Teoriadeconjuntos

Escuela de Diseño Gráfico Matemática

1


2

TEORÍA DE CONJUNTOS

La idea o concepto de conjunto es muy antigua e intuitiva por tanto podemos decir que un conjunto es

un grupo o colección de objetos bien definidos de tal forma que se puede afirmar con certeza si

cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.

Podemos ejemplificar un conjunto de la siguiente forma: los miembros de una familia, una colección de

objetos, un equipo de fútbol, una plantilla o un rebaño de ovejas, los pasajeros de un autobús etc.

● Los conjuntos se designan por letras mayúsculas (A, B, C,…Z)

● Los elementos con las letras minúsculas (a, b, c,…z), números (1, 2, 3, 4,…).

● El contenido de los conjuntos se escribe dentro de los signos de agrupación como son las llaves { }.

● Cada uno de los objetos denominados elementos se separan por medio de una coma.

Ejemplos:

A= {Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto, Fausto…}

B= {1, 2, 3, 4, 5, …}

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA ( , )

Los objetos que forman parte del conjunto se denominan elementos. Si un elemento forma parte de un

conjunto se dice que el elemento pertenece () al conjunto. Si el elemento no forma parte del

conjunto, se dice que no pertenece () al conjunto. Es decir:

Si x es un elemento del conjunto A, se escribe x A que se lee “x pertenece a A” o “ x es

elemento de A”.

Si x no es elemento del conjunto A, se denota x A, que se lee “ x no pertenece a A” o “ no es

elemento de A”

FORMAS DE DETERMINAR UN CONJUNTO

Para determinar un conjunto contamos con dos formas, por extensión y por comprensión.

Decimos que un conjunto está definido por compresión, si sus elementos se describen a través de

propiedades que tienen en común.

Un conjunto está definido por extensión, si se enumeran sus elementos.


3

Ejemplo:

A = {x / x es un número obtenido al lanzar un dado corriente} es un conjunto definido por comprensión

ya que sus elementos “x” se describen a través de la propiedad “es un número obtenido al lanzar un

dado corriente”. Esa expresión se lee: “A es el conjunto formado por todos aquellos números que se

obtengan al lanzar un dado”.

El conjunto A expresado por extensión, es A = {1,2,3,4,5,6}.

Ejemplo: Analiza con detenimiento cada uno de los conjuntos siguientes

Por comprensión Lectura Por extensión

B = {x / x N, x | 6 } “B es el conjunto de todos los números naturales que sean

divisores de 6” B = {1,2,3,6 }

C = { x / x N, 6 | x, x ≤ 12}

“C es el conjunto de los números naturales divisibles por 6 que

sean menores o iguales que 12”, o bien, “C es el conjunto de

los múltiplos de 6 que sean menores o iguales que 12”

C = {6, 12 }

D = { x R / x2 – 3 x = 0} “D es el conjunto de los números reales que sean raíces de la

ecuación x 2 – 3 x = 0 ” D = {0,3}

E = { x N / x = 2n, nϵ Z }

“E es el conjunto de los números naturales que se obtengan

de multiplicar 2 por un número entero ”, o bien, “E es el

conjunto de los números naturales que sean múltiplos de 2 ”

E = {2,4,6,...}

F = { x R / x2 = x} “F es el conjunto de todos los números reales que coincidan

con su cuadrado” F = {0,1}

Ejercicios propuestos

A. Escriba los siguientes conjuntos por comprensión y por extensión.

1) El conjunto F, formado por los nombres de los colores de la bandera del Ecuador.

2) El conjunto G, formado por los nombres de los dedos de la mano del cuerpo humano.

3) El conjunto H, formado por los nombres de los átomos que intervienen en la molécula del agua.

4) El conjunto I, formado por las estaciones del año.

5) El conjunto de los números enteros que cumplen la desigualdad – 7 ≤ x < 2

B. Escribe cómo leerías cada uno de los conjuntos dados a continuación, y exprésalos por extensión:

1) A = {x / x es una vocal del abecedario castellano}

2) B = {x / x es una letra de la palabra PERIÓDICO}


4

3) C = { x / x N, x < 10, x es un número primo}

4) D = {x N / x = 2n + 1, n Z}

5) E = {x Z / x = 3n, n Z}

6) F = {x R / x = – x }

7) G = { y R / y = – x, x2 – 3 x = 0}

8) H = {x / x es el nombre de la capital de una provincia de Chimborazo}

9) I = {x / x es el nombre de un continente de la Tierra}

10) J = {x / x es el nombre de un color de la bandera de Riobamba}

11) K = {x / x es el nombre de un dedo de la mano del cuerpo humano}

12) L = {x / x es el símbolo de un átomo de la molécula del ácido sulfúrico}

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS

La clasificación de los conjuntos está fundamentada en el análisis de sus elementos o miembros, por

ejemplo si no tiene miembros, el conjunto es vacío, si sus miembros son innumerables infinito, etc.

Las clases de conjuntos son:

Conjunto finito

Conjunto infinito

Conjunto unitario

Conjunto vacío

Conjunto universal o referencial

Conjuntos homogéneos

Conjuntos heterogéneos

Conjunto Finito:

Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar.

Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensión

es:

A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}

Conjunto Infinito:

Es un conjunto que no puede ponerse en correspondencia biunívoca con ningún conjunto de los

números Naturales.

Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán

determinarse por comprensión; por el ejemplo:

B = {x/x son las estrellas del universo}


5

Conjunto Unitario:

Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Ejemplo:

C = {luna}

Conjunto Vacío:

Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes, ejemplos:

D = {x/xN; x+3=0} D = { }

Se considera el conjunto vacío como subconjunto de cualquier conjunto y se lo denota como D={ } o

D=.

Conjunto Universal o Referencial:

Se llama así al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen

parte de la caracterización.

Por ejemplo

Dados los conjuntos A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = { 6, 7, 8, 9}, el conjunto universal o referencial

es: U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Conjuntos homogéneos

Cuando sus miembros o elementos que lo componen, pertenecen al mismo tipo o género. Por ejemplo

un conjunto compuesto por letras únicamente, o por números, etc.

A = {a, l, m, p, r }

El conjunto es homogéneo pues todos sus miembros son letras.

Conjuntos heterogéneos

Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de diferentes tipos, clases, géneros, etc.

B = {1, a, prado, rojo}

DIAGRAMAS DE VENN

Los Diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática especialmente en la teoría

de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en

conjuntos, representando cada conjunto mediante figuras planas. El rectángulo es una de las figuras

planas usadas especialmente para la representación del conjunto universo.


6


A. Escriba 5 ejemplos de cada uno de los conjuntos mencionados en la clasificación.

B. Identifique que clase de conjuntos son:

1) { }

2) { ̇ }

3) { }

4) { }

5) { }

6) { }

7) { }

8) { }

9) { }

10) { }

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Conjuntos equivalentes

Corresponde a los conjuntos con el mismo número cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad

de elementos. Por ejemplo:

A = {a, b, c, d} B = {1, a, I, alpha} Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes

Conjuntos iguales

Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales:

A = { 2, 4, 6, 8, 10}

B = { 4, 10, 2, 8, 6}

A y B son iguales porque contienen los mismos elementos. Es bueno anotar que en un conjunto no

importa el orden en que se ubiquen, por eso el conjunto B es igual que el A

Conjuntos disyuntos o disjuntos

Son aquellos conjuntos que al compararlos ninguno de sus elementos

son comunes. Gráficamente la intersección de dos círculos que

representa a cada uno de los conjuntos no existe.

Por ejemplo los conjuntos B = {2, 3, 4} y C = {6, 7, 8, 9} son conjuntos

disyuntos pues no tienen ningún elemento en común y su representación gráfica sería.


7

Conjuntos intersecantes

Son aquellos conjuntos que al compararlos algunos de sus elementos son

comunes. Gráficamente la existe intersección de los círculos que

representa a cada uno de los conjuntos.

Por ejemplo los conjuntos B = {2, 3, 4} y C = {3, 6, 9} son conjuntos

intersecantes pues tienen algún elemento en común y su representación gráfica sería.

Contenencia o Inclusión

Esta relación es recíproca la relación de contenencia, se dice que un conjunto está incluido en otro

cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto, en este caso de define cuando

un conjunto es subconjunto de otro. La simbología que nos permite representar a un conjunto incluido

en otro es:

se lee “Contiene a”

se lee “ Esta contenido”

Por ejemplo sean los conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, 10} y B = { 4, 8} puesto que

todos los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A entonces

decimos que:

B A y se lee “el conjunto B está incluido en el conjunto A” o

A B y se lee “el conjunto A contiene al conjunto B”. Gráficamente

observamos que:

Ejemplo:

A. Observe la gráfica, determine el tipo de relación entre los conjuntos y escriba los elementos.

A es intersecante a B

B es intersecante a C

A es intersecante a C

A esta contenido en U A U

B está contenido en U B U

C está contenido en U C U

Los elementos del conjunto A=1, 2, 4, 6 B=2, 3, 4, 8

C=2, 5, 6, 8 y U =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9


8


A. Determine de las siguientes expresiones cuales son verdaderas.

1) A =

2) B=0

3) C=

4) D=

B. Sean los conjuntos A=1,2,1,2, 3,4 B=1,2 C=2,1 D=3,4 E=1,2

F=3,4 G=2, determine cuál de los ítems son verdaderos.

1) D A

2) B A

3) G C

4) F A

5) D A

6) G E

7) B C

8) C A

9) C

10) F A

11) A

12) C A

C. Observe la gráfica, determine el tipo de relación de cada uno de los conjuntos y escriba los

elementos de cada conjunto.

1)

2)

3)

4)

D. Dadas las siguientes condiciones represéntelas a través de una sola gráfica

1) A intersecante a B ; B disjunto A ; C A

2) B A ; C A ; B disjunto C

3) D A ; B C ; A disjunto B ; D disjunto C

4) A intersecante a B ; C A y C B

5) A intersecante a B ; C intersecante a B; A disjunto C; D B y D disjunto de A y C

E. Dados los conjuntos siguientes, analice la relación entre cada uno de ellos y represéntelos a través

de una sola gráfica.

1) { } ; { }

{ } ; { } U=los números dígitos

2) U=los números dígitos A=0, 1, 2, 3, 6; B=1, 2, 4, 5; C= 1, 5, 6, 7

3) U=los números dígitos A=1, 2, 3, 5, 6, 7, 8; B=2, 3, 4, 5, 6, 9; C= 1, 2; D=3, 4


9

OPERACIONES

Unión

Dados los conjuntos cualesquiera A y B llamamos “unión” de A y B al conjunto formado por todos los

elementos que pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B.

Simbólicamente: A U B = { x / x A v x B}

Gráficamente:

Gráfica de la Unión Operación en forma simbólica Tipo de relación entre los conjuntos

AB A es intersecante a B

AB A es disjunto de B

AB B A

Intersección:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos “intersección” de A y B al conjunto formado por

todos los elementos que pertenecen al conjunto A y pertenecen también al conjunto B.

Simbólicamente: A – B = {x/ x A xB}

Gráficamente

Gráfica de la Intersección Operación en forma simbólica Tipo de relación entre los conjuntos




10

AB B A

Diferencia:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos “diferencia” de A “menos” B al conjunto formado

por los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.

Simbólicamente: A-B = {x/ x A x B}

Gráficamente

Gráfica de la diferencia Operación en forma simbólica Tipo de relación entre los conjuntos

A-B A es intersecante a B

B-A A es intersecante a B

A-B A es disjunto de B

B-A A es disjunto de B

A-B B A

B-A A B


11

Complemento:

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos

los elementos del conjunto universal que no están en el conjunto A y se denota como .

También podemos encontrar algunas otras notaciones para el complemento del conjunto A: ; A'; ̅

Simbólicamente: AC = {x/ x U x B}

Gráficamente

Diferencia Simétrica

La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es otro conjunto que se simboliza como AB, cuyos

elementos son todos los elementos de la unión de los conjuntos (A-B) y (B-A).

Simbólicamente: AB = {x/ x (A-B) (B-A)}

Gráficamente

Gráfica de la diferencia simétrica Operación en forma simbólica Tipo de relación entre los conjuntos



AB B A


12

Leyes de algebra de Conjuntos

1. Asociatividad:

C C)

(AC = AC) 2. Conmutatividad:

AB = BA

3. Distributividad:

ACC)

AC) = (C) 4. Absorción:

A

AA 5. Idempotencia:

A

B 6. Identidad:

U A

AUU A = 7. Complemento:

AcU Ac =

(Ac)c = A U’= ’ = U

8. Ley de Morgan:

(AB)c = A

c

c (A

c = A

c

c

A – B = Ac

Algunas propiedades más

9. A AB

10. AB A

11. A B A B


A. Demuestre gráficamente las leyes del algebra de conjuntos.

B. Hallar en forma analítica y gráfica AB ; AB ; (A-B)(AB); (AB)-(AB) donde A y B son los

conjuntos que a continuación se indican:

1) A = 1,2,3,4,5,6 B = 3,4,5,6

2) { } { | | }

3) { } {

}

4) { } { √ }

C. Dados los conjuntos U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 } A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12,

15 } C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 } E = { 12, 13, 14, 15 }; realice las operaciones que se


13

indican a continuación en forma analítica y gráfica.

1. A B 2. BAC CC

3. B C 4. CCAB

5. BCA 6. C CA B A B

7. A C 8. ( A D )´

9. (D E) – A 10. E´ D

11. B E 12. (A B)´

13. DAB 14. B E

15. BCA 16. ( E C )´

17. (D E) – ))(( DAB 18. A´

19. ACCBBA 20. B´

21. A B B

22. ( C D )´

23. )( EDCBA 24. ( B C)´

25. A B A B A B 26.

C CA B A B B A

27. A B B A

28. ( ) ' ' ' ' 'A B C A B C

29. ( ) ( ') ( ')A B C C A C B 30. A B C

31. ( ) ( ) 32. ( ) ( )B C A B C


14

33. (( ) ( )) (( ) ( )) 34. ( ' ' ') ' ( ') ( ')A B C A C B C

35. (( ) ) ( ) 36. CABC

37. DEB )( 38. BAC

39. )())(( ECDAB 40. CCBA

D. Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfaga a la operación solicitada.

S (R T) L KC

( A – B ) C ( H – G ) I

H IC ( H G ) I

E. Observe el gráfico y escriba la operación sombreada.


15

INTERPRETACIÓN DE LAS REGIONES DE UN DIAGRAMA DE VENN

Es importante identificar e interpretar a través del lenguaje común las regiones de un diagrama de Venn,

puesto que nos permitirá una mejor comprensión para la solución de problema de aplicación.

Gráfica Traducción

Elementos del conjunto A


16

Elementos del conjunto C

Elementos del conjunto A y B

Elementos del conjunto B y C

Elementos solo del conjunto A y B

Elementos solo del conjunto B y C

Elementos del conjunto A, B y C


17

Elementos del conjunto A pero no de C

Elementos del conjunto B pero no de C

Elementos del conjunto A o C pero no de B

Elementos del conjunto B o C pero no de A

Elementos del conjunto A o C


18

Elementos que no pertenece al conjunto A

Elementos solo del conjunto A


A. Resolver

1) En una encuesta realizadas a mujeres casadas se obtuvieron los siguientes resultados: 150

mujeres veían películas románticas, 190 mujeres leían novelas de misterios, 160 mujeres

escuchaban música para meditar y un grupo mujeres preferían ver telenovelas, además de

estos datos algunas de las damas anexaron lo siguiente: 90 mujeres preferían ver películas

románticas y leer novelas de misterio, 75 mujeres disfrutaban de escuchar música y leer

novelas de misterio, 68 mujeres veían películas románticas y escuchaban música para

meditar, 30 veían tanto películas románticas, escuchaban música para meditar y leían

novelas de misterio, 15 veían telenovelas y leían novelas de misterio. ¿Cuántas mujeres veían

telenovelas si el grupo encuestado era de 350 mujeres?

2) En una escuela de preparatoria con dos turnos de trabajo, la planta docente de ambos

turnos tiene los siguientes datos: 19 profesores de Biología, 30 profesores de Química, 15

profesores de Física, 24 profesores de Matemáticas y 19 profesores de Inglés; algunos

maestros enseñan otras materias y he aquí los datos: 8 profesores enseñan tanto Biología

como Química, 9 profesores enseñan tanto Física como Química, 10 profesores de

Matemáticas enseñan también Química y 9 profesores de Inglés también imparten la

materia de Matemáticas. Si existen 230 profesores de otras asignaturas ¿Qué cantidad de


19

profesores hay en ambos turnos? ¿Cuántos profesores imparten a lo más una asignatura?

3) En un estudio realizado en 24 municipios de nuestro país se encontró la siguiente

información, 20 especies de serpientes arbóreas, 24 especies de serpientes son terrestres,

24 especies de serpientes son de agua, 19 especies de serpientes son venenosas, además

algunas especies de serpientes presentan algunas de las siguientes características: 6

especies arbóreas también terrestres, 10 especies que son acuáticas también son arbóreas,

4 especies arbóreas son terrestres y también son acuáticas, 9 especies de las serpientes

terrestres también son acuáticas, 3 especies que son terrestres también son acuáticas y son

venenosas, 6 especies terrestres son también son venenosas, 8 especies de serpientes que

son acuáticas también son venenosas ¿Cuántas especies estudian los expertos?

4) En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos A, B y C,

se encontró el siguiente resultado:

82 consumen el producto A.

54 consumen el producto B.

50 sólo consumen el producto A.

30 sólo consumen el producto B.

El número de personas que consumen sólo B y C es la mitad de las personas que

consumen sólo A y C.

El número de personas que consumen sólo A y B es el triple de las personas que

consumen los tres productos.

El número de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como

los que consumen sólo C.

Determinar:

a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos.

b) El número de personas que no consumen A, B ni C.

c) El número de personas que por lo menos consumen uno de los productos.

5) Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 vóley. Seis figuran

en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces:

a) ¿Cuántas personas practican sólo un deporte?

b) ¿Cuántas personas practican sólo dos deportes?

c) ¿Cuántas personas practican al menos dos deportes?

d) ¿Cuántas personas practican como máximo dos deportes?


20

6) En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la Eutanasia,

planteándose una moción:

a) 115 europeos votaron a favor de la moción

b) 75 cardiólogos votaron en contra

c) 60 europeos votaron en contra

d) 80 cardiólogos votaron a favor.

Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras

especialidades y no hubo abstenciones. ¿ Cuántos médicos participaron en el congreso?.

7) Se hizo una encuesta a 160 alumnos de la UNACH sobre la preferencia de 4 carreras

profesionales: Ingeniería de Sistemas (S), Enfermería (E), Comunicación Social (C) y Biología

en Acuicultura (B), obteniéndose los siguientes datos:

Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B).

22 sólo con (S)

20 sólo con (E)

20 sólo con (C)

20 con (S) y (B) pero no con (E)

6 sólo con (C) y (E)

4 con (S) y (C)

24 con (B) y (E)

28 sólo (B).

¿Cuántos prefieren sólo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera profesional?

8) Suponga que los brevetes sólo se consiguen legalmente, los que tienen brevete profesional

saben mecánica mientras que los que tienen brevete particular sólo están autorizados a

manejar automóviles y así lo hacen.

Si tienen los siguientes datos referentes a un grupo de personas:

21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones.

13 saben encender un vehículo pero no tienen brevete.

8 saben manejar vehículos pero no tienen brevete.

2 saben mecánica y manejan camiones. El mismo número sabe manejar vehículos pero

no maneja camiones ni tiene brevete.

11 no tienen brevete profesional y no manejan camiones.

3 tienen brevete particular.

Además, téngase en cuenta que los que saben mecánica tienen brevete profesional.


21

Se pregunta lo siguiente:

¿Cuántos son en total?.

¿Cuántos no tienen brevete?.

¿Cuántos cometen infracción de manejar vehículos sin tener brevete?.

¿Cuántos saben encender un vehículo pero no manejarlos?.

9) De una muestra aplicada a 92 turistas, se obtuvo la siguiente información:

30 eran Mexicanos

40 eran Españoles

50 eran músicos de los cuales: 13 hablan inglés o francés pero no ambos idiomas; dos

hablan francés y alemán pero no inglés.

¿Cuántos hablan un sólo idioma?

10) En un avión hay 9 jóvenes, 5 niños ecuatorianos, 9 hombres, 7 jóvenes extranjeros, 14

ecuatorianos, 6 ecuatorianos varones, y 7 mujeres extranjeras.

a) ¿Cuál es el número de personas del avión?

b) ¿Cuántos son solamente ecuatorianos?

11) La tabla siguiente muestra la distribución de personas según hábito de fumar, padecer

bronquitis, y presión sistólica.

HABITO DE FUMAR

SI NO

Bronquitis Presión Sistólica Presión Sistólica

ALTA NORMAL ALTA NORMAL

SI 400 300 150 100

NO 200 50 40 30

a) Determine el número de personas que fuman o tienen bronquitis

b) De las personas fumadoras; ¿cuántas tiene presión sistólica normal o tienen

bronquitis?

c) De las personas con bronquitis; ¿cuántas tiene presión sistólica alta o son

fumadoras?

12) En una escuela que tiene 415 alumnos, 221 estudian inglés, 163 estudian francés y 52 estudian

ambas lenguas. ¿Cuántos alumnos estudian inglés o francés?, ¿Cuántos alumnos no

estudian ninguna de las dos lenguas?

13) Una población consume tres tipo de jabón : A, B y C. Hecha una investigación de mercado ,


22

conociéndose los resultados la tabla siguiente,

Marca A B C A y B B y C C y A A, B y C Ninguna de la tres

Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115

Responda:

a) El número de personas consultadas

b) El número de personas que sólo consumen la marca A

c) El número de personas que no consumen las marcas A o C.

d) El número de personas que consumen al menos dos marcas.

14) En una cierta comunidad hay individuos de tres razas: blanca , negra, y amarilla. Sabiendo

que 70 son blancos, 350 son negros y 50% son de raza amarilla, responda:

a) ¿Cuántos individuos tiene la comunidad?

b) ¿Cuántos individuos son de raza amarilla?

15) Si A es el conjunto de los pacientes con "tifoidea" y B es el conjunto de pacientes con

"áscaris". Exprese las siguientes expresiones verbales como operaciones de los conjunto A

y B.

a) El paciente tiene sólo una de las dos enfermedades.

b) El paciente tiene al menos una de las dos enfermedades.

c) El paciente no tiene las enfermedades descritas.

d) El paciente tiene sólo tifoidea.

Teoriadeconjuntos

Documents

Transcript of Teoriadeconjuntos