Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos yyy.pdf

Teora de mquinas e instalaciones de fluidos

Juan Antonio Garca Rodrguez y Esteban Calvo Bernad

Teo

ra

de

mq

uina

s e

inst

alac

ione

s d

e fl

uid

os

Juan

Ant

onio

Gar

ca

Rod

rgue

z y

Este

ban

Cal

vo B

erna

d

TEC

NO

LG

ICAS

Prensas de la Universidad

ISBN 978-84-15770-26-8

Prensas de la Universidad

Prefacio 7 1. Conceptoyclasificacindemquinasdefluidos9

2. Algunosconceptosbsicosdemecnicadefluidos.AplicacinaturbinaPelton23

3. Anlisisdimensionalentuberasyturbomquinas45

4. Instalacionesdebombeoyventilacin57

5. Regulacindecaudaleninstalacionesdebombeo yventilacin79

6. Transitorioseninstalaciones.Golpedeariete93

7. Geometraycinemticadeturbomquinashidrulicas105

8. Potenciasyrendimientos115

9. Teorafundamentaldeturbomquinashidrulicas129

10. Aerodinmicaaplicadaamquinasdefluidos159

11. Teoradesemejanzaenturbomquinasyparmetrosespecficos169

12. Cavitacin183

Bibliografa205

TABLADECONTENIDOS

Prensas de l a u n i v e r s i da d d e zaragoza

TEORA DE MQUINAS E INSTALACIONES DE FLUIDOS

Juan Antonio Garca Rodrguez y Esteban Calvo Bernad

Juan Antonio Garca Rodrguez y Esteban Calvo Bernad De la presente edicin, Prensas de la Universidad de Zaragoza 1. edicin, 2013

Coleccin de Textos Docentes, n. 222

Prensas de la Universidad de Zaragoza. Edificio de Ciencias Geolgicas, c/ Pedro Cerbuna, 12, 50009 Zaragoza, Espaa. Tel.: 976 761 330. Fax: 976 761 [email protected] http://puz.unizar.es

Esta editorial es miembro de la UNE, lo que garantiza la difusin y comercializacin de sus publicaciones a nivel nacional e internacional.

Impreso en EspaaImprime: Servicio de Publicaciones. Universidad de Zaragoza D.L.: Z-249-2013

GARCA RODRGUEZ, Juan AntonioTeora de mquinas e instalaciones de fluidos / Juan Antonio Garca Rodrguez y

Esteban Calvo Bernad. Zaragoza : Prensas de la Universidad de Zaragoza, 2013210 p. : il. ; 23 cm. (Textos docentes ; 222)Bibliografa: p. 205. ISBN 978-84-15770-26-8

1. TurbomquinasTratados, manuales, etc. 2. Mecnica de fluidosTratados, manuales, etc.CALVO BERNAD, Esteban532(075.8)62-13(075.8)

Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de esta obra solo puede ser realizada con la autorizacin de sus titulares, salvo excepcin prevista por la ley. Dirjase a CEDRO (Centro Espaol de Derechos Reprogrficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algn fragmento de esta obra.

Prefacio

Este libro recoge los contenidos tericos que se imparten en la asignatura Mquinas e Instalaciones de Fluidos de los grados en Ingeniera de Tecnologas Industriales y en Ingeniera Mecnica que se imparten en la Escuela de Ingeniera y Arquitectura (EINA) de la Universidad de Zaragoza.

Se incluyen tambin algunos aspectos no tratados en la actual asignatura con la intencin de que el texto sirva como una primera aproximacin para el trata-miento de las mquinas y de las instalaciones de fluidos.

El orden y la estructura de los captulos se pueden ajustar a la secuencia de clases en un curso de dicha asignatura, aunque, desde luego, puede haber otras programaciones temporales para la imparticin de acuerdo con las preferencias del profesor.

Los autores desean expresar su gratitud hacia sus familias y sus compaeros del rea de Mecnica de Fluidos.

Quieren resaltar, especialmente, la disponibilidad y aportaciones de los com-paeros que imparten la asignatura de la que trata este libro a travs de sus opi-niones y material elaborado para asignaturas similares pertenecientes a planes de estudio anteriores, como Mquinas Hidrulicas y Transporte y Distribucin de Fluidos. Tambin agradecen el excelente trabajo de los profesores de la asignatura de Mecnica de Fluidos, que proporcionan a los alumnos los conceptos y habili-dades necesarios para abordar el estudio de las mquinas de fluidos y de las insta-laciones para la distribucin de estos.

1. Concepto y clasificacin de las mquinas de fluidos

El ser humano siempre ha necesitado el agua. Los asentamientos se produ-can cerca de recursos hdricos y cuando estos asentamientos fueron creciendo se enfrentaron al problema del abastecimiento.

Tanto para mover los lquidos necesarios para el abastecimiento, a travs de redes en las comunidades humanas, como para otros muchos usos que se han de-rivado del avance tecnolgico (por ejemplo, la bomba de aceite en los automvi-les), como para aprovechar la energa potencial contenida en el agua que procede de la lluvia y el viento se han desarrollado mquinas que interaccionan con los fluidos.

En este captulo se presenta un desarrollo histrico de las mquinas que se usan con fluidos (apartado 1.1), se esboza cmo en estas mquinas se intercambia energa con elementos mecnicos (1.2) y se clasifican segn diferentes caracters-ticas distintivas (seccin 1.3) relacionadas con su funcionamiento, geometra y sentido del intercambio de energa fundamentalmente.

En el apartado 1.4 se presentan los tipos ms usados de mquinas volumtri-cas y sus caractersticas, que no volvern a ser tratadas en los siguientes captulos. En el apartado 1.5 se describe la turbina Pelton, que tampoco se tratara en los restantes captulos.

1.1. Desarrollo histrico Las primeras obras hidrulicas conocidas, en forma de presas y sistemas de

irrigacin, que se conocen se realizaron en Egipto y en la Baja Mesopotamia. Arqumedes de Siracusa (287-212 a.C.) invent la bomba de tornillo para extraer agua del interior de los barcos y, con la introduccin del concepto de empuje, inici la ciencia en Mecnica de Fluidos en la que se basa el estudio de las m-quinas hidrulicas y de las instalaciones de fluidos.

En el siglo I a.C., Roma utiliza la rueda vertical en molinos de grano. Este imperio tambin realiz obras de ingeniera hidrulica en forma de acueductos o para la conduccin del agua utilizada para eliminar ingentes cantidades de tierra en las minas de oro del noroeste de la pennsula ibrica. Sextus Julius Frontinus (40-103 d.C.) escribi un tratado sobre los mtodos de distribucin del agua. La rueda horizontal se conoce en China en el siglo I d.C. Los molinos de viento se

10 J.A. Garca, E. Calvo

remontan, al menos, a la Persia del siglo VII, y aparecen en manuscritos occiden-tales del siglo XIII.

En el Renacimiento, Leonardo da Vinci (1452-1519) estableci sus experien-cias y observaciones en la construccin de instalaciones hidrulicas ejecutadas principalmente en Miln y Florencia y se ocup del estudio de la aerodinmica desarrollando cuerpos fuselados y paracadas.

A lo largo de los siglos XVIII y XIX, en los estudios experimentales sobre el flujo en canales, resistencia de barcos, flujos en tuberas, etc., debidos, entre otros, a Venturi, Chezy, Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy y Weisbach. William y Ro-bert Froude establecieron importantes bases experimentales para el estudio de las mquinas e instalaciones de fluidos. Posteriormente, Rayleigh (1842-1919) desa-rroll el mtodo de anlisis dimensional.

A Leonhard Euler (1707-1783) se le debe la ecuacin general del trabajo para todas las mquinas hidrulicas rotodinmicas o turbomquinas (turbinas, bombas centrfugas, ventiladores, etc.), adems de otras importantes contribuciones a la mecnica de fluidos, entre las que destaca el desarrollo de ecuaciones diferencia-les generales del flujo para los fluidos ideales.

En 1475, el ingeniero italiano del renacimiento Francesco di Giorgio Martini realiza un primer diseo que se puede considerar un modelo de bomba centrfuga. Sin embargo, el desarrollo sistemtico de las bombas centrfugas no comenz hasta el ao 1600, cuando Denis Papin dise una bomba radial con las paletas rectas. La paleta curvada fue introducida por el inventor britnico John Appold en 1851.

Hacia 1770, el ingls Joseph Bramah, basndose en el principio de Pascal enunciado en su Tratado del equilibrio de los lquidos, patenta su invencin de una prensa hidrulica.

En la primera mitad del siglo XIX, Osborne Reynolds (1842-1912) desarrolla una patente sobre una bomba multietapa semejante a las actuales.

Gaspard Darcy (1803-1858) trabaja en el clculo de prdidas en tuberas. Su estudio fue continuado por Julius Weisbach (1806-1871). A ellos debemos la ampliamente utilizada expresin de Darcy-Weisbach.

Hagen y Poiseuille analizaron de forma independiente el movimiento de flu-jos viscosos en conductos. En 1883, Reynolds public su famoso trabajo sobre la estabilidad de la corriente laminar en tuberas y la transicin a la turbulencia para distintos valores del parmetro adimensional que lleva su nombre.

Allan Pelton, en 1879 invent la turbina homnima. Se trata de una turbina de accin (el funcionamiento de esta mquina se describe en el captulo 2).

Las norias y turbinas hidrulicas han sido usadas histricamente para accio-nar molinos de diversos tipos, aunque eran bastante ineficientes. En el siglo XIX

Teora de mquinas e instalaciones de fluidos 11

las mejoras logradas en las turbinas hidrulicas permitieron que, all donde se dispona de un salto de agua, pudiesen competir con la mquina de vapor.

En 1826 Benot Fourneyron desarroll una turbina de flujo externo de alta eficiencia (80%). El agua era dirigida tangencialmente a travs del rodete de la turbina provocando su giro. Alrededor de 1820 Jean V. Poncelet dise una turbi-na de flujo interno que usaba los mismos principios, y S. B. Howd obtuvo en 1838 una patente en los EE.UU. para un diseo similar.

En 1848 James B. Francis mejor estos diseos y desarroll una turbina con el 90% de eficiencia. Aplic principios y mtodos de prueba cientficos para pro-ducir la turbina ms eficiente elaborada hasta la fecha. Ms importante, sus mto-dos matemticos y grficos de clculo mejoraron el estado del arte en lo referente al diseo e ingeniera de turbinas. Sus mtodos analticos permitieron diseos seguros de turbinas de alta eficiencia.

Viktor Kaplan (1876-1934) destaca por sus trabajos en las turbinas de hlices dentro de la hidrulica.

En la poca contempornea se debe mencionar a L. Prandtl, R. H. Blasius, T. von Karman y J. Nikuradse. Los tres primeros, por sus trabajos en Mecnica de Fluidos que sirvieron para dilucidar la teora del flujo turbulento; el ltimo, traba-jando con Ludwig Prandtl, realiz un completo estudio experimental sobre flujo en tuberas. Cabe destacar tambin las contribuciones de Colebrook y Moody para el clculo del factor de friccin.

En 1930 se empezaron a construir las bombas de paletas de alta presin y se introdujeron los sellos de caucho sinttico. Diez aos despus los servomecanis-mos electrohidrulicos ampliaron el campo de aplicacin de la oleohidrulica (rama de la hidrulica que utiliza aceite como fluido). Desde los aos sesenta el esfuerzo en investigacin de la industria ha conducido hasta los actuales sofistica-dos circuitos de la fludica.

En las mquinas e instalaciones que trabajan con fluidos se pueden observar algunos efectos perjudiciales que pueden desgastarlas y/o averiarlas. Para evitar estas adversidades se ha estudiado tambin el golpe de ariete y la cavitacin co-mo principales fenmenos causantes de estos problemas.

Cuando se producen algunas modificaciones bruscas en una mquina o insta-lacin de fluidos se desencadena un estado transitorio que puede dar lugar a im-portantes sobrepresiones y depresiones que se propagan por la instalacin: a este fenmeno se le denomina golpe de ariete. En el estudio del golpe de ariete se de-ben destacar los trabajos de Michaud, Allievi, Wylie y Streeter. En el captulo 6 se caracteriza con ms detalle del golpe de ariete.

Lord Rayleigh fue el primero en estudiar la cavitacin a finales del siglo XIX. En el captulo 12 se describe la cavitacin y se desarrollan los conceptos


necesarios para poder evitar este fenmeno en mquinas funcionando en instala-ciones de fluidos.

1.2. Intercambio de energa Las mquinas de fluidos intercambian energa entre este fluido y algn ele-

mento mecnico. Tambin en la mquina se intercambia calor entre el fluido y el entorno. Por lo tanto, el fluido puede perder energa o ganarla en su trnsito por la mquina. En general, las mquinas de fluidos son aquellas que provocan inter-cambio de trabajo y/o calor entre el fluido y otro sistema. As, un fluido que pase por una de estas mquinas ganar o perder energa segn sean los sentidos del intercambio de energa o calor entre l y el otro sistema.

FIGURA 1.1. Esquema general de una mquina de fluido

El desarrollo riguroso de la ecuacin de la energa asociada al fluido se reali-zar en el captulo 2. En este apartado, simplemente, se presenta una visin gene-ral sobre este intercambio energtico.

La energa de una porcin de fluido suficientemente pequea para que se pueda suponer que los valores de las variables relevantes son constantes en ella se puede expresar como:

PREPOTCINTOTAL EEEUE +++= (1.1) Donde U es la energa interna, ECIN la energa cintica, EPOT la energa poten-

cial y EPRE la energa asociada a la presin esttica, como se ver en el captulo 2. Habitualmente se usa la energa por unidad de peso, a la que se denomina al-

tura, H.


zg

vg

PguH +++=

2

2

(1.2)

Que se puede expresar en funcin de la entalpa por unidad de masa, h, como:

zg

vghH ++=

2

2

(1.3)

El uso de h para designar a la entalpa por unidad de masa se ha utilizado en esta parte debido a que en casi toda la bibliografa se denota as. En el resto del texto, h se usar para designar alturas de prdidas. La entalpa se emplea en el anlisis de las mquinas trmicas, pero en este texto se desarrollar la teora de mquinas hidrulicas en las que se desprecia la variacin de energa interna, y, por tanto, la variacin de la entalpa se dar solo por el trmino de presin. As, no se producirn ambigedades en la interpretacin de h: a partir de aqu se refie-re a alturas de prdidas y no a entalpas.

Muchos de los clculos que se realizarn en este libro utilizarn el flujo de energa contenida en el fluido por unidad de tiempo en una seccin, es decir, la potencia hidrulica que atraviesa una seccin. Para obtener dicha magnitud es necesario integrar la energa de cada partcula fluida que atraviesa la seccin.

Se ver que la potencia hidrulica se puede expresar como:

gQHW =& (1.4) Donde, en este caso, H es la altura media que atraviesa una seccin, calcu-

lando la media como un promedio en caudal.

+++=SS

dQzg

vg

Pgu

QH

21 2

(1.5)

Se ver, tambin en el captulo 2, que este promedio en caudal es el que tiene sentido fsico de acuerdo con las ecuaciones que se obtendrn al utilizar las ecua-ciones fsicas en los denominados volmenes de control, que nos proporcionarn una descripcin euleriana de los fenmenos en el flujo.

Se ha utilizado la misma nomenclatura para la altura de una partcula fluida que para el promedio en caudal de las alturas correspondientes a las partculas fluidas que atraviesan una seccin. Es habitual en los textos sobre la materia que no se hagan este tipo de distinciones, incluso se denominan de la misma manera las alturas medias correspondientes a una seccin que las diferencias de alturas entre dos secciones. Por ejemplo, en los catlogos de bombas de los fabricantes se expresa como H la diferencia de altura entre la salida y la entrada de dicha m-


quina. En el presente libro no se har tampoco distincin en la nomenclatura para las variables comentadas, aunque s se explicar en cada caso a qu se refiere el smbolo H.

La variacin de la energa del flujo entre la entrada y la salida a la mquina se puede expresar en funcin del trabajo, W, y del calor, Q, recibidos por el fluido como:

WQETOTAL += (1.6) En las mquinas trmicas el intercambio de calor es importante y se tiene un

significativo cambio en la energa interna. Sin embargo, en el estudio de las m-quinas hidrulicas, que son las que se analizan en este libro, se desprecia el inter-cambio y la generacin de calor, y, por tanto, la energa interna no cambia en el trnsito del fluido por la mquina. As, en el estudio de las mquinas hidrulicas se puede obviar la variacin de energa interna, y los desarrollos se centrarn en la evolucin de la energa mecnica.

1.3. Clasificacin Existen diversos mecanismos a travs de los cuales se puede comunicar ener-

ga mecnica a un fluido. De acuerdo con el mecanismo de intercambio de energa utilizado por la mquina se pueden clasificar en dos categoras principales:

Turbomquinas: Mquinas que intercambian energa con el fluido a travs de un elemento rotante (rodete o rotor) de forma continua. En estas mquinas el in-tercambio energtico se produce entre el fluido y los labes alojados, o que cons-tituyen, el rotor o rodete.

Mquinas de desplazamiento positivo o volumtricas: Mquinas que despla-zan paquetes de fluido comunicndoles o restndoles energa.

Las turbomquinas, adems, se pueden clasificar segn el tipo de energa in-tercambiada:

Mquinas de accin: En ellas se intercambia solo energa cintica. Mquinas de reaccin: En ellas se intercambia energa de presin; puede

que tambin se intercambie energa cintica. La mayor parte de las mquinas son de reaccin. Se usan algunas turbinas de

accin como las Pelton, Turgo y Banki, en las cuales un chorro de agua mueve el rodete producindose solo intercambio de energa cintica en el rodete.

En funcin de la geometra del rodete y, por lo tanto, de acuerdo con la direc-cin de la velocidad en el rodete, las mquinas se pueden clasificar como:


Radiales: La velocidad del fluido dentro del rodete no tiene componente axial.

Axiales: La velocidad del fluido dentro del rodete no tiene componente radial.

Mixtas: La velocidad del fluido dentro del rodete tiene las tres componen-tes de velocidad.

FIGURA 1.2. Ventilador de flujo cruzado

En algunas mquinas el flujo en el rodete es ms complejo. En las mquinas de flujo cruzado el fluido atraviesa dos veces los labes del rodete. Entre las m-quinas de flujo cruzado se pueden mencionar las turbinas Banki (esquematizada en la fig. 1.3), algunos ventiladores, como el representado en la fig. 1.2, y los aerogeneradores de eje vertical.

FIGURA 1.3. Esquema de una turbina Banki


Si el flujo cede energa a la mquina se le llama motora y si es la mquina la que cede energa al flujo se llama impulsora. Las mquinas impulsoras que traba-jan con lquidos se denominan bombas. En el caso de las mquinas impulsoras que trabajan con gases se diferencia entre ventiladores, sopladores y compresores segn las variaciones de presin, que se provocan en el gas. Si la variacin es pequea, el flujo se puede considerar incompresible y se puede tratar de la misma manera que las mquinas para lquidos (ventiladores). En el caso de mayores va-riaciones de la presin los efectos termodinmicos adquieren importancia y se deben tratar como mquinas trmicas (sopladores y compresores).

Las mquinas motoras se denominan turbinas. Existe una gran variedad de diseos de turbinas, entre las que se pueden destacar por su amplio uso los si-guientes tipos:

Turbina Kaplan: turbomquina de reaccin de flujo axial. Turbina Francis: turbomquina de reaccin de flujo radial. Turbina Pelton: turbomquina de accin en la que se genera un chorro

que intercambia energa con el rodete. Su funcionamiento se describe en la seccin 2.4.

Turbina Turgo: es de accin, tambin un chorro incide sobre un rodete (de diseo diferente al de la turbina Pelton).

Turbina Banki: tambin de accin, el flujo incide en el rodete en dos posi-ciones diferentes, por lo que se le llama de flujo cruzado, como se muestra en la fig. 1.3.

En el siguiente esquema se muestra una clasificacin de las mquinas de flui-dos en la que se detallan principalmente las mquinas que se tratarn en este libro.

FIGURA 1.4. Clasificacin de mquinas de fluidos


1.4. Mquinas volumtricas En las mquinas volumtricas el desplazamiento del fluido se realiza a travs

del traspaso entre cavidades de volmenes confinados. La cavidad de la que se aspira no est en contacto directo con la cavidad en la que se impulsa y los traspa-sos peridicos de volmenes de fluido entre dos cavidades se realizan a travs de un elemento mvil que est en contacto con dichas cavidades en momentos distin-tos. Hay diferentes elementos mviles segn el tipo de bomba, pero en todos los casos la potencia mecnica se transmite a travs de un eje giratorio.

La principal ventaja de estas mquinas es que son capaces de proporcionar elevados incrementos de presiones. Sin embargo, los caudales que proporcionan son pequeos si se comparan con los que manejan las turbomquinas.

El volumen fluido que estas bombas trasvasan por cada revolucin del eje se denomina cilindrada. El caudal terico se obtiene entonces como el producto de la cilindrada por la velocidad de giro en revoluciones por segundo. En general, el caudal real es menor que el terico por la aparicin de un cierto flujo en direccin inversa por la holgura entre las piezas mviles y fijas. El flujo en direccin inver-sa depende de la diferencia de presiones entre la aspiracin y la impulsin. Se define el rendimiento volumtrico como el cociente entre el caudal real y el teri-co. La potencia comunicada al fluido se calcula como el producto del caudal real por la diferencia de presiones entre aspiracin e impulsin.

A continuacin se presentan algunos tipos de mquinas que se comportan de acuerdo con esta definicin:

Bomba de mbolo:

FIGURA 1-5. Esquema de bomba de pistn.


Existen muchas variantes de esta bomba de pistn en los que se mueven va-rios de estos pistones sincronizadamente. A modo de ejemplo se esquematizan a continuacin las bombas rotativas de mbolos radiales:

admisin impulsin

FIGURA 1.6. Esquema de bomba de mbolos radiales

Bomba de lbulos:

FIGURA 1.7. Esquema de bomba de lbulos


Bomba de engranajes:

FIGURA 1.8. Esquema de bomba de engranajes

Bomba de aletas:

FIGURA 1.9. Esquema de bomba de aletas

Existen otros tipos, como las bombas de husillo, en las que se desplazan axialmente volmenes de fluido que quedan atrapados entre el husillo, pieza heli-coidal que gira excntricamente, y la carcasa, que es fija. Estas bombas se utilizan


principalmente para mover fluidos muy viscosos o que contienen partculas sli-das en suspensin. Esquemticamente:

FIGURA 1.10. Esquema de bomba de husillo

En las mquinas volumtricas o de desplazamiento positivo el caudal viene dado por la velocidad de giro y el volumen de los paquetes transportados. As, en principio, el caudal es independiente de la diferencia de presin entre la admisin y la impulsin. Para diferencias de presiones suficientemente altas se produce una desviacin del comportamiento descrito por la aparicin de un pequeo contraflu-jo inducido por esta diferencia de presiones. Estableciendo una analoga con el caso elctrico se puede decir que una mquina volumtrica se comporta de forma anloga a una fuente de intensidad, salvo para presiones altas. En la fig. 11 se muestra, de forma cualitativa, la relacin entre caudal y presin para estas mqui-nas, la llamada curva caracterstica.

Se usan para trabajar con lquidos muy viscosos que no pueden ser desplaza-dos con turbomquinas. Por otra parte, son autocebantes, puesto que no necesitan estar llenas de lquido para aspirar de un depsito situado en un nivel inferior al de la bomba (se ver en el captulo 4 que las turbomquinas necesitan estar llenas de lquido cuando aspiran de un depsito situado a un nivel inferior al de la bomba.


FIGURA 1.11. Esquema de curva caracterstica

FIGURA 1.12. Evolucin del caudal saliente en una bomba de pistn

El hecho de que estas mquinas muevan volmenes de fluido implica un flujo variable peridico (fig. 12). Si se considera, por ejemplo, una bomba de pistn, en el subciclo en el que en el est entrando fluido, no se tiene caudal en la salida, mientras que si se tiene caudal en la lnea de entrada. Contrariamente, cuando la mquina est proporcionando caudal en la salida, no hay caudal entrando en ella. Por otra parte, si el pistn es movido a travs de una biela el caudal en salida se-


guir una forma sinusoidal en el subciclo en el que sale caudal y el caudal en sali-da ser nulo en el subciclo de aspiracin.

Para reducir la variacin de caudal en cada ciclo se pueden usar ms mbo-los; de ah la utilidad de las bombas rotativas de mbolos radiales (o de otros arreglos que buscan la reduccin de la variacin de caudal). En la siguiente grfi-ca se muestra, a modo de ejemplo, el caudal que proporcionara una bomba con 4 pistones actuando con un desfase, con respecto al primer pistn, de /2, y 3/2:

FIGURA 1.13. Evolucin del caudal saliente en una bomba de cuatro pistones

Finalmente, se presenta una tabla con las principales caractersticas de algu-nos tipos de bombas volumtricas:

Caudal mximo Presin mxima Rendimiento Bomba de pistones 200 l/min 400 bar 95%

Bomba de engranajes 200 l/min 250 bar 85-90% Bomba de paletas 200 l/min 250 bar 80% Bomba de husillo 1800 l/min 175 bar 80-90%

2. Algunos conceptos bsicos de Mecnica de Fluidos. Aplicacin a turbina Pelton

Para conocer la respuesta de una mquina hidrulica se usan las leyes de la Mecnica. Estos principios fsicos se aplican a porciones materiales, las cuales ocupan un volumen fluido.

La dificultad en seguir una porcin material de fluido llev a usar el concepto de volumen de control, que se expondrn en el apartado 2.1.

Adems, es necesario disponer de conocimientos de clculo integral, diferen-cial y tensorial. En el presente captulo se van a exponer estos conceptos bsicos que sern necesarios en el posterior desarrollo de la teora de mquinas hidruli-cas. En el apartado 2.2 se expone cmo relacionar las derivadas temporales de integrales en volmenes fluidos con las correspondientes en volmenes de control y se repasan algunos elementos del clculo diferencial e integral.

En el apartado 2.3 se presentan las ecuaciones bsicas de mecnica de fluidos que se necesitarn en los siguientes captulos.

En la seccin 2.4 se aplicarn los conceptos expuestos al caso de la turbina Pelton. Es la nica mquina de accin, y su funcionamiento no se tratar en los siguientes captulos. En este se desarrolla un caso simplificado para ilustrar el funcionamiento de dicha turbina.

2.1. Volumen fluido y volumen de control En palabras sencillas, un volumen fluido es una porcin de materia fluida ob-

jeto de estudio. Las leyes fsicas, en principio, se aplican a ellos. Se puede imaginarlo, bien como una porcin de materia fluida que se ha mar-

cado (aadindole un colorante, por ejemplo), o bien como una bolsa muy lige-ra que rodea una porcin de fluido y se mueve con l. As, se puede seguir el mo-vimiento de esa porcin de materia y su deformacin en todo instante de tiempo. La frontera del volumen fluido, Sf, es la superficie externa del volumen fluido. Por definicin, la frontera Sf se mueve en cada punto a la velocidad del fluido.

Un volumen fluido cualquiera puede expandirse y deformarse. Por el princi-pio de conservacin de la masa, no puede partirse o abrirse. Est sometido a fuer-zas, intercambio de energa y otras interacciones con el fluido que lo envuelve a travs de la frontera Sf.


S(t)f

S (t+ t)f

V(t)f

V (t+ t)f

FIGURA 2.1. Esquema de un volumen fluido

Debido al complicado movimiento que presentan los volmenes fluidos, es comn el uso de volmenes de control. Un volumen de control es una regin del espacio fija o mvil, deformable o no, que se define de forma conveniente para nuestros fines. En la eleccin de los volmenes de control se busca obtener ecua-ciones ms prcticas y cmodas de manejar. Se ver que la aplicacin de las leyes fsicas a los volmenes fluidos, junto con el uso del Teorema de Transporte de Reynolds, permite la deduccin de ecuaciones que se verifican en dichos volme-nes de control. El uso de volmenes fluidos corresponde a una aproximacin la-grangiana al estudio del flujo, mientras que los volmenes de control correspon-den a la aproximacin euleriana.

S1

S2

Ssol

S1

S2

VC

Ssol

FIGURA 2.2. Volumen de control Vc definido en el interior de un rodete


La frontera del volumen de control Sc es la superficie externa de dicho volu-men. El fluido puede atravesar la frontera del volumen de control SC, ya que estos volmenes no siguen el movimiento de fluido.

2.2. Herramientas de clculo integral y diferencial Las leyes fsicas se aplican, en principio, a volmenes fluidos. Estas leyes re-

lacionan el cambio de una magnitud fsica (su derivada temporal) de ese volumen fluido con las interacciones entre ese fluido y su entorno. Es necesario saber cmo se calculan estas derivadas temporales de propiedades extensivas (es decir, inte-gradas a un volumen).

2.2.1. Derivada de una propiedad asociada a un volumen de control y a un volumen fluido

Se denomina propiedad intensiva a una magnitud que expresa la cantidad de cierta magnitud por unidad de volumen, y propiedad extensiva a la propiedad intensiva integrada en el volumen. Por ejemplo, la densidad es una propiedad intensiva (masa por unidad de volumen). Integrando la densidad en un volumen se obtiene la masa M dentro de ese volumen, que es la propiedad extensiva asociada a la densidad.

Supngase una propiedad extensiva obtenida por la integracin a un volu-men de control Vc de una propiedad intensiva . (2.1) =

CVdV

El volumen de control puede variar con el tiempo, es decir, Vc=Vc(t). Es fcil demostrar que la derivada respecto del tiempo de puede calcularse como: ( ) ( ) +== C CC V S ctV dSdVtdVdtddtd nv (2.2)

Donde vc es la velocidad a la que se mueve la superficie frontera del volumen de control Sc y n el vector unitario normal a la superficie frontera Sc que apunta al exterior de Vc. El primer sumando del miembro derecho de la igualdad (2.2) es la variacin para el volumen de control fijo y el segundo sumando es la cantidad de propiedad ingerida por el volumen de control por unidad de tiempo debido al barrido de la superficie de control Sc. Por ello, se le llama trmino de ingestin.


Si la frontera Sc del volumen de control se mueve a la velocidad del fluido, el volumen de control se convierte en un volumen fluido. Como consecuencia inme-diata, la derivada temporal de la propiedad extensiva definida sobre un volumen de fluido Vf se calcula:

( ) ( ) +== f ff V StV dSdVtdVdtddtd nv (2.3) Aqu, v es la velocidad del fluido.

2.2.2. El Teorema de Transporte de Reynolds Este teorema permite obtener la derivada de la magnitud extensiva asociada

al fluido que est dentro del volumen de control Vc en un instante dado t. Sea un volumen de control Vc y un volumen fluido Vf tal que en cierto instan-

te de tiempo t ambos son iguales Vf(t)=Vc(t). En ese instante de tiempo, la integral de /t al volumen de control y al volumen fluido son iguales (el dominio de integracin es idntico). Con esto y usando las ecuaciones (2.2) y (2.3) se llega a:

( )[ ] += Vc S cV Cf dSdVdtddVdtd nvv (2.4) A la ec. 2.4 se le denomina Teorema de Transporte de Reynolds o TTR. Esta

expresin es la que permite usar de forma cmoda las leyes fsicas aplicadas en principio a volmenes fluidos y, de forma prctica, a volmenes de control.

En el caso de un rodete (vase la fig. 2.2), a la diferencia de velocidades v-vc se le llama velocidad de deslizamiento o velocidad relativa al rodete y se denota como w.

2.2.3. El teorema de Gauss Los principios de la mecnica pueden expresarse mediante integrales a vol-

menes fluidos (forma integral del principio fsico) o mediante ecuaciones diferen-ciales en derivadas parciales (forma diferencial). Para el paso de una a otra forma es necesario relacionar integrales en volumen con integrales sobre la superficie que contiene dichos volmenes. El paso se realiza por medio del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

Sea un campo vectorial b suficientemente suave y definido sobre un volumen V. Sea S=V la frontera o superficie externa del volumen V. Se puede demostrar:

= SV dSdV nbb (2.5)


Con n el vector unitario normal a la superficie frontera S y apuntando hacia el exterior del volumen V y b la divergencia del campo vectorial b.

Si el campo vectorial se define como b=bk, con k un vector constante cual-quiera, se obtiene:

= SV dSbbdV n (2.6) Esta variante se aplica a campos escalares b=b(x, y, z).

2.2.4. La derivada sustancial Supngase una partcula de fluido que se mueve en el espacio y con una pro-

piedad fsica (puede ser la velocidad de la partcula, su temperatura, energa interna, etc.). La derivada sustancial permite calcular la variacin temporal de la propiedad siguiendo a la partcula: es decir, la derivada respecto del tiempo de la propiedad que tiene esa partcula.

La partcula tiene una trayectoria dada por:

( )( )( )( )

===

=trrtrrtrr

t

33

22

11

scomponenteen ; rr (2.7)

Con r el vector posicin de la partcula. La propiedad se distribuye en el campo fluido segn una funcin que depende de espacio y tiempo (x, t).

( ) ( )( )txxxt ,,,, 321 == x (2.8) Sustituyendo las ecuaciones de la trayectoria de la partcula en el campo de la

propiedad se obtiene la evolucin en el tiempo de la propiedad para esa part-cula de fluido.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )ttrtrtrttt ,,,, 321 == r (2.9) Ahora, si se deriva la ecuacin anterior respecto del tiempo se llega a la ex-

presin que da la derivada sustancial D/Dt: ( )

{ +

=

+== v

ttr

xtdttd

DtD

iv

i

i

partculala de

(2.10)


Como ejemplo prctico, la aceleracin que experimenta una partcula fluida es la derivada substancial de la velocidad, a=Dv/Dt, ya que es la derivada tempo-ral de la velocidad siguiendo a la partcula.

2.3. Leyes fsicas Se dispone de la herramienta matemtica necesaria para escribir de forma

adecuada las leyes de la mecnica. Estas leyes son:

a) El principio de conservacin de la masa (o ecuacin de continuidad). b) La segunda ley de Newton. c) La derivada temporal de la energa de un sistema fsico es igual a la suma

del calor aportado al sistema y del trabajo realizado sobre l.

Estos principios proporcionan las ecuaciones asociadas que describen el comportamiento del fluido. De ellos pueden obtenerse ecuaciones derivadas. Las ms importantes son:

d) La derivada temporal del momento angular de un sistema fsico es igual al momento de fuerzas exteriores que acta sobre l.

e) La ecuacin de la energa mecnica. f) La ecuacin de la energa interna.

Aunque estas ecuaciones derivadas no son principios fsicos bsicos, resultan tiles para el clculo, dimensionado y diseo de diferentes elementos hidrulicos.

En general, se van a dar dos versiones de las ecuaciones citadas: la ecuacin integral, definida como integrales extendidas sobre volmenes de control, y su correspondiente ecuacin diferencial en derivadas parciales.

2.3.1. La conservacin de la masa: ecuacin de continuidad En mecnica de fluidos, a la ecuacin asociada a la conservacin de la masa

de una porcin de fluido se le llama ecuacin de continuidad. La masa contenida dentro de un volumen fluido Vf no vara, ya que, al moverse la superficie frontera Sf con el fluido, ni entra ni sale masa. Por tanto:

( ) ( ) ftVtV VdVMdVdtd

dtdM

ff de dentro Masa con 0 ==== (2.11)

Usando el Teorema de Transporte de Reynolds (TTR, ec. 2.4) y un volumen de control arbitrario Vc se obtiene:


( ) 0=+ CC S

cVdV

dtd nvv (2.12)

A la ec. 2.12 se le llama ecuacin de continuidad integral. La derivada de la integral de volumen es la variacin de la masa dentro del volumen de control por unidad de tiempo, y la integral de superficie es la masa de fluido que sale de Vc por unidad de tiempo. Por tanto, la ec. 1.8 dice que el aumento de la masa dentro de Vc es igual a la masa que entra: esto es un principio de conservacin.

Si el flujo es estacionario y el volumen de control no vara en el tiempo, el primer trmino integral se anula, quedando solo la integral de superficie.

( ) 0== CC SS

c dSdS nwnvv (2.13) Con w la velocidad relativa a la superficie fluida Sf. Si el flujo es incompresi-

ble, es decir la densidad es constante, se obtiene:

( ) 0== CC SS

c dSdS nwnvv (2.14)

Aplicando la ecuacin anterior a un rodete (fig. 2.2) y descomponiendo la su-perficie de control en superficie de entrada S1, de salida S2 y superficies slidas Ssol:

021

=++= solC SSSS

dSdSdSdS nwnwnwnw (2.15) En la superficie de entrada S1 la velocidad relativa va en sentido contrario al

vector normal exterior (wn0) y en las superficies slidas la velocidad relativa del fluido es nula (|w|=0). Definiendo el gasto msico G como la masa por unidad de tiempo que atraviesa una superficie, se puede escribir:

===

=====+

sl. pared la de travsa msico Gasto 0

de travsa msico Gasto

de travsa msico Gasto

con

0

22

11

2121

2

1

solS

S

S

dS

SGdS

SGdS

GGGGG

nw

nw

nw

(2.16)

La ec. 2.16 indica que el gasto msico que entra al rodete es igual al que sale. Si el flujo es incompresible (densidad constante), se llega a que el caudal Q que entra al rodete es igual al que sale.


(2.17) SQdSQQQQQS

de travsa Caudalcon 0 2121 =====+ nwUsando el teorema de Gauss, se puede transformar la ecuacin integral 2.12

en una ecuacin diferencial.

( ) ( ) fVSVtV VdVtdSdVtdVdtd

ffff=+

=+= 0vnv (2.18)

La ec. 2.18 se cumple para cualquier Vf, luego el integrando debe ser cero.

( ) 0=+ v

t (2.19)

Es la ecuacin de continuidad en forma diferencial. Para un flujo incompre-sible (=cte), se simplifica. volumende unitariaVariacin 1con 0 ====

dtdV

Vvv (2.20)

En flujo incompresible, la ecuacin de continuidad dice que no hay cambios de volumen en las partculas fluidas.

2.3.2. Consecuencias de la ecuacin de continuidad La ecuacin diferencial de continuidad permite relacionar la derivada de una

integral sobre un volumen fluido con la derivada sustancial de la magnitud inten-siva en masa asociada. Sea una magnitud intensiva en masa y sea Vf un volumen fluido cualquiera. Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) +=+= ffff VSVV dVtdSdVtdVdtd vnv (2.21) Desarrollando las derivadas que estn dentro del integrando, se llega a:

( ) ( ) ( )

sustancial Derivadacon

dcontinuidapor 0

=+==

=

+

+

+=

+

=

vtDt

DdVDtDdV

dtd

DtD

xv

txv

txv

t

ff VV

ii

i

i

i

i

44 344 21 (2.22)

Esta expresin permite obtener de una forma ms cmoda las ecuaciones en forma diferencial.


2.3.3. La ecuacin de la cantidad de movimiento La segunda ley de Newton establece que, en un sistema de referencia iner-

cial, la variacin de la cantidad de movimiento de una porcin material (volumen fluido) es igual a la suma de las fuerzas exteriores que actan sobre ella. En for-ma matemtica:

( ) supvolexttV f dVdtd

dtd FFFvP +=== (2.23)

Esta es una ecuacin vectorial, con tres componentes. Las fuerzas exteriores Fext no es ms que la cantidad de movimiento que el volumen fluido Vf intercam-bia con el entorno. Es decir, si Vf pierde cantidad de movimiento es porque se la ha cedido a otra porcin de materia y, por lo tanto, esa otra porcin de materia lo gana. Por eso la cantidad de movimiento total se conserva. Tambin de aqu se deduce el principio de accin y reaccin.

SfVf

dS

n d = dSF nsup

dF gmasa= dm

dV

FIGURA 2.3. Fuerzas externas msicas y de superficie que actan sobre una porcin material

Las fuerzas que actan sobre Vf son fuerzas msicas Fmasa que actan sobre cada diferencial de masa, y las fuerzas de superficie Fsup que ejerce el fluido cir-cundante sobre cada diferencial de la superficie frontera Sf.

En las mquinas hidrulicas, la nica fuerza msica relevante es la gravedad fm=g. La gravedad es una fuerza conservativa o derivada de potencial, es decir, se puede poner como menos el gradiente de un campo escalar U llamado poten-cial. Por tanto:

(2.24)

====== gzU UUdVdVdm fff VVV mmasa rgggfF con

Las fuerzas que actan sobre la superficie frontera Sf se obtienen con el ten-sor de esfuerzos , un tensor de segundo orden. La fuerza por unidad de superficie se calcula como fS=n, siendo n la normal exterior a Sf.


==

+===

viscososesfuerzos detensor armodinmicpresin tecon

*p

*pdSdS

ff SSSsup

nfF (2.25)

El tensor de esfuerzos es simtrico. El tensor de esfuerzos es suma de dos tensores: uno istropo originado por la presin p (con el tensor delta de Kro-necker) y el tensor de esfuerzos viscosos *, tambin simtrico y generado por la viscosidad y gradientes de velocidad. Para un fluido newtoniano:

( ) ( )( ) ndeformacitensor 21con 2* =+=+= Tvvddv (2.26)

Para flujo incompresible, v=0. En componentes, los esfuerzos viscosos se escriben:

+

+=

i

j

j

iij

k

kij x

vxv

xv

* (2.27)

Usando el TTR y un volumen de control, la ecuacin integral de la cantidad de movimiento queda:

( )[ ] +=+=ccccf V

mSS

cVV

dVdSdSdVdtddV

dtd fnnvvvvv (2.28)

Esta ecuacin puede aplicarse al rodete de una mquina hidrulica en rgi-men pseudoestacionario con el volumen de control de la fig. 2.2. Algunos suman-dos de la ecuacin pueden manipularse. As, la derivada temporal de la cantidad de movimiento es cero (estacionario). La superficie de control Sc se divide en superficie de entrada S1, de salida S2 y slida Ssol (las paredes del rodete) y la in-gestin de fluido a travs de las superficies slidas Ssol es nula (v-vc)n=0.

Las fuerzas de superficie se descomponen en las fuerzas que el rodete ejerce sobre el fluido a travs de la superficie slida Ssol y las fuerzas sobre las superfi-cies de entrada y salida, S1 y S2, respectivamente. En las superficies de paso de fluido los esfuerzos viscosos suelen ser despreciables, salvo para fluidos muy viscosos. Luego:

solSSSSSSSSS

dSpdSdSpdSdSsolsolc

Fnnnnn +=+= 212121 UUUU

(2.29)


La nica fuerza msica relevante es el peso del flujo Mg. Adems, la inges-tin de fluido por las superficies slidas es nula. Con esto, la ec. 2.28 se simplifica a:

( )[ ] gFnnvvv MdSpdS solSSSS

c ++= 2121 UU

(2.30)

Se puede deducir la ecuacin diferencial de la cantidad de movimiento. Par-tiendo de la ec. 2.28 y aplicando la ec. 2.22 y el teorema de Gauss, se obtiene:

+==fff V

mVV

dVdVDtDdV

dtd fvv (2.31)

Como la igualdad es vlida para todo volumen fluido, ambos integrandos de-ben ser iguales. Descomponiendo el tensor de esfuerzos en el trmino de presin y los esfuerzos viscosos, se tiene:

mpDtD fv ++= * (2.32)

Como ya se ha explicado el trmino Dv/Dt es la aceleracin de la partcula fluida. En el caso de las mquinas hidrulicas, el flujo es incompresible y la fuer-za de volumen relevante es la fuerza de gravedad. Con estas condiciones y susti-tuyendo la dependencia de los esfuerzos viscosos con la velocidad:

gvvvv ++=

+ 2p

t (2.33)

Como la gravedad proviene de un potencial y la densidad es constante (flujo incompresible), el trmino de presin se puede redefinir incluyendo el potencial gravitatorio U.

motrizpresin con 2 =+=+=

+ Uppp

t MM vvvv (2.34)

Esta ecuacin funciona con cualquier campo de fuerzas derivado de poten-cial. La presin motriz pM es la suma de la presin y la energa potencial e incluye los efectos de ambas sobre el movimiento del fluido. Adems, de esta ecuacin se deduce que, en flujo incompresible, el movimiento del fluido es provocado por diferencias en la presin motriz (el gradiente), bien de presin, bien de potencial, bien de ambas, siendo el nivel absoluto de presin o potencial algo irrelevante.


En un sistema de referencia no inercial (sujeto a aceleraciones), la ecuacin de cantidad de movimiento, tal y como se ha enunciado, no se cumple. Han de considerarse, adems, las fuerzas de inercia, unos trminos ficticios que funcio-nan como fuerzas msicas. Aadiendo las fuerzas de inercia a la ec. 1.32 se tiene:

( )4444444 34444444 2132143421&

inercia de fuerzas

Coriolis de f.centrfuga fuerza

2*

+++++= vxxafv ompDt

D (2.35)

Aqu, es el vector velocidad angular del sistema de referencia (SR) no iner-cial y ao es la aceleracin del origen del SR.

2.3.4. La ecuacin del momento angular En una referencia inercial, la variacin de momento angular de un sistema

material (o momento cintico) es igual a la suma de los pares de las fuerzas exte-riores que actan sobre el sistema. Aplicando este principio a un volumen fluido:

( )( )

( ) ( ) +=fff SV

mtV

dSdVdVdtd nxfxvx (2.36)

Usando el TTR (ec. 2.4) puede aplicarse a un volumen de control:

( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( )

+=

=+

ff

fc

SVm

Sc

tV

dSdV

dSdVdtd

nxfx

nvvvxvx

(2.37)

Es la ecuacin integral de la cantidad de momento angular, y es una ecua-cin vectorial con tres componentes La aplicacin de esta ecuacin al volumen de control asociado al rodete (fig. 2.2) da lugar al teorema de Euler, el cual permite calcular la energa cedida por el rodete al flujo.

La forma diferencial de esta ecuacin nicamente impone que el tensor de es-fuerzos sea simtrico. La demostracin no se hace explcita aqu. 2.3.5. La ecuacin de la energa total

La energa se conserva. As, el aumento de la energa contenida en un siste-ma Vf es igual al trabajo realizado sobre el sistema ms el calor entrante en l (trabajo y calor que se extraen de otros sistemas fsicos).


QWEdtd

exttotal&& += (2.38)

Estos tres trminos (energa total, trabajo y calor) tienen que estar bien con-tabilizados. La energa total contenida en un volumen fluido es la suma de su energa cintica (por unidad de masa v2/2) y su energa interna (por unidad de masa e). El trabajo es el ejercido por las fuerzas msicas y por las fuerzas de su-perficie. El calor entra a travs de la superficie por conduccin y est descrito por el vector flujo de calor q. Tambin puede generarse en cada diferencial de volu-men por otros mecanismos (radiacin, etc.).

( )

( )43421321443442143421444 3444 21

conduccinporcalor

volumenencalor

superficie defuerzas potencia

msicasfuerzas potencia totalenerga

2

2 ++=

+

fffff SVV

SVm

tV

dVdVqdSdVdVvedtd nqvnvf (2.39)

El signo menos en el calor por conduccin indica que si qn es negativo, en-tra calor al volumen fluido. El tercer trmino de la derecha es el calor que se ge-nera en el volumen.

Si las fuerzas msicas derivan de un potencial (como ocurre con la gravedad) y el potencial no depende del tiempo, la potencia ejercida por estas fuerzas puede sumarse a la energa total en forma de energa potencial.

( ) ===

+==

=

fff VVtVm

mm

UdVdtddV

DtDUdV

dtd

DtDUU

tU

tUU

vf

vvfvvf 0 si (2.40)

Reagrupando:

( )

( ) 444 8444 7643421434214434421444 3444 21

& entranteCalor

conduccinporcalor

volumenencalor

superficie defuerzas potenciapotencial energa totalenerga

2

2

=

+

+=

++

Q

SVV

StV ffff

dVdVqdSdVUvedtd nqvn (2.41)

Si la ec. 2.41 se aplica a un volumen de control VC y se agrupan los aportes de calor en un nico trmino, se obtiene:


( )[ ]

( ) QdSdSUvedVUve

dtd

f

cc

S

Sc

V

&+=

=

+++

++

vn

nvv22

22

(2.42)

La ecuacin diferencial de la energa total se obtiene a partir de la ec. 2.39 aplicando el teorema de Gauss y la derivada sustancial:

( ) ++=

+

ff VVm

V

dVqdVveDtD qvvf

2

2

(2.43)

Ambos integrandos tienen que ser iguales para todo volumen fluido. Por tan-to, los integrandos deben ser iguales. Si, adems, las fuerzas msicas derivan de un potencial no dependiente del tiempo se llega a:

( ) UqUveDtD

mV =+=

++ fqv con

2

2

(2.44)

El trmino (v)=(ijvi)/xj o trabajo realizado por las fuerzas de superficie puede desarrollarse ms, pero no es necesario para el desarrollo posterior que se realizar en los siguientes captulos.

2.3.6. La ecuacin de la energa mecnica La energa mecnica es la suma de la energa cintica y la energa potencial.

La ecuacin que se va a obtener no es fundamental, ya que se deriva de la ecua-cin de la cantidad de movimiento, pero es una ecuacin de gran inters prctico.

Se deducir primero su forma diferencial. Multiplicando la ecuacin diferen-cial de la cantidad de movimiento en un sistema de referencia inercial (ec. 2.32) por la velocidad, se obtiene:

( ) ( ) vfvvv +== mDtvDDtD 22

(2.45)

Si las fuerzas msicas f derivan de un potencial U que no depende del tiem-po, se llega a (vase ec. 2.40):


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )j

iij

j

iiji

j

ij

xv

xv

vx

pDt

UvDDt

UvD

==

+=+

==+

=

v

vvv

vvv

que ya

:*2

:2

viscosa disipacin de f.

expansin de trabajo

2

2

4342143421 (2.46)

Esta es la ecuacin diferencial de la energa mecnica. El ltimo sumando tiene un significado especial: es la funcin de Rayleigh o funcin de disipacin viscosa, . Como el tensor de esfuerzos viscosos * es simtrico, la funcin de disipacin viscosa puede reescribirse como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] dvvvvv :*:*21:*

21:*

21:* =+=+== TTT (2.47)

Donde d es el tensor velocidad de deformacin. Tanto los esfuerzos viscosos como la velocidad de deformacin son invariantes con un cambio de sistema de referencia, por lo que la disipacin viscosa va a ser invariante. El principio de aumento de entropa obliga a la disipacin viscosa a ser positiva. Para un fluido newtoniano incompresible, la disipacin viscosa es igual a =2d:d>0.

En el caso de un flujo estacionario con fuerzas msica derivadas de un poten-cial constante en el tiempo, la ec. 1.49 se escribe:

( ) ( ) ( ) vvv +=+=+ *22 22 pUv

DtUvD (2.48)

Si el flujo es incompresible (=cte) y con esfuerzos viscosos despreciables: ( ) 022 =++ pUv v (2.49)

Eso quiere decir que la suma de la energa cintica, potencial y de la asociada a la presin es constante a lo largo de una lnea de corriente, que es, por defini-cin, una lnea tangente al vector velocidad en todo punto.

corriente de lnea laen cte.22 =++ pUv (2.50) Esta es la ecuacin de Bernoulli, vlida para flujos estacionarios, incompre-

sibles y con esfuerzos viscosos despreciables. No es ms que otra forma de escri-


bir la ecuacin de la energa mecnica, que resulta muy cmoda para el clculo en algunos problemas prcticos.

La forma integral de la energa mecnica se deduce integrando la ec. 2.46 a un volumen fluido y aplicando el teorema de Gauss:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+=+

+=+

ffff

ff

VVSV

VV

dVdVpdSdVUvdtd

dVpdVUvdtd

vvn

vv

2

2

2

2

(2.51)

Tambin puede obtenerse la ecuacin de cantidad de movimiento para un sis-tema de referencia con velocidad de rotacin constante y sin traslacin. Es el sis-tema de referencia asociado al rodete de la turbomquina. Se hace uso de la ecua-cin de cantidad de movimiento con las fuerzas de inercia (ec. 2.35) asociadas al sistema de referencia no inercial. La velocidad en este sistema de referencia se denotar por w. Multiplicando por la velocidad:

( )

{ ( )( )[ ] ( )

=

+++=

++=

=

==

434214434421

321&

sortogonale 0centrfuga fuerza

00

2

2con

wwwxwf

wxxaf

wfwfwww

inercia

oinercia

inerciamDtD

(2.52)

La fuerza de Coriolis no genera trabajo, ya que es ortogonal al movimiento de la partcula. La fuerza centrfuga deriva de un potencial que no depende del tiempo, al igual que la gravedad. Llamando Uc al potencial centrfugo, Ug al po-tencial gravitatorio y siguiendo los mismos pasos usados antes para deducir la ecuacin diferencia de la energa mecnica, se llega a:

( ) ( ) ( )

=====+=

+=+

iogravitator pot.

centrfugo pot.2

totalpot.

con

2

22

2

gzU

rU

UUU

pDt

UD

g

c

gc

www

(2.53)


La ecuacin de Bernoulli asociada, aplicable a un flujo estacionario, incom-presible y con esfuerzos viscosos despreciables queda:

cg UUUpU +==++ con y corriente de lnea laen cte.22 w (2.54)

2.3.7. La ecuacin de la energa interna Es otra ecuacin derivada, ya que se obtiene al restar la ecuacin de la ener-

ga mecnica de la ecuacin de la energa total. Se deduce primero su forma diferencial. Al restar la ec. 2.46 a la ec. 2.44:

( ) ++== =

qv VqpDtDe

43421compresin de trabajoexpansin de trabajo-

(2.55)

Esta es la ecuacin diferencial de la energa interna y puede usarse en vez de la ecuacin de la energa total para describir la dinmica del flujo. Aunque la ec. 2.44 y 2.46 han sido escritas para fuerzas msicas conservativas, la ec. 2.55 es vlida para todo tipo de fuerza msica.

La disipacin viscosa funciona, efectivamente, como una disipacin: es un trmino que elimina energa mecnica y la disipa en energa interna, como una fuente adicional de calor (ver ec. 2.46 junto con ec. 2.55). El trabajo de expansin (o compresin si lleva signo menos, ver ec. 2.46) es un mecanismo reversible que convierte la energa interna en mecnica (expansin) y viceversa (compresin).

Para un fluido ideal, la energa interna es el calor especfico a volumen cons-tante por la temperatura e=cVT (los calores especficos a presin constante y a volumen constante son iguales para un lquido perfecto). Sustituyendo en la ec. 2.55 se obtiene la ecuacin de la temperatura. Si el flujo es incompresible, el trabajo de expansin es nulo y la ecuacin de continuidad y cantidad de movi-miento est desacoplada de la ecuacin de la energa interna: es decir, el campo de velocidades y presiones est desacoplado del campo de temperaturas.

La ecuacin integral de la energa interna se obtiene integrando y aplicando el teorema de Gauss y la ec. 2.22.

( )

( ) ++=fffff VSV

VVtV

dVdVdVqdVpedVdtd nqv (2.56)

Con el TTR, esta ecuacin se puede aplicar al volumen de control definido en un rodete (fig. 2.2) bajo la hiptesis de flujo incompresible (v=0).


( ) +=fff VSV

VSS

c dVdVdVqdSe nqnvv21U

(2.57)

Dividiendo por gQ, se expresa la anterior ecuacin usando alturas:

( )

==

=+=

entranteCalor

1

con 1212

ff

i

SVV

Scei

peedVdVqQ

dSegQ

H

hgQQHH

nq

nvv

&&

(2.58)

Si el flujo se asume unidimensional (propiedades constantes a travs de las secciones de paso S1 y S2):

1212

pi

ei hgQQ

ge

ge

ge

H +== &

(2.59)

Como se ha dicho antes, la adicin de calor suele ser despreciable en una tur-bomquina hidrulica.

2.4. Un ejemplo prctico: la turbina Pelton Se trata de una turbina de accin. Todo el intercambio energtico entre el

fluido y el rodete se realiza a travs del trmino de presin dinmica. El elemento esencial de la turbina Pelton es un rodete con cazoletas en las que incide un chorro. Esquemticamente:

Chorro

v

Cazoleta

Rodete

Eje

Tobera

Aguja

FIGURA 2.4. Elementos esenciales de una turbina Pelton


Para describir el funcionamiento de estas turbinas se parte de una configura-cin simple en la que un chorro, con velocidad v de mdulo V, incide sobre una cazoleta que lo desva y que a su vez se mueve con una velocidad u, de mdulo U, en la misma direccin que la velocidad del chorro.

Se usa el volumen de control limitado por las secciones de entrada, S1, y sali-da, S2, del chorro; la superficie mojada de la cazoleta y la interfase entre el chorro y el fluido que se encuentre en el entorno.

FIGURA 2.5. Detalle de cazoleta y definicin del volumen de control

En el desarrollo se supone flujo incompresible y se desprecian los efectos viscosos. Suponiendo un perfil uniforme de velocidad en las secciones S1 y S2, la ecuacin de continuidad (en este caso se aplica la ec. 2.17) conduce a:

2211 SwSw = (2.60) Donde wi (i=1, 2) es el mdulo de velocidad relativa del chorro vista por un

observador que se mueve con la cazoleta en la seccin i. La ecuacin de la energa mecnica en su forma integral (ec. 2.51) aplicada

en el sistema de referencia inercial de la cazoleta, dado que la presin motriz es la misma en las secciones de entrada y salida, conduce a la siguiente expresin:

(2.61) 2321

31 SwSw =

Por tanto:

21

21

SSSwww

==

(2.62)

El mdulo de la velocidad relativa w vale V-U. La aplicacin de la ecuacin integral de la cantidad de movimiento (ec. 2.28)

en la direccin del chorro, X, al volumen de control conduce a:


( )[ ]XSXS

c

cc

dSdS = nnvvv (2.63) Se ha supuesto que la gravedad no influye (pinsese en un chorro horizontal).

Desarrollando el primer trmino:

( )[ ] ( ) ( )dSvdSvdSS

XS

X

XSc

c

+=21

2211 nwnwnvvv (2.64)

Expresando las velocidades en funcin de los mdulos U y V:

(2.65) )()(

2

1

1

UVUV

Vv X

==

=

nwnw

Para el clculo de la componente en X de la velocidad absoluta en la seccin de salida se puede considerar el siguiente esquema de velocidades:

u

U

w2

v2

V-U

FIGURA 2.6. Velocidades en la seccin 2

As:

( ) cos2 UVUv X = (2.66) Sustituyendo en la ec. 2.64 e integrando:


( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

cos1

cos

2 +=

=+=UVS

SUVUUVSUVVdSXS

c

c

nvvv (2.67)

El segundo trmino de la ecuacin 2.63 se puede descomponer como:

XSXSXSXSXS

dSdSdSdSdSISc

+++=21

nnnnn (2.68)

El primer trmino de la derecha es la fuerza que la cazoleta ejerce sobre el flujo. El tensor de esfuerzos viscosos se considera nulo bajo la aproximacin de flujo ideal y la presin es la misma en los tres ltimos trminos; tomando esta presin como referencia se tiene que son nulos los tres trminos al final de la ecuacin. As, se puede expresar la fuerza que el flujo provoca en el rodete como:

( ) ( ) cos12 += UVSF rodetefluidoX (2.69) Y la potencia que el chorro comunica a la cazoleta se puede expresar como:

( ) ( ) cos12 +== UVSUUFW rodetefluidoXrodetefluido& (2.70) La ecuacin ilustra el principio de funcionamiento, pero no es acertada para

describir el comportamiento de estas mquinas. En ella se expresa que el inter-cambio de potencia entre el fluido y el rodete es debido a la transferencia de can-tidad de movimiento. Pero la ecuacin se ha desarrollado para un desplazamiento lineal y este no es exactamente el caso que se da en una turbina Pelton, en la que las cazoletas giran y en distintos momentos el chorro incide en cazoletas diferen-tes. Se constata que para contemplar este efecto de una manera sencilla se puede suponer que se dispone de infinitas cazoletas que interaccionan con el chorro solo en un instante infinitesimal, despus la posicin ya est ocupada por otra cazoleta. De esta manera la posicin de la cazoleta que est interaccionando con el flujo es siempre la misma y la velocidad relativa entre el chorro y la posicin en la que el chorro incide en las cazoletas es la velocidad absoluta del chorro. El mismo desa-rrollo que ha conducido a ec. 2.70 lleva, bajo esta aproximacin, a:

( )( )

( )(

+==+=

cos1

cos1

det UVSVUUFW

UVSVF

erofluidoXrodetefluido

rodetefluidoX

& ) (2.71) La potencia total disponible en el chorro es:


2

3SVWTotal=& (2.72)

Y se puede definir un rendimiento terico como:

( cos112 +

== VU

VU

WW

Total

rodetefluidoterico &

& ) (2.73) En la ec. 2.71 se indica que, para una V dada, la potencia presenta una depen-

dencia parablica con U. El mximo se puede encontrar igualando a 0 la derivada de la potencia con respecto a U.

2

0 VUU

W rodetefluido == & (2.74)

Y se obtiene el rendimiento terico mximo como:

2cos1 +=terico (2.75)

Grficamente:

FIGURA 2-7. Rendimiento terico en funcin de U/V.

El comportamiento mostrado en la figura es muy idealizado dadas las hipte-sis utilizadas, en mquinas reales se tiene un rendimiento inferior debido al frota-miento. Aun as, son mquinas eficientes puesto que en la prctica se encuentran turbinas Pelton con rendimientos superiores al 90%.

3. Anlisis dimensional en tuberas y turbomquinas

En este captulo se expone el concepto de semejanza y el teorema de Vaschy-Buckingham. Ambos permiten la obtencin de resultados para prototipos de m-quinas e instalaciones a partir de ensayos experimentales en modelos; tambin permiten establecer comparaciones entre distintos modos de funcionamiento de las mquinas o su uso en diferentes condiciones. En el caso de las mquinas hi-drulicas, el anlisis de las dimensiones de las variables involucradas en el pro-blema, basado en dichos conceptos, hace posible comparar el comportamiento con distintos fluidos y con diferentes velocidades de rotacin o tamaos. Tambin se puede usar para predecir el comportamiento de mquinas e instalaciones si se vara la gravedad.

Se exponen, asimismo, los fundamentos de la aplicacin del anlisis dimen-sional a tuberas y turbomquinas.

El anlisis dimensional es muy til en el desarrollo de nuevas mquinas para obtener comportamientos en prototipos a partir de ensayos con maquetas a escala, ms baratas en construccin y caracterizacin experimental. En el captulo 11 se explica la forma habitual en la que se realizan los ensayos con maquetas y se ex-plotan los resultados aqu obtenidos para describir el comportamiento de dichas mquinas ante la variacin de la densidad del fluido circulante, velocidad de rota-cin del rodete y tamao de la mquina.

En el apartado 3.2 se obtiene la dependencia de la prdida de energa de un flujo en su trnsito por una tubera con las variables relevantes. La exposicin se completa con una descripcin detallada del comportamiento para rgimen lami-nar.

En el apartado 3.3 se expone la forma estandarizada de aplicar el anlisis di-mensional a turbomquinas y se extraen algunas conclusiones tiles para los cl-culos que se presentan en los captulos 4 y 5 sobre instalaciones de bombeo y ventilacin.

3.1. Revisin de conceptos Los requisitos para que dos fenmenos sean semejantes dependen del pro-

blema considerado. Se puede establecer la siguiente clasificacin de semejanzas de acuerdo con los problemas tratados y los requisitos asociados:


a) Semejanza geomtrica. b) Semejanza cinemtica. c) Semejanza dinmica. d) Semejanza fsica rigurosa.

Tras la descripcin de los diferentes niveles de semejanza se enunciar el teo-rema de Vaschy-Buckingham, que expresa una importante simplificacin de las relaciones entre variables cuando se usan nmeros adimensionales. La aplicacin del teorema a travs del anlisis de las dimensiones de las variables relevantes del problema permite la simplificacin de la labor experimental en el estudio de m-quinas e instalaciones de fluidos a travs del llamado anlisis dimensional.

3.1.1. Semejanza geomtrica Se dice que dos geometras son semejantes cuando todas las distancias son

proporcionales y los ngulos iguales. As: Li=KLLi y i=i.

3.1.2. Semejanza cinemtica Dos situaciones son cinemticamente semejantes cuando se tiene semejanza

geomtrica y adems los tiempos son proporcionales. Se debe cumplir: Li=KTLi; Ti=KTTi y i=i. Se tienen entonces proporcionalidades entre las magnitudes que involucran

longitud y tiempo.

3.1.3. Semejanza dinmica Resulta de exigir, adems de la semejanza cinemtica, la proporcionalidad en

masas: Li=KLLi; Ti=KTTi Mi=KMMi y i= i. En este caso se tienen proporcionalidades entre todas las magnitudes que in-

volucren longitud, tiempo y masa. En el caso de las fuerzas: Fi=KFFi, con: KF=KMKL/KT2.

3.1.4. Semejanza fsica rigurosa Se da cuando la proporcionalidad se extiende a todas las magnitudes fsicas.

3.1.5. Teorema de Vaschy-Buckingham Si se tiene un problema dependiente de N variables que involucran M magni-

tudes fundamentales, se puede reducir la relacin f(V1, V2,...,VN)=0 entre las varia-bles a f(v1, v2,...,vL)=0, con L=N-M, donde las variables v son adimensionales.


3.2. Aplicacin del anlisis dimensional al flujo en tuberas Se aplica el anlisis dimensional a un tramo recto de tubera por el que circu-

la un flujo incompresible.

FIGURA 3-1. Tramo de tubera.

Las variables que intervienen en el problema son:

a) Geomtricas: L, D, (longitud, dimetro y rugosidad absoluta de la super-ficie interna de la tubera, respectivamente).

b) Propiedades del fluido: , (no se considera puesto que no se contem-plan interfases dentro del tramo de tubo)

c) Velocidad del flujo: V (representa la velocidad media) d) Diferencia de presiones motrices: P* (Se supone conocido que el pro-

blema solo depende de dicha diferencia de presiones y no del valor con-creto de estas).

As se tiene el siguiente conjunto de variables: D, L, , , , V, P*. Obtenemos los grupos adimensionales:

DL ;

ReVD1 ; rD

; 2

*

2

*

21 V

PVP

(3.1)

De acuerdo con el teorema de Vaschy-Buckingham se puede escribir:

= rReDLg

V

P

,,

21 2

*

(3.2)

Se comprueba experimentalmente que la relacin entre P* y L es lineal; por tanto:

( ) 2*21, V

DLRefP r = (3.3)


Conocida como la ecuacin de Darcy-Weisbach y habitualmente encontrada en funcin de la altura de prdidas lineales y el caudal como:

( ) 22

2,

gSQ

DLRefh rL = (3.4)

A la funcin f se la llama factor de friccin y depende del nmero de Rey-nolds, Re, y de la rugosidad relativa, r. 3.2.1. Factor de friccin para rgimen laminar

En el caso de flujo laminar se puede obtener una expresin analtica para el factor de friccin en flujo incompresible y si el fluido es newtoniano.

Partiendo de la ecuacin de cantidad de movimiento:

( ) vgv 2+= PDt

D (3.5)

Desarrollando el trmino de la izquierda:

( ) vgvvv 2+=+ P

t (3.6)

Que se puede expresar en funcin del potencial gravitatorio, U=gz (siendo z la coordenada vertical), como:

( ) vvvv 2+=+ PU

t (3.7)

Se define la presin motriz, P*, como:

(3.8) gZPP +*Y se expresa:

( ) vvvv 2* +=+ P

t (3.9)

Para flujo estacionario:

( ) vvv 2* += P (3.10) Suponiendo vr=0, v=0 y vz/=0. Estas relaciones se han verificado empri-

camente para flujo desarrollado. Usando la ecuacin de continuidad:


( ) 011 =+

+

zvv

rrrv

rzr

(3.11)

Se deduce que la velocidad axial no depende de z.

0=

zvz (3.12)

Expresando la ecuacin de cantidad de movimiento en coordenadas cilndri-cas:

( )

( )

+

+

+

=

+

+

+

++

+

=

++

+

+

++

+

=

+

+

2

2

22

2

2

*

2

2

2

22

2

2

*

2

2

2

2

22

2*

211

2111

11

zvv

rv

rrv

rrrrP

zvv

rvv

rv

rvv

zvv

rv

rrv

rrrP

r

zvv

rvvv

rv

rvv

zvv

rrv

rrv

zP

zvvv

rv

rvv

rrr

rz

rrr

r

zr

r

zzzz

zz

zzr

(3.13)

Eliminando todos los trminos nulos se llega a:

==

+

+=

rP

Pr

rv

rrv

zP zz

*

*

2

2*

0

10

10

(3.14)

La primera de estas ecuaciones tambin se puede expresar como:


=

+

=

rvr

rrrv

rrv

zP zzz 11

2

2*

(3.15)

Es fcil ver que P*/z=-K, con K una constante positiva. Si se deriva P*/r=0 con respecto a z, se tiene:

=

=

zP

rrP

z

**

0 (3.16)

Por tanto, P*/z no depende de r; de la misma manera, con las otras ecua-ciones se obtiene que no depende tampoco de , ni de z. As, se puede escribir:

=

rvr

rrK z1 (3.17)

Integrando:

= dr

rvr

rrdrK z (3.18)

rvrCrK z= 1

2

2 (3.19) Volviendo a integrar:

drrvdr

rCrK z =+ 12 (3.20)

zvCrCrK = 21

2

ln4 (3.21)

Dado que la velocidad debe ser finita cuando r=0, se tiene que C1=0. En r=R vz=0. As:

4

2

2RKC = (3.22)

Y por tanto:

( )4

22 rRKrvz= (3.23)


Para obtener el caudal se integra en la seccin:

=R

rdrrRKQ0

22

24

(3.24)

8422

444 RKRRKQ

=

= (3.25)

Reordenando:

4* 8

RQ

zP

=

(3.26)

Integrando para una longitud de tubera L:

QR

LP 4* 8

= (3.27)

Para adaptarlo a la ecuacin de Darcy-Weisbach:

24* 18 Q

SvRLP

m= (3.28)

21161 QSvRSD

Lg

hm

= (3.29)

Es decir:

2221

Re64 Q

gSDLh = (3.30)

Y, finalmente:

Re64=f (3.31)

Obsrvese que en el caso laminar el factor de friccin no depende de la rugo-sidad relativa.


3.3. Aplicacin del anlisis dimensional a turbomquinas hidrulicas

En el caso de las mquinas hidrulicas las variables que se deben tener en cuenta son: longitudes y ngulos de la mquina; densidad, viscosidad y tensin superficial del fluido; velocidad de rotacin del rodete, caudal, presin, acelera-cin de la gravedad, g, y factor de compresibilidad

No es necesario considerar la tensin superficial dado que en condiciones normales de funcionamiento solo hay un fluido en la mquina y, por tanto, no hay interfases en las que se manifieste dicha fuerza. Entre las longitudes, la rugosidad se considera como una variable aparte por razones prcticas que se vern ms adelante, en el captulo 11. Se consideran flujos incompresibles en todos los ca-sos, por lo que tampoco se considera en el anlisis el factor de compresibilidad.

La geometra puede ser compleja, por lo que habra que considerar muchas longitudes y ngulos. Se elige como longitud caracterstica el dimetro del rodete, D, y el resto de las longitudes se adimensionalizan con l, salvo la rugosidad, , que es una longitud que caracteriza la irregularidad de las superficies y que por razones prcticas (que se tratarn en el captulo 11) se considera separadamente del resto de las longitudes. Como se ha comentado en la seccin 3.1, para cumplir la semejanza dinmica es condicin necesaria que se verifique la semejanza geo-mtrica. En el resto del texto se supondr que se verifica la semejanza geomtrica (salvo para la rugosidad); en algunos casos se indicar explcitamente aadiendo en las expresiones el subndice .

En el estudio de las turbomquinas se elige habitualmente la base de varia-bles D, N, .

Construyendo, entonces, la tabla de dimensiones:

L T MD 1 0 0 N 0 -1 0 -3 0 1 -1 -1 1 Q 3 -1 0 P -1 -2 1 1 0 0

Se tienen, por tanto, 4 nmeros adimensionales:


DDN

PND

QND

; ; ; 2232 (3.32)

A modo de ejemplo se explicita la obtencin del nmero adimensional de viscosidad. Para ello se relacionan las dimensiones de la viscosidad con las di-mensiones de las variables elegidas como bsicas, a travs de los exponentes a los que hay que elevarlas:

1 : De

1 : De

13 : De

==

=

eeT

eeL

N

D

(3.33)

De donde se deduce fcilmente: eD=2; eN=1 y e=1. Con los exponentes encontrados se concluye que para obtener el nmero

adimensional de viscosidad se debe dividir esta por N, por y por D elevado al cuadrado.

Por otra parte, es de uso comn en la Mecnica de Fluidos el nmero de Rey-nolds Re=vl/, en el que v y l son, respectivamente, una velocidad y una longitud caracterstica del problema considerado.

En el caso desarrollado, el dimetro de rodete se toma como longitud caracte-rstica y ND es una velocidad caracterstica del flujo en el rodete. Es decir, el n-mero adimensional de viscosidad que se ha obtenido no es sino el inverso del nmero de Reynolds. Se usar el nmero de Reynolds ya que es la prctica habi-tual en la materia.

En cuanto al cociente /D, recibe el nombre de rugosidad relativa, r. Tambin es habitual denominar a los nmeros adimensionales de caudal y

presin Q y P respectivamente. Es decir: 223 ; DN

PND

QPQ

== (3.34)

De acuerdo con todo lo comentado, usaremos entonces los nmeros adimen-sionales: Re, r, Q y P. Y por el teorema de Vaschy-Buckingham sabemos que el comportamiento de nuestra mquina estar caracterizado por una funcin:

( ) 0,,, = rPQ Ref (3.35) Dos puntos de operacin de dos mquinas semejantes, posiblemente en dis-

tintas condiciones de funcionamiento (por ejemplo, operando con lquidos de distinta densidad), se llaman puntos homlogos si son iguales sus nmeros adi-mensionales de caudal, sus nmeros de Reynolds y sus rugosidades relativas.


Entonces, por la ec. 3.33 tambin son iguales sus nmeros adimensionales de presin.

En el estudio de mquinas que trabajan con lquidos es habitual encontrar es-ta expresin con el nmero adimensional de altura en vez del nmero adimensio-nal de presin:

HP DNgH

DNgH

DNP === 222222

(3.36)

As, se puede escribir:

( )= rQH ,Re,g (3.37) El resto de las variables fluidodinmicas relevantes de funcionamiento se

pueden obtener si se conoce la relacin anterior. Para ilustrar esta afirmacin po-demos usar la potencia comunicada por la mquina al fluido. En el captulo 9 se ver que la potencia que una bomba proporciona al fluido se puede expresar co-mo:

(3.38) gQHW =&Donde es la densidad del fluido, Q el caudal que atraviesa la mquina y H

la altura que la mquina proporciona al fluido. Si esta ecuacin se divide por la densidad, por la velocidad de rotacin al cubo y por el dimetro elevado a la quin-ta se tiene:

HQDNgH

NDQ

DNW == 22353

&

(3.39)

Dado que el lado derecho de la ecuacin es adimensional, tambin lo es el iz-quierdo, pudindose definir entonces el nmero adimensional de potencia como:

53 DNW

W &

& (3.40)

Y tambin, aprovechando las ecuaciones anteriores:

( )== rQQHQW ,Re,g& (3.41) Ecuacin que expresa la dependencia del nmero adimensional de caudal a

partir de las variables Q, Re y r, usando la funcin de la ec. 3.37. Finalmente si se quiere obtener la potencia que la bomba proporciona al flui-

do se puede expresar como:


( )= rQ ,Re,QgNDW 3& (3.42) Es decir, si se conoce la funcin g, se puede obtener dicha potencia para las

condiciones de funcionamiento caracterizadas por , N, D y Q. En el captulo 11 se justificar la aproximacin de semejanza parcial en la

que se desprecian las influencias del nmero de Reynolds y de la rugosidad relati-va. En este caso se habla de semejanza parcial y se supone que el nmero adimen-sional de altura depende solamente del nmero adimensional de caudal. Bajo esta aproximacin:

( )= QH g (3.43) Entonces, a partir de un punto de funcionamiento en unas condiciones de re-

ferencia se puede deducir el comportamiento en otras condiciones con el mismo nmero adimensional de caudal, ya que la ec. 3.36 expresa que en esas otras con-diciones el nmero adimensional de altura es el mismo que el de las condiciones de referencia.

Como se ver en el captulo siguiente, los fabricantes de turbomquinas in-forman de la altura que proporcionan sus mquinas en funcin del caudal que circula por ellas para una velocidad de giro de referencia, NRef, y para un lquido de referencia. Si se vara algn parmetro de funcionamiento, por ejemplo N, la ec 3.36 permite obtener la altura que proporciona la bomba en funcin del caudal para la velocidad de giro N.

Si se dispone de una aproximacin analtica de la curva H(Q) para unas con-diciones de funcionamiento dadas, se puede inferir la curva para otras condiciones de trabajo de la mquina. A modo de ejemplo, se supone que podemos aproximar la altura que proporciona la bomba en funcin del caudal por un polinomio de tercer grado para una velocidad de giro Nref:

( ) 32 DQCQBQAQH +++= (3.44) Para otra velocidad de giro y si no cambia ningn otro parmetro de funcio-

namiento se tienen las siguientes relaciones entre puntos homlogos:

=

=

=

=

HN

NH

QN

NQ

DNHg

DNgH

NDQ

DNQ

Ref

Ref

Ref

Ref

2

2

2222

33

(3.45)

Donde las variables con se refieren al funcionamiento a N revoluciones por minuto. Sustituyendo en la ec. 3.37 y despejando:


( ) 3222

QN

NDQCQ

NNB

NNAQH Ref

RefRef

+++= (3.46)

Esta relacin permite obtener los coeficientes de la aproximacin polinmica para la velocidad de giro N.

4. Instalaciones de bombeo y ventilacin

En este captulo se introduce el concepto de instalacin de fluidos y se repa-san los elementos fundamentales de los que puede constar. Se explican las condi-ciones que se deben cumplir para su correcto funcionamiento. Se presentan los procedimientos de clculo de prdidas de carga a travs del diagrama de Moody y de la frmula de White-Colebrook. Se expone la estrategia de resolucin de insta-laciones con nodo comn y se presenta el mtodo de Hardy-Cross para la resolu-cin de redes malladas. Tambin se trata el comportamiento de bombas en serie y en paralelo y se presenta la analoga entre sistemas de distribucin de fluidos y sistemas elctricos.

Una instalacin de bombeo es el conjunto de elementos que se disponen para subir el lquido a un determinado nivel, para proporcionar un determinado caudal en un abastecimiento o para cualquier otro uso que requiera de determinados cau-dales, cambios de nivel o presiones. Lo mismo se puede decir de las instalaciones de ventilacin, salvo que en este caso el fluido circulante es un gas.

En este captulo se trataran los siguientes puntos:

Funcionamiento de lnea de bombeo o ventilacin. Conceptos bsicos de clculo de redes. Bombas en paralelo y en serie. Instalaciones con nodo comn. Redes malladas de distribucin.

4.1. Funcionamiento de lnea de bombeo o ventilacin Una instalacin de bombeo o ventilacin est constituida por diferentes ele-

mentos que trabajan de forma coordinada para prestar un determinado servicio (por ejemplo: satisfacer la demanda de agua de un piso). Los principales elemen-tos que podemos encontrar en una instalacin de bombeo son:

Bomba. Conducciones, elementos singulares (codos, cambios de seccin, Ts). Filtros. Purgadores o ventosas. Elementos amortiguadores (de transitorios). Vlvulas. Depsitos.


Aproximadamente los mismos elementos podemos encontrar en una instala-cin para ventilacin (quizs se precisen deshumidificadores o filtros apropiados de partculas y/o gotas).

En el diseo de una instalacin habr que considerar las prdidas en los ele-mentos estticos y, en muchos casos, se deber encontrar una bomba o ventilador que proporcione la energa necesaria al fluido para vencer las prdidas y comuni-car energa adicional; por ejemplo, para aumentar la cota del fluido con la consi-guiente ganancia de energa potencial).

La configuracin puede ser desde sencilla a muy compleja. A continuacin se muestra un ejemplo de instalacin.

Bomba

P

Depsito atmosfrico

Depsitopresurizado

Vlvula

Tobera

lazo

FIGURA 4.1. Esquema de un ejemplo de instalacin

En la instalacin presentada se tienen 6 depsitos, 5 de ellos abiertos al en-torno y denominados depsitos atmosfricos porque en la mayora de los usos el entorno es la atmsfera, y otro cerrado (posiblemente presurizado, como se indica en la figura). Los depsitos estn conectados por tuberas, denominadas tambin lneas o tramos, en una estructura con bifurcaciones o nodos en los que confluyen ms de dos lneas. Se tiene tambin un lazo en la estructura, es decir, un conjunto de lneas en las que se puede salir de un nodo y recorrer las lneas hasta volver al mismo nodo sin pasar dos o ms veces por la misma lnea. La lnea en la parte superior de la figura representa una tobera por la que el fluido sale al entorno. En el esquema solo aparece una bomba, pero una instalacin compleja puede tener varias actuando simultneamente.

Una red de tuberas puede ser de dos tipos: ramificada, tambin conocida como arborescente, o mallada. En las redes ramificadas no se encuentran lazos. En redes complejas se pueden presentar zonas en las que la estructura es ramifi-


cada con otras partes con estructura ramificada. El esquema siguiente muestra ejemplos de estas topologas:

Red ramificada Red mallada

Lazo lQk

FIGURA 4.2. Ejemplos de red ramificada y red mallada.

La desventaja de las redes malladas, con respecto a las ramificadas, es que son ms caras, puesto que son necesarios ms tramos de tuberas. Sin embargo, presentan algunas ventajas en operacin:

1. Estabilidad de H en los nodos. En general, se obtienen menores variacio-nes de las alturas ante cambios en la red.

2. Seguridad ante roturas. El corte de una lnea (se puede pensar en la ruptu-ra de una tubera) no impide que llegue suministro a los nodos; se habla de abastecimiento redundante

Por supuesto, se pueden tener redes con partes ramificadas y partes malladas. Para analizar el funcionamiento de las instalaciones se parte de una instalacin sencilla:

En la fig. 4.3 se representa el caso en el cual un cierto caudal es elevado entre el depsito 1 (del que se succiona fluido gracias a la bomba) y el 2 (al que se su-ministra fluido). Conocidas las energas del fluido en los depsitos, E1 y E2, se ponen en forma de alturas (alturas de carga): H1 y H2.

Entonces, la ecuacin de la energa se puede expresar como:

hHHH B = 12 (4.1) Siendo HB la altura que la bomba proporciona al flujo y h las prdidas en la

instalacin.


Depsito 2

Depsito 1

FIGURA 4.3. Esquema de una instalacin sencilla

Tanto HB como h dependen del caudal. Sin embargo, para los depsitos 1 y 2 habitualmente se usa la aproximacin en la cual las alturas en ellos no dependen del caudal, puesto que se suponen con una superficie libre lo suficientemente grande como para poder despreciar el trmino de altura cintica.

2,1:con2

2

=+++= izg

Pzg

vg

PH iiiiii (4.2) La ec. 4.1 se puede reordenar:

( ) ( )QhHHQH B += 12 (4.3) El trmino de la derecha recibe el nombre de curva pasiva de la instalacin,

HI(Q).

( ) ( )QhHHQH I + 12 (4.4) De acuerdo con la ec. 4.3 y la definicin en la ec. 4.4, la solucin del sistema

viene dada por aquel caudal en el que se iguala la altura proporcionada por la bomba con la altura dada por la curva pasiva de la instalacin.

( ) ( )QHQH IB = (4.5) Se llama punto de operacin (Qop, Hop) a la solucin de la ec. (4.5). Desde un

punto de vista grfico, el punto de operacin es el corte de la curva caracterstica de la bomba con la curva pasiva de la instalacin.


H

Q

Qop

Hop

H (Q)B

H (Q)I

HIND

FIGURA 4.4. Curva caracterstica de bomba HB, curva pasiva HI y punto de operacin

Si en vez de un depsito 2 se tuviera una tobera por la que se proporciona un cierto caudal (ejemplo: una manguera de los bomberos), no se podra despreciar el trmino cintico y se debe incluir en la altura. Existen otros casos ms complejos, como, por ejemplo, que la red alimente un rociador que tiene un caudal de salida dependiente de la presin. En general, se habla de depsitos generalizados en los que se tiene una altura total que puede contener tanto el trmino de altura de pre-sin como el trmino de altura cintica y el trmino de cota.

4.2. Conceptos bsicos de clculo de redes Para la resolucin de la ec. 4.5 debemos conocer, por una parte, HB(Q), que

es proporcionada por los fabricantes, y, por otra, HI(Q). HI(Q) consta de una diferencia de altura H2H1 que, aun pudiendo depender

del caudal, es relacionable con este, y de un trmino debido a las prdidas. Para poder calcular el trmino de prdidas debemos tener en cuenta que son aditivas; es decir, la altura de prdidas, h(Q) se puede expresar para cada lnea que se con-sidere en la instalacin:

+=singulares

Slineales

L ji hhh (4.6)

Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos yyy.pdf

Documents

Transcript of Teoría de máquinas e instalaciones de fluidos yyy.pdf