICA

ISOTERMAP3 3

v0

v3

v

2

PROBLEMA 1 (CONT)UCLM

Apartado B) (Determinacin coordenadas punto 3)P

P2

2

Las temperaturas de los puntos notables se determinan inmediatamente a partir de la ecuacin de estado del gas:

P1

1

ADIABTICA

ISOTERMAP3 3

p1v1 = 255 K pV = nRT R pv = RT V p2v2 p = RT T = = 404 K 2 n R Las temperaturas T3 y T1 son iguales, estn sobre la misma isoterma T3 = T1 = 255 K T1 =v

v0

v3

Para obtener el volumen del punto 3: Ecuacin de la adiabtica: Ecuacin de la isoterma: En trminos de volmenes molares:

Dividiendo miembro a miembro: p2v2 v3 = pv 11

p2 n v2 1 = n v3 p1v11 / ( 1)

p2V2 = p3V3

= 0.025 m 3 /mol

p1V1 = p3V3

p2 n v2 = p3n v3 p1v1 = p3v3

Presin del punto 3:

p3 =

RT3 = 83799 Pa = 0.838 bar 3 v3

PROBLEMA 1 (CONT) Apartado C) (Determinacin del rendimiento) Veamos cualitativamente trabajo y calor en cada etapa del cicloP

Rendimiento: =p2V2 p3V3 1V1

wneto wad + wisot = qV qVp2v2 p3v3 = 3100 J/mol 1

UCLM

Wad =

wad =

wV = 0 2 qV > 0ISOTERMA1

ADIABTICA

Wisot =

V3

V1

pdV =

V3

nRT V dV = nRT1 ln 1 V V3

qad = 0 wad > 0

wisot = RT1 ln

v1 = 2441 J/mol v3

QV = ncV T = ncV (T2 T1 )qV =3 v

wisot < 0 qisot = wisot < 0=cV =cP cV

QV = cV (T2 T1 ) nR (T T ) = 3100 J/mol 1 2 1Pregunta: Es casual que el resultado numrico para qV coincida con wad?

cP cV = RR ( 1)

qV =

p (Pa)1 2 3

v (m3/mol)0,008 0,008 0,025

T (K)255 404 255

265000 420000 83799

=

wneto wad + wisot 3100 2441 = = = 0.21 qV qV 3100

(21%)4

PROBLEMA 2 Un ciclo de Carnot reversible empleado como ciclo de potencia, que usa un gas ideal de UCLM coeficiente adiabtico 1.4 como fluido de trabajo, opera entre las temperaturas 300 K y 500 K. La presin mxima del ciclo es 2.50 bar, y en la etapa de expansin isoterma el gas aumenta su volumen especfico hasta alcanzar 0.040 m3/mol. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol). Determine las coordenadas volumen especfico, presin y temperatura de todos los puntos notables del ciclo. Si el ciclo se repite dos veces por segundo, determine la potencia desarrollada. Demuestre que para cualquier ciclo de Carnot el trabajo asociado con la etapa de compresin adiabtica es el mismo en valor absoluto y de signo opuesto al trabajo desarrollado en la expansin adiabtica, y que el trabajo neto producido es la suma algebraica del trabajo de la expansin isoterma y de la compresin isoterma.

A) B) C)

5

PROBLEMA 2 (CONT.)UCLM

Apartado A) Coordenadas de los puntos notables del ciclop1 = 2.5 bar2,5

v2 = 0.040 m3/mol

12 Expansin isoterma T1 = T2 = 500 K 23 Expansn adiabtica. 34 Compresin isoterma T3 = T4 = 300 K 41 Compresin adiabtica.

1

2,0

1,5

Coordenadas de los puntos 1 y 2:2

v1 =

RT1 p1

p2 =

1,0

RT2 v2T (K) 500 500

0,5

Tb = 300 K4

Ta = 500 K30,08 0,10 0,12 0,14

1 2

P (bar) 2,50 1,04

P (Pa) 250000 103925

v (m3/mol) 0,0166 0,0400

0,0 0,00

0,02

0,04

0,06

Para calcular el volumen especfico del gas en el punto 3 usamos la relacin adiabtica entre los puntos 2 y 3 en funcin de volumen especfico y temperatura.

p2v2 = p3v3

1 1 T2v2 = T3v3

RT2 RT3 v2 = v3 v2 v3

T2 v3 = v2 T 3

1 / ( 1)

6

PROBLEMA 2 (CONT.) Apartado A) Coordenadas de los puntos notables del cicloUCLM

T2 Hemos calculado v3 = v2 T 3Una vez calculado el volumen especfico del punto 3, se obtiene su presin usando la ecuacin de estado El punto 4 es donde concurren la isoterma 34 y la adiabtica 41, por lo que debe cumplirse p4v4 = p1v1

1 / ( 1)

RT p3 = 3 v3

P (bar) 1

1 2 3 4

P (bar) 2,50 1,04 0,17 0,42

P (Pa) 250000 103925 17388 41828

v (m3/mol) 0,0166 0,0400 0,1434 0,0596

T (K) 500 500 300 300

2,5

2,0

1,5

p4v4 = p3v3 1 = v4

1,01 / ( 1)

2 Ta = 500 K 4 30,08 0,10 0,12 0,14

p1v1 p3v3

p1v1 v4 = pv 3 3

0,5

Tb = 300 K

Usando otra vez la ecuacin de estado

RT p4 = 4 v4

0,0 0,00

0,02

0,04

0,06

v (m3/mol)

7

PROBLEMA 2 (CONT.) Apartado B) Hay que calcular el trabajo producido por el ciclo. Esto puede hacerse de dos formas.B1. Clculo directo del trabajo de cada etapa isoterma (en el apartado C demostraremos que las adiabticas no intervienen en el trabajo neto del ciclo)v2UCLM

wisot 12 =

v1

v2

pdv =

v1

RT1 v dv = RT1 ln 2 = 3649 J/mol v v1

v4

wisot 34 =

v3

v4

wneto = wisot 12 + wisot 34 = 3649 2189 = 1460 J/molRT3 v dv = RT3 ln 4 = 2189 J/mol v v3&= w

pdv =

v3

wneto 1460 = = 2920 watt/mol t 0 .5 T 300 = 0 .40 B2. Clculo del trabajo a partir del rendimiento del ciclo reversible. = 1 3 = 1 T1 500El tiempo que tarda esta mquina trmica en describir un ciclo es t = 0.5 s, por tanto la potencia especfica es

La energa que debe suministrarse para el funcionamiento del mismo es el calor de la etapa isoterma de alta temperatura, que es igual al trabajo de la expansin isoterma 12, ya que la energa interna del gas ideal slo depende de su temperatura y por lo tanto no sufre variacin en dicha etapa:

u 12 = qisot 12 wisot 12 = 0El trabajo especfico neto es:

qisot 12 = wisot 12 = 3649 J/mol&= w wneto 1460 = = 2920 watt/mol 0 .5 t8

=

wneto qisot 12

wneto = qisot 12 = 0 .40 3649 = 1460 J/mol

PROBLEMA 2 (CONT.) Apartado C) Demuestre que para cualquier ciclo de Carnot el trabajo asociado con la etapa de compresin adiabtica es el mismo en valor absoluto y de signo opuesto al trabajo desarrollado en la expansin adiabtica, y que el trabajo neto producido es la suma algebraica del trabajo de la expansin isoterma y de la compresin isoterma.Trabajo de un proceso adiabtico entre las condiciones (vi,pi) y (vf,pf).vfvfUCLM

w=

pdvvi

=

vi

v1 v1 C p f v f pi vi pi vi p f v f = dv C = pv = = 1 v 1 1 1 i iAplicando la ecuacin de estado del gas ideal:

f

f

C Ecuacin adiabtica: p = vp

w=

R Ti T f 1

(

)

(vi , pi )ADIABTICA w

En el ciclo de Carnot hay dos adiabticas: los procesos 23 y 41 (vase apartado A). Puesto que en el proceso 23 Ti = T2 y Tf = T3, mientras que en el proceso 41 las temperaturas son Ti = T3 (= T4) y Tf = T2 (= T1), se deduce que

wadiab 23 = wadiab 41

(v f , p f )v

Por lo tanto, el trabajo neto del ciclo corresponde a la suma (algebraica) de los trabajos de las etapas isotermas 12 y 34, pues los trabajos 9 adiabticos se cancelan entre si.

PROBLEMA 3UCLM Un ciclo de Stirling de refrigeracin que consta de dos isotermas y dos isocricas utiliza como fluido de trabajo 0.50 moles de un gas ideal y opera entre las temperaturas 253 K y 300 K. Los volmenes mximo y mnimo del ciclo son 40 litros y 20 litros respectivamente. Suponga que todas las etapas de este ciclo son reversibles. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol). Determine las coordenadas volumen especfico, presin y temperatura de todos los puntos notables del ciclo. Sabiendo que el coeficiente adiabtico del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine su eficiencia. Calcule el ndice politrpico de un proceso termodinmico que una directamente el punto de mayor presin con el punto de menor presin de este ciclo.

A) B) C)

Apartado A) vmax0,7

Vmax 40 103 m3 = = = 0.08 m3 /mol 0.50 mol nClculo de las presiones

vmin

Vmin 20 103 m3 = = = 0.04 m3/mol 0.50 mol n

P (bar)0,6

3

T1 = 253 KIsocrica 12

T2 = 300 Kv1 = v2 = vmax = 0.08 m3 /mol

pi =0,5

4

300 K

RTi vivmx

T3 = 30