Teora de placas y lminas

Flexin de una placa circular empotrada en su contorno bajo la accin de una carga vertical

distribuida uniformemente. La mitad izquierda muestra la forma deformada y la mitad

derecha muestra la forma no deformada. La simulacin mediante elementos finitos fue

llevada a cabo mediante el software Ansys.

En ingeniera estructural, las placas y las lminas son elementos estructurales que

geomtricamente se pueden aproximar por una superficie bidimensional y que trabajan

predominantemente a flexin. Estructuralmente la diferencia entre placas y lminas est en

la curvatura. Las placas son elementos cuya superficie media es plana, mientras que las

lminas son superficies curvadas en el espacio tridimensional (como ls cpulas, las

conchas o las paredes de depsitos).

Constructivamente son slidos deformables en los que existe una superficie media (que es

la que se considera aproxima a la placa o lmina), a la que se aade un cierto espesor

constante por encima y por debajo del plano medio. El hecho de que este espesor es

pequeo comparado con las dimensiones de la lmina y a su vez pequeo comparado con

los radios de curvatura de la superficie, es lo que permite reducir el clculo de placas y

lminas reales a elementos idealizados bidimensionales.

ndice

1 Clculo de placas

o 1.1 Hiptesis de Reissner-Mindlin

o 1.2 Hiptesis de Love-Kirchhoff

o 1.3 Ecuacin de Lagrange para placas delgadas

o 1.4 Clculo de tensiones en placas delgadas

o 1.5 Placas rectangulares

2 Clculo de lminas

o 2.1 Cpula bajo su peso propio

o 2.2 Lmina axisimtrica

3 Referencia

o 3.1 Bibliografa

o 3.2 Enlaces externos

Clculo de placas

Hiptesis de Reissner-Mindlin

Vase tambin: Teora de Mindlin Reissner

Deformacin transversal de una placa en la hiptesis de Reissner-Mindlin donde i y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir.

Las hiptesis de Reissner-Mindlin son un conjunto de hiptesis cinemticas sobre cmo se

deforma una placa o lmina bajo flexin que permiten relacionar los desplazamientos con

las deformaciones. Una vez obtenidas las deformaciones la aplicacin rutinaria de las

ecuaciones de la elasticidad permite encontrar las tensiones, y encontrar la ecuacin que

relaciona desplazamientos con las fuerzas exteriores.

Las hiptesis de Reissner-Mindlin para el clculo elstico de placas y lminas son:

1. El material de la placa es elstico lineal. 2. El desplazamiento vertical para los puntos del plano medio no depende de z: uz(x, y,

z) = w(x, y).

3. Los puntos del plano medio slo sufren desplazamiento vertical: ux(x, y,0) = 0, uy(x, y,0) = 0.

4. La tensin perpendicular al plano medio se anula: zz= 0.

Como consecuencia los desplazamientos horizontales slo se dan fuera del plano medio y

slo se producen por giro del segmento perpendicular al plano medio. Como consecuencia

de las hiptesis de Reissner-Mindlin los desplazamientos pueden escribirse como:

Hiptesis de Love-Kirchhoff

En las placas en que se desprecia la deformacin por cortante, puede suponerse

adecuadamente una hiptesis adicional conocida como hiptesis de Love-Kirchhoff. Esta

hiptesis dice que:

5.

Esta hiptesis es anloga a la hiptesis de Navier-Bernoulli para vigas. De hecho existe un

paralelo entre los modelos de vigas y de placas. El modelo de placa de Reissner-Mindlin es

el el equivalente de la viga de Timoshenko, mientras que el modelo de placa de Love-

Kirchhoff es el equivalente de la viga de Euler-Bernoulli.

Las hiptesis de Reissner-Mindlin combinada con la hiptesis de Love-Kirchhoff

proporcionan una hiptesis cinemtica para los desplazamientos. A partir de esos

desplazamientos pueden calcularse fcilmente las deformaciones para una placa delgada:

En funcin de esas deformaciones las tensiones se calculan trivialmente a partir de las

ecuaciones de Lam-Hooke que generalizan la ley de Hooke para slidos deformables.

Ecuacin de Lagrange para placas delgadas

Para una placa plana de espesor constante en la que sean vlidas las hiptesis de Reissner-

Mindlin y Love-Kircchoff el descenso vertical en cada punto bajo la accin de las cargas

apoyadas sobre ella viene dada por:

(1)

Donde w(x, y) es la flecha vertical o descenso vertical de la placa en el punto de

coordenadas (x, y), q(x, y) es la carga por unidad de rea en el mismo punto, el operador

laplaciano se define, en coordenadas cartesianas, por la siguiente suma de operadores:

Y finalmente la constante D es la rigidez flexional de placas y viene dada en funcin del

espesor de la placa (h), el mdulo de Young (E), el coeficiente de Poisson ():

Es interesante notar que la ecuacin (1) es el anlogo de la ecuacin de la elstica para

vigas. Para placas de espesor no constante, anlogamente al caso de la ecuacin de la

elstica para vigas, la flecha y la carga aplicada estn relacionadas por la ecuacin:

(2)

Donde ahora la rigidez flexional D es funcin una D(x, y) que depende del punto concreto

de placa.

La resolucin de la ecuacin (1) en general no es trivial y requiere tanto el uso de

coordenadas adecuadas (para placas rectangulares se emplean coordenadas cartesianas,

pero para placas circulares se emplean coordenadas cilndricas) como la eleccin de algn

mtodo adecuado de integracin. Entre los ms sencillos estn el mtodo de Navier-

Kirchhof1 y el mtodo de Levy

2 que se basan en series obtenidas mediante el mtodo de

separacin de variables.

Clculo de tensiones en placas delgadas

En una lmina sometida fundamentalmente a flexin en la que se desprecia la deformacin

por cortante, o lmina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se caracterizan por dos

momentos flectores segn dos direcciones mutuamente perpendiculares y un

esfuerzo de torsin . Estos esfuerzos estn directamente relacionados con la flecha

vertical w(x, y) en cada punto por:

Donde:

, es el coeficiente de Poisson del material de la placa.

, es la rigidez en flexin de la placa, siendo:

el mdulo de Young del material de la placa, y h el espesor de la placa.

Las tensiones sobre una placa son directamente calculabes a partir de los esfuerzos

anteriores:

Placas rectangulares

Para una placa rectangular de dimensiones a y b con carga uniforme q (por unidad de

superfice) y simplemente apoyada en sus extremos la deflexin vertical de la misma

viene dada por:

con:

, rigidez flexional de placas

, grosor de la placa.

, mdulo de Young y coeficiente de Poisson del material de la placa.

La anterior serie converge muy rpidamente por lo que se obtiene una muy buena

aproximacin tomando slo los 3 o 6 primeros trminos, adems puede demostrarse que la

flecha mxima cumple:

donde .

Clculo de lminas

Una lmina es un elemento estructural bidimensional curvado. Si las placas se tratan

anlogamente a las vigas rectas, las lminas son el anlogo bidimensional de los arcos.

Usando coordenadas curvilneas ortogonales sobre la superficie se pueden escribir las

ecuaciones de equilibrio para los esfuerzos internos para una lmina de Reisner-Mindlin

como:3 4

Donde:

, indican las derivadas parciales respecto a las coordenadas u, v.

es el mdulo del vector tangente asociado a la coordenada u.

es el mdulo del vector tangente asociado a la coordenada v.

son los radios de curvatura segn las direcciones de las lneas coordenadas.

son las fuerzas por unidad de rea en cada punto de la lmina.

son las momentos por unidad de rea en cada punto de la lmina.

son los esfuerzos de membrana.

son los esfuerzos cortantes de la placa.

son los momentos flectores de la placa.

son los momentos torsores de la placa.

Cpula bajo su peso propio

Como ejemplo de las anteriores ecuaciones podemos considerar una cpula en forma de

casquete esfrico sometida a su propio peso. Cada punto de la cpula bidimensional se

puede parametrizar mediante las coordenadas :

Con lo cual tenemos los factores geomtricos siguientes:

Y por tanto las ecuaciones anteriores quedarn reducidas a:

Lmina axisimtrica

El caso general de una lmina general requiere usar coordenadas curvilneas generales para

parametrizar su superficie, eso conduce a ecuaciones de gobierno que son ecuaciones en

derivadas parciales cuya integracin es complicada. Sin embargo muchos casos de inters

involucran lminas con simetra axial o de revolucin, con cargas que tambin respetan la

simetra axial. En esos casos la geometra de la superficie puede parametrizarse mediante

una coordenada (que da su "perfil" radial), y las ecuaciones de gobierno en ese caso

involucran derivadas respecto a una nica coordenada, y por tanto son un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias. Gracias a eso el comportamiento real puede estimarse

mediante mtodos clsicos, ya que resulta factible integrar en algunos casos las ecuaciones

de gobierno. Esto contrata con el caso general para el cual no se conocen las soluciones

analticas de las ecuaciones de gobierno, por lo que en el caso general el comportamiento

slo puede investigarse buscando soluciones numricas aproximadas a las ecuaciones de

gobierno.

El caso ms simple de teora de lminas axisimtricas es la teora esttica especial de

Cosserat que describe el comportamiento de placas axisimtricas susceptibles de sufrir

flexin en su superficie media, extensin de la misma y cortante en el espesor.

Referencia

1. Kirchhoff Solution for plate bending 2. Levy Solution for plate bending 3. Washizu, 1974. 4. Langhaar, 1962.

Bibliografa

Antman, Stuart S. (1995). X. Axisymmetric Equilibria of Cosserat Shells.

Nonlinear Problems of Elasticity (libro). Applied Mathematical Sciences (en ingls)

107. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94199-1.

Langhaar, H. L. (1962). Energy Methods in Applied Mechanics. Wiley. ISBN 978-0-

89464-364-4..

Washizu, K. (1974). Variational methods in Elasticity and Plasticity. Pergamon

Press. ISBN 978-0-08-026723-4.

Enlaces externos

Ecuacin de Placas en eFunda

Categoras:

Elementos estructurales

Resistencia de materiales

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