Teoria Operativa
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1. Introducción a la Investigación de Operaciones. 1.1. Historia de la Investigación de Operaciones. La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país. El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias. Aunque se ha acreditado a Gran Bretaña la iniciación de la Investigación de Operaciones como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo en este campo rápidamente creciente. La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio de Investigación de Operaciones fue el Método Símplex de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B. Dantzig. Desde entonces las nuevas técnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y cooperación de las personas interesadas tanto en el área académica como en el área industrial. Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigación de Operaciones fue el desarrollo de la computadora digital, que con sus tremendas capacidades de velocidad de cómputo y de almacenamiento y recuperación de información, permitieron al tomador de decisiones rapidez y precisión. Si no hubiera sido por la computadora digital, la Investigación de Operaciones con sus grandes problemas de computación no hubiera crecido al nivel de hoy en día.
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1. Introducción a la Investigación de Operaciones.
1.1. Historia de la Investigación de Operaciones.
La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda
Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de
científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y
estratégicos asociados a la defensa del país.
El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el
equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares) .
Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos británicos, los
administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones
similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a
tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logísticos complejos, la
planeación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico.
Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los
estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las
herramientas de la Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que
empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las
industrias.
Aunque se ha acreditado a Gran Bretaña la iniciación de la Investigación de
Operaciones como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo
en este campo rápidamente creciente. La primera técnica matemática ampliamente
aceptada en el medio de Investigación de Operaciones fue el Método Símplex de
Programación Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B.
Dantzig. Desde entonces las nuevas técnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y
cooperación de las personas interesadas tanto en el área académica como en el área
industrial.
Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigación de
Operaciones fue el desarrollo de la computadora digital, que con sus tremendas
capacidades de velocidad de cómputo y de almacenamiento y recuperación de
información, permitieron al tomador de decisiones rapidez y precisión.
Si no hubiera sido por la computadora digital, la Investigación de Operaciones con
sus grandes problemas de computación no hubiera crecido al nivel de hoy en día.
Actualmente la Investigación de Operaciones se está aplicando en muchas
actividades. Estas actividades han ido más allá de las aplicaciones militares e industriales,
para incluir hospitales, instituciones financieras, bibliotecas, planeación urbana, sistemas
de transporte y sistemas de comercialización.
1.2. Características de la Investigación de Operaci ones.
Es muy notable el rápido crecimiento del tamaño y la complejidad de las
organizaciones (empresas) humanas que se ha dado en estos últimos tiempos. Tal
tamaño y complejidad nos hace pensar que una sola decisión equivocada puede
repercutir grandemente en los intereses y objetivos de la organización y en ocasiones
pueden pasar años para rectificar tal error. También el ritmo de la empresa de hoy implica
que las DECISIONES se tomen más rápidamente que nunca, pues el hecho de posponer
la acción puede dar una decisiva ventaja al contrario en este mundo de la competencia.
La palpable dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre se aboque en
la búsqueda de una herramienta o método que le permita tomar las mejores decisiones de
acuerdo a los recursos disponibles y a los objetivos que persigue. Tal herramienta recibió
el nombre de Investigación de Operaciones.
El enfoque de la Investigación de Operaciones es el mismo del método científico.
En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del
problema y sigue con la construcción de un modelo científico (por lo general matemático)
que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis
de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características
esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean
válidas también para el problema real. Esta hipótesis se verifica y modifica mediante las
pruebas adecuadas. Entonces, en cierto modo, la Investigación de Operaciones incluye la
investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin
embargo, existe más que esto. En particular, la Investigación de Operaciones se ocupa
también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá
también proporcionar conclusiones positivas y claras que pueda usar el tomador de
decisiones cuando las necesite.
La contribución del enfoque de Investigación de Operaciones proviene
principalmente de:
1. La estructuración de una situación de la vida real como un modelo matemático,
logrando una abstracción de los elementos esenciales para que pueda buscarse una
solución que concuerde con los objetivos del tomador de decisiones. Esto implica tomar
en cuenta el problema dentro del contexto del sistema completo.
2. El análisis de la estructura de tales soluciones y el desarrollo de procedimientos
sistemáticos para obtenerlas.
3. El desarrollo de una solución, incluyendo la teoría matemática si es necesario, que lleva
al valor óptimo de la medida de lo que se espera del sistema (o quizá que compare los
cursos de acción opcionales evaluando esta medida para cada uno).
1.3. Definición.
Investigación de Operaciones o Investigación Operacional. Se puede definir de
la siguiente manera: “La Investigación de Operaciones es la aplicación por grupos
interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el control de las
organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los
objetivos de toda la organización”.
1.4. Metodología de la Investigación de Operaciones .
El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases:
1. Formulación y definición del problema.
2. Construcción del modelo.
3. Solución del modelo.
4. Validación del modelo.
5. Implementación de resultados.
Demos una explicación de cada una de las fases:
1. Formulación y definición del problema. En esta fase del proceso se necesita:
una descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar;
identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las
restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las alternativas posibles
de decisión y las restricciones para producir una solución adecuada.
2. Construcción del modelo. En esta fase, el investigador de operaciones debe
decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que
relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del sistema.
Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a partir de
datos pasados o ser estimados por medio de algún método estadístico. Es
recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. El modelo
puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la complejidad
de los cálculos matemáticos que se requieran.
3. Solución del modelo. Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una
solución matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para
resolver problemas y ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las soluciones que
se obtienen en este punto del proceso, son matemáticas y debemos interpretarlas
en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar análisis
de sensibilidad, es decir, ver como se comporta el modelo a cambios en las
especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los
parámetros no necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar
equivocadas.
4. Validación del modelo. La validación de un modelo requiere que se determine si
dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un
método común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados
disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del
sistema. Pero como no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema
continúe replicando el comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar
atentos de cambios posibles del sistema con el tiempo, para poder ajustar
adecuadamente el modelo.
5. Implementación de resultados. Una vez que hayamos obtenido la solución o
soluciones del modelo, el siguiente y último paso del proceso es interpretar esos
resultados y dar conclusiones y cursos de acción para la optimización del sistema.
Si el modelo utilizado puede servir a otro problema, es necesario revisar,
documentar y actualizar el modelo para sus nuevas aplicaciones.
1.5. Estructura de los modelos empleados en la Inve stigación de Operaciones.
El enfoque de la Investigación de Operaciones es el modelaje. Un modelo es una
herramienta que nos sirve para lograr una visión bien estructurada de la realidad. Así, el
propósito del modelo es proporcionar un medio para analizar el comportamiento de las
componentes de un sistema con el fin de optimizar su desempeño. La ventaja que tiene el
sacar un modelo que represente una situación real, es que nos permite analizar tal
situación sin interferir en la operación que se realiza, ya que el modelo es como si fuera
“un espejo” de lo que ocurre.
Para aumentar la abstracción del mundo real, los modelos se clasifican como:
1) Icónicos, 2) análogos, 3) simbólicos.
- Los modelos icónicos son la representación física, a escala reducida o
aumentada de un sistema real.
- Los modelos análogos esencialmente requieren la sustitución de una propiedad
por otra con el fin de permitir la manipulación del modelo. Después de resolver el
problema, la solución se reinterpreta de acuerdo al sistema original.
- Los modelos más importantes para la investigación de operaciones, son los
modelos simbólicos o matemáticos, que emplean un conjunto de símbolos y funciones
para representar las variables de decisión y sus relaciones para describir el
comportamiento del sistema. El uso de las matemáticas para representar el modelo, el
cual es una representación aproximada de la realidad, nos permite aprovechar las
computadoras de alta velocidad y técnicas de solución con matemáticas avanzadas.
Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de
elementos. Estos son:
1) variables y parámetros de decisión, 2) restricciones y 3) función objetivo.
1. Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas
(o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son
los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones
y función objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o
probabilísticos.
2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y
otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que
restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.
3. Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema
como una función matemática de las variables de decisión.
La solución óptima será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo,
sujeta a las restricciones.
1.6. Concepto de optimización.
Una característica adicional, que se mencionó como de pasada, es que la
Investigación de Operaciones intenta encontrar la mejor solución, o la solución óptima, al
problema bajo consideración. En lugar de contentarse con sólo mejorar el estado de las
cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aún cuando debe
interpretarse con todo cuidado, esta “búsqueda de la optimalidad” es un aspecto muy
importante dentro de la Investigación de Operaciones.
1.7 Áreas de aplicación de la Investigación de Oper aciones.
Como su nombre lo dice, Investigación de Operaciones significa “hacer
investigación sobre las operaciones”. Esto dice algo del enfoque como del área de
aplicación. Entonces, la Investigación de Operaciones se aplica a problemas que se
refieren a la conducción y coordinación de operaciones o actividades dentro de una
organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la
Investigación de Operaciones se ha aplicado en los negocios, la industria, la milicia, el
gobierno, los hospitales, etc. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.
Casi todas las organizaciones más grandes del mundo (alrededor de una docena) y una
buena proporción de las industrias más pequeñas cuentan con grupos bien establecidos
de Investigación de Operaciones. Muchas industrias, incluyendo la aérea y de proyectiles,
la automotriz, la de comunicaciones, computación, energía eléctrica, electrónica,
alimenticia, metalúrgica, minera, del papel, del petróleo y del transporte, han empleado la
Investigación de Operaciones. Las instituciones financieras, gubernamentales y de salud
están incluyendo cada vez más estas técnicas.
ORÍGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un
problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un
objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución y
evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o
cuantitativo.
El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades
necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la práctica. En
muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo
requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matemáticas que le
permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil
cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan
complejo o importante que requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad
de elegir la mejor solución.
La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases
cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para
hacer planes a futuro.
En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodos
tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los
responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a
situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y
prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.
En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un
conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para
poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y
recomendaciones que se le presenten.
En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las
herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar sus
decisiones.
Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un
crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los
pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles de
millones de pesos. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento en
la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas
organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los
beneficios, el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren
hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es las tendencia de muchas
de las componentes de una organización a convertirse en imperios relativamente
autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visión de la
forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo que es
mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar
trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la
complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos
disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización como
un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos,
proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES (IO).
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se
hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una
empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi
siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra
mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos
escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación,
en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa
hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a
éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran
investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros
equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos
equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés.
Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas
generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión
industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y
especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a
ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que
habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran
básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente.
Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la
investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces,
esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el
desarrollo de la investigación de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso
que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área.
Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que
tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados
sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo
sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal,
desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la
investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de
espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la
década de 1950.
Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de la
computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a
esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a
mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica
digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces
más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de
operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las
computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de
software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran
número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tiene acceso a estos
paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama e computadoras, desde las
grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.
¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?
Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no
sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes
autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas, algunas
demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos dos de las mas
aceptadas y representativas.
LA DEFINICIÓN DE CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF: LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES ES LA APLICACIÓN, POR GRUPOS INTERDISCI PLINARIOS, DEL
MÉTODO CIENTÍFICO A PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL C ONTROL DE LAS
ORGANIZACIONES O SISTEMAS (HOMBRE-MÁQUINA), A FIN D E QUE SE
PRODUZCAN SOLUCIONES QUE MEJOR SIRVAN A LOS OBJETIV OS DE LA
ORGANIZACIÓN.
De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:
1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas
de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las componentes
fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura
de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la
organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden
controlarse, el control es un mecanismo de autocorrección del sistema que permite
evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos.
3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan
en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual
para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de
diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.
4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través
modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La
definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la
siguiente:
La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos
problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de
hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y
en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del
sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el
cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles
alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus
políticas y acciones.
EN RELACIÓN A ÉSTA DEFINICIÓN DEBEN DESTACARSE LOS SIGUIENTES
ASPECTOS:
1. Generalmente se asocian los conceptos de dirección y administración a las empresas de
tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto más amplio, es algo que utiliza
hombres, máquinas, materiales y dinero con un propósito específico; desde éste punto de
vista, se considera como empresa desde una universidad hasta una armadora de
automóviles.
2. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el científico debe
representarlo en términos de los conceptos que maneja, lo hace expresando todos los
rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemáticas. A esta
representación formal se le llama modelo.
3. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir el
futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que se puede
esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo que permite valorar
su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema se pueden tomar cursos de
acción agrupados en tres categorías: A) Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte
de ella a una nueva ruta; B) Realizar un plan de toma de decisiones; C) Instalar
estrategias que generen decisiones. Cuando se aplica alguno de estos remedios, la
investigación de operaciones nos ayuda a determinar la acción menos vulnerable ante un
futuro incierto.
4. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de apoyar al tomador de
decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su función basado en estudios
científicamente fundamentados.
ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES:
la parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de sus
creadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergía generada al
combinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente. (Ver la figura
11).
1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema
interactuan normalmente un gran numero de variables.
2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema,
llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema
real.
3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y simplificando
las relaciones entre las variables relevantes mediante las utilización de funciones
matemáticas.
4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o mas de las
técnicas desarrolladas por la IO.
5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problema real
obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores cualitativos o no
cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Además se ajusta los
detalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador de decisiones.
6. Se implanta la solución en el sistema real.
LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES OBTIENE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
REAL INDIRECTAMENTE, Y NO COMO NORMALMENTE SE INTEN TARÍA PASANDO
DIRECTAMENTE DEL PROBLEMA REAL A LA SOLUCIÓN REAL.
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Y RECOLECCIÓN DE DATOS
La mayor parte de los problemas prácticos con los que se enfrenta el equipo IO están
descritos inicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera actividad que se
debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido
del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las
restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras
áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para
tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en
forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. ¡Es difícil extraer una
respuesta "correcta" a partir de un problema "equivocado"!
Por su naturaleza, la investigación de operaciones se encarga del bienestar de toda la
organización, no sólo de algunos de sus componentes. Un estudio de IO busca soluciones
óptimas globales y no soluciones subóptimas aunque sean lo mejor para uno de los
componente. Entonces, idealmente, los objetivos que se formulan debe coincidir con los de
toda la organización. Sin embargo, esto no siempre es conveniente. Muchos problemas
interesan nada más a una parte de la organización, de manera que el análisis sería
innecesariamente besado si los objetivos fueran muy generales y si se prestara atención
especial a todos los efectos secundarios sobre el resto de la organización. En lugar de ello,
los objetivos usados en un estudio deben ser tan específicos como sea posible, siempre y
cuando contemplen las metas principales del tomador de decisiones y mantengan un nivel
razonable de consistencia con los objetivos de los altos niveles.
Las condiciones fundamentales para que exista un problema es que se establezca una
diferencia entre lo que es (situación actual) y lo que debe ser (situación deseada u objetivo) y
además exista cuando menos una forma de eliminar o disminuir esa diferencia. Los
componentes de un problema son: a) el tomador de decisiones o ejecutivo; b) los objetivos
de la organización; c) el sistema o ambiente en el que se sitúa el problema; d) Los cursos de
acción alternativos que se pueden tomar para resolverlo.
Para formular un problema se requiere; a) identificar las componentes y variables
controlables y no controlables del sistema; b) identificar los posibles cursos de acción,
determinados por las componentes controlables; c) definir el marco de referencia dado por
las componentes no controlables; d) definir los objetivos que se busca alcanzar y
clasificarlos por orden de importancia; e) identificar las interpelaciones importantes entre las
diferentes partes del sistema y encontrar las restricciones que existen.
FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO
Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en
reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la
investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que
represente la esencia del problema. Antes de analizar como formular los modelos de este
tipo, se explorará la naturaleza general de los modelos y, en particular, la de los modelos
matemáticos.
El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y
desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema
que se pretende solucionar.
Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales
será establecido. Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos
partes que constituyen un modelo: a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel
de logro de los objetivos y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo;
b) las limitantes del problema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o
desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación
abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el
problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.
Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del
problema. Una ventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma
mucho más concisa. Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más
comprensible y ayude a revelar las relaciones importantes entre causa y efecto. De esta
manera, indica con más claridad que datos adicionales son importantes para el análisis.
También facilita simultáneamente el manejo del problema en su totalidad y el estudio de
todas sus interpelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para poder
emplear técnicas matemáticas y computadoras de alto poder, para analizar el problema. Sin
duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para muchos tipos de
modelos matemáticos, para micro y minicomputadoras.
Por otro lado, existen obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un
modelo es, necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre
se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se quiere que el modelo sea
manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo
sea siempre una representación válida del problema. El criterio apropiado para juzgar la
validez de un modelo es el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos
relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga
sentido. En consecuencia, no es necesario incluir detalles sin importancia o factores que
tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario
que la magnitud absoluta de la medida de efectividad sea aproximadamente correcta para
las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos (es decir, las diferencias entre
sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta
correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que
este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del
modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se haya colocado
después en el orden del libro, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo
durante la etapa de construcción para que sirva de guía en la obtención del modelo
matemático.
OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes,
asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es
posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco
de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los
procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan
procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan
en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o,
emulan al sistema real, en base a un modelo.
Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de ser iterativos, es decir
buscan la solución en base a la repetición de la misma regla analítica hasta llegar a ella, si la
hay, o cuando menos a una aproximación.
PRUEBA DEL MODELO
El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo
de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es
inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva
para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente,
después de una larga serie de programas mejorados, el programador (o equipo de
programación) concluye que el actual da, en general, resultados razonablemente válidos.
Aunque sin duda quedarán algunas fallas ocultas en el programa (y quizá nunca se detecten,
se habrán eliminado suficientes problemas importantes como para que sea confiable
utilizarlo.
De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande
tenga muchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se
incorporaron al modelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto no se
puede eludir dada la dificultad de la comunicación y la compresión de todos los aspectos y
sutilezas de un problema operacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos
confiables. Por lo tanto, antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para
intentar identificar y corregir todas las fallas que se pueda. Con el tiempo, después de una
larga serie de modelos mejorados, el equipo de IO concluye que el modelo actual produce
resultados
razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunos problemas menores ocultos en
el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallas importantes se habrán eliminado de manera
que ahora es confiable usar el modelo. Este proceso de prueba y mejoramiento de un
modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo.
Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas
del modelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces, después de
completar los detalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de
comenzar las pruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u
omisiones obvias. El grupo que hace esta revisión debe, de preferencia, incluir por lo menos
a una persona que no haya participado en la formulación. Al examinar de nuevo la
formulación del problema y comprarla con el modelo pueden descubrirse este tipo de
errores. También es útil asegurarse de que todas las expresiones matemáticas sean
consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse
un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de
entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados del modelo se
comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente revelador cuando
se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o a su
mínimo.
Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba
retrospectiva. Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el
pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen
desempeño, de haberse usado. La comparación de la efectividad de este desempeño
hipotético con lo que en realidad ocurrió, indica si el uso del modelo tiende a dar mejoras
significativas sobre la práctica actual. Puede también indicar áreas en las que el modelo
tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, el emplear las alternativas de solución
y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo
bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción.
Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar
nuevamente el proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la
investigación de operaciones.
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCION
Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y
cuando las condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los
parámetros, las relaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situación
se vuelve más factible cuando algunos de los parámetros fueron estimados
aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información adicional sobre el
comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. usualmente
esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en
determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la
solución del problema.
IMPLANTACIÓN DE LA SOLUCIÓN
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del
proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se
debe traducir la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los
individuos que intervienen en la operación y administración del sistema. La etapa de
implantación de una solución se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la
participación de todos los involucrados en el problema en cada fase de la metodología.
Preparación para la aplicación del modelo
Esta etapa es crítica, ya que es aquí, y sólo aquí, donde se cosecharán los beneficios del
estudio. Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las
soluciones del modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para
corregir cualquier defecto en la solución que salga a la luz en este momento.
El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la
alta administración como la gerencia operativa. Es más probable que el equipo de IO
obtenga este apoyo si ha mantenido a la administración bien informada y ha fomentado la
guía de la gerencia durante el estudio. La buena comunicación ayuda a asegurar que el
estudio logre lo que la administración quiere y por lo tanto merezca llevarse a la práctica.
También proporciona a la administración el sentimiento de que el estudio es suyo y esto
facilita el apoyo para la implantación.
La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigación de
operaciones de una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema
que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos
comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este
sistema en operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación
detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene
éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el
equipo de IO supervisa la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier
modificación que tenga que hacerse en el futuro.
A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operaciones
documento su metodología con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea
reproducible. Poder obtener una réplica debe ser parte del código de ética profesional del
investigador de operaciones. Esta condición es crucial especialmente cuando se estudian
políticas gubernamentales en controversia.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre los avances
científicos más importantes de mediados del siglo XX, su impacto desde 1950 ha sido
extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o
millones de pesos a muchas compañías o negocios, incluyendo empresas medianas en los
distintos países industrializados del mundo; su aplicación a otros sectores de la sociedad se
está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande de los cálculos científicos en
computadoras está dedicada al uso de la programación lineal.
¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipos de problemas puede
manejar. Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema
general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera
posible (es decir, en forma óptima). Con más precisión, este problema incluye elegir el nivel
de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas.
Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá
cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es
sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los
productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país;
desde la selección de una cartera de inversiones, hasta la selección de los patrones de
envío; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. No
obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar
recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas.
La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo
lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales.
En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en
esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las
actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la
meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.
Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la
programación lineal tiene muchas otras posibilidades. de hecho, cualquier problema cuyo
modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal es un
problema de programación lineal. Aún más, se dispone de un procedimiento de solución
extraordinariamente eficiente llamado método simplex, para resolver estos problemas,
incluso los de gran tamaño. Estas son algunas causas del tremendo auge de la
programación lineal en las últimas décadas.
MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos
tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo
consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria,
equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos
específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a
cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las
actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una
correspondería en forma individual a las alternativas específicas dentro de esta categoría
general.
El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a
ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que
deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los
niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de
efectividad.
Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes
de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con
su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades.
Z = valor de la medida global de efectividad
xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las
actividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de decisión. Los valores de cj, bi y aij
(para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi y aij
también se conocen como parámetros del modelo.
FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO
Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación
de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo de programación lineal que
maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir
valores de x1,x2,....,xn para:
optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,
sujeta a las restricciones:
a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1
a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2
.
.
.
am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm
X1 ³ 0, X2 ³0, ..., Xn ³0.
SSUUPPOOSSIICCIIOONNEESS DDEELL MMOODDEELLOO DDEE PPRROOGGRRAAMMAACCIIÓÓNN LLIINNEEAALL
PROPORCIONALIDAD
La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de
actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manera similar, la
contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional
al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término aijxj en la restricción. En
consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables
en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado
izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal.
ACTIVIDAD
Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades,
deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los
crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función
objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales.
Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras
técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular.
ADITIVIDAD
Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado
izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de
las actividades respectivas.
DIVISIBILIDAD
Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier
valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no
negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada
variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades
se pueden realizar a niveles fracciónales.
LLIIMMIITTAACCIIOONNEESS DDEELL MMOODDEELLOO DDEE PPRROOGGRRAAMMAACCIIÓÓNN LLIINNEEAALL
MMOODDEELLOO DDEETTEERRMMIINNÍÍSSTTIICCOO
El modelo de PL involucra únicamente tres tipos de parámetros: Cj, aij y bi; de ahí su
sencillez y gran aplicación. Sin embargo, el valor de dichos parámetros debe ser conocido y
constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto riesgo o incertidumbre, pude
utilizarse la programación paramédica, la programación estocástica, o realizarse un análisis
de sensibilidad.
MMOODDEELLOO EESSTTÁÁTTIICCOO
En algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las ecuaciones diferenciales,
para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirse que la PL utiliza un
modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un
poco de experiencia en la formulación de modelos de PL, puede imbuirse la temporabilidad
mencionada, con el uso de subíndices en las variables.
MMOODDEELLOO QQUUEE NNOO SSUUBBOOPPTTIIMMIIZZAA
Debido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solución óptima o declara
que ésta no existe. Cuando no es posible obtener una solución óptima y se debe obtener
alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, la cual se denomina
programación lineal por metas.
IMPACTO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de
la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación
de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad
dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de
la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país
cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.
Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por
ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO
sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los
estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó
también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de
investigación de operaciones.
RIESGO AL APLICAR LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo
de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas,
modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos
obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el
problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar
ajustar el problema a un método específico.
Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la
metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de
solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.
LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder
manipularlo y detener una solución.
2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las
organizaciones se tienen objetivos múltiples.
3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema
práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de
esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole
práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua
sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.
4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones
definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van
superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.
Problema # 1 Un granjero tiene 100 acres en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 hrs.-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: Cultivos Costo de Plantar Demanda hrs.-ho mbre Utilidad Primero $20 5hrs. $100 Segundo $40 20hrs $300 Solución: X1 = La cantidad de producción del Primer cultivo en acres X2 = La cantidad de producción del Segundo cultivo en acre Max z = 100x1 + 300x2…………. (1) (el programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Sujeto a: X1 +x2 < 100……….. (2) esta ecuación se debe a que solo tiene 100 acres para los cultivos. 5x1 + 20x2 < 1350…. (3) 20x1 + 40x2 < 3000…. (4) lo que queda planteado Condición de no negatividad: X1 + x2 > 0
Problema # 2 Una compañía produce dos productos, Ay B. Cada unidad de A requiere 2 hrs. en cada maquina y 5 hrs. En una segunda maquina. Cada unidad de B demanda 4hrs. En la primera maquina y 3 hrs. En la segunda maquina. Se dispone de 100 hrs. A la semana en la primera maquina y de 110 hrs. En la segunda maquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? Producto hrs. hrs. Utilidad Maquina1 Maquina 2 A 2 5 $70 kilo B 4 3 $50 kilo Solución: ¿Qué es lo que vamos a maximizar? X1 = la cantidad de producción de A en unidades X2 = Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2……….. (1) Sujeto a: 2x1 + 4x2 < 100……….. (2) 5x1 + 3x2 < 110………. (3) lo que queda planteado Condición de no negatividad: X1 + x2 > 0
Problema # 3 La Publicidad en el periódico tiene un costo de $ 500 por anuncio y la publicidad por TV tiene un costo de $2.000 por comercial. La meta de la AHC es obtener el menos de una presentación como mínimo al 36% de las familias de ingresos altos y al 60% de las familias de ingresos medios minimizando los costos en publicidad. PROBLEMA : Asumiendo que una persona que esta considerado ambos medios, el anuncio y el comercial como una exposición doble (una exposición mayor que el 100% es posible), construir un modelo de programación lineal para AHC. Solución. Pasó 1.- Variables de Decisión de la AHC. Sea Xn = numero de anuncios en el periódica Xt = números de anuncios comerciales TV. Pasó 2.- Función objetivo de la AHC. Escoger Xn y Xt de tal manera que minimicen los costos totales en la publicidad = Minimizar Z=$500 X + $2.000 Xt Paso 3.- Las restricciones o las metas de la AHC. (3%) Xn + (2%) Xt ≥ 36 % (Familias de ingresos Altos) (6%) Xn + (3%) Xt ≥ 60 % (Familias de Ingresos Medios) Paso 4.- Xn ≥ 0 Xt ≥ 0. EL MODELO DE LA AHC Escoger Xn y Xt de tal manera que minimice Z= $500 Xn + $2.000 Xt Sujeto a las siguientes restricciones sobre Xn y Xt 3Xn + 2Xt ≥ 36 6Xn + 3Xt ≥ 60 Xn ≥ 0 Xt ≥ 0
Problema # 4 Pregunta. Un plan de publicidad de Xn = 6 anuncios y Xt = 6 comerciales les podrá satisfacer las metas de la AHC? Un Nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe de ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de Vitamina B-2 (Riboflavina) durante cierto periodo de tiempo. Existen 2 Píldoras de Vitaminas disponibles, la marca A y la marca B, cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro. 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de Vitamina B-2 y cuesta 8 Centavos. Cuales Combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?
Marca A Marca B Requerimientos Mínimos Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg
Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg Vitamina B-2 5 mg 15 Mg 1500 mg
Min Z= 6X + 8X2 S.a 40 X1 + 10X2 ≥ 2400 10X1 + 15X2 ≥ 2100 5X1 + 15X2 ≥ 1500 CNN X1, x2, ≥ 0
Problema #5 Vamos a considerar el problema de la FTM del Ejemplo: 8.1.1 para determinar cuantas unidades de cada comedor fabricar para vender. La FTM produce los tipos de comedor americanos Virginia (V), Massachussets (M). La FTM logra una utilidad (= precio netos de veta-costo variables de fabricación) de $200 y $240 de las venta de un comedor virginia y uno massachuset, respectivamente. La FTM ha experimentado una alta demanda de ambos comedores. En consecuencia, el gerente general cree que puede vender todos los comedores que produzca. Los comedores requieren tiempo0 de proceso en construcción © y de Pintura (P). Los requerimientos y capacidades de producción diarios esta en la tabla 8.1
Recursos Requeridos para producir 1 unidad
Producto Recursos Disponibles (Capacidad)
Virginia V
Massachussets M
Tiempo de Construcción C
(Horas) 6 12 120
Tiempo de pintura P (Horas)
8 4 64
Unidad Unitaria $200 $240 Entonces, para determinar la mejor u optima combinación de comedores V y M que se debe producir diariamente, la FTM tiene que asignar sus capacidades limitadas (recursos escasos) de departamentos C y P del mismo que pueda lograr su objetivo. Resultado. Se escoge los niveles de Producción Xv y Xm tal que Maximizar Z = 200 Xv + 240 Xm (Función Objetivo) 6Xv + 12 Xm ≤ 120 (tiempo de C) 8Xv + 4Xm ≤ 64 (Tiempo de P) Xv ≥ 0 Xm ≥ 0
Problema #6 Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia el; Mayorista B a 30 Km, calcular cuantos contenedores habrá de comprar cada mayorista, con el objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Función Objetivo (Minimizar) Matematizacion del Problema. Mayorista
A Mayorista
B Necesidades Mínimas
Naranjas 8 2 16 Cajas Plátanos 1 1 5 Cajas
Manzanas 2 7 20 Cajas Distancias 150 Km 300 Km
VARIABLES INSTRUMENTALES Llamamos X al numero de contenedores del Mayorista A Llamamos y al numero de contenedores del Mayorista B Restricciones 8x + 2Y ≥ 16 X + Y ≥ 5 2X + 7Y ≥ 20 X,Y ≥ 0
Problema # 7 Una compañía tiene dos minas A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antacita de alta calidad 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad los gastos diarios de la mina A ascienden a 150 dólares y los de la mina B a 200 dólares Cuantos días deberá trabajar en cada mina para que la función de sea mínima? Función Objetivo (Minimizar) F(X) = 150X + 200y Matematizacion Problemática Mina A Mina B Necesidades
Mínimas Alta 1 2 70 Media 2 2 130 Baja 4 2 150 Coste Diario 150$ 200$ Variables instrumentales Llamamos X al número de días trabajados en la mina A Llamamos y al numero de días trabajados en la mina B Restricciones X + Y ≥ 70 2X + 2Y ≥ 130 4X + 2Y ≥ 150 X,Y≥ 0
Problema # 8 Las Texas Electronic Inc. Esta estudiando la posibilidad de agregar nuevos mini computadores a su línea con el fin de incrementar utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requería una inversión de $300,00. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50,000 unidades por año, con cada contribución en las utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300,000 y 100,000unidades respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1,2,3 requieren 1,0,2 y 0,5 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despachos deban usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y despachar como máximo 25,000cajas de mini computadores 1,1 y 3. El computador 1 es empacado por 21 cajas, computadores 2 y 3 son empacados, cada uno, 4 computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima unidad de la TEI. F.O Max. Z X1= Computadora 1 Variables X2 = Computadora 2 X3 = Computadora 3 Horas Tecnicas Registradas a 800 hrs. X1 = 1 hrs X2 = 0.2 hrs X3 = 0.5 hrs Limitantes Empaque y despacho Restringido a 25,00 cajas X1 = 1 caja X2 = 4 Pcs en 1 caja X2 = 4 PCS EN 1 Caja FO Maximizar Utilidades 20X1 + 5X2 10X3 ≥ 300,000 S.a 1X1 + 0.2 X2 + 0.5 X3 ≤ 800 hrs 1X1 + 1X2 + 1X3 ≤ 25,000 cajas CNN X1, X2, X3, ≥ 0
Problema # 9 La compañía de seguros Primos esta en proceso de in troducir dos nuevas lineas de producción. Seguro de riesgo especial e hipotecas. Las ganancias esperadas es de $5.00 por el seguro de riesgo especial y $20 por un idad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de ve nta de las nuevas lineas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimi entos de trabajo son los siguientes.
Horas hombre por unidad
Depto. Riesgo Especial Hipotecas Horas hombre disponible
Suscripciones 3 2 2400 Administración 0 1 800
Reclamaciones 2 2 0 1200 Resumen Variables X1 = Seguro de riesgo esperado X2 = Hipotecas F.O Restricciones Suscripciones 3X1 + 2X2 ≤ 2400 Admón... 0X1 + 1X2 ≤ 800 Reclamaciones 2X1 + 0x2 ≤ 1200 CNN. X1 , X2 ≥ 0
Problema # 10 Un Fabricante esta tratando de decidir sobre las ca ntidades de producción para dos artículos; mesas sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de mat erial y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 6 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contr ibución es el mismo para las sillas $5.00 por unidad. El fabricante prometió con struir por lo menos 2 mesas. Maximizar Z = 5X1 + 5X2 En donde X1 es el número de mesas producidas X2 = numero de sillas producidas La primera restricción es, entonces 12X1 + 8X2 ≤ 96 6X1 + 12X2 ≤ 72 Existe una limitación más. El fabricante prometió p roducir por lo menos dos mesas. Esto puede expresarse como: X1 ≥ 2 Por ultimo, las restricciones de no negatividad son : X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 Poniendo todo junto el modelo se tiene: Maximizar Z= 5X1 + 5X2 Restricciones 12x1 + 8x2 ≤ 96 6X1 + 12X2 ≤ 72 X1 ≥ 2 CNN. X1,X2 ≥ 0
Problema # 11 Una empresa papelera recibe un pedido de rollos de papel de la misma calidad y espesor para los siguientes anchos. 500 rollos de 30 in, 450 rollos de 45 in y 150 rollos de 56 in. En las bodegas de la empresa solo se tiene en existencia en esta calidad de papel en ancho de 108 in, por lo que se piensa deben someterse a un proceso de corte longitudinal si se desea cumplir la demanda de este pedido. Formular un modelo de programación lineal correspondiente a este problema. Función Objetivo. Min Z= 18X1 + 3X2 + 22X3 + 18X4 + 7X5 Variables. X1, X2, X3,X4, X5 = Numero de cortes necesarios para cumplir el pedido con un mínimo de desperdicio de papel. Restricciones: 3X1 + 2X2 + 3X3 ≥ 500 Rollos de 30” X2 + X4 + X5 ≥ 450 Rollos de 45” 2X3 + x5 ≥ 150 Rollos de 56” Las unidades. Para restricciones Para Función Objetivo Condición de no negatividad. X1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
Problema # 12 Una Compañía produce 2 productos A y B. cada uno de los cuales requiere tiempo en tres maquinas, como se indica a continuación. Producto Hrs. Maquina 1 Hrs. Maquina 2 Hrs. Maquina 3 Utilidad
A 2 4 3 $250 Kg. B 5 1 2 $300 Kg.
Si el numero de horas disponibles en cada maquina al mes de 200 en la maquina uno, 240 en la maquina dos, 190 en la maquina tres. Determine cuantas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad. X1 = Productos A (Unidades) X2 = Productos B (Unidades) F.O Max. Z= 250 X1 + 300 X2 Restricciones 2X1 + 5X2 ≤ 200 4X1 + 1X2 ≤ 240 3X1 + 2X2 ≤ 190 CNN. X1,X2 >= 0
Problema # 13 Una Compañía produce dos tipos de productos A y B. Cada unidad de A requiere de 2 horas en la primera maquina y 5 horas en la segunda maquina, cada unidad de B demanda 4 horas a la semana en la primera maquina y 110 horas en la segunda maquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B, Cuanto deberá de producirse de cada unidad con el objetivo de maximizar la utilidad total? X1 = Producto A (unidades) X2 = Producto B (unidades) F.O Max. Z + 70 x1 + 50x2 Restricciones 2X1 + 4x2 ≤ 100 5x1 + 3x2 ≤ 110 Cnn X1, x2 ≥ 0
Problema # 14 Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin Mezclar) I y II, de los cales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II. Mientas que la marca súper consta de dos terceras partes del grado I y una tercera parte de grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezclar. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5 mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6. Cuantos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?. X1 = ala cantidad de güisqui de la marca regular en galones X2 = a la cantidad de güisqui de la marca súper en galones F.o Max. Z = 5x1 + 6x2 Restricciones 1500 X1+ 1000x2 ≤ 3000 2250x1 + 500x2 ≤ 2000 CNN. X1,x2 ≥ 0
Problema # 15 Un joyero fabrica 2 tipos de anillos: los anillos A 1 precisan 1g de oro y 5g de plata vendiéndose a $40 cada uno. Para los anillos de tip o a2 emplea 1.5g de oro y 1gr de plata y los vende a $50. El joyero dispone en su ta ller de 750gr de cada metal. Calcula cuantos anillos deben fabricar de cada clas e para obtener el máximo beneficio? F.O X1 = Anillos A1 MAX Z = 40x1 + 50x2 vari ables X2 = anillos A2 S.a Material de ORO X1= 1gr 1x1 + 1.5 x2 ≤ 750 Restricciones X2 = 1.5 gr. 5x1 + 1x2 ≤ 750 Marerial de Plata X1 = 5gr X2 = 1gr CNN. X1, x2 0 F.O Utilidades X1 = $40 X2 = $50
Problema # 16 En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una maquina de ensamble A y otra de terminado B, antes de salir a la venta, el producto 1 se vende a $ 60 y el producto 2 a $ 50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto.
Producto Maquina A Maquina B 1 2H 3H 2 4H 2H
Total Disponible 48H 36 H Sea X1 y X2 la cantidad de productos a producir de A y B F.O Max z = 60 X1 + 50 X2 Sujeto a 2 Restricciones Maquina A: 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 Maquina B: 3 X1 + 2 X2 ≤ 36 CNN. X1, X2 ≥ 0
Problema # 17 Una compañía fabrica 2 tipos de celulares diferentes, para fabricarlos ser utilizan 30 gr. de un producto A y 15 gr. de un producto B para el primer tipo. Para el segundo Tipo se utilizan 13 gr. del producto A y 23 gr. del producto B. la ganancia del primer celular es de $100 pesos y del segundo tipo de celular es de $75 pesos si cuanta con: 300 gr. del Producto A 250 gr. del Producto B Cuantas cantidades de cada tipo de celular debe producir la compañía para maximizar sus ganancias? F.O Max Z = 100 X1 + 75 X2 S.A 30 X1 + 13 X2 ≤ 300 15 X1 + 23 X2 ≤ 250 Variables X1=Primer tipo de Celulares X2= Segundo tipo de celulares CNN. X1, X2 ≥ 0
Problema #18 Un Fabricante de palillos de dientes produce dos clases de palillos, redondos, rectangulares, los departamentos de producción también son dos el de corte y el de empaque, el primero puede procesar 350 cajas de palillos redondos o 626 de palillos rectangulares por hora los dos, el departamento de empaque puede procesar 600 cajas de palillos redondos y 300 cajas de palillos rectangulares. La contribución de costo para la caja de palillos redondos es de $0.030 y pare la de rectangulares es de $0.040 y $0.045 respectivamente. Articulos o Productos (VARIABLES) Redondo = X1 Rectangulares = X2 Corte 350 c/hr (redondo) 625 c/hr (Rectangulares) Restricciones Empaque 600 c/hr (Redondo) 300 c/hr (Rectangulares) Costos $0.30 / Unidad $0.35/Unidad Utilidad $0.40 / Pieza $0.45/Pieza
Producto Corte Empaque Costos Utilidad Redondo 350 c/hr 600 c/hr 0.30/ unidad 0.40/pza
Rectangular 625 c/hr 300 c/hr 0.35/unidad 0.45/pza Totales 975 900
Funcion Objetivo (F.O) Restricciones S.A Min Z= X1 X2 Corte 1.350 X1 + 625 X2 = 975 MAZ Z = X1 X2 Empaque 2.600 X1 + 300 X2 = 900 Min Z = 0.30 X1 + 0.35 X2 (Costo) CNN. X1, X2 ≥ 0 Max Z = 0.40 X1 + 0.45 X2 (Utilidad)
Problema # 19 Un avión de carga tiene 3 compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero estos compartimentos tienen un limite tanto de peso como de espacio. Compartimiento Cap. De peso (Toneladas) Cap. De espacio (Pies Cubicos)
Delantero 12 7000 Central 18 9000 Trasero 10 5000
Para mantener el avión balanceado, es el peso de la carga de los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad se encuentra con oferta para los siguientes envíos para un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio disponible.
Carga Peso (Toneladas) Volumen (Pies Cubicos) Ganancias (Toneladas) 1 20 500 320 2 16 700 400 3 25 1000 360 4 13 400 290
F.O Max 350X1 + 400X2 + 360X3 + 290 X4 SA. 20X1 + 16X2 + 25X3 + 13X4 ≤ 12(d) 20X1 + 16x2 + 25X3 + 13X4 ≤ 18 (c) 20X1 + 16x2 + 25X3 + 13X4 ≤ 10 (t) 500X1 + 70X2 + 600X3 + 400X4 ≤ 7,000 500X1 + 70X2 + 600X3 + 400X4 ≤ 9,000 500X1 + 70X2 + 600X3 + 400X4 ≤ 5,000 CNN. X1, X2, X3, X4 ≥ 0
Problema # 20 La compañía gillette produce hojas para rasurar actualmente produce 2 tipos de hojas de rasurar de acero inoxidable y la de aluminio. La 1ra requiere para ser producida 8 unidades de acero al carbón t 2 unidades de aleaciones de ácido por cada 100 hojas mientras que la de aluminio requiere de 4 unidades de acero al carbón y 6 unidades de aleación de ácido para cada 100 hojas. Como resultado de un reciente estu8dio la compañía tiene un inventario de 24 mil unidades de acero al carbón y 10mi unidades de aleación de ácido, los cuales están disponibles para la producción de los 2 tipos de hojas que reportan en orden respectivo y por cada 100 hojas dicha compañía tiene una ganancia de 1 peso y 1.5 de utilidad respectivamente los cuales desea incrementar. F.O = Max Por que desea incrementar sus ganancias. X1 , x2 2 departamentos: 24 mil de acero al carbón 10 mil de aleación de ácido F.O Max Z = 1X1 + 1.5 X2 Sa. 8X1 + 4X2 ≤ 24000 2X1 + 6x2 ≤ 10000 CNN. X1, X2, ≥ 0
Problema # 21 La compañía ESPECIES INDIAN C.A tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos ESPECIES INDIAN C.A usa los dos ingredientes HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que puede producir, solo vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry6. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Utilizando el método gráfico, determine el consumo de especias que maximice el ingreso de la empresa.
Aderezo Ingredientes (Onzas / Bot)
Demanda (Botellas)
Precio de Venta por Botella ($) HB1 HB2
Curry 5 3 1500 2750 Pimentón 2 3 Ilimitada 1300
Disponibilidad (Onzas)
10000 8500
F.O Maximizar Z= 2750 X1 + 1300 X2 Sa. 5X1 + 3X2 ≤ 1500 2X1 + 3X2 ≥ 1 X1 ≤ 100000 X2 ≤ 8500 CNN. X1, X2, ≥ 0
Problema # 22 En una fábrica de Carros se construyen 2 tipos de autos, El Z y el GT-R, el primero utiliza 6 cilindros mientras que el segundo 10, también el primero utiliza 2 frenos y el segundo 4. Pero en cuanto a válvulas el; primero ocupa 24 mientras que el segundo 16. Si el primer auto se vende en $25,000 y el segundo en $38,000 como podemos sacar una utilidad máxima si consideramos que el almacén tiene solo 75 cilindros, 45 frenos y 160 válvulas. Solución F.O Max Z = 25,000 X1 + 38,000 X2 Sa. 6X1 + 10X2 ≤ 75 2X1 + 4X2 ≤ 45 24X1 + 16X2 ≤ 160 CNN. X1, X2, ≥ 0
Problema # 23 La Compañía X Y Z produce juguetes, los osos bobby y teddy. Cada uno de estos productos debe ser procesado en 2 maquinas diferentes. Una maquina tiene 12 hrs. de capacidad disponibles y la otra 8. Cada Boddy producido necesita 2 hrs. De tiempo en cada maquina. Cada teddy producido requiere 3hrs, de tiempo en la primera maquina y 1hrs. En la segunda maquina. La ganancia incrementa es de $ 6.00 por cada boddy y de $7.00 por cada teddy vendidos y la firma puede vender tantas unidades de cada producto como fabricante. El problema es determinar cuantas unidades de boddy y teddy deben producirse. F.o Max Z = ? F.O Max Z = 6x1 + 7x2 Variables: X1 Boddy X2 Teddy Restricciones Maquina 1 disponible 12 hrs. 2X1 + 3X1 Maquina 2 disponible 12 hrs. 2X1 + 1X1 F.O Utilidades X1 = $6.00 X2 = $7.00 S.A 2X1 + 3X2 ≤ 12 hrs. 2X1 + 1X2 ≤ 8 hrs. CNN. X1, X2, ≥ 0
Problema # 24 Una Compañía textil tiene una planta de producción de fibras sintéticas y en la línea de producción procesa 2 clases de fibras: La F1 y la F2 la producción en el departamento de hilanderia requiere de 20 y 40 hrs. p/cada mil lb., este departamento cuenta con una disponibilidad de 2000 hrs. Al mes. En el departamento de estiramiento requiere de 60 y 80 hrs. Para cada 1000 lb. De F1 y F2 respectivamente, este departamento tiene disponibilidad de 4800 hrs. Al mes y el departamento de corte requiere de 100 y 60 hrs. Para sacar mil libras de dichas fibras contando con una disponibilidad de 6000 hrs. Mensualmente las ventas limitan las ventas de producción de F1 a un máximo de 23000 lb. Al mes. ¿Cuánto deberá de producirse de cada fibra en el fin de maximizar utilidades sabiendo que las contribuciones de las fibras F1 y F2 son 100 y 150 para cada mil Fibras respectivamente? F.O Maximizar 100X1 + 150 X2 Variables X1 = F1 (Fibra uno) X2 = F2 (Fibra dos) Sa. 20X1 + 40X2 ≤ 2000 hrs. 60X1 + 80X2 ≤ 4800 hrs. 100X1 + 60X2 ≤ 6000 hrs. X1 + X2 ≤ 2300 lb. CNN. X1, X2, ≥ 0
Problema # 25 La fabrica ACE tiene la opción de producir dos productos en periodos de actividad holgada. Para la próxima semana la producción se ha programado para que la maquina que muele este libre 20hrs. Y la mano de obra calificada tenga 16hrs. De tiempo disponible. El producto 1 requiere 8hrs. De tiempo maquina y 4hrs. De mano de obra calificada. El producto 1 Contribuye $7dlls. Por unidad a las utilidades y el producto 2 contribuye con $5dlls. Variables Maquina P1 8hrs 4hrs Mano de obra P2 4Hrs 4hrs Restricciones 20 hrs. 16 hrs. F.O. $7 dlls. $5 dlls. F.O. Máx. Z = 7x1+5x2 s.a 8x1+4x2<20 4x1+4x1<16 CNN x1, x2 Métodos por el cual se puede resolver: -Grafico -Simplex
Problema # 26 La main snowmobil company fabrica dos clases de maquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La maquina de lujo requiere de 18hrs. De mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400 dlls. La maquina estándar requiere de 3 hrs. De mano de obra, 4 hrs. de prueba y produce una utilidad de $200 dlls. Se dispone de 800 hrs. Para mano de obra y 600 hrs. Para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es mas de 50 y de la maquina estándar no es mas de 150. La gerencia desea saber el numero de maquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Variables X1 18hrs. 9hrs X2 3hrs 4hrs Restricciones 800 hrs. Mano de obra 600 hrs. De prueba F.O. $400 dlls. $200 dlls. F.O Max Z= 400x1+200x2 S.a 18x1+3x2 < 800 9x1+4x2 < 600 CNN x1+x2 >0 Métodos por el cual se puede resolver: -Grafico -Simplex
Problema # 27 Un joyero fabrica dos tipos de anillos: los anillos A1 precisan 1gramo de oro y 5 de plata vendiéndolos a $40 dlls. Cada uno. Para los anillos A2 emplea 1.5 gramos de oro y 1 gramo de plata y los vende a $50 dlls. El joyero dispone en su taller de 750 gramos de cada metal. ¿Calcular cuantos anillos debe fabricar de cada clase para obtener el máximo beneficio? Variables A1 1 gramo de oro 5 gramo de plata A2 1.5 gramos de oro 1 gramo de plata Restricciones 750 gramos c/metal F.O. $40 dlls. $50 dlls F.O Max Z = 40x1+50x2 S.a x1+1.5x2 < 750 5x1+x2 < 750 CNN x1+x2 > 0 Métodos por el cual se puede resolver: -Grafico -Simplex
Problema # 28 Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 2000 pst. Y 3000 pst. Por unidad respectivamente. Desea saber cuantas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos teniéndose las siguientes restricciones: -El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario. -Cada mesa requiere 2 hrs. Para su fabricación; cada silla 3 hrs. La jornada laboral máxima es de 10 hrs. -El material utilizado en cada mesa cuesta 400 pst. El utilizado en cada silla cuesta 200 pst. Cada operario dispone de 1200 pst. Diarias para material. Variables X1 2 hrs. mesas 400 pst x2 3 hrs. sillas 200 pst. Restricciones 4 unidades por día 10 hrs. Máximo de trabajo 1200 pst. F.O. 2000 pst. P/unidad 3000 pst. P/unidad F.O Max Z = 2000x1+3000x2 S.a 2x1+3x2 < 10 400x1+200x2 < 1200 X1+X2 < 0 CNN x1, x2 > 0 Métodos por el cual se puede resolver: -Simplex -Grafico
Problema # 29 La compañía IBM produce 2 tipos de impresoras de lujo y la común la primera tiene un precio de $100 dlls. Y la común a un precio de $120 dll Para ello se cuenta con una capacidad de producción limitada ya que la primera impresora necesita de 3hrs. De mano de obra directa y 4hrs. Para el acabado, y la segunda maquina requiere de 6hrs. De mano de obra directa y 2hrs. De acabado. Cuantas impresoras y de que tipo hay que producir para maximizar las utilidades, IBM cuenta con 60hrs. De mano de obra y 32hrs. De acabado. Función Objetivo X1 $100dlls. Por maquina X2 $120dlls. Por maquina Variables X1 3hrs. Mano de obra 4hrs. Acabado fino x2 6hrs. Mano de obra 2hrs. Acabado fino Restricciones 60hrs. Mano de obra 32hrs. Acabado fino F.O Max Z = 100x1+120x2 S.a 3x1+6x2 < 60 4x1+2x2 < 32 Cnn x1+x2 > 0 Métodos por el cual se puede resolver: -Grafico -Simplex
Problema # 30 La compañía Word Light produce 2 dispositivos para lámparas (producto 1 y 2), que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar las ganancias. -Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de parte de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. -Por cada unidad del producto 2 necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 peso, y cada unidad del producto, hasta 60 unidades da una ganancia de $2 pesos. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar mas de 60 esta fuera de consideración. Variables P1 1 unidad de metal 2 unidades de eléctricos P2 3 unidades de metal 2 unidades eléctricas Restricciones 200 unidades metal 300 “ “ eléctricas Función objetivo $1 peso $2 pesos F.O Max Z = x1+x2 s.a x1+3x2 < 200 2x1+ 2x2 < 300 60x2 > 0 Cnn x1+x2 > 0
Problema #31 Un empresario tiene la opción de invertir en dos planes: el plan A garantiza que cada dólar invertido ganara $0.70 un año después, y el plan B garantiza que cada dólar invertido ganara $2 a los 2 años. En el plan A se pueden hacer periodos múltiplos de 2 años, ¿Cómo deba de invertir $100000 el empresario para maximizar las ganancias al final de 3 años? Ganancia $.70 dlls $ 2 dlls Plan A 1 año Plan B 2 años F.O Max Z = .70x1+2x2 s.a X1 > 1 X2 < 2 X1+X2 < 100000 cnn X1+X2 > 0
Problema # 32 Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20 % de nueces, mientras que la más cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuate y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuantos kilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de $10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cada kilo de la mezcla más cara? Variables X1 80% cacahuates 20% nuez X2 50% cacahuates 50% nuez Restricciones 1800 k cacahuate 1200 k nuez Función Objetivo $ 10 $ 15 F.O Max Z = 10x1+15x2 S.a 80x1+50x2 < 1800 20x1+50x2 < 1200 Cnn x1+x2 > 0
Problema # 33 Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento mínimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y acciones de alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10% y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10% y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínimo que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de la inversión.
