TEORÍA DE MECANISMOS - OCW

Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica

TEORÍA DE MECANISMOS

5.- TEORÍA GENERAL DE ENGRANAJES


� Objetivo:� Comunicar el movimiento de un órgano a otro� Se emplean cuando es necesario un cambio en la

velocidad o en el par de un dispositivo giratorio� Tipos de transmisiones mecánicas:a) Transmisiones flexibles

· correas· cadenas· cables· ejes flexibles

b) Transmisiones rígidas· ruedas de fricción· engranajes· sistemas articulados

compuestos por:- cigüeñales- bielas- manivelas- embragues- frenos, etc.

Transmisiones Mecánicas


Transmisiones mecánicas

cadenas correas engranajes


Transmisión por correas

Transmisión por correas

Transmisión por correa con velocidad ajustable

� Ventajas:� Permiten gran

distancia entre centros� Funcionamiento suave

y silencioso� Bajo coste de mantenimiento

� Inconvenientes:� Potencias moderadas� Gran volumen� Peligro de DESLIZAMIENTO (asincronía)


Transmisión por cadenas y cables

Transmisión por cadenas

TRANSMISIÓN POR CADENAS� Ventajase inconvenientes:

� Permiten gran distancia entre centros� Coste y mantenimiento intermedio entre

cadenas y engranajes� NO existe peligro de DESLIZAMIENTO.

TRANSMISIÓN POR CABLES� Ventajase inconvenientes:

� Permiten mayores distancias entre centros� Coste y mantenimiento bajos� Pequeña capacidad de transmisión de potencia� Existe peligro de DESLIZAMIENTO.


Con conexión externa

� Características:� Es el modo más sencillo de transmisión de potencia de un eje

rotatorio a otro� Movimiento transmitido por fricción

� Inconvenientes� Máxima fuerza de fricción: F = µ·N

Ruedas de fricción (I)

Transmisión de par limitada

Con conexión interna


� Si el par demandado requiere una fuerza tangencial superior a la máxima disponible: DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS� Desgaste� Asincronía

� SOLUCIÓN:� Incorporar medios de trabamiento trasmisión por fuerza y

forma ENGRANAJES

Ruedas de fricción (II)


� Rodadura pura + relación de transmisión constante los perfiles sólo pueden ser dos circunferencias

(a) Transmisión entre ejes paralelos:� Cilindros de fricción:

� Externos� Internos

� Si no hay deslizamiento

Ruedas de fricción (III)

22 2

111

vri vr

ω= =ω

11 2

2

rv v i r= ⇒ =


(b) Transmisión entre ejes que se cortan:� CONOS de fricción

(c) Transmisión entre ejes que se cruzan:� HIPERBOLOIDES de fricción

� NO hay rodadura, pero las superficies son siempre tangentes entre sí

Ruedas de fricción (IV)

1

2

ri r=


� Ventajas:� Es el método más sencillo de transmisión de potencia de un eje a otro

� Inconvenientes:� Máxima fuerza de fricción: F = µ·N

� Si el par demandado requiere una fuerza tangencial superior a lamáxima disponible: DESLIZAMIENTO ENTRE AMBOS CILINDROS

� Desgaste

� Asincronía

� SOLUCIÓN:� Incorporar medios de trabamiento trasmisión por fuerza y forma

ENGRANAJES

Ruedas de fricción (V)

Transmisión de par limitada


Tipos de engranajes

•Rectos – externo

– interno

•Cónicos rectos

•Cónicos helicoidales

•Zerol

•De corona y piñón cilíndrico

•Helicoidales cruzados

•De Sinfín Cavex

•De sinfín envolvente

•Hipoidales

•Espiroide

•Helicon Beveloid

– Simples

– Dobles

– De esqueleto de pescado (herringbone)

•Helicoidales

� Ejes paralelos (engranajes cilíndricos)

� Ejes que se cortan (engranajes cónicos)

� Ejes que se cruzan en el espacio (engranajes hiperbólicos)


Engranajes cilíndricos de dentado recto

� Transmiten movimiento entre ejes paralelos

(a) externos: sentidos de giro opuestos

(b) internos: sentidos de giro iguales


� Dientes inclinados soportan carga axial engrane progresivo:� Menos VIBRACIONES� Menos RUIDO

� En (b) y (c) están compensadas las componentes axiales de los esfuerzos

Engranajes cilíndricos de dentado oblicuo

(a) simple(b) doble

(c) Herringbone


Engranajes cónicos� Transmiten par y velocidad entre ejes que se cortan

(a) Cónico rectos

(c) zerol

(b) Cónico helicoidal

(d) De corona y piñón recto


Engranajes hiperbólicos� Transmiten par y velocidad entre ejes que se cruzan en

el espacio.

(a) Helicoidal cruzado

(b) De sinfín-corona

(c) De sinfín cavex

(d) De sinfín evolvente

(e) hipoidal

(f) helicon

(g) Beveloid


Generación efectiva de los flancos de de los dientes

� Procesos de mecanizado:� Fresado� Cepillado

� Cortador en forma de cremallera� Cortador en forma de piñón

� Formado con sinfín

� Procesos de acabado:� Cepillado� Bruñido� Esmerilado� Pulido

� Otros métodos:� Fundición� Extrusión� Estampación� Sinterizado, etc


Fresado (I)

� La herramienta (fresa) tiene la forma del hueco entre dientes

� Inconvenientes: la herramienta sólo sirve para ruedas del mismo diámetro y módulo


Fresado (II)

“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


Cepillado (I)

� Útil en forma de cremallera:� La herramienta es una cremallera del mismo módulo que la

rueda a tallar.� El corte se debe al movimiento de vaivén de la herramienta en

la dirección del eje de la rueda� Se enfrenta la herramienta a un disco de radio ra.� La herramienta penetra hasta que su línea media es tangente a la circunferencia primitiva de referencia� Se gira ligeramente el disco y se desplaza la cremallera como si estuvieran engranando� Cuando se ha cortado un diente se reposiciona la cremallera


Cepillado (II)



Cepillado (III)

� Útil en forma de piñón:� La herramienta es una contrarrueda� El procedimiento es semejante al

anterior� Ventajas:

� Permite generar ruedas internas

� No hay problemasde imprecisión por reposicionamientode la herramienta.


Cepillado (IV)



Cepillado (V)



Conformado sin fin

� El cortador tiene forma de tornillo sinfín� Los dientes son rectos como los de una cremallera,

pero el sinfín no tiene que girar para cortar dientes rectos.

� Ventajas:� Gran precisión,

por no tener que reposicionar la herramienta

� Es el método más usado.


P

VA3

VA2

Tangente de contacto

Palancas rodantes (I)

� (a) Condición de contacto permanente� Los perfiles NO deben

penetrar ni separarse

� Las componentes normales de VA1 y VA2 han de ser iguales

n nA1 A2v v=

JJJG JJJG


2 1A A2

1 2 1

V Vi

O A O Aω

= =ω

1 2

'1 1

nA nA 1 2 '2 2

O NV V AN AN iO N

= ⇒ = ⇒ =

1

1

2

2

A' 11 1 A 1 '

1 1 1 2 1' '

A' 2 2 2 122 2 A 2 '

2 2 2

V ANO A N semejante a V N AO A O N AN ANiV O N O NANO A N semejante a V N AO A O N

⎫− − − − = ⎪

⎪ =⎬⎪− − − − = ⎪⎭

Palancas rodantes (II)

� (b) relación de transmisión constante

� Por la condición de contacto permanente

' ' 11 1 2 2

2

O PO N P semejante a O N P i cteO P

− − − − ⇒ = =


Palancas rodantes (III)� La normal común y la línea de centros se cortan en un

punto fijo P.� Los perfiles que cumplen esta condición se llaman PERFILES

CONJUGADOS� (c) Condición de rodadura pura:

� Deslizamiento: diferencia de velocidades tangenciales

� Habrá RODADURA PURA si las componentes tangenciales de VA1 y VA2 son iguales.

� Como El contacto se produce sobre la línea de centros

( )t tA1 A2v v−

t tA1 A2

A1 A2n nA1 A2

v v contacto permanente v vv v⎫=⇒ ⇒ =⎬= ⎭

JJJG JJJG

A1 1 A2 2 1 2v O A y v O A O ,O yAes tan alineados⊥ ⊥ ⇒JJJG JJJG


Perfiles conjugados (I)

� Transmisión del movimiento con relación constante de velocidades angulares� OBJETIVO: Evitar deslizamientos entre elementos

rodantes� SOLUCIÓN: Incorporar dientes de cualquier forma.

� Engranajes primitivos (200 a.c.): Ruedas giratorias de madera a las que se fijaban elementos de formas rudimentarias (molinos de viento, ruedas hidráulicas, relojería, etc.)


� Aparición del motor de vapor ( ≈1750 ):� Se transmiten mayores pares y velocidades� Las transmisiones NO uniformes provocaban

fuertes choques entre dientes y los destruían� Surge la necesidad de obtención de dientes que

proporcionen transmisión con relación constante de las velocidades angulares de entrada y salida

� PERFILES CONJUGADOS

Perfiles conjugados (II)


Perfiles conjugados empleados en engranajes

� En teoría pueden emplearse cualquier pareja de perfiles conjugados.

� Por consideraciones prácticas, sólo se emplean dos tipos de perfiles conjugados:� Perfil cicloide:

� Fue el más empleado en la Revolución industrial hasta principiosde siglo XX, pero hoy día sólo se utiliza en mecanismos de relojería.

� Perfil de Evolvente de Círculo:� En la actualidad es el perfil de uso universal, salvo en relojería y

bombas de paletas. Presenta las siguientes ventajas:� Versatilidad a la hora de diseñar� Otras características inherentes a su geometría que se verán

más adelante


Generación de perfiles conjugados

� Para cualquier perfil que se de a los dientes de una rueda, siempre existe un perfil para los de la otra que es conjugado del primero.

� Método de generación:� Se hace rodar una circunferencia sobre la otra� La evolvente de las posiciones de un diente es el perfil del diente conjugado.� Este método es la base de la talla de perfiles por generación


Método de generación



Perfil de evolvente (I)

� Definición:� “curva generada por un punto fijo de una recta que

rueda sin deslizar sobre una circunferencia llamada circunferencia básica”.

� Es la curva que trazaría una cuerda tensa al desenrollarse de un cilindro.


Perfil de evolvente (II)

� Propiedades:� El cordel es tangente

a la circunferencia� El centro de curvatura

es el punto de tangencia del cordel y la circunferencia base

� La evolvente es siempre normal al cordel.

Normal al perfil de evolvente y tangente a la

circunferencia base

Perfil de evolvente


Transmisión uniforme con dientes de evolvente

� Al hacer girar los carretes en sentidos opuestos, el punto P del hilo traza una evolvente en cada cilindro

C’

� Propiedades de la transmisión:� El contacto se produce sobre la

tangente común a las circunferencia base, , llamada línea de engrane.

� es la normal común en el punto de engrane P

� es única → corta a la línea de centros en un punto fijo →relación de transmisión constante

1 2TT

1 2TT

1 2TT


Dientes de evolvente



Ley fundamental del engrane

� La relación de transmisión debe ser constante

� La normal común a los perfiles de los dientes, en todos los puntos de contacto dentro del segmento de engrane, debe pasar por un punto fijo de la línea de centros, llamado punto primitivo.


Ley fundamental de engrane

� Evolvente → Longitud recorrida por el punto de contacto sobre la línea de engrane es igual al arco girado por las circunferencias básicas.

� Como

� Asípues

q q1 1 2 2PP' Q Q ' Q Q '= =

qbQQ' r= α ⋅

1 2b1 b2

b111 2b1 b2

2 b2

r rrt r t r r

α ⋅ = α ⋅ω

ω ⋅ ⋅∆ = ω ⋅ ⋅∆ ⇒ =ω

b11

2 b2

ri cterω

= = =ω


Nomenclatura. Pareja de ruedas (I)

a) Pareja de ruedas

� Piñón: rueda dentada de menor diámetro

� Rueda: rueda dentada de mayor diámetro

� Circunferencia base (rb): circunferencias a partir de las cuales se generan los perfiles de evolventes

� Línea de centros: línea que une los centros, O1 y O2 de las dos circunferencias básicas


� Línea de engrane, : tangente común a las circunferencias básicas. Sobre ella se produce el contacto entre los dientes.

� Punto primitivo C’ : punto de intersección de la línea de engrane con la línea de centros

� Circunferencias primitivas de funcionamiento (r’):circunferencias de las teóricas ruedas de fricción a las que se han incorporado dientes. Su radio es tal que el movimiento de rodadura entre ambas tendría lugar en el punto primitivo C’.

� Ángulo de presión de funcionamiento (α’): ángulo que forma la línea de presión con la tangente común a las circunferencias primitivas por el punto C’.

Nomenclatura. Pareja de ruedas (II)

1 2TT


Nomenclatura. Rueda aislada (I)

b) Rueda aislada:� Circunferencia primitiva de referencia (r) y

ángulo de presión de referencia α’ : estos parámetros se emplean para referir a ellos las magnitudes geométricas de una rueda aislada. La circunferencia primitiva de referencia sería aquella a la que le correspondería un ángulo de presión de referencia que está normalizado a 14.5, 20 y 25º, siendo el de 20º el valor más habitual.

b1 1b

2b2

r rr r cos i r r= ⋅ α ⇒ = =


� Número de dientes de la rueda z� Paso p: distancia entre puntos homólogos de dos perfiles

consecutivos de una misma rueda, medida sobre la circunferencia primitiva de referencia.

Para que dos ruedas engranen deben tener el mismo paso.� Módulo m: cociente entre el diámetro primitivo de referencia y el

número de dientes.

Dos ruedas engranan si tienen el mismo módulo.

� Paso diametral (diametral pitch), dp: cociente entre el número de dientes y el diámetro primitivo de referencia expresado en pulgadas.

2 rp zπ

=

p2rm z= =π

11 1

2 2 2

mz 2r zi r mz 2 z= = =

zdp 2 r(pulg adas)=⋅

Nomenclatura. Rueda aislada (II)


Nomenclatura. Dentadura (I)

c) Dentadura:

� Circunferencia de cabeza (ra):circunferencia que limita los dientes por su parte superior

� Circunferencia de pie (rf): circunferencia que limita el hueco entre dientes por su parte inferior. El hueco debe ser suficientementeprofundo para dejar pasar la cabeza de los dientes de la otra rueda.


� Altura de cabeza o adendo, ha : distancia radial entre la circunferencia primitiva y la cabeza del diente.

� Altura de pie o dedendo, hf: distancia radial entre la raíz del diente y la circunferencia primitiva

� Altura total, h: suma de la altura de cabeza y la de pie

� Holgura o juego circunferencial: hueco que dejan al acoplar una pareja de dientes. Necesaria para permitir la deflexión de los dientes, el paso del lubricante y la expansión térmica

� Huelgo o juego en cabeza, c: hueco que dejan una pareja de dientes al engranar, entre la cabeza del diente y el fondo del espacio interdental de la rueda conectada. Suele valer:

� Altura de trabajo hw: diferencia entre la altura total del diente y el juego.

a fh h h= +

c 0.25 m= ⋅

Nomenclatura. Dentadura (II)


� Espesor s : Espesor del diente, medido sobre la circunferencia primitiva

� Hueco e: hueco entre dientes, medido sobre la circunferencia primitiva.

Se cumple que

� cara: parte de la superficie del diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de cabeza

� Flanco: parte de la superficie de un diente que queda entre la circunferencia primitiva y la de pie

� Altura de flanco b: anchura del diente medida en dirección paralela al eje.

2 r mzs 2 2π π

= =

me s 2π

= =

p e s= +

Nomenclatura. Dentadura (III)


b 00

b

r r cosr r cos= ⋅ α ⎫

⇒ α = α⎬= ⋅ α ⎭

Perfil de referencia normalizado

� Las dimensiones del perfil de referencia y de la herramienta asociada a él están normalizadas


Perfil de referencia (I)

� Cremallera de referencia:� Útil de corte ficticio que se emplearía para generar los dientes

de un engranaje con dimensiones normalizadas.� Perfil de referencia:

� Sección normal de la cremallera de referencia.� Se emplea para definir las dimensiones normalizadas del

dentado.

Perfil de referencia del dentadoPerfil de referencia de la herramienta


Penetración e interferencia (I)

� La evolvente NO puede extenderse por debajo de su circunferenciabase.

� Si la herramienta penetra en el círculo básico ⇒ PENETRACIÓN del diente ⇒ menor resistencia mecánica

� La porción de diente que queda por debajo NO tiene perfil de evolvente e interfiere con la cabeza del otro diente ⇒ INTERFERENCIA entre dientes.


Penetración e interferencia (II)


Número límite de dientes (I)

� OBJETIVO: evitar la penetración� Situación límite de penetración:

� La cabeza de la herramienta sale tangencialmente al flanco que acaba de generar, y no lo daña.

� El extremo del flanco de la herramienta NO debe sobrepasar el punto T, pues allí la velocidad relativa de la herramienta y el diente es tangente a ambos.

� Si el extremo de la cremallera se extiende más allá de T, su velocidad no es tangente al flanco del diente, y penetra en él.


Número límite de dientes (II)

� Como y :

� Para , el número límite de dientes es:

2rmz

= br r cos= α

20ºα =

2 2

2 22

2r 2r r cos 1 cosz z

2 2 21 cos sen zz z sen

− ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒

≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥α

� No obstante, si z>14, la penetración es muy poco importante, y en la práctica se admite:

lim2

2z 17 z 17sen 20º

≥ ≈ ⇒ =

limz 14=


Procedimientos de talla para evitar la penetración

� Objetivo:� Evitar la penetración en ruedas con menos de 14 dientes.

� (a) variación del ángulo de inclinación del flanco de la cremallera:

� Sigue siendo válida la expresión anterior:

0 20ºα > α =

1 12 2 20 0

1 1

2 2 2z ' z ' zsen sen sen

z ' z

≥ ⇒ = < = ⇒α α α

<


� (b) Dentado rebajado:� Se emplea cremallera con alturas de pie y de cabeza inferiores a las

normalizadas.

� Como y :

� El número límite de dientes es:

� Como en el caso anterior, la cremallera no está normalizada.


ao

2b

h my (y 1)

r my r cos

= <

− ≥ α2rmz

= br r cos= α2 2

2 22

2r 2yr y r cos 1 cosz ' z '

2y 2y 2y1 cos sen z 'z ' z ' sen

− ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒

≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥α

1 1 1 12 20

2y 2z ' z z ' zsen sen

= < = ⇒ <α α


� (c) desplazamiento en la talla:� La línea media de la herramienta se desplaza una cantidad +xm

hacia el exterior de la circunferencia primitiva.

� Como y :

� Como para poder cortar debe ser x<1:

� Esta talla se llama talla a +V


b

b

r xm m r cosr (1 x) m r cos

+ − ≥ α ⇒⇒ − − ⋅ ≥ α

2rmz

=

br r cos= α

2 2

2 22

2r 2(1 x)r (1 x) r cos 1 cosz ' z '

2(1 x) 2(1 x) 2(1 x)1 cos sen z 'z ' z ' sen

−− − ≥ ⋅ α ⇒ − ≥ α ⇒

− − −≤ − α ⇒ ≤ α ⇒ ≥

α

� La herramienta SI está normalizada1 1 1 12 2

0

2(1 x) 2z ' z z ' zsen sen

−= < = ⇒ <

α α


Cálculo del factor de desplazamiento en ruedas talladas a V

� Según se ha visto

� Se sabe, sin embargo, que en la práctica se puede trabajar con un número límite de dientes inferior al calculado, por lo que se toma:

2

1 12

1 1 1 1

1 12

2(1 x) senz ' (1 x) z 'sen 2

z ' z ' z z 'x 1 12 z z

sen

− α= ⇒ − = ⇒

α−

= − = − =α

14 z 'x17−

=


Ruedas talladas a cero y ruedas talladas a V

� Atendiendo a la forma en que se realiza la talla, las ruedas se clasifican en:

� RUEDAS A CERO (rueda normal): la línea media de la herramienta de talla es tangente a la circunferencia primitiva de referencia

� RUEDAS A V (con desplazamiento): la línea media del perfil de referencia se desplaza respecto a la circunferencia primitiva una cantidad V=mx, contada positivamente hacia el exterior (rueda V+) y negativamente hacia el interior (rueda V-)


Montaje de engranajes

� Según el tipo de montaje, los engranajes se clasifican en:

� Engranajes montados a cero: las circunferencias primitivas y de funcionamiento coinciden con las de referencia.

� Engranajes montados en V: las circunferencias primitivas de referencia NO coinciden con las de funcionamiento.


� (a) engranajes montados a cero con ruedas talladas a cero:� Las dos ruedas tienen más de 14 dientes

� (b) engranajes montados a cero con ruedas talladas en V: � Una rueda tiene más de 14 dientes y la otra menos, y su

suma es mayor de 28� Se tallan las ruedas con x1=x2

� (c) engranajes montados en V con ruedas talladas en V:� Los dientes de ambas ruedas suman menos de 28� Las ruedas se tallan con desplazamientos diferentes

Montaje de engranajes


La función evolvente

� Por las propiedades de la evolvente de círculo

� La función recibe el nombre de función evolvente

p p p p*

b b b b

EB AB AE AP AE tgr r r r

−α = = = − = α − α

tgα − α*Ev( ) tg Ev( )α = α − α⇒ α = α


Cálculo de espesor del diente

� Espesor de una circunferencia de radio rx� Por semejanza

� Por las propiedades de la evolvente

� Análogamente� Sustituyendo en (1)

� Necesitamos conocer el valor de

p p p p( )x x xx

x b b b

s 2 EC r rs 2 EC 2 CB EB (1)r r r r

= ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

( )p

p ( )*x x

b x*b x

EvEB r Ev

Como : EB r

⎫α = α ⎪ ⇒ = ⋅ α⎬= ⋅α ⎪⎭

p ( )bCB r Ev= ⋅ γ

( )

( )

xx b b x

b

x x x

rs 2 r Ev( ) r Ev( )r

s 2 r Ev( ) Ev( ) (2)

= ⋅ ⋅ γ − ⋅ α ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ γ − α

( )Ev γ


Cálculo del espesor del diente

� El espesor en la circunferencia primitiva de referencia, s’, se mide en la cremallera y vale:

� Aplicando la ec. (2) a la circunferencia primitiva de referencia:

� Sustituyendo en la ec. (2) queda:

s ' s 2 sm ms s ' 2 x m tg

2 2s tg s x m tg

xm

⎫⎪= + ∆⎪π ⋅ π ⋅⎪= ⇒ = + ⋅ ⋅ ⋅ α⎬⎪

∆ ⎪= α ⇒ =∆ ⋅ ⋅ α ⎪⎭

( ) ( )m m2 x m tg 2 r Ev Ev 2 x m tg m z Ev Ev2 2

2r mz 2xComo : m r Ev tg Evz 2 2z z

π π⎫+ ⋅ ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ γ − α + ⋅ ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ γ − α ⇒⎪⎪⇒⎬ π⎪= ⇒ = ⇒ γ = + ⋅ α + α⎪⎭

x x x2xs 2 r tg Ev Ev

2z zπ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α⎢ ⎥⎣ ⎦


Distancia entre ejes de funcionamiento

� Distancia entre ejes de funcionamiento a’:

� Suma de los radios primitivos de funcionamiento.

� Como:

� Sustituyendo

0 1 2a r ' r '= +

b

b

r r ' cos ' cosr ' cos ' r cos r ' rr r cos cos '= ⋅ α ⎫ α

⇒ ⋅ α = ⋅ α ⇒ = ⋅⎬= ⋅ α α⎭

( )0 1 2cosa r rcos '

α= + ⋅

α



(a) engranajes a cero:� Como:

(b) engranajes en V sin holgura circunferencial:� Sobre las circunferencias primitivas de funcionamiento:

Suma del espesor de los dientes = paso� Paso circunferencialsobre circunferencia primitiva de

funcionamiento:

0 1 2' a r rα = α ⇒ = +

2 r 'p '2 cosz p ' r

cos z cos 'r ' rcos '

2 mz coscomo r mz 2 : p 'z 2 cos '

π ⎫= ⎪ π α⎪⇒ = ⋅ ⋅⎬α α⎪= ⋅ ⎪α ⎭π α

= = ⋅ ⋅α


� Espesor de los dientes sobre la circunferencia primitiva de funcionamiento.


( )

1 2

2xs ' 2 r ' tg Ev Ev '2z z

como :cos mz cos mz cos 2xr ' r s ' 2 tg Ev Ev 'cos ' 2 cos ' 2 cos ' 2z z

cosm 2x tg z Ev Ev 'cos ' 2

igualando p ' con s ' s ' queda :

cos cosm mcos ' c

π⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α⎢ ⎥⎣ ⎦

α α α π⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ α + α − α =⎢ ⎥α α α ⎣ ⎦α π⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ α + ⋅ α − α⎢ ⎥α ⎣ ⎦

+

α απ ⋅ = ⋅

α( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

2 x x tg z z Ev Ev 'os ' 2

2 x x tg ' z z Ev Ev ' 0

x xEv ' 2 tg Ev ' a 'z z

π⎡ ⎤+ + ⋅ α + + ⋅ α − α ⇒⎢ ⎥α ⎣ ⎦⇒ + ⋅ α + + ⋅ α − α = ⇒

+α = ⋅ ⋅ α + α →α →

+



� (c) engranajes en V sin holgura radial:� La línea media de la cremallera

de referencia de la rueda 1 coincide con la de la 2

� Multiplicando y dividiendo por

� como

( ) ( )( )

0 1 1 2 2

1 2 1 2

a r mx r mx

r r x x m

= + + + =

= + + + ⋅( )1 22 z z+

( )1 20 1 2 1 2

1 2

x x ma r r 2 z zz z 2

+= + + ⋅ ⋅ ⋅ +

+

( ) ( ) ( )

( )

1 21 2 1 2 0 1 2 1 2

1 2

1 20 1 2

1 2

mz m x xr z z r r a r r 2 r r2 2 z z

x xa r r 1 2z z

+= ⇒ ⋅ + = + ⇒ = + + ⋅ + ⋅ ⇒

+

⎡ ⎤+⇒ = + + ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦

m 2r z=


Longitud de engrane

� El segmento de engrane se puede considerar como la suma de dos segmentos, unidos por el punto primitivo.

α = +acercamiento alejamientog g g

1E P 2PE


Coeficiente de engrane ∈(grado de recubrimiento)

� En un par de engranajes el ratio entre:� El arco de conducción (evolvente) y� El paso (circunferencia base)p 2 r´/ z= π

b bp 2 r / z m cos( ´)= π = π α

q2 1E E

q2 1

b

E Ep


Arco de conducción(circunf. Base y Circunf. Primitiva)

� Es el arco girado desde el engrane y el desengrane de un diente.

� Por las propiedades de la evolvente el arco de conducción es igual a la longitud de engrane.

� Si el arco es medido en la circunferencia primitiva de funcionamiento r´, entonces

q2 1E E

q2 1E E gα=

q2 1E´ E´ g / cos( ´)α= α


Cálculo de la longitud de acercamiento

2 2 2f 2 2 2 c2 2 2g E T PT R R sen( ´)= − = −ρ − α


Cálculo de la longitud de alejamiento

2 2 2a 1 1 1 c1 1 1g E T PT R R sen( ´)= − = −ρ − α


Longitud de engrane. Arco de conducción

� Longitud de engrane, gα: suma de las longitudes de acercamiento y alejamiento

� Arco de conducción, : es el arco correspondiente al ángulo girado al pasar de E2 a E1� Por las propiedades de la evolvente, el arco de

conducción medido sobre la circunferencia básica es igual a la longitud de engrane.

� Si se mide en circunferencia primitiva de funcionamiento vale:

� Por semejanza de arcos:� Como y queda:


Grado de recubrimiento o coeficiente de engrane

� Por las propiedades de la evolvente, es el paso medido en circunferencia básica.

� Del mismo modo, también es el paso medido en circunferencia básica.

� Grado de recubrimiento, ε: es el cociente entre el arco de conducción y el paso.� Tomando ambos sobre la circunferencia básica:� La porción debida a la rueda 1 es:� Y la debida a la rueda 2 es:


( )2 2 2 2a1 b1 a2 b2 p1 p2

C

r r r r r r senR

m cos− + − − + α

=π α

2 2 2 2a1 b1 p1 a2 b2 p2

C

r r r sen r r r senR

2 r cosZ

− − α + − − α=

π α

1 2 1 1 2 2C

bb

g g TB TP T A T PR2 rp

Z

+ − + −= ε = =

π

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TEORÍA DE MECANISMOS - OCW

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