TERMODINAMICA DEL UNIVERSO TEMPRANO DESDE UNA COSMOLOG NEWTONIANA IAW. A. ROJAS C warojasc@unal.edu.co UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA(Dated: 24 de septiembre de 2011)

ResumenSe estudia un modelo de universo con dominio de materia desde una cosmolog newtoniana a modicada propuesto por Inverno[1] y Tawk[2]. Desde tal perspectiva, se muestra una relacin de o la curvatura espacio-tiempo k con la energ E, la densidad , el calor espec a co Cp y el gradiente de temperatura del uido considerado T que corresponden a variables de la termodinmica estandar. a Se determinaron las constantes de acople que acompaan la densidad de materia para los diferentes n valores que puede tomar k.

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INTRODUCCION

Consideremos una cosmolog newtoniana sin constante cosmolgica, tal como lo plantea a o Inverno [1], asumiendo que el universo se compone de una cierta cantidad materia en el sentido clsico, tal que la posicin y velocidad de todas las part a o culas se pueden medir desde cierto punto O. Ademas de imponer que el Principio Cosmolgico sea vlido en este o a contexto. Tawk [2] muestra que al estudiar este tipo de cosmolog y teniendo en cuenta los a efectos viscosos de un modelo de universo se puede obtener resultados interesantes que son concordantes que la Cosmolog FRW [2]. De acuerdo a lo anterior se plantea la necesidad a de investigar los efectos que experimentan los parametros termodinmicos como lo son la a densidad y el calor espec co Cp en funcin de de parametros cosmolgicos tales como el o o factor de escala a(t) y la constante de Hubble H0 .

UN MODELO DE COSMOLOG NEWTONIANA IA

De acuerdo a lo anterior se tiene que la energ total de una part a cula de masa m que se halla a una distancia a de un punto O, que se puede mover con cierta velocidad radial a y est afectada por el potencial gravitacional V (a) = GM m ; con G siendo la constante a a de gravitacin universal y M la masa del uido en el cual se mueve la part o cula e igual a4 M = 3 a3 . Por lo que el uido experimenta una ganancia de energ trmica deb al a e do

movimiento de la part cula dentro de el [1-2] GM m 1 E = ma2 Cp M T. 2 a (1)

Con Cp siendo el calor espec co del uido y T el gradiente de temperatura al cual se somete la part cula. Asi (1) se puede reescribir como a2 2E 8 a3 Cp T 8 = Ga2 . m 3 m 3 (2)

Comparando con la primera de las ecuaciones de Friedmann derivadas de la Relatividad General sin constante cosmolgica para un modelo de gas ideal o 8 a2 + k = Ga2 , 3 (3)

de acuerdo a lo anterior se logra vincular la curvatura espacio-temporal k con ciertas variables termodinmicas tal como el calor espec a co Cp , la densidad y el gradiente de temperatura 2

T k= 2E 8 a3 Cp T . m 3 m (4)

Con los posibles valores que puede tomar k [+1, 0, 1] se tendra los diferentes escenarios de curvatura del espacio-tiempo: 1. En el caso de k = +1 con lo que (4) se puede determinar el valor de en terminos de los demas parmetros a = 2. En el caso de k = 1 se tiene = 3. En el caso de k = 0 se tiene = E 1 , 4Cp T a31 a3

3 (m + 2E) 1 8 Cp T a3

(5)

3 (m 2E) 1 8 Cp T a3

(6)

(7) lo cual indica un modelo

En todos los casos considerados se muestra que

de universo dominado por materia, que era lo que se pretendia desde el principio. Consideraciones para (5), (6) y (7) la densidad debe ser simpre mayor que cero. La masa de igual forma es mayor que cero; no se tienen en cuenta formas extraas de n materia (masa o energ oscura). T < 0 pues T = Tf T0 pues T0 > Tf pues a el universo comenz en un punto de muy elevada densidad y temperatura. El calor o espec co del sistema se comporta clsicamente Cp > 0. a

COSMOLOG FRW IA

Para un espacio-tiempo tipo FRW [3] se tiene queT

= 0,

donde T es el tensor momentum-energ para un gas ideal, y el hecho que su derivada a covariante sea igual a cero esta asociada con la primera ley de termodinmica, de lo a que se desprende 3a = ( + P ), t a 3 (8)

con P siendo la presin ejercida por el gas ideal. Si elegimos P = 0, (8) se reduce a o = cte . a3 (9)

De la comparacin de (9) con (5), (6) y (7) se puede determinar los posibles valores o que puede tomar tal constante para los casos de k considerados a) Con k = 1 cte = b) Con k = 1 cte = c) Con k = 0 cte = 2E . 4Cp T 3 (m + 2E) . 8 Cp T 3 (m + 2E) . 8 Cp T

Donde hemos asumido una ecuacin de estado de la forma o a3(w+1) , que para el caso que estamos estudiando w = 0; por lo que a3 [4]. Si hacemos la hiptesis que la densidad del uido en nuestro modelo sea igual a la densidad critica; o c con la densidad cr tica denida como c =2 3H0 8G

donde H0 corresponde a la constante de Hubble para la poca actual. Por lo que e podemos hallar el calor espec co del uido en consideracin de acuerdo a los valores o que toma k a) Para k = 1 Cp1 = b) Para k = 1 Cp2 = c) Para k = 0 Cp3 = 2GE 2 3T H0 1 . a3 (12) G(m + 2E) 1 . 2 T H0 a3 (11) G(m + 2E) 1 . 2 T H0 a3 (10)

La relacin existente entre Cp1 /Cp2 = 1 lo que permite armar que la geometr o a espacio-temporal afecta el calor espec co del uido en consideracin. o 4

CONCLUSIONES

El uso de una cosmolog newtoniana ha mostrado resultados consistentes con la cosa molog FRW. As la curvatura espacio-tiempo est relaciona con la energ E, la a , a a densidad , el calor espec co Cp y el gradiente de temperatura del uido considerado T que corresponden a variables de la termodinmica estandar. Cuando se consida er las constantes de acople que acompaan la densidad descritas en (5), (6) y (7) para o n los diferentes valores, que puede tomar k son consistentes con las soluciones estandard de la cosmolog a. Un hecho relavante es que el calor espec co esta dado como Cp considerados.1 2 H0 a2

en los casos

[1] R. DInverno, Introducion Einsteins Relativity, Oxford University Press Inc., New York (1998). [2] A. Tawk, e-Print: arXiv:1002.0269v1 [gr-qc]. [3] D. McMahon, Relativity Demystied, The McGraw-Hill Companies., New York (2006). [4] S. M. Carroll, e-Print: arXiv:9712019v1 [gr-qc]. [5] W. A. Rojas C. Tesis de Maestr Termodinmica de un gas de fotones en a a la vecindad de una supercie de Schwarzschild. Observatorio Astronmico Nao cional. Universidad Nacional de Colombia. Director: J. R. Arenas S. Disponible en: www.observatorio.unal.edu.co/archivos/tesisOAN/2010/wRojas.pdf [6] R. C. Tolman. Relativity Thermodynamics and Cosmology. Dover Publications Inc., New York (1987).

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