TEORÍA MATEMÁTICAS 3º E.S.O.

TEMA 1. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números naturales: Se representan con la letra N.

N= {1,2,3,. .. .. . .. .. . . }

Números enteros: Se representan con la letra Z.

Z={.. . .. .. . .. .. . .-3, . 2,-1,0,1,2,3, .. . .. .. . . }

Son los naturales, los naturales con signo menos y el cero.

N Z se lee: N contenido en Z, es decir todo número natural es entero.

Números racionales: Se representa con la letra Q.

Son todos los que se pueden expresar en forma de razón o fracción: los enteros (fracciones con denominador uno), decimales exactos y decimales periódicos.

Z Q se lee: Z contenido en Q, es decir todo número entero, y por eso también todo número natural, es racional.

Números irracionales: Se representan con la letra I.

Son los que no se pueden expresar como razón: decimales infinitos y no periódicos, las raíces no exactas y los números , e.

Por su propia definición un número racional no es irracional y análogamente un número irracional no puede ser racional.

Números reales: Se representan con la letra R.

Los números racionales y los irracionales forman los números reales R:

Q I = R

Son números reales los naturales, enteros, fraccionarios (decimales exactos y periódicos) e irracionales (decimales infinitos y no periódicos).

No son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.

Todos los números reales se pueden representar en una recta.

NÚMEROS ENTEROS

El valor absoluto de un número entero es el número prescindiendo del signo.

Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman los valores absolutos de los números y se deja el signo que llevan.

Para sumar números enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de los números y se deja el signo del de mayor valor absoluto.

Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto y cambiado el signo.

Para hallar el opuesto de un número le cambiamos el signo.

Para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Para multiplicar números enteros del mismo signo se multiplican los valores absolutos y se pone el signo +.

Para multiplicar números enteros de distinto signo se multiplican los valores absolutos y se pone el signo -.

Para dividir números enteros del mismo signo se dividen los valores absolutos y se pone el signo +.

Para dividir números enteros de distinto signo se dividen los valores absolutos y se pone el signo -.

Para sumar varios números enteros se puede hacer de dos formas:

a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen.b) Se suman los números que llevan el signo +. Se suman los números que llevan el signo -. Por último se

restan los valores absolutos de los resultados dejando el signo del valor absoluto mayor.

Para multiplicar varios números enteros se puede hacer de dos formas:

a) Se hacen las operaciones sucesivamente en el orden que aparecen.b) Se multiplican los números prescindiendo del signo. A continuación contamos los números que llevan

signo menos, si sale número par se pone signo + y si sale número impar se pone signo -.

El cálculo con paréntesis se puede hacer de dos formas:

a) Realizando las operaciones de dentro del paréntesis y luego quitar el paréntesis.b) Quitar primero el paréntesis y luego realizar las operaciones indicadas.

Antes de quitar el paréntesis debemos tener en cuenta qué signo le precede: Cuando se suprime un paréntesis precedido del signo + se dejan los signos de los números del interior del paréntesis como están. Cuando se suprime un paréntesis precedido del signo -, se cambian todos los signos de los números del interior del paréntesis.

Si el paréntesis está multiplicado por un número, para suprimir el paréntesis se aplica la propiedad distributiva multiplicando cada uno de los sumandos del interior del paréntesis por el número.

RECUERDA: si hay paréntesis se realizan antes los paréntesis, después las potencias, los productos y divisiones y finalizamos por las sumas y restas.

Si no hay paréntesis, se realizan antes las potencias, después los productos y divisiones y finalizamos por las sumas y restas.

FRACCIONES Y DECIMALES.

Si dividimos el numerador de una fracción por su denominador el resultado es un número decimal exacto o periódico.

Un número decimal es exacto si su parte decimal tiene un número limitado de cifras distintas de cero. 2’437

Un número decimal es periódico si su parte decimal es ilimitada repitiéndose periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo.

Un número decimal es periódico puro o simple si su periodo comienza a partir de la coma. 3’47474747......= 3’47

Un número decimal es periódico mixto si su periodo no comienza a partir de la coma., la parte decimal que no se repite se llama antiperiodo.

1’5727272.....=1’572

Si tenemos un número decimal exacto o periódico podemos encontrar la fracción que lo genera o fracción generatriz.

Reglas para obtener la fracción generatriz:

Si el decimal es exacto:

Fracción =número sin coma

unidad seguida de tantos ceros como cirfras decimales tenga 1'72=172

100

Si el decimal es periódico puro o simple:

fracción =parte entera,periodo − parte entera

tantos nueves como cifras tiene el periodo1 ' 232323 .. ..=123−1

99

Si el decimal es periódico mixto:

fracción =parte entera, antiperiodo, periodo − parte entera, antiperiodotantos nueves como cifras tiene el periodo, tantos ceros como cifras tiene el antiperiodo

2 ' 349999 .. .. . .=2349−234900

Recuerda que una fracción impropia se puede escribir como un número mixto:

152

= 7+12

y se escribe 712

TEORÍA DE LAS POTENCIAS.

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto en el que se repite siempre el mismo factor.

an=a .a.a .a . .. .a⏞nfactores

El número a es la base y la n el exponente: base→an→exponente

Por ejemplo 54=5·5 ·5 ·5 donde 5 es la base, 4 el exponente y 5

4la potencia . Se lee cinco elevado a 4.

Para multiplicar potencias que tienen igual base se suman los exponentes y se deja la misma base. Ejemplo: 57. 54 = 57+4= 511

Para dividir potencias que tienen igual base se restan los exponentes y se deja la misma base. Ejemplo: 57 : 54 = 57-

4= 53

El producto de potencias de distinta base y con igual exponente es una potencia que tiene de base el producto de las bases y de exponente el mismo

Ejemplo: 52 . 22 . 42= (5·2·4)2= 402

El cociente de potencias de distinta base y con igual exponente es una potencia que tiene de base el cociente de las bases y de exponente el mismo

Ejemplos: 153 : 53= (15:5)3 = 33

42

22=( 4

2 )2

=22

Para elevar un producto de varios números a una potencia, se eleva cada uno de los factores a esa potencia. Si es un cociente se eleva el dividendo y el divisor de la potencia. Si es una fracción el numerador y el denominador de la potencia.

Ejemplos: (5·2·4)2= 52 . 22 . 42= 402 ; (15:5)3 = 153 : 53= 33

( 4

2 )2

=42

22== 22

Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes y se deja la misma base. Ejemplo

(32 )3=(3 )2·3=36

El signo de la potencia de base positiva es siempre positivo.

Ejemplos: (+4)2 =+16 (+5)3 =125

El signo de la potencia de base negativa y exponente par es positivo.

Ejemplos: (- 4)2 = +16 (-5)4 = 625

El signo de la potencia de base negativa y exponente impar es negativo.

Ejemplos: (- 2)5 = - 32 (-5)3 = - 125

Una potencia de exponente negativo es igual a la potencia que tiene la base inversa y el exponente positivo.

Ejemplos: (2 )−3=( 1

2 )3

( 2

5 )−2

=( 52 )

2

Si queremos cambiar el signo del exponente tendremos que invertir la base.

TEORIA DE RADICALES

Definición de raíz n - ésima de un número real

Llamamos raíz n - ésima de un número real a, a otro número real b que, elevado a la potencia n, nos da como resultado el radicando.

n√a= b ⇔ bn= a

Ejemplos : 5√32=2 pues 25=32 4√81=±3 pues (±3 )4=81

En la siguiente raíz los elementos que la componen reciben el nombre de:

Todas las operaciones en las que aparece el signo radical se llaman operaciones con radicales o simplemente radicales.

Un radical es igual a una potencia de exponente fraccionario que tiene de base la base del radicando y de exponente una fracción cuyo numerador es el exponente del radicando y cuyo denominador es el índice del radical.

c n√am=b {

La letra b es la raíz La letra n es el índice La letra m es el exponente del radicandoEl signo√ se llama signo radical La letra c es el coeficiente La expresión am es el radicando

n√am=amn

Ejemplos: 5√2x3=(2x3 )

15=2

15 x

35 2x

32 y

13= 2√x3 5√ y

Propiedad fundamental de los radicales: El valor de un radical no cambia si se multiplican o se dividen el exponente del radicando y el índice del radical por un mismo número.

n√am=n. p√am . p

Esta propiedad nos permite transformar radicales en otros equivalentes y se utiliza para:

1) Simplificar radicales: si dividimos el exponente de radicando y el índice del radical por el mismo número.

Ejemplo: 6√32=3√3

2) Reducir radicales a índice común: para ello calculamos previamente el mínimo común múltiplo de los índices y éste será el índice común. Posteriormente multiplicaremos el exponente de cada radical por el mismo número que hemos multiplicado sus índices (es el que resulta de dividir el índice común por el índice que tenía el radical)

Ejemplo: 3√2x2 , √ y3 ,

5√32 ⇒

30√210 x20 ,30√ y45 ,

30√312

Racionalizar radicales es sustituir una fracción por otra equivalente que no tenga raíces en el denominador.

Estudiaremos los casos siguientes:

1) Si el denominador es un monomio con un radical de índice dos, se multiplican numerador y denominador por el radical del denominador.

Ejemplo: 3

4√5= 3 √5

4√5√5= 3√5

4 (√5)2=3√5

4 .5=3√5

20

2) Si el denominador es un monomio con un radical de índice n, multiplicaremos los dos términos de la fracción por la raíz n-ésima de una expresión cuyo producto por el radicando del denominador sea potencia n-ésima perfecta.

Ejemplo: 3

5√2x3 y2= 3

5√24 x2 y3

5√2x3 y2 5√24 x2 y3=3

5√24 x2 y3

5√25 x5 y5=3

5√24 x2 y3

2xy

3) Si en el denominador aparecen binomios con radicales de índice dos, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado se obtiene al cambiar el signo de uno de los términos del binomio. En el denominador queda el producto de una suma por una diferencia que es igual a la diferencia de sus cuadrados y de esta manera eliminamos sus raíces.

Ejemplos:6√5+ y

=6 (√5− y )(√5+ y )(√5− y )

=6 √5−6y(√5 )2− y2

=6√5−6y5− y2

3√2−√6

=3(√2+√6 )( √2−√6 )(√2+√6)

=3√2+3 √6(√2)2−(√6 )2

=3√2+3√62−6

=3√2+3√6−4

Los radicales son homogéneos si tienen el mismo índice.

Ejemplo 5√ x , 5√yz , 5√2x

Los radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplo 5√ x , -5 5√x , 3 5√ xPara introducir un factor dentro de un radical, basta elevar ese factor a un exponente igual al índice del radical.

Ejemplo: 4x2 3√ y=3√43 x6 y

Para extraer factores de un radical realizamos la división del exponente entre el índice. El cociente es el exponente del factor que extraemos de la raíz y el resto es el exponente del factor que se queda en el radicando. Sólo se pueden extraer los factores que tienen un exponente mayor o igual que el índice.

Ejemplo:3√27 x3 y2= 22 x

3√2y2

Operaciones con radicales.

Para sumar radicales tienen que ser semejantes. Para sumar radicales semejantes se suman los coeficientes de los sumandos y se deja el mismo radical.

En el caso de que los radicales no sean semejantes, hay que intentar transformarlos en otros equivalentes que sí lo sean (Reduciendo a índice común, racionalizando o sacando factores) En el caso que no se pueda, la operación se deja indicada.

Ejemplo: a √bc+a2√bc−2a √bc=( a+a2−2a )√bc=(a2−a )√bc

Para multiplicar radicales tienen que ser homogéneos. Para multiplicar radicales homogéneos se multiplican los radicandos y los coeficientes dejando el mismo índice. Si los radicales no son homogéneos los transformamos reduciendo a índice común.

Ejemplo: 3√2x ·√3y=

6√22 x2 ·6√33 y3=

6√22 ·33 x2 y3

Para elevar un radical a una potencia: elevaremos su radicando a dicha potencia.

Ejemplo :(3√ x2)4=

3√x8

Raíz de una raíz es una raíz que tiene por índice el producto de los índices y el mismo radicando.

Ejemplo:5√3√xyz=15√ xyz