Termodinamica Problemas

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Alcántara Vargas Alejandro Grupo: 1CM5 TEMPERATURA Sección 19.2 Termómetros y escala de temperatura Celsius Sección 19.3 Termómetro de gas a volumen constante y escala absoluta de temperatura 1. Un termómetro de gas a volumen constante se calibra en hielo seco (dióxido de carbono en evaporación en el estado sólido, con una temperatura de -80.0°C) y en alcohol etílico en ebullición (78.0°C). Las dos presiones son 0.900 atm y 1.635 atm. a) ¿Qué valor Celsius de cero absoluto produce la calibración? ¿Cuál es la presión en b) el punto de congelación del agua, y c) el punto de ebullición del agua? 3. El nitrógeno líquido tiene un punto de ebullición de -195.81°C a presión atmosférica. Exprese esta temperatura a) En gr ados Fahrenheit y b) en kelvins.

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Alcntara Vargas AlejandroGrupo: 1CM5TEMPERATURASeccin 19.2 Termmetros y escala de temperatura CelsiusSeccin 19.3 Termmetro de gas a volumen constante y escala absoluta de temperatura1. Un termmetro de gas a volumen constante se calibra en hielo seco (dixido de carbono en evaporacin en el estado slido, con una temperatura de -80.0C) y en alcohol etlico en ebullicin (78.0C). Las dos presiones son 0.900 atm y 1.635 atm. a) Qu valor Celsius de cero absoluto produce la calibracin? Cul es la presin en b) el punto de congelacin del agua, y c) el punto de ebullicin del agua?

3. El nitrgeno lquido tiene un punto de ebullicin de -195.81C a presin atmosfrica. Exprese esta temperatura a) En grados Fahrenheit y b) en kelvins.

Seccin 19.4 Expansin trmica de slidos y lquidos5. Un alambre telefnico de cobre en esencia no tiene comba entre postes separados 35.0 m en un da de invierno cuando la temperatura es de -20.0C. Cunto ms largo es el alambre en un da de verano, cuando TC = 35.0C?

7. El elemento activo de cierto laser se fabrica de una barra de vidrio de 30.0 cm de largo y 1.50 cm de dimetro. Si la temperatura de la barra aumenta en 65.0C, cul es el aumento en a) Su longitud, b) su dimetro y c) su volumen? Suponga que el coeficiente de expansin lineal promedio del vidrio es 9.00x10-6 (C)-1

9. Un delgado anillo de latn con dimetro interno de 10.00cm a 20.0C se calienta y desliza sobre una barra de aluminio de 10.01 cm de dimetro a 20.0C. Si supone que los coeficientes de expansin lineal promedio son constantes, a) a qu temperatura se debe enfriar esta combinacin para separar las partes? Explique si esta separacin es posible. b) Qu pasara si? Y si la barra de aluminio tuviera 10.02 cm de dimetro?

11. Un matraz aforado fabricado de Pyrex se calibra en 20.0C. Se llena hasta la marca de 100 mL con acetona a 35.0C. a) Cul es el volumen de la acetona cuando se enfra a 20.0C? b) Que tan significativo es el cambio en volumen del matraz?

13. Un cilindro hueco de aluminio de 20.0 cm de profundidad tiene una capacidad interna de 2.000L a 20.0C. Se llena por completo con trementina y luego se calienta a fuego lento a 80.0C. a) Cunta trementina se desborda? b) Si despus el cilindro se enfra otra vez a 20.0C, A qu distancia del borde del cilindro retrocede la superficie de la trementina?

15. Cierto telescopio forma una imagen de parte de un cumulo de estrellas en un chip detector de carga acoplada de silicio cuadrado de 2.00 cm por lado. Cuando se enciende, en el chip se enfoca un campo estelar y su temperatura es de 20.0C. El campo estelar contiene 5 342 estrellas dispersas de manera uniforme. Para hacer al detector ms sensible, se enfra a -100C. En tal caso cuantas imgenes de estrellas encajan en el chip? El coeficiente de expansin lineal promedio del silicio es 4.68x10-6 (C)-1.

Seccin 19.5 Descripcin macroscpica de un gas ideal17. La llanta de un automvil se infla con aire originalmente a 10.0C y presin atmosfrica normal. Durante el proceso, el aire se comprime a 28.0% de su volumen original y la temperatura aumenta a 40.0C. a) Cual es la presin de la llanta? b) Despus de que el automvil se maneja con gran rapidez, la temperatura en el aire de la llanta se eleva a 85.0C y el volumen interior de la llanta aumenta en 2.00%. Cul es la nueva presin de la llanta (absoluta) en pascales?

19. Un auditorio tiene dimensiones de 10.0 m x 20.0 m x 30.0 m. Cuantas molculas de aire llenan el auditorio a 20.0C y una presin de 101 kPa?

21. La masa de un globo de aire caliente y su carga (no incluido el aire interior) es de 200 kg. El aire exterior esta a 10.0C y 101 kPa. El volumen del globo es de 400 m3. A qu temperatura se debe calentar el aire en el globo antes de que este se eleve? (La densidad del aire a 10.0C es de 1.25 kg/m3.)

23. a) Encuentre el numero de moles en un metro cubico de un gas ideal a 20.0C y presin atmosfrica. b) Para aire, el numero de Avogadro de molculas tiene 28.9 g de masa. Calcule la masa de un metro cubico de aire. Establezca como contrasta el resultado con la densidad de aire tabulada.

25. Un cubo de 10.0 cm por lado contiene aire (con masa molar equivalente de 28.9 g/mol) a presin atmosfrica y 300 K de temperatura. Encuentre: a) la masa del gas, b) la fuerza gravitacional que se ejerce sobre l y c) la fuerza que ejerce sobre cada cara del cubo. d) Comente acerca de la explicacin fsica por la que tan pequea muestra ejerce una fuerza tan grande.

27. Un medidor de presin en un tanque registra la presin manomtrica, que es la diferencia entre las presiones interior y exterior. Cuando el tanque est lleno de oxigeno (O2), contiene 12.0 kg del gas a una presin manomtrica de 40.0 atm. Determine la masa de oxigeno que se extrajo del tanque cuando la lectura de la presin es de 25.0 atm. Suponga que la temperatura del tanque permanece constante.

29. Cunta agua separa una pardela? Para medir que tan abajo de la superficie del ocano bucea un ave para capturar un pez, Will Mackin uso un mtodo originado por lord Kelvin para sondeos realizados por la marina britnica. Mackin espolvoreo los interiores de delgados tubos de plstico con azcar y luego sello un extremo de cada tubo. Al husmear en una playa rocosa en la noche con una lmpara de minero en la cabeza, agarro a una pardela de Audubon en su nido y le amarro un tubo a la espalda. Luego capturara a la misma ave la noche siguiente y removera el tubo. Despus de cientos de capturas, las aves estaban sumamente molestas con el pero no se asustaron demasiado para alejarse de las colonias. Suponga que en un ensayo, con un tubo de 6.50 cm de largo, el encontr que el agua entro al tubo para lavar el azcar hasta una distancia de 2.70 cm desde el extremo abierto. a) Encuentre la mayor profundidad a la que bucea la pardela, si supone que el aire en el tubo permaneca a temperatura constante. b) El tubo se debe amarrar al ave en alguna orientacin particular para que funcione este mtodo? (La pardela de Audubon bucea a ms del doble de la profundidad que calcule, y especies ms grandes lo hacen casi diez veces ms profundo.)

Problemas adicionales31. Un estudiante mide la longitud de una barra de latn con una cinta de acero a 20.0C. La lectura es de 95.00 cm. Qu indicara la cinta para la longitud de la barra cuando la barra y la cinta estn a a) -15.0C y b) 55.0C?

33. Un termmetro de mercurio se construye como se muestra en la figura P19.33. El tubo capilar tiene un dimetro de 0.004 00cm y el bulbo un dimetro de 0.250 cm. Si ignora la expansin del vidrio, encuentre el cambio en altura de la columna de mercurio que ocurre con un cambio en temperatura de 30.0C.

35. Un tubo de aluminio, de 0.655 m de largo a 20.0C y abierto en ambos extremos, se usa como flauta. El tubo enfra a una temperatura baja, pero luego se llena con aire a 20.0C tan pronto como comienza a tocarla. Despus de eso, en cunto cambia su frecuencia fundamental a medida que el metal eleva su temperatura de 5.00C a 20.0C?

37. Un lquido tiene una densidad . a) Demuestre que el cambio fraccionario en densidad para un cambio en temperatura T es / = - T. Que implica el signo negativo? b) El agua pura tiene una densidad mxima de 1.000 0 g/cm3 a 4.0C. A 10.0C, su densidad es 0.999 7 g/cm3. Cual es para el agua en este intervalo de temperatura?

39. Un cilindro vertical de rea de seccin transversal A, se sella con un pistn sin friccin de gran ajuste de masa m (figura P19.39). a) Si n moles de un gas ideal estn en el cilindro a una temperatura T, cul es la altura h a la que el pistn est en equilibrio bajo su propio peso? b) Cual es el valor para h si n = 0.200 mol, T = 400 K, A = 0.008 00 m2 y m = 20.0 kg?

41. La placa rectangular que se muestra en la figura P19.41 tiene un rea Ai igual a lw. Si la temperatura aumenta en T, cada dimensin aumenta de acuerdo con la ecuacin L = Li T, donde es el coeficiente de expansin lineal promedio. Demuestre que el aumento en rea es A = 2Ai T. Qu aproximacin supone esta expresin?

PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICASeccin 20.1 Calor y energa interna1. En su luna de miel, James Joule puso a prueba la conversin de energa mecnica en energa interna al medir temperaturas de cascadas de agua. Si el agua en lo alto de una cascada suiza tena una temperatura de 10.0C y despus caa 50.0 m, qu temperatura mxima en el fondo podra esperar Joule? No tuvo xito para medir el cambio de temperatura, en parte porque la evaporacin enfriaba el agua que caa y tambin porque su termmetro no era suficientemente sensible.

Seccin 20.2 Calor especfico y calorimetra3. La temperatura de una barra de plata se eleva 10.0C cuando absorbe 1.23 kJ de energa por calor. La masa de la barra es 525 g. Determine el calor especifico de la plata.

5. El uso sistemtico de la energa solar produce un gran ahorro en el costo de calentamiento de una casa tpica en el norte de Estados Unidos durante el invierno. Si la casa tiene buen aislamiento, puede modelarla con una prdida de energa por calor estable en 6 000 W en un da de abril, cuando la temperatura exterior promedio es de 4C, y el sistema de calefaccin convencional no se usa. El colector pasivo de energa solar puede consistir simplemente de ventanas muy grandes en una habitacin con cara al sur. La luz del sol que brilla durante el da se absorbe en el suelo, las paredes interiores y los objetos en la habitacin, lo que eleva su temperatura a 38.0C. A medida que el Sol se pone, las cortinas o persianas se cierran sobre las ventanas. Durante el periodo entre 5:00 p.m. y 7:00 a.m., la temperatura de la casa caer y se requerir una masa trmica suficientemente grande para evitar que caiga demasiado. La masa trmica puede ser una gran cantidad de piedra (con calor especifico de 850 J/kg *C) en el suelo y las paredes interiores expuestas a la luz solar. Qu masa de piedra se requiere si la temperatura no cae por abajo de 18.0C durante la noche?

7. Una herradura de hierro de 1.50 kg, inicialmente a 600C, se deja caer en una cubeta que contiene 20.0 kg de agua a 25.0C. Cul es la temperatura final? (Ignore la capacidad trmica del contenedor y suponga que hierve una cantidad despreciable de agua.)

9. Un calormetro de aluminio, con una masa de 100 g, contiene 250 g de agua. El calormetro y el agua estn en equilibrio trmico a 10.0C. Dos bloques metlicos se colocan en el agua. Uno es un trozo de cobre de 50.0 g a 80.0C. El otro tiene una masa de 70.0 g y originalmente esta a una temperatura de 100C. Todo el sistema se estabiliza a una temperatura final de 20.0C. a) Determine el calor especfico de la muestra desconocida. b) Con los datos de la tabla 20.1, puede hacer una identificacin positiva del material desconocido? Puede identificar un material posible? Explique sus respuestas.

11. Una combinacin de 0.250 kg de agua a 20.0C, 0.400 kg de aluminio a 26.0C y 0.100 kg de cobre a 100C se mezcla en un contenedor aislado y se les permite llegar a equilibrio trmico. Ignore cualquier transferencia de energa hacia o desde el contenedor y determine la temperatura final de la mezcla.

Seccin 20.3 Calor latente13. Cunta energa se requiere para cambiar un cubo de hielo de 40.0 g de hielo a -10.0C a vapor a 110C?

15. Una bala de plomo de 3.00 g a 30.0C se dispara con una rapidez de 240 m/s en un gran bloque de hielo a 0C, en el que queda incrustada. Qu cantidad de hielo se derrite?

17. Un bloque de cobre de 1.00 kg a 20.0C se deja caer en un gran recipiente de nitrgeno liquido a 77.3 K. Cuntos kilogramos de nitrgeno hierven para cuando el cobre alcanza 77.3 K? (El calor especifico del cobre es 0.092 0 cal/g*C. El calor latente de vaporizacin del nitrgeno es 48.0 cal/g.)

19. En un recipiente aislado 250 g de hielo a 0C se agregan a 600g de agua a 18.0C. a) Cual es la temperatura final del sistema? b) Cuanto hielo permanece cuando el sistema alcanza el equilibrio?

Seccin 20.4 Trabajo y calor en procesos termodinmicos21. Una muestra de gas ideal se expande al doble de su volumen original de 1.00 m3 en un proceso cuasi esttico para el que P = V2, con = 5.00 atm/m6, como se muestra en la figura P20.21. Cunto trabajo se consume en el gas en expansin?

23. Un gas ideal se encierra en un cilindro con un pistn mvil encima de l. El pistn tiene una masa de 8 000 g y un rea de 5.00 cm2 y tiene libertad de deslizarse hacia arriba y hacia abajo, lo que mantiene constante la presin del gas. Cunto trabajo se consume en el gas a medida que la temperatura de 0.200 moles del gas se elevan de 20.0C a 300C?

25. Un mol de un gas ideal se calienta lentamente de modo que va del estado PV (Pi, Vi) al (3Pi, 3Vi), en tal forma que la presin del gas es directamente proporcional al volumen. a) Cuanto trabajo se consume en el gas en el proceso? b) Cmo se relaciona la temperatura del gas con su volumen durante este proceso?

Seccin 20.5 Primera ley de la termodinmica27. Un sistema termodinmico se somete a un proceso en el que su energa interna disminuye 500J. Durante el mismo intervalo de tiempo, 220J de trabajo se consume en el sistema. Encuentre la energa transferida hacia o desde el por calor.

29. Considere el proceso cclico que se bosqueja en la figura P20.26. Si Q es negativo para el proceso BC y Eint es negativa para el proceso CA, cules son los signos de Q, W y Eint que se asocian con cada proceso?

Seccin 20.6 Algunas aplicaciones de la primera ley de la termodinmica31. Un bloque de aluminio de 1.00 kg se calienta a presin atmosfrica de modo que su temperatura aumenta de 22.0C a 40.0C. Encuentre a) el trabajo consumido en el aluminio, b) la energa agregada a el por calor y c) el cambio en su energa interna.

33. Un gas ideal inicialmente a Pi, Vi y Ti se lleva a travs de un ciclo, como se muestra en la figura P20.34. a) Encuentre el trabajo neto consumido en el gas por cada ciclo. b) Cual es la energia neta agregada por calor al sistema por cada ciclo? c) Obtenga un valor numrico para el trabajo neto consumido por cada ciclo por 1.00 mol de gas inicialmente a 0C.

35. Una muestra de 2.00 moles de gas helio, inicialmente a 300 K y 0.400 atm, se comprime isotrmicamente a 1.20 atm. Si nota que el helio se comporta como un gas ideal, encuentre a) el volumen final del gas, b) el trabajo consumido en el gas y c) la energa transferida por calor.

Seccin 20.7 Mecanismos de transferencia de energa37. Un ventanal de vidrio tiene un rea de 3.00 m2 y un grosor de 0.600 cm. La diferencia de temperatura entre sus caras es de 25.0C, cul es la rapidez de transferencia de energa por conduccin a travs de la ventana?

39. Una barra de oro (Au) en contacto trmico con una barra de plata (Ag) de la misma longitud y rea (figura P20.39). Un extremo de la barra compuesta se mantiene a 80.0C y el extremo opuesto esta a 30.0C. Cuando la transferencia de energa alcanza un estado estable, cul es la temperatura en la unin?

41. Un estudiante intenta decidir que vestir. Su recamara esta a 20.0C. La temperatura de su piel es de 35.0C. El rea de su piel expuesta es de 1.50 m2. Hay personas en el planeta que tienen piel que es oscura en el infrarrojo, con emisividad aproximada de 0.900. Encuentre la perdida de energa neta de su cuerpo por radiacin en 10.0 min.

TEORA CINTICA DE LOS GASESSeccin 21.1 Modelo molecular de un gas ideal1. Calcule la masa de un tomo de a) helio, b) hierro y c) plomo. Proporcione sus respuestas en gramos. Las masas atmicas de estos tomos son 4.00 u, 55.9 u y 207 u, respectivamente.

3. En un intervalo de 30.0 s, 500 granizos golpean una ventana de vidrio de 0.600 m2 de rea a un ngulo de 45.0 con la superficie de la ventana. Cada granizo tiene una masa de 5.00 g y una rapidez de 8.00 m/s. Si supone que las colisiones son elsticas, encuentre la fuerza y presin promedio sobre la ventana.

5. En un sistema de ultra alto vacio, la presin es de 1.00 x 10-10torr (donde 1 torr = 133Pa). Si supone que la temperatura es de 300K, encuentre el numero de molculas en un volumen de 1.00m3.

7. Un globo esfrico de 4 000 cm3 de volumen contiene helio a una presin (interior) de 1.20 x 105 Pa. Cuntas moles de helio hay en el globo si la energa cintica promedio de cada tomo de helio es de 3.60 x 10-22 J?

9. a) Cuantos tomos de gas helio llenan un globo de 30.0 cm de dimetro a 20.0C y 1.00 atm? b) Cual es la energa cintica promedio de los tomos de helio? c) Cual es la rapidez media cuadrtica de los tomos de helio?

11. Un cilindro contiene una mezcla de gases helio y argn en equilibrio a 150C. a) Cual es la energa cintica promedio para cada tipo de molcula de gas? b) Cual es la rapidez media cuadrtica de cada tipo de molcula?

Seccin 21.2 calor especifico molar de un gas13. Una muestra de 1.00 mol de gas hidrogeno se calienta a presin constante de 300 K a 420 K. Calcule a) la energa transferida al gas por calor, b) el aumento en su energa interna y c) el trabajo consumido en el gas.

15. Una botella aislada de 1 L est llena con t a 90C. Vierte en una taza y de inmediato cierra la botella. Haga una estimacin de un orden de magnitud del cambio en temperatura del t que queda en la botella que resulta de la admisin de aire a temperatura ambiente. Establezca las cantidades que toma como datos y los valores que mide o estima para ellos.

17. Una muestra de 1.00 mol de gas diatmico ideal tiene presin P y volumen V. Cuando el gas se calienta, su presin se triplica y su volumen se duplica. Este proceso de calentamiento incluye dos etapas, el primero a presin constante y el segundo a volumen constante. Determine la cantidad de energa transferida al gas por calor.

Seccin 21.3 Procesos adiabticos para un gas ideal19. Una muestra de 2.00 moles de gas diatmico ideal se expanden lenta y adiabticamente desde una presin de 5.00 atm y un volumen de 12.0 L hasta un volumen final de 30.0 L. a) Cual es la presin final del gas? b) Cuales son las temperaturas inicial y final? c) Encuentre Q, W y Eint.

21. El aire en una nube de tormenta se expande a medida que se eleva. Si su temperatura inicial es 300 K y no se pierde energa por conduccin trmica en la expansin, cul es su temperatura cuando el volumen inicial se duplica?

23. Una muestra de 4.00 L de gas ideal diatomico, confinado en un cilindro, tiene una relacin de calor especifico de 1.40 y se lleva a travs de un ciclo cerrado. Al inicio el gas esta a 1.00 atm y a 300 K. Primero su presin se triplica bajo volumen constante. Luego se expande adiabticamente a su presin original. Por ltimo, el gas se comprime isobricamente a su volumen original. a) Dibuje un diagrama PV de este ciclo. b) Determine el volumen del gas al final de la expansin adiabtica. c) Encuentre la temperatura del gas al comienzo de la expansin adiabtica. d) Encuentre la temperatura al final del ciclo. e) Cual fue el trabajo neto consumido en el gas para este ciclo?

25. Cunto trabajo se requiere para comprimir 5.00 moles de aire a 20.0C y 1.00 atm a un decimo del volumen original a) mediante un proceso isotrmico? b) Qu pasara si? Cunto trabajo se requiere para producir la misma compresin en un proceso adiabtico? c) Cual es la presin final en cada uno de estos dos casos?

Seccin 21.4 Equiparticin de la energa27. Considere 2.00 moles de un gas ideal diatomico. a) Encuentre la capacidad trmica total como la define la ecuacin 20.2 a volumen constante y la capacidad trmica total a presin constante, si supone que las molculas giran pero no vibran. b) Qu pasara si? Repita el inciso a), si supone que las molculas giran y vibran.

29. Examine la informacin para gases poliatmicos en la tabla 21.2 y de una explicacin por la que el dixido de azufre tiene un mayor calor especfico a volumen constante que los otros gases poliatmicos a 300 K.

Seccin 21.5 Distribucin de magnitudes de velocidad moleculares31. Quince partculas idnticas tienen diferentes magnitudes de velocidad: una tiene una magnitud de velocidad de 2.00 m/s, dos tienen magnitudes de velocidad de 3.00 m/s, tres tienen magnitudes de velocidad de 5.00 m/s, cuatro tienen magnitudes de velocidad de 7.00 m/s, tres tienen magnitudes de velocidad de 9.00 m/s y dos tienen magnitudes de velocidad de 12.0 m/s. Encuentre a) la rapidez promedio, b) la rapidez rms y c) la rapidez ms probable de estas partculas.

33. A partir de la distribucin de rapidez de MaxwellBoltzmann, demuestre que la rapidez ms probable de una molcula de gas se conoce por la ecuacin 21.27. Note que la rapidez ms probable corresponde al punto en donde la pendiente de la curva de distribucin de rapidez, dNv/dv, es cero.

35. Problema de repaso. A que temperatura la rapidez promedio de los atomos de helio seria igual a a) la rapidez de escape de la Tierra, 1.12x104 m/s y b) la rapidez de escape de la Luna, 2.37x103 m/s? (Consulte el capitulo 13 para una explicacin de la rapidez de escape.) Nota: La masa de un tomo de helio es 6.64x10-27 kg.

37. Suponga que la atmosfera de la Tierra tiene una temperatura uniforme de 20C y composicin uniforme, con una masa molar efectiva de 28.9 g/mol. a) Demuestre que la densidad en el numero de las molculas depende de la altura y sobre el nivel del mar de acuerdo con

donde n0 es la densidad de numero a nivel del mar (y = 0). Este resultado se llama ley de atmsferas. b) Por lo general los aviones comerciales cruzan a una altitud de 11.0 km. Encuentre la relacin de la densidad atmosfrica en relacin con la densidad al nivel del mar.

Problemas adicionales39. La funcin Eint = 3.50nRT describe la energa interna de cierto gas ideal. Una muestra de gas de 2.00 moles siempre comienza a 100 kPa de presin y 300 K de temperatura. Para cada uno de los siguientes procesos determine la presin, volumen y temperatura finales; el cambio en energa interna del gas; la energa agregada al gas por calor; y el trabajo consumido en el gas. a) El gas se calienta a presin constante a 400 K. b) El gas se calienta a volumen constante a 400 K. c) El gas se comprime a temperatura constante a 120 kPa. d) El gas se comprime adiabticamente a 120 kPa.

41. En una muestra de un metal solido, cada tomo tiene libertad de vibrar en torno a alguna posicin de equilibrio. La energa del tomo consiste de energa cintica para movimiento en las direcciones x, y y z, mas energa potencial elstica asociada con las fuerzas de la ley de Hooke ejercidas por los tomos vecinos sobre l en las direcciones x, y y z. De acuerdo con el teorema de equiparticion de la energa, suponga que la energa promedio de cada tomo es para cada grado de libertad. a) Pruebe que el calor especfico molar del solido es 3R. La ley DulongPetit establece que este resultado describe slidos puros a temperaturas suficientemente elevadas. (Puede ignorar la diferencia entre el calor especfico a presin constante y el calor especifico a volumen constante.) b) Evalu el calor especfico c del hierro. Explique cmo se compara con el valor que se menciona en la tabla 20.1. c) Repita la evaluacin y comparacin para el oro.