Teoria del caos
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2014 Dr. Humberto Espada Sánchez METODOS PREDICTIVOS 1-1-2014 TEORIA DEL CAOS
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2014
Dr. Humberto Espada Sánchez
METODOS PREDICTIVOS
1-1-2014
TEORIA DEL CAOS
TEORIA DEL CAOS
DR. HUMBERTO ESPADA SÁNCHEZ 1
INTRODUCCION
Una de las técnicas empleadas en la actualidad para explicar los cambios aparentemente aleatorios de
las variables económicas, es la teoría de caos. Esta teoría plantea que existen evidencias para pensar
que los agentes económicos asumen conductas que se reflejan en las variables macroeconómicas de
manera parecida a procesos caóticos, los cuales pueden ser explicados usando modelos no lineales.
Dentro de las organizaciones, la teoría del caos explica cómo situaciones de cambio rápidas, que
requieren soluciones creativas, no pueden ser controladas por los estándares normales. La visión de
las organizaciones desde el punto de vista de la complejidad puede inducir a sus directores dentro de
la cultura del caos, es en la frontera del caos, donde los grandes cambios tienen lugar. El cambio, para
la gerencia, es saber cómo guiar la dinámica caótica para alcanzar los objetivos deseados.
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I. OBJETIVOS DEL ESTUDIO
1.1. Objetivos generales
Desarrollar la Teoría del Caos basado en ecuaciones totalmente
deterministas a partir de un caso.
Formular un modelo que permita deducir el orden subyacente que ocultan
fenómenos aleatorios.
1.2. Objetivos específicos
Desarrollar la teoría del caos y analizar de que forma este, puede ayudarnos
a cómo guiar la dinámica caótica para alcanzar los objetivos deseados.
Ilustrar las características cualitativas de un comportamiento caótico.
Comprender como una mínima variación en los sistemas caóticos provoca
una evolución radical en su comportamiento.
II. MARCO TEORICO: TEORIA DEL CAOS
2.1. Concepto
Es una rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de sistemas
dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales.
2.2. Características
Son deterministas, es decir que existe una ley que gobierna la conducta del
sistema.
Son muy sensibles a las condiciones iniciales
Parecen desordenados o aleatorios, pero en el fondo no lo son.
Es frecuente encontrar señales que aparentemente tienen un comportamiento
casual, caracterizado por una elevada sensibilidad a las condiciones iniciales e
imprevisibilidad a través del tiempo.
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2.3. Finalidad
La teoría del caos trata de entender la relación entre el orden y el desorden. De
esta forma es posible del orden llegar al caos y del caos alcanzar el orden
Guiar la dinámica caótica para alcanzar los objetivos deseados de una empresa y
a su vez obtener una ventaja competitiva para la empresa.
2.4. Sistemas Dinámicos
Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
Un sistema Estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su
dimensión (atractor o sumidero).
Un sistema inestable se escapa de los atractores.
Un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos.
La teoría del caos explica el efecto que tiene la información del entorno en la
organización; al igual que un sistema vivo, la nueva información la mueve de su estado
de equilibrio. Así, se vuelve desorganizada y se estructura en un estado más complejo
que es seguido por un cambio mejor en el entorno.
2.5. Efecto Mariposa
La idea de la que parte la Teoría del Caos es simple: en determinados sistemas naturales,
pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a enormes discrepancias en los
resultados. Este principio suele llamarse efecto mariposa debido a que, en meteorología,
la naturaleza no lineal de la atmósfera ha hecho afirmar que es posible que el aleteo de
una mariposa en determinado lugar y momento, pueda ser la causa de un terrible huracán
varios meses más tarde en la otra punta del globo. Se denomina, por tanto, efecto
mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un
sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del
comportamiento de un sistema caótico.
2.6. Un sistema caótico debe presentar las siguientes propiedades:
Sensibilidad a las condiciones iniciales
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Debe ser transitivo
Sus órbitas periódicas deben formar un conjunto denso en una región
compacta del espacio físico.
2.7. Descripción del software
R Proyecto de Estadística Informática es un entorno de software libre para computación
y gráficos estadísticos. Compila y ejecuta en una amplia variedad de plataformas UNIX,
Windows y MacOS.
De 1980 [20], y es el producto de un movimiento activo entre los estadísticos para un
entorno informático de gran alcance, programable, portátil y abierta, aplicable a los
problemas más complejos y sophsticated, como así como el análisis de "rutina", sin
ningún tipo de restricciones en el acceso o uso.
III. APLICACIÓN A LA INGENIERIA COMERCIAL
3.1. Aplicación
Para poder conocer el comportamiento de un sistema caótico utilizaremos la siguiente
ecuación logística (Verhulst):
Partiendo de un punto inicial x₀=0.75 para K=1.9, K=3.2, K=3.5, K=3.9, realizamos 50
iteraciones.
3.1.1. Ingreso de datos
Primero colocaremos la ecuación (Verhulst) para la primera columna, después de
realizarlo, continuaremos con las siguientes columnas
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1° COLUMNA
2° COLUMNA
4° COLUMNA
3° COLUMNA
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Tabla Final de Datos en Excel
3.1.2. Procedimiento
Para poder ilustrar la orbita y los atractores de cada columna de datos debemos
seguir la siguiente ruta INSERTAR DISPERSION DISPERSION CON
LINEAS RECTAS. Tal como se muestra en la siguiente imagen.
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Con ello obtendremos las siguientes gráficas del sistema caótico para cada una
de las columnas:
K=1.9 La órbita es atraída por un punto fijo de valor 0.47368421.
K=3.2 La órbita presenta un atractor cíclico de período 2.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 10 20 30 40 50
SISTEMA CAÓTICO K=1.9
Series1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 10 20 30 40 50
SISTEMA CAÓTICO K=3.2
Series1
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K=3.5 El atractor es también cíclico, de periodo 4 esta vez.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 10 20 30 40 50
SISTEMA CAÓTICO K=3.5
Series1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 10 20 30 40 50
SISTEMA CAÓTICO K=3.9
Series1
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K=3.9 La órbita no parece estabilizarse, parece no tener ningún atractor, como
si los valores fuesen aleatorios.
3.1.3. Resultado
Para x₀=0.75 el atractor es de punto fijo, mientras que ante una pequeña
modificación en el punto inicial las trayectorias obtenidas muestran
comportamientos inestables. Esto solo nos demuestra que se cumple la condición
del efecto mariposa.
3.1.4. Instrumentos para la detección de Caos
Reconstrucción del espacio de fases
Obtener los vectores estado del sistema a partir de los datos observados.
Coordenadas de retardo
Método de los retardos
Teorema de inmersión de Takens
Tests de independencia
Dimensión de correlación
Test BDS
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Test de sensibilidad a las condiciones iniciales
Exponente de Lyapunov
Dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial divergen:
Permite valorar la sensibilidad a las condiciones iniciales. Si el mayor exponente de
Lyapunov es:
o λ < 0 implica contracción, la serie es convergente.
o λ = 0 la serie es cíclica.
o λ > 0 implica alejamiento de los puntos, la serie presenta una
o dinámica caótica.
Algoritmo de Kantz:
Tests de no-linealidad
o Test de Kaplan
o Test de Theiler et al.
Otros tests para la detección de caos
Test 0-1: Intenta distinguir si un sistema dinámico determinista es caótico o no.
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Aplicación a una serie temporal. Base de datos: EconStats.(Revisar pagina Web) Software utilizado
tanto para el análisis gráfico y estadístico como para la programación: The R-Project for Statistical
Computing.
Pasos seguidos para detectar comportamientos caóticos en serie de valores cierre del
Standard&Poor’s 500 desde el 31/1/1950 hasta el 30/12/2005:
a) Presentación de datos
Representación gráfica de la serie original:
Representación gráfica de las diferencias logarítmicas:
En función del tiempo
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b) Aplicación test BDS
Hipótesis nula: datos i.i.d. (independientes e idénticamente distribuidos)
p < 0.05 (prob.= 0.95) Rechazo H0 : no son i.i.d. (existen dependencias)
p > 0.05 (prob.= 0.95) Acepto H0: son i.i.d.
Aplicación criterio AIC y análisis de los errores
Akaike Information Criterion (AIC) criterio que permite determinar qué ARMA(p,q) se
ajusta mejor a los datos.
Siendo 𝝈𝟐 la varianza de las observaciones, (p + q) el número de parámetros del ARMA y
N el número de observaciones.
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El menor AIC nos indica el modelo que se ajusta con un menor error a los datos.
Ajustando un ARMA (2,0) y pasando el BDS a los errores:
p < 0.05 Rechazo H0: no son i.i.d.
c) Aplicación algoritmo de Kantz para la obtención del exponente Lyapunov
Dimensión de inmersión m = 3 y ε = 0,05
Aplicación test 0-1
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Hemos partido de discretizar las fórmulas:
Desplazamiento cuadrático medio
Crecimiento asintótico
Constante c = 2.9 o 2.7; Datos generados series caótica y aleatoria =100000
d) Resultados obtenidos
Instrumentos Resultados Interpretación
Test BDS p - value<0.05 Existen dependencias en la serie
Test BDS tras AIC p - value<0.05 Siguen existiendo dependencias, que
cabe esperar de carácter no lineal
Exponente
Lyapunov
La funcion resultante de aplicar el
algoritmo de Kantz no presenta
un crecimiento lineal
No pueden hallarse el maximo
exponente de Lyapunov, pareciendose la
funcion a una proveniente de datos
aleatorios
Test 0 – 1 Tiende al valor 1 La serie parece comportarse de modo
aleatorio
