CURSO DE ESTATICA

TEMA: ANALISIS VECTORIAL (SEMANA 1 Y 2) DOCENTE: Lic. Jesús David Pflucker Hilario TEORIA Y PRÁCTICA

1.1 Vector.-

El vector es un ente matemático que asocia magnitud y dirección y

juega un papel esencial en muchas áreas centrales de la física como la

mecánica, termodinámica, electricidad, magnetismo, electromagnetismo,

óptica, etc. Gráficamente un vector, es un segmento de recta orientado (una

flecha o saeta) que tiene 4 elementos.

Finalidad.- La rama que estudia sus propiedades y operación de

vectores se denomina análisis vectorial y es muy importante su estudio para

cálculos posteriores de magnitudes físicas vectoriales y escalares como:

velocidad, trabajo mecánico, trabajo termodinámico, momento de una

fuerza, intensidad de corriente eléctrica, flujo eléctrico y/o magnético, etc.

Por este motivo es muy importante el estudio del análisis vectorial

pues sirve de mucho en todas las ramas de las ciencias y más aun en las de

ingeniería como la Civil, Mecánica, Arquitectura, etc.

Punto de aplicación es el punto de partida de un vector o aquel donde se

aplica

Módulo: longitud del segmento

Dirección: ángulo formado con el eje x positivo

Sentido: ubicación del segmento

Representación gráfica en el plano:

cm

A

4

x

y

Para denotar un vector se utiliza cualquier letra del alfabeto sea mayúscula o

minúscula (con una flecha sobre la letra)

Ejemplo: El vector B , el vector d

Con el estudio y la compresión de los vectores estamos colocando los

cimientos de casi todo el curso de física I; en consecuencia esto exige un

entendimiento mediante un estudio serio y responsable.

El tiempo invertido en este estudio rendirá muchos dividendos. Una vez

dominada la teoría vectorial se podrá utilizar con confianza y con existo en

los siguientes temas.

1.2 Descomposición de un vector.-

Dentro de la ingeniería es muy importante conocer las reglas de

descomposición, pues nos ayuda a calcular las fuerzas que actúan sobre

cables, cadenas y/o cuerdas, tal como se puede notar en la figura.

Podemos calcular las componentes por simple proyección cumpliendo el

método del paralelogramo o también mediante trigonometría, ambas son

validas. Según el triangulo ABC, se conoce las leyes de seno y coseno:

A B

C

a

c

b

senc

C

senb

B

sena

A

Ley de cosenos:

Ley de senos:

cABBAC cos222

Es importante saber que los vectores no solo se pueden proyectar en ejes

perpendiculares sino en realidad en cualquier dirección. Por ejemplo.

1

2

1V

2Vo

1

2

1V

2Vo

VV

1

2

1V

2V

o

V

1.3 Suma de vectores.-

Suma de dos o más vectores, consiste en encontrar un vector equivalente

que produzca los mismos efectos que todos juntos. Existen dos métodos de

sumar vectores gráficos y analíticamente.

A) Métodos Gráficos

Este método consiste en ubicar los vectores uno a continuación del otro

y luego el vector resultante se obtiene, uniendo el origen del primer

vector con el extremo final del segundo vector o del tercero o del cuarto

o del n enésimo vector, ejemplo.

ab

a

b

baS

a

b

abS

El signo “+” tiene un significado diferente del que tiene el algebra

ordinaria, la suma obedece a la ley conmutativa

abba

La suma de 3 o más vectores es la extensión lógica del procedimiento

anterior (polígono).

cbaS

a

b

c

a

b c

B) Método Analítico

Primero estudiaremos un único vector en el plano XY, supongamos que el

vector a forma un ángulo con el eje X, sus componentes rectangulares

son:

ya

xa

a

x

ycosaax

senaay

222222 cos senaaaa yx

222 aaa yx

22

yx aaa

x

y

a

atg

Es importante señalar que en el plano cartesiano los vectores se pueden

expresar como pares ordenados y en el espacio cartesiano se expresan como

terna ordenada. Por ejemplo;

x

y

5

3

5;3 HH

5;3

x

y

z

3

4

5

5;4;3 QQ

5;4;3

cartesianoPlano cartesianoEspacio

NOTA: Cuando se suman vectores ya sea en par o terna ordenada, solo se

pueden sumar las componentes iguales; es decir; la componente horizontal

de un vector solo se puede sumar con la componente horizontal del otro

vector y así sucesivamente con las otras componentes.

1.4 Vector Unitario.-

Como su nombre lo indica el modulo de un vector unitario es igual a la

unidad. Para cualquier vector, se define su vector unitario de la siguiente

manera,

a

aea ˆ

Vectores coordenadas coordenados unitarios.- Un vector unitario se puede

definir en cualquier dirección. Sin embargo, los vectores unitarios más útiles

son aquellos que tienen las direcciones X, Y, Z.

Estos vectores unitarios se llaman vectores coordenados unitarios, y se

denotan comúnmente por medio de las letras kji ˆ,ˆ,ˆ y según las direcciones

de los ejes X, Y, Z respectivamente.

x

y

i

jk

z

Expresión de un vector en función de los vectores unitarios.-

x

y

i

jk

z

R

xR

zR

yR

zyx RRRR

iRR xxˆ

jRR yyˆ

kRR zzˆ

kRjRiRR zyxˆˆˆ

El vector unitario de R esta dado por:

kR

Rj

R

Ri

R

Re zyx

Rˆˆˆˆ

Cosenos directores: R

R

R

R

R

R zyx cos,cos,cos

Por lo tanto, podemos expresar también un vector unitario en función a los

cosenos directores, como:

knjmilkjieRˆˆˆˆcosˆcosˆcosˆ

Como Re es un vector unitario y su módulo 1ˆ Re , se tiene entonces que:

1coscoscosˆ222 Re

directoresenos

losdepropiedad

cos

1coscoscos222

x

y

z

R

xR

zR

yR

1.5 Multiplicación de vectores.-

Lo mismo que las cantidades escalares, se puede multiplicar vectores de

diferente naturaleza para obtener cantidades de nuevas dimensiones Físicas.

A) Producto Escalar de dos vectores.-

El resultado de la multiplicación es una cantidad escalar:

cosabba con esta definición un número de cantidades físicas se

pueden describir ejemplo: Trabajo, Energía, Potencial eléctrico, etc.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.-

aconmutativabba .1

vadistributicabacba )(.2

:.3 unitariosvectoreslospara

1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji

2.4 aaa

laresperpendicusonvectoreslosluego

basinulosnobyavectoreslosDados

,

0,.5

Regla para el producto escalar.-

Sean los vectores:

kAjAiAA zyx y kBjBiBB zyx

kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

kBiAjBiAiBiABA zxyxxx

kBjAjBjAiBjA zyyyxy

kBkAjBkAiBkA zzyzxz

kiBAjiBAiiBABA zxyxxx

kjBAjjBAijBA zyyyxy

kkBAjkBAikBA zzyzxz

kiBAjiBAiiBABA zxyxxx

kjBAjjBAijBA zyyyxy

kkBAjkBAikBA zzyzxz

tomando la propiedad del producto escalar para los vectores unitarios,

tenemos:

zzyyxx BABABABA

Componente vectorial paralela y normal a una línea:

En algunas aplicaciones de ingeniería es necesario descomponer un vector

en sus componentes paralela y normal (perpendicular) a una línea dada. La

componente de un vector paralela a una línea se denomina proyección del

vector sobre la línea. Por ejemplo, cuando el vector representa una fuerza, la

proyección de ésta sobre una línea es la componente de la fuerza en la

dirección de la línea.

Las componentes de un vector paralela y normal a una línea se pueden

determinar usando el producto escalar o también llamado producto punto.

Consideremos un vector U y una línea recta L. Podemos descomponer U

en componentes que sean paralela y normal a L.

LL

U

U

UU

)(afigura )(bfigura

LlinealayUvectorEl

.Lanormalyparalela

scomponentesusenUdeSeparación

Componente paralela.- En función del ángulo θ entre U y la componente

U , la magnitud o modulo de U es

cosUU

Sea un vector unitario paralelo a L como se muestra en la figura, entonces

su producto escalar será;

L

U

)(cfigura

LaparaleloesunitariovectorEl

coscos1 UUU

Considerando la ecuación anterior a ésta, podemos notar que

UU

Para darle la dirección de paralelo a la línea L tomamos el vector unitario ,

por tanto, la componente paralela será:

UU

Nota.- Es importante señalar que si el ángulo θ es mayor A 90º entonces el

producto U será negativo y si es menor a 90º grados será positivo.

Componente normal (perpendicular).- Una vez que se ha

determinado la componente paralela, se puede obtener la componente

normal mediante la relación UUU :

UUU

B) Producto Vectorial de dos vectores.-

El segundo tipo de multiplicación se denomina producto vectorial porque el

resultado de la operación es un vector. Si se tiene dos vectores bya como

se muestra en la figura el producto vectorial se define:

a

b0

c

cba

En donde

a) La magnitud de c es: absenc

b) La dirección de c es perpendicular al plano que contiene a bya

c) El sentido de c corresponde a la regla del tornillo de rosca derecha.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

aconmutativnoabba .1

vadistributicabacba .2

0

:.3

kkjjii

unitariosvectoreslosPara

jkiijkkij

jikikjkji

0.4 aa

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba .5

1.6 Área de un paralelogramo.-

En la figura se representan los vectores A , B su producto vectorial BA . El

paralelogramo que se forma tiene como lados A y B, siendo h su altura

respecto al lado A. El área del paralelogramo es: hxAÁrea

A

B

BA

h

En la figura se tiene que:

Bsenh

pero

AhABsenBA

ramoparaledeláreaBA log

El área del paralelogramo formado por dos vectores es igual al modulo del

producto vectorial de dichos vectores.

1.7 Productos triples.-

Dados los vectores:

kCjCiCCkBjBiBBkAjAiAA zyxzyxzyx ,,

Se tiene los siguientes productos:

1) Producto triple escalar (el resultado es un escalar)

BACACBCBA

Se demuestra que cualquiera de los productos de la ecuación arriba

mencionada, puede escribirse como un solo determinante.

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

CBA

2) Triple producto vectorial (el resultado es un vector)

Dados los vectores A , B y C se cumple las siguientes igualdades:

BACCABCBA

CBACABCBA

1.8 Volumen de un paralelepípedo.-

Sea V el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores A , B y

C como se muestra en la figura.

x

y

z

A

B

C

donde es el vector unitario de CB , perpendicular al plano determinado

por B y C por tanto está en la dirección de de la altura h del paralelogramo.

La componente de A en la dirección de es entonces Ah . Como la

base es un paralelogramo, su área es CB ; luego el volumen es:

CBACBAV

CBAV

1.9 Condición de coplanariedad.-

La condición necesaria y suficiente para que tres vectores A , B y C sean

coplanares es:

0 CBA

EJERCICIOS PROPUESTOS

TEMA: ANALISIS VECTORIAL

Problema 1.1. La fuerza de 300 lb se debe descomponer en componentes a lo largo de

las líneas a-a’ y b-b’. a) Determinar el ángulo α si se sabe que la componente a lo largo de a-

a’ es de 240 lb .b) ¿Cuál es el valor correspondiente de la componente a lo largo de b-b’?

Problema 1.2 La fuerza F se encuentra en el plano definido por las líneas LA y LB que se

intersecan. Su magnitud es de 400 lb. Supongamos que F se quiere separar en componentes

paralelas a LA y a LB. Determinar las magnitudes de las componentes vectoriales.

Problema 1.3 (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en

función de sus componentes escalares.

(b) Exprese el vector de posición del punto B al punto C en función de sus componentes

escalares.

(c) Use los resultados anteriores para determinar la distancia del punto A al punto C.

Problema 1.4 La armella roscada en la figura que se ve en la figura está sometida a

dos fuerzas, F1y F2. Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

Problema 1.5 Las dimensiones del paralelepípedo son 3, 4 y 5 unidades.

Encontrar:

a) La expresión del vector T de modulo 10 unidades que está en la diagonal BE con origen

en B.

b) La expresión del vector V de modulo 5 unidades que está en la diagonal CA con origen

en C

c) Los ángulos directores de T y V

x

y

z

3

45

T

VA B

C

E

Problema 1.6 La ménsula está sometida a las dos fuerzas mostradas. Exprese cada

fuerza en forma vectorial cartesiana y luego determine la fuerza resultante FR. Encuentre la

magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante.

Problema 1.7 La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si la tensión

en AB y CD es FA=300N y FC= 250N, respectivamente, exprese cada una de esas fuerzas en

forma cartesiana vectorial.

Problema 1.8 Dos tractores jalan el árbol con las fuerzas mostradas. Represente cada

fuerza como un vector cartesiano, y luego determine la magnitud y los ángulos directores de

la fuerza resultante.

Problema 1.9 El cable AB mostrado ejerce una fuerza de 32 lb sobre el collarín en A.

Exprese T en función de sus componentes escalares.

Problema 1.10 Determine la componente de F que actúan a lo largo de la barra AC y

perpendicular a ella. El punto B está localizado a 3 m a lo largo de la barra desde el

extremo C.

Problema 1.11 El cable OA se usa para dar soporte a la columna OB. Determine el

ángulo que forma el cable con la viga OD.

Problema 1.12 Obtenga los productos escalares CByCB ´ , y utilice los

resultados obtenidos para demostrar la identidad

.cos2

1cos

2

1coscos

Problema 1.13 Obtenga los productos vectoriales CByCB ´ , y utilice los

resultados obtenidos para demostrar la identidad

.2

1

2

1cos sensensen

Problema 1.14 Si los lados del paralelepípedo son:

kjiCkjiBkjiA 328345 , su volumen es:

Problema 1.15- Si

kjmiCkjiBkjimA 53;33; . Hallar el valor de “m” sabiendo que CyBA,

son coplanares.