Aprendizaje de las

Matemáticas

Ana Isabel Fernández Herrerías

ÍNDICE

1. Introducción

2. Conceptos y teorías

2.1. El asociacionismo de Thorndike2.2. El aprendizaje acumulativo de Gagné2.3. La teoría desarrollada por Jean Piaget2.4. Procesamiento de la información2.5. La aportación de Bruner

3. Desarrollo evolutivo

3.1. Procesos cognitivos3.2. Procedimientos mentales3.3. Etapas o estadios de Piaget3.4. Adquisición del conocimiento matemático

4. Diagnóstico. Trastornos o disfunciones: dificultades de aprendizaje

4.1. Errores más comunes que comete el escolar4.2. Las dificultades en la adquisición del cálculo

4.2.1. Definición y clases de discalculia4.2.2. Causas de la discalculia4.2.3. Acalculia

4.3. La evaluación del alumno

5. Intervención

5.1. Recomendaciones generales5.2. Modelos y actividades para la intervención5.3. El empleo de las nuevas tecnologías

6. Bibliografía

APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

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Ana Isabel Fernández Herrerías

1. INTRODUCCIÓN

Los niños de edades tempranas poseen una considerable cantidad de conoci-mientos y estrategias informales de resolución, que les capacitan para enfrentarse con éxito a diversas situaciones que implican las operaciones aritméticas básicas (adición, substracción, multiplicación y división). Estos conocimientos informales son adquiridos fuera de la escuela sin mediación del aprendizaje formal.

Las actividades en las que se ven inmersos los niños parecen ser las responsables de los conocimientos iniciales sobre estas operaciones, que van a constituir los cimien-tos de los aprendizajes formales posteriores y pueden garantizar el aprendizaje significa-tivo de las matemáticas. Hoy en día los niños intentan dar sentido a las matemáticas for -males asimilándolas con los conocimientos previos, de manera que si intentamos ense-ñar directamente las matemáticas formales, llegaremos a un aprendizaje memorístico.

En general, se asume que un aprendizaje comprensivo de las matemáticas impli-ca que los alumnos conjeturen, que realicen abstracciones, no descontextualizadas de las propiedades matemáticas, que expliquen sus razonamientos, que validen sus asertos y que discutan y cuestionen su modo de pensar y el de los demás. Cuando los alumnos aprenden matemáticas en la escuela, están intentando adquirir competencia comunicati-va en el lenguaje matemático escrito y hablado.

Tradicionalmente la enseñanza de las matemáticas se centraba principalmente en torno a la realización de actividades memorísticas y de cálculo, poniendo especial énfa-sis en los procesos de automatización frente a los de razonamiento y comprensión. Esta situación ha comenzado a cambiar en las últimas décadas, hasta el punto de que los pro-blemas verbales han pasado a ocupar un lugar destacado en el ámbito de la investiga-ción y comienzan a hacerlo en la práctica instruccional. La estructura semántica del pro-blema parece ser uno de los factores más importantes.

La manera tradicional de enseñar matemáticas consiste en confrontar a los alum-nos, directamente con la abstracción (la definición de conceptos y la fórmula), proseguir con algunos ejemplos resueltos, y luego indicar una larga lista repetitiva de ejercicios similares a los ya resueltos. Ha sido desarrollada por personas adultas que ya saben ma-temáticas y asumen que, explicando bien la teoría, las alumnas y alumnos entenderán. Este método se basa en una comprensión insuficiente de la manera como aprenden los niños.

¿Qué defectos tiene el método tradicional?

Enajena a la mayoría de alumnos, que desarrollan un bloqueo progresivo a las matemáticas.

No favorece el razonamiento matemático, sino la aplicación repetitiva de proce-dimientos y técnicas que se olvidan fácilmente.

Presenta a las matemáticas como algo alejado de su utilización práctica.2. CONCEPTOS Y TEORÍAS

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Las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución continua, estre-chamente relacionados con otros procedimientos y con un carácter aplicado. Es erróneo presentar las matemáticas a los niños de forma descontextualizada, sin tener en cuenta que el origen y fin de éstas no es otro que responder a las demandas reales de las situa-ciones problemas de la vida diaria.

El ser humano es de naturaleza bio-psicosocial, y por esta razón, tanto las dife-rencias genéticas como las contextuales pueden conducir a diferentes niveles en el desa-rrollo cognitivo, es decir, el 50 o 60% de las diferencias interindividuales en inteligencia tienen una causa genética. Cuando las variables biológicas son de mucho peso, el am-biente tiene más limitada su capacidad de influencia, mientras que en otras ocasiones el ambiente marca tanto un desarrollo que los demás elementos a considerar resultan prác-ticamente anulados. Entre los modelos que existen tenemos el modelo de limitación del escenario de Gottesman (1974), según el cual los genes proporcionan un margen de reacción, y los factores del entorno determinan el resultado final. Gottlieb (1992) disien-te del margen de reacción argumentando que los genes y el medio interactuan de forma más dinámica, ya que, las propias acciones de los genes pueden resultar influidas por el medio. Scarr y McCartney (1983) sugieren un tercer modelo según el cual la conducta del niño resulta influida por tres relaciones entre genotipo y entorno: relación pasiva (el entorno del niño lo crean los padres), relación evocativa (el niño evoca ciertas respues-tas de los otros, así un niño al que le interesen los números, estará siempre preguntando por cuestiones referidas a la numeración) y la relación activa (cuando el niño se com-promete en la elección de posibilidades que reflejan sus intereses y talento).

Las relaciones entre herencia y ambiente son uno de los dilemas clásicos de la psicología evolutiva. En un extremo tenemos los que apoyan que la competencia mate-mática está condicionada por factores genéticos que regulan su interacción con el me-dio, siendo éste un estimulador. Entre estos autores estaría Fodor con su hipótesis mo-dularista. En el otro extremo tenemos a los que afirman que el ambiente tiene el papel más importante ene l desarrollo del ser humano, Vygotsky sería uno de los representan-tes más característicos de esta posición. Karmiloff-smith (1994) con su concepto de modularización afirma que los módulos con los que el niño nace no están tan predeter-minados como indica Fodor, por lo que el ambiente puede “modularizar” las estructuras existentes haciendo que se creen nuevos módulos.

Concluyendo, son las estrategias educativas las que modularizan el cerebro, faci-litando o dificultando los aprendizajes matemáticos.

Veamos a continuación la posición de otros autores importante que han influído con su teoría al aprendizaje de las matemáticas:

2.1. El asociacionismo de Thorndike

A comienzos de siglo E.L. Thorndike inició una serie de investigaciones en edu-cación que caracterizarían con el paso del tiempo, a lo que se ha denominado como co-rriente conductista en educación matemática. Thorndike se interesó en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de respuestas satisfactorias. Ideó un tipo de entrena-miento en el que los vínculos establecidos entre los estímulos y las respuestas quedarían reforzados mediante ejercicios en los que se recompensaba el éxito obtenido.

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Por tanto, los programas para enseñar matemáticas podrían elaborarse sobre la base de estímulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados de este proceso se podrían objetivar en cambios observables de la conducta de los alumnos.

Thorndike sugirió cómo aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética afir-mando que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto determinado de vínculos que conformaban la disciplina a enseñar (lo hizo para la aritmética). Una vez formulados todos los vínculos, la práctica sujeta a recompensas, sería el medio para poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los alumnos.

La teoría de Thorndike significó un gran paso hacia la aplicación de la psicolo-gía a la enseñanza de las matemáticas, siendo su mayor contribución el centrar la aten-ción sobre el contenido del aprendizaje y en un contexto determinado como es la aritmé-tica.

2.2. El aprendizaje acumulativo de Gagné

En su teoría, las tareas más sencillas funcionan como elementos de las más com-plejas. Así al estar las tareas más complejas formadas por elementos identificables se posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo. De esta manera, para una deter-minada habilidad matemática, por ejemplo la suma de números enteros, el trabajo del psicólogo consiste en un análisis de las tareas que permite identificar los objetivos o habilidades elementales que constituyen otro más complejo, creando de este modo una jerarquía. Tal jerarquía del aprendizaje permite plantear objetivos perfectamente secuen-ciados desde una lógica disciplinar.

Sin embargo, la práctica educativa se centra, por lo tanto, en la ejecución y repe-tición de determinados ejercicios secuenciados, en pequeños pasos, que deben ser reali-zados individualmente y que más tarde se combinan con otros formando grandes unida-des de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matemática. No se presta im-portancia al significado durante la ejecución sino que se espera que sea al final de la secuencia, cuando el aprendiz adquiera la estructura que conforma la habilidad matemá-tica. Se presta importancia principal al producto, respuesta de los alumnos, y no al pro-ceso, cómo y por qué se ha dado la respuesta. En definitiva, existe poco o nulo interés en explorar las estructuras y los procesos cognitivos. La enseñanza programada, las fi-chas y las secuencias largas de objetivos y subobjetivos caracterizan la corriente más radical dentro del conductismo.

2.3. La teoría desarrollada por Jean Piaget

Cuando un individuo se enfrenta a una situación, en particular a un problema matemático, intenta asimilar dicha situación a esquemas cognitivos existentes. Es decir, intentar resolver tal problema mediante los conocimientos que ya posee y que se sitúan en esquemas conceptuales existentes. Como resultado de la asimilación, el esquema cognitivo existente se reconstruye o expande para acomodar la situación.

El binomio asimilación-acomodación produce en los individuos una reestructu-ración y reconstrucción de los esquemas cognitivos existentes. Estaríamos ante un aprendizaje significativo.

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Por otra parte, La abstracción reflexiva o reflectora es un término definido por Piaget y central en su teoría de la construcción del conocimiento. La abstracción reflexi-va conlleva dos momentos indisolubles: un proceso de reflexión, por ejemplo de la ac-ción física a la representación mental) y un producto de la reflexión, una ‘reflexión’ en el sentido mental, que permite una reorganización o reconstrucción cognitiva, sobre el nuevo plano de la que ha sido extraído del plano precedente. En el plano inferior las acciones y operaciones se realizan sobre objetos concretos, físicos o imaginados, mien-tras que en el plano superior las acciones y operaciones interiorizadas actúan sobre obje-tos abstractos y las coordina para formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos obje-tos. Tal reconstrucción conduce a un esquema cognitivo más general. Este proceso de abstracción a partir de objetos físicos es el proceso cognitivo por el que pasa el niño a la hora de aprender matemáticas. Lo veremos más adelante.

Piaget interpreta que todos los niños evolucionan a través de una secuencia orde-nada de estadios (los cuales los veremos también más adelante). La interpretación que realizan los sujetos sobre el mundo es cualitativamente distinta dentro de cada período, alcanzando su nivel máximo en la adolescencia y en la etapa adulta. Así, el conocimien-to del mundo que posee el niño cambia cuando lo hace la estructura cognitiva que so-porta dicha información. Es decir, el conocimiento no supone un fiel reflejo de la reali-dad hasta que el sujeto alcance el pensamiento formal.

El niño va comprendiendo progresivamente el mundo que le rodea del siguiente modo:

a) Mejorando su sensibilidad a las contradicciones. Hacia los 5 o 6 años sostiene que por una parte son todos iguales y por otra son diferentes, sin encontrar en esta afir-mación ninguna contradicción. Los niños desde aproximadamente los 7 hasta los 10 años, se dan cuenta de la contradicción que existe, pero tienen dificultades para expli-carla. A partir de los 11 años, no sólo se dan cuenta de la contradicción sino que señalan la necesidad de que los discos contiguos, aunque parezcan iguales, en realidad no lo son, y descubren que es la suma de esas diferencias imperceptibles, la que produce una diferencia perceptible entre los discos de los extremos.

b) Realizando operaciones mentales: Según Piaget, el niño hasta los 6/7 años no es capaz de realizar operaciones mentales, por esta razón, su mente opera de forma preoperacional.

c) Comprendiendo las transformaciones: La adquisición secuencial de las habili-dades de conservación se dan a los 5-7 años en la magnitud del número, a los 7-8 años la de sustancia (hasta los 7 u 8 años los niños suelen afirmar que la cantidad se ha modi-ficado en función de su ubicación espacial), a los 7-8 la de longitud, el área a los 8-9 años, el peso entre los 9-10 años (la conservación se da entre los 9-10 años) y el volu-men por último entre los 12 y 14 años.

d) Adquiriendo la noción de número. Un niño normal necesita alrededor de cin-co años (desde los 2 hasta los 7) para aprender a manejar coherentemente los números hasta el 9.

2.4. Procesamiento de la información.

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Frente a la teoría de Piaget sobre la forma en que las personas comprenden los conceptos, surge en la década de los setenta la teoría denominada procesamiento de la información.

La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la mente actúa (procesan) sobre los datos que proceden del entorno interno o externo (informa-ción). Toda la información es procesada por una serie de memorias, que procesan y al-macenan de forma distinta y que además están sujetas a determinadas limitaciones en su función. La combinación de tales memorias constituyen el sistema de procesamiento de la información.

La memoria o a corto plazo es aquella en la que se almacena temporalmente la información codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento activo de la información, es decir, donde se realiza el proceso de pensar.

Por último, se encuentra la memoria a largo plazo o semántica. En este compo-nente del sistema es donde se almacena todo el conocimiento, lo que sabe, el individuo de forma permanente.

2.5. La aportación de Bruner

Al igual que Piaget, Bruner aceptó la idea de Baldwin de que el desarrollo inte-lectual del ser humano está modelado por su pasado evolutivo y que el desarrollo inte-lectual avanza mediante una serie de acomodaciones en las que se integran esquemas o habilidades de orden inferior a fin de formar otros de orden superior.

La obra de Bruner ha ejercido una notable influencia en el campo de la enseñan-za/aprendizaje de las matemáticas.

3. DESARROLLO EVOLUTIVO

3.1. Procesos cognitivos

Los procesos cognitivos que son la base de la construcción del proceso matemá-tico son los siguientes principalmente:

ABSTRACCIÓN: El proceso de abstracción se ha aplicado de forma recurrente a lo largo de la historia de las matemáticas. Ésta sólo tiene sentido si la relacio-namos con el conteo. Los conocimientos matemáticos tienen la particulariedad de ser muy abstractos y desligados de representaciones perceptivamente más ricas y cotidianas. Se entiende como una representación ideal y que difícilmente pueden ser representado de forma tangible.

GENERALIZACIÓN: Es intrínseco a las matemáticas el hecho de buscar con-ceptos, leyes o teoremas lo más generales posibles. El proceso de generalización está muy ligado al de abstracción en la medida en que toda generalización supo-ne la abstracción de aquellas propiedades que subyacen a todos los casos a los que se extiende el concepto generalizado. La generalización es una simple exten-sión de un caso particular.

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LENGUAJE FORMAL: Las matemáticas emplean un lenguaje muy peculiar, compuesto por varios signos que van desde los más familiares (números) a otros que representan operaciones. El carácter abstracto y general de los conceptos matemáticos se perderían sin la formalización de los signos conllevan una serie de reglas. Mediante los signos los matemáticos consiguen una designación más precisa y clara del significado y una notable abreviación.

3.2. Procedimientos mentales

Los procedimientos mentales empleados por los niños para resolver los proble-mas verbales son:

a) Modelado directo con objetos físicos.b) Conteo verbal.c) Estrategias mentales, incluyendo el recuerdo directo de algunos hechos nu-méricos de adición y sustracción.

a) Las estrategias de modelado directo se apoyan en la utilización de objetos que sirven para representar directamente tanto las cantidades del problema como las accio-nes o relaciones descritas en el mismo. Se incluyen en esta categoría los procedimientos de:

- Añadir a- Quitar a- Contar todo- Emparejamiento

b) Los procedimientos que integran la categoría de conteo verbal se caracterizan por el uso de los numerales de la secuencia de conteo, sin la presencia de objetos físicos. Normalmente este modo de proceder implica una ejecución subvocal. Se incluyen los procedimientos de:

- Contar hacia delante a partir de…- Contar todo.

c) Dentro de las estrategias mentales se han identificado tres niveles evolutivos:

1. En la primera fase los niños descubren, en contextos significativos, modos de contar eficientes para abreviar o simplificar sus procesos espontáneos de solu-ción.

2. En la segunda fase los descubrimientos anteriores se organizan en estrategias de pensamiento para razonar sobre combinaciones de números desconocidas o no practicadas.

3. En la tercera fase del proceso de aprendizaje memorizan adiciones y sustraccio-nes de un solo dígito.

Para encuadrar estos procedimientos mentales que utilizan los niños para resol-ver problemas o entender mejor el proceso de adquisición de conceptos, debemos de atender a las etapas del desarrollo evolutivo del niño.

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3.3. Etapas o estadios de Piaget

El desarrollo evolutivo consiste en el paso por una serie de etapas o estadios. Según Piaget, cada una de las etapas por las que se pasa durante el desarrollo evolutivo está caracterizada por determinados rasgos y capacidades. Cada etapa incluye a las ante-riores y se alcanza en torno a unas determinadas edades más o menos similares para todos los sujetos normales. A grandes rasgos, las etapas que determinan el desarrollo evolutivo son las siguientes:

a) Período sensoriomotor (0-2 años).

En esta etapa se adquieren los primeros esquemas siempre limitados a experien-cias motoras y sensoriales.

b) Período preoperacional (2-7 años).

Se realizan las primeras inferencias lógicas y comienza el proceso de simboliza-ción, que consiste en traducir las experiencias a códigos mentales. La capacidad de ra-zonar está todavía muy limitada a cadenas sencillas. Otros rasgos de esta etapa son el marcado egocentrismo (dificultad para analizar la realidad desde otra realidad distinta de la personal), "centraje" (tendencia a considerar sólo los datos más relevantes) y falsa generalización (tendencia a generalizar a partir de casos particulares).

c) Período de las operaciones concretas (7-11).

Este período ha sido considerado algunas veces como una fase del anterior. En él, el niño hace uso de algunas comparaciones lógicas, como por ejemplo: la reversibili -dad y la seriación. La adquisición de estas operaciones lógicas surge de una repetición de interacciones concretas con las cosas, aclarando que la adquisición de estas operacio-nes se refiere sólo a objetos reales.

Con esta adquisición de las operaciones concretas, se produce una serie de modi-ficaciones en las concepciones que el niño tiene sobre las nociones de cantidad, espacio y tiempo, y abre paso en la mente del niño a las operaciones formales que rematan su desarrollo intelectual.

d) Período de operaciones formales (11-15).

En este periodo los niños comienzan a dominar las relaciones de proporcionali-dad y conservación. A su vez, sistematizan las operaciones concretas del anterior perio-do, y desarrollan las llamadas operaciones formales, las cuales no sólo se refieren a ob-jetos reales como la anterior, sino también a todos los objetivos posibles. Con estas ope-raciones y con el dominio del lenguaje que poseen en esta edad, son capaces de acceder al pensamiento abstracto, abriéndoseles las posibilidades perfectivas y críticas que faci-litan la razón.

A modo de resumen, para Piaget todo el proceso de desarrollo de la inteligencia está un proceso de estimulación entre los dos aspectos de la adaptación, que son: la asi-milación y la acomodación.

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3.4. Adquisición del conocimiento matemático:

Basándonos en los estadios evolutivos de Piaget, vamos a ver como se adquieren los conocimientos matemáticos en cada uno de ellos:

a) Período sensoriomotor 0-2 años (Fase preconceptual).

A esta edad se desarrollan las capacidades de percepción del niño. El niño co-mienza a adquirir los conocimientos lógicos-matemáticos mediante el dominio verbal de los nombres de los objetos, manipulándolos, desplazándolos entre ellos. Percibe y expe-rimenta las propiedades relativas al color, forma, tamaño, textura, sabor, olor... Comien-za a conocer los objetos de acuerdo a estas cualidades, según sus aspectos perceptivos y espaciales.

Los bebés de 5 meses poseen una buena capacidad para discriminar conjuntos de dos o tres ítems, pero esto no implica que los niños sean conscientes de las relaciones matemáticas básicas entre los conjuntos. Entre los 10 y 12 meses de edad, los bebés a veces son capaces de distinguir entre conjuntos de tres y cuatro ítems pero no pueden distinguir entre conjuntos de cuatro o cinco ítems o entre conjuntos de cuatro y seis íte-ms. Esto señala que los niños nacen con competencia numérica.

B1) Período preoperacional 2-6 años (Fase conceptual).

A la edad de 2 años se desarrolla la capacidad de reconstrucción de imágenes espaciales, aunque será perfeccionada a partir de los 7 años (período de operaciones concretas). En esta etapa se trata del aprendizaje de las matemáticas antes de la escuela. Al hablar de pensamiento matemático antes de la escuela, nos estamos refiriendo de forma genérica al pensamiento de niños menores de 6 años. Durante estos primeros años, todos los niños desarrollan una serie de conocimientos matemáticos básicos que les permite dar respuestas bastantes adecuadas a toda una gama de situaciones en las que la información numérica y geométrica es relevante. En el desarrollo infantil, las palabras relativas a los números se usan poco después de que el niño comienza a hablar. No obstante el uso de palabras numéricas es “repetir como un loro”, y resulta difícil determinar qué significa en realidad un número para el niño y cuándo lo utiliza de modo significativo.

Los niños muestran una serie de destrezas numéricas antes de contar. Desde muy pronto son sensibles a la percepción de la “numerosidad”, siendo capaces de diferenciar pequeñas colecciones que difieren en su número de elementos.

En problemas numéricos complejos, los niños de edad preescolar son capaces de desplegar una serie de estrategias en las que descomponen o componen un número en algunos de sus componentes.

En lo que se refiere a los conocimientos sobre notación matemática, los niños muestran también el conocimiento que tienen de las cualidades formales de la notación numérica en edad preescolar.

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En el ámbito geométrico, los conocimientos que muestran son: diferenciar figu-ras abiertas de figuras cerradas, sensibilidad a la relación de proximidad (lejos/cerca) o distinción entre elementos internos y externos de una figura.

Otros más complejos son el fruto de abstracción y generalización y se adquieren a través de actividades espontáneas que los niños realizan en contextos de juego y ex-ploración.

En lo que respecta a las estructuras multiplicativas, antes de que los niños sean instruidos en estas operaciones, son capaces de resolver problemas verbales de multipli-cación y división de manera informal. Los niños tienden a representar la acción o rela-ción presentes en el enunciado, al igual que en los problemas verbales de adición y sus-tracción. Finalmente, la utilización de hechos numéricos es posterior, evolutivamente hablando, a las estrategias basadas en el conteo, ya sea concreto o abstracto. Se desarro-llan a partir de la experiencia de los niños con la aplicación repetida de los procedimien-tos de conteo en situaciones multiplicativas.

Veamos más detenidamente las capacidades por edades:

2.5 años. Es capaz de organizar el espacio situando y desplazando en él los obje-tos (dentro/fuera, encima/debajo, delante/detrás, arriba/abajo). Descubre propie-dades físicas de los objetos que manipula: longitud, distancia, cantidad, pero todavía envueltas en las cualidades perceptivas de los objetos.

3 años. Compara los objetos en función de las cualidades físicas (forma, tamaño, color). Discrimina en virtud de la percepción de las semejanzas-diferencias (ej. Los dos son círculos, pero uno es rojo y el otro azul) lo que le posibilitará agru-par en función de un criterio. Son capaces de utilizar diferentes formas de eti-quetado para diferenciar colecciones numéricas de pocos elementos (hasta 3). También son capaces de detectar una correspondencia numérica entre una serie de elementos visibles y una serie de estímulos auditivos.

3.5 años. Agrupa los objetos en función de uno o varios criterios combinados. Puede contrastar magnitudes, esto es, comparar entre dimensiones distintas de dos objetos (longitud/cantidad, volumen/cantidad, peso/cantidad) y estimar a partir de una la cantidad de la otra (p.ej. si el collar es más largo tendrá más bo-las). Es capaz de ordenar en el tiempo y paulatinamente de abstraer la cualidad de la percepción del objeto, y por tanto, de coleccionar. En virtud de la compara-ción término a término que encuentra entre los componentes de las colecciones comienza a establecer correspondencias. Engloba aspectos de tipo espacial, cuantificación y semejanza/diferencia. Se trata de una etapa caracterizada por la manipulación.

4 años. El niño ordena los objetos atendiendo a sus cualidades físicas. Se trata de una ordenación serial cualitativa de diferencias como sucesiones que cambian alternativamente y dan lugar a series repetitivas. También compara y explora las magnitudes de los objetos que componen las colecciones lo que le permite nue-vas formas de agrupamiento. El niño va haciendo equivalencias. Presentan cono-cimientos sobre el conteo basados en una serie de principios numéricos. Estos conocimientos permiten a los niños pequeños iniciarse en una serie de procedi-

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mientos de tipo numérico que suponen un cierto grado de abstracción pues todas las entidades concretas, por diferentes que sean, pueden ser el soporte del con-teo. Un niño promedio de 4 años puede contar de dos a tres entre varios objetos A esta edad se trabajan también aspectos como la pertenencia o el tiempo.

4.5 años. El niño logra representar las secuencias aprendidas en la etapa anterior. Es una etapa marcada por la adquisición del orden, la equivalencia, la concep-tualización. La comparación de magnitudes discretas desiguales conduce a su clasificación en orden creciente o decreciente. Se trata de una progresión serial. Ahora se trata de una sucesión cuantitativa y no cualitativa. Se necesita una apreciación numérica de la cantidad para su realización. Es capaz de ponderar, de apreciar el peso por claves internas, cinestésicas.

5 años. Objetiva el tiempo, es decir, se refiere a períodos de tiempo usuales para referirse a lapsos tiempo (ayer, mañana, hoy). Alrededor de los 5 o 6 años los niños pueden trabajar con una sola cantidad. Este conocimiento basta para resol-ver los problemas de cambio más sencillos (problemas que introducen modifica-ciones en la cantidad inicial), los de adición en los que la incógnita se sitúa en el resultado. Por el contrario, este nivel de conocimiento no les permite resolver los de combinación, ni los de comparación, dado que estos demandan comparación simultánea de dos cantidades. El niño promedio de 5 años puede contar de cua-tro a seis. Hacia los 5.5 años el niño es capaz de contar, de verbalizar lo anterior.

6 años. Puede organizar los objetos sobre la base de una relación numérica: pue-de medir. Esta medida es una equivalencia entre continente y contenido. Las nociones de área y longitud son las primeras en desarrollarse, y que éstas tienen lugar hacia los 6 o 7 años simultáneamente. Entre los 6 y 7 años relacionan de manera causal el cambio que se produce en el conjunto inicial y la acción que lo provoca. Ahora son capaces de estimar la dirección del cambio (incremento o decremento) y de relacionarla con las operaciones aritméticas de adición y sus-tracción. El niño promedio de 6 puede contar doce. La lógica del niño es capaz de resolver problemas de cierta complejidad (6.5 años).

Los niños logran a los 6 años aproximadamente a usar los números naturales para comparar los tamaños.

Por otra parte, para comprender verdaderamente los números naturales y saber-los aplicar se precisa tanto de su faceta cardinal como ordinal, amén de la nece-saria relación entre ambas. Tal comprensión se alcanza al mismo tiempo que se desarrollan otras muchas operaciones lógicas; por término medio entre los 6 y los 8 años de edad. Entre los 5 y los 8 años, el niño medio está comenzando a desarrollar la facultad de razonar coherentemente por referencia a números, en lugar de por referencia a colecciones particulares de objetos.

B2) Período de las operaciones concretas (7-12 años).

Es el momento en el que el niño comienza a superar algunas características del período anterior, como el egocentrismo, la centración. Aunque su razonamiento se en-cuentra muy ligado a la manipulación y recuerdo de operaciones realizadas con objetos reales.

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Ya son capaces de manejar símbolos y signos, de aprender códigos numéricos.

En torno a los 7 u 8 años han adquirido el esquema parte-parte-todo que los ca-pacita para manejar una situación estática en la que tienen que imponer ellos mismos una estructura sobre la situación descrita en el problema verbal. Por ello, resuelven pro-blemas de cambio con la incógnita en el primer término. El niño comienza a aprender la idea de la conservación de masa (sustancia).

A los 8-10 años, el niño es capaz de proceder de modo calculado con respecto al proceso de medida. Hasta ahora el desarrollo del proceso de medida ha estado caracteri-zado por un proceder por tanteos, a base de ensayo y error. Es el período en el que utili -za el código numérico con dominio suficiente para representar realidades físicas, su comparación, su cuantificación mediante signos espaciales o gráficos, es decir, la geo-metría, el sistema métrico decimal y la representación gráfica de datos.

Adquiere la idea de peso hacia los 9-10 años.

A partir de los 9 o 10 años los niños disponen de los esquemas necesarios para solucionar los diferentes problemas de comparación. En este último ciclo el niño pasa a construir abstracciones, aunque todavía tienen su origen las experiencias anteriores. Se adquiere la madurez en las operaciones matemáticas, en el cálculo, en la numeración, en la representación gráfica, en la interpretación de datos numéricos, las distintas magnitu-des físicas de los objetos y sus equivalencias.

c) Período de las operaciones formales, a partir de los 12 años.

El adolescente razona de modo distinto al niño del período de las operaciones concretas, el lenguaje adquiere gran importancia, el niño necesita tener la capacidad de formular proposiciones verbales o en lenguajes abstractos.

Es el período no sólo de resolución de problemas matemáticos, sino del dominio de los esquemas operacionales formales como: la combinatoria, las proposiciones, no-ción de correlación. En este período es cuando el alumno es capaz de alcanzar la noción de conservación de volumen, una vez alcanzadas las de peso o sustancia. El adolescente puede ir induciendo leyes físicas mediante eliminación de contracciones, la exclusión de factores, la disociación de factores, operaciones de implicación recíproca, disyunciones.

Hacia los 11 o 12 años el niño llega a la etapa de pensamiento operacional for-mal, en la que el niño ha alcanzado una comprensión plenamente operativa de las nocio-nes de medida. El niño es capaz de medir áreas y volúmenes mediante cálculos basados en las dimensiones lineales, pero Piaget sostiene que las nociones de medida no podrán llegar a ser plenamente operativas en tanto no se hayan desarrollado los conceptos de infinitud y de continuo.

4. DIAGNÓSTICO DE LOS TRASTORNOS O DISFUNCIONES Y LAS DIFI-CULTADES DE APRENDIZAJE

4.1. Errores más comunes que comete el escolar

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Estudiemos a continuación algunos de los defectos más frecuentes que se obser-van en el escolar en su contacto con la Matemática.

Automatización prematura de soluciones: El niño, en su necesidad de acción, tiende a adquirir las reglas que le permiten actuar antes de captar el contenido del proceso que se está desarrollando, tratando de llegar cuanto antes a la “fór-mula” que permita efectuar aplicaciones a casos concretos. El mejor modo de evitar esta tendencia, es consiguiendo que la acción del niño se desarrolle en el proceso mismo de captación del contenido del proceso. Una vez captado por el alumno el contenido del proceso, es cuando puede condensarse éste, mediante la regla o fórmula.

Falta de rigor en su léxico: Una vez captado el contenido del proceso, se obser-va a menudo su dificultad de expresar el resultado obtenido, aún cuando estamos seguros de que la idea ha sido captada correctamente. Es muy difícil expresarse satisfactoriamente cuando apenas se domina el lenguaje.Para evitar este defecto conviene que el alumno se acostumbre a expresar fielmente su pensamiento, provocando múltiples situaciones en que el niño haya de expresar la idea que desea, acostumbrándose así a buscar las palabras adecuadas a tal fin. En ningún momento debe ridiculizarse este defecto de expresión del niño, sino tratar, con una crítica suave y persuasiva, de conseguir la autocorrección y perfecciona-miento del propio alumno.

Tendencia a memorizar definiciones: Por esta escasez de vocabulario en el niño a que acabamos de aludir, se observa a menudo cierta tendencia a memorizar las definiciones de los conceptos que maneja y de esta manera no atiende a lo que está diciendo. Para evitar este frecuente error ha de procurarse que el niño inten-te construir la definición del concepto que ya posee, para después comparar am-bas definiciones, lo que le ayudará a incrementar a veces su léxico. No debe exi -girse al niño que sea capaz de repetir en cualquier momento una definición, pues ello podría conducir a su memorización automática.

Errores de tipo aritmético y algebraico: Si el niño comienza a manejar conjun-tos después de conocer la numeración, es frecuente que repita un elemento, a, por ejemplo, al construir un conjunto infinito, lo que carece de sentido, o escriba 2ª, por ejemplo, lo que tampoco significa nada, si los elementos del conjunto no son números. Esto se presenta frecuentemente al construir la unión de dos con-juntos no disjuntos, con el elemento a común, por ejemplo. Este error se evita si se presentan las operaciones conjuntistas simples antes que la numeración, como es natural. Tengamos en cuenta que la humanidad llegó al concepto de número al considerar conjuntos equipotentes, y al de suma a partir de la unión de conjun-tos disjuntos. Al iniciarse en la numeración, el niño puede mecanizar la escritura de números de varias cifras sin haber captado el significado del valor relativo de una cifra de nuestro sistema de numeración. Al iniciarse en cada una de las ope-raciones fundamentales de la aritmética, puede mecanizar la técnica de la opera-ción sin haber intuido previamente la justificación de dicho mecanismo. Para evitarlo no deben proponerse ejercicios de tales operaciones hasta no dominar la justificación de dicho mecanismo, a lo que se llega mediante sucesiva considera-ción de situaciones simples que llevan a su descubrimiento. Al comenzar a ma-nejar las funciones de proporcionalidad directa e inversa, el escolar suele tomar

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toda función creciente por función de proporcionalidad directa y toda función decreciente por función de proporcionalidad inversa. Para evitarlo pueden efec-tuarse las presentaciones gráficas.

Errores de tipo geométrico y topológico: Una tendencia frecuente en el niño al dibujar una figura es la regularización. Cuando se pide a un escolar que dibuje un triángulo, lo construye equilátero. Si se pide que dibuje un cuadrilátero, suele construir un cuadrado, es decir, el cuadrilátero regular. Para evitarlo debe acos-tumbrarse al niño a dibujar un triángulo escaleno, por ejemplo, como modelo general de triángulo. Las propiedades específicas del cuadrado, por ejemplo, son más complejas, y por tanto se han de estudiar después que las propiedades váli-das para todos los cuadriláteros. Al iniciarse al escolar en el sistema métrico decimal puede memorizar mecánicamente los cambios de unidad, sin tomar con-ciencia de lo que estas unidades significan intuitivamente en el mundo real. Es conveniente que el niño maneje estas unidades, realizando medidas experimenta-les de objetos para él interesantes, hasta llegar a familiarizarse con ellas y poder calcular intuitivamente la medida de un objeto sin cometer errores sucesivos.

4.2. Las dificultades en la adquisición del cálculo

4.2.1. Definición y clases de discalculia

Existe una tradición importante en el estudio de las dificultades de adquisición del número y de las operaciones básicas que con él se realizan, que se han venido a agrupar bajo la etiqueta común de la discalculia.

El diagnóstico según el DSM-IV (APA, 1994) – Incluye el trastorno del cálculo con los siguientes criterios:

A. La capacidad para el cálculo, evaluada mediante pruebas normalizadas admi-nistradas individualmente, se sitúa por debajo de la esperada dados la edad cronológica del sujeto, su coeficiente de inteligencia y la escolaridad propia de su edad.

B. El trastorno del Criterio A interfiere significativamente el rendimiento acadé-mico o las actividades de la vida cotidiana que requieren capacidad para el cálculo.

C. Si hay un déficit sensorial las dificultades para el rendimiento en cálculo exceden de las habituales asociadas a él.

Además hay que apuntar los subtipos de trastornos del cálculo. Según KOSC (1974) se distinguen los siguientes tipos de discalculia:

1. Verbal: dificultades para entender conceptos y relaciones matemáticos pre-sentados verbalmente.

2. Pratognóstica: alteraciones en la capacidad de manipulación de objetos, tal como se necesita para comparar tamaños, cantidad, etc.

3. Léxica: dificultad para leer símbolos matemáticos o números.

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4. Gráfica: dificultad para escribir símbolos y números matemáticos.

5. Ideognóstica: dificultad para entender conceptos y relaciones matemáticos, así como para hacer cálculos mentales.

6. Operacional: dificultad para realizar las operaciones matemáticas requeridas.

Sin embargo, las dificultades de aprendizaje a las que la escuela ha de responder van más allá de la concepción estrecha acerca de lo que es la discalculia.

4.2.2 Causas de la discalculia

Frente a los planteamientos que atribuyen la causa principal del cálculo a la falta de práctica, varias han sido las perspectivas que han aportado sus posicionamientos al respecto.

Para los enfoques piagetianos la deficiencia principal estaría en el desarrollo insuficiente de las habilidades prerrequisito como las nociones de clasificación, seria-ción y término a término entre otras.

En las investigaciones de corte neuropsicológica han sido de gran aceptación las explicaciones basadas en las dificultades visomotoras, lo que explicaría la confusión entre le 6 y el 9.

Otra explicación de corte neurológico, se basaría en la distinción entre habilida-des verbales y habilidades visuales y manipulativas. Estaría un grupo de niños con défi-cit específicos de aritmética, cuya raíz estaría en una afectación cerebral en las áreas relacionadas con lo manipulativo. Ello habría impedido la experimentación individual necesaria con los objetos de la realidad para construir las operaciones descritas por Pia-get como esenciales para el desarrollo del número. Otros autores describen a los niños con déficit específico de tipo aritmético como niños con problemas para desenvolverse en situaciones nuevas, con dificultades en el ámbito psicomotor grueso; muy hablado-res, incluso con exageración y de forma inapropiada a menudo y con dificultades en la escritura.

También hay que tener en cuenta las dificultades relacionadas con la memoria, la atención y el autocontrol, la percepción, el lenguaje, la audición, el razonamiento y el desarrollo motor. Todo ello son procesos que influyen en las habilidades aritméticas.

4.2.3. Acalculia

Acalculia es un “desorden adquirido del cálculo que resulta de un daño cerebral sufrido después de que las habilidades aritméticas se hayan dominado”. Kosc usa la acalculia como un término global para referirse aun fracaso completo de capacidades matemáticas. Benton no incluye el aspecto adquirido en su definición de acalculia y la restringe a deterioros con operaciones de números.

Los autores consideraron dos tipos de acalculia: una primaria y otra secundaria:

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1. Acalculia primaria: un déficit en el cálculo no achacable a otros trastornos.

2. Acalculia secundaria: resultado de alteraciones de otro tipo que acaban influ-yendo en esta área.

4.3. La evaluación del alumno

En un primer momento, la evaluación debe estar centrada en objetivar y concre-tar los objetivos curriculares matemáticos que presentan dificultades para el alumno. La fuente más importante de documentación para diseñar esta valoración debe ser el currí-culum de Primaria, así como sus concreciones en el Proyecto Curricular de Centro y en la Programación de Aula. Además de esta referencia, la literatura clásica nos aporta algunas baterías de evaluación cualitativa que tiene la virtud de ser exhaustivas y senci-llez como la que mostramos a continuación:

VALORACIÓN DE LOS COMPONENTES SIMBÓLICOS:

- Valoración cuantitativa de números presentados oralmente (decir si es mayor 8 o 12, por ejemplo)

- Valoración cuantitativa de números presentados visualmente.- Leer números en vos alta.- Indicar números escritos que son leídos por el examinador.- Diferenciación de números simétricos.- Escribir números al dictado.- Escribir números, copiándolos

EVALUACIÓN DEL CONTEO:

- Contar en voz alta:; 1 al 20, del 20 al 1, y del 1 a 20 de 2 en 2.- Valoración del número de elementos contenidos en series continuas y disconti-

nuas.

CÁLCULO:

- Cálculo aritmético oral sencillo.- Cálculo aritmético oral complejo, con operaciones que para ser realizadas men-

talmente deben ser descompuestas (31-7=(30+1)-7=(30-7)+1=23+1=24)- Cálculo aritmético escrito con colocación vertical, con llevadas y sin ellas.- Cálculo aritmético escrito con colocación horizontal, con llevadas y sin ellas.- Reconocimiento de las relaciones representadas por símbolos matemáticos (por

ejemplo, pedir que resuelva las operaciones 8+2 ó 8-2; o bien 8 ¿ 2=10).

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

- Resolución de problemas matemáticos sencillos de distinto tipo. Ej: Pedro tiene 5 caramelos y María le da 2 más, ¿cuántos tiene ahora? (unión).

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También disponemos, para este primer momento, de algunas pruebas objetivas estandarizadas en castellano que proporcionan una comparación con un grupo normati-vo de la que se carece en los ejercicios anteriores:

1) Subescala de Aritmética del WISC-R (Weschler, 1995): incluye actividades de conteo y añadido y eliminación de objetos concretos en los ítems para 6 y 7 años, y problemas aritméticos leídos y presentados oralmente a partir de los 8.

2) Subescala de Conceptos Cuantitativos del Test de Aptitudes Cognoscitivas (Thorndike, hagen y Lorge, 1982): evalúa relaciones y conceptos cuantitativos a través de comparaciones numéricas, conteo de puntos, pequeñas sumas y restas y problemas, etc.

3) Test de Aptitudes Escolares (TEA) (Seisdedos, De la Cruz, Cordero y Gonzá-lez, 1987): incluye sumas, series numéricas, escritura de números letras, conceptos de tiempo y peso, números romanos, decimales y fracciones. Abarca desde 3º de Primaria a 3º de ESO.

4) Test de Monedas de Aptitudes Numéricas (Seisdedos, 1980): evalúa relacio-nes cuantitativas y operaciones aritméticas a través de problemas relacionados con el manejo de monedas, para el mismo abanico de edad que el TEA.

Sin embargo, estos test son de escasa utilidad para un segundo momento de eva-luación de los procesos y conocimientos implicados en las dificultades concretas del alumno. He aquí algunos aspectos que pueden resultar de interés evaluar en las dificul-tades de cálculo y numeración, con pistas acerca de algunos procedimientos para hacer-lo:

1) Aspectos emocionales y motivacionales. Estaríamos evaluando el impacto de cuestiones motivacionales sobre la ejecución matemática.

2) Procesos metacognitivos: Un problema frecuente es la pérdida del objetivo de la tarea, de manera que habrá que emplear todo tipo de “pistas” verbales y escritas para obligar al recuerdo del mismo. En otros casos, no se evalúan las implicaciones de la acción emprendida; un modo de hacerlo es contextualizar la operación en un problema concreto y evaluar la solución. En otros momentos, el pedir al niño que cuente en cada momento lo que está haciendo sirve para supervisar el proceso de ejecución.

3) Conocimientos declarativos sobre las Matemáticas: Usando ábacos podemos evaluar la comprensión del valor posicional de las cifras (1.003). En la suma y en la resta, el empleo de material manipulativo puede servir para evaluar si existe una com-prensión del significado de las operaciones.

4) Conocimiento procedimental: Recogemos una muestra suficientemente varia-da de las operaciones del alumno, dejarle trabajar sin influir, y buscar los posibles mo-delos erróneos utilizados.

5) La medición del lenguaje en la actividad matemática: Para comprobar si las dificultades se deben a dificultades lingüísticas puede ser de utilidad variar el modo de

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representación de los enunciados de los problemas (oral o gráfico) y/o simplificar el vocabulario y estructura de las frases empleadas.

6) La ausencia de conceptos básicos. Las pruebas ideadas por Piaget y sus cola-boradores (Piaget y Szeminska, 1967) o pruebas estandarizadas desarrolladas para la evaluación de conceptos básicos pueden ser útiles para ello.

5. INTERVENCIÓN

5.1. Recomendaciones generales

Las estrategias y actividades para la intervención resultan muy diversas, de ma-nera que indicamos algunas recomendaciones de carácter general:

a) Analícense con cuidado los prerrequisitos de la tarea en cuestión. Las mate-máticas constituyen un sistema jerárquico, en el que los prerrequisitos de ciertos conoci-mientos y destrezas están claramente delimitados.

b) Ello no impide adecuar, sin embargo, la secuencia a las necesidades y carac-terísticas de los alumnos.

c) Se debe ayudar a los alumnos a identificar cuándo deben usarse los procedi-mientos que están aprendiendo, integrándolos con lo que ya conocen.

d) Hágase un énfasis especial en el desarrollo de procedimientos de autocontrol.

e) Desarrolle una base sólida antes de introducir los símbolos, estructurando las experiencias informales de cálculo para fomentar el aprendizaje por descubrimiento.

Además de estas recomendaciones generales, cabe destacar algunas indicaciones más de carácter global.

Una guarda relación con la utilidad de la mediación verbal, el apoyo visual o el apoyo táctil para el alumno que ha demostrado beneficiarse específicamente de alguna de estas vías. Así, por ejemplo, para los niños con un aprendizaje “oral”, las instruccio-nes verbales deben preceder todas las acciones y demostraciones, manteniendo este es-fuerzo verbal a lo largo de toda la tarea. Para los alumnos que se aprovechan del apoyo visual o táctil el procedimiento será el mismo. Se comenzarán las instrucciones con la vía correspondiente y se seguirá el ejercicio con refuerzos de ese tipo.

Otro eje que trasciende a las diversas intervenciones es el empleo de materiales concretos, procediendo al manejo de objetos hasta su simbolización matemática, si-guiendo una secuencia de pasos.

5.2. Modelos y actividades para la intervención

Entre los enfoques tradicionales, están los basados en el enfoque piagetiano del desarrollo del número. Las actividades se centran en favorecer los prerrequisitos opera-cionales básicos. Incluimos a continuación algunos ejercicios de este enfoque:

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NOCIONES DE CONSERVACIÓN:

- Actividades de conservación de sustancia con plastilina.- Ídem con arenilla o líquidos.- Con objetos contables o material discontinuo. Por ejemplo, hacer collares y

con igual/distintas cuentas y comparar sus longitudes.

SERIACIONES:

- Ordenar objetos según criterio (ej.: niños de la clase por estatura).- Alternar los objetos según criterio. Pueden ser de carácter psicomotriz (alter-

nar a los niños de la clase haciendo un tren, en el que se sitúen alternativa-mente niños y niñas) o con objetos (alternar cuentas de colores de un collar). Finalmente estas series pueden combinarse con series numéricas.

- Ordenar objetos, sustituyéndolos por símbolos.- Ordenar objetos de modos diferentes (p. Ej. , barajas de cartas).- Presentar series y que el niño las complete o encaje elementos en ellas.- Ordenar objetos de dos en dos.- Proponer que se busquen objetos que siguen o anteceden a uno dado en una

serie (p. Ej: “busca una canica más grande que ésta y otra más pequeña que ésta”.

- Seriaciones paralelas: en este caso se trata de poner en relación dos series que se hayan elaborado de modo independiente (p. ej., tras ordenar las cani-cas de una serie de más pequeñas a más grandes, se le asocian los aros de otra serie que también se ha ordenado de menor a mayor).

CORRESPONDENCIA TÉRMINO-A-TÉRMINO:

- Aparear objetos: indios y caballos, niños y caramelos, dedales y dedos, etc.- Aprovechar actividades cotidianas, como el emparejamiento de niños y per-

chas, discutiendo si sobran o faltan.- El juego de la silla vacía.- Partir de montones de materiales desordenados, intentar que cada niño se

haga para sí un montón con el mismo número de elementos que los demás.

CLASIFICACIÓN:

- Clasificar materiales de trabajo del aula, tanto para una actividad real como ene l marco de un juego (ordenar los materiales de la clase como si fuera una tienda)

- Clasificar bloques lógicos.- Actividades verbales de clasificación.

Desde la perspectiva cognitivo-conductual, se propone la utilización de las au-toinstrucciones. El esquema de intervención en este caso es el típico de cualquier trata-miento basado en autoverbalizaciones: 2) actuación del profesor primero como modelo, dándose a sí mismo las instrucciones que luego el niño ha de imitar; 2) actuación con-junta de ambos; 3) el niño se autoinstruye en voz alta; 4) luego susurrando y 5) final-

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mente en silencio. A continuación vemos cuales son las instrucciones a emplear en un ejercicio de suma:

1. ¿Cómo he de empezar? He de pensar en lo que tengo que hacer. He de recordar ha-blarme a sí mismo. Necesito trabajar despacio y con cuidado y comprobar mi trabajo.2. ¿Qué tipo de operación matemática es ésta? Es un problema de suma. Puedo saberlo por el signo. Sé cómo empezar problemas de suma. Puedo empezar ya.3. ¿Qué tengo que hacer para sumar? He de empezar por el número superior de la co-lumna de las unidades.4. ¿Qué tengo que hacer después? Tengo dos números, tengo que guardar las decenas.5. ¿Ahora qué tengo que sumar? He de sumar la columna de las decenas.6. ¿Es correcta la respuesta? Es necesario que la compruebe.7. Es correcta, lo estoy haciendo bien.

Dentro de la concepción sociocognitiva se encuentra el uso frecuente del juego, actividades significativas y resolución de problemas, seguidas siempre de una reflexión sobre el modo de actuar, los procedimientos seguidos y las limitaciones encontradas.

Pasamos a enumerar algunas recomendaciones, recordando que estas actividades se deben realizar de forma reflexiva, promoviendo la discusión de los niños entre ellos y con el profesor.

a) La identificación y escritura de cifras y símbolos matemáticos básicos. La intervención debe en destacar las características distintivas de los signos, señalando la orientación como factor de diferenciación entre ellos, promoviendo además el desarrollo de un plan motor. Estos planes motores deben ser ensayados repetidamente.

b) Habilidades de conteo y generación de una serie numérica: El contar un grupo de objetos a partir de objetos requiere el dominio de diferentes reglas, pudiendo darse los siguientes errores: errores de secuencia, de partición o de coordinación. Las reco-mendaciones incluyen la enseñanza sistemática de los diferentes principios del conteo, a partir de experiencias concretas y en el marco de actividades interesantes.

c) Las operaciones básicas, pueden beneficiarse del empleo de las estrategias no formales de los niños, como pueden ser los juegos de cartas o el dominó. Los juegos basados en dados también pueden ser útiles. La enseñanza de los algoritmos está tradi-cionalmente ligada a la del valor posicional de las cifras. Este se ha introducido con actividades manipulativas a base de “paquetes” de unidades, que conforman decenas las que a su vez son integradas en paquetes de diez para formar centenas. El recuerdo de las combinaciones numéricas básicas (“las tablas”) deben estimular la búsqueda de relacio-nes entre parejas de números, llamando la atención sobre las combinaciones más senci-llas, como son las del cero, del uno y del dos, las dobles y las del diez.

d) La habilidad del cálculo estimativo, aunque no constituyen un contenido muy extendido en la escuela, tiene valor ecológico y resulta útil para que el niño pueda eva-luar los propios resultados de sus operaciones. Algunas estrategias pueden ser redondear el resultado, calcular el término medio o elegir los sumandos que más aportan al resulta-do final.

5.3. El empleo de las nuevas tecnologías

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El instrumento tecnológico más elemental es la calculadora. Aunque de uso ven-tajoso en la resolución de problemas, su empleo en el marco de la enseñanza del cálculo ha de ser valorado con cuidado. Una ventaja es que posibilita la autoevaluación al alumno y permite un aprendizaje más complejo aún cuando ciertos automatismos no hayan sido alcanzados.

Junto a la calculadora, el educador cuenta con infinidad de programas de orde-nador adaptados a todas las edades.

6. BIBLIOGRAFÍA

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Dickson, L., Brown, M., Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemáticas. Ed. La-bor S.A. Barcelona.

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7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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