Geoestadstica y Teora de las Variables Regionalizadas Notacin condensada Ejemplos de variables regionalizadas Campo y soporte Variables aditivas Objetivos de la teora

El variograma

Clculo del variograma para una lnea muestreada regularmente Comportamiento del variograma para distancias pequeas Comportamiento del variograma para grandes distancias Clculo del variograma para una malla regular bidimensional Clculo del variograma para mallas irregulares Ajuste de un variograma a un modelo terico Los modelos de variograma Ajuste en el espacio de dos o tres dimensiones Caso istropo Caso anistropo Anisotropa geomtrica Anisotropa zonal ModelamientoValidacion cruzadaTEMAS A TRATAR

TEMAS A TRATAR

La Geoestadstica es la aplicacin de la teora de las variablesregionalizadas a la estimacin de los depsitos mineros (con todas las aproximaciones que esto implica).

De manera general, diremos que un fenmeno es regionalizado cuando se desplaza en el espacio, manifestando una cierta estructura.Que es la Geoestadistica

Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas, mencionemos que en geoestadistica se utiliza la notacin condensada: Un punto del espacio se representa por la letra x.

Por ejemplo la ley en el punto x se representa por z(x). Por consiguiente,z(x) puede significar:

z(x) si el problema es unidimensional (1-D) z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D) z(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D)

Se observa que existen problemas de notacin: Se acostumbra a designar una variable regionalizada con la letra z, lo cual coincide con la notacin utilizada para la cota o elevacin.NOTACION CONDENSADA

Ejemplos de variables regionalizadasEjemplo 1: En la dimensin tiempo (una dimensin t), el precio de un metal p(t).

Precio del cobre (promedio mensual 1987-2005) en centavos de dlar / libra.z(x) si el problema es unidimensional (1-D)

Ejemplos de variables regionalizadasEjemplo 2 : En el espacio de dos dimensiones, sea z(x1, x2) = z(x) = potenciamineralizada en un yacimiento de nitratos:Depsito de nitratos-yodo: La zona mineralizada, de color rojo en la figura, se llama caliche.z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D)

Ejemplo 3: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = Ley de Cu enel punto x dentro de un depsito masivo:Ejemplos de variables regionalizadasz(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D)Caso tpico de depsito de xidos-sulfuros. La capa superior corresponde a grava o coluvioEn un depsito de este tipo se puede comprobar que la ley de cobre se comporta de manera diferente en la zona de xidos y en la zona de sulfuros. Esto nos conduce a considerar para la ley de cobre, dos variables regionalizadas diferentes.

Campo y soporteSe llama campo a la zona en la cual se estudia la variable regionalizada. Para definir bien el campo (por ejemplo los lmites) es necesario utilizar un modelo geolgico adecuadopor ejemplo, en la figura se podran distinguir dos campos disjuntos, los cuales se pueden tratar de manera independiente y corresponden a unidades geolgicas: Unidad xidos y unidad sulfuros.Entonces en un mismo depsito minero D pueden haber varios campos o unidades D1, D2, ..., Dk, en general disjuntos, cuya reunin es el conjunto D.En algunas situaciones, cada campo debera tener un tratamiento geoestadstico diferente: Para estimar una zona contenida en una cierta unidad, slo se utilizan datos de la misma unidad: Se dice que se tienen fronteras duras.

Las fronteras duras entre las unidades D1 y D2 se justifican cuando existeindependencia entre las leyes de D1 y D2 (es decir existe una discontinuidadgeolgica). La independencia debe ser comprobada mediante un anlisis de las leyes en las fronteras de las unidades D1 y D2..Campo y soporteEl soporte es el volumen de la muestra que define la variable regionalizada. A menudo el soporte es un cilindro (figura llamado testigo).Figura : Un testigo. Tiene un cierto largo (L) y un cierto dimetro (d).En general, en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar soportes de tamaos diferentes.

En el caso en que los testigos que constituyen el sondaje son de tamao irregular, es necesario hacer una operacin la cual consiste en regularizar o compositar el sondaje, es decir disponer de datos (compsitos) de longitud constante .Campo y soporte

Variables aditivas.En general, en la estimacin de recursos mineros conviene utilizar variables aditivas.

Una variable regionalizada es aditiva cuando se cumple la condicin siguiente:

Se conoce la variable z en dos soportes V1 y V2, con valores medios respectivos z1 y z2, entonces el valor medio de la variable z en el soporte homogeneizado V1 U V2 es igual al promedio ponderado de z1 y z2, en particular si V1 = V2, entonces el valor medio de la variable es (z1 + z2) / 2.

La teora de las V.R. se propone entonces dos objetivos principales:

en el plano terico, expresar estas caractersticas estructuralesen una forma matemtica adecuada

en el plano prctico, resolver el problema de la estimacin de unaV.R. a partir de un muestreo fragmentario.

Estos dos objetivos estn relacionados :

El error de estimacion depende de las caracteristicas estructurales (continuidad,anisotropia) y se tendra un error mayor si la variable regionalizada es mas irregular y ms discontinua en su variacin espacial.Objetivos de la teora Variable regionalizada.

Ejemplo: la figura siguiente representa el caso de una variable regionalizada z(x) = ley de cobre definida en un soporte cuadrado de lado (a x a):La ley de corte es c = 0.5

Se definen otros soportes (tamao del bloque): (a)x(2a), (2a)x(a), (2a)x(2a), (3a)x(3a) y (6a)x(6a).

T es el tonelaje sobre la ley de corte medido en nmero de bloques de tamao. m es la ley media de los bloques cuya ley es superior a la ley de corte.

B es el beneficio convencional, definido por:B = T ( m c )

La importancia econmica de la anisotropa y del soporte es evidente.Objetivos de la teora.

Importancia econmica del soporte y la anisotropa. A medida que aumenta el soporte, se diluyen las leyes. Observar que la ley de corte es mayor que la ley media.

Ejercicio

Repetir los clculos para una ley de corte de 0.40.Objetivos de la teora.

El variogramaEl variograma es una funcin que constituye la herramienta fundamental de lageoestadistica.

Sean x y x + h dos puntos en el espacioDos puntos a la distancia vectorial hLas propiedades de (h), que se deducen fcilmente de la definicin sonLa ltima relacin proviene del hecho que si dos leyes z1 y z2 estn a la distancia h,

entoncesLa definicin terica de la funcin variograma (h) es la esperanza matemtica siguiente:Sin embargo, en la prctica siempre se utiliza el algoritmo siguienteEsta ecuacin es la que hay que adaptar en cada situacin prctica (mallas regulares e irregulares en el espacio de n dimensiones, n = 1, 2, 3).

Clculo del variograma para una lnea muestreada regularmenteSean N datos z1, z2, . . . , zN y sea b la equidistancia entre ellos:Lnea recta con muestras regularesSea h = b: Segn el algoritmo de clculo se tieneUn variograma experimental.La distancia b se llama paso del variograma.

Para interpretar el grfico del variograma distinguiremos el comportamiento para las distancias |h| pequeas y las distancias |h| grandes.

Comportamiento del variograma para distancias pequeasEstudiaremos el comportamiento de la funcin (h) para | h | pequeo, para lo cualanalizaremos cuatro casos hipotticos.Caso 1: Leyes muy regulares y continuas.Para una distancia b pequea, las dos leyes de la figura son casi iguales, lo que implica que para |h| pequeo, (h) es prximo a cero; luego el grfico de (h) en una vecindad del origen.Variograma parablico en el origenSe dice que (h) tiene un comportamiento parablico en el origen.

Caso 2: Continuidad y regularidad promedioComportamiento del variograma para distancias pequeasLeyes con continuidad promedio. La variable es continua pero no es derivableEn este caso, para una distancia pequea, la diferencia de leyes es significativa; luego el grfico de (h) en una vecindad del origen ser:Variograma lineal en el origenSe dice que (h) tiene un comportamiento lineal en el origen

Caso 3: Existencia de micro variaciones:Comportamiento del variograma para distancias pequeasPresencia de una estructura a menor escala. La variable es ms discontinuaSi la equidistancia entre datos b es menor que la escala de variacin d de las microestructuras,el variograma en una vecindad del origen ser:Efecto de pepita en el origenExiste un crecimiento rpido hasta |h| = d (debido a la micro regionalizacin) y luego un crecimiento ms moderado (debido a la variacin a gran escala): se dice que existe efecto de pepita.

Co se llama constante de pepita.Es decir existe una discontinuidad aparente en el origen

El nombre efecto de pepita proviene del estudio de los depsitos de oro. Consideremos

por ejemplo un testigo en un depsito de oro:Efecto de pepita en un testigo de una mina de oroEn general, el efecto de pepita se produce debido a microvariaciones y/o a errores en el muestreo, la manipulacin, preparacin o anlisis qumicoComportamiento del variograma para distancias pequeas

Caso 4 : lmite en el cual la irregularidad de las leyes es total:Comportamiento del variograma para distancias pequeasIrregularidad mxima. La variable es caticaPor muy pequea que sea la distancia b, las leyes de dos puntos a esta distancia sonprcticamente independientes. El grfico de (h) ser:Efecto de pepita puro: El variograma no depende de la distancia hSe dice que (h) presenta un efecto de pepita puro:(0) = 0, (h) = C si h 0.

Comportamiento del variograma para grandes distanciasEstudiaremos ahora el comportamiento de la funcin (h) para |h| grande, para lo cualanalizaremos tres casos hipotticos:Caso 1: Leyes con crecimiento (decrecimiento) progresivoLeyes con tendencia o derivaSe dice que existe una deriva o tendencia. Al hacer el clculo se observar que (h) siempre crece:Variograma con crecimiento sistemtico

Caso 2: Leyes con pseudo-periodicidadesComportamiento del variograma para grandes distanciasEl fenmeno tiende a repetirse de manera estacionaria (es decir, vara de manera homognea y sin deriva):Fenmeno estacionario con periodicidadesSi se calcula la funcin (h) se observar la presencia de mximos y mnimosVariograma con efecto de hoyoSe dice que el variograma presenta efecto de hoyo o de agujero

Comportamiento del variograma para grandes distanciasCaso 3: Fenmeno estacionario sin pseudo-periodicidades (o fenmeno de transicin):El fenmeno es homogneo en su variacin espacial, con cambios bruscos.Fenmeno estacionario sin periodicidadesEste caso debera corresponder al anterior, en el cual la magnitud crece. Si secalcula la funcin (h), se tiene:Variograma de un fenmeno estacionario sin periodicidades, con alcance y mesetaSe observa que a partir de una cierta distancia, del orden a = 6 unidades, la funcin (h) permanece aproximadamente constante:(6) = (7) = (8) = . . . = constante = C

Esto quiere decir que da lo mismo que la distancia que separa los puntos sea 6, 7, 8 o ms unidades; en otras palabras, dos puntos cuya distancia sea superior a a = 6 unidades son prcticamente independientes en ley.

La magnitud a se llama alcance y la constante C se llama meseta.Variograma con alcance a y meseta C.El alcance proporciona una medida de la zona de influencia de una muestra porque dosmuestras cuya distancia es mayor que el alcance son prcticamente independientes:Dos muestras cuya distancia sea inferior al alcance a estn correlacionadas entre s.En el caso de un fenmeno de transicin, la meseta C tiene una significacin estadstica si consideramos el resultado siguiente, el cual se puede demostrar utilizando el modelo matemtico de las funciones aleatorias:C = 2

en que 2 es la varianza estadstica de los datos utilizados en el clculo de (h). En la prctica, esta relacin terica es slo aproximada.

Ejemplo2 muestra un sondaje en el depsito de carbn. Se trata de un sondaje vertical con N = 80 muestras. La equidistancia entre las muestras es b = 5 metros. El carbn se representa en rojo y el estril (la tosca) se representa en amarillo:Clculo de la varianza:Clculo de (h):Se obtiene fcilmente:(5) = 0.12(10) = 0.20(15) = 0.24(20) = 0.25(25) = 0.25Grfico de (h):Se observa un alcance a del orden de 20 m. y una meseta C = 0.25, la cual coincidecon la varianza estadstica de las muestras.Los nmeros superiores representan la potencia real de los mantos.

Clculo del variograma para una malla regular bidimensionalSupongamos la situacin de la figura (correspondiente a leyes de cobre):Fijemos la direccin del vector h; que sea por ejemplo = 90, es decir, la direccin NS. El vector h slo puede ser:Vectores orientados segn direccin NSCalculemos (h1) = NS(10). Al aplicar el algoritmo hay que considerar las (diferencias)2 posibles: (zi - zj)2 cuando ambos datos zi y zj estn definidos.

Clculo del variograma para una malla regular bidimensionalParejas posibles para calcular gama de 10 metros en la direccin NS (hay 36 vectores).De manera anloga se obtiene(h2) = 0.0987 (27 parejas)(h3) = 0.1888 (21 parejas)Sea ahora la direccin = 0, es decir la direccin EW. El vector h slo puedeser:Las diferencias que hay que calcular son:Parejas posibles para calcular gama de 10 metros en la direccin EW (hay 36 vectores).

Se obtiene entonces:(h1) = 0.0146 (36 parejas)(h2) = 0.0330 (33 parejas)(h3) = 0.0431 (27 parejas)La prctica demuestra que, para estudiar las estructuras basta con calcular (h) en dos direcciones adicionales: = 45 y = 135Clculo de gama de h en la direccin de 45. La distancia entre parejas es ahora 14.41 metros.Clculo de gama de h en la direccin de 135. La distancia entre parejas contiguas (el paso) es 14.41 metrosClculo del variograma para una malla regular bidimensional

Clculo del variograma para una malla regular bidimensionalGrfico de (h):Variograma anistropo. La variacin de las leyes es ms regular en la direccin EW que en la NSSe observa una clara anisotropa que nos indica que el fenmeno es ms regular en ladireccin EW que en la NS. (Esto se puede comprobar al mirar como varan las leyesen esas direcciones:Clculo del variograma para una malla regular bidimensional

Los datos que se proporcionan a continuacin provienen de un banco en una mina de fierro:Clculo del variograma para una malla regular bidimensionalAl aplicar el algoritmo general se obtienen los grficos siguientesClculo de gama de h en la direccin de 45. La distancia entre parejas es ahora 14.41 metros.Clculo de gama de h en la direccin de 135. La distancia entre parejas contiguas (el paso) es 14.41 metrosClculo del variograma para una malla regular bidimensional

Variograma NSVariograma EWVariograma direccin 45 (paso = 14.41 metros)Variograma direccin 135 (paso = 14.41 metros)Clculo del variograma para una malla regular bidimensionalObservamos que (h) es casi el mismo segn las direcciones: podemos concluir que el fenmeno es istropo.Clculo del variograma para una malla regular bidimensional

Que se puede orientar o utilizar en cualquier direccin o sentido En este caso se justifica calcular el variograma promedio, llamado variograma omnidireccional, el cual se puede obtener, en este caso, mediante un promedio ponderado de los valores del variograma (ponderacin por el nmero de parejas N'):Clculo del variograma para una malla regular bidimensionalGrfico del variogramaVariograma omnidireccional. Su clculo se justifica en el caso istropoClculo del variograma para una malla regular bidimensional

Clculo del variograma para mallas irregularesEn el caso bidimensional, la situacin es la siguiente:Supongamos que queremos calcular (h1) utilizando el algoritmo general, siendo h1 el vector siguiente:Vector para clculo del variograma.Lo ms probable es que no encontremos ningn o muy pocos pares de datos que estn exactamente a la distancia h1. Es necesario entonces introducir aproximaciones para el clculo de (h).Aproximacin : Mtodo de los sectores. Se basa en la aproximacin siguiente: Dos puntos estn aproximadamente a la distancia h si una vez fijado el primero, el segundo cae en la zona de la figuraMtodo de los sectores

Si el punto P2 cae en la zona amarilla, entonces se dice que P1 y P2 estn aproximadamente a la distancia h. se llama tolerancia angular, se llama tolerancia en distanciaLa eleccin de y depende de la distribucin espacial de los datos y de la prctica.

En algunos casos la prctica recomienda utilizar = 22.5 y = 0.5b, en que b es la distancia mnima, llamada paso, para el clculo de (h).Algunos paquetes computacionales definen otro tipo de zona (mtodo del lpiz):En este caso hay que definir tres parmetros: , y d (d se llama a veces ancho de banda).Clculo del variograma para mallas irregulares

La nube variogrfica.Dada una cierta direccin, la nube variogrfica consiste en graficar, para una direccin dada, el valor de todas las diferencias

en funcin de la distancia entre los puntos xi y xj .En la figura se ha representado la nube variogrfica correspondiente a leyes de alcalinos en una mina de hierro, en la direccin de azimuth 45, con tolerancia angular de 22.5. Se ha representado tambin el variograma experimental para un paso de 10 metros, con una tolerancia en distancia de 10 metros.Esta herramienta permite detectar la influencia de algunos datos anmalos en el clculo del variograma. Estos datos podran ser filtrados en la variografaEl dato anmalo 1.51 es el responsable de las diferencias que estn en la elipse de la derechaClculo del variograma para mallas irregulares

Ajuste de un variograma a un modelo tericoEl objetivo de ajustar un modelo terico es disponer de una ecuacin, la cual se utilizar en los clculos posteriores. En general, los paquetes computacionales trabajan exclusivamente con el modelo terico. Distinguiremos dos variogramas.

i) El variograma experimental, calculado a partir de los datos.

ii) el variograma terico, que corresponde a una ecuacin que se ajusta al variograma experimental:Es evidente que el variograma terico debe respetar al variograma experimental, sobretodo en los primeros puntos, que son ms confiables.

El ajuste de variogramas constituye un punto crucial en un estudio geoestadstico porque todos los clculos posteriores se harn utilizando exclusivamente el modelo terico.

Ajuste de un variograma a un modelo tericoPara tener un buen ajuste, hay que considerar que uno de los objetivos finales es la estimacin de leyes de bloques (modelo de bloques), dentro de una cierta vecindad restringida de manera de no considerar demasiadas muestras para estimar la ley de cada bloque:Modelo tridimensional de bloques.

Existen tres unidades geolgicas (a bloque completo)Vecindad de estimacin.

Para estimar el bloque de la figura solo se utilizan los compsitos que estn dentro del crculo de radio R.

Ajuste de un variograma a un modelo tericoPara estimar el bloque de la figura solo se utilizan los compsitos que estn dentro del crculo de radio R.Si la vecindad de bsqueda es circular o esfrica, slo se utilizar la funcin (h) hastauna distancia mxima de |h| = 2R; luego conviene ajustar (h) hasta |h| = 2R.La utilizacin de modelos es comn en otras reas; por ejemplo en Estadstica seajusta un modelo a un histograma de datos

Los modelos de variogramaAs como en estadstica existen modelos (ley de Gauss, Lognormal, ...) en Geoestadstica tambin existen modelos de variograma.El modelo debe cumplir con las propiedades siguientes:Sin embargo, la teora demuestra que estas condiciones no son suficientes: En efecto, se puede probar que (h) pertenece a una familia de funciones (llamadas funciones de tipo negativo condicional) y la eleccin del modelo debe quedar restringida a esta familia . Elegir un modelo en la familia garantiza la coherencia de los clculos (no seobtienen, por ejemplo, varianzas negativas).

Por consiguiente, slo hay que utilizar los modelos que describiremos a continuacin (o bien combinaciones de ellos, las cuales consisten en sumar dos o ms modelos).

Los modelos de variogramaa) El modelo potenciaLa ecuacin de (h) es:en que > 0, 0 < < 2. Un grfico sera:Esta familia de variogramas no presenta meseta. Un caso particular importante es cuando = 1: (h) es una recta, se llama variograma lineal.

b) El modelo esfrico: Es uno de los modelos ms importantes. A menudo, el variograma de las leyes de cobre en un depsito de cobre porfdico corresponde a este modelo. Su ecuacin es:El alcance es a y la meseta es C.Modelo esfrico o modelo de MatheronA la izquierda la base de datos en una planta (75000 pozos de tronadura), a la derecha el variograma esfrico (en azul) y el experimental (puntos rojos). El alcance es del orden de 100 metros.Modelo mas frecuente se puedeCombinar con el efecto pepita

c) El modelo cuadrtico: Similar al esfrico pero ms simple:C(2(h/a) - (h/a)2) si h a

C si h > a(h) =Modelo cuadrtico.d) El modelo exponencial: Crece ms lentamente que el esfrico o cuadrtico y tiene por ecuacin:(h) = C (1 - exp(- h / ) )La meseta es C; el alcance en teora es infinito pero en la prctica: si h>3, entonces (h) C: el alcance prctico es 3.Modelo exponencial o modelo de Formery. Este modelo se presenta a veces en leyes que estn asociadas a fallas

e) El modelo sinusoidal: Sirve para representar el efecto de hoyo; su ecuacin es(h) = C(1 - sen( h) / ( h) )f) El modelo gaussiano: Tiene un comportamiento parablico en el origen; su ecuacin es:(h) = C(1 - exp(- (h / )2) )

g) El modelo cbico: Tiene un comportamiento parablico en el origen pero sualcance es finito e igual a a; su ecuacin es:C(7(h / a)2 - 8.75(h / a)3 + 3.5 (h / a)5 - 0.75(h / a)7) si ha

C si h>a(h) =Modelo cbico. Es derivable en el origenEn algunas ocasiones se puede ajustar un modelo correspondiente a la suma de dos (o ms) modelos, llamados modelos anidados. La suma de dos modelos de variograma constituye un modelo autorizado. Donde se representa el modelo:

Ajuste en el espacio de dos o tres dimensionesAcabamos de estudiar el ajuste de variogramas en el espacio de una dimensin. Sin embargo, en la prctica se dispone de un conjunto de variogramas 1(h), 2(h), . . . ,k(h) correspondientes a las direcciones 1, 2, . . . , k.a) Caso istropo: Es el caso ms simple. Se cumple que: 1(h) 2(h) . . . k(h)Se utiliza entonces como modelo general el variograma ajustado al variograma omnidireccional:(h) = omni(|h|)En esta notacin:

b) Caso anistropo: En este caso los variogramas direccionales son en general diferentes:Ajuste en el espacio de dos o tres dimensionesEn la prctica se distinguen dos tipos de comportamiento anistropos del variogramaAnisotropa geomtrica:Se produce cuando los diversos variogramas pueden reducirse a un variograma istropo mediante una transformacin lineal de las coordenadas. El caso ms comn en la prctica es cuando los variogramas presentan un mismo valor de meseta pero diferentes alcances:Elipse de anisotropa geomtrica (rosa de alcances)En la figura se ha representado una anisotropa geomtrica (en el caso istropo loanterior sera un crculo).

Anisotropa geomtrica:

anisotropa zonalEl mapa variogrfico dibuja bandas; se trata de un caso lmite de anisotropa geomtrica, donde el alcance en una direccin se vuelve muy grande. A la escala de trabajo, la meseta cambia segn la direccin.Se define entonces el modelo de anisotropa zonal como un modelo anidado :

Modelamiento

Modelos anidados (1)Para obtener modelos ms complejos, se puede sumar varios variogramas elementales. Se habla de variogramas anidados.El uso de variogramas anidados permite modelar cambios de pendientes en los variogramas direccionales.

Modelos anidados (2)El concepto de variogramas anidados permite explicar una de las causas del efecto pepita: se trata de un modelo anidado de alcance muy corto con respecto a la escala de observacin (micro-estructura).

Modelos anidados (3)Otras causas que generan un efecto pepita en el variograma experimental: errores de medicin errores en la ubicacin de los datos muestreo preferencial en zonas de mayor variabilidad soporte de la medicin demasiado pequeo: la amplitud del efecto pepita es inversamente proporcional al volumen (soporte) de la muestra

Anisotropas (1)DefinicinUn variograma es istropo si es idntico en todas las direcciones del espacio. En caso contrario, existe anisotropa, la cual indica que la variable regionalizada posee direcciones preferenciales en cuanto a su continuidad.Una herramienta para detectar las anisotropas consiste en graficar el mapa variogrfico, o sea el mapa de valores del variograma experimental en funcin de la separacin (distancia y orientacin).

El mapa variogrfico dibuja elipses (2D) o elipsoides (3D). Slo se requiere especificar las direcciones principales (ortogonales) y los alcances correspondientes.Anisotropas (2)Modelamiento: anisotropa geomtrica

Anisotropas (3)Modelamiento: anisotropa zonalEl mapa variogrfico dibuja bandas; se trata de un caso lmite de anisotropa geomtrica, donde el alcance en una direccin se vuelve muy grande. A la escala de trabajo, la meseta cambia segn la direccin.

Anisotropas (4)Modelamiento: anisotropas complejasSe obtiene formas ms complejas de anisotropa al sumar variogramas con anisotropas geomtricas y/o zonales de orientacin y razn diferentes.

Validacin cruzada

La validacin cruzada (1) medias de los errores y de los errores estandarizados varianza de los errores varianza de los errores estandarizados nube de dispersin entre valores reales y estimadosdeben ser cercanas a cero estimador insesgado debe ser la ms baja posible estimador preciso debe ser cercana a 1 el variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre la regresin debe acercarse a la diagonal insesgo condicional Factores que considerar para la validacin del modelo

La validacin cruzada (2)Qu implica tener sesgo condicional?Supongamos que se produce sesgo condicional al momento del control de leyes (seleccin entre mineral y estril)ley de cortebotaderoCentro de gravedad sobre la diagonal: la ley media estimada es menor que la ley verdadera.Centro de gravedad de la nube en la diagonal: la ley media estimada es igual a la ley media verdadera.

La validacin cruzada (2)Qu implica tener sesgo condicional?Supongamos que se produce sesgo condicional al momento del control de leyes (seleccin entre mineral y estril)ley de corteplantaCentro de gravedad bajo la diagonal: la ley media estimada es mayor que la ley verdadera.

La validacin cruzada (4)Estudio del insesgo condicional Ley de corte [%Cu] Media efectiva Media estimada 0.00 1.054 1.056 0.20 1.054 1.056 0.40 1.092 1.094 0.60 1.182 1.186 0.80 1.299 1.301 1.00 1.446 1.451 1.20 1.628 1.629 1.40 1.849 1.846 1.60 2.043 2.046 1.80 2.325 2.295 2.00 2.608 2.563 2.20 2.996 2.922 2.40 3.301 3.123 2.60 3.746 3.490 2.80 3.970 3.657Comparar las leyes promedio reales y estimadas al seleccionar los datos cuyos valores estimados superan una ley de corte

La validacin cruzada (5)Estudio del insesgo condicionalEn este caso, el sesgo condicional es despreciable.