Teoría del error

CAPITULO 3 AJUSTE DE CURVAS

INDICE

1. TEORIA DEL ERROR.

2. CEROS DE FUNCIONES

3. AJUSTE DE CURVAS

En este capítulo trataremos de aproximar por medio de una función un conjunto de

datos dados, para esto estudiaremos algunos métodos, esto lo que crea es a partir de un

conjunto de datos una función que los modela (explica), de manera que se pueden

generar algunos datos adicionales.

En particular trabajaremos el método de mínimos cuadrados y algunas de sus variantes

(linealizaciones), aproximación polinomial y por ultimo splines.

3.1 REGRESION.

El método de regresión, es en realidad en método de mínimos cuadrados ajustado a

las necesidades propias del modelo, para empezar estudiemos a fondo la teoría de

mínimos cuadrados.

El enfoque que daremos; es diferente al visto en estadística, aquí, nos interesara la

teoría general de mínimos cuadrados y compararla con la teoría particular de

regresión lineal aplicada a funciones no lineales por medio de un proceso llamado

linealizacion.

3.1.1 METODO DE MINIMOS CUADRADOS

El método de mínimos cuadrados varía en mucho con los demás métodos numéricos

siempre estudiados, la diferencia principal es que la mayoría de métodos numéricos

buscan acercarse a las aproximaciones, sin embargo, el método de mínimos

cuadrados lo que estudia es el error del método y busca minimizarlo.

Consideremos un conjunto de puntos {( x1 , y1 ) ,…, (xn , yn )} que se comporten de

manera funcional, es decir, x i≠ x j cuando i≠ j, ahora, si queremos un modelo

matemático que explique estos datos, debemos fijar primero el número de parámetros

(o estimadores) que debe tener el modelo, este número puede ser cualquier entero

Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian Página 1


positivo, generalmente se buscan modelos que tengan dos parámetros, por ejemplo

una función y=f (x ) que dependa de los parámetros {β0 , β1 } .

Ejemplos de este tipo de funciones son las rectas, que dependen solo de dos

parámetros, la pendiente y el punto de corte con el eje dependiente, es decir el modelo

de una recta se puede escribir como y=f ( x )=β0+β1 x, este caso particular de

mínimos cuadrados es usualmente conocido como regresión lineal, otro ejemplo de

tipo de funciones que dependan de dos parámetros son de la forma

(1) f ( x )=βo e β1 x

(2) f ( x )=β0

β1+ x2 .

Sin embargo, puede darse el caso que los modelos dependan de más estimadores,

por ejemplo

(3) f ( x )=β0+β1 x+β2 x2+…+ βm xm

Donde esta depende de m+1 estimadores y la función es un polinomio de grado m,

este tipo, cuando el modelo es de esta forma, es usual llamarlo regresión polinomial.

Notemos que en todos los casos anteriores, el número de variables es el mismo, 2, sin

embargo, es posible buscar modelos que no dependan únicamente de dos variables

sino de más, por ejemplo, consideremos un conjunto de datos

(4) {( x0 , y0 , z0 ) , (x1 , y1 , z1 ) ,…, (xn , yn , zn ) } que son datos de 3 variables, los modelos que se buscan en este tipo de datos son de

la forma

(5) z=f (x , y )

donde la función f puede depender también de varios parámetros, en caso más

sencillo sería un modelo de la forma

(6) f ( x , y )=β0+β1 x+β2 y

Que describe en tres dimensiones un plano, este es el caso análogo de la recta y es

llamado regresión lineal múltiple. Como se observa, este modelo depende de tres

parámetros los cuales son {β0 , β1 , β2 }, observemos que el número de variables y el

número de estimadores son independientes.

Daremos de forma general en dos variables el método de mínimos cuadrados para

dos estimadores, este método se puede escribir de la misma forma para más variables

y estimadores, consideremos el conjunto de datos bidimensional

(7) {( x1 , y1 ) , (x2 , y2) ,…, (xn , yn ) }Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian Página 2


supongamos que queremos un modelo que dependa de dos parámetros {β0 , β1 }, asi

buscamos la funcion f β 0 , β1(x), veamos la siguiente grafica

Gráfica 1

Los valores que se quieren aproximar por medio del modelo son los { y i } y el modelo

los aproxima por medio de los {f β0 , β1(x i)}, es decir, en cada punto hay un error llamado

residuo

(8) e i= y i−f β0 , β1(x i )

notemos que hay tantos residuos como puntos los cuales se pueden ordenar en un

vector e=(e1 , e2 ,…,en) este seria el vector formado por los residuos, ahora queremos

que este vector sea el mas pequeño posible, midamos este vector, recordemos que la

norma de un vector es la raíz de la suma de los cuadrados, así

(9) ‖e‖=√e12+e2

2+…+en2

pero esta norma es una función que depende de β0 y β1 ya que los x i y los y i son los

datos dados inicialmente, es decir, tenemos una funcion que depende de dos variables

la cual debemos minimizar, sin embargo, minimizar esta función es igual que minimizar

el cuadrado de esta función, por lo tanto buscaremos minimizar el cuadrado de esa

norma, la cual llamaremos error cuadrático



(10) Ec (β0 , β1 )=∑i=1

n

¿¿

si f es una funcion diferenciable, podemos hallar las derivadas parciales de esta

funcion con respecto a los estimadores e igualar a cero, es decir, hallar el vector

gradiente e igualar a cero.

(11)∂ Ec

∂ β0

=−2∑i=1

n

( y i− f β 0 , β1(x i)) ( ∂ f β0 , β1

∂ β0(x i ))

(12)∂ Ec

∂β1

=−2∑i=1

n

( y i−f β 0 , β1(x i)) ( ∂ f β0 , β1

∂ β1

(x i))al igualar a cero llegamos a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas (esto se

debe a el número de parámetros en el modelo), dado por

(13) ∑i=1

n

(¿ y i−f β0 , β1(x i))( ∂ f β0 , β1

∂ β0

(x i))=0¿

(14) ∑i=1

n

(¿ y i− f β0 , β1(x i))( ∂ f β0 , β1

∂ β1

(x i))=0¿

esto reduce nuestro problema a hallar soluciones reales de este sistema, en el caso en

que el modelo buscado sea una recta, este sistema es un sistema lineal, el cual puede

solucionarse fácilmente por medio de matrices o determinantes, sin embargo,

dependiendo la complejidad del modelo buscado, este sistema puede conducirnos a

uno no lineal, el cual puede ser MUY difícil de resolver, esta es la razón principal por la

cual no se trabaja usualmente mínimos cuadrados, más adelante veremos un ejemplo

de ello.

Veamos ahora algunas aplicaciones del método de mínimos cuadrados.

3.1.2 REGRESION LINEAL

La regresión lineal es muy conocida en aplicaciones estadísticas y por ende la más

usada en varias ramas de las ciencias, es simplemente aplicar el método de mínimos

cuadrados a un conjunto de datos bidimensionales y un modelo de dos parámetros de

la forma y=f β0 , β1( x )=β0+β1 x, el cual representa una linea recta, de alli el nombre del

método. Realizaremos el proceso de mínimos cuadrados, en primer lugar formaremos

la función error cuadrático vista en la ecuación (10) así



(15) Ec (β0 , β1 )=∑i=1

n

¿¿

ya que el modelo buscado es una función diferenciable, podemos hallar las derivadas

parciales y llegamos a

(16)∂ Ec

∂ β0

=−2∑i=1

n

(¿ y i−(β0+β1 x i))¿

(17)∂ Ec

∂β1

=−2∑i=1

n

(¿ y i−(β0+β1 x i))(x i)¿

ya que f es una función lineal, el sistema que formaremos es lineal, así

(18) ∑i=1

n

(¿ y i−β0−β1 xi)=0¿

(19) ∑i=1

n

(¿ y i x i−β0 x i−β1 x i2)=0¿

usando la linealidad de la sumatoria podemos reescribir este sistema como

(20) ∑i=1

n

yi=nβ0+β1∑i=1

n

x i

(21) ∑i=1

n

x i y i=β0∑i=1

n

xi+β1∑i=1

n

x i2

este sistema es fácilmente solucionado por el método de cramer llegando a

(22) β0=∑i=1

n

x i2∑

i=1

n

y i−∑i=1

n

xi y i∑i=1

n

xi

n∑i=1

n

x i2−(∑

i=1

n

x i)2

(23) β1=n∑

i=1

n

xi y i−∑i=1

n

x i∑i=1

n

y i

n∑i=1

n

x i2−(∑

i=1

n

x i)2

Ejemplo 1 Dados los siguientes puntos:

(1,0.5) ,(2,2.5) ,(3,2.0),(4,4.0) ,(5,3.5),(6,6.0) ,(7,5.5)

realice regresión lineal para ajustar los puntos a una recta.

Solución

Aplicando los resultados de las ecuaciones (22) y (23) obtenemos que



(24) β0=0.0714285714285706 y β1=0.839285714285715

quedando el modelo lineal de la siguiente manera

(25) y=0.839285714285715 . x+0.0714285714285706

3.1.3 REGRESION POLINOMIAL

Nuevamente, consideremos un conjunto de datos bidimensionales y tomaremos un

modelo que dependa de tres parámetros el cual tenga una forma de polinomio de

grado 2;

(26) f β 0 , β1 , β2(x )=β2 x2+ β1 x+ β0

al aplicar el mismo algoritmo dado por el método de mínimos cuadrados, llegaremos

al sistema de tres ecuaciones y tres variables lineal (recordemos que el tamaño de

este sistema depende del número de parámetros)

(27) (n )β0+(∑i=1

n

xi) β1+(∑i=1

n

x i2) β2=∑

i=1

n

y i

(28) (∑i=1

n

x i)β0+(∑i=1

n

x i2) β1+(∑

i=1

n

x i3) β2=∑

i=1

n

x i y i

(29) (∑i=1

n

x i2) β0+(∑

i=1

n

xi2)β1+(∑

i=1

n

x i4) β2=∑

i=1

n

x i2 y i

resolviendo por cramer llegamos a las formulas



(30) β0=

| ∑i=1

n

y i (∑i=1

n

x i) (∑i=1

n

x i2)

∑i=1

n

xi y i (∑i=1

n

x i2) (∑

i=1

n

x i3)

∑i=1

n

x i2 y i ∑

i=1

n

x i2 y i (∑

i=1

n

x i4)|

| (n ) (∑i=1

n

x i) (∑i=1

n

xi2)

(∑i=1

n

x i) (∑i=1

n

x i2) (∑

i=1

n

xi3)

(∑i=1

n

xi2) ∑

i=1

n

x i2 y i (∑

i=1

n

x i4)|

(31) β1=

| (n ) ∑i=1

n

y i (∑i=1

n

x i2)

(∑i=1

n

x i) ∑i=1

n

x i y i (∑i=1

n

x i3)

(∑i=1

n

xi2) ∑

i=1

n

x i2 yi (∑

i=1

n

x i4)|

| (n ) (∑i=1

n

x i) (∑i=1

n

x i2)

(∑i=1

n

x i) (∑i=1

n

xi2) (∑

i=1

n

x i3)

(∑i=1

n

xi2) ∑

i=1

n

x i2 yi (∑

i=1

n

x i4)|



(32) β2=

| (n ) ∑i=1

n

y i (n )

(∑i=1

n

x i) ∑i=1

n

x i y i (∑i=1

n

x i)(∑

i=1

n

x i2) ∑

i=1

n

xi2 y i (∑

i=1

n

x i2)|

| (n ) (∑i=1

n

x i) (∑i=1

n

x i2)

(∑i=1

n

x i) (∑i=1

n

xi2) (∑

i=1

n

x i3)

(∑i=1

n

xi2) ∑

i=1

n

x i2 y i (∑

i=1

n

x i4)|

Ejemplo 2

Ajustar a un polinomio de segundo orden los siguientes datos

(33) (0,2.1) ,(1,7.7) ,(2,13.6) ,(3,27.2) ,(4,40.9), (5,61.1)

Solución

Aplicando los resultados de las ecuaciones (30), (31) y Error: Reference source not

found obtenemos que

(34) β0=2,47857 β1=2,35929 y β2=1,86071

quedando el modelo cuadrático de la siguiente forma

(35) y=2,47857+2,35929. x+1,86071. x2

3.1.4 REGRESION MULTIPLE

Los casos anteriores de regresion lineal y polinomial son ejemplos particulares de datos

bidimensionales, consideremos ahora un conjunto de datos tridimensional, por ejemplo

{( x1 , y1 , z1 ) , (x2 , y2 , z2 ) ,…, (xn , yn , zn )},el analogo a una recta en dos dimensiones es el plano en tres dimensiones, esto nos lleva a

pensar que el modelo natural en tres dimensiones para generalizar la regresion lineal es de

la forma

z=f β 0 , β1 , β2( x , y )=β0+β1 x+β2 y (26)



esta funcion depende de tres parametros, asi aplicando el algoritmo de minimos cuadrados y

formando la funcion error cuadratico tenemos

Ec (β0 , β1 , β2 )=∑i=1

n

¿¿ (27)

y tomando las derivadas parciales con respecto a los parametros e igualando a cero

llegamos a

∑i=1

n

zi=nβ0+β1∑i=1

n

x i+β2∑i=1

n

y i (28)

∑i=1

n

x i zi=β0∑i=1

n

x i+β1∑i=1

n

x i2+β2∑

i=1

n

x i yi (29)

∑i=1

n

yi zi=β0∑i=1

n

y i+ β1∑i=1

n

x i y i+β2∑i=1

n

yi2 (30)

este sistema es fácilmente solucionado por el método de cramer llegando a los valores de

β0 , β1 , β2 (ver Ejercicio 1)

Ejemplo 3

Ajustar a un polinomio de segundo orden los siguientes datos

(36) (0,0,5) ,(2,1,10) ,(2.5,2,9) ,(1,3,0),(4,6,3) ,(7,2,27)

Solución

Aplicando los resultados de las ecuaciones (28), (29) y (30) obtenemos que

β0=5, β1=4 y β3=−3 quedando el modelo lineal multiple (Plano) de la siguiente

manera

(37) z=f β 0 , β1 , β2( x , y )=5+4 x−3 y

3.1.5 MINIMOS CUADRADOS A UN MODELO EXPONENCIAL

Volvamos a nuestro caso bidimensional, consideremos nuevamente un conjunto de

datos

{( x1 , y1 ) , (x2 , y2) ,…, (xn , yn ) }y un modelo de forma exponencial

(38) f ( x )=βo e β1 x

En primer lugar formaremos la función error cuadrático vista en la ecuación (10) así



(39) Ec (β0 , β1 )=∑i=1

n

¿¿

(40) Ec (β0 , β1 )=∑i=1

n

(〖 y i−(βo eβ 1 x i) )〗2

ya que el modelo buscado es una función diferenciable, podemos hallar las derivadas

parciales y llegamos a

(41)∂ Ec

∂ β0

=−2∑i=1

n

(¿ y i−βo eβ 1 x i)(e β1 x i)¿

(42)∂ Ec

∂β1

=−2∑i=1

n

(¿ y i−βo eβ 1 x i)(βo x ieβ 1 x i)¿

ya que f es una funcion exponencial, el sistema que formaremos no es lineal, así

(43) ∑i=1

n

(¿ y i eβ1 xi−βo e2β1 xi)=0¿

(44) ∑i=1

n

(¿ y i βo x i eβ1 x i−βo

2 xi e2β1 xi)=0¿

este sistema no es lineal por lo tanto puede ser muy complicado de solucionar con las

herramientas que contamos hoy en día, aunque bajo condiciones “buenas” podríamos como

en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Dados los siguientes datos (1,1),(2,3),(3,8),(4,15),(5,30) encuentre por medio de

mínimos cuadrados ; un modelo exponencial de la forma f ( x )=βo e β1 x

Solución

Al escribir la función error cuadrático, encontrar las derivadas parciales e igualarlas a cero

llegamos al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas el cual NO es lineal, así

no se puede escribir en forma matricial.

Utilizando el software Maple; se resolvió el problema para estos cinco puntos, a continuación

mostraremos los comando utilizados para tal fin.

Gráfica 2



encontrar la solución real de manera analítica es imposible; ya que equivaldría a

solucionar un polinomio de grado 10, si realizáramos la sustitución de w=e β0, por lo cual

recurrimos a maple que nos arroja los siguientes resultados:

(45) βo=0,8775305761β1=0,7071637087

Reemplazando en el modelo obtenemos:

(46) y=0,8775305761e0,7071637087 x

Como se observa en el ejemplo anterior, aplicar el algoritmo de mínimos cuadrados a un

modelo, en general puede ser un trabajo muy difícil, por no decir imposible ya que si el

número de datos es muy grande el sistema de ecuaciones al que se llega es inmanejable,

por esto es necesario una herramienta que nos permita aproximar sin necesidad de aplicar

mínimos cuadrados directamente al modelo, esto se consigue con un proceso llamado

linealizacion, el cual nos permite trabajar únicamente con la regresión lineal aplicada a unos

datos convenientes.

3.1.6 LINEALIZACION

El proceso de linealizacion busca mediante un cambio de variables adecuado expresar un

modelo matematico no lineal como uno lineal por medio de manipulaciones algebraicas

adecuadas, por ejemplo, consideremos la ecuacion,



(47)e x

ex+3=5

inicialmente esta ecuación no es lineal, sin embargo al sustituir la variable por w=e x

llegamos a

(48)w

w+3=5

la cual sigue siendo no lineal, pero al manipular algebraicamente conseguimos

(49) w=5(w+3)

donde la última ecuación ya es lineal.

Otro ejemplo de estos es la ecuación

(50) ln (3∗5x)=10

la cual aparentemente no es lineal, en esta ecuación basta manipular algebraicamente

haciendo uso de las propiedades del logaritmo para llegar a

(51) ln 3+x ln 5=10

en esta ecuación no hay ninguna función logarítmica (notemos que ln 3 y ln 5 son

escalares), es decir, esta es una ecuacion lineal.

Básicamente queremos usar la misma idea a fin de transformar un modelo no lineal en uno

lineal, por ejemplo, consideremos el modelo exponencial de ejemplo anterior,

(52) y=αo eα 1 x

aplicando logaritmo natural en la ecuación anterior obtenemos

(53) ln y=ln(αo eα 1 x)

y por ultimo aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos

(54) ln y=ln(αo)+α 1 x

el cual es una recta en la variables ln y y x; haciendo el cambio de variables sugerido

por la anterior ecuacion podemos tomar w=ln ( y ) , β0=ln (α o) , β1=α1

llegando al modelo visto en la regresión lineal

(55) w=f β 0 , β1(x )=β0+β1 x

Ejemplo 5 Un modelo Exponencial es de la forma

(56) f ( x )= y=βo eβ1 x,



Dados los siguientes datos (1,1), (2,3),(3,8) ,(4,15),(5,30) encuentre un modelo

exponencial de la forma f ( x )= y=βo eβ1 x, por medio de regresión lineal, para esto

linealicemos el modelo, asi:

Aplicar logaritmo natural a ambos lados

(57) ln ( y )=ln (βo eβ1 x )

Aplicando propiedades de logaritmos obtenemos:

(58) ln ( y )=ln (βo )+β1(x)

La regresión lineal se aplica a las variables ln ( y ) y x

Obteniendo el modelo Linealizado y¿=βo¿+β1

¿ x

Aplicamos el comando en Maple

Obtenemos el modelo linealizado

(59) ln ( y )=−0,66608952+0,8411832676 (x)

En donde debemos hallar βo=eβo¿

y β1=β1¿

βo=e−0,66608952=0,5137135215 y β1=0,8411832676

Luego el modelo queda

(60) y=0,5137135215e0,8411832676 (x)

Quedando asi el modelo linealizado

Como se ve en el anterior ejemplo, el método consiste en aplicar regresión lineal a los datos

(61) {( x1 , ln y1 ) , (x2 , ln y2 ) ,… , (xn , ln yn )}Sin embargo, al realizar el proceso de linealizacion, como la función logarítmica no es lineal

el modelo que se encuentra no coincide con el modelo buscado en los mínimos cuadrados,

es decir, esta NO es la curva que más se ajusta a los datos

(62) {( x1 , y1 ) , (x2 , y2) ,…, (xn , yn ) }Sin embargo la recta ln ( y )=−0,66608952+0,8411832676 (x), SI es la curva que más se

ajusta a los datos {( x1 , ln y1 ) , (x2 , ln y2 ) ,… , (xn , ln yn )}.

Compararemos esta afirmación con un ejemplo hecho sobre los mismos datos, en el

Ejemplo 9 se realizaran las dos aproximaciones.

Ejemplo 6



Un modelo Potencial es de la forma

(63) y=β0 xβ 1

donde β0 y β1 son constantes

Para este caso se linealiza con logaritmo, obteniendo

(64) ln y=ln β0+ β1 ln x

Obteniendo así el modelo lineal o la linealización en términos de ln x y ln y , es decir

realizaremos la regresión lineal a las variables ln x y ln y , por lo tanto trabajaremos con los

datos

(65) {( ln x1 , ln y1 ) , ( ln x2 , ln y2 ) ,…, ( ln xn , ln yn )}

Entonces las ecuaciones (22) y (23) toman la forma

(66) β0=∑i=1

n

( ln x i )2∑

i=1

n

(ln y i )−∑i=1

n

(ln x i ) ( ln y i )∑i=1

n

( ln xi )

n∑i=1

n

( ln xi )2−(∑

i=1

n

( ln x i))2

(67) β1=n∑

i=1

n

(ln x i ) ( ln y i )−∑i=1

n

( ln xi )∑i=1

n

( ln y i)

n∑i=1

n

(ln x i )2−(∑

i=1

n

(ln x i ))2

De lo cual, encontramos una recta en dichas variables asi,

(68) ln y=1.16355 ln x−0.4096573

Como la linealizacion se obtuvo por medio de la aplicación de la función logaritmo, es

natural pensar que para revertir el proceso apliquemos la función exponencial y llegar a

(69) y=0.6638775x1.16355

Nota 1 Los ejemplos anteriores muestran el proceso de linealizacion, este proceso de

manera general afirma que si se tiene una relación

(70) F ( x , y )=0

La cual por medio de algún tipo de manipulación algebraica se pueda llevar a la

forma



(71) f 1 ( y )=β0+β1 f 2 ( x )

Donde f 1, f 2 son en general funciones monótonas, en Ejemplo 5 basto tomar

f 1 ( y )=ln y y f 2 ( x )=x, mientras en el Ejemplo 6, f 1 ( y )=ln y y f 2 ( x )=ln x .

Nota 2 En la siguiente tabla 1 se muestran diferentes tipos de modelos; los cuales ya estan

linealizados.

donde las variables con las cuales se van a trabajar se deja como ejercicio (ver

Ejercicio 5)

Nota 3 Hay que tener en cuenta que la recta que se está construyendo es en un sistema de

coordenadas diferente, es decir, gráficamente el proceso de linealizacion es

Gráfica 3

1 Metodos Numericos con Matlab, 3er edicion Mathews, Kurtis, Editorial Pearson



Donde la recta que se consigue al linealiza r el modelo está en el plano f 1 ( x ) vs f 2 ( y ),

en el caso del Ejemplo 5 la recta se tiene en el plano x vs ln y y en el caso del

Ejemplo 6 en el plano ln x vs ln y.

3.1.7 TRASLACIONES AL LINEALIZAR

Consideremos el Ejemplo 5, como se trabaja con la función logaritmo, los datos que se

trabajan en la variable y deben ser positivos (debido al dominio de la función logaritmo),

así en general, si se quiere un modelo linealizado de la forma (71) se debe pedir que los

valores {x1 , x2 ,…,xn } deben pertenecer al dominio de la función f 2 y los valores

{ y1 , y2 ,…, yn } deben pertenecer al dominio de f 1, esto en general no se va a cumplir, por lo

tanto nos toca manipular de alguna manera dichos valores, esto se puede lograr por medio

de un cambio de variables que en general se presentan como traslaciones (aunque pueden

ser contracciones).

Supongamos que la linealizacion del modelo buscado es

(72) f 1 ( y )=∝0+∝1 f 2 ( x )

Consideraremos el caso de dominio más común, supongamos que el dominio de f 2 es

(a ,∞ ), si {x1 , x2 ,…,xn }⊂ (a ,∞ ) no hay necesidad de hacer desplazamientos, ahora si esto

no se cumple es por que mini=1,2… n

x i<a, debemos trasladar los datos de tal manera que se

cumpla mini=1,2… n

x i>a con lo cual consideraremos dos casos

Caso i Si mini=1,2… n

x i∈Z

tomaremos un desplazamiento de la forma

(73) h=|⟦ mini=1,2 ,..n

{x i }−a⟧|+1

Caso ii Si mini=1,2… n

x i∉Z

tomaremos un desplazamiento de la forma

(74) h=|⟦ mini=1,2 ,..n

{x i }−a⟧|y al hacer el mismo análisis para el caso del dominio de en la función f 1, suponiendo que es

(b ,∞ ), y que no se cumple la contenencia { y1 , y2 ,…, yn }⊂ (b ,∞ ) tomaremos en

consideración los mismos casos anteriores para el desplazamiento los cuales son



Caso i Si mini=1,2… n

{ y i }∈Z

Tomaremos como desplazamiento

(75) k=|⟦ mini=1,2 ,..n

{ y i }−b⟧|+1

Caso ii Si mini=1,2… n

{ y i }∉Z

Tomaremos como desplazamiento

(76) k=|⟦ mini=1,2 ,..n

{ y i }−b⟧|Así, los datos con los cuales se trabajara son

(77) {( x1+h , y1+k ) , (x2+h , y2+k ) ,…, (xn+h , yn+k )}Y en este caso el modelo

(78) f 1 ( y+k )=∝0+∝1 f 2 ( x+h )

Esto lo vamos a ilustrar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7 Dados los siguientes datos

(79) (1,1), (2 ,−3) ,(3 ,−8) ,(4,15) ,(5,30)

encuentre un modelo exponencial de la forma y=βo eβ 1 x, por medio de

regresión lineal aplicada a la linealización de los datos.

Del Ejemplo 5 tenemos que la linealización es dada por

(80) ln ( y )=ln (βo )+β1 x

En este caso como f 1 es la función logarítmica la cual tiene por dominio (0 ,∞ ) y

como mini=1,2… n

{ y i }∈Z utilizamos la formula en (75) para obtener

(81) k=|⟦−8 ⟧|+1=9

Y como la función f 2 es la identidad la cual no tiene problemas de dominio no

hay necesidad de hacer la traslación a la variable x por lo cual tomaremos

h=0.

Así el conjunto de datos sobre el cual trabajaremos es

(82) {(1,10),(2,6),(3,1) ,(4,24) ,(5,39) }Los cuales están en las variables x, y+k , por lo tanto el modelo buscado en

realidad tendrá la forma

(83) y+k=βo eβ1 x



Es decir, la regresión lineal la pasaremos a las variables x e ln ( y+9 ). Es decir,

el modelo linealizado es

(84) ln ( y+9 )=ln (βo )+β1(x )

Aplicando la regresión obtenemos

(85) ln ( y+9 )=0 ,954717767499999+0 , 4108247467x

Y devolviendo el proceso por medio de la exponencial (o hallando los valores

de los parámetros) y despejando y

(86) y=2.597937257e0.4108247467 x−9

Nota 4 Otra forma de llegar al modelo que puede ser conveniente en algunos casos es

comparar la ecuación (84) con la ecuación (85) a fin de formar un sistema de

ecuaciones para hallar los valores de los parámetros y luego sustituirlos en el modelo

deseado, es decir, en la ecuación (83), que en este caso es

(87)ln (βo )=0 ,954717767499999

β1=0 ,4108247467.

Ejemplo 8 Dados los siguientes datos

(88) (1,1), (2 ,−3) ,(3 ,−8) ,(4,15) ,(5,30)

encuentre un modelo exponencial de la forma 2y=β0β 1√x, por medio de

regresión lineal aplicada a la linealización de los datos.

Linealizando tenemos:

(89) yLn2=ln β0+1β1

ln x

(90) y=ln β0

ln 2+ 1

β1 ln 2lnx

Es decir, el modelo linealizado quedo de la forma

y¿=β0¿+β1

¿ x¿

Ese decir

(91) x¿=lnx

(92) y¿= y



(93) β0¿=

ln β0

ln 2

(94) β1¿= 1

β1 ln2

donde

(95) β0=e β0¿ ln 2

(96) β1=1

ln 2β1¿

Las variables con las cuales se realiza la regresion son lnx y y; que al aplicarle

el comando en Maple ;

obtenemos el modelo linealizado

(97) y=15,2874893804488 x−7,63774583479679

donde

(98) β0¿=−7,63774583479679

(99) β1¿=15,2874893804488

Aplicando (95) y (95) obtenemos:

(100) β0=0,005021221782

(101) β1=0,09437095949

obteniendo el modelo potencial de la siguiente manera

(102) 2y=0,0050212217820,09437095949√ x

3.1.8 MINIMOS CUADRADOS VS LINEALIZACION.

Mostraremos la diferencia entre encontrar un modelo por medio de mínimos cuadrados y el

mismo modelo por medio de una linealización, veremos las ventajas de uno y otro.

Ejemplo 9 Con los datos (1,1), (2,3),(3,8) ,(4,15),(5,30) encontrar un modelo exponencial

aplicando mínimos cuadrados y aplicando regresión lineal a los datos

linealizados, escoger el mejor modelo.

Como ya se vio en Ejemplo 4 el modelo aplicando mínimos cuadrados es

(103) y=0,8775305761e0,7071637087 x

Y en el Ejemplo 5 se tiene el modelo por linealización

(104) y=0,5137135215e0,8411832676 x



Falta ahora ver cuál es el “mejor” modelo. Veamos gráficamente los dos

modelos

Gráfica 4

donde el modelo por mínimos cuadrados es la curva roja y el modelo por medio de

linealizacion es la curva azul.

Observamos que las dos aproximaciones, relativamente, son “buenas” ya que las gráficas

son muy cercanas, sin embargo esto no es un criterio decisivo, por lo tanto debemos buscar

otra forma de comparar las dos gráficas, para esto recurrimos a la teoría propia que hemos

construido y es natural pensar en compararlas por medio de los errores cuadráticos, en

realidad por la raiz de este, que es la medida euclideana del vector formado por los

residuos, para esto, hallemos primero el error cuadratico que en el caso del modelo por

minimos cuadrados es

(105) Ec (β0 , β1 )=∑i=1

5

¿¿

Por lo cual la medida del vector de los residuos es 1,2152868.

Y en el caso del modelo linealizado tenemos

(106) Ec (β0 , β1 )=∑i=1

5

¿¿

Por lo cual la medida del vector de los residuos es 4,74856608.

Por lo tanto el modelo que más se aproxima a los datos en el sentido de mínimos cuadrados

es el dado en la ecuación (105)



Nota 5 El modelo por mínimos cuadrados siempre es mejor que el modelo linealizado, es

decir, al realizar el proceso de linealización se aumenta el error en el modelo, el cual

es dado por el error cuadrático.

Nota 6 La curva encontrada por medio de mínimos cuadrados es difícil de encontrar dada la

dificultad al resolver el sistema de ecuaciones, es más, para un gran número de

datos puede llegar a ser imposible con la tecnología que contamos actualmente, esta

es la principal razón por la que es tan usado el método de linealización.

Nota 7 Un error común en algunos autores es decir que el modelo presentado en la

linealización es “el modelo que más se ajusta a los datos en el sentido de mínimos

cuadrados” lo cual es falso.

En el caso de la regresión lineal existe una medida de verificar si el modelo en realidad se

ajusta a la curva, este es llamado coeficiente de correlación.

3.1.9 COEFICIENTE DE CORELACION.

Se define

2222

2

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

Sy

SrSyr

; donde r2 es el

coeficiente de determinación y r es el coeficiente de correlación.

3.2 INTERPOLACION POLINOMIAL

Siguiendo en la búsqueda de modelos que puedan explicar el comportamiento de

algún conjunto de datos y a diferencia de los mínimos cuadrados que buscaban una

función que se aproximara a un conjunto de datos, en esta parte buscaremos un

modelo que pase exactamente por dichos datos, esto nos permitirá la construcción

de nuevos datos partiendo de los ya conocidos, lo que busca la interpolación es a

partir de un conjunto de datos {( x0 , y0 ) , (x1 , y1 ) ,…, (xn , yn )} encontrar una función f

que satisfaga la condición f (x i )= y i, antes de empezar esta búsqueda, al igual que

en mínimos cuadrados debemos primero fijar una forma particular del modelo, esta

forma se busca dependiendo del comportamiento de los datos y de que queremos

hacer con dicho modelo, por ejemplo, si buscamos estos para añadir este modelo a

una ecuación diferencial, pediremos que este modelo al menos sea continuo (o

porque no, diferenciable), si el modelo lo queremos para analizar una onda y estudiar



sus propiedades sería bueno que este dado en forma de senos y cosenos, si el

comportamiento delos datos sugiere un crecimiento rápido se puede pensar en un

modelo logarítmico, la interpolación que vamos a considerar en esta parte

tomaremos los modelos que son más “fáciles” para nosotros, los polinomios, así la

interpolación que trabajaremos es una interpolación polinomial, es decir, buscaremos

una función polinomial que pase exactamente por los datos.

Si consideramos un conjunto de datos {( x0 , y0 ) , (x1 , y1 ) ,…, (xn , yn )} existen muchos

(infinitos) polinomios que pasan por estos datos, no es interesante desde este punto

de vista la interpolación, en este caso buscaremos un polinomio de grado lo menor

posible lo que facilita el estudio del modelo, este polinomio de menor grado resultara

ser único como consecuencia del teorema fundamental del algebra, el teorema será

presentado a continuación sin demostración.

Teorema 1 (Existencia y unicidad del polinomio interpolador)

Dado un conjunto de datos diferentes {( x0 , y0 ) , (x1 , y1 ) ,…, (xn , yn )} que se

comporten de manera funcional, es decir, x i≠ x j para i≠ j, existe un único

polinomio p(x ) de grado menor o igual que n que interpola dichos valores, es

decir, p (x i )= y i para i=0,1 ,…,n .

Gracias al teorema anterior, podemos asegurar que sin importar el método usado

para hallar el polinomio de interpolación siempre llegaremos al mismo, en esta

sección estudiaremos tres formas diferentes de hallar el polinomio de interpolación,

sin embargo, cada una de ellas presenta una forma diferente de escribir el polinomio

y gracias a esto pueden notarse ventajas y desventajas de unas sobre las otras

dependiendo lo que se quiera hacer con el polinomio de interpolación.

Empezaremos estudiando el método de Lagrange.

3.2.1 LAGRANGE

La interpolación de Lagrange es una de los métodos los métodos de interpolación más

sencillos desde el punto de vista geométrico, esta forma solo usa conceptos básicos sobre

las gráficas de las funciones (traslación y dilatación) junto con el teorema del factor.



Recordemos que la suma de funciones es puntual, entonces buscaremos inicialmente

polinomios que pasen por cada uno de los puntos y en los otros que corten al eje x, así:

Para el primer )(0 xp , el polinomio pasa por (-2,5) y en los demás valores por (1,0) , ( 2,0) ,

(3,0) como se observa en la figura, Como el polinomio es de grado 3, la forma de ese

polinomio es P0 ( x )=(x−1)(x−2)(x−3); aquí utilizamos el teorema del factor que dice “ Si

c es raíz (x-c) es factor “

Gráfica 5

sin embargo este polinomio no pasa por (-2,5) sino por (-2,-60) así podemos reflejar con el

eje x y llegamos a P0 ( x )=−(x−1)(x−2)(x−3), que sigue sin pasar por el punto (-2,5) ; a lo

cual aplicamos contracción o dilatación para que llegue al punto deseado pero no me

cambie los cortes con el eje x

Gráfica 6



Para lo cual hacemos

(107))3)(2)(1(

12

1)(0

xxxxp

este −112

salio en forma geométrica; ahora lo haremos analíticamente:

(108) )3)(2)(1()( 00 xxxcxp

Ahora si queremos que pase por (-2,5) llegamos a:

(109) )3)(2)(1(5 0 xxxc

donde )32)(22)(12(

50 c

así

(110) )32)(22)(12(

)3)(2)(1(5)(0

xxxxp

en terminos de los datos

(111) P0 ( x )=y0(x−x1)(x−x2)(x−x3)

(x0−x1)(x0−x2)(x¿¿0−x3)¿

Para el segundo P1(x)), es el polinomio que pasa por (1,-4) y en los demás valores por (-

2,0) , (2,0) , (3,0) como se observa en la figura, Como el polinomio es de grado 3, la forma

de ese polinomio es

(112) P1 (x )=(x+2)(x−2)(x−3)

Gráfica 7



Sin embargo este polinomio no pasa por (1,-4) sino por (1,12) así podemos reflejar con el

eje x y llegamos a P1 (x )=−(x+2)(x−2)(x−3), que sigue sin pasar por el punto (1,-4) ; a lo

cual aplicamos contracción o dilatación para que llegue al punto deseado pero no me

cambie los cortes con el eje x

Gráfica 8

Para lo cual hacemos P1 (x )=−23(x+2)(x−2)(x−3); este

−23

salio en forma geométrica;

ahora lo haremos analíticamente:

)3)(2)(2()( 11 xxxcxp ahora si queremos que pase por (1,-4) llegamos a:



)3)(2)(2(4 0 xxxc donde )31)(21)(21(

40

c

así

(113) )31)(21)(21(

)3)(2)(2(4)(1

xxxxp

es decir

(114) ))()((

))()(()(

312101

32011 xxxxxx

xxxxxxyxp

Para el tercer P2(x ), es el polinomio que pasa por (2,1) y en los demás valores por (-2,0) ,

(1,0) , (3,0) a lo cual aplicamos contracción o dilatación para que llegue al punto deseado

pero no me cambie los cortes con el eje x; llegando a

(115) P2 (x )=−13(x+2)(x−1)(x−3);

Gráfica 9

Procedemos de forma analoga obteniendo

(116) p2 ( x )=y2(x−x0)(x−x1)( x−x2)

(x1−x0)(x1−x2)(x¿¿1−x3)¿

Para el cuarto polinomio P3(x ), es el polinomio que pasa por (3,-1) y en los demás valores

por (-2,0),(1,0) , (2,0) a lo cual aplicamos contracción o dilatación para que llegue al punto

deseado pero no me cambie los cortes con el eje x y obtenemos

(117) P3 ( x )=−110

( x+2 ) ( x−1 ) ( x−2 )

procedemos de forma analogas alos anteriores polinomios y llegamos a



(118) p3 ( x )=y3( x−x0)(x−x1)(x−x2)

(x2−x0)(x2−x1)(x¿¿2−x3)¿

su grafica es

Gráfica 10

Ahora realizando la suma puntual de funciones; obtenemos el polinomio que pasa por los

puntos escritos inicialmente; GRAFICA NEGRA

Gráfica 11

sumando los p(x ) llegamos a nuestro polinomio de Lagrange como:

(119) L ( x )=P0 (x )+P1 ( x )+P2 ( x )+P3 ( x )

reemplazando tenemos:



(120)

L ( x )=−112

( x−1 ) ( x−2 ) ( x−3 )−23(x+2)(x−2)(x−3)−1

3(x+2)(x−1)(x−3)−1

3(x+2)(x−1)(x−3)− 1

10(x+2)(x−1)(x−2)

notemos que cada polinomio pi(x ), es un polinomio de grado 3 (excepto que y i=0), asi

cuando armamos el polinomio de Lagrange que es la suma de estos, llegamos a un

polinomio de grado 3 o menor, este polinomio encontrado es el polinomio de menor grado

que pasa por los datos dados, es decir, es el polinomio de interpolacion.

Extendiendo el mismo argumento con n + 1 puntos; tendremos que cada polinomio pi(x )

tiene la forma

(121) )())(())((

)())(())(()(

1110

1110

niiiiiii

niiii xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxyxp

donde i=0,1 ,…,n.

Escribiéndolo en forma compacta, para n+1 puntos, tenemos:

(122) pi ( x )= y i∏j=0j ≠i

n (x−x j)(x i−x j)

En donde cada término

(123) y i∏j=0j ≠i

n1

(x i−x j)

es el que genera la contracción o dilatación de la función para que pueda tomar en el punto

deseado, y el término ∏j=0j ≠ i

n

(x i−x j)es el que “pega” al piso la función en los valores x j. Para

j=0,1 ,…,i−1 , i+1,…,n

Y definimos el polinomio interpolante de Lagrange como:

(124) L ( x )=∑i=0

n

y i∏j=0j ≠i

n ( x−x j)(x i−x j)



para aclarar un poco la formula, la escribiremos en una forma extendida para los casos n=1

y n=2

Caso n=1

(125) L ( x )= y0

x−x1

x0−x1

+ y1

x−x0

x1−x0

Caso n=2

(126) L(x )= y0

x−x1

x0−x1

x−x2

x0−x2

+ y1

x−x0

x1−x0

x−x2

x1−x2

+ y2

x−x0

x2−x0

x−x1

x2−x1

Caso n=3

(127)

L ( x )= y0

x−x1

x0−x1

x−x2

x0−x2

x−x3

x0−x3

+ y1

x−x0

x1−x0

x−x2

x1−x2

x−x3

x1−x3

+ y2

x−x0

x2−x0

x−x1

x2−x1

x−x3

x2−x3

+ y2

x−x0

x3−x0

x−x1

x3−x1

x−x2

x3−x2

A pesar de la facilidad de calcular el polinomio de Lagrange, este presenta varias

desventajas, una de ellas es el elevado número de operaciones que hay que

desarrollar a fin de obtener el polinomio de interpolación de la manera estandar,

otra es que el polinomio de interpolación escrito en la forma de lagrange, es decir

la forma dada por la formula (124) no presenta explícitamente el grado del

polinomio. Estudiaremos otra forma de calcular el polinomio de interpolación el

cual usa el concepto de diferencias finitas.

3.2.2 NEWTON

En esencia la interpolación de Newton es una generalización de la forma punto pendiente de

la recta, veamos una aproximación con el siguiente ejemplo:

Consideremos dos puntos (1,3) y (2,8); hallemos la ecuación de la recta

(128) m=8−32−1

=5

y usando la forma punto y pendiente:

(129) y− y0=m(x−x0)

asi

(130) y=m (x−x0 )+ y0

si tomamos (1 ,3 )=(x0, y0), luego



(131) y=5 ( x−1 )+3

Ahora generando la tabla obtenemos:

Tabla 1

x i y i

1 3

2 8

Ahora recordemos que la pendientes como las diferencias de y sobre las diferencias de las

de x

Es decir

(132)y1− y0

x1−x0

Como esta es la primera aproximcion de la derivada; a llamaremos las primeras diferencias

divididas y las notaremos

(133) F [ x0 , x1 ]=f (x1 )−f (x0)

x1−x0

Así la tabla 3 toma la forma

Tabla 2

x i y i P.D.D.

x0 y0F [ x0 , x1 ]

x1 y1

Luego la ecuación (3) queda escrita como

(134) y=F [ x0 , x1 ](x−x0)+y0

Consideremos ahora un ejemplo de 3 puntos

Tabla 3

x i y i

1 3

2 8

5 4

Aquí no hay una única Primera Diferencia Dividida en este orden hay dos que nos interesan



Tabla 4

x i y i P.D.D.

1 3 8−32−1

=5

4−85−2

=−43

2 8

5 4

Como vimos en el método de Lagrange, con tres puntos se puede interpolar un polinomio de

grado 2 (o menor), así; esta información es necesaria pero no suficiente para hallarlo,

debemos buscar una forma de aproximar la segunda derivada (ver Taylor) recordemos que

la segunda derivada es la derivada de la derivada, esto nos lleva a crear una Segunda

Diferencia Dividida (SDD)

Tabla 5

x i y i P.D.D

.

SDD

1 3 5 −43−5

(5−2 )+(2−1)=

−1934=−1912

2 8-4/3

5 4

Es decir

Tabla 6

x i y i P.D.D. SDD

1 3 5−1912

2 8-4/3

5 4

Ahora siguiendo la misma idea, (pero recordando Taylor), que la segunda derivada va

acompañada de un factor cuadrático; tenemos:

(135) N ( x )=−1912

( x−1 ) ( x−2 )+5 ( x−1 )+3

que es equivalente a escribir



(136) N ( x )=F [ x0 , x1 , x2 ] (x−x0 ) (x−x1 )+F [ x0 , x1 ] (x−x0 )+ y0

Donde notaremos la SDD de los puntos x0 , x1 y x2 como

(137) F [ x0 , x1 , x2 ]=F [ x1 , x2 ]−F [ x1 , x0]

x2−x0

Generalizando estos conceptos, tenemos

I. La n-ésima diferencia dividida centrada en cero y hacia delante

(138) F [ x0 , x1 ,…,xn ]=F [ x1 ,…,xn ]−F [ x0 ,…, xn−1]

xn−x0

II. El polinomio de Newton de grado nse define

(139)

N ( x )=F [ x0 , x1 ,…,xn ]∏i=0

n−1

(x−xi )+F [ x1 ,…, xn−1 ]∏i=0

n−2

(x−xi )+…+F [x0¿, x1](x−x0 )+ y0¿

Reordenandolo tenemos

(140) N ( x )= y0+∑j=1

n

F [ x0 ,…,x j ]∏i=0

j−1

(x− xi)

Por ejemplo un polinomio de grado 3 la formula

(141) N ( x )= y0+∑j=1

3

F [ x0 ,…,x j ]∏i=0

j−1

(x− xi)

Dado que la sumatoria va de j=1 hasta 3; hay tres términos

(142)

N ( x )= y0+F [ x0 , x1 ]∏i=0

0

(x−x i)+F [ x0 , x1 , x2 ]∏i=0

1

(x−x i)F [ x0 , x1 , x2 , x3 ]∏i=0

2

(x−x i)

En la primera productoria va de i=0 a 0, solo hay un termino; en la segunda productoria va

de i=0 hasta 1, hay dos terminos y la tercer productoria va de i=0 hasta 2 , hay tres

terminos

(143)

N ( x )= y0+F [ x0 , x1 ](x−x0)+F [ x0 , x1 , x2 ](x−x0)(x−x1)F [ x0 , x1 , x2 , x3 ](x−x0)(x−x1)¿

Nota 8 Una de las ventajas del método de newton es que se conoce a partir de su

construcción el grado del polinomio de interpolación, esto se debe al hecho que si las



diferencias en algún momento se vuelven constante entonces este es el grado del

polinomio.

A continuacion mostraremos algunos ejemplos del polinomio de Newton.

Ejemplo 10

Dados los puntos (1,3); (2,5), hallar N (x )

i x i f (x i) PDD

0 1 31

1 3 5

N (x )=3+1∗(x –1)

Ejemplo 11

La siguiente tabla muestra la construcción del polinomio interpolante de Newton para el caso

n=4.

Tabla 1

i x i y i PDD SDD TDD CDD

0 1 0.7651977-0.48370567

-0.548946

-0.578612

-0.571521

-0.10873389

-0.04944333

0.01181833

0.0658784

0.068068510.00182509

1 1.3 0.6200860

2 1.6 0.4554022

3 1.9 0.2818186

4 2.2 0.1103623

El Polinomio de Newton es:

N ( x )=0,7651977−0,48370567 x−0,10873389 x (x−1 )+0,0658784 x ( x−1 ) ( x−1,3 )+0,00182509x ( x−1 ) ( x−1,3 ) (x−1,6 )

Ejemplo 12

Dados los puntos (-3,11),(-1,3),(2,6) y (4,18), encontrar los polinomios de Newton que pasan

por los dos primeros puntos, los tres primeros puntos y por los cuatro puntos; aproximar en

cada caso para x=1

Solución



Para resolver el ejemplo realizaremos la tabla de diferencias

Tabla 2

i x i y i PDD SDD TDD

0 -3 11 -4

1

6

1

101 -1 3

2 2 6

3 4 18

Entonces el polinomio queda como,

(144) N ( x )=11−4 ( x+3 )+1 ( x+3 ) (x+1 )+0 (x+3)(x+1)(x−2)

y la aproximación es

(145) N (1 )=3

Ahora veamos otra forma de interpolación la cual recurre al uso de determinantes y

matrices.

3.2.3 AITKEN

Este método se basa en una sucesión de polinomios que se dan en forma triangular , el cual

nos permite generar los polinomios de grados más altos partiendo de polinomios de grados

más bajos.

Inicialmente se genera la primer columna , que son las imágenes de los puntos dados,

Se genera un dispositivo triangulas de polinomios Pk,d mediante un determinante de orden 2.

Aquí Pk,d es cierto polinomio de grado d que se interpola sobre un conjunto de d+1 puntos

que dependen de k.

El esquema de Aitken es el que sigue:

Para d=0 ,1 ,2 ,......... , n genérese el polinomio Pk , d como sigue:

(146) Pk , 0= y0 k=0 ,1 ,2 , ........ ,n

si d es diferente de cero se utiliza la siguiente iteracion:

(147)nddk

xx

xPxxxPxxxP

dk

dkdddkdk .........,,2,1;

)()()()()(

1

1,11,1,

En términos matriciales tenemos:



(148)nddk

xxP

xxP

xxxP

kdk

ddd

dkdk .........,,2,1;

1)(

1,

11,1

1,

La disposición de los polinomios Pk,d se muestra en la siguiente tabla:

Tabla 3

d 0 1 2 ............. n

x0 P0,0 X0 – X

x1 P1,0 P1,1 X1 – X

x2 P2,0 P2,1 P2,2 X2 – X

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xk Pk,0 Pk,1 Pk,2 Xk – X

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn Pn,0 Pn,1 Pk,2 Pn,n Xn – X

A continuacion generaremos los polinomios de Aitken para n=2,3 y 4

Polinomio de Aitken que pasa por dos puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1 ) :

(149) P1,1=1

x1−x0|P0,0 x0−xP1,0 x1−x|

Polinomio de Aitken que pasa por tres puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ):

(150) P2,2=1

x2−x1|P1,1 x1−xP2,1 x2−x|

Polinomio de Aitken que pasa por cuatro puntos puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ),(x2 , y2 )y

(x3 , y3 ) :

(151) P3,3=1

x3−x2|P2,2 x2−xP3,2 x3−x|

Ejemplo 13



Dado el siguiente cojunto de datos; hallar el polinomio de Aitkeny reaice una aproximacion

para x=3

xk Pk , 0

x0 -4 256

x1 -2 16

x2 0 0

x3 2 16

x4 4 256

(152)

5843216

34256

42

11)(

10,1

00,0

011,1

xxP

xxP

xxxP

(153)

192300

34256

40

11)(

20,2

00,0

021,2

xxP

xxP

xxxP

(154)

243216

34256

42

11)(

30,3

00,0

031,3

xxP

xxP

xxxP

(155)

25634256

34256

44

11)(

40,4

00,0

041,4

xxP

xxP

xxxP

(156)

39630192

32584

20

11)(

21,2

11,1

122,2

xxP

xxP

xxxP

(157)

1163224

32584

22

11)(

31,3

11,1

132,3

xxP

xxP

xxxP

(158)

11634256

32584

24

11)(

41,4

11,1

142,4

xxP

xxP

xxxP



(159)

2432116

30396

02

11)(

32,3

22,2

233,3

xxP

xxP

xxxP

(160)

18634116

30396

04

11)(

42,4

22,2

243,4

xxP

xxP

xxxP

(161)

8134186

3224

24

11)(

43,4

33,3

344,4

xxP

xxP

xxxP

Los cuales al ingresarlos en la tabla de Aitken obtenemos:

Tabla 4

k Xk Pk,0 Pk,1 Pk,2 Pk,3 Pk,4

0 -4 256

1 -2 16 -584

2 0 0 -192 396

3 2 16 -24 116 -24

4 4 256 256 116 186 81

Y así la aproximación con el polinomio de Aitken para los cuatro puntos dados es 81.

Ejemplo 14 Dados los puntos (-3,11),(-1,3),(2,6) y (4,18), encontrar los polinomios de Aiken

que pasan por los dos primeros puntos, los tres primeros puntos y por los

cuatro puntos; aproximar en cada caso para x=1

Solución

Polinomio por los puntos (-3,11) y (-1,3)

Utilizando la fórmula (29) obtenemos que

(162) A ( x )=P1,1=1

−1+3 |11 −3−x−1 −1−x|


(163) A (1 )=−5



Polinomio por los puntos (-3,11), (-1,3) y (2,6)


(164) A ( x )=P2,2=1

2+1|−5 −1−x−35

22−x |


(165) A ( x )=P2,2=1

2+1|−5 −1−1−35

22−1 |=1

3(−5−35 )=3

Polinomio por los puntos (-3,11), (-1,3),(2,6) y (4,18)


(166) P3,3=1

4−2| 3 2−xP3,2 4−x|


A (1 )=3

3.2.4 COMPARACION DE LOS TRES METODOS

Aunque desde un principio se dijo que sin importar el metodo que se utilice; el polinomio

interpolante que aproxima, un numero cualquiera de puntos, es el menor polinomio que pasa

por todos los puntos; existen diferencias.

Tomando como referencia los ejemplos 20, 21 y 23; al realizar el desarrollo de cada uno de

estos polinomios se obtiene el polinomio

(167) f ( x )=x2+2

que es el mismo en los tres casos (era de esperarse dado el teorema de unicidad del

polinomio), este es el polinomio de interpolacion que se buscaba el cual denotaremos por

(168) I ( x ) ¿ x2+2

al observar L(x), N(x) y A(x) se evidencian ciertas ventajas de un metodo sobre los otros, por

ejemplo,

En el caso del metodo de Newton, las Segundas diferencias y el mismo N(x)

nos indican de manera explicita el grado de este polinomio



Otra de las ventajas de Newton es el numero de operaciones a realizar en cada

uno de los metodos las cuales son: Newton n(n+1), Lagrange 4 n(n+1) y

Aitken (FALTA)

Otra ventaja del metodo de Newton es que si se quiere adicionar un punto, las

cuentas hechas en el metodo de Newton no se pierden, ya que esta formula es

recursiva y utiliza el resultado anterior para dar un resultado nuevo; cosa que

no ocurre en Lagrange, en el cual toca recalcular nuevamente cada termino, ni

en Aitke donde se debe incrementar el orden del determinante generando un

incremento de forma factorial en la operaciones.

3.3 OTROS AJUSTES DE CURVAS

3.3.1 CURVAS DE BESIER

3.3.2 SPLINES CUBICOS

3.4 ERROR EN EL POLINOMIO INTERPOLANTE

Con respecto al error en un polinomio interpolante; es el mismo sin importar el camino

(recordemos que llegaremos al mismo polinomio sin importar el camino), y este se difine asi:

3.4.1 Si se conoce la función(Lo cual seria ilógico ya que estamos aproximando

esta funcion), se utiliza el error de la serie de Taylor.

(169) )...,,max()...,,min(

)).......()(()!1(

)(

1010

10

1

nn

n

n

n

xxxxxxxxdonde

xxxxxxn

FR

3.4.2 Si no se conoce la función; que trabajemos, se toma un dato adicional al

cual se le aplica Diferencias finitas divididas y nos dara el error de esta.

(170) )).......()()(,......,( 1001 nnnn xxxxxxxxxFR

Ejemplo 15 Del ejempo (2) tenemos la tabla de diferencias

Tabla 5

i x i f (x i) PDD SDD TDD CDD

0 1 0.7651977-0.48370567

-0.548946

-0.578612

-0.571521

-0.10873389

-0.04944333

0.01181833

0.0658784

0.068068510.00182509

1 1.3 0.6200860

2 1.6 0.4554022

3 1.9 0.2818186

4 2.2 0.1103623



Tomaremos como datos iniciales del ejemplo (2) los cuatro primeros y el quinto dato (4 ,

2.2), sera el dato adicional, el cual nos dara el Rn, luego la aproximacion del polinomio de

grado 4 queda de la siguiente forma:

I ( x )=0,9705222505−0,0944566845 x−0,3656596292x2+0,06587839497 x3+Rn

Donde Rn=0,00182509x ( x−1 ) ( x−1,3 ) ( x−1,6 ) ( x−1,9 )

Si queremos una aproximacion para x=1,8; reemplazamos el valor en I ( x ), tenemos:

I (1,8 )=−0.5691487584

Para mayor información sobre las aplicaciones, sugerimos algunos enlaces externos

Algoritmo de interpolación por aproximación

Algoritmo de interpolación bilineal

Algoritmo de interpolación bicúbica

Ejemplos de interpolación en escalera (Stair Interpolation)

Algoritmo de interpolación S-Spline usada por programas como PhotoZoom o S-Spline.

Algoritmo de interpolación de Lanczos usada por programas como IrfanView

Ejemplos de interpolación por GF con Genuine Fractals

Interpolación de imágenes, en inglés

Interpolación de imágenes, en inglés

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1 De las ecuaciones (28), (29) y (30) despeje los parámetros β0 , β1 y β2.

Ejercicio 2 Considere los datos

Tabla 1

x y1 3,6782 5,2415 9,9538 14,664


http://www.cambridgeincolour.com/tutorials/image-interpolation.htm

http://www.cambridgeincolour.com/tutorials/image-interpolation.htm

http://www.lizardtech.es/solutions/gf/

http://www.kenrockwell.com/tech/gf.htm

http://www.irfanview.com/

http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_algorithm

http://www.benvista.com/main/content/content.php

http://en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation

http://www.fredmiranda.com/SI/

http://iria.math.pku.edu.cn/~jiangm/courses/dip/html/node68.html




12 20,94213 22,515

a) Encuentre la regresión lineal

b) Encuentre por medio de mínimos cuadrados un modelo cuadrático

c) Encuentre por medio de mínimos cuadrados un modelo cubico

Ejercicio 3 Considere los datos del Ejercicio 2.

a) Encuentre por medio de mínimos cuadrados un modelo de la forma

f β 0 , β1 , β2 , β3 , β 4 , β5=β0+β1 x+β2 x2+β3 x3+β4 x4+β5 x5

b) Calcule el error cuadrático para el anterior modelo.

c) Halle el polinomio de interpolación.

d) Justifique estos resultados.

Ejercicio 4 sean los datos

Tabla 2

x y1 3,6782 5,2415 9,9538 14,664

12 20,94213 22,515

a) Compare los modelos logarítmicos de la forma y=β0 ln ( x )+β1 hallados al

aplicar los mínimos cuadrados y la linealizacion.

b) Compare los modelos logarítmicos de la forma y=β0 ln (x+β1 ) hallados al

aplicar los minimos cuadrados y la linealizacion.

c) Compare los modelos logarítmicos de la forma y=ln (β0 x+β1 ) hallados al

aplicar los minimos cuadrados y la linealizacion.

d) Determine de todos ellos cual fue el mejor modelo de ajuste.

e) Será que en general para cualquier conjunto de datos la conclusión del punto

anterior es cierta?

Ejercicio 5 De la Nota 2, indique con cuales variables se va a trabajar y aplique todos los

modelos a los datos del Ejercicio 4.



Ejercicio 6 Dado el modelo expoencial β1√ y=β02x, aindique las variables con las cuales se van

a trabajar, y halle el modelo exponencial para los datos de Tabla 2

Ejercicio 7 Hallar el valor de 2 utilizando 3 funciones diferentes y llenar la siguiente tabla

Primer grado Segundo grado Tercer grado

Aproximación EN Aproximación EN Aproximación EN

F(x)

G(x)

H(x)

Ejercicio 8 Obtenga el Polinomio interpolante de de Lagrange de grado 2 a partir del Polinomio

interpolante de Newton.

Ejercicio 9 Estime el log 5 usando interpolación lineal, cuadrática y cúbica; y compare los

errores. ¿Cuál es el mejor método? ¿Porqué?.

Ejercicio 10 Halle el polinomio de interpolación que pasa por los puntos

{(−h , f (−h ) ) , (0 , f (0 ) ) , (h , f (h ) )}Ejercicio 11 Halle el polinomio de interpolación que pasa por los puntos

{(−h , f (−h ) ) , (0 , f (0 ) ) , (h , f (h ) ) ,(2h , f (2h ))}Ejercicio 12 Halle el polinomio de interpolación que pasa por los puntos

{(−2h , f (2h ) ) , (−h , f (−h ) ) , (0 , f (0 ) ) , (h , f (h ) ) ,(2h , f (2h ))}

Ejercicio 13 Úsese el método de Aitken para obtener una aproximación del valor de 4

senx

Ejercicio 14 Encuentre un valor aproximado de 2 por interpolación, usando el método de

Aitken. Para los valores de la función XxF 2)( en los puntos X = -2 ,-1,0,1,2,3

Ejercicio 15 Demuestre que P2,2 = L2(x), donde L2(x) es el polinomio langrangeano de orden 2.

Ejercicio 16 Hallar utilizando interpolación de:

i. Newton

ii. Lagrange

iii. Aitken

Cada uno de 1°, 2° y tercer grado. Decir cual es mejor en cada grado para los puntos

x0=0 , x1=1 , x2=2 , x3=3 , x3=4 , x5=5



Ejercicio 17 Aproximar f(x)=31/2 con la función f(x)=3x tabulada en los puntos x1=-2, x2=-1, x3=0,

x4=1 y x5=2. Utilizar los métodos de Neville y Aitken, y comparar los


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