Term Odin á Mica

PARTE 4 FÍSICA TÉRMICA

FIGURA 17.1 El cúmulo estelar conocido como las Pléyades o las Siete Hermanas.

L O Q U E A P R E N D E R E M O S 557

17.1 Definición de temperatura 557Escalas de temperatura 558

17.2 Rangos de temperatura 559Ejemplo 17.1 Temperatura ambiente 561

Investigación en la frontera de las bajas temperaturas 561

Investigación en la frontera de las altas temperaturas 562

17.3 Medición de la temperatura 563 17.4 Expansión térmica 563

Expansión lineal 564Ejemplo 17.2 Expansión térmica del

puente Mackinac 564Problema resuelto 17.1 Tira bimetálica 565

Expansión superficial 567Problema resuelto 17.2 Expansión de una

placa con un agujero 567Expansión volumétrica 569

Ejemplo 17.3 Expansión térmica de la gasolina 570

17.5 Temperatura superficial de la Tierra 571 Ejemplo 17.4 Subida del nivel del mar

debido a la expansión térmica del agua 572 17.6 Temperatura del universo 573

L O Q U E H E M O S A P R E N D I D O / G U Í A D E E S T U D I O PA R A E X A M E N 574

Práctica para resolución de problemas 575Problema resuelto 17.3 Expansión lineal

de una barra de acero y una barra de latón 575

Preguntas de opción múltiple 576Preguntas 576Problemas 577

17 Temperatura

Cap 17_Bauer I0458.indd 556 25/02/11 08:16 p.m.

55717.1 Definición de temperatura

■ La temperatura se mide usando varias y diferentes propiedades de ciertos materiales.

■ La escala de temperatura Fahrenheit establece la temperatura del punto de congelación del agua en 32 °F y el punto de ebullición del agua en 212 °F.

■ La escala de temperatura Celsius establece la temperatura del punto de congelación del agua en 0 °C y el punto de ebullición del agua en 100 °C.

■ La escala de temperatura Kelvin se define en términos de una temperatura del cero absoluto o la menor temperatura a la cual cualquier objeto podría existir. En la escala de temperaturas Kelvin, el punto de congelación del agua es de 273.15 K y el punto de ebullición del agua es de 373.15 K.

■ Calentar una barra larga y delgada de metal causa que su longitud se incremente linealmente con la temperatura, medida en K.

■ Calentar un líquido por lo general causa que su volumen se incremente linealmente con la temperatura, medida en K.

■ La temperatura superficial promedio de la Tierra era de 14.4 °C en 2005 y se incrementó en 1 °C en los 155 años anteriores.

■ El análisis de la radiación cósmica de fondo en microondas muestra que la temperatura del universo es de 2.725 K.

L O Q U E A P R E N D E R E M O S

El cúmulo estelar de las Pléyades, mostrado en la figura 17.1, puede verse a simple vista y ya era conocido por los antiguos griegos. Lo que ellos no sabían es que estas estrellas muestran algunas de las mayores temperaturas que ocurren en la naturaleza. La temperatura superficial de estas estrellas varía de 4 000 a 10 000 °C, dependiendo del tamaño y otros factores. Sin embargo, las temperaturas interiores pueden alcanzar más de 10 millones de °C, suficientemente calientes como para vaporizar cualquier sustancia. En el otro extremo del rango de temperaturas, el espacio mismo, lejos de cualquier estrella, registra una temperatura de unos –270 °C.

Este capítulo comienza nuestro estudio de la termodinámica, incluyendo los conceptos de temperatura, calor y entropía. En el sentido más amplio, la termodinámica es el estudio de la ener-gía y la transferencia de la energía: cómo se almacena la energía, cómo se transforma de un tipo en otro y cómo se puede hacer que esté disponible para hacer trabajo. Examinaremos la energía a un nivel atómico y molecular, lo mismo que el nivel macroscópico de los motores y las máquinas.

Este capítulo le da un vistazo a la temperatura: cómo se define y se mide y cómo los cambios en la temperatura pueden afectar a los objetos. Consideraremos varias escalas con las cuales cuan-tificar la temperatura, lo mismo que los rangos de temperaturas observados en la naturaleza y el laboratorio.

En términos prácticos, es casi imposible describir la temperatura sin también discutir acerca del calor, el cual es sujeto del capítulo 18. Asegúrese de tener presente las diferencias entre estos conceptos cuando estudie los siguientes capítulos.

17.1 Definición de temperatura La temperatura es un concepto que todos entendemos a partir de la experiencia. Escuchamos los pronósticos del clima que nos dicen que hoy la temperatura será de 72 °F. Escuchamos a los doctores que la temperatura de nuestro cuerpo es de 98.6 °F. Cuando tocamos un objeto, pode-mos decir si está caliente o frío. Si ponemos un objeto caliente en contacto con uno frío, el objeto caliente se enfriará y el objeto frío se calentará. Si medimos las temperaturas de estos dos objetos después de que ha pasado algún tiempo, éstas serán iguales. Los dos objetos estarán entonces en equilibrio térmico.

El calor es la transferencia de un tipo de energía. Esta energía, llamada en ocasiones energía térmica, se encuentra en la forma de movimiento aleatorio de los átomos y moléculas que compo-nen a la materia estudiada. El capítulo 18 cuantificará el concepto de calor como energía térmica que se transfiere debido a una diferencia de temperatura.

La temperatura de un objeto está relacionada con la tendencia de un objeto a transferir calor desde o hacia sus alrededores. El calor se transferirá de un objeto a sus alrededores si la tempera-tura del objeto es mayor que la de sus alrededores. El calor se transferirá al objeto si su tempera-tura es menor que sus alrededores. Note que el frío es simplemente la ausencia de calor; no hay nada como la transferencia de “frialdad” entre un objeto y sus alrededores. Si un objeto se siente frío al tacto, es simplemente una consecuencia de que el calor se está transfiriendo de sus dedos al


558 Capítulo 17 Temperatura

objeto. (Ésta es la definición macroscópica de la temperatura, veremos en el capítulo 19 que en un nivel microscópico, la temperatura es proporcional a la energía cinética del movimiento aleatorio de las partículas.)

Medir la temperatura depende del hecho de que si dos objetos están en equilibrio térmico con un tercer objeto, están en equilibrio térmico uno con el otro. Este tercer objeto podría ser un termómetro, el cual mide la temperatura. Esta idea, a menudo llamada la ley cero de la termodi-námica, define el concepto de temperatura y subyace a la habilidad de medir la temperatura. Esto es, con objeto de encontrar si dos objetos tienen la misma temperatura, usted no necesita ponerlos en contacto térmico y monitorear si la energía térmica se transfiere (lo cual podría ser difícil o incluso imposible en algunos casos). En lugar de esto, puede usar un termómetro y medir la tem-peratura de cada objeto por separado; si sus lecturas son las mismas, usted sabe que los objetos tienen la misma temperatura.

Las mediciones de la temperatura pueden tomarse usando cualquiera de varias escalas comu-nes. Examinemos éstas.

Escalas de temperatura Escala Fahrenheit Se han propuesto y usado varios sistemas para cuantificar la temperatura; los más ampliamente usados son las escalas Fahrenheit, Celsius y Kelvin. La escala de temperatura Fahrenheit fue pro-puesta en 1724 por Gabriel Fahrenheit, científico nacido en Alemania que vivía en Amsterdam. Fahrenheit también inventó el termómetro de expansión de mercurio. La escala Fahrenheit ha pasado a través de varias iteraciones. Fahrenheit finalmente definió la unidad de la escala Fahr-enheit (°F), al fijar 0 °F para la temperatura de un baño de agua con sal, 32 °F para el punto de congelación del agua y 96 °F para la temperatura del cuerpo humano, medida bajo el brazo. Más tarde, otros científicos definieron el punto de ebullición del agua como de 212 °F. Esta escala de temperatura se usa ampliamente en Estados Unidos.

Escala Celsius Anders Celsius, astrónomo sueco, propuso la escala de temperatura Celsius, a menudo llamada la escala centígrada, en 1742. Varias iteraciones de esta escala dieron por resultado la unidad de la escala Celsius (°C) determinada al establecer el punto de congelamiento del agua en 0 °C y el punto de ebullición del agua en 100 °C (a presión atmosférica normal). Esta escala de temperatura se usa en todo el mundo, excepto en Estados Unidos.

Escala Kelvin En 1848, William Thomson (Lord Kelvin), físico inglés, propuso otra escala de temperatura, la cual se llama ahora la escala de temperatura Kelvin. Esta escala está basada en la existencia del cero absoluto, la temperatura mínima posible.

Se estudió el comportamiento de la presión de los gases a un volumen fijo como función de la temperatura, y el comportamiento observado se extrapoló a presión cero para establecer esta tem-peratura de cero absoluto. Para ver cómo funciona esto, suponga que tiene un volumen fijo de nitró-geno gaseoso en un recipiente de aluminio esférico hueco conectado a un manómetro (figura 17.2). Hay suficiente nitrógeno gaseoso en el recipiente de manera que cuando el recipiente se sumerge en un baño de agua con hielo, el manómetro marca 0.200 atm. Entonces ponemos el recipiente en agua hirviente. El manómetro marca ahora 0.273 atm. Por lo tanto, la presión se ha incrementado mien-tras el volumen ha permanecido constante. Suponga que repetimos el procedimiento con distintas presiones iniciales. La figura 17.3 resume estos resultados, con las cuatro líneas sólidas represen-tando las diferentes presiones iniciales. Usted puede ver que la presión del gas baja conforme la tem-peratura decrece. A la inversa, bajar la presión de un gas debe bajar su temperatura. Teóricamente, la menor temperatura de un gas puede determinarse extrapolando el comportamiento medido hasta que la presión se hace cero. Las líneas punteadas en la figura 17.3 muestran las extrapolaciones.

Las relaciones entre presión, volumen y temperatura de un gas es el tema central del capítulo 19. Sin embargo, por lo pronto, usted sólo necesita entender la siguiente observación: los datos de los cuatro conjuntos de observaciones comenzando a diferentes presiones iniciales se extrapolan a la misma temperatura a la presión cero. Esta temperatura se llama cero absoluto y corresponde a −273.15 °C. Cuando los investigadores intentan disminuir la temperatura del nitrógeno gaseoso

Agua con hielo0 °C

Agua hirviente100 °C

b)

P.6

.5.4.3

.2.1

0.7

P.6

.5.4.3

.2.1

0.7

a)

bau57366_1702L.eps

FIGURA 17.2 Una esfera de aluminio hueca se embona con un manómetro y se llena con nitrógeno gaseoso. a) El recipiente se mantiene a 0 °C, colocándolo en agua con hielo. b) El recipiente se mantiene a 100 °C, colocándolo en agua hirviente.


55917.2 Rangos de temperatura

real a temperaturas muy bajas, la relación lineal se interrumpe debido a que el nitrógeno gaseoso se licua, trayendo consigo las interacciones entre las moléculas de nitrógeno. Además, los diferen-tes gases muestran un comportamiento un poco diferente a temperaturas muy bajas. Sin embargo, para presiones bajas y temperaturas relativamente altas, este resultado general se mantiene.

El cero absoluto es la menor temperatura a la cual la materia podría existir en teoría. (Expe-rimentalmente, es imposible alcanzar el cero absoluto, de la misma forma en que es imposible construir una máquina de movimiento perpetuo.) Veremos en el capítulo 19 que la temperatura corresponde al movimiento a escala atómica y molecular, así es que hacer que un objeto alcance el cero absoluto implicaría que todo el movimiento de los átomos y moléculas del objeto cesara. Sin embargo, se requiere algún movimiento de este tipo según la mecánica cuántica. Ésta se llama en ocasiones la tercera ley de la termodinámica y significa que nunca se puede lograr en realidad el cero absoluto.

Kelvin usó el tamaño del grado Celsius (°C) como el tamaño de la unidad de su escala de temperatura, llamado ahora el kelvin (K). En la escala Kelvin, el punto de congelación del agua es de 273.15 K y el punto de ebullición del agua es de 373.15 K. Esta escala de temperatura se usa en muchos cálculos científicos, como veremos en los próximos capítulos. Debido a estas consideraciones, el kelvin es la unidad normal para la temperatura en el SI. Para conseguir una mayor consistencia, los científicos han propuesto definir al kelvin en términos de otras cons-tantes fundamentales, en lugar de en términos de las propiedades del agua. Está programado que estas nuevas definiciones tengan efecto para el año 2011.

17.2 Rangos de temperatura Las mediciones de temperatura abarcan un amplio rango (mostrado en la figura 17.4, usando una escala logarítmica), desde las mayores temperaturas medidas (2 · 1012 K), observadas en las colisiones de iones pesados relativistas (RHIC), a las menores temperaturas medidas (1 · 10–10 K),observadas en sistemas de espín en los átomos de rodio. Se estima que la temperatura en el cen-tro del Sol es de 15 · 106 K, y se ha medido en la superficie del Sol como de 5 780 K. La menor temperatura medida del aire en la superficie terrestre es de 183.9 K (−89.2 °C) en la Antártida; la mayor temperatura medida del aire en la superficie terrestre es de 330.8 K (57.7 °C) en el desierto de Sahara en Libia. Usted puede ver en la figura 17.4 que el rango de temperatura observada en la superficie terrestre cubre sólo una pequeña fracción del rango de temperaturas observadas. La radiación cósmica de fondo en microondas dejada atrás por el Big Bang de hace 13.7 mil millones de años tiene una temperatura de 2.73 K (la cual es la temperatura del espacio intergaláctico “vacío”), una observación que se explicará con más detalle en capítulos posteriores. En la figura 17.4, usted puede ver que las temperaturas logradas en las colisiones de iones pesados relativistas son 300 millones de veces mayores que la temperatura superficial del Sol y que las temperaturas de los átomos medidas en las trampas de iones son más de mil millones de veces inferiores que la temperatura del espacio intergaláctico.

FIGURA 17.3 Líneas sólidas: presiones de un gas medidas a volumen fijo y diferentes temperaturas. Cada línea representa un experimento comenzando a distintas presiones iniciales. Líneas punteadas: extrapolación de la presión de nitrógeno gaseoso en un volumen fijo conforme disminuye la temperatura.

17.1 Ejercicio en clase¿Cuál de las siguientes temperaturas es la más fría?

a) 10 °C

b) 10 °F

c) 10 K

17.2 Ejercicio en clase¿Cuál de las siguientes temperaturas es la más caliente?

a) 300 °C

b) 300 °F

c) 300 K



La figura 17.5 muestra algunas temperaturas representativas sobre el cero absoluto y bajo 400 K, expresados en las escalas Fahrenheit, Celsius y Kelvin. El rango de temperaturas se muestra en una escala lineal.

En las siguientes fórmulas de conversión entre las diversas escalas de temperatura, la tempe-ratura Fahrenheit es TF, medida en °F; la temperatura Celsius es TC, medida en °C , y la tempera-tura Kelvin es TK, medida en K.

Fahrenheit a Celsius:

T TC F= °F59

32– .( ) (17.1)

Celsius a Fahrenheit:

T TF C= °C.95

32+ (17.2)

Celsius a Kelvin: T TK C= °C.+273 15. (17.3)

Kelvin a Celsius: T TC K= K.– .273 15 (17.4)

FIGURA 17.4 Rango de las temperaturas observadas, graficadas en una escala logarítmica.

FIGURA 17.5 Temperaturas representativas, expresadas en tres escalas de temperatura comunes.

17.1 Oportunidad de autoexamen

¿A qué temperatura tienen el mismo valor numérico las esca-las Fahrenheit y Celsius?


56117.2 Rangos de temperatura

FIGURA 17.6 Un termómetro oral, de expansión de mercurio.

Tabla 17.1 Varias temperaturas, expresadas en las tres escalas de temperatura más comúnmente usadas

Fahrenheit (°F) Celsius (°C) Kelvin (K)

Cero absoluto –459.67 –273.15 0

Punto de congelación del agua 32 0 273.15

Punto de ebullición del agua 212 100 373.15

Temperatura típica del cuerpo humano 98.2 36.8 310

Mínima temperatura del aire medida –129 –89.2 184

Máxima temperatura del aire medida 136 57.8 331

Menor temperatura jamás medida en el laboratorio –459.67 –273.15 1.0 · 10–10

Mayor temperatura jamás medida en el laboratorio 3.6 · 1012 2 · 10 12 2 · 1012

Radiación del fondo cósmico de microondas –454.76 –270.42 2.73

Punto de ebullición del nitrógeno líquido –321 –196 77.3

Punto de ebullición del helio líquido –452 –269 4.2

Temperatura en la superficie del Sol 11 000 6 000 6 300

Temperatura en el centro del Sol 27 · 106 15 · 106 15 · 106

Temperatura promedio en la superficie terrestre 59 15 288

Temperatura en el centro de la Tierra 12 000 6 700 7 000

La temperatura media del cuerpo humano tomada oralmente es de 36.8 °C, la cual corresponde a 98.2°F. La temperatura oral media comúnmente citada es de 98.6 °F y corresponde a la medición del siglo xix de 37 °C. Esta temperatura se resalta en el termómetro oral de mercurio en la figura 17.6. La diferencia entre 98.6 °F y 98.2 °F corresponde así al error debido a redondear las mediciones en la escala Celsius de las temperaturas del cuerpo humano con dos dígitos. La tabla 17.1 lista las temperaturas del cuerpo humano y otras temperaturas representativas, expresadas en tres escalas de temperatura.

EJEMPLO 17.1 Temperatura ambiente

A menudo se menciona la temperatura ambiente como de 72.0 °F.

PROBLEMA¿Cuál es la temperatura ambiente en las escalas Celsius y Kelvin?

SOLUCIÓNUsando la ecuación 17.1, podemos convertir la temperatura ambiente de grados Fahrenheit a grados Celsius:

TC = °F °F = °C.59

72 32 22 2– .( )Usando la ecuación 17.3, podemos expresar la temperatura ambiente en kelvin como

TK = °C °C = K.22 273 15 295+ . .

Investigación en la frontera de las bajas temperaturas ¿Cómo se logran temperaturas muy bajas en el laboratorio? Los investigadores comienzan por tomar ventaja de los gases relacionadas como su presión, volumen y temperatura (de nuevo, el capítulo 19 se adentrará en estas propiedades con mucha mayor profundidad). Además, los cambios de fase (discutidos en el capítulo 18) de líquido a gas y de nuevo a líquido son crucia-les para producir temperaturas bajas en el laboratorio. Por lo pronto, todo lo que necesita saber



es que cuando un líquido se evapora, la energía requerida para cambiar el líquido a gas es tomada del líquido; por lo tanto, el líquido se enfría. Por ejemplo, el aire se licua mediante un proceso de múltiples etapas en el cual el aire se comprime y se enfría removiendo el calor producido por la etapa de compresión. Entonces, el hecho de que distintos gases tienen diferentes temperaturas a las cuales se licuan permite separar al nitrógeno líquido y el oxígeno líquido. A presión atmos-férica normal, el nitrógeno líquido tiene un punto de ebullición de 77 K, en tanto que el oxígeno líquido tiene un punto de ebullición de 90 K. El nitrógeno líquido tiene muchas aplicaciones, entre las cuales se encuentran las importantes demostraciones en el salón de clases.

Temperaturas incluso menores se logran usando el proceso de compresión, con el nitrógeno líquido extrayendo el calor conforme se comprime el helio. El helio líquido hierve a 4.2 K. Comen-zando con helio líquido y reduciendo la presión de manera que se evapore, los investigadores pueden enfriar el líquido restante hasta más o menos 1.2 K. Para el isótopo helio-3 (3He), se puede alcanzar una temperatura tan baja como 0.3 K con la técnica de enfriamiento por evaporación.

Para alcanzar temperaturas aún menores, los investigadores usan un aparato llamado refrige-rador de dilución (vea la figura 17.7). Un refrigerador de dilución usa dos isótopos de helio: 3He (dos protones y un neutrón) y 4He (dos protones y dos neutrones). Cuando la temperatura de unamezcla de 3He líquido y 4He líquido se reduce a menos que 0.7 K, los dos gases se separan en una fase deficiente en 3He y en una fase deficiente en 4He. Se requiere energía para mover los átomos de 3He hacia la fase deficiente en 3He. Si se puede forzar a los átomos a cruzar la frontera entre las dos fases, la mezcla se puede enfriar de manera semejante al enfriamiento evaporativo. Un refrigerador de dilución puede enfriar hasta temperaturas alrededor de 10 mK y los mejores modelos comerciales pueden alcanzar 2 mK.

Temperaturas incluso menores se pueden lograr con un gas de átomos confinados en una trampa. Para alcanzar estas temperaturas, los investigadores usan técnicas tales como enfria-miento con láser. El enfriamiento con láser saca ventaja de la estructura electrónica de ciertos átomos. Las transiciones entre los niveles de energía electrónicos específicos en un átomo pue-den hacer que se emitan fotones con una longitud de onda cercana a la luz visible. También puede ocurrir el proceso inverso, en el cual los átomos absorben fotones. Para enfriar átomos usando el enfriamiento por láser, los investigadores usan un láser que emite luz con una longi-tud de onda muy específica, que es mayor que la longitud de onda de la luz emitida durante una transición atómica. De esta forma, cualquier átomo que se mueve acercándose al láser experi-menta una longitud de onda ligeramente menor debido al efecto Doppler (vea el capítulo 16), en tanto que cualquier átomo que se mueve alejándose del láser experimenta una longitud de onda mayor. Los átomos que se mueven hacia el láser absorben fotones, pero los átomos que se mueven alejándose del láser no son afectados. Los átomos que absorben fotones los reemiten en direcciones aleatorias, enfriando efectivamente a los átomos. Se han logrado temperaturas que se aproximan a los 10–9 K usando este método (figura 17.8). Se le otorgó el Premio Nobel de Física 1997 a Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji y William D. Phillips por su trabajo con el enfriamiento con láser.

Las temperaturas más frías logradas en el laboratorio se han conseguido usando una técnica llamada desmagnetización nuclear adiabática. La muestra, típicamente una pieza de rodio metá-lico, se enfría primero usando un refrigerador de dilución. Entonces, se aplica un fuerte campo magnético. Se produce una pequeña cantidad de calor en el rodio metálico, el cual es removido por el refrigerador de dilución. Entonces, el campo magnético se apaga lentamente. Conforme se reduce el campo magnético, el rodio metálico se enfría aún más, alcanzando temperaturas tan bajas como 10–10 K.

Investigación en la frontera de las altas temperaturas ¿Cómo se logran altas temperaturas en el laboratorio? Los métodos más comunes son quemando combustibles o creando explosiones. Por ejemplo, la parte amarilla de la llama de una vela tiene una temperatura de 1 470 K.

El reactor de fusión ITER, que será construido para 2016 en Cadarache, Francia (figura 17.9) está diseñado para fusionar los isótopos de hidrógeno, deuterio (2H) y tritio (3H) para producir helio (4He) más un neutrón, liberando energía. Este proceso de fusión nuclear es semejante al proceso que usa el Sol para fusionar el hidrógeno en helio y por consiguiente producir energía. En el Sol, la enorme fuerza gravitatoria comprime y calienta los núcleos de hidrógeno para producir fusión. En el ITER, el confinamiento magnético se usará para sujetar al hidrógeno ionizado en

Extrac-ción de 3He

Mezcla de 3He/4He

b)

Modelo JDR-100 Etapa de dilución

Modelo JDR-100

a)

E

de ddddd 3

JDR 100 Et d

FIGURA 17.7 a) Un refrigerador de dilución comercial. b) Interior de un refrigerador de dilución con el recipiente de 3He/4He (mezclador) y el recipiente de extracción de 3He (alambique).

FIGURA 17.8 Dispositivo de enfriamiento por láser para enfriar átomos de sodio atrapados.


56317.4 Expansión térmica

la forma de plasma. Un plasma es un estado de la materia en el cual los electrones y los núcleos se mueven por separado. Un plasma no puede contenerse en un recipiente físico, por-que está tan caliente que cualquier contacto con éste vaporiza-ría al recipiente. En el reactor de fusión, el plasma se calienta haciendo fluir una corriente a través de éste. Adicionalmente, se comprime el plasma y se calienta aún más por el campo magnético aplicado. A altas temperaturas, hasta 9.9 · 107 K, yaltas densidades, ITER producirá energía útil a partir de la fusión de hidrógeno en helio.

Es posible conseguir temperaturas incluso más altas en los aceleradores de partículas. Las mayores temperaturas se han alcanzado haciendo colisionar núcleos de oro acelerados en el Colisionador de Iones Pesados en el Laboratorio Nacional de Brookhaven y el Gran Colisiona-dor de Hadrones en el laboratorio europeo CERN. Cuando colisionan dos núcleos de oro, se crea un sistema muy caliente con una temperatura de 2 · 1012 K; este sistema es también muy pequeño (~10–14 m) y existe por periodos muy cortos (~10–22 s).

17.3 Medición de la temperatura ¿Cómo se miden las temperaturas? Un dispositivo que mide la temperatura se llama termómetro. Cualquier termómetro que puede calibrarse directamente usando una propiedad física se llama termómetro primario. Un termómetro primario no necesita calibración con temperaturas estándar externas. Un ejemplo de un termómetro primario es uno basado en la velocidad del sonido en un gas. Un termómetro secundario es aquel que requiere una calibración externa con referencias de tem-peratura estándar. A menudo, los termómetros secundarios son más sensibles que los termómetros primarios.

Un termómetro común es el termómetro de expansión de mercurio, el cual es un termó-metro secundario. Este tipo de termómetro saca provecho de la expansión térmica del mercurio (discutida en la sección 17.4). Otros tipos de termómetros incluyen los termómetros bimetáli-cos, termopares, quimoluminiscencia y termistores. También es posible medir la temperatura de un sistema estudiando la distribución de las velocidades de las moléculas dentro del material constituyente.

Para medir la temperatura de un objeto o un sistema usando un termómetro, éste debe colo-carse en contacto térmico con el objeto o el sistema. (El contacto térmico es el contacto físico que permite una transferencia de calor relativamente rápida.) El calor se transferirá entonces desde o hacia el objeto o sistema hacia o desde el termómetro, hasta que tengan la misma temperatura. Un buen termómetro debería requerir tan poca energía térmica como fuese posible para alcanzar el equilibrio térmico, de tal manera que no se cambie significativamente la temperatura del objeto. Un termómetro también debería calibrarse con facilidad, de tal suerte que cualquiera que esté tomando las mediciones obtenga la misma temperatura.

Calibrar un termómetro requiere condiciones reproducibles. Es difícil reproducir el punto de congelación del agua exactamente, así que los científicos usan una condición llamada el punto triple del agua. El hielo sólido, el agua líquida y el vapor de agua gaseoso pueden coexistir sólo en una temperatura y presión. Por acuerdo internacional, la temperatura del punto triple del agua ha sido asignado a una temperatura de 273.16 K (y una presión de 611.73 Pa) para la calibración de los termómetros.

17.4 Expansión térmica La mayoría está familiarizada de alguna forma con la expansión térmica (también llamada dila-tación térmica). Quizás usted sepa que puede aflojar la tapa metálica de un frasco calentando la tapa. Usted puede haber visto que los tramos de un puente tienen espacios en la calzada para permitir la expansión de las secciones del puente en tiempos calurosos. O puede haber observado que las líneas de transmisión de energía se pandean en tiempos calurosos.

La expansión térmica de los líquidos y los sólidos puede ponerse en uso práctico. Las tiras bime-tálicas, las cuales se usan a menudo en los termostatos de las habitaciones, termómetros para carne y dispositivos de protección térmica en el equipo eléctrico, sacan provecho de la expansión térmica

FIGURA 17.9 Dibujo en sección del núcleo central de ITER, el reactor de fusión de plasma que será construido en Francia para el año 2016. Con el propósito de comparar el tamaño, se muestra una persona parada en la base.


Usted tiene un termómetro sin calibrar, el cual está indicado para usarse para medir la temperatura del aire. ¿Cómo calibraría el termómetro?



lineal. (Una tira bimetálica consiste en dos tiras largas y delgadas de metales diferentes, las cuales están soldadas una con la otra.) Un termómetro de mercurio usa la expansión volumétrica para proporcionar mediciones precisas de la temperatura. La expansión térmica también puede ocurrir como una expansión lineal, expansión superficial o expansión volumétrica; las tres clasificaciones describen el mismo fenómeno.

Expansión lineal Consideremos una barra metálica con una longitud L (figura 17.10). Si elevamos la temperatura de la barra por T = Tfinal – Tinicial, la longitud de la barra se incrementa por la cantidad L = Lfinal – Linicial, dado por L L T= , (17.5)donde es el coeficiente de expansión lineal del metal del cual está construida la barra y la diferencia de temperatura se expresa en grados Celsius o en kelvins. El coeficiente de expansión lineal (también llamado coeficiente de dilatación lineal) es una constante para un material dado dentro de los rangos de temperatura normales. Algunos coeficientes de expansión lineal típicos se listan en la tabla 17.2.

EJEMPLO 17.2 Expansión térmica del puente Mackinac

El tramo principal del puente Mackinac (figura 17.11) tiene una longitud de 1 158 m. El puen-te está construido de acero. Suponga que la menor temperatura posible experimentada por el puente es de −50 °C y la mayor temperatura posible es de 50 °C.

PROBLEMA¿Cuánto espacio debe estar disponible para la expansión térmica del tramo central del puente Mackinac?

SOLUCIÓNEl coeficiente de expansión lineal del acero es = 13 · 10–6 °C–1. De esta manera, la expansión lineal total del tramo central del puente que debe permitirse para dar holgura está dado por

∆ ∆L L T= = °C m °C °C–113 10 1 158 50 506⋅( )( ) (– – – )) = m.1 5. [ ]

EXPLICACIÓNUn cambio de longitud de 1.5 m es bastante grande. ¿Cómo se puede acomodar este cambio de longitud en la práctica? (Obviamente, no podemos dejar espacios en la superficie de la calle.)

La respuesta yace en las junturas de expansión, las cuales son conectores metálicos entre los segmentos cuyas par-tes se pueden mover una con relación a la otra. Un tipo popular de juntura de expansión es la juntura con forma de dedos (vea la figura 17.12). El puente de Mackinac tiene dos grandes junturas de dedos en las torres para acomodar la expansión de las partes suspendidas de la calzada y once junturas de dedo más pequeñas y cinco junturas de deslizamiento a través del tramo principal del puente.

FIGURA 17.10 La expansión térmica de una barra con una longitud inicial L. (La barra expandida térmicamente en la parte inferior se ha desplazado de tal manera que los bordes de la izquierda coincidan.)

Tabla 17.2 Los coeficien-tes de expansión lineal de algunos materiales comunes

Material a(10–6 °C–1)

Aluminio 22

Latón 19

Concreto 15

Cobre 17

Diamante 1

Oro 14

Plomo 29

Vidrio plano

9

Hule 77

Acero 13

Tungsteno 4.5

FIGURA 17.11 El puente Mackinac a través de los estrechos de Mackinac en Michigan es el tercer puente más largo de suspensión en Estados Unidos.

FIGURA 17.12 Junturas de dedo entre los segmentos de la calle: a) abiertas y b) cerradas.

a) b)



Usted puede ver en la tabla 17.2 que los diversos materiales, tales como el latón y el acero, tienen diferentes coeficientes de expansión lineal. Esto les hace útiles en las tiras bimetálicas. El siguiente problema resuelto considera el resultado de calentar una tira bimetálica.

PROBLEMA RESUELTO 17.1 Tira bimetálica

Una tira bimetálica recta consiste en una tira de acero y una tira de latón, cada una de 1.25 cm de ancho y 30.5 cm de longitud, soldadas una con la otra [vea la figura 17.13a)]. Cada tira tiene un espesor t = 0.500 mm. La tira bimetálica se calienta uniformemente a lo largo de su longitud, como se muestra en la figura 17.13c). (No importa si la llama está a la derecha; el calentamiento es uniforme por toda la tira. Si la llama estuviese a la izquierda, ¡la tira se doblaría en la misma dirección!) La tira se curva de tal forma que su radio de curvatura es R = 36.9 cm.

17.3 Ejercicio en claseUna sección de concreto de un puente tiene una longitud de 10.0 m a 10.0 °C. ¿Cuánto se incrementa la longitud de la sección de concreto si la temperatura aumenta a 40.0 °C?

a) 0.025 cm

b) 0.051 cm

c) 0.075 cm

d) 0.22 cm

e) 0.45 cm

PROBLEMA¿Cuál es la temperatura de la tira bimetálica después de calentarse?

SOLUCIÓN

P I E N S ELa tira bimetálica está construida de dos materiales, acero y latón, los cuales tie-nen distintos coeficientes de expansión lineal, listados en la tabla 17.2. Conforme la temperatura de la tira bimetálica se incrementa, el latón se expande más que el acero, así es que la tira se curva hacia el lado del acero. Cuando la tira bimetálica se calienta uniformemente, tanto la tira de acero como la de latón yacen a lo largo del arco de una circunferencia, con la tira de latón en la cara exterior y la tira de acero en la cara interior. Los extremos de la tira bimetálica subtienden el mismo ángulo, medido desde el centro de la circunferencia. La longitud del arco de cada tira metálica entonces es igual a la longitud de la tira bimetálica a la temperatura ambiente más la longitud debida a la expansión térmica lineal. Igualar el ángulo subtendido por la tira de acero con el ángulo subtendido por la tira de latón per-mitirá que se calcule la temperatura.

E S B O C ELa figura 17.14 muestra la tira bimetálica después de haber sido calentada. El ángulo subtendido por los dos extremos de la tira es , y el radio de la tira interior es r1. Una porción de la circunferencia con radio r1 = 36.9 cm se superpone en la tira curva.

I N V E S T I G U ELa longitud del arco, s1, de la tira de acero calentado es s1 = r1, donde r1 es el radio de la circunferencia a lo largo de la cual yace la tira de acero y es el ángulo subtendido por la tira de acero. También, la longitud del arco, s2, de la tira de latón es s2 = r2,

FIGURA 17.13 Una tira bimetálica. a) La tira bimetálica a temperatura ambiente. b) La tira bimetálica conforme comienza a ser calentada por un soplete de gas (en el borde derecho del cuadro). c) La tira bimetálica calentada a una temperatura uniforme por toda su longitud.

a) b) c)

r1

FIGURA 17.14 La tira bimetálica después de ser calentada que muestra el ángulo subtendido por los dos extremos de la tira.

(continúa)



donde r2 es el radio de la circunferencia a lo largo de la cual yace la tira de latón y es el mismo ángulo que el que subtiende la tira de acero. Los dos radios difieren por el espesor, t, de la tira de acero: r r t t r r2 1 2 1= =+ ⇔ – . (i)

Podemos igualar las expresiones que son iguales al ángulo subtendido por las dos tiras:

= =sr

sr

1

1

2

2. (ii)

La longitud del arco, s1, de la tira de acero después de calentarse está dada por s s s s s T s T1 1 1 11= = =+ + + ( ),

donde s es la longitud original de la tira bimetálica. El factor 1 es el coeficiente de expansión li-neal del acero en la tabla 17.2 y T es la diferencia de temperatura entre la temperatura ambien-te y la temperatura final de la tira bimetálica. De manera correspondiente, el arco de longitud, s2, de la tira de latón después de calentarse está dada por s s s s s T s T2 2 2 21= = =+ + + ( ),

donde 2 es el coeficiente de expansión lineal del latón dado en la tabla 17.2.

S I M P L I F I Q U EPodemos sustituir las expresiones para las longitudes de los arcos de las dos tiras después de calentarse, s1 y s2, en la ecuación (ii) para obtener

s Tr

s Tr

( ) ( ).1 11

1

2

2

+ + =

Al dividir ambos lados de la ecuación entre el factor común s y multiplicando por r1r2 nos da r r T r r T2 2 1 1 1 2+ + = . Podemos reordenar esta ecuación y recolectar los términos comunes para obtener r r r T r T2 1 1 2 2 1– – .= Al resolver esta ecuación para la diferencia de temperaturas brinda

T r rr r

= 2 1

1 2 2 1

––

.

Usar la relación entre los dos radios de la ecuación (i) conduce a

T tr t

=1 2 1 1 – –

.( ) (iii)

C A L C U L EDe la tabla 17.2, el coeficiente de expansión lineal del acero es 1 = 13 · 10–6 °C–1, y el coeficiente de expansión lineal para el latón es 2 = 19 · 10–6 °C–1. Al sustituir los valores numéricos nos da

T = m

0.369 m °C–1

0 500 10

19 10 13 10

3

6

.

–– –

⋅

( ) ⋅ ⋅

−

66 3 60 500 10 13 10°C m °C= 226.

–1 –1( ) ⋅( ) ⋅( )– . – –55 °C.

R E D O N D E ETomando la temperatura como 20 °C y reportando nuestro resultado con dos cifras significati-vas nos da la temperatura de la tira bimetálica después de calentarse: T T= °C = °C.20 250+

V U E LVA A R E V I SA RPrimero, verificamos que la magnitud de la temperatura calculada es razonable. Nuestra res-puesta de 250 °C está bastante por debajo de los puntos de fusión del latón (900 °C) y del acero (1 450 °C), lo cual es importante debido a que la figura 17.13c) muestra que la tira no se funde. Nuestra respuesta también se encuentra significativamente sobre la temperatura ambiente, lo cual es importante debido a que la figura 17.13a) muestra que la tira bimetálica está derecha a la temperatura ambiente.

(continuación)



También podemos verificar que las tiras de acero y latón subtienden el mismo ángulo. El ángulo subtendido por la tira de acero es

11

1

630 5 30 5 13 10 226= =

cm cm °C–1sr

. . .–+( ) ⋅( ) 55

36 90 829 47 5

°C

cm= rads °

( ).

. . .≡

El ángulo subtendido por la tira de latón es

22

2

630 5 30 5 19 10 226= =

cm cm °C–1sr

. . .+( ) ⋅( )− 55

36 9 0 050 829 47 5

°C

cm cm= rads °

( )+. .

. . .≡

Note que, debido a que el espesor de las tiras es pequeño comparado con el radio de la circun-ferencia, podemos escribir la ecuación (iii) como

T tr≈( )

⋅

( ) ⋅1 2 1

3

6

0 500 10

19 10 –. –

–= m

0.369 m °°C °C= °C,

–1 –1– –13 10226

6⋅( )

la cual está de acuerdo dentro del error de redondeo con nuestro resultado calculado. De esta forma, nuestra respuesta parece razonable.

Expansión superficial El efecto de un cambio en la temperatura sobre un área de un objeto es análogo a usar una copia-dora para ampliar o reducir una fotografía. Cada dimensión del objeto cambiará linealmente con el cambio de temperatura. Cuantitativamente, para un objeto cuadrado con lado L (figura 17.15), el área está dada por A = L2. Sacando la diferencial de ambos lados de esta ecuación, obtenemos dA = 2LdL. Si hacemos la aproximación de que A = dA y L = dL, podemos escribir A = 2LL. Al usar la ecuación 17.5, obtenemos entonces

A L L T A T= =2 2 ( ) . (17.6)

A pesar de que se usó un cuadrado para derivar la ecuación 17.6, se sostiene para un cambio de cual-quier forma.

(continúa)

FIGURA 17.15 Expansión térmica de una placa cuadrada con lado L.

17.4 Ejercicio en claseSuponga que la tira bimetálica en la figura 17.13 estuviese hecha de aluminio en el lado derecho y cobre en el lado izquierdo. ¿Hacia qué lado se doblaría la tira si se calentara en la misma forma que la mostrada en la figura? (Consulte la tabla 17.2 para los coeficientes de expansión lineal de los dos metales.)

a) Se doblaría hacia la derecha.

b) Se quedaría recta.

c) Se doblaría hacia la izquierda.

PROBLEMA RESUELTO 17.2 Expansión de una placa con un agujero

Una placa de latón tiene un agujero [figura 17.16a)] con un diámetro d = 2.54 cm. El agujero es demasiado pequeño como para que una esfera de latón pase a través de éste [figura 17.6b)]. Sin embargo, cuando la placa se calienta de 20.0 °C a 220.0 °C, la esfera de latón pasa a través del agujero en la placa.



PROBLEMA¿Cuánto se incrementa el área del agujero en la placa de latón como resultado del calenta-miento?

SOLUCIÓN

P I E N S EEl área de la placa de latón se incrementa conforme la temperatura de la placa aumenta. Co-rrespondientemente, el área del agujero en la placa también se incrementa. Podemos calcular el incremento en el área del agujero usando la ecuación 17.6.

E S B O C ELa figura 17.17a) muestra la placa de latón antes de calentarse y la figura 17.17b) muestra la placa después de calentarse.

a) b) c) d)

FIGURA 17.16 a) La placa antes de calentarse. b) Una esfera de latón no pasará a través del agujero en la placa sin calentar. c) Se calienta la placa. d) La misma esfera de latón pasa a través del agujero en la placa de latón calentada.

FIGURA 17.17 La expansión térmica de una placa con un agujero: a) antes de calentarse; b) después de calentarse.

I N V E S T I G U ELa superficie de la placa aumenta conforme la temperatura se incrementa, como lo dice la ecua-ción 17.6. El área del agujero se incrementará de manera proporcional. Este incremento en el área del agujero puede parecer sorprendente. Sin embargo, usted mismo puede convencerse que el área del agujero se incrementará cuando la placa experimenta expansión térmica mirando la figura 17.17. La placa con un agujero a T = 20 °C se muestra en el inciso a). La misma placa a una escala 5% mayor en todas sus dimensiones se muestra en el inciso b). El círculo punteado en el agujero de la placa en b) es del mismo tamaño que el agujero en la placa original. Claramente, el agujero en b) es mayor que el agujero en a). El área del agujero a T = 20.0 °C es A = R2. La ecuación 17.6 brinda el cambio en el área del agujero:

A A T= 2 ,

donde es el coeficiente de expansión lineal para el latón y ΔT es el cambio en la temperatura de la placa de latón.

(continuación)



S I M P L I F I Q U EAl usar A = R2 en la ecuación 17.6, tenemos el cambio en el área del agujero

A R T= 2 2 ( ) .

Al recordar que R = d/2, obtenemos

A d T d T= =2

212

2 2

( ) .

C A L C U L EDe la tabla 17.2, el coeficiente de expansión lineal del latón es = 19 · 10–6 °C–1. De esta manera, el cambio en el área del agujero es

A =°C m °C–1 19 10 0 0254 220 0 20 06 2

⋅( )( )– . . – . °°C= 3.85098 10 m–6 2

( )⋅

2.

R E D O N D E EReportamos nuestro resultado con dos cifras significativas:

A = m23 9 10 6. .–⋅

V U E LVA A R E V I SA RDe la experiencia diaria con objetos que se calientan o enfrían, sabemos que los cambios relativos en el área no son muy grandes. Dado que el área original del agujero es A = d2/4 = (0.0254 m)2/4 = 5.07 · 10–4 m2, obtenemos para el cambio fraccional A/A = (3.9 · 10–6 m2)/(5.07 · 10–4 m2) = 7.7 · 10–3, o menos que 0.8%. Así, la magnitud de nuestra respuesta parece estar alineada con la intuición física.

El cambio en el radio del agujero conforme la temperatura se incrementa está dado por

R R T= = °C m2

–1 19 10 0 02546⋅( )

– . 2200 4 83 10 5°C = m.( ) ⋅. –

Para ese cambio en el radio, el incremento en el área del agujero es

A R R R= = = m2

2 2 2 0 0254 4 8( )

⋅

. . 110 3 85 105 6– –. ,m = m2( ) ⋅

lo cual coincide con el error de redondeo de nuestro resultado. Así, nuestra solución parece razonable.

Expansión volumétrica Ahora, consideremos el cambio en el volumen de un objeto con un cambio en la temperatura. Para un cubo con arista L, el volumen está dado por V = L3. Sacando la derivada de ambos lados de esta ecuación, obtenemos dV = 3L2dL. Haciendo la aproximación que V = dV y L = dL, podemos escribir V = 3L2L. Entonces, usando la ecuación 17.5, obtenemos

V L L T V T= =3 32 ( ) . (17.7)

Debido a que el cambio en volumen con el cambio en la temperatura a menudo es de interés, es conveniente definir el coeficiente de expansión volumétrica (también llamado coeficiente de dilatación volumétrica): = 3 . (17.8)

De esta forma, podemos reescribir la ecuación 17.7 como V V T= . (17.9) A pesar de que se usó el cubo para derivar la ecuación 17.9, se puede aplicar generalmente a un cam-bio en el volumen de cualquier otra forma. Algunos coeficientes de expansión volumétrica típicos se listan en la tabla 17.3.

La ecuación 17.9 se aplica a la expansión térmica de la mayoría de los sólidos y líquidos. Sin embargo, no describe la expansión térmica del agua. Entre 0 °C y alrededor de 4 °C, el agua se

Table 17.3 Coeficientes de expansión volumétrica para algunos líquidos comunes

Material (10–6 °C–1)

Mercurio 181

Gasolina 950

Keroseno 990

Alcohol etílico 1 120

Agua (1 °C) –47.8

Agua (4 °C) 0

Agua (7 °C) 45.3

Agua (10 °C) 87.5

Agua (15 °C) 151

Agua (20 °C) 207

Tabla 17.3



contrae conforme la temperatura crece (figura 17.18). El agua con una temperatura sobre los 4 °C es más densa que el agua con una temperatura justo por debajo de los 4 °C. Esta propiedad del agua tiene un efecto impresionante en la forma que los lagos se congelan en el invierno. Conforme la temperatura del aire baja entre el cálido verano y el frío invierno, el agua en el lago se enfría desde abajo de la superficie. El agua más fría y más densa se hunde al fondo del lago. Sin embargo, conforme la temperatura en la superficie del agua cae por debajo de los 4 °C, este movimiento descendente cesa y el agua más fría permanece en la superficie del lago, con el agua más densa y tibia debajo. La capa superior a la larga se enfría hasta los 0 °C y entonces se congela. El hielo es menos denso que el agua, así que el hielo flota sobre el agua. Esta capa de hielo recién formada actúa como un aislante, el cual reduce la rapidez de congelación del resto del agua en el lago. Si el agua tuviese las mismas propiedades de expansión térmica que otros materiales comunes, en lugar de congelarse de arriba abajo, el lago se congelaría del fondo hacia arriba, con el agua más tibia permaneciendo en la superficie del lago y el agua más fría hundiéndose hasta el fondo. Esto significaría que los lagos se congelarían del todo más a menudo y cualquier forma de vida en éstos que no pudiese existir en el hielo no sobreviviría al invierno.

Además, usted puede ver en la figura 17.18 que el volumen de una determinada cantidad de agua nunca depende linealmente de la temperatura. Sin embargo, la dependencia lineal del volumen de agua con la temperatura puede aproximarse considerando un pequeño intervalo de temperatura. La pendiente de la curva volumen/temperatura es V/T, así es que podemos extraer un coeficiente de expansión volumétrica efectivo para cambios de temperatura pequeños. Por ejemplo, el coeficiente de expansión volumétrica para el agua a seis distintas temperaturas se muestra en la tabla 17.3; note que a 1 °C, = –47.8 · 10–6 °C–1, lo cual significa que el volumen del agua decrecerá conforme la temperatura aumenta.

EJEMPLO 17.3 Expansión térmica de la gasolina

Usted mete su coche a la estación de servicio en un caluroso día de verano, cuando la tempera-tura del aire es de 40 °C. Llena su tanque vacío de 55 L con gasolina que proviene del tanque de almacenamiento subterráneo a 12 °C. Después de pagar la gasolina, decide caminar al restau-rante de al lado y comer su almuerzo. Dos horas más tarde, regresa a su coche y descubre que la gasolina se ha derramado de su tanque al suelo.

PROBLEMA¿Cuánta gasolina se ha derramado?

SOLUCIÓNSabemos lo siguiente: la temperatura de la gasolina que usted puso en su tanque comienza a los 12 °C. La gasolina se calienta hasta llegar a la temperatura exterior de 40 °C. El coeficiente de expansión volumétrica de la gasolina es de 950 · 10–6 °C–1.

FIGURA 17.18 La dependencia del volumen de 1 kg de agua con la temperatura.

17.5 Ejercicio en claseUsted tiene un cubo metálico, el cual calienta. Después de calentarlo, el área de una de las superficies del cubo se ha incrementado por 0.02%. ¿Qué afirmación acerca del volumen del cubo después de calentado es correcta?

a) Ha decrecido por 0.02%.

b) Ha crecido por 0.02%.

c) Ha crecido por 0.01%.

d) Ha crecido por 0.03%.

e) No se da suficiente información para determinar el cambio de volumen.


57117.5 Temperatura superficial de la Tierra

Mientras usted se ausentaba, la temperatura de la gasolina cambió de 12 °C a 40 °C. Usando la ecuación 17.9, podemos encontrar el cambio en el volumen de la gasolina cuando aumenta la temperatura:

V V T= = °C L °C °C =–1 950 10 55 40 126⋅( )( )( )– – 11 5. L.

De esta manera, el volumen de la gasolina se incrementó en 1.5 litros cuando la temperatura de la gasolina subió de 12 °C a 40 °C. El tanque de gasolina estaba lleno cuando la temperatura de la gasolina era de 12 °C, así es que este exceso se derramó del tanque al suelo.

17.5 Temperatura superficial de la Tierra El reporte de las temperaturas superficiales diarias es parte de todos los reportes del clima en los periódicos y las noticias de la TV y la radio. Es claro que comúnmente hace más frío en la noche que durante el día, más frío en invierno que en verano y es más caluroso cerca del Ecuador que cerca de los polos. Un tema actual de intensa discusión es si la temperatura de la Tierra está subiendo. Una respuesta concluyente a esta pregunta requiere datos que brinden los promedios apropiados. El primer promedio que resulta útil es a lo largo del tiempo. La figura 17.19 es una gráfica de la temperatura superficial de la Tierra, promediada en el tiempo en el curso de un mes (junio de 1992).

Los valores promediados en el tiempo de la temperatura sobre la superficie entera de la Tierra se obtienen tomando la temperatura sistemáticamente por toda la superficie terrestre, incluidos los océanos. Estas mediciones se corrigen entonces por cualesquiera sesgos sistemáticos, tales como el hecho de que muchas estaciones de medición de la temperatura están ubicadas en zonas pobladas y muchas áreas escasamente pobladas tienen pocas mediciones de temperatura. Una vez que se han tomado en cuenta todas las correcciones, el resultado es la temperatura superficial promedio de la Tierra en un año determinado. La temperatura superficial promedio de la Tierra actual es aproximadamente de 287.5 K (14.4 °C). En la figura 17.20, esta temperatura global promedio se grafica para los años entre 1880 y 2005. Usted puede ver que desde más o menos 1900, la tempera-tura parece estar aumentando con el tiempo, lo que indica un calentamiento global. La línea hori-zontal azul en la gráfica representa la temperatura global promedio para todo el siglo xx, 13.9 °C.

Varios modelos predicen que la temperatura superficial global promedio de la Tierra conti-nuará aumentando. A pesar de que la magnitud del incremento en la temperatura global prome-dio en el curso de los últimos 155 años es de alrededor de 1 °C, lo cual no parece ser un aumento muy grande, combinado con incrementos futuros predichos, es suficiente para causar efectos observables, tales como la subida de los niveles del agua oceánica, la desaparición de la cubierta de hielo ártica en los veranos, cambios de clima y un incremento en la severidad de las tormentas y las sequías por todo el mundo.

La figura 17.21 muestra un registro de la diferencia entre la temperatura super-ficial anual promedio en la Antártida y la temperatura superficial anual prome-dio en los últimos 420 000 años, la cual se determinó a partir de núcleos de hielo. Note que las temperaturas del pasado se evaluaron de las mediciones del dióxido de carbono en los núcleos de hielo, que sus valores dependen hasta cierto punto del modelo y que las diferencias de temperaturas resultantes podían ser signifi-

FIGURA 17.19 Temperatura superficial de la Tierra promediada en el tiempo en junio de 1992. Los colores representan un rango de temperaturas de –63 °C a +37 °C.

FIGURA 17.20 Temperatura superficial global promedio anual desde 1880 hasta 2005, medida por termómetros en la tierra y en el océano (histograma rojo). La línea horizontal azul representa la temperatura global promedio para el siglo xx, 13.9 °C.

14.4

14.2

14

13.8

13.6

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000Año



cativamente mayores que las correspondientes a las diferencias de temperatura globales. Varios periodos diferentes son aparentes en la figura 17.21. Un intervalo de tiempo cuando la diferencia de la temperatura es alrededor de −7 °C corresponde a un periodo en el cual las capas de hielo cubrieron partes de Norteamérica y Europa y el llamado periodo glaciar. El último periodo glaciar terminó hace unos 10 000 años. Los periodos más calurosos entre los periodos glaciares, llamados periodos interglaciares, corresponden a diferencias de temperatura alrededor de cero. En la figura 17.21 son visibles cuatro periodos glaciares, remontándose hasta 400 000 años. Se han hecho intentos de relacionar estas diferencias de temperatura con diferencias en el calor recibido del Sol debidas a las variaciones de la órbita terrestre y la orientación de su eje de rotación, conocida como la Hipótesis de Milankovitch. Sin embargo, estas variaciones no pueden dar cuenta de todas las diferencias de temperatura observadas.

El caluroso periodo interglaciar actual comenzó hace unos 10 000 años y parece un poco más fresco que los periodos interglaciares. Los periodos interglaciares previos han durado desde 10 000 hasta 25 000 años. Sin embargo, las actividades humanas, tales como la quema de los com-bustibles fósiles y el efecto invernadero resultante (más de esto en el capítulo 18), están influyendo en la temperatura global promedio. Los modelos predicen que el efecto de estas actividades será el calentar la Tierra, al menos durante los próximos varios cientos de años.

Un efecto del calentamiento en la superficie terrestre, es la subida en el nivel del mar. El nivel del mar ha subido 120 m desde el pico del último periodo glaciar, hace unos 20 000 años, como resultado del derretimiento de los glaciares que cubrían grandes áreas de la tierra. El derreti-miento de grandes cantidades de hielo que reposa sobre el suelo sólido es la mayor contribución potencial para una subida ulterior en el nivel del mar. Por ejemplo, si todo el hielo en la Antártida se derritiese, el nivel del mar subiría 61 m. Si todo el hielo en Groenlandia se derritiese, la subida en el nivel del mar sería de 7 m. Sin embargo, tomaría varios siglos para que estos grandes depó-sitos de hielo se derritiesen por completo, incluso si las predicciones pesimistas de los modelos climáticos son correctas. La subida del nivel del mar debida a la expansión térmica es pequeña comparada con la debida al derretimiento de los grandes glaciares. La tasa actual de la subida en el nivel del mar es de 2.8 mm/año, medidas por el satélite TOPEX/Poseidón.

EJEMPLO 17.4 Subida del nivel del mar debido a la expansión térmica del agua

La subida en el nivel de los océanos de la Tierra es de preocupación actual. Los océanos cu-bren 3.6 · 108 km2, un poco más de 70% del área superficial de la Tierra. La profundidad del océano promedio es de 3 700 m. La temperatura superficial del océano varía ampliamente, entre 35 °C en verano en el golfo Pérsico y –2 °C en las regiones árticas y antárticas. Sin embar-go, incluso si la temperatura superficial del océano supera los 20 °C, la temperatura del agua cae

rápidamente como función de la profundidad y alcanza 4 °C a una profundidad de 1 000 m (figura 17.22). La temperatura promedio global de toda el agua del mar es aproximadamente de 3 °C. La tabla 17.3 lista un coeficiente de expansión de cero para el agua a una temperatura de 4 °C. De esta manera, es seguro suponer que el volumen del agua oceánica cambia muy poco a una profundidad mayor a 1 000 m. Para los 1 000 m de la parte superior del agua oceánica, supongamos que la tempe-ratura promedio global es de 10.0 °C y calculemos el efecto de la expansión térmica.

PROBLEMA¿Cuánto cambiaría el nivel del mar, sólo como resultado de la expansión térmica del agua, si la temperatura del agua de todos los océanos se incrementara por T = 1.0 °C?

SOLUCIÓNEl coeficiente de expansión térmica del agua a 10.0 °C es = 87.5 · 10–6 °C–1 (de la tabla 17.3), y el cambio en el volumen de los océanos está dado por la ecuación 17.9, V = VT, o

VV

T= . (i)

Podemos expresar el área superficial total de los océanos como A = (0.7)4R2, donde R es el radio de la Tierra y el factor 0.7 refleja el hecho de que más o menos 70% de la superficie de esta esfera está cubierta de agua. Suponemos que el área superficial de los océanos se incrementa

FIGURA 17.21 Temperatura superficial anual promedio de la Antártida en el pasado, extraída de los contenidos de dióxido de carbono en los núcleos de hielo, en relación con el valor actual.


Identifique los años que corresponden a los periodos glaciares e interglaciares en la figura 17.21.

24

20

16

12

8

4

00 1 2 3 4

Tem

pera

tura

del

agu

a T (

C)

Profundidad del agua d (km)

FIGURA 17.22 Temperatura promedio del océano como función de la profundidad bajo la superficie.


57317.6 Temperatura del universo

sólo en una minúscula proporción por el agua que se está moviendo hacia arriba en las costas y despreciamos el cambio en el área superficial debido a este efecto. Entonces, esencialmente todo el cambio en el volumen de los océanos dará por resultado el cambio en la profundidad y podemos escribir

VV

d Ad A

dd

= =⋅⋅

. (ii)

Al combinar las ecuaciones (i) y (ii), obtenemos una expresión para el cambio en la profundidad:

dd

T d d T= = ⇒ .

Al sustituir los valores numéricos, d = 1 000 m, T = 1.0 °C y = 87.5 · 10–6 °C–1, obtenemos

∆d = m °C °C)= cm.–1( )( . )( .–1 000 87 5 10 1 0 96⋅

Así, por cada incremento de la temperatura promedio del océano de 1 °C, el nivel del mar subirá 9 cm (casi 4 pulgadas). Esta subida es menor que la subida anticipada, debido al derretimiento de la cubierta de hielo en Groenlandia o la Antártida, pero contribuirá al problema de la inun-dación de las costas.

17.6 Temperatura del universo En 1965, cuando estaban trabajando en un radio telescopio primitivo, Arno Penzias y Robert Wilson descubrieron la radiación del fondo cósmico de microondas. Ellos detectaron “ruido” o “estática”, que parecía venir de todas las direcciones del cielo. Penzias y Wilson encontraron lo que estaba pro-duciendo este ruido (lo cual les mereció el Premio Nobel de 1978): era radiación electromagnética que quedó del Big Bang, el cual ocurrió hace 13.7 mil millones de años. Es asombroso darse cuenta de que un “eco” del Big Bang todavía reverbera en el espacio intergaláctico “vacío” después de tan largo tiempo. La longitud de onda de la radiación cósmica de fondo es semejante a la longitud de onda de la radiación electromagnética usada en un horno de microondas. Un análisis de la distribu-ción de longitudes de onda de esta radiación condujo a la deducción de que la temperatura de fondo del universo es de 2.725 K. George Gamov ya había predicho la temperatura de la radiación cósmica de fondo en 2.7 K en 1948, cuando todavía no estaba claro que el Big Bang fuese un hecho científico establecido.

En 2001, el satélite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) midió las variaciones en la temperatura de fondo del universo. Esta misión siguió al exitoso satélite Cosmic Background Explorer (COBE), lanzado en 1989, el cual dio por resultado que se le otorgara el Premio Nobel de 2006 a los físicos John Mather y George Smoot. Las misiones COBE y WMAP encontraron que la radiación cósmica de fondo en microondas era muy uniforme en todas las direcciones, pero pequeñas diferencias en la temperatura estaban superpuestas en el fondo uniforme. Los resultados de la WMAP para la temperatura de fondo en todas las direcciones se muestran en la figura 17.23. Los efectos de la Vía Láctea se han sustraído. Usted puede ver que la variación en la temperatura de fondo del universo es muy pequeña, dado que ±200 K/2.725 K = ±7.3 · 10–5. A partir de la interpretación de estos resultados y otras observaciones, los científicos dedujeron que la edad del universo es de 13.7 mil millones de años, con un margen de error menor de menos de 1%. Adi-

FIGURA 17.23 La temperatura de la radiación cósmica de fondo en microondas en todas partes del universo. Los colores representan un rango de temperaturas de 200 µK por debajo a 200 µK por encima de la temperatura promedio de la radiación cósmica de fondo en microondas, la cual tiene una temperatura promedio de 2.725 K.



cionalmente, los científicos fueron capaces de deducir que el universo está compuesto de 4% de materia ordinaria, 23% de materia oscura y 73% de energía oscura. La materia oscura es materia que ejerce un tirón gravitatorio observable, pero parece ser invisible, como se discute en el capí-tulo 12. La energía oscura parece estar causando que la expansión del universo se acelere. Tanto la materia oscura como la energía oscura se encuentran bajo intensa investigación actualmente y la comprensión de éstas debería mejorar en la próxima década.

L O Q U E H E M O S A P R E N D I D O | G U Í A D E E S T U D I O PA R A E X A M E N

■ Las tres escalas de temperatura comúnmente usadas son: Fahrenheit, Celsius y Kelvin.

■ La escala Fahrenheit se usa sólo en Estados Unidos y determina el punto de congelación del agua en 32 °F y el punto de ebullición del agua en 212 °F.

■ La escala Celsius define el punto de congelación del agua en 0 °C y el punto de ebullición del agua en 100 °C.

■ La escala Kelvin define 0 K como el cero absoluto y el punto de congelación del agua como 273.15 K. El tamaño del kelvin y el grado Celsius es el mismo.

■ La conversión de °F a °C está dada por TC = 5

9 (TF – 32 °F).

T É R M I N O S C L AV E

equilibrio térmico, p. 557 calor, p. 557 energía térmica, p. 557 temperatura, p. 557 termómetro, p. 558 ley cero de la

termodinámica, p. 558

T, temperatura

N U E V O S S Í M B O L O S

R E S P U E S TA S A L A S O P O R T U N I D A D E S D E A U T O E X A M E N

17.1 Haga = = , y resuelva

=

=

F CT T T T

T T

TT

:

–

95

45

32

32

+

== °C o °F.– 40

17.2 Use una mezcla de hielo y agua, la cual se encuentra a 0 °C y agua hirviente, la cual está a 100 °C. Tome las medicio-nes y marque las posiciones correspondientes sobre el termó-metro sin calibrar.

17.3 Los periodos glaciares están en años atrás:12 000 a 120 000150 000 a 230 000250 000 a 310 000330 000 a 400 000.Los periodos interglaciares están en años atrás: 0 a 12 000110 000 a 130 000230 000 a 250 000310 000 a 330 000400 000 a 410 000.

escala de temperatura Fahrenheit, p. 558

escala de temperatura Celsius, p. 558

escala de temperatura Kelvin, p. 558

cero absoluto, p. 558

tercera ley de la termodinámica, p. 559

kelvin, p. 559 expansión térmica,

p. 563 coeficiente de expansión

lineal, p. 564

coeficiente de expansión volumétrica, p. 569

radiación del fondo cósmico de microondas, p. 573

, coeficiente de expansión lineal , coeficiente de expansión volumétrica

■ La conversión de °C a °F está dada por TF = 9

5 TC + 32 °C. ■ La conversión de °C a K está dada por

TK = TC + 273.15 °C. ■ La conversión de K a °C está dada por

TC = TK – 273.15 K. ■ El cambio en la longitud, L, de un objeto de longitud L

conforme cambia la temperatura por T está dada por L = LT, donde es el coeficiente de expansión lineal.

■ El cambio en volumen, V, de un objeto con volumen V conforme cambia la temperatura por T está dado por V = VT, donde es el coeficiente de expansión volumétrica.


575Práctica para resolución de problemas

P R Á C T I C A PA R A R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

Lineamientos de problemas resueltos 1. Sea consistente en el uso de las temperaturas Celsius, Kelvin o Fahrenheit. Para calcular un cambio de temperatura, un grado Celsius es igual a un kelvin. Sin embargo, si necesita encontrar un valor de temperatura, recuerde qué escala de temperatura se le pide.

2. La expansión térmica tiene un efecto semejante a ampliar una fotografía: todas las partes de la fotografía se expanden en la misma proporción. Recuerde que un agujero en un obje-to se expande con el incremento de temperatura de la misma forma que el mismo objeto lo hace. En ocasiones usted puede simplificar un problema que involucra la expansión volumé-trica a una dimensión y entonces usar coeficientes de expan-sión lineal. Esté alerta para este tipo de situaciones.

PROBLEMA RESUELTO 17.3 Expansión lineal de una barra de acero y una barra de latón

A 20.0 °C, una barra de acero tiene una longitud de 3.0000 m y una barra de latón tiene una longitud de 2.9970 m.

PROBLEMA¿A qué temperatura tendrán ambas barras la misma longitud?

SOLUCIÓN

P I E N S EEl coeficiente de expansión lineal del acero es menor al coeficiente de expansión del latón. De esta forma, conforme se calientan las dos barras, la barra de latón se expandirá más. Para obtener la temperatura en la cual ambas barras tienen la misma longitud, igualamos las expresiones para las longitudes finales de las barras, dados en términos de las longitudes iniciales, los coeficientes de expansión y el incremento de temperaturas.

E S B O C ELa figura 17.24 muestra a las dos barras antes y después de calentarse.

La longitud de la barra de acero antes de calentarse es Ls, su cambio de longitud es Ls, y el coeficiente de expansión lineal del acero es s = 13 · 10–6 °C–1. La longitud de la barra de latón antes de calentarse es Lb, su cambio de longitud es Lb, y el coeficiente de expansión lineal del latón es b = 19 · 10–6 °C–1. El cambio de temperatura es T.

I N V E S T I G U EEl cambio en la longitud de la barra de acero está dada por

L L Ts s s= . El cambio en la longitud de la barra de latón está dada por

L L Tb b b= .

Cuando las dos barras tienen la misma longitud, L L L Ls s b b=+ + .

S I M P L I F I Q U EPodemos combinar las tres ecuaciones anteriores para obtener

L L T L L Ts s s b b b=+ + . Reacomodando y resolviendo para la diferencia de temperatura, tenemos

s s b b b s

b s

s s b b

=

=

L T L T L L

T L LL L

– –––

.

⇒

C A L C U L EAl sustituir los valores numéricos nos da

T =m m

13 10 °C–6 –1

2 9970 3 0000

3 000

. – .

.

( ) ( )⋅( ) 00 m 19 10 °C 2.9970 m

=167.1961 °C–6 –1( ) ⋅( )( )–

..

FIGURA 17.24 Una barra de acero y una barra de latón: a) antes de calentarse; b) después de calentarse.

(continúa)



P R E G U N TA S D E O P C I Ó N M Ú LT I P L E

17.1 Dos termómetros de expansión de mercurio tienen re-cipientes idénticos y tubos cilíndricos hechos del mismo vi-drio, pero de diferentes diámetros. ¿Cuál de los dos termóme-tros puede graduarse para una mejor resolución? a) El termómetro con el tubo de menor diámetro tendrá la mejor resolución.b) El termómetro con el tubo de mayor diámetro tendrá la mejor resolución.c) El diámetro del tubo es irrelevante; es sólo el coeficiente de expansión térmica lo que importa. d) No hay suficiente información para decidir. 17.2 Para una demostración en clase, su instructor de física calienta uniformemente una tira bimetálica que sostiene hori-zontalmente. Como resultado, la tira bimetálica se dobla hacia arriba. Esto le dice que el coeficiente de expansión térmica lineal para el metal T, en la parte superior es _____ que la del metal B, en la parte inferior. a) menor a b) mayor a c) igual a 17.3 Dos objetos sólidos, A y B, se encuentran en contacto. ¿En qué caso habrá transferencia de energía térmica desde A hacia B? a) A está a 20 °C, y B está a 27 °C.b) A está a 15 °C, y B está a 15 °C.c) A está a 0 °C, y B está a –10 °C.17.4 ¿Cuál de las siguientes tiras bimetálicas exhibirá la ma-yor sensibilidad a los cambios de temperatura? Esto es, ¿cuál de ellas se doblará más conforme se incrementa la temperatura? a) Cobre y acero.b) Acero y aluminio.c) Cobre y aluminio.

d) Aluminio y latón.e) Cobre y latón.

17.5 La temperatura de fondo del universo es a) 6 000 K.b) 288 K.

c) 3 K.d) 2.73 K.

e) 0 K.

17.6 ¿Qué temperatura del aire se siente más fría? a) –40 °C. b) –40 °F.

c) 233 K.d) Las tres son iguales.

17.7 ¿A qué temperatura tienen las escalas Celsius y Fahren-heit el mismo valor numérico? a) –40 grados.b) 0 grados.

c) 40 grados.d) 100 grados.

17.8 La ciudad de Yellowknife en los Territorios Noroeste de Canadá se encuentra en las orillas del Gran Lago de los Es-clavos. La temperatura alta promedio en julio es de 21 °C y la temperatura baja promedio en enero es de −31 °C. El Gran Lago de los Esclavos tiene un volumen de 2 090 km3 y es el lago más profundo de Norteamérica, con una profundidad de 614 m. ¿Cuál es la temperatura del agua en el fondo del Gran Lago de los Esclavos en enero? a) –31 °C.b) –10 °C.

c) 0 °C.d) 4 °C.

e) 32 °C.

17.9 Cuál objeto tiene la mayor temperatura después de que-darse afuera durante una noche de inverno entera: ¿la manija metálica de una puerta o una alfombra? a) La manija metálica de una puerta tiene la mayor tempe-ratura.b) La alfombra tiene la mayor temperatura.c) Ambas tienen la misma temperatura. d) Depende de la temperatura exterior.

P R E G U N TA S

17.10 Una forma común de abrir una tapa apretada en un frasco de vidrio es colocarla bajo agua caliente. La expansión térmica de la tapa metálica es mayor que la del frasco de vi-drio; de esta manera, el espacio entre los dos se expande y es más fácil abrir el frasco. ¿Servirá esto para la tapa metálica de un recipiente del mismo tipo de metal?

17.11 ¿Sería posible tener una escala de temperaturas de tal ma-nera que cuanto más caliente estuviese el objeto o sistema, tanto menor (menos positivo o más negativo) fuese su temperatura? 17.12 La corona solar tiene una temperatura de unos 1 · 106 K. Sin embargo, una nave espacial volando en la corona no se quemaría. ¿Por qué sucede esto?

R E D O N D E EReportamos nuestro resultado con tres cifras significativas: T = °C °C = °C.20 0 167 1961 187. .+ V U E LVA A R E V I SA RPara verificar nuestro resultado, calculamos la longitud final de ambas barras. Para la barra de acero tenemos L Ts s

–1= m °C1 3 0000 1 13 10 167 196+( ) ( ) + ⋅( ) . .– 661 °C = 3.00652 m.( )

Para la barra de latón tenemos L Tb b

–1= m °C1 2 9970 1 19 10 167 196+( ) ( ) + ⋅( ) . .– 661 °C = 3.00652 m.( )

De esta manera, nuestra respuesta parece razonable.

(continuación)


577Problemas

P R O B L E M A S

Una • y dos •• indican un grado creciente de dificultad del problema.

Secciones 17.1 y 17.2 17.22 Exprese cada una de las siguientes temperaturas en gra-dos Celsius y en kelvins.a) –19 °F b) 98.6 °F c) 52 °F17.23 Un termómetro se calibra en grados Celsius y otro en grados Fahrenheit. ¿A qué temperatura es la lectura en el ter-mómetro calibrado en grados Celsius igual a tres veces la lec-tura del otro termómetro? 17.24 Durante el verano de 2007 se registraron temperaturas tan altas de hasta 47 °C en el sur de Europa. La temperatura más alta registrada en Estados Unidos fue de 134 °F (en el valle de la Muerte, California, en 1913). ¿Cuál es la diferencia entre estas dos temperaturas, en grados Celsius? 17.25 La menor temperatura del aire registrada en la Tierra es de −129 °F, en la Antártida. Convierta esta temperatura a la es-cala Celsius. 17.26 ¿Qué temperatura del aire se sentirá el doble de calien-te que 0 °F? 17.27 Un trozo de hielo seco (dióxido de carbono sólido) que reposa en el salón de clases tiene una temperatura de aproxi-madamente −79 °C.

a) ¿Cuál es esta temperatura en kelvins? b) ¿Cuál es esta temperatura en grados Fahrenheit? 17.28 En 1742, el astrónomo sueco Anders Celsius propuso una escala de temperatura en la cual el agua hierve a 0.00 grados y se congela a 100. grados. En 1745, después de la muerte de Celsius, Carolus Linnaeus (otro científico sueco) invirtió estos estánda-res, produciendo la escala que es la más comúnmente usada en la actualidad. Encuentre la temperatura ambiente (77.0 °F) en la escala de temperatura original Celsius. 17.29 ¿A qué temperatura tienen las escalas Kelvin y Fahren-heit el mismo valor numérico?

Sección 17.4 17.30 ¿Cómo se compara la densidad del cobre que se en-cuentra justo sobre su temperatura de fusión de 1 356 K con la del cobre a temperatura ambiente?

17.31 La densidad del acero es de 7 800.0 kg/m3 a 20.0 °C. Encuentre la densidad a 100.0 °C. 17.32 Dos cubos con aristas de 100.0 mm de longitud encajan en un espacio de 201.0 mm de ancho, como se ve en la figura. Un cubo está hecho de aluminio y el otro de latón. ¿Qué aumento de temperatura se requiere para que los cubos llenen completamente el espacio?

Aluminio Latón

17.13 Explique por qué podría ser difícil soldar aluminio al acero o soldar dos distintos metales cualesquiera uno con el otro. 17.14 Dos objetos sólidos están hechos de diferentes metales. Sus volúmenes y coeficientes de expansión volumétrica son V1 y V2 y 1 y 2, respectivamente. Se observa que durante un cambio de temperatura T, el volumen de cada objeto cam-bia en la misma cantidad. Si V1 = 2V2 ¿cuál es la razón de los coeficientes de expansión volumétrica? 17.15 Algunos libros de texto usan la unidad K–1 en lugar de °C–1 para los valores del coeficiente de expansión lineal; vea la tabla 17.2. ¿Cómo diferirían los valores numéricos de los coeficientes si se expresaran en K–1? 17.16 Usted se encuentra afuera en un día caluroso, con la temperatura del aire en To. Su bebida deportiva se encuentra a una temperatura Td en una botella de plástico sellada. Quedan unos cuantos cubos de hielo en su bebida deportiva, los cuales están a Ti, pero se están derritiendo rápidamente. a) Escriba una desigualdad que describa la relación entre es-tas tres temperaturas. b) Dé valores razonables para las tres temperaturas en grados Celsius. 17.17 La escala de temperatura Rankine es una escala de tem-peratura absoluta que usa los grados Fahrenheit, esto es, las temperaturas se miden en grados Fahrenheit, comenzando con el cero absoluto. Encuentre las relaciones entre los valores de temperatura en la escala Rankine y aquéllos en las escalas Fahrenheit, Kelvin y Celsius. 17.18 La ley cero de la termodinámica forma la base para la definición de la temperatura con respecto a la energía térmica.

Pero el concepto de temperatura se usa en otras áreas de la física. En un sistema con niveles de energía, tales como los electrones en un átomo o los protones en un campo magnéti-co, la población de un nivel con energía E es proporcional al factor e E k T– / ,B donde T es la temperatura absoluta del sistema y kB = 1.381 · 10–23 J/K es la constante de Boltzmann. En siste-mas con dos niveles, con los niveles de energía que difieren en E, la razón de las poblaciones de niveles de alta energía a baja energía es p p e E k T

alta baja/ = B– / .∆ Semejantes sistemas tienen una temperatura infinita o incluso una temperatura absoluta nega-tiva. Explique el significado de tales temperaturas. 17.19 Suponga que una tira bimetálica se construye de dos tiras de metales con coeficientes de expansión lineal 1 y 2, donde 1 > 2. a) Si la temperatura de la tira bimetálica se reduce en T, ¿para qué lado se doblará la tira (en la dirección hecha del metal 1 o en la dirección hecha del metal 2)? Explique breve-mente. b) Si la temperatura se incrementa en T, ¿para qué lado se doblará la tira? 17.20 Para el almacenamiento de alimentos, ¿cuál es la venta-ja de colocar una tapa metálica en un frasco de vidrio? (Pista: ¿Por qué ayuda a usted dejar correr el agua caliente por la tapa metálica durante un minuto para abrir dicho frasco? 17.21 Un cilindro sólido y un cascarón cilíndrico, de radio y longitud idénticos y del mismo material, experimentan el mismo incremento de temperatura T. ¿Cuál de los dos se expandirá para tener un radio exterior mayor?



•17.41 Un reloj basado en un péndulo simple se sitúa a la in-temperie en Anchorage, Alaska. El péndulo consiste en una masa de 1.00 kg que cuelga de una barra delgada de latón que tiene una longitud de 2.000 m. El reloj se calibra perfectamen-te durante un día de verano con una temperatura promedio de 25.0 °C. Durante el invierno, cuando la temperatura promedio en el transcurso de un periodo de 24 horas es de −20 °C, en-cuentre el tiempo transcurrido para este periodo según el reloj de péndulo simple.

•17.42 En una planta de fabricación de termómetros, un tipode termómetro de mercurio se construye a temperatura am-biente (20 °C) para medir temperaturas en el rango de 20 a 70 °C, con un recipiente esférico de 1 cm3 en el fondo y un tubo capilar de expansión con un diámetro interior de 0.5 mm. El espesor de la pared del recipiente es despreciable y la marca de los 20 °C se encuentra en la unión entre el recipien-te esférico y el tubo. Los tubos y los recipientes están hechos de sílice fundido, una forma vítrea transparente de SiO2, la cual tiene un coeficiente de expansión térmica muy bajo ( =0.4 · 10–6 °C–1). Por error, el material usado para un lote de ter-mómetros fue el cuarzo, una forma cristalina transparente de SiO2, con un coeficiente de expansión térmica mucho mayor ( = 12.3 · 10–6 °C–1). ¿Tendrá el fabricante que descartar el lote, o funcionarán bien los termómetros, dentro de la incer-tidumbre de 5% en la lectura de la temperatura? El coeficiente de expansión volumétrica del mercurio es = 181 · 10–6 °C–1.

•17.43 Los extremos de dos barras mostradas en la figura se encuentran separadas por 5.0 mm a 25 °C. La barra a mano izquierda es de latón y tiene una longitud de 1.0 m; la barra a mano derecha es de acero y tiene una longitud de 1.0 m. Su-poniendo que los extremos exteriores de las barras se apoyan firmemente contra soportes rígidos, ¿a qué temperatura se to-carán apenas los extremos de las barras que se enfrentan?

17.33 Un anillo del pistón de latón se debe encajar en un pistón, calentando primero al anillo y después deslizándolo sobre el pistón. El anillo del pistón tiene un diámetro interior de 10.00 cm y un diámetro exterior de 10.20 cm. El pistón tiene un diámetro exterior de 10.10 cm y un surco para el ani-llo del pistón tiene un diámetro exterior de 10.00 cm. ¿A qué temperatura se debe calentar el anillo del pistón de tal manera que se deslice sobre el pistón?17.34 Una esfera de aluminio con radio de 10.0 cm se calienta desde 100.0 °F hasta 200.0 °F. Encuentre a) el cambio de volu-men y b) el cambio de radio. 17.35 Los rieles de acero para un ferrocarril se tienden en una región sujeta a extremos de temperatura. La distancia de una juntura a la otra es de 5.2000 m y el área de la sección transversal de los rieles es de 60. cm2. Si los rieles se tocan en-tre sí sin pandearse a la temperatura máxima, 50. °C, ¿cuánto espacio habrá entre los rieles a –10. °C? 17.36 A pesar de que el acero tiene un coeficiente de expan-sión lineal relativamente bajo (acero = 13 · 10–6 °C –1), la ex-pansión de los rieles de acero potencialmente puede crear pro-blemas significativos en los días de verano muy calurosos. A fin de acomodar para la expansión térmica, se deja un espacio entre las secciones consecutivas de la vía. Si cada sección tiene una longitud de 25.0 m a 20.0 °C y el espacio entre las seccio-nes es de 10.0 mm de ancho, ¿cuál es la mayor temperatura que los carriles pueden soportar antes de que la expansión cree fuerzas de compresión entre las secciones? 17.37 Un dispositivo médico usado para manejar muestras de tejido tiene dos tornillos metálicos, uno de 20.0 cm de longitud y hecho de latón (b = 18.9 · 10–6 °C–1) y el otro de 30.0 cm de longitud y hecho de aluminio (a = 23.0 · 10–6 °C–1). Existe un espacio de 1.00 mm entre los extremos de los tornillos a 22.0 °C. ¿A qué temperatura se tocarán los dos tornillos? •17.38 Usted está diseñando un termómetro de mercurio de precisión, basado en la expansión térmica del mercurio ( = 1.8 · 10–4 °C–1), el cual causa que el mercurio se expanda hacia arriba en un delgado tubo capilar conforme se incrementa la temperatura. La ecuación para el cambio en el volumen del mercurio como función de la temperatura es V = V0T, donde V0 es el volumen inicial del mercurio y V es el cambio de volumen debido a un cambio de temperatura T. En respuesta al cambio de temperatura de 1.0 °C, la columna de mercurio en su termómetro de precisión deberá moverse una distan-cia D = 1.0 cm por un tubo capilar de radio r = 0.10 mm. Determine el volumen inicial del mercurio que permita este cambio. Entonces, encuentre el radio del bulbo esférico que contenga este volumen de mercurio. •17.39 En un caluroso día de verano, una piscina cúbica se llena hasta 1.0 cm del borde superior con agua a 21 °C. Cuan-do el agua se calienta a 37 °C, el agua se desborda. ¿Cuál es la profundidad de la piscina? •17.40 Una barra de acero con longitud de 1.0 m se suelda al extremo de una barra de aluminio con longitud de 2.0 m (las longitudes se midieron a 22 °C). La barra combinada se calienta a 200. °C. ¿Cuál es el cambio en la longitud de la barra combi-nada a 200. °C?

5.0 mm

3.0 mm

•17.44 La figura mues-tra un péndulo que com-pensa la temperatura en el cual barras de plomo y de acero están dispuestas de tal forma que la longi-tud del péndulo no resul-ta afectada por los cam-bios en la temperatura. Determine la longitud, L, de las dos barras de plomo.

•17.45 Considere una tira bimetálica que consiste en una tira superior de latón con un espesor de 0.50 mm soldada a una tira inferior de acero de 0.50 mm de espesor. Cuando la tem-peratura de la tira bimetálica se incrementa por 20. K, la punta que no está sujeta se desvía por 3.0 mm de su posición recta original, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la tira en su posición original?

Pivote

Pesa

Barras de acero de 50.0 cm de longitud

Barras deplomo delongitud L


579Problemas

•17.50 Otro dispositivo de MEMS usado con el mismo pro-pósito que el del problema 17.49, tiene un diseño diferente. Este actuador electrotérmico consiste en una viga de silicio delgada en forma de V, como se muestra en la figura. La viga no está sujeta al sustrato bajo el dispositivo, sino que se en-cuentra libre de moverse, en tanto que los contactos eléctricos (marcados + y − en la figura) están sujetos al sustrato y no pueden moverse. La viga abarca el espacio entre los contactos eléctricos que tiene una anchura de 1 800 μm y las dos mitades se inclinan hacia arriba a partir de la horizontal por 0.10 rad. La corriente eléctrica fluye a través de la viga, haciendo que ésta se caliente. Cuando se hace fluir la corriente a través de la viga, ésta alcanza una temperatura de 500. °C. Suponga que la temperatura es constante por la longitud entera de dicha viga (estrictamente hablando, éste no es el caso). ¿Cuánto y en qué dirección se moverá la punta? El coeficiente de expansión li-neal del silicio es de 3.2 · 10–6 °C–1.

•17.46 La expansión térmica parece ser un efecto pequeño, pero puede generar fuerzas tremendas a menudo destructivas. Por ejemplo, el acero tiene un coeficiente de expansión lineal de = 1.2 · 10–5 °C–1 y el módulo de compresibilidad B = 160 GPa. Calcule la presión generada en el acero por un incremen-to de 1.0 °C en la temperatura. •17.47 A temperatura ambiente, una herradura de hierro, cuan-do se sumerge en un tanque cilíndrico de agua (radio de 10.0 cm) hace que el nivel del agua suba 0.25 cm sobre el nivel que tie-ne sin la herradura en el tanque. Cuando se calienta en la fragua del herrero desde la temperatura ambiente hasta una tempera-tura de 7.00 · 102 K, se le forja con su forma final y entonces se le sumerge de nuevo en el agua, ¿cuánto sube el agua sobre el nivel de “no herradura” (ignore el agua que se evapora cuando la he-rradura entra al agua)? Nota: El coeficiente de expansión lineal del hierro es más o menos el del acero: 11 · 10–6 °C–1. •17.48 Un reloj tiene un péndulo de aluminio con un periodo de 1.000 s a 20.0 °C. Suponga que el reloj se mueve a un lugar donde la temperatura promedio es de 30.0 °C. Determine a) el nuevo periodo del péndulo de reloj y b) cuánto tiempo perde-rá o ganará el reloj en una semana. •17.49 Usando técnicas semejantes a las que se desarrollaron para la electrónica de semiconductores miniaturizados, los científicos y los ingenieros están creando los Sistemas Micro-Electro-Mecánicos (MEMS). Un ejemplo es un actuador elec-trotérmico que está impulsado al calentar sus diferentes par-tes usando una corriente eléctrica. El dispositivo se usa para posicionar las fibras ópticas con un diámetro de 125 m con una resolución submicrónica y consiste en brazos de silicio delgado y grueso, conectados en la forma de una U, como se muestra en la figura. Los brazos no están sujetos al sustrato

bajo el dispositivo, sino que están libres de moverse, en tanto que los contactos eléctricos (marcados 1 y 2 en la figura) están sujetos al sustrato e incapaces de moverse. El brazo del-gado tiene una anchura de 3.0 · 101 m y el brazo grueso tiene una anchura de 130 m. Ambos brazos tienen una longitud de 1 800 m. Una corriente eléctrica fluye a través de los bra-zos, haciendo que éstos se calienten. A pesar de que la misma corriente pasa a través de ambos brazos, el brazo delgado tiene una resistencia eléctrica mayor que el brazo ancho y, por lo tanto, disipa más energía eléctrica y se torna sustancialmente más caliente. Cuando se hace circular la corriente a través de las vigas, la viga delgada alcanza una temperatura de 4.0 · 102 °C, y la viga gruesa alcanza una temperatura de 2.0 · 102 °C. Suponga que la temperatura en cada viga es constante por la longitud entera de dicha viga (estrictamente hablando, éste no es el caso) y que las dos vigas permanecen paralelas y se doblan sólo en el plano del papel a temperaturas mayores. ¿Cuánto y en qué dirección se moverá la punta? El coeficiente de expansión lineal del silicio es de 3.2 · 10–6 °C–1.

•17.51 El volumen de 1.00 kg de agua líquida en el rango de temperaturas de 0.00 °C a 50.0 °C se ajusta razonable-mente a la función polinómica V = 1.00016 – (4.52 · 10–5)T + (5.68 · 10–6)T2, donde el volumen se mide en metros cúbicos y T es la temperatura en grados Celsius. a) Use esta información para calcular el coeficiente de ex-pansión volumétrica para el agua líquida como función de la temperatura. b) Evalúe su expresión a 20.0 °C y compare el valor con la listada en la tabla 17.3. ••17.52 a) Suponga que una tira bimetálica se construye de tiras de cobre y acero con un espesor de 1.0 mm y una longi-tud de 25 mm y la temperatura de la tira se reduce por 5.0 K. Determine el radio de curvatura de la tira enfriada (el radio de curvatura de la interfaz entre las dos tiras). b) Si la tira tiene una longitud de 25 mm, ¿qué tan lejos se encuentra la desviación máxima de la tira a partir de la orien-tación recta?

Problemas adicionales 17.53 Un cubo de cobre con una arista de longitud de 40.0 cm se calienta desde 20. °C hasta 120 °C. ¿Cuál es el cambio en el volumen del cubo? El coeficiente de expansión lineal del cobre es de 17 · 10–6 °C–1. 17.54 Cuando un tubo metálico con una longitud de 50.0 m se calienta desde 10.0 °C hasta 40.0 °C, se alarga por 2.85 cm.a) Determine el coeficiente de expansión lineal. b) ¿De qué tipo de metal está hecho el tubo? 17.55 En una fresca mañana, con una temperatura de 15.0 °C, un pintor llena un recipiente de aluminio de 5.00 galones has-ta el borde con trementina. Cuando la temperatura alcanza los 27.0 °C, ¿qué cantidad de fluido se derrama del recipiente?



2.00 cm pasen apenas a través de éstos. ¿Sobre qué aumento de temperatura debe calentarse la hoja de plástico de epoxia de tal forma que las bolas de rodamiento pasen a través de los agujeros? El coeficiente de expansión lineal del plástico de epoxia es como de 1.3 · 10–4 °C–1. •17.65 Un disco de latón uniforme de radio R y masa M con un momento de inercia I en torno de su eje cilíndrico se en-cuentra a una temperatura T = 20. °C. Determine el cambio fraccional de su momento de inercia si se calienta a una tem-peratura de 100. °C. •17.66 Una bola de latón con un diámetro de 25.01 mm repo-sa a temperatura ambiente sobre un agujero con un diámetro de 25.00 mm practicado en una placa de aluminio. La bola y la placa se calientan uniformemente en un horno, de tal forma que ambas están a la misma temperatura en todo momento. ¿A qué temperatura caerá la bola a través de la placa? •17.67 En un juego de basquetbol improvisado, su amigo se agrietó un diente en una colisión con otro jugador mientras intentaba encestar. Para corregir este problema, el dentista colocó una banda de acero con un diámetro interno inicial de 4.4 mm y un área de sección transversal con ancho de 3.5 mm y espesor de 0.45 mm sobre el diente. Antes de colocar la banda sobre el diente, calentó la banda a 70. °C. ¿Cuál será la tensión en la banda una vez que se enfríe a la temperatura de la boca de su amigo (37 °C)? •17.68 Su profesor de física asignó un proyecto de cons-trucción de un termómetro. Le dio a usted un tubo de vidrio con un diámetro interior de 1.00 mm y un receptáculo en un extremo. También le dio 8.63 cm3 de mercurio para verterlo en el tubo, el cual llenó el receptáculo y parte del tubo. Usted debe agregar marcas que indiquen los grados Celsius sobre el tubo de vidrio. ¿A qué incrementos deben ponerse las mar-cas? Usted sabe que el coeficiente de expansión volumétrica del mercurio es de 1.82 · 10–4 °C–1. •17.69 Usted está construyendo un dispositivo para ambientes ultrafríos. Debido que el dispositivo se usará en ambientes don-de la temperatura cambiará por 200. °C en 3.00 s, debe tener la habilidad de soportar el choque térmico (cambios rápidos de temperatura). El volumen del dispositivo es de 5.00 3 10–5 m3 y si el volumen cambia por 1.00 3 10–7 m3 en un intervalo de tiempo de 5.00 s, el dispositivo se quebrará y quedará inútil. ¿Cuál es el máximo coeficiente de expansión volumétrica que puede tener el material que use para construir el dispositivo? •17.70 Una barra de acero con una longitud de 1.0000 m y un área de sección transversal de 5.00 · 10–4 m2 se coloca de mane-ra ajustada contra dos puntos extremos inmóviles. La barra se coloca inicialmente cuando la temperatura es de 0 °C. Encuen-tre el esfuerzo en la barra cuando la temperatura sube a 40. °C. •17.71 Puede pensarse que un clarín de latón es un tubo con una abertura en ambos extremos (la física real se complica por la interacción de boca del clarín y la boquilla y el pabellón acampanado). La longitud global del clarín si se estira es de 183.0 cm (a 20.0 °C). Un clarín se toca en un caluroso día de verano (41.0 °C). Encuentre la frecuencia fundamental si a) sólo se considera el cambio en la temperatura del aire; b) sólo se considera cambio en la longitud del clarín, y c) se consideran ambos efectos en los incisos a) y b).

El coeficiente de expansión volumétrica de esta marca de tre-mentina es de 9.00 · 10–4 °C–1. 17.56 Un edificio con una infraestructura de acero tiene una altura de 6.00 · 102 m en un día cuando la temperatura es de 0.00 °C. ¿Cuánto más alto es el edificio en un día en que la temperatura es de 45.0 °C? El coeficiente de expansión lineal del acero es de 1.30 · 10–5 °C–1. 17.57 Con objeto de crear un ajuste apretado entre dos partes metálicas, en ocasiones los maquinistas hacen la parte interior mayor que el agujero en el que ajustarán y entonces, ya sea que enfríen la parte interior o bien calienten la parte exterior hasta que ajusten una con la otra. Suponga que una barra de aluminio con un diámetro D1 (a 2.0 · 101 °C) debe encajar en un agujero en una placa de latón con un diámetro D2 = 10.000 mm (a 2.0 · 101 °C). Los maquinistas pueden enfriar la barra a 77.0 K, sumergiéndola en nitrógeno líquido. ¿Cuál es el máxi-mo diámetro posible que puede tener la barra a 2.0 · 101 °C y que apenas encaje en el agujero si la barra se enfría a 77.0 K y la placa de latón se conserva a 2.0 · 101 °C? Los coeficientes de expansión lineal del aluminio y del latón son 22 · 10–6 °C–1 y 19 · 10–6 °C–1, respectivamente.17.58 Un vehículo militar carga gasolina en Estados Unidos, en preparación para embarcarse al extranjero. Su tanque de combustible tiene una capacidad de 213 L. Cuando carga com-bustible, la temperatura es de 57 °F. En su destino, podría re-querirse que funcione a temperaturas hasta de 120 °F. ¿Cuál es el máximo volumen de gasolina que debe ponerse en el tanque? 17.59 Un termómetro de mercurio contiene 8.0 mL de mer-curio. Si el tubo capilar del termómetro tiene un área de sec-ción transversal de 1.0 mm2, ¿cuál debe ser el espaciado entre las marcas de °C? 17.60 Un recipiente de 14 galones se llena con gasolina. Des-precie el cambio en el volumen del recipiente y encuentre cuántos galones se pierden si la temperatura se incrementa en 27 °F. El coeficiente de expansión volumétrica de la gasolina es de 9.6 · 10–4 °C–1. 17.61 Una autopista de losas de concreto se debe construir en el desierto de Libia, donde la máxima temperatura del aire registrada es de 57.8 °C. La temperatura es de 20.0 °C durante la construcción de la autopista. Las losas se miden en 12.0 m de longitud a dicha temperatura. ¿Cuán anchas deben ser las rendijas de expansión entre las losas (a 20.0 °C) para evitar el pandeo a la máxima temperatura?17.62 Una vasija de aluminio con una capacidad en volumen de 500. cm3 se llena con agua hasta el borde a 20. °C. La vasija y su contenido se calientan hasta 50. °C. Durante el proceso de calentamiento, ¿se derramará el agua por los bordes, habrá más espacio para agregar agua o permanecerá el mismo nivel del agua? Calcule el volumen de agua que se derramará o que podría agregarse, en su caso. 17.63 ¿Cuánto debe cambiar la temperatura de una masa dada de keroseno para que su volumen se incremente en 1.0%? 17.64 Una hoja de plástico de epoxia tiene agujeros unifor-mes con radio de 1.99 cm. Se quiere que los agujeros permi-tan que unas bolas de rodamiento con un radio externo de


FIGURA 18.1 Una tormenta.

18El calor y la primera ley de la termodinámica

L O Q U E A P R E N D E R E M O S 582 18.1 Definición de calor 582 18.2 Equivalente mecánico del calor 583

Ejemplo 18.1 Contenido energético de una barrita de dulce 584

18.3 Calor y trabajo 584 18.4 Primera ley de la termodinámica 586

Ejemplo 18.2 Levantador de pesas 586Ejemplo 18.3 Un camión que se desliza

hasta detenerse 587 18.5 La primera ley para procesos especiales 588

Procesos adiabáticos 588Procesos a volumen constante 588Procesos en trayectoria cerrada 588Expansión libre 589Procesos a presión constante 589 Procesos a temperatura constante 589

18.6 Calores específicos de sólidos y fluidos 589Ejemplo 18.4 Energía requerida para

calentar agua 590 Calorimetría 591

Problema resuelto 18.1 Agua y plomo 591 18.7 Calor latente y transiciones de fase 592

Ejemplo 18.5 Calentamiento del hielo en agua y del agua en vapor 594

Ejemplo 18.6 Trabajo efectuado al vaporizar el agua 595

18.8 Modos de la transferencia de energía térmica 596

Conducción 596Ejemplo 18.7 Aislante del techo 597Problema resuelto 18.2 Costo de calentar

una casa en invierno 597 Convección 599

Problema resuelto 18.3 Corriente del Golfo 600Radiación 602

Ejemplo 18.8 La Tierra como un cuerpo negro 603

El calentamiento global 603El calor en las computadoras 605


Práctica para resolución de problemas 606 Problema resuelto 18.4 Flujo de la energía

térmica a través de una barra de cobre/aluminio 607

Preguntas de opción múltiple 608Preguntas 609Problemas 610


582 Capítulo 18 El calor y la primera ley de la termodinámica

■ El calor es energía térmica que se transfiere entre un sistema y su ambiente o entre dos sistemas, como resultado de una diferencia de temperatura entre éstos.

■ La primera ley de la termodinámica afirma que el cambio en la energía interna de un sistema cerrado es igual a la energía térmica absorbida por el sistema menos el trabajo efectuado por el sistema.

■ Agregar energía térmica a un objeto aumenta su temperatura. Este aumento de temperatura es proporcional a la capacidad calorífica, C, del objeto.

■ La energía térmica agregada a un objeto de masa m es igual al producto del calor específico del objeto, c, y m, y el aumento de la temperatura del objeto.

■ Si se agrega energía térmica a un objeto sólido, su temperatura aumenta hasta que alcanza el punto de


El clima terrestre está impulsado por la energía térmica en la atmósfera. Las regiones ecuatoriales reciben más radiación solar que las regiones polares; así es que el aire caliente se mueve del norte y del sur del Ecuador hacia los polos para distribuir la energía térmica más uniformemente. Esta transferencia de energía térmica, llamada convección, establece corrientes de viento en torno del globo, llevando nubes y lluvia lo mismo que aire. En casos extremos, el aire caliente ascendente y el aire frío descendente forman tormentas impresionantes como la tempestad de truenos mos-trada en la figura 18.1. Las tormentas circulares —tornados y huracanes— también están impul-sadas por la colisión violenta del aire caliente con el aire más frío.

Este capítulo examina la naturaleza del calor y los mecanismos de la transferencia de energía térmica. El calor es una forma de energía que se transfiere hacia dentro o hacia fuera del sistema. De esta manera, el calor es gobernado por una forma más general de la ley de la conservación de energía, conocida como la primera ley de la termodinámica. Nos enfocaremos en dicha ley en este capítulo, junto con algunas de sus aplicaciones a los procesos termodinámicos y los cambios en el calor y la temperatura.

El calor es esencial para los procesos de la vida; no podría existir la vida en la Tierra sin el calor del Sol o del interior de la Tierra. Sin embargo, el calor también causa problemas con la ope-ración de circuitos eléctricos, motores y otros dispositivos mecánicos. Cada rama de la ciencia y la ingeniería también deben tratar con el calor en una forma u otra y, es por ello que, los conceptos en este capítulo son importantes para todas las áreas de la investigación, el diseño y el desarrollo.

18.1 Definición de calorEl calor es una de las formas más comunes de energía en el universo y todos la experimentamos cada día. Con todo, las personas tienen conceptos erróneos acerca del calor que a menudo causan confusión. Por ejemplo, un objeto ardiente como la llama de una vela no “tiene” calor que emite cuando se torna suficientemente caliente. En lugar de esto, la llama de la vela transmite energía, en la forma de calor, al aire en derredor de ésta. Para aclarar estas ideas, necesitamos comenzar con definiciones claras y precisas del calor y las unidades usadas para medirlo.

Si usted vierte agua fría en un vaso y pone el vaso en la mesa de la cocina, el agua se calentará len-tamente hasta que alcance la temperatura del aire en el cuarto. De manera semejante, si usted vierte agua caliente en un vaso y lo coloca en la mesa de la cocina, el agua se enfriará lentamente hasta que alcance la temperatura del aire en el cuarto. El calentamiento o el enfriamiento tienen lugar con rapi-dez al principio y luego en forma más lenta, conforme el agua se acerca al equilibrio térmico con el aire en la cocina. En el equilibrio térmico, el agua, el vidrio y el aire en el cuarto se encuentran todos a la misma temperatura.

El agua en el vaso es un sistema con temperatura Ts y el aire en la cocina es un ambiente con temperatura Te. Si Ts ≠ Te, entonces la temperatura del sistema cambia hasta que es igual a la tem-peratura del ambiente. Un sistema puede ser simple o complejo; es justamente cualquier objeto o

fusión. Si se continúa agregando energía térmica, la temperatura del objeto permanece constante hasta que el objeto se funde por completo en un líquido. El calor requerido para fundir un objeto a su punto de fusión, dividido entre su masa, es el calor latente de fusión.

■ Si se agrega energía térmica a un líquido, su temperatura aumenta hasta que alcanza el punto de ebullición. Si se continúa agregando energía térmica, la temperatura del líquido permanece constante hasta que todo el líquido se vaporiza a un gas. El calor requerido para vaporizar un líquido a su punto de ebullición, dividido entre su masa, es el calor latente de vaporización.

■ Los tres modos principales de transferencia de energía térmica son conducción, convección y radiación.


583

Termómetro

Pesa

Agua

Paletas

FIGURA 18.3 Aparato para el experimento de Joule, que sirve para demostrar el equivalente mecánico del calor.

18.2 Equivalente mecánico del calor

colección de objetos que deseamos examinar. La diferencia entre el ambiente y el sistema es que el ambiente es grande comparado con el sistema. La temperatura del sistema afecta al ambiente, pero supondremos que el ambiente es tan grande que cuales-quiera cambios en la temperatura son imperceptibles.

El cambio en la temperatura del sistema se debe a la trans-ferencia de energía entre el sistema y su ambiente. Este tipo de energía es la energía térmica, una energía interna relacionada con el movimiento de los átomos, moléculas y electrones que constituyen al sistema o al ambiente. La energía térmica en el proceso de transferirse de un cuerpo a otro se llama calor y se simboliza con Q. Si la energía térmica se transfiere hacia dentro del sistema, entonces Q > 0 [figura 18.2a)]. Esto es, el sistema gana energía térmica cuando recibe calor de su ambiente. Si la energía térmica se transfiere desde el sistema hacia el ambiente, entonces Q < 0 [figura 18.2c)]. Si el sistema y su ambiente tienen la misma temperatura [figura 18.2b)], entonces Q = 0. El flujo de energía térmica hace que el sistema gane o pierda energía térmica.

FIGURA 18.2 a) Un sistema empotrado en un ambiente que tiene una temperatura mayor. b) Un sistema empotrado en un ambiente que tiene la misma temperatura. c) Un sistema empotrado en un ambiente que tiene una temperatura menor.

DefiniciónEl calor, Q, es la energía transferida entre un sistema y su ambiente (o entre dos sistemas) debido a una diferencia de temperatura entre éstos. Cuando la energía fluye dentro del sistema, Q > 0; cuando la energía fluye fuera del sistema, Q < 0.

18.2 Equivalente mecánico del calorRecuerde del capítulo 5 que la energía también puede transferirse entre un sistema y su ambiente como trabajo efectuado por una fuerza que actúa sobre el sistema o por el sistema. El concepto de calor y trabajo, discutido en la sección 18.3, puede definirse en términos de la transferencia de energía hacia o desde un sistema. Podemos referirnos a la energía interna del sistema, pero no al calor contenido en el sistema. Si observamos el agua caliente en un vaso, no sabemos si la energía térmica se transfirió al agua o se efectuó un trabajo sobre el agua.

El calor es energía transferida y puede cuantificarse usando la unidad de energía del SI, el joule (J). Originalmente, el calor se medía en términos de su habilidad para elevar la temperatura del agua. La caloría (cal) se definió como la cantidad de calor requerida para elevar la tempera-tura de 1 gramo de agua por 1 °C. Otra medida común del calor, usada aún en Estados Unidos, es la unidad térmica británica (BTU), definida como la cantidad de calor requerida para elevar la temperatura de 1 libra de agua por 1 °F. Sin embargo, el cambio en la temperatura del agua como función de la cantidad de energía térmica transferida a ésta depende de la temperatura original del agua. Las definiciones reproducibles de la caloría y la unidad térmica británica requerían que las mediciones se efectuaran a temperatura inicial específica.

En un experimento clásico realizado en 1843, el físico inglés James Prescott Joule mostró que la energía mecánica de un objeto podría convertirse en energía térmica. El aparato que Joule usó con-sistía en una gran masa soportada por una cuerda que pasaba por una polea y enrollada en torno de un eje (figura 18.3). Conforme la masa descendía, la cuerda al desenrollarse hacía dar vueltas a un par de paletas grandes en un recipiente con agua. Joule mostró que el aumento en la temperatura del agua estaba directamente relacionado con el trabajo mecánico efectuado por el objeto que caía. De esta manera, Joule demostró que podría convertirse en energía térmica y encontró una relación entre la caloría y el joule (la unidad de energía llamada así en su honor).

La definición moderna de la caloría está basada en el joule. La caloría se define como exac-tamente 4.186 J, sin ninguna referencia al cambio en la temperatura del agua. Los siguientes son algunos factores de conversión para las unidades de energía:

1 4 1861 1 055

1 3 60 106

cal = JBTU = J

kW h = J

.

. ⋅11 kW h = 3 412 BTU.

(18.1)



El contenido energético de la comida se expresa normalmente en términos de calorías. Una calo-ría de la comida, a menudo llamada una Caloría, o una kilocaloría, no es igual a la caloría recién definida; una caloría de la comida es equivalente a 1 000 cal. El costo de energía eléctrica se manifiesta en kilowatt-hora (kWh).

EJEMPLO 18.1 Contenido energético de una barrita de dulce

PROBLEMALa etiqueta de una barrita de dulce establece que tiene 275 calorías. ¿Cuál es el contenido ener-gético de esta barrita de dulce en joules?

SOLUCIÓNLas calorías de la comida son kilocalorías y 1 kcal = 4 186 J. La barrita de dulce tiene 275 kcal o

275 4 186kcal J1 kcal

=1.15 10 J.6

⋅

DISCUSIÓNObserve que esta energía es suficiente para elevar un camión pequeño con un peso de 22.2 kN (una masa de 5 000 lb) una distancia de 52 m. Una persona de 73 kg (160 lb) tendría que caminar una hora a 1.6 m/s (3.5 mph) para quemar las calorías que vienen de consumir esta barrita de dulce.

18.3 Calor y trabajoMiremos cómo la energía puede transferirse como calor o trabajo entre un sistema y su ambiente. Consideraremos un sistema que consiste de un cilindro lleno de gas con un pistón (figura 18.4). El gas en el cilindro puede describirse por una temperatura T, una presión p y un volumen V. Supo-nemos que la pared lateral del cilindro no permite que el calor lo penetre. El gas está en contacto térmico con un depósito térmico infinito, que es un objeto tan grande que su temperatura no cambia incluso cuando experimenta un flujo de energía térmica hacia dentro o hacia fuera de ésta. (Los depósitos térmicos reales incluyen el océano, la atmósfera y la Tierra misma.) Este depósito también tiene una temperatura T. En la figura 18.4a), una fuerza externa,

Fext , empuja sobre el

pistón. El gas entonces empuja hacia atrás con una fuerza, F , dada por la presión del gas, p, por

el área, A, del pistón: F = pA (vea el capítulo 13). Para describir el comportamiento de este sistema, consideramos el cambio a partir del estado

inicial especificado por la presión pi, volumen Vi y temperatura Ti y un estado final especificado por pf, volumen Vf y temperatura Tf. Imagine que los cambios se realizan lentamente, de manera que per-manece cerca del equilibrio, permitiendo mediciones de p, V y T. La progresión del estado inicial al estado final es un proceso termodinámico. Durante este proceso, la energía térmica puede transferirse hacia dentro del sistema (calor positivo) o puede transferirse hacia fuera del sistema (calor negativo).

Cuando la fuerza externa se retira [figura 18.4b)], el gas en el cilindro empuja al pistón hacia fuera una distancia dr. El trabajo efectuado por el sistema en este proceso es

dW F dr pA dr p Adr pdV= = = =i ( )( ) ( ) ,

donde dV = Adr es el cambio en el volumen del sistema. De esta manera, el trabajo efectuado por el sistema al pasar de la configuración inicial a la configuración final está dado por

W dW pdVV

V= =

i

f

∫ ∫ . (18.2)

Observe que durante este cambio en el volumen, la presión también puede cambiar. Para evaluar esta integral, necesitamos conocer la relación entre la presión y el volumen para este proceso. Por ejemplo, si la presión permanece constante, obtenemos

W pdV p dV p V VV

V

V

V= = = (para una presif i

i

f

i

f

–( )∫∫ óón constante). (18.3)

FIGURA 18.4 Un cilindro lleno de gas con un pistón. El gas está en contacto térmico con un depósito térmico infinito. a) Una fuerza externa empuja sobre el pistón, creando una presión en el gas. b) La fuerza externa se retira, permitiendo que el gas empuje al pistón hacia fuera.

a)

b)

A

Gas

Depósito térmico

Pistón

p

Fext

F

A

Gas

Depósito térmico

Pistón

p

F

d r


58518.3 Calor y trabajo

La ecuación 18.3 indica que, a presión constante, un cambio negativo en el volumen (compresión) corresponde a un trabajo negativo efectuado por el sistema.

La figura 18.5 muestra gráficas de presión contra volumen, llamadas en ocasiones diagramas pV. Las tres partes de la figura muestran diferentes trayectorias, o formas de cambiar la presión y el volumen de un sistema desde una condición inicial hasta una condición final. La figura 18.5a) ilustra un proceso que comienza en un punto inicial i y procede a un punto final f de tal manera que la presión disminuye conforme el volumen aumenta. El trabajo efectuado por los sistemas está dado por la ecuación 18.2. La integral puede representarse como el área bajo la curva, mostrada con un sombreado verde en la figura 18.5a). En este caso, el trabajo efectuado por el sistema es positivo porque el volumen del sistema aumenta (expansión).

La figura 18.5b) ilustra un proceso que comienza en un punto inicial i y procede a un punto final f a través de un punto intermedio m. El primer paso involucra un aumento en el volumen en tanto se conserva la presión constante. Una forma de completar este paso es incrementar la temperatura del sistema conforme el volumen aumenta, manteniendo una presión constante. El segundo paso consiste en disminuir la presión mientras se mantiene el volumen constante. Una forma de lograr esta tarea es disminuir la temperatura quitando energía térmica del sistema. De nuevo, el trabajo efectuado por el sistema puede representarse por el área bajo la curva, mostrada con sombreado verde en la figura 18.5b). El trabajo efectuado por el sistema es positivo porque el volumen del sistema aumenta. Sin embargo, el trabajo realizado por el sistema se origina sólo en el primer paso. En el segundo paso, el sistema no hace trabajo porque el volumen no cambia.

La figura 18.5c) ilustra otro proceso que comienza en un punto inicial i y procede a un punto final f a través de un punto intermedio m. El primer paso involucra disminuir la presión del sistema mientras se mantiene el volumen constante. El segundo paso consiste en aumentar el volumen mientras se mantiene la presión constante. De nuevo, el trabajo efectuado por el sistema puede representarse por el área bajo la curva, mostrada con sombreado verde en la figura 18.5c). El trabajo hecho por el sistema es otra vez positivo debido a que el volumen del sistema aumenta. Sin embargo, el trabajo efectuado por el sistema se origina sólo en el segundo paso. En el primer paso, el sistema no hace ningún trabajo debido a que el volumen no cambia. El trabajo neto efec-tuado en este proceso es menor que el trabajo realizado por el proceso en la figura 18.5b), ya que el área verde es menor. La energía térmica absorbida también debe ser menor, debido a que los estados inicial y final son los mismos en estos dos procesos, así que el cambio en la energía interna es el mismo. (Esta conexión entre el trabajo, el calor y el cambio en la energía interna se discute con más detalle en la sección 18.4.)

De esta manera, el trabajo efectuado por un sistema y la energía térmica transferida al sis-tema dependen de la forma en que el sistema se mueve de un punto inicial a un punto final en un diagrama pV. Nos referimos a este tipo de procesos como procesos dependientes de la trayectoria.

Los diagramas pV en la figura 18.6 invierten los procesos mostrados en la figura 18.5 al comenzar en los puntos finales de la figura 18.5 y procediendo a lo largo de la misma trayectoria a los puntos iniciales. En cada uno de dichos casos, el área bajo la curva representa el negativo del trabajo efectuado por el sistema al moverse de un punto inicial i a un punto final f. En los tres casos, el trabajo efectuado por el sistema es negativo debido a que el volumen del sistema disminuye.

Suponga que un proceso comienza en algún punto sobre el diagrama pV, sigue alguna trayectoria y regresa al punto original. Una trayectoria que regresa a su punto inicial se llama trayectoria cerrada. Dos ejemplos de trayectorias cerradas se ilustran en la figura 18.7. En la figura 18.7a), un proceso comienza en un punto inicial i y procede a un punto intermedio m1; el volumen aumenta mientras se mantiene la presión constante. De m1, la trayectoria va al punto intermedio m2; el volumen se mantiene constante mientras la presión disminuye. Desde el pun-

FIGURA 18.5 Las trayectorias de tres diferentes procesos en diagramas pV. a) Un proceso en el cual la presión disminuye conforme el volumen aumenta. b) Un proceso en el cual el primer paso consiste en aumentar el volumen mientras se mantiene la presión constante y el segundo paso consiste en disminuir la presión mientras se mantiene el volumen constante. c) Otro proceso en dos pasos, en el cual el primer paso consiste en mantener el volumen constante y disminuir la presión, y el segundo paso consiste en mantener la presión constante mientras se aumenta el volumen. En los tres casos, el área verde bajo la curva representa el trabajo efectuado durante el proceso.

FIGURA 18.6 Las trayectorias de tres procesos en diagramas pV. Éstos son los procesos inversos de los mostrados en la figura 18.5.



to m2, la trayectoria va al punto intermedio m3, con la presión constante y el volumen decreciendo. Finalmente, el proceso se mueve desde el punto m3 al punto final, f, el cual es el mismo que el punto inicial, i. El área bajo la trayectoria de i a m1 representa el trabajo positivo efectuado por el sistema (el volumen aumenta), en tanto que el área bajo la trayectoria de m2 a m3 representa tra-bajo negativo efectuado sobre el sistema (el volumen disminuye). La adición del trabajo positivo y negativo produce trabajo neto positivo efectuado por el sistema, como se representa por el área del rectángulo verde en la figura 18.7a). En este caso, el calor es positivo.

La figura 18.7b) muestra la misma trayectoria sobre el diagrama pV que en la figura 18.7a), pero el proceso ocurre en la dirección opuesta. El área bajo la trayectoria desde el punto interme-dio m1 al punto intermedio m2 corresponde al trabajo positivo efectuado por el sistema. El área bajo la trayectoria desde el punto intermedio m3 al punto final f corresponde al trabajo negativo efectuado sobre el sistema. El trabajo neto efectuado por el sistema en este caso es negativo, y su magnitud está representada por el área del rectángulo anaranjado en la figura 18.7b). En este caso, el calor es negativo.

La cantidad de trabajo efectuada por el sistema y la energía térmica absorbida por el sistema dependen de la trayectoria tomada sobre el diagrama pV, lo mismo que de la dirección en la cual se toma la trayectoria.

18.4 Primera ley de la termodinámicaUn sistema cerrado es un sistema hacia dentro o hacia fuera del cual la energía térmica puede transferirse, pero de la cual ningún componente puede escapar, y a la cual no se agregan compo-nentes adicionales. El combinar varios de los conceptos cubiertos anteriormente en este capítulo nos permite expresar el cambio en la energía interna de un sistema cerrado en términos del calor y el trabajo como E E E Q Wint int, int,– – .= =f i (18.4)Esta ecuación se conoce como la primera ley de la termodinámica. Puede enunciarse como sigue:

FIGURA 18.7 Dos proceso de trayectoria cerrada en diagramas pV.


Considere el proceso mostrado en el diagrama pV. La trayectoria pasa del punto i al punto f y de regreso al punto i. ¿El trabajo efectuado por el sistema es negativo, cero o positivo?

V

p

i

f

El cambio en la energía interna de un sistema cerrado es igual al calor adquirido por el siste-ma menos el trabajo efectuado por el sistema.

En otras palabras, la energía se conserva. El calor y el trabajo pueden transformarse en energía interna, pero ninguna energía se pierde. Observe que aquí el trabajo lo efectúa el sistema; no es efectuado sobre el sistema. Esencialmente, la primera ley de la termodinámica extiende la conser-vación de energía (encontrada por vez primera en el capítulo 6) más allá de la energía mecánica para incluir el calor lo mismo que el trabajo. (En otros contextos, tales como en las reacciones quí-micas, el trabajo se define como el trabajo efectuado sobre el sistema, lo cual conduce a una con-vención diferente para el trabajo. La convención del signo puede asignarse en cualquier forma, en tanto sea consistente.) Observe también que el cambio en la energía interna es independiente de la trayectoria, mientras que los cambios en el calor y el trabajo son dependientes de la trayectoria.

EJEMPLO 18.2 Levantador de pesas

PROBLEMAUn levantador de pesas en una arrancada levanta una pesa con masa m = 180.0 kg y la mueve una distancia h = 1.25 m verticalmente, como se ilustra en la figura 18.8. Si consideramos al levantador de pesas como un sistema termodinámico, ¿cuánto calor debe emitir si su energía interna dismi-nuye en 4 000.0 J?

FIGURA 18.8 Un levantador de pesas compite en los Juegos Olímpicos de 2008.


58718.4 Primera ley de la termodinámica

SOLUCIÓNComenzamos con la primera ley de la termodinámica (ecuación 18.4):

E Q Wint – .=

El trabajo es el trabajo mecánico efectuado sobre la pesa por el levantador de pesas: W mgh= .

El calor entonces está dado por

Q E W E mgh= = = J kgint int∆ ∆+ + +( )– . .4 000 180 0 9 81 mm/s m

= J kcal.

2( )( )

=

1 25

1 790 0 428

.

– – .

El levantador de pesas no puede convertir energía interna en trabajo útil sin emitir calor. Note que la disminución en la energía interna del levantador de pesas es menor al de una caloría de la comida: (4 000 J)/(4 186 J/kcal) = 0.956 kcal. La producción de calor es sólo de 0.428 kcal. Esta pequeña cantidad de energía interna y calor asociado con el gran esfuerzo requerido para levantar el peso es análogo a la cantidad de ejercicio que se requiere para quemar las calorías en una barrita de dulce (vea el ejemplo 18.1).

EJEMPLO 18.3 Un camión que se desliza hasta detenerse

PROBLEMALos frenos de un camión en movimiento con una masa m = 3 000.0 kg se bloquean. El camión se desliza hasta detenerse en una carretera horizontal por una distancia L = 83.2 m. El coefi-ciente de fricción cinética entre los neumáticos del camión y la superficie de la carretera es k = 0.600. ¿Qué ocurre con la energía interna del camión?

SOLUCIÓNLa primera ley de la termodinámica (ecuación 18.4) relaciona la energía interna, el calor y el trabajo efectuado sobre el sistema:

E Q Wint – .=

En este caso, no se transfiere energía térmica hacia o desde el camión debido a que el proceso de deslizarse hasta detenerse es suficientemente rápido, de tal manera que no hay tiempo para transferir energía térmica en cantidades apreciables. De esta forma, Q = 0. El trabajo es efectuado por la fuerza de la fricción cinética, Ff, para frenar y detener al camión. La magnitud del trabajo efectuado sobre el camión es (vea el capítulo 5)

W F L mgL= =f k ,

donde mg es la fuerza normal ejercida sobre la carretera por el camión. Debido a que el trabajo es efectuado sobre el camión, es negativo, y tenemos

E mgL mgLint – – .= =k k0 ( )

Al sustituir los valores numéricos nos da

∆Eint . . . .= kg m/s m20 600 3 000 0 9 81 83 2( )( )( )( )== MJ.1 47.

Este incremento en la energía interna puede calentar los neumáticos del camión. El capítulo 6 discute la conservación de la energía para fuerzas conservativas y no conservativas. Aquí vemos que la energía se conserva porque el trabajo mecánico puede convertirse en energía interna.

DISCUSIÓNObserve que hemos supuesto que el camión es un sistema cerrado. Sin embargo, cuando el ca-mión comienza a deslizarse, los neumáticos pueden dejar marcas de frenado, quitando materia y energía del sistema. La suposición de que ninguna energía térmica se transfiere hacia o desde el

(continúa)



camión en este proceso tampoco es exactamente válida. Además, la energía interna de la super-ficie de la carretera también se incrementará como resultado de la fricción entre los neumáticos y la carretera, tomando algo de la energía total disponible. Así, los 1.47 MJ agregados a la energía interna del camión deberán considerarse como un límite superior. Sin embargo, la lección básica de este ejemplo es que la energía mecánica perdida debido a la acción de las fuerzas no conserva-tivas se transforma a la energía interna de partes o todo el sistema y la energía total se conserva.

18.5 La primera ley para procesos especialesLa primera ley de la termodinámica —esto es, la conservación básica de la energía— se cumple para todos los tipos de procesos en un sistema cerrado, pero la energía puede transformarse de energía térmica transportada en ciertas formas especiales en las cuales sólo una o unas cuantas variables caracterizan el estado del cambio del sistema. Algunos procesos especiales, los cuales ocurren a menudo en situaciones físicas, se pueden describir usando la primera ley de la termodi-námica. Estos procesos especiales son también normalmente aquellos en los que podemos calcu-lar los valores numéricos para el calor y el trabajo. Por esta razón, se discutirán varias veces en los siguientes capítulos. Tenga presente que estos procesos son simplificaciones o idealizaciones, pero éstas frecuentemente se aproximan a las situaciones del mundo real bastante bien.

Procesos adiabáticos Un proceso adiabático es aquel en el cual no fluye el calor cuando el estado del sistema cambia. Esto puede suceder, por ejemplo, si un proceso ocurre rápidamente y no hay suficiente tiempo para que se intercambie el calor. Los procesos adiabáticos son comunes debido a que muchos pro-cesos físicos ocurren suficientemente rápido para que no tenga lugar la transferencia de energía. Para los procesos adiabáticos, Q = 0 en la ecuación 18.4, así

∆E Wint –= (para un proceso adiabático). (18.5)

Otra situación en la cual puede ocurrir un proceso adiabático es si el sistema está aislado tér-micamente de su ambiente mientras ocurren los cambios de presión y de volumen. Un ejemplo es comprimir un gas en un recipiente aislado o bombear aire en el neumático de una bicicleta usando una bomba de neumático manual. El cambio en la energía interna del gas se debe sola-mente al trabajo efectuado sobre el gas.

Procesos a volumen constante Los procesos que ocurren a volumen constante se llaman procesos isocóricos. Para un proceso en el cual el volumen se mantiene constante, el sistema no puede hacer trabajo, así W = 0 en la ecuación 18.4, que da

∆E Qint = (para un proceso a volumen constante)). (18.6)

Un ejemplo de un proceso a volumen constante es calentar un gas en un recipiente rígido, cerrado, que está en contacto con otros cuerpos. No puede hacerse ningún trabajo debido a que el volumen del gas no puede cambiar. El cambio en la energía interna del gas ocurre debido a que el calor fluye hacia o desde el gas como resultado del contacto entre el recipiente y otros cuerpos. Cocinar comida en una olla de presión es un proceso isocórico.

Procesos en trayectoria cerrada En un proceso en trayectoria cerrada, el sistema regresa al mismo estado en el cual comenzó. Independientemente de cómo alcanzó el sistema este punto, la energía interna debe ser la misma que en el comienzo, así es que Eint = 0 en la ecuación 18.4. Esto brinda

Q W= (para un proceso en trayectoria cerrada).. (18.7)

De esta manera, el trabajo neto efectuado por un sistema durante un proceso en una trayectoria cerrada es igual a la energía térmica transferida al sistema. Tales procesos cíclicos forman la base de muchos tipos de máquinas térmicas (discutidas en el capítulo 20).

(continuación)


58918.6 Calores específicos de sólidos y fluidos

Expansión libre Si un recipiente aislado térmicamente (así que Q = 0) para un gas aumenta súbitamente de tamaño, el gas se expandirá para llenar al nuevo volumen. Durante esta expansión libre, el sistema no hace trabajo y no se absorbe calor. Esto es W = 0 y Q = 0, y la ecuación 18.4 se vuelve ∆Eint = (para la expansión libre de un gas).0 (18.8)

Para ilustrar esta situación considere una caja con una barrera en el centro (figura 18.9). Un gas se encuentra confinado en la mitad izquierda de la caja. Cuando la barrera entre las dos mitades se retira, el gas llena el nuevo volumen. Sin embargo, el gas no realiza ningún trabajo. Esta última afirmación requiere una explicación: en su expansión libre, el gas no mueve un pistón u otro dispositivo material; así pues, no hace trabajo sobre nada. Durante la expansión, las partícu-las de gas se mueven libremente hasta que se encuentran con las paredes del recipiente expandido. El gas no se encuentra en equilibrio mientras se está expandiendo. Para este sistema, podemos graficar el estado inicial y el estado final sobre el diagrama pV, pero no el estado intermedio.

Procesos a presión constante Los procesos a presión constante se llaman procesos isobáricos. Tales procesos son comunes en el estudio de la capacidad calorífica específica de los gases. En un proceso isobárico, el volumen puede cambiar, permitiendo al sistema efectuar un trabajo. Dado que la presión se mantiene constante, W = p(Vf – Vi) = pV, de acuerdo con la ecuación 18.3. De esta manera, la ecuación 18.4 puede escribirse como sigue: ∆ ∆E Q p Vint –= ( para un proceso a presión constaante). (18.9)

Un ejemplo de un proceso isobárico es el calentamiento lento de un cilindro adaptado con un pistón sin fricción, el cual puede moverse para mantener la presión constante. La trayectoria de un proceso isobárico en un diagrama pV es una línea recta horizontal. Si el sistema se mueve en la dirección del volumen positivo, el sistema se está expandiendo. Si el sistema se mueve en la dirección del volumen negativo, el sistema se está contrayendo. Cocinar la comida en una cacerola abierta es otro ejemplo de un proceso isobárico.

Procesos a temperatura constante Los procesos a temperatura constante se llaman procesos isotérmicos. La temperatura del sis-tema se mantiene constante a través del contacto con un depósito térmico externo. Los procesos isotérmicos tienen lugar suficientemente lentos como para que el calor pueda intercambiarse con el depósito externo para mantener la temperatura constante. Por ejemplo, el calor puede fluir de un depósito caliente al sistema, permitiendo al sistema hacer trabajo. La trayectoria de un pro-ceso isotérmico en un diagrama pV se llama una isoterma. Como veremos en el capítulo 19, el producto de la presión y el volumen es constante para un gas ideal al experimentar un proceso isotérmico, brindándole a la isoterma la forma de una hipérbola. Además, como veremos en el capítulo 20, los procesos isotérmicos juegan una parte importante en el análisis de dispositivos que producen trabajo útil a partir de fuentes de calor.

18.6 Calores específicos de sólidos y fluidosSuponga que un bloque de aluminio se encuentra a temperatura ambiente. Si se transfiere calor, Q, al bloque, la temperatura del bloque aumenta proporcionalmente a la cantidad de calor. La cons-tante de proporcionalidad entre la diferencia de temperatura y el calor es la capacidad calorífica, C, de un objeto, Así, Q C T= , (18.10)

donde T es el cambio en la temperatura. El término capacidad calorífica no implica que un objeto tenga cierta cantidad de calor. Más

bien, dice cuánto calor se requiere para aumentar la temperatura del objeto en una cantidad dada. Las unidades del SI para la capacidad calorífica son joules por kelvin (J/K).

El cambio de temperatura de un objeto debido al calor puede describirse como calor especí-fico, c, la cual se define como la capacidad calorífica por unidad de masa, m:

c Cm

= . (18.11)

FIGURA 18.9 a) Un gas se encuentra confinado en la mitad del volumen de una caja. b) La barrera que separaba a las dos mitades se retira y el gas se expande para llenar el volumen.

a)

b)



Con esta definición, la relación entre el cambio de la temperatura y el calor puede escribirse como

Q cm T= . (18.12)

Las unidades para calor específico son J/(kg K). En las aplicaciones prácticas, el calor espe-cífico se encuentra a menudo en cal/(g K). Las unidades J/(kg K) y J/(kg °C) pueden usarse indistintamente para el calor específico, dado que se define en términos de T. Los calores específicos de varios materiales se ofrecen en la tabla 18.1.

Observe que el calor específico y la capacidad calorífica se miden normalmente en dos for-mas. Para la mayoría de las sustancias se miden bajo presión constante (como en la tabla 18.1) y se denotan por cp y Cp. Sin embargo, para los fluidos (gases y líquidos), el calor específico y la capacidad calorífica pueden también medirse a volumen constante y denotarse con cV y CV. En general, las mediciones bajo presión constante producen valores mayores, debido a que se debe realizar trabajo mecánico en el proceso y la diferencia es particularmente grande para los gases. Discutiremos esto con mayor detalle en el capítulo 19.

El calor específico o capacidad calorífica específica de una sustancia también puede definirse en términos del número de moles de un material, en lugar de su masa. Este tipo de calor específico se llama el calor específico molar y también se discute en el capítulo 19.

El efecto de las diferencias en los calores específicos de las sustancias puede observarse fácil-mente a la orilla del mar, donde el Sol transfiere la energía a la tierra y al agua aproximadamente por igual durante el día. El calor específico de la tierra es como cinco veces menor que el calor específico del agua. De esta forma, la tierra se calienta más rápidamente que el agua y calienta al aire sobre ésta más de lo que el agua calienta al aire sobre ésta. La diferencia de temperatura crea una brisa hacia la tierra durante el día. El alto calor específico del agua ayuda a moderar el clima en torno de los océanos y los lagos grandes.

EJEMPLO 18.4 Energía requerida para calentar agua

PROBLEMAUsted tiene 2.00 L de agua a la temperatura de 20.0 °C. ¿Cuánta energía se requiere para elevar la temperatura del agua a 95.0 °C? Suponiendo que usted usa electricidad para calentar el agua, ¿cuánto costará a 10.0 centavos por kilowatt-hora?

SOLUCIÓNLa masa de 1.00 L de agua es de 1.00 kg. De la tabla 18.1, cagua = 4.19 kJ/(kg K). Por lo tanto, la energía requerida para calentar 2.00 kg de agua de 20.0 °C a 95.0 °C es

Q c m T= = kJ/ kg K kgagua agua∆ 4 19 2 00 95. .( )

( ) .. – .0 20 0°C °C

= 629 000 J.

( )

Tabla 18.1 Calores específicos para sustancias seleccionadas

Calor específico, c

Material kJ/(kg K) cal/(g K)

Plomo 0.129 0.0308

Cobre 0.386 0.0922

Acero 0.448 0.107

Aluminio 0.900 0.215

Vidrio 0.840 0.20

Hielo 2.06 0.500

Agua 4.19 1.00

Vapor 2.01 0.48


59118.6 Calores específicos de sólidos y fluidos

Usando el factor de conversión para convertir joules a kilowatt-horas (ecuación 18.1), calcula-mos el costo de calentar el agua como

Costo = 629 000 J 10.0 centavos1 kW h

( )

⋅

13 60 106

kW hJ

=1.75 centavo.

ss.

Calorimetría Un calorímetro es un dispositivo usado para estudiar los cambios de energía interna midiendo las transferencias de energía térmica. La transferencia de energía térmica y el cambio en la ener-gía interna pueden ser el resultado de una reacción química, un cambio físico o diferencias en la temperatura y calor específico. Un calorímetro simple consiste en un recipiente aislado y un termómetro. Para mediciones simples, un vaso de espuma de estireno y un termómetro de alcohol común bastarán. Supondremos que no se pierde o gana calor en el calorímetro o el termómetro.

Cuando dos materiales con distintas temperaturas y calores específicos se colocan en un calorí-metro, el calor fluirá de la sustancia más caliente a la más fría hasta que las temperaturas de las dos sustancias sean las mismas. Ningún calor fluirá hacia dentro o hacia fuera del calorímetro. El calor perdido por la sustancia más caliente será igual al calor ganado por la sustancia más fría.

Una sustancia tal como el agua, con un calor específico alto, c = 4.19 kJ/(kg K), requiere más ca-lor para elevar su temperatura por la misma cantidad que lo que requiere una sustancia con un calor específico bajo, como el acero, con c = 0.488 kJ/(kg K). El problema resuelto 18.1 ilustra el concepto de calorimetría.

PROBLEMA RESUELTO 18.1 Agua y plomo

PROBLEMAUn herrero vierte 3.00 kg de perdigones de plomo (el cual es el material usado para llenar los cartuchos de una escopeta) a una temperatura de 94.7 °C en 1.00 kg de agua a 27.5 °C en un recipiente aislado, el cual actúa como calorímetro. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla?

SOLUCIÓN

P I E N S ELos perdigones de plomo cederán calor y el agua absorberá calor hasta que ambos estén a la misma temperatura. (Algo que puede no ocurrírsele a usted es que los perdigones de plomo tienen una temperatura de fusión, pero es significativamente mayor a 94.7 °C; de tal manera que no tenga que tratar con un cambio de fase en esta situación. El agua seguirá líquida y los perdigones de plomo seguirán sólidos. La sección 18.7 se ocupa de estas situaciones que impli-can cambios de fase.)

E S B O C ELa figura 18.10 muestra la situación de este problema antes y después de que los perdigones se agreguen al agua.

I N V E S T I G U EEl calor perdido por los perdigones de plomo, Qplomo, al ambiente está dado por Qplomo = mplomocplomo(T − Tplomo), donde cplomo es el calor específico del plomo, mplomo es la masa de los perdigones de plomo, Tplomo es la temperatura original de los perdigones de plomo y T es la tem-peratura final de equilibrio.

El calor ganado por el agua, Qagua, está dado por Qagua = maguacagua(T − Tagua), donde cagua es el calor específico del agua, magua es la masa del agua y Tagua es la temperatura original del agua.

La suma del calor perdido por los perdigones de plomo y el calor ganado por el agua es cero, debido a que el proceso tuvo lugar en un recipiente aislado y debido a que la energía total se conserva, una consecuencia de la primera ley de la termodinámica. Así que podemos escribir

Q Q m c T T mplomo agua plomo plomo plomo agua= =+ ( )+0 – cc T Tagua agua– .( )

18.1 Ejercicio en clase ¿Cuánta energía es necesaria para elevar la temperatura de un bloque de cobre con una masa de 3.00 kg de 25.0 a 125 °C?

a) 116 kJ

b) 278 kJ

c) 421 kJ

d) 576 kJ

e) 761 kJ

FIGURA 18.10 Perdigones de plomo y agua a) antes y b) después de que los perdigones de plomo se agregan al agua.

Tplomo Tagua T

a) b)

(continúa)



S I M P L I F I Q U E Multiplicamos ambos lados y reordenamos, de tal manera que todos los términos que contie-nen la temperatura desconocida se encuentren en el lado izquierdo de la ecuación: m c T m c T m cplomo plomo plomo agua agua agua agua ag=+ uua plomo plomoT m c T+ .

Podemos resolver esta ecuación para T dividiendo ambos lados entre mplomocplomo + maguacagua:

Tm c T m c T

m c= plomo plomo plomo agua agua agua

plomo

+

pplomo agua agua+m c.

C A L C U L E Al sustituir los valores numéricos nos da

T =

kg kJ/(kg K) 94.7 °C 13 00 0 129. .( ) ( )+ ..00 kg kJ/(kg K) 27.5 °C( )

( )4 19

3 00

.

. kkg kJ/(kg K) 1.00 kg kJ( ) +( )0 129 4 19. . //(kg K)

= 33.182 °C.

R E D O N D E E Reportamos nuestro resultado con tres cifras significativas: T = °C.33 2.

V U E LVA A R E V I SA RLa temperatura final de la mezcla de perdigones de plomo y agua es solamente 5.7 °C superior a la temperatura original del agua. Las masas de los perdigones de plomo y el agua difieren por un factor de 3, pero el calor específico del plomo es mucho menor que el calor específico del agua. De esta forma, es razonable que el calor tuviese un gran cambio en la temperatura y el agua tuviese un pequeño cambio de temperatura. Para verificar, calculamos el calor perdido por el plomo,

Q m c T Tplomo plomo plomo plomo= = kg– . .( ) ( )3 00 0 1299 94 7

23 8kJ/(kg K) 33.2 °C °C

= kJ,[ ]( )– .

– .y comparamos el resultado con el calor ganado por el agua,

Q m c T Tagua agua agua agua= = 1.00 kg kJ/– .( ) ( ) 4 19 ((kg K) 33.2 °C °C

= kJ.[ ]( )– .

.

27 5

23 9Estos resultados suman 0 dentro del error de redondeo, como se requería.

18.7 Calor latente y transiciones de faseComo se hizo notar en el capítulo 13, los tres estados de la materia comunes (en ocasiones tam-bién llamados fases) son sólido, líquido y gas. Hemos estado considerando objetos para los cuales el cambio de temperatura es proporcional a la cantidad de calor que se agrega. Esta relación lineal entre el calor y la temperatura es, estrictamente hablando, una aproximación, pero tiene una gran precisión para los sólidos y los líquidos. Para un gas, agregar calor subirá la temperatura, pero también puede cambiar la presión o el volumen, dependiendo de si el gas está contenido y cómo. Las sustancias pueden tener diferentes calores específicos, dependiendo de si se encuentran en estado sólido, líquido o gaseoso.

Si se agrega suficiente calor a un sólido, se funde en un líquido. Si se agrega suficiente calor a un líquido, se vaporiza en un gas. Éstos son ejemplos de cambios de fase, o transiciones de fase (figura 18.11). Durante un cambio de fase, la temperatura de un objeto permanece constante. El calor que se requiere para fundir un sólido, dividido entre su masa, se llama calor latente de fusión, Lfusión. La fusión cambia una sustancia de un sólido a un líquido. El calor que se requiere para vapo-rizar un líquido, dividido entre la masa, se llama calor latente de vaporización, Lvaporización. La va-porización cambia una sustancia de líquido a gas.

La temperatura a la cual el sólido se funde a un líquido es el punto de fusión, Tfusión. La tem-peratura a la cual el líquido se vaporiza a un gas es el punto de ebullición, Tebullición. La relación

(continuación)


59318.7 Calor latente y transiciones de fase

entre la masa de un objeto a su punto de fusión y el calor necesario para cambiar al objeto de un sólido a un líquido está dada por

Q mL T T= para =fusión fusión( ). (18.13)

De forma similar, la relación entre un objeto y su punto de ebullición y el calor necesario para cambiar el objeto de un líquido a un gas está dada por

Q mL T T= para =vaporización ebullición( ). (18.14)

Las unidades del SI para los calores latentes de fusión y vaporización son joules por kilogramo (J/kg); a menudo se usan unidades de calorías por gramo (cal/g). El calor latente de fusión para una sustancia dada es diferente del calor latente de vaporización para la misma sustancia. Los valores representativos para el punto de fusión, el calor latente de fusión, el punto de ebullición y el calor latente de vaporización se enlistan en la tabla 18.2.

También es posible para una sustancia cambiar directamente de un sólido a un gas. Este proceso se llama sublimación. Por ejemplo, la sublimación ocurre cuando el hielo seco, el cual es dióxido de carbono sólido (congelado), cambia directamente a dióxido de carbono gaseoso sin pasar a través del estado líquido. Cuando un cometa se acerca al Sol, parte del dióxido de carbono congelado se sublima, ayudando a producir la cola visible del cometa.

Si continuamos calentando el gas, se ionizará, lo cual significa que parte de los electrones en los átomos del gas, o todos ellos, se remueven. Un gas ionizado y sus electrones libres forman un estado de la materia llamado plasma. Los plasmas son muy comunes en el universo; de hecho, tanto como 99% de la masa del Sistema Solar existe en la forma de plasma. La polvorienta nube de gas conocida como la Nebulosa Omega/Cisne (M17), mostrada en la figura 18.12, también es un plasma.

FIGURA 18.11 Cambios de fase que involucran los tres estados del agua, los cuales están presentes simultáneamente en esta fotografía tomada en el Parque Nacional de Yellowstone.

Líquido

Fundir

Congelar

SublimarDepositarEvaporar

Condensar

Sólido

Gas

Tabla 18.2 Algunos puntos de fusión, puntos de ebullición, calores latentes de fusión y calores latentes de vaporización representativos

Punto de fusión

Calor latente de fusión, Lfusión

Punto deebullición

Calor latente de vaporización, Lvaporización

Material (K) (kJ/kg) (cal/g) (K) (kJ/kg) (cal/g)

Hidrógeno 13.8 58.6 14.0 20.3 452 108

Alcohol etílico 156 104 24.9 351 858 205

Mercurio 234 11.3 2.70 630 293 70.0

Agua 273 334 79.7 373 2 260 539

Aluminio 932 396 94.5 2 740 10 500 2 500

Cobre 1 359 205 49.0 2 840 4 730 1 130

FIGURA 18.12 La imagen de la Nebulosa Omega/Cisne (M17), tomada por el Telescopio Espacial Hubble, muestra una inmensa región de gas ionizado por la radiación de estrellas jóvenes.



Como se menciona en el capítulo 13, hay otros estados de la materia además de sólido, líquido, gas y plasma. Por ejemplo, la materia en el estado granular tiene propiedades específicas que la diferencian de los cuatro principales estados de la materia. La materia también puede existir como un condensado de Bose-Einstein, en el cual los átomos individuales se tornan indistingui-bles, bajo condiciones muy específicas a muy bajas temperaturas. Se les otorgó el premio Nobel de Física de 2001 a los físicos estadounidenses Eric Cornell y Carl Wieman, junto con el físico alemán Wolfgang Ketterle, por sus estudios del condensado de Bose-Einstein.

Enfriar un objeto significa reducir la energía interna del mismo. Conforme la energía tér-mica se remueve de una sustancia en el estado gaseoso, la temperatura del gas decrece, en relación con el calor específico del gas, hasta que el gas comienza a condensarse en un líquido. Este cambio tiene lugar a una temperatura llamada punto de condensación, la cual es la misma temperatura que el punto de ebullición de la sustancia. Para convertir todo el gas a líquido se requiere la remo-ción de una cantidad de calor correspondiente al calor latente de vaporización por la masa del gas. Si la energía térmica continúa retirándose, la temperatura del líquido se reducirá, determi-nada por el calor específico del líquido, hasta que la temperatura alcanza el punto de congelación, la cual es la misma que la temperatura de fusión de la sustancia. Para convertir todo el líquido a un sólido se requiere remover una cantidad de calor correspondiente al calor latente de fusión por la masa. Si entonces el calor continúa removiéndose del sólido, su temperatura decrecerá en relación con el calor específico del sólido.

EJEMPLO 18.5 Calentamiento del hielo en agua y del agua en vapor

PROBLEMA¿Cuánto calor, Q, se requiere para convertir 0.500 kg de hielo (agua congelada) a una tempera-tura de −30 °C en vapor a 140 °C?

SOLUCIÓNResolvamos este problema por pasos, con cada paso correspondiente, ya sea a una elevación en la temperatura, o bien a un cambio de fase. Primero calculamos cuánto calor se requiere para elevar el hielo de −30 °C a 0 °C. El calor específico del hielo es de 2.06 kJ/(kg K), así que el calor requerido es

Q cm T1 2 06 0 500 30= = kJ/(kg K) kg)( K) . ( .

== kJ.30 9.

Continuamos agregando calor al hielo hasta que se funde. La temperatura permanece en 0 °C hasta que todo el hielo se funde. El calor latente de fusión del hielo es de 334 kJ/kg, así que el calor requerido para fundir todo el hielo es Q mL2 334 0 500= = kJ/kg)( kg)=167 kJ.fusión ( . Una vez que todo el hielo se funda en agua, continuamos agregando calor hasta que el agua alcanza el punto de ebullición, a 100 °C. El calor requerido para este paso es

Q cm T3 4 19 0 500= = kJ/ kg K) kg 100 K . ( ( . )(

))= kJ.209 5.

Continuamos agregando calor al agua hasta que se vaporiza. El calor requerido para la vapori-zación es

Q mL4 2 260 0 500 1 1= = kJ/kg kg)=vaporización ( )( . 330 kJ.

Ahora calentamos el vapor y elevamos su temperatura desde 100 °C hasta 140 °C. El calor ne-cesario para este paso es

Q cm T5 2 01 0 500 40= = kJ/(kg K) kg K) . ( . )(

== kJ.40 2.

De esta manera, el calor total requerido es

Q Q Q Q Q Q=

= kJ kJ kJ1 2 3 4 5

30 9 167 209 5 1 1+ + + ++ + +. . 330 40 2 1 580kJ kJ = kJ.+ .

La figura 18.13 muestra una gráfica de la temperatura del agua como función del calor agrega-do. En la región a), la temperatura del hielo se incrementa de 230 °C a 0 °C. En la región b), el

18.2 Ejercicio en clase¿Cuánta energía se necesita para fundir un bloque de cobre con una masa de 3.00 kg que se encuentra inicialmente a la temperatura de 1 359 K?

a) 101 kJ

b) 221 kJ

c) 390 kJ

d) 615 kJ

e) 792 kJ


59518.7 Calor latente y transiciones de fase

hielo se funde en agua mientras la temperatura permanece en 0 °C. En la región c), el agua se calienta de 0 a 100 °C. En la región d), el agua hierve y cambia a vapor mientras la tempe-ratura permanece en 100 °C. En la región e), la temperatura del vapor se incrementa de 100 a 140 °C.

Observe que casi dos terceras partes del calor total de este proceso entero de calentar la muestra desde 230 °C hasta 140 °C se dedican a convertir el agua líquida a vapor en el proceso de vaporización.

EJEMPLO 18.6 Trabajo efectuado al vaporizar el agua

Suponga que 10.0 g de agua a una temperatura de 100.0 °C se encuentra en un cilindro aisla-do equipado con un pistón para mantener una presión constante de p = 101.3 kPa. Se agrega suficiente calor al agua para vaporizarla a una temperatura de 100.0 °C. El volumen de agua es Vagua = 10.0 cm3 y el volumen del vapor es Vvapor = 16 900 cm3.

PROBLEMA ¿Cuál es el trabajo realizado por el agua conforme se vaporiza? ¿Cuál es el cambio en la energía interna del agua?

SOLUCIÓNEste proceso se lleva a cabo a presión constante. El trabajo realizado por el agua vaporizándose está dado por la ecuación 18.3:

W pdV p dV p V VV

V

V

V= = =

i

f

i

f

vapor agua∫ ∫ ( )– .

Al sustituir los valores numéricos nos da el trabajo realizado por el agua conforme se incremen-ta su volumen a presión constante:

W = Pa m m3 3101 3 10 16 900 10 10 0 103 6 6. – .– –⋅( ) ⋅ ⋅( ))= J.1 710

El cambio en la energía interna del agua está dado por la primera ley de la termodinámica (ecuación 18.4)

E Q Wint = – .

e)

d)

c)

a)b)

FIGURA 18.13 Gráfica de la temperatura contra calor agregado para cambiar 0.500 kg de hielo, comenzando a la temperatura de 230 °C, en vapor a 140 °C.

18.3 Ejercicio en claseUsted tiene un bloque de hielo con masa m a una temperatura de 23 °C en un recipiente aislado térmicamente y agrega la misma masa m de agua líquida a temperatura de 6 °C y deja que la mezcla alcance el equilibrio. ¿Cuál es la temperatura de la mezcla?

a) –3 °C

b) 0 °C

c) +3 °C

d) +4.5 °C

e) +6 °C

(continúa)



En este caso, la energía térmica transferida es el calor requerido para vaporizar al agua. De la tabla 18.2, el calor latente de vaporización del agua es Lvaporización = 2 260 kJ/kg. De esta manera, la energía térmica transferida al agua es

Q mL= = kg J/vaporización 10 0 10 2 260 103 6. .–⋅( ) ⋅ kkg = J.( ) 22 600

El cambio en la energía térmica del agua es entonces ∆Eint = J J = J.22 600 1 710 20 900–

La mayor parte de la energía agregada permanece en el agua como energía interna aumentada. Esta energía interna está relacionada al cambio de fase del agua al vapor. La energía se usa para superar las fuerzas atractivas entre las moléculas en el estado líquido para convertirlas al estado gaseoso.

18.8 Modos de la transferencia de energía térmicaLos tres modos principales de transferencia de energía térmica son conducción, convección y radiación. Los tres se ilustran en la fogata de campamento mostrada en la figura 18.14. La radia-ción es la transferencia de energía térmica mediante ondas electromagnéticas. Usted puede sentir el calor que radia una fogata cuando se sienta cerca de ésta. La convección involucra el movi-miento físico de una sustancia (tal como el agua o el aire) desde el contacto térmico con un sis-tema hasta el contacto térmico con otro sistema. La sustancia que se mueve lleva energía interna consigo. Usted puede ver la energía térmica que sube en la forma de llamas y el aire caliente sobre las llamas en la fogata. La conducción involucra la transferencia de energía térmica dentro de un objeto (tal como la transferencia de energía térmica a lo largo del atizador, cuya punta está caliente) o la transferencia de calor entre dos (o más) objetos en contacto térmico. El calor se con-duce a través de una sustancia por la vibración de los átomos y moléculas y por el movimiento de los electrones. El agua y la comida en las ollas en la fogata se calientan por conducción. Las ollas mismas se calientan por convección y radiación.

Conducción Considere una barra de material con un área de sección transversal A y una longitud L [figura 18.15a)]. Esta barra se pone en contacto físico con un depósito térmico a una temperatura más caliente, Th, y un depósito térmico a temperatura más fría, Tc, lo cual significa que Th > Tc [figura 18.15b)]. El calor fluye entonces del depósito con mayor temperatura al depósito con menor tem-peratura. Se ha encontrado que la energía térmica transferida por unidad de tiempo, Pcond, por la barra que conecta a los dos depósitos de calor está dada por

P Qt

kA T TLcond

h c= = – , (18.15)

donde k es la conductividad térmica del material de la barra. Las unidades del SI para la conduc-tividad térmica son W/(m K). Algunos valores típicos de la conductividad térmica se listan en la tabla 18.3.

Podemos reacomodar la ecuación 18.15:

P Qt

A T TL k

A T TRcond

h c h c= = =–/

– , (18.16)

donde la resistencia térmica, R, de la barra se define como

R Lk

= . (18.17)

Las unidades del SI para R son m2 K/W. Un valor superior para R significa una tasa menor de transferencia de energía térmica. Un buen aislante tiene un valor de R grande. En Estados Unidos, la resistencia térmica a menudo se especifica como un factor R, el cual tiene las unidades ft2 °F h/BTU. Un material aislante común comercializado con un factor R de R-30 se muestra en la figura 18.16. Para convertir los valores R de ft2 °F h/BTU a m2 K/W, divida el factor R entre 5.678.

FIGURA 18.14 Una fogata de campamento ilustra los tres modos principales de transferencia de energía térmica: conducción, convección y radiación.

FIGURA 18.15 a) Una barra con un área de sección transversal A y longitud L. b) La barra se coloca entre dos depósitos térmicos con temperaturas Th y Tc.

L

A

Q

ThTc

b)a)

(continuación)


59718.8 Modos de la transferencia de energía térmica

EJEMPLO 18.7 Aislante del techo

Suponga que usted aísla sobre el cielo raso de un cuarto con un material aislante que tiene un factor R de R-30. El cuarto mide 5.00 m por 5.00 m. La temperatura dentro del cuarto es de 21.0 °C y la temperatura por encima del aislante es de 40.0 °C.

PROBLEMA¿Cuánto calor entra al cuarto a través del cielo raso en un día si el cuarto se mantiene a una temperatura de 21.0 °C?

SOLUCIÓNResolvemos la ecuación 18.16 para el calor:

Q At T TR

= h c– .

Al sustituir los valores numéricos, obtenemos (1 día tiene 86 400 s):

Q = m m 86 400 s K K5 00 5 00 313 29430 5 67

. .( / .

⋅( )( ) −88

106

) m K/W= 7.77 J.2 ⋅

PROBLEMA RESUELTO 18.2 Costo de calentar una casa en invierno

Usted construye una casa pequeña con cuatro cuartos [figura 18.17a)]. Cada cuarto mide 10.0 ft por 10.0 ft y el cielo raso se encuentra a 8.0 ft de altura. Las paredes ex-teriores están aisladas con un material con un factor R de R-19 y el piso y el techo están aislados con un material con un factor R de R-30. Durante el invierno, la temperaturamedia dentro de la casa es de 20.0 °C y la temperatura media fuera de ella es de 0.00 °C. Usted calienta la casa durante 6 meses en invierno usando electricidad que cuesta 9.5 centavos por kilowatt-hora.

PROBLEMA¿Cuánto paga usted para calentar su casa durante el invierno?

Tabla 18.3 Algunas conductividades térmicas representativas

Material k[W/(m K)]

Cobre 386

Aluminio 220

Concreto 0.8

Vidrio 0.8

Hule 0.16

Madera 0.16

FIGURA 18.16 a) Un material aislante común con un factor R de R-30. b) El aislante se instala en un desván.

b)a)


Muestre que el factor de conversión para cambiar de ft2 °F h/BTU a m2 K/W es 5.678.

a) b)

Cielo raso

Pared

20.0 �

10.0 �10.0 �10.0 �

10.0 � 20.0 �

8.00 �

8.00 �

20.0 �

FIGURA 18.17 a) Una casa de cuatro cuartos aislada. b) Una pared y el cielo raso de la casa.(continúa)



SOLUCIÓN

P I E N S EMediante la ecuación 18.16 podemos calcular la pérdida de calor total durante 6 meses a través de las paredes (R-19), el piso y el cielo (R-30). Entonces, podemos calcular cuánto costará agre-gar esta cantidad de calor a la casa.

E S B O C ELas dimensiones de una pared y el cielo raso se muestran en la figura 18.17b).

I N V E S T I G U ECada una de las cuatro paredes exteriores, como se muestra en la figura 18.17b), tiene un área Apared. El cielo raso tiene un área de Acielo, mostrada en la figura 18.17b). El piso y el cielo tienen la misma área. La resistencia térmica de las paredes está dada por R-19; la resistencia térmica del piso y el techo está dada por R-30. De esta manera, la resistencia térmica de las paredes en unidades del SI es Rpared

2 2= m K/W = m K/W,195 678

3 346.

.

y la resistencia térmica del piso y el techo es

Rcielo2 2= m K/W = m K/W.30

5 6785 283

..

S I M P L I F I Q U EPodemos calcular la pérdida de calor por unidad de tiempo mediante la ecuación 18.16, toman-do el área total de las paredes por cuatro veces el área de una pared y el área total del piso y el cielo raso como dos veces el área del cielo raso:

Qt

AT TR

A= paredh c

paredciel4 2

–

+ oo

h c

cieloh c

pared=T TR

T TA

R–

–

( )2

2

ppared

cielo

cielo+

AR .

C A L C U L EEl área de cada pared exterior es Apared = (8.00 ft)(20.0 ft) = 160.0 ft2 = 14.864 m2. El área del cie-lo raso es Acielo = (20.0 ft)(20.0 ft) = 400.0 ft2 = 37.161 m2. El número de segundos en 6 meses es

t = 6 meses )(30 días/mes)(24 h/día)(3 600 s/( hh)=1.5552 10 s.7⋅

La cantidad de calor perdida en 6 meses es entonces

Q t T TA

RAR

= h cpared

pared

cielo

cielo2

2–( ) +

⋅( )( )= s K K14.864

2 1 5552 10 293 2732

7. –mm

m K/W37.161 m

m K/W

2

2

2

2

( )+

3 346 5 283. .

⋅= 9.9027 10 J.9

Al calcular el costo total por 6 meses de electricidad para calentamiento, tenemos

Costo = $1 kW h

1 kW h3.60 10 J6

0 095.

⋅

⋅( )9.9027 10 J = $261.321259 .

R E D O N D E EDado que los datos de entrada se dieron con dos cifras significativas, reportamos nuestro resul-tado con dos cifras significativas también:

Costo = $ .260

(Sin embargo, redondear la cantidad en una cuenta no es aceptable para la compañía que brinda el servicio y usted tendría que pagar $261.32.)

(continuación)



V U E LVA A R E V I SA RPara verificar, usemos los valores R en la forma en que un contratista en Estados Unidos po-dría hacerlo. El área total de las paredes es de 4(160 ft2) y el área total del piso y el cielo es de 2(400 ft2). La pérdida de calor por hora a través de las paredes es

Qt

= 160 ft°F

ft °F h/BTU= B2

2420

191 213

95( ) ( )

TTU/h.

El calor perdido a través del cielo y el piso es

Qt

= 400 ft°F

30 ft °F h/BTU= BT2

22

20960

95( ) ( )

UU/h.

La pérdida de calor total en 6 meses (4 320 h) es

Q = h BTU/h

= 9 387 360 BTU.( )( )4 320 1 213 960+

El costo es entonces

Costo =1 kW h

1 kW h3 412 BTU

$ .0 095

( $9 387 360 BTU)= 261.37.

Esto está cercano a nuestra respuesta y parece razonable. Observe que el costo de calentar una pequeña casa durante el invierno parece pequeño

comparado con la experiencia de la vida real. La reducción surge debido a que la casa no tiene puertas ni ventanas y está bien aislada.

El aislamiento térmico es un componente clave de las naves espaciales que tienen que reingresar a la atmósfera terrestre. El proceso de reingreso crea energía térmica por la fricción con las moléculas del aire. Debido a la gran rapidez, se forman ondas de choque enfrente de la nave espacial, las cuales desvían la mayor parte de la energía térmica creada en el proceso. Sin embargo, todavía se requiere un excelente aislante térmico para prevenir que este calor se conduzca a la estructura de la nave espacial, la cual está fabricada básicamente de aluminio y no puede resistir temperaturas de manera significa-tiva mayores a 180 °C. El sistema de protección térmica debe ser uno de muy poca masa, como todas las partes de la nave espacial, y ser capaz de protegerla de temperaturas muy altas, hasta de 1 650 °C. En la nave espacial de las misiones Apolo, en las cuales los astronautas alunizaron a finales de la década de 1960 y a principios de la década de 1970, y en sondas planetarias como el Mars Rover, la protección térmica es simplemente un escudo de calor ablativo, el cual se quema durante el ingreso a la atmósfera. Para las naves espaciales reutilizables, como el Transbordador Espacial, tal escudo no es una opción, debido a que requeriría un mantenimiento prohibitivamente costoso después de cada viaje. La nariz y los bordes de las alas del Transbordador Espacial están cubiertos, en lugar de esto, con carbono reforzado, capaz de resistir las altas temperaturas del reingreso. La parte inferior del Trans-bordador está recubierta por una protección del calor pasiva, que consiste en más de 20 000 baldosas cerámicas hechas de 10% de fibras de sílice y 90% de espacio vacío. Son tan buenos aislantes térmicos, que después de calentarse a una temperatura de 1 260 °C (la cual es la temperatura máxima que la parte inferior del Transbordador Espacial se encuentra durante el reingreso), pueden sostenerse con las manos desprotegidas (vea la figura 18.18).

Convección Si usted sostiene su mano sobre una vela encendida, puede sentir la energía térmica transferida desde la llama. El aire calentado es menos denso que el aire circundante y asciende. El aire ascendente lleva consigo la energía térmica hacia arriba desde la llama de la vela. Este tipo de transferencia de energía térmica se llama convección. La figura 18.19 muestra la llama de una vela en la Tierra y en el Trans-bordador Espacial en órbita. Usted puede ver que la energía térmica viaja hacia arriba desde la vela encendida en Tierra, pero se expande en forma casi esférica desde la vela a bordo del Transbordador Espacial. El aire en el Transbordador Espacial (en realidad, en un pequeño recipiente en el Trans-bordador Espacial) tiene la misma densidad en todas las direcciones, así que el aire caliente no tiene una dirección preferida en la cual viajar. El punto más bajo de la llama en la vela a bordo del Trans-bordador Espacial se extingue debido a que el pabilo lleva la energía térmica consigo. (Además de la

FIGURA 18.18 La baldosa cerámica de calor blanco (1 260 °C) usada para el sistema de protección térmica del Transbordador Espacial se sostiene con una mano desprotegida.



convección que involucra un flujo de masa a gran escala, la convección puede ocurrir mediante las partículas individuales en un proceso llamado difusión, el cual no es cubierto en este capítulo.)

La mayoría de las casas y edificios de oficinas en Estados Unidos tiene calefacción de aire forzado; esto es, el aire se sopla a través de ductos de calefacción dentro de los cuartos. Éste es un excelente ejemplo de transferencia de energía térmica mediante la convección. Los mismos ductos de aire se usan en verano para refrescar las mismas estructuras soplando aire más frío a través de los ductos y adentro de los cuartos, el cual es otro ejemplo de la transferencia de la energía térmica convectiva. (Pero, desde luego, el calor tiene el signo opuesto, debido a que la temperatura en el cuarto disminuye.)

Grandes cantidades de energía se transfieren por convección en la atmósfera terrestre y en los océanos. Por ejemplo, la Corriente del Golfo lleva agua caliente del Golfo de México hacia el norte a través del Estrecho de Florida y por la costa este de Estados Unidos. La temperatura más caliente del agua en la Corriente del Golfo es revelada en una imagen de satélite de la NASA en la figura 18.20. La Corriente del Golfo tiene una temperatura de alrededor de 20 °C conforme fluye con una rapidez de aproximadamente 2 m/s por la costa este de Estados Unidos y al interior del Océano Atlántico. Entonces, la Corriente del Golfo se divide. Una parte continúa fluyendo hacia Gran Bretaña y la Europa Occidental, mientras que la otra parte dobla hacia el sur a lo largo de la costa africana. La temperatura promedio en Gran Bretaña y Europa Occidental es aproximada-mente de 5 °C mayor de lo que sería sin la energía térmica transportada por las aguas cálidas de la Corriente del Golfo.

Algunos modelos climáticos predicen que el calentamiento global podría posiblemente ame-nazar a la Corriente del Golfo debido al derretimiento del hielo en el Polo Norte. El agua fresca extra del casquete de hielo polar que se derrite reduce la salinidad del agua en el extremo norte de la Corriente del Golfo, lo cual interfiere con el mecanismo que permite a las aguas enfriadas de la Corriente del Golfo sumirse y regresar al sur. De manera paradójica, el calentamiento global podría hacer más fría a la Europa del Norte.

PROBLEMA RESUELTO 18.3 Corriente del Golfo

Supongamos que una tubería rectangular de agua de 100 km de ancho y 500 m de profundidad puede usarse para aproximar la Corriente del Golfo. El agua en esta tubería se mueve con una rapidez de 2.0 m/s. La temperatura del agua es de 5.0 °C más caliente que el agua circundante.

PROBLEMAEstime cuánta potencia transporta la corriente del Golfo hacia el océano Atlántico Norte.

SOLUCIÓN

P I E N S EPodemos calcular la tasa de flujo volumétrica (o gasto volumétrico), sacando el producto de la rapidez de flujo y el área de la sección transversal de la tubería. Usando la densidad del agua, podemos calcular la tasa de flujo másico. Al usar el calor específico del agua y la diferencia de

FIGURA 18.20 Imagen de satélite tomada por el satélite TERRA de la NASA, el 5 de mayo de 2001, en la que se muestra la temperatura del agua en el océano Atlántico Norte. Los colores falsos representan el rango de temperaturas del agua. La caliente Corriente del Golfo es visible en rojo y la Costa Este de Estados Unidos en negro.

FIGURA 18.19 Las llamas de una vela en a) condiciones terrestres y b) condiciones de microgravedad.

a) b)



temperatura entre el agua de la corriente del Golfo y el agua circundante, podemos calcular la potencia transportada por la corriente del Golfo hacia el Atlántico Norte.

E S B O C ELa figura 18.21 muestra la corriente del Golfo idealizada que fluye al noreste en el Atlántico Norte.

I N V E S T I G U ESuponemos que la corriente del Golfo tiene una sección trans-versal de ancho w = 100 km y una profundidad d = 500 m. El área de flujo de la corriente del Golfo es entonces

A wd= .La rapidez del flujo de la corriente del Golfo se supone como v = 2.0 m/s. La tasa de flujo volumétrico está dada por

R vAV = .La densidad del agua de mar es = 1 025 kg/m3. Podemos expresar la tasa de flujo másico como

R Rm V= .

El calor específico del agua es c = 4 186 J/(kg K). El calor re-querido para elevar la temperatura de una masa m por T está dado por

Q cm T= .

La potencia llevada por la Corriente del Golfo es igual al calor por unidad de tiempo:

Qt

P cm Tt

cR Tm= = = .

(Nota: La P mayúscula simboliza la potencia; no la confunda con la p minúscula usada para la presión.)

S I M P L I F I Q U ELa potencia llevada por la Corriente del Golfo está dada por

P cR T c R T c vwd Tm V= = = .

C A L C U L ELa diferencia de temperatura es T = 5 °C = 5 K. Al sustituir los valores numéricos nos da

P = J/ kg K kg/m 2.0 m/s34 186 1 025 100( )

( )( ) ⋅110

2 1453

3 m 500 m 5.0 K

= 10 W.15

( )( )( )

⋅.


P = 10 W = PW ( PW =1 petawatt =152 1 2 1 1 1015. .⋅ WW).

V U E LVA A R E V I SA RPara verificar este resultado, calculemos cuánto poder incide sobre la Tierra desde el Sol. Esta potencia total está dada por el área de la sección transversal de la Tierra por la potencia que incide sobre la Tierra por unidad de área:

Ptotal2= m W/m = PW.6 4 10 1 400 1806 2

. ⋅( ) ( )

Calculemos cuánto de este poder podría ser absorbido por el Golfo de México. La intensidad de la luz solar a una distancia desde el Sol que corresponde al radio de la órbita terrestre alrededor del Sol es S = 1 400 W/m2. Podemos estimar el área del Golfo de México como 1.0 · 106 km2 =

FIGURA 18.21 Corriente del Golfo idealizada que fluye en el Atlántico Norte a lo largo de la línea de la costa este de Estados Unidos.

Boston

New YorkPhiladelphia

VirginiaBeach

Washington

(continúa)



1.0 · 1012 m2. Si el agua del Golfo de México absorbiese toda la energía que incide del Sol durante la mitad de cada día, entonces la potencia disponible del Golfo sería

P =m W/m

= W =2 21 0 10 1 400

27 0 10 0 7

1214

.. .

⋅( )( )⋅ PPW,

lo cual es menor que nuestro estimado de la potencia transportada por la Corriente del Golfo. De esta suerte, una mayor parte del océano Atlántico debe estar involucrada en proporcionar la ener-gía de la corriente del Golfo que sólo el Golfo de México. De hecho, la corriente del Golfo obtiene su energía de una gran parte del océano Atlántico. La corriente del Golfo es parte de una red de corrientes que fluyen en los océanos terrestres, inducidos por los vientos dominantes, diferencias de temperatura y la topología y rotación de la Tierra.

Radiación La radiación ocurre a través de la transmisión de ondas electromagnéticas. Además, a diferencia de las ondas mecánicas o de sonido (cubiertas en los capítulos 15 y 16), estas ondas no necesitan ningún medio para sustentarlas. De esta forma, las ondas electromagnéticas pueden llevar ener-gía de un lugar a otro sin que ninguna materia tenga que estar presente entre los dos lugares. Un ejemplo del transporte de energía mediante la radiación electromagnética ocurre durante una conversación por teléfono celular; un teléfono celular actúa tanto como un transmisor de radia-ción a la torre celular más cercana o como un receptor de la radiación que se origina en la torre.

Todos los objetos emiten radiación electromagnética. La temperatura del objeto determina la potencia radiada del objeto, Pradiada, la cual está dada por la ecuación de Stefan-Boltzmann:

(18.18)

donde = 5.67 · 10–8 W/K4m2 se llama la constante de Stefan-Boltzmann, e es la emisividad, la cual no tiene unidades y A es el área superficial (radiante). La temperatura en la ecuación

18.18 debe estar en kelvins y se supone que es constante. La emisividad varía entre 0 y 1, con 1 representando la emisividad de un objeto ideal llamado cuerpo negro. Un cuerpo negro radia 100% de su energía y absorbe 100% de la radiación que incide sobre éste. A pesar de que algunos objetos de la vida diaria se encuentran cerca de ser un cuerpo negro, no existe un cuerpo negro perfecto; de esta suerte, la emisividad es siempre menor a 1.

La subsección anterior acerca de la conducción discutía cómo la capa-cidad aislante de varios materiales se cuantifica por el factor R. La pérdida de calor en invierno o la ganancia de calor en verano dependen no sólo de la conducción, sino también de la radiación. Las nuevas técnicas de cons-trucción se han dirigido a incrementar la eficiencia del aislante de una casa usando barreras radiantes. Una barrera radiante es una capa de material que refleja de manera efectiva las ondas electromagnéticas, en especial la radiación infrarroja (la cual es la radiación que comúnmente sentimos como calor). El uso de barreras radiantes en los aislantes de la casa se ilus-tra en la figura 18.22.

Una barrera radiante se construye con una sustancia reflectora, común- mente aluminio. Una barrera radiante comercial típica se muestra en la figura 18.23. Su material es una poliolefina recubierta de aluminio, la cual refleja 97% de la radiación infrarroja. Las pruebas en el Laboratorio Nacio-nal Oak Ridge de las casas en Florida con o sin barreras radiantes han mostrado que las ganancias de calor en verano de techos con aislante R-19 pueden reducirse de 16 a 42%, y dar por resultado la reducción de los cos-tos de aire acondicionado hasta en 17%.

La casa de la figura 18.22 está diseñada para prevenir que el calor entre o salga por conducción a través de las capas de aislante, las cuales tienen factores R altos. Las barreras radiantes bloquean al calor evitando que entre


Liste algunos otros fenómenos de convección encontrados en la vida diaria.

(continuación)

Armadura de la pared

Aislante R-19

Armadura del cielo raso

Aislante R-30

Ladrillosexteriores

Tejas planas del techo

Armadura del techo

Barrera radiante

FIGURA 18.22 Dibujo esquemático de la esquina de una casa, en el que se muestra parte del techo, parte del cielo raso y parte de la pared. El techo consiste en una capa exterior de tejas planas, una barrera radiante y una armadura que sostiene al techo. El cielo raso consiste en una armadura del cielo que soporta un aislante con un factor R de R-30. La pared consiste en ladrillos exteriores, una barrera radiante, aislante con un factor R de R-19 y una armadura que soporta la pared.



a la casa en forma de radiación. Desafortunadamente, este tipo de barrera también impide que la casa sea calentada por el Sol en el invierno. La ganancia o pérdida de calor por convección se reduce por el espacio vacío entre el cielo raso y el techo. De esta manera, la casa está diseñada para reducir la ganancia o pérdida de calor por cualquiera de los tres modos de transferencia de energía térmica: conducción, convección y radiación.

EJEMPLO 18.8 La Tierra como un cuerpo negro

Suponga que la Tierra absorbiese 100% de la energía que incide desde el Sol y luego radiase toda la energía de regreso al espacio, de la misma forma que lo haría un cuerpo negro.

PROBLEMA¿Cuál sería la temperatura de la superficie de la Tierra?

SOLUCIÓNLa intensidad de la luz solar que alcanza a la Tierra es aproximadamente S = 1 400 W/m2. La Tierra absorbe la energía como un disco con el radio de la Tierra, R, en tanto que radia energía de su superficie entera. En el equilibrio, la energía absorbida iguala a la energía emitida:

S R R T( )( ) ( )( )( ) 2 2 41 4= .

Al resolver para la temperatura, tenemos

T S= = W/mW/K m

= K2

4 241 400

4 5 67 102804

84σ .( )( )−..

Este simple cálculo brinda un resultado cercano al valor real de la temperatura promedio de la Tierra, el cual es como de 288 K.

El calentamiento global Como se ilustra en la figura 18.24, la diferencia entre la temperatura calculada para la Tierra como un cuerpo negro en el ejemplo 18.8 y la temperatura real de la superficie terrestre se debe en parte a la atmósfera terrestre.

Las nubes en la atmósfera terrestre reflejan 20% y absorben 19% de la energía solar. La atmós-fera refleja 6% de la energía solar y 4% es reflejada por la superficie terrestre. La atmósfera terres-tre transmite 51% de la energía solar a la superficie terrestre. La energía solar es absorbida por

FIGURA 18.23 Un tipo de material de barrera radiante, papel de aluminio ARMA, producida por Energy Efficient Solutions.

20% re�ejadapor las nubes

51% absorbida por la super�cie terrestre

4% re�ejada por la super�cie terrestre

6% re�ejada por la atmósfera

19% absorbida por las nubesRadiación infrarroja emitida de la Tierra caliente atrapada por los gases de invernadero

Super�cie terrestre

Sol FIGURA 18.24 La atmósfera terrestre afecta fuertemente la cantidad de energía absorbida por la Tierra desde el Sol.



la superficie terrestre y la calienta, causando que la superficie emita radiación infrarroja. Cier-tos gases en la atmósfera —notablemente vapor de agua y dióxido de carbono, además de otros gases— absorben algo de la radiación infrarroja, atrapando así una fracción de la energía que, de otra manera, se radiaría de regreso al espacio. Este efecto de atrapar la energía térmica se llama efecto de invernadero. El efecto de invernadero mantiene a la Tierra más caliente de lo que sería de otra forma y minimiza las variaciones de temperatura entre el día y la noche.

Las dos fotografías en la figura 18.25 ilustran cómo la radiación a distintas longitudes de onda penetra los materiales de manera diferente. En la figura 18.25a), un científico de la NASA tiene su brazo dentro de una bolsa plástica negra. En la figura 18.25b), se fotografió la misma persona con las luces apagadas, usando una cámara sensible a la radiación infrarroja. El cuerpo humano emite radiación infrarroja debido a que su metabolismo produce calor. Esta radiación pasa a través de la bolsa plástica negra que bloquea la luz visible y el brazo previamente oculto resulta visible.

La quema de combustibles fósiles y otras actividades humanas han incrementado la can-tidad de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre y aumentado la temperatura superficial, al atrapar la radiación infrarroja que de otro modo se emitiría al espacio. La concentración de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre como función del tiempo se grafica en la figura 18.26. En la figura 18.26a), la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre se muestra desde el año 1832 hasta el año 2004. La concentración de dióxido de carbono se ha incrementado durante los últimos 150 años desde alrededor de 284 ppmv (partes por millón por volumen) en 1832 a 377 ppmv en 2004.

La figura 18.26b) muestra la concentración de dióxido de carbono en el aire en los pasados 420 000 años. Visibles en esta gráfica se encuentran los periodos glaciares con concentraciones de dióxido de carbono relativamente bajas alrededor de 200 ppmv y periodos interglaciares con con-centraciones de dióxido de carbono relativamente altas alrededor de 275 ppmv. La combinación de mediciones directas de los últimos 50 años y las concentraciones inferidas de los núcleos de hielo indica que la concentración al día de hoy de dióxido de carbono en la atmósfera es mayor que en cualquier momento en los últimos 420 000 años. Algunos investigadores estiman que la concentración actual de dióxido de carbono se encuentra en su nivel superior de los últimos 20 millones de años. Los modelos para la composición de la atmósfera terrestre basados en las tendencias actuales predicen que la concentración de dióxido de carbono continuará incremen-tándose en los próximos 100 años. Este incremento en la concentración de dióxido de carbono atmosférico contribuye al calentamiento global observado descrito en el capítulo 17.

En todo el mundo, los gobiernos están reaccionando a estas observaciones y predicciones de muchas maneras, incluyendo el Protocolo de Kyoto, el cual entró en vigor en 2005. En dicho pro-tocolo, las naciones firmantes acordaron hacer recortes sustanciales en sus emisiones de gases de invernadero para el año 2012. Sin embargo, no se les requirió a varias naciones en vías de desarrollo que redujesen sus emisiones de gases de invernadero.

FIGURA 18.26 Concentración de dióxido de carbono (CO2) en la atmósfera terrestre en partes por millón por volumen (ppmv). a) Concentración de dióxido de carbono en la atmósfera desde 1832 hasta 2004. Las mediciones desde 1832 hasta 1978 se realizaron usando núcleos de hielo en la Antártida y las mediciones desde 1959 hasta 2004 se llevaron a cabo en la atmósfera de Mauna Loa en Hawai. b) Concentraciones de dióxido de carbono para los pasados 420 000 años, extraídos de núcleos de hielo en la Antártida.

Con

cent

raci

ón d

e C

O2

(ppm

v)

0

100

200

300

400

400 000 300 000 200 000 100 000 0Año antes del presente

Con

cent

raci

ón d

e C

O2

(ppm

v)

0

100

200

300

400

1840 1880 1920 1960 2000Año

b)a)

FIGURA 18.25 a) Un científico de la NASA con su brazo dentro de una bolsa plástica negra, iluminada con luz visible. b) El mismo científico de la NASA fotografiado con una cámara infrarroja. El científico radiaba radiación infrarroja que pasó a través de la bolsa.

a)

b)


605Lo que hemos aprendido


■ El calor es energía transferida entre un sistema y su ambiente o entre dos sistemas debido a una diferencia de temperatura entre éstos.

■ Una caloría se define en términos de un joule: 1 cal = 4.186 J.

■ El trabajo efectuado por un sistema al pasar de un volumen inicial Vi a un volumen final Vf es

W dW pdVV

V= =

i

f

∫ ∫ .

■ La primera ley de la termodinámica afirma que el cambio en la energía interna de un sistema aislado es igual al calor que fluye hacia dentro del sistema menos el trabajo efectuado por el sistema, o Eint = Q – W. La primera ley de la termodinámica afirma que la energía en un sistema cerrado se conserva.

■ Un proceso adiabático es aquel en el cual Q = 0. ■ En un proceso a volumen constante, W = 0. ■ En un proceso de trayectoria cerrada, Q = W.

■ En una expansión libre adiabática, Q = W = Eint = 0. ■ Si el calor, Q, se agrega a un objeto, su cambio en la

temperatura, T, está dado por T QC

= , donde C es la capacidad calorífica del objeto.

■ Si el calor, Q, se agrega a un objeto con masa m, su

cambio en la temperatura, T, está dado por T Qcm

= , donde c es el calor específico del objeto.

■ La energía que se requiere para fundir un sólido a líquido, dividido entre su masa, es el calor latente de fusión, Lfusión. Durante el proceso de fusión, la temperatura del sistema permanece al punto de fusión, T = Tfusión.

■ La energía requerida para vaporizar un líquido a gas, dividido entre su masa es el calor latente de vaporización, Lvaporización. Durante el proceso de vaporización, la temperatura del sistema permanece al punto de ebullición, T = Tebullición.

El calor en las computadoras Pensar acerca de la transferencia de energía térmica puede no hacerle recordar a su compu-tadora en seguida. Pero enfriar una computadora es un problema mayor de ingeniería. Una computadora de escritorio típica usa entre 100 y 150 W de potencia eléctrica y una portátil usa entre 25 y 70 W. Como regla general, cuanto mayor es la frecuencia de oscilación del microchip, tanto mayor será el consumo de potencia. La mayoría de la potencia eléctrica se convierte en energía térmica y se tiene que eliminar de la computadora. Para lograr esto, las computadoras tienen sumideros de calor pasivos, los cuales consisten en piezas de metal con grandes áreas superficiales sujetas a las partes de la computadora que se necesitan enfriar, principalmente la CPU y los chips gráficos (figura 18.27). Los sumideros de calor pasivos aplican la conducción para quitar la energía térmica de las partes de la computadora y entonces radiación para trans-ferir la energía térmica al aire circundante. Un sumidero de calor activo incluye un pequeño ventilador para mover más aire por las superficies metálicas a fin de incrementar la transferen-cia de energía térmica. Desde luego, el ventilador también consume potencia eléctrica y reduce de esta manera el periodo de carga de las baterías en las computadoras portátiles.

En tanto que podría ser sólo un ligero inconveniente que su computadora portátil le caliente el regazo, enfriar grandes grupos de computadoras es muy costoso. Si un conjunto de servidores contiene 10 000 CPU individuales, su consumo de potencia eléctrica está en el orden de 1 MW, la mayor parte del cual se transforma en calor que tiene que ser retirado por sistemas de aire acon-dicionado muy grandes. De esta manera, actualmente el punto central de muchas investigaciones son los componentes más eficientes de la computadora, desde los suministros de poder hasta los microchips de la CPU y los métodos más eficientes de enfriamiento.

FIGURA 18.27 Tecnología de sumidero de calor activo y pasivo montado sobre la CPU de una computadora.

1. Un objeto frío no radia energía.

2. Cuando el calor se agrega a un sistema, la temperatura debe subir.

3. Cuando una temperatura en Celsius se duplica, la temperatura en Fahrenheit también se duplica.

4. La temperatura del punto de fusión es la misma que la temperatura del punto de congelación.

18.4 Ejercicio en claseIndique si cada una de las siguientes afirmaciones es cierta (C) o falsa (F).



■ Si una barra con un área de sección transversal A se coloca entre un depósito térmico con una temperatura Th y un depósito térmico con una temperatura Tc, donde Th > Tc, la tasa de transferencia de calor a través

de la barra es P Qt

A T TRcond

h c= = – , donde R es la

resistencia térmica de la barra.

■ La potencia radiada de un objeto con una temperatura T y un área superficial A está dada por la ecuación de Stefan-Boltzmann: Pradiadas = eAT4, donde = 5.67 · 10–8 W/K4m2 es la constante de Stefan-Boltzmann y e es la emisividad.


sistema, p. 582 ambiente, p. 582 energía térmica, p. 583 calor, p. 583 caloría, p. 583 proceso termodinámico,

p. 584 diagramas pV, p. 585 procesos dependientes de

la trayectoria, p. 585 trayectoria cerrada,

p. 585 sistema cerrado, p. 586 primera ley de la

termodinámica, p. 586

proceso adiabático, p. 588 procesos isocóricos

(volumen constante), p. 588

proceso en trayectoria cerrada, p. 588

expansión libre, p. 589 procesos isobáricos

(presión constante), p. 589

procesos isotérmicos, p. 589

isoterma, p. 589 capacidad calorífica,

p. 589

calor específico, p. 589 calorímetro, p. 591 estados de la materia,

p. 592 fases, p. 592 cambios de fase

(transiciones de fase), p. 592

calor latente de fusión, p. 592

calor latente de vaporización, p. 592

sublimación, p. 593 plasma, p. 593 radiación, p. 596

convección, p. 596 conducción, p. 596 conductividad térmica,

p. 596 resistencia térmica,

p. 596 ecuación de Stefan-

Boltzmann, p. 602 constante de Stefan-

Boltzmann, p. 602 emisividad, p. 602 cuerpo negro, p. 602 efecto de invernadero,

p. 604

R, resistencia térmica de una losa de material en m2 K/W

Lfusión, calor latente de fusión

Lvaporización, calor latente de vaporización

Tfusión, punto de fusión de una sustancia

Tebullición, punto de ebullición de una sustancia

N U E V O S S Í M B O L O S Y E C UA C I O N E S

Q, calor

Eint = Q – W, cambio en la energía interna del sistema, primera ley de la termodinámica

C, capacidad calorífica en J/K

c, calor específico en J/(kg K)

k, conductividad térmica de un material en W/(m K)

R E S P U E S TA S A L A S O P O R T U N I D A D E S D E A U T O E X A M E N

18.1 El trabajo es negativo.18.2 1 m K

1 W3.281 ft

m

2 2 2

2

( )

95 °F1K

1 W s1 J

1 0055 J1BTU

1 h3 600 s

=

55 678. .ft °F hBTU

2

18.3 tormentas de truenos, corriente de chorro, calentar agua en una olla, calentar una casa.


Lineamientos para resolución de problemas 1. Cuando use la primera ley de la termodinámica, siempre verifique los signos del calor y del trabajo. En este libro, el tra-bajo efectuado sobre el sistema es negativo (compresión) y el trabajo efectuado por el sistema es positivo (expansión); el ca-lor agregado a un sistema es positivo y el calor emitido por

un sistema es negativo. Algunos libros definen los signos del trabajo y el calor de forma diferente; asegúrese que usted sabe qué convención de signos se aplica al problema particular. 2. El trabajo y el calor son cantidades dependientes de la tra-yectoria, pero el cambio en la energía interna es independiente de la trayectoria. De esta manera, para calcular un cambio en la



4. Para calcular las cantidades de calor y los correspondien-tes cambios de temperatura, recuerde que el calor específico se refiere a un cambio de calor por unidad de masa del material, correspondiente a un cambio de temperatura; para un objeto de masa conocida, usted necesita usar la capacidad calorífica. También debe estar consciente de la posibilidad de un cambio de fase. Si es posible un cambio de fase, divida el proceso de trans-ferencia de calor en pasos, calculando el calor correspondiente a los cambios de temperatura y el calor latente correspondiente a los cambios de fase. Recuerde que los cambios de temperatu-ra son siempre la temperatura final menos la temperatura inicial. 5. Asegúrese de verificar los cálculos de calorimetría contra la realidad. Por ejemplo, si la temperatura es mayor que una tem-peratura inicial, incluso a pesar de que se extrajo calor de un sistema, usted ha pasado por alto un cambio de fase.

energía interna, usted puede usar cualesquiera procesos que comiencen desde la misma posición inicial y terminen en la misma posición final en el diagrama pV. El calor y el trabajo pueden variar, dependiendo de la trayectoria en el diagrama, pero su diferencia, Q − W, permanecerá igual. Para estos tipos de problemas, asegúrese de tener un sistema claramente defi-nido y de conocer cuáles son las condiciones iniciales y finales para cada paso en el proceso.3. Para los problemas calorimétricos, la conservación de la energía demanda que las transferencias de energía sumen cero. En otras palabras, el calor ganado por un sistema debe ser igual al calor perdido por los alrededores o algún otro sistema. Este hecho establece la ecuación básica que describe cualquier trans-ferencia de calor entre objetos.

FIGURA 18.28 Una barra de cobre/aluminio mantenida a 100 °C en un extremo y a 1 °C en el otro extremo.

LCu

LAl

Tc 1 °CTh 100 °C

PROBLEMA RESUELTO 18.4 Flujo de la energía térmica a través de una barra de cobre/aluminio

PROBLEMAUna barra de cobre (Cu) con una longitud L = 90.0 cm y un área de sección transversal A = 3.00 cm2 está en contacto térmico en un extremo con un depósito térmico a una temperatura de 100.0 °C. El otro extremo de la barra de cobre está en contacto térmico con una barra de alumi-nio (Al) de la misma área de sección transversal y una longitud de 10.0 cm. El otro extremo de la barra de aluminio se encuentra en contacto térmico con un depósito térmico a una temperatura de 1.00 °C. ¿Cuál es el flujo de energía térmica a través de la barra compuesta?

SOLUCIÓN

P I E N S EEl flujo de energía térmica depende de la diferencia de temperatura entre los dos extremos de la barra, la longitud y el área de la sección transversal y la conductividad térmica de los materiales. Todo el calor que fluye del extremo de la temperatura superior debe fluir a través tanto del seg-mento de cobre como del de aluminio.

E S B O C ELa figura 18.28 es un bosquejo de la barra de cobre/aluminio.

I N V E S T I G U EPodemos usar la ecuación 18.15 para describir el flujo de energía térmica a través de la barra de longitud L y área de sección transversal A:

P kA T TLcond

h c= – .

Tenemos Th = 100 °C y Tc = 1 °C. Identificamos la temperatura en la interfaz entre los segmentos de cobre y de aluminio como T. El flujo de energía térmica a través del segmento de cobre es entonces

P k A T TLCu Cuh

Cu= – .

El flujo de energía térmica a través del segmento de aluminio es

P k A T TLAl Al

c

Al= – .

El flujo de energía térmica a través del segmento de cobre debe ser igual al flujo de energía tér-mica a través del segmento de aluminio, así es que tenemos

P P

k A T TL

k A T TL

Cu Al

Cuh

CuAl

c

Al

=

= =– – . (i)

(continúa)



S I M P L I F I Q U EPodemos resolver esta ecuación para T. Primero, dividimos entre A y entonces multiplicamos ambos lados por LCuLAl k L T T k L T TCu Al h Al Cu c=– – .( ) ( )

Ahora, multiplicamos en ambos lados y recolectamos todos los términos con T en un lado:

k L T k L T k L T k L Tk L T kCu Al h Cu Al Al Cu Al Cu c

Al Cu C

=− −+ uu Al Cu Al h Al Cu c

Al Cu Cu Al C

==

L T k L T k L TT k L k L k

++( ) uu Al h Al Cu cL T k L T+

T k L T k L Tk L k L

= Cu Al h Al Cu c

Cu Al Al Cu

++

.

Al sustituir esta expresión para T en la ecuación (i) nos da el flujo de energía térmica a través de la barra de cobre/aluminio.

C A L C U L EAl colocar los valores numéricos nos da

T k L T k L Tk L k L

=

=W/ m K)

Cu Al h Al Cu c

Cu Al Al Cu

++

386 (

+

( . ( ( ( .0 100 373 0 9m) K) 220 W/ m K) 000 274

386 0 100

m) K

W/ m K) m) 220 W

( )

( ( .

+ // m K) m)

= 290.1513 K.

( ( .

0 900

Al poner este resultado para T en la ecuación (i) nos da el flujo de energía térmica a través del segmento de cobre

P k A T TLCu Cuh

Cu=

= W/ m K m

−

( )

⋅ −386 3 00 10 4. 22 K 290.1513 K

m=10.6599 W.

( )3730 900–.

R E D O N D E EReportamos nuestro resultado con tres cifras significativas: PCu =10.7 W.

V U E LVA A R E V I SA RPara volver a revisar, calculemos el flujo de energía térmica a través del segmento de aluminio:

P k A T TLAl Al

c

Al= = 220 W/ m K m– .( )

⋅ −3 00 10 4 22 K K

m= W.( ) −290 1513 274

0 10010 7.

..

Esto está de acuerdo con nuestros resultados para el segmento de cobre.


18.1 Un objeto metálico de 2.0 kg con una temperatura de 90 °C se sumerge en 1.0 kg de agua a 20 °C. El sistema agua-metal alcanza un equilibrio a 32 °C. ¿Cuál es el calor especí-fico del metal? a) 0.840 kJ/kg K b) 0.129 kJ/kg K

c) 0.512 kJ/kg K d) 0.433 kJ/kg K

18.2 Un gas encerrado en un cilindro se calienta por medio de un pistón que puede moverse sin fricción y entran 1 000 J

de calor al gas. Suponiendo que el volumen del gas es constan-te, el cambio en la energía interna del gas esa) 0. b) 1 000 J. c) –1 000 J. d) Ninguna de las anteriores.

18.3 En la compresión isotérmica de un gas, el volumen ocu-pado por el gas está decreciendo, pero la temperatura del gas permanece constante. Para que esto pueda suceder, a) El calor debe entrar al gas. b) El calor debe salir del gas.

c) No debe tener lugar nin-gún intercambio de calor en-tre el gas y sus alrededores.

(continuación)


609Preguntas

18.8 Un material tiene una densidad másica , volumen V y calor específico c. ¿Cuál de las siguientes es la expresión co-rrecta para el intercambio de calor que ocurre cuando la tem-peratura del material cambia en T en grados Celsius? a) (c/V)T b) (cV)(T + 273.15)

c) (cV)/T d) cVT

18.9 ¿Cuál de los siguientes no radia calor? a) Un cubo de hielo. b) Nitrógeno líquido. c) Helio líquido. d) Un dispositivo a T = 0.010 K.

e) Todos los anteriores. f ) Ninguno de los anteriores.

18.10 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdade-ra(s)? a) Cuando un sistema efectúa trabajo, su energía interna siem-pre decrece. b) El trabajo efectuado sobre un sistema siempre decrece su energía interna. c) Cuando un sistema efectúa un trabajo sobre sus alrededo-res, el signo del trabajo es siempre positivo. d) El trabajo positivo efectuado sobre un sistema es siempre igual a la ganancia del sistema en energía interna. e) Si usted empuja sobre el pistón de un cilindro lleno de gas, la energía del gas en el cilindro se incrementará.

18.4 ¿En qué superficie debe usted poner una olla para man-tenerla caliente por un tiempo más largo? a) Una superficie de vidrio lisa. b) Una superficie de acero lisa.

c) Una superficie de madera lisa. d) Una superficie de madera rugosa.

18.5 Suponiendo que la severidad de una quemadura se in-crementa conforme la cantidad de energía puesta en la piel au-menta, ¿cuál de las siguientes causaría la quemadura más severa (suponga masas iguales)?a) Agua a 90 °C. b) Cobre a 110 °C.c) Vapor a 180 °C.

d) Aluminio a 100 °C.e) Plomo a 100 °C.

18.6 ¿En qué tipo de proceso no se efectúa trabajo sobre un gas? a) Isotérmico. b) Isocórico.

c) Isobárico. d) Ninguno de los anteriores.

18.7 Un bloque de aluminio de masa MAl = 2.0 kg y un calor específico CAl = 910 J/(kg K) se encuentra a una temperatura inicial de 1 000 °C y se arroja en un cubo de agua. El agua tiene una masa MH2O = 12 kg y un calor específico CH2O = 4 190 J/(kg K) y está a temperatura ambiente (25 °C). ¿Cuál es la temperatura final aproximada del sistema cuando alcanza el equilibrio térmico? (Desprecie la pérdida de calor hacia fuera del sistema.) a) 50 °C b) 60 °C c) 70 °C d) 80 °C

P R E G U N TA S

18.11 Calcule la potencia radiada por una persona prome-dio. (Piense en el cuerpo humano como un cuerpo negro cilíndrico.) 18.12 Varios días después de que termine una tormenta de nieve, el techo de una casa se encuentra completamente cu-bierto con nieve y el techo de otra casa no tiene una cubierta de nieve. ¿Cuál de las dos casas se encuentra probablemente mejor aislada? 18.13 ¿Por qué siente mucho más frío en sus pies en el azu-lejo después de bañarse que en la alfombra de baño? ¿Por qué este efecto es más notable cuando sus pies están fríos? 18.14 ¿Puede usted pensar en una forma de hacer un cuerpo negro, un material que absorbe esencialmente toda la energía radiante que cae sobre éste, si usted sólo tiene un material que refleja la mitad de la energía radiante que cae sobre éste? 18.15 En 1883, el volcán en la isla Krakatoa en el Pacífico hizo erupción violentamente en la mayor explosión terrestre jamás registrada en la historia, destruyendo gran parte de la isla en el proceso. Las mediciones de la temperatura global indican que dicha explosión redujo la temperatura promedio de la Tierra en cerca de 1 °C durante las siguientes dos déca-das. ¿Por qué? 18.16 Caminar sobre el fuego se practica en algunas partes del mundo por diversas razones y es también una atracción

turística en algunos complejos turísticos a las orillas del mar. ¿Cómo puede una persona caminar a través de carbones ar-diendo a una temperatura bastante mayor a 500 °F sin que-marse sus pies? 18.17 ¿Por qué un abrigo seco y mullido es mejor aislante que el mismo abrigo cuando está mojado? 18.18 Se ha propuesto que el calentamiento global podría contrarrestarse dispersando grandes cantidades de polvo en la atmósfera superior. ¿Por qué podría funcionar esto y cómo? 18.19 Una botella térmica adaptada con un pistón está llena con un gas. Dado que la botella está bien aislada, ningún calor puede entrar o salir de ésta. El pistón se empuja hacia dentro, comprimiendo al gas. a) ¿Qué pasa con la presión del gas? ¿Aumenta, disminuye o se queda igual? b) ¿Qué pasa con la temperatura del gas? ¿Aumenta, disminu-ye o se queda igual? c) ¿Cambian otras propiedades del gas? 18.20 ¿Cómo diferirían las tasas de transferencia de calor entre un depósito térmico a una mayor temperatura y a una menor temperatura si los depósitos estuviesen en contacto con una barra de vidrio de 10 cm de longitud en lugar de una barra de aluminio de 10 m de longitud que tienen un área de sección transversal idéntica?



P R O B L E M A S

Una • y dos •• indican un nivel creciente de dificultad del problema.

Secciones 18.2 y 18.3 18.23 Usted levantará un elefante (masa = 5.0 · 103 kg) sobre su cabeza (un desplazamiento vertical de 2.0 m). a) Calcule el trabajo requerido para hacer esto. Usted levan-tará al elefante lentamente (¡no se permite lanzar al elefante!). Si usted quiere, puede usar un sistema de poleas. (Como usted vio en el capítulo 5, esto no cambia la energía requerida para levantar al elefante, pero definitivamente reduce la fuerza ne-cesaria para hacerlo.) b) ¿Cuántas donas (a 250 calorías de comida cada una) debe usted metabolizar para suministrar la energía para esta proeza? 18.24 Un gas tiene un volumen inicial de 2.00 m3. Se expande a tres veces su volumen inicial a través de un proceso en el cual P = V3, con = 4.00 N/m11.¿Cuánto trabajo se efectúa al expandirse el gas? 18.25 ¿Cuánto trabajo se efec-túa por ciclo por el gas que si-gue la trayectoria mostrada en el diagrama pV?

Secciones 18.4 y 18.5 18.26 La energía interna de un gas es de 500. J. El gas se com-prime adiabáticamente y su volumen decrece en 100. cm3. Si la presión aplicada sobre el gas durante la compresión es de 3.00 atm, ¿cuál es la energía interna del gas después de la com-presión adiabática?

Sección 18.6 18.27 Usted tiene 1.00 cm3 de cada uno de los materiales lis-tados en la tabla 18.1, todos a temperatura ambiente, 22.0 °C. ¿Cuál material tiene la temperatura más alta después de que se agrega 1.00 J de energía térmica a cada muestra? ¿Cuál tiene la temperatura inferior? ¿Cuáles son dichas temperaturas? 18.28 Suponga que usted mezcla 7.00 L de agua a 2.00 · 101 °C con 3.00 L de agua a 32.0 °C; el agua está aislada de tal modo que ninguna energía puede fluir hacia dentro o hacia fuera de ésta. (Usted puede lograr esto, aproximadamente, mezclando los dos fluidos en una nevera portátil del tipo que se usa para mantener las bebidas frías para los días de campo.) Los 10.0 L de agua alcanzarán alguna temperatura final. ¿Cuál es esta temperatura final? 18.29 Un pedazo de 25 g de aluminio a 85 °C se arroja en 1.0 Lde agua a 1.0 · 101 °C, la cual se encuentra en un vaso de pre-

cipitados aislado. Suponiendo que hay una pérdida de calor despreciable a los alrededores, determine la temperatura de equilibrio del sistema. 18.30 Una bala de plomo de 12 g se dispara con una rapidez de 250 m/s a una pared de madera. Suponiendo que 75% de la energía cinética se absorbe por la bala como calor (y 25% por la pared), ¿cuál es la temperatura final de la bala? •18.31 Un bloque de cobre de 1.00 kg a 80.0 °C se deja caer en un recipiente con 2.00 L de agua a 10.0 °C. Compare la magnitud del cambio de energía del cobre con la magnitud del cambio en la energía del agua. ¿Cuál valor es mayor? •18.32 Una olla de aluminio de 1.19 kg contiene 2.31 L de agua. Tanto la olla como el agua se encuentran inicialmente a 19.7 °C. ¿Cuánto calor debe fluir en la olla y el agua para llevar su temperatura a 95.0 °C? Suponga que el efecto de la eva-poración del agua durante el proceso de calentamiento puede despreciarse y que la temperatura permanece uniforme por toda la olla y el agua. •18.33 Un ladrillo metálico encontrado en una excavación se envía a un laboratorio de pruebas para una identificación no destructiva. El laboratorio pesó el ladrillo de muestra y en-contró que su masa era de 3.0 kg. El ladrillo se calentó hasta una temperatura de 3.0 · 102 °C y sumergido en un caloríme-tro de cobre aislado con una masa de 1.5 kg, que contenía 2.0 kg de agua a 2.0 · 101 °C. La temperatura final en el equilibrio se anotó como de 31.7 °C. Calculando el calor específico de la muestra a partir de estos datos, ¿puede usted identificar el material del ladrillo? •18.34 Un pedazo de cobre de 2.0 · 102 g a una temperatura de 450 K y un pedazo de aluminio de 1.0 · 102 g a una tem-peratura de 2.0 · 102 K se arrojan en una cubeta aislada que contiene 5.0 · 102 g de agua a 280 K. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio de la mezcla? ••18.35 Cuando se usa un termómetro de vidrio de inmersión para medir la temperatura de un líquido, la lectura de la tem-peratura se verá afectada por un error debido a la transferencia de calor entre el líquido y el termómetro. Suponga que usted quiere medir la temperatura de 6.00 mL de agua en un frasquito de vidrio Pyrex aislado térmicamente del ambiente. El frasquito vacío tiene una masa de 5.00 g. El termómetro que usted usa está hecho de vidrio Pyrex también y tiene una masa de 15.0 g, de los cuales 4.00 g son del mercurio que está dentro del ter-mómetro. El termómetro se encuentra inicialmente a una tem-peratura ambiente (20.0 °C). Usted coloca su termómetro en el agua del frasquito y, después de un tiempo, usted lee una tem-peratura de equilibrio de 29.0 °C. ¿Cuál era la temperatura real del agua en el frasquito antes de que se midiese la temperatura?

18.21 ¿Por qué podría un excursionista preferir una botellade plástico a una cantimplora de aluminio para llevar su agua de beber? 18.22 Una niña ha descubierto una muy antigua moneda de plata de un dólar de Estados Unidos y está sosteniéndola apretadamente en sus manitas. Suponga que ella puso el dólar

en una superficie de madera (aislante) de una mesa y después una amiga vino de afuera y colocó encima del dólar de plata un centavo igualmente antiguo que recientemente se encontró en la nieve, donde se quedó toda la noche. Estime la tempe-ratura de equilibrio final del sistema de las dos monedas en equilibrio térmico.


611Problemas

da, después de calentarla a 1 346 °F, la hoja necesita llevarse a una temperatura inferior a 5.00 · 102 °F. Si la hoja tiene una masa de 0.500 kg y el agua se encuentra en un recipiente de cobre abierto con una masa de 2.000 kg y con un volumen suficiente-mente grande, ¿cuál es la mínima cantidad de agua que necesita estar en el recipiente para que el proceso de endurecimiento sea exitoso? Suponga que la hoja no está en contacto mecánico (y por lo tanto térmico) directo con el recipiente y desprecie el en-friamiento a través de la radiación hacia el aire. Suponga que el agua no hierve, pero alcanza los 100 °C. La capacidad calorífica del cobre alrededor de la temperatura ambiente es ccobre = 386 J/(kg K). Use los datos en la tabla inferior para la capacidad calorí-fica del acero al carbono.

Rango de temperatura (°C) Capacidad calorífica (J/kg K)150 a 200 519200 a 250 536250 a 350 553350 a 450 595450 a 550 662550 a 650 754650 a 750 846

••18.44 Se ha postulado que cae “nieve” de etanol cerca de los polos de los planetas Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. Si las regiones polares de Urano, definidas como aquéllas a una latitud al norte de los 75.0° N y a una latitud al sur de los 75° S, experi-mentan 1.00 ft de nieve de etanol, ¿cuál es la mínima cantidad de energía perdida a la atmósfera para producir tal cantidad de nieve a partir del vapor de etanol? Suponga que el etanol sólido tiene una densidad de 1.00 g/cm3 y que la nieve de etanol —la cual es esponjada como la nieve terrestre— es como 90.0% de espacio vacío. La capacidad calorífica específica es de 1.30 J/ (g K) para el vapor de etanol, 2.44 J/(g K) para el etanol líquido y de 1.20 J/(g K) para el etanol sólido. ¿Cuánta potencia se di-sipa si 1 ft de nieve de etanol cae en un día terrestre?

Sección 18.8 18.45 Un bloque de hielo de 100. mm por 100. mm por 5.0 mm a 0 °C se coloca sobre su cara plana sobre un disco de metal que cubre una olla de agua hirviendo a presión atmosférica normal. El tiempo necesario para que el bloque entero se funda se mide en 0.400 s. La densidad del hielo es de 920. kg/m3. Use los datos en la tabla 18.3 para determinar de qué metal está hecho el disco con mayor probabilidad. 18.46 Una lámina de cobre con un espesor de 2.00 mm está pegada a una lámina de acero con un espesor de 1.00 mm. La superficie exterior de la lámina de cobre se mantiene a una temperatura de 100.0 °C y la de la lámina de acero a 25.0 °C. a) Determine la temperatura en la interfaz cobre-acero. b) ¿Cuánto calor se conduce a través de 1.00 m2 de las láminas combinadas por segundo? 18.47 El Sol es aproximadamente una esfera con un radio de 6.963 · 105 km, a una distancia media a = 1.496 · 108 km de la Tierra. La constante solar, la intensidad de la radiación solar en el borde exterior de la atmósfera terrestre, es de 1 370 W/m2. Suponiendo que el Sol radia como un cuerpo negro, calcule su temperatura superficial.

La capacidad calorífica específica del vidrio Pyrex alrededor de la temperatura ambiente es de 800. J/(kg K) y la del mercurio líquido a temperatura ambiente es de 140. J/(kg K).

Sección 18.7 •18.36 Suponga que 400. g de agua a 30.0 °C se vierten sobre un cubo de hielo de 60.0 g con una temperatura de −5.00 °C. Si todo el hielo se funde, ¿cuál es la temperatura final del agua? Si no todo el hielo se funde, ¿cuánto hielo queda cuando la mezcla agua-hielo alcanza el equilibrio? 18.37 Una persona emitió 180 kcal de calor en la evaporación del agua en su piel en una sesión de ejercicios. ¿Cuánta agua perdió esta persona, suponiendo que el calor emitido sólo se usó para evaporar el agua? 18.38 Un bloque de aluminio de 1.3 kg a 21 °C se ha de fundir y darle nueva forma. ¿Cuánto calor debe fluir hacia el bloque con objeto de fundirlo?

18.39 El calor latente de vaporización del nitrógeno líquido es como de 200. kJ/kg. Suponga que usted tiene 1.00 kg de ni-trógeno líquido hirviendo a 77.0 K. Si usted suministra calor a una tasa constante de 10.0 W mediante un calentador eléctrico inmerso en el nitrógeno líquido, ¿cuánto tomará en vaporizarse por completo? ¿Cuál es el tiempo para 1 kg de helio líquido, cuyo calor de vaporización es de 20.9 kJ/kg?

•18.40 Suponga que 0.010 kg de vapor (a 100.00 °C) se agrega a 0.10 kg de agua (inicialmente a 19.0 °C). El agua está dentro de una taza de aluminio con una masa de 35 g. La taza está dentro de un recipiente de calorimetría perfectamente aislado, que previene el flujo de calor con el ambiente exterior. En-cuentre la temperatura final del agua una vez que se ha alcan-zado el equilibrio.

•18.41 Suponga que 1.0 · 102 g de aluminio fundido a 932 K se arrojan en 1.00 L de agua a temperatura ambiente, 22 °C. a) ¿Cuánta agua hervirá? b) ¿Cuánto del aluminio se solidificará? c) ¿Cuál será la temperatura final del sistema agua-aluminio? d) Suponga que el aluminio estaba inicialmente a 1 150 K. ¿Podría usted todavía resolver este problema usando la infor-mación dada en este problema? ¿Cuál sería el resultado? •18.42 En una de sus rigurosas sesiones de ejercicio, usted perdió 150 g de agua a través de la evaporación. Suponga que la cantidad de trabajo efectuado por su cuerpo fue de 1.80 · 105 Jy que el calor requerido para evaporar el agua vino de su pro-pio cuerpo. a) Encuentre la pérdida de energía interna de su cuerpo, su-poniendo que el calor latente de vaporización es de 2.42 · 106 J/kg. b) Determine el número mínimo de calorías de comida que debe consumir para reponer la energía interna perdida (1 ca-loría de comida 5 4 186 J).••18.43 Las hojas de los cuchillos a menudo se fabrican con acero al carbono endurecido. El proceso de endurecimiento es un tratamiento de calor en el cual la hoja primero se calienta a una temperatura de 1 346 °F y entonces se enfría rápidamente, sumergiéndola en un baño de agua. Para lograr la dureza desea-



a) Suponga que la barra tiene una sección transversal rectan-gular constante, de 10.0 cm por un lado. ¿Cuál es la tasa de flujo de calor a través de la barra? b) Suponga que la barra tiene una sección transversal rec-tangular que se ensancha gradualmente desde el depósito más frío al depósito más caliente. El área está determinada por A x= m /( m)( . ) . . ,0 0100 1 0 2 02 +[ ] donde x es la distancia a lo largo de la barra del depósito más frío al más caliente. Encuentre el flujo de calor y la tasa de cambio de temperatura con la distancia del extremo más frío, en el extremo más ca-liente y a la mitad de la barra. ••18.55 La radiación emitida por un cuerpo negro a una tem-peratura T tiene una distribución de frecuencias dada por el espectro de Planck:

T hf k Tf h

cf

e( )

–,

/=

B

212

3

donde eT( f ) es la densidad de energía de la radiación por uni-dad de incremento de la frecuencia, ν (por ejemplo, en watts por metro cuadrado por hertz), h = 6.626 · 10–34 J s es la cons-tante de Planck, kB = 1.38 · 10–23 m2 kg s–2 K–1 es la constante de Boltzmann y c es la rapidez de la luz en el vacío. ( De mane-ra notable, el ejemplo más exacto y más precisamente medido de esta distribución de energía en la naturaleza es la radiación cósmica de fondo en microondas.) Esta distribución tiende a cero en los límites f → 0 y f → ∞ con un solo pico entre estos dos límites. Conforme la temperatura se incrementa, la densi-dad de energía a cada valor de frecuencias se incrementa y el pico se desplaza a un valor de frecuencia mayor. a) Encuentre la frecuencia correspondiente al pico del espec-tro de Planck, como función de la temperatura. b) Evalúe la frecuencia pico a la temperatura T = 6.00 · 103 K, apro-ximadamente la temperatura de la fotosfera (superficie) del Sol. c) Evalúe la frecuencia pico a la temperatura T = 2.735 K, la tem-peratura de la radiación cósmica de fondo en microondas. d) Evalúe la frecuencia pico a la temperatura T = 300. K, la cual es aproximadamente la temperatura superficial de la Tierra.

Problemas adicionales 18.56 ¿Cuánta energía se requiere para calentar 0.30 kg de aluminio desde 20.0 °C hasta 100.0 °C? 18.57 La conductividad térmica de la guata de fibra de vidrio, la cual tiene un grosor de 4.0 in, es de 8.0 · 10–6 BTU/(ft °F s). ¿Cuál es su valor R (en ft2 °F h/BTU)? 18.58 El agua es un excelente refrigerante como resultado de su capacidad calorífica muy grande. Calcule la cantidad de calor que se requiere para cambiar la temperatura de 10.0 kg de agua en 10.0 K. Ahora calcule la energía cinética de un coche con m = 1.00 · 103 kg, moviéndose a una rapidez de 27.0 m/s (60 mph). Compare estas dos cantidades. 18.59 Aproximadamente 95% de la energía desarrollada por un filamento en una bombilla esférica de 1.0 · 102 W se disipa a través de la bombilla de vidrio. Si el espesor de la bombilla es de 0.50 mm y su radio es de 3.0 cm, calcule la diferencia de tem-peratura entre las superficies interior y exterior de la bombilla. 18.60 La etiqueta en un refresco gaseoso manifiesta que 12 floz (355 g) proporciona 150 kcal. La bebida se enfría a 10.0

•18.48 El motor de una motocicleta enfriada por aire pierde una cantidad significativa de calor a través de la radiación tér-mica de acuerdo con la ecuación de Stefan-Boltzmann. Supon-ga que la temperatura ambiente es T0 = 27 °C (300 K). Suponga que el motor genera 15 hp (11 kW) de potencia y, debido a va-rias aletas superficiales profundas, tiene un área superficial A = 0.50 m2. Un motor reluciente tiene una emisividad e = 0.050, en tanto que un motor pintado de negro tiene una emisividad e = 0.95. Determine las temperaturas de equilibrio para el mo-tor negro y el motor brillante. (Suponga que la radiación es el único modo mediante el cual el calor se disipa del motor.) •18.49 Un día de verano, usted decide hacer una paleta de agua helada. Usted coloca un palo de paleta dentro de un vaso de jugo de naranja de 8.00 oz, el cual se encuentra a temperatura ambiente (71.0 °F). Entonces pone el vaso dentro del congela-dor, el cual se encuentra a 215.0 °F y tiene una potencia de en-friamiento de 4.00 3 103 BTU/h. ¿Cuánto tarda en congelarse su paleta helada? •18.50 Un cubo de hielo a 0 °C mide 10.0 cm en cada arista. Reposa sobre un bloque de cobre con una sección transver-sal cuadrada de 10 cm por lado y una longitud de 20.0 cm. El bloque se sumerge parcialmente en una gran tina de agua a 90.0 °C. ¿Cuánto tarda en fundirse el cubo de hielo? Suponga que sólo la parte en contacto con el bloque se derrite; esto es, el cubo se hace más corto conforme se funde. La densidad del hielo es de 0.917 g/cm3. •18.51 Una ventana de una sola hoja es un mal aislante. En un día frío, la temperatura en la superficie interior de la ven-tana es a menudo mucho menor que la temperatura del aire en el cuarto. Del mismo modo, la superficie exterior de la ven-tana es quizás mucho más caliente que el aire a la intemperie. Las temperaturas superficiales reales dependen fuertemente de los efectos convectivos. Por ejemplo, suponga que las tem-peraturas del aire son de 21.5 °C dentro y de 23.0 °C fuera y la superficie interior de la ventana está a 8.5 °C y la superficie exterior de la ventana está a 4.1 °C. ¿A qué tasa fluirá el calor a través de la ventana? Tome el grosor de la ventana como 0.32 cm, la altura de 1.2 m y el ancho de 1.4 m. •18.52 Un recipiente de almacenamiento criogénico contiene helio líquido, el cual hierve a 4.2 K. Suponga que un estudian-te pintó la cubierta exterior del recipiente de negro, convir-tiéndola en un pseudocuerpo negro y que la cubierta tiene un área efectiva de 0.50 m2 y se encuentra a 3.0 · 102 K. a) Determine la tasa de pérdida de calor debida a la radiación. b) ¿Cuál es la tasa a la cual el volumen de helio líquido en el recipiente decrece como resultado de la ebullición? El calor latente de vaporización del helio líquido es de 20.9 kJ/kg. La densidad del helio líquido es de 0.125 kg/L. •18.53 Marte se encuentra 1.52 veces más distante del Sol que la Tierra y tiene un diámetro de 0.532 veces el de la Tierra. a) ¿Cuál es la intensidad de la radiación solar (en W/m2) en la superficie de Marte? b) Estime la temperatura superficial de Marte. ••18.54 Dos depósitos térmicos están conectados por una barra de cobre sólido. La barra tiene una longitud de 2.00 m y las temperaturas de los depósitos son de 80.0 °C y 20.0 °C.


613Problemas

y suponga que e = 0.930. No olvide incluir el calor absorbido por la Corriente del Golfo. •18.68 Para una demostración en el salón de clases, su ins-tructor de física vierte 1.00 kg de vapor a 100.0 °C sobre 4.00 kg de hielo a 0.00 °C y permite que el sistema alcance el equili-brio. Entonces, él medirá la temperatura del sistema. Mientras el sistema alcanza el equilibrio, a usted le facilitan los calores latentes del hielo y el vapor y el calor específico del agua: Lhielo =3.33 · 105 J/kg, Lvapor = 2.26 · 106 J/kg, cagua = 4 186 J/(kg °C). A usted se le pide calcular la temperatura de equilibrio final del sistema. ¿Qué valor encuentra usted? •18.69 Determine la razón del flujo de calor hacia el interior de un paquete de seis latas de aluminio de refresco gaseoso con respecto al flujo de calor hacia el interior de una botella de plástico de refresco gaseoso de 2.00 L, cuando ambas se sacan del mismo refrigerador, esto es, tienen la misma dife-rencia de temperaturas con el aire en el cuarto. Suponga que cada lata de refresco tiene un diámetro de 6.00 cm, una altura de 12.0 cm y un espesor de 0.100 cm. Use 205 W/(m K) como la conductividad térmica del aluminio. Suponga que la botella de refresco de 2 L tiene un diámetro de 10.0 cm, una altura de 25.0 cm y un espesor de 0.100 cm. Use 0.100 W/(m K) como la conductividad térmica del plástico. •18.70 El factor R para el aislante de construcción reporta la resistencia térmica en unidades de ft2 °F h/BTU. Una buena pared para climas rigurosos, correspondiente a unas 10.0 pul-gadas de fibra de vidrio, tiene R = 40.0 ft2 °F h/BTU. a) Determine la resistencia térmica en unidades del SI. b) Encuentre el flujo de calor por metro cuadrado a través de una pared que tiene un factor R de 40.0, con una temperatura exterior de 222.0 °C y una temperatura interior de 23.0 °C. •18.71 Suponga que usted tiene un cuarto en el desván que mide 5.0 m por 5.0 m y se mantiene a 21 °C cuando la tempe-ratura exterior es de 4.0 °C. a) Si usted usó un aislante R-19 en lugar de un aislante R-30, ¿cuánto más calor saldrá de este cuarto en un día? b) Si la energía eléctrica para calentar el cuarto cuesta 12 cen-tavos por kilowatt-hora, ¿cuánto más le costará calentar por un periodo de 3 meses con el aislante R-19? ••18.72 Una ventana térmica consiste en dos hojas de vidrio separadas por un espacio de aire. Cada hoja de vidrio tiene un espesor de 3.0 mm y el espacio de aire tiene un espesor de 1.0 cm. El vidrio de la ventana tiene una conductividad de 1.00 W/(m K) y el aire tiene una conductividad de 0.0260 W/(m K). Suponga que la ventana térmica separa un cuarto a una tem-peratura de 20.00 °C del exterior que está a 0.00 °C. a) ¿Cuál es la temperatura en cada una de las cuatro interfa-ces aire-vidrio? b) ¿A qué tasa se pierde el calor del cuarto, por metro cuadra-do de ventana? c) Suponga que la ventana no tuviese espacio de aire, sino que consistiese en una sola capa de vidrio de 6.00 mm de espesor. ¿Cuál sería la tasa de pérdida de calor por metro cuadrado, bajo las mismas condiciones de temperatura? d) La conducción de calor a través de la ventana térmica po-dría reducirse a esencialmente cero, evacuando el espacio en-tre las hojas de vidrio. ¿Por qué no se hace esto?

°C antes de consumirse. Entonces, alcanza la temperatura del cuerpo de 37 °C. Encuentre el contenido de energía neto de la bebida. (Pista: Usted puede tratar al refresco como idéntico al agua en términos de su capacidad calorífica.) 18.61 El cuerpo humano transporta calor desde los tejidos in-ternos, a una temperatura de 37.0 °C, hasta la superficie de la piel, a una temperatura de 27.0 °C, a una tasa de 100 W. Si el área de la piel es de 1.5 m2 y su espesor es de 3.0 mm, ¿cuál es la conductividad térmica efectiva, , de la piel? •18.62 Se ha dicho que en ocasiones las balas de plomo se fun-den al impacto. Suponga que una bala recibe 75% del trabajo hecho sobre ésta por la pared al impacto como un incremento en la energía interna. a) ¿Cuál es la rapidez mínima con la cual una bala de 15 g podría impactar una superficie (suponiendo que la bala se de-tiene por completo y toda la energía cinética es absorbida por ésta) para empezarse a fundir? b) ¿Cuál es la rapidez de impacto mínima requerida para que la bala se funda por completo? •18.63 La radiación solar en la superficie terrestre tiene una intensidad de unos 1.4 kW/m2. Suponiendo que la Tierra y Marte son cuerpos negros, calcule la intensidad de la luz solar en la superficie marciana. •18.64 Usted se perdió al hacer excursionismo a la intempe-rie, vistiendo sólo un traje de baño. a) Calcule la potencia radiada por su cuerpo, suponiendo que su área superficial es de unos 2.00 m2 y su temperatura es de unos 33.0 °C. También, suponga que su cuerpo tiene una emi-sividad de 1.00.b) Calcule la potencia radiada neta desde su cuerpo cuando usted estaba dentro de un albergue a 20.0 °C. c) Calcule la potencia radiada neta de su cuerpo cuando la temperatura de su cuerpo bajó a 27.0 °C. •18.65 Un cubo de hielo de 10.0 g a –10.0 °C se deja caer en 40.0 g de agua a 30.0 °C. a) Después de que ha transcurrido suficiente tiempo para permitir que el cubo de hielo y el agua alcancen un equilibrio, ¿cuál es la temperatura del agua? b) Si se agrega un segundo cubo de hielo, ¿cuál es la temperatura del agua? •18.66 Arthur Clarke escribió una interesante narración corta llamada “Un ligero caso de insolación”. Los descontentos faná-ticos del fútbol fueron al estadio un día equipados con espejos y estaban dispuestos a hacer barbacoa al árbitro si favorecía a un equipo en lugar del otro. Imagine que el árbitro es como un cilindro lleno con agua y una masa de 60.0 kg a 35.0 °C. También suponga que este cilindro absorbe toda la energía re-flejada sobre él desde 50 000 espejos. Si la capacidad calorífica del agua es de 4.20 · 103 J/(kg °C), ¿cuánto tardará en subir la temperatura del agua hasta 100. °C? Suponga que el Sol emite 1.00 · 103 W/m2, las dimensiones de cada espejo son de 25.0 cm por 25.0 cm y los espejos se sostienen con un ángulo de 45.0°. •18.67 Si la temperatura promedio del Atlántico Norte es de 12.0 °C y la temperatura de la Corriente del Golfo promedia los 17.0 °C, estime la cantidad neta de calor que la Corrien-te del Golfo radia al océano circundante. Use los detalles del problema resuelto 18.3 (la longitud es como de 8.00 · 103 km)


FIGURA 19.1 Un buzo respira aire comprimido debajo del agua.

19 Gases ideales


19.1 Leyes empíricas de gases 615Ley de Boyle 616Ley de Charles 616Ley de Gay-Lussac 617Ley de Avogadro 617

19.2 Ley de los gases ideales 617Ejemplo 19.1 Gas en un cilindro 619Ejemplo 19.2 Enfriamiento de un globo 620Ejemplo 19.3 Calor en el campo de golf 621

Trabajo hecho por un gas ideal a temperatura constante 622

Ley de Dalton 622 19.3 Teorema de equipartición 623

Ejemplo 19.4 Energía cinética media de las moléculas de aire 626

19.4 Calor específico de un gas ideal 626Calor específico con volumen constante 627Calor específico con presión constante 628Grados de libertad 628Proporción de calores específicos 630

19.5 Procesos adiabáticos para un gas ideal 630Problema resuelto 19.1 Bomba para inflar

neumáticos de bicicleta 632Trabajo hecho por un gas ideal en

un proceso adiabático 634 19.6 La teoría cinética de los gases 634

Distribución de rapidez de Maxwell 634Distribución de energía cinética

de Maxwell 636Ejemplo 19.5 Temperatura del plasma

de quark-gluones 637Camino libre medio 638

Ejemplo 19.6 El camino libre medio de las moléculas de aire 639


Práctica para resolución de problemas 641Problema resuelto 19.2 Densidad del

aire con STP 642Problema resuelto 19.3 Presión de una

nebulosa planetaria 643Preguntas de opción múltiple 644Preguntas 644Problemas 645


61519.1 Leyes empíricas de gases


El buceo con escafandra (scuba diving) (scuba fue originalmente un acrónimo para “self-contained underwater breathing apparatus” [“aparato de respiración subacuática autosuficiente”]) es una actividad popular en lugares con agua marina tibia. Sin embargo, también es una gran aplicación de la física de los gases. El buzo de la figura 19.1 depende de un tanque de aire comprimido para respirar debajo del agua. El aire se mantiene normalmente a una presión de 200 atm (~3 000 psi, o ~20 MPa). Sin embargo, para respirar este aire, su presión se tiene que modificar para que sea más o menos igual a la presión que rodea el cuerpo del buzo en el agua, lo que incrementa por aproximadamente 1 atm por cada 10 m debajo de la superficie (vea la sección 13.4).

En este capítulo estudiamos la física de los gases. Los resultados se basan sobre un gas ideal, que en realidad no existe, pero muchos gases reales se comportan aproximadamente como un gas ideal en muchas situaciones. Primero examinaremos las propiedades de gases basados en obser-vaciones, incluyendo las leyes que primero pronunciaron los pioneros de la navegación de globos de aire caliente, que tenían un interés muy práctico en el comportamiento de los gases en grandes alturas. Luego vamos a adquirir ideas adicionales de la teoría cinética de un gas ideal, lo que aplica el análisis matemático a partículas de gas bajo varias condiciones supuestas.

Las propiedades clave de gases, que veremos, son las cantidades termodinámicas de tempera-tura, presión y volumen, por lo que este capítulo se enlaza con los demás sobre la termodinámica. Sin embargo, la física de los gases tiene aplicaciones para diferentes áreas de la ciencia, desde la astrono-mía hasta la meteorología, desde la química hasta la biología. Muchos de estos conceptos van a ser importantes en capítulos posteriores.

19.1 Leyes empíricas de gasesEl capítulo 13 presentó una visión general de los estados de la materia. Se introdujo la presión como una cantidad física y declaró que un gas es un caso especial de un líquido. Con el concepto de la temperatura, introducido en el capítulo 17, podemos ver ahora cómo gases responden a cambios de temperatura, presión y volumen. Las leyes de los gases que se introducen en esta sección ofrecen la evidencia empírica que llevará a la derivación de la ley de gases ideales en la siguiente sección. Veremos que todas las leyes empíricas de gases son casos especiales de la ley de gases ideales.

Un gas es una sustancia que se expande para llenar el recipiente en el que se coloca. Por lo tanto, el volumen de un gas es el volumen de su recipiente. Este capítulo utiliza el término molécu-las de gas para referirse a los elementos de un gas, aunque un gas podrá consistir en átomos o moléculas o puede ser una combinación de átomos y moléculas.

En el capítulo 17, la temperatura de una sustancia se definió en términos de su tendencia a emitir calor a su entorno o de absorber calor de su entorno. La presión de un gas se determina

■ Un gas es una sustancia que, puesta en un recipiente, se expande para llenar el recipiente.

■ Las propiedades físicas de un gas son presión, volumen, temperatura y número de moléculas.

■ Un gas ideal es uno en el cual se tratan las moléculas del gas como partículas puntuales que no interactúan entre sí.

■ La ley de los gases ideales da la relación entre presión, volumen, temperatura y número de moléculas de un gas ideal.

■ El trabajo hecho por un gas ideal es proporcional al cambio de volumen del gas si la presión es constante.

■ La ley de Dalton dice que la presión total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones parciales ejercida por cada gas en la mezcla.

■ El calor específico de un gas se puede calcular tanto para procesos de volumen constante como de

presión constante. Gases compuestos de moléculas monoatómicas, biatómicas o poliatómicas tienen diferentes calores específicos.

■ La teoría cinética, que describe el movimiento de los componentes de un gas ideal, explica sus propiedades macroscópicas, tales como temperatura y presión.

■ La temperatura de un gas es proporcional a la energía cinética media de sus moléculas.

■ La distribución de rapideces de las moléculas de un gas se describe mediante la distribución de rapideces de Maxwell, y la distribución de las energías cinéticas de las moléculas de un gas se describe mediante la distribución de energía cinética de Maxwell.

■ La trayectoria libre media de una molécula en un gas es la distancia media que recorre la molécula antes de interactuar con otra molécula.


616 Capítulo 19 Gases ideales

como la fuerza por unidad de área ejercida por las moléculas de gas en las paredes de un reci-piente. Para muchas aplicaciones, la temperatura y presión estándar (STP) se definieron a 0 °C (273.15 K) y 100 kPa.

Otra característica de un gas, aparte del volumen, temperatura y presión, es el número de moléculas del gas en el volumen en un recipiente. Este número se expresa en términos de moles: 1 mol de un gas se determina para tener 6.022 · 1023 partículas. Este número se conoce como número de Avogadro, introducido en el capítulo 13, y se discutirá con mayor detalle en conexión con la ley de Avogadro más adelante en esta sección.

Varias relaciones simples existen entre las cuatro propiedades de un gas, o sea presión, volu-men, temperatura y número de moléculas. Esta sección cubre cuatro leyes simples de los gases que relacionan estas propiedades. Todas estas leyes de los gases llevan el nombre de su descubridor (Boyle, Charles, Gay-Lussac, Avogadro) y son empíricas; es decir, se encontraron tras la ejecución de una serie de mediciones y no se derivaron a partir de alguna teoría más fundamental. En la siguiente sección vamos a combinar estas cuatro leyes para formular la ley de los gases ideales, relacionando todas las características macroscópicas de los gases. Una vez que se entiende la ley de los gases ideales, todas las demás leyes empíricas de gases siguen inmediatamente. ¿Por qué no saltarlos, entonces? La respuesta es que estas leyes empíricas de gases forman la base de la que se deriva la ley de los gases ideales.

Ley de BoyleLa primera ley empírica de los gases es la ley de Boyle, también conocida en Europa como ley de Mariotte. El científico inglés Robert Boyle publicó esta ley en 1662; el científico francés Edme Mariotte publicó un resultado similar en 1676. La ley de Boyle establece que el producto de la presión de un gas p y su volumen V con temperatura constante y con un número fijo de partículas es una constante (figura 19.2). Matemáticamente, la ley de Boyle se expresa como pV = constante (con temperatura constante).

Otra manera de expresar la ley de Boyle es la de declarar que el producto de la presión p1 y el volumen V1 de un gas en el tiempo t1 es igual al producto de la presión, p2, y el volumen, V2, del mismo gas a la misma temperatura en otro momento de tiempo, t2: p V p V1 1 2 2= (con temperatura constante). (19.1)

Un ejemplo cotidiano de la aplicación de la ley de Boyle es la respiración. Cuando usted inspira, se expande el diafragma y esta expansión produce un mayor volumen en su cavidad del pecho. De acuerdo con la ley de Boyle, la presión de aire en los pulmones se reduce en relación con la presión atmosférica normal del entorno. Entonces, la presión más alta fuera de su cuerpo fuerza aire hacia sus pulmones con objeto de igualar la presión. Para expirar, su diafragma se contrae, reduciendo el volumen de su cavidad del pecho. Esta reducción de volumen produce una presión más alta que lleva a sacar el aire de sus pulmones.

Ley de CharlesLa segunda ley empírica de los gases es la ley de Charles, que establece que para un gas que se mantiene con una presión constante y con un número fijo de partículas, el volumen del gas V, dividido entre su temperatura T, es constante (figura 19.3). El físico francés (y piloto pionero de globos aerostáticos a gran altura) Jacques Charles propuso esta ley en 1787. Matemáticamente, la ley de Charles es V/T = constante (a presión constante y número fijo de partículas).

Otra forma de establecer la ley de Charles es decir que la proporción de la temperatura, T1, y el volumen, V1, de un gas en un momento dado, t1, es igual a la proporción de la temperatura, T2, y el volumen, V2, del mismo gas con la misma presión en otro momento, t2:

VT

VT

VV

TT

1

1

2

2

1

2

1

2= = (con presión constante).⇔ (19.2)

Observe que la temperatura debe siempre expresarse en Kelvin (K).Debido a que la densidad, , de una masa dada, m, de un gas es = m/V, la ley de Charles tam-

bién se puede escribir como T = constante (a presión constante). Como corolario a la ecuación 19.2, entonces tenemos que

ρ ρ ρρ1 1 2 2

1

2

2

1T T T

T= = (con presión constante).⇔ (19.3)

FIGURA 19.2 Relación entre presión y volumen expresada como la ley de Boyle.

p

V

V

T

FIGURA 19.3 Relación entre volumen y temperatura expresada como la ley de Charles.


61719.2 Ley de los gases ideales

Ley de Gay-LussacUna tercera ley empírica de los gases es la ley de Gay-Lussac, que establece que la proporción del volumen V, presión p de un gas con su temperatura T con la misma presión y con un número fijo de partículas es constante (figura 19.4). Esta ley la presentó en 1802 el químico francés Joseph Louis Gay-Lussac (por cierto, otro piloto ávido de globos aerostáticos de gran altura). Matemáti-camente, la ley de Gay-Lussac se expresa como p/T = constante (con volumen constante).

Otra forma de expresar la ley de Gay-Lussac es establecer que la proporción del volumen presión de un gas p1, y su temperatura, T1, en un momento dado, t1, es igual que la proporción del volumen presión p2, y la temperatura, T2, del mismo gas con el mismo volumen pero en otro tiempo o momento, t2:

pT

pT

1

1

2

2= (con presión constante). (19.4)

Nuevamente, la temperatura debe indicarse en Kelvin (K).

Ley de AvogadroLa cuarta ley empírica de los gases trata de la cantidad de gas. La ley de Avogadro establece que la proporción del volumen de un gas, V, con el número de moléculas de gas, N, en este volumen es constante si la presión y la temperatura se mantienen constantes. Esta ley la introdujo en 1811 el químico italiano Amadeo Avogadro. Matemáticamente, la ley de Avogadro se expresa como V/N = constante (con presión y temperatura constantes).

Otra manera de expresar la ley de Avogadro es la de establecer que la proporción del volu-men, V1, y el número de moléculas, N1, de un gas en un momento dado, t1, es igual que la pro-porción del volumen, V2, y el número de moléculas, N2, del mismo gas con la misma presión y temperatura en otro momento, t2:

VN

VN

1

1

2

2= (con presión y temperatura constanttes). (19.5)

Se encontró que un volumen de 22.4 L (1 L = 10–3 m3) de un gas con temperatura y presión constantes contiene 6.022 · 1023 moléculas. Este número de moléculas se conoce como el número de Avogadro, NA. Actualmente el valor aceptado para el número de Avogadro es

NA23= 6.02214179 .00000030) 10( .± ⋅0

Un mol de cualquier gas tiene por definición el número de moléculas de Avogadro. El número de moles usualmente se simboliza por n. Por ende, el número de moléculas, N, y el número de moles, n, de un gas están relacionados por el número de Avogadro:

N nN= A . (19.6)

Por lo tanto, la masa de un mol de un gas es igual a la masa atómica o masa molecular de las partículas constitutivas en gramos. Por ejemplo, el gas nitrógeno consiste en moléculas compues-tas de dos átomos de nitrógeno. Cada átomo de nitrógeno tiene un número de masa atómica de 14. Por lo tanto, la molécula de nitrógeno tiene una masa molecular de 28, y un volumen de gas nitrógeno de 22.4 L a la temperatura y presión estándares tiene una masa de 28 g.

19.2 Ley de los gases idealesPodemos combinar las leyes empíricas de gases que se describen en la sección 19.1 a fin de obtener una ley más general relacionando las propiedades de los gases que se llama ley de los gases ideales:

pV nRT= , (19.7)

donde p, V y T son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, de n moles de un gas, y R es la constante universal de los gases. El valor de R está determinado en forma experimental y está dado por R = J/(mol K).( . . )8 314472 0 000015±

FIGURA 19.4 Relación entre presión y temperatura expresada como la ley de Gay-Lussac.

T

p



La constante R también se puede expresar en otras unidades, lo que cambia su valor numérico; por ejemplo, R = 0.08205746 L atm/(mol K).

La ley de los gases ideales la estableció primero el científico francés Benoit Paul Émile Clape-yron en 1834. Es el resultado principal de este capítulo.

DEDUCCIÓN 19.1 Ley de los gases ideales

Para derivar la ley de los gases ideales, comenzamos con un mol de un gas ideal, descrito por una presión p0, un volumen V0 y una temperatura T0, lo que se puede indicar utilizando la notación breve {p0, V0, T0}. (Recuerde que un gas ideal no tiene interacciones entre sus moléculas.) Este particular estado del gas se muestra en una gráfica de temperatura versus presión (un diagrama Tp) en la figura 19.5.

Luego se cambia el estado del gas mediante la variación de su volumen y temperatura mientras que se mantenga su presión constante. En la figura 19.5, el estado del gas va de {p0, V0, T0} a {p1, V1, T1} en el diagrama Tp (flecha roja). Utilizando la ley de Charles (ecuación 19.2), podemos escribir

VT

aVaT

VT

0

0

0

0

1

1= = ,

donde hemos multiplicado el numerador y denominador del cociente V0/T0 por una constante a. Podemos describir el gas en este nuevo estado con

{ , , } { , , }.p V T p aV aT1 1 1 0 0 0= (i)

A partir de este punto en el diagrama Tp cambian la presión y volumen del gas mientras la temperatura se mantenga constante. En la figura 19.5, la trayectoria va desde {p1, V1, T1} a {p2, V2, T2} como lo indica la flecha azul. Usando la ley de Boyle (ecuación 19.1) podemos escribir

p V bb

p V bp b V p V1 1 1 1 11

1 2 2= = =( )( )– ,

donde el producto p1V1 es multiplicado y dividido por una constante, b. Ahora podemos des-cribir el estado del gas con

{ , , } { , , },p V T bp b V T2 2 2 11

1 1= − (ii)

La combinación de las ecuaciones (i) y (ii) nos da

{ , , } { , , }.–p V T bp b aV aT2 2 2 01

0 0=

Ahora podemos escribir la proporción

p VT

bp b aV

aTp VT

2 2

2

01

0

0

0 0

0= =( )( )–

.

Esto implica que p0V0/T0 es una constante que llamamos R, la constante universal de gas.Esta deducción se hizo para 1 mol de gas. Para n moles de gas, la ley de Avogadro dice que

con presión y temperatura constante, el volumen de n moles de gas será igual al número de mo-les multiplicado por el volumen de un mol de gas. Podemos ordenar p0V0/T0 = R y multiplicarlo por n para obtener

np V nRT0 0 0= .

Ahora escribimos la ley de gases ideales como pV/T = nR o bien, en forma más común, como

pV nRT= ,

donde p = p0, V = nV0 y T = T0 son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, de n moles de gas.

T

p

Ley de Boyle (T constante)

Ley de Charles (p constante)

{p1,V1,T1}={p2,V2,T2}={bp1,b–1V1,T1}=

{p0,aV0,aT0} {bp0,b–1aV0,aT0}

{p0,V0,T0}

FIGURA 19.5 Trayectoria del estado de un gas en una gráfica de temperatura versus presión (diagrama Tp). La primera parte de la trayectoria toma lugar con una presión constante y la describe la ley de Charles. La segunda parte de la trayectoria toma lugar con una temperatura constante y la describe la ley de Boyle.



La ley de los gases ideales también se puede escribir en términos del número de moléculas de gas en lugar del número de moles de gas. Esto es a veces útil si describimos las relaciones de las propiedades de la materia a nivel molecular. En esta forma, la ley de los gases ideales es pV Nk T= B , (19.8)donde N es el número de átomos o moléculas y kB es la constante de Boltzmann, dada por

k RNB

A= .

El valor actualmente aceptado de la constante de Boltzmann es

kB = J/K.( . . ) –1 38106504 0 0000024 10 23± ⋅

La constante de Boltzmann es una constante fundamental de la naturaleza que a menudo surge en relaciones basadas en el comportamiento atómico o molecular. Se volverá a usar más adelante en este capítulo y nuevamente en discusiones de la electrónica de estado sólido y la mecá-nica cuántica. Se podrá haber dado cuenta por ahora que la letra k se utiliza frecuentemente en matemáticas y física para denotar una constante (la palabra alemana para constante es Konstante, donde se originó el uso de la letra k). Sin embargo, la constante de Boltzmann es de tal significado básico que se usa el subíndice B para distinguirla de otras constantes físicas denotadas por k.

Otra manera de expresar la ley de los gases ideales para un número constante de moles de gas es p V

Tp VT

1 1

1

2 2

2= , (19.9)

donde p1, V1 y T1 son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, en el tiempo 1, y p2, V2, y T2 son la presión, volumen y temperatura, respectivamente, en el tiempo 2. La ventaja de esta formulación es que no se tiene que conocer el valor numérico de la constante universal de gas o de la constante de Boltz-mann para relacionar las presiones, volúmenes y temperaturas en dos diferentes momentos del tiempo.

Es sencillo confirmar que las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac están comprendidas en la ley de los gases ideales. En la figura 19.6, una superficie tri-dimensional representa la relación entre la presión, volumen y temperatura de un gas ideal. Si se proyecta esta superficie al eje de presión constante, se obtiene una curva que refleja la ley de Charles. Si se proyecta al eje de la temperatura constante, se obtiene una curva que refleja la ley de Boyle. Si se proyecta al eje del volumen constante, se obtiene una curva que refleja la ley de Gay-Lussac.

Observe que la ley de los gases ideales se obtuvo en esta discusión mediante la combinación de las leyes empíricas de los gases. La siguiente sección analizará el comportamiento de moléculas de los gases ideales en un recipiente y, por lo tanto, proporcionará una idea de la base microscópica física para la ley de los gases ideales. Primero vamos a explorar las consecuencias y poderes predictivos de la ley de los gases ideales mediante unos cuantos ejemplos ilustrativos.

EJEMPLO 19.1 Gas en un cilindro

Considere un gas con una presión de 24.9 kPa en un cilindro con un volumen de 0.100 m3 y un pistón. Esta presión y volumen corresponden al punto 1 de la figura 19.7. La presión de este gas se deberá reducir para permitir que un proceso de manufactura funcione de manera eficiente. El pistón está diseñado para incrementar el volumen del cilindro de 0.100 m3 a 0.900 m3 mien-tras la temperatura se mantenga constante.

PROBLEMA¿Cuál es la presión del gas con un volumen de 0.900 m3?

SOLUCIÓNEl punto 2 en la figura 19.7 representa la presión del gas con un volumen de 0.900 m3. Puede ver que la presión se reduce conforme aumenta el volumen.

19.1 Ejercicio en claseLa presión dentro de un tanque de buceo es de 205 atm a 22.0 ºC. Suponga que el tanque se deja en el sol y la temperatura del aire comprimido dentro del tanque sube a 40.0 ºC. ¿Cuál será la presión dentro del tanque?

a) 205 atm

b) 218 atm

c) 254 atm

d) 321 atm

e) 373 atm

FIGURA 19.6 La relación entre la ley de los gases ideales y la ley de Charles (presión constante), la ley de Boyle (temperatura constante) y la ley de Gay-Lussac (volumen constante).

T

T

V

V

V

p

pp

T

Charles

BoyleGay-Lussac

30

20

10

00 1.0

2

1

0.5

p (k

Pa)

V (m3)

FIGURA 19.7 Gráfica de presión versus volumen para un gas descrito por la ley de Boyle.(continúa)



Puesto que la temperatura es constante (T1 = T2) en esta situación, la ley de los gases ideales (en la forma de la ecuación 19.9), p1V1/T1 = p2V2/T2 se reduce a p1V1 = p2V2. (La sección 19.1 identifica este caso especial de la ley de los gases ideales como la ley de Boyle.) Podemos usar esto para calcu-lar la nueva presión:

p p VV21 1

2

24 9 0 100

0 9002 77= =

kPa m

m=

3

3

. .

..

( )( )kPa.

Desde luego que hay muchas aplicaciones donde cambia la temperatura de un gas. El ejemplo 19.2 contempla una de ellas.

EJEMPLO 19.2 Enfriamiento de un globo

FIGURA 19.8 La hilera superior muestra un globo inflado a temperatura ambiente que luego se coloca en nitrógeno líquido. En la hilera inferior, el globo frío se saca del nitrógeno líquido y se permite que se caliente hasta la temperatura ambiente. El tiempo entre cada toma en cada secuencia es de 20 s. Observe que el nitrógeno líquido causa un cambio de fase en el aire dentro del globo, lo que deja que el globo se contraiga más de lo que predice la ley de los gases ideales.

Un globo se infla a temperatura ambiente y luego se coloca en nitrógeno líquido (figura 19.8). Se permite que el globo se enfríe hasta la temperatura del nitrógeno líquido y se contrae en forma drástica. El globo frío se saca entonces del nitrógeno líquido y se permite que se vuelva a calentar hasta la temperatura ambiente. El globo regresa a su volumen original.

PROBLEMA¿Por qué factor se reduce el volumen del globo mientras que la temperatura del aire dentro del globo disminuye desde la temperatura ambiente hasta la temperatura del nitrógeno líquido?

SOLUCIÓNEl gas dentro del globo se mantiene a una presión atmosférica constante (p1 = p2) porque es la presión de su ambiente. La ley de gases ideales (ecuación 19.9), p1V1/T1 = p2V2/T2 se vuelve en este caso V1/T1 = V2/T2. (En la sección 19.1, este caso especial de la ley de los gases ideales se identificó como la ley de Charles.) Suponga que la temperatura ambiente sea de 22 °C o T1 = 295 K, y la temperatura del nitrógeno líquido sea T2 = 77.2 K. Podemos calcular el cambio fraccional en el volumen del globo:

VV

TT

2

1

2

1

77 2= = K295 K

0.262..=

EXPLICACIÓNEl globo de la figura 19.8 encogió por más del factor calculado según la ley de Charles. (Una proporción de volumen frío al volumen caliente de 25% implica que el radio del globo frío deberá ser 63% del radio del globo a temperatura ambiente.) En primer lugar, el vapor de agua en el aire del globo se congela en forma de partículas de hielo. En segundo lugar, una parte del oxígeno y el nitrógeno en el aire dentro del globo se condensa a líquidos a los que no se aplica la ley de gases ideales.

(continuación)


621

El ejemplo 19.3 trata de la relación de la temperatura del aire y la presión del aire.

EJEMPLO 19.3 Calor en el campo de golf

El campeonato de 2007 de la PGA se realizó en agosto en Oklahoma en el Southern Hills Country Club, con la temperatura media más alta de cualquier campeonato de golf en la historia, que llegó hasta aproximadamente 101 °F (38.3 °C = 311.5 K). Por lo tanto, la densidad del aire fue más baja que en temperaturas menores, lo que provocó que la pelota de golf volara más lejos. Los jugadores tenían que corregir este efecto, igual que tienen que considerar trayectorias más largas cuando juegan en elevaciones más altas.

PROBLEMAEl Southern Hills Country Club se encuentra a una altura de 213 m (700 ft) sobre el nivel del mar. ¿A qué altura se debería encontrar el Old Course de St. Andrews, Escocia, que se muestra en la figura 19.9, si la temperatura del aire fue de 48 °F (8.9 °C = 282.0 K), para que la pelota de golf tuviera el mismo incremento de longitud de vuelo que en Southern Hills?

SOLUCIÓNPrimero calculamos cómo la temperatura influye en la densidad del aire. Podemos usar la rela-ción entre la densidad y la temperatura para la presión constante 1/2 = T2/T1, ecuación 19.3. Si sustituimos los valores conocidos (recuerde que necesitamos usar la escala de Kelvin para valores de temperatura del aire), obtenemos

1

2

2

1

282 0311 5

0 9053= = KK

=TT

.

.. .

En otras palabras, el aire a 101 °F tiene sólo 90.53% de la densidad del aire a 48 °F, a la misma presión. Ahora tenemos que calcular la altura que corresponde a la misma proporción de densi-dad. En la sección 13.4 dedujimos una fórmula que relaciona la densidad con la altura.

( ) ,– /h e h g p= 00 0

donde h es la altura sobre el nivel del mar, 0 es la densidad de aire a nivel del mar y p0 es la presión del aire a nivel del mar. Las constantes en la fórmula que relacionan la densidad con la altura se pueden escribir como

pg

0

0

51 01 109 81

8 37ρ

= Pa1.229 kg/m m/s

=3 2

..

⋅

( )( )77 m.

La altura en Southern Hills es de h1 = 213 m y la densidad del aire es

ρ ρ( ) .– /( )h e h1 0

8 3771= m

La densidad del aire en el Old Course a una altura h2 sería

ρ ρ( ) .– /( )h e h2 0

8 3772= m

Si tomamos el cociente de estas dos densidades, obtenemos

ρρ

ρρ

( )( )

– /( )

– /( )hh

ee

eh

h2

1

08 377

08 377

2

1= =

m

m––( – )/( ) .h h2 1 8 377 m

Si ponemos este cociente igual al cociente de las densidades según la diferencia de temperatu-ras, nos da

e h h–( – )/( ) . .2 1 8 377 0 9053m =

Sacando el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación obtenemos

–( – )/ ( ) ln( . ),h h2 1 8 377 0 9053m =

que se puede resolver para la altura h2:

h h2 1 8 377 0 9053 213 8 377 0= m = m m–( )ln( . ) ( )–( )ln( .. )9053 1 046= m.


FIGURA 19.9 Primer golpe a la pelota en el Old Course de St. Andrews, Escocia, a nivel del mar y a finales de invierno. A elevaciones más bajas o con temperaturas inferiores, la pelota no se va tan lejos.

(continúa)



Por lo tanto, con la temperatura de 101 °F, el campo en Southern Hills daría vuelos de pelota tan largos como en el campo Old Course a una altura de 1 046 m (3 432 ft) y una temperatura de 48 °F.

EXPLICACIÓNNuestra solución ignoró el efecto de la alta humedad en Southern Hills, que redujo la densidad del aire en 2% adicional en relación con la densidad de aire seco, causando que en el campo hu-biera vuelos de pelota como en un campo con aire seco y una temperatura de 48 °F a una altura de más de 4 000 pies sobre el nivel del mar. (El efecto del vapor de agua sobre la densidad del aire se discutirá más adelante, al referirnos a la ley de Dalton.)

Trabajo hecho por un gas ideal a temperatura constanteSuponga que tenemos un gas ideal con temperatura constante en un recipiente cerrado cuyo volu-men se pueda cambiar, como por ejemplo, un cilindro con un pistón. Esta configuración nos permite realizar un proceso isotérmico, que se describe en el capítulo 18. Para un proceso isotér-mico la ley de gases ideales dice que la presión es igual a una constante multiplicado por el inverso del volumen p = nRT/V. Si se cambia el volumen del recipiente desde un volumen inicial, Vi, a un volumen final, Vf , el trabajo hecho por el gas (vea el capítulo 18) está dado por

W pdVV

V=

i

f

∫ .

Al sustituir la expresión para la presión en esta integral, obtenemos

W pdV nRT dVV

nRT VV

V

V

V

V

V= = =

i

f

i

f

i

f∫ ∫( ) ln ,

que halla el valor numérico a W nRT V

V= f

iln .

(19.10)

La ecuación 19.10 indica que el trabajo hecho por el gas es positivo si Vf > Vi y es negativo si Vf < Vi.Podemos comparar lo que se obtiene a los resultados que encontramos en el capítulo 18 para

el trabajo realizado por el gas bajo otros supuestos. Por ejemplo, si el volumen se mantiene cons-tante, en lugar de la temperatura, el gas no puede realizar ningún trabajo: W = 0. Si la presión se mantiene constante, el trabajo hecho por el gas está dado por (vea el capítulo 18)

W pdV p dV p V V p VV

V

V

V= = = =

i

f

i

f

f i∫ ∫ ( )– .

Ley de Dalton¿Cómo cambian las deducciones que obtuvimos de los gases ideales si hay más de un tipo de gas en un volumen dado, como, por ejemplo, en el caso de la atmósfera terrestre? La ley de Dalton establece que la presión de un gas compuesto por una mezcla homogénea de diferentes gases es igual que la suma de la presión parcial de cada uno de los gases. La presión parcial se define comola presión que el gas ejercería si se extraen los otros gases presentes. La ley de Dalton significa que la presión parcial de cada gas no presenta efecto alguno por la presencia de otros gases, mientras que no haya interacción entre las moléculas de los gases. La ley se denomina así por John Dalton, químico inglés, que la publicó en 1801. La ley de Dalton da la presión total, ptotal, ejercida por una mezcla de m gases, cada uno con la presión parcial pi:

p p p p p pm ii

m

total=

= =1 2 31

+ + + + ∑ . (19.11)

La ley de Avogadro se puede extender para establecer que el número total de moles de gas, ntotal, contenidos en una mezcla de m gases es igual a la suma del número de moles de cada gas, ni:

n n n n n nm ii

m

total=

= =1 2 31

+ + + + ∑ .

19.2 Ejercicio en claseSuponga que un gas ideal tiene presión p, volumen, V, y temperatura T. Si el volumen se duplica con presión constante, el gas hace el trabajo Wp = const. Si en su lugar se duplica el volumen a temperatura constante, el gas hace el trabajo WT = const. ¿Cuál es la relación entre estas dos cantidades de trabajo hecho por el gas?

a) Wp = const < WT = const

b) Wp = const = WT = const

c) Wp = const > WT = const

d) La relación no puede ser determinada a partir de la información dada.

(continuación)


62319.3 Teorema de equipartición

Luego, la fracción molar, ri, para cada gas en una mezcla es el número de moles de este gas divi-dido entre el número total de moles de todos los gases:

r nni

i=total

. (19.12)

La suma de la fracción molar es igual a: rii

m

==

11∑ . Si el número de moles de gas aumenta, con la

temperatura y el volumen constante, la presión tiene que subir. Entonces podemos expresar cada presión parcial como

p r p n pni i i= =total

total

total. (19.13)

Esto significa que las presiones parciales en una mezcla de gases son simplemente proporcionales a las fracciones molares de aquellos gases presentes en la mezcla.

La atmósfera terrestreLa atmósfera de la Tierra tiene una masa de aproximadamente 5.1 · 1018 kg (5 mil billones de toneladas métricas). Es una mezcla de varios gases, vea la tabla 19.1. La tabla nombra solamente los componentes de aire seco; además, el aire contiene vapor de agua (H2O), que forma aproxima-damente 0.25% de la atmósfera. (Este número parece ser pequeño, ¡pero su masa iguala aproxi-madamente a 1016 kg de agua, una cantidad que es semejante a cuatro veces el volumen de agua en todos los Grandes Lagos entre Estados Unidos y Canadá!) Cerca de la superficie de la Tierra, el contenido de agua del aire se encuentra entre un poco menos de 1% y un poco más de 3%, dependiendo principalmente de la temperatura del aire y la disponibilidad de agua líquida en el entorno. El vapor tiene una masa molecular de 18 g/mol, que es menor que la masa molecular o atómica de casi todos los demás gases atmosféricos. Por eso el vapor agua en el aire disminuye la densidad media de la atmósfera.

19.3 Teorema de equiparticiónHemos discutido las propiedades macroscópicas de los gases, incluido volumen, temperatura y presión. Para explicar estas propiedades en términos de las moléculas (o los átomos) de un gas, se requiere hacer varias suposiciones acerca del comportamiento de estas partículas en un recipiente. Estas suposiciones, junto con los resultados derivados de ellas, se conocen como la teoría cinética del gas ideal.

Suponga que un gas llenara de manera uniforme un recipiente de un volumen V. Hacemos las siguientes suposiciones:

■ El número de moléculas, N, es grande, pero las moléculas en sí son pequeñas, así que la distancia media entre las moléculas es grande en comparación con su tamaño. Todas las moléculas son idénticas, y cada una tiene masa m.

■ Las moléculas están en constante movimiento aleatorio en trayectorias de líneas rectas y no interactúan entre sí y, por lo tanto, pueden considerarse como partículas puntuales.

Tabla 19.1 Principales gases que componen la atmósfera de la Tierra

Gas Porcentaje por volumen Símbolo químico Masa molecular

Nitrógeno 78.08 N2 28.0

Oxígeno 20.95 O2 32.0

Argón 0.93 Ar 40.0

Dióxido de carbono 0.038 CO2 44.0

Neón 0.0018 Ne 20.2

Helio 0.0005 He 4.00

Metano 0.0002 CH4 16.0

Criptón 0.0001 Kr 83.8

19.3 Ejercicio en clase¿Cuál es la masa de 22.4 L de aire seco con temperatura y presión estándares?

a) 14.20 g

b) 28.00 g

c) 28.95 g

d) 32.22 g

e) 60.00 g

19.4 Ejercicio en clase¿Cuál es la presión de oxígeno en la atmósfera de la Tierra al nivel del mar?

a) 0

b) 0.21 atm

c) 1 atm

d) 4.8 atm

e) 20.9 atm



■ Las moléculas tienen colisiones elásticas con las paredes del recipiente. ■ El volumen, V, del recipiente es mucho más grande que el promedio del volumen que ocu-

pan las moléculas del gas. Las paredes del recipiente son rígidas y estacionarias.

La teoría cinética explica cómo las propiedades microscópicas de las moléculas de gas causan las propiedades macroscópicas observadas por nosotros como presión, volumen y temperatura que aparecen en la ley de los gases ideales. Por ahora estamos principalmente interesados en lo que es la energía cinética media de las moléculas de gas y cómo se relaciona con la temperatura del gas. Esta conexión se llama teorema de equipartición. En la siguiente sección usaremos este teorema para deducir expresiones para los calores específicos de gases. Veremos entonces que el teorema de equipartición está fuertemente entrelazado con la idea de los grados de libertad del movi-miento de las moléculas de gas. Por último, en la sección 19.6, regresaremos a la teoría cinética, incluyendo la distribución de energías cinéticas de las moléculas (en vez de solamente la energía cinética media) en la teoría, y discutiremos las limitaciones del concepto del gas ideal.

Primero obtenemos la energía cinética media del gas ideal, si calculamos el promedio de las energías cinéticas de las moléculas individuales de gases:

KN

KN

mv mN

vii

N

ii

N

ii

N

media= =

= = =1 1 12

12

1

1

2

1

2

1=∑ ∑ ∑∑

= rms

212

mv . (19.14)

Por lo tanto, la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de gas, vrms, se define como

vN

vii

N

rms=

= 1 2

1∑ . (19.15)

Observe que la rapidez de la raíz media cuadrática no es la misma que la rapidez media de las moléculas de gas. Pero puede considerarse como el promedio adecuado porque se relaciona inme-diatamente con la energía cinética media, como se ve en la ecuación 19.14.

La deducción 19.2 muestra cómo la energía cinética media de las moléculas en un gas ideal se relaciona con la temperatura del gas. Veremos que la temperatura del gas es simplemente pro-porcional a la energía cinética media, con una proporcionalidad constante 3

2 veces la constante de Boltzmann: K k Tmedia B= 3

2 . (19.16)

Éste es el teorema de equipartición. Por ende, cuando medimos la temperatura de un gas, estamos determinando la energía cinética media de las moléculas del gas. Esta relación es uno de los enten-dimientos clave de la teoría cinética y será muy útil para el resto de este capítulo.

Veamos cómo despejar el teorema de equipartición empezando desde la mecánica newto-niana y utilizando la ley de los gases ideales.

DEDUCCIÓN 19.2 Teorema de equipartición

La presión de un gas en las paredes de un recipiente es consecuencia de la interacción de las mo-léculas de gas con las paredes del recipiente; por medio del cambio del momento de las moléculas se genera una fuerza. La presión del gas es entonces una consecuencia de colisiones elásticas de las moléculas de gas con las paredes del recipiente. Cuando una molécula de gas impacta en la pared, rebota con la misma energía cinética que tuvo antes de la colisión. Supongamos que la pared sea estacionaria y, por lo tanto, el componente del momento de la molécula de gas per-pendicular a la superficie de la pared se invierte en la colisión (vea la sección 7.5).

Considere una molécula de gas con masa m y un componente x de velocidad, vx, viajando perpendicular a la pared de un recipiente (figura 19.10). La molécula de gas rebota en la pared y se mueve en dirección opuesta con la velocidad –vx. (Recuerde que supusimos colisiones elásti-cas entre moléculas y paredes.) El cambio en el componente x del momento, px, de la molécula de gas durante la colisión con la pared es

p p p m v m v mvx x x x x x= = =f i, ,– – – – .( )( ) ( )( ) 2

x

Pared

vx

–vx m

m

FIGURA 19.10 Molécula de gas con la masa m y la velocidad vx, rebotando de la pared de un recipiente.


62519.3 Teorema de equipartición

(continúa)

Para calcular la fuerza media en el tiempo promediado ejercida por el gas sobre la pared del recipiente, no sólo necesitamos conocer qué tanto cambia el momento durante la colisión, sino también cuántas veces ocurre una colisión de una molécula de gas con una pared. Para obtener una expresión para el tiempo entre colisiones supongamos que el recipiente sea un cubo con el lado L (figura 19.11). Luego ocurre una colisión como la que se muestra en la figura 19.10 cada vez que la molécula de gas realiza un viaje completo de un lado del cubo al otro y viceversa. Este viaje redondo cubre una distancia 2L. Podemos expresar el intervalo de tiempo t, entre colisiones con la pared así:

t Lvx

= 2 .

Sabemos de la segunda ley de Newton que el componente x de la fuerza ejercida por la pared sobre la molécula de gas, Fpared,x está dada por

F pt

mvL v

mvLx

x x

x

xpared = = =, /

– ,∆∆

−( )

22

2

donde hemos usado px = –2mvx y t = 2L/vx.El componente x de la fuerza ejercida por la molécula de gas sobre la pared, Fx, tiene la mis-

ma magnitud que Fpared,x, pero está en la dirección opuesta; es decir, Fx = 2Fpared,x, que es una consecuencia directa de la tercera ley de Newton (vea el capítulo 4). Si hay N moléculas de gas, podemos establecer la fuerza total debido a las moléculas de gas en las paredes como

Fmv

LmL

vxx i

i

N

x ii

N

tot= =

= =,,

, .2

1

2

1∑ ∑ (i)

Este resultado para la fuerza sobre la pared ubicada en x = L es independiente de las compo-nentes y y z de los vectores velocidad de las moléculas de gas. Puesto que las moléculas están en movimiento aleatorio, el cuadrado medio de las componentes x de la velocidad es el mismo que

el cuadrado medio de la componente y o las componentes z: v v vx ii

N

y ii

N

z ii

N

, , , .2

1

2

1

2

1= = =

= =∑ ∑ ∑ Puesto

que vi2 = v2

x,i + v2y,i + v2

z,i, tenemos v vx ii

N

ii

N

, ,2

1

13

2

1= =

=∑ ∑ o el cuadrado medio de las componentes

x de la velocidad es 13 del cuadrado medio de la velocidad. Ésta es la razón para el nombre del

teorema de equipartición: cada componente de velocidad cartesiana tiene una parte igual, 13 , de

la energía cinética global. Podemos usar este hecho para reescribir la ecuación (i) para el com-ponente x de la fuerza del gas en la pared:

F mL

vx ii

N

tot=

=, .3

2

1∑

Al repetir este análisis de fuerza para las otras cinco paredes o caras del cubo, encontramos

que cada una experimenta una fuerza de la misma magnitud, dada por F mL

vii

N

tot=

=3

2

1∑ . Para

encontrar la presión ejercida por las moléculas de gas, dividimos esta fuerza entre el área de la pared A = L2:

p FA

mL

v

L

m v

LmV

vi

i

N

ii

N

ii

= = = =tot = =

=

3

3 3

2

12

2

13

2∑ ∑

11

N

∑ ,

en el último paso hemos usado el volumen del cubo V = L3. Si usamos la ecuación 19.15 para la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de gas, podemos expresar la presión como:

p NmvV

= rms2

3. (ii)

Este resultado es válido para cada cara del cubo y se puede aplicar a un volumen de cualquier forma. La multiplicación de ambos lados de la ecuación (ii) por el volumen nos lleva a pV =

FIGURA 19.11 Un recipiente cúbico con una longitud de lado L. Tres de las caras del cubo están en los planos xy, xz y yz.

x

L

L

Lz

y



13 Nmv2

rms, y puesto que la ley de los gases ideales (ecuación 19.8) estipula que pV = NkBT, obte-nemos NkBT = 1

3 Nmv2rms. Al anular el factor de N en ambos lados nos lleva a

3 2k T mvB rms= . (iii)

Puesto que 12 mv2

rms = Kmedia, la energía cinética media de una molécula de gas, hemos llegado al resultado deseado, la ecuación 19.16:

K k Tmedia B= 32 .

Observe que si reescribimos la ecuación (iii) de la deducción 19.2 como 3kBT = mv2rms, obtenemos

una ecuación para la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de gas:

v k Tmrms

B= 3 . (19.17)

EJEMPLO 19.4 Energía cinética media de las moléculas de aire

Suponga una habitación llena de aire con una temperatura de 22.0 °C.

PROBLEMA¿Cuál es la energía cinética media de las moléculas (y átomos) en el aire?

SOLUCIÓNLa energía cinética media de moléculas de aire está dada por la ecuación 19.16:

K k Tmedia B= = J/K K32

32

231 38 10 273 15 22. . .–⋅( ) + 00 K = 6.11 10 J.–21( ) ⋅

A menudo, la energía cinética media de moléculas de aire se expresa en electrón-volt (eV) en lugar de joules (J):

Kmedia–21

–19= 6.11 10 J eV1.602 10 J

=⋅( )⋅

1 0 03. 881 eV.

Una aproximación útil para recordar es que la energía cinética media de moléculas de aire a nivel del mar y temperatura ambiental es de aproximadamente 0.04 eV.

19.4 Calor específico de un gas idealEl capítulo 18 aborda el calor específico de los materiales que ahora vamos a considerar para los gases. Los gases consisten en átomos o moléculas, y la energía interna de los gases puede expre-sarse en términos de sus propiedades atómicas y moleculares. Estas relaciones llevan a los calores específicos molares de los gases ideales.

Vamos a empezar con los gases monoatómicos, que son gases en los cuales los átomos no están enlazados con otros átomos. Los gases monoatómicos incluyen helio, neón, argón, criptón y xenón (los gases nobles). Supongamos que toda la energía interna de un gas monoatómico esté en la forma de energía cinética de traslación. La energía cinética media de traslación depende solamente de la temperatura, como se determina en la ecuación 19.16.

La energía interna de un gas monoatómico es el número de átomos, N, multiplicado por la energía cinética media de traslación de un átomo en el gas:

E NK N k Tint .= =media B32( )

19.5 Ejercicio en claseLa energía cinética media de moléculas de un gas ideal se duplica si _______ se duplica.

a) la temperatura

b) la presión

c) la masa de las moléculas de gas

d) el volumen del recipiente

e) ninguna de las declaraciones anteriores

(continuación)


62719.4 Calor específico de un gas ideal

El número de átomos del gas es el número de moles, n, multiplicado por el número de Avoga-dro, NA: N = nNA. Puesto que NAkB = R, podemos expresar la energía interna como

E nRTint .= 32

(19.18)

La ecuación 19.18 muestra que la energía interna de un gas monoatómico depende solamente de la temperatura del gas.

Calor específico con volumen constanteSuponga que un gas ideal monoatómico con la temperatura T se mantenga en un volumen cons-tante. Si ahora dejamos fluir el calor Q al gas, se ha demostrado empíricamente (capítulo 18) que la temperatura del gas cambia conforme a

Q nC TV= (con volumen constante),∆

donde CV es el calor molar específico con volumen constante. Puesto que el volumen del gas es constante, no puede hacer trabajo. Por lo tanto, podemos usar la primera ley de la termodinámica (vea el capítulo 18) para escribir

∆ ∆E Q W nC TVint –= = (con volumen constante). (19.19)

Al recordar que la energía interna de un gas monoatómico depende solamente de su temperatura, usamos la ecuación 19.18 y obtenemos

E nR Tint .= 32

Si combinamos este resultado con Q = nCVT nos da nCVT = 32 nRT. Si cancelamos los térmi-

nos n y T, que aparecen en ambos lados, obtenemos una expresión para el calor molar específico de un gas ideal monoatómico con volumen constante:

C RV = = J/(mol K).32

12 5. (19.20)

Este valor para el calor molar específico de un gas ideal monoatómico concuerda bien con valores medidos para gases monoatómicos a temperatura y presión estándares. Estos gases son principalmente los gases nobles. Los calores molares específicos de gases diatómicos (moléculas de gas con dos átomos) y gases poliatómicos (moléculas de gas con más de dos átomos) son más altos que los calores molares específicos de gases monoatómicos, como se muestra en la tabla 19.2. Más adelante en esta sección discutiremos esta diferencia.

Para un gas ideal podemos usar la ecuación 19.18 y escribimos

E nC TVint ,= (19.21)

lo que significa que la energía interna de un gas ideal depende solamente de n, CV y T.

Tabla 19.2 Algunos típicos calores molares específicos de diferentes tipos de gases

Gas CV[J/(mol K)] Cp[J/(mol K)] = Cp/CV

Helio (He) 12.5 20.8 1.66

Neón (Ne) 12.5 20.8 1.66

Argón (Ar) 12.5 20.8 1.66

Criptón (Kr) 12.5 20.8 1.66

Hidrógeno (H2) 20.4 28.8 1.41

Nitrógeno (N2) 20.7 29.1 1.41

Oxígeno (O2) 21.0 29.4 1.41

Dióxido de carbono (CO2) 28.2 36.6 1.29

Metano (CH4) 27.5 35.9 1.30



Una generalización de la ecuación 19.21, Eint = nCVT, se aplica a todos los gases mientras que se usa el apropiado calor molar específico. De acuerdo con esta ecuación, el cambio de la energía interna de un gas ideal solamente depende de n, CV y el cambio de temperatura, T, pero no depende de cualquier tipo de cambio de presión o volumen.

Calor específico con presión constanteAhora vamos a describir el caso en el cual aumenta la temperatura de un gas ideal mientras que su presión se mantiene constante. Se ha demostrado en forma empírica que el calor agregado, Q, está relacionado con el cambio de temperatura como sigue:

Q nC Tp= (para presión constante),∆ (19.22)

donde Cp es el calor molar específico con presión constante. El calor molar específico con presión constante es mayor que el calor molar específico con volumen constante porque el calor se debe suministrar, tanto para hacer trabajo como para aumentar la temperatura.

Para vincular el calor molar específico con volumen constante al calor molar específico con presión constante empezamos con la primera ley de la termodinámica: Eint = Q –W. Sustituimos de la ecuación 19.19 para Eint y de la ecuación 19.22 para Q. En el capítulo 18, el trabajo W, hecho cuando la presión permanece constante, se expresó como W = pV. Con estas sustituciones para Eint = Q –W, obtenemos

nC T nC T p VV p = – .

La ley de los gases ideales (ecuación 19.7) enlaza un cambio en el volumen al cambio de una temperatura si la presión se mantiene constante: pV = nRT. Al sustituir esta expresión para el trabajo tenemos finalmente

nC T nC T nR TV p = – .

Cada término en esta ecuación contiene el factor común nT. Al dividirla se da la muy simple relación entre calores específicos con volumen constante y con presión constante:

C C Rp V= + . (19.23)

Grados de libertadComo puede observar en la tabla 19.2, la relación CV = 3

2 R es válida para gases monoatómicos, pero no para gases diatómicos y poliatómicos. Esta discrepancia se puede explicar en términos de los posibles grados de libertad de movimiento con que cuentan las distintas moléculas.

En general, un grado de libertad es una orientación de un tipo de movimiento que puede mostrar una molécula. Para una partícula puntual en el espacio tridimensional hay tres direccio-nes ortogonales que son independientes entre sí. Para una colección de N partículas puntuales hay 3N grados de libertad para el movimiento de traslación en el espacio tridimensional. Pero si las partículas puntuales están ordenadas en un objeto sólido, no se pueden mover independiente-mente entre sí, y el número de grados de libertad se reduce a los grados de libertad de traslación del centro de masa del objeto (3), más rotaciones independientes del objeto alrededor del centro de masa. En general hay tres posibles orientaciones de rotación independientes, lo que da un total de seis grados de libertad, tres de traslación y tres de rotación.

Vamos a considerar tres diferentes tipos de gases (figura 19.12). El primero es un gas monoa-tómico, como por ejemplo el helio (He). El segundo es un gas diatómico, representado por el nitrógeno (N2). El tercero es una molécula poliatómica, por ejemplo el metano (CH4). La mo-lécula del gas poliatómico puede girar alrededor de los tres ejes de coordenadas y, por lo tanto, tiene tres grados rotacionales de libertad. La molécula diatómica que se muestra en la figura 19.12 está alineada con el eje x, y la rotación alrededor de este eje no da ninguna configuración diferente. Por ende, esta molécula sólo tiene dos grados rotacionales de libertad, que se muestran en la figura como asociados con rotaciones alrededor de los ejes y y z. El gas monoatómico consiste en átomos esféricamente simétricos que no tienen ningún grado de libertad rotacional.

Las diferentes maneras en las que se puede asignar la energía interna de un gas ideal están especificadas por el principio de equipartición de energía, que estipula que moléculas de gas en equilibrio térmico tienen la misma energía media asociada con cada grado de libertad indepen-


Use los datos de la tabla 19.2 y verifique la relación dada en la ecuación 19.23 entre el calor molar específico con presión constante, y el calor molar específico con volumen constante para un gas ideal.

x

y

z

yCH4

N2

He

z

x

FIGURA 19.12 Grados rotacionales de libertad para un átomo de helio (He), una molécula de nitrógeno (N2) y una molécula de metano (CH4).


62919.4 Calor específico de un gas ideal

diente de su movimiento. La energía media por grado de libertad está dada por 12 kBT para cada

molécula de gas.Con el teorema de equipartición (ecuación 19.16), la energía cinética media de un gas monoa-

tómico con temperatura T se calcula como: Kprom = 32 kBT. Esto es consistente con la equipartición

de la energía cinética de traslación de las moléculas entre las tres direcciones (o tres grados de libertad), x, y y z. La energía cinética de traslación tiene tres grados de libertad, la energía cinética media por grado de libertad de traslación es 1

2 kBT, y la energía cinética media de las moléculas de gas está dada por 3 1

232

k T k TB B=( ) .De este modo, el calor molar específico con volumen constante pronosticado por la teoría

cinética para gases monoatómicos que cuentan con tres grados de libertad para el movimiento de traslación, es consistente con la realidad. Sin embargo, los calores molares específicos observados con volumen constante son más altos para gases diatómicos que para gases monoatómicos. Para gases poliatómicos, los calores molares específicos observados son incluso más altos.

Calor específico con volumen constante para un gas diatómicoLa molécula de nitrógeno en la figura 19.12 está alineada a lo largo del eje x. Si observamos a lo largo del eje x a la molécula, vemos un punto y por ende no podemos discernir ninguna rotación alrededor del eje x. Sin embargo, si observamos a lo largo del eje y o z, podemos ver que la mo-lécula de nitrógeno puede tener un movimiento rotacional visible alrededor de cualquiera de estos dos ejes. Por lo tanto, hay dos grados de libertad para la energía cinética rotacional de la molécula de nitrógeno y, por extensión, todas las moléculas diatómicas. Por ende, la energía cinética media por molécula diatómica es 3 2 1

252

+( )( )k T k TB B= .Este resultado supone que el cálculo del calor molar específico con un volumen constante

para un gas diatómico deberá ser similar al cálculo para un gas monoatómico, pero con dos gra-dos de libertad adicionales para la energía media. De esta manera modificamos la ecuación 19.20 para obtener el calor molar específico con volumen constante para un gas diatómico:

C R RV = = = J/ mol K = J/ m3 22

52

52

8 31 20 8+ ( )

. . ool K( ).

Si comparamos este valor con los calores molares específicos reales medidos con volumen cons-tante dados en la tabla 19.2 para los gases diatómicos ligeros hidrógeno, nitrógeno y oxígeno, vemos que esta predicción de la teoría cinética de gases ideales concuerda de manera razonable con estas mediciones.

Calor específico con volumen constante para un gas poliatómicoAhora vamos a considerar el gas poliatómico metano (CH4) que se muestra en la figura 19.12. La molécula de metano está compuesta por cuatro átomos de hidrógeno ordenados en un tetraedro, enlazados a un átomo de carbono en el centro. Al observar a lo largo de cualquiera de los tres ejes, podemos discernir la rotación de esta molécula. Por lo tanto, esta molécula particular y todas las moléculas poliatómicas tienen tres grados de libertad relacionados con la energía cinética rotacional.

Por ende, el cálculo del calor molar específico con volumen constante para un gas poliató-mico deberá ser similar al cálculo para un gas monoatómico, pero con tres grados de libertad adicionales para la energía media. Modificamos la ecuación 19.20 para obtener el calor molar específico con volumen constante para un gas poliatómico:

C R RV = = = J/ mol K = J/ mo3 32

62

3 8 31 24 9+ ( )

. . ll K( ).

Si comparamos este valor con los calores molares específicos reales medidos con volumen cons-tante dados en la tabla 19.2 para el gas poliatómico de metano, vemos que el valor pronosticado por la teoría cinética de los gases ideales es cerca de, pero algo más bajo, que el valor medido.

Lo que explica las diferencias entre valores pronosticados y reales de los calores molares espe-cíficos para moléculas diatómicas y poliatómicas es el hecho de que estas moléculas pueden tener grados de libertad internos, además de grados de libertad de traslación y rotación. Los átomos de estas moléculas pueden oscilar uno con respecto al otro. Por ejemplo, imagine que los dos átomos de oxígeno y un átomo de carbono de una molécula de dióxido de carbono estén conectados por resortes. Los tres átomos podrían oscilar hacia adelante y atrás uno con respecto al otro, lo que corresponde a grados extra de libertad. El calor molar específico de un volumen constante sería entonces más grande que los 24.9 J/(mol K) pronosticados para un gas poliatómico.



Se requiere cierta energía mínima para excitar el movimiento de oscilación interna en mo-léculas. Este hecho no se puede entender desde el punto de vista de la mecánica clásica. Por ahora, todo lo que usted necesita saber es que se observa un efecto de umbral para grados de libertad vibracionales. De hecho, los grados de libertad rotacionales de moléculas de gas diatómicas y poliatómicas también muestran este efecto de umbral. En temperaturas bajas, la energía interna del gas podrá ser demasiado baja para facilitar la rotación de las moléculas. Sin embargo, con temperatura y presión estándares, la mayoría de los gases diatómicos y poliatómicos ligeros tienen un calor molar específico con volumen constante que es consistente con los grados de libertad de traslación y rotación de sus moléculas.

Proporción de calores específicosFinalmente calculamos el cociente del calor específico con presión constante con el calor especí-fico de volumen constante. Este cociente se llama coeficiente de dilatación adiabática y por conven-ción se simboliza con la letra griega :

≡CC

p

V. (19.24)

Si sustituimos los valores pronosticados para los calores específicos de gases ideales con dife-rentes grados de libertad nos da = Cp/CV = 5

2 R/ 32 R = 5

3 para gases monoatómicos, = Cp/CV = 72 R/ 5

2 R = 75 para gases diatómicos y = Cp/CV = 8

2 R/ 62 R = 4

3 para gases poliatómicos.La tabla 19.2 también contiene valores para obtenidos de datos empíricos. Los valores

empíricos de los calores específicos para los gases, salvo los gases nobles, no son muy cercanos a los valores calculados para un gas ideal; sin embargo, los coeficientes de dilatación adiabática sí cumplen bien nuestras expectativas teóricas.

19.5 Procesos adiabáticos para un gas idealComo vimos en el capítulo 18, en un proceso adiabático el estado de un sistema puede cambiar en ausencia de un intercambio de calor con el entorno. Un proceso adiabático puede ocu-rrir cuando el cambio de sistema se realiza rápidamente. Por lo tanto, Q = 0 para un proceso adiabático. Desde la primera ley de la termodinámica tenemos entonces Eint = –W, como se demostró en el capítulo 18.

Vamos a analizar cómo el cambio de volumen está relacionado con el cambio de presión de un gas ideal cuando ocurre un proceso adiabático; es decir, un proceso en ausencia de un flujo de calor. La relación está dada por

pV γ = constante (en un proceso adiabático), (19.25)

donde = Cp/CV es el coeficiente de dilatación adiabática que se calcula como cociente entre el calor específico a presión constante y el calor específico a volumen constante del gas ideal.

DEDUCCIÓN 19.3 Presión y volumen en un proceso adiabático

A fin de derivar la relación entre presión y volumen para un proceso adiabático, vamos a con-templar pequeños cambios diferenciales en la energía interna durante este tipo de proceso: dEint = –dW. En el capítulo 18 vimos que dW = p dV, y por ende para el proceso adiabático tenemos

dE pdVint – .= (i)

Sin embargo, la ecuación 19.21 dice que la energía interna depende nada más de la temperatura, si suponemos que N sea constante: Eint = nCVT. Puesto que queremos calcular dEint, tomamos la derivada de esta ecuación con respecto a la temperatura: dE nC dTVint .= (ii)

La combinación de las ecuaciones (i) y (ii) para dEint nos da entonces – .pdV nC dTV= (iii)

19.6 Ejercicio en claseEl cociente de calor específico a presión constante con el calor específico a volumen constante Cp/CV, para un gas ideal

a) siempre es igual a 1.

b) siempre es menor que 1.

c) siempre es mayor que 1.

d) puede ser menor o mayor que 1, dependiendo de los grados de libertad de las moléculas de gas.


63119.5 Procesos adiabáticos para un gas ideal

Podemos tomar la derivada total de la ley de los gases ideales (ecuación 19.7), pV = nRT (con n y R constantes):

pdV V dp nRdT+ = . (iv)

Al resolver la ecuación (iii) para dT y sustituir esta expresión en la ecuación (iv) nos da

pdV V dp nR pdVnCV

+

= – .

Ahora podemos recabar los términos con proporción a dV del lado izquierdo, lo que da

1 0+

+R

CpdV V dp

V= . (v)

Puesto que R = Cp – CV de la ecuación 19.23, vemos que 1 + R/CV = 1 + (Cp – CV)/CV = Cp/CV. La ecuación 19.24 define el coeficiente de dilatación adiabática . Con esto, la ecuación (v) se vuelve p dV + V dp = 0. La división de ambos lados entre pV nos deja finalmente escribir

dpp

dVV

+ = 0.

La integración da entonces ln lnp V+ = constante. (vi)

Con las reglas de los logaritmos, la ecuación (vi) también se simplifica y obtenemos: ln(pV) = constante. Podemos exponenciar ambos lados de esta ecuación para obtener el resultado de-seado:

pV γ = constante.

Otra manera de escribir la relación entre presión y volumen para un proceso adiabático invo-lucrando un gas ideal en la lengua matemática es:

p V p Vf f i i= (para un proceso adiabático),γ γ (19.26)

donde pi y Vi son presión y volumen iniciales, respectivamente, y pf y Vf son presión y volumen finales, respectivamente.

La figura 19.13 grafica el comportamiento de un gas durante tres diferentes procesos como función de presión y volumen. La curva roja representa un proceso adiabático, en el que pV es constante, para un gas monoatómico con = 5

3 . Las otras dos curvas representan procesos isotér-micos (constante T). Un proceso isotérmico ocurre en T = 300 K, y el otro ocurre en T = 400 K. El proceso adiabático muestra un decremento más empinado en presión como función del volumen que los procesos isotérmicos.

Podemos escribir una ecuación que enlaza la temperatura y el volumen de un gas en un proceso adiabático mediante la combinación de la ecuación 19.25 y la ley de los gases ideales (ecuación 19.7):

= =pV nRTV

V nR TV = constante.( ) –1⎧⎩

⎫⎭

Suponiendo que el gas esté en un recipiente cerrado, n es constante, y podemos reescribir esta relación como TV–1 = constante (para un proceso adiabático) o

T V TVf f i i= (para un proceso adiabático)γ γ– –1 1 ,, (19.27)

donde Ti y Vi son temperatura y volumen inicial, respectivamente, y Tf y Vf son temperatura y volumen final, respectivamente.

Una expansión adiabática como la que describe la ecuación 19.27 ocurre cuando se abre un recipiente que contiene una bebida fría con gas. El dióxido de carbono de la carbonación y el vapor de agua crean un gas con una presión arriba de la presión atmosférica. Cuando este gas se expande y una parte sale de la apertura del recipiente, el sistema tiene que hacer trabajo. Puesto que el pro-

30

20

10

00 0.60.4

T = 400 KT = 300 K

Adiabática

0.2

p (k

Pa)

V (m3)

FIGURA 19.13 Gráfica del comportamiento de un gas monoatómico durante tres diferentes procesos en un diagrama pV. Un proceso es adiabático (rojo). El segundo proceso es isotérmico con T = 300 K (verde). El tercer proceso es también isotérmico con T = 400 K(azul).

19.7 Ejercicio en claseUn gas ideal monoatómico ocupa el volumen Vi, que luego se reduce a 1

2Vi siguiendo

un proceso adiabático. ¿Qué relación es correcta para la presión de este gas?

a) pf = 2pi

b) pf = 12pi

c) pf = 25/3pi

d) pf = ( 12)5/3pi

19.8 Ejercicio en claseUn gas ideal monoatómico ocupa el volumen Vi, que luego

es reducido a 12Vi siguiendo un

proceso adiabático. ¿Qué relación es correcta para las temperaturas de este gas?

a) Tf = 22/3Ti

b) Tf = 25/3Ti

c) Tf = ( 12)2/3Ti

d) Tf = ( 12)5/3Ti



TiVi

TfVf

b)a) c)

ceso sucede muy rápidamente, no hay tiempo para transferir calor al gas; por lo tanto, el proceso es adiabático, y el producto de la temperatura y el volumen elevado a la potencia –1 permanece constante. El volumen del gas aumenta, y la temperatura debe reducirse. Por ende, la condensa-ción, que se percibe como una pequeña neblina, ocurre alrededor de la apertura del recipiente.

PROBLEMA RESUELTO 19.1 Bomba para inflar neumáticos de bicicleta

Una bomba de aire de operación manual [figura 19.14a)] se usa para inflar el neumático de una bicicleta. La bomba de aire consiste en un cilindro con pistón. La bomba está conectada al neumático me-diante una pequeña manguera. Hay una válvula entre la bomba y el neumático que permite que el aire entre en el neumático, pero no pueda salir. Además hay otra válvula que permite que el aire entre a la bomba del entorno después de que termine la carrera de compresión y el pistón regresa a su posición original. La figura 19.14b) muestra la bomba y el neumático antes de la compresión. La figura 19.14c) muestra el pistón y la llanta después de la compresión.

El radio interno del cilindro de la bomba es rp = 1.00 cm, la altura del volumen activo antes de la carrera de compresión es de hi = 60.0 cm, y después de la carrera de compresión disminuye a hf = 10.0 cm. El neumático puede ser considerado como un anillo cilíndrico con radio interior r1 = 66.0 cm, radio exterior r2 = 67.5 cm y espesor t = 1.50 cm. La temperatura del aire en la bomba y el neumático antes de la carrera de compresión es Ti = 295 K (22 °C).

PROBLEMA¿Cuál es la temperatura Tf, del aire después de una carrera de compresión?

SOLUCIÓN

P I E N S EEl volumen y la temperatura del aire antes de la carrera de compresión son Vi y Ti, respectiva-mente, y el volumen y la temperatura del aire después de la carrera de compresión son Vf y Tf, respectivamente. La carrera de compresión toma lugar con rapidez, así que no hay tiempo para transferir calor hacia dentro o hacia fuera del sistema, y este proceso se puede tratar como un proceso adiabático. El volumen del aire en la bomba se reduce cuando se empuja la manija de la bomba mientras que el volumen del aire en el neumático permanece constante.

E S B O C ELas dimensiones de la bomba de aire y el neumático se muestran en la figura 19.15.

FIGURA 19.15 a) Dimensiones de la bomba de aire antes de la carrera de compresión. b) Dimensiones de la bomba de inflar después de la carrera de compresión. c) Dimensiones del neumático de bicicleta.

TiVi

TfVf

hi

hf

rp

r1

r2

t

rp

a) b) c)

FIGURA 19.14 a) Una bomba de aire manual utilizada para inflar un neumático de bicicleta. b) La bomba y el neumático antes de la carrera de compresión. c) La bomba y el neumático después de la carrera de compresión.


63319.5 Procesos adiabáticos para un gas ideal

I N V E S T I G U EEl volumen de aire en el neumático es

( )V t r rneumático = 22

12– .

El volumen de aire en la bomba antes de la carrera de compresión es V r hbomba,i p i= 2 .

El volumen de aire en la bomba después de la carrera de compresión es V r hbomba,f p f= 2 .

El volumen inicial de aire en el sistema de bomba-neumático es Vi = Vbomba,i + Vneumático, y al terminar la carrera de compresión es Vf = Vbomba,f + Vneumático. Despreciamos el volumen de aire en la manguera entre la bomba y el neumático.

Este proceso es adiabático, así que podemos usar la ecuación 19.27 para describir el sistema antes y después de la carrera de compresión:

T V TVf f i i= – – .1 1 (i)

S I M P L I F I Q U EPodemos resolver la ecuación (i) para la temperatura final:

T T VV

T VVf i

i

fi

i

f= =

–

–

–

.1

1

1

Luego podemos insertar las expresiones para el volumen inicial y el volumen final:

T Tr h t r r

r h t r rf i

p i

p f

=

222

12

222

12

+ ( )+ ( )

–

–

+ ( )–

–1

222

12

=p i

Tr h t r r

ri

pp2

fh t r r+ ( )

22

12

1

–.

–

C A L C U L EEl aire consiste principalmente en gases diatómicos (78% N2 y 21% O2, vea la tabla 19.1), así que usamos = 7

5 , de la sección 19.4. Al sustituir los valores numéricos, obtenemos

Tf = Km m m

2950 0100 0 600 0 0150 0

2

( )( ) ( )+( ). . . .6675 0 660

0 0100 0

2 2

2

m m

m

( ) ( )

( )

– .

. .1100 0 0150 0 675 0 6602 2

m m m m( )+( ) ( ) ( ). . – .

( / )–7 5 1

= 313..162 K.

R E D O N D E EReportamos nuestro resultado con tres cifras significativas:

Tf = K.313

V U E LVA A R E V I SA RLa razón entre el volumen inicial y final del sistema bomba-neumático es:

VV

i

f=1 16. .

Durante la carrera de compresión, la temperatura del aire aumenta de 295 K a 313 K, así que la proporción de la temperatura final a la temperatura inicial es

TT

f

i= K

295 K=313 1 06. ,

lo cual parece razonable porque la temperatura final deberá ser igual a la temperatura inicial, multiplicado por la proporción del volumen inicial y final elevado a la potencia –1: (1.16)–1 = 1.160.4 = 1.06. Si usted oprime el pistón muchas veces en un periodo corto, cada carrera de compresión aumentará la temperatura del aire en el neumático por aproximadamente 6%. Por lo tanto, el aire en el neumático y en la bomba se vuelve más caliente conforme se infla el neumático.



Trabajo hecho por un gas ideal en un proceso adiabáticoTambién podemos encontrar el trabajo realizado por un gas que experimenta un proceso adiabá-tico desde un estado inicial hasta un estado final. En general, el trabajo está dado por

W pdV=i

f

∫ .

Para un proceso adiabático podemos usar la ecuación 19.25 para escribir p = cV – (donde c es constante), y con esto la integral que determina el trabajo se vuelve:

W cV dV c V dV c V

V

V

V

V

= = =

i

f

i

f

– ––

–

∫ ∫

1

1 ( )

V

Vc V V

i

f

=1 f

1–i1–

–– .

La constante c tiene el valor c = pV . Usando la ley de gases ideales en la forma p = nRT/V, tenemos

c nRTV

V nRTV= =

– .1

Ahora sustituimos esta constante en la expresión que hemos obtenido en resolver la integral y usamos la ecuación 19.27. Finalmente encontramos el trabajo hecho por un gas experimentando un proceso adiabático: W nR T T=

1 f i–– .

( ) (19.28)

19.6 La teoría cinética de los gasesComo se prometió antes, en la introducción del teorema de equipartición, en esta sección, cono-cerá algunos resultados adicionales importantes de la teoría cinética de los gases.

Distribución de rapidez de MaxwellLa ecuación 19.17 nos da la rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de un gas con una temperatura dada. Ésta es una rapidez media, pero ¿cuál es la distribución de rapidez? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de que una molécula de gas tenga alguna velocidad dada entre v y v+dv? La distribución de rapidez de Maxwell, o a veces también llamada la distribución de rapidez de Maxwell-Boltzmann, está dada por

f v mk T

v e mv k T( )

−=B

B42

3 22 22

// . (19.29)

Las unidades de esta distribución son (m/s)–1. Como se requiere para una distribución de proba-bilidad, la integración de esta distribución de todas las velocidades v con respecto a dv nos da 1:

f v dv( )∫01

∞= .

Una característica muy importante de distribuciones de probabilidad para cantidades obser-vables, como la de la ecuación 19.29 para la rapidez molecular es que todos los promedios que se pueden deducir de ellas se calculan simplemente multiplicando la cantidad a promediar por la dis-tribución de probabilidad e integrando a través del rango entero. Por ejemplo, podemos obtener la rapidez media de la distribución de rapidez de Maxwell mediante la multiplicación de la rapidez v por la distribución de probabilidad f(v) e integrando este producto vf(v) a través de todos los valores posibles desde cero hasta el infinito. La rapidez media se da entonces por

v vf v dv k Tmmedia

∞B= =( )∫0

8 ,

donde usamos la integral definida x e dx ax a3 222– / /=

0

∞

∫ al integrar.

Para encontrar la rapidez de la raíz media cuadrática para la distribución de Maxwell, tene-mos que hallar primero la rapidez de la media cuadrática:

v v f v dv k Tm

2 2

0

3( ) ( )∫media

∞B= = ,


Demuestre de manera explícita que la integración de la distribución de rapidez de Maxwell de v = 0 a v = ∞ nos da 1, como se requiere para una distribución de probabilidad.


63519.6 La teoría cinética de los gases

donde empleamos la integral definida x e dx ax a4 38

5 22– / / .0

∞=∫ Luego tomamos la raíz cuadrada:

v v k Tmrms

mediaB= =2 3( ) .

Como se pide, esto coincide con la ecuación 19.17 para la rapidez media cuadrática de moléculas en un gas ideal.

La velocidad más probable de la distribución de Maxwell —es decir, el valor en el cual f(v) tiene un máximo— se calcula al igualar la derivada de f (v) con cero y despejar el resultado por la velocidad v; este procedimiento nos da:

v k Tmmp

B= 2 .

La figura 19.16 muestra la distribución de rapidez de Maxwell para moléculas de nitrógeno (N2) en el aire, a una temperatura de 295 K (22 °C), con la rapidez más probable, media y la rapi-dez de la raíz media cuadrática, indicadas por flechas. Usted puede observar en la figura 19.16 que las rapideces de las moléculas de nitrógeno están distribuidas alrededor de la rapidez media, vmedia. Sin embargo, la distribución no es simétrica alrededor de vrms. Una cola en la distribución se extiende a velocidades altas. Usted también puede comprobar que la rapidez más probable corresponde al máximo de la distribución.

La figura 19.17 muestra la distribución de rapidez de Maxwell para moléculas de nitrógeno a cuatro diferentes temperaturas. Cuando se incrementa la temperatura, la distribución de rapi-deces de Maxwell se amplía. El valor máximo de f (v) disminuye cuando la temperatura aumenta, porque el área total debajo de la curva siempre es 1; una condición que toda distribución de pro-babilidad tiene que cumplir.

Además, a una temperatura dada, la distribución de Maxwell para partículas más ligeras es más amplia y tiene más de una cola de rapideces altas que la de átomos o moléculas más pesa-dos (figura 19.18). La figura 19.18a) muestra las distribuciones de rapideces de Maxwell para moléculas de hidrógeno y nitrógeno graficadas en una escala logarítmica a una temperatura de 22 °C, típica para la superficie terrestre. El hecho de que esta curva no tiene cola de alta velocidad es importante para la composición de la atmósfera terrestre. Como hemos visto en el capítulo 12, la rapidez de escape, ve, para cualquier objeto cerca de la superficie de la Tierra es de 11.2 km/s. Por lo tanto, cualquier molécula de aire que tiene por lo menos esta rapidez de escape puede salirse de la atmósfera terrestre. El hecho de que no haya una cola en la distribución para altas rapideces significa que no hay moléculas de aire que puedan escapar al espacio. Sin embargo, el gas hidrógeno es ligero en comparación con los otros gases en la atmósfera de la Tierra y tiende a moverse hacia arriba. La temperatura de la

FIGURA 19.16 Distribución de la rapidez de Maxwell para moléculas de nitrógeno a una temperatura de 295 K graficada en una escala lineal.

0.002

0.001

00 1 200

Moléculas de N2

T = 295 K

800400

f (v)

((m

/s)–1

)

v (m/s)

vrms

vmediavmp

FIGURA 19.17 Distribución de rapidez de Maxwell para moléculas de N2 a cuatro diferentes temperaturas.

FIGURA 19.18 Distribuciones de rapideces de Maxwell para moléculas de hidrógeno y de nitrógeno en la atmósfera de la Tierra, graficadas en una escala logarítmica: a) a una temperatura de 22 °C; b) a una temperatura de 1 500 °C.



atmósfera de la Tierra depende de la altitud. A una altitud de 100 km sobre la superficie, la atmós-fera de la Tierra empieza a estar muy caliente y puede llegar a temperaturas de 1 500 °C. Esta capa de la atmósfera se llama termosfera.

La figura 19.18b) muestra las distribuciones de rapideces de Maxwell para moléculas de hidrógeno y nitrógeno graficadas en una escala logarítmica a una temperatura de 1 500 °C. Pode-mos calcular la fracción de moléculas de hidrógeno que tendrán una rapidez más alta que la velo-cidad de escape, si calculamos la integral de la distribución de Maxwell sobre todas las rapideces mayores o iguales a esta velocidad:

Fracción de H con rapidez mayor que la velo2 ccidad de escape = = 10= km/s

∞–4f v dv

v

( ) ⋅∫11 2

6.

== 0 06. %.

Sólo una pequeña fracción de las moléculas de hidrógeno en la termosfera tiene rapideces arriba de la rapidez de escape. Las moléculas de hidrógeno con rapideces arriba de la rapidez de escape pueden salir al espacio. Las moléculas de hidrógeno, que se quedan atrás, tienen la misma tempe-ratura que el resto de la termosfera, y la distribución de rapidez reflejará esta temperatura. Por lo tanto, a través del tiempo en la escala geológica, la mayoría de las moléculas de hidrógeno en la atmósfera de la Tierra suben a la termosfera y finalmente salen de la Tierra.

¿Qué pasa en el resto de la atmósfera, que consiste principalmente de nitrógeno y oxígeno? Prácticamente ninguna molécula de nitrógeno tiene una rapidez arriba de la rapidez de escape. Si suponemos la temperatura de 1 500 °C, la razón entre la probabilidad de encontrar una molé-cula de nitrógeno entre moléculas del mismo gas con una velocidad arriba de 11.2 km/h y la probabilidad de encontrar una molécula de hidrógeno entre moléculas del mismo gas arriba del mismo umbral de velocidades es de 3 · 10–48. Puesto que la atmósfera completa tiene una masa de 5 · 1018 kg y contiene aproximadamente 1044 moléculas de nitrógeno, puede ver que virtualmente ninguna molécula de nitrógeno tiene una rapidez arriba de la de escape. Por ende, hay muy poco hidrógeno en la atmósfera de la Tierra, mientras que el nitrógeno y gases más pesados (oxígeno, argón, dióxido de carbono, neón, etcétera) permanecen en la atmósfera de manera permanente.

Distribución de energía cinética de MaxwellComo se puede hallar una distribución de rapidez, también se puede encontrar la distribución de energía cinética. La distribución de energía cinética de Maxwell (a veces llamada distribución de energía cinética de Maxwell-Boltzmann) describe los espectros de energía de moléculas de gas y está dada por g K

k TKe K k T( )

−=B

B2 1

3 2

// . (19.30)

El valor de la distribución para energías cinéticas K dentro de un margen de dK da la probabilidad de observar una molécula de gas con una energía cinética entre K y K + dK. La integración de esta

distribución con respecto a dK da 1: g K dK( )∫01

∞= , como se requiere para toda distribución de

probabilidad. La unidad de esta distribución es J–1.La figura 19.19 muestra la distribución de energía cinética de Maxwell para moléculas de

nitrógeno a una temperatura de 295 K. Las energías cinéticas de las moléculas de nitrógeno están distribuidas alrededor de la energía cinética media. Igual que la distribución de rapideces de Maxwell la distribución de energía cinética de Maxwell no es simétrica alrededor de Kmedia y tiene una cola significativa con energías cinéticas altas. Esta cola de energía cinética alta contiene infor-mación sobre la temperatura del gas.

La figura 19.20 muestra la distribución de energía cinética de Maxwell de moléculas de nitró-geno a dos temperaturas, T = 295 K y T = 1 500 K. La distribución de energía cinética a T = 1 500 K es mucho más plana y extiende a energías cinéticas mucho más altas que la distribución de energía cinética a T = 295 K. La cola de energía cinética alta para T = 295 K en la figura 19.20 se acerca a una simple distribución exponencial de energía cinética con una pendiente de –1/kBT, donde T = 295 K, como se ilustra mediante la línea interrumpida.

Observe que las expresiones dadas aquí para las distribuciones de rapideces y de energías cinéticas de Maxwell no toman en cuenta los efectos explicados por la teoría de la relatividad. Por ejemplo, la distribución de rapidez se extiende hasta velocidades infinitas, aunque ningún objeto puede viajar más rápido que la velocidad de la luz. Sin embargo, las velocidades relevantes para gases ideales son pequeñas en comparación con la rapidez de la luz. La rapidez más alta que

FIGURA 19.19 Distribución de energía cinética de Maxwell para moléculas de nitrógeno a una temperatura de 295 K, graficada en una escala lineal.

120

80

40

00 302010

g (K

) (10

18 J–1

)

K (10–21 J)

Moléculas de N2

Kmedia

FIGURA 19.20 Distribución de energía cinética de Maxwell para moléculas de nitrógeno a T = 295 K y T = 1 500 K, graficada en una escala logarítmica.



se muestra en la figura 19.18 es v = 1.5 · 104 m/s (para el gas de hidrógeno con la temperatura de T = 1 500 K), que es apenas el 0.005% de la rapidez de la luz. Las distribuciones de la rapidez y de la energía cinética de Maxwell también se basan en la suposición de que las moléculas del gas no interactúan. Si las moléculas de gas interactúan, entonces hay que analizar si éstas todavía se aproximan con precisión suficiente al comportamiento real. Para moléculas de gas que se mueven en la atmósfera de la Tierra, la suposición de no interacción se puede justificar ya que muchas de las propiedades de la atmósfera terrestre pueden describirse usando como base la distribución de rapideces de Maxwell y la distribución de la energía cinética de Maxwell.

EJEMPLO 19.5 Temperatura del plasma de quark-gluones

La medición de la distribución de energía cinética de los elementos de un gas puede revelar la temperatura del gas. Esta técnica se usa en muchos experimentos científicos, incluyendo el estudio de gases que consisten en partículas y núcleos elementales. La figura 19.21 muestra por ejemplo las distribuciones de energía cinética de antiprotones y piones que salen como productos de colisiones entre iones pesados de núcleos de oro con velocidades relativistas. Los datos generados en experimentos de la colaboración “STAR” se muestran como puntos rojos. Como el aparato experimental no puede detectar energías debajo de cierto umbral, no hay datos en este rango. Las líneas azules representan los mejores ajustes para los datos, usando la ecuación 19.30 con el valor de mejor ajuste para la temperatura T. Se extrajeron valores de kBT = 6.71 · 10–11 J = 417 MeV para los antiprotones y kBT = 3.83 · 10–11 J = 238 MeV para los piones, lo que significa que las temperaturas de los antiprotones y piones son de 4.86 · 1012 K y 2.77 · 1012 K, respectivamente. (¡Estas temperaturas son varios cientos de millones de veces más altas que la temperatura de la superficie del Sol!) Con estas observaciones (entre otras) los investigadores pueden deducir que un plasma de quark-gluones con una temperatura de 2 · 1012 K se creó para un tiempo fugaz de aproximadamente 10–22 s en las colisiones.

Nota: Como las colisiones de los núcleos de oro son eventos explosivos la conexión entre la temperatura del plasma de quark-gluones y de los valores de temperatura extraídos de las dis-tribuciones de energía de partículas no es tan sencilla. También hay que mencionar que un gas ideal no es el modelo correcto. Además, las energías cinéticas en la figura 19.21 se determinaron mediante fórmulas que cumplen las exigencias de la física relativista. No obstante, es asombroso el grado hasta donde la energía cinética observada sigue a la distribución de Maxwell.

FIGURA 19.21 a) El acelerador de partículas “Relativistic Heavy Ion Collider” del Brookhaven National Laboratory tiene la forma de un anillo con una circunferencia de 3.83 km. Datos experimentales sobre la distribución de energía cinética de b) antiprotones y c) piones, producidos en colisiones de núcleos de oro. Durante los breves momentos que existen, estas colisiones son por mucho el lugar más caliente del sistema solar. El estado de materia que se genera en el momento del choque se llama plasma de quark-gluones. Se cree que durante una fracción de un segundo después del Big Bang la materia tenía este estado de agregación. Las líneas azules representan ajustes a las distribuciones de energía cinética usando la ecuación 19.30.

0 500

g (K

) (10

3 val

e/M

eV)

K (MeV)400300200100

6

4

2

b)

0 500

g (K

) (10

5 val

e/M

eV)

K (MeV)400300200100

2

1

0

c)

AntiprotonesPiones

a)



Para terminar esta subsección, vamos a contemplar la fusión nuclear en el centro del Sol. Esta fusión nuclear es la fuente de energía que causa toda la radiación solar y con eso permite la vida terrestre. La temperatura en el centro del Sol es de aproximadamente 1.5 · 107 K. Con-forme a la ecuación 19.16, la energía cinética media de los iones de hidrógeno en el centro del Sol es de 3

2 kBT = 3.1 · 10–16 J = 1.9 keV. Sin embargo, para que dos átomos de hidrógeno expe-rimenten una fusión nuclear, se tienen que acercar lo suficientemente entre sí para superar su mutua repulsión electrostática. La mínima energía requerida para superar la repulsión elec-trostática es del orden de 1 MeV, o más que quinientas veces más alta que la energía cinética media de los iones de hidrógeno en el centro del Sol. Por lo tanto, sólo iones de hidrógeno en la cola extrema de la distribución de Maxwell tienen la energía suficiente para participar en reacciones de fusión.

Camino libre medioUna de las suposiciones de un gas ideal es que las moléculas de éste son partículas puntuales que no interactúan entre sí. En cambio las moléculas de gases reales sí tienen tamaños (muy peque-ños, pero no cero) y por lo tanto chocan entre sí. Las colisiones de moléculas de gases entre sí producen un efecto de dispersión que causa que el movimiento sea aleatorio. Si perturbamos en un momento la distribución de velocidades de Maxwell, por las colisiones, el gas regresará extre-madamente rápido a la distribución anterior.

¿Qué camino recorren regularmente las moléculas de un gas real hasta que chocan contra otra molécula del mismo gas? Esta distancia media se llama el camino libre medio , de las molé-culas de un gas. El camino libre medio es proporcional a la temperatura e inversamente propor-cional a la presión del gas y el área de sección transversal de la molécula:

= Bk T

r p2 4 2( ). (19.31)

DEDUCCIÓN 19.4 Camino libre medio

Para estimar el camino libre medio empezamos con la definición geométrica de una sección transversal para la dispersión. Supongamos que todas las moléculas en el gas sean esferas con el radio r. Si en sus trayectorias dos moléculas se acercan y se tocan, tendrán una colisión elástica, en la que se conserva el momento total y la energía cinética total (vea el capítulo 7). Vamos a imaginar que una molécula de gas en movimiento encuentre otra molécula de gas en reposo, como se muestra en la figura 19.22a).

El parámetro de impacto b, como se muestra en la figura 19.22a), es la distancia perpen-dicular entre dos líneas que conectan los centros de las dos moléculas, y que está orientada paralelamente a la dirección de la velocidad de la molécula en movimiento. La molécula en mo-vimiento colisionará con la molécula estacionaria si b ≤ 2r. De este modo la sección transversal para la dispersión está dada por un círculo con el área A r r= = 2 4

2 2( ) ,

como se ilustra en la figura 19.22b). En un espacio de tiempo t, moléculas con la rapidez media v barren en su camino un volumen de: V A vt r vt r vt= = =( ) ( )( )4 42 2 ,

como se muestra en la figura 19.22c). Por lo tanto, este camino libre medio , es la distancia que recorre la molécula en el periodo t dividida entre el número de colisiones con otras mo-léculas con las que va a colisionar en esta distancia. El número de moléculas que la molécula va a encontrar es simplemente el volumen barrido multiplicado por el número de moléculas por unidad de volumen nV. El camino libre medio es entonces

= = =vtVn

vt

r vt n r nV V V4

1

42 2( ) ( ).

Este resultado necesita ser modificado porque supusimos que una molécula en movimiento cho-cara con una molécula estacionaria. En un gas ideal, todas las moléculas están en movimiento, así que tenemos que usar la velocidad relativa, vrel, entre las moléculas en lugar de la velocidad media.

FIGURA 19.22 a) Una molécula de gas en movimiento se acerca a una molécula de gas estacionaria con el parámetro de impacto b. b) La sección transversal para la dispersión se representa por un círculo con el radio 2r. c) El volumen barrido por las moléculas dentro del área de sección transversal A en un tiempo t si viaja con la rapidez v .

v

vvt

r

br

2r

c)

b)

a)



(continúa)

Se puede demostrar que vrel = v 2 ; así que el volumen barrido por las moléculas cambia a V = 4r2vrelt = 4r2v t2 . Por ende, la expresión para el camino libre medio se vuelve

= 1

2 4 2r nV( ).

Para gases difusos podemos reemplazar el número de moléculas por unidad de volumen con el valor del gas ideal, usando la ecuación 19.8:

n NV

pk TV = =

B.

El camino libre medio para una molécula en un gas real es entonces:

= =

B

B1

2 4 2 422

r pk T

k T

r p( )

( ).

Ahora que hemos derivado la fórmula para el camino libre medio, será instructivo aplicarlo a un caso real. Vamos a contemplar el gas más importante, la atmósfera de la Tierra. Un gas ideal tiene un camino libre medio “infinitamente” largo en relación con el espaciado entre moléculas del gas. Qué tan cerca un gas real se aproxima al gas ideal está determinado por la proporción del camino libre medio al espaciado intermolecular en el gas. Vamos a ver qué tan cerca está de ser la atmósfera de la Tierra un gas ideal.

EJEMPLO 19.6 El camino libre medio de las moléculas de aire

PROBLEMA¿Cuál es el camino libre medio de una molécula de gas en aire con una presión atmosférica de 101.3 kPa y a una temperatura de 20.0 °C? Puesto que el aire es de 78.1% nitrógeno, vamos a suponer por el bien de la simplicidad que el aire sea 100% nitrógeno. El radio de una molécula de nitrógeno es de aproximadamente 0.150 nm. Compare el camino libre medio con el radio de una molécula de nitrógeno y al espaciado medio entre las moléculas de nitrógeno.

SOLUCIÓNPodemos usar la ecuación 19.31 para calcular el camino libre medio:

=J/K K1 381 10 293 15

2 4 0 150 10

23. .

.

–

–

⋅( )( )

( ) ⋅ 99 2 3

8

101 3 109 99 10

m Pa= m.

( ) ⋅( )⋅

.. –

La razón entre el camino libre medio y el radio molecular es, entonces,

r= m

0.150 10 m=

–99 99 10 666

8. .–⋅

⋅

El volumen por partícula en un gas ideal se puede obtener usando la ecuación 19.8:

VN

k Tp

= B .

El espaciado medio entre moléculas es entonces el volumen medio a la 13 potencia:

VN

k Tp

1 3 1 3 1 381/ / .= =B

⋅⋅( )( )⋅( )

10 293 15

101 3 10

23

3

– .

.

J/K K

Pa

⋅

1 3

93 42 10

/

–.= m.

19.9 Ejercicio en claseEl camino libre medio de una molécula de gas se duplica si _________ se duplica.

a) la temperatura

b) la presión

c) el diámetro de las moléculas de gas

d) ninguna de las anteriores



Por lo tanto, la razón entre el camino libre medio y el espaciado medio entre moléculas es

9 99 103 42 10

29 28

9..

. .–

–⋅

⋅

mm

=

El valor de esta razón demuestra que tratando el aire como un gas ideal es una buena aproxima-ción. La figura 19.23 compara el diámetro de moléculas de nitrógeno, la distancia media entre moléculas y el camino libre medio.

FIGURA 19.23 Dibujo a escala que muestra el tamaño de las moléculas de nitrógeno, el camino libre medio de las moléculas en el gas, y la distancia media entre moléculas.

Moléculas de N2

Distancia media entre moléculas


■ La ley de los gases ideales relaciona la presión p, el volumen V, el número de moles n y la temperatura T de un gas ideal, pV = nRT, donde R = 8.314 J/(mol K) es la constante universal de los gases. (Las leyes de Boyle, Charles, Gay-Lussac y Avogadro son casos especiales de la ley de los gases ideales.)

■ La ley de los gases ideales también se puede expresar como pV = NkBT, donde N es el número de moléculas en el gas y kB = 1.381 · 10–23 J/K es la constante de Boltzmann.

■ La ley de Dalton establece que la presión total ejercida por una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones parciales de los gases en la mezcla:

ptotal = p1 + p2 + p3 + … + pn.

■ El trabajo hecho por un gas ideal a temperatura constante al cambiar de un volumen inicial Vi a un volumen final Vf está dado por W = nRT ln(Vf/Vi).

■ El teorema de equipartición establece que la energía cinética media de traslación de las moléculas de un gas es proporcional a la temperatura: Kmedia = 3

2 kBT. ■ La rapidez de la raíz media cuadrática de las moléculas

de un gas es vrms = 3k T mB / , donde m es la masa de cada molécula.

■ El calor molar específico de un gas con volumen constante, CV, está definido por Q = nCVT, donde Q es el calor, n es el número de moles de gas y T es el cambio de la temperatura del gas.

■ El calor molar específico de un gas con presión constante, Cp, está definido por Q = nCpT, donde Q es el calor, n es el número de moles de gas y T es el cambio de la temperatura del gas.

■ El calor molar específico de un gas con presión constante se relaciona con el calor molar específico de un gas con volumen constante por Cp = CV + R.

■ El calor molar específico de un gas con presión constante es CV = 3

2 R = 12.5 J/(mol K) para un gas monoatómico y CV = 5

2 R = 20.8 J/(mol K) para un gas diatómico.

■ Para un gas que experimenta un proceso adiabático, Q = 0, y las siguientes relaciones son válidas: pV = cons-tante y TV–1 = constante, donde = Cp/CV. Para gases monoatómicos, = 5

3 ; para gases diatómicos, = 75 .

■ La distribución de rapideces de Maxwell está dada por

f(v) = 42

3 22 22m

k Tv e mv k T

B

B−/

/ ,

y f(v) dv describe la

probabilidad de que una molécula tenga una rapidez entre v y v + dv.

■ La distribución de energía cinética de Maxwell está

dada por g Kk T

Ke K k T( )

−=B

B2 1

3 2

// , y g(K) dK

describe la probabilidad de que una molécula tenga una energía cinética entre K y K + dK.

■ El camino libre medio , de una molécula en un gas

ideal está dada por

= Bk T

r p2 4 2( ), donde r es el

radio de la molécula.

(continuación)




gas, p. 615mol, p. 616ley de Boyle, p. 616ley de Charles, p. 616ley de Gay-Lussac, p. 617ley de Avogadro, p. 617número de Avogadro,

p. 617

Kmedia = 32 kBT, energía cinética media de traslación de una

molécula de gas

, el camino libre medio de una molécula en un gas

CV, el calor molar específico de un gas con volumen constante

Cp, el calor molar específico de un gas con presión constante

= Cp/CV, proporción de calores molares específicos


NA = (6.02214179 ± 0.00000030) · 1023, número de Avogadro

pV = nRT, ley de los gases ideales, para el número de moles

pV = NkBT, ley de los gases ideales, para el número de moléculas

R = (8.314472 ± 0.000015) J/(mol K), la constante universal de los gases

kB = (1.38106504 ± 0.0000024) · 10–23 J/K, la constante de Boltzmann

R E S P U E S TA S A O P O R T U N I D A D E S D E A U T O E X A M E N

19.1 Compare Cp con (CV + R)

GasCV

[J/(mol K)]Cp

[J/(mol K)](CV + R)

[J/(mol K)]

Helio (He) 12.5 20.8 20.8

Neón (Ne) 12.5 20.8 20.8

Argón (Ar) 12.5 20.8 20.8

Criptón (Kr) 12.5 20.8 20.8

Hidrógeno (H2) 21.6 28.8 29.9

Nitrógeno (N2) 20.7 29.1 29.0

Oxígeno (O2) 20.8 29.4 29.1

Dióxido de carbono (CO2) 28.5 36.9 36.8

Metano (CH4) 27.5 35.9 35.8

19.2 Utilice la integral definida x e dx ax a2

0

14

3 22– / / .∞

=∫

ley de los gases ideales, p. 617constante universal de los gases,

p. 617constante de Boltzmann,

p. 619ley de Dalton, p. 622presión parcial, p. 622fracción molar, p. 623

teoría cinética del gas ideal, p. 623

teorema de equipartición, p. 624

rapidez de la raíz media cuadrática, p. 624

gas monoatómico, p. 626gas diatómico, p. 627

gas poliatómico, p. 627grado de libertad, p. 628equipartición de energía, p. 628distribución de rapidez de

Maxwell, p. 634distribución de energía cinética

de Maxwell, p. 636camino libre medio, p. 638


Lineamientos para resolución de problemas1. A menudo es útil hacer una lista de todas las cantidades conocidas y desconocidas cuando aplica la ley de los gases ideales, a fin de clarificar qué es lo que tiene y qué es lo que busca. Este paso incluye la identificación de un estado inicial, un estado final y una lista de cantidades para cada estado.2. Si usted se está ocupando con moles de un gas, necesita la forma de la ley de los gases ideales que involucra R. Si está abordando números de moléculas, necesita la forma que in-volucra kB.

3. Ponga mucha atención a las unidades, las cuales se puedan dar en diferentes sistemas. Para temperaturas, la conversión de unidades no sólo involucra constantes multiplicativas; las diferentes escalas de temperatura también son contrarresta-das por constantes aditivas. Para estar seguro, las temperatu-ras siempre se deberán convertir en Kelvin. También asegú-rese de que el valor de R o kB que use sea consistente con las unidades con las que esté trabajando. Además, recuerde que las masas molares se dan usualmente en gramos; posiblemen-te tendrá que convertir las masas a kilogramos.



PROBLEMA RESUELTO 19.2 Densidad de aire con STP

PROBLEMA¿Cuál es la densidad de aire con temperatura y presión estándares (STP)?

SOLUCIÓN

P I E N S ESabemos que un mol de algún gas con temperatura y presión estándares ocupa un volumen de 22.4 L. Conocemos las fracciones relativas de los gases en los que consiste la atmósfera. Po-demos combinar la ley de Dalton, la ley de Avogadro y las fracciónes de gases en el aire para obtener la masa de aire contenida en 22.4 L. La densidad es la masa dividida entre el volumen.

E S B O C EÉsta es una de las raras ocasiones donde un trazo no es útil.

I N V E S T I G U EContemplamos solamente los cuatro gases de la tabla 19.1 que representan una fracción signi-ficativa de la atmósfera: nitrógeno, oxígeno, argón y dióxido de carbono. Sabemos que 1 mol de algún gas tiene una masa de M (en gramos) en un volumen de 22.4 L con STP. Según la ecuación 19.12 sabemos que la masa de cada gas en 22.4 L será la fracción por volumen multiplicada por la masa molecular, así que tenemos m r M r M r M r Maire N N O O Ar Ar CO CO= 2 2 2 2 2 2+ + +

y

ρaireaire

aire

aire= =22.4 L

mV

m .

S I M P L I F I Q U ELa densidad de aire es entonces

ρaire =g + g0 7808 28 0 2095 32 0 0093 40. . .⋅( ) ⋅( )+ ⋅ g g

L( )+ ⋅( )0 00038 44

22 4.

..

C A L C U L ESi calculamos el resultado numérico, obtenemos

ρaire = 0.0218624 kg 0.006704 kg 0.000372 kg+ + +00.00001672 kg

22.4 10 m=1.29264 kg/m

–3 3

3⋅

.


ρaire3= kg/m1 29. .

V U E LVA A R E V I SA RPodemos volver a verificar nuestro resultado mediante el cálculo de la densidad del gas nitró-geno sólo con STP, ya que el aire es 78.08% nitrógeno. La densidad de nitrógeno con STP es

N3

2= g

22.4 L= g/L = kg/m28 0 1 25 1 25. . . .

Este resultado es cercano y levemente más bajo que nuestro resultado para la densidad del aire, así que es razonable.


643

PROBLEMA RESUELTO 19.3 Presión de una nebulosa planetaria

PROBLEMAUna nebulosa planetaria es una nube que consiste principalmente del gas hidrógeno con una densidad, , de 1 000.0 moléculas por centímetro cúbico (cm3) y una temperatura, T, de 10 000 K.Un ejemplo de una nebulosa planetaria, la Nebulosa del Anillo, se muestra en la figura 19.24. ¿Cuál es la presión de gas en la nebulosa?

SOLUCIÓN

P I E N S EDebido a la muy baja densidad del gas en una nebulosa planetaria, el camino libre medio de las moléculas de gas (vea la sección 19.6) es extremadamente largo. Por lo tanto, es una muy buena aproximación tratar la nebulosa como un gas ideal y aplicar la ley de los gases ideales. Conoce-mos la densidad, que es el número de moléculas de gas por unidad de volumen. Podemos reem-plazar en la ley de los gases ideales el producto entre la densidad y el volumen de la nebulosa. Entonces el volumen se cancela y así podemos resolver la presión del gas.

E S B O C EUn trazo aproximado de una nebulosa planetaria se muestra en la figura 19.25.

I N V E S T I G U ELa ley de los gases ideales está dada por

pV Nk T= B , (i)

donde p es la presión, V es el volumen, N es el número de moléculas de gas, kB es la constante de Boltzmann, y T es la temperatura. El número de moléculas N es

N V= , (ii)

donde es el número de moléculas por unidad de volumen en la nebulosa.

S I M P L I F I Q U ESi sustituimos para N según la ecuación (ii) en (i), obtenemos

pV Nk T Vk T= =B B ,

que podemos simplificar para obtener una expresión para la presión del gas en la nebulosa:

p k T= B .

C A L C U L EAl sustituir los valores numéricos, obtenemos

p k T= = 1 000 moléculas

1cm1cm

1B 3

3ρ

00 m

J/K–6 3

⋅( )1 381 10 10 00023. – KK

= Pa.

( )

⋅1 381 10 10. –


p = Pa.1 4 10 10. –⋅

V U E LVA A R E V I SA RPodemos volver a verificar nuestro resultado si lo comparamos con la presión de un buen vacío en un laboratorio en la Tierra, que es plab = 10–7 Pa. Esta presión es aproximadamente 1 000 veces más alta que la presión dentro de una nebulosa planetaria.

Práctica para resolución de problemas

FIGURA 19.25 Una nebulosa planetaria idealizada.

FIGURA 19.24 La Nebulosa del Anillo como se ve mediante el Telescopio Espacial Hubble.




19.1 Un sistema puede ir de un estado i al estado f como se muestra en la figura. ¿Qué relación es verídica?a) QA > QB

b) QA = QB

c) QA < QB

d) Es imposible decidir a partir de la información dada.19.2 Un neumático en un vehículo es inflado hasta una pre-sión manométrica de 32 lb/in2 a una temperatura de 27 °C. Después de que el vehículo se haya manejado durante 30 mi, la presión ha aumentado a 34 lb/in2. ¿Cuál es la temperatura en el interior del neumático en este momento?a) 40 °C b) 23 °C c) 32 °C d) 54 °C19.3 El calor molar específico con la presión constante, Cp, es mayor que el calor molar específico con un volumen cons-tante, CV, paraa) un gas ideal monoató-mico.b) un gas ideal diatómico.

c) los dos gases anteriores.d) ninguna de las respuestas anteriores.

19.4 Un gas ideal se puede expandir desde una presión ini-cial, pi, y un volumen, Vi, hasta un volumen final, Vf, de ma-nera isotérmica, adiabática o isobárica. ¿Para qué tipo de pro-ceso el calor transferido al gas es más grande? (Suponga que pi, Vi y Vf son los mismos para cada proceso.)a) Proceso isotérmicob) Proceso adiabáticoc) Proceso isobárico

d) Todos los procesos tie-nen el mismo flujo de calor.

19.5 ¿Cuál de los siguientes gases tiene la mayor rapidez de la raíz media cuadrática?a) Nitrógeno con 1 atm y 30 °C.b) Argón con 1 atm y 30 °C.c) Argón con 2 atm y 30 °C.

d) Oxígeno con 2 atm y 30 °C.e) Nitrógeno con 2 atm y 15 °C.19.6 Dos recipientes idénticos contienen masas iguales de gas, con oxígeno en uno y nitrógeno en el otro. Los gases se mantienen a la misma temperatura. ¿Cómo se compara la pre-sión del oxígeno con la del nitrógeno?a) pO > pN

b) pO = pN

c) pO < pN

d) No se puede determinar con la información dada.

19.7 Un mol de un gas ideal a una temperatura de 0 °C está limitado a un volumen de 1.0 L. La presión de este gas esa) 1.0 atm.b) 22.4 atm.

c) 1/22.4 atm.d) 11.2 atm.

19.8 Cien mililitros de nitrógeno líquido con una masa de80.7 g están sellados dentro de un recipiente de 2 L. Después de que el nitrógeno líquido se calienta y se convierte en gas, ¿cuál es la presión en el interior del recipiente?a) 0.05 atmb) 0.08 atm

c) 0.09 atmd) 9.1 atm

e) 18 atm

19.9 Considere una caja llena de un gas ideal. La caja experi-menta una repentina expansión libre de V1 a V2. ¿Cuál de las siguientes respuestas describe este proceso en forma correcta?a) El trabajo realizado por el gas durante la expansión es igual a nRT ln (V2/V1).b) Se agrega calor a la caja.c) La temperatura final es igual a la temperatura inicial mul-tiplicado por (V2/V1).d) La energía interna del gas permanece constante.19.10 Compare la energía cinética media a temperatura am-biente de una molécula de nitrógeno con la de un átomo de nitrógeno. ¿Cuál tiene la mayor energía cinética?a) El átomo de nitrógeno.b) La molécula de nitrógeno.

c) Tienen la misma energía.d) Depende de la presión.

V

i f

B

A

p

P R E G U N TA S

19.11 El aire caliente es menos denso que el aire frío y por ende experimenta una fuerza de flotación neta y sube. Pues-to que el aire caliente sube, entre más alta sea la elevación, más caliente deberá ser el aire. Por lo tanto, la cima del Monte Everest debería ser muy caliente. Explique por qué el Mon- te Everest es más frío que Death Valley.19.12 La distribución de rapidez de Maxwell supone que el gas esté en equilibrio. Por lo tanto, si un gas cuyas moléculas se mueven todas con la misma rapidez tuviese el tiempo su-ficiente, finalmente llegarían a cumplir con esta distribución. Sin embargo, las derivaciones de la teoría cinética en el tex-to supusieron que cuando una molécula de gas impacta con la pared de un recipiente, rebotará con la misma energía que tuvo antes de la colisión, y que las moléculas de gas no ejercen fuerzas una sobre la otra. Si las moléculas de gas ni intercam-

bian energía con las paredes del recipiente ni entre sí, ¿cómo podrán encontrar un equilibrio? ¿No es cierto que si todas tu-vieron inicialmente la misma rapidez, algunas hubiesen llega-do a desacelerar y otras a acelerar, conforme a la distribución de rapidez de Maxwell?

19.13 Cuando usted sopla fuertemente en su mano, se siente frío, pero cuando sopla suavemente, se siente caliente. ¿Por qué?

19.14 Explique por qué la velocidad media de moléculas de aire en un auditorio cerrado es cero, pero su rapidez de la raíz media cuadrática o rapidez media no es cero.

19.15 En un motor diesel, la mezcla de combustible y aire es comprimida rápidamente. Como resultado, la temperatura sube hasta la temperatura de combustión espontánea del com-bustible, causando que el combustible se encienda. ¿Cómo el


645Problemas

ma una ecuación de estado. Para un gas con la masa molar M, escriba la ley de gases ideales como una ecuación de estado.19.21 La compresión y rarefacción asociadas con una onda sonora propagándose en un gas son tanto más rápidas que el flujo de calor en el gas que se puedan tratar como procesos adiabáticos.a) Busque la rapidez del sonido, vs, en un gas ideal de masa molar M.b) De acuerdo con el refinamiento de Einstein de la mecánica newtoniana, vs no puede exceder la rapidez de la luz en unvacío c. Este hecho implica una temperatura máxima para un gas ideal. Busque esta temperatura.c) Evalúe la temperatura máxima del inciso b) para el gas mo-noatómico de hidrógeno (H).d) ¿Qué le pasa al hidrógeno a esta temperatura máxima?19.22 La teoría cinética de un gas ideal toma en cuenta no sólo el movimiento de traslación de átomos o moléculas, sino también la vibración y la rotación para gases diatómicos y po-liatómicos. ¿Diferirá el aumento de temperatura a partir de una transferencia dada de calor que se suministre a un gas monoatómico del aumento de temperatura debido a la mis-ma cantidad de calor que se suministre a un gas diatómico? Explique.19.23 En la termosfera, la capa de la atmósfera terrestre que se extiende desde una altitud de 100 km hasta 700 km, la tem-peratura puede alcanzar aproximadamente 1 500 °C. ¿Cómo se sentiría el aire en esta capa en la piel desnuda?19.24 Un vaso de agua se deja a temperatura ambiente en la mesa de la cocina durante la noche. En la mañana, la cantidad de agua en el vaso es menor debido a la evaporación pero el agua en el vaso está debajo del punto de ebullición, así que ¿cómo es posible que una parte del agua líquida se haya con-vertido en gas?

aumento de temperatura es posible, dado el hecho de que la compresión ocurre tan rápidamente que no hay tiempo su-ficiente para que una cantidad significativa de calor entre o salga de la mezcla de combustible y aire?19.16 Un cilindro con un pistón de deslizamiento contiene un gas ideal. El cilindro (con el gas en el interior) es calentado mediante la transferencia de la misma cantidad de calor al sis-tema en dos diferentes maneras:1) El pistón es bloqueado para evitar su movimiento.2) Se permite que el pistón se deslice sin fricción hasta el final del cilindro.¿Cómo se compara la temperatura final del gas bajo la condi-ción 1 con la temperatura final del gas bajo la condición 2? ¿Es posible que la temperatura esté igual?19.17 Demuestre que el módulo de compresibilidad adiabático, definido como B = –V (dP/dV), para un gas ideal es igual a P.19.18 Un gas ideal monoatómico se expande en forma iso-térmica de {p1, V1, T1} a {p2, V2, T1}. Luego experimenta un proceso isocórico que lo lleva de {p2, V2, T1} a {p1, V2, T2}. Finalmente el gas experimenta una compresión isobárica que lo lleva de regreso a {p1, V1, T1}.a) Utilice la primera ley de la termodinámica para encontrar Q para cada uno de estos procesos.b) Escriba una expresión para Q total en términos de p1, p2, V1 y V2.19.19 Dos gases monoatómicos reaccionarán para formar un gas diatómico: A + B → AB. Suponga que usted realiza esta reacción con 1 mol de c/u A y B en una cámara de aislamiento térmico, de tal modo que no hay intercambio de calor con el entorno. ¿Aumentará o disminuirá la temperatura del sistema?19.20 Una relación que da la presión, p, de una sustancia como función de su densidad, , y su temperatura, T, se lla-

P R O B L E M A S

Una • y dos •• indican un nivel mayor de dificultad del problema.

Sección 19.119.25 Un neumático tiene una presión manométrica de 300kPa a 15.0 °C. ¿Cuál es la presión manométrica a 45.0 °C? Supon-ga que el cambio de volumen del neumático es insignificante.19.26 Un tanque de helio comprimido para inflar globos tie-ne la indicación de contener helio de una presión de 2 400 psi, el cual ocupará un volumen de 244 ft3 cuando se permite su expansión a la presión atmosférica. Suponiendo que no suce-de ningún cambio de temperatura durante la expansión, ¿cuál es el volumen del tanque en pies cúbicos?

•19.27 Antes de emprender un viaje en automóvil desde Mi-chigan a Florida para escapar del frío del invierno, usted infla los neumáticos de su auto con una presión de 33 psi, sugerida por el fabricante, mientras que la temperatura exterior es de 25 °F, y luego se asegura de que las tapas de las válvulas estén herméticamente cerradas. Usted llega a Florida dos días des-pués, y la temperatura exterior es agradable a 72 °F.

a) ¿Cuál es la nueva presión de sus neumáticos en unidades de SI?b) Si usted deja escapar aire de los neumáticos para llevar la presión nuevamente a los 33 psi recomendados, ¿qué porcen-taje de la masa de aire original en los neumáticos va a liberar?•19.28 Un volumen de 1.00 L de un gas experimenta un pro-ceso isocórico en el cual duplica su presión, seguido por un proceso isotérmico hasta que se logre la presión original. De-termine el volumen final del gas.•19.29 Suponga que tiene una olla llena de vapor a 100.0 °C y con una presión de 1.00 atm. La olla tiene un diámetro de 15.0 cm y una altura de 10.0 cm. La masa de la tapa es de 0.500 kg. ¿Hasta qué temperatura tendrá que calentar el vapor para levantar la tapa de la olla?

Sección 19.2•19.30 Una cantidad de agua líquida entra en equilibrio con el aire en un recipiente cerrado, sin evaporar por completo, a una temperatura de 25.0 °C. ¿Cuántos gramos de vapor de



con 0.00500 moles de gas. A temperatura ambiente (23.0 °C), el resorte está ni comprimido ni estirado. ¿Qué tanto se comprime el resorte si la temperatura del gas es elevada a 150. °C?••19.40 Aire con 1.00 atm se encuentra en el interior de un ci-lindro de 20.0 cm de radio y 20.0 cm de largo que reposa en una mesa. La parte superior del cilindro está sellada mediante un pis-tón movible. Se deja caer un bloque de 20.0 kg sobre el pistón. ¿Desde qué altura arriba del pistón se tiene que soltar el bloque para comprimir el pistón por 1.00 mm, 2.00 mm y 1.00 cm?

Sección 19.319.41 El espacio interestelar lejos de alguna estrella usual-mente está lleno de hidrógeno atómico (H) con una densidad de 1 átomo/cm3 y una temperatura muy baja de 2.73 K.a) Determine la presión en el espacio interestelar.b) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática de los átomos?c) ¿Cuál sería la longitud de arista de un cubo que contiene una cantidad de átomos con una energía interna de 1.00 J ?19.42 a) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática para un grupo de átomos de 4He (helio-4) a 300. K?b) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática para un grupo de átomos de 3He (helio-3) a 300. K?19.43 Dos isótopos de uranio, 235U y 238U, están separados por un proceso de difusión de gas que involucra su combi-nación con flúor para hacer el compuesto UF6. Determine la proporción de la rapidez de la raíz media cuadrática de mo-léculas de UF6 para los dos isótopos. Las masas de 235UF6 y 238UF6 son de 249 uma y 252 uma.19.44 Los electrones, que causan la conductividad de un me-tal, se comportan aproximadamente como moléculas de un gas ideal. La masa de un electrón es me 9.109 · 10–31 kg. Si la temperatura del metal es de 300.0 K, ¿cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática de los electrones?

•19.45 En un periodo de 6.00 s, 9.00 · 1023 moléculas de ni-trógeno impactan en una sección de una pared con un área de 2.00 cm2. Si las moléculas se mueven con una rapidez de 400.0 m/s y se impactan contra la pared de frente en colisiones elásticas, ¿cuál es la presión que se ejerce sobre la pared? (La masa de una molécula de N2 es de 4.68 · 10–26 kg.)

•19.46 Suponiendo que la presión permanezca constante, ¿a qué temperatura la rapidez de la raíz media cuadrática de un átomo de helio es igual a la rapidez de la raíz media cuadrática de una molécula de aire con STP?

Sección 19.419.47 Dos cilindros de cobre, inmersos en un tanque de agua a 50.0 °C contienen helio y nitrógeno, respectivamente. El tan-que lleno de helio tiene un volumen dos veces más grande que el tanque de nitrógeno.a) Calcule la energía cinética media de una molécula de helio y la energía cinética media de una molécula de nitrógeno.b) Determine el calor molar específico con volumen constan-te (CV) y con una presión constante (Cp) para los dos gases.c) Encuentre para los dos gases.

agua contiene un litro del aire en esta situación? La presión de vapor de agua a 25.0 °C es de 3.1690 kPa.

•19.31 Utilice la ecuación T = constante y la información del capítulo 16 para estimar la rapidez del sonido en el aire a 40.0 °C, dado que la rapidez a 0.00 °C es de 331 m/s.19.32 Suponga que 2.00 moles de un gas ideal están encerra-dos en un recipiente que tiene un volumen de 1 · 100–4 m3. El recipiente luego se coloca en un horno y se eleva a una tempe-ratura de 400. K. ¿Cuál es la presión final del gas?

19.33 1.00 mol de un gas ideal se mantiene con un volumen constante de 2.00 L. Encuentre el cambio de presión si la tem-peratura aumenta por 100. °C.19.34 ¿Cuánto calor se agrega al sistema cuando 2 000 J de trabajo es realizado por un gas ideal en un proceso isotérmi-co? Dé una razón para su respuesta.

•19.35 El nitrógeno líquido, que se usa en muchos laborato-rios de investigación física, puede presentar un riesgo de segu-ridad si una cantidad grande evapora en un espacio cerrado. El nitrógeno evaporado reduce la concentración de oxígeno, creando el riesgo de asfixia. Suponga que 1.00 L de nitrógeno lí-quido ( = 808 kg/m3) evapora y entra en equilibrio con el aire a 21.0 °C y 101 kPa. ¿Qué volumen ocupará?

•19.36 Se derrama bromo líquido (Br2) en un accidente de laboratorio y se evapora. Suponiendo que el vapor se compor-te como un gas ideal con una temperatura de 20.0 °C y una presión de 101.0 kPa, encuentre su densidad.

•19.37 Dos recipientes contie-nen el mismo gas con diferentes temperaturas y presiones, como lo indica la figura. El recipiente pequeño tiene un volumen de 1.00 litro y el recipiente grande tiene un volumen de 2.00 litros. Entonces se conectan los dos recipientes entre sí por medio de un tubo delgado, y se permi-te que se iguale la presión y temperatura en ambos recipientes. Si la temperatura final es de 300. K, ¿cuál es la presión final? Suponga que el tubo de conexión tiene un volumen y masa despreciables.

•19.38 Una muestra de gas con p = 1 000. Pa, V = 1.00 L y T = 300. K es encerrada en un cilindro. a) Encuentre la nueva presión si el volumen se reduce a la mitad del volumen original a la misma temperatura.b) Si la temperatura se eleva a 400. K en el proceso del inci-so a), ¿cuál es la nueva presión?c) Si el gas es entonces calentado a 600 K desde el valor inicial y la presión del gas se convierte a 3 000 Pa, ¿cuál es el nuevo vo-lumen?•19.39 Un cilindro de un área de sección transversal de 12.00 cm2 es equipado con unpistón, que está conectado a un resorte con una constante de resorte de 1 000. N/m, como se muestra en la figura. El cilindro se llena

0.00500moles de gas

L0


647Problemas

•19.57 ¿Cuánto trabajo realiza el gas durante cada uno de los tres procesos en el problema 19.56 y cuánto calor fluye al gas en cada proceso?

••19.58 Dos cilindros geométricamente idénticos de un diá-metro interior de 5.0 cm, uno hecho de cobre y el otro de te-flón, son inmersos en un tanque de agua de gran volumen a temperatura ambiente (20 °C), como se muestra en la figura. En cada cilindro se coloca un pistón de teflón sin fricción con un vástago y plato fijo. La masa del ensamble de pistón y plato es de 0.50 kg, y los cilindros están llenos de gas helio así que inicialmente ambos pistones están en equilibrio a 20.0 cm del fondo de sus respectivos cilindros.a) Un bloque de plomo de 5.0 kg se coloca lentamente en cada plato y se baja el pistón lentamente has-ta que llegue a su estado de equi-librio final. Calcule la altura final de cada pistón (medida desde el fondo de su respectivo cilindro).b) Si los dos bloques de plomo se dejan caer repentinamente sobre los platos, ¿cómo se compararán las alturas finales de los dos pistones?••19.59 El capítulo 13 examinó la variación de presión con altitud en la atmósfera de la Tierra, suponiendo una tempe-ratura constante, un modelo que se conoce como la atmósfera isotérmica. Una mejor aproximación es tratar las variaciones de presión con altitud como adiabática. Suponga que el aire se pueda tratar como un gas ideal diatómico con una masa molar efectiva de Maire = 28.97 g/mol.a) Encuentre la presión y temperatura de la atmósfera como funciones de altitud. Suponga que la presión a nivel del mar sea p0 = 101.0 kPa y la temperatura a nivel del mar sea de 20.0 °C.b) Determine la altitud en la que la presión y densidad del aire estén a la mitad de sus valores a nivel del mar. ¿Cuál es la temperatura a esta altitud, en este modelo?c) Compare estos resultados con el modelo isotérmico del ca-pítulo 13.

Sección 19.619.60 Considere el gas nitrógeno N2 a 20.0 °C. ¿Cuál es la ra-pidez de la raíz media cuadrática de las moléculas de nitróge-no? ¿Cuál es la rapidez más probable? ¿Qué porcentaje de mo- léculas de nitrógeno tienen una rapidez dentro de 1.00 m/s de la rapidez más probable? (Pista: Suponga que la probabilidad de que los átomos de neón tengan rapideces entre 200.00 m/s y 202.00 m/s es constante.)

19.61 Como se menciona en el texto, la distribución de rapi-deces de moléculas en la atmósfera de la Tierra tiene un im-pacto significativo sobre su composición.a) ¿Cuál es la rapidez media de una molécula de nitrógeno en la atmósfera a una temperatura de 18.0 °C y una presión (parcial) de 78.8 kPa? b) ¿Cuál es la rapidez media de una molécula de hidrógeno a la misma temperatura y presión?

19.48 A temperatura ambiente, cilindros idénticos de gas contienen 10 moles de gas nitrógeno y de argón, respectiva-mente. Determine el cociente de las energías internas alma-cenadas en los dos sistemas. Suponga el comportamiento de un gas ideal.

19.49 Calcule el cambio de energía interna de 1.00 mol de un gas ideal diatómico que empieza a temperatura ambiente (293 K) cuando su temperatura es incrementada por 2.00 K.19.50 Tratando al aire como un gas ideal de moléculas diató-micas, calcule cuánto calor se requiere para subir la tempera-tura del aire en una habitación de 8.00 m por 10.0 m por 3.00 m de 20.0 °C a 22.0 °C con 101 kPa. Ignore el cambio en el núme-ro de moles de aire en la habitación.

•19.51 ¿Cuál es la energía aproximada que se requiere para subir la temperatura de 1.00 L de aire por 100. °C mientras el volumen se mantiene constante?

•19.52 Usted está diseñando un experimento que requiere un gas con un coeficiente de dilatación adiabática de = 1.60. Sin embargo, usted recuerda de sus clases de física que ningún gas tiene este tipo de valor de . Y al mismo tiempo también recuer-da que la mezcla de gases monoatómicos y diatómicos puede dar un gas con tal valor de . Determine la fracción de moléculas diatómicas que una mezcla debe tener para obtener este valor.

Sección 19.519.53 Suponga que 15.0 L de un gas ideal monoatómico con una presión de 1.50 · 105 kPa se expande en forma adiabática (sin transferencia de calor) hasta que se duplique el volumen.a) ¿Cuál es la presión del gas con el nuevo volumen? b) Si la temperatura inicial del gas fue de 300. K, ¿cuál es su temperatura final después de la expansión?19.54 Un motor diesel trabaja con una relación de compre-sión alta para comprimir aire hasta que alcance una tempera-tura suficientemente alta para encender el combustible diesel. Suponga que la relación de compresión (razón de volúmenes) de un motor diesel específico sea de 20 a 1. Si entra aire en un cilindro con 1.00 atm y es comprimido en forma adiabática, el aire comprimido alcanza una presión de 66.0 atm. Supo-niendo que el aire entra en el motor a temperatura ambiente (25.0 °C) y que el aire se pudiese tratar como un gas ideal, encuentre la temperatura del aire comprimido.19.55 El aire en un cilindro de un motor diesel es rápidamen-te comprimido desde una temperatura inicial de 20.0 °C, una presión inicial de 1.00 atm y un volumen inicial de 600. cm3 a un volumen final de 45.0 cm3. Suponiendo que el aire fuese un gas diatómico ideal, encuentre la temperatura y presión finales.

•19.56 6.00 litros de un gas ideal monoatómico, originalmen-te a 400. K y presión de 3 atm (llamado estado 1) experimenta los siguientes procesos:1 → 2 expansión isotérmica a V2 = 4V1

2 → 3 compresión isobárica3 → 1 compresión adiabática a su estado inicialEncuentre la presión, volumen y temperatura del gas en los estados 2 y 3. ¿Cuántos moles del gas existen?



19.70 Un gas se expande con una presión constante desde 3.00 L a 15.0 °C hasta que el volumen es de 4.00 L. ¿Cuál es la temperatura final del gas?19.71 Un gas ideal tiene una densidad de 0.0899 g/L a 20.00 °Cy 101.325 kPa. Identifique el gas.19.72 Un tanque de gas que consiste en 30.0% de O2 y 70.0% de Ar tiene un volumen de 1.00 m3. Se mueve del almacén a 20.0 °C a las afueras en un día soleado. Inicialmente el ma-nómetro marca 1 000. psi. Después de varias horas, el manó-metro señala 1 500. psi. ¿Cuál es la temperatura del gas en el tanque en ese momento?

19.73 Suponga que 5.0 moles de un gas ideal monoatómico se expanden a una temperatura constante de 22 °C desde un volumen inicial de 2.0 m3 a 8.0 m3.a) ¿Cuánto trabajo hizo el gas? b) ¿Cuál es la presión final del gas?19.74 Suponga que 0.0400 moles de un gas ideal monoatómi-co tiene una presión de 1.00 atm a 273 K y luego es enfriado con presión constante hasta que su volumen es reducido a la mitad. ¿Cuál es la cantidad de trabajo hecho por el gas?

•19.75 Una botella de 2.00 L contiene 1.00 mol de bicarbona-to sódico y 1.00 mol de ácido acético. Éstos se combinan para producir 1.00 mol de gas de dióxido de carbono, junto con agua y acetato de sodio. Si se sella la botella herméticamente antes de que ocurra la reacción, ¿cuál es la presión dentro de la botella cuando la reacción está completa?

•19.76 Una cámara cilíndrica con un radio de 3.5 cm contie-ne 0.12 moles de un gas ideal. Está equipada con un pistón de 450 g que reposa en la parte superior, encerrando un espacio de una altura de 7.5 cm. Cuando el cilindro se enfría a 15 °C ¿a qué distancia debajo de la posición inicial terminará el pistón?

•19.77 Encuentre la energía cinética más probable para una molécula de un gas a la temperatura T = 300 K. ¿De qué ma-nera depende este valor de la identidad del gas?

•19.78 Un auditorio cerrado con un volumen de 2.50 · 104 m3 está lleno con 2 000 personas al principio de un evento. Al principio el aire en el espacio está a una temperatura de 293 K y una presión de 1.013 · 105 Pa. Si no hubiera ventilación, ¿qué tanto subirá la temperatura del aire durante el evento de 2.00 horas si cada persona metabolizara a una rapidez de 70.0 W?

•19.79 A la temperatura de 295 K, la presión de vapor de pen-tano (C5H12) es de 60.7 kPa. Suponga que 1.000 g de pentano gaseoso está contenido en un cilindro con paredes diatérmicas (de conducción térmica) y un pistón para variar el volumen. El volumen inicial es de 1.000 L, y el pistón se mueve lenta-mente, manteniendo la temperatura a 295 K. ¿A qué volumen aparecerá la primera gota de pentano líquido?

•19.80 Helio llena un cilindro bien aislado equipado con un pistón a 22.0 °C y con 1.00 atm. El pistón se mueve muy len-tamente (expansión adiabática), así que el volumen aumenta hasta cuatro veces su volumen original.a) ¿Cuál es la presión final? b) ¿Cuál es la temperatura final del gas?

19.62 Un recipiente sellado contiene 1 mol de gas neón con STP. Estime el número de átomos de neón que tienen rapide-ces en el rango de 200.00 m/s a 202.00 m/s.•19.63 Para una habitación a 21.0 °C y a 1.00 atm, escriba una expresión para la fracción de moléculas de aire que tienen rapideces mayores que la rapidez del sonido, conforme a la distribución de Maxwell. ¿Cuál es la rapidez media de cada molécula? ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática? Su-ponga que el aire consiste en moléculas uniformes de un gas diatómico con una masa de 15.0 uma.••19.64 Si un transbordador espacial es golpeado por un meteoro y le produce un agujero de 1.0 cm de diámetro en la ventana, ¿cuánto tiempo tarda antes de que la presión en el interior de la cabina se reduce a la mitad de su valor ori-ginal? Suponga que la cabina del transbordador sea un cubo con bordes que miden 5.00 m con una temperatura constante de 21 °C con 1.0 atm, y que el aire en el interior consiste de mo-léculas diatómicas uniformes con una masa de 15 uma. (Pista: ¿Qué fracción de las moléculas se está moviendo en la dirección correcta para salir a través del agujero, y cuál es su rapidez media? Derive una expresión para la rapidez con la que las moléculas salen por el agujero como función de la presión y, por ende, de dp/dt.)

Problemas adicionales19.65 1.00 mol de gas nitrógeno molecular se expande en volumen rápidamente, así que no se intercambia calor con el entorno durante el proceso. Si el volumen aumenta de 1.00 L a 1.50 L, determine el trabajo hecho sobre el entorno si la tem-peratura del gas baja de 22.0 °C a 18.0 °C. Suponga el compor-tamiento de un gas ideal.19.66 Calcule la rapidez de la raíz media cuadrática de mo-léculas de aire a temperatura ambiente (22.0 °C) a partir de la teoría cinética de un gas ideal.19.67 En Party City usted compra un globo lleno de helio con un diámetro de 40.0 cm a 20.0 °C y con 1.00 atm.a) ¿Cuántos átomos de helio se encuentran dentro del globo? b) ¿Cuál es la energía cinética media de los átomos? c) ¿Cuál es la rapidez de la raíz media cuadrática de los átomos?19.68 ¿Cuál es la masa total de todas las moléculas de oxíge-no en un metro cúbico de aire a temperatura normal (25 °C) y presión normal (1.01 · 105 Pa)? Observe que el aire es aproxi-madamente 21% (por volumen) de oxígeno (O2 molecular), y el resto es principalmente nitrógeno (N2 molecular).

19.69 Los neumáticos de un auto de 3.0 · 103 lb están llenos de aire con una presión manométrica (presión adicional a la presión atmosférica) de 32 lb/in2 mientras que el vehículo se encuentra en el ascensor de un taller de reparación. Luego se baja el auto al piso. a) Suponiendo que el volumen interno de los neumáticos no cambie de manera apreciable como resultado del contacto con el piso, calcule la presión absoluta en los neumáticos en pasca-les cuando el auto está en el piso.b) ¿Cuál es el área total de contacto entre los neumáticos y el piso?


FIGURA 20.1 a) Una locomotora de vapor. b) El Thrust SSC.

20La segunda ley de la termodinámica

a)

b)


20.1 Procesos reversibles e irreversibles 650 Tiempo recurrente de Poincaré 651

Ejemplo 20.1 Mazo de naipes 651 20.2 Motores y refrigeradores 652

Ejemplo 20.2 Calentar una casa con una bomba de calor 653

20.3 Motores ideales 654 El ciclo de Carnot 654

Ejemplo 20.3 Trabajo realizado por un motor de Carnot 657

Ejemplo 20.4 Eficiencia máxima de una planta de energía eléctrica 657

20.4 Motores reales y eficiencia 658Ciclo de Otto 658

Problema resuelto 20.1 Eficiencia de un motor de automóvil 660

Ciclo de Diesel 662 Automóviles híbridos 662Eficiencia y la crisis de energía 663

20.5 La segunda ley de la termodinámica 664 20.6 Entropía 666

Ejemplo 20.5 Cambio de la entropía para el congelamiento del agua 668

Ejemplo 20.6 Cambio de la entropía para el calentamiento del agua 669

20.7 Interpretación microscópica de la entropía 669

Ejemplo 20.7 El incremento de la entropía durante la libre expansión de un gas 671

Muerte de la entropía 672


Práctica para resolución de problemas 674 Problema resuelto 20.2 Costo de

operar una planta de energía eléctrica 674Problema resuelto 20.3 Congelar agua

en un refrigerador 676Preguntas de opción múltiple 677Preguntas 678 Problemas 679


650 Capítulo 20 La segunda ley de la termodinámica


Los primeros estudios de la termodinámica estuvieron motivados por el deseo de los científicos e ingenieros de descubrir los principios que gobiernan a los motores y las máquinas, para que ellos pudieran diseñarlos en forma más eficiente y poderosa. El motor de vapor podía ser usado para impulsar las primeras locomotoras y barcos; sin embargo, las calderas de vapor sobrecalentadas podían explotar causando daños y fallecimientos. Hoy en día, las locomotoras y barcos de vapor se usan principalmente en rutas panorámicas para turistas.

Los principios que afectan la eficiencia de los motores térmicos se aplican a todos los motores, desde locomotoras de vapor [figura 20.1a)] hasta los motores de propulsión a chorro. El Thrust SSC (automóvil supersónico) mostrado en la figura 20.1b), usaba dos poderosos motores de pro-pulsión a chorro para establecer un récord de rapidez terrestre de 763 mph en octubre de 1997. Sin embargo, a pesar de toda su rapidez y potencia, aún produce más gasto calórico que energía aprovechable, lo cual también es cierto para la mayoría de los motores.

En este capítulo examinamos en la teoría y en la práctica los motores térmicos. Su operación está gobernada por la segunda ley de la termodinámica, uno de los enunciados científicos de mayor alcance y poder. Existen diversos modos de expresar esta ley, incluyendo uno que implica un concepto llamado entropía. Las ideas que se abordan en este capítulo tienen aplicaciones en prácticamente todas las áreas de la ciencia, incluyendo el procesamiento de la información, la biología y la astronomía.

20.1 Procesos reversibles e irreversibles Como advertimos en el capítulo 18, si usted vierte agua caliente en un vaso y lo coloca sobre una mesa, el agua se enfriará lentamente hasta alcanzar la temperatura ambiente. El aire en la habita-ción también se entibiará, aunque de manera imperceptible. Usted se sorprendería si el agua se calentara y el aire de la habitación se enfriara ligeramente, mientras conserva la energía. De hecho, la primera ley de la termodinámica se aplica para ambos escenarios. Sin embargo, siempre es el caso de que el agua se enfría hasta tener la temperatura ambiente. De esta manera, otros principios físicos son requeridos para explicar por qué la temperatura cambia de un modo y no de otro.

Prácticamente todos los procesos termodinámicos de la vida real son irreversibles. Por ejem-plo, si un disco de hielo a una temperatura de 0 °C es colocado en una lata de metal a una tem-peratura de 40 °C, el calor fluirá irreversiblemente de la lata hacia el hielo, como se muestra en la figura 20.2a). El hielo se derretirá, el agua entonces se calentará y la lata se enfriará hasta que el agua y la lata estén a la misma temperatura (10 °C en este caso). No es posible hacer pequeños cambios en ninguna variable termodinámica y regresar el sistema al estado correspondiente a la lata caliente y el agua hecha hielo.

Sin embargo, podemos imaginarnos una clase de idealización de procesos reversibles. Con un proceso reversible, un sistema está siempre cerca de estar en un equilibrio termodinámico. En ese caso, hacer un pequeño cambio en el estado del sistema puede revertir cualquier cambio en las variables termodinámicas del sistema. Por ejemplo, en la figura 20.2b), un disco de hielo

■ Los procesos termodinámicos reversibles son procesos idealizados en los cuales un sistema se puede mover de un estado termodinámico a otro y de regreso, mientras permanece cerca del equilibrio termodinámico.

■ Muchos de los procesos son irreversibles; por ejemplo, las piezas rotas de una taza de café tiradas en el suelo no se pueden volver a armar espontáneamente hasta formar la taza de nuevo. Prácticamente todos los procesos termodinámicos del mundo real son irreversibles.

■ La energía mecánica se puede transformar en energía térmica, y la energía térmica se puede transformar en energía mecánica.

■ El motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en energía mecánica. Este motor

opera en un ciclo termodinámico, regresando periódicamente a su estado original.

■ Ningún motor térmico puede ser 100% eficiente. La segunda ley de la termodinámica impone limitaciones fundamentales en la eficiencia del motor térmico.

■ Los refrigeradores y acondicionadores de aire son motores térmicos que operan al revés.

■ La entropía de un sistema es una medida de qué tan lejos del equilibrio está dicho sistema.

■ La segunda ley de la termodinámica dice que la entropía de un sistema cerrado jamás puede disminuir.

■ La entropía de un sistema puede relacionarse a los estados microscópicos de los elementos de un sistema.

0 °CHielo

40 °C

0 °CHielo

0 °C

0 °CHielo

0 °C

10 °CAgua

10 °C

0 °CAgua

0 °C

a)

b)

FIGURA 20.2 Dos procesos termodinámicos: a) Un proceso irreversible en el cual un disco de hielo a una temperatura de 0 °C es colocado dentro de una lata de metal que se encuentra a una temperatura de 40 °C. b) Un proceso reversible en el cual un disco de hielo a una temperatura de 0 °C es colocado dentro de una lata de metal a una temperatura igual de 0 °C.


65120.1 Procesos reversibles e irreversibles

a una temperatura de 0 °C es colocado en una lata de metal que también está a una temperatura de 0 °C. Al subir ligeramente la temperatura de la lata el hielo se derretirá formando agua. Así al bajar la temperatura de la lata de metal hará que el agua forme hielo otra vez, regresando de esta manera el sistema a su estado original. (Técnicamente hablando, la estructura de cristal del hielo sería distinta y de ese modo el estado final sería diferente del estado inicial, pero no de un modo que nos preocupe aquí.)

Podemos pensar en procesos reversibles como procesos de equilibrio en los cuales el sistema siempre conserva su equilibrio térmico o se mantiene cerca de él. Si un sistema estuviera en ver-dad en equilibrio térmico, no habría calor que fluyera y el sistema no trabajaría. Es por ello que el proceso reversible es una idealización. Sin embargo, para un proceso casi reversible, pequeños ajustes en la presión y temperatura pueden mantener al sistema cerca del equilibrio térmico.

Por otra parte, si un proceso involucra el flujo de calor con una diferencia limitada de tem-peratura, la expansión libre de un gas, o la conversión de trabajo mecánico a energía térmica, es un proceso irreversible. No es posible hacer pequeños cambios en la presión o temperatura del sistema y causar que el proceso continúe en la dirección opuesta. Adicionalmente, mientras que un proceso irreversible está sucediendo, el sistema no se encuentra en equilibrio térmico.

La irreversibilidad de un proceso está relacionada con la aleatoriedad o desorden del sistema. Por ejemplo, suponga que ordena un mazo de naipes por rango y categoría y entonces toma los primeros cinco naipes, como se muestra en la figura 20.3a). Usted obser-vará un sistema de naipes bien ordenado, por ejemplo, todas las espadas, empezando por el as y bajando hasta el diez. Después pone usted esos cinco naipes de regreso al mazo, lo lanza al aire y deja que los naipes caigan al piso. Levanta los naipes de uno en uno sin ver su rango o categoría, y entonces toma los primeros cinco naipes de la parte superior de su mazo. Es sumamente improbable que esos cinco naipes estén ordenados por rango y categoría. Es mucho más probable que vea como resultado el que se muestra en la figura 20.3b); es decir, los naipes en un orden aleatorio. El proceso de lanzar y recoger los naipes es irreversible.

Otro ejemplo de un proceso irreversible es la libre expansión de un gas, que ya vimos en el capítulo 18 y que discutiremos con mayor detalle en la sección 20.7.

Tiempo recurrente de Poincaré La experiencia común de un déjà vu (del francés y significa “ya visto o algo ya conocido”) es el sen-timiento de haber vivido ya una situación particular antes. Pero, ¿los eventos realmente se repiten? Si los procesos que conducen de un suceso a otro son realmente irreversibles, entonces un suceso no se puede repetir con exactitud.

El físico y matemático francés Henry Poincaré hizo una importante contribución a esta dis-cusión en 1890, al afirmar su famoso teorema de recurrencia. En él postula que ciertos sistemas dinámicos cerrados regresarán a estar arbitrariamente cercanos a su estado inicial transcurrido el suficiente tiempo. Dicho tiempo es conocido como el tiempo recurrente de Poincaré, o sim-plemente como el tiempo de Poincaré de un sistema. Dicho tiempo puede ser calculado rela-tivamente directo para varios sistemas que únicamente tienen un número finito de diferentes estados, como ilustra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 20.1 Mazo de naipes

Supongamos que usted vuelve a lanzar y recoger el mazo de naipes, como en la figura 20.3, una y otra vez. A la larga, existe la posibilidad de que el orden aleatorio en el que usted recogió los naipes arrojará la secuencia de ases hasta el diez de espadas en los primeros cinco naipes del mazo.

PROBLEMASi en promedio tarda un minuto lanzar los naipes al aire y luego apilarlos formando el mazo otra vez, ¿cuánto tiempo espera usted que le tome, en promedio, antes de que encuentre la secuencia de ases hasta el diez de espadas en los primeros cinco naipes del mazo?

SOLUCIÓNHay 52 naipes en el mazo. Cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de 1

52 de ser la pri-mera carta. Así es que la probabilidad de que el as de espadas quede como la primera carta del mazo es de 1

52 . Si el as es la primera carta, entonces aún hay 51 naipes abajo. La probabilidad

a)

b)

FIGURA 20.3 a) Los primeros cinco naipes de un mazo ordenado por rango y categoría. b) Los primeros cinco naipes de un mazo que fue lanzado en el aire y recogido de manera aleatoria.

(continúa)



de que el rey de espadas esté en la primera posición de los 51 naipes que restan es de 151. De

este modo, la probabilidad combinada de que el as y el rey de espadas ocupen los pri-meros dos lugares en ese orden, es de 1/(52 · 51) = 1/2 652. Del mismo modo, la proba-bilidad de que la secuencia ordenada desde el as hasta el diez de espadas ocurra es de 1/(52 · 51 · 50 · 49 · 48) = 1/311 875 200.

Así es que el número promedio de intentos para obtener la secuencia deseada es de 311 875 200. Como cada uno de estos intentos toma un minuto, el término exitoso de este ejer-cicio tomaría aproximadamente 593 años.

EXPLICACIÓNPodemos afirmar casi inmediatamente el número promedio de intentos que requeriríamos para tener los 52 naipes en una secuencia ordenada del as al dos, para las cuatro categorías. ¡Esto es 52 · 51 · 50 · … · 3 · 2 · 1 = 52! Si cada uno de estos intentos tomara un minuto, requeriríamos un promedio de 1.534 · 1062 años para obtener el orden deseado. Pero, aun después de ese tiempo, no habría ninguna garantía que la secuencia ordenada tendría que aparecer. Sin embargo, como hay 52 posibles secuencias diferentes de los naipes en el mazo, ¡por lo menos una de estas se-cuencias aparecería por lo menos dos veces!

20.2 Motores y refrigeradores Un motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en trabajo útil. Por ejemplo, un motor de combustión interna o un motor de propulsión a chorro extrae trabajo mecánico de la energía térmica generado al quemar la mezcla de gasolina y aire [figura 20.4a)]. Para que un motor térmico trabaje repetidamente, debe operar en un ciclo. Por ejemplo, se haría trabajo si usted pone un petardo debajo de una lata de sopa y lo prende, estallándolo. La energía térmica producida por la explosión se convertiría en movimientos mecánicos para la lata de sopa. (Sin embargo, las aplicaciones de este motor de petardo y sopa enlatada son limitadas.)

Un motor que funciona en ciclo pasa por varios estados termodinámicos y al final regresa a su estado original. Podemos pensar en el motor como operando entre dos depósitos térmicos [figura 20.4b)]. Uno de los depósitos térmicos está a temperatura alta, TH, y el otro depósito tér-mico está a baja temperatura, TL. El motor toma el calor, QH, del depósito de alta temperatura, convierte un poco de dicho calor en trabajo mecánico, W, y agota el calor restante, QL (donde QL > 0), en el depósito de baja temperatura. De acuerdo con la primera ley de la termodinámica (equivalente a la conservación de energía), QH = W + QL. De esta forma, para lograr que un motor funcione, debe estar provisto de energía en la forma de QH, y entonces regresará trabajo útil, W. La eficiencia, e, de un motor se define como

=H

WQ

. (20.1)

Un refrigerador, como el que se muestra en la figura 20.5a), es un motor térmico que fun-ciona al revés. En vez de convertir el calor en trabajo, el refrigerador usa el trabajo para mover el calor de un depósito térmico de baja temperatura a un depósito térmico de alta temperatura [figura 20.5b)]. En un refrigerador real, un motor eléctrico dirige el compresor, el cual transfiere energía térmica del interior del refrigerador al aire de la habitación. Un acondicionador de aire también es un refrigerador; transfiere energía térmica desde el aire de la habitación hasta el aire de la intemperie.

FIGURA 20.4 a) Un motor de propulsión a chorro convierte la energía térmica en trabajo mecánico. b) Diagrama de flujo de un motor térmico que funciona entre dos depósitos térmicos. TH QH

W

TLQL

Depósito térmico dealta temperatura

Depósito térmico debaja temperatura

Motor térmicob)a)

(continuación)


65320.2 Motores y refrigeradores

Para este refrigerador, la primera ley de la termodinámica requiere que QL + W = QH. Es deseable que un refrigerador remueva cuanto calor sea posible del depósito frío, QL, dado el trabajo, W, puesto en el refrige-rador. El coeficiente de desempeño, K, de un refrigerador está definido como K Q

W= L . (20.2)

En Estados Unidos los refrigeradores generalmente se evalúan de acuerdo con su uso anual de energía, sin hacer alusión a su verdadera eficiencia. Un refrigerador eficiente es aquel cuyo uso de energía es comparable con otro de la misma categoría de capacidad pero con el uso más bajo de energía.

Los acondicionadores de aire a menudo se evalúan en términos de la categorización de la efi-ciencia energética (EER, por sus siglas en inglés), definidos por su capacidad de remover el calor, H, en BTU/hora dividido entre la potencia P usada en watts. La relación entre K y EER es

KQ

WHtPt

HP

= = = = EERL

3 41.,

donde t es el tiempo de intervalo. El factor 1/3.41 surge de la definición del BTU por hora:

1BTU/h1 watt

=J s1 J/s

= .1055 3 600 1

3 41( ) ( )/

.

Los valores típicos de EER para un acondicionador de aire de habitación van desde 8 hasta 11, esto significa que los valores de K alcanzan entre 2.3 a 3.2. De este modo, un acondicionador de aire de habitación típico puede remover aproximadamente tres unidades de calor por cada unidad de energía que utiliza. Los acondicionadores de aire centrales a menudo se evalúan por su capacidad de ajustar su eficiencia energética a las estaciones (SEER, por sus siglas en inglés) que toma en cuenta qué tanto tiempo puede funcionar el acondicionador de aire durante un año.

Una bomba de calor es la variación de un refrigerador que se puede utilizar para calentar edi-ficios. Esa bomba de calor calienta el edificio al enfriar el aire del exterior. Así como para un refrige-rador, QL + W = QH. Sin embargo, para una bomba de calor, la cantidad de interés es el calor puesto en el depósito más cálido, QH, en vez de remover el calor del depósito más frío. De esta manera, el coeficiente de desempeño de una bomba de calor es

K QWbomba de calor

H= , (20.3)

donde W es el trabajo que se requiere para mover el calor del depósito de baja temperatura al depó-sito de alta temperatura. El típico coeficiente de desempeño de una bomba de calor comercial está en el rango de 3 a 4. Las bombas de calor no trabajan bien cuando la temperatura exterior está por debajo de los –18 °C (0 °F).

EJEMPLO 20.2 Calentar una casa con una bomba de calor

Una bomba de calor con un coeficiente de desempeño de 3.500 se usa para calentar una casa que pierde 75 000 BTU/h de calor en un día frío. Suponga que los costos de electricidad son de 10.00 centavos por kilowatt-hora.

PROBLEMA¿Cuánto cuesta calentar la casa por un día?

SOLUCIÓNEl coeficiente de desempeño de la bomba de calor se da por la ecuación 20.3:

K QWbomba de calor

H= .

El trabajo necesario para calentar la casa es entonces

W QK

= H

bomba de calor.

TH QH

W

TLQL



Refrigeradorb)a)

FIGURA 20.5 a) Un refrigerador de casa. b) Diagrama de flujo de un refrigerador que funciona entre dos depósitos térmicos.

(continúa)



La casa está perdiendo 75 000 BTU/h, que convertimos a unidades SI:

75 000 21 98BTU

1 h1055 J1BTU

1 h3 600 s

= kW.⋅ ⋅ .

Por lo tanto, la energía que se requiere para calentar la casa es

P Wt

Q tK

= = = kW =H

bomba de calor

/ ..

.21 983 500

6 2800 kW.

El costo de calentar la casa por 24 horas es entonces

Costo = 6.280 kW h1 kWh

=( )( )24 0 1000 15 07$ . $ . .

20.3 Motores ideales Un motor ideal es el que utiliza únicamente procesos reversibles. Además, el motor incorpora no tener efectos de desechos de energía, tales como la fricción o la viscosidad. Recuerde, como definimos en la sección anterior, un motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en trabajo utilizable. Usted quizá pensará que un motor ideal sería uno 100% eficiente; que con-vertiría toda la energía térmica provista en trabajo mecánico utilizable. Sin embargo, veremos que incluso el más eficaz motor ideal no puede lograr esto. Esta inhabilidad fundamental de convertir energía térmica totalmente en trabajo mecánico recae en el meollo de la segunda ley de la termo-dinámica y la entropía, los dos temas centrales de este capítulo.

El ciclo de Carnot Un ejemplo de un motor ideal es el motor de Carnot, el cual es el motor más eficiente que opera entre dos depósitos de temperatura. El ciclo del proceso termodinámico usado por el motor de Carnot se llama ciclo de Carnot.

Un ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos, como se muestra en la figura 20.6 en un diagrama pV (diagrama de presión-volumen). Podemos escoger un punto de partida arbitrario para el ciclo; vamos a decir que comienza en el punto 1. El sistema primero sufre un proceso isotérmico durante el cual el sistema se expande y absorbe calor del depósito térmico a una temperatura fija TH (en la figura 20.6, TH = 400 K). En el punto 2, el sis-tema comienza una expansión adiabática en la cual no se gana ni se pierde calor. En el punto 3 el sistema empieza otro proceso isotérmico, esta vez dejando calor en el segundo depósito térmico de baja temperatura, TL (en la figura 20.6 TL = 300 K), mientras que el sistema se comprime. En el punto 4 el sistema comienza un segundo proceso adiabático en el cual no se gana ni se pierde calor. El ciclo de Carnot está completo cuando el sistema regresa al punto 1.

La eficiencia del motor de Carnot no está al 100% pero en cambio está dada por

= L

H1– .T

T (20.4)

Notablemente, la eficiencia del motor de Carnot depende sólo en la proporción de la temperatura de los dos depósitos térmicos. Para los motores mostrados en la figura 20.6, por ejemplo, la efi-ciencia es e = 1 – (300 K)/(400 K) = 0.25.

DEDUCCIÓN 20.1 Eficiencia del motor de Carnot

Podemos determinar el trabajo y el calor ganado y perdido en un ciclo de Carnot. Para realizar esto, necesitamos suponer que el sistema consiste en un gas ideal en un contenedor cuyo volu-men puede cambiar. Este sistema se coloca en contacto con un depósito térmico y originalmente tiene una presión P1 y volumen V1, correspondiente al punto 1 de la figura 20.6. El depósito tér-mico sostiene la temperatura del sistema constante en TH. Al volumen del sistema se le permite entonces incrementarse hasta que el sistema alcanza el punto 2 de la figura 20.6. En el punto 2,

0

10

20

0 0.2 0.4

Adiabático

Adiabático

0.6 0.8 1

2

1

3

4p (k

Pa)

V (m3)

FIGURA 20.6 El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos.

(continuación)


65520.3 Motores ideales

la presión es p2 y el volumen es V2. Durante este proceso isotérmico, el trabajo, W12, lo realiza el sistema, y el calor, QH, es transferido al sistema. Ya que este proceso es isotérmico, la energía interna del sistema no cambia. De este modo, la cantidad de trabajo realizado por el sistema y la energía térmica transferida al sistema son correspondientes, dado por (vea la deducción en el capítulo 19):

W Q nRT VV12

2

1= =H H ln .

(i)

El sistema entonces se aleja del contacto con el depósito térmico cuya temperatura es TH. Elsistema continúa expandiéndose adiabáticamente hasta el punto 3 en la figura 20.6. En el punto 3 la expansión se detiene, y el sistema se pone en contacto con el segundo depósito térmico que tiene una temperatura TL. Una expansión adiabática significa que Q = 0. En el capítulo 19 vimos que el trabajo hecho por un gas ideal que pasa por un proceso adiabático es W = nR(Tf – Ti)/(1 – ), donde = Cp/CV y Cp es el calor específico del gas en constante pre-sión y Cv es el calor específico del gas en volumen constante. De este modo, el trabajo hecho por el sistema cuando pasa del punto 2 al punto 3 es

W nR T T23 =1 L H–

– .( )

Al permanecer en contacto con el depósito térmico cuya temperatura es TL, el sistema está iso-térmicamente comprimido desde el punto 3 hasta el punto 4. El trabajo realizado por el sistema y el calor absorbido por el sistema son

W Q nRT VV34

4

3= =L L– ln .

(ii)

(En el capítulo 18 esto se habría escrito W34 = QL porque QL habría sido el calor añadido al sis-tema y por ello QL < 0. Sin embargo, en este capítulo usamos la definición de QL como el calor entregado al depósito de baja temperatura, en T = TL, y por lo tanto, QL > 0.)

Finalmente, el sistema se remueve del contacto con el segundo depósito térmico y compri-mido adiabáticamente del punto 4 de regreso a su punto de origen, el punto 1. Para este proceso adiabático, Q = 0, y el trabajo realizado por el sistema es

W nR T T41 =1 H L–

– .( )

Advierta que W41 = –W23, ya que el trabajo realizado por el proceso adiabático depende única-mente de las temperaturas inicial y final. Por consiguiente, W41 + W23 = 0, y para el ciclo comple-to, el total del trabajo realizado por el sistema es

W W W W W W W= =12 23 34 41 12 34+ + + + .

Al sustituir las expresiones por W12 y por W34 de las ecuaciones (i) y (ii), tenemos

W nRT VV

nRT VV

= H Lln ln2

1

4

3

+

.

Ahora podemos encontrar la eficiencia del motor de Carnot. La eficiencia se define en la ecua-ción 20.1 como la proporción del trabajo realizado por el sistema, W, a la cantidad de calor abastecido al sistema QH:

= =H

H LWQ

nRT VV

nRT VV

ln ln2

1

4

3

+

+

nRT VV

T VV

H

L

=ln

ln

2

1

4

31

T VVH ln

.2

1

(iii)

Esta expresión para la eficiencia del motor de Carnot contiene los volúmenes de los puntos 1, 2, 3 y 4. Sin embargo, podemos eliminar los volúmenes de esta expresión usando la relación para la expansión adiabática de un gas ideal del capítulo 19, TV –1 = constante.

Para el proceso adiabático del punto 2 al punto 3, tenemos

T V T VH L=21

31 – – . (iv)

(continúa)



¿Puede la eficiencia del motor de Carnot alcanzar el 100%? Para poder obtener una eficiencia de 100%, TH, en la ecuación 20.4 habría sido elevado al infinito o TL habría sido disminuido hasta el cero absoluto. Ninguna de estás opciones es posible. De este modo, la eficiencia del motor de Carnot siempre será menor a 100 por ciento.

Advierta que el total del trabajo realizado por el sistema durante el ciclo de Carnot de la derivación 20.1 es W = W12 + W34, y las dos contribuciones al total del trabajo debido a los dos procesos isotérmicos son W12 = QH y W34 = –QL. Por consiguiente, el total del trabajo mecáni-co producido por el ciclo de Carnot también se puede escribir como W Q Q= H L– . (20.5)Como la eficiencia generalmente se define como e = W/QH (ecuación 20.1), la eficiencia de un motor de Carnot puede de este modo, ser expresada también como

= H L

H

Q QQ

– . (20.6)

En esta formulación, la eficiencia de un motor de Carnot está determinada por el calor que se toma del depósito caliente menos el calor que se da al depósito frío. Para que esta expresión de la eficiencia del motor de Carnot pueda producir una eficiencia de 100%, el calor que se regresa al depósito frío tendría que ser cero. Inversamente, si la eficiencia del motor de Carnot es menor a 100%, el motor no puede convertir todo el calor que toma del depósito caliente a trabajo aprovechable.

El físico francés Nicolás Carnot (1796-1832), quien desarrolló el ciclo de Carnot en el siglo xix, demostró la siguiente afirmación, conocida como el teorema de Carnot:

20.1 Ejercicio en clase¿Cuál es el máximo coeficiente de desempeño (de Carnot) de un refrigerador en una habitación con una temperatura de 22.0 °C? La temperatura en el interior del refrigerador se mantiene a 2.0°C.

a) 0.10

b) 0.44

c) 3.0

d) 5.8

e) 13.8

Similarmente, para el proceso adiabático del punto 4 al punto 1 tenemos

T V T VL H=41

11 – – . (v)

Al tomar las proporciones de ambos lados de las ecuaciones (iv) y (v)

T VT V

T VT V

VV

VV

H

H

L

L

= =21

11

31

41

2

1

3

4

–

–

–

–.⇒

Al usar la relación entre los volúmenes, podemos ahora reescribir la ecuación (iii) para la efi-ciencia como

=L

H

1

3

4

2

1

+

– ln

ln

T VV

T VV

= L

H1– ,T

T

la cual corresponde a la ecuación 20.4.

Ningún motor térmico que opera entre dos depósitos térmicos puede ser más eficiente que el motor de Carnot cuando opera entre dos depósitos térmicos.

No vamos a presentar pruebas del teorema de Carnot. Sin embargo, advertiremos la idea que está detrás de la prueba después de discutir la segunda ley de la termodinámica en la sección 20.5.

Nos podemos imaginar ejecutando un motor de Carnot en reversa, creando un “refrigerador de Carnot”. El máximo coeficiente de desempeño de tal refrigerador funcionando entre dos depó-sitos térmicos es K T

T TmáxL

H L=

–. (20.7)

De igual modo, el máximo coeficiente de desempeño de una bomba de calor funcionando entre dos depósitos térmicos está dado por

K TT Tbomba de calor máx

H

H L=

–. (20.8)

(continuación)


65720.3 Motores ideales

Observe que el ciclo de Carnot constituye el proceso termodinámico ideal, el cual es el límite superior absoluto en lo que es teóricamente alcanzable. Las complicaciones del mundo real ami-noran drásticamente la eficiencia, como veremos en la sección 20.4. El típico coeficiente de des-empeño para un refrigerador real o bomba de calor es alrededor de 3.

EJEMPLO 20.3 Trabajo realizado por un motor de Carnot

Un motor de Carnot necesita 3 000 J de calor de un depósito térmico con una temperatura TH = 500 K y descarga calor a un depósito térmico con una temperatura TL = 325 K.

PROBLEMA¿Cuánto trabajo hace el motor de Carnot en este proceso?

SOLUCIÓNEmpezamos con la definición de la eficiencia, e, de un motor térmico (ecuación 20.1):

=H

WQ

,

donde W es el trabajo que el motor realiza y QH es el calor que se toma del depósito térmico caliente. Es entonces cuando podemos usar la ecuación 20.4 para la eficiencia de un motor de Carnot:

= L

H1– .T

T

Al combinar estas dos expresiones para la eficiencia nos da

WQ

TTH

L

H=1– .

Ahora podemos expresar el trabajo realizado por el motor de Carnot:

W Q TT

= HL

H1– .

Al poner los valores numéricos nos da la cantidad de trabajo realizado por el motor de Carnot:

W = J KK

= J.3 000 1 325500

1050( )

–

EJEMPLO 20.4 Eficiencia máxima de una planta de energía eléctrica

En Estados Unidos, 85% de la electricidad se genera al quemar combustibles fósiles para pro-ducir vapor, el cual a su vez impulsa los alternadores que producen la electricidad. Las plantas de energía pueden producir vapor con una temperatura tan alta como 600 °C presurizando el vapor. El desperdicio de calor resultante necesita descargarse al medio ambiente a una tempe-ratura de 20.0 °C.

PROBLEMA¿Cuál es la eficiencia máxima de una planta de energía?

SOLUCIÓNLa eficiencia máxima de una planta de energía es la eficiencia de un motor térmico de Carnot (ecuación 20.4) funcionando entre los 20.0 °C y los 600 °C:

= = K873 K

=L

H1 1 293 66 4– – . %.T

T

Las plantas de energía reales alcanzan una eficiencia disminuida de alrededor de 40%. Sin embargo, muchas plantas bien diseñadas simplemente no desechan el desperdicio de calor al medio ambiente. En vez de esto, emplean cogeneración o energía y calor combinado (ECC). El

20.2 Ejercicio en clase¿Cuál es el máximo coeficiente de desempeño (de Carnot) de una bomba de calor que se usa para calentar una casa a 22.0 °C de temperatura interior? La temperatura fuera de la casa es de 2.0 °C.

a) 0.15

b) 1.1

c) 3.5

d) 6.5

e) 14.8


¿Cuál es la eficiencia del motor de Carnot en el ejemplo 20.3?

(continúa)



calor que normalmente se habría perdido se usa para calentar ca-sas y edificios aledaños. Este calor incluso puede usarse para operar acondicionadores de aire que enfrían estructuras cercanas, un proceso llamado trigeneración. Al emplear ECC, plantas de energía modernas pueden utilizar hasta 90% de la energía usada para generar electricidad. Por ejemplo, la planta de energía de Michigan State University (figura 20.7) quema carbón para generar electricidad para su campus. El calor

de desecho se utiliza para calentar los edificios del campus en invierno y para accionar los acondi-cionadores de aire de los edificios del campus en verano.

20.4 Motores reales y eficiencia Un motor térmico real basado en el ciclo de Carnot no es práctico. Sin embargo, muchos de los motores térmicos prácticos que se utilizan a diario son diseñados para funcionar por medio de pro-cesos termodinámicos cíclicos. Como ejemplo de una operación de un motor del mundo real, vamos a examinar el ciclo de Otto. De nuevo, suponemos que como medio de trabajo tenemos un gas ideal.

Ciclo de Otto El ciclo de Otto se usa en los motores de combustión interna modernos de los automóviles. Este ciclo consiste en dos procesos adiabáticos y dos procesos de volumen constante (isocóricos) (figura 20.8) y es la configuración predeterminada de un motor de combustión interna de cuatro ciclos. El típico arreglo del pistón cilíndrico de un motor de combustión interna se muestra en la figura 20.9.

La energía térmica se provee por el encendido de una mezcla de combustible y aire. El ciclo empieza con el pistón en lo alto del cilindro y prosigue a través de los pasos siguientes:

■ Carrera de admisión. El pistón se mueve hacia abajo con la válvula de admisión abierta, aspirando la mezcla de combustible y aire [punto 0 a punto 1 en las figuras 20.8 y 20.9a)] y la válvula de admisión se cierra.

■ Carrera de compresión. El pistón se mueve hacia arriba, comprimiendo la mezcla de combustible y aire adiabáticamente [punto 1 a punto 2 en las figuras 20.8 y 20.9b)].

■ La bujía prende la mezcla de combustible y aire, incrementando la presión a volumen constante (punto 2 a punto 3 en la figura 20.8).

■ Carrera de potencia. Los gases calientes empujan el pistón hacia abajo adiabáticamente [punto 3 a punto 4 en las figuras 20.8 y 20.9c)].

■ Cuando el pistón desciende por completo (punto 4 en la figura 20.8), la válvula de escape se abre. Esto reduce la presión en volumen constante, provee el rechazo del calor y mueve el sistema de regreso al punto 1.

■ Carrera de escape. El pistón se mueve hacia arriba, forzando a los gases quemados a salir [punto 1 al punto 0 en las figuras 20.8 y 20.9d)], y la válvula de escape se cierra.

FIGURA 20.7 La planta de energía eléctrica generada por carbón de la Michigan State University provee toda la electricidad que se usa en el campus, así como también provee de calefacción en el invierno y aire acondicionado en el verano.

FIGURA 20.8 El ciclo de Otto consiste en dos procesos adiabáticos y dos procesos de volumen constante.

Admisión EscapeBujía de

encendido

Pistón

Pistón

Carrera de admisión

Carrera de compresiónCilindro


encendido

PistónCarrera de potencia

Cilindro


encendido

PistónCarrera de escape

Cilindro


encendido

Cilindroa) b) c) d)

FIGURA 20.9 Las cuatro carreras de un motor de combustión interna: a) Carrera de admisión, en la cual la mezcla de combustible-aire es aspirada hacia el cilindro. b) Carrera de compresión, en la cual la mezcla de combustible-aire es comprimida. c) Carrera de potencia, donde la mezcla de combustible-aire es encendida por la bujía, liberando el calor. d) Carrera de escape, durante la cual los gases quemados son empujados fuera del cilindro.

(continuación)


65920.4 Motores reales y eficiencia

La proporción del volumen expandido, V1, al volumen comprimido, V2, se conoce como proporción de compresión: r V

V= 1

2. (20.9)

La eficiencia, e, del ciclo de Otto se puede expresar como una función de la proporción de com-presión únicamente: =1 1– .–r (20.10)(En contraste, para el ciclo de Carnot, la ecuación 20.4 mostró que la eficiencia depende sola-mente en la proporción de las dos temperaturas.)

DEDUCCIÓN 20.2 La eficiencia del ciclo de Otto

El ciclo de Otto empieza en el punto 0 de la figura 20.8. El proceso del punto 0 al punto 1 sim-plemente extrae la mezcla de combustible y aire hacia el cilindro y no juega un rol adicional en las consideraciones de eficiencia. Tampoco lo hace el proceso inverso del punto 1 al punto 0, la carrera de escape, la cual remueve los productos de combustión del cilindro.

El proceso del punto 1 al punto 2 es adiabático. La energía térmica transferida es de cero, y el trabajo hecho por el sistema (vea el capítulo 19) está dado por

W nR T T12 2 1=1–

– .( )

Para el proceso de volumen constante del punto 2 al punto 3, el trabajo hecho por el sistema es de cero, W23 = 0, y la energía térmica transferida al sistema (vea el capítulo 18) está dada por

Q nC T TV23 3 2= – .( )

El proceso del punto 3 al punto 4 es otra vez adiabático, y la energía térmica transferida es cero. El trabajo hecho por el sistema es

W nR T T34 4 3=1–

– .( )

El proceso del punto 4 al punto 1 toma lugar con el volumen constante, así que el trabajo hecho por el sistema es de cero, W41 = 0, y el calor expulsado del sistema es

Q nC T TV41 4 1= – .( )El trabajo total hecho por el sistema es entonces simplemente la suma de las cuatro contribucio-nes del ciclo entero (recuerde que W23 = W41 = 0)

W W W nR T T nR T T nR T= =1 1

=112 34 2 1 4 3 2+ ( )+ ( )

––

––

– –– – .T T T1 4 3+( )

El factor R/(1 – ) se puede expresar en términos de la capacidad específica del calor, CV:

R C CCC

Cp V

p

V

V11

––

– .

= =−

La eficiencia del ciclo de Otto es entonces (el trabajo neto hecho dividido entre el calor ganado por el sistema por ciclo)

= = =WQ

nC T T T T

nC T T

T TV

V23

2 1 4 3

3 2

4 11– – –

––

–+( )( )

( ))( )T T3 2–

. (i)

Podemos usar el hecho de que el proceso del punto 1 al punto 2 y el proceso del punto 3 al punto 4 se escriben adiabáticamente (vea la sección 19.5)

TV T V T VV

T1 11

2 21

21

2

1

1

– ––

= =⇒

(ii)

(continúa)



y T V T V T V

VT3 2

14 1

13

1

2

1

4

– ––

,= =⇒

(iii)

donde V1 es el volumen en los puntos 1 y 4 y V2 es el volumen de los puntos 2 y 3. Al sustituir las expresiones T2 y T3 de las ecuaciones (ii) y (iii) en la ecuación (i) para la eficiencia, obtenemos la ecuación 20.10:

=1 4 1

1

2

1

41

2

––

––

T T

VV

T VV

( )

−

––– – .

1

1

1

2

111 1

T

VV

r= =

Como un ejemplo numérico, la proporción de compresión del ciclo de Otto mostrado en la figura 20.8 es de 4, y así, la eficiencia de ese ciclo de Otto es e = 1 – 41–7/5 = 1 – 4–0.4 = 0.426. De esta manera, la eficiencia teórica de un motor que funciona en el ciclo de Otto con una proporción de compresión de 4 es 42.6%. Observe, sin embargo, que éste es el límite superior teórico para la efi-ciencia en esta proporción de compresión. En principio, un motor de combustión interna se puede hacer más eficiente al incrementar la proporción de compresión, pero factores prácticos impiden este planteamiento. Por ejemplo, si la proporción de compresión es demasiado alta, la mezcla de combustible y aire se detonará antes de terminar la compresión. Proporciones de compresión muy altas ponen altos esfuerzos en los componentes del motor. Las verdaderas proporciones de moto-res de combustión interna accionados por gasolina alcanzan rangos entre 8 y 12.

Motores reales de Otto La verdadera eficiencia de un motor de combustión interna es de cerca de 20%. ¿Por qué esto es mucho más bajo que el límite superior teórico? Existen muchas razones. Primero, las partes “adiabáticas” del ciclo no proceden realmente sin el intercambio de calor entre el gas en el pistón y el bloque del motor. Esto es obvio; todos sabemos por experiencia que los motores se calientan cuando están funcionando, y esta elevación de la temperatura es una consecuencia directa del calor que se filtra del gas que está experimentando la compresión y la ignición. Segundo, la mezcla de gasolina y aire no es exactamente un gas ideal y de este modo tiene pérdidas de energía debido a la excitación interna. Tercero, durante el proceso de rechazo del calor y la ignición, el volumen no se mantiene exactamente constante, porque ambos procesos toman un poco de tiempo, y los pistones se siguen moviendo constantemente durante ese tiempo. Cuarto, durante las carreras de admisión y escape, la presión en la cámara no es exactamente la presión atmosférica por las consideraciones dinámicas del gas. Todos estos efectos, junto con pérdidas pequeñas de fricción, se combinan para reducir la eficiencia del motor. Todas las empresas grandes de automóviles, así como los equipos de carreras automotrices, gobiernos y laboratorios de universidades, incluso algunos aficionados, constantemente están buscando maneras de incrementar la eficiencia del motor, porque una mayor eficiencia significa mayor potencia de salida y (o) mejor consumo de combustible por kilómetro. Desde la crisis del petróleo de mediados de la década de 1970, la eficiencia de los motores auto-movilísticos en Estados Unidos se ha incrementado de manera constante (vea la sección 5.7), pero aún se requiere un desempeño mucho mejor del litro por kilómetro para que dicho país reduzca las emisiones de gas de invernadero y su dependencia del petróleo extranjero.

PROBLEMA RESUELTO 20.1 Eficiencia de un motor de automóvil

Un automóvil con un motor de combustión interna accionado por gasolina viaja con una ra-pidez de 26.8 m/s (60.0 mph) en un camino nivelado y usa gasolina a una proporción de 6.92 L/100 km (34.0 mpg). La energía contenida por la gasolina es de 34.8 MJ/L.

PROBLEMASi el motor tiene una eficiencia de 20.0%, ¿cuánta potencia se entrega para mantener al automó-vil moviéndose a una rapidez constante?

SOLUCIÓNP I E N S EPodemos calcular cuánta energía está siendo abastecida al motor, al calcular la cantidad de com-bustible usado y multiplicando el contenido energético de dicho combustible. La eficiencia es el


¿Cuánto aumentaría la eficiencia teórica de un motor de combustión interna si la proporción de compresión aumentara de 4 a 15?

20.3 Ejercicio en clase¿Cuál de las cuatro temperaturas en el ciclo de Otto es la más alta?

a) T1

b) T2

c) T3

d) T4

e) Las cuatro son idénticas

(continuación)



trabajo útil dividido entre la energía que está siendo abastecida; así, una vez que determinemos la energía abastecida, podemos encontrar el trabajo útil de la eficiencia dada del motor. Al divi-dir el trabajo y la energía entre un intervalo de tiempo arbitrario, podemos determinar la media de la potencia entregada.

E S B O C ELa figura 20.10 muestra un motor de automóvil accionado por gasolina que funciona como un motor térmico.

FIGURA 20.10 Motor de automóvil accionado por gasolina funcionando como un motor térmico para accio-nar un automóvil viajando a una rapidez constante v en una superficie horizontal.

TH

QH de lagasolinaque sequema QL es calor

desechado

WImpulsa

el automóvil

TL

Motor de automóvil

FPO

I N V E S T I G U EEl automóvil está viajando a una rapidez v. La tasa, , a la cual el automóvil quema la gasolina, se puede expresar en términos del volumen de gasolina quemada por unidad de distancia. Po-demos calcular el volumen de la gasolina quemada por unidad de tiempo, Vt, al multiplicar la rapidez del automóvil por la tasa, , a la que el automóvil quema la gasolina:

V vt = . (i)

La energía por unidad de tiempo abastecido al motor al consumir el combustible es la potencia, P, dada por el volumen de gasolina usada por unidad de tiempo multiplicada por la energía contenida en la gasolina, Eg:

P V E= t g . (ii)

La eficiencia del motor, e, está dada por la ecuación 20.1:

=H

WQ

,

donde W es el trabajo útil y QH es la energía térmica provista por el motor. Si dividimos tanto W como QH entre el tiempo de intervalo, t, obtendremos

= =H

dadaW tQ t

PP

//

, (iii)

donde Pdada es la potencia dada por el motor del automóvil.

S I M P L I F I Q U EPodemos combinar las ecuaciones desde (i) hasta (iii) para obtener

P P V E vEdada t g g= = = χ .

C A L C U L ELa potencia dada es

. .s JP vEdada g 3= = 6.92 L100 10 m

0 200.( )⋅

( ) ⋅( )26 8 34 8 106m/ /L =12 907.7 W.

R E D O N D E EReportamos nuestro resultado con tres cifras significantes:

Pdada =12 900 W = kW = hp.12 9 17 3. . (continúa)



20.5 Ejercicio en clase¿Durante qué parte(s) del ciclo de Diesel en la figura 20.11 el trabajo mecánico está hecho por el motor?

a) En el trayecto del punto 0 al punto 1 y en el trayecto del punto 1 al punto 0.

b) En el trayecto del punto 1 al punto 2.

c) En el trayecto del punto 2 al punto 3 y en el trayecto del punto 3 al punto 4.

d) En el trayecto del punto 4 al punto 1.

V U E LVA A R E V I SA RPara volver a revisar nuestro resultado, calculamos la potencia requerida para mantener al au-tomóvil moviéndose a 60.0 mph en contra de la resistencia del aire. La potencia requerida, Paire, es igual al producto de la fuerza de la resistencia del aire, Farrastre, y la rapidez del automóvil: P F vaire arrastre= . (iv)

La fuerza de arrastre creada por la resistencia del aire está dada por F Kvarrastre = 2 . (v)La constante K ha sido encontrada empíricamente como K c A= d

12

, (vi)

donde cd es el coeficiente de arrastre del automóvil, A es su área de sección transversal frontal, y es la densidad del aire. Al combinar las ecuaciones desde (iv) hasta (vi) nos da

P F v Kv v c A vaire arrastre d= = =2 12

3( ) ρ .

Al usar cd = 0.33, A = 2.2 m2 y = 1.29 kg/m3, obtenemos

Paire2 3= m kg/m m/s1

2 0 33 2 2 1 29 26 8. . . .( )( )( )( ))3 9 014 9 0= W = kW..

Este resultado de la potencia requerida para vencer la resistencia del aire (Paire = 9.0 kW = 12 hp) está cerca de 70% del valor calculado para la potencia dada (Pdada = 12.9 kW = 17.3 hp). La potencia sobrante se usa para vencer otras clases de fricciones, como la fricción de rodamiento. De este modo, nuestra respuesta parece razonable.

Ciclo de Diesel Los motores diesel y de gasolina tienen diseños algo diferentes. Los motores diesel no comprimen la mezcla de combustible y aire, sino más bien únicamente el aire (trayectoria desde el punto 1 hasta el punto 2 en la figura 20.11, curva verde). Este combustible es introducido (entre el punto 2 y el punto 3) únicamente después de que el aire ha sido comprimido. La energía térmica de la compresión enciende la mezcla (de este modo, no se requiere de una bujía de ignición). Este proceso de combustión empuja al pistón hacia afuera en una presión constante. Después de la combustión, los productos de la combustión empujan al pistón aún más lejos en el mismo modo adiabático que en el ciclo de Otto (trayectoria desde el punto 3 al punto 4, curva roja). El proceso del rechazo del calor hacia el medio ambiente en un volumen constante (entre los puntos 4 y 1 en el diagrama) también procede del mismo modo que en un ciclo de Otto, como la carrera de admi-sión (trayectoria desde 0 hasta 1) y la carrera de escape (trayectoria desde 1 hasta 0). Los motores diesel tienen una proporción de compresión más alta y de este modo tienen una eficiencia más alta que los motores de cuatro tiempos accionados por gasolina, aunque tienen un ciclo termodi-námico un poco diferente.

La eficiencia de un motor diesel ideal está dada por

=1 11

1– –( – )

,–r (20.11)

donde la proporción de la compresión es, otra vez, r = V1/V2 (del mismo modo que lo es para el ciclo de Otto), es nuevamente la proporción del calor específico a presión constante y volu-men constante, = Cp/CV (introducidos en el capítulo 19), y = V3/V2 es llamada la relación de corte, la proporción entre los volúmenes inicial y final de la fase de combustión. La derivación de está fórmula procede similarmente a las derivaciones 20.1 y 20.2 para los ciclos de Carnot y Otto, pero está omitida aquí.

Automóviles híbridos Los automóviles híbridos combinan el motor de gasolina con un motor eléctrico para lograr una eficiencia mejor de lo que un motor de gasolina podría lograr solo. La mejora en la eficiencia es resultado de usar un motor de gasolina más pequeño de lo que en realidad se necesitaría y un motor eléctrico que funciona con una batería cargada por el motor de gasolina, para suplemen-

FIGURA 20.11 Diagrama pV para el ciclo de Diesel.

20.4 Ejercicio en clase¿En qué parte del ciclo de Diesel en la figura 20.11 hay calor agregado?

a) En el trayecto del punto 0 al punto 1.

b) En el trayecto del punto 1 al punto 2.

c) En el trayecto del punto 2 al punto 3.

d) En el trayecto del punto 3 al punto 4.

e) En el trayecto del punto 4 al punto 1.

(continuación)



tar el motor de gasolina cuando se requiere mayor potencia. Por ejemplo, el Ford Escape Hybrid (figura 20.12) tiene 99.2 kW (133 hp) de motor de gasolina acoplado con un motor eléctrico de 70 kW (94-hp), y el Ford Escape tiene 149-kW (200 hp) de motor de gasolina. Además, el motor de gasolina usado en el Ford Escape Hybrid, así como también en los vehículos de Toyota y Honda, aplica un ciclo termodinámico diferente al ciclo de Otto. Este ciclo de Atkinson incluye tiempo de válvulas variable para incrementar la fase de expansión del proceso, permitiendo que más trabajo útil sea extraído de la energía consumida por el motor. Un motor de ciclo de Atkinson produce menos potencia por el desplazamiento comparado con el motor de ciclo de Otto, pero tiene mayor eficiencia.

En un manejo de frena y avanza, los automóviles híbridos tienen la ventaja de usar frenos regenerativos en vez de los frenos normales. Los frenos convencionales usan fricción para parar el automóvil, lo que convierte a la energía cinética del automóvil en energía desperdiciada en la forma de energía térmica (y desgasta las almohadillas de los frenos). Los frenos regenerativos conectan los neumáticos a un generador eléctrico (lo que puede ser el motor eléctrico que maneja el automóvil), lo que convierte la energía cinética del automóvil en energía eléctrica. Esta energía se almacena en la batería del automóvil híbrido para ser usada después. Además, el motor de gaso-lina del automóvil híbrido puede ser apagado cuando el automóvil se detiene, así el automóvil no utiliza energía mientras espera en un alto.

Cuando se manejan en carretera, los automóviles híbridos se aprovechan del hecho de que el motor de gasolina puede correr a una rapidez constante, correspondiente a su más eficiente rapidez de operación, en vez de tener que correr a una rapidez dictada por la rapidez del automóvil. La ope-ración de un motor de gasolina a una rapidez constante mientras la rapidez del automóvil cambia se logra por una transmisión continuamente variable. La transmisión se acopla con el motor de gaso-lina y con el motor eléctrico a los neumáticos del automóvil, permitiendo que el motor de gasolina corra a su rapidez más eficiente mientras toma la potencia del motor eléctrico cuando la necesita.

Eficiencia y la crisis de energía La eficiencia de los motores y refrigeradores no son únicamente constructos teóricos, sino que han tenido consecuencias económicas muy importantes, las cuales son extremadamente relevan-tes para solucionar la crisis de energía. Las eficiencias y los coeficientes de desempeño calculados en este capítulo con la ayuda de los principios de termodinámica son límites superiores teóricos. Las complicaciones del mundo real siempre reducen las eficiencias verdaderas de los motores y los coeficientes de desempeño de los refrigeradores. Pero la investigación de la ingeniería puede vencer estas complicaciones del mundo real y proveer un mejor desempeño de los dispositivos reales, acercándose a los límites ideales.

Un ejemplo impresionante de mejora en el desempeño ha ocurrido con los refrigeradores vendidos en Estados Unidos, de acuerdo con los datos recopilados por Steve Chu (vea la figura

FIGURA 20.12 El motor de gasolina y el motor eléctrico de un automóvil híbrido.

01947 1955 1963 1971 1979 1987 1995 2003

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

1 600

1 800

2 000

2 200

2

6

10

14

18

Estándar de California en 1978

Estándar de California en 1980

Estándar de Californiaen 1987

NAECA en 1990

DOEen 1993

DOEen 2001

$1 272.03

$999.00

$893.58

$576.11$462.99

22

Med

ia d

e la

ene

rgía

usa

da p

or u

nida

d (k

Wh/

año)

y

el p

reci

o (2

002

$EU

)

(Pie

s cúb

icos

)

Media del volumen ajustado (pies cúbicos)Ventas en EU ponderadas a la media del uso de energíaMedia del precio real

FIGURA 20.13 Media del volumen de los refrigeradores en EU (línea roja), precio (línea verde) y uso de energía (línea azul) desde 1947 hasta 2003.



20.13). Desde 1975, el tamaño medio de un refrigerador en las cocinas de Estados Unidos se ha incrementado cerca de 20%, pero a través de una combinación de estándares de energía más duros e investigaciones y desarrollo en el diseño y tecnología de los refrigeradores, la media de consumo de electricidad decayó por dos tercios, un total de 1 200 kWh/año, de 1 800 kWh/año en 1975 a 600 kWh/año en el 2003.

Alrededor de 150 millones de nuevos refrigeradores y congeladores se compran cada año en Estados Unidos, y cada uno ahorra aproximadamente 1 200 kWh/año, un total de 180 mil millones de kWh (6.5 · 1017 J = 0.65 EJ) de energía se ha ahorrado cada año. Este ahorro (en 2009) es aproximadamente el doble tanto como la energía combinada producida por el uso de la energía eólica (30 mil millones de kWh/año), la energía solar (2 mil millones de kWh/año), geotérmica (14 mil millones de kWh/año) y de biomasa (54 mil millones de kWh/año).

El consumo de energía es directamente proporcional al costo de la energía, así es que la media de las casas de Estados Unidos está ahorrando un total de casi 200 dólares cada año en costos de electricidad por usar refrigeradores más eficientes a los estándares de 1975. Además, aunque los refrigeradores se han vuelto mucho mejores, su precio ha disminuido más de la mitad, también indicado en la figura 20.13. Así es que un refrigerador más eficiente no es más caro. ¡Y mantiene nuestras comidas y bebidas favoritas tan frías como lo haría un modelo de 1975!

20.5 La segunda ley de la termodinámica Vimos en la sección 20.1 que la primera ley de la termodinámica se satisface si un vaso de agua fría se entibia al permanecer a temperatura ambiente o se vuelve más frío. Sin embargo, la segunda ley de la termodinámica es un principio general que establece inhibiciones en la cantidad y dirección de la energía térmica transferida entre los sistemas y en las posibles eficiencias de los motores térmicos. Este principio va más allá de la conservación energé-tica de la primera ley de la termodinámica.

En el capítulo 18 discutimos el famoso experimento de Joule que demos-tró que el trabajo mecánico podría ser convertido por completo en calor, como se ilustra en la figura 20.14. En contraste, los experimentos muestran que es imposible construir un motor térmico que convierta completamente el calor en trabajo. Este concepto se ilustra en la figura 20.15.

En otras palabras, no es posible construir un motor térmico que sea 100% eficiente. Este hecho constituye la base de la segunda ley de la termodinámica:

TH

W

TLQL

Motor térmico



FIGURA 20.14 Diagrama de flujo de calor que muestra un sistema que convierte trabajo en calor completamente.

Es imposible para un sistema experimentar un proceso en el cual absorba calor de un depósito térmico a cierta temperatura y convierta ese calor completamente en trabajo mecánico sin rechazar calor hacia un depósito térmico de menor temperatura.

Esta formulación es a menudo llamada la enunciación de Kelvin-Planck sobre la segunda ley de la termodinámica. Como ejemplo, considere un libro que se desliza sobre una mesa. El libro se desliza hasta detenerse, y entonces la energía mecánica de movimiento se vuelve energía térmica. Esta energía térmica toma la forma de movimiento aleatorio de las moléculas del libro, del aire y de la mesa. Es imposible convertir los movimientos aleatorios de regreso a los movimientos orga-nizados del libro. Sin embargo, es posible convertir algo del movimiento aleatorio relacionado con la energía térmica de regreso a la energía mecánica. Los motores térmicos hacen esa clase de con- versión.

Si la segunda ley de la termodinámica no fuera cierta, varios escenarios imposibles ocurri-rían. Por ejemplo, una planta de energía eléctrica podría operar al tomar calor del aire circundante y un transatlántico podría impulsarse a sí mismo tomando el calor del agua del océano. Estos escenarios no violan la primera ley de la termodinámica porque la energía se conserva. El hecho de que no pueden ocurrir demuestra que la segunda ley contiene información adicional acerca de cómo la naturaleza funciona, más allá del principio de conservación de la energía. La segunda ley limita las maneras en las que la energía puede ser usada.

Otra forma de establecer la segunda ley de la termodinámica se relaciona con los refrigerado-res. Sabemos que los flujos calientes son espontáneos de un depósito térmico caliente a un depó-sito térmico frío. El calor nunca fluye espontáneamente de un depósito térmico frío a un depósito


66520.5 La segunda ley de la termodinámica

térmico caliente. Un refrigerador es un motor térmico que mueve el calor de un depósito térmico frío a un depósito térmico caliente; sin embargo, la energía necesita ser abastecida al refrigerador para que esta transferencia tenga lugar, como se muestra en la figura 20.5b). El hecho es que es imposible para un refrigerador transformar la energía térmica de un depósito frío a un depósito caliente sin hacer trabajo, como se ilustra en la figura 20.16. Este hecho es de los fundamentos de otra forma de la segunda ley de la termodinámica:

TH

W

TL

Motor térmico



QH

FIGURA 20.15 Diagrama de flujo de calor que ilustra la imposibilidad del proceso de convertir completamente el calor en trabajo útil sin rechazar calor hacia el depósito térmico de baja temperatura.

TH QH QL TL

Refrigerador



FIGURA 20.16 Diagrama de flujo de calor que demuestra el proceso imposible de mover el calor del depósito térmico de baja temperatura al depósito térmico de alta temperatura sin usar ningún tipo de trabajo.

Es imposible para cualquier proceso transferir la energía térmica del depósito térmico frío al depósito térmico caliente sin que no se haga ningún trabajo para conseguir hacer la transferencia.

Esta formulación equivalente es a menudo llamada la enunciación de Clausius para la segunda ley de la termodinámica.

DEDUCCIÓN 20.3 Teorema de Carnot

Lo siguiente explica cómo probar el teorema de Carnot, indicado en la sección 20.3. Suponga que hay dos depósitos térmicos, un motor térmico trabaja entre estos dos depósitos, y un motor de Car-not opera en reversa como un refrigerador entre los depósitos, como se muestra en la figura 20.17.

TH

QH2

WTL

QL2

QL1

Refrigerador

QH1



Motor térmico

FIGURA 20.17 Un motor térmico entre los dos depósitos térmicos produce trabajo. Un motor de Carnot que opera en reversa como un refrigerador entre dos depósitos térmicos es conducido por el trabajo producido por el motor térmico.

(continúa)



Vamos a suponer que el refrigerador de Carnot opera con la eficiencia teórica dada por

22

=H

WQ

, (i)

donde W es el trabajo requerido para proporcionar calor QH2 dentro del depósito de alta tem-peratura. También suponemos que este trabajo requerido está siendo provisto por el motor térmico que funciona entre los mismos dos depósitos. La eficiencia del motor térmico se puede expresar como 1

1=

H

WQ

, (ii)

donde QH1 es el calor removido del depósito de alta temperatura por el motor térmico. Como ambas ecuaciones (i) y (ii) contienen el mismo trabajo, W, podemos resolver cada una por el trabajo y entonces establecer las expresiones iguales una a la otra:

1 1 2 2Q QH H= .

De este modo, la proporción de las dos eficiencias es

1

2

2

1= H

H

QQ

.

Si la eficiencia del motor térmico es igual a la eficiencia del refrigerador de Carnot (e1 = e2), en-tonces tenemos que QH1 = QH2, lo que significa que el calor removido del depósito de alta tem-peratura es igual al calor añadido por el depósito de alta temperatura. Si la eficiencia del motor térmico es más alta que la eficiencia del refrigerador de Carnot (e1 > e2), entonces tenemos que QH2 > QH1, lo que significa que se gana más calor de lo que se pierde por el depósito de alta tem-peratura. Al aplicar la primera ley de la termodinámica a todo el sistema nos dice que el motor térmico que trabaja en conjunto con el refrigerador de Carnot es entonces capaz de transferir la energía térmica del depósito de baja temperatura al depósito de alta temperatura sin que se haya proporcionado ningún trabajo. Al actuar en conjunto, estos dos dispositivos estarían violando la afirmación de Clausius sobre la segunda ley de la termodinámica. De esa manera, ningún motor térmico puede ser más eficiente que un motor de Carnot.

La conversión de trabajo mecánico a energía térmica (como cuando hay fricción) y el flujo de calor de depósito térmico caliente a uno frío son procesos irreversibles. La segunda ley de la termodinámica indica que estos procesos pueden ser revertidos únicamente de manera parcial, por consiguiente reconociendo su calidad inherente de una sola dirección.

20.6 Entropía Como se indica en la sección 20.5, la segunda ley de la termodinámica es un poco diferente de otras leyes que se han presentado en capítulos anteriores, tal como las leyes de Newton, porque están expresadas en términos de imposibilidades. Sin embargo, la segunda ley se puede establecer de un modo mucho más directo usando el concepto de entropía.

En los últimos tres capítulos hemos discutido la noción del equilibrio térmico. Si dos obje-tos que se encuentran a diferentes temperaturas tienen contacto térmico, ambas temperaturas se aproximarán de manera asintótica a un equilibrio de temperatura común. Lo que impulsa a este sistema a un equilibrio térmico es la entropía, y el estado de equilibrio térmico es el estado de máxima entropía.

La entropía provee una medida cuantitativa de qué tan cercano al equilibrio está un sistema. La dirección de la transferencia de la energía térmica no está determinada por la conservación de energía sino por el cambio en la entropía de un sistema. El cambio en la entropía de un sistema, S, durante un proceso que lleva al sistema de un estado inicial a un estado final está definida como

S dQT

=i

f

∫ , (20.12)

(continuación)


66720.6 Entropía

donde Q es el calor y T es la temperatura en kelvins. Las unidades SI para el cambio en la entropía son joules por kelvin (J/K). Debemos notar que la ecuación 20.12 se aplica únicamente a procesos reversibles; esto es, la integración puede ser realizada solamente durante el curso que representa un proceso reversible.

Observe que la entropía está definida en términos de su cambio de una configuración inicial a una final. El cambio de entropía es la cantidad físicamente significativa, no el valor absoluto de la entropía en cualquier punto. Otra cantidad física de la cual únicamente el cambio es importante es la energía potencial. El valor absoluto de la energía potencial siempre se define únicamente como una constante arbitraria aditiva, pero el cambio en la energía potencial entre los estados inicial y final es una cantidad física precisamente medible que eleva la(s) fuerza(s). De manera similar a la forma en que las conexiones entre las fuerzas y la energía potencial cambian y se explicaron en el capítulo 6, esta sección muestra cómo calcular cambios en la entropía dadas por cambios en la temperatura y el calor y trabajo en diferentes sistemas. En el equilibrio térmico, la entropía tiene un extremo (un máximo). En un equilibrio mecánico estable, la fuerza neta es de cero, y por con-siguiente, la energía potencial tiene un extremo (un mínimo, en este caso).

En un proceso irreversible en un sistema cerrado, la entropía, S, del sistema nunca disminuye; siempre se incrementa o se mantiene constante. En un sistema cerrado, la energía siempre se con-serva, pero la entropía no. De este modo, el cambio en la entropía define la dirección del tiempo, esto es, el tiempo se mueve hacia adelante si la entropía de un sistema cerrado se incrementa.

La definición de la entropía dada por la ecuación 20.12 descansa en las propiedades macros-cópicas de un sistema, como lo son el calor y la temperatura. Otra definición de entropía, basada en descripciones estadísticas de cómo los átomos y las moléculas de un sistema están arreglados, se presentará en la siguiente sección.

Ya que la integral en la ecuación 20.12 puede ser únicamente evaluada como un proceso reversible, ¿cómo podemos calcular el cambio en la entropía de un proceso irreversible? La respuesta se debe al hecho de que la entropía es un estado termodinámico variable, así como la temperatura, la presión y el volumen. Esto significa que podemos calcular la diferencia de entro-pía entre un estado inicial conocido y un estado final conocido incluso en un proceso irreversible si existe un proceso reversible (¡para el cual la integral en la ecuación 20.12 puede ser evaluada!) que lleva al sistema del mismo estado inicial al mismo estado final. Quizás éste es el punto más sutil de la termodinámica dado a conocer en todo este capítulo.

Para poder ilustrar este método general de calcular el cambio de la entropía en un proceso irreversible, vamos a regresar a la situación descrita en el capítulo 18, la libre expansión de un gas. La figura 20.18a) muestra un gas confinado a la mitad izquierda de una caja. En la figura 20.18b), la barrera entre las dos mitades se elimina y el gas se expande para llenar el volumen entero de la caja. Claramente, una vez que el gas se expande para llenar el volumen entero de la caja, el sistema no regresará espontáneamente al estado en el que las moléculas del gas estaban localizadas en la mitad izquierda de la caja. Las variables del estado del sistema antes de que la barrera se elimi-nara es la temperatura inicial, Ti, el volumen inicial, Vi, y la entropía inicial, Si . Después de que la barrera se eliminó y el gas está otra vez en equilibrio, el estado del sistema se puede describir en términos de la temperatura final, Tf , el volumen final, Vf , y la entropía final, Sf .

No podemos calcular el cambio de entropía de este sistema usando la ecuación 20.12 porque el gas no está en equilibrio durante la fase de expansión. Sin embargo, el cambio en las propieda-des del sistema depende únicamente en los estados inicial y final, no en cómo el sistema pasó de uno a otro. Por lo tanto, podemos escoger un proceso que el sistema podría haber sufrido por el cual podemos evaluar la integral de la ecuación 20.12.

En la libre expansión de un gas ideal, la temperatura se mantiene constante, de este modo, parece razonable usar la expansión isotérmica de un gas ideal. Podemos entonces evaluar la inte-gral en la ecuación 20.12 para calcular el cambio en la entropía de un sistema que ha sufrido un proceso isotérmico: S dQ

T TdQ Q

T= = =

i

f

i

f

∫ ∫1 . (20.13)

(Podemos mover el factor 1/T fuera de la integral, porque estamos tratando con un proceso iso-térmico, para el cual la temperatura es una constante por definición.) Como vimos en el capítulo 19, el trabajo realizado por un gas ideal en expansión de Vi a Vf en una temperatura constante T está dado por W nRT V

V= f

iln .

a)

b)

FIGURA 20.18 a) Un gas confinado a la mitad del volumen de una caja. b) La barrera que separa las dos mitades se quita y el gas se expande para llenar el volumen entero de la caja.



EJEMPLO 20.5 Cambio de la entropía para el congelamiento del agua

Suponga que tenemos 1.50 kg de agua a una temperatura de 0 °C. Ponemos el agua en un congelador y el calor suficiente es removido del agua para poderla congelar por completo hasta el hielo a una temperatura de 0 °C.

PROBLEMA¿Cuánto cambia la entropía del sistema del agua helada durante el proceso de congelamiento?

SOLUCIÓNEl derretimiento del hielo es un proceso isotérmico, así es que podemos usar la ecuación 20.13 para el cambio de entropía: S Q

T= ,

donde Q es el calor que necesita ser removido para convertir el agua en hielo a T = 273.15 K, el punto de congelación del agua. El calor que necesita ser removido para congelar el agua se determina por el calor latente de la fusión de agua (hielo), definida en el capítulo 18. El calor que necesita ser removido es Q mL= = kg kJ/kg = kJ.fusión 1 50 334 501.( )( )

De este modo, el cambio en la entropía del sistema del agua-hielo es

∆S = kJ273.15 K

= J/K.– –501 1 830

Observe cómo la entropía del sistema de agua-hielo en el ejemplo 20.5 ha disminuido. ¿Cómo puede disminuir la entropía de este sistema? La segunda ley de la termodinámica afirma que la entropía de un sistema cerrado nunca puede disminuir. Sin embargo, el sistema de agua-hielo no es un sistema cerrado. El congelador usó energía para remover el calor del agua y poder congelar, y desechó el calor hacia el ambiente local. De este modo, la entropía del ambiente se incrementó más de lo que la entropía del sistema de agua-hielo disminuyó. Ésta es una diferencia muy importante.

Para un proceso isotérmico, la energía interna del gas no cambia; así que Eint = 0. De este modo, como se mostró en el capítulo 18, podemos utilizar la primera ley de la termodinámica para escribir E W Qint – .= = 0 Consecuentemente, para un proceso isotérmico, el calor agregado al sistema es

Q W nRT VV

= = f

iln .

El cambio de la entropía resultante para el proceso isotérmico es entonces

S QT

nRT VV

TnR V

V= = =

f

i f

i

lnln

. (20.14)

El cambio de la entropía para la expansión libre irreversible de un gas debe ser igual al cambio de la entropía para el proceso isotérmico porque ambos procesos tienen el mismo estado inicial y final y de este modo deben tener el mismo cambio en la entropía.

Para la expansión libre irreversible de un gas, Vf >Vi, y así ln (Vf /Vi) > 0. De este modo, S > 0 porque n y R son números positivos. De hecho, el cambio de la entropía de cualquier pro-ceso irreversible es siempre positivo.

Por consiguiente, la segunda ley de la termodinámica se puede indicar en una tercera forma.

La entropía de un sistema cerrado nunca puede disminuir.


66920.7 Interpretación microscópica de la entropía

Un análisis similar se puede aplicar a los orígenes de formas de vida complejas que tienen entropías más bajas de las que hay en sus alrededores. El desarrollo de formas de vida con entropía baja está acompañado por un incremento global de la entropía en la Tierra. Para que un subsis-tema vivo en la Tierra reduzca su propia entropía a costa de su ambiente, necesita una fuente de energía. Esta fuente de energía puede ser de enlaces químicos u otros tipos de energía potencial, que a la larga surge de la energía proporcionada a la Tierra por la radiación solar.

La evolución hacia formas de vida cada vez más complejas no está en contra de la segunda ley de la termodinámica, porque las formas de vida evolucionadas no forman sistemas cerrados. Una contradicción entre la evolución biológica y la segunda ley de la termodinámica a veces es falsamente aclamada por los oponentes de la evolución en el debate de evolución/creación. Desde el punto de vista de la termodinámica, este argumento tiene que ser rechazado inequívocamente.

EJEMPLO 20.6 Cambio de la entropía para el calentamiento del agua

Suponga que empezamos con 2.00 kg de agua a una temperatura de 20.0 °C y calentamos el agua hasta que alcance una temperatura de 80.0 °C.

PROBLEMA¿Cuál es el cambio de la entropía del agua?

SOLUCIÓNEmpezamos con la ecuación 20.12 referente al cambio de la entropía en la integración del flujo diferencial de calor, dQ, con respecto a la temperatura:

S dQT

=i

f

∫ . (i)

El calor, Q, requerido para elevar la temperatura de la masa, m, del agua está dada por

Q cm T= , (ii)

donde c = 4.19 kJ/(kg K) es el calor específico del agua. Podemos reescribir la ecuación (ii) en términos del cambio diferencial de calor, dQ, y el cambio diferencial de la temperatura, dT:

dQ cm dT= .

Entonces podemos reescribir la ecuación (i) como

S dQT

cmdTT

cm dTT

cm TT

T

T

T

T

= = = =i

ff

ii

f

i

f

∫ ∫ ∫ ln .

Con Ti = 293.15 K y Tf = 353.15 K, el cambio de la entropía es

S = 4.19 kJ/ kg K kg K( )

( )2 00 353 15

29. ln .

33 151 56 103

..

K= J/K.⋅

Existe otro punto importante acerca de la definición macroscópica de la entropía y el cálculo de la entropía con ayuda de la ecuación 20.12: la segunda ley de la termodinámica también implica esto para todos los procesos cíclicos (tales como el ciclo de Carnot, de Otto y de Diesel); esto es, todos los procesos en los cuales el estado inicial es el mismo que el estado final, el total del cambio en la entropía del ciclo completo tiene que ser mayor que o igual a cero: S ≥ 0.

20.7 Interpretación microscópica de la entropía En el capítulo 19 vimos que la energía interna de un gas ideal puede ser calculada al sumar las energías de partículas constituyentes del gas. También podemos determinar la entropía de un gas ideal al estudiar sus partículas constituyentes. Ocurre que esta definición microscópica de entro-pía está de acuerdo con la definición anterior.



El estado macroscópico más probable de un sistema es el estado con el número más grande de estados microscópicos, que también es el estado macroscópico con más desorden.

Las ideas de orden y desorden son intuitivas. Por ejemplo, una taza de café es un sistema ordenado. Romper la taza al tirarla al suelo crea un sistema que está menos ordenado, o más des-ordenado, que el sistema original. Este desorden de sistema se puede describir cuantitativamente usando el concepto de estados microscópicos. Otro término para un estado microscópico es un grado de libertad.

Supongamos que lanzamos n monedas al aire, y la mitad cae con la cara arriba y la otra mitad cae con la cruz arriba. La afirmación “la mitad de las monedas son cara y la otra mitad son cruz” es una descripción de un estado macroscópico del sistema de n monedas. Cada moneda puede tener uno de dos estados microscópicos: cara o cruz. Al afirmar que la mitad de las monedas son caras y la mitad de las monedas son cruces no especifica nada acerca del estado microscópico de cada moneda, porque existen muchas posibles maneras de arreglar el estado microscópico de las monedas sin cambiar el estado macroscópico. Sin embargo, si todas las monedas son caras o todas las monedas son cruces, el estado microscópico de cada moneda será conocido. El estado macros-cópico consistente de la mitad de caras y la mitad de cruces es un sistema desordenado porque muy poco se conoce acerca del estado microscópico de cada moneda. El estado macroscópico con todas las caras o el estado macroscópico con todas las cruces es un sistema ordenado porque el estado microscópico de cada moneda es conocido.

Para cuantificar este concepto, imagine lanzar cuatro monedas al aire. Únicamente existe una manera de obtener cuatro caras con tal lan-zamiento, cuatro maneras de obtener tres caras y una cruz, seis maneras de obtener dos caras y dos cruces, cuatro maneras de obtener una cara y tres cruces, y únicamente una manera de obtener cuatro cruces. De esta manera, existen cinco posibles estados macroscópicos y dieciséis posi-bles estados microscópicos (vea la figura 20.19, donde las caras están representadas por círculos rojos, y las cruces por círculos azules).

Ahora vamos a suponer que lanzamos cincuenta monedas al aire en vez de cuatro. Existen 250 = 1.13 · 1015 posibles microestados de este sistema con cincuenta monedas lanzadas. El estado macroscópico más probable consiste en la mitad de caras y la mitad de cruces. Existen 1.26 · 1014 posibles microestados con la mitad de caras y la mitad de cru-ces. La probabilidad de que la mitad de las monedas caiga con la cara arriba y la otra mitad con la cruz, es de 11.2%, mientras que la probabi-lidad de que todas las cincuenta monedas caigan con la cara arriba es de 1 en 1.13 · 1015.

Vamos a aplicar estos conceptos a un sistema real de moléculas de gas: un mol de gas, o el número de moléculas de Avogadro, a presión p,

volumen V, y temperatura T. Estas tres cantidades describen el estado macroscópico del gas. La descripción microscópica del sistema requiere especificar la cantidad de movimiento y la posi-ción de cada molécula de gas. Cada molécula tiene tres componentes de sus momentos y tres componentes de su posición. De este modo, en cualquier momento, el gas puede estar en un gran número de estados microscópicos, dependiendo de las posiciones y velocidades de cada una de sus 6.02 · 1023 moléculas. Si el gas sufre una libre expansión, el número de posibles estados micros-cópicos incrementa y el sistema se vuelve más desordenado. Porque la entropía de un gas que está sufriendo una libre expansión aumenta, el incremento en el desorden está relacionado con el aumento en la entropía. Esta idea puede generalizarse de la siguiente manera:

FIGURA 20.19 Los 16 estados microscópicos posibles para cuatro monedas lanzadas al aire, conduciendo a cinco estados macroscópicos posibles.

4 caras 3 caras1 cruz

2 caras2 cruces

1 cara3 cruces

4 cruces

Dejemos que w sea el número de estados microscópicos posibles de un estado macroscópico dado. Se puede mostrar que la entropía del estado macroscópico se da por

S k w= B ln , (20.15)

donde kB es la constante de Boltzmann. Esta ecuación fue la primera que escribió el físico aus-triaco Ludwig Boltzmann y es también su más grande logro (está cincelado en su lápida). Puede ver de la ecuación 20.15 que al incrementar el número de estados microscópicos posibles aumenta la entropía.


67120.7 Interpretación microscópica de la entropía

El aspecto importante de un proceso termodinámico no es la entropía absoluta, sino el cam-bio de la entropía entre el estado inicial y el estado final. Tomando la ecuación 20.15 como la defi-nición de entropía, el número más pequeño de microestados es uno, y la más pequeña entropía que puede existir es entonces cero. De acuerdo con esta definición, la entropía no puede ser nunca negativa. En la práctica, es difícil determinar el número de posibles estados microscópicos excepto con los sistemas especiales. Sin embargo, el cambio en el número de posibles estados microscó-picos a menudo puede ser determinado, de este modo se fundamenta al permitir el cambio en la entropía del sistema.

Considere un sistema que inicialmente tiene wi microestados y entonces experimenta un proceso termodinámico hasta tener un estado macroscópico con wf microestados. El cambio de la entropía es S S S k w k w k w

w= = =f i B f B i B

f

i– ln – ln ln . (20.16)

De este modo, el cambio de la entropía entre dos estados macroscópicos depende del número de microestados posibles.

La definición de la entropía de un sistema en términos del número de posibles microesta-dos nos guía a una comprensión más profunda de la segunda ley de la termodinámica, la cual afirma que la entropía de un sistema cerrado no puede nunca disminuir. Este planteamiento de la segunda ley combinado con la ecuación 20.15 significa que un sistema cerrado no puede nunca experimentar un proceso termodinámico que baje el número de posibles microestados. Por ejemplo, si el proceso mostrado en la figura 20.18 ocurriera en reversa; esto es, que el gas experimentara una libre contracción hacia un volumen de la mitad de su tamaño original, el número de los posi-bles microestados por cada molécula disminuiría por un factor de 2. La probabilidad de encontrar una molécula de gas a la mitad del volumen original es entonces 1

2 , y la probabilidad de encon-trar todas las moléculas de gas a la mitad de su volumen original es 1

2( )N, donde N es el número

de moléculas. Si existen 100 moléculas de gas en el sistema, entonces la probabilidad de que las 100 moléculas terminen teniendo la mitad de su volumen original es de 7.9 · 10–31. Tendríamos que revisar el sistema aproximadamente 1/(7.9 · 10–31) ≈ 1030 veces para encontrar las moléculas a la mitad de su volumen sólo una vez. Al revisar una por segundo, esto nos tomaría alrededor de 1014 mil millones de años, mientras que la edad del universo es solamente de 13.7 mil millones de años. Si el sistema contiene el número de moléculas de gas de Avogadro, entonces la probabilidad de que las moléculas estén a la mitad de su volumen original es aún más pequeña. De este modo, aunque la probabilidad de que este proceso ocurra no es cero, es tan pequeño que lo podemos tratar como cero. Podemos, de este modo, concluir que la segunda ley de la termodinámica, aun cuando se expresa en términos de probabilidades, nunca es violada en ninguna situación práctica.

EJEMPLO 20.7 El incremento de la entropía durante la libre expansión de un gas

Vamos a considerar la libre expansión de un gas como el que se muestra en la figura 20.18. Ini-cialmente 0.500 moles de gas nitrógeno están confinados en un volumen de 0.500 m3. Cuando la barrera se quita, el gas se expande para llenar el nuevo volumen de 1.00 m3.

PROBLEMA¿Cuál es el cambio en la entropía del gas?

SOLUCIÓNPodemos usar la ecuación 20.14 para calcular el cambio de la entropía del sistema, suponiendo que podemos tratar el sistema como una expansión isotérmica de un gas ideal:

∆S nR VV

nR= = m0.500 m

f

i

3

3ln ln .

1 00

( )

=

= mol J/(mol K

nR ln

. .

2

0 500 8 31 ))= J/K.

[ ]( )ln.

22 88

(i)

Otra aproximación es examinar el número de microestados del sistema antes y después de la ex-pansión para calcular el cambio en la entropía. En este sistema, el número de moléculas de gas es

N nN= A, (continúa)




■ En un proceso reversible, el sistema siempre está cercano alequilibrio termodinámico. Al hacer un pequeño cambio en el estado del sistema puede revertir cualquier cambio en las variables termodinámicas del sistema.

■ Un proceso irreversible involucra el flujo de calor con una diferencia limitada de temperatura, libre expansión de un gas, o la conversión de trabajo mecánico a energía térmica.

■ Un motor térmico es un aparato que convierte la energía térmica en trabajo útil.

■ La eficiencia, e, de un motor térmico se define como e = W/QH, donde W es el trabajo útil extraído del motor y QH es la energía que se provee al motor en forma de calor.

donde NA es el número de Avogadro. Antes de la expansión, había wi microestados para las moléculas de gas en la mitad izquierda del contenedor. Después de la expansión, cualquiera de las moléculas podía estar en la mitad izquierda o en la mitad derecha del contenedor. Por con-siguiente, el número de microestados después de la expansión es w wN

f i= 2 . Al usar la ecuación 20.16 y al recordar que nR = NkB, podemos expresar el cambio en la entropía del sistema como S k w

wk w

wNk nR

N= = = =B

f

iB

i

iBln ln ln ln .2 2 2

De esta manera, obtenemos el mismo resultado por el cambio de la entropía de un gas libremen-te expandido al observar las propiedades microscópicas del sistema que al usar las propiedades macroscópicas del sistema en la ecuación (i).

Muerte de la entropía El universo es el sistema cerrado extremo. La vasta mayoría de los procesos termodinámicos en el universo son irreversibles, y de esta manera, la entropía del universo como un todo se está incre-mentando de manera continua y asintóticamente aproximándose a su máximo. De este modo, si el universo existe durante suficiente tiempo, toda la energía será distribuida de manera uniforme por todo su volumen. Además, si el universo se sigue expandiendo por siempre, la gravedad —la única fuerza importante de largo alcance— no tendrá la capacidad de seguir jalando los objetos para mantenerlos juntos. Esta condición más reciente es la principal diferencia del primer universo en los primeros momentos después del Big Bang, cuando la materia y la energía también estaban distribuidas uniformemente a través del universo, como lo revelaron los análisis de la radiación de fondo de microondas (visto en el capítulo 17). Pero en el primer universo, la gravedad era muy fuerte, como resultado de la concentración de la materia en un espacio pequeño, y era capaz de desarrollar fluctuaciones mínimas y contraer la materia para formar estrellas y galaxias. De este modo, aunque la materia y la energía fueron distribuidas uniformemente en el primer universo, la entropía no estaba cerca de su máximo, y el universo entero estaba lejos del equilibrio térmico.

En el futuro a largo plazo del universo, todas las estrellas, las cuales en la actualidad repre-sentan las fuentes de energía de otros objetos como nuestro planeta, estarán finalmente extintas. Entonces, la vida será imposible, porque la vida necesita una fuente de energía para poder dismi-nuir la entropía localmente. Mientras el universo se acerca de manera asintótica a su estado de entropía máxima, cada subsistema del universo alcanzará el equilibrio termodinámico.

En ocasiones, a este destino a largo plazo del universo se le llama muerte térmica. Sin embargo, la temperatura del universo en ese momento no será alta, como su nombre lo sugeriría, sino muy cercana al cero absoluto y muy similar en todas partes.

Esto no es algo de lo que nos tengamos que preocupar por ahora, porque algunas estima-ciones indican que la muerte de la entropía del universo está a 10100 años en el futuro (con una inseguridad en muchos órdenes de magnitud). Obviamente, el futuro a largo plazo del universo es muy interesante y en la actualidad es un área de investigación intensa. Nuevos descubrimientos acerca de la materia oscura y la energía oscura pueden cambiar nuestra imagen del futuro a largo plazo del universo. Pero tal como está en este momento, el universo no desaparecerá con una explosión, sino con un quejido.

20.6 Ejercicio en claseTodos los procesos termodinámicos reversibles siempre proceden en

a) presión constante.

b) temperatura constante.

c) entropía constante.

d) volumen constante.

e) ninguna de las anteriores.

(continuación)


673Respuestas a oportunidades de autoexamen

■ Un refrigerador es un motor térmico que funciona en forma inversa.

■ El coeficiente de desempeño, K, de un refrigerador se define como K = QL/W, donde QL es el calor extraído del depósito térmico de baja temperatura y W es el trabajo requerido para extraer el calor.

■ Un motor ideal es uno en el que todos los procesos involucrados son reversibles.

■ Un motor de Carnot usa el ciclo de Carnot, un proceso termodinámico ideal que consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos. El motor de Carnot es el motor más eficiente que puede funcionar entre dos depósitos térmicos.

■ La eficiencia del motor de Carnot está dada por = (TH – TL)/TH, donde TH es la temperatura del depósito térmico más caliente y TL es la temperatura del depósito térmico más frío.

■ El coeficiente de desempeño de un refrigerador de Carnot es Kmáx = TL/(TH – TL), donde TH es la temperatura del depósito térmico más caliente y TL esla temperatura del depósito térmico más frío.

■ El ciclo de Otto describe la operación de los motores de combustión interna. Consiste en dos procesos adiabáticos y dos procesos de volumen constante. La eficiencia de un motor que usa el ciclo de Otto está dada por = 1 – r1–, donde r = V1/V2 es la proporción de compresión y = Cp/CV .

■ La segunda ley de la termodinámica se puede establecer como sigue: es imposible para un sistema pasar por un proceso en el cual absorbe calor de un depósito térmico a cierta temperatura y convierte ese calor completamente en trabajo mecánico sin rechazar el calor hacia un depósito térmico de temperatura baja.

■ La segunda ley de la termodinámica también puede establecerse como sigue: es imposible para cualquier proceso transferir energía térmica de un depósito térmico de baja temperatura a un depósito térmico de alta temperatura sin que ningún trabajo sea realizado para lograr la transferencia.

■ El cambio en la entropía de un sistema se define como

S dQT

=i

f

∫ , donde dQ es el calor diferencial añadido al

sistema, T es la temperatura y la integración se realiza desde un estado termodinámico inicial hasta un estado termodinámico final.

■ Una tercera manera de establecer la segunda ley de la termodinámica es la que sigue: la entropía de un sistema cerrado nunca puede disminuir.

■ La entropía de un sistema macroscópico se puede definir en términos del número de posibles estados microscópicos, w, del sistema: S = kB ln w, donde kB es la constante de Boltzmann.


proceso reversible, p. 650proceso irreversible,

p. 651motor térmico, p. 652eficiencia, p. 652

refrigerador, p. 652coeficiente de desempeño,

p. 653bomba de calor, p. 653motor ideal, p. 654

motor de Carnot, p. 654ciclo de Carnot, p. 654teorema de Carnot,

p. 656ciclo de Otto, p. 658

segunda ley de la termodinámica, p. 664

entropía, p. 666estados microscópicos,

p. 670

S dQT

=i

f

∫ , cambio de la entropía de un sistema

S = kB ln w, definición microscópica de la entropía

W, número de posibles estados microscópicos


=H

WQ

, eficiencia de un motor térmico

K QW

= L , coeficiente de desempeño de un refrigerador

R E S P U E S TA S A O P O R T U N I D A D E S D E A U T O E X A M E N

20.1 La eficiencia está dada por

= = K500 K

= (oL

H1 1 325 0 35 35– – . %).T

T

20.2 La proporción de las dos eficiencias es

15

10

0 4

0 41 151 4

66 142 6

1 55= = = que––

. %

. %. ,

– .

– . ees una mejoría de 55%.



QH1

QH2

TH

W

TL1

TL2

FIGURA 20.20 Las cantidades termodinámicas relacionadas a la operación de una planta de energía eléctrica.

PROBLEMA RESUELTO 20.2 Costo de operar una planta de energía eléctrica

Una planta de energía eléctrica funciona con turbinas de vapor a una temperatura de 557 °C y usa torres de enfriamiento para mantener frío el depósito térmico a una temperatura de 38.3 °C. El costo operativo de la planta por año es de 52.0 millones de dólares. Los gerentes de la planta proponen usar agua de un lago cercano para bajar la temperatura del depósito frío a 8.90 °C. Suponga que la planta opera a su eficiencia máxima posible.

PROBLEMA¿Cuánto se reduciría el costo de operación de la planta en un año como resultado del cambio en la temperatura del depósito? Suponga que la planta genera la misma cantidad de electricidad.

SOLUCIÓNP I E N S EPodemos calcular la eficiencia de la planta de energía suponiendo que ésta opera con la eficien-cia teórica de Carnot, la cual depende únicamente de las temperaturas del depósito térmico ca-liente y del depósito térmico frío. Podemos calcular la cantidad de energía térmica puesta en el depósito térmico caliente y suponer que el costo de operación de la planta es proporcional a esa energía térmica. Esta energía térmica puede provenir de quemar un combustible (carbón, aceite o gas) o tal vez de un reactor nuclear. Bajar la temperatura del depósito frío va a incrementar la eficiencia de la planta de energía, y de este modo disminuirá la cantidad requerida de energía térmica y los costos asociados. Los costos ahorrados son entonces los costos de operación de la planta original menos los costos de operación de la planta mejorada.

E S B O C ELa figura 20.20 es un esbozo referente a las cantidades termodinámicas involucradas en el funcio-namiento de una planta de energía eléctrica. La temperatura del depósito caliente es TH, la energía

térmica abastecida a la planta de energía original es QH1, la energía térmica provista a la planta de energía mejorada es QH2, el trabajo útil hecho por la planta de energía es W, la temperatura original del depósito frío es TL1, y la temperatura del depósito frío mejorado es TL2.

I N V E S T I G U ELa máxima eficiencia de la planta de energía cuando está operando con las torres de enfriamiento está dada por la eficiencia teórica de Carnot:

11= H L

H

T TT– . (i)


Lineamientos de problemas resueltos 1. Con los problemas en termodinámica, necesita poner mu-cha atención a los signos de trabajo (W) y calor (Q). El trabajo hecho por un sistema es positivo, y el trabajo realizado en un sistema es negativo; el calor que es transferido a un sistema es positivo, y el calor que es emitido por un sistema es negativo. 2. Algunos problemas que involucran motores térmicos tie-nen que ver con la potencia y con la tasa de la transferencia de energía térmica. La potencia es trabajo por unidad de tiempo (P = W/t) y la tasa de la transferencia de la energía térmica es calor por unidad de tiempo (Q/t). Usted puede tratar a estas cantidades como al trabajo y el calor, pero recuerde que invo-lucran la unidad de tiempo. 3. La entropía puede parecerse un poco a la energía, pero éstos son conceptos muy diferentes. La primera ley de la ter-modinámica es una ley de conservación; la energía se con-serva. La segunda ley de la termodinámica no es una ley de conservación; la entropía no se conserva; siempre o se queda igual o incrementa y nunca disminuye en un sistema cerrado.

Usted puede requerir identificar los estados inicial y final para calcular el cambio en la entropía, pero recuerde que la entro-pía puede cambiar. 4. Recuerde que la entropía de un sistema cerrado siempre permanece igual o se incrementa (nunca disminuye), pero ase-gúrese de que en un problema la situación es realmente acerca de un sistema cerrado. La entropía de un sistema que no está cerrado puede disminuir si incrementa más la entropía en los alrededores y lo contrarresta; no suponga que todos los cam-bios en la entropía deben ser positivos.

5. No aplique la fórmula S dQT

=i

f

∫ para el cambio de la

entropía sin primero asegurarse de que usted está tratando con un proceso reversible. Si necesita calcular el cambio de la entropía de un proceso irreversible, primero necesita hallar un proceso equivalente reversible que conecte los mismos es-tados inicial y final.



La eficiencia de la planta de energía bajo esta condición también puede ser expresada como

11

=H

WQ

, (ii)

donde QH1 es la energía térmica abastecida cuando las torres de enfriamiento se están usando. Podemos escribir expresiones similares para la eficiencia de la planta de energía cuando el lago se está usando para disminuir la temperatura del depósito frío:

22= H L

H

T TT–

(iii)

y

22

=H

WQ

. (iv)

El costo de operar la planta de energía es proporcional a la energía térmica abastecida al depósi- to caliente. De este modo podemos igualar la proporción del costo original, c1, al costo reducido,c2, con la proporción de la energía térmica originalmente requerida, QH1, a la energía térmica requerida subsecuentemente, QH2:

cc

QQ

1

2

1

2= H

H.

S I M P L I F I Q U EPodemos expresar el nuevo costo como

c c QQ2 1

2

1= H

H.

Podemos obtener una expresión para la energía térmica originalmente requerida usando las ecuaciones (i) y (ii):

Q W WT T

T

T WT TH

H L

H

H

H L= = =1

1 1 1 – –.

Podemos obtener una expresión similar para la energía térmica requerida después de la mejora usando las ecuaciones (iii) y (iv):

Q W WT T

T

T WT TH

H L

H

H

H L= = =2

2 2 2 – –.

Podemos ahora expresar el nuevo costo como

c c QQ

c

T WT T

T WT T

2 12

11

2= =H

H

H

H L

H

H L

–

–

11

11

2

= H L

H Lc T T

T T––

.

Observe que el trabajo W hecho por la planta de energía se cancela porque la planta genera la misma cantidad de electricidad en ambos casos. Los costos ahorrados son entonces

c c c c T TT T

c T TT T1 2 1 1

1

21

11– – ––

– ––

= =H L

H L

H L

H L2

= L L

H Lc T T

T T11 2

2

––

.

C A L C U L EAl sustituir los valores numéricos obtenemos

c c c T TT T1 2 1

1 2

252 0– –

–$ .= = millones 311.4L L

H L( ) 55 K K

K K= 2.78927 mil– .

. – .$282 05

830 15 282 05llones.

(continúa)



R E D O N D E EReportamos nuestro resultado con tres cifras significativas Costos ahorrados = $2.79 millones.

V U E LVA A R E V I SA RPara volver a revisar nuestro resultado, calculamos la eficiencia de la planta de energía usando las torres de enfriamiento:

11 311 45

830 1562 5= = 830.15 K K

K=H L

H

T TT– – .

.. %..

La eficiencia de la planta de energía usando el lago para bajar la temperatura del depósito frío es

22 282 05

830 1566 0= = 830.15 K K

K=H L

H

T TT– – .

.. %..

Estas eficiencias parecen razonables. Para revisar aún más, verificamos que la proporción de las dos eficiencias sean iguales a la proporción inversa de los dos costos, porque mayor eficiencia significa menores costos. La proporción de las dos eficiencias es

1

2

62 566 0

0 947= =. %. %

. .

La proporción inversa de los dos costos es

cc2

1

52 2 79= millones millones$52 millone

$ – $ .ss

= 0 946. .

Estas proporciones coinciden dentro del error redondeado. De este modo, nuestro resultado parece razonable.

PROBLEMA RESUELTO 20.3 Congelar agua en un refrigerador

Suponga que tenemos 250 g de agua a 0.00 °C. Queremos congelar esta agua poniéndola en un refrigerador que funciona en una habitación con una temperatura de 22.0 °C. La temperatura dentro del refrigerador se mantiene en –5.00 °C.

PROBLEMA¿Cuál es la cantidad mínima de energía eléctrica que se requiere abastecer para que el refrige-rador congele el agua?

SOLUCIÓN

P I E N S ELa cantidad de calor que debe ser removida depende del calor latente de la fusión y la masa dada de agua. El refrigerador más eficiente posible es el refrigerador Carnot, así es que utilizaremos el máximo coeficiente de desempeño teórico de tal refrigerador. Al conocer la cantidad de calor que va a ser removido del depósito de baja temperatura y el coeficiente de desempeño, podemos calcular el mínimo de energía que requerimos abastecer.

E S B O C EEn la figura 20.21 se muestra un diagrama de flujo de calor para el refri-gerador.

FIGURA 20.21 Diagrama de flujo de calor para un refrigerador que toma calor del interior del refrigerador y lo desecha a la habitación usando una fuente de energía eléctrica.

TH QH

W

TLQL

HabitaciónInterior delrefrigerador

Refrigerador

(continuación)


677Preguntas de opción múltiple

I N V E S T I G U EEl refrigerador más eficiente posible es el refrigerador de Carnot. El coeficiente máximo de desempeño de un refrigerador de Carnot se obtiene con las ecuaciones 20.2 y 20.7:

K QW

TT Tmáx

L L

H L= =

–, (i)

donde QL es el calor removido dentro del refrigerador, W, es el trabajo (en términos de energía eléctrica) que requiere ser abastecido, TL es la temperatura interior del refrigerador, y TH es la temperatura de la habitación. La cantidad de calor que necesita ser retirada para poder congelar la masa de agua m se da por (vea el capítulo 18)

Q mLL fusión= , (ii)

donde Lfusión = 334 kJ/kg es el calor latente de la fusión del agua (el cual puede ser encontrado en la tabla 18.2).

S I M P L I F I Q U EPodemos resolver la ecuación (i) por la energía que se requiere abastecer para el refrigerador:

W Q T TT

= LH L

L

– .

Al sustituir la expresión del calor removido de la ecuación (ii), obtenemos

W mL T TT

= fusiónH L

L( ) – .

C A L C U L EAl colocar los valores numéricos obtenemos

W mLK

= = kg kJ/kg Kfusión 0 250 334 295 15 2. . –( )( ) 668 15. K268.15 K

= 8.41231 kJ.


W = kJ.8 41.

V U E LVA A R E V I SA RPara volver a revisar nuestro resultado, vamos a calcular el calor removido del agua:

Q mLL fusión= = kg kJ/kg = kJ.0 250 334 83 5. .( )( )

Al usar nuestro resultado de la energía requerida para congelar el agua, podemos calcular el coeficiente de desempeño del refrigerador:

K QW

= = kJ8.41 kJ

=L 83 5 9 93. . .

Podemos comparar este resultado con el máximo coeficiente de desempeño de un refrigerador de Carnot:

K TT Tmáx

L

H L= = K

295.15 K 268.15 K=

–.–

.268 15 9 93..

De esta manera, nuestro resultado parece razonable.


20.1 ¿Cuál de los siguientes procesos siempre resulta en un incremento de la energía de un sistema? a) El sistema pierde calor y trabaja en los alrededores. b) El sistema gana calor y trabaja en los alrededores.

c) El sistema pierde calor y tiene que trabajar en él por los al-rededores. d) El sistema gana calor y tiene que trabajar en él por los alre-dedores. e) Ninguno de las anteriores.



20.2 ¿Cuál es la magnitud del cambio en la entropía cuando 6.00 g de vapor a 100 °C se condensan formando agua a 100 °C? a) 46.6 J/K b) 52.4 J/K

c) 36.3 J/K d) 34.2 J/K

20.3 El cambio de la entropía de un sistema puede ser calcu-lada porque a) Depende únicamente en los estados inicial y final. b) Cualquier proceso es reversible.

c) La entropía siempre aumenta. d) Ninguna de las anteriores.

20.4 Un gas ideal experimenta una expansión isotérmica. ¿Qué pasará con su entropía? a) Aumentará. b) Disminuirá.

c) Es imposible determinarlo. d) Permanecerá sin cambios.

20.5 ¿Cuáles de los siguientes procesos (todos son expansio-nes de temperatura constantes) producen más trabajo? a) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 20 °C que se expande de 1 L a 2 L. b) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 20 °C que se expande de 2 L a 4 L. c) Un gas ideal que consiste en 2 moles de argón a 10 °C que se expande de 2 L a 4 L. d) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 40 °C que se expande de 1 L a 2 L. e) Un gas ideal que consiste en 1 mol de argón a 40 °C que se expande de 2 L a 4 L. 20.6 Un motor térmico funciona con una eficiencia de 0.5. ¿Cuáles pueden ser las temperaturas de depósitos de tempera-tura alta y de temperatura baja? a) TH = 600 K y TL = 100 Kb) TH = 600 K y TL = 200 Kc) TH = 500 K y TL = 200 Kd) TH = 500 K y TL = 300 Ke) TH = 600 K y TL = 300 K

20.7 El número de macroestados que pueden resultar de lan-zar un conjunto de N dados de seis lados es el número de lostotales diferentes que pueden ser obtenidos al sumar los pun-tos de los dados en las N caras que caen hacia arriba. El núme-ro de macroestados esa) 6N. b) 6N. c) 6N – 1. d) 5N + 1. 20.8 ¿Qué capacidad debe tener una bomba de calor con un coeficiente de desempeño de 3 de calentar una casa que pierde energía térmica a una velocidad de 12 kW en el día más frío del año? a) 3 kW b) 4 kW

c) 10 kW d) 30 kW

e) 40 kW

20.9 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca del ciclo de Carnot es (son) incorrecta(s)?a) La máxima eficiencia de un motor de Carnot es de 100% ya que el ciclo de Carnot es un proceso ideal. b) El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos adiabáticos. c) El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos procesos isentrópicos (entropía constante). d) La eficiencia del ciclo de Carnot depende solamente de las temperaturas de los dos depósitos térmicos. 20.10 ¿Puede funcionar un motor térmico con el parámetro especificado en la figura? a) Sí. b) No. c) Necesitaría saber el ciclo específico utiliza-do por el motor para contestar. d) Sí, pero únicamente con un gas monoató-mico. e) Sí, pero únicamente con un gas diatómico.

P R E G U N TA S

20.11 Uno de sus amigos empieza a hablar acerca de qué tan desafortunada es la segunda ley de la termodinámica, qué triste es que la entropía tenga que aumentar siempre, conduciendo a la irreversible degradación de energía útil a calor y la decadencia de todas las cosas. ¿Hay algún contraargumento que le pueda dar que sugeriría que la segunda ley es en realidad una bendición? 20.12 Mientras contempla un sistema muy pequeño, un cien-tífico observa que la entropía del sistema disminuye espontá-neamente. De ser cierto, ¿es este un descubrimiento digno del premio Nobel o no es tan significativo? 20.13 ¿Por qué habría una bomba térmica de tener ventaja sobre un calentador unitario que convierte la energía eléctrica directamente en energía térmica? 20.14 Imagine dividir una caja en dos partes iguales, la parte A en la izquierda y la parte B en la derecha. Cuatro átomos de gas idéntico, numerados del 1 al 4, se colocan en la caja. ¿Cuá-

les son la primera y la segunda distribución más probable (por ejemplo, 3 átomos en A, 1 átomo en B) de los átomos de gas en la caja? Calcule la entropía, S, de esas dos distribuciones. Observe que las configuraciones con los 3 átomos en A y 1 átomo en B, y con 1 átomo en A y 3 átomos en B cuentan como diferentes configuraciones. 20.15 Una característica clave de la termodinámica es el he-cho de que la energía interna, Eint de un sistema y su entropía, S, son estados variables; esto es, dependen únicamente en el estado termodinámico del sistema y no en los procesos por los cuales alcanza ese estado (a diferencia de, por ejemplo, el calor contenido, Q). Esto significa que las diferenciales dEint = T dS – p dV y dS = T–1dEint + pT–1dV, donde T es la temperatura (en kelvins), p es la presión y V es el volumen, son diferencia-les exactas como se definen en el cálculo. ¿Qué relaciones se siguen de este hecho?

QC � 50 joules


679Problemas

P R O B L E M A S

Una • y dos •• indican un nivel creciente de dificultad del problema.

Sección 20.2 20.22 Con cada ciclo, un motor de 2 500. W extrae 2 100. J de un depósito térmico a 90.0 °C y expulsa 1 500. J a un depósito térmico a 20.0 °C. ¿Cuál es el trabajo hecho para cada ciclo? ¿Cuál es la eficiencia del motor? ¿Cuánto tiempo le toma a cada ciclo?

•20.23 Un refrigerador con un coeficiente de desempeño de 3.80 se está usando para enfriar 2.00 L de agua mineral de temperatura ambiente (25.0 °C) a 4.00 °C. Si el refrigerador usa 480. W, ¿cuánto tiempo le llevará al agua llegar a los 4.00 °C? Recuerde que la capacidad calórica del agua es de 4.19 kJ/(kg K), y la densidad del agua es de 1.00 g/cm3. Suponga que el resto del contenido del refrigerador está ya a 4.00 °C.

•20.24 Quemar combustible transfiere 4 · 105 W de potencia al motor de 2 000. kg del vehículo. Si la eficiencia del motor es de 25.0%, determine la rapidez máxima que el vehículo puede alcanzar 5.00 s después de iniciar en el reposo.

•20.25 Un motor térmico consiste en una fuente de calor que causa la expansión de un gas monoatómico, empujando al pistón, para de esta forma hacer el trabajo. El gas comienza con una presión de 300. kPa, un volumen de 150. cm3, y una temperatura ambiente de 20.0 °C. Al alcanzar un volumen de 450. cm3, el pistón está asegurado en su lugar y la fuente de calor es removida. En este momento, el gas enfría de regreso a la temperatura ambiente. Por último, el pistón es liberado y se usa para comprimir isotérmicamente el gas de regreso a su estado original. a) Esboce el ciclo en un diagrama pV. b) Determine el trabajo realizado en el gas y el flujo de calor que sale del gas en cada parte del ciclo. c) Usando los resultados del inciso b), determine la eficiencia del motor.

20.16 Otros estados variables útiles para la caracterización de diferentes clases de procesos se pueden definir como Eint, S, P, y V. Éstas incluyen la entalpía, H ≡ Eint + pV, la energía libre de Helmholtz, A ≡ Eint – TS, y la energía libre de Gibbs, G ≡ Eint + pV – TS. a) Escriba las ecuaciones diferenciales para dH, dA, y dG. b) Todas éstas son también diferenciales exactas. ¿Qué rela-ciones se siguen de este hecho? Use la primera ley para simplificar.20.17 Pruebe que la definición microscópica de la entropía de Boltzmann, S = kB ln w, implica que la entropía es una variable acumulativa: dados dos sistemas, A y B, en estados termodinámicos específicos, con entropías SA y SB, respecti-vamente, muestran que la entropía correspondiente al sistema combinado es SA + SB.

20.18 Explique cómo es posible para una bomba de calor, como aquella en el ejemplo 20.2, operar con únicamente 6.28 kW de energía y calentar una casa que está perdiendo energía térmica a una velocidad de 21.98 kW. 20.19 La temperatura en las nubes superiores de Saturno es aproximadamente de 50 K. La atmósfera de Saturno produce vientos tremendos; rapideces del viento de 600 km/h han sido inferidas de medidas espaciales. ¿El factor del efecto enfriador del viento en Saturno puede producir una temperatura de (o menor a) cero absoluto? ¿Cómo, o por qué no? 20.20 ¿Es una violación a la segunda ley de la termodinámica capturar todo el calor desechado del motor de vapor y entubar-lo de regreso al sistema a que trabaje? ¿Por qué sí o por qué no? 20.21 Le han dado una cubeta de agua. ¿Qué puede hacer para incrementar su entropía? ¿Qué puede hacer para dismi-nuir su entropía?

•20.26 Un ciclo de motor térmico que se usa a menudo en la refrigeración es el ciclo de Brayton, el cual involucra una com-presión adiabática, seguida de expansión isobárica, una ex-pansión adiabática y finalmente una compresión isobárica. El sistema comienza en una temperatura T1 y hace una transi-ción a temperaturas T2, T3 y T4 después de partes respectivas del ciclo. a) Esboce este ciclo en un diagrama pV. b) Muestre que las eficiencias del ciclo entero están dadas por e = 1 – (T4 – T1)/(T3 – T2). •20.27 Suponga que un motor de Brayton (vea el proble-ma 20.26) es manejado como un refrigerador. En este caso, el ciclo comienza a una temperatura T1, y el gas se expande isobáricamente hasta que alcanza una temperatura T4. Enton-ces el gas es comprimido de manera adiabática hasta que su temperatura es T3. Después es comprimido isobáricamente y la temperatura cambia a T2. Por último, se expande en forma adiabática hasta que regresa a una temperatura T1. a) Esboce este ciclo en un diagrama pV. b) Muestre que el coeficiente de desempeño del motor está dado por K = (T4 – T1)/(T3 – T 2 – T4 + T1).

Sección 20.3 20.28 Se desea construir una bomba térmica que tenga una temperatura de salida de 23 °C. Calcule el coeficiente de des-empeño máximo para la bomba cuando la fuente de entrada es a) el aire externo de un día frío de invierno está a 210.0 °C y b) el agua subterránea está a 9 °C.20.29 Considere un motor de Carnot que trabaja entre de-pósitos térmicos con temperaturas de 1 000.0 K y 300.0 K. La potencia media del motor es de 1.00 kJ por ciclo. a) ¿Cuál es la eficiencia de este motor? b) ¿Cuánta energía es extraída del depósito caliente por ciclo? c) ¿Cuánta energía es entregada al depósito frío?



•20.39 Un motor térmi-co usa 100. mg de gas he-lio y sigue el ciclo mos-trado en la figura. a) Determine la presión, volumen y temperatura del gas en los puntos 1, 2 y 3. b) Determine la eficien-cia del motor. c) ¿Cuál sería la eficiencia máxima del motor si fuera capaz de funcionar entre el máximo y el mínimo de temperaturas? ••20.40 Los motores de las turbinas de gas, como las de las aeronaves de propulsión a chorro, operan en un ciclo ter-modinámico conocido como el ciclo de Brayton. El ciclo básico de Brayton, como se muestra en la figura, consiste de dos procesos adiabáticos —la compresión y expansión de un gas a través de la turbina— y de dos procesos isobá-ricos. El calor es transferido al gas durante la combustión en un proceso de presión constante (trayecto del punto 2 al punto 3) y removido del gas en un intercambio térmico du-rante el proceso de presión constante (trayecto del punto 4 al punto 1). El parámetro clave para este ciclo es la propor-ción de la presión, definida como, rp = pmáx/pmín ≡ p2/p1, y éste es el único parámetro necesario para calcular la eficien-cia del motor de Brayton. a) Determine una expresión para la eficiencia. b) Calcule la eficiencia de un motor de Brayton que utiliza un gas diatómico y tiene una proporción de presión de 10.0.

20.30 Un refrigerador de Carnot está operando entre depósi-tos térmicos con temperaturas de 27.0 °C y 0.00 °C. a) ¿Cuánto trabajo necesita introducirse para extraer 10.0 J de calor del depósito frío? b) ¿Cuánto trabajo se necesita si el depósito frío está a –20.0 °C? 20.31 Se ha sugerido que se puede usar la vasta cantidad de energía térmica en los océanos. El proceso descansaría en las diferencias de temperatura entre la capa superior del océano y la inferior; la temperatura del agua en la parte inferior es bastante constante, pero la temperatura del agua en la super-ficie cambia dependiendo del momento del día, la estación y el clima. Suponga que la diferencia de temperatura entre la superficie y el fondo en la ubicación de una planta de energía térmica propuesta sea de 3 °C. Suponiendo que la planta fun-cionara con la mayor eficiencia posible, ¿existe un límite de cuánta de la energía térmica del océano se puede extraer? Si es así, ¿cuál es el límite?

•20.32 Un motor de Carnot toma una cantidad de calor QH = 100. J de un depósito de alta temperatura a una tempe-ratura TH = 1 000. °C, y desecha el calor restante a un depósito de baja temperatura a TL = 10.0 °C. Encuentre la cantidad de trabajo que se obtiene en este proceso.

•20.33 Un motor de Carnot opera entre un depósito caliente a una temperatura T1 y un depósito frío a una temperatura T2. Se encuentra que al incrementar la temperatura del depósito caliente por un factor de 2 mientras se mantiene a la misma temperatura el depósito frío también incrementa la eficiencia del motor de Carnot por un factor de 2. Encuentre la eficien-cia del motor y la proporción de las temperaturas de los dos depósitos en sus formas originales.

•20.34 Cierto refrigerador está calificado con una eficiencia de 32.0%. Para remover 100. J de calor del interior a 0 °C y eyectarlo hacia afuera a 22 °C, ¿cuánto trabajo debe hacer el motor del refrigerador?

Sección 20.4 20.35 Un refrigerador tiene un coeficiente de desempeño de 5.0. Si el refrigerador absorbe 40.0 cal de calor del depósito de baja temperatura en cada ciclo, ¿cuál es la cantidad de calor expulsado al depósito de alta temperatura?

20.36 Una bomba de calor tiene un coeficiente de desempe-ño de 5.0. Si la bomba de calor absorbe 40.0 cal de calor del frío al aire libre en cada ciclo, ¿cuál es la cantidad de calor expulsado al aire caliente bajo techo?

20.37 Un motor de Otto tiene una máxima eficiencia de 20.0%; encuentre la proporción de compresión. Suponga que el gas es diatómico.

•20.38 Un motor fuera de borda para un barco es enfriado por el agua del lago a 15.0 °C y tiene una proporción de com-presión de 10.0. Suponga que el aire es un gas diatómico. a) Calcule la eficiencia del motor del ciclo de Otto. b) Usando su respuesta del inciso a) y el hecho de que la efi-ciencia de un ciclo de Carnot es mucho mayor que aquella del ciclo de Otto, estime la máxima temperatura del motor.

1.00

5.00

VmáxV

1 200. cm3

Isotérmico

p (atm)

13

2

V (m3)Vmáx

QC

QH

Vmín

Combustión

Enfriamiento

p (N/m2)

2

1 4

3

pmín

pmáx

Secciones 20.6 y 20.7 20.41 Uno de los extremos de una barra de metal está en con-tacto con el depósito térmico a 700. K, y el otro extremo está en contacto con un depósito térmico a 100. K. La barra de me-tal y los depósitos forman un sistema cerrado. Si 8 500. J son conducidos de un extremo al otro de la barra uniformemente (sin que cambie la temperatura de la barra), ¿cuál es el cambio en la entropía del sistema en a) cada depósito, b) la barra y c) el sistema? 20.42 La entropía de un estado macroscópico está dada por S = kB lnw, donde kB es la constante de Boltzmann y w es el número de posibles estados microscópicos. Calcule el cambio de la entropía cuando n moles de un gas ideal experimentan libre expansión para llenar el volumen entero de una caja des-pués de que la barrera entre las dos mitades de la caja se quitó.


681Problemas

20.43 Se envía una propuesta para un motor nuevo que esta-rá funcionando entre 400. K y 300. K. a) ¿Cuál es la máxima eficiencia teórica del motor? b) ¿Cuál es el cambio total de la entropía por ciclo si el motor funciona a su eficiencia máxima? 20.44 Un bloque de 10.0 kg inicialmente se desliza a 10.0 m/s en una superficie plana rugosa y a la larga se detiene. Si el blo-que se enfría a temperatura ambiente, que es de 27.0 °C, ¿cuál es el cambio en la entropía del sistema? 20.45 Suponga que un átomo con un volumen VA está den-tro de un contenedor con volumen V. El átomo puede ocupar cualquier posición dentro de su volumen. Para este simple mo-delo, el número de estados disponibles para el átomo se da por V/VA. Ahora suponga que el mismo átomo está dentro de un contenedor con volumen 2V. ¿Cuál será el cambio de entropía?

•20.46 Un gas ideal está encerrado en un cilindro con un pistón movible en la parte superior. Las paredes del cilindro están aisladas, para que el calor no pueda salir ni entrar. Al inicio el gas ocupa el volumen V1 y la presión p1 y la tempe-ratura T1. El pistón se mueve entonces de manera muy rápida al volumen de V2 = 3V1. Este proceso ocurre tan rápidamente que el gas encerrado no realiza ningún trabajo. Encuentre p2, T2 y el cambio de la entropía del gas.

•20.47 Los electrones tienen una propiedad llamada gira-toria que puede ser tanto hacia arriba como hacia abajo, de manera análoga como una moneda puede ser cara o cruz. Considere cinco electrones. Calcule la entropía, S5arriba, para el estado donde los giros de los cinco electrones van hacia arri-ba. Calcule la entropía, S3arriba, para el estado donde tres giros van hacia arriba y dos van hacia abajo.

•20.48 Se toma una barra de hierro de 0.545 kg de un fogón a 1 000.0 °C y se deja caer dentro de 10.00 kg de agua a 22.0 °C. Suponiendo que no se pierde ninguna energía en forma de calor a los alrededores mientras el agua y la barra alcanzan su temperatura final, determine el total del cambio de entropía del sistema de agua-barra.

••20.49 Si la Tierra se trata como un cuerpo negro esférico de un radio de 6 371 km, que absorbe el calor del Sol a una pro-porción dada por la constante solar (1 370 W/m2) e inmerso en un espacio con una temperatura aproximada de Tsp = 50.0 K, irradia calor de regreso al espacio a una temperatura en equilibrio de 278.9 K. (Esto es un refinamiento leve del mode-lo en el capítulo 18.) Estime la proporción en la cual la Tierra gana entropía en este modelo.

••20.50 Suponga que una persona metabolice 2 000 kcal/día. a) Con una temperatura corporal de 37.0 °C y una tempera-tura ambiente de 20.0 °C, ¿cuál es la eficiencia máxima (Car-not) con la cual la persona puede trabajar? b) Si la persona pudiera trabajar con esa eficiencia, ¿a qué tasa, en watts, tendrían que deshacerse de los desechos de ca-lor al medio ambiente? c) Con un área de piel de 1.50 m2, una temperatura de piel a 27.0 °C, y una efectiva emisividad de e = 0.600, ¿a qué tasa neta irradia esta persona calor de los 20.0 °C que lo rodean?

d) El resto de los desechos de calor necesitan ser removidos evaporando agua, ya sea como sudoración o desde los pulmo-nes. A temperatura corporal, el calor latente de vaporización del agua es de 575 cal/g. ¿A qué tasa, en gramos por hora, pierde agua esta persona? e) Estime la tasa a la que la persona gana entropía. Suponga que toda la evaporación requerida del agua sucede en los pul-mones, a una temperatura interna del cuerpo de 37.0 °C.

Problemas adicionales 20.51 Una fuente de energía no contaminante es la energía geotérmica, del calor del interior de la Tierra. Estime la eficien-cia máxima de un motor térmico funcionando entre el centro de la Tierra y la superficie de la Tierra (use la tabla 17.1). 20.52 En algunos de los ciclos termodinámicos discutidos en este capítulo, una intersección es isotérmica y una curva es adiabática. Para un gas ideal, ¿por qué factor es la curva adia-bática más profunda que la isotérmica? 20.53 Los motores de combustión interna en los automóviles de hoy operan con el ciclo de Otto. La eficiencia de este ciclo, eOtto = 1 – r1–, como se deriva en este capítulo, depende de laproporción de la compresión, r = Vmáx/Vmín. Incrementarla eficiencia de un motor Otto puede hacerse al aumentar la proporción de compresión. Esto, a su vez, requiere combusti-ble con una valoración de octanos más alta, para evitar la pro-pia combustión de una mezcla de combustible y aire. La tabla que sigue muestra algunos valores de octanos y la proporción máxima de compresión que el motor debe tener antes de que la propia combustión llegue (de golpe).

Valoración en octanos del combustible

Máxima proporción de compresión sin golpear

91 8.593 9.095 9.897 10.5

Calcule la máxima eficiencia teórica de un motor de combus-tión interna funcionando en cada uno de estos cuatro tipos de gasolina y el porcentaje de incremento en la eficiencia entre usar combustible con un grado de octanos de 91 y usar un combustible con un grado de octanos de 97. 20.54 Considere un acondicionador de aire para habitación usando un ciclo de Carnot a su máxima eficiencia teórica y operando entre una temperatura de 18 °C (dentro de la habita-ción) y 35 °C (fuera de la habitación). Por cada 1.00 J de calor que fluye fuera de la habitación hacia el acondicionador de aire: a) ¿Cuánto calor fluye fuera del aire acondicionado hacia el exterior de la habitación? b) Aproximadamente, ¿por cuánto disminuye la entropía de la habitación? c) Aproximadamente, ¿por cuánto se incrementa la entropía del exterior de la habitación? 20.55 Suponga que le toma 0.0700 J de energía para calentar una muestra de 1.00 g de mercurio de 10.000 °C a 10.500 °C y como la capacidad de calentamiento del mercurio es constan-



c) ¿Cuál será el desplazamiento del pistón debido a esta trans-ferencia o calor? d) ¿Qué fracción del calor será convertida a trabajo? •20.65 Un volumen de 6.00 L de gas ideal monoatómico ori-ginalmente a 400. K y presión de 3.00 atm (llamado estado 1), experimenta el siguiente proceso, todo hecho de manera reversible:

1 → 2 expansión isotérmica a V2 = 4V1

2 → 3 compresión isobárica

3 →1 compresión adiabática a su estado original

Encuentre el cambio en la entropía para cada proceso.

•20.66 El proceso mos-trado en el diagrama pV se realiza en 3.00 moles de gas monoatómico. Determine la cantidad de calor de entrada para este proceso.

•20.67 1.00 mol del gas ideal monoatómico con una presión de 4 atm y volumen de 30.0 L es expandido isotérmicamente a una presión de 1.00 atm y un volumen de 120.0 L. Después, es comprimido a una presión constante hasta que su volumen es de 30.0 L, y entonces su presión se incrementa a un volu-men constante de 30.0 L. ¿Cuál es la eficiencia del ciclo de este motor térmico?

••20.68 Dos cilin-dros, A y B, tienen diámetros internos iguales y pistones de masa insignificante conectados por una barra rígida. Los pistones pueden mover-se libremente. La barra es un tubo corto con una válvula, que está inicialmente cerrada (vea la figura).

El cilindro A y su pistón están térmicamente aislados, y el cilindro B está en contacto térmico con un termostato, el cual tiene una temperatura de = 27.0 °C. Al inicio, el pistón del cilindro A está fijo y dentro del cilindro hay una masa m =0.320 kg, de argón a una presión más alta que la presión at-mosférica. Dentro del cilindro B hay una masa de oxígeno a presión atmosférica normal. Cuando el pistón del cilindro A se libera, se mueve muy lentamente, y en equilibrio, el vo-lumen del argón en el cilindro A es ocho veces mayor, y la densidad del oxígeno ha incrementado por un factor de 2. El termostato recibe calor Q9 = 7.479 · 104 J. a) Basado en la teoría cinética de un gas ideal, muestre que el proceso termodinámico que está teniendo lugar en el cilindro A satisface TV2/3 = constante. b) Calcule p, V y T del argón es sus estados inicial y final. c) Calcule la presión final de la mezcla de los gases si la válvu-la de la barra se abre.La masa molar del argón es = 39.95 g/mol.

te, con cambios insignificantes de volumen como función de temperatura. Encuentre el cambio en la entropía si esta mues-tra es calentada de los 10. °C a 100 °C.20.56 ¿Cuál es la mínima cantidad de trabajo que se necesita para extraer 500.0 J de calor de un objeto sólido a una tempe-ratura de 27.0 °C mientras suelta calor a un depósito de altas temperaturas con una temperatura de 100.0 °C? 20.57 Considere un sistema que consiste en tirar un dado de seis caras. ¿Qué ocurre con la entropía de ese sistema si se le suma un dado adicional? ¿Se duplica? ¿Qué pasa con la entro-pía si el número de dados es de tres? 20.58 Un inventor sostiene que ha creado un motor impulsado por agua con una eficiencia de 0.200 que opera entre depósitos térmicos a 4 °C y a 20. °C. ¿Sería esta una reclamación válida?

20.59 Si el nitrógeno líquido es hervido lentamente —esto es, en forma reversible— para transformarlo en gas nitróge-no con una presión P = 100.0 kPa, su entropía aumenta por S = 72.1 J/(mol K). El calor latente de la vaporización del nitrógeno en su temperatura de ebullición en esta presión es Lvap = 5.568 kJ/mol. Usando estos datos, calcule la temperatu-ra de ebullición del nitrógeno a esta presión. 20.60 Un automóvil de 1 200 kg que viaja a 30.0 m/s choca contra una pared en un día cálido (27 °C). ¿Cuál es el cambio de entropía total?

•20.61 Un motor enfriado por agua produce 1 000. W de po-tencia. El agua entra al bloque del motor a 15.0 °C y sale a 30.0 °C. La proporción del flujo de agua es de 100. L/h. ¿Cuál es la eficiencia del motor?

•20.62 Encuentre el cambio neto de la entropía cuando 100.0 g de agua a 0 °C se añaden a 100.0 g de agua a 100.0 °C.

•20.63 Una planta de energía de carbón produce 3 000. MW de energía térmica, lo cual se usa para hervir agua y producir vapor supersaturado a 300. °C. Este vapor de alta presión mue-ve una turbina produciendo 1 000. MW de energía eléctrica. Al final del proceso, el vapor es enfriado a 30.0 °C y reciclado. a) ¿Cuál es la posible eficiencia máxima de la planta? b) ¿Cuál es la eficiencia real de la planta? c) Para enfriar el vapor, agua del río corre a través del con-densador a una proporción de 4.00 · 107 gal/h. Si el agua entra al condensador a 20.0 °C, ¿cuál es su temperatura de salida? •20.64 Dos compartimientos de igual volumen de una caja están unidos por una fina pared como se enseña en la figura. El compartimiento de la izquierda está lleno con 0.0500 moles de gas helio a 500. K, y el compartimiento de la derecha con-tiene 0.0250 moles de gas helio a 250. K. El compartimiento de la derecha también tiene un pistón al cual se le aplica una fuerza de 20.0 N. a) Si se quita la pared que divide los compartimien-tos, ¿cuál será la tempera-tura final del sistema? b) ¿Cuánto calor se va a transferir del compartimiento de la izquierda al de la derecha?

0 3.001.00

1

4.002.00

2

5.00

p (1

02 kPa

)

V (10� 2 m3)

0

6.00

3.00

9.00

BA

Sistema 10.050 moles de Hea 500 K

Sistema 20.025 moles de Hea 250 K

20 N


Term Odin á Mica

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