TEORÍAS DEL APRENDIZAJE
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TEORÍAS DEL APRENDIZAJE Hay varios sistemas de clasificación. Si se elige la clasificación de las Teorías de Aprendizaje, según la concepción intrínseca del aprendizaje, podemos diferenciar en: Teorías Asociacionistas de condicionamiento Condicionamiento clásico (Pavlov, Guthrie) Condicionamiento Instrumental Operante (Hull, Thorndike) Teorías Mediacionales Teorías Cognitivas: Teoría de Gestal (Kofka, Wertheimer) Psicología Genético-Cognitiva (Piaget, Bruner, Ausubel, Inhelder) Psicología Genético-Dialéctica (Vigotsky, Rubinstein, Wallou, etc) Teoría del Procesamiento de la Información (Gagné, Néwell, Mayer, Pascual Leone, etc) La Psicología Genético-Cognitiva: Desde la mitad del Siglo XX y hasta nuestros días se han impuestos principios de la Psicología Genético-Cognitiva. Entre sus representantes se pueden citar a Piaget, Inhelder, Bruner, Flavell y Ausubel. Piaget Piaget (1896-1976): Biólogo, pedagogo y psicólogo suizo, afirmaba que- tanto el desarrollo psíquico como el aprendizaje- son el resultado de un proceso de equilibración. Los resultados del desarrollo psíquico están predeterminados genéticamente. Las estructuras iniciales condicionan el aprendizaje. El aprendizaje modifica y transforma las estructuras, y así, permiten la realización de nuevos aprendizajes de mayor complejidad. El aprendizaje es un proceso de adquisición en un intercambio con el medio, mediatizado por las estructuras (Las hereditarias y las construidas). Los mecanismos reguladores son las estructuras cognitivas. Los mecanismos reguladores surgen de los procesos genéticos y se realizan en procesos de intercambio. Recibe el nombre de Constructivismo Genético.
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TEORÍAS DEL APRENDIZAJE
Hay varios sistemas de clasificación. Si se elige la clasificación de las Teorías de Aprendizaje, según la concepción intrínseca del aprendizaje, podemos diferenciar en:
Teorías Asociacionistas de condicionamiento Condicionamiento clásico (Pavlov, Guthrie) Condicionamiento Instrumental Operante (Hull, Thorndike)
Teorías Mediacionales Teorías Cognitivas:
Teoría de Gestal (Kofka, Wertheimer) Psicología Genético-Cognitiva (Piaget, Bruner, Ausubel, Inhelder) Psicología Genético-Dialéctica (Vigotsky, Rubinstein, Wallou, etc)
Teoría del Procesamiento de la Información (Gagné, Néwell, Mayer, Pascual Leone, etc)
La Psicología Genético-Cognitiva:
Desde la mitad del Siglo XX y hasta nuestros días se han impuestos principios de la Psicología Genético-Cognitiva.
Entre sus representantes se pueden citar a Piaget, Inhelder, Bruner, Flavell y Ausubel.
Piaget
Piaget (1896-1976): Biólogo, pedagogo y psicólogo suizo, afirmaba que-tanto el desarrollo psíquico como el aprendizaje- son el resultado de un proceso de equilibración.
Los resultados del desarrollo psíquico están predeterminados genéticamente. Las estructuras iniciales condicionan el aprendizaje. El aprendizaje modifica y transforma las estructuras, y así, permiten la realización de nuevos aprendizajes de mayor complejidad.
El aprendizaje es un proceso de adquisición en un intercambio con el medio, mediatizado por las estructuras (Las hereditarias y las construidas).
Los mecanismos reguladores son las estructuras cognitivas. Los mecanismos reguladores surgen de los procesos genéticos y se realizan en procesos de intercambio. Recibe el nombre de Constructivismo Genético.
Todo proceso de construcción genética consta de:
Asimilación: Es el proceso de integración de las cosas y los conocimientos nuevos, a las estructuras construidas anteriormente por el individuo. Acomodación: Consiste en la reformulación y elaboración de estructuras nuevas debido a la incorporación precedente.
Los dos ítems forman la adaptación activa del individuo, para compensar los cambios producidos en su equilibrio interno por la estimulación del medio.
El grado de sensibilidad específica a las incitaciones del ambiente, o Nivel de Competencia, se construye a medida que se desarrolla la historia del individuo.
Las estructuras lógicas son las resultantes de la coordinación de acciones que el individuo ejerce al explorar la realidad objetiva.
Para Piaget, son cuatro factores los que intervienen en el desarrollo de las estructuras cognitivas:
Maduración Experiencia física Interacción social Equilibrio
El conflicto cognitivo provoca el desarrollo del niño. Éste conflicto puede ser perturbador del desarrollo, si se convierte en conflicto afectivo.
El aprendizaje se refiere a conocimientos particulares; el pensamiento y la inteligencia son instrumentos generales de conocimiento, interpretación e intervención.
Según Piaget, existe una estrecha vinculación entre la dimensión estructural y afectiva de la conducta. La inteligencia y la afectividad son indisociables. No existe cognición sin una motivación, y por ende, no hay motivación que no esté conectada con un nivel estructural, es decir, cognitivo.
Ausubel
Ausubel propone su teoría del aprendizaje significativo, en 1973.
La teoría de Ausubel toma como elemento esencial, la instrucción. Para Ausubel el aprendizaje escolar es un tipo de aprendizaje que alude a cuerpos organizados de material significativo. Le da especial importancia a la organización del conocimiento en estructuras y a las reestructuraciones que son el resultado de la interacción entre las estructuras del sujeto con las nuevas informaciones.
Tanto Ausubel como Vigotsky estiman que para que la reestructuración se produzca y favorezca el aprendizaje de los conocimientos elaborados, se necesita una instrucción formalmente establecida. Esto reside en la presentación secuenciada de informaciones que quieran desequilibrar las estructuras existentes y sean las generadoras de otras estructuras que las incluyan.
Ausubel tiene en cuenta dos elementos:
El aprendizaje del alumno, que va desde lo repetitivo o memorístico, hasta el aprendizaje significativo. La estrategia de la enseñanza, que va desde la puramente receptiva hasta la enseñanza que tiene como base el descubrimiento por parte del propio educando.
El aprendizaje es significativo cuando se incorpora a estructuras de conocimiento que ya posee el individuo. Para que se produzca este aprendizaje significativo deben darse las siguientes condiciones:
Potencialidad significativa: Esto se refiere a: Lógica: La significatividad lógica se refiere a la secuencia lógica de los procesos y a la coherencia en la estructura interna del material.
Psicológica-Cognitiva: El alumno debe contar con ideas inclusoras relacionadas con el nuevo material, que actuarán de nexo entre la estructura cognitiva preexistente del educando y las ideas nuevas.
Disposición positiva Afectiva: Disposición subjetiva para el aprendizaje.
Psicología Genético-Dialéctica
Vygotsky
Vygotsky (1896-1934) tiene similitudes y diferencias con Piaget.
Ambos mantienen la concepción constructivista del aprendizaje. Pero Vygotsky se diferencia de Piaget, en el papel que juega el medio y la cultura. Para Vygostsky es esencial la consideración de lo social, que contribuye con los mediadores, a transformar la realidad y la educación.
El psiquismo y la conducta intelectual adulta son el resultado de una impregnación social del organismo de cada sujeto, y esto no es un proceso unilateral, sino dialéctico.
Mediadores:
Las Herramientas: elementos materiales. Los signos: No son materiales. Actúan sobre los individuos y su interacción con el entorno. Por ejemplo: el lenguaje oral.
El mundo de la cultura aporta las herramientas y los signos y es el que da sentido a la enseñanza y al aprendizaje.
El aprendizaje es el proceso de internalización de la cultura, y en cada individuo da significado a lo que percibe en función de su propia posibilidad de significación y a la vez, incorpora nuevas significaciones.
La internalización se produce a través de una actividad que implica la reconstrucción y resignificación del universo cultural.
Este es un proceso interactivo, en el que la acción parte del sujeto, pero a la vez, está determinada por el mundo exterior.
Vygotsky logra equilibrar las posiciones del sujeto y el objeto.
El nivel de desarrollo alcanzado no es un punto estable, sino un amplio y flexible intervalo.
El Área de desarrollo potencial o Zona de desarrollo próximo.
Vygotsky afirma que el aprendizaje engendra un área de desarrollo potencial, y estimula procesos internos. El desarrollo sigue al aprendizaje, pues el aprendizaje crea el área de desarrollo potencial. El aprendizaje sería una condición previa al proceso de desarrollo.
La Psicología Genético-Dialéctica considera que existe una distancia óptima entre lo que se sabe y lo que se puede saber. Recorrer esta distancia necesita de la acción docente y constituye aprendizaje. Esta concepción concede importancia
fundamental al lenguaje, puesto que la palabra es el instrumento más rico de transmisión social.
La actividad del individuo es el motor fundamental de desarrollo, en su participación en procesos grupales y de intercambios de ideas. Quienes rodean al niño, constituyen agentes de desarrollo, que guían, planifican, encauzan, las conductas del niño.
Nivel de desarrollo potencial y Nivel de desarrollo actual
Nivel de desarrollo potencial: es el conjunto de actividades que el niño es capaz de realizar con la ayuda de los demás.
Nivel de desarrollo actual: es el conjunto de actividades que el niño es capaz de realizar por sí mismo, sin la ayuda de otras personas.
El aprendizaje a través de la influencia es el factor fundamental de desarrollo.
La enseñanza eficaz es la que a partir del nivel de desarrollo del alumno, lo hace progresar para ampliar y generar nuevas zonas de desarrollo próximo.
Aprendizaje como procesamiento de la información
A partir de la década del 60, en la segunda mitad del Siglo XX, integrando el modelo conductista dentro de un esquema cognitivo, aparece el aprendizaje como procesamiento de información y resalta la importancia de las estructuras internas que mediatizan las respuestas.
Por analogía con las computadoras, que tratan de reproducir en forma artificial el funcionamiento de la mente, las funciones de la mente serían, con respecto a la información:
Almacenar Ordenar Jerarquizar
Estas teorías reconocen la existencia de :
Procesos cognitivos complejos Una mente que contiene y da sentido a la información procesada.
Limitaciones didácticas de esta perspectiva:
La comparación paralela entre hombre y máquina. El hombre posee una conciencia, un conocimiento de lo que se conoce y del acto de conocer. La importancia del factor afectivo: emociones, sentimientos, personalidad, interacción social, todos de importancia en el aprendizaje. En el alumno, entre el conocimiento y la acción, hay complejos procedimientos de tomas de decisiones y la influencia de las emociones y expectativas individuales y sociales.
En síntesis:
La Psicología de la Educación no dispone todavía de un marco teórico unificado y coherente. Las teorías brindan datos parciales.
Los principios básicos compartidos entre las diversas teorías son los que se deben ir aplicando como marco de referencia para el Diseño Curricular.
El Profesor es un guía y un mediador en el proceso de construcción de conocimientos del alumno.
El alumno construye los significados -resultantes de una compleja serie de interacciones- con la intervención de:
El profesor Los contenidos del aprendizaje y lo más importante, el propio alumno.
MÉTODOS DE LA EDUCACIÓN
MÉTODO DECROLY
"La escuela ha de ser para el niño,no el niño para la escuela".
A comienzos del Siglo XX, en 1907, nace el Método Pedagógico del Dr. Ovidio Decroly, médico y psicólogo nacido en Renaix el 23 de junio de 1871.
Tomando como base la realidad de su momento, construye formas originales de trabajo escolar. Decroly fue uno de los más insignes representantes en Europa, de las concepciones pedagógicas de Dewey, basando su método en la ideología de la psicología americana. Los principios básicos del Método Decroly son:
El principio expuesto en el lema de su escuela de L·Ermìtage: "Escuela para la vida, por la vida", partiendo de sus concepciones pedagógicas de respeto por el niño y por su personalidad. El principio de la libertad (propuesto por Rousseau y manifestado por Dewey) mantenido hasta nuestros días. La búsqueda de los ideales educativos de la escuela, partiendo del educando, de su propia realidad vital, teniendo en cuenta sus intereses, y en el que cada alumno alcance el grado de perfección de que sea capaz. Oposición a la disciplina rígida que sometía al niño a una actitud pasiva, en la forma clásica de organización escolar, que no permitía desenvolverse con libertad y espontaneidad. Y se imponían conocimientos previamente fijados sin tener en cuenta los intereses del educando. Organizar el ambiente escolar, para que el niño encuentre allí las motivaciones adecuadas a sus curiosidades naturales, sin coaxión, pero con condicionamientos, de acuerdo con cada niño en particular (edad, sexo, estado de salud, estado psicológico, etc) y sugerir actividades que se adapten a cada individualidad. Propone formar grupos de niños en clases que sean lo más homogéneas posibles, y que tengan entre 20 y 25 alumnos en cada clase. La escuela debe ser activa, permitir al niño expresar sus tendencias a la inquietud y el juego. Es necesario que el juego se introduzca en el
programa escolar; las clases son especies de talleres, es una escuela activa, de trabajo. Toma como base la observación de la naturaleza para despertar el interés y la intuición del niño. Parte de un programa con ideas ejes, fundado en el principio de globalización, pues opina que el niño no percibe los detalles sino que tiene un conocimiento global de la realidad.
Las necesidades del niño, según Decroly, se pueden agrupar en: Necesidad de alimentarse Necesidad de defenderse ante las inclemencias externas. Necesidad de defenderse contra los peligros y enemigos. Necesidad de trabajar solidariamente, de entretenerse y de formarse material y espiritualmente.
ETAPAS DEL MÉTODO
El método Decroly sigue un desarrollo inductivo en el proceso del pensamiento analítico.
Las etapas fundamentales(*) que se deben seguir en una clase, para realizar el proceso en el pensamiento del alumno, son:
La observación La asociación La expresión
El método propone la enseñanza de la lectura ideovisual, partiendo de frases y palabras, y centrando el interés en la vista más que en el oído, para la realización de este proceso mental.
En las e4xperiencias de Decroly, trabajan maestras, mujeres jóvenes, pues el psicopedagogo belga consideraba que éstas conservaban un espíritu infantil en el trato y el trabajo con los niños.
El ambiente escolar constaba de ventanales abiertos para la entrada de aire y sol. Un armario con cantidad de juegos educativos, y sin mobiliario especial ni plataforma para la maestra.
(*) DEWEY
Para llegar a la finalidad formativa del conocimiento, John Dewey enuncia tres etapas fundamentales:
Los hechos y acontecimientos científicos. Las ideas y razonamientos. La aplicación de los resultados a nuevos hechos específicos.
Para aplicar estos principios en la escuela, dice Dewey que "las etapas formales indican cuáles son los puntos que deben tener en cuenta los maestros cuando se preparan para dar una lección, no las que deban seguirse para enseñar". (Dewey, "Comment nous pensons")
Según el psicopedagogo estadounidense, recién cuando se han recorrido estas tres etapas, se ha completado la enseñanza de una lección.
La nueva intuición de la vida está en la base de la escuela activa.
Sus ideas pedagógicas están íntimamente ligadas a su pragmatismo y su instrumentalismo. Se debe aprender haciendo, resolviendo problemas concretos y personales, y no escuchando.
Dice Dewey: "Toda educación deriva de la participación del individuo en la conciencia social de la especie."
MÉTODO MONTESSORI
"No me gustan los filósofos. A mí sólo me inspira la realidad"
María Montessori
Este método es empírico, experimental. Se le ofrece al niño un ambiente de salud y libertad.
El llamado Método de la Pedagogía Científica propone inducir a la observación y la experimentación del ambiente cuidado y de estímulos seleccionados, ofrecidos libremente.
Se basa en un desarrollo del niño libre en un ambiente adecuado para que encuentre los estímulos, un ambiente adaptado a su personalidad.
El mundo del niño no puede ser la clásica disciplina de quietud escolar.
Dice Montessori que hay que dar libertad como disciplina de la actividad del trabajo. El ambiente de estímulos y actividades es esencial para una sólida libertad de trabajo interior que da la disciplina exterior.
El método constará de una serie de estímulos del ambiente y de las sensaciones lo más concordantes posibles con las necesidades de la primera infancia.
Dice la psicopedagoga que "Dar a cada niño lo que se debe hacer a su tiempo, en su propio presente, es el problema intrínseco de la nueva pedagogía".
El método esencial a las ciencias experimentales es el análisis, es decir, la descomposición en elementos. Puso María Montessori un especial énfasis en la higiene, la norma, la medida, la experimentación, la exactitud, para fortalecer la vida naciente.
Montessori abrió un nuevo camino, especialmente para los párvulos, los niños más pequeños, haciendo hincapié en la observación y experimentación individual, respetando el ritmo de trabajo de cada uno, afirmando su8 yo, su vida y su esfuerzo personal; no ser un alumno sujeto al maestro, sino ser un niño que se desenvuelve libre.
"Apenas se deja abierto el camino a la expansión, el niño muestra una actividad sorprendente, y una capacidad verdaderamente maravillosa de perfeccionar sus acciones. Pero las cosas que lo circundan son tan desproporcionadas con sus
fuerzas y las pequeñas dimensiones de su cuerpo, que el ambiente forma en seguida un impedimento para su actividad. El problema práctico de la educación reside en presentar al alma del niño un ambiente libre de obstáculos".
UN GRAN PEDAGOGO DEL SIGLO XIX
Juan Enrique Pestalozzi (Zurich 1746- Brugg 1827)
Pestalozzi realizó enormes esfuerzos para hallar un método que fuera independiente del maestro, y tuviera en sí mismo virtud suficiente para provocar el desarrollo de las facultades del niño.
Su método está basado en la intuición. Fue el primer pedagogo que trató de entender la educación como un proceso de autoformación; todo saber surge de la íntima experiencia del individuo.
Para Pestalozzi, la naturaleza humana significaba conocimiento y racionalidad, autonomía ética. El fin de la educación no puede y no debe trascender el espíritu del educando, ni consiste en un determinado contenido impuesto desde el exterior. Por lo tanto, la educación tiene como tarea el desarrollo armónico de las facultades y el dominio del espíritu sobre la animalidad.
Prefería comenzar la educación de los niños ejercitando la atención, la observación y la memoria, y cimentar estas actividades, antes de pasara juzgar y razonar. Consideró el amor como principio esencial de la educación y expuso que la mejor educadora es la madre.
Su método adoleció de antinomias, y el querer enunciar este método entró en intrincados laberintos de contradicciones.
Pero su innegable labor de eximio educador lo destacan por su grandeza, y supo resolver esos escollos en el acto mismo de educar.
ACTUALIDAD: El Aprendizaje Activo
Aprendizaje Activo en la Educación Especial
El concepto de aprendizaje activo fue introducido por la Dra. Lilli Nielsen en sus trabajos de educación de los niños incapacitados de la vista y con incapacidades múltiples, en Dinamarca, en la década del 90, en el Siglo XX, educando a los niños según sus capacidades y habilidades, con un desarrollo autónomo de todo su potencial.
El aprendizaje activo en la educación común de niños y adultos
El aprendizaje activo en la educación común de niños y adultos, según se lo comprende en la actualidad, requiere seguir el flujo natural del proceso de aprendizaje de cada persona, en vez de imponer la secuencia de enseñanza que quiere el educador.
Algunos Objetivos del Aprendizaje Activo:
Esencialmente el aprendizaje activo es el método que pretende alcanzar el desarrollo de las capacidades del pensamiento crítico y del pensamiento creativo.
La actividad de aprendizaje está centrada en el educando.
Aprender en colaboración. Organizarse. Trabajar en forma grupal. Fomentar el debate y la crítica. Responsabilizarse de tareas. Aprender a partir del juego. Desarrollar la confianza, la autonomía, y la experiencia directa. Utilizar la potencialidad de representación activa del conocimiento.
La representación activa y audiovisual del conocimiento se da a través de la interpretación de mapas conceptuales, diagramas y gráficos, actividades interactivas, presentaciones en computadoras (por ejemplo, en Flash o Power Point), etc.
Capacitarse para lograr extender los modelos actuales del aprendizaje hacia niveles superiores de interactividad cognitiva. Atender a la diversidad.
El perfil docente en el aprendizaje activo
El docente en el aprendizaje activo es quien asume el rol de mediador en los procesos de enseñanza-aprendizaje, y no sólo instructor de contenidos conceptuales, debe poseer un perfil de orientador de procesos de formación integral del alumnado.
Dos aspectos básicos que debe presentar el perfil de un buen profesional de la educación, que aspire a una formación global de todo el alumnado, son:
Mediador: atiende al concepto de diversidad Orientador: el eje vertebrador de la acción educativa es el individuo y no los contenidos.
El Aprendizaje Activo en el modo no presencial
La autonomía en la enseñanza requiere que los estudiantes asuman algunas responsabilidades acerca de su propio aprendizaje, planteando iniciativas en algunas propuestas de tareas.
La metodología de aprendizaje activo utiliza contratos de aprendizaje.
El aprendizaje con autonomía e independencia da posibilidades de una educación sin la presencia física del docente, sino que puede asesorar, brindar tutoría, mediante guías de trabajo, aclaración de dudas, evacuación de consultas, mediante la forma no presencial, lo que posibilitó y dio desarrollo a la educación a distancia.
El gran avance del aprendizaje activo es que el alumno, especialmente el adulto que trabaja muchas horas, puede realizar sus estudios o su perfeccionamiento, en el espacio y el tiempo de que disponga, según su ritmo de trabajo. Y vale la aclaración de que no son estudiantes aislados, sino estudiantes independientes.
BIBLIOGRAFÍA
Aebli, Hans; Una didáctica fundada en la Psicología de Jean Piaget, Kapelusz, Buenos Aires, 1973.
Bossellini, Orsini; Psicología.
Codignola, Ernesto; Historia de la Educación y de la Pedagogía, El Ateneo, Buenos Aires, 1964.
Dewey, John; Comment nous pensons.
Hill, Winfred; Teorías Contemporáneas del Aprendizaje; Paidós, Buenos Aires, 1976.
Hubert, René; Historia de la Pedagogía, Kapelusz, Buenos Aires, 1952.
Hubert, René, Tratado de Pedagogía General, El Ateneo, Buenos Aires, 1963.
Lennon, Variaciones Culturales, Estilos Cognitivos y Educación en América Latina.
Marchesi, Coll y Palacios; Introducción a la Psicología Evolutiva: Historia, Conceptos Básicos y Metodología.
Varios, Métodos de la Nueva Educación, Losada, Buenos Aires, 1961.
Lenguaje matemático
Durante la etapa de la Educación Infantil el lenguaje matemático tiene que estar cercano a la realidad de los niños y de las niñas, aplicándolo a situaciones de su vida cotidiana. Dentro y fuera de la clase viven y experimentan situaciones que les ayudarán a entender conceptos matemáticos.
Con el material diverso que tenemos en la aula (muebles, juguetes,...)
pueden relacionar los objetos entre ellos a partir de sus características. Según la propiedad que escojamos los niños y
niñas comparan los objetos y los clasifican:
El más grande, el mediano, el más pequeño. El más largo, el más corto.
El más grueso, el más delgado.
El que pesa más, el que pesa menos.
El más blando, el más duro.
...
Observan las formas que tienen los objetos cercanos y reconocen
algunas figuras geométricas (círculo, triángulo, cuadrado, rectángulo).
Aprenden también a orientarse en el espacio y a situar personas o objetos:
En frente de... /detrás de ... Arriba de... /bajo de...
Dentro de... /fuera de...
Junto a... / cerca de... /lejos de...
...
Empiezan a orientarse en el tiempo, relacionando siempre el paso del tiempo con sus propios acontecimientos cotidianos:
Antes, después. Ayer, hoy, mañana.
La mañana, la tarde, el anochecer.
Observan y empiezan a reconocer algunas horas en el reloj.
Los días de la semana, relacionando cada día con las cosas que hagamos sólo aquel día.
El calendario y los meses del año, aprendiendo a reconocer el mes en que estamos.
Las estaciones del año.
...
Hacen series de elementos siguiendo el criterio de orden: primero, segundo, tercero,...
Aprenden a contar cantidades pequeñas de elementos para saber cuantos hay y resuelven mentalmente situaciones
sencillas que implican añadir o sacar, llegando al final del ciclo
a poder hacer cálculos hasta el número 9. Podéis ver también el rincón de cálculo de esta web. Durante la etapa de Educación Infantil
pueden aprender a recitar los números de carrerilla hasta el
30 o hasta el 40, pero les sería muy difícil poder entender y resolver problemas con estas cantidades.
Cuando llegan a una conclusión podemos pedirles que nos expliquen cómo lo han hecho para saberlo (qué estrategias han utilizado). Como en las demás áreas, en matemáticas los niños y niñas pueden permitirse de equivocarse y aprender a partir de sus errores.
Enlaces:
Actividades Clic de Educación Infantil. Matemáticas. (EN VARIOS IDIOMAS) http://www.xtec.es/recursos/clic/esp/act/ei.htm
Enlaces sólo para mayores:
Aquí matemàtiques (CATALÁN) http://www.xtec.es/recursos/mates/aqui/index.htm
El paraíso de las matemáticas. (CASTELLANO) http://www.matematicas.net/
Origen:
El término "investigación acción" proviene del autor Kurt Lewis y fue
utilizado por primera vez en 1944. describía una forma de investigación
que podía ligar el enfoque experimental de la ciencia social con programas
de acción social que respondiera a los problemas sociales principales de
entonces. Mediante la investigación – acción, Lewis argumentaba que se
podía lograr en forma simultáneas avances teóricos y cambios sociales.
El concepto tradicional de investigación acción proviene del modelo Lewis
sobre las tres etapas del cambio social: descongelación, movimiento,
recongelación, recongelación. En ellas el proceso consiste en :
1. Insatisfacción con el actual estado de cosas.
2. Identificación de un área problemática;
3. Identificación de un problema específico a ser resuelto mediante la
acción;
4. Formulación de varias hipótesis;
5. Selección de una hipótesis;
6. ejecución de la acción para comprobar la hipótesis
7. evaluación de los efectos de la acción
8. Generalizaciones. (Lewis 1973)
Las fases del método son flexibles ya que permiten abordar los hechos
sociales como dinámicos y cambiantes, por lo tanto están sujetos a los
cambios que el mismo proceso genere.
Definición:
Las teorías de la acción indican la importancia de las perspectivas
comunes, como prerrequisitos de las actividades compartidas en el proceso
de la investigación. "el conocimiento práctico no es el objetivo de la
investigación acción sino el comienzo" (Moser, 1978). El "descubrimiento"
se transforma en la base del proceso de concientización, en el sentido de
hacer que alguien sea consciente de algo, es decir, darse cuenta de. La
concientización es una idea central y meta en la investigación – acción,
tanto en la producción de conocimientos como en las experiencias
concretas de acción.
Ventajas de la Investigación – Acción:
En la investigación – acción, el quehacer científico consiste no solo en la
comprensión de los aspectos de la realidad existente, sino también en la
identificación de las fuerzas sociales y las relaciones que están detrás de la
experiencia humana.
El criterio de verdad no se desprende de un procedimiento técnico, sino de
discusiones cuidadosas sobre informaciones y experiencias específicas. En
la investigación - acción no hay mucho énfasis den el empleo del
instrumental técnico de estadísticas y de muestreo, lo que permite su
aplicación por parte de un personal de formación media.
Además, la investigación – acción ofrece otras ventajas derivadas de la
práctica misma: permite la generación de nuevos conocimientos al
investigador y a los grupos involucrados; permite la movilización y el
reforzamiento de las organizaciones de base y finalmente, el mejor empleo
de los recursos disponibles en base al análisis crítico de las necesidades y
las opciones de cambio.
Los resultados se prueban en la realidad. Las experiencias que resultan en
el campo social proporcionan las informaciones acerca de los procesos
históricos. En otras palabras, empieza un ciclo nuevo de la investigación –
acción cuando los resultados de la acción común se analizan, por medio de
una nueva fase de recolección de información. Luego el discurso acerca de
las informaciones, se comienza con la etapa de elaborar orientaciones para
los procesos de acción o las modificaciones de los procesos precedentes.
¿Qué Caracteriza a la Investigación Acción?:
la investigación acción se centra en la posibilidad de aplicar categorías
científicas para la comprensión y mejoramiento de la organización,
partiendo del trabajo colaborativo de los propios trabajadores. Esto nos
lleva a pensar que la investigación – acción tiene un conjunto de rasgos
propios. Entre ellos podemos distinguir:
a. Analizar acciones humanas y situaciones sociales, las que pueden ser
inaceptables en algunos aspectos (problemáticas); susceptibles de
cambio (contingentes), y que requieren respuestas (prescriptivas).
b. Su propósito es descriptivo – exploratorio, busca profundizar en la
comprensión del problema sin posturas ni definiciones previas
(efectuar un buen diagnóstico).
c. Suspende los propósito teóricos de cambio mientras el diagnóstico
no esté concluido.
d. La explicación de "lo que sucede" implica elaborar un "guión" sobre
la situación y sus actores, relacionándolo con su contexto. Ese guión
es una narración y no una teoría, por ellos es que los elementos del
contexto "iluminan" a los actores y a la situación antes que
determinarlos por leyes causales. En consecuencia, esta explicación
es más bien una comprensión de la realidad.
e. El resultado es mas una interpretación que una explicación dura. "La
interpretación de lo que ocurre" es una transacción de las
interpretaciones particulares de cada actor. Se busca alcanzar una
mirada consensuada de las subjetividades de los integrantes de la
organización.
f. La investigación – acción valora la subjetividad y como esta se
expresa en el lenguaje auténtico de los participantes en el
diagnóstico. La subjetividad no es el rechazo a la objetividad, es la
intención de captar las interpretaciones de la gente, sus creencias y
significaciones. Además, el informe se redacta en un lenguaje de
sentido común y no en un estilo de comunicación académica.
g. La investigación – acción tiene una raíz epistemológica globalmente
llamada cualitativa. Por lo tanto, se ajusta al os rasgos típicos de
estudios generados en este paradigma (Normalmente se asocia
exclusivamente Investigación – acción con el paradigma
interpretativo (o cualitativo), no obstante, también existe una
investigación acción de corte cuantitativo – explicativo.)
h. La investigación – acción para los participantes es un proceso de
autorreflexión sobre sí mismos, los demás y la situación, de aquí se
infiere que habría que facilitar un diálogo sin condiciones
restrictivas ni punitivas.
El proceso de investigación – acción constituye un proceso continuo, una
espiral, donde se van dando los momentos de problematización,
diagnóstico, diseño de una propuesta de cambio, aplicación de la propuesta
y evaluación, para luego reiniciar un nuevo circuito partiendo de una nueva
problematización.
Pasos:
1.- Problematización: Considerando que la labor educativa se desarrolla
en situaciones donde se presentan problemas prácticos, lo lógico es que un
proyecto de este tipo comience a partir de un problema práctico: en
general, se trata de incoherencias o inconsistencias entre lo que se
persigue y los que en la realidad ocurre. Es posible diferenciar entre:
Contradicciones cuando existe oposición entre la formulación de
nuestras pretensiones, por una parte, y nuestras actuaciones, por otro.
Dilemas, un tipo especial de contradicción, pudiendo presentarse
como dos tendencias irreconciliables que se descubren al analizar la
práctica, pero que revelan valores necesarios, o bien diferencias de
intereses o motivaciones entre dos o más partes.
Dificultados o limitaciones, aquellas situaciones en que nos
encontramos ante la oposición para desarrollar las actuaciones
deseables de instancias que no podemos modificar o influir desde
nuestra actuación directa e inmediata, lo cual requeriría un actuación a
largo plazo, como es el caso de ciertas inercias institucionales o formas
de organización
El hecho de vivir una situación problemática no implica conocerla, un
problema requiere de una profundización en su significado. Hay que
reflexionar porqué es un problema, cuáles son sus términos, sus
características, como se describe el contexto en que éste se produce y los
diversos aspectos de la situación, así como también las diferentes
perspectivas que del problema pueden existir. Estando estos aspectos
clarificados, hay grande posibilidades de formular claramente el problema
y declarar nuestras intenciones de cambio y mejora.
2.- Diagnóstico: una vez que se ha identificado el significado del problema
que será el centro del proceso de investigación, y habiendo formulado un
enunciado del mismo, es necesario realizar la recopilación de información
que nos permitirá un diagnóstico claro de la situación. La búsqueda de
información consiste en recoger diversas evidencias que nos permitan una
reflexión a partir de una mayor cantidad de datos. Esta recopilación de
información debe expresar el punto de vista de las personas implicadas,
informar sobre las acciones tal y como se han desarrollado y, por último,
informar introspectivamente sobre las personas implicadas, es decir, como
viven y entienden la situación que se investiga. En síntesis, al análisis
reflexivo que nos lleva a una correcta formulación del problema y a la
recopilación de información necesaria para un buen diagnóstico,
representa al camino hacia el planteamiento de líneas de acción
coherentes.
En este diagnóstico, es importante destacar como una ayuda inestimable,
para la riqueza de la información y para su contrastación, el poder contar
con una visión proporcionada desde fuera de la organización (buscando
triangulación de fuentes y el uso de otros diagnósticos preexistentes).
3.-Diseño de una Propuesta de Cambio: una vez que se ha realizado el
análisis e interpretación dela información recopilada y siempre a la luz de
los objetivos que se persiguen, se está en condiciones de visualizar el
sentido de los mejoramientos que se desean.
Parte de este momento será, por consiguiente, pensar en diversas
alternativas de actuación y sus posibles consecuencias a la luz de lo que se
comprende de la situación, tal y como hasta el momento se presenta.
La reflexión, que en este caso se vuelve prospectiva, es la que permite
llegar a diseñar una propuesta de cambio y mejoramiento, acordada como
la mejor. Del mismo modo, es necesario en este momento definir un diseño
de avaluación de la misma. Es decir, anticipar los indicadores y metas que
darán cuanta del logro de la propuesta.
4.- Aplicación de Propuesta: una vez diseñada la propuesta de acción,
esta es llevada a cabo por las personas interesadas. Es importante, sin
embargo, comprender que cualquier propuesta ala que se llegue tras este
análisis y reflexión, debe ser entendida en un sentido hipotético, es decir,
se emprende una nueva forma de actuar, un esfuerzo de innovación y
mejoramiento de nuestra práctica que debe ser sometida
permanentemente a condiciones de análisis, evaluación y reflexión.
5.- Evaluación: todo este proceso, que comenzaría otro ciclo en la espiral
de la investigación – acción, va proporcionando evidencias del alcance y las
consecuencias de las acciones emprendidas, y de su valor como mejora de
la práctica.
Es posible incluso encontrarse ante cambios que implique una redefinición
del problema, ya sea por que éste se ha modificado, porque han surgido
otros de más urgente resolución o porque se descubren nuevos focos de
atención que se requiere atender para abordar nuestro problema original.
La evaluación, además de ser aplicada en cada momento, debe estar
presente al final de cada ciclo, dando de esta manera una
retroalimentación a todo el proceso. De esta forma nos encontramos en un
proceso cíclico que no tiene fin.
Uno de los criterios fundamentales, a la hora de evaluar la nueva situación
y sus consecuencias, es en que medida el propio proceso de investigación y
transformación ha supuesto un proceso de cambio, implicación y
compromiso de los propios involucrados.
Características de la Investigación – Acción:
1. Contexto situacional: diagnóstico de un problema en un contexto
específico, intentando resolverlo. No se pretende que la muestra de
sujetos sea representativa.
2. Generalmente colaborativo: equipos de colaboradores y prácticos
suelen trabajar conjuntamente.
3. Participativa: miembros del equipo toman parte en la mejora de la
investigación.
4. Auto – evaluativa: las modificaciones son evaluadas continuamente,
siendo el último objetivo mejorar la práctica.
5. Acción – Reflexión: reflexionar sobre el proceso de investigación y
acumular evidencia empírica (acción) desde diversas fuentes de
datos. También acumular diversidad de interpretaciones que
enriquezcan la visión del problema de cara a su mejor solución.
6. Proceso paso a paso: si bien se sugieren unas fases, no sigue un plan
predeterminado. Se van dando sucesivos pasos, donde cada uno de
ellos es consecuencia de los pasos anteriores.
7. Proceso interactivo: de forma que vaya provocando un aumento de
conocimiento (teorías) y una mejora inmediata de la realidad
concreta.
8. Feedback continuo: a partir del cual se introducen modificaciones
redefiniciones, etc.
9. Molar: no se aísla una variable, sino que se analiza todo el contexto.
10.Aplicación inmediata: los hallazgos se aplican de forma inmediata.
BIBLIOGRAFÍA:
RAFAEL BISQUERA. Procesos de Investigación
Investigación-acciónDe Wikipedia, la enciclopedia libre
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El término investigación – acción fue propuesto por primera vez en 1946 por el autor Kurt Lewin. Se trata de una forma de investigación para enlazar el enfoque experimental de la ciencia social con programas de acción social que respondan a los problemas sociales principales. Mediante la investigación–acción se pretende tratar de forma simultánea conocimientos y cambios sociales, de manera que se unan la teoría y la práctica.
El concepto tradicional de investigación-acción proviene del modelo Lewin de las tres etapas del cambio social: descongelamiento, movimiento, recongelamiento. El proceso consiste en:
1. Insatisfacción con el actual estado de cosas. 2. Identificación de un área problemática;
3. Identificación de un problema específico a ser resuelto mediante la acción;
4. Formulación de varias hipótesis;
5. Selección de una hipótesis;
6. Ejecución de la acción para comprobar la hipótesis
7. Evaluación de los efectos de la acción
8. Generalizaciones.
Lewin esencialmente sugería que las tres características más importantes de la investigación acción moderna eran: Su carácter participativo, su impulso democrático y su contribución simultánea al conocimiento en las ciencias sociales.
Contenido
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1 Investigación participativa 2 Modelo curricular
3 Referencias
4 Ver
Investigación participativa [editar]
", es una metodología que permite desarrollar a los investigadores un análisis participativo, donde los actores implicados se convierten en los protagonistas del proceso de construcción del conocimiento de la realidad sobre el objeto de estudio, en la detección de problemas y necesidades y en la elaboración de propuestas y soluciones.(se debería ampliar este concepto) transformación social.
Además se debe tomar en cuenta, que la investigación acción; nos permite tener contacto con los integrantes que habitan en cualquier comunidad, ya que ellos son los perjudicados en cuanto a los problemas que allí se presentan.
Modelo curricular [editar]
El modelo curricular de investigación - acción fue propuesto por Lawrence Stenhouse en su intento por encontrar un modelo de investigación y desarrollo del currículo. En dicho modelo, Stenhouse afirma que el currículo es un instrumento potente e inmediato para la transformación de la enseñanza, porque es una fecunda guía para el profesor. En ese sentido las ideas pedagógicas se presentan como más importantes para la identidad personal y profesional del profesor que como algo útil para su actividad práctica. Esta premisa explica la separación entre teoría y práctica, y entre investigación y acción.
Según Stenhouse, para que el currículo sea el elemento transformador debe tener otra forma y un proceso de elaboración e implementación diferente. Un currículo, si es valioso, a través de materiales y criterios para llevar a cabo la enseñanza, expresa una visión de lo que es el conocimiento y una concepción clara del proceso de la educación. Proporciona al profesor la capacidad de desarrollar nuevas habilidades relacionando estas, con las concepciones del conocimiento y del aprendizaje. Para Stenhouse, el objetivo del currículo y el desarrollo del profesor antes mencionado, deben ir unidos.
El modelo de Investigación – Acción que propone Stenhouse está basado en un proceso que comprende ciertos elementos básicos:
Respeto a la naturaleza del conocimiento y la metodología Consideración con el proceso de aprendizaje
Enfoque coherente al proceso de enseñanza.
Según Stenhouse, la mejora de la enseñanza se logra a través de la mejora del arte del profesor y no por los intentos de mejorar los resultados de aprendizaje. El currículo capacita para probar ideas en la práctica; para que el profesor se convierta en un investigador de su propia experiencia de enseñanza. Los elementos que se articulan en la practica para dar paso a lo que se conoce como investigación – acción, están relacionados con la labor del profesor. Este debe ser autónomo y libre, debe tener claros sus propósitos y siempre ser guiado por el conocimiento.
La investigación es el potencial del estudiante, la preocupación del mismo, su colaboración y el perfeccionamiento de su potencial.
La acción es la actividad realizada en acorde con lo teórico para desarrollar el potencial del estudiante.
En definitiva, el modelo curricular de Stenhouse es una tentativa para comunicar los principios y rasgos esenciales de un propósito educativo, de forma tal que permanezca abierto a una discusión crítica y pueda ser trasladado efectivamente a la práctica; para ello, un currículo debe estar basado en la praxis.
Referencias [editar]
Burns, D. 2007. Systemic Action Research: A strategy for whole system change. Bristol: Policy Press.
Fals Borda, O. 1985. Conocimiento y poder popular. Bogotá. Siglo XXI-Punta de Lanza.
Fals Borda, O. 1987. Investigación Participativa. Montevideo. Ed. de la Banda Oriental. pág. 126.
Freire, Paulo: Investigación y metodología del tema generador. Torres, Novoa Carlos; La praxis educativa de Paulo Freire: 139-140.
Lewin, Kurt 1946: "Action research and minority problems"; Journal of Social Issues 2 (4): 34-46.
Stenhouse, Lawrence 1991: Investigación y desarrollo del currículo. Madrid: Morata.
La investigación-acción como estrategia de aprendizaje en la formación inicial del profesorado
Cristina Maciel de Oliveira (*)
SÍNTESIS: Los tres ejes de este artículo son: el profesor estratégico, el enfoque de investigación-acción en el marco de las teorías sobre la práctica de la función docente, y la investigación-acción como estrategia de aprendizaje en la formación del profesorado. Desde el discurso teórico interrelacionado con la experiencia de formadores en Investigación Educativa Aplicada, se plantean criterios de acción pedagógica para la formación inicial de profesionales de la enseñanza con habilidades regulativas para planificar, orientar y evaluar sus propios procesos cognitivos, en relación con los contenidos de aprendizaje a enseñar y con los vinculados a su actuación docente.
SÍNTESE: Os três eixos deste artigo são: o professor estratégico, o enfoque de investigação-ação no marco das teorias sobre a prática da função docente, e a investigação-ação como estratégia de aprendizagem na formação do professorado. A partir do discurso teórico inter-relacionado com a experiência de formadores em Investigação Educacional Aplicada, se determinam critérios de ação pedagógica para a formação inicial de profissionais do ensino com habilidades reguladoras para planificar, orientar e avaliar seus próprios processos cognitivos, em relação aos conteúdos de aprendizagem para ensinar e com os vinculados a sua atuação docente.
1. El profesor estratégico
Las características de la actual sociedad y su incidencia en la educación (educación en el centro del debate público, reformas educativas, nuevas tecnologías, pérdida del monopolio de la información por las escuelas, por citar algunos factores), plantean
importantes desafíos al docente en el desempeño de su rol, que deben ser atendidos desde su formación inicial.
No es casual el creciente número de trabajos de investigación sobre formación del profesorado publicados en Estados Unidos y en Europa en los últimos años, aunque en el contexto latinoamericano la problemática del profesor debutante en cuanto objeto de investigación es «cuasi-inexistente» según Cornejo (1999).
Los informes de las investigaciones que se desarrollan en este campo nos aportan respuestas a cuestiones que son medulares para constituir o para renovar los planes de estudio de formación inicial en la teoría y en la práctica de la enseñanza.
Una de esas cuestiones es: ¿cuál es el perfil de egreso que debe tener el profesor que hoy comienza a formarse como tal para educar y para enseñar de acuerdo con los desafíos que la sociedad le presenta? La línea de investigación de Monereo et al. (1998) sobre estrategias de aprendizaje en la universidad, nos aporta una posible respuesta a esta interrogante: el perfil de un profesor que asume los desafíos que le plantean los cambios sociales debe ser el de un profesional estratégico.
Monereo reconoce en la formación del profesorado una vía para enseñar estrategias de aprendizaje. Las define como:
[…] procesos de toma de decisiones (conscientes e intencionales) en los cuales el alumno elige y recupera, de manera coordinada, los conocimientos que necesita para cumplimentar una determinada demanda u objetivo, dependiendo de las características de la situación educativa en que se produce la acción (op. cit., p. 27).
El autor plantea la necesidad de pensar en una formación continua que tenga en cuenta al profesor como aprendiz y como enseñante estratégico, y que le aporte instrumentos para:
Interpretar y analizar las situaciones profesionales en las que actúa.
Tomar decisiones como aprendiz y como docente estratégico que le permita enriquecer su formación.
En este sentido, conceptualiza al profesor estratégico (Monereo y Clariana, 1993, citado por Monereo et al., 1998) como un profesional con habilidades1 regulativas para planificar, orientar y evaluar sus propios procesos cognitivos, sean estos de aprendizaje de los contenidos a enseñar o sean relacionados con su actuación docente.
La idea de regulación es clave en el concepto de estrategia para estos autores. Implica reflexión consciente y control permanente del proceso de aprendizaje (planificación, realización de la tarea, evaluación de la propia conducta).
La aplicación consciente del sistema de regulación origina un tercer tipo de conocimiento, el condicional o estratégico. Éste surge de analizar las condiciones que determinan que una estrategia sea adecuada, y permite establecer relaciones con ciertas formas de pensamiento y de acción. La actuación estratégica se realizaría según el conocimiento condicional que el sujeto había construido para esa situación, o que había actualizado en el caso de que las circunstancias fueran similares a las de una situación anterior en la que se hubiera utilizado eficazmente la estrategia.
El aprendizaje mediante estrategias, es decir, a través de la toma consciente de decisiones, promueve el aprendizaje significativo (en el sentido de Ausubel, 1963) puesto que no se trata sólo de aprender a utilizar procedimientos, sino a valorar las condiciones de su utilización y su efecto en el proceso de resolución de la tarea.
Por lo expuesto, entendemos que la investigación-acción puede ser considerada como una valiosa estrategia de aprendizaje en el nivel de formación docente inicial. Una estrategia sofisticada, puesto que es preciso que se enseñe de forma explícita (Monereo et al. 1998). Nuestra experiencia pedagógica en relación con esta modalidad de investigación nos permite afirmar que potencia la conciencia del estudiante de profesorado que tiene grupos de alumnos a cargo sobre cómo desarrollar y optimizar su quehacer docente, siendo a la vez aprendiz y profesor de la materia a enseñar.
2. El enfoque de investigación-acción en el marco de las teorías sobre la práctica de la función docente y la formación del profesorado
Un breve análisis de las teorías que han prevalecido en los últimos treinta años sobre la práctica de la función docente y sobre la formación del profesorado nos permite centrar la atención en sus diversos enfoques, y re-significar aquel que hemos adoptado en nuestra práctica como formadores de profesores de enseñanza media: el de investigación-acción.
Pérez Gómez (2000) propone una clasificación en la que distingue las siguientes cuatro perspectivas: académica, técnica, práctica, y de reflexión en la práctica para la reconstrucción social. Dicha propuesta surge de los aportes de Feiman-Nesmer y de Zeichner, ambos en 1990. Zeichner –citado por Pérez Gómez– afirma que las tres perspectivas ideológicas2 que han estado en conflicto en la mayor parte de los programas de formación docente son: la tradicional, según la cual la enseñanza es una actividad artesanal y el docente un artesano; la técnica, que entiende que la enseñanza es ciencia aplicada y el docente un técnico; y la radical, para la que la enseñanza es una actividad crítica y el docente un profesional que investiga reflexionando sobre su práctica.
En una línea de tiempo, se muestra en el cuadro 1 la evolución en el análisis de las perspectivas teóricas que han predominado en la práctica de la función docente y en la formación del profesorado en el último tercio del siglo xx.
La clasificación que ofrece Pérez Gómez particulariza las anteriores con la identificación de enfoques diferenciados en cada una de las perspectivas. Se presentan en el cuadro 2.
Siguiendo el análisis de Pérez Gómez, planteamos las características principales de cada una de estas perspectivas con sus correspondientes enfoques:
La perspectiva académica en la formación del profesorado pone el acento en la transmisión de los conocimientos y en la adquisición de la cultura. El docente es el especialista que domina alguna de las disciplinas culturales, y su formación radica en el dominio de los contenidos que debe transmitir. Dentro de la perspectiva académica el autor diferencia los enfoques enciclopédico y comprensivo. El enciclopédico entiende la formación del profesor como un acopio de productos culturales que deberá exponer en su tarea docente con claridad y orden. El comprensivo busca desarrollar en el alumno la comprensión de la disciplina. El docente debe formarse en la epistemología de la misma y en la filosofía de la ciencia en general, además de integrar conocimientos didácticos referentes a la disciplina que enseña para su eficaz transmisión.
La perspectiva técnica otorga a la enseñanza el atributo de ciencia aplicada, y valora la calidad de la misma en función de los productos logrados y de la eficacia para alcanzarlos. El profesor es un técnico cuya actividad se orienta sobre todo a la aplicación de teorías y de técnicas en la solución de problemas. En la visión de Pérez Gómez, dicha concepción es la que Schön (1983) denomina «racionalidad técnica», como epistemología de la práctica. Ha prevalecido a lo largo del siglo, particularmente en los últimos treinta años, en los procesos de enseñanza concebidos como pura intervención tecnológica, y en la investigación sobre la enseñanza enmarcada en el paradigma proceso-producto. En una valoración de esta postura, Pérez Gómez señala que la misma ha implicado un avance sobre el enfoque tradicionalista, artesanal y academicista, al entender que la enseñanza puede ser explicada con rigurosidad, sistematización y objetividad; a pesar de haberlo intentado durante las últimas décadas, «la tecnología educativa no puede afrontar las cada día más evidentes características de los fenómenos prácticos: complejidad, incertidumbre, inestabilidad, singularidad y conflicto de valores» (op. cit., p. 407).En la formación del docente, según la perspectiva técnica, el autor distingue dos modelos: el de entrenamiento y el de adopción de decisiones. La diferencia se encuentra en que el primero entrena al
profesor en la aplicación de aquellas técnicas, procedimientos y habilidades que han demostrado su eficacia en investigaciones anteriores, en tanto que el segundo requiere la formación de competencias estratégicas que le posibiliten la adopción de decisiones adecuadas a partir de razonamientos basados en principios y en procedimientos de intervención.
La perspectiva práctica entiende que la enseñanza es una actividad compleja, en la cual el contexto juega un rol determinante como creador de situaciones de conflicto de valor, que, en su mayoría, son imprevisibles y que demandan opciones éticas y políticas del docente. La formación del profesor dentro de esta perspectiva considera la práctica como principio y fin del aprendizaje, y al profesor experimentado como el recurso más eficaz para que el docente en formación desarrolle sus propias experiencias. Esta perspectiva ha evolucionado durante el siglo xx, distinguiéndose en ella el enfoque tradicional, que se basa casi exclusivamente en la experiencia práctica, y el enfoque que subraya la práctica reflexiva. El tradicional concibe la enseñanza como una actividad artesanal, que se aprende en la institución educativa en un lento proceso de inducción y de socialización. Basándose en investigaciones sobre el pensamiento pedagógico de los docentes novatos (Pérez Gómez y Gimeno, 1986; Pérez Gómez y Barquin, 1991), Pérez Gómez nos advierte sobre la incidencia que tiene en el profesor novato la vivencia institucional de los primeros años, en la medida en que ésta puede empobrecer el acervo teórico alcanzado durante su formación académica inicial. El enfoque reflexivo sobre la práctica reconoce la necesidad del docente de analizar y de comprender la complejidad de las situaciones áulicas e institucionales de las cuales forma parte. Schön analiza el conocimiento práctico como un proceso de reflexión en la acción. Sobre el concepto de reflexión, Pérez
Gómez (op. cit., p. 417) afirma:
La reflexión implica la inmersión consciente del hombre en el mundo de su experiencia, un mundo cargado de connotaciones, valores, intercambios simbólicos, correspondencias afectivas, intereses sociales y escenarios políticos. La reflexión, a diferencia de otras formas de conocimiento, supone tanto un sistemático esfuerzo de análisis, como la necesidad de elaborar una propuesta totalizadora, que captura y orienta la acción.
El mismo autor distingue, de acuerdo con Schön (1983), los siguientes conceptos que integran la concepción más amplia de pensamiento práctico del profesional ante las situaciones de la práctica:
— Conocimiento en la acción, que se manifiesta en el saber hacer.
— Reflexión en la acción, que implica pensar sobre lo que se hace a la vez que se actúa, es decir, un metaconocimiento en la acción.
— Reflexión sobre la acción y sobre la reflexión en la acción, como el análisis que el sujeto realiza sobre la propia acción después de haberla hecho.
En la perspectiva de reflexión en la práctica para la reconstrucción social, Pérez Gómez agrupa las posturas que conciben la enseñanza como una actividad crítica, social, con opciones de carácter ético. Distingue el enfoque de crítica y reconstrucción social del enfoque de investigación-acción y formación del profesorado para la comprensión. El enfoque de crítica y reconstrucción social reconoce en la escuela y en la formación del profesor los medios fundamentales para el logro de una sociedad más justa. La formación del profesor busca crear conciencia para pensar críticamente sobre el orden social de su comunidad. El profesor es un intelectual, un transformador de la sociedad comprometido políticamente. Representantes de este enfoque son: Giroux, Smith, Zeichner, Apple, Kemmis. En el enfoque de investigación-acción y formación del
profesorado para la comprensión:
[…] la práctica profesional del docente es considerada como una práctica intelectual y autónoma, no meramente técnica; es un proceso de acción y de reflexión cooperativa, de indagación y experimentación, donde el profesor/a aprende al enseñar y enseña porque aprende, interviene para facilitar y no imponer ni sustituir la comprensión de los alumnos/as, la reconstrucción de su conocimiento experiencial; y al reflexionar sobre su intervención ejerce y desarrolla su propia comprensión. Los centros
educativos se transforman así en centros de desarrollo profesional del docente (Pérez Gómez, op. cit., p. 429).
Este enfoque tiene como principales representantes a Stenhouse, McDonald y Elliott.
3. La investigación-acción como estrategia de aprendizaje en la formación del profesorado
Es en el marco del enfoque de investigación-acción y formación del profesorado para la comprensión en el cual orientamos el curso de Investigación Educativa Aplicada3, correspondiente al Programa de Estudios de 3.er año de la carrera de formación de profesores para la educación media que se desarrolla en los centros regionales de profesores en Uruguay.
Hemos optado por dar prioridad a este enfoque, dado que la asignatura Investigación Educativa Aplicada:
[…] se sustenta en la necesidad de contar con una formación básica en investigación, que permite al estudiante discutir conceptual y operativamente las condicionantes y las formas de generar conocimiento a partir de la utilización del método científico, así como aplicar técnicas de investigación en diagnosticar problemas y desarrollar estrategias de intervención (Secretaría de Capacitación Docente, 2002).
Interesa la diferenciación de enfoques que establece Pérez Gómez dentro de la perspectiva de reflexión en la práctica para la reconstrucción social, puesto que en nuestra experiencia pedagógica de formación de profesores ponemos el acento en la reflexión en y sobre la práctica docente y en la transformación de ella que puedan realizar los profesores que en la reconstrucción social, aunque sin dejar de animarlos a reconocer el papel que pueden adoptar en su entorno social como intelectuales capaces de pensarlo críticamente, y aún de transformarlo si lo estiman conveniente.
Observar de manera sistemática las situaciones educativas (Postic y de Ketele, 1992) de las cuales forman parte como profesores (tanto áulicas como institucionales) y analizarlas con fundamentos teóricos, elaborar planes de intervención e implementarlos, evaluarlos y formular informes de investigación, reelaborar dichos planes, trabajar de modo colaborativo, comunicar públicamente los procesos de investigación desarrollados, son las principales actividades sobre las que estructuramos la modalidad de investigación-acción como estrategia de formación.
Esta estrategia de aprendizaje no se enseña al comienzo del curso. Es un componente vinculante del programa de estudios, que se inicia en el primer semestre con la construcción de la dimensión ética por el profesor investigador en su etapa de formación inicial, para que sobre la base de la reflexión y el discernimiento de principios y valores que sustentan la acción de investigar, ésta se desarrolle con actitud responsable sobre sus posibles consecuencias en los sujetos, en fenómenos y en situaciones de investigación.
El estudio de la observación científica y de sus características, y el trabajo consciente de los estudiantes de profesorado con sus capacidades de ver y de oír sobre situaciones
educativas de las que forman parte para llegar a transformarse en observadores con cierto grado de habilidad, son otros pilares del curso para la aplicación de los procedimientos de investigación (observación, entrevista, encuesta y sociometría), con el propósito de ampliar y sistematizar el conocimiento de dichas situaciones.
El análisis de los atributos de los paradigmas cuantitativo y cualitativo y sus interrelaciones con las metodologías de análisis de datos, la comparación entre las tendencias contemporáneas en investigación educativa y los diversos modos de acercarse a la realidad [positivista, interpretativo y crítico (Pérez Serrano, 1990)], son parte del marco teórico que ilumina la libre opción por parte de los estudiantes de profesorado (profesores practicantes), y de la finalidad que guiará su trabajo de investigación en el segundo y último semestre del curso: ¿describir la situación educativa elegida? ¿interpretarla desde la perspectiva de los sujetos que intervienen en ella? ¿describirla e interpretarla? ¿transformar dicha situación empleando metodología profesional a partir de su descripción e interpretación?
Ante la necesidad que tienen los estudiantes de profesorado de resolver situaciones problemáticas de su novel práctica docente, el enfoque de investigación-acción emerge como opción teórica y metodológica para investigarlas y transformarlas.
Para desarrollar un proceso de esta naturaleza seguimos las siguientes fases, en una adaptación de la guía práctica de Elliott (1996), que en función de nuestra experiencia construimos en 2002 (Maciel de Oliveira, 2003):
Identificación del área problemática de la práctica docente. Organización del equipo de trabajo.
Exploración de la situación inicial mediante el uso de procedimientos de investigación y el estudio teórico de la temática.
Planteo de conclusiones en informe escrito y puesta oral en común.
Enunciado del problema y formulación de objetivos.
Identificación de factores a modificar y planteo de hipótesis-acción4.
Planificación de estrategias a desarrollar.
Aplicación de estrategias y valoración de su impacto mediante la aplicación de instrumentos de investigación.
Planteo de reflexiones y conclusiones.
Revisión del plan general y replanteo de hipótesis-acción.
Nuevas observaciones, acciones y reflexiones.
Comunicación pública del proceso realizado.
Las situaciones problemáticas identificadas en el Liceo de Práctica5 que se estudiaron siguiendo la modalidad de investigación-acción en el curso 2003, fueron:
Énfasis que dan los profesores del Liceo de Práctica a la adquisición de contenidos procedimentales, en relación con los contenidos conceptuales y actitudinales.
Perspectiva de una nueva experiencia en el Liceo de Práctica: el Consejo Estudiantil.
Integración de la informática en la clase de Matemática.
Instrumentos de evaluación en el aula.
La resolución de problemas: un enfoque desde el pensamiento lógico.
Construcción del rol docente: analizar y criticar la práctica docente.
Planificación diaria.
La formulación de preguntas en el aula de Ciencias Sociales por parte de los profesores practicantes.
Integración de los estudiantes de otros liceos al proyecto educativo de centro del Liceo de Práctica.
La articulación de los distintos contenidos dentro del aula de Ciencias Sociales.
A continuación presentamos dos de estas experiencias. Organizamos la síntesis de los informes de cada equipo de trabajo en las dimensiones profesor aprendiz y profesor enseñante, en el entendido de que pueden ilustrar el proceso de investigación-acción que orientamos como estrategia de aprendizaje en procura de la formación de profesores estratégicos.
3.1 Síntesis de la investigación-acción realizada sobre formulación de preguntas orales en el aula por profesores practicantes de Ciencias Sociales6, en tanto aprendices y enseñantes
Profesor aprendiz
Del área disciplinar
Ciencias Sociales.
De teorías
Aportes de la Psicología de la Educación a las técnicas de enseñanza y de aprendizaje de las Ciencias Sociales.
Enfoque constructivista.
Relación docente-alumno en el aula.
Las preguntas orales en clase: funciones, tipos de preguntas, orientaciones.
De procedimientos de investigación
Observación de la formulación de preguntas orales en clase (1.º y 2.º año de Ciencias Sociales y 3.º de Geografía).
Entrevistas a profesores tutores de práctica docente sobre la formulación de preguntas por los profesores practicantes en el desarrollo de sus clases.
De formulación de hipótesis
La correcta formulación de las preguntas en el aula tiene relación con la mejora en la calidad de la transposición didáctica de la materia y con el mejoramiento del proceso de enseñanza-aprendizaje de los alumnos.
Profesor enseñante
Identificación de la situación problema
Formulación de preguntas orales en el aula por parte de los profesores practicantes. De las observaciones realizadas con carácter diagnóstico se concluye que la mayoría de los profesores practicantes utiliza las preguntas en el aula para evaluar. Las orientan hacia sí mismos en más oportunidades que hacia los
alumnos. Tienden a responder ellos mismos inmediatamente. Las preguntas propenden a ser memorísticas o de contenido factual. Casi no se observan preguntas reflexivas, de estímulo para el debate, de análisis, o que exijan algún tipo de ejemplificación por los alumnos. Existe relación entre lo manifestado por los profesores tutores y las observaciones realizadas: la mayor parte de las preguntas orales que no se planifican antes son formuladas de forma incorrecta.
Desarrollo de habilidades regulativas
Ser consciente de los objetivos:Generales — Mejorar la práctica docente a través de la correcta formulación de preguntas orales y de la relación entre éstas y los objetivos de la clase.— Disminuir las dificultades de los profesores practicantes en la formulación de las preguntas orales en clase
Específicos— Reconocer las dificultades reales en la formulación de preguntas orales en clase por parte de los profesores practicantes.— Identificar posibles formas para mejorar esta situación.— Diseñar indicadores para la formulación de preguntas orales.— Proponer estrategias de planificación, teniendo en cuenta los indicadores utilizados para la correcta formulación de las preguntas. — Formular preguntas relacionadas con los objetivos y con los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales.
Plantear la hipótesis-acción: — La planificación de las preguntas orales en relación con los objetivos de la clase mejora la conducción de la misma por el profesor, y el aprendizaje de los contenidos por los alumnos.
Planificación de las estrategias:— Planificación de las preguntas a realizar.— Considerar los objetivos de la clase en la planificación de las preguntas y en el tipo de preguntas a formular (para motivar, para indagar ideas previas, de evaluación, inicio, proceso o cierre de la clase, cerradas, semicerradas o abiertas, de argumentación, etc.).— Observar y registrar en una planilla la formulación de preguntas durante dos semanas.
Aplicación de las estrategias y control del curso de acción.
Evaluación de la actuación. Toma consciente de decisiones
Proponer instancias de autoevaluación y de observación de la propia práctica en relación con la formulación de preguntas.
Informar al equipo docente del liceo sobre la propuesta, los logros y las dificultades de la misma. Reflexión sobre la experiencia
La planificación de las preguntas no puede ser impuesta; es responsabilidad de cada profesor. Esto se relaciona con la profesionalización y con la ética docente.
La planificación de las preguntas, teniendo en cuenta los objetivos de la clase, ha evidenciado una relación con el aprendizaje significativo de los alumnos.
Una de las principales causas de la carencia de planificación de las preguntas se relaciona con la falta de tiempo real que se destina a la planificación de la clase.
La planificación de las preguntas estructura el hilo conductor de la clase, y permite al profesor un manejo adecuado del tiempo de clase y de la secuencia didáctica. Idea general revisada para la orientación de un nuevo ciclo de acción
La planificación excesiva de las preguntas puede quitar flexibilidad al profesor en la conducción de la clase.
3.2 Síntesis de la investigación-acción realizada sobre integración de la informática en la clase de Matemática por profesores practicantes de Matemática7, en tanto aprendices y enseñantes
Profesor aprendiz
Del área disciplinar
Matemática.
De teorías
Práctica docente. Motivación.
Nuevas tecnologías como recurso didáctico.
Informática educativa.
Aprendizaje autónomo.
Autoestima.
De procedimientos de investigación
Entrevista informal a profesora coordinadora del Departamento de Informática del Liceo de Práctica sobre el posible uso del laboratorio de informática en los horarios correspondientes a la clase de Matemática.
Encuesta a los alumnos sobre el gusto por el uso de la computadora, frecuencia de uso fuera del liceo y programas que maneja.
De formulación de hipótesis
La informática es un medio didáctico motivador del aprendizaje de la Matemática por los alumnos.
Profesor enseñante
Identificación de la situación problema
La actitud pasiva de algunos alumnos en la clase de Matemática y la necesidad de favorecer su participación nos orienta a buscar nuevos medios didácticos como la informática.
Desarrollo de habilidades regulativas
Ser consciente de los objetivos:Generales— Mejorar la práctica docente incorporando la informática como medio didáctico.— Favorecer la participación de los alumnos de 1.º (5) y 1.º (6) en la clase de Matemática, estimulando su creatividad y su aprendizaje autónomo. Específicos— Facilitar la construcción y la visualización de figuras geométricas de los alumnos de 1.º (5) y 1.º (6) mediante el uso de un software de geometría.— Plantear la hipótesis-acción— El uso del software de geometría facilitará la construcción y la visualización de figuras geométricas.
Planificación de las estrategias:— Coordinar horarios para asistir al laboratorio de informática.— Escoger el software e instalarlo en las computadoras.— Planificar secuencia de trabajo guiada a realizar en el laboratorio de informática con el software de geometría.
Aplicación de las estrategias y control del curso de acción.
Observación participante de aspectos procedimentales y actitudinales con planilla de observación, y encuesta a alumnos para conocer si les gustaría volver a usar el laboratorio de informática para la clase de Matemática, si la tarea con el software les facilita o no la construcción de figuras geométricas, y si les favorece trabajar con un compañero.
Evaluación de la actuación.
Toma consciente de decisiones
Adoptar la Informática como un nuevo medio didáctico para motivar el aprendizaje de la Matemática por los alumnos.
Buscar software apropiado y planificar actividades para su uso.
Informar al equipo docente del liceo sobre la propuesta, los logros y las dificultades de la misma.
Reflexión sobre la experiencia
La hipótesis se cumplió tanto en lo concerniente al logro de una mayor motivación de los alumnos, como en facilitar la construcción y la visualización de características de figuras geométricas. Además, se vio favorecido el trabajo con el compañero.
El uso del software requiere una cuidadosa planificación del trabajo guiado.
Idea general revisada para la orientación de un nuevo ciclo de acción
Sería conveniente planificar el uso del software no sólo para verificar propiedades geométricas, sino también para promover el descubrimiento y la visualización geométrica de figuras, movimientos y lugares geométricos con sus respectivas características.
Bibliografía
Cornejo Abarca, José (1999): «Profesores que se inician en la docencia: algunas reflexiones al respecto desde América Latina», en Revista Iberoamericana de Educación, núm. 19, enero-abril, Madrid, OEI.
Elliott, John (1996): El cambio educativo desde la investigación-acción, 2.ª ed., Madrid, Morata.
Maciel de Oliveira, Cristina (2003): «Investigar, reflexionar y actuar en la práctica docente», en Revista Iberoamericana de Educación, versión digital, julio, Madrid, OEI, <http://www.campus-oei.org/revista/inv_edu2.htm>.
Monereo, Carles (coord.) et al. (1998): Estrategias de enseñanza y aprendizaje, 5.ª ed., Barcelona, Graó.
Pérez Gómez, Ángel (2000): «Capítulo XI. La función y formación del profesor en la enseñanza para la comprensión. Diferentes perspectivas», en José Gimeno Sacristán y Ángel Pérez Gómez, Comprender y transformar la enseñanza, 9.ª ed., Madrid, Morata.
Pérez Serrano, Gloria (1990): Aplicaciones al campo social y educativo, Madrid, Dykinson.
Postic, Marcel y Ketele, Jean-Marie de (1992): Observar las situaciones educativas, Madrid, Narcea.
Secretaría de Capacitación Docente (2000): Programa de 3.er año de Investigación Educativa Aplicada, Inédito.
Notas
(*) Profesora de Investigación Educativa Aplicada, Centro Regional de Profesores del Este, Maldonado, Uruguay.
1 Monereo et al. (op. cit., p. 18) toman el concepto de «habilidades» de Sckmeck (1988) como «capacidades que pueden expresarse en conductas en cualquier momento, porque han sido desarrolladas a través de la práctica (es decir, mediante el uso de procedimientos) y que, además, pueden utilizarse o ponerse en juego, tanto consciente como inconscientemente, de forma automática».
2 Estas perspectivas fueron identificadas por Kirk (1986), quien se basó, a su vez, en la distinción de van Mannen (1977).
3 Este curso se desarrolló de marzo a diciembre de 2003, con una carga horaria semanal de 4 horas.
4 La hipótesis-acción «indica una acción a realizar que debe responder, sobre todo, a una autorreflexión y autocomprensión de la situación. La hipótesis nace de la reflexión y del análisis de la problemática, tanto en el plano teórico como en el práctico» (Pérez Serrano, op. cit., p.107).
5 Liceo n.º 4 de Maldonado, en el que realizaron su práctica docente en 2003 los 70 estudiantes de profesorado del curso 2001, que siguen la carrera en el Centro Regional de Profesores del Este, Maldonado.
6 Profesores practicantes: Patricia Astessiano, Analía Chiarle, Ana Luisa Loyarte, Sabina Maneiro, Eduardo Meroni, Delia Prochazka.
7 Profesoras practicantes: Alejandra Cevallos, Elena Domínguez, Paula García, Graziella Nucciotti, Ana Laura Núñez y Carolina Sastre.
Investigación-acción
María Vidal Ledo1 y Natacha Rivera Michelena2
El término investigación-acción fue definido por primera vez por Kurt Lewin, médico, biólogo, psicólogo y filósofo alemán. Reconocido como el fundador de la psicología social moderna, se interesó por la investigación de la psicología de los grupos y las relaciones interpersonales. Coordinó a un grupo de investigadores que trabajó con grupos de diferentes clases y defendió la investigación básica resaltando la aplicación práctica, bajo el principio de que es imposible conocer el conocimiento humano fuera de su entorno y su ambiente.1
La investigación-acción es una forma de investigación que permite vincular el estudio de los problemas en un contexto determinado con programas de acción social, de manera que se logren de forma simultánea conocimientos y cambios sociales. El concepto tradicional del modelo Lewin trabaja sobre 3 etapas del cambio social: descongelamiento, movimiento, recongelamiento.2
El proceso consiste en:
1. Insatisfacción con el actual estado de cosas. 2. Identificación de un área problemática.
3. Identificación de un problema específico a ser resuelto mediante la acción.
4. Formulación de varias hipótesis.
5. Selección de una hipótesis.
6. Ejecución de la acción para comprobar la hipótesis.
7. Evaluación de los efectos de la acción.
8. Generalizaciones.
Lawrence Stenhouse, en la última década del pasado siglo, retoma estos conceptos y lo aplica al currículo, por ser un instrumento “potente e inmediato para la transformación de la enseñanza”,3,4 cuyos elementos son articulados en la práctica, de manera que la investigación es el potencial del educando: su preocupación, su colaboración y su perfeccionamiento; mientras que la acción es la actividad teórica para desarrollar el potencial del educando.
La investigación-acción es definida como “una forma de indagación introspectiva colectiva emprendida por participantes en situaciones sociales con objeto de mejorar la racionalidad y la justicia de sus prácticas sociales o educativas, así como su comprensión de esas prácticas y de las situaciones en que éstas tienen lugar”.5
Es un método muy aplicado en los procesos de transformación actuales, para estudiar, controlar y alcanzar las modificaciones deseadas en el entorno social de aplicación. Y constituye una importante alternativa en los métodos de investigación cualitativa, muy aplicado en entornos académicos donde existe una fuerte vinculación de la teoría con la práctica, donde se producen un conjunto de espirales cíclicas de planeamiento, acción, observación y reflexión,5 que son consustanciales a las aproximaciones sucesivas en que se convierte la solución del problema.
Para reflexionar sobre este interesante tema, se ha invitado a la DraC. Natacha Rivera Michelena, miembro del Comité Académico de la Maestría en Educación Médica de la Escuela Nacional de Salud Pública, que en su quehacer docente ha aplicado estos métodos y sus reflexiones enriquecerán, sin dudas, el conocimiento de los profesionales.
En la exploración sobre estos conceptos se utiliza para la búsqueda en Internet e Infomed, el entrecomillado simple y restricción de los resultados. Como motor se utilizó Google fundamentalmente, aunque también se hicieron búsquedas utilizando Altavista y Yahoo. Al momento de la búsqueda se encontró más de 1 420 000 referencias sobre la proposición “investigación-acción” y 1 250 000 acotadas a la educación superior, de las cuales 40 800 se citan en páginas cubanas. En Infomed aparecen registradas 140 referencias, entre las que se encuentran varios artículos publicados en las revistas médicas cubanas y otras publicaciones cubanas e internacionales.
En la bibliografía encontrada, se recomienda consultar:
Investigación-acción, de los profesores y DrC. Radamés Borroto Cruz y Ramón Aneiros Riba, quienes realizaron un resumen en el que abordan estos conceptos, su evolución en los últimos 50 años, los métodos, técnicas, evaluación y facilidades. Resume también la naturaleza de la investigación-acción, el enfoque de Lewin sobre este tema, la preocupación temática y 4 momentos de ésta, y sus puntos clave. Así como: “ 4 cosas que no es la investigación-acción”, lo cual lo convierte en un trabajo de revisión obligado para los que se interesan por este tema. Puede encontrarse a través de la dirección electrónica: http://www.sld.cu/galerias/doc/sitios/infodir/39_investigacion_accion.doc.
La identificación de necesidades de aprendizaje, del profesor Ramón Syr Salas Perea, donde se analiza la identificación de necesidades de aprendizaje como eje del diseño curricular de la superación de posgrado y su consideración como un tipo de
investigación educacional, sobre la base de la investigación-acción. Se estudian conceptualmente las necesidades de aprendizaje y su abordaje en sistema, a partir de la situación de salud, el proceso de trabajo y las insuficiencias individuales de los profesionales, y se clasifican. Se valora una metodología para su abordaje integral. Puede encontrarlo en el volumen 17, No. 1 de la revista Educación Médica Superior que se encuentra en línea en la dirección electrónica: http://scielo.sld.cu/scielo.php?pid=S0864-21412003000100003&script=sci_arttext
La profesionalidad del docente universitario desde una perspectiva humanista de la educación, de la doctora Viviana González Maura de la Universidad de La Habana, ponencia presentada en el I Congreso Iberoamericano de Profesores de la Universidad Federal de Santa María, en Brasil. En la actualidad se trabaja en diferentes niveles de enseñanza bajo la orientación de un especialista o docente de mayor experiencia en el trabajo con esta metodología, los que van transitando gradualmente hacia mayores niveles de participación y protagonismo en la planificación, ejecución y evaluación de estrategias educativas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Puede ser consultada en la dirección: http://www.oei.es/valores2/gonzalezmaura.htm
Investigación-acción, de Kluwer Academia Press Publisher, Netherlands, a partir de las notas tomadas de “Action reserch as a formo f staff development in Higher Education”. David Kember y Lin Gow, traducido por Pedro D. Lafourcade, en el que pueden encontrarse definiciones, enfoques, condiciones requeridas para considerar una investigación-acción y aplicación en la educación superior, estudio de casos y reflexiones críticas sobre el tema. Este documento puede ser encontrado en la dirección: http://www.fceia.unr.edu.ar/labinfo/facultad/decanato/secretarias/desarr_institucional/biblioteca_digital/articulos_pdf_biblioteca_digital/bd_Inv_T-01.pdf
Investigación-acción como estrategia de aprendizaje en la formación inicial del profesorado, de Cristina Maciel de Oliveira. Los 3 ejes de este artículo son: el profesor estratégico, el enfoque de investigación-acción en el marco de las teorías sobre la práctica de la función docente, y la investigación-acción como estrategia de aprendizaje en la formación del profesorado. Desde el discurso teórico interrelacionado con la experiencia de formadores en investigación educativa aplicada, se plantean criterios de acción pedagógica para la formación inicial de profesionales de la enseñanza con habilidades regulativas para planificar, orientar y evaluar sus propios procesos cognitivos, en relación con los contenidos de aprendizaje a enseñar y con los vinculados a su actuación docente. Está publicado en la Revista Iberoamericana de Educación, No. 33, de 2003 y también puede accederse a través de la dirección: http://www.rieoei.org/rie33a05.PDF.
Experiencias en investigación-acción-reflexión con educadores en proceso de formación en Colombia, de los profesores José Federman Muñoz Giraldo, Josefina Quintero Corzo y Raúl Ancízar Munévar Molina, de la Universidad de Antioquia en Colombia; presenta procesos y resultados de las experiencias llevadas a cabo por un grupo de profesores y alumnos en programas de formación de educadores en la Universidad de Caldas (Colombia). El propósito consiste en presentar los resultados de un proceso de asesoría a educadores en formación durante sus prácticas en colegios oficiales, aplicando los ciclos de la investigación-acción-reflexión. La participación, el trabajo colaborativo, la toma de decisiones y la reflexión crítica de la acción son evidencias que permiten demostrar cómo un educador en proceso de formación aprende a investigar mientras está aprendiendo a enseñar. Puede ser consultado en la Revista
Electrónica de Investigación Educativa, No. 4 (1), en la dirección electrónica: http://redie.uabc.mx/vol4no1/contenido-munevar.htm
La investigación-acción como herramienta para lograr coherencia de acción en el proceso de practica profesional durante la formación inicial docente, de Pamela Labra, Gloria Montenegro, Carolina Iturra H y Rodrigo Fuentealba J, de la Universidad de Atacamá de Chile, cuyo ensayo analiza la posibilidad de utilizar la investigación-acción como una metodología que promueve el desarrollo profesional y la construcción de conocimiento situado para mejorar la práctica profesional en el proceso de formación inicial. Puede accederse a través de la dirección electrónica: http://www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718-07052005000200009&script=sci_arttext
También pueden ser localizados numerosos sitios sobre este tema en Internet, que brindan la oportunidad de encontrar diferentes aristas y puntos de vista que pueden ser útiles:
Sitio: EMAGISTER. Portal docente que brinda cursos gratis y subvencionados sobre diferentes tópicos del tema, aparecen indizados más de 2 000 cursos cortos, maestrías y diplomados.
Fig. 1. http://www.emagister.com/investigacion-accion-cursos-661697.htm
Sitio: DEPCuadernos. DEP es una consultoría especializada en investigación e información estratégica, sociológica y de mercado que presta su servicio a empresas, administraciones públicas, centros de formación y otros. Se organiza en 4 áreas de especialización y tiene como prioridad el área de educación, formación y trabajo
Fig. 2. http://www.depcuadernos.net/interface/asp/web/index.asphttp://www.depcuadernos.net/interface/asp/web/article_fitxa.asp?ArticleID=137
Sitio: INNOVEMOS. Es un espacio interactivo y foro permanente de reflexión, producción, intercambio y difusión de conocimientos, y prácticas acerca de las innovaciones y el cambio educativo, para contribuir al mejoramiento de la calidad y equidad de la educación en sus distintas modalidades y programas. Es de carácter regional y está conformada por redes nacionales que incluye instituciones de distinta naturaleza y ámbitos de competencia; escuelas y programas educativos no formales, centros de investigación y promoción educativa, ministerios de educación, fundaciones y universidades, distintos niveles territoriales; regional, nacional, local y diferentes circuitos temáticos. La red Innovemos, que se creó en el año 2001, está coordinada por la Oficina Regional de Educación de la Organización de las Naciones Unidas para la educación, la ciencia y la cultura (UNESCO), para América Latina y el Caribe, OREALC/UNESCO Santiago. En la actualidad Innovemos cuenta con la participación de 14 países: Argentina, Bolivia, Brasil, Colombia, Chile, Cuba, Ecuador, El Salvador, España, México, Panamá, Perú, República Dominicana y Venezuela.
Fig. 3. http://innovemos.unesco.cl/esp/iie/bc/elliot1993.act
Sitio: PERETARRES. Centro de transferencia del conocimiento en la acción social, dentro de la Oficina de Transferencia de Resultados de Investigación (OTRI) de la Universidad Ramón Llull. Proyectos sociales nace a finales de 1999 con la finalidad de desarrollar e incentivar actividades de investigación, consultoría y servicios experimentales de gestión e intervención especializados.
Fig. 4. http://www.peretarres.org/investigacionaccion/index.html
Entre otros sitios que han tenido eventos y publicado sobre este tema se encuentran:
Sitio: Universidad de San Luis en Argentina:
Fig. 5. http://agenda.universia.com.ar/unsl/2006/10/09/jornadas-de-investigacion-accion-entre-educacion-especial-y-fonoaudiologia-en-la-unsl
Sitio: REDIE. Revista Electrónica de Investigación Educativa (REDIE) es una publicación del Instituto de Investigación y Desarrollo Educativo de la Universidad Autónoma de Baja California que utiliza las nuevas tecnologías de la información y la comunicación.
Fig.6. http://redie.uabc.mx/vol4no1/contenido-munevar.html
Sitio: OIE.
La Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI) es un organismo internacional de carácter gubernamental para la cooperación entre los países iberoamericanos en el campo de la educación, la ciencia, la tecnología y la cultura en el contexto del desarrollo integral, la democracia y la integración regional.
Los estados miembros de pleno derecho y observadores son todos los países iberoamericanos que conforman la comunidad de naciones integrada por Argentina, Bolivia, Brasil, Colombia, Costa Rica, Cuba, Chile, República Dominicana, Ecuador, El Salvador, España, Guatemala, Guinea Ecuatorial, Honduras, México, Nicaragua, Panamá, Paraguay, Perú, Portugal, Puerto Rico, Uruguay y Venezuela.
Fig. 7. http://www.oei.es/valores2/gonzalezmaura.htm
También un portal que ha resultado muy exitoso, por la enorme cantidad de recursos que brinda, incluyendo entre sus servicios una importante enciclopedia que se ha ido nutriendo del conocimiento de todos:
Sitio: Wikipedia.org.
Fig. 8. http://wikipedia.org/ http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n-acci%C3%B3n
Reflexiones sobre el tema
La revisión efectuada por la profesora Vidal presenta argumentos de indudable valor sobre la importancia que tiene el enfoque de la investigación-acción en el contexto educacional contemporáneo, dado que constituye un recurso científico dirigido a estudiar, controlar y alcanzar las modificaciones deseadas en el entorno social de aplicación, de gran pertinencia en la actualidad en los procesos formativos en salud. Ello resultó un fuerte incentivo para la realización de las reflexiones siguientes.
La preparación sistemática y continua del profesor acorde a las exigencias sociales en las cuales se desempeña como tal para llevar a cabo su gestión docente, es uno de los requisitos esenciales en el logro de la formación de los recursos humanos a la altura de la contemporaneidad. En tal sentido, ya desde la década de los noventa del pasado siglo
la doctora Talizina afirmaba: “…los ritmos acelerados en el desarrollo de la ciencia y la técnica plantean la necesidad de modelar de una forma totalmente distinta el proceso de la enseñanza, entre otras razones porque la tarea que debe afrontar la educación superior es la de preparar a un individuo capaz de formarse como especialista durante toda su vida. Si la educación sigue a la antigua, se dará con frecuencia el caso de que los conocimientos que el estudiante adquiere en los primeros años de sus estudios no le servirán al graduarse”.6
En la conferencia regional sobre políticas y estrategias para la transformación de la educación superior en América Latina y el Caribe efectuada en La Habana, en noviembre de 1996, Carlos Tünnermann Bernheim planteó: “a la comunidad académica, aquí representada, se le ofrece este valioso espacio para discutir y definir los principios fundamentales susceptibles de orientar una profunda transformación de la educación superior de la región, que la prepare para hacer frente a los nuevos desafíos y para asumir cometidos, quizás hasta ahora inéditos, en su desempeño tradicional”,7 valorando entre otros aspectos, que en la actualidad “una mayor competitividad internacional implica la incorporación deliberada y sistemática del progreso tecnológico al proceso productivo y la formación de recursos humanos de alto nivel. Pero, no hay progreso técnico sin desarrollo científico. Y no hay desarrollo científico sin educación científica, en todos sus niveles, de la más alta calidad”.7
En esta misma línea de análisis en la Conferencia Mundial sobre la Educación Superior (UNESCO, París 5-9 de octubre de 1998), se señalo que un punto clave de la “nueva visión” de la educación superior, es la revalorización de la función docente en las universidades, a veces un tanto menospreciada frente al prestigio de la función Investigativa. Sin desestimar la investigación como una de las tareas más relevantes de las universidades, es necesario llevar a cabo esfuerzos especiales para renovar los métodos de enseñanza-aprendizaje y destacar el lugar de la docencia en el que hacer general de la universidad.8
Estos argumentos tienen plena vigencia desde la perspectiva de la educación médica superior, dada la imperiosa necesidad de egresar recursos humanos en salud sobre la base de criterios de amplitud, que tengan las competencias necesarias y suficientes para resolver con profundidad, integridad, independencia y creatividad los problemas de salud básicos y generales que se le presenten en su esfera de actuación, tanto nacional como internacional; tal realidad es un reto para el profesor que tiene el encargo social de conducir un proceso formativo en la dimensión antes señalada.
En la Declaración Mundial sobre la Educación Superior en el siglo XXI: visión y acción, se contempla entre las misiones y funciones de la educación superior, lo siguiente:
Artículo 9. Métodos educativos innovadores: pensamiento crítico y creatividad.
En un mundo en rápida mutación, se percibe la necesidad de una nueva visión y un nuevo modelo de enseñanza superior, que debería estar centrado en el estudiante, lo cual exige, en la mayor parte de los países, reformas en profundidad... y continúa expresando,... con una renovación de los contenidos, métodos, prácticas y medios de transmisión del saber, que han de basarse en la comunidad y con los más amplios sectores de la sociedad.
Para que se conviertan en ciudadanos bien informados y profundamente motivados, provistos de un sentido crítico y capaz, las instituciones de educación superior deben formar a los estudiantes para que puedan analizar los problemas, buscar soluciones para los que se planteen a la sociedad, aplicar éstas y asumir responsabilidades sociales.
Para alcanzar estos objetivos, puede ser necesario reformular los planes de estudios y utilizar métodos nuevos y adecuados que permitan superar el mero dominio cognitivo de las disciplinas; se debería facilitar el acceso a nuevos planteamientos pedagógicos y didácticos y fomentarlos para propiciar la adquisición de conocimientos prácticos, competencias y aptitudes para la comunicación, el análisis creativo y crítico, la reflexión independiente y el trabajo en equipo en contextos multiculturales.8
La educación médica superior cubana se ha venido caracterizando por un desarrollo sistemático en respuesta a las exigencias surgidas del desarrollo del Sistema Nacional de Salud (SNS) y las necesidades sociales actuales, tanto a nivel nacional como internacional y ha mantenido y ratificado el tipo de médico que la sociedad cubana y latinoamericana necesita, un médico general con competencias promocionales, preventivas, diagnósticas y terapéuticas, en función de preservar y mantener la salud, y solucionar los problemas cuando ésta se afecte en el individuo, la familia y la comunidad. La experiencia cubana acumulada en décadas de formación médica después del triunfo de la Revolución, ha permitido y posibilitado la aplicación de estas importantes definiciones formativas no solo en Cuba, sino en la proyección y puesta en práctica de este proceso en el ámbito latinoamericano e internacional.
Los nuevos paradigmas formativos que distinguen a la educación médica superior cubana en la actualidad, se sustentan en la necesidad de desarrollar un proceso educacional en salud teniendo como pilares esenciales los escenarios comunitarios y la asimilación de los contenidos en el trabajo, y para el trabajo en el contexto de la estrategia de la atención primaria, ello exige un claustro de profesores con las competencias necesarias y suficientes para un desempeño pedagógico e investigativo, un claustro con la pertinencia esperada, que sea capaz de dirigir el procesode enseñanza-aprendizaje, caracterizado por estrategias didácticas que tengan en cuenta, como nivel de análisis esencial, que la asimilación de los contenidos por parte del estudiante eleva su calidad cuando ocurre en actividades vinculadas a su futura práctica profesional y en el marco de los problemas básicos y generales que deberán ser resueltos en suesfera de trabajo.6
Se trata de la formación de profesionales de la salud, con un alto grado de pertinencia y equidad social, consagrados y comprometidos con su pueblo y la humanidad, en los principios de la solidaridad y el internacionalismo, con gran vocación de servicios y sentido ético en su actuación, lo que le exige a la concepción de los diseños curriculares en salud, en función de su pertinencia, asumir como referentes teórico-metodológicos, entre otros, los siguientes:
Concepción integral de las ciencias médicas como ciencias sociales y biológicas, sustentadas en un paradigma biopsicosocial.
Partir de los problemas y necesidades relevantes de salud local, nacional y mundial.
Desarrollo de un pensamiento científico, desde la perspectiva del aprendizaje, a partir de la necesaria relación de los métodos de enseñanza-aprendizaje con la lógica de los
métodos profesionales de trabajo: método clínico, método epidemiológico, método del proceso de atención de enfermería y método tecnológico, en función del desarrollo de competencias profesionales relacionadas con la obtención de información, la observación objetiva, el razonamiento lógico y el juicio critico.
Aplicación de métodos productivos de enseñanza, que propicien el aprendizaje y el protagonismo del educando, en especial el método de solución de problemas que promueva el análisis y discusión grupal, como recursos didácticos esenciales de una educación en el trabajo y para el trabajo en el contexto de la estrategia de atención primaria, lo que propiciará el desarrollo de las actividades formativas en los escenarios reales de los servicios de salud.
Fomento de la interdisciplinariedad y la transdisciplinariedad frente al aislamiento disciplinario y la desarticulación temática.
Búsqueda de un equilibrio entre la tecnología médica clínica (el arte de la relación médico-paciente, la entrevista y la exploración clínica, entre otros) la aplicación del método epidemiológico y la “alta tecnología de equipos de punta".
Introducción y desarrollo de las tecnologías de la información y las comunicaciones en las esferas docente, investigativa y de dirección preservando y fortaleciendo los valores, la cultura, la psicología y la ideología de nuestra sociedad.
Las ideas anteriormente planteadas han presentado importantes elementos que deben particularizar a los procesos formativos que transcurren en las carreras propias de la educación médica y permiten realizar las siguientes valoraciones:
El proceso enseñanza-aprendizaje es una permanente toma de decisiones, en la que los docentes asumen una parte considerable de las mismas en una situación que es multifactorial: la situación didáctica en salud; por tanto, lo que necesita el docente es un nivel de suficiencia pedagógica, concretado en sistemas de conocimientos, habilidades y valores ético-profesionales, entre otros aspectos, como elementos importantes de las necesarias competencias docentes, que les permita entender y encontrar las alternativas oportunas ante las situaciones en las que se ve inmerso al lado de otros protagonistas del mismo proceso: los educandos. Tales circunstancias no admiten en el momento actual una gestión docente centrada sólo en la experiencia, el sentido común, o el dominio de la especialidad que da lugar a los contenidos que se imparten, sino que es necesario mucho más, pues resulta fundamental una preparación científico-pedagógica que les permita recorrer ese camino con la pertinencia esperada: el camino de las didácticas particulares.
Se necesita enseñar aquellos contenidos científicos relevantes para la comprensión del proceso salud-enfermedad, sin desestimar la oportunidad de expresar una visión que enriquezca estos contenidos científico-técnicos con las humanidades, lo que significa educar a los estudiantes en una visión integral del ser humano, propia del quehacer intelectual y práctico de la medicina, la enfermería, la estomatología y las demás profesiones de la salud. Estos elementos constituyen un requerimiento fundamental para la dirección del proceso docente-educativo en salud, lo que reclama de un claustro profesoral con la debida competencia para afrontar su desarrollo. Los profesores de ciencias médicas tienen que llevar a cabo una dirección didáctica caracterizada por una visión integral y sistémica del proceso formativo. En la explicación de hipótesis, teorías, fórmulas, pesos y medidas y en la relación del estudiante con el paciente en las distintas
modalidades de la educación en el trabajo, tiene que estar presente la expresión ético-reflexiva y humanista de la carrera que cursa. Esto es un principio metodológico de la pedagogía médica.
El alto desarrollo de la ciencia y la tecnología en la actualidad privilegia la presencia de estas manifestaciones en las aulas y los servicios; pero deben estar unidas la ciencia y la técnica a otras manifestaciones del saber médico y a su repercusión en la vida de la sociedad. No se forman profesionales solamente para satisfacer las demandas del mercado de trabajo, vinculadas exclusivamente al dominio de áreas del saber científico ó técnico; el valor económico no puede estar alejado de la función social y humanista de estas profesiones.
Así, la labor educativa no puede ser concebida espontáneamente, debe tener su necesario soporte en el sistemático desarrollo de una didáctica propia de la educación médica, en función de una reflexión argumentada sobre el trabajo metodológico de los profesores y sus colectivos que, con un enfoque integral y multidisciplinario de las asignaturas, que potencialicen sus contenidos, no sólo en la actualización de los conocimientos científico-técnicos, sino también en la reflexión ético-humanística que impacte la proyección ciudadana y solidaria del futuro profesional de la salud en Cuba y en otras latitudes donde la universidad médica cubana se hace presente como expresión del internacionalismo y la solidaridad que la caracteriza.
Esta realidad les impone un doble reto a los profesores del subsistema de educación médica superior, un reto teórico y práctico; es decir, formar y desarrollar las competencias necesarias para el desempeño de los futuros profesionales y especialistas de la salud, para lo cual necesariamentetienen que estar preparados, en el orden científico-técnico y científico-pedagógico, es en este sentido, donde la práctica científica ofrece la posibilidad de utilizar la investigación-acción como una metodología que promueve el desarrollo profesional y la construcción de conocimientos para mejorar la práctica profesoral en el proceso de formación inicial, de ahí que la investigación acción, se constituye en modalidad colaborativa que surge como alternativa del desarrollo profesional de los docentes a través de la investigación. Este análisis permite comprender su pertinencia en el contexto de los procesos educacionales que actualmente distinguen a la educación médica superior en Cuba.
Existen diferentes maneras de investigar científicamente, en la cual una persona capacitada o grupo capacitado (sujeto de la investigación), aborda un aspecto de la realidad (objeto de la investigación), ya sea para su comprobación experimental, su exploración o para su descripción.
Generalmente, en estos tipos de investigación, la comunidad en la que se hace la investigación, o para cual se hace, no tienen participación en el proceso, ni en los resultados; solo puede llegar a conocer las conclusiones, no obstante, como resultado de estos procesos se han podido obtener productos de indudable valor científico y practico.
En las últimas décadas, sin perder el carácter de cientificidad, han nacido otros enfoques de investigación científica, buscando mayor participación y apropiación del proceso y de los resultados por parte de la comunidad involucrada. En estos nuevos enfoques se ubica la investigación-acción.
El término "investigación-acción" proviene del autor Kurt Lewin y fue utilizado por primera vez en 1944. Describía una forma de investigación que podía ligar el enfoque experimental de la ciencia social con programas de acción social que respondieran a los problemas sociales principales de entonces. Mediante la investigación-acción, Lewin argumentaba que se podía lograr de manera simultánea avances teóricos y cambios sociales.1 Su modelo de investigación-acción tal y como se plantea en la revisión efectuada por la profesora Vidal, propone 3 etapas del cambio social: descongelación, movimiento, recongelación, proceso caracterizado por una serie de etapas ya mencionadas en la citada revisión; no obstante, resulta interesante resaltar cómo las fases del método son flexibles, ya que permiten abordar los hechos sociales como dinámicos y cambiantes, por lo tanto están sujetos a los cambios que el mismo proceso genere.2
Al valorar la importancia de la puesta en práctica de la investigación-acción en el perfeccionamiento sistemático y desarrollo de la educación médica, Aneiros y Borroto la definen como “una forma de indagación introspectiva colectiva emprendida por participantes en situaciones sociales con objeto de mejorar la racionalidad y la justicia de sus prácticas sociales o educativas, así como su comprensión de esas prácticas y de las situaciones en que éstas tienen lugar”.5 Estos autores la entienden como un método o alternativa científica cualitativa de gran importancia y aplicación en entornos académicos donde existe una fuerte vinculación de la teoría con la práctica, donde se producen un conjunto de espirales cíclicas de planeamiento, acción, observación y reflexión, que son consustánciales a las aproximaciones sucesivas en que se convierte la solución del problema.5 Tales argumentos sustentan, sin lugar a dudas, la pertinencia de estos estudios en los procesos formativos en salud que en la actualidad se desarrollan en el país.
La investigación-acción tiene un doble carácter; es un enfoque investigativo y una metodología de investigación, aplicada a estudios sobre realidades humanas. Como enfoque, marca una orientación teórica en relación a cómo investigar. Como metodología hace referencia a procedimientos específicos para llevar a cabo un estudio científico diferente a otras maneras de investigar.
La investigación-acción se centra en la posibilidad de aplicar categorías científicas para la comprensión y mejoramiento de los procesos de transformación, partiendo del trabajo colaborativo de los propios sujetos implicados. Esto lleva a pensar que tiene un conjunto de rasgos propios, entre los que se pueden distinguir los siguientes:
1. Contexto situacional: diagnóstico de un problema en un contexto específico, intentando resolverlo. No se pretende que la muestra de sujetos sea representativa.
2. Generalmente colaborativo: equipos de colaboradores y prácticos suelen trabajar conjuntamente.
3. Participativa: miembros del equipo toman parte en la mejora de la investigación.
4. Auto-evaluativa: las modificaciones son evaluadas continuamente, siendo el último objetivo mejorar la práctica.
5. Acción-reflexión: reflexionar sobre el proceso de investigación y acumular evidencia empírica (acción) desde diversas fuentes de datos. También acumular diversidad de interpretaciones que enriquezcan la visión del problema de cara a su mejor solución.
6. Proceso paso a paso: si bien se sugieren unas fases, no sigue un plan predeterminado. Se van dando sucesivos pasos, donde cada uno de ellos es consecuencia de los pasos anteriores.
7. Proceso interactivo: de forma que vaya provocando un aumento de conocimiento (teorías) y una mejora inmediata de la realidad concreta.
8. Retroalimentación continua: a partir del cual se introducen modificaciones, redefiniciones, entre otros.
9. No se aísla una variable, sino que se analiza todo el contexto.
10. Aplicación inmediata: los hallazgos se aplican de forma inmediata.
En el ámbito educativo, resulta particularmente importante en situaciones donde se presentan problemas prácticos, incoherencias o inconsistencias entre lo que se persigue y lo que en la realidad ocurre. Por ello, se debe pensar en diversas alternativas de actuación y sus posibles consecuencias a la luz de lo que se comprende de la situación, como hasta el momento se presentan. Estas reflexiones permiten llegar al diseño de una propuesta de cambio y mejoramiento, acordada como la mejor. Es necesario en este momento definir un diseño de avaluación de la misma, es decir, anticipar los indicadores y metas que darán cuenta del logro de la propuesta.
La aplicación de la propuesta debe ser entendida como un esfuerzo de innovación y mejoramiento de la práctica educacional, la que deberá ser sometida permanentemente a condiciones de análisis, evaluación y reflexión.
La evaluación de este proceso comenzará otro ciclo en la espiral de la investigación-acción, va proporcionando evidencias del alcance y las consecuencias de las acciones emprendidas, y de su valor como mejora de la práctica.
En estos estudios se puede estar ante cambios que implique una redefinición del problema, en aras de encontrar las mejores soluciones, ya sea porque éste se ha modificado, o porque han surgido otros de más urgente resolución o porque se descubren nuevos focos de atención que se requiere atender para abordar el problema original.
La evaluación, en este proceso cíclico e ininterrumpido, debe ser aplicada en cada momento, debe estar presente al final de cada ciclo, dando de esta manera una retroalimentación a todo el proceso, lo que permitirá obtener criterios fundamentales a la hora de evaluar la nueva situación y sus consecuencias, es decir, en qué medida el propio proceso de investigación y transformación ha supuesto un proceso de cambio, implicación y compromiso de los propios involucrados.
Según González Maura,9 la investigación-acción se desarrolla cada vez con más fuerza en el ámbito de la educación, toda vez que constituye una vía excelente para eliminar la dicotomía teoría-práctica y sujeto-objeto de investigación, característicos de la investigación tradicional en al campo de la educación. La investigación-acción-colaborativa como modalidad de la investigación-acción, surge como una alternativa de desarrollo profesional de los docentes a través de la investigación. Posibilita formar a los docentes en la metodología de la investigación-acción como una vía para la mejora
de su práctica educativa a través de la cual los docentes, bajo la orientación de un especialista o docente de mayor experiencia en el trabajo con esta metodología, van transitando gradualmente hacia mayores niveles de participación y protagonismo en la planificación, ejecución y evaluación de estrategias educativas en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Coincidiendo con Pine, “los profesores que participan en procesos de investigación-acción-colaborativa se convierten en agentes de su propio cambio. Los profesores pueden utilizar la investigación-acción para su crecimiento personal y profesional, desarrollando habilidades y competencias con las que enriquecen su capacidad para resolver problemas y mejorar la práctica docente”.10
La investigación-acción en la práctica educativa, a diferencia con otros modalidades investigativas donde los modelos, técnicas y procedimientos están más trillados, requiere de la construcción del camino a seguir, en ello juega un papel esencial la reflexión, es la principal herramienta que guía los puntos de vista, la toma de decisiones y las actuaciones de los participantes, lo que contribuye a la formación de docentes más críticos y reflexivos. Según Blández, “la investigación-acción invita al profesorado a reflexionar sobre su propia práctica, introduciendo una serie de cambios con el fin de mejorarla”.11
La preparación y desarrollo pedagógico e investigativo de los profesores que se desempeñan en la educación médica superior, constituye una imperiosa necesidad social y un reclamo reiterado de la comunidad médica expresado en diferentes escenarios nacionales e internacionales; es una condición esencial para lograr la formación de los recursos humanos en salud que la sociedad actual exige. Ese es el reto de la universidad médica actual.
Referencias bibliográficas 1. Wikipedia. Kurt Lewin. (Consultado 10/6/07). Disponible en URL:
http://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_Lewin 2. Wikipedia. Investigación-acción. (Consultado 16/3/07). Disponible en URL:
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n-acci%C3%B3n
3. Wikipedia. Currículo según Stenhouse. (Consultado 8/6/07). Disponible en URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Curr%C3%ADculo_seg%C3%BAn_Stenhouse
4. Stenhouse L. Investigación y desarrollo del curriculum. Madrid: Morata; 1991. p. 9.
5. Borroto CR, Aneiros RR. Investigación-acción. Resumen y revisión de Kemmis S. Action Research, 1992. Escuela Nacional de Salud Pública. (Consultado 16/3/07). Disponible en URL: http://www.sld.cu/galerias/doc/sitios/infodir/39_investigacion_accion.doc
6. Talizina NF. Psicología de la enseñanza. Moscú: Progreso; 1988.
7. Conferencia regional sobre políticas y estrategias para la transformación de la educación superior en América Latina y el Caribe. (18 al 22 de noviembre de 1996). La Habana, Cuba: MES; 1996.Conferencia mundial sobre la educación superior. (5-9 de octubre de 1998). París: UNESCO; 1998.
8. González MV. La profesionalidad del docente universitario desde una perspectiva humanista de la educación. Ponencia presentada en el I Congreso Iberoamericano de Formación de Profesores, Universidad Federal de Santa María, Río Grande del Sur, Brasil, 2000. Universidad de La Habana. (Consultado 16/3/07). Disponible en URL: http://www.oei.es/valores2/gonzalezmaura.htm
9. Pine G. Colaborativeaction research. The integration of research and service. Paper presented at the annual meeting of American Asociation of Colleges for teaching education. Detroit: American Asociation of Colleges for teaching education; 1981.
10. Blández J. La investigación-acción: Un reto para el profesorado. Barcelona, España: INDE Publicaciones; 1996.
¿Es la Matemática un lenguaje?’DANIEL QUESADA(Universidad Autónoma de Barcelona)Es sorprendente el número de personas dedicadas a la ciencia que danpor presupuesta una respuesta afirmativa a la pregunta del título. Esta actitudes, me parece, especialmente pronunciada entre los fisicos. Creo que esfácil comprobarcómo ellos se sorprenden de que algo asi pueda preguntarseseriamente («esperemos que sí»; «¿qué otra cosa puede ser»).Sin embargo, diversas cosas pueden estarse preguntando al usar la oracióninterrogativa «¿es la Matemática un lenguaje?». Incluso, como veremos.puede estarse apuntando a una cuestión profunda acerca de la naturalezade la Matemática y de las capacidades cognitivas relacionadas conella que está totalmente abierta en la actualidad. Voy aquí a abordar todasesas posibles cuestiones (al menos todas las que se me ocurren) sucesivamente.1. Lenguaje y teoríaPara empezar necesitamos una cierta noción de lenguaje. No unanoción muy técnica o precisa. Basta con reconocer que un lenguaje tiene:i) un conjunto de items básicos discretos, es decir, un vocabulario;u) una sintaxis, es decir, tales items tienen un determinadopoder combinatorio,no vale cualquier secuencia de ellos (este rasgo diferencia, porejemplo, un lenguaje de un sistema de numeración; si admitimos cualquiersecuencia de unos y ceros, pongamos por caso, no tenemos un lenguaje);di) determinadas secuencias de esos items, entre las que están sintácticamentebien formadas tienen un «alcance semántico», es decir, se usan1. Este artículo es una versión revisada y ligeramente ampliada de una charla dadaen la Universidad Autónoma de Barcelona en la primavera de 1989. y parte de la «ligerezaexpositiva» de la versión hablada se podrá detectar en la versión escrita. Agradezcoa Walter Meyerstein y a Josep Montserrat Torrens el tema, el impulso y la oportunidadpara abordar aquél.AniMa de Filosofla. 3Y época, vol. ív (lOO!). nÚm. 5. pógs. 31-41 Editorial Complutense. Madrid
32 Daniel Quesadapara hablar sobre objetos, en general distintos a los propios items osecuencias2Ala noción de lenguaje pertenece esencialmente la de aserción correctao incorrecta, verdadera o falsa (posibles distinciones entre estos dospares de nociones no son aquí pertinentes). Es decir, a un lenguaje pertenecentambién los enunciadosfalsos. Sin embargo, cuando hablamos de laMatemática nos referimos al conjunto de proposiciones que la constituyen,los teoremas de las teorías matemáticas; y éstos, según creemos, son todosellos verdaderos.
Lo que tenemos aquí es el contraste entre un lenguaje y una teoría. Unlenguaje (por ejemplo, un lenguaje natural) consta, entre otras cosas, de unconjunto de enunciados, oraciones que pueden ser verdaderas o falsas.Una teoría, en especial una teoría matemática, consta de un conjunto deenunciados o proposiciones expresados en un lenguaje que son verdaderos(o eso es lo que esperamos). Lo decisivo en el contraste es que no «expulsamos» de un lenguaje un enunciado por el hecho de que sea falso, y en cambiosilo «expulsamos» de una teoría en ese mismo caso.Por lo tanto, en el sentido más inmediato de los términos de la pregunta,una teoría matemática no constituye un lenguaje, ni tampoco el conjuntode tales teorías; en este sentido, la Matemática no es un lenguaje, y elloes, además, obvio.2. Lenguaje y vocabularios especialesLa respuesta anterior, aun siendo verdadera y clarificadora frente acierto tipo de confusión elemental, difícilmente podrá satisfacer a los quese hacen la pregunta o los que presuponen una respuesta verdadera. Lomás probable es que sientan que la «verdadera cuestión» queda sin tocaren el comentario anterior. Pues bien, quizá estemos ahora en condicionesde llegar a una nueva y mejor formulación: «¿Es el lenguaje matemáticoun lenguaje especial diferente del lenguaje natural?».La respuesta a esta pregunta debe ser, según creo: por un lado —el trivialo menos interesante— sí, por el otro más bien parece que no.Comencemos por el lado del st Es obvio que en Matemáticas se utilizanuna serie de términos especiales: raíz cuadrada, logaritmo, polinomio,transformación lineaL función trigonométrica, vector, nómero real, integraLecuación diferenciaL espacio de Hilbert, curva de Gaus& serie de Fourrier. E2. Lo anterior es un ejemplo de «lenguaje externamente concebido» o «lenguaje-E»en la terminologia de CHOMSKY: cf Knowledge of Language. pp. 17-20. y «Cambios deperspectiva sobre el conocimiento ye1 aso del lenguaje>’, p. 18. Contrariamente a Chomskycreo que ésta (cuando se la concible debidamente) es la noción correcta de lenguaje.Para una defensa de esta opinión y una convencente crítica de la noción chornskyanade lenguaje remito a GARCÍA-CARPINTERO: Mente y Lenguaje.¿Es la Matemática un lenguaje? 33igualmente obvio es que una serie de ténninos que la Matemática compartecon el lenguaje natural tienen un significado que tiene muy poco o nadaque ver con sus homónimos en éste: radio, parabola, c¿ngruencia, función,límite, grupo, campo, anillo, retículo, matriz.Pasemos ahora a ver las razones del no. A veces, sobre todo en loslibros malos de filosofía (o hasta en pasajes malos de libros aceptables obuenos), se habla como si el lenguaje de las teorías matemáticas fuera unlenguaje formal de la lógica. Esto querría decir que un lenguaje matemáticoes, por un lado, un lenguaje no interpretado (cuyos predicados son s¡mplementeletras de predicado a las que hay que proporcionar una interpretación)y por otro un lenguaje con una sintaxis como la de un lenguaje dela lógica, especialmente el lenguaje de primer orden.Esto es. naturalmente, falso. Basta abrir un libro de Matemáticas paracerciorarse de ello. Esos libros están escritos en inglés, francés, alemán, etc.En todo caso un lenguaje interpretado y con la sintaxis de un lenguaje natural,aunque abunden ciertos giros que en el habla común no son (tan) frecuentes.Valorando pues las peculiaridades del vocabulario y teniendo en cuentalo que acabamos de reconocer, no parece que estemos llegando a unaconclusión especialmente excitante. Parece que el lenguaje matemático tieneun status similar al lenguaje gastronómico. En efecto, también en este últimoes abundante la «terminología técnica»: reogado, sofrito, estofado, paella.budín, pasta quebrada, mayonesa, bechamel, salsa holandesa, alioli, cremapastelera. Además, también encontramos términos utilizados en un sentido
distinto a sus homónimos del lenguaje común: guarnición, timbal, chateaubriancíPor último, puede añadirse que, análogamente al caso del vocabulariogastronómico, en la Matemática tampoco es clara la frontera entre ellenguaje especializado y el común, como lo ponen de manifiesto términoscomo: nómero, suma, recta, curva, paralela, triángulo, pirámide, círculo, ángulo,permutación. Y hasta: finito e infinito.Vista esta situación, parece que deberíamos ser remisos en dar una respuestaafirmativa a la pregunta («¿es el lenguaje matemático un lenguajeespecial diferente del lenguaje natural?»), pues ya hemos visto que lanoción de lenguaje abarca algo más que un vocabulario.3. Replanteamiento de la cuestiónResumamos las conclusiones a que hemos llegado hasta aquí. La Matémáticano es un lenguaje, en el sentido de que la primera es un conjunto deteorías y una teoría se contrapone, en un sentido claro, a un lenguaje. Unateoría se formula en un lenguaje y no pertenece al concepto de teoría el quelos enunciados o proposiciones que la componen sean algunos verdaderosy otros falsos, cuando sí es algo constitutivo de la noción de lenguaje el quepodamos hacer aserciones verdaderas y aserciones falsas.34 Daniel QuesadaTampoco parece ser el lenguaje de la Matemática un lenguaje especialque poco tiene que ver con el lenguaje natural. Según parece, «el» lenguajede las teorías matemáticas no existe independientemente de las lenguasnaturales (es sintácticamente inglés, francés, alemán, español...). Por lo vistohasta aquí, únicamente es claro que tiene un componente terminológicoespecializado, aunque incluso en este respecto la frontera con el lenguajecomún es completamente nítida. En definitiva, si no decimos que la gastronomíaes un lenguaje por el mero hecho de que tenga una terminologíaespecializada y técnica, parece que tampoco debiéramos decir que la Mate’mática es un lenguaje. Y esto a pesar de que tal componente terminológicosea mucho mayor en la Matemática que en la gastronomía. No son cuestionesde cantidad las que aquí se ventilan.Las conclusiones son hasta aquí, aunque correctas, más bien poco interesantes,tanto desde un punto de vista científico como filosófico.¿Es esto todo? Cuando estamos ante una cuestión que personas inteligentessuscitan o conclusiones que personas inteligentes sostienen y nosparece que la cuestión es poco interesante o que, en todo caso, su respuestaes bastante obvia y además contraria a la que tales personas tienen porcorrecta, lo metodológicamente adecuado es considerar cuidadosamenteante cuál de las dos situaciones siguientes nos encontramos:i) la pregunta y/o su errónea respuesta usual se basan en malentendidos;u) la pregunta, aunque seguramente no bien formulada, apunta a unacuestión importante y profunda cuya solución es ciertamente complicada.Pues bien, en el presente caso hay, a mi parecer, parte de las dos cosas.Creo que, entre los que se hacen las anteriores preguntas (y aún más entrelos que dan por supuesta una respuesta afirmativa) hay generalmente unbuen número de malentendidos y confusiones. Pero también creo que traséstos late una genuina cuestión de interés filosófico-científico. El próximopaso es indagar cuál pueda ser ésta.Como he dicho, a la noción de lenguaje pertenecen (como mínimo) trescomponentes: vocabulario, sintaxis y semántica. Hemos visto que los dosprimeros no nos llevan a una respuesta afirmativa de la pregunta originalo de la reformulación realizada posteriormente. Es hora de prestar atenciónal componente semántico.El nuevo enfoque de la cuestión proviene de reflexionar sobre ciertocarácteT distintivo —en apariencia cuando menos— de las proposiciones
matemáticas. Este estriba en que las proposiciones matemáticas son necesariases decir, si verdaderas, necesariamente verdaderas. Al menos esto es loque la mayoría de los filósofos y matemáticos han pensado sobre ellas.Que son necesariamente verdaderas quiere decir que no podrían serfalsas (lo último, claro está, es sólo una paráfrasis). Pero. ¿de dónde les vienea las proposiciones matemáticas su carácter necesario? ¿por qué no¿Es la Matemática un lenguaje? 35podrían ser falsas? Pues bien, bien pudiera ser que la cuestión realmenteinteresante que late tras formulaciones quizás ingenuas o inadecuadassurja de un intento de contestar estas preguntas de una manera determinada:las proposiciones matemáticas «tratan de» signos, y por tanto son, porsu «materia» . lingúísticas3.Esta idea es muy sorprendente. ¿No es obvio que las proposicionesmatemáticas tratan de entidades abstractas, ideales si se quiere, extralingúisticas?Entidades como números, figuras geométricas, «áreas en el límite» o estructuras de diversos tipos. ¿En qué sentido, pues, cabría sostenerque tratan de signos’?Aquí quisiera reformular estos interrogantes dando una forma másamplia a la pregunta. La interesante cuestión que nos ocupará en lo sucesiyoes:¿1-lay algún sentido preciso en que estemos justificados en afirmar quelas proposiciones matemáticas son «verdades linguisticas» o, cuando menos,verdades conceptuales?4. El programa finitistaEl intento histórico más serio de justificar una respuesta afirmativa aesta pregunta es el programa finitista de Hilbert. Por tanto, deberé hablarahora de este programa. Me limitaré en adelante exclusivamente a la Aritmética,y ello por varias razones. En primer lugar, porque es allí donde elprograma experimentó un mayor desarrollo. Pero, en segundo lugar, tambiénporque el programa mismo implicaba que la resolución de la cuestiónen la Aritmética era crucial para la resolución en otras áreas de laMatemática. En el análisis se debería proceder basándose en las construccionesaritméticas y en una parte de la teoría de conjuntos. y la extensióndel programa a la geometría debería proceder, supongo. por la vía de lageometría analítica (ignoro cómo los proponentes del programa pensabanaplicarlo al álgebra).El programa de Hilbert tiene una motivación epistemológica que nos esmuy familiar en la historia de la filosofía. Es un programa motivado pordudas «cartesianas», es decir, dudas radicales, excesivas, por cuanto buscancerteza, garantía de verdad, absoluta seguridad epistémica. Las paradojasde la teoría de conjuntos, descubiertas en los últimos años del siglo XIXy principios del XX eran para Hilbert indicio de lo que puede ocurrircuando métodos (sobre todo métodos de prueba) que son adecuados para3. Debo esta sugerencia a Manuel García-Carpintero. También he de agradecerleun buen número de aclaraciones y sugerencias sobre lo que se trata en el resto delartículo. En particular, me he apoyado en la exposición del programa finitista hilbertianoque él hace en escritos inéditos.36 Daniel Quesadadominios finitos se utilizan también en dominios infinitos o transfinitos,en casos, pues, para los que no fueron pensados.Esta situación es análoga a la que nos explica Kant con respecto a lasideas de la razón, las cuales, extrapoladas a partir de los ámbitos en queproducen juicios razonables dan lugar a antinomias. (Esta no es, en absoluto,la única analogía que puede hacerse entre las ideas de Hilbert y las deKant).
Pues bien, el programa de Hilbert se proponía demostrarla correcciónde los enunciados matemáticos (en primer lugar los aritméticos, mostrandoque lo que puede probarse en matemáticas es verdadero, y ello apoyándoseen la diferenciación entre:a) Enunciados con contenido semántico (con valor veritativo), a saber,enunciados finitistas demostrados mediante métodos considerados seguros,los métodos finitistas;b) Enunciados ideales sin contenido semántico pero que cumplen unaútil función instrumental en la prueba de los enunciados con contenido enla matemática tal como se la practica usualmente.De este modo, el programa de Hilbert tenía características de un programainstrumentalista, es decir, el tipo de programa de interpretación filosóficade los enunciados de las teorías científicas según el cual éstos noson realmente enunciados de los que quepa inquirir por su verdad o falsedad,sino que son «herramientas de cálculo», esto es, sirven como útilespara derivar verdaderos enunciados con contenido semántico (enunciadosobservacionales, en el caso de las teorías físicas). Ahora bien, el programaera moderado en ese sentido, porque se admite que hay verdaderos enunciados—los del tipo a)— que forman parte de las teorías matemáticas.En el caso del programa de Hilbert, los enunciados ideales son precisamentelos enunciados que de algún modo contienen referencias a lo transfinito.Estos carecen pues de valor veritativo, no son ni verdaderos ni falsos;nos servimos de ellos —por ejemplo, los enunciados de la Aritméticade Peano (ADP en adelante)— esencialmente por comodidad.Para demostrar que estos enunciados son inocuos, que no pueden conducimosa contradicciones, es preciso demostrar la corrección del modoen que se derivan utilizando los métodos de prueba seguros, los métodosfinitistas.El programa de Hilbert era hasta cierto punto un programa abierto quedejaba sin precisar cuáles eran exactamente los enunciados finitistas y losmétodos de prueba finitistas. Por un lado, es claro que los primeros incluyenecuaciones entre los valores de determinadas funciones:4 + 7 = 11 8 x 52200
Hilbert describió los enunciados finitistas de modo que se incluían losque expresan proposiciones decidibles acerca de configuraciones finitas.¿Es la Matemática un lenguaje? 37Pero no estaba claro qué funciones eran admisibles. Piénsese que los conceptosde decidibilidad y de función recursiva sólo fueron precisados conposterioridad a la formulación del programa, y ello precisamente comoresultado del trabajo motivado en gran parte por su realización. Es por ellopor lo que era un programa abierto en cierta medida.Aún más, ni siquiera era en principio claro lo que un finitista había deentender por función. Todos los conceptos de la Aritmética y. por extension,de la Matemática, debían ser revisados.Las dificultades eran realmente extraordinarias pues entre los enunciadoscon contenido semántico (los que tienen valor veritativo) debenincluirse, si es que ha de haber una parte de la Aritmética que tenga tal contenidocon un mínimo de interés, generalizaciones universales de enunciadosdecidibles como los anteriores. Consideremos un ejemplo:(1) Vx Vy (x+y=y+x)La dificultad que este enunciado planteaba a un finitista es que nopodía interpretarse como lo hacemos habitualmente, es decir, suponiendoque hace referencia a la totalidad (infinita, claro está) de los números naturales.Con la ventaja que nos da la mirada retrospectiva,, podemos indicar delmodo siguiente —siquiera sea vagamente— el camino (o, al menos, uno de
ellos) que se proponía recorrer el finitista para realizar ese dificil programa.El punto de partida era ontológicamente el siguiente: los enunciadosfinitistas, en último término, «hablan de» signos y configuraciones finitas designos, tomados éstos como tipos, no como ejemplares. La materia de laAritmética, según esto, serían signos. Ciertas secuencias finitas de signostipo~podían ser tomados como la secuencia de los números naturales. Porejemplo, la secuencia:La seguridad epistemológica de los métodos finitistas provendría precisamentede que sus objetos son «representables a la intuición», dicho enterminología kantiana, es decir, representaciones individuales.Unafunción en el sentido tinitísticamente aceptable de A en B, es decirdel tipo de objeto A en el tipo de objeto fi es un procedimiento para construirun objeto de tipo B a partir de un objeto cualquiera de tipo A. Funcionesaceptables finitísticamente serían la identidad, las funciones constantesy la composición (funciones compuestas).4. Hilbert habla a veces comosi hubiera que considerar los signos como ejemplaresy no como tipos. pero esto es descabellado (1 ¡no sería en ningún caso un número distinto
de ¡ ¡ Y38 Daniel QuesadaPara el caso del tipo de objetos N, el de los números o, lo que era lomismo, secuencias finitas de signos, la construcción central sería la llamadarecursión primitiva5.Podría darse entonces sentido finitista (es decir, sin suponer la totalidadinfinita de los números ni ninguna otra totalidad infinita) a afirmacionescomo (1)o, más en general, a enunciados que respondan al esquema:Vx(p(x) -.
En efecto, una proposición de ese tipo es verdadera si, dado un objeto adel tipo Ncualquiera para el que podamos probar 9(0), podemos construiruna prueba ‘Y(a) de por los métodos de construcción admitidos.No es éste el lugar para entrar en mayores detalles sobre el contenidomatemático del programa finitista. Debemos preocuparnos más bien de sudestino6.Con algunas matizaciones puede decirse que elprograma de Hilbert, talcomo éste se concebía originalmente, fue refutado por el teorema (o los teoremas)de incompletud de GÉidel. Las matizaciones son importantes, pero,en todo caso, lo cierto es que el interés en el programa de Hilbert decayóespectacularmente después de 1930 (cuando Gódel probó sus teoremas).Sin embargo, como he dicho, el programa de Hilbert fue el intento másserio de justificar una respuesta a la pregunta: ¿son lingúísticas o conceptualeslas verdades matemáticas? Y aún quisiera aquí hacer una afirmaciónmás fuerte: tal programa ha sido el intento más serio de indicar el caminopor el que la Matemática, supuesto reino de verdades eternas acercade entidades u objetos ideales —como los números—, podría reconocersecomo fruto de la interacción de un sujeto con capacidades cognitivascomo las del ser humano en su entorno.Por ello, aunque el programa original de Hilbert esté refutado (vamos asuponer que lo está) alguna versión del programa debe seguir en vigor sihemos de comprender las Matemáticas desde un punto de vista naturalista.A este respecto es conveniente recordar las penetrantes palabras de BertrandRussell: «La doctrina finitista, si es que ha de ser refutada, sólo puedeserlo por una doctrina del conocimiento completa>0.Voy aquí a hablar únicamente de dos de las cuestiones implicadas en la5. Para esta noción consúltese, por ejemplo, el capítulo 7 de Booi.os y JEFFREY:
~7omputabilityand Lote.6. Para una exposición elemental del programa puede consultarse el capítulo 4 dc
KÓRNER: Introducción a lafilosofla de la matemática. Una exposición crítica de los problemasfundamentales del programa muy iluminadora es la de TAIT, W. en «Finitism».Sobre las realizaciones del programa y su estado actual cÉ SIEG. W.: «I-Iilbcn ProgramSix¡y Years Laten> y SIMPsoN, 5.: «Partial Realizations of Rilberís Program». Una importantey reciente defensa del programa es la de DETLEF5EN en Hilberis Program.7. Introducción a la segunda edición (1937) de Principles of Mathemaíics, p. VII.
¿Es la Matemática un lenguaje? 39posibilidad de reformular de manera fructífera el programa finitista. Enesta sección trataré brevemente del problema de «rodear» el escollo deGódel y en la siguiente abordaré la cuestión de si los números son objetoso de si son representaciones individuales.Respecto a la primera cuestión, supongamos que concretamos así elprograma finitista:— Sea ADP (la Aritmética de Peano en primer orden) el sistema idealmínimo para la formalización de las pruebas de la Aritmética.— Sea ARP (la Aritmética recursivo-primitiva) la teoría que formalizael razonamiento finitista. ARP actúa como metateoría con respecto aADP.¿Refuta entonces el teorema de Gódel el programa finitista? El segundoteorema de Gódel establece, aplicado al presente caso, que un cierto enunciadoque afirma la consistencia de ADP no es demostrable en ADP. Conciertos supuestos adicionales establece que ningún enunciado que afirmela consistencia de ADP es demostrable en ADP.En esta segunda versión más fuerte el teorema refuta el programa fmitista.En efecto, el programa finitista —en la versión enunciada— pretendedemostrar la consistencia de ADP en ARP. Como cualquier teorema deARP (metateoría) es expresable (y demostrable) mediante un teorema deADP (teoría), si hubiera un teorema de ARP que expresara la consistenciade ADP habría uno en ADP que demostraría esa consistencia, contra elteorema de Gódel (en la versión fuerte).Una posible escapatoria consiste en tratar de razonar por qué no seaplicarían al presente caso las condiciones que hacen pasar de la versiónmás débil a la más fuerte del teorema8. Otra salida posible sería encontrarrazones para pensar que el sistema ideal mínimo es «menos potente» queADP, una Aritmética reducida por consideraciones de complejidad computacional;el problema seria entonces determinar qué limitaciones de estetipo podrían estar aquí justificadas.5. Reformulación de programas: la complejidad de una respuestaPasemos ahora a la segunda cuestión. Como hemos dicho, Hilbert concibiólos númeroscomo representaciones individuales, concretamente, signos-tipo. Según esto, no cualquier secuencia específica de signos puederepresentar la secuencia de los números; concretamente, las secuencias deletras del alfabeto no valdrían, pues, por ejemplo, «abc» y «cab» son signosdistintos (también considerados como tipos, que es lo pertinente) pero8. Esta es la via que se propone en DETLEF5EN (1986).40 Daniel Quesadael número correspondiente habría de ser el mismo9. De modo que debemosrestringirnos a secuencias construidas con un único elemento, por
ejemplo «¡ ». Pero ¿cómo justificar esta restricción? O, más explícitamente,¿cómo entender nuestra comprensión del concepto de número, o de losnúmeros particulares, en relación con ella?W. Tait ha ofrecido —en el importante articulo mencionado anteriormente—una alternativa que puede llevar a consideraciones sobre losnúmeros a mi parecer mucho más iluminadoras. Según su diagnóstico, lasdificultades provendrían precisamente de la concepción de los números
como representaciones individuales en el programa finitista original. Estediagnóstico se comprenderá mejor con la exposición del análisis alternativoque propone Tait.Según Tait. la noción básica de la Aritmética es la de secuenciafinita o. loque viene a serlo mismo, la de iteración de la operación de añadir un objetoa una serie de objetos a partir de «cero objetos» (una situación en queno hay ningún objeto). Haciendo jugar a esta noción el papel fundamentaladecuado, la reconstrucción del proceso cognitivo que lleva a la formacióndel concepto de número sería a grandes rasgos la siguiente. A partir de lapresentación de objetos físicos en el entorno, el sujeto empieza a «ver»unos determinados objetos como una secuencia, es decir, comienza a discernirsecuencias (nótese que los elementos de las secuencias son objetos físicoscualesquiera, dentro de los que pueden ser objeto de experiencia «cotidiana»). Hacer esto es captar laforma de esas secuencias o, dicho de otromodo, adquirir la noción de secuencia (finita), es decir, de iteración finitade una operación de añadir siempre «lo mismo» (en un sentido diferenteal de identidad, es decir, una unidad)10. Me atreveré a sugerir, por mi parte,que en la «aprehensión» de esa forma, o en la adquisición de esa noción,tienen mucho que ver las palabras de número o sistema estructurado dedenominaciones (de los números).En todo caso, lo que resulta de todo esto es que cada número individual,al igual que la noción general de número, no es una representaciónindividual”, sino un concepto de conceptos: el (concepto de) 3, por ejemplo,9. La relación entre números y signos, cuando disponemos del concepto de número,resulta ulteriormente iluminada por el método de aritmetización de la sintaxis propuestopor primera vez por Gódel que reduce la teoría de los signos a la de los númerosy además lo hace de un modo finitistamente aceptable, a saber, por razonamiento primitivorecursivo.10. Tait llama a esta noción lafor,na Número, utilizando terminología platónica. Enrealidad, su alternativa, tal como él la concibe, está impregnada de platonismo. Creoque ese platonismo no es inevitable. Uno podría adoptar una postura más «aristotélica,,,viendo la captación de la noción de secuencia como la «aprehensión» de un tipode entidad, algo uniforme presente en la realidad con la que el sujeto interacciona causalmente.El aire «cognitivista» de mi exposición se aparta también de las ideas de Tait.II. Dicho en la terminologia kantiana (pero corrigiendo también a Kant al respec¿Es la Matemática un lenguaje? 41es «lo que ocupa el lugar de a (aquí un objeto concreto o quizás un signo)en una estructura que es como la estructura E (aquí una estructura, quizásde signos)».Ahora bien, si los números, en lugar de ser objetos individuales sonconceptos de «segundo orden» (conceptos de conceptos). las afirmacionessobre los números serán afirmaciones sobre tales conceptos; en cierto sentido,pues, afirmaciones de «tercer orden». Esto podría abrir la inesperadaposibilidad de establecer un puente entre el programa finitista de filosofíade la Matemática y el programa logicista, tradicionalmente presentadoscomo programas rivales e incompatibles. En efecto, investigaciones actualesque pretenden revivir el programa logicista, renunciando a la idea fregeanade que los números son objetos’2, analizan la «forma lógica» de losenunciados sobre números en términos de un lenguaje lógico de tercerorden’>. Así, según H. Hodes, un enunciado como (2) tendría la forma lógica(3):(2) 4 es un número par(3) (Par X)Q4x)Xx)Podríamos leer así (3): «Tienen la propiedad (de orden 3) de serpar laspropiedades (de orden 1) que tienen la propiedad (de orden 2) de que exactamentecuatro objetos las tienen (es decir, exactamente cuatro objetos tieto):un número no es un objdo de la intuición; el contraste entre la posición de Hilbert
y la propuesta de Tait es que no se capta primero una intuición, sino un concepto delentendimiento: la noción de secuencia o de iteración de una operación de añadir.Dadas las conexiones entre el programa hilbertiano y las ideas kantianas no es descabelladodescribir la situación en la terminología kantiana y puede servir para comprendereí contraste de posiciones a los que la conocen y la encuentran útil.12. En un artículo ya clásico, «WhatNumbers C7oulcl Not Be». Benacerrafargumentóconvincentemente contra la idea de que los números son objetos. Frege se vio llevado(tal vez a su pesar, según indicios) a sostener esta idea en parte por dificultades en eldesarrollo de su programa logicista de fundamentación de la Aritmética: cf las seccionescruciales al respecto de Fundamentosde/a aritmética. (62-68). En un articulo de graninterés. «Logicism and fhe Ontological Co,nmittnents of Aridzmehc’>. H. ¡-todes examinacríticamente los vericuetos de la trayectoria intelectual de Erege en esos decisivosmomentos y explora las posibilidades de un logicismo renovado que evitara las trampasen que cayó Erege. Es a las ideas presentadas en este articulo a las que sobre todome refiero en el texto. Como ahí insinúo, creo que bien pudiera suceder queel futuro dela filosofía de la Matemática esté en una conciliación del tipo de logicismo renovadopropuesto por Hodes con un finitismo modificado en el sentido apuntado anteriornientc.13. En este sentido, pues. habría que matizar (aunque no cambiar) las conclusionesde la sección 2. El lenguaje sobre números es el lenguaje natural, pero la «forma lógica» de esa parte del lenguaje natural —por contraste con otras panes mas simples— ladaría un lenguaje de tercer orden.42 Daniel Quesadanen esas propiedades de orden 1». (Se obtiene una lectura más «conceptualista». substituyendo «propiedad» por «concepto»).No es éste el lugar de entrar en el significado o en la justificación deestas afirmaciones, ni de concretar en la posible ( e intelectualmente excitante)conexión entre el programa finitista y el programa logicista. Másdirectamente pertinente es mencionar también que la nueva tesis logicistapropuesta por Hodes es que los enunciados matemáticos verdaderos sonverdades lógicas de un lenguaje de orden superior. Si esto pudiera defenderse,sería entonces posible dar la siguiente respuesta afirmativa a la preguntaque se planteó al final de la sección 3: «Si. las verdades matemáticas sonyerdades en virtud del significado (verdades conceptuales en un cierto sentido),puesto que son verdades lógicas»’4.De la perspectiva actual resulta por tanto que el intento de dar una respuestafundamentada a la mencionada pregunta —la interesante preguntacon la que finalmente sustituimos la pregunta original que da nombre aeste artículo— implica una complejísima tarea en la que se combinaninvestigaciones matemáticas, conceptuales y empíricas.El turno de la investigación empírica llega cuando se ha llegado a unabase más o menos firme como resultado de la investigación conceptual. Siésta establece que en la base del concepto de número está el de secuenciafinita, es la psicología cognitiva la que ha de investigar en primer lugar elmodo en que se forma la noción de secuencia finita a partir de la experienciade secuencias finitas de objetos físicos (¿utilizando quizás modelosconexionistas?) completando así empíricamente lo que con Hodes podríamosllamar la «microestructura dc nuestro acceso a los números».En definitiva, la resolución del importante problema de comprendercómo serescon nuestras capacidades cognitivas en el entorno en que estánsituados llegan a «levantar el edificio de la Matemática» implica la siguiente«división del trabajo». La tarea filosófico-matemática (de «fundamentación» de la Matemática) es indicar las nociones que sirven para reconstruirfinitisticamente la Matemática y probar los resultados matemáticospertinentes, suministrando así la «materia» (a saber, dichas nociones)para la investigación cognitiva. El trabajo filosófico más general es,como hemos visto, asistir al proceso con clarificaciones conceptuales yenlazar la reconstrucción finitista con un programa semántico y epistemológicomás general.Claro que, si se ha entendido el espíritu naturalista dentro del que propongo
esa tarea, se habrá inferido que la semántica y la epistemología quepropugno está también en clave naturalista y que se apartan, también respectode la Matemática, de la empresa de buscar la certeza cartesiana. Peroasí es, y así es como debe ser.14. Naturalmente, esta respuesta lleva también implícita una determinada posiciónsobre la naturaleza de las yerdades lógicas.
¿Es la Matemática un lenguaje? 43BIBLIOGRAFIAEFNACIIRRAI. P.: «What Numbers Could Not Be». Philosophical Review, 74, pp. 47-73.BooLoS. G., y JEFFREY. R.: Computabili¡y and Logic. Cambridge: Cambridge UniversityPress, 1980. 2Y ed.CHOMSKY. N,: «Cambios de perspectiva sobre el conocimiento y el uso del lenguaje».Teorema, 15. 1985, pp. 11-71.CHOMSKY. N.: Knowledge of Languagct Nueva York: Praeger, 1986.DETLEF5EN. M.: Hilberts Program. Dordrecht: Reidel. 1986.FREGE, G.: Fundamentas de la aritmética. Barcelona: Laia, 1972.GARCÍA-CARPINTERO, Nl.: Mente y lenguaje. Una crítica a lo concepción de la teoría de/lenguajede Chomslcv. En preparación.HODEs, 1-1.: «Logicism and the Ontological Commitments of Arithmetic». Journal ofPhilosophy, Sl. 1984, Pp. 123-149.KÓRNER. 5.: introducción a ¡afilosofia de la matemática, México: Siglo XXI, 196J.RLJSSEt.L. B.: TAu’ Principies of Mathematics, Londres: Míen and Unwin. 1964.SIBO, W «H~lbert Program Sixty Years Later». Journal of Symbolic Logic, 53. 1988. pp.33 8-348.SIMPSoN. 5.: «PartialRealizations of Hilbert’s Program». Journal ofSymbolic Logic 53.1988.TArE. W. W.: «Finitism», Jaurnal of Philosophy 78. 1981, Pp. 524-546.
INAUGURACIÓN DEL CURSO ACADÉMICO 2005/06Lección inaugural que versará sobre:MATEMÁTICA Y LENGUAJEYMATEMÁTICA COMO LENGUAJEa cargo dePedro Miguel González UrbanejaCatedrático de MatemáticasI.E.S Sant Josep de CalassançDepartament de Matemàtiques2
MATEMÁTICA Y LENGUAJEYMATEMÁTICA COMO LENGUAJEEl momento en que comienza la comprensión del número ydel idioma se caracteriza por una profunda experienciaíntima, verdadero despertar del yo, que de un niño hace un
hombre, un miembro de una cultura. [...]. En ese momentose produce un sentimiento súbito y casi metafísico de temory respeto a lo que significan profundamente las palabras“medir”, “contar”, “dibujar”, “formar”.O.Spengler (La decadencia de Occidente, cap.I.1).Ante la pulcritud de la demostración del primer teoremaquedé deslumbrado por ese mundo perfecto y límpido.Había descubierto el universo platónico, ajeno a loshorrores de la condición humana; e intuí que esos teoremaseran como majestuosas catedrales, bellas estatuas enmedio de las derruidas torres de mi adolescencia.Ernesto Sábato.Número Celeste! ¡Geometría Dorada!¡Verso Pitagórico! ¡Clave de Cristal!¡Canto de Divina boca en llamarada!¡Verso del Ardiente Pentáculo Astral!Valle Inclán.Van paralelos Lenguaje y GeometríaCon un punto supremo de armoníaJuntas están Matemática y Poesía.Gonzalo Sánchez Vázquez (Matemática y Poesía).Algunos dicen que la ciencia matemática es prosaicaPero nada hay tan bello como la fórmula algebraica.Pareado anónimo.Sr. Director, Sres/as. Jefes de Estudios, compañeras, compañeros, alumnas y alumnos:Con inspiración en un artículo del académico Lázaro Carreter y en una frase del filósofo Alain sobreGeometría y Poesía y tomando como hilo conductor los vínculos entre Matemática y Lenguaje os hablaréde la importancia de la Matemática en la forja del entendimiento y la voluntad y las diversas facultades,aptitudes y actitudes, en la formación integral de la persona como ciudadano educado y en particular de ladimensión cultural de la Matemática más allá del carácter instrumental que se le ha asignado en laEnseñanza Secundaria. Incluiré no sólo la relación entre Matemática y Lenguaje sino la Matemática comoconstructora de Lenguaje. Las citas anteriores son un botón de muestra que nos permiten adentrarnos en eltema con el apoyo de grandes expertos en el manejo del lenguaje.Las palabras que vais a tener la gentileza de escuchar os las dedico a todos los alumnos y alumnas deBachillerato, y en particular, y porque viene a cuento del tema, se las dedico también:a mis sobrinos que entre ellos son primos entre sí.3Matemática y Lenguaje.Al acompañar de forma paralela a toda civilización, las Matemáticas constituyen una de las grandesmanifestaciones del pensamiento con un desarrollo milenario estrechamente relacionado con los grandeshitos de la Cultura. Conocida es la implicación de la Matemática con las Ciencias de la Naturaleza y laTecnología; pero sus vínculos con la Filosofía, la Educación, el Lenguaje, la Poesía, la Literatura, las Artes, laBelleza, la Religión, la Mística, la Política, la Magia, etc., hacen de ella una manifestación de la racionalidad
humana que, navegando a lo largo de la Historia en todos los confines del Pensamiento, vertebra la Cultura,desde las más remotas civilizaciones hasta la inexorable informatización del mundo actual. La permanenteinteracción del desarrollo matemático con cualquier actividad humana hacen de esta ciencia uno de losgrandes logros culturales de la humanidad.De toda esta poliédrica dimensión cultural de la Matemática vamos a hablar de los vínculos de la Matemáticay el Lenguaje, sobre todo de la Matemática como creadora de lenguaje. De todo ello deduciremos latrascendental importancia que tiene la Matemática en la formación integral de la persona y en particular en laforja de dos potencias esenciales del ser humano: el entendimiento y la voluntad y sus diversas facultades,aptitudes y actitudes.Ojeando y hojeando un libro del pensador y profesor de Filosofía francés Alain (seudónimo de EmileChartier) titulado "Charlas sobre Educación y Pedagogía infantil" (Editorial Losada, 2001) encontré unaafirmación muy audaz:«En la Educación infantil bastaría con enseñar Geometría y Poesía»Este autor se ha puesto de moda ahora con la edición de unos pensamientos a modo de antídoto contra lainfelicidad que acaba de publicar RBA Libros con el título Mira a lo lejos. En él aparecen frases lapidariasricas en sabiduría. Por ejemplo:«Cuanto más sabemos, más somos capaces de aprender».Pero volviendo a Poesía y Geometría, para mí• La Poesía es la más refinada manifestación del pensamiento humano para expresar los sentimientos.• La Geometría como ciencia de la forma y la extensión es la más refinada manifestación del pensamientohumano para expresar lo que percibimos por los sentidos.He aquí, para empezar una primera vinculación entre Matemática y Lenguaje como instrumentos deexpresión de elementos genuinamente humanos: los sentimientos y las percepciones.El brillante matemático K.Weierstrass escribía:«Un matemático que no tenga también algo de poeta no será nunca un matemático completo».La Poesía y la Matemática comparten no sólo la medida (en el caso de los versos rimados) sino en todocaso armonía, belleza, juego, artificio y creatividad. Por eso muchos poetas y matemáticos han comparado laexperiencia de demostrar un teorema con la de construir un poema.En algunos matemáticos como los pitagóricos –cuya doctrina moral está plasmada en los Versos Dorados–,Platón, O.Kayyan, Luca Pacioli, Descartes, Weierstrass, L.Carroll, F.Hausdorff, Poincaré, Hardy y otros,encontramos una gran dosis de poesía; mientras que en poetas como Dante, Novalis, Goethe, Pessoa,P.Valery, R.Alberti, G.Ferrater, W.Szymborska, hallamos un complaciente acercamiento a la Matemática.• Goethe: «El matemático no es perfecto sino cuando siente la belleza de la verdad».• F. Pessoa: «El binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo.»• P. Valery: «El eterno deseo de encadenar la morfología física y biológica, ... a la ciencia de las formas ... y
las fórmulas que sirven en las Artes es el tema que ha explorado este libro [Ghyca. El número de oro,Poseidón, Barcelona, 1978, pág.9], ¡Qué poema el análisis del número de oro, Φ.»Pero decíamos antes que íbamos a hablar sobre todo de la Matemática como creadora de lenguaje. Parte delo que voy a decir sobre este tema está inspirado en un artículo de F.Lázaro Carreter titulado «Espíritu de4geometría» (EL PAÍS, 5/12/99), que comienza con estas palabras:«¿Podríamos hablar sin la Geometría? Se cuela por todas las costuras del idioma, sin casi darnoscuenta ...»Mencionemos algunas de esta perlas del lenguaje con las que podremos apreciar que el mundo social ysobre todo el mediático, ha entrado a saco, a veces sin ningún respeto, en el santuario de Pitágoras,Euclides y Descartes. Como dice el autor del artículo, se trata de expresiones geométricas que a veces sonmetáforas perfectamente válidas e idiomáticamente bellas pero que en general son ridículas cornadas a lalengua y tópicos tropos geométricos que sirven de muletillas del lenguaje. Vosotros juzgaréis.• Girar en torno al eje. Pentágono. Radio de acción. Infinito/a. Proyección. Inconmensurable. Espiral deviolencia. Medio. Recta final. Perspectiva. Cerrar el círculo• La política mundial gira en torno al eje del Pentágono americano cuyo radio de acción ha alcanzadouna infinita proyección que provoca a veces una inconmensurable espiral de violencia. Esperemosque la situación en Oriente Medio entre en una recta final dentro de una perspectiva democráticacuando se cierre el círculo de negociaciones.Señalamos frente a la espiral, la recta; mientras la espiral se vuelve y revuelve sin saber hasta dónde, la rectalleva como una sombra el adjetivo final. Cuando falta ya poco para que algo acabe (el curso, un partido defútbol, un proceso... ), dicen de ese algo que ha entrado en su recta final, aunque, paradójicamente, a vecestermina en curva, como ocurre con frecuencia en el remate de un curso escolar o de un partido de fútbol quesuele estar lleno de sobresalto, y alumnos o futbolistas lo recorren por curvas sinusoides durante los últimosdías del curso y en prórrogas, respectivamente.Así que de recta final, nada. En sentido matemático estricto está claro la incorrección semántica, porque unarecta final sería algo tan imposible como un círculo cuadrado. Lo correcto sería hablar de segmento final yaún así habría de aclarar que nos referimos a la longitud del segmento y no al número de puntos que hay enél, infinitos como en la recta, paradojas del infinito, con el que también se juega muy incorrectamente en ellenguaje ordinario, llamando infinito a lo que concebimos como muy grande o muy numeroso. A hablar, pues,de recta final se comete un grave error de bulto: se confunde segmento con recta, es decir: «se confunde eltodo con la parte» atentando contra el octavo y último axioma de Los Elementos de Euclides. Lo mismo
sucede con la expresión «cerrar el círculo» frase absurda o redundante en sí misma ya que el círculo es yauna curva cerrada; si acaso habría que decir cerrar el arco.Error similar se comete al llamar redondo a lo que es circular, como por ejemplo una copa o un vaso.Más fortuna tiene la frase «me ha salido redondo» que implícitamente alude a la perfección mayestática de lasimetría esférica como superficie cerrada que encierra un volumen determinado con la mínima superficie, poreso cumple una función esencial en la naturaleza, que sabe muy bien optimizar los recursos.Sigamos:• Conducta recta. Trayectoria rectilínea. Comportamiento sinuoso. Salirse por la tangente.• El Profesor A tiene una conducta muy recta lo que nos obliga a una trayectoria escolar muyrectilínea, en cambio, el Profesor B muestra un discurso muy sinuoso por eso cuando lepreguntamos suele salirse por la tangente.• Ver las cosas bajo un prisma de ..., o desde un ángulo de ... . Tener una visión poliédrica de ... .Desarrollar. Entorno.• Los prejuicios nos hacen ver las cosas bajo un prisma subjetivo que nos condena a una sesgadapercepción de la realidad desde un único ángulo. Debemos desarrollar una visión poliédrica (conmúltiples matices) de nuestro entorno.• Altas esferas. Sectores afectados. Segmento de jóvenes.• Tras las decisiones políticas que se toman en las Altas esferas siempre hay Sectores afectados delque no se libra el Segmento de jóvenes.• Punto de inflexión, giro de 180º.• La enfermedad ha provocado un punto de inflexión en mi vida, casi un giro de 180º.5Curiosamente algunos políticos manejan de forma muy ridícula, por incorrecta, la última expresión, cuando encampaña electoral hablan de dar un giro de 360º a tal o cual situación.• Círculos de empresarios. Polígonos de desarrollo. Curvas de crecimiento.• El gobierno ha negociado con los Círculos de empresarios nuevos Polígonos de desarrollo parahacer decrecer la curva del paro.• Aumento lineal. Asunto central. Situación puntual. Cero a la izquierda.• La empresa ha concedido un Aumento lineal a los trabajadores. Siendo el salario un Asunto central,esperamos que sea una Situación puntual, ya que el Sindicato ha sido un Cero a la izquierda.Así pues, hemos visto que en el lenguaje ordinario y coloquial se alude a las Altas esferas, a los Sectoresafectados, al Segmento de jóvenes, al Radio de acción, a la Proyección, a lo infinito o Inconmensurable, a laEspiral de violencia, a la Recta final, a la Perspectiva de visión, al prisma o el ángulo bajo el que se divisa unentorno que suele ser poliédrico. Y además de Círculos de empresarios (o de labradores o de artistas) hayPolígonos de desarrollo, Curvas de crecimiento, conductas rectas o sinuosas que determinan trayectoriasrectilíneas o se salen por la tangente. También hay incrementos lineales, asuntos centrales y situaciones
puntuales que afectan, aunque uno sea un cero a la izquierda, y de vez en cuando nuestra vida hace unPunto de inflexión o un giro de 180º.Pero la cosa no queda aquí porque en la vida hay situaciones semejantes que se describen como paralelas.Incluso también hay vidas paralelas en la Literatura clásica, como la famosa obra de Plutarco. En cambiootras veces, sobre todo entre algunos partidos del arco parlamentario, se habla de posiciones convergentes,como indicando que tienden cada vez más a ser iguales –tan iguales, tan iguales, que parece imponerse en laPolítica el Pensamiento único–, mientras que si son divergentes cada vez distarán más.También se indica que algo está proporcionado o dimensionado como bien medido o ajustado para sufunción. Al situar la sensatez en el centro, a partir de Aristóteles, se identifica la mitad o el medio con lovirtuoso. Y cuando se plantea resolver algo imposible se habla de que «es tan difícil como la cuadratura delcírculo» –uno de los problemas históricos más importantes de la Matemática–, interpretando de formaincorrecta esta quimera matemática, porque la cuadratura del círculo no es difícil, sino que simplemente esimposible. A veces, la torcida utilización del lenguaje matemático alcanza el paroxismo, como cuando, segúnuna moda reciente, algunos tertulianos hablan de la primera derivada o la segunda derivada de esta posición,esa cuestión o aquella situación. Aquí sencillamente el asunto no tiene nada que ver con la tangente de unacurva en un punto.Como broche de oro, a veces se dice, de forma vehemente y enfática, que algo es matemático al quererindicar que es absolutamente cierto, indudable, ineludible, inexorable, infalible, incontrovertible, etc. aunquenadie lo haya demostrado. En parte, el autoritarismo se basa en arbitrarias premisas, que se toman comopostulados, cuya reiteración mediática redundante convierte en axiomas para un amplio público poco crítico.Parece, pues, que no podríamos hablar sin Geometría, pero deberíamos utilizarla para hablar con másprecisión y mejorar la comunicación, aunque a veces, como se ha visto, se hace lo contrario. Aún así,comparando estas cornadas a la lengua con las del simple lenguaje de los móviles y los chats de Internet, nohay color.Por fortuna, algunas frases de origen matemático especialmente ridículas han desaparecido, por ejemplo, enmi niñez algunos cursis decían que fumaban cilindrines.También han desaparecido, en el lenguaje del sexo o del amor algunas frases geométricas de tinte ofensivo.En la literatura erótica de principios del siglo XX se llamaban horizontales a las mujeres de cama fácil(disculpad la grosera expresión, que no es mía). Sin embargo en la Literatura y en el cine, tanto de calidadcomo en los bodrios televisivos abundan los triángulos amorosos, tal vez porque como decía Dumas: «lacadena del matrimonio pesa tanto que es preciso sean dos para llevarla, y, a veces, tres». Curiosamente, en
el lenguaje ordinario, se habla de triángulo como colección de tres elementos, con independencia de susituación o posición relativa. No así en Geometría que se exige que no estén alineados. ¡Cuidado noconfundir con alienados! Aunque los puntos alineados bien alienados están por ser ajenos al disfrute de totallibertad de movimiento; tienen sólo un grado de libertad.6Pero en el lenguaje del amor parece que no rigen las leyes universales del Álgebra y de la Aritmética, ya queen el amor 1+1 es infinito mientras que 2–1 es cero, la nada más absoluta, el que ha amado y ha sufrido lapérdida de su amor lo sabe (Lope de Vega). Y si hay hijos 1+1=3, 4, 5. Y es que el amor es inefable y no sóloestá más allá del Álgebra y de la Aritmética, sino que, parafraseando a Nietzche está incluso más allá delbien y del mal.Procedente del lenguaje matemático también tenemos tanto en la Literatura como en el lenguaje ordinario lasexpresiones circulares (circunloquio [rodeo redundante de palabras], las expresiones elípticas (elipsis: hechosintáctico o estilístico que suprime o elude lo que se sobreentiende), las expresiones hiperbólicas (que sonexageraciones) y las expresiones parabólicas (que ilustran una historia con comparaciones, alegorías ymetáforas), aunque justo es reconocer, aludiendo a la Historia de las Matemáticas, en particular a la Historiade las Secciones Cónicas, que en este caso, primero fue la semántica de los vocablos en el lenguajeordinario y después la acuñación –por Apolonio «El Gran Geómetra», posiblemente a sugerencia deArquímedes «El Sobrehumano» – de los términos en el ámbito geométrico. Efectivamente, el nombre dado alas Cónicas por el eximio matemático griego, procede de que el lenguaje pitagórico del Método de Aplicaciónde las Áreas para la solución geométrica de ecuaciones cuadráticas, emulaba el significado lingüístico deElíptico como deficiencia, de hiperbólico como excesivo y de parabólico como equiparable.En el espectáculo por excelencia, el fútbol, tal vez para darle prestigio a algo tan trivial como la disputa de unobjeto esférico por parte de dos grupos de personas, para introducirlo en una red de forma casi prismática, enlos medios se dice que el jugador ha perdido la verticalidad al disparar el balón que ha pasado precisamentea llamarse de forma ridícula y ñoña como el Esférico, aunque en modo alguno sea una esfera. Para poneruna nota de erudición sobre una afición tan sana cuando se practica y a veces tan demente y alienantecuando sólo se contempla, digamos que según el Fedón (110b) de Platón los griegos jugaban con balonesde doce pieles en forma de dodecaedro que al hincharse se aproximaban a la forma esférica, lo queconstituía un antecedente de nuestro balón de fútbol. Al principio de los tiempos modernos los balones defútbol tenían forma de icosaedro truncado –poliedro arquimediano formado por 12 pentágonos y 20
hexágonos–, pero en la actualidad el balón oficial es un poliedro arquimediano (es decir, un poliedroinscriptible en una esfera, cuyas caras son polígonos regulares de varios tipos, aunque con la misma arista,siendo iguales todos los vértices del poliedro). Se trata del poliedro llamado RombIcosiDodecaedro menorformado por 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos. En este poliedro semirregular el tamaño de lascaras está bastante igualado y es la forma poliédrica más redondeada, ya que es el que más se aproxima a laesfera circunscrita –ocupa más del 94% de esta esfera–.Pocos sabios han tenido la gloria de ver adjetivado su nombre en el lenguaje coloquial. Los tres filósofos–matemáticos más importantes, Pitágoras, Platón y Descartes, elevan las ciencias matemáticas, cada uno ensu época, a un sublime e imperecedero estadio de instrumento de cultura, es más, hacen de la Matemática elprincipal y más valioso elemento vertebrador de la cultura. Pitagórico se atribuye a algo o a alguien donde seadvierte una marcada orientación filosófica o una singular capacidad matemática; Platónico ha pasado a serequivalente a la pureza de lo ideal, espiritual o inmaterial, que se acentúan sobre todo cuando el adjetivocalifica al amor; y Cartesiano ha pasado a ser sinónimo de racional y metódico, en el sentido de analítico yriguroso. Así se habla tanto de una sentencia pitagórica o un intelecto pitagórico, como de un sentimientoplatónico, o una mente cartesiana.La Matemática racional y la Filosofía, como contemplación objetiva (más allá de la poesía) del admirableespectáculo (Theoria) del universo entero, tienen un origen común en los albores del siglo VI a.C. con elpronunciamiento pitagórico «el número es la esencia de todas las cosas» que conduce en el curso de lossiglos al galileano «la naturaleza está escrita en lenguaje matemático» y culmina en la actualidad con ladigitalización informática que reconvierte toda producción del intelecto humano en una sucesión de ceros yunos. Para Platón la Matemática es la imprescindible propedéutica para el ascenso a la Filosofía y paraDescartes la Matemática es la base racional de todas las ciencias y la fuente de toda certidumbre. En todaépoca la Matemática es la clave de la explicación de los fenómenos naturales y se arroga una función de darcuenta –aspira a «dar razón» en sentido filosófico– del orden natural, en un proceso que se inicia conPitágoras, se afianza con Platón, se consolida con Descartes y desemboca en la Física de Galileo, Newtony Einstein (bien está recordarlo en el año de su centenario).7Matemática, Lenguaje y Humor.Vamos ahora a introducir un punto de humor con paradojas lógico-semánticas y expresiones inducidas portérminos matemáticos aplicados en el lenguaje coloquial. No me atrevería a llamarlos chistes, pero meacercaré a ellos por su carácter sintético, enfático y lapidario, por la ambigüedad de los términos (en este
caso matemáticos) y el doble o triple sentido de ellos. También veremos famosos disparates de exámenes deMatemáticas y juegos de palabras a modo de acertijos, enseñanzas, sentencias o citas que juegan connúmeros y elementos matemáticos.• Como cualquier escolar sabe 1 1 14 4 2+ = .Pues bien, he aquí la «demostración» más rigurosa de que «para tener medios hacen falta cuartos».• Decía B.Franklin: «Si el hombre pudiera alcanzar la mitad de sus deseos, duplicaría sus problemas».• Entre la clase política que nos gobierna está muy extendida la creencia de que:«9 de cada 10 políticos están de acuerdo en que 1 de cada 10 políticos es un corrupto».• Paradojas en la naturaleza: «Las bacterias se multiplican dividiéndose».• Conversación en clase de Matemáticas: «Me gustan los polinomios, pero solo hasta cierto grado».• Conversación entre matemáticos:«Hay tres clases de matemáticos, los que ese equivocan al contar y los que no».• Un cubo a una esfera: «Nunca tendrás una esquina donde caerte muerta».• ¿Cuál es animal con más de 2 patas y menos de 3?: «El pollo porque tiene dos y pico».• Animal con más de 3 ojos y menos de 4: «El π–ojo (piojo)».• Las cuatro reglas en el matrimonio:«Suma de obligaciones, resta de libertades, multiplicación de responsabilidades y división de bienes».• Las progresiones y la evolución:«Si todos tenemos 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, 32 tata tatarabuelos ... ¿cómo esposible que vengamos sólo de Adán y Eva?»• Perlas estadísticas:• Todos los políticos prometen antes de salir elegidos subir los sueldos, de forma que nadie cobre pordebajo de la media nacional.• No tener hijos es hereditario; si tus padres no tuvieron hijos, lo más probable es que tú tampoco lostengas.• La tasa de natalidad es doble de la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas esinmortal.• El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por lo tanto, el 80 por ciento de laspersonas muere por no fumar. Así que queda demostrado que no fumar es peor que fumar.• La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que te pases en la calle. Portanto, cuanto más rápido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.• El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante hasido causado por alguien que no había bebido. A la vista de esto, esta claro que la forma más segurade conducir es ir borracho y a toda pastilla.• Disparates en exámenes:• Polígono: «Hombre que anda con muchas mujeres».• ¿Qué es un círculo? «Un polígono de dos lados: el de dentro y el de fuera».• Qué es la hipotenusa: «Lo que está entre los dos paletos».• Area del triángulo: «Es igual a la cuarta parte de la mitad de su lado por la semisuma de la raíz
cuadrada de tres».• Los cuatro evangelistas son tres: San Pedro y San Pablo.• Refrán: «Cifra eres y nada más, según donde estés, así valdrás».8Matemática, Lenguaje y Literatura.A lo largo de la Historia muchos matemáticos han realizado notables aplicaciones a la Literatura, algunas deellas de primera categoría. Muchos de los Diálogos de Platón (la República, el Timeo, el Menón,...) y variasobras de Descartes (El Discurso del Método, Las Reglas para la Dirección del Espíritu, La Geometría)que sitúan a la Matemática en el centro de atención, son auténticas joyas de la Literatura universal.Según Platón (República, 525d–527b).«La Aritmética fuerza el alma a servirse de la inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí. [...] LaGeometría conduce a una contemplación más factible de la idea del Bien. Dirigirá el alma hacia laverdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su mirada hacia arriba.»Según Descartes (Discurso del Método, DM.AT.VI.19).«Esas largas cadenas trabadas de razones muy simples y fáciles, que los geómetras acostumbran aemplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar quetodas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera.»Pero también en los tiempos modernos excelentes escritores, que también son filósofos y matemáticos, comoel famoso político y literato, José Echegaray (Premio Nobel de Literatura, 1904), Bertran Russell (PremioNobel de Literatura, 1950) y O.Spengler, ponderan el argumento matemático en sus escritos. Las famosasobras: Historia de la Filosofía Occidental de B.Russell (recientemente reeditaba en 2005, por RBA) y Ladecadencia de Occidente de O.Spengler realizan una rigurosa incardinación de la Matemática en la Historiade la Cultura, con profundas reflexiones sobre la incidencia de las Ciencias Matemáticas en la propia forja dela Cultura y el Pensamiento.Digno es de mencionar, entre otras muchas, interesantes obras literarias escritas por matemáticos, porejemplo: De propria vita de Cardano, Pensamientos de B.Pascal, Alicia en el País de las Maravillas deL.Carroll, Una infancia rusa de S.Kovaleskaya, Apología de un matemático de G.H.Hardy.También podemos citar obras no escritas por matemáticos donde la Matemática juega un cierto papel comoPlanilandia de E.Abbott, El Aleph de J.L.Borges, Kepler de A.Koestler, Congreso en Estocolmo de J.L.Sampedro, ... .Un paso más allá, en los últimos tiempos, es el ensayo o la novela donde la Matemática es protagonista o almenos un personaje importante, por ejemplo: El hombre que calculaba de M.Tahan, El tío Petros y laconjetura de Goldbach de A.Doxiadis, El teorema del loro de D.Guedj, El diablo de los números de
H.M.Enzensberger, El enigma de Fermat de S.Singh, El sueño de Descartes de P.J.Davis, Érase una vezun número de A.Paulos, La mesura del món de D.Guedj, Damunt les espatlles dels gegants de Josep Pla, ...En el ámbito de la cinematografía la Matemática o el matemático es protagonista, entre otras películas, enLas dos caras del amor, Perros de paja y la reciente Una mente maravillosa.Matemáticas en El Quijote.En un año en que celebramos el cuarto centenario de la publicación de la primera parte del Quijote, debemosaludir a las Matemáticas que hay en la obra de Cervantes. Las hay, en efecto, en cuestiones de cálculo,números, medidas y proporciones, problemas e incluso Astronomía, así como alusiones a la utilidad de lasdiversas ciencias matemáticas. Veamos algunos textos indicativos:• 2ª Parte, Cap. XVIII. Referente a la ciencia de la Caballería:
• El caballero andante entre otras muchas cosas «ha de saber matemáticas, porque a cadapaso se le ofrecerá tener necesidad de ellas».• 2ª Parte, Cap. XX. Confrontación del Licenciado de Salamanca y el Bachiller Corchuelo:
• El Bachiller al Licenciado: «Apearos y usad de vuestro compás de pies, de vuestros círculos yvuestros ángulos y ciencia, que yo espero haceros ver estrellas con mi destreza».• Texto: «En lo que faltaba del camino les fue contando el licenciado las excelencias de la9espada con tantas razones demostrativas y con tantas figuras y demostracionesmatemáticas, que todos quedaron enterados de la bondad de la ciencia [...].• 1ª Parte, Cap. XXXIII. Orientaciones metodológicas para la conversión de infieles:
• «Les han de traer ejemplos palpables, fáciles, inteligibles, demostrativos, indubitables, condemostraciones matemáticas que no se pueden negar, como cuando dicen: “Si de dos partesiguales quitamos partes iguales, las que quedan son iguales” [Euclides, Axioma 3]; y, cuandoesto no entiendan de palabra, como en efecto, no lo entienden, háseles de mostrar con lasmanos [...]».Lo de «mostrar con las manos» no sabemos si se refiere a la utilización de técnicas docentesmás activas, mas prácticas con recursos manuales experimentales y manipulativos, o si másbien tiene que ver con los tradicionales métodos inductivos y deductivos de las Matemáticas,de modo que habría que añadir el “método de demostración por coacción”.Os voy a obsequiar ahora con un par de fábulas en forma de poesías matemáticas de las que podemosdeducir una sagaz moraleja.EL CERO, EL UNO Y EL DOS(Cayetano Hernández)Graves autores contaronque en la ciudad de los cerosel uno y el dos entrarony, desde luego, trataronde medrar y hacer dineros.Pronto el uno hizo cosecha,pues a los ceros honraba
con amistad muy estrechay dándoles la derechasu valor así aumentaba.Pero el dos es de otra cuerda,¡todo es orgullo maldito!y con táctica tan lerdalos ceros pone a la izquierday así no medraba un pito.En suma, el humilde unoLlegó a hacerse millonariomientras el dos, importuno,por su orgullo cual ninguno,no pasó de un perdulario.Luego, ved con maravillaen esta fábula ascéticaque el que es humilde más brilla,y el que se exalta se humillahasta en la misma Aritmética.TIRO AL BLANCO(Eugeni D’Ors)Por presumir de certeroun tirador atrevidose encontró comprometidoen el lance que os refiero:Y fue, que ante una casetade la feria del lugarpresumió de no fallarni un tiro con la escopeta,y el feriante alzando el galloun duro ofreció pagarlepor cada acierto y cobrarlea tres pesetas el fallo.Dieciséis veces tiróel tirador afamadoy al fin dijo, despachadopor los tiros que falló:Mala escopeta fue el ceboy la causa de mi afrenta,pero ajustada la cuentaNI ME DEBES Ni TE DEBO.Y todo el que atentamenteeste relato siguiópodrá decir fácilmentecuántos tiros acertó.x y 16x 6, y 10.5x 3y 0+ = ⎫− = ⎬⎭ = =10Matemática, Lenguaje y Educación.Una de las características del lenguaje matemático es su univocidad y ausencia total de ambigüedad. Todasintaxis matemática se aplica a objetos y entidades perfectamente definidos sin ningún tipo de duda sobre suesencia ontológica, porque previamente se ha sometido a una férrea definición que precisa, determina,
concreta, especifica, delimita, e individualiza las características del objeto en cuestión.Además, los argumentos matemáticos se establecen con la demostración, que los convierte enincontrovertibles, en verdades eternas y universales. Con la emergencia de la demostración como exigenciaintelectual, aparece la Matemática racional en el horizonte del siglo VI a.C., siendo este fenómeno cultural unhito esencial en el tránsito del mito al logos que tiene lugar en la cultura griega, por eso, la demostración seconsidera la aportación fundamental del Pitagorismo a la Matemática, lo que se ha valorado siempre muypor encima de sus magníficas contribuciones particulares en ámbitos concretos de esta ciencia que todavíahoy nutren el currículum de los libros de Matemáticas elementales. La demostración va mucho más allá de lamera persuasión de la Retórica en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible con persuasiónargüir lo falso contra lo verdadero como hacen habitualmente los políticos, que según la coyuntura degobierno o de oposición se atreven a defender un argumento y su contrario (de ahí los reproches de Sócrateshacia los sofistas). La demostración matemática convence por la ilación argumental irrefutable que alcanzaalgo legítimo mientras no se pongan en entredicho las leyes de la Lógica. Por eso a partir de Pitágoras laMatemática es universalmente considerada como un manantial primario de verdad objetiva.Definición y Demostración caracterizan y singularizan la actividad matemática frente al resto de todas lasdemás actividades humanas. En ellas se basa la importancia de la Matemática en la Educación y el prestigiogeneral que tiene la ciencia matemática en todo tipo de público frente a la argumentación retórica falaz quedesprestigia a la Política, por ejemplo. Por eso, es frecuente, como ya hemos apuntado antes, escuchar laexpresión ¡Esto es matemático! como una enfática y apasionada afirmación de que es una verdad absoluta eincontestable. Los matemáticos sabemos que ello no se ajusta completamente a la realidad matemática,porque ésta también es relativa. Sí, la realidad matemática también es relativa a las premisas más o menosarbitrarias admitidas a priori sobre las que se construye el magnífico edificio de la Matemática.Para Platón (República, VII, 521-527) la Matemática es un instrumento esencial para la educación einstrucción de la juventud. Su maestro de Geometría en la Magna Grecia, Arquitas de Tarento, comobrillante político y audaz reformador, había establecido la Matemática como componente esencial delcurrículum escolar, instituyendo las cuatro Ciencias (Artes Liberales) del Quadrivium pitagórico –Aritmética,Geometría, Música y Astronomía–, sancionado por Platón en La República y de vigencia secular casi hastanuestros días. Casi dos siglos antes, y en el origen, Pitágoras, acuña, como se sabe, el término Filosofía –amor a la sabiduría– y también –lo que no se conoce tanto–, el término Mathema vinculado al significado de
conocer o aprender, pero no a un ámbito específico del saber, sino al saber en sí mismo, es decir, Mathemaes «lo que se puede aprender», lo formativo, «lo enseñable por antonomasia». A partir de entonces, en elmundo griego, la Matemática es la encarnación del conocimiento, según Platón mediante reminiscencia (elaprendizaje es un recuerdo promovido por la Educación, que fructifica cuando el Profesor alumbra elconocimiento en el alumno mediante una serie de cuestiones y preguntas bien hilvanadas [de formaheurística] Menón, 82b-85b). Así pues, la Matemática sería una actividad intelectual no vinculada a unespacio cultural concreto y particular del saber, sino al conocimiento en sí mismo, y anterior, como base, atodo otro conocimiento, de ahí los estrechos vínculos primigenios de la Matemática con la Filosofía, comoactividades intelectuales que no sólo tendrían un origen común, sino que en el nacimiento de la Matemáticaracional en Grecia se realiza la condición de la Filosofía de dar cuenta o razón de la realidad. Precisamente,dar cuenta y dar razón, son términos matemáticos.A partir de aquí podemos entender la trascendencia que siempre ha tenido y tiene la Educación matemáticacomo materia obligatoria en todos los niveles de todos los sistemas educativos de todos los países conindependencia del régimen político. Y nosotros, Profesores de Matemáticas, es decir, profesionales de latransmisión del conocimiento matemático, como herederos del mundo clásico, enfatizamos con vehemencialas cualidades de las Matemáticas:• La capacidad para manejar la cantidad y la extensión, la lógica y la intuición, la inducción y la deducción,la observación y la imaginación, la curiosidad y la iniciativa, la invención y el descubrimiento, el análisis yla síntesis, la generalidad y la particularidad, la abstracción y la concreción, la precisión y la exactitud, lainterpolación y la extrapolación, la estructura y la implicación, la decisión y la construcción, la armonía yla creatividad, la interpretación y la descripción, la belleza y la utilidad, la regularidad y la disposición, ...,siempre bajo la acción del entendimiento y el imperio de la voluntad.Estas características de las Matemáticas hacen de ella una herramienta básica y esencial en la Educación delciudadano como instrumento fundamental de forjado no sólo de las estructuras intelectuales del ser humano,sino también de las diversas facultades, aptitudes y actitudes.11La idiosincrasia de la Matemática alimenta su función informativa que permite:• Adquirir un conjunto de conocimientos que hace posible familiarizarse con el mundo naturalcircundante, con herramientas para interpretar el mundo físico, natural y social, en términoscuantitativos y abstractos,pero sobre todo, por imperativo platónico, las Matemáticas tiene una función formativa para:• Desarrollar el pensamiento crítico y el rigor científico, inculcar una disciplina mental con la que
operar sobre cualquier tipo de pensamiento o de situación y a través de la resolución de problemasdesarrollar la iniciativa personal y la fortaleza para vencer obstáculos, estimulando la voluntad.La Matemática incide así decisivamente sobre el binomio entendimiento-voluntad que es la matriz del espírituhumano, de ahí la implicación esencial que como en los tiempos de Platón tiene, hoy y siempre, laMatemática en la Educación.O.Spengler (en su famosa obra La decadencia de Occidente, cap.I.1 [El sentido de los números], Austral,Madrid, 1998, pp141, 142) define de forma casi apocalíptica el acceso intelectual del niño a la Matemática y alidioma:«El momento en que comienza la comprensión del número y del idioma se caracteriza por una profundaexperiencia íntima, verdadero despertar del yo, que de un niño hace un hombre, un miembro de unacultura. [...] A partir de ese momento existen propiedades bien determinables, conceptos, un nexo causal,un sistema del mundo circundante, una forma del mundo, leyes del mundo, [...]. La ley es lo sometido anúmeros. En ese momento se produce un sentimiento súbito y casi metafísico de temor y respeto a loque significan profundamente las palabras “medir”, “contar”, “dibujar”, “formar”.»Ya hemos dicho que Matemática en griego significa «lo que se puede aprender». Entonces, ¿por qué hay laconciencia de que son tan difíciles? Por varias razones, consecuencia de la naturaleza y característicassingulares de esta ciencia.• Porque aunque se aplica a aspectos muy concretos requiere un alto nivel de abstracción.• Porque son una ciencia progresiva y acumulativa, un complejo edificio en el que no se puedeascender a un nivel superior sin haber consolidado todos los inferiores.• Porque tienen un lenguaje propio, preciso, exacto y simbólico.Estas cuestiones vinculadas a las Matemáticas exigen que para obtener fruto en su cultivo se precise engrado sumo paciencia (que como término es el acrónimo de paz y ciencia, Paciencia = Paz + Ciencia),tranquilidad, reflexión, concentración y curiosidad.Como veis no he mencionado aspectos vinculados a la inteligencia, no es que no sean necesarios oconvenientes para estudiar Matemáticas. Una brillante inteligencia es conveniente para hacer cualquier tareahumana con calidad y también para triunfar en Matemáticas, pero no es imprescindible. Por su propianaturaleza, que acabamos de puntualizar, para estudiar con éxito en Matemáticas, son más importantes losaspectos humanos vinculados a la voluntad, como los mencionados: la paciencia, la perseverancia, laconstancia, la persistencia, la tenacidad, la firmeza, el tesón, la entereza, la dedicación, el empeño; todosellos son ineludibles para alcanzar y mantener la concentración, la reflexión y la curiosidad que requiere elestudio de las Matemáticas
Mas aún para triunfar en algo, más allá del azar y la fortuna, se necesita la motivación que proporciona laposibilidad de recoger los frutos enseguida. Pero debido a la propia naturaleza de las Matemáticas quehemos ido describiendo, el fruto no es inmediato, sino que se consigue a largo plazo, es como en laAgricultura. Para tener éxito en Matemáticas tenemos que trabajar asiduamente con esfuerzo, sembrando elcampo de la voluntad donde, según Descartes (Reglas para la dirección del espíritu, Regla IV) se planta lasemilla intelectual que tenemos en nuestra mente.Frente al «lo quiero todo, ahora y fácilmente» que plantean los jóvenes, la consecución de logros enMatemáticas requiere tener conciencia de que:• Frente al «lo quiero todo» sólo tendré lo que puedo alcanzar con mi dedicación y esfuerzo.• Frente al «lo quiero ahora» sólo obtendré el fruto, poco a poco, y a medida de mi capacidad deasimilar con mi esfuerzo.• Frente al «lo quiero fácilmente » hay que saber que no existe más camino que el del trabajo y elesfuerzo personal.12Cuenta una famosa leyenda, relatada por el matemático y filósofo neoplatónico Proclo de Alejandría, unaconversación entre el rey Ptolomeo de Egipto y su asalariado como Profesor de Matemáticas del Museoalejandrino, Euclides:«El rey Ptolomeo preguntó cierto día a Euclides si no había un camino más corto para laGeometría que Los Elementos; obtuvo la siguiente respuesta: "En la Geometría no hay caminopara los reyes".»Como deducimos de esta anécdota real, esfuerzo, más esfuerzo y sólo esfuerzo exige el aprendizaje de lasMatemáticas. No se ha inventado otro camino para adquirir el conocimiento inmediato y la formaciónadecuada.La formación es incluso más importante que el conocimiento. Sabéis que la formación permanece y es laherramienta con la que nos enfrentamos al mundo, no sólo para comprenderlo, sino ante todo paratransformarlo; mientras que el conocimiento puede ser pasajero, es decir, puede que en nuestra vida adultano nos acordemos de tal o cual teorema, pero si en su momento lo asimilamos, sabremos, donde encontrar lafuente para recordarlo, y sobre todo, y lo más importante, gracias al estudio de ese teorema y las cuestionesvinculadas a él, tendremos a nuestra disposición y para siempre una serie de habilidades mentales ydestrezas intelectuales, que las necesitamos para desarrollar con dignidad y calidad otros muchos aspectosde nuestra existencia. Aquí es donde reside la importancia capital de la Educación matemática, en lapreparación y formación integral de la persona, a la que contribuye de forma definitiva.Permitidme, finalmente, recitaros un soneto de versos alejandrinos que compuse en un momento de devociónmística hacia la figura matemática iniciática de Pitágoras:
SONETO A PITÁGORASTu Teorema me enseñó a amar la Geometríay desde ésta aprendí a adorar la Matemáticaquise hacer la existencia menos enigmáticacon Platón pensando entrar en la Filosofía.Pitágoras, ayúdame a alcanzar la armoníaa que la vida sea menos problemáticasiendo el estudio y el amor nuestra pragmáticaconcediéndonos parte de tu sabiduría.Apliquemos en todo tu divina proporciónno sintamos temor hacia lo inconmensurableal transmitir estos valores en la educación.Tu doctrina nos enseña lo que es demostrableTus números y poliedros engendran percepciónPor eso tu magisterio ha sido perdurable.Muchas gracias a todos por vuestra atención.Pedro Miguel González [email protected]. Sant Josep de CalassançDepartamento de MatemáticasBarcelona, 12 y 14 de setiembre de 200513Referencias.♦ AMSTER,P: La Matemática como una de las Bellas Artes. SigloXXI Argentina. Buenos Aires, 2004.♦ ANDRADAS,C.: Póngame un Kilo de Matemáticas. Editorial S.M. Madrid, 2000.♦ BALBUENA,L ; GARCÍA JIMÉNEZ,J.E.: El Quijote y las Matemáticas (en el Día Escolar de las Matemáticas).Servicio de Publicaciones de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).Badajoz, 2005.♦ BALBUENA,L ; García Jiménez,J.E.: El Quijote y las Matemáticas. Consejería de Educación y Ciencia de la Junta deComunidades de Castlla–La Mancha, 2005.♦ BRACHO,R: El gancho matemático. Port-Royal Ediciones. Granada, 2000.♦ CHARTIER, E.: Charlas sobre Educación y Pedagogía infantil, Editorial Losada, Buenos Aires, 2001.♦ CHARTIER, E (Alain).: Mira a lo lejos. RBA Libros. Barcelona, 2003.♦ DAVIS, P.J.: El sueño de Descartes. Labor. MEC. Madrid, 1989.♦ DESCARTES,R.: Discurso del Método / Reglas para la dirección de la mente. Orbis. Barcelona,1983.♦ DIVERSOS AUTORES: Historia del Pensamiento. Ediciones Orbis, Barcelona, 1983. Vol.1. Cap.1 ; Vol.2. Cap.3♦ EGGERS,C.: El nacimiento de la Matemática en Grecia. Eudeba, B. Aires, 1995. Caps. 1, 2.♦ GÓMEZ,J.: L’altra cara de les Matemàtiques: Biblioteca de l’Ateneu. Ketres Editora. Vilanova i la Geltrú, 2000.♦ GONZÁLEZ URBANEJA, P: Experiencias en el Aula. Comunidad Escolar. nº 197, p.14. Ministerio de Educación yCiencia. Junio 1988.♦ GONZÁLEZ URBANEJA, P: Taller de Matemática recreativa. Cuadernos de Pedagogía, nº 166, Enero 1989, pp.65-66.♦ GONZÁLEZ URBANEJA, P.:2001. La implicació de la matemàtica en l’educació, segons Plató. Bulletí 09/2001ABEAM, pp.13-15, 2001.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: La Matemática de la Revolución Francesa (en Seminario Orotava de Historia de la
Ciencia, Actas, año III, pp.93-132). Las Palmas, 1997.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Las raíces del Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII. Alianza Universidad, Madrid,1992. Prefacio.♦ GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Los orígenes de la Geometría Analítica. Fundación Canaria Orotava de Historia de laCiencia, Tenerife, 2003. Cap.8.♦ GONZÁLEZ URBANEJA,P.M.: Matemáticas y matemáticos en el mundo griego (en El legado de las Matemáticas: deEuclides a Newton). pp.24-75.Universidad de Sevilla, 2000. Cap.1.♦ GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Pitágoras, el filósofo del número. Nivola, Madrid, 2001. Caps.1, 2, 8.♦ GONZALEZ URBANEJA,P.M.: Platón y a Academia de Atenas. Nivola. Madrid. En imprenta. Caps. 3, 6, 7, 9.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Legado y herencia de Pitágoras. Apuntes de CPR, núm.10. pp. 16-21.CPR Palencia.Consejería de Educación y Cultura. Junta de Castilla y León. Mayo de 2003.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: La Historia de la Matemática como recurso didáctico e instrumento para enriquecerculturalmente su enseñanza. Revista SUMA, núm.45, pp.17–28, 02/04.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Platón. Matemática en la Filosofía y Filosofía en la Matemática.http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Inprimaketak/Platon.asp. 09/04.♦ GONZALEZ URBANEJA, P.M.: Pitágoras.http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Pitagoras.asp. 04/05.♦ HARDY,G.: Apología de un matemático. Nivola. Madrid, 1999. Ariel. Barcelona. 1981.♦ LÁZARO CARRETER,F.: Espíritu de Geometría (en EL DARDO EN LA PALABRA). EL PAÍS, 5/12/99.♦ LEVI.B.: Leyendo a Euclides. Zorzal, Buenos Aires, 2001. Cap.1♦ MANKIEWICZ,R.: Historia de las Matemáticas. Barcelona, 2000. Caps. 3 ,4.♦ MONTESINOS,J. (Coordinador): Historia de la Geometría griega. Actas del Seminario Orotava de Historia de laCiencia. Tenerife, 1992.♦ MONTESINOS,J.: Historia de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria. Síntesis. Madrid, 2000. Cap. 1.3.♦ MORENO,L.F.: Crítica de la obra de CHARTIER, E (Alain), Mira a lo lejos, (en Babelia, EL PAÍS, 12 de abril de 2003).♦ PLATÓN: Diálogos: Menón, República, Timeo, (en Obras Completas). Introd. de J.A. Míguez. Aguilar, Madrid, 1969.♦ RODRÍGUEZ,R.: Cuentos y cuentas de los matemáticos. Editorial Reverté. Barcelona, 1987.♦ RUSSELL,B.: Historia de la Filosofía Occidental. Austral.Madrid,1995. Vol.1. Lib.1. Caps. 3, 25.♦ SANTALÓ,L.: La matemàtica: una filosofia i una tècnica. Eumo, Vic- Girona, 1993. Caps.1, 2.♦ SPENGLER,O.: El sentido de los números (en La decadencia de Occidente. Cap.I.1). Austral, Madrid, 1998. pp.129–193.♦ VALERY P.: Carta al Autor (en El número de oro, Poseidón, Barcelona, 1978, pág.9).♦ VITRAC,B.: La odisea de la razón (en Viaje al país de las Matemáticas. El Correo de la Unesco, Año XLII, 11/1989).♦ WARUSFEL, A: Los números y sus misterios. Editorial Martínez Roca. Barcelona, 1968.
El lenguaje matemáticoAmando de Miguel
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Columna publicada el 04-02-2005
Me llegan muchos correos criticándome mi credulidad al aceptar la leyenda de que Alfred
Nobel odiaba a los matemáticos porque uno de ellos cortejó a su mujer. Javier Rodríguez
Blanco (Vigo, Pontevedra) me confirma que el inventor de la dinamita fue un solterón toda su
vida. Se trata, pues, de una leyenda, la de don Alfred como marido celoso. Me alegro de que
don Javier me saque de mi error.
http://www.libertaddigital.com/nacional/rajoy-y-mayor-oreja-se-ven-las-caras-en-bruselas-1276345747/
Jordi Molias, aduce que “las Matemáticas no son una ciencia, que los matemáticos no
contrastan los resultados con la realidad física. Las Matemáticas son, tal vez, un lenguaje.
Probablemente el lenguaje más bello jamás inventado”. Añado el recuerdo de Galileo cuando
escribió aquello de que “el libro de la naturaleza está escrito en lengua matemática”. No es
razón para que el señor Nobel excluyera a las Matemáticas de sus famosos premios. Aunque
quizá en su tiempo (y en el nuestro) las Matemáticas no se pudieran desgajar mucho de la
Física teórica.
Javier Sayas (Zaragoza) me envía un correo muy ilustrado sobre la cuestión batallona de
Alfred Nobel y las Matemáticas. Aunque él sea catedrático de Matemática Aplicada, sostiene
que “En España, sin excepción, todos los matemáticos hablamos de las Matemáticas en
plural”. Narra una versión verosímil para explicar la inexistencia de un premio Nobel de
Matemáticas. Simplemente Alfred Nobel se llevaba mal con el matemático sueco Gösta
Mittag-Leffler, a quien pudiera haber correspondido el premio Nobel de Matemáticas si se
hubiera establecido. Otra interpretación es que Alfred Nobel insistía en el carácter aplicado
de las ciencias. Con el tiempo, los matemáticos instituyeron las medallas Fields, que se
otorgan cada cuatro años a los matemáticos más distinguidos, pero solo de menos de 40
años. (Extraña discriminación por la edad, añado yo).
A través de Carmen Felgueroso me llega un artículo de Alicia Delibes, documentadísimo,
sobre la cuestión de las Matemáticas y Alfred Nobel. Está claro que Nobel y Mittag-Leffler se
llevaban mal y no por rivalidades amorosas. Vamos, que no había una mujer por medio. Doña
Alicia se refiere a las medallas Fields. Más de la mitad han sigo ganadas por
norteamericanos. En 1995 se la negaron a Andrew John Wiles, a pesar de haber logrado la
demostración del teorema de Fermat. La razón es que tenía 45 años. Añado que los
matemáticos también tienen prejuicios.
Antonio Benítez-Donoso sale al paso de algunas noticias disparatadas que hablan
alegremente de “billones” de euros cuando quieren decir “millardos”. Ese error es muy
corriente en los medios de comunicación. Procede de una mala traducción del inglés. Don
Antonio lo especifica muy bien: en inglés un billion equivale a un millardo (= mil millones,
nueve ceros). En español un billón es un millón de millones (= doce ceros). Añade don
Antonio otra diferencia, en las cantidades escritas con números. En inglés la coma significa lo
que el punto en español, y el punto lo que la coma para nosotros. Un lío.
Carlos Gordo Blanco argumenta que la coma decimal debería ser alta (2’4) y no baja (2,4).
De ese modo, la coma decimal no se confundiría con la notación de las coordenadas
cartesianas. “Por ejemplo el punto P (3,4) es el punto de abscisa 3 y ordenada 4”. El
problema es que estamos acostumbrados a que la coma decimal sea baja.
C. Enrique Granados se queja de la significación que damos a la frase “la cuadratura del
círculo” para indicar algo imposible o vano. Argumenta: “El sistema de hallar el área de
cualquier superficie mediante su descomposición en cuadrados minúsculos comprendidos en
ella y luego contarlos para hallar el cuadrado único equivalente es genial y no debería ser
usado para denigar los empeños aparentemente utópicos”. Aunque aluda a que esa hazaña
corresponde a los griegos, realmente pertenece al cálculo infinitesimal de Newton. Pero lo
fundamental es que funcionan aquí dos lenguajes, el matemático y el corriente. La expresión
“cuadratura del círculo” intenta contraponer dos términos ─el círculo y el cuadrado─ para
indicar una imposibilidad. Sin entrar en el lenguaje matemático, esa expresión es correcta.
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Lenguaje cotidiano y lenguaje matem¶aticoConectores l¶ogicos/NO/Escribe la negaci¶on de las frases siguientes:1. /En Madrid llueve todos los d¶³as./2. /En Madrid no llueve ning¶un d¶³a./3. /No viajar¶e contigo y con tu hermano a Berl¶³n./4. /No viajar¶e ni contigo ni con tu hermano a Berl¶³n.//Y/5. Aclara el sentido de las siguientes frases con una m¶as expl¶³cita.a) /No mand¶e que Juan y Pedro lo hicieran. Lo que orden¶e fue que Juan oPedro lo hicieran./b) /Orden¶e que lo hicieran Pedro y Juan. No dije que lo hicieran Pedro o Juan./6. Explica la posible distinci¶on del lenguaje natural entre las dos frases siguientes:/Ir¶e y lo har¶e./ Lo har¶e e ir¶e./7. (*) Construye una frase sencilla y clara equivalente a la siguiente:/No es cierto que se preparara las matem¶aticas para la selectividad y el te¶oricode conducir durante la tarde del s¶abado./8. Construye una frase sencilla equivalente a/No es verdad que t¶u seas cordob¶es ni que tu padre sea segoviano.//O/, /O BIEN... O BIEN/9. En el escaparate de la librer¶³a de la universidad aparece escrito:/Nuestros clientes en posesi¶on de carnet de estudiante o empleado de la univer-sidad tendr¶an derecho al 15% de descuento./Explica el signi¯cado de esta frase.10. Una ni~na se empe~na en que su padre la lleve el domingo por la ma~nana al parquede atracciones y por la tarde al cine de su barrio. El padre le dice /No. Saldremospor la tarde e iremos al cine o al parque de atracciones./ Explica lo que el padre
quiere decir con toda claridad. >Tiene este /o/ el mismo signi¯cado que en elejercicio anterior?>A cu¶al de los dos signi¯cados se acerca el del /o/ de las matem¶aticas?111. (*) Supongamos que te llamas Gabriel. >Qu¶e te parecer¶³a presentarte del siguientemodo: /Me llamo Pedro o Gabriel/?>Es correcto decir en el lenguaje matem¶atico /3 es menor o igual que 5/? >Escorrecto decir /5 es menor o igual que 5/?12. Si a mi pregunta sobre cu¶ando se marcha, mi amigo me responde /El s¶abado oel domingo/ y despu¶es me entero de que ese mismo d¶³a ten¶³a en su bolsillo subillete para el s¶abado, >qu¶e pensar¶³as de mi amigo?13. (*) Pepe dice: /Orden¶e que viniera Pedro o Juan./ Han venido Pedro y Juan. >Secumpli¶o la orden?14. Julio dice: /Orden¶e que vinieran o bien Pedro o bien Juan./ Han venido Pedro yJuan. >Se cumpli¶o la orden?15. Construye una frase explicativa equivalente a: /No es verdad que vinieran Pedroo Juan./16. Construye una frase explicativa equivalente a: /No es verdad que viniera o bienPedro o bien Juan./17. Escribe una tabla de verdad para la Conjunci¶on =AyB= y otra para la Disyunci¶on=AoB=. Es decir, analiza la verdad o falsedad de ambas proposiciones seg¶un laverdad o falsedad de AyB completando la tabla siguiente:A B AyB AoBVerdadera VerdaderaVerdadera FalsaFalsa VerdaderaFalsa FalsaProposiciones matem¶aticas.Una proposici¶on matem¶atica es una a¯rmaci¶on que se re¯ere a objetos ya intro-ducidos o de¯nidos y que es verdadera o falsa (es decir, que tiene necesariamenteuno de los dos valores posibles V o F).18. Para cada uno de los siguientes apartados, decide cu¶ales son proposiciones ma-tem¶aticas y por qu¶e.a) ax2 + bx + c = 0b) ¡b + pb2 ¡ 4ac
2ac) El tri¶angulo XYZ es semejante al tri¶angulo RST.2d) 3 + n + n2
e) sen ¼2 < sen ¼4
f ) Para cada ¶angulo t se tiene sen2 t + cos2 t = 119. >Cu¶ales de las siguientes proposiciones matem¶aticas son verdaderas?a) La ra¶³z cuadrada de cualquier n¶umero entero es un n¶umero real no negativo.b) Existe un ¶angulo t tal que sen t = cos t.c) (*) Si x < 1, entonces x2 < 1Sobre la proposici¶on /Si A entonces B/.20. Dijo: /Voy al Banco. Si est¶a abierto traigo 60 euros./Viene con 60 euros. >Qu¶e deduces?Viene sin un euro. >Qu¶e deduces?21. Examina la frase: /Si Miguel me invita a su casa, voy./Miguel no me invita y voy.Miguel me invita y no voy.>Qu¶e piensas de ambas situaciones? >Son coherentes con la primera frase?22. (*) /Si el Granada no gana el partido el domingo, Pepe ser¶a muy infeliz./Resulta que el domingo gana el Granada y encontramos a Pepe, por la noche,totalmente infeliz. La verdad de esta proposici¶on, >es compatible con esta situa-ci¶on?23. Una de las situaciones que m¶as aparecen en Matem¶aticas es demostrar que escierta la a¯rmaci¶on /Si A entonces B/, a veces escrita A ) B y le¶³da "A implicaB". Escribe una tabla de verdad sobre esta implicaci¶on; es decir, analiza la verdado falsedad de A ) B seg¶un la verdad o falsedad de A y B completando la siguientetabla:A B A ) BVerdadera VerdaderaVerdadera FalsaFalsa VerdaderaFalsa Falsa24. Quieres demostrar que /A implica B/ es falso. >C¶omo proceder¶³as?a) Demostrando que B es falso.3b) Demostrando que A es falso.c) Demostrando que B es falso y que A es verdadero.
d) Demostrando que B es verdadero y que A es falso.e) Demostrando que B es falso y que A es falso.25. Para cada una de las proposiciones siguientes identi¯ca cu¶al es la hip¶otesis y cu¶alla tesis o conclusi¶on.a) Si el tri¶angulo rect¶angulo ABC, de lados a; b; c, siendo a la hipotenusa, estal que su ¶area esa2
4, entonces el tri¶angulo ABC es is¶osceles.b) Si n es un n¶umero entero entonces n2 es un n¶umero entero.c) (*) Si a; b; c; d; e; f son n¶umeros reales con la propiedad ad ¡ bc 6= 0, en-tonces el sistema de ecuaciones fax + by = e; cx + dy = fg tiene una ¶unicasoluci¶on.d) La suma de los n primeros enteros positivos esn(n + 1)2.e) Si r es un n¶umero real y satisface r2 = 2 entonces r es irracional.f ) Si p y q son reales positivos que veri¯can ppq =p + q2, entonces p = q.g) (*) Si x es un n¶umero real, el valor m¶³nimo de x(x¡1) es mayor o igual que¡1=4.26. (*) Tu tarea es demostrar que /A implica B/ es verdadera y sabes que B es falso.>Qu¶e tratar¶as de demostrar y por qu¶e?a) Que A es verdadero.b) Que A es falso.27. (*) Imagina que la siguiente a¯rmaci¶on es verdadera: "Si sali¶o nublado el 5 deEnero de 1987, yo soy el Papa". >Qu¶e puedes decir sobre el 5 de Enero de 1987?28. Consideremos la siguiente a¯rmaci¶on /Si n ¡ 1 es m¶ultiplo de 3, tambi¶en lo esn2 ¡ 1./a) Estudia qu¶e ocurre cuando n = 4, n = 5 y n = 6.b) >Puede ser cierta la a¯rmaci¶on anterior?Equivalencias29. (*) Supongamos que n es un n¶umero natural. Decide si la proposici¶on /n2 es parsi y s¶olo si n es par/ es verdadera o es falsa. Justi¯ca tu respuesta.430. Supongamos que r es un n¶umero real. La proposici¶on /r2 es racional si y s¶olo si
es r es racional/ >es verdadera o es falsa? Demu¶estralo.31. Sean A y B dos matrices 2 £ 2. >Es cierto que AB = A2 si y s¶olo si A = B?Justi¯ca tu respuesta.32. Sea a un n¶umero real. Decide si la condici¶on a2 < a es a) necesaria, b) su¯-ciente, c) necesaria y su¯ciente ... para que a3 < a2. >Por qu¶e?33. Decide si son ciertas o falsas las siguientes a¯rmaciones:a) La condici¶on necesaria y su¯ciente para que dos rectas de R3 se corten enun punto es que sean coplanarias.b) Si dos planos ¼1 y ¼2 son perpendiculares, entonces la direcci¶on de todarecta contenida en ¼1 es perpendicular a la de toda recta contenida en ¼2.c) Si la recta r es perpendicular al plano ¼, entonces la direcci¶on de r esperpendicular a la de toda recta contenida en ¼.d) Si los planos ¼1 y ¼2 se cortan a lo largo de una recta, entonces no existenrectas paralelas r1 ½ ¼1 y r2 ½ ¼2.34. Se consideran dos n¶umeros reales a y b. Marca cada casilla del siguiente cuadrocon un n¶umero del 1 al 5, de acuerdo con el convenio que se indica al ¯nal:a + b 2 Q a + b 62 Q ab 2 Q ab 62 Qa 2 Q, b 2 Qa 2 Q, b 62 Qa 62 Q, b 62 Q[1] La condici¶on de la izquierda es su¯ciente para la condici¶on de arriba.[2] La condici¶on de la izquierda hace que la condici¶on de arriba se cumpla s¶olo sia = 0.[3] La condici¶on de la izquierda hace que la condici¶on de arriba no se cumplanunca.[4] La condici¶on de la izquierda es su¯ciente para la condici¶on de arriba siempreque a 6= 0.[5] La condici¶on de la izquierda hace que la condici¶on de arriba se cumpla enalgunos casos particulares pero no en otros.35. Se consideran las a¯rmaciones A y BA: XY-YX=0 y B: X=0 ¶o Y=0,5donde X e Y son matrices n £ n y 0 es la matriz nula de orden n.Decide si se tiene alguna de las situaciones siguientes:a) A es su¯ciente para B pero no necesario.b) A es necesario para B pero no su¯ciente.
c) A y B son equivalentes.Cuanti¯cadores l¶ogicos, sus concatenaciones y sus negaciones36. Escribe, utilizando los cuanti¯cadores l¶ogicos 8 (para todo, para cada) y 9 (existe, para alg¶un), cada una de las frases siguientes:a) Cada d¶³a oigo alg¶un programa en la radio.b) Hay un programa en la radio que oigo todos los d¶³as.c) Alg¶un d¶³a oigo alg¶un programa en la radio.37. Sean M el conjunto de todas las personas de una cierta ciudad, P el conjunto detodos los peri¶odicos que se publican en esa ciudad y D el conjunto de todos losd¶³as del a~no. Escribe, utilizando los cuanti¯cadores l¶ogicos para cada y paraalg¶un, cada una de las siguientes a¯rmaciones entre barras:a) /Alguien habr¶a que cada d¶³a compre todos los peri¶odicos./b) /Alguien habr¶a cada d¶³a que compre todos los peri¶odicos./c) (*) Esta ciudad es muy instruida. Aqu¶³ /cada uno compra alg¶un peri¶odicocada d¶³a./d) /Cada d¶³a hay alg¶un peri¶odico que todo el mundo compra./e) (*) Somos poco a¯cionados a la prensa en este pueblo, pero al menos /todoslos d¶³as hay alguien que compra alg¶un peri¶odico./f ) Es una ciudad de mani¶aticos. /Todos compran todos los peri¶odicos cadad¶³a./g) (*) Aqu¶³ s¶³ que somos ajenos a la prensa, pero al menos /hubo un d¶³a enque alguien compr¶o alg¶un peri¶odico./h) Esta ciudad est¶a dominada por un diario. /Todo el mundo lo compra todoslos d¶³as./i ) Aqu¶³ todos somos muy ¯eles. /Cada uno compra siempre el mismo peri¶odi-co/, el suyo de toda la vida.j ) Fue tal el notici¶on que /aquel d¶³a todo el mundo compr¶o todos y cada unode los peri¶odicos./6k) "La Ciudad"se llev¶o la exclusiva y as¶³ /este d¶³a hubo un peri¶odico que fuecomprado por todo el mundo./38. Sea N el conjunto de los n¶umeros naturales. >Es cierta la siguiente a¯rmaci¶on?/Para cada elemento n del conjunto N, existe un n¶umero real M tal que n < M/.>Hay alguna diferencia entre la anterior a¯rmaci¶on y la siguiente?/Existe un n¶umero real M tal que para cada elemento n del conjunto N, se veri¯can < M/.
39. (*) Escribir con cuanti¯cadores y decidir si son verdaderas o falsas las siguientesproposiciones:a) Para cada n¶umero real x con 0 · x · 1, existe un n¶umero real y con0 · y · 1 tal que x + y = 1.b) Existe un n¶umero real y con 0 · y · 1 tal que, para cada n¶umero real xcon 0 · x · 1, se veri¯ca que x + y = 1.40. Explica si en cada uno de los siguientes pares de proposiciones a y b son las dosverdaderas, las dos falsas o una verdadera y otra falsa:(*) a) 1) Para cada n¶umero real x con 0 · x · 1 y cada n¶umero real y con0 · y · 2, se veri¯ca 2x2 + y2 · 6.2) Para cada n¶umero real y con 0 · y · 2 y cada n¶umero real x con0 · x · 1, se veri¯ca 2x2 + y2 · 6.b) 1) Para cada n¶umero real x con 0 · x · 1 y cada n¶umero real y con0 · y · 2x, se veri¯ca 2x2 + y2 · 6.2) Para cada n¶umero real y con 0 · y · 1 y cada n¶umero real x con0 · x · 2y, se veri¯ca 2x2 + y2 · 6.En los siguientes ejercicios se te pide que niegues la proposici¶on P, es decir,que escribas la proposici¶on no P, de manera que no aparezca expl¶³citamente lapalabra no. Luego, decide en cada caso si es verdadera P o no P.41. (*) P: /Para cada n¶umero real x > 0 se veri¯ca que x2 ¡ x > 0/.42. P: /Hay tri¶angulos rect¶angulos con los tres lados iguales/.43. P: /Los m¶ultiplos de 3 son impares/.44. (*) P: Para cada n¶umero real x que veri¯que ¡1 · x · 1, existe un n¶umero realy con ¡1 · y · 1 tal que x2 + y2 · 1.45. P: Existe un n¶umero real x con ¡1 · x · 1 tal que para cualquier n¶umero y con¡1 · y · 1 se veri¯ca que x2 + y2 · 1.7SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS CON ASTERISCO (¤)7 /No (A y B)/ es equivalente a /no A o no B/. No se prepar¶o las matem¶aticasla tarde del s¶abado o no se prepar¶o el te¶orico de conducir esa tarde.11 a) En el lenguaje matem¶atico no es falso. En lenguaje normal es no querer de-cir como me llamo. b) Las dos cosas son correctas y aparecen en el lenguajematem¶atico.13 Pues s¶³, pero bastaba que viniera uno de los dos para que se hubiera cumplido.
22 S¶³ es compatible. No se dijo qu¶e pasar¶³a si el Granada ganaba. A¯rmar A ) Bes compatible con no A y B y con no A y no B.19c Es falso, ya que si x = ¡2 < 1 entonces x2 = (¡2)2 = 4 > 1.25c Hip¶otesis: a; b; c; d; e; f 2 R y ad ¡ bc 6= 0.Tesis:½ax + by = ecx + dy = ftiene soluci¶on ¶unica.25g Hip¶otesis: x es real. Tesis: x(x ¡ 1) ¸ ¡14.26 Tengo que demostrar que A es falso, ya que si A fuera verdadero y es verdad queA ) B, B tendr¶³a que ser verdadero.27 Si el que lo dice es el Papa no se puede decir nada del 5 de Enero. Si el que lodice no es el Papa entonces el 5 de Enero no sali¶o nublado.29 Es verdadera. En primer lugar, probemos que si n2 es par entonces n es par.Escribiendo n = 2k + r, con r = 0 o r = 1, se tiene que n2 = (2k + r)2 =4k2+4kr+r2 = 2(2k2+2kr)+r2. Como r2 = r y n2 es par, se deduce que r = 0.Por otro lado, si n es par, entonces n = 2k y, as¶³, n2 = 4k2 = 2(2k2) que es par.37c 8d 2 Dj8m 2 Mj9p 2 Pjm compra p en d.37e 8d 2 Dj9m 2 Mj9p 2 Pjm compra p en d.37g 9d 2 Dj9m 2 Mj9p 2 Pjm compra p en d.39 a) Es cierta. b) Es falsa.40a 1 y 2 dicen lo mismo y son verdaderas.41 P falsa: para x = 1=2, se tiene que x2 ¡ x = ¡1=4 < 0.44 P es verdadera: basta tomar para cada x el n¶umero y = p1 ¡ x2.8
