Triángulos

TRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos.

Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices (A, B y C)

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos : interior (formado por dos lados, en la imagen están coloreados de amarillo) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro, de color rosa).

  Consideraciones :

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos

interiores no adyacentes. Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos

adyacentes. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo

comprendido. Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.

¡Cuántas consideraciones!, ¿te animas a comprobar si son verdaderas?

Ángulo exteriorVeamos juntos la segunda consideración, ¿la recuerdas?...

"En todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes con él"

Recorta un triángulo, pinta dos ángulos interiores y recórtalos:

Luego pega el triángulo obtenido en una hoja:

Por último, pega adyacente al ángulo que no recortaste, los ángulos interiores recortados tal como se indica en el dibujo:

Clasificación:

Por sus lados:

Por sus ángulos:

Equilátero

 

 

 

 

 

 

Triángulo equilátero:

El triángulo equilátero es aquél que tiene los tres lados iguales y por lo tanto sus ángulos, siendo cada uno de 60 grados.

Isósceles

Triángulo isósceles:

El triángulo isósceles aquél que tiene dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno

Triángulo escaleno:

El triángulo escaleno es aquél que tiene los tres lados desiguales y por lo tanto sus ángulos.

 

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

SEGÚN SUS ÁNGULOS

Acutángulo

Triángulo Acutángulo:

Este tipo de triángulos tienen sus tres ángulos menores de 90°. El triángulo LMN es acutángulo.

Rectángulo

Triángulo Rectángulo:

Estos triángulos tienen uno de sus ángulos exactamente de 90°, un ángulo recto. En la figura el triángulo rectángulo UVW, tiene un ángulo recto que es el UVW, es decir el ángulo cuyo vértice es V.

Obtusángulo

Triángulo Obtusángulo:

Es aquel en que la longitud de uno de sus ángulos es mayor de 90°. En la figura el ángulo PQR mide más de 90° y es un ángulo obtuso.

 

Realizamos un cuadro

Con todo lo que has aprendido sobre los triángulos estás en condiciones de realizar el siguiente cuadro. El mismo te facilitará la visualización y la comprensión de los diferentes triángulos.

Ayudándonos con colores marcamos las características propias de cada uno. Usamos el mismo color para señalar los ángulos congruentes entre sí; el mismo color e igual cantidad de marcas para los lados

de longitudes iguales:

Observa atentamente el cuadro y reflexiona...

Reflexión¿Qué relación encuentras entre los ángulos y los lados opuestos?

Reflexión¿En algunos triángulos puedes asegurar la medida de sus ángulos?

Reflexión¿Puedes establecer alguna otra relación?

Elementos de un triángulo

 

Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscripta.

 

 

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. 

Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscripta.

 

 

 

 

 

Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

 

 

 

 

Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

 

 

Construcción de triángulos

Conocidos un lado y sus ángulos adyacentes

Construir un triángulo con un lado de 7 cm y ángulos adyacentes de 30° y 50°.

Dibujamos como base un segmento de 7 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un transportador de ángulos, dibujamos los ángulos señalados. Prolongando los lados de los ángulos, obtenemos el tercer vértice.

 

 

 

 

 

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido

Construir un triángulo de lados 5 cm y 7 cm, siendo el ángulo comprendido de 40°.

Con el transportador dibujamos un ángulo de 40° y, sobre los lados del ángulo señalamos sendos segmentos de 5 y 7 cm, respectivamente. Uniendo los extremos de lso segmentos por un tercero, obtenemos el triángulo.

 

 

 

 

 

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Construir un triángulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado pequeño.

Sobre un extremo del lado mayor dibujamos un ángulo de 30°. Con un compás de radio 5 cm, trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del ángulo. Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los triángulos ABC y ABD de la figura adjunta.

 

 

 

 

 

Conocidos los tres lados

Construir un triángulo de lados 3, 5 y 6 cm.

Desde los extremos del lado mayor trazamos dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. El punto de corte nos da el tercer vértice.

 

 

 

 

 

¿Puedes construir un triángulo de lados 3, 5 y 9 cm? Cuál es la condición para que tres segmentos formen un triángulo?

Actividades para realizar en tu cuaderno

Construye un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

Construye un triángulo con dos lados que midan 3'5 cm y 2'5 cm, de tal manera que ambos determinen un ángulo de 45°.

Construye un triángulo con un lado de 8 cm y ángulos adyacentes de 60° y 45°.

Construye un triángulo con dos lados de 10 cm y 7 cm, de tal manera que el ángulo opuesto al último sea de 30°.

Construye un triángulo rectángulo con un cateto de 2'4 cm y la hipotenusa de 5 cm.

Demostrar que si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 60°, el cateto adyacente es la mitad de la hipotenusa.