Teoría Electromagnética Murphy · Campo magnético de la tierra ≅ 5x10-5 T=0.5 Gauss Campo...

Teoría Electromagnética Murphy ———————————————————————————————————————————————

——————————————————————————————————————————————— —310—

CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA

Campo Eléctrico: Generado por partícula fuente en reposo

Campo Magnético: Generado por partícula fuente en

movimiento uniforme (no acelerado) Diferencia relativa: Mismo fenómeno observado desde distintos puntos de vista

Campo Electro-Magnético (ondas electromagnéticas): Generado por partícula fuente en

movimiento acelerado (no uniforme)


——————————————————————————————————————————————— —311—

Fuerza magnética:

( )BvF ×= qM

v ⇒ velocidad de la partícula (m/s) B ⇒ campo magnético (T; Tesla)

T = Ns

Cm= N

Am

Campo magnético de la tierra ≅ 5x10-5 T=0.5 Gauss

Campo magnético de laboratorio ≅ 1 T

104 Gauss = 1 Tesla


——————————————————————————————————————————————— —312—

El campo magnético no efectúa trabajo:

W = − F • dl∫ = − F • vdt∫ = − q(v × B) • vdt∫ = 0

B no puede cambiar la energía total ni el momento total de una partícula

Aplicaciones: l Cámaras de burbujas (razones q/m) l Aceleradores de partículas (Ciclotrón) l Separadores de masas (implantador de iones) l Deflectores de partículas (cinescopio)


——————————————————————————————————————————————— —313—

Cámara de burbujas:


——————————————————————————————————————————————— —314—

Implantador de iones (INAOE):


——————————————————————————————————————————————— —315—

Ciclotrón (U. de Uppsala, Suecia):


——————————————————————————————————————————————— —316—

Ejemplo 38.- El Ciclotrón.

z

y

x

vyo

R

q

R

B=-Bi


——————————————————————————————————————————————— —317—

Incialmente (t=0):

( ) kkji

BvF ˆBqv00B0v0

ˆˆˆ

q yoyoM =−

=×=

Al estar en la región de campo, cambia la velocidad:

( ) jkkji

BvF ˆBqvˆBqv00B

vv0

ˆˆˆ

q zyzyM −=−

=×=

Aceleración de la segunda Ley de Newton:

( ) ( )kjkji ˆvˆvqBâââm yzzyx +−=++


——————————————————————————————————————————————— —318—

Componente por componente:

max = 0 may = -qBvz maz = qBvy

Ecuaciones de movimiento a partir de:

∂2y

∂t2= −

qBm

∂z∂t

= −ω∂z∂t

∂2z

∂t2= +

qBm

∂y∂t

= ω∂y∂t

ω ≡ qB

m

“frecuencia angular del ciclotrón”


——————————————————————————————————————————————— —319—

Sistema de diferenciales de 2do orden acopladas:

∂3y

∂t3= −ω

∂2z

∂t2 ⇒

∂3y

∂t3+ ω2 ∂y

∂t= 0

Solución general:

y(t) = Asen(ωt) + Dcos(ωt) Caso particular: y(t=0)=0 ⇒ D=0

yot 0 t 0

dy(t)A cos( t) A v

dt = == ω ω = ω = ⇒

A =

vyo

ω


——————————————————————————————————————————————— —320—

Solución en y:

y(t) =

vyo

ωsen(ωt)

∂z∂t

= −1ω

∂2y

∂t2= −

1ω

−vyoωsen(ωt)( )= vyosen(ωt)

z(t) = −

vyo

ωcos(ωt) + C

z(t=0)=0 ⇒ C=vyo/ω Solución en z:

z(t) =

vyo

ω1− cos(ωt)( )


——————————————————————————————————————————————— —321—

Velocidad de la partícula:

∂y∂t

2

+∂z∂t

2

= vyo cos(ωt)( )2+ vyosen(ωt)( )2

= vyo( )2

Cumplen con conservación de energía cinética y momento lineal

Alternativamente; ecuación de órbita:

FNETA = FM + FC = 0

0ˆR

mvˆqBv

2=+− rr

qB = mv

R


——————————————————————————————————————————————— —322—

Radio de la trayectoria: R =

mvqB

=mq

v

B

Razón q/m de una partícula:

qm

=

vRB

Momento lineal: p = mv = qBR

Con componente de velocidad en dirección del campo: trayectoria helicoidal

Ley de Lorentz: Fuerza electromagnética:

FEM = q E + v × B( )[ ]


——————————————————————————————————————————————— —323—

Ejemplo 39.- Partícula cargada en campos eléctrico y magnético uniformes.

q

B=Bi

E=Ek

z

y

x


——————————————————————————————————————————————— —324—

+=00Bvv0

ˆˆˆ

Êq zyEM

kjikF

( )[ ]kjF ˆBvEˆBvq yzEM −+=

( ) ( )[ ]kjkji ˆBvEˆBvqâââm yzzyx −+=++

ma x = 0

ma y = qBvz

ma z = q E − Bvy( )

Sistema a resolver:

∂2y

∂t2= ω

∂z∂t

∂2z

∂t2= ω

EB

−∂y∂t


——————————————————————————————————————————————— —325—

Soluciones generales:

z(t) = Acos(ωt) + Csen(ωt) + D

y(t) = E

Bt + Asen(ωt) − Ccos(ωt) + F

A, C, D y F de condiciones iniciales

Caso particular: en t=0

y=0 vy=0 z=0 vz=0

A = − 1

ωEB

C=0

D = 1

ωEB

F=0


——————————————————————————————————————————————— —326—

Soluciones particulares:

y(t) = 1

ωEB

ωt − sen(ωt)[ ] z(t) = 1

ωEB

1− cos( ωt)[ ] Corrientes y densidades de corriente:

Corriente: conjunto de partículas cargadas en movimiento

Magnitud: (cantidad de carga)/(tiempo)

I ≡ ∆Q

∆t

I ≡ ∂Q

∂t

A= Ampere = Cs


——————————————————————————————————————————————— —327—

La corriente es un vector:

E+ -

I

Corrientes continuas: no varían con el tiempo (partículas en movimiento uniforme, no acelerado).


——————————————————————————————————————————————— —328—

Densidades de corriente:

Densidad volumétrica de corriente J (A/m2)

vJ ˆA1

tQ

∆∆∆

=

J ∆A

∆l

∆τ=∆A∆l

n

∆Q=ρ∆A∆l


——————————————————————————————————————————————— —329—

vvvvJ ρ=∆∆

ρ=

∆∆∆∆ρ

=

∆∆∆

= ˆtl

Â1

tlA

Â1

tQ

( )∫ •= daÎ nJ

Dirección: la de flujo de carga positiva

Densidad superficial de corriente K (A/m)

vK ˆS

1tQ

∆∆∆

=


——————————————————————————————————————————————— —330—

K

∆l

∆A=∆S∆l

∆Sn

∆Q=σ∆l∆S


——————————————————————————————————————————————— —331—

vvvvK σ=∆∆

σ=

∆∆∆∆σ

=

∆∆∆

= ˆtl

ˆS

1t

Slˆ

S1

tQ

( )∫ •= dSˆI nK

Dirección: la de flujo de carga positiva

Corrientes filamentarias I (A)

vvvvI λ=∆∆

λ=∆∆λ

=∆∆

= ˆtl

ˆtl

ˆtQ


——————————————————————————————————————————————— —332—

Ecuación de continuidad:

J

∆A

∆τ

−

dQdt

= J •da∫


——————————————————————————————————————————————— —333—

da Positivo saliendo de la superficie. aJ d• Positivo para corriente saliendo de la

superficie (vectores paralelos). aJ d• Negativo para corriente entrando a la

superficie (vectores antiparalelos).

0d <•∫ aJ Más corriente entra de la que sale; se

acumula carga positiva en el volumen.

0d =•∫ aJ La corriente que entra es la misma que

que sale; la carga neta es la misma dentro de la superficie.

0d >•∫ aJ Menos corriente entra de la que sale; se

extrae carga positiva del volumen.


——————————————————————————————————————————————— —334—

Q = ρdτ∫ ⇒

−

dQdt

= −ddt

ρdτ∫ = −∂ρ∂t

dτ∫

−

∂ρ∂t

dτ∫ = J •da∫

Usando el Teorema de la Divergencia:

−

∂ρ∂t

dτ∫ = ∇ • J( )dτ∫

Sólo se cumple si los integrandos son iguales


——————————————————————————————————————————————— —335—

Ecuación de continuidad:

∇ • J = − ∂ρ

∂t

Conservación de la carga

En magnetostática: ∇ • J = 0

(corrientes continuas)

Carga de polarización y corriente de polarización Jp:

∇ • Jp +

∂ρp

∂t= 0


——————————————————————————————————————————————— —336—

ρp = −∇ • P

∇ • Jp −

∂∂t

∇ • P( )= ∇• Jp − ∇•∂∂t

P

= 0

Jp = ∂P

∂t

Corriente de polarización: Corriente parásita presente cuando los campos varían con el tiempo

Representa pérdidas de energía cuando la señal varía con el tiempo


——————————————————————————————————————————————— —337—

Densidades de corriente y fuerza magnética:

FM = q(v × B)

FM = (v × B)dq∫

τρσλ

=dda

dl

dq

∫ λ×= dl)( BvFM ∫ σ×= da)( BvFM

∫ τρ×= d)( BvFM


——————————————————————————————————————————————— —338—

Corriente filamentaria; I = λv

∫∫ ×=×= )d(Idl)( BlBIFM

Densidad superficial de corriente; K = σv

FM = (K × B)da∫

Densidad volumétrica de corriente; J = ρv

FM = (J × B)dτ∫


——————————————————————————————————————————————— —339—

Ejemplo 40.- Fuerza sobre aro con corriente I.

B=hzi

z

y

x

III

II

I

IV

dl

+

FM = I(dl × B)∫


——————————————————————————————————————————————— —340—

Sub-trayectoria I: jl ˆdyd =

kkji

Bl ˆhzdy00hz0dy0

ˆˆˆ

d −==×

En esta parte del aro: z=-S/2

kkkF ˆ2

IhSˆy2

IhSˆdy2

IhS 2

2/S

2/S2/S

2/S

IM ===−

++

−

− ∫


——————————————————————————————————————————————— —341—

Sub-trayectoria II: kl ˆdzd =

jkji

Bl ˆhzdz00hzdz00

ˆˆˆ

d +==×

0ˆ2S

2S

2Ihˆz

2IhˆzdzIh

22

2/S

2/S2

2/S

2/S

IIM =

−−

===

−

++

−

− ∫ jjjF

Sub-trayectoria III: jl ˆdyd =

kkji

Bl ˆhzdy00hz0dy0

ˆˆˆ

d −==×


——————————————————————————————————————————————— —342—

Aquí: z=+S/2

kkkF ˆ2

IhSˆy2

IhSˆdy2

IhS 2

2/S

2/S2/S

2/S

IIIM =−=−=+

−−

+

− ∫

Sub-trayectoria IV: Por simetría con II:

0ˆ2S

2S

2Ihˆz

2IhˆzdzIh

22

2/S

2/S2

2/S

2/S

IVM =

−

−===

+

−−

+

− ∫ jjjF


——————————————————————————————————————————————— —343—

Fuerza total:

FM = I dl × B( )∫ = FM−i

i=I

IV

∑ =

=+++ kkk ˆ

2IhS

20ˆ2

IhS0ˆ

2IhS 222

kFM ˆIhS2= Cambio en dirección de la corriente = cambio en signo


——————————————————————————————————————————————— —344—

Ejemplo 41.- Balanza magnética

z

y

x

R

I

Mg

+

B=Bi


——————————————————————————————————————————————— —345—

FM = I(dl × B)∫

θθ ˆRdˆrdd θ=θ=l

≤=

0z para 0

0>z para ˆBiB

kj ˆsenˆcosˆ θ−θ=θ

kjl ˆsenRdˆcosRdd θθ−θθ=


——————————————————————————————————————————————— —346—

00BdRsendcosR0

ˆˆˆ

d θθ−θθ=×kji

Bl

( ) θθ+θ−=× dˆcosˆsenRBd kjBl

( ) ( )∫∫π+

π−

π+

π−

θθ+θ−=×=

2/

2/

2/

2/

dˆcosˆsenIRBdI kjBlFM

θ+θ−−=

π−

π+

π−

π+

2/

2/

2/

2/

ˆsenˆcosIRB kj


——————————————————————————————————————————————— —347—

kFM ˆ2

sen2

senIRB

π

−−

π

−=

kFM ˆIRB2−=

¡la corriente debe ir en sentido contrario a las

manecillas del reloj! Igualando la fuerza magnética a la de gravedad:

2IRB = Mg

M =

2IRBg


——————————————————————————————————————————————— —348—

La Ley de Biot-Savart: ♦Determina el campo magnético debido a una

corriente o densidad de corriente ♦Equivalente a la Ley de Coulomb

dlˆ

4)P( 2

o ∫ ξ×

πµ

=ξI

B

permeabilidad del espacio libre:

27

oAN

10X4 −π=µ


——————————————————————————————————————————————— —349—

Ejemplo 42.-

z

y

x

ξ

α

β

dl

B

I


——————————————————————————————————————————————— —350—

∫ ξ×

πµ

= 2o

ˆdI

4)z(

ξlB

kj ˆsenˆcosˆ α+α=ξ

iikji

l ˆcosdyˆdysensencos0

0dy0

ˆˆˆˆd β=α=

αα=×ξ

senα = cosβ (α - π/2 = β)

y = z tanβ ⇒ dy = zsec2 βdβ

1ξ

=cosβ

z ⇒

1

ξ2=

cos2 β

z2


——————————————————————————————————————————————— —351—

∫ ξβ

πµ

= iB ˆcosdyI

4)z( 2

o

( ) ( )∫ ∫β

β

ββπ

µ=ββ

ββ

πµ

= ii ˆdcosz4Iˆdcos

zcos

seczI4

2

1

o2

22o

( )iB ˆsensenz4I

)z( 12o β−βπ

µ=

Generalizando (coordenadas cilíndricas):

( )φsensenr4I

)r( 12o β−βπ

µ=B

Para un alambre infinito (muy largo comparado con r);


——————————————————————————————————————————————— —352—

β2 → π

2 y

β1 → − π

2

φr2I

)r( o

πµ

=B

z

y

x

B

I

B

I

B

B


——————————————————————————————————————————————— —353—

Ejemplo 43.- Campo magnético a distancia z sobre el centro de aro circular de radio R con corriente I.

α α

α α

ξ ξ

B B

I Iy

z

ξ y α constantes para z=cte


——————————————————————————————————————————————— —354—

Componentes horizontales se anulan verticales se suman

Campo resultante en dirección k

∫ αξ×

πµ

= cosˆd

I4

)z( 2o ξl

B

ξd ×l = Rdθ

ξ = R 2 + z2

cosα =

Rξ

=R

R2 + z2


——————————————————————————————————————————————— —355—

( ) =θ

+

+πµ

= ∫π2

0

2222o ˆRd

zR1

zR

R4

I)z( kB

( ) ( )kk ˆ

zR4

)R2(IRˆRdzR4

IR2/322

o

2

0

2/322o

+π

πµ=θ

+π

µ ∫π

( )kB ˆ

zR2

IR)z( 2/322

2o

+

µ=

Casos extremos: a) Campo en el centro del aro:

kB ˆR2I

)0z( oµ==


——————————————————————————————————————————————— —356—

b) z>>R:

( ) ( ) 32/322/322 zzzR =≈+

kB ˆz2IR

)Rz( 3

2oµ

=>>

Campo producido por un dipolo magnético

Dipolo magnético ⇒ Lazo de corriente I

Modelo para las propiedades magnéticas de la materia


——————————————————————————————————————————————— —357—

Ejemplo 44.- Fuerza entre dos alambres infinitos paralelos.

z

y

x

B2=-B2i

I2I1

d

FM = I(dl × B)∫


——————————————————————————————————————————————— —358—

FM1−2 = I1(dl1 × B2 )∫ = I2(dl2 × B1)∫ = FM2−1

dl1 = dzk iB ˆd2I

)dy( 2o2 π

µ−==

∫∫ πµ

−=

πµ

−×=− dzˆd2IIˆ

d2IˆdzI 21o2o

121 jikFM

Fuerza por unidad de longitud:

jF

f MM

ˆd2II

dz

21o2121 π

µ−==

∫−

−


——————————————————————————————————————————————— —359—

Corrientes paralelas: Fuerza atractiva Corrientes antiparalelas: Fuerza repulsiva Fuerza entre dos corrientes:

∫ ∫

ξ×

πµ

×=− 212

122

o121

ˆdI

4dI

ξ21M

llF

ξ12 es el vector de dl1 a dl2 Ley de Biot-Savart para distribuciones de corriente:

daˆ

4)P( 2

o ∫ ξ×

πµ

=ξK

B τξ×

πµ

= ∫ dˆ

4)P( 2

o ξJB


——————————————————————————————————————————————— —360—

Divergencia de B:

τ

ξ×

πµ

=τξ×

πµ

= ∫∫ d4

dˆ

4)P( 3

o2

o ξξJ

JB

32

ˆ

ξ=

ξξξ

τ

ξ×

πµ

•∇=•∇ ∫ d4 3

o ξJB

Coordenadas de evaluación (x,y,z) Coordenadas de integración (x’,y’,z’)

B = f(x, y, z) J = f(x’, y’, z’) ξ = f(x, y, z, x’, y’, z’)


——————————————————————————————————————————————— —361—

τ

ξ×•∇

πµ

=•∇ ∫ d4 3

o ξJB

( )

ξ×∇•−×∇•

ξ=

ξ×•∇ 333

ξξξJJJ

∇ × J = 0

∇ ×

ξ

ξ3

=

1

ξ3

∇ × ξ( )− ξ × ∇

1

ξ3

∇

1

ξ3

= −3

ξ

ξ5

ξ × ∇

1

ξ3

=

−3

ξ5ξ × ξ( )= 0


——————————————————————————————————————————————— —362—

03 =

ξ×•∇

ξJ

En general:

∇ • B = 0 Implicaciones: l No existe el monopolo magnético. l Un campo magnético es producido siempre por una

combinación de polos. l El flujo del campo magnético a través de una

superficie cerrada es siempre cero:

( ) 0dd =τ•∇=• ∫∫ BaB


——————————————————————————————————————————————— —363—

Rotacional de B: Del Teorema de Stokes:

∇ × B( )•da∫ = B• dl∫

Para una corriente infinita:

∫∫∫∫ φπ

µ=φ

πµ

==• Id2

rdrI

2Bdld oolB

Ley de Ampere:

B • dl∫ = µoIenc


——————————————————————————————————————————————— —364—

Ienc: corriente encerrada por la trayectoria dl

(cualquier corriente que atraviese la superficie da delimitada por dl)

∇ × B( )• da∫ = B • dl∫ = µoIenc = µoJ •da∫

∇ × B = µoJ

En general:

τ

ξ×

πµ

×∇=×∇ ∫ dˆ

4 2o ξJ

B


——————————————————————————————————————————————— —365—

τ

ξ×

×∇π

µ=×∇ ∫ d

ˆ

4 2o ξJ

B

( ) +

ξ•∇−

ξ•∇=

ξ×

×∇ 222

ˆˆˆ ξξξJJ

J

( )

ξ∇•−

∇•

ξ 22

ˆˆ ξξJJ

J = f(x’, y’, z’) = f(r’), por lo que:

∇ • J = 0 y 0ˆ

=

∇•

ξJ2

ξ


——————————————————————————————————————————————— —366—

( )

ξ∇•−

ξ•∇=

ξ×

×∇ 222

ˆˆˆ ξξξJJ

J

( ) τ

ξ∇•−

ξ•∇

πµ

=×∇ ∫ dˆˆ

4 22o ξξ

JJB

( ) τ

ξ∇•+

ξ•∇

πµ

=×∇ ∫ dˆ

'ˆ

4 22o ξξ

JJB

Donde:

ξ−∇=

ξ∇ 22

ˆ'

ˆ ξξ


——————————————————————————————————————————————— —367—

( ) ( ) ( )∫∫∫ τ•∇

ξ−•

ξ=τ

ξ∇• d'

ˆd

ˆd

ˆ' 222 JaJJ

ξξξ

Para corrientes continuas; 0' =•∇ J Si la superficie está fuera de la distribución; J • da = 0

τ

ξ•∇

πµ

=×∇ ∫ dˆ

4 2o ξ

JB

Pero:

=π

≠=

ξ=

ξ•∇

o

o

22

22rr para 4

rr para 0

rdrd

r1ˆ 1ξ


——————————————————————————————————————————————— —368—

Por lo que, en general:

∇ × B = µoJ

Conclusiones:

∇ • B = 0 ∇ × B = µoJ

l Las líneas de campo magnético forman trayectorias cerradas, sin principio ni fin.

l B es generado por al menos una combinación de dos “polos”.

l El flujo de B a través de una superficie cerrada es cero.

Comparando con el campo eléctrico:

∇ • E =

ρεo

∇ × E = 0


——————————————————————————————————————————————— —369—

La Ley de Ampere:

Contraparte magnética de la “Ley de Gauss”

B • dl∫ = µoIenc

Lazo amperiano: Trayectoria usada para la integral de línea de B

Condiciones para usarla para determinar la magnitud de B:

1) B es o paralelo o perpendicular al lazo amperiano en todo punto. Esta condición implica que debemos conocer la dirección de B a priori.

2) B debe ser constante en el lazo amperiano usado. Esta condición se cumple para líneas y planos infinitos con distribución de corriente uniforme.


——————————————————————————————————————————————— —370—

Ejemplo 45.- Campo magnético producido por un alambre infinito que lleva corriente uniforme I. Lazo amperiano circunferencial al alambre, centrado en su eje:

B • dl∫ = Bdl∫ = B dl = B(2πr) =∫ µoIenc = µoI

φr2I

)r( o

πµ

=B


——————————————————————————————————————————————— —371—

Ejemplo 46.- Campo magnético de iK ˆK=

z

y

x

K=Ki

dl

B

B

Lazo amperiano dl paralelo al plano xy:


——————————————————————————————————————————————— —372—

B • dl∫ = B • dl

sup∫ + B • dl

inf∫ =

( ) ( ) Bl2dlB2ˆdlˆBˆdlˆB ==•+−•−∫ ∫ ∫jjjj

µoIenc = µoKl ⇒ B = µo

2K

µ+

µ−

=

0<z para ˆK2

0>z para ˆK2

o

o

j

j

B

¡B es discontinuo si K≠0!


——————————————————————————————————————————————— —373—

Ejemplo 47.- El Solenoide.

z

y

x

dl1

dl2

I

B


——————————————————————————————————————————————— —374—

B • dl∫ = Bl

n=N/l = densidad de vueltas

Ienc = nIl ⇒ Bl = µonIl

µ=

afuera 0

adentro ˆnIo k

B

Solenoide real: l El campo afuera es distinto de cero l El campo es de la forma del de un imán en

barra, que es un campo dipolar


——————————————————————————————————————————————— —375—

Potencial magnético o potencial vectorial:

La divergencia de un rotacional es siempre cero ∇ • B = 0 ⇒ B = ∇ × A

A = potencial magnético, potencial vectorial

Unidades: N/A = Tm Ventaja: El potencial vectorial tiene la misma dirección

que la corriente Al conocer J, K o I se conoce la dirección de A, y

el sistema coordenado se puede orientar para facilitar los cálculos


——————————————————————————————————————————————— —376—

τ

ξ×

πµ

=τξ×

πµ

= ∫∫ dˆ

4d

ˆ

4)P( 2

o2

o ξξJ

JB

ξ−=

ξ∇ 2

ˆ1 ξ ⇒

ξ∇×−=

ξ×

1ˆ2 JJ

ξ

( )

ξ×∇−×∇

ξ

=

ξ∇×

111JJJ

J = f(r’) y B = ∇ × A ⇒ ∇ × J = 0

ξ×∇=

ξ∇×−

11JJ


——————————————————————————————————————————————— —377—

τξπ

µ×∇=τ

ξ×∇

πµ

= ∫∫ d4

d1

4)P( oo J

JB

τξπ

µ= ∫ d

4)P( o J

A

da4

)P( o ∫ ξπµ

=K

A ∫∫ ξπµ

=ξπ

µ=

lIA

dI

4dl

4)P( oo

A se puede obtener de integrar una sola componente,

y B del rotacional de A

A es un campo vectorial; definido por: ∇ × A ∇ • A


——————————————————————————————————————————————— —378—

Rotacional: ∇ × A = B

Divergencia:

ξπµ

•∇=•∇ ∫ lA dI

4o

∫∫

ξ•∇

πµ

=

ξπµ

•∇l

ld

I4

dI

4oo

( )

ξ∇•+•∇

ξ=

ξ•∇

1dd

1dll

l

dl = f (x’, y’, z’) ⇒ ∇ • dl = 0


——————————————————————————————————————————————— —379—

ll d1

'I4

1dI

4oo •

ξ∇

πµ

−=

ξ

∇•π

µ ∫∫

alA d1

''I4

d1

'I4

oo •

ξ×∇∇

πµ

−=•

ξ

∇π

µ−=•∇ ∫∫

0=•∇ A

( ) ( ) AAAB 2∇−•∇∇=×∇×∇=×∇

0=•∇ A JB oµ=×∇

JA o

2 µ−=∇


——————————————————————————————————————————————— —380—

En coordenadas cartesianas, por ejemplo:

zoz2

yoy2

xox2

JA

JAJA

µ−=∇

µ−=∇µ−=∇

Ejemplo 48.- Encuentre el potencial vectorial que representa a un campo magnético uniforme.

kjiB ˆBˆBˆB ozoyox ++=

Box, Boy, Boz = constantes


——————————————————————————————————————————————— —381—

∇ × A = B

∂Az∂y

−∂Ay

∂z= Box

∂Ax∂z

− ∂Az∂x

= Boy

∂Ay

∂x−

∂Ax∂y

= Boz

Ax=f(y, z), Ay=f(x, z), Az=f(x, y)

∇ • A = 0 ⇒ 0z

Ay

A

xA zyx =

∂∂

+∂

∂+

∂∂

Ax≠f(x), Ay≠f(y), Az≠f(z)


——————————————————————————————————————————————— —382—

Ax = 1

2Boyz − 1

2Bozy

Ay = 1

2Bozx − 1

2Boxz

Az = 1

2Boxy − 1

2Boyx

( ) ( )jiA ˆzBxB21ˆyBzB

21

)z,y,x( oxozozoy −+−=

( )kxByB21

oyox −+

A = 1

2B × ξo = − 1

2ξo × B

kjio ˆzˆyˆx ++=ξ


——————————————————————————————————————————————— —383—

Ejemplo 49.- Potencial para alambre recto finito con corriente uniforme I.

z

y

x

L2

L1

β2

β1

(r,π/2,0)I

ξ


——————————————————————————————————————————————— —384—

∫∫ ξπµ

=ξπ

µ=

llA

dI

4d

I4

)r( oo

kl ˆdzd = 22 zr +=ξ

( )

++

πµ

=+π

µ= ∫

1

22

1L

L22o

L

L

22o zrzlnˆI

4zr

ˆdzI

4)r( k

kA

kA ˆLrL

LrLlnI

4)r(

21

21

22

22o

++

++π

µ=


——————————————————————————————————————————————— —385—

Campo magnético:

=φ=φ ˆLrL

LrLlnI

4rˆ

rA

)r(21

21

22

22oz

++

++π

µ∂∂

−∂

∂−=×∇ A

φLrL

LrLrLrL

LrLI

4 21

21

22

22

22

22

21

21o

++

++∂∂

++

++π

µ−

φ= ˆLr

L

Lr

Lr4I

21

21

22

22o

+−

+πµ

( )φ=φ=)( ˆsensenr4Iˆ

Lr

L

Lr

Lr4I

r 12o

21

21

22

22o β−β

πµ

+−

+πµ

B


——————————————————————————————————————————————— —386—

Condiciones de frontera:

z

y

x

K=Ki

dl

B

B

B discontinuo en z=0 debido a K


——————————————————————————————————————————————— —387—

jjjBB ˆKˆK2

ˆK2 o

ooinfsup µ−=

µ−

µ−=−

( ) KllBBd oinftsupt µ−=−=•∫ lB

En general:

Btsup − Bt inf = −µoK

( ) 0daBBd infnsupn =−=• ∫∫ aB

En general:

Bnsup = Bninf


——————————————————————————————————————————————— —388—

Componentes normales: siempre continuas Componentes tangenciales: discontinuas si K≠0

( )nKBB ˆoinfsup ×µ=− El potencial vectorial es siempre continuo:

Asup = Ainf

∂∂n

Asup −∂∂n

Ainf

sup erficie= −µoK

Teoría Electromagnética Murphy · Campo magnético de la tierra ≅ 5x10-5 T=0.5 Gauss Campo...

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