Teoría introduccion a la trigonometria

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Introducción a la trigonometría y a las funciones trigonométricas

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Teoría de Introduccion a la trigonometría, por alumnos de 3° Polimodal.

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Page 1: Teoría introduccion a la trigonometria

Introducción a la trigonometríay a las funciones trigonométricas

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Un poquito de historia

Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.

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La trigonometría resuelve el siguiente problema: conocidos algunas de las componentes de un triángulo, determinar las restantes

La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos datos determinan que salvo por posición un triángulo de lados dados, la trigonometría (práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

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a

cb

Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que

a2 + b2 = c2,

Comencemos con triángulos rectángulos.

conocemos el tercer lado. Eso sí, debemos saber si los lados que conocemos son catetos o la hipotenusa.

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NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retícula. Los triángulo de las esquinas tienen los mismos ángulos.

Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retícula. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras igual a c/r.

Resolución de triángulos rectángulos.

Pero no tenemos ninguna información acerca de los ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este problema.

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Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente

¿ Cuál será la altura del árbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

Problema

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Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

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a2 + b2 = c2

c

a

b

a/c

b/c

(a/c)2 + (b/c)2 = 1

pasamos a

1

de 1

Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

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Relacionamos ángulos y longitudes con Tablas de Cuerdas

En un comienzo, a cada ángulo se asoció la cuerda subtendida por él en una circunferencia de radio fijo.

αcuerda α

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Tablas de cuerdas

Razonando con la figura allado se muestra que

2sen

2 cuerda αα =

/2α/2α

Page 11: Teoría introduccion a la trigonometria

Tablas de cuerdas

Para conseguir nuevos valores seusa la identidad

α

αα cos 1

2sen 2 2 −=α cos 1−

αsen

y se obtienen tablas de cuerdas quevan de 5o en 5o.

Page 12: Teoría introduccion a la trigonometria

Construcción de Tablas

ángulo cuerda seno coseno tangente

60o 11/2

30o 1/2

15o

45o ? 1

23

23

3

3

1

22

2 232 −

232 +

32

1

+

32 −

22

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La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia

αsen

α cos

αtan

αcotan

α cosec

α sec

αsecante

cosecante radi

o seno

tangente

cotangentecoseno

α

α

α

Page 14: Teoría introduccion a la trigonometria

Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo

α

ca==

hipotenusa opuesto cateto

sen α

a

b

cαb/c

a/c1

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Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo

α

cb==

hipotenusa adyacente cateto

cosα

a

b

cαb/c

a/c1

Page 16: Teoría introduccion a la trigonometria

Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo

αa

b

cαb/c

a/c1

ba==

adyacente cateto opuesto cateto

tan αab==

opuesto cateto adyacente cateto

cotan α

Page 17: Teoría introduccion a la trigonometria

Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo

αa

b

cαb/c

a/c1

bc==

adyacente cateto hipotenusa

secαac==

opuesto cateto hipotenusa

cosecα

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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos sen

α cos α sen -1 2

αtan

αcotan

α sec

α cosec

=

=

=

=

=

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Identidades Trigonométricas

α1

cos α

sen α

La identidad fundamentales consecuencia delTeorema de Pitágoras

1cos sen 22 =+ αα

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Identidades Trigonométricas

α

1

Si es el ángulo complementariode , hay un triángulo rectánguloque los tiene como ángulos agudosy se tiene que

( )βαβ −== 90 coscossen

αβ

( )βαβ −== 90sen sen cos

β

cos α

sen α

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Identidades Trigonométricas

1

α

En una diapositiva anteriordemostramos que

ααcos1

2 2sen2 −=

ββ sen212 cos 2−=

o bien, tomando αβ 2=

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α

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.

El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo.

ααP

αP

Pero no es necesario tener todo el rectángulo, bastacon tener la recta que une con el origen.αP

Page 23: Teoría introduccion a la trigonometria

α

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj:

α

αPl αsen

la abscisa de la ordenada de

α cos αP

lαP

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α

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada

α

αP

l

αta

n

βP

βta

n

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α

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

αP

l

I II III IV

sen α + + - -cos α + - - +tan α + - + -

βP

δPγP

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

αP

III

III VI

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α

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

1

El círculo unitario también nos permite usar longitudes para medir ángulos, aprovechando que el ángulo es proporcional al arco que subtiende. Un ángulo de un radián es el ángulo que subtiende un arco de longitud uno.

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Medida absoluta de ángulos:RADIANES

Como la circunferencia unitaria mide 2π, un cuarto de circunferencia mide π/2 y como un ángulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia, el ángulo recto mide π/2 radianes.

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Medida absoluta de ángulos:RADIANES

π/2 90oComo

Entonces si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados,

πRad

180Grad =

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INTEGRANTES

Buontempo, MarianelaOvalle, CamilaCéspedes, SofíaDuran, Natalia

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BIBLIOGRAFÍA

Paginas de InternetStefan WanerBlog Universidad de CobombiaMatemática Aplicada Prof, Omar CiroInstituto Matemático Barcelona